Problema UNAC - 2017

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Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II Ejercicio Resolver la siguiente ecuación en diferencias: −7

+ 15

= −1,

= 2,

−3

=0

= 17

(1.1)

El polinomio característico asociado a (1.1) es: ( )= como

(

−7

+ 15 − 3) = 0

(1.2)

≠ 0 queda finalmente:

( )=

−7

+ 15 − 3 = 0

(1.3)

La ecuación (1.3) no es factorizable en ℚ; esto es, no tiene ceros racionales1. Se hace necesario aplicar la fórmula de Cardano-Ferrari. Esta ecuación podemos expresarla en forma general de la siguiente manera: ( )= donde

+ = −7,

+

+ =0

(1.4)

= 15 y = −3. Con estos datos, aplicamos las fórmulas dadas en

(2.4), (2.5) encontrando que: = 15 − =

(−7) 4 =− 3 3

1 178 2(−7) − 9(−7)(15) + 27(−7) = 27 27

(1.5)

(1.6)

Aplicando ahora las fórmulas dadas en (2.7) y (2.8) tenemos:

=

178 √97 + 54 3

(1.7)

Un conocido teorema del álgebra establece la existencia de ceros racionales. Del polinomio de grado n, ( ) = + + ⋯+ + . Si ⁄ es un cero racional, entonces debe ser divisor de y divisor de . Para su demostración, véase Kurosh (1968).

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