Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II Ejercicio Resolver la siguiente ecuación en diferencias: −7
+ 15
= −1,
= 2,
−3
=0
= 17
(1.1)
El polinomio característico asociado a (1.1) es: ( )= como
(
−7
+ 15 − 3) = 0
(1.2)
≠ 0 queda finalmente:
( )=
−7
+ 15 − 3 = 0
(1.3)
La ecuación (1.3) no es factorizable en ℚ; esto es, no tiene ceros racionales1. Se hace necesario aplicar la fórmula de Cardano-Ferrari. Esta ecuación podemos expresarla en forma general de la siguiente manera: ( )= donde
+ = −7,
+
+ =0
(1.4)
= 15 y = −3. Con estos datos, aplicamos las fórmulas dadas en
(2.4), (2.5) encontrando que: = 15 − =
(−7) 4 =− 3 3
1 178 2(−7) − 9(−7)(15) + 27(−7) = 27 27
(1.5)
(1.6)
Aplicando ahora las fórmulas dadas en (2.7) y (2.8) tenemos:
=
−
178 √97 + 54 3
(1.7)
Un conocido teorema del álgebra establece la existencia de ceros racionales. Del polinomio de grado n, ( ) = + + ⋯+ + . Si ⁄ es un cero racional, entonces debe ser divisor de y divisor de . Para su demostración, véase Kurosh (1968).
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