Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II Ejercicio Resolver la siguiente ecuación en diferencias: −7
+ 15
= −1,
= 2,
−3
=0
= 17
(1.1)
El polinomio característico asociado a (1.1) es: ( )= como
(
−7
+ 15 − 3) = 0
(1.2)
≠ 0 queda finalmente:
( )=
−7
+ 15 − 3 = 0
(1.3)
La ecuación (1.3) no es factorizable en ℚ; esto es, no tiene ceros racionales1. Se hace necesario aplicar la fórmula de Cardano-Ferrari. Esta ecuación podemos expresarla en forma general de la siguiente manera: ( )= donde
+ = −7,
+
+ =0
(1.4)
= 15 y = −3. Con estos datos, aplicamos las fórmulas dadas en
(2.4), (2.5) encontrando que: = 15 − =
(−7) 4 =− 3 3
1 178 2(−7) − 9(−7)(15) + 27(−7) = 27 27
(1.5)
(1.6)
Aplicando ahora las fórmulas dadas en (2.7) y (2.8) tenemos:
=
−
178 √97 + 54 3
(1.7)
Un conocido teorema del álgebra establece la existencia de ceros racionales. Del polinomio de grado n, ( ) = + + ⋯+ + . Si ⁄ es un cero racional, entonces debe ser divisor de y divisor de . Para su demostración, véase Kurosh (1968).
1
1
Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II
=
=
−
178 √97 − 54 3
178 54
+ −
(1.8)
4 9
=
√97 3
(1.9)
Finalmente, utilizando las fórmulas dadas en (2.6), obtenemos las raíces de la ecuación (1.3), las cuales son: =
+
+
7 ≈ 0.2223362 3
(1.10)
1 7 √3 ( − ) ≈ 3.388832 + 1.417356 =− ( + )+ + 2 3 2
(1.11)
1 7 √3 ( − ) ≈ 3.388832 − 1.417356 =− ( + )+ − 2 3 2
(1.12)
Entonces, la solución homogénea de la ecuación en diferencia (1.1) es: = Donde
( ) + =
y
( ) +
( ̅)
(1.13)
= ̅. Una solución de esta forma es de poca utilidad puesto que
pertenece a ℂ. Sin embargo, podemos expresar esta fórmula en el campo reales utilizando el teorema de Moivre, el cual establece que: = | | (cos + sin ) = | | (cos Donde | | es el módulo del complejo
+ sin y
)
(1.14)
es el ángulo que forma la parte real e
imaginaria del mismo: | |=
Re
= arctan
⇒ | ̂| =
+ Im Im Re
⇒
3.388832 + 1.417356 ≈ 3.673293
= arctan
1.417356 ≈ 22.696789 3.388832
(1.15) (1.16)
2
Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II Con esta información, (1.13) puede ser expresada mediante una combinación lineal de senos y cosenos2: ( ) + | ̂|
=
cos
+
sin
(1.17)
Podemos apreciar que, al ser | ̂ | > 1, la solución (1.17) diverge, esto es, explota o es inestable conforme lim y
→ +∞, independientemente de los valores que
,
puedan tomar.
Por último, usando las condiciones iniciales, tenemos: = −1 =
+
cos 0 +
=2
=
+ | ̂|
= 17
=
+ | ̂|
sin 0 =
cos +
+
sin
cos 2 +
(1.19)
sin 2
= − (1 +
De (1.18) encontramos que
(1.18)
(1.20)
), remplazando este resultado en
(1.19) y (1.20) obtenemos un sistema de ecuaciones lineales en + | ̂ | −( 1 +
) cos +
+ | ̂ | −(1 +
sin
) cos 2 +
y
=2
(1.21)
= 17
(1.22)
2 + | ̂ | cos 17 + | ̂ | cos 2
(1.23)
sin 2
que puede expresarse en forma matricial: − | ̂ | cos − | ̂ | cos 2
| ̂ | sin | ̂ | sin 2
del cual obtenemos de ∗
2
, =
, ∗(
,
, | ̂| y
) + | ̂|
∗
,
∗
=
y posteriormente
∗
. Constantes que están en función
. Finalmente, la solución particular es: ∗
cos
+
∗
sin
(1.24)
Para una demostración rigurosa véase Elaydi (2005), capítulo I y Cull et al. (2005), capítulo II.
3
Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II Referencias Cull, P., Flahive, M. and Robson, R. (2005). Difference Equations, From Rabbits to Chaos. Springer Science+Business Media, Inc. Springer, New York. Elaydi, S. (2005). An Introduction to Difference Equations (3th ed.). Springer-Verlag New York. Espinoza R., E. (2000). Números Complejos y Ecuaciones Polinómicas. Servicios Gráficos JJ, Lima, Perú. Kurosh, A. G. (1968). Curso de Algebra Superior. Editorial MIR, Moscú.
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Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II Anexo Una ecuación cúbica de la forma: ( )=
+
+
(2.1)
+ =0
con el siguiente cambio de variable = −
(2.2)
3
puede ser re-expresada de la siguiente manera: ( )=
+
+
(2.3)
=0
siendo, además: =
−
=
1 (2 27
(2.4)
3 −9
(2.5)
+ 27 )
Cardano probó que las raíces de (2.1) pueden ser obtenidas por medio de la resolución de (2.3), de la siguiente manera3: =
+
−
3
=
1 −1 + √3 2
+
1 −1 − √3 2
−
=
1 −1 − √3 2
+
1 −1 + √3 2
−
3
(2.6)
3
donde =
3
− +√ 2
(2.7)
Para su demostración véase Espinoza (2000).
5
Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II =
− −√ 2
Y el factor
=
2
+
3
(2.8)
es conocido como discriminante de la ecuación cúbica. Los números complejos: =
1 −1 ± √3 2
(2.9)
son las raíces cúbicas de la unidad.
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