ÍT UL O
9
CA P
FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS
» Observen con atención y respondan.
YO CREO Q UE PRIMER O DIBUJAR ON EL RECTÁNGULO MÁS GRANDE Y DES P UÉS LA FIGURA DE ADENT R O.
ADEMÁS, LO S VÉRTICES DE LA FIGURA DE ADENT R O ESTÁN EN EL MEDIO DE SUS LAD O S.
• ¿Qué figura se forma si unen los puntos medios de los lados de un rectángulo? • ¿Y si unen los puntos medios de los lados de un rombo? • Si cada rectángulo fuera un cuadrado, ¿qué figuras obtienen cada vez que unen los puntos medios?
116 • Figuras y cuerpos geométricos
Construimos cuadriláteros
1. Dibujá un cuadrilátero cuyos lados consecutivos sean perpendiculares.
• ¿Cómo son sus 4 ángulos interiores? ¿Por qué?
2. Trazá en tu carpeta dos segmentos llamados AC y BD que midan lo mismo y que se crucen en su punto medio, y el cuadrilátero ABCD. Luego, respondé.
a. ¿Cómo son los ángulos A, B, C y D? b. ¿Qué tipo de cuadrilátero es ABCD? ¿Por qué?
El hilo de la Matemática 5 . Capítulo 9
El cuadrilátero cuyos cuatro ángulos miden lo mismo se denomina rectángulo. Sus diagonales tienen la misma medida y se cortan en su punto medio.
3. Dibujá en tu carpeta un rectángulo cuyos lados midan 3 cm y 5 cm, trazá sus diagonales y anotá sus longitudes.
Rectángulos •
117
Diagonales cortadas por la mitad ___
___
1. Construí una diagonal AC de 5 cm y otra BD de 3 cm, leé lo que dice Juan y respondé.
___
___
a. ¿Cómo están dispuestos los lados AB y DC? ___
___
b. ¿Y los lados AD y BC? ^
SI LAS DIAGONALES DE UN C UADRILÁT ER O SE C ORTAN EN SU P UNTO MEDIO, ENTONCES, ESE C UADRILÁT ER O ES UN RECTÁNGULO.
^
c. ¿Cómo son las medidas de los ángulos A y C? ^
^
d. ¿Y las de los ángulosB y D? e. ¿Estás de acuerdo con Juan?
Dos elementos son congruentes cuando tienen la misma medida. Se simboliza =C . ___ ___ ___ ___ Por ejemplo: AB =C CD si AB y CD tienen la misma longitud. A =C B si A y B tienen la misma amplitud.
2. Trazá tres paralelogramos diferentes en tu carpeta y respondé.
9
• ¿En qué punto se cortan las diagonales de cada uno? 118 • Paralelogramos
El cuadrilátero cuyas diagonales se cortan en su punto medio se denomina paralelogramo. Sus lados opuestos son paralelos y congruentes.
3. Leé con atención el procedimiento que utilizó Paula para trazar un paralelogramo y respondé.
T RACÉ UN SEGMENTO AD DE 5 CM Y DIBUJÉ UN ÁNGULO C ON VÉRTICE A DE 50° Y OT R O C ON VÉRTICE D DE 140°.
a. ¿Podrá Paula completar el dibujo del paralelogramo? ¿Por qué?
b. Lucas realizó el mismo procedimiento, pero trazó ángulos de 50° y 110°. El hilo de la Matemática 5 . Capítulo 9
¿Podrá completar el dibujo del paralelogramo? ¿Por qué?
c. ¿Qué medida debe tener el ángulo que tiene vértice D para trazar un paralelogramo?
Para debatir y registrar • ¿Cuánto deben sumar los ángulos consecutivos de un cuadrilátero para que sus lados opuestos sean paralelos?
Paralelogramos •
119
Más cuadriláteros ___
1. Dibujá un segmento AC de 4 cm en el centro de una hoja y resolvé. a. Encontrá los puntos que están a 4 cm de A y de C, llamalos B y D, y construí el cuadrilátero ABCD. ¿Cómo son sus lados?
b. Encontrá los puntos que están a 6 cm de A y de C, llamalos E y F, y construí el cuadrilátero AECF. ¿Qué tipo de cuadrilátero es AECF? ¿Por qué?
c. ¿Cómo están ubicados los puntos B, D, E y F? ¿Qué nombre recibe la recta que pasa por esos puntos?
Los cuadriláteros cuyos cuatro lados miden lo mismo se denominan rombos. En un rombo, cada diagonal es mediatriz de la otra. Por ABCD___ es un rombo porque ___ ___ ___ ejemplo, AB =C BC =C CD =C DA. Además, AC es ___ ___ mediatriz de DB y DB es mediatriz de AC.
A
D
B
C
2. Dibujá tres rombos diferentes, leé lo que dice Noelia y respondé. LO S LAD O S OP UESTO S DE UN R OMB O S ON PARALELO S.
a. Para que sea cierto lo que dice Noelia, ¿cuánto deben sumar los ángulos consecutivos de un rombo?
9
b. ¿Cómo se cortan las diagonales de un rombo? 120 • Rombos
3. Dibujá en tu carpeta un cuadrado cuyos lados midan 5 cm. Mencioná los pasos que seguiste y comparalos con los de tus compañeros.
4. Leé y seguí los procedimientos que proponen Juan y Agustina. ¿Con qué procedimiento estás de acuerdo? ¿Por qué? ___
Juan.— Dibujá un segmento AC de 7 cm y trazá un segmento perpendicular a él. Dibujá una circunferencia cuyo centro sea el punto en el que la perpendicular cruza el segmento y cuyo radio mida 3,5 cm. Llamá B y D a los puntos en los que la circunferencia cruza la perpendicular. Quedará formado el cuadrado ABCD.
___
El hilo de la Matemática 5 . Capítulo 9
Agustina.— ___Dibujá un segmento de 7 cm y llamalo AC. Dibujá una recta que pase por el punto medio de AC. Trazá una circunferencia cuyo centro sea el punto en el que la recta cruza el segmento y cuyo radio mida 3,5 cm. Llamá B y D a los puntos en los que la circunferencia cruza la recta. Trazá el cuadrado con vértices en los puntos A, B, C y D.
Cuadrados •
121
Cuadriláteros equiláteros ___
1. Construí un cuadrado cuya diagonal sea el segmento AC e indicá los pasos que seguiste.
A
C
2. Leé lo que dicen los chicos y respondé. UN C UADRILÁT ER O C UYAS DIAGONALES PERPENDIC ULARES SE C ORTAN EN SU P UNTO MEDIO ES UN C UADRAD O.
• ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
9 122 • Propiedades de las diagonales de un cuadrado
NO ES ASÍ. SI LAS DIAGONALES S ON MEDIAT RICES ENT RE SÍ, EL C UADRILÁT ER O ES UN R OMB O.
3. Dibujá cuatro cuadriláteros que cumplan las siguientes condiciones y respondé.
Una figura es equilátera cuando todos sus lados tienen la misma medida.
___
• AC es su diagonal. • Sus diagonales son perpendiculares. • Sus diagonales se cortan en su punto medio.
A
C
a. ¿Cómo son sus lados?
El hilo de la Matemática 5 . Capítulo 9
b. ¿Es posible dibujar un cuadrado que cumpla con estas condiciones?
___
c. ¿Cuántos cuadriláteros equiláteros distintos podés dibujar con la diagonal AC?
d. Los cuadriláteros que cumplen con las condiciones anteriores, ¿siempre son rombos? ¿Por qué?
e. Los cuadriláteros que cumplen con las condiciones anteriores, ¿son paralelogramos? ¿Por qué?
Construcción de rombos •
123
Cuadriláteros desde sus diagonales
1. Dibujá un cuadrilátero cuyas diagonales midan 5 cm y se corten en su punto medio.
a. ¿Cuántos cuadriláteros diferentes se pueden dibujar? b. ¿Cómo son sus ángulos interiores?
Para debatir y registrar • ¿Cómo son las diagonales de un rectángulo?
2. Dibujá tres cuadriláteros cuyas diagonales midan lo mismo y se corten en su punto medio.
9 124 • Diagonales de un rectángulo
3. Dibujá cuadriláteros cuyas diagonales ___ se corten en su punto medio. En el primer cuadrilátero, el segmento BD debe ser más corto ___ ___que ___ el segmento AC. En el segundo, BD debe ser más largo que AC.
A
C
A
C
a. Los cuadriláteros obtenidos, ¿son rectángulos? ¿Por qué? En un cuadrilátero, los lados opuestos son los que no comparten vértices.
b. ¿Cómo son sus lados opuestos?
El hilo de la Matemática 5 . Capítulo 9
Para debatir y registrar • ¿Cómo son las diagonales de un paralelogramo?
4. Dibujá en tu carpeta tres paralelogramos cuyas diagonales sean perpendiculares y respondé.
a. ¿Cómo son los ángulos de los paralelogramos? b. ¿Cómo son sus lados?
Propiedades de las diagonales de un paralelogramo •
125
Dos pares de lados iguales
1. Construí en tu carpeta cuatro cuadriláteros con dos lados de 6 cm y otros dos de 4 cm, y respondé.
• ¿Son convexos todos los cuadriláteros que dibujaste?
2. Dibujá en tu carpeta dos cuadriláteros cóncavos con dos lados de 7 cm y otros dos de 5 cm.
Dos lados son consecutivos cuando comparten un vértice de la figura.
3. Dibujá en tu carpeta un cuadrilátero convexo con dos lados
de 2 cm y otros dos de 4 cm de modo tal que los lados congruentes sean consecutivos.
a. ¿Cómo son sus diagonales? ¿Y sus ángulos interiores? b. ¿Cuál de las diagonales divide los ángulos interiores en ángulos de la misma medida?
Los cuadriláteros convexos cuyos dos pares de lados consecutivos miden lo mismo se denominan romboides.
9
A D
B
C
126 • Romboides
La semirrecta interior que divide un ángulo en dos ángulos congruentes se denomina bisectriz del ángulo. Por ejemplo: A ______›
∆
BQ es la bisectriz de ABC.
Q
B
C
4. Trazá la bisectriz de los ángulos A y C en el siguiente romboide. Luego, respondé. A
D
• ¿Qué segmento contienen las bisectrices?
B
C
5. Leé con atención las siguientes afirmaciones sobre las diagonales de los cuadriláteros, decidí si son correctas (C) o incorrectas (I) y justificá tus respuestas en todos los casos.
a. Siempre son congruentes entre sí.
El hilo de la Matemática 5 . Capítulo 9
b. Se cortan en su punto medio. c. Se cortan en el punto medio de una de ellas. d. Son perpendiculares. e. Son bisectrices de los ángulos del romboide. f. Una de ellas es bisectriz de los ángulos del romboide.
Romboides •
127
Cilindros y conos
1. Martín quiere construir una caja cilíndrica. Dibujá cómo debe cortar el cartón para construirla y respondé.
a. ¿Qué forma tiene la base?
b. ¿Qué otra figura tuviste que dibujar para construirla?
2. Si se observa un cuerpo desde arriba o desde abajo, se ve un círculo y su vista lateral es un rectángulo. Dibujá el cuerpo y respondé.
a. ¿De qué cuerpo se trata? b. ¿Por qué se ve de esa manera?
9 128 • Cuerpos geométricos, cilindros y conos
3. Dibujá el desarrollo plano del siguiente cuerpo y respondé.
a. ¿Cuántas caras tiene? b. ¿Qué forma tienen?
El hilo de la Matemática 5 . Capítulo 9
c. Dibujá las vistas inferior, superior y lateral del cono.
4.. Dibujá en tu carpeta el desarrollo plano del siguiente cuerpo.
Cuerpos geométricos, cilindros y conos •
129
ZONA DE PRODUCCIÓN
1. Dibujá un cuadrado cuya diagonal mida
7. Completá los siguientes cuadriláteros a
2. Dibujá un rectángulo cuya diagonal
a. ABCD es un paralelogramo.
7 cm y explicá cómo lo construiste. ¿Es la única construcción posible?
partir de los lados que se muestran a continuación. Luego, explicá cómo construiste cada uno.
mida 6 cm y respondé.
• ¿Qué pasos seguiste para construirlo? • ¿Qué dato agregarías para que la construcción sea la única posible?
3. Respondé. a. Si un cuadrilátero tiene lados opuestos
A
B
C
b. EFGH es un romboide. E
congruentes, ¿de qué cuadrilátero se trata? b. Si un cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos, ¿de qué cuadrilátero se trata?
4. Dibujá los siguientes cuadriláteros
y respondé.
F
G c. IJKL es un rombo.
a. Tiene una diagonal de 7 cm que es mediatriz de la otra diagonal de 3 cm. ¿De qué cuadrilátero se trata? ¿Por qué? b. Es equilátero con lados de 5 cm. ¿De qué cuadrilátero se trata? ¿Es la única construcción posible?
5. Juan dice que si un cuadrilátero es un
cuadrado, entonces, es un rombo. Paula dice que es un rectángulo.
• ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
6. Dibujá un paralelogramo con uno de sus
ángulos interiores recto. ¿De qué cuadrilátero se trata?
9 130
J
I
8. Dibujá el desarrollo de un cilindro cuyas bases tengan radios de 3 cm.
9. Dibujá el desarrollo de un cono cuya base tenga un radio de 4 cm y su altura mida 6 cm.
EVALUACIÓN
1. Dibujá las siguientes figuras y explicá cómo lo hiciste. a. Un cuadrado con lados de 5 cm. b. Un rectángulo con un lado de 5 cm y otro de 3 cm.
2.
Facundo dice que un cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares es un romboide. Respondé.
• ¿Estás de acuerdo con él? ¿Por qué?
3. Escribí instrucciones para copiar el siguiente dibujo.
El hilo de la Matemática 5 . Capítulo 9
4. Dibujá el desarrollo plano de los siguientes cuerpos.
131