A3006

▍第一章

基礎數學∕001

第一節

數線與一元不等式∕003

第二節

平面直角坐標系∕006

第三節

直線∕010

第四節

函數及其運算∕018

第五節

反函數∕024

第六節

三角函數∕026

第七節

函數之極限∕030

第八節

函數之連續∕037

▍第二章

導函數∕041

第一節

函數曲線上某點之切線∕043

第二節

任一函數之導函數∕046

第三節

常用之導函數公式∕049

第四節

連鎖律∕064

第五節

三角函數之導函數∕069

第六節

反三角函數之導函數（初學者可省略）∕078

第七節

隱函數之導函數∕086

第八節

高階導函數∕090

第九節

函數之增量與微分及近似值求算∕093 –目錄 1–

▍第三章

利用函數之導函數特性繪圖∕097

第一節

函數的極值∕099

第二節

一階導函數之性質∕102

第三節

二階導函數之性質∕112

第四節

相對極值之求法∕116

第五節

函數之作圖∕120

▍第四章

導數之應用∕127

第一節

羅比達法則∕129

第二節

導函數在經濟學上之應用∕134

第三節

利用導函數求極值∕142

第四節

導數之均值定理∕145

▍第五章

積分∕147

第一節

反導函數∕149

第二節

連加符號與性質∕158

第三節

面積的近似值與定積分∕162

第四節

微積分基本定理∕172

–目錄 2–

▍第六章

積分之應用∕181

第一節

求平面區域之面積∕183

第二節

立體體積之求法（初學者可省略）∕188

第三節

平面上某段曲線之長度（初學者可省略）∕195

▍第七章

指數與對數函數之導函數與積分∕201

第一節

自然對數函數∕203

第二節

對數微分法∕210

第三節

自然指數函數∕213

第四節

一般指數函數∕218

第五節

一般對數函數∕221

第六節

複利之計算∕223

▍第八章

積分之技巧∕227

第一節

代換法積分∕229

第二節

三角函數積分∕233

第三節

根式函數積分∕243

第四節

分部積分法∕247

第五節

有理函數積分∕254

第六節

瑕積分∕257 –目錄 3–

▍第九章

偏微分與多重積分∕261

第一節

多變數函數∕263

第二節

偏導函數∕268

第三節

多變數函數導函數之連鎖律∕272

第四節

多變數函數之全微分∕276

第五節

多重積分∕279

▍各章節習題解答∕283

–目錄 4–

064 應用微積分 Applied Calculus

第四節

連鎖律

上一節介紹了二個函數「相加」、「相減」、「相乘」及「相除」之 後所形成函數之導函數，並未考慮二個函數相「合成」（composite） 之後的函數之導函數，本節即針對「合成函數」推導其導函數。 若函數 g ( x) 在 x  x0 處為可微分，且函數 h( x) 在 x  g ( x0 ) 處亦為 可微分，今欲求 h( x) 與 g ( x) 之合成函數 h  g（亦即 h  g ( x)  之導函數， 說明如下： 令 f ( x)  h  g ( x)  h  g ( x)  ，則 h  g 在 x  x0 處之導函數為：

f '( x0 )  (h( g ( x0 ))) '  lim

x  0

f ( x0  x)  f ( x0 ) h( g ( x0  x))  h( g ( x0 ))  lim x  0 x x

令 g ( x0  x)  v ， g ( x0 )  v0 ，且 v  v  v0 代入上式，得：  f '( x0 )  lim

x  0

h(v)  h(v0 ) x

若將上式右邊乘上一個值為 1 之項

f '( x0 )  lim ( x  0

v ，如下式： v

h(v)  h(v0 ) v h(v)  h(v0 ) v )  ( )  lim ( )( ) x v x 0 v x

由於當 x  0 時， v  0 ，故將上式改為：

f '( x0 )  lim

v  0

而因 lim

x  0

h(v)  h(v0 ) v  lim ，  x  0 v x

g ( x0  x)  g ( x0 ) v  lim  g '( x0 )  x  0 x x

故 f '( x0 )  h '(v0 )  g '( x0 ) ，若採原來之符號，可得：  (h( g ( x0 ))) '  h '( g ( x0 ))  g '( x0 ) 若 x0 代表合成函數 h  g 之定義域中的任一點，亦即以 x 取代 x0 ，則上

065 第二章

導函數

式可改為 (h( g ( x)))'  h '( g ( x))  g '( x) ，亦即，此式亦可改為： 

dh dh dg  ( )( ) dx dg dx

同理可推展至三個函數（或更多個函數）之合成函數的導函數， 例如：欲求三個函數 h(x)，g(x)，w(x)之合成函數 h(g(w(x)))之導函數， 則： 

dh dh dg dw    dx dg dw dx

餘此類推，此稱為連鎖律（chain rule）。

1 連鎖律（chain rule） 欲求二個函數 h( x) 與 g ( x) 之合成函數 h  g （亦即 h( g ( x)) 之導函數

dh dh dg  ( )( ) dx dg dx 欲 求 三 個 函 數 h( x) ， g ( x) ， w( x) 之 合 成 函 數 h  g  w （ 亦 即

h( g ( w( x))) 之導函數 dh dh dg dw    dx dg dw dx 餘此類推

1 若 f ( x)  ( x 2  3x  1)5 , 求 f '( x)  ?

由於 f ( x) 可視為 g (h)  h5 與 h( x)  x 2  3x  1 ，二者之合成，即 f ( x)  g (h( x))  g ( x 2  3x  1)  ( x 2  3 x  1)5 ，

066 應用微積分 Applied Calculus

對合成函數之導函數，可採用上述連鎖律公式，即

f '( x) 

df dg dh   ，而式中 h( x)  x 2  3x  1 dx dh dx

故 f '( x)  5  h 4  ( x 2  3x  1) '  5( x 2  3x  1) 4  (2 x  3)

2 f ( x)  ( x 2  ( x 3  2 x 2  5 x  3) 4 )5 ，求 f '( x)  ?

由於 f ( x) 可視為 g (h)  h5 與 h( x)  x 2   x 3  2 x 2  5 x  3 ，二者之合 4

成，即 f ( x)  g (h( x))，對合成函數之導函數，可採用上述連鎖律公式， 即： f '( x)  5  ( x 2  ( x 3  2 x 2  5 x  3) 4 ) 4  (2 x  4( x3  2 x 2  5 x  3)3 (3 x 2  4 x  5))

2 由上述諸例題結果可知，求合成函數之導函數所使用之連鎖律可 視為： 將原函數自最外層開始求導函數，逐層向內求導函數，直到最內 層求導函數為止。 例如上述例題 1 之最外層之形式為 (

)5 ，故導函數可得 5( ) 4 ，

最內一層為 ( x 2  3x  1) ，故其導函數為 (2 x  3) ，此時即完成此題之導 函數求解。而例題 2 之最外層為 (

)5 ，故導函數為 5( ) 4 ，次一層

為 x 2  ( x 3  2 x 2  5 x  3)4 ，故導函數為 (2 x  4( x 3  2 x 2  5 x  3)3 ) ，最內 一層為 ( x 3  2 x 2  5 x  3) ，故導函數為 (3 x 2  4 x  5) 。

067 第二章

導函數

3 若海面上一圓形油污之半徑以每秒 2 公分之速率增加，當此圓形油 污半徑增加到 3 公尺時，對應之油污面積之增加速率有多大？

由於圓形面積 A 與半徑 r 之關係為 A(r )   r 2 ，而 r 為時間 t 之函數， 且由題意知

dr dA  2 （公分/秒），今欲求 ， dt dt

dA dA dr dr    2 r   2  300  2  1200 （平方公分/秒） dt dr dt dt 此題為相關變率（related rates）的問題。

4 一正方形之各邊以每秒 2 公分之速率增長，當各邊長增長至 4 公分 時，求此正方形之面積之增加速率為多大？

令此正方形之面積為 A( x)  x 2 ，面積之增加速率為

dA dx 2 dx 2 dx dx     2x  （平方公分/秒）， dt dt dx dt dt 依題意

dx  2 ， x  4 ，代入可得， dt

dA dx  2x   8  2  16 （平方公分/秒）， dt dt 故此時正方形面積之增加速率為 16 平方公分/秒。

068 應用微積分 Applied Calculus

2-4-1

若 f ( x)  x 3  3 x 2  1 ，求 f '( x)  ? f '(2)  ?

2-4-2

若 f ( x)  2 x 2  x  5 ，求 f '( x)  ? f '(2)  ?

2-4-3

若 f ( x)   x 2  x  7  ，求 f '( x)  ? f '(1)  ?

2-4-4

若 f ( x) 

2-4-5

若 f ( x)   2 x 2  3  2 x  1 ，求 f '( x)  ? f '(1)  ?

2-4-6

 2x 1  若 f ( x)    ，求 f '( x)  ? f '(1)  ?  3x  4 

2-4-7

 4x  3  若 f ( x)   2  ，求 f '( x)  ? f '(1)  ?  3x  x  1 

2-4-8

一正立方體之各邊以每秒 2 公分之速率增長，當各邊長增

3

1

 2x

2

 3

2

，求 f '( x)  ? f '(2)  ?

3

4

3

4

長至 5 公分時，求此正立方體之體積之增加速率為多大？ 2-4-9

一球體之半徑以每秒 3 公分之速率增長，當此球體之半徑 增長至 5 公分時，求此球體之體積之增加速率為多大？

069 第二章

第五節

導函數

三角函數之導函數

為了後續之推導，本節先介紹挾擠原理（squeeze principle）。

1 挾擠原理（squeeze principle）： 對 任 意 三 個 函 數 f ( x ) ， g ( x ) ， h( x ) 而 言 ， 若 對 任 一 x 值 ，

f ( x)  g ( x)  h( x) 均 成 立 ， 且 lim f ( x)  L ， lim h( x)  L ， 則 x a

x a

lim g ( x)  L 。 x a

如下圖所示：

有了上述之挾擠原理，接著據以推導下面二個公式：

2 lim x 0

x sin x cos x 1  1  lim ，且 lim 0 x  0 x  0 sin x x x

070 應用微積分 Applied Calculus

先作四分之一圓（半徑為 1）如下：

由此圖可知：三個圖形之面積大小為： POM  扇形 PNO  QON

1 1 而三角形 POM 之面積為  OM  PM   cos x  sin x 2 2 1 扇形 PNO 之面積為  x 2 1 1 sin x QON 之面積為  ON  QN   tan x  2 2 2cos x 1 1 1 sin x 故 cos x  sin x  x   ， 2 2 2 cos x 將上式全部乘以 2，再全部除以 sinx，可得 cos x 

x 1  sin x cos x

當 x  0 ， lim cos x  1  lim

1 x ，依挾擠原理得知 lim 1， x  0 sin x cos x

當 x  0 ， lim cos x  1  lim

1 x ，依挾擠原理得知 lim 1， x  0 sin x cos x

x 0

x 0

x 0

x 0

x sin x  1  lim 。第一式得證。 x  0 sin x x 0 x

故知 lim 而 lim x 0

cos x  1 (cos x  1)  (cos x  1)  lim x  0 x x  (cos x  1)

071 第二章

cos 2 x  1  sin 2 x  lim x  0 x  (cos x  1) x 0 x  (cos x  1)

 lim

 sin x   sin x   lim   (1)    x 0  x   cos x  1  sin x sin x 0  (1) lim  lim  ( 1)  (1)  ( )  0 x 0 x  0 x cos x  1 2

1 求 lim x 0

lim x 0

sin 3x ?

2x

sin 3 x  sin 3 x  3 x   lim    x 0 2x  3x  2 x   sin 3 x  3  lim  ( ) x 0  3x  2 3 3  1    。 2 2

3 

 sin x 

 cos x

令 f ( x)  sin x ，依導函數之定義

導函數