CONTENTS 警專入學考試 常考數學公式 01
數 ....................................................................... 001
02
數列級數 ........................................................... 009
03
平面直線方程式 ..................................................... 015
04
二次函數 .................................................................. 021
05
多項式 ...................................................................... 027
06
指數與對數 ............................................................. 033
07
三角函數 .................................................................. 041
08
平面向量 .................................................................. 059
09
空間向量 .................................................................. 075
10
圓 .............................................................................. 087
11
球 .............................................................................. 099
12
圓錐曲線 .................................................................. 105
13
排列組合 .................................................................. 121
14
機率 .......................................................................... 131
15
敘述統計 .................................................................. 143
16
初等微積分 ............................................................. 151
17
矩陣 .......................................................................... 161
─1─
附錄 第 38 期甲組數學試題 .................................................. 177 第 38 期甲組數學解答 .................................................. 181 第 38 期乙組數學試題 .................................................. 193 第 38 期乙組數學解答 .................................................. 199
–2–
01 數 ．數系 ．倍數的判別 ．因數個數 ．除法原理 ．輾轉相除法原理 ．餘數定理 ．複數 ．複數 n 方根
－001－
－002－
數系 正整數 N 有理數 Q 整數 Z 0 實數 R 負整數 分數、有限小數、循環小數 無理數 複數 C 實數：有理數與無理數總稱為實數。 有理數：有理數是一個整數 a 和一個非零整數 b 的比值，通則為 a ， b
有理數的小數部分有限或為循環。不是有理數的實數遂稱為無理 數。
倍數的判別 2 的倍數：個位數字為偶數（含 0） 3 的倍數：各個數字和為 3 的倍數 4 的倍數：末二位數為 4 的倍數 5 的倍數：個位數字為 5 或 0 8 的倍數：末三位數為 8 的倍數 9 的倍數：各個數字和為 9 的倍數 11 的倍數：奇數位數字和與偶數位數字和相差為 11 的倍數
01
數
003
因數個數 設 A p a q b r c ，其中 p、q、r 為正質因數，a、b、c 為正整數，則： A 之正因數個數=(a+1)(b+1)(c+1) A 之因數個數=2(a+1)(b+1)(c+1) A 之正因數總和= (1 p p 2 p a )(1 q q 2 q b )(1 r r 2 r c )
A 之正因數乘積=2 正因數個數 /2= 2( a 1) b 1)( c 1) / 2
除法原理 若 a、b 為整數，則可以找到整數 q 與 r 使得 a=bq+r 且 0 r b ， 此時我們稱 a 為被除數， b 為除數， q 為商， r 為餘數
輾轉相除法原理 a、b 為整數， b 0 ，如果 a=bq+r，q：a 除以 b 的商；r：a 除以 b 的餘數，則(a,b)=(b, r)
餘數定理 設正整數 x、 y 除以 a 之餘數分別為 r1 、 r2 則： x y 除以 a 之餘數恰為 r1 r2 除以 a 之餘數 x y 除以 a 之餘數恰為 r1 r2 除以 a 之餘數
004
警專入學考試－常考數學公式
複數 i 的週期性： i 2 1 ， i 3 i ， i 4 1 ，… 複數的相等： a、 b、 c、 d Q ，若 a bi c di
a c；bd z a bi ，則 z 的共軛複數 z a bi 複數的極式：將複數 z=x+iy 表示成 z r (cos i sin ) ； z r x2 y2
複數的乘法：設 z1 、 z2 之極式分別為 z1=r1(cos α +i sin α)， z2=r2(cosβ +i sinβ)，則 z1 z2 r1 r2 [cos( ) i sin( )]
複數的除法： 若 z 0 ， z r (cos i sin ) ，則 若 z1 0 ，則
1 1 [cos ( ) i sin( )] z r
z1 r1 [cos ( ) i sin( )] z2 r2
棣美弗定理：n 為整數，若設 z z (cos i sin ) ， n
則 z n = z (cosn +i sinn ) 設
z a bi (、b R )
，則
z a 2 b2 R
，且不為負
設 z1 、 z2 C ，則 z1 z2 z1 z2 ； z1 z2 z1 z2
設 z1 、 z2 C ，則 z1 z2 z1 z2 ； 01
數
005
z1 z2
z1 z2
2
2
z z z = z z 1 ，則 z z 1 z
1 z
z 0 z0 z1 x1 y1i ， z2 x2 y2i ，則 z1 z2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 表 z1 與 z2 之距離
複數 n 方根 設 n N ， n 2 ，則滿足 z n （ 為已知複數）之 z 叫 之 n 次方根，通常有 n 個解。 若 z n r ( cos i sin ) ， r 0 而 z0 ， z1 ， z2 ，…， z x 1 為其 n 個方根，則 1
zn r n ( cos
2 2 i sin ) ， 0 ， 1， 2，…， n 1 n n
若上面之 z0 ， z1 ， z2 ，…， zn 1 洽分布在一圓上，其圓心為原 1
點，半徑 r n ，則各點可將此圓 n 等分；連接各點則可得一正 n 邊形 若 n 2(n N ) ，且 cos
2 2 ，則： i sin n n
為 x n 1 之虛根，而 1, , 2 , , n 1 為 x n 1 之解集合 n 1 ： 1 2 n 1 0 006
警專入學考試－常考數學公式
x n 1 x n 2 1 ( x )( x 2 ) ( x n 1 ) x n a (a C , n N ) ，若已知有一根為 n ，則此方程式之解集 為 n , n , n 2 ,, n n 1 立方根
1 3i 之性質： 2
3 1 1 2 0 3n 1(n N ) 2 n n 1 or 2( n N ) a 2 ab b 2 (a b 2 )( a 2 b ) x 2 x 1 ( x )(a 2 )
01
數
007
008
警專入學考試－常考數學公式
02 數列級數 ．等差數列 ．等差級數 ．等比數列 ．等比級數 ．無窮等比級數 ．常用 公式 ．無窮循環小數 ．差比數列 Cn
－009－
－010－