▍第一章
基礎數學∕001
第一節
數線與一元不等式∕003
第二節
平面直角坐標系∕006
第三節
直線∕010
第四節
函數及其運算∕018
第五節
反函數∕024
第六節
三角函數∕026
第七節
函數之極限∕030
第八節
函數之連續∕037
▍第二章
導函數∕041
第一節
函數曲線上某點之切線∕043
第二節
任一函數之導函數∕046
第三節
常用之導函數公式∕049
第四節
連鎖律∕064
第五節
三角函數之導函數∕069
第六節
反三角函數之導函數（初學者可省略）∕078
第七節
隱函數之導函數∕086
第八節
高階導函數∕090
第九節
函數之增量與微分及近似值求算∕093 –目錄 1–
▍第三章
利用函數之導函數特性繪圖∕097
第一節
函數的極值∕099
第二節
一階導函數之性質∕102
第三節
二階導函數之性質∕112
第四節
相對極值之求法∕116
第五節
函數之作圖∕120
▍第四章
導數之應用∕127
第一節
羅比達法則∕129
第二節
導函數在經濟學上之應用∕134
第三節
利用導函數求極值∕142
第四節
導數之均值定理∕145
▍第五章
積分∕147
第一節
反導函數∕149
第二節
連加符號與性質∕158
第三節
面積的近似值與定積分∕162
第四節
微積分基本定理∕172
–目錄 2–
▍第六章
積分之應用∕181
第一節
求平面區域之面積∕183
第二節
立體體積之求法（初學者可省略）∕188
第三節
平面上某段曲線之長度（初學者可省略）∕195
▍第七章
指數與對數函數之導函數與積分∕201
第一節
自然對數函數∕203
第二節
對數微分法∕210
第三節
自然指數函數∕213
第四節
一般指數函數∕218
第五節
一般對數函數∕221
第六節
複利之計算∕223
▍第八章
積分之技巧∕227
第一節
代換法積分∕229
第二節
三角函數積分∕233
第三節
根式函數積分∕243
第四節
分部積分法∕247
第五節
有理函數積分∕254
第六節
瑕積分∕257 –目錄 3–
▍第九章
偏微分與多重積分∕261
第一節
多變數函數∕263
第二節
偏導函數∕268
第三節
多變數函數導函數之連鎖律∕272
第四節
多變數函數之全微分∕276
第五節
多重積分∕279
▍各章節習題解答∕283
–目錄 4–
064 應用微積分 Applied Calculus
第四節
連鎖律
上一節介紹了二個函數「相加」、「相減」、「相乘」及「相除」之 後所形成函數之導函數，並未考慮二個函數相「合成」（composite） 之後的函數之導函數，本節即針對「合成函數」推導其導函數。 若函數 g ( x) 在 x x0 處為可微分，且函數 h( x) 在 x g ( x0 ) 處亦為 可微分，今欲求 h( x) 與 g ( x) 之合成函數 h g（亦即 h g ( x) 之導函數， 說明如下： 令 f ( x) h g ( x) h g ( x) ，則 h g 在 x x0 處之導函數為：
f '( x0 ) (h( g ( x0 ))) ' lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) h( g ( x0 x)) h( g ( x0 )) lim x 0 x x
令 g ( x0 x) v ， g ( x0 ) v0 ，且 v v v0 代入上式，得： f '( x0 ) lim
x 0
h(v) h(v0 ) x
若將上式右邊乘上一個值為 1 之項
f '( x0 ) lim ( x 0
v ，如下式： v
h(v) h(v0 ) v h(v) h(v0 ) v ) ( ) lim ( )( ) x v x 0 v x
由於當 x 0 時， v 0 ，故將上式改為：
f '( x0 ) lim
v 0
而因 lim
x 0
h(v) h(v0 ) v lim ， x 0 v x
g ( x0 x) g ( x0 ) v lim g '( x0 ) x 0 x x
故 f '( x0 ) h '(v0 ) g '( x0 ) ，若採原來之符號，可得： (h( g ( x0 ))) ' h '( g ( x0 )) g '( x0 ) 若 x0 代表合成函數 h g 之定義域中的任一點，亦即以 x 取代 x0 ，則上
065 第二章
導函數
式可改為 (h( g ( x)))' h '( g ( x)) g '( x) ，亦即，此式亦可改為：
dh dh dg ( )( ) dx dg dx
同理可推展至三個函數（或更多個函數）之合成函數的導函數， 例如：欲求三個函數 h(x)，g(x)，w(x)之合成函數 h(g(w(x)))之導函數， 則：
dh dh dg dw dx dg dw dx
餘此類推，此稱為連鎖律（chain rule）。
1 連鎖律（chain rule） 欲求二個函數 h( x) 與 g ( x) 之合成函數 h g （亦即 h( g ( x)) 之導函數
dh dh dg ( )( ) dx dg dx 欲 求 三 個 函 數 h( x) ， g ( x) ， w( x) 之 合 成 函 數 h g w （ 亦 即
h( g ( w( x))) 之導函數 dh dh dg dw dx dg dw dx 餘此類推
1 若 f ( x) ( x 2 3x 1)5 , 求 f '( x) ?
由於 f ( x) 可視為 g (h) h5 與 h( x) x 2 3x 1 ，二者之合成，即 f ( x) g (h( x)) g ( x 2 3x 1) ( x 2 3 x 1)5 ，
066 應用微積分 Applied Calculus
對合成函數之導函數，可採用上述連鎖律公式，即
f '( x)
df dg dh ，而式中 h( x) x 2 3x 1 dx dh dx
故 f '( x) 5 h 4 ( x 2 3x 1) ' 5( x 2 3x 1) 4 (2 x 3)
2 f ( x) ( x 2 ( x 3 2 x 2 5 x 3) 4 )5 ，求 f '( x) ?
由於 f ( x) 可視為 g (h) h5 與 h( x) x 2 x 3 2 x 2 5 x 3 ，二者之合 4
成，即 f ( x) g (h( x))，對合成函數之導函數，可採用上述連鎖律公式， 即： f '( x) 5 ( x 2 ( x 3 2 x 2 5 x 3) 4 ) 4 (2 x 4( x3 2 x 2 5 x 3)3 (3 x 2 4 x 5))
2 由上述諸例題結果可知，求合成函數之導函數所使用之連鎖律可 視為： 將原函數自最外層開始求導函數，逐層向內求導函數，直到最內 層求導函數為止。 例如上述例題 1 之最外層之形式為 (
)5 ，故導函數可得 5( ) 4 ，
最內一層為 ( x 2 3x 1) ，故其導函數為 (2 x 3) ，此時即完成此題之導 函數求解。而例題 2 之最外層為 (
)5 ，故導函數為 5( ) 4 ，次一層
為 x 2 ( x 3 2 x 2 5 x 3)4 ，故導函數為 (2 x 4( x 3 2 x 2 5 x 3)3 ) ，最內 一層為 ( x 3 2 x 2 5 x 3) ，故導函數為 (3 x 2 4 x 5) 。
067 第二章
導函數
3 若海面上一圓形油污之半徑以每秒 2 公分之速率增加，當此圓形油 污半徑增加到 3 公尺時，對應之油污面積之增加速率有多大？
由於圓形面積 A 與半徑 r 之關係為 A(r ) r 2 ，而 r 為時間 t 之函數， 且由題意知
dr dA 2 （公分/秒），今欲求 ， dt dt
dA dA dr dr 2 r 2 300 2 1200 （平方公分/秒） dt dr dt dt 此題為相關變率（related rates）的問題。
4 一正方形之各邊以每秒 2 公分之速率增長，當各邊長增長至 4 公分 時，求此正方形之面積之增加速率為多大？
令此正方形之面積為 A( x) x 2 ，面積之增加速率為
dA dx 2 dx 2 dx dx 2x （平方公分/秒）， dt dt dx dt dt 依題意
dx 2 ， x 4 ，代入可得， dt
dA dx 2x 8 2 16 （平方公分/秒）， dt dt 故此時正方形面積之增加速率為 16 平方公分/秒。
068 應用微積分 Applied Calculus
2-4-1
若 f ( x) x 3 3 x 2 1 ，求 f '( x) ? f '(2) ?
2-4-2
若 f ( x) 2 x 2 x 5 ，求 f '( x) ? f '(2) ?
2-4-3
若 f ( x) x 2 x 7 ，求 f '( x) ? f '(1) ?
2-4-4
若 f ( x)
2-4-5
若 f ( x) 2 x 2 3 2 x 1 ，求 f '( x) ? f '(1) ?
2-4-6
2x 1 若 f ( x) ，求 f '( x) ? f '(1) ? 3x 4
2-4-7
4x 3 若 f ( x) 2 ，求 f '( x) ? f '(1) ? 3x x 1
2-4-8
一正立方體之各邊以每秒 2 公分之速率增長，當各邊長增
3
1
2x
2
3
2
，求 f '( x) ? f '(2) ?
3
4
3
4
長至 5 公分時，求此正立方體之體積之增加速率為多大？ 2-4-9
一球體之半徑以每秒 3 公分之速率增長，當此球體之半徑 增長至 5 公分時，求此球體之體積之增加速率為多大？
069 第二章
第五節
導函數
三角函數之導函數
為了後續之推導，本節先介紹挾擠原理（squeeze principle）。
1 挾擠原理（squeeze principle）： 對 任 意 三 個 函 數 f ( x ) ， g ( x ) ， h( x ) 而 言 ， 若 對 任 一 x 值 ，
f ( x) g ( x) h( x) 均 成 立 ， 且 lim f ( x) L ， lim h( x) L ， 則 x a
x a
lim g ( x) L 。 x a
如下圖所示：
有了上述之挾擠原理，接著據以推導下面二個公式：
2 lim x 0
x sin x cos x 1 1 lim ，且 lim 0 x 0 x 0 sin x x x
070 應用微積分 Applied Calculus
先作四分之一圓（半徑為 1）如下：
由此圖可知：三個圖形之面積大小為： POM 扇形 PNO QON
1 1 而三角形 POM 之面積為 OM PM cos x sin x 2 2 1 扇形 PNO 之面積為 x 2 1 1 sin x QON 之面積為 ON QN tan x 2 2 2cos x 1 1 1 sin x 故 cos x sin x x ， 2 2 2 cos x 將上式全部乘以 2，再全部除以 sinx，可得 cos x
x 1 sin x cos x
當 x 0 ， lim cos x 1 lim
1 x ，依挾擠原理得知 lim 1， x 0 sin x cos x
當 x 0 ， lim cos x 1 lim
1 x ，依挾擠原理得知 lim 1， x 0 sin x cos x
x 0
x 0
x 0
x 0
x sin x 1 lim 。第一式得證。 x 0 sin x x 0 x
故知 lim 而 lim x 0
cos x 1 (cos x 1) (cos x 1) lim x 0 x x (cos x 1)
071 第二章
cos 2 x 1 sin 2 x lim x 0 x (cos x 1) x 0 x (cos x 1)
lim
sin x sin x lim (1) x 0 x cos x 1 sin x sin x 0 (1) lim lim ( 1) (1) ( ) 0 x 0 x 0 x cos x 1 2
1 求 lim x 0
lim x 0
sin 3x ? 2x
sin 3 x sin 3 x 3 x lim x 0 2x 3x 2 x sin 3 x 3 lim ( ) x 0 3x 2 3 3 1 。 2 2
3
sin x
cos x
令 f ( x) sin x ，依導函數之定義
導函數