ملزمة الرياضيات السادس العلمي الفرع الأحيائي الفصل الثاني 2017 الأستاذ علي حميد

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الثانً‪/‬المطوع المخروطٌة‬ ‫مستمٌم ثابت فً‬ ‫المطع المخروطً ‪ :‬لٌكن ) 𝟏 𝟏 ( نمطة ثابتة فً المستوي ولٌكن 𝟎‬ ‫المستوي نفسه لذا فان مجموعة كل النماط التً نسبة بعد كل منها عن النمطة ) 𝟏 𝟏 ( الى بعدها عن المستمٌم‬ ‫تساوي عدد ثابت ) ( تكون شكل هندسً ٌسمى بالمطع المخروطً أو هو مجموعة النمط‬ ‫𝟎‬ ‫التً بعدها عن نمطة معلومة ٌساوي بعدها عن مستمٌم معلوم‬ ‫حٌث ان لكل شكل مخروطً عدة مفاهٌم أساسٌة ٌتعٌن بها وهً ‪:‬‬ ‫① النمطة الثابتة‬

‫)𝟏‬

‫𝟏‬

‫( تسمى بإرة المطع المخروطً )‬

‫② المستمٌم الثابت 𝟎‬

‫ٌسمى دلٌل المطع المخروطً )‬

‫③ النسبة ) ( تسمى باالختالف المركزي )‬ ‫نوع القطع زائد‬

‫)𝟏‬

‫(‬

‫( حٌث أذا كان‬

‫نوع القطع ناقص‬

‫(‬

‫(‬

‫نوع القطع مكافئ‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫④ المسافة بٌن البإرة والدلٌل =| 𝟐|‬ ‫المطع المكافئ ‪:‬هو مجموعة النمط )‬ ‫( فً المستوي والتً ٌكون بعدها عن نمطة ثابتة )𝟎 ( تسمى‬ ‫مساوٌآ دائمآ لبعدها عن مستمٌم معلوم ) ( والذي ٌسمى الدلٌل وهو ال ٌحتوي البإرة‬ ‫البإرة حٌث 𝟎‬ ‫أو بمعنى أخر هو مجموعة من النمط داخل مستوي والتً ٌكون بعدها عن نمطة معلومة مساوٌا لبعدها عن مستمٌم‬ ‫معلوم ‪.‬‬ ‫معادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتمً لمحور السٌنات )‪ (x-axis‬والرأس فً نمطة األصل ‪:‬‬ ‫باستخدام التعرٌف ٌمكن أٌجاد المعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ باالعتماد على لانون البعد بٌن نمطتٌن‬ ‫)قانون البعد(‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫(√‬

‫) من تعرٌف القطع المكافئ (‬ ‫) تربٌع الطرفٌن(‬

‫𝟐)‬

‫𝟐)‬

‫(‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫(√‬ ‫𝟐‬

‫)المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ(‬

‫𝟐‬

‫𝟐)𝟎‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫(‬

‫𝟐)‬

‫𝟐‬

‫(√‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫وهذذذذ هذذذً المعادلذذذة المٌاسذذذٌة للمطذذذع المكذذذافئ الذذذذي بإرتذذذه تنتمذذذً لمحذذذور السذذذٌنات ( ‪ (x-axis‬والذذذرأس فذذذً‬ ‫نمطذذذذة األصذذذذل حٌذذذذث تسذذذذمى النمطذذذذة "‪ "O‬بذذذذرأس المطذذذذع المكذذذذافئ حٌذذذذث بإرتذذذذه )𝟎 (‬ ‫𝟎‬

‫حٌث‬

‫وبنفس األسلوب ٌمكن أثبات‬

‫‪62‬‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫ومعادلذذذذة دلٌلذذذذه‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫معادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتمً لمحور الصادات )‪ (y-axis‬والرأس فً نمطة األصل ‪:‬‬ ‫باستخدام التعرٌف ٌمكن أٌجاد المعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ باالعتماد على لانون البعد بٌن نمطتٌن‬ ‫)قانون البعد(‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫(√‬

‫) من تعرٌف القطع المكافئ (‬ ‫) تربٌع الطرفٌن(‬

‫𝟐)‬

‫(‬

‫𝟐)‬

‫𝟐‬

‫(√‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ(‬

‫𝟐)‬

‫𝟐)𝟎‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫(√‬

‫𝟒‬

‫وهذ هً المعادلة المٌاسٌة للمطذع المكذافئ الذذي بإرتذه تنتمذً لمحذور الصذادات‬ ‫األصل حٌث تسمى النمطة "‪ "O‬برأس المطع المكافئ حٌث بإرته ) 𝟎( ومعادلة دلٌله 𝟎‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫( (والذرأس فذً نمطذة‬

‫وبنفس األسلوب ٌمكن أثبات‬

‫𝟒‬

‫حٌذث‬

‫𝟐‬

‫نالحظ مما سبك انه ٌوجد معادلتٌن للمطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل )𝟎 𝟎( أحداهما عندما ٌكون على‬ ‫المحور السٌنً واألخرى عندما ٌكون على المحور الصادي والجدول أدنا ٌوضح ذلن ‪.‬‬ ‫(‬ ‫عىدما ٔكُن عهّ محُر انصاداث )‬ ‫(‬ ‫عىدما ٔكُن عهّ محُر انسٕىاث )‬ ‫(‬ ‫①البإرة تنتمً لمحور الصادات )‬ ‫(‬ ‫①انبؤرة تىتمٓ نمحُر انسٕىاث )‬ ‫②البإرة ) 𝟎( ومعادلة الدلٌل‬ ‫②انبؤرة )𝟎 ( َمعادنت اندنٕم‬ ‫③معادلة محور المطع هً 𝟎‬ ‫③معادنت محُر انمطع ٌٓ 𝟎‬ ‫④الدلٌل ٌوازي المحور السٌنً‬ ‫④اندنٕم ُٔاسْ انمحُر انصادْ‬ ‫⑤التناظر حول محور الصادات‬ ‫⑤انتىاظز حُل محُر انسٕىاث‬ ‫⑥المحور الصادي ٌنصف الدلٌل‬ ‫⑥المحور السٌنً ٌنصف الدلٌل‬ ‫⑦ المانون‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫⑦ المانون‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫مالحظات عامة ‪:‬‬ ‫❶ أشار البإرة عكس أشار الدلٌل والعكس صحٌح‬ ‫❷ المسافة بٌن البإرة والدلٌل = ‪2p‬‬ ‫❸ كل نمطة تنتمً للمطع المكافئ فهً تحمك معادلته (أي أن المطع المكافئ ٌمر بها )‬ ‫❹ كل نمطة تنتمً للمطع المكافئ بعدها عن البإرة ٌساوي بعدها عن الدلٌل‬ ‫𝟒‬ ‫❺ رأس المطع المكافئ هو نمطة االصل ومعادلة الممٌز الخاصة به هً )𝟎‬ ‫❻ الجدول أدنا ٌوضح تفاصٌل أكثر عن معادالت المطع المكافئ‬ ‫البإرة‬ ‫الدلٌل‬ ‫المحور‬ ‫أتجا المطع‬ ‫التناظر‬ ‫)𝟎 (‬ ‫الٌمٌن‬ ‫‪x-axis‬‬ ‫‪x-axis‬‬ ‫(‬ ‫الٌسار‬ ‫)𝟎‬ ‫‪x-axis‬‬ ‫‪x-axis‬‬ ‫) 𝟎(‬ ‫األعلى‬ ‫‪y-axis‬‬ ‫‪y-axis‬‬ ‫𝟎(‬ ‫)‬ ‫األسفل‬ ‫‪y-axis‬‬ ‫‪y-axis‬‬

‫‪63‬‬

‫𝟐‬

‫(‬ ‫المعادلة‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫مثال )‪ /)1‬جد البإرة ومعادلة دلٌل المطع المكافئ‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫الحل ‪/‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬ ‫𝟒‬

‫) بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت(‬ ‫𝟖‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫انبؤرة )𝟎 𝟐 (‬ ‫معادنت اندنيم 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟖‬

‫(‬

‫)𝟎‬

‫مثال )‪ /)2‬جد معادلة المطع المكافئ أذا علم ‪ :‬أ ) بإرته )‪ (3,0‬والرأس فً نمطة األصل ‪.‬‬ ‫ب ) معادلة الدلٌل 𝟎‬ ‫الحل ‪/‬‬

‫𝟔‬

‫𝟐 ورأسه فً نمطة األصل ‪.‬‬

‫أ)‬ ‫) انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ(‬

‫البؤرة )𝟎 𝟑( )𝟎 (‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟏‬ ‫___________________________‬ ‫ب)‬

‫معادنت انقطع انمكافئ‬

‫مثال )‪ /)3‬جد بإرة ومعادلة دلٌل المطع المكافئ‬

‫𝟒‬

‫الحل ‪/‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫)𝟑(𝟒‬

‫معادلة الدلٌل 𝟎 𝟔‬ ‫𝟔‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟑(𝟒‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫ثم أرسمه‬ ‫) بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ(‬

‫𝟏‬ ‫معادنت اندنيم‬ ‫√𝟐‬

‫𝟐‬ ‫√𝟐‬

‫‪64‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫‪2‬‬

‫𝟎‬ ‫𝟎‬

‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫انبؤرة )𝟎 𝟏(‬ ‫𝟏‬ ‫)𝟏(𝟒‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫)𝟎 (‬ ‫‪4‬‬

‫𝟐‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال )‪ /)4‬بؤستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ أذا علم أن بإرته )𝟎 𝟑√( والرأس فً نمطة األصل ‪.‬‬ ‫الحذذل ‪ /‬البذذإرة )𝟎 𝟑√( ولذذتكن النمطذذة )‬ ‫( نمطذذة تنتمذذً الذذى منحنذذً المطذذع المكذذافئ ولذذتكن النمطذذة‬ ‫) 𝟑√ ( هً نمطة تماطع العمود المرسوم من ) ( على الدلٌل ⃡ فمن تعرٌف المطع المكافئ‬ ‫) من تعرٌف القطع المكافئ (‬ ‫) تربٌع الطرفٌن(‬

‫𝟐)‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫(√‬

‫)𝟑√‬

‫𝟐)𝟎‬

‫𝟐‬

‫) 𝟑√‬

‫𝟑‬

‫𝟑√𝟐‬

‫(‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫)𝟑√‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫مثال )‪ /)5‬جد البإرة ومعادلة دلٌل المطع المكافئ‬ ‫الحل ‪/‬‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟎‬

‫) وقسم طرفي انمعادنت عهى 𝟑(‬

‫) 𝟑√‬ ‫𝟑√𝟐‬

‫معادنت انقطع انمكافئ‬

‫𝟐‬

‫(√‬ ‫(‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑√𝟒‬

‫𝟑‬ ‫𝟒𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟐‬ ‫𝟖‬ ‫𝟒‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫) بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ(‬ ‫𝟖‬ ‫𝟒‬ ‫𝟖‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫) 𝟎(‬ ‫انبؤرة )𝟐 𝟎(‬ ‫معادنت اندنيم 𝟐‬

‫مثال )‪ /)6‬جد معادلة المطع المكافئ أذا علم ‪ :‬أ ) بإرته )𝟓 𝟎( ورأسه فً نمطة األصل ‪.‬‬ ‫ب ) معادلة الدلٌل 𝟕‬ ‫الحل ‪/‬‬

‫ورأسه فً نمطة األصل ‪.‬‬

‫أ)‬ ‫) انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ(‬

‫البؤرة )𝟓 𝟎( ) 𝟎(‬ ‫𝟐‬ ‫𝟓‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫معادنت انقطع انمكافئ 𝟎𝟐‬ ‫___________________________‬ ‫ب)‬ ‫) انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ(‬ ‫معادنت انقطع انمكافئ‬

‫‪65‬‬

‫)𝟓(𝟒‬

‫) بانمقاروت مع معادنت اندنيم(‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫𝟖𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟕(𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟕‬ ‫𝟕‬ ‫𝟐‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫مثال )‪ /)7‬جد معادلة المطع المكافئ الذي ٌمر بالنمطتٌن ) 𝟒 𝟐( )𝟒‬ ‫الحل ‪/‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐( ورأسه نمطة األصل‬

‫ثابتة لم تتغٌر )‬

‫النمطتان متناظرتان حول محور السٌنات (ألن لٌمة‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫انمعادنت انمٕاسٕت نهمطع انمكافئ ٌٓ‬ ‫وعُض أحدِ انىمطتٕه انهتٕه تحممان معادنت انمطع انمكافئ ألوً ٔمز بٍا َنتكه انىمطت )𝟒 𝟐(‬ ‫𝟔𝟏‬ ‫𝟖‬

‫𝟐‬ ‫معادنت انقطع انمكافئ‬

‫𝟖‬ ‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟐)𝟒(‬

‫)𝟐( 𝟒‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐‬

‫)𝟐(𝟒‬

‫𝟒‬

‫مثال )‪ /)8‬جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌمر دلٌل المطع المكافئ بالنمطة )𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟑(‬

‫الحل‪ٌ /‬وجد أحتمالٌن للمعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ لعدم تحدٔد انبؤرة ‪َ ,‬االحتمانٕه ٌما ‪:‬‬ ‫ثانٌا ‪ :‬البإرة تنتمً لمحور السٌنات‬ ‫أوال ‪ :‬البإرة تنتمً لمحور الصادات‬ ‫𝟒‬ ‫) المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ(‬ ‫)معادلة الدلٌل( 𝟓‬ ‫𝟓‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫)𝟓(𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫𝟎𝟐‬ ‫معادنت انقطع انمكافئ‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫) المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ(‬ ‫)معادلة الدلٌل( 𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫)𝟑 (𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫معادنت انقطع انمكافئ‬

‫تمارين)𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐(‬

‫س ‪ / 1‬جد المعادلة للمطع المكافئ فً كل مما ٌؤتً ثم أرسم المنحنً البٌانً لها ‪:‬‬ ‫( أ ) البإرة )𝟎 𝟓( والرأس فً نمطة األصل‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫المعادلة القٌاسٌة‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟐‬ ‫𝟏‬

‫√‪2‬‬

‫‪66‬‬

‫‪2√5‬‬

‫معادنت اندنيم‬ ‫)𝟓(𝟒‬ ‫𝟐𝒚‬ ‫𝟎‬ ‫𝟎‬

‫𝒙‬

‫𝟓‬ ‫𝟐‬

‫𝒚‬

‫)𝟎 𝟓(‬ ‫𝟓‬ ‫𝟐‬ ‫𝒚‬ ‫𝟒‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫( ب ) البإرة )𝟒‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟎( والرأس فً نمطة األصل‬

‫الحل‪/‬‬

‫𝟎(‬

‫)𝟒‬ ‫المعادلة القٌاسٌة‬

‫معادنت اندنيم‬ ‫)𝟒(𝟒‬

‫‪𝑥2‬‬

‫𝟔𝟏‬ ‫‪4‬‬

‫‪4√2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪𝑥2‬‬

‫𝟒‬

‫‪y‬‬

‫‪𝑥2‬‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬ ‫𝟎‬

‫‪2‬‬

‫( ج ) البإرة ) 𝟐√ 𝟎( والرأس فً نمطة األصل‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫معادنت اندنيم 𝟐√‬ ‫المعادلة القٌاسٌة )𝟐√(𝟒‬ ‫‪2√2‬‬

‫( د ) معادلة دلٌل المطع المكافئ 𝟎‬ ‫الحل‪/‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪𝑥2‬‬

‫𝟎‬

‫𝟐√√‪2‬‬

‫𝟎‬

‫𝟐√‬

‫𝟑‬

‫) 𝟐√ 𝟎(‬ ‫𝟐√‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝟒‬

‫𝟒 والرأس فً نمطة األصل‬ ‫معادنت اندنيم‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫البؤرة‬ ‫المعادلة القٌاسٌة‬ ‫‪√6‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟑√‬

‫‪67‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪𝑥2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫𝟒‬ ‫𝟎‬ ‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫‪p‬‬ ‫‪𝑥2‬‬

‫𝟒‬

‫‪𝑥2‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س ‪ / 2‬فً كل مما ٌؤتً جد البإرة والرأس ومعادلتً المحور والدلٌل للمطع المكافئ ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫الحل‪/‬‬

‫البؤرة)𝟏 𝟎(‬ ‫) معادلة الدلٌل(‬

‫الرأس)𝟎 𝟎(‬

‫𝑝‬

‫𝟏‬

‫) معادلة المحور(‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫الحل‪/‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫البؤرة )𝟎 𝟐𝟑 (‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟏‬

‫‪p‬‬

‫𝟖‬

‫س ‪ / 3‬جد معادلة المطع المكافئ المار بالنمطتٌن )𝟓 𝟐( )𝟓‬ ‫الحل‪ ∵ /‬النمطتان متناظرتان حول المحور السٌنً‬

‫𝟐‬

‫) معادلة المحور(‬

‫𝟒‬

‫𝟐 ) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝟑‬

‫) معادلة الدلٌل(‬

‫الرأس)𝟎 𝟎(‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬ ‫𝟎‬

‫𝟎‬

‫) (‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟐( والرأس فً نمطة األصل‬

‫البإرة تنتمً لمحور السٌنات والمانون )‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫(‬

‫النمطتان تحممان المعادلة الن المطع المكافئ ٌمر بهما لذا نؤخذ النمطة )𝟓 𝟐( ونعوضها فً المعادلة المٌاسٌة‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟖‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟐‬

‫معادلة القطع المكافئ‬

‫𝒑𝟖‬

‫𝒑‬

‫)𝟐( 𝟒‬

‫𝟓𝟐‬ ‫‪25‬‬ ‫‪8‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐)𝟓(‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫س ‪ / 4‬أذا كان دلٌل المطذع المكذافئ ٌمذر بالنمطذة )𝟒 𝟑 ( والذرأس فذً نمطذة األصذل جذد معادلتذه علمذا أن بإرتذه‬ ‫تنتمً ألحد المحورٌن‬ ‫الحل‪ ∵ /‬الدلٌل ٌمر بالنمطة )𝟒 𝟑 (‬

‫( والثانً )𝟒‬

‫هنان دلٌالن هما األول )𝟑‬

‫(‬

‫هنان لطعان مكافئان‬ ‫المطع المكافئ األول ( البإرة تنتمً لمحور السٌنات)‬ ‫𝟑‬

‫المانون‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫المطع المكافئ الثانً ( البإرة تنتمً لمحور الصادات)‬ ‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬ ‫)𝟑(𝟒‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫‪68‬‬

‫𝟒‬ ‫المانون‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟒(𝟒‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫س ‪ / 5‬لطع مكافئ معادلته 𝟎‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫ٌمر بالنمطة )𝟐 𝟏( جد لٌمة ‪ A‬ثم جد بإرته ودلٌله وأرسم المطع‬

‫الحل‪ ∵ /‬المطع المكافئ ٌمر بالنمطة ) 𝟐 𝟏(‬

‫وزاري ‪ / 2011‬د‪1‬‬

‫النمطة ) 𝟐 𝟏( تحمك معادلة المطع المكافئ )𝟎‬ ‫)𝟔𝟏‬

‫(‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟎‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫‪6‬‬

‫(‬ ‫‪6‬‬

‫)بالمقارنة مع المعادلة القٌاسٌة‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫‪A‬‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫معادلة الدلٌل‬ ‫𝟖‬

‫)𝟐(𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟖‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝒑‬

‫𝟏‬ ‫البؤرة‬ ‫𝟖‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬

‫𝟐)𝟏(‬

‫‪F‬‬

‫𝟐‬

‫𝒑𝟒‬

‫)𝑝 (‪F‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐√‬ ‫𝟐‬

‫س ‪ / 6‬باستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ ‪:‬‬ ‫( أ ) البإرة )𝟎 𝟕( والرأس فً نمطة األصل‬ ‫الحل‪/‬‬

‫معادلة الدلٌل‬

‫𝟕‬

‫𝟕‬

‫𝒙‬

‫) تعرٌف القطع المكافئ(‬ ‫)بتربٌع الطرفٌن( 𝟐)‬

‫(‬

‫𝟐)𝟕‬

‫(√‬ ‫𝟐)𝟕‬

‫𝟗𝟒‬ ‫) معادلة القطع المكافئ(‬

‫‪69‬‬

‫𝟐)𝟎‬ ‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟏‬ ‫𝟖𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐)𝟎‬ ‫𝟐‬

‫𝟐)𝟕‬ ‫𝟐)𝟕‬

‫(‬ ‫𝟗𝟒‬

‫𝟒𝟏‬

‫(√‬

‫𝟒𝟏‬ ‫𝟐‬

‫(‬ ‫𝟐‬

‫𝟒𝟏‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫( ب ) معادلة الدلٌل 𝟑√‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫والرأس فً نمطة األصل‬

‫الحل‪/‬‬

‫𝑝‬

‫𝟑√‬

‫𝟑√‬

‫البؤرة )𝟑√‬

‫)‬

‫𝟎(‬

‫𝟎(‬

‫) تعرٌف القطع المكافئ(‬ ‫)بتربٌع الطرفٌن(‬

‫𝟐‬

‫)𝟑√‬

‫(√‬ ‫)𝟑√‬

‫(‬

‫)𝟑√‬

‫𝟑‬

‫𝟑√𝟐‬

‫𝟐)‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫)𝟑√‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫) معادلة القطع المكافئ(‬

‫𝟐‬

‫𝟑√𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟑√𝟒‬

‫(√‬

‫𝟐)𝟎‬

‫(‬ ‫𝟐‬

‫𝟑√𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑√𝟐‬

‫𝟐‬

‫******************************************************************‬

‫أمثلة أضافٌة محلولة‬ ‫مثال ‪ /‬جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌحمك الشروط التالٌة ‪:‬‬ ‫)‪ (1‬بإرته )𝟎 𝟓(‬ ‫انحم ‪ /‬البإرة تنتمً لمحور السٌنات‬ ‫𝟎‬

‫معادلة المطع المكافئ هً‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟓(𝟒‬

‫)‪ (2‬بإرته )𝟑 𝟎(‬ ‫انحم ‪ /‬البإرة تنتمً لمحور الصادات‬ ‫𝟎‬

‫)‪ (3‬معادلة دلٌله 𝟎‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫معادلة المطع المكافئ هً‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫)𝟑(𝟒‬

‫𝟒‬ ‫)𝟎 𝟓(‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟎 (‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫)𝟑 𝟎(‬

‫𝟑‬

‫) 𝟎(‬

‫𝟐‬

‫انحم ‪/‬‬ ‫البؤرة )𝟑‬

‫𝟎(‬

‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟔‬ ‫𝟒‬

‫معادلة القطع المكافئ‬

‫‪70‬‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫)𝟑 (𝟒‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫)‪ (4‬بإرته تنتمً لمحور الصادات وٌمر بالنمطة )‬

‫𝟏‬

‫𝟐√(‬

‫𝟐‬

‫معادلة المطع المكافئ هً‬ ‫البإرة تنتمً لمحور الصادات‬ ‫𝟏‬ ‫النمطة ) 𝟐√( تنتمً للمطع فهً تحمك معادلته‬

‫انحم ‪/‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫معادلة القطع المكافئ‬

‫)‪ٌ (5‬مر بالنمطتٌن )𝟓√‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟏(𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫)𝟐√(‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟏( )𝟓√𝟐 𝟏( جد معادلته ومعادلة دلٌله‬

‫انحم ‪ /‬النمطتٌن متناظرتان حول محور السٌنات (ألن لٌمة ‪ x‬ثابتة لم تتغٌر )‬

‫معادنتً ٌٓ‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫∴ وعُض أحدِ انىمطتٕه ألوً ٔمز بٍا‬ ‫معادنت اندنيم‬

‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫معادلة القطع المكافئ‬

‫𝟒‬ ‫𝟎𝟐‬

‫)‪ (6‬بؤرتً تىتمٓ نمحُر انسٕىاث َدنٕهً ٔمز بانىمطت )𝟒 𝟐(‬ ‫معادنت انمطع انمكافئ ٌٓ‬ ‫بؤرتً تىتمٓ نمحُر انسٕىاث‬ ‫انحم ‪/‬‬ ‫دنٕهً ٔمز بانىمطت )𝟒‬

‫𝟐( نذا فأن‬

‫معادلة القطع المكافئ‬

‫𝟐‬

‫انحم ‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫مزكش اندائزة= )‬

‫)معامم‬ ‫𝟐‬

‫)معامم‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫( =)‬

‫)𝟒 (‬ ‫𝟐‬

‫َ انبؤرة تىتمٓ نمحُر انصاداث َمعادنت انمطع انمكافئ ٌٓ‬ ‫معادلة القطع المكافئ‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫)𝟐 (𝟒‬

‫)‪ (7‬رأسً ومطت األصم َبؤرتً مزكش اندائزة انتٓ معادنتٍا 𝟎‬ ‫(‬

‫)𝟓(𝟒‬

‫)𝟓√𝟐(‬

‫𝟒‬

‫ٌٓ معادنت اندنٕم ألن اندنٕم ٔمطع األحداثٓ انسٕىٓ‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫)𝟏( 𝟒‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐 ( = )𝟐 𝟎( = انبؤرة‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫)𝟐(𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫َٔمز بانىمطت ) 𝟏 𝟐 (‬ ‫)‪ (8‬دنٕهً ُٔاسْ انمحُر انصادْ َمعادنت محُري 𝟎‬ ‫اندنٕم ُٔاسْ انمحُر انصادْ َٔمز بانىمطت ) 𝟏 𝟐 (‬ ‫انحم ‪/‬‬ ‫اندنٕم ٔمطع األحداثٓ انسٕىٓ انسانب َانبؤرة تمع عهّ األحداثٓ انسٕىٓ انمُجب‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫معادنت انمطع انمكافئ ٌٓ‬ ‫انمطع ٔمز بانىمطت ) 𝟏 𝟐 ( نذا فٍٓ تحممً‬ ‫𝟏‬ ‫𝟖‬

‫𝟖‬

‫𝟏‬

‫معادلة القطع المكافئ‬

‫‪71‬‬

‫𝟐)𝟏(‬

‫)𝟐 ( 𝟒‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟖‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫)‪ٔ (9‬مطع مه انمستمٕم 𝟒‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫لطعت طُنٍا )𝟎𝟏( وحداث‬

‫انحم ‪/‬‬ ‫رأسي انقطع انمكافئ )𝟓‬

‫انتىاظز حُل محُر انسٕىاث‬

‫𝟒()𝟓 𝟒(‬

‫معادنت انمطع انمكافئ‬

‫𝟓‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟓𝟐‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟎𝟏‬

‫َانىمطت )𝟓 𝟒( تحممً‬ ‫𝟐)𝟓(‬

‫)𝟒( 𝟒‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫مثال ‪ /‬جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌحمك الشروط التالٌة‬ ‫𝐢𝟐‪𝟒+‬‬ ‫𝐳‬ ‫)‪ (1‬بإرته الصٌغة الدٌكارتٌة للعدد‬ ‫𝐢 𝟐‬

‫انحم ‪/‬‬

‫الصٌغة الدٌكارتٌة )𝟎 𝟐 (‬

‫𝟎𝟏‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫معادلة القطع المكافئ‬

‫𝒊𝟒 𝒊𝟒‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝐩‬

‫𝒙𝟖‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝒊 𝟐 𝐢𝟐 𝟒‬ ‫𝟖‬ ‫𝐳‬ ‫×‬ ‫𝐢 𝟐‬ ‫𝒊 𝟐‬ ‫البؤرة )𝟎 𝒑( )𝟎 𝟐 (‬

‫𝒙)𝟐 (𝟒‬

‫𝒙𝒑𝟒‬

‫)‪ (2‬بإرته تنتمً ألحد المحورٌن ودلٌله ٌمر بالنمطة )‪(3,4‬‬ ‫انحم ‪/‬‬ ‫ٌوجد دلٌالن 𝟒 𝒑‬ ‫∵ الدلٌل ٌمر بالنمطة )‪ (3,4‬ولم ٌحدد الي المحورٌن ٌوازي‬ ‫ٌوجد بإرتان االولى )𝟒 𝟎( والثانٌة )𝟎 𝟑 ( مما ٌعنً وجدود لطعان مكافئان‬ ‫معادلة القطع المكافئ األول‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝒙𝟐𝟏‬

‫معادلة القطع المكافئ انثاوي‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝒚𝟔𝟏‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟑‬

‫𝒑‬

‫𝒙)𝟑(𝟒‬

‫𝒙𝒑𝟒‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝒚)𝟒(𝟒‬

‫𝒚𝒑𝟒‬

‫𝟐𝒙‬

‫)‪ٌ (3‬مر برإوس المثلث ‪ ABC‬حٌث )𝒎 𝟐(𝑪 )𝟒 𝟐 (𝑩 )𝟎 𝟎(𝑨 ثم أوجد لٌمة ‪m‬‬ ‫∵ النمطة )‪ (2,m‬تمع أما فً الربع األول أو الرابع‬ ‫انحم ‪/‬‬ ‫النمطة )‪ (2,m‬للربع األول لكً ٌتحمك المطع‬ ‫البإرة تمع على المحور الصادي و المانون 𝒚𝒑𝟒‬ ‫∵ المطع ٌمر بالنمطة )𝟒 𝟐 ( فهً تحممه‬ ‫معادنت انقطع 𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟏‬ ‫𝒚‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝒚𝒑𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝐩‬

‫)𝟒(𝒑𝟒‬

‫𝒑‬

‫𝟐)𝟐 (‬

‫∵ النمطة )‪ (2,m‬تمع على المطع لذا فهً تحمك معادلة المطع‬ ‫𝟒‬

‫)‪ (4‬رأسه نمطة األصل ومعادلة دلٌله 𝟎‬

‫𝟑√‬

‫𝐦‬

‫𝟐)𝟐(‬

‫𝐦‬

‫𝒚𝟐‬

‫انحم ‪/‬‬ ‫𝟑√‬ ‫𝟐‬

‫𝟑√‬ ‫𝟐‬

‫𝐩‬

‫معادلة القطع المكافئ‬

‫‪72‬‬

‫𝐲‬ ‫𝒚𝟑√𝟐‬

‫𝟑√‬ ‫𝟐𝒙‬

‫𝐲𝟐‬ ‫𝟑√‬ ‫𝒚‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬ ‫𝟒‬

‫𝟑√‬

‫𝒚𝒑𝟒‬

‫𝒚𝟐‬ ‫𝟐𝒙‬

โ ซุฃุนู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุฏุงุฏโ ช /โ ฌุงุฃู ุณุชุงุฐ ุนู ู ุญู ู ู ู ู ู ู ู ุฏโ ฌ

โ ซุงู ู ุตู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุงู ุซุงู ู โ ช /โ ฌุงู ู ุทู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุน ุงู ู ุฎุฑู ุทู ุฉโ ฌ

โ ซ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ ฌ

โ ซุณ โ ช : 1โ ฌู ู ู ู ู ู ุง ู ุคุชู ุฌุฏ ุงู ุจุฅุฑุฉ ู ู ุนุงุฏู ุชู ุงู ู ุญู ุฑ ู ุงู ุฏู ู ู ู ู ู ุทุน ุงู ู ู ุงู ุฆ โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ๐ โ ฌ

โ ซ) (โ ฌ

โ ซ๐ โ ฌ

โ ซ๐ โ ฌ

โ ซ) (โ ฌ

โ ซ๐ ๐ โ ฌ

โ ซ๐ โ ฌ

โ ซ) (โ ฌ

โ ซ๐ โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ

โ ซุณ โ ช : 2โ ฌุฃุฐุง ู ุงู ุฏู ู ู ุงู ู ุทุน ุงู ู ู ุงู ุฆ ู ู ุฑ ุจุงู ู ู ุทุฉ )๐ ๐ ( ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู ู ุฌุฏ ู ุนุงุฏู ุชู ุนู ู ุง ุฃู ุจุฅุฑุชู ู ู ู ู ู ู โ ฌ โ ซุชู ุชู ู ุฃู ุญุฏ ุงู ู ุญู ุฑู ู โ ฌ โ ซุณ โ ช :3โ ฌู ู ู ู ู ู ุง ู ุคุชู ุฌุฏ ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ู ุทุน ุงู ู ู ุงู ุฆ ุงู ุฐู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ(ุฃ) ุจุฅุฑุชู )๐ ๐ ( ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ(ุจ) ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ุฏู ู ู ู ู ๐ โ ฌ

โ ซ๐ โ ฌ

โ ซ๐ ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ช.โ ฌโ ฌ

โ ซ(ุฌ) ุจุฅุฑุชู ุชู ุชู ู ู ู ุญู ุฑ ุงู ุณู ู ุงุช ู ู ู ุฑ ุจุงู ู ู ุทุฉ )๐ ๐ ( ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ(ุฏ) ุจุฅุฑุชู ุชู ุชู ู ู ู ุญู ุฑ ุงู ุณู ู ุงุช ู ุฏู ู ู ู ู ู ุฑ ุจุงู ู ู ุทุฉ )๐ ๐ ( ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ(ุจ) ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ุฏู ู ู ู ู ๐ โ ฌ

โ ซ๐ โ โ ฌ

โ ซ๐ ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ช.โ ฌโ ฌ

โ ซุณ โ ช : 4โ ฌุจุคุณุชุฎุฏุงู ุงู ุชุนุฑู ู ุฌุฏ ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ู ุทุน ุงู ู ู ุงู ุฆ ุงู ุฐู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ( ุฃ ) ุจุฅุฑุชู )๐ ๐ ( ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ฌ โ ซู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ฌ โ ซ( ุจ ) ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ุฏู ู ู ๐ ๐ โ ฌ

โ ซโ ช73โ ฌโ ฌ

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫المطع النالص( الرأس فً نمطة األصل ) ‪:‬‬ ‫هو مجموعة نماط المستوي)‬ ‫تساوي عددا ثابتا لٌمته تساوي ) 𝟐(‬ ‫(‬

‫التً ٌكون مجموع بعدي أي نمطة منهذا عذن نمطتذٌن ثذابتتٌن تسذمٌان البإرتذان‬

‫معادلة المطع النالص الذي بإرتا تنتمٌان لمحور السٌنات )‪ (x-axis‬ومركز نمطة األصل‬ ‫) تعرٌف القطع الناقص(‬ ‫( 𝟐)‬ ‫(√ 𝟐)𝟎‬ ‫𝟐)𝟎‬ ‫(√‬ ‫( 𝟐)‬ ‫𝟐 𝟐)𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫)بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐)𝟎‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐) ( 𝟐)‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟒 (‬ ‫)بتربٌـــــــع الطرفٌن (‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫حٌث 𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐)‬

‫(‬ ‫(‬

‫𝟐)‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫(√ 𝟒 𝟐 𝟒‬ ‫𝟐) ( 𝟐)‬ ‫(√ 𝟒‬ ‫𝟒 𝟐 𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 𝟐 √‬ ‫𝟐 (𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫[‬

‫)𝟐‬ ‫)𝟐 𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 (𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫)𝟐‬

‫𝟐 (𝟐‬

‫(‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫) معادلة القطع الناقص ( 𝟏‬

‫حٌث أن )‬

‫( )‬

‫(√‬ ‫(√‬ ‫𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫]نفرض‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫وبإرتا هً )𝟎 ( 𝟏 )𝟎‬ ‫‪ ‬رأسا المطع النالص هما )𝟎 ( 𝟏 )𝟎‬ ‫(𝟐‬ ‫‪ ‬بذذذنفس األسذذذلوب ٌمكننذذذا أٌجذذذاد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي بإرتذذذا تنتمٌذذذان لمحذذذور الصذذذادات وهذذذً‬ ‫(𝟐‬

‫𝟏‬ ‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎( 𝟏‬

‫)‬

‫حٌذذذذث أن رأسذذذذذا المطذذذذذع النذذذذذالص همذذذذذا )‬ ‫𝟎( 𝟐‬

‫‪74‬‬

‫𝟎( 𝟏‬

‫)‬

‫𝟎( 𝟐‬

‫وبإرتذذذذذا هذذذذذً‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الحظ الشكل التالً ‪:‬‬

‫مالحظات ‪:‬‬ ‫① دائما )‬

‫( )‬

‫② طول المحور الكبٌر‬

‫𝟐‬

‫③ طول المحور الصغٌر‬ ‫④ البعد بٌن البإرتٌن‬ ‫⑤ دائما ٌكون‬

‫( حٌث أن )𝟎‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 √‬

‫⑥االختالف المركزي‬

‫( ولٌمة )‬

‫حٌث ٌالحظ أنه ٌكون )𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫√‬

‫⑦ مساحة المطع النالص‬ ‫𝟐 ‪𝟐+‬‬

‫⑧ محٌط المطع النالص‬

‫𝟐‬

‫√ 𝟐‬

‫𝟐𝟐‬

‫حٌث أن )‬ ‫𝟕‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫⑨ النسبة بٌن طول محورٌه‬ ‫⑩ أذا مر المطع بنمطة أحد إحداثٌاتها صفر فاإلحداثً الثانً هو أما ) ( أو ) ( واألكبر هو) ( واألصغر هو ) (‬ ‫⑪ الحظ الجدول أدنا ‪:‬‬ ‫لطع نالص بإرتا على محور السٌنات‬ ‫لطع نالص بإرتا على محور الصادات‬ ‫𝟐‬

‫المعادلة 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫البإرتان )‬ ‫الرأسان )‬ ‫𝟎( 𝟏‬

‫𝟎( 𝟏‬

‫المعادلة‬ ‫)‬ ‫)‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎( 𝟐‬

‫البإرتان )𝟎‬

‫(𝟏‬

‫)𝟎‬

‫(𝟐‬

‫𝟎( 𝟐‬

‫الرأسان )𝟎‬

‫(𝟏‬

‫)𝟎‬

‫(𝟐‬

‫‪75‬‬

‫(‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال (‪ /)9‬فً كل مما ٌؤتً جد طول كل من المحورٌن وأحداثً كل من البإرتٌن والرأسٌن واالختالف المركزي‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟒 ②‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫①‬

‫𝟓𝟐‬

‫الحل )‪(1‬‬

‫بالممارنة مع المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص‬ ‫𝟑‬

‫𝟗‬

‫‪c‬‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟏‬ ‫‪𝑎2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫البؤرتان )𝟎 𝟑‬

‫(𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫‪𝑎2‬‬

‫طول المحور الكبٌر‬

‫وحدة 𝟎𝟏‬

‫)𝟓(𝟐‬

‫𝟐‬

‫طول المحور الصغٌر‬

‫وحدة 𝟖‬

‫)𝟒(𝟐‬

‫𝟐‬

‫البعد البؤري‬

‫وحدة 𝟔‬

‫)𝟑(𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫‪b‬‬

‫)𝟎 𝟑(‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝑎‬

‫الرأسان )𝟎 𝟓‬

‫𝟏‬

‫االختالف المركزي‬

‫(𝟐‬

‫)𝟎‬

‫𝟓( 𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫الحل )‪(2‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫‪c‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟗‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟒‬ ‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫البؤرتان‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫)𝟗(‬ ‫‪𝑎2‬‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫)𝟑(‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑√‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟐 𝟗‬ ‫𝟒‬

‫‪b‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫طول المحور الصغٌر‬

‫وحدة‬ ‫𝟐‬ ‫الرأسان‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐 𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫) 𝟑(‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫)𝟑(‬

‫طول المحور الكبٌر‬

‫االختالف المركزي‬

‫‪76‬‬

‫×‬

‫وحدة‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝑎‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑√‬

‫𝟑√‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫)𝟑 (‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫)𝟑 (‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐 𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫)𝟑(‬

‫𝟒‬ ‫𝟗‬

‫‪𝑎2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫مثال (‪ /)10‬جد معادلــــــة المطع النالـــص الذي بإرتــــــا )𝟎‬ ‫)𝟎 𝟓( 𝟏 )𝟎 𝟓 ( 𝟐 ومركز نمطة االصل ‪.‬‬

‫𝟑( 𝟏‬

‫ورأســـــا النمطـــــتـــان‬

‫(𝟐‬

‫)𝟎 𝟑‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الحل‪/‬‬

‫∵ البإرتان والرأسان ٌمعان على محور السٌنات والمركز فً نمطة األصل ⇐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝑪‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐𝑪‬

‫𝟑‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟓‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒃‬

‫معادلة القطع الناقص‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝑪‬

‫𝟐𝒂‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟓𝟐‬

‫مثال (‪ /)11‬جد معادلـــة المطع النالــــــص الذي مركز نمطة األصل وٌنطبك محورا على المحورٌــــن اإلحداثٌ​ٌن‬ ‫وٌمطع من محور السـٌنات جزءا ً طوله )𝟖( وحدات ومن محور الصادات جزءا ً طوله )𝟐𝟏(وحدة‪,‬ثم‬ ‫جد المسافة بٌن البإرتٌن ومساحة منطمته ومحٌطه ‪.‬‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫)البؤرة تقع على الصادات( 𝟔𝟑‬ ‫‪6‬‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟔‬

‫𝒂‬

‫𝟐𝟏‬

‫‪𝑏2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪b‬‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟎𝟐‬

‫المحور الصغٌر‬

‫𝟐‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬ ‫𝟔𝟑‬

‫المحور الكبٌر‬

‫𝟐𝒚‬ ‫𝟔𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟓√𝟐‬ ‫) انمسافت بيه انبؤرتيه(‬ ‫)وحدة مربعة (‬ ‫𝟐𝟓‬ ‫√ ‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪24‬‬ ‫𝟔𝟏‬ ‫‪2‬‬

‫‪77‬‬

‫𝟎𝟐√‬

‫𝐜‬

‫𝟓√𝟒‬

‫𝟓√𝟐‬ ‫𝟔‬

‫𝐜𝟐‬ ‫انمساحت‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫√ ‪2‬‬

‫)وحدة (‬ ‫𝟓√‬ ‫𝟑‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒂‬

‫)‪(6)(4‬‬

‫𝟔𝟑‬ ‫√ ‪2‬‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟔𝟐√‪2‬‬

‫انمحيط‬ ‫𝐩‬

‫االختالف المركزي‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬ ‫𝟐‬

‫مثال (‪ /)12‬لتكن 𝟔𝟑‬ ‫)𝟎 𝟑√( جد لٌمة‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫معادلـــة لطع نالـــــــص مــركز نمطة األصـــــل وأحدى بإرتٌــــــــه‬ ‫وزاري ‪ / 2015‬د‪1‬‬

‫الحل‪/‬‬ ‫)𝟔𝟑 (‬ ‫𝟏‬

‫∵ البإرة )𝟎 𝟑√( تنتمً لمحور السٌنات‬

‫⇐ المانون‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪𝑎2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫𝟏‬ ‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟔𝟑‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝐤‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟗‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟒‬ ‫𝟔𝟑‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟑√‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒃‬

‫مثال (‪ /)13‬جد معادلـــة المطع النالــص الذي مركز نمطة األصل وبإرتا على محور الســــــٌنات والمسافة بٌن‬ ‫البإرتٌن )𝟔( وحدات والفرق بٌن طولً المحورٌن )𝟐( وحدة ‪.‬‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟓‬

‫𝒂‬

‫𝟒‬

‫𝐛‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟗‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟗‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐)‬

‫𝟏(‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫‪c‬‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟏‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟓𝟐‬

‫مثال (‪ /)14‬جد معادلـــة المطع النالـــص الذي مركز نمطــــــة األصــــل وأحدى بإرتٌه بإرة المطـــع المكافــــئ‬ ‫𝟐𝟏 𝟐 وطول محور الصغٌر ٌساوي )𝟎𝟏( وحدات ‪.‬‬ ‫𝟎‬ ‫الحل‪ /‬من المطع المكافئ المعطى ‪:‬‬ ‫البورة) ‪(3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪p‬‬

‫المطع النالص ‪ :‬البإرتان )𝟎 𝟑‬ ‫𝟒𝟑‬

‫‪𝑎2‬‬

‫‪2‬‬ ‫(𝟐‬

‫𝟗‬

‫‪4p‬‬ ‫)𝟎‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟑( 𝟏‬

‫⇐‬

‫‪𝑎2‬‬

‫) بانمقاروت مع(‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪𝑎2‬‬

‫𝟓‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫‪78‬‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟏‬ ‫𝟏‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟒𝟑‬

‫𝟐‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال (‪ /)15‬بؤستخدام التعرٌف ‪ ,‬جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا ‪:‬‬ ‫)𝟎 𝟐 ( 𝟐 والعدد الثابت 𝟔 ‪.‬‬ ‫)𝟎 𝟐( 𝟏‬

‫الحل‪/‬‬

‫) تعرٌف القطع الناقص(‬ ‫(√‬ ‫( 𝟐)𝟐‬ ‫(√ 𝟐)𝟎‬ ‫( 𝟐)𝟐‬ ‫)𝟑(𝟐 𝟐)𝟎‬ ‫𝟐‬ ‫)بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐‬ ‫(√‬ ‫𝟐)𝟐‬ ‫(√ 𝟔‬ ‫𝟐)𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫𝟐)𝟐‬ ‫(√𝟐𝟏 𝟔𝟑‬ ‫𝟐)𝟐‬ ‫𝟐)𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫(√𝟐𝟏 𝟔𝟑‬ ‫𝟐)𝟐‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟒 (‬ ‫(√𝟐𝟏‬ ‫𝟐)𝟐‬ ‫𝟖 𝟔𝟑‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫(√𝟑‬ ‫)𝟐‬ ‫𝟐 𝟗‬ ‫)بتربٌـــــــع الطرفٌن (‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟐‬ ‫(𝟗‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟔𝟑 𝟏𝟖‬ ‫𝟐 𝟒‬ ‫𝟔𝟑 𝟐 𝟗‬ ‫𝟔𝟑 𝟏𝟖 𝟐 𝟗 𝟔𝟑‬ ‫𝟐 𝟒‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟓‬ ‫𝟗‬ ‫𝟔𝟑 𝟏𝟖‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟓𝟒 (‬ ‫𝟓‬ ‫𝟗‬ ‫𝟓𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) معادلة القطع الناقص ( 𝟏‬

‫مالحظة‬ ‫لرسم لطع نالص ولٌكن المطع 𝟏‬ ‫① نعٌن النمطتٌن )𝟎‬ ‫② نعٌن النمطتٌن )‬

‫(𝟐‬ ‫𝟎( 𝟐‬

‫③ نصل بٌن النماط األربعة‬ ‫④ نعٌن البإرتٌن )𝟎‬

‫𝟐‬ ‫(𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟎‬

‫(𝟏‬

‫)‬

‫𝟎( 𝟏‬

‫𝟐‬

‫)𝟎‬

‫𝟏‬

‫نتبع الخطوات التالٌة ‪:‬‬

‫𝟏‬

‫بالترتٌب حتى ٌتكون منحنً متصل‬

‫(𝟏‬

‫‪79‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟗‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫تمارين)𝟐‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐(‬

‫س ‪ / 1‬عذٌن كذل مذن البذإرتٌن والرأسذٌن والمطبذٌن والمركذز ثذم جذد طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورٌن واالخذتالف‬ ‫المركزي نهمطُع انىالصت انمبٕىت معادالتٍا فٓ كم مما ٔأتٓ ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪ⓐ‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫الحل‪/‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐√‬

‫‪b‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪𝑏2‬‬

‫𝟏‬

‫𝑎‬

‫‪𝑎2‬‬

‫𝟏‬

‫وحدة 𝟐‬

‫)طىل انمحىرانكبير (‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐√‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒄‬

‫القطبٌن)طرفا المحور الصغٌر(‬

‫𝟏‬

‫معادلة المحور الكبٌر )𝟎‬

‫( ومعادلة المحور الصغٌر )𝟎‬

‫‪80‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐√‬

‫𝟏‬ ‫𝟐√‬ ‫𝟏‬

‫( والمركز )𝟎 𝟎(‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐√‬

‫𝟎‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐‬

‫(𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐‬

‫𝟐√‬

‫الرأسان )𝟎 𝟏‬ ‫البؤرتان 𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫وحدة 𝟐√‬

‫𝟐√‬

‫)𝟏(𝟐‬

‫𝒂𝟐‬

‫𝟐√‬

‫𝟐𝒄‬

‫)انمسافت بي انبؤرتيه (‬

‫𝟏‬ ‫)𝟐(‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫وحدة 𝟐√‬

‫)طىل انمحىرانصغير (‬

‫𝟐‬

‫)𝟎‬ ‫𝟎‬

‫𝟏( 𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐√‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐√‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫االختالف المركزي‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟕𝟏𝟏‬

‫𝟗 ‪ⓑ‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑𝟏‬

‫الحل‪ /‬بالمسمة على )𝟕𝟏𝟏(‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟗‬

‫‪b‬‬

‫‪𝑏2‬‬

‫𝑎‬

‫𝟑𝟏√‬

‫‪𝑎2‬‬

‫𝟑𝟏‬

‫)طىل انمحىرانكبير (‬

‫وحدة 𝟑𝟏√𝟐‬

‫)طىل انمحىرانصغير (‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟗‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟑𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒂‬

‫)انمسافت بي انبؤرتيه (‬

‫معادلة المحور الكبٌر )𝟎‬

‫)𝟑(𝟐‬

‫𝟐‬

‫(𝟐‬

‫القطبٌن )𝟑‬

‫( ومعادلة المحور الصغٌر )𝟎‬

‫)𝟑𝟏√(𝟐‬

‫𝟐𝒃‬

‫وحدة 𝟒‬

‫البؤرتان )𝟎 𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟑𝟏‬ ‫𝒂𝟐‬

‫𝟐𝒄‬

‫الرأسان )𝟎 𝟑𝟏√‬

‫𝟏‬

‫𝟗‬

‫وحدة 𝟔‬ ‫𝟐𝒄‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫)𝟐(𝟐‬ ‫)𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟑𝟏√( 𝟏‬

‫(𝟐‬

‫)𝟎 𝟐(‬

‫𝟏‬

‫𝟎( 𝟐‬

‫)𝟑 𝟎(‬

‫𝟏‬

‫االختالف المركزي‬

‫𝟑𝟏√‬

‫( والمركز )𝟎 𝟎(‬

‫س ‪ / 2‬جد المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص الذي مركز فً نمطة األصل فً كل مما ٌؤتً ‪:‬‬ ‫(أ) البإرتان هما النمطتان )𝟎 𝟓( و )𝟎 𝟓 ( وطول محور الكبٌر ٌساوي )𝟐𝟏(وحدة‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬ ‫𝟔𝟑‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐𝒄‬

‫)𝟎 𝟓‬ ‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟔‬

‫‪81‬‬

‫𝒂‬

‫𝟐𝒃‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫(𝟐‬

‫𝟐𝒄‬ ‫𝟏‬

‫)𝟎‬

‫𝟓( 𝟏‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒂‬

‫‪y2‬‬ ‫𝟏𝟏‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟔𝟑‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫(ب) البإرتان هما )𝟐‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟎( وٌتماطع مع محور السٌنات عند 𝟒‬

‫الحل‪/‬‬ ‫) البؤرتان تنتمٌان الى محور الصادات(‬

‫نمط التماطع مع محور السٌنات عند 𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟐‬

‫تمثل المطبٌن وهً )𝟎 𝟒( )𝟎 𝟒 (‬ ‫𝟐𝒂‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟎( 𝟐‬

‫⇐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐𝒄‬

‫𝟔𝟏‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫)𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎( 𝟏‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒃‬ ‫‪y2‬‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫(ج) أحدى بإرتٌه تبعد عن نهاٌتً محور الكبٌر بالعددٌن 𝟏 𝟓 وحدة على الترتٌب‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫‪𝑎2‬‬

‫𝟗‬ ‫𝟒‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫‪3‬‬ ‫‪𝑐2‬‬

‫𝟒‬

‫𝑎‬ ‫‪2‬‬

‫𝟗‬

‫𝟐𝒄‬

‫‪6‬‬ ‫𝑐‬

‫𝑎‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫𝟐𝒂‬

‫‪2c‬‬ ‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒃‬

‫هنان حالتٌن لمعادلة المطع النالص وهما ‪:‬‬ ‫عندما البإرتان تنتمً لمحور السٌنات‬ ‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫𝟏‬

‫‪y2‬‬ ‫𝟓‬

‫عندما البإرتان تنتمً لمحور الصادات‬ ‫𝟐𝒙‬ ‫𝟗‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫‪82‬‬

‫𝟏‬

‫‪y2‬‬ ‫𝟗‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟓‬

‫𝟐𝒂‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫(د) االختالف المركزي‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫وطول محور الصغٌر )𝟐𝟏( وحدة طولٌة‬

‫الحل‪/‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫‪c‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟔𝟑‬ ‫𝟖𝟒‬

‫𝟐‬

‫‪44‬‬

‫𝟐𝒂‪3‬‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒂 𝟒𝟒𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟐𝒂‪4‬‬

‫‪44‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝑐‬ ‫𝑎‬ ‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝒂‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝒃‬

‫𝟐‬

‫𝒂‬

‫هنان حالتٌن لمعادلة المطع النالص وهما ‪:‬‬ ‫عندما البإرتان تنتمً لمحور السٌنات‬ ‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫𝟏‬

‫‪y2‬‬ ‫𝟔𝟑‬

‫عندما البإرتان تنتمً لمحور الصادات‬ ‫𝟐𝒙‬ ‫𝟖𝟒‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟔𝟑‬

‫‪y2‬‬ ‫𝟖𝟒‬

‫(هـ) المسافة بٌن بإرتٌه تساوي )𝟖( وحدات ونصف محور الصغٌر ٌساوي )‪ (3‬وحدة‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫‪b2‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫𝟓𝟐‬

‫‪3‬‬ ‫‪c2‬‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝑏‬

‫𝟏‬ ‫) 𝟐(‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒂‬

‫هنان حالتٌن لمعادلة المطع النالص وهما ‪:‬‬ ‫عندما البإرتان تنتمً لمحور السٌنات‬ ‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫𝟏‬

‫‪y2‬‬ ‫𝟗‬

‫عندما البإرتان تنتمً لمحور الصادات‬ ‫𝟐𝒙‬ ‫𝟓𝟐‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫‪83‬‬

‫𝟏‬

‫‪y2‬‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟗‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س ‪ / 3‬باستخدام التعرٌف جد معادلة المطع النالص أذا علم ‪:‬‬ ‫‪ ⓐ‬بإرتا النمطتان )𝟐‬

‫𝟎( ومركز فً نمطة االصل ‪.‬‬

‫𝟎( ورأسا النمطتان )𝟑‬

‫الحل‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫) حسب التعرٌف(‬ ‫)𝟑(𝟐‬

‫𝟐)𝟐‬

‫𝟐)𝟎‬

‫(‬ ‫𝟔‬

‫) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐)𝟐‬

‫𝟐)𝟐‬

‫(‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟖‬

‫𝟐)𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫) ‪45‬‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫‪84‬‬

‫𝟔‬

‫𝟐)𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫√‬

‫√𝟐𝟏‬

‫𝟔𝟑‬ ‫𝟔𝟑‬

‫√‬

‫𝟐)𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫√‬

‫𝟗‬

‫𝟐)𝟎‬

‫(√‬ ‫√‬

‫𝟔𝟑‬

‫) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(‬

‫𝟏𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟒‬

‫)𝟒 (‬

‫𝟏𝟖‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫(‬ ‫𝟐‬

‫𝟐)𝟐‬

‫(√‬

‫𝟐)𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫)𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐)𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫√𝟐𝟏‬ ‫√𝟑‬

‫𝟐‬

‫(𝟗‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟏𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫(‬

‫𝟓𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟔𝟑‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫‪5‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪ ⓑ‬المسافة بذٌن البذإرتٌن )𝟔( وحذدة والعذدد الثابذت )𝟎𝟏( والبإرتذان تمعذان علذى محذور السذٌنات ومركذز فذً‬ ‫نمطة االصل ‪.‬‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫البؤرتان )𝟎 𝟑 (‬ ‫الراسان)𝟎 𝟓 (‬

‫𝟑‬

‫𝟔‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫وباالعتماد على تعرٌف المطع النالص‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟓(𝟐‬

‫𝟐)𝟎‬

‫) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(‬ ‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐)𝟑‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐)𝟎‬

‫(√‬ ‫𝟐)𝟑‬

‫𝟐)𝟑‬

‫(√‬

‫𝟐‬

‫𝟐)𝟑‬

‫(√‬

‫(√‬

‫𝟐‬

‫𝟐)𝟑‬

‫(√‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐)𝟑‬

‫(√‬

‫𝟐)𝟑‬

‫(√𝟎𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟏‬

‫)𝟒 (‬

‫𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟐𝟏‬

‫(‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟗‬ ‫𝟐)𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝟐)𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(‬ ‫)𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟔‬ ‫𝟗‬ ‫𝟗‬ ‫𝟎𝟓𝟏‬ ‫𝟓𝟐𝟔‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟎𝟓𝟏‬ ‫𝟓𝟐 𝟓𝟐𝟐‬ ‫𝟗‬ ‫𝟎𝟓𝟏‬ ‫𝟓𝟐𝟔‬ ‫𝟐‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟓𝟐𝟐 𝟓𝟐𝟔‬ ‫)𝟎𝟎𝟒 (‬ ‫𝟎𝟎𝟒 𝟐 𝟓𝟐‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫‪85‬‬

‫𝟏‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫‪6‬‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫(√𝟎𝟐‬ ‫(√𝟓‬ ‫𝟐 (𝟓𝟐‬ ‫𝟐 𝟓𝟐‬ ‫𝟐 𝟔𝟏‬ ‫𝟐 𝟔𝟏‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫‪25‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪2‬‬ ‫س ‪ / 4‬جذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز فذذً نمطذذة االصذذل واحذذدى بإرتٌذذه هذذً بذذإرة المطذذع المكذذافئ‬ ‫الذي معادلته )𝟎‬ ‫𝟖 𝟐 ( علما ان المطع النالص ٌمر بالنمطة )𝟑√ 𝟑√𝟐(‬ ‫الحل‪ /‬فً المطع المكافئ ‪:‬‬ ‫البورة)𝟎 𝟐 (‬

‫𝒑‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟖‬

‫) بانمقاروت مع(‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫فً المطع النالص ‪:‬‬ ‫البإرتان )𝟎 𝟐 ( )𝟎 𝟐(‬

‫⇐‬

‫والمانون هو‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫النمطة )𝟑√ 𝟑√𝟐( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها‬ ‫) معادلة ①(‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝒂𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫) وعىض في①(‬ ‫𝟎‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝒃𝟑‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟑√(‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝒃‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫)𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒄‬ ‫𝟐‬

‫)𝟒‬

‫𝒃(‬

‫)𝟑√𝟐(‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒃‬ ‫𝟐‬

‫𝒃(𝟑‬

‫𝟐‬

‫()𝟐𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝒚‬ ‫) معادلة القطع الناقص( 𝟏‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫ٌهمل 𝟏‬

‫𝟐𝟏‬ ‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐‬

‫س ‪ / 5‬جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذً نمطذذذة االصذذذل وبإرتذذذا علذذذى محذذذور السذذذٌنات وٌمذذذر‬ ‫بالنمطتٌن )𝟐 𝟔( )𝟒 𝟑(‬ ‫∵ البإرتان على محور السٌنات ⇐ المانون هو‬

‫الحل‪/‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫∵ النمطة )𝟐 𝟔( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها‬ ‫) معادلة ①(‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝒂𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫∵ النمطة )𝟒 𝟑( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها‬ ‫) معادلة ②( 𝟐 𝟐𝒂 𝟐𝒂𝟔𝟏 𝟐 𝟗‬ ‫وبحل المعادلتٌن انٌا بالطرح نحصل على المعادلة التالٌة‬ ‫𝟐 𝟗‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒 𝟗‬ ‫𝟒‬

‫) وعىض في①(‬ ‫𝟒‬

‫𝟗‬ ‫𝟓𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟖𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟒‬ ‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫)𝟎𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒂𝟒‬

‫𝟗‬

‫𝟐 𝟗‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟕𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂𝟐𝟏‬

‫𝟔𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟐)𝟑(‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒂𝟐𝟏‬

‫𝟐 𝟗‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐)𝟒(‬

‫𝟎‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫‪86‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐‬

‫𝟐)𝟐(‬

‫𝟏‬

‫𝟐)𝟔(‬

‫𝟐 𝟗‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟎𝟖𝟏‬

‫𝟐𝒚‬ ‫𝟎𝟐‬

‫𝟕𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟓𝟒‬

‫𝟔𝟑‬ ‫𝟗‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س ‪ / 6‬جـــــذذذـد معادلــــــذذذـة المطذذذع النالـــــذذذـص الذذذذي مركذذذز نمطذذذة االصــذذذـل وبإرتذذذا نمطتذذذا تمذذذاطع المنحنذذذً‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 مع محور الصادات وٌمس دلٌل المطع المكافئ 𝟐𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟔𝟏‬ ‫الحل‪ ∵ /‬المنحنً )𝟔𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫( ٌمطع المحور الصادي ⇐‬

‫𝟎‬ ‫𝟒‬

‫البإرتان )𝟒‬

‫𝟎( )𝟒 𝟎(‬

‫⇐‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫والمانون هو‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝐲‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐‬

‫من المطع المكافئ المعطى‬ ‫𝟑‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝒑‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫وقطت انتماس )𝟎 𝟑 (‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝐩‬

‫𝐱‬

‫) بانمقاروت مع(‬

‫دنيم انقطع انمكافئ 𝟑‬

‫𝒙‬

‫∵ النمطة )𝟎 𝟑 ( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها‬ ‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟗‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟐)𝟎(‬

‫𝟏‬ ‫‪6‬‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐‬

‫‪𝑐2‬‬

‫‪9‬‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫𝟐)𝟑 (‬

‫𝟏‬

‫‪𝑏2‬‬ ‫𝟐𝒚‬ ‫𝟓𝟐‬

‫‪𝑎2‬‬ ‫𝟐𝒙‬ ‫𝟗‬

‫س ‪ / 7‬جـــــــــد معادلة المطع النذالص الذذي بإرتذا تنتمذً الذى محذور الســــــــذـٌنات ومركذز فذً نمطذة األصــذـل‬ ‫𝟖 𝟐 عنذذد النمطذذة التذذً‬ ‫وطذذول محذذور الكبٌذذر ضذذعف طذذول محذذور الصذذغٌر وٌمطذذع المطذذع المكذذافئ 𝟎‬ ‫احداثٌها السٌنً )𝟐 (‬ ‫الحل‪ ∵ /‬البإرتان تنتمً لمحور السٌنات‬

‫المانون هو‬

‫⇐‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫∵ طول المحور الكبٌر ضعف طول المحور الصغٌر‬ ‫𝟐‬

‫من المطع المكافئ المعطى نعوض لٌمة )𝟐‬ ‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫النقطتان )𝟒‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫) 𝟐 (𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟎‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫)𝟐 (𝟖‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟐 ( )𝟒 𝟐 ( تنتمً للمطع المكافئ والمطع النالص لذا فهً تحمك معادلة المطع النالص‬ ‫𝟏‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟐 𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬ ‫𝟐𝒂‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟕𝟏‬ ‫𝟖𝟔‬

‫𝟐‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫‪87‬‬

‫𝟏‬

‫𝟐)𝟒(‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫)𝟕𝟏(𝟒‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒚‬ ‫𝟕𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟐)𝟐 (‬ ‫𝟐𝒂‬ ‫𝟕𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟖𝟔‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫و مركز نمطة االصل ومجموع مربعً طولً محورٌه‬ ‫س ‪ / 8‬لطع نالص معادلته 𝟔𝟑‬ ‫𝟑√𝟒 𝟐 ما لٌمة كل من‬ ‫ٌساوي )𝟎𝟔( واحد بإرتٌه هً بإرة المطع المكافئ الذي معادلته‬

‫من المطع المكافئ المعطى‬

‫الحل‪/‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫) بانمقاروت مع(‬

‫𝟑√𝟒‬

‫𝒑‬

‫𝟑√𝟒‬

‫البؤرة )𝟎 𝟑√(‬ ‫𝟐‬

‫بإرتا المطع النالص )𝟎 𝟑√ ( )𝟎 𝟑√( ⇐ 𝟑‬

‫𝟑√‬

‫⇐ المانون‬

‫𝟏‬

‫)𝟔𝟑 (‬ ‫𝟔𝟑‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬ ‫𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝒉‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟔𝟑‬

‫𝟔𝟑‬

‫)𝒉(‬

‫) (‬

‫∵ مجموع مربعً طول محورٌه = 𝟎𝟔‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟏‬ ‫𝟗‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟔‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫‪3‬‬

‫𝟒‬

‫𝟐) 𝟐(‬

‫𝟎𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟏‬ ‫𝟔𝟑‬ ‫𝟗‬ ‫𝟔𝟑‬ ‫𝟔‬

‫𝟒‬ ‫𝟔‬

‫𝟐) 𝟐(‬ ‫𝟐‬

‫𝟔𝟑‬ ‫𝒉‬ ‫𝟔𝟑‬ ‫𝒌‬

‫𝟐𝒂‬ ‫𝟐𝒃‬

‫س ‪ / 9‬جـــذـد معادلــذـة المطذع النالــذـص الذذي مركذز نمطـــــــذـة االصـــــــذـل واحـــذـدى بإرتٌذه هذً بذإرة المطذع‬ ‫المكافئ 𝟒𝟐 𝟐 ومجموع طولً محورٌه )𝟔𝟑( وحدة ‪.‬‬ ‫وزاري ‪ / 2012‬د‪3‬‬ ‫الحل‪ /‬من المطع المكافئ المعطى‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫) بانمقاروت مع(‬

‫البؤرة )𝟔 𝟎(‬

‫بإرتا المطع النالص )𝟔 𝟎( )𝟔‬

‫𝟎( ⇐ 𝟔𝟑‬ ‫𝒃‬

‫‪36‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟔𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟒𝟐𝟑‬

‫𝟖‬

‫⇐ المانون‬ ‫𝟖𝟏‬

‫𝒂‬ ‫‪36‬‬

‫𝐛‬

‫𝟐‬

‫‪288‬‬ ‫𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝒃‬

‫)𝒃‬

‫𝒂‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝒃‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪36‬‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫‪88‬‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟖𝟏(‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝐩‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟐𝟑‬ ‫𝟖𝟏‬

‫𝒂‬

‫𝟐𝒚‬ ‫𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟒𝟔‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫س ‪ / 10‬جذد معادلذة المطذع النذالص الذذي بإرتٌذه )𝟎‬ ‫ٌساوي )𝟒𝟐( وحدة ‪.‬‬ ‫بحٌث أن محٌــــــط المثلث 𝟐 𝟏‬

‫𝟒( 𝟐‬

‫)𝟎 𝟒 ( 𝟏 والنمطذة‬ ‫وزاري ‪ / 2014‬د‪1‬‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫تنتمذً للمطذع النذالص‬

‫الحل‪/‬‬ ‫)𝟎 𝟒( 𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫∵ محٌــــــط المثلث‬

‫𝟐 𝟏‬

‫)𝟎 𝟒 ( 𝟏‬

‫𝟐𝐂‬

‫𝟒‬

‫ٌساوي )𝟒𝟐( وحدة وحسب تعرٌف المطع النالص ‪:‬‬ ‫)معادلة ① ( 𝟒𝟐‬ ‫وحدة 𝟖‬

‫) المسافة بٌن البؤرتٌن(‬

‫) حسب تعرٌف القطع الناقص(‬

‫𝟐 𝟏‬

‫)𝟒 (𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝐂𝟐‬

‫𝒂𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐 𝟏‬ ‫𝟏‬

‫وبالتعوٌض فً )معادلة ① ( نحصل على ما ٌلً ‪:‬‬ ‫𝟒𝟔‬ ‫𝟖𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝒂‬

‫𝟐‬

‫بإرتا المطع النالص )𝟎 𝟒( )𝟎 𝟒 ( ⇐ المانون‬

‫‪6‬‬

‫𝟏‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫‪89‬‬

‫𝟒𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒚‬ ‫𝟖𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟒𝟔‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫أمثلة أضافٌة محلولة‬ ‫مثال ‪ /‬لكل مما ٌؤتً جد معادلة المطع النالص الذي ‪:‬‬ ‫‪ ⓐ‬بإرتا )𝟎 𝟑( )𝟎 𝟑 ( وطول المحور الكبٌر ) 𝟎𝟏 وحدات( ومركز نمطة األصل‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟗‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬

‫𝟎𝟏‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫‪ ⓑ‬رأسا )𝟔 𝟎( )𝟔‬

‫𝟏‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟎( وطول المحور الصغٌر ) 𝟖 وحدات( ومركز نمطة األصل‬ ‫𝟒‬

‫𝟔‬

‫𝟖‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫𝟏‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐𝒚‬ ‫𝟔𝟑‬

‫𝟑‬

‫‪ ⓒ‬أحدى بإرتٌه )𝟒 𝟎( ومركز نمطة األصل والنسبة بٌن طول محور الصغٌر والمسافة بٌن بإرتٌه تساوي )𝟒(‬ ‫𝟓‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫𝟏‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫𝟗‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐𝒚‬ ‫𝟓𝟐‬

‫‪ ⓓ‬مركز نمطة األصل وٌمر بالنمطتٌن )𝟎 𝟒 ( )𝟑 𝟎( ثم جد مساحته ومحٌطه‬ ‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫)وحدة (‬

‫𝟏‬

‫‪2‬‬

‫)وحدة مربعة (‬

‫𝟐√‪5‬‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟗‬

‫𝟓𝟐‬ ‫√ ‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪90‬‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟑‬

‫)‪(4)(3‬‬ ‫𝟗‬ ‫‪2‬‬

‫𝟔𝟏‬ ‫√ ‪2‬‬

‫𝟒‬ ‫انمساحت‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫√ ‪2‬‬

‫انمحيط‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫‪ ⓔ‬مركز نمطة األصل وأحد لطبٌه ٌمر بؤحدى نمطتً تماطع المستمٌم‬ ‫الحل ‪ /‬ألٌجاد نمط التماطع نجعل )𝟎‬ ‫)𝟎 𝟒(‬

‫𝟖‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫( ثم نجد لٌم ) ( ثم نجعل )𝟎‬ ‫𝟎‬

‫𝒙𝟐‬ ‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟒𝟔‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟔𝟏‬

‫( ألٌجاد لٌم ) (‬ ‫)𝟖 𝟎(‬

‫𝒚 𝒇𝒊‬ ‫) القانون ( 𝟏‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟖‬

‫‪𝑦2‬‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝒚‬

‫𝟖‬

‫𝟒‬

‫‪ ⓕ‬مركز نمطة األصل ومحور الكبٌر ٌنطبك على محذور السذٌنات والبعذد الثابذت لذه )𝟎𝟏 وحدات( وطذول محذور‬ ‫الصغٌر )𝟔 وحدات(‬ ‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫‪ ⓖ‬أحدى بإرتٌه )𝟑‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟗‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟓𝟐‬

‫‪3‬‬

‫𝟔‬

‫‪b‬‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐𝟐‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟎( ومركز نمطة األصل والنسبة بٌن طول محورٌه تساوي )𝟓(‬ ‫𝟒‬ ‫𝟓‬

‫𝟐𝒂𝟓𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂𝟔𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟗‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐 ‪6‬‬ ‫𝒂‬ ‫‪25‬‬ ‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒄‬ ‫𝟐𝒂‬

‫𝒃‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟒‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟓𝟐‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫𝟑‬ ‫𝟐𝒃‬

‫𝟓𝟐𝟐‬ ‫𝟏‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟐𝒂‬ ‫𝟐𝒂𝟗‬ ‫𝟐𝒚‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪ ⓗ‬أحدى بإرتٌه )𝟎 𝟒( ومركز نمطة األصل واختالفه المركزي )𝟐(‬ ‫𝟖𝟒‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟖‬

‫‪4‬‬ ‫𝑎‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫‪91‬‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒚‬ ‫𝟖𝟒‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫𝟒𝟔‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬ ‫𝟑‬

‫‪ ⓘ‬مركز نمطة األصل وبإرتا تنتمٌان لمحور السٌنات ومساحته ) 𝟒𝟐( والنسبة بٌن طول محورٌه )𝟖(‬ ‫) معادلة‬ ‫𝟖‬

‫𝟗‬

‫𝟑‬

‫‪𝑏2‬‬

‫𝟐𝟕‬

‫(‬

‫𝑏‪8‬‬ ‫𝟑‬

‫‪8𝑏 2‬‬

‫‪24‬‬ ‫𝑏‬

‫𝑎‬

‫‪24‬‬ ‫𝑏‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝑏‪8‬‬ ‫𝟑‬

‫𝑏‪8‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟖‬

‫𝑎‪3‬‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒚‬ ‫𝟗‬

‫𝟏‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫𝟒𝟔‬

‫‪ ⓙ‬مركز نمطة األصل ومحورا ٌنطبمان على المحورٌن اإلحداثٌ​ٌن وأحدى بإرتٌه هً بإرة المطذع المكذافئ الذذي‬ ‫𝟐𝟏 𝟐 ( وطول محور الكبٌر ضعف طول محور الصغٌر‬ ‫معادلته )𝟎‬ ‫الحل ‪ /‬من المطع المكافئ ‪:‬‬ ‫البورة)‪( 3‬‬

‫‪p‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4p‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫) بانمقاروت مع(‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫من المطع النالص ‪:‬‬ ‫البإرتان )𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟎( )𝟑 𝟎(‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫⇐‬ ‫𝟐‬

‫) معادلة القطع الناقص(‬

‫⇐المانون هو‬

‫𝟑‬ ‫𝟗‬

‫𝟒‬ ‫𝟏‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫‪(𝟐 )2‬‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫𝟐𝟏‬

‫‪𝑦2‬‬

‫𝟐𝒙‬

‫‪𝑎2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝑎‬

‫‪𝑎2‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫)𝟑(𝟒‬

‫𝟒‬

‫‪2‬‬

‫𝑎‬

‫‪ٌ ⓚ‬مر بالنمطة )𝟑 𝟎( والمسافة بٌن بإرتٌه )𝟔 وحدات(‬

‫) ألنه يمر بالنقطة(‬ ‫)توجد معادلتٌن للقطع الناقص(‬ ‫) معادلة القطع الناقص الثانٌة (‬

‫𝟏‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟗‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟖𝟏‬

‫‪92‬‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟗‬

‫𝟗‬

‫𝟐𝒂‬

‫) معادلة القطع الناقص األولى (‬

‫‪3‬‬

‫‪c‬‬

‫‪3‬‬

‫‪b‬‬ ‫𝟐𝒄‬ ‫𝟏‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒂‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟖𝟏‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟗‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال ‪ /‬جذد طذول كذل مذن المحذورٌن والبعذد البذإري وإحذداثٌات البذإرتٌن والرأسذٌن واالخذتالف المركذزي والمحذٌط‬ ‫والمساحة لمعادلة المطع التالٌة 𝟎𝟎𝟒 𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟔𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟗‬

‫‪c‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫)المحور الصغٌر ( وحدة‬

‫𝟐 𝟓𝟐‬ ‫𝟎𝟎𝟒‬

‫𝟏‬ ‫‪𝑎2‬‬ ‫)𝟒(𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟔𝟏‬ ‫𝟎𝟎𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫)𝟎𝟎𝟒 ( 𝟎𝟎𝟒‬ ‫𝟔𝟏‬

‫‪b‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫مثذذذذال ‪ /‬لذذذذتكن 𝟎𝟎𝟒‬

‫محور الكبٌر ومحور الصغٌر‬

‫𝟒‬ ‫𝟓‬

‫‪𝑎2‬‬

‫𝟓𝟐‬

‫)المحور الكبٌر ( وحدة 𝟎𝟏‬

‫)𝟓(𝟐‬

‫𝟔‬

‫)𝟑(𝟐‬

‫𝟐‬

‫الرأسان )𝟎 𝟓 ( )𝟎 𝟓(‬ ‫𝟑‬ ‫𝟓‬

‫‪2‬‬

‫االختالف المركزي‬

‫)‪(5)(4‬‬

‫𝟏𝟒‬ ‫√ ‪2‬‬ ‫)وحدة (‬ ‫‪2‬‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫البؤرتان )𝟎 𝟑 ( )𝟎 𝟑(‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝑎‬

‫)البعد البؤري( وحدة‬

‫)وحدة مربعة (‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬ ‫‪2‬‬

‫𝟓𝟐‬ ‫√ ‪2‬‬

‫انمساحت‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫√ ‪2‬‬

‫انمحيط‬

‫معادلذذذذة لطذذذذع نذذذذالص احذذذذدى بإرتٌذذذذه )𝟎 𝟑( والنسذذذذبة بذذذذٌن طذذذذول‬

‫فجد لٌم كل من‬

‫انحم ‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫)‬

‫𝟎𝟎𝟒‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫)‬

‫𝟏‬

‫𝟎𝟎𝟒‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟒‬

‫𝟎𝟎𝟒‬

‫)𝟎𝟎𝟒 (‬

‫𝟎𝟎𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫∵ البإرة تنتمً لمحور السٌنات‬ ‫المانون‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫⇐‬

‫𝟎𝟎𝟒‬

‫‪𝑎2‬‬

‫𝟎𝟎𝟒‬

‫𝟐 𝟔𝟏‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫‪𝑏2‬‬

‫𝟗‬

‫‪93‬‬

‫𝟒‬ ‫𝟓‬ ‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟒‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒂‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬ ‫‪𝑏2‬‬

‫𝟔𝟏‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬ ‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟓𝟐𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬ ‫𝟐‬

‫𝟓𝟐𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟎𝟎𝟒‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫) معادلة القطع الناقص (‬

‫بٌن بإرة المطع المكافئ )𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟒‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟓𝟐‬

‫مثذذذال ‪ /‬جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مسذذذاحته )‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟒‬ ‫𝟐‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟎𝟖( والذذذذي ٌكذذذون البعذذذد بذذذٌن بإرتٌذذذه مسذذذاوٌا للبعذذذد‬

‫( ودلٌله‬

‫انحم ‪ /‬من المطع المكافئ‬ ‫𝟒‬ ‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫) بانمقاروت مع(‬ ‫‪6‬‬

‫|‪2|p‬‬ ‫‪36‬‬

‫𝟒𝟐‬

‫‪p‬‬

‫‪𝑐2‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪6‬‬

‫𝟐‬

‫‪4p‬‬

‫‪c‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫من المطع النالص ‪:‬‬ ‫)معادلة‬

‫𝟎𝟎𝟒𝟔‬ ‫(‬ ‫‪𝑎2‬‬ ‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟖‬

‫𝟎𝟎𝟒𝟔‬

‫‪𝟑𝟔𝑎2‬‬

‫𝟎𝟖‬ ‫𝟒‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟎𝟎𝟒𝟔‬ ‫‪𝑎2‬‬

‫‪𝑎2‬‬ ‫𝟎‬

‫يهمم ‪64‬‬

‫) معادلة القطع الناقص الثانٌة (‬

‫𝟏‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟎𝟎𝟏‬

‫‪𝑎2‬‬

‫𝑟𝑜‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟒𝟔‬

‫‪94‬‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟐‬

‫)‪64‬‬

‫𝟐‬

‫) معادلة القطع الناقص األولى (‬

‫𝟐‬

‫‪)(𝑎2‬‬ ‫‪𝑎2‬‬

‫𝟏‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟒𝟔‬

‫‪𝑎2‬‬ ‫‪(𝑎2‬‬ ‫‪either‬‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟎𝟎𝟏‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬ ‫𝟐‬

‫مثال ‪ /‬أذا كانت 𝟎‬ ‫أحد بإرتٌه )‬

‫𝟐‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫معادلة لطع مكافئ دلٌله ٌمذر بالنفطذة )𝟐 𝟏 ( جذد معادلذة المطذع النذالص الذذي‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟎( ومربع طول النسبة بٌن محورٌه‬

‫𝟒‬

‫الحل ‪ /‬من المطع المكافئ نالحظ أن المطع المكافئ من النوع السٌنً لذا فؤن معادلة الدلٌل له‬ ‫( ألنه ٌمع على المحور السٌنً‬

‫]𝟏 [‬

‫) 𝟏‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪M‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫من المطع النالص ‪ :‬بإرتا‬

‫)𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟑(‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎( والمانون هو 𝟏‬

‫)𝟐 𝟎( )𝟐‬

‫) بانمقاروت مع(‬

‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫)𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒄‬

‫) معادلة القطع الناقص (‬

‫مثال ‪ /‬جد معادلة المطع النذالص الذذي مركذز نمطذة األصذل وبإرتذا )𝟎‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫بإرة المطع المكافئ 𝟎 𝟏𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒃‬ ‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟏‬

‫)𝟎 𝟔√‬

‫𝟔√( 𝟐‬

‫𝟑(‬

‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬ ‫𝟐𝒙‬ ‫𝟐𝟏‬

‫وٌمذر خذالل‬

‫(𝟏‬

‫الحل ‪ /‬من المطع المكافئ‬ ‫نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( فً طرف وحدود ) ( فً الطرف األخر‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫نضٌف )𝟏( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل‬ ‫)𝟏‬

‫(𝟐𝟏‬

‫𝟐)𝟏‬

‫𝒚(‬

‫𝟐𝟏‬

‫بانمماروت مع انمعادنت انمٕاسٕت نهمطع انمكافئ )‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐)𝟏‬

‫( 𝟒‬ ‫انرأس)𝟏‬

‫)تحقق معادنت انقطع انىاقص( )‬

‫𝟐( 𝐹‬

‫)‬

‫𝟏‬

‫𝟑( 𝐹‬

‫𝒚(‬

‫𝟐)‬

‫𝟏‬

‫𝟏𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫( وحصم عهّ‬

‫𝟏 (‬

‫)‬

‫)𝑘 ‪ℎ‬‬

‫𝑝(‪F‬‬

‫(‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟑‬

‫من المطع النالص ‪:‬‬ ‫∵ بإرتً المطع النالص )𝟎 𝟔√( )𝟎 𝟔√ ( ⇐ المانون هو 𝟏‬ ‫انىمطت )‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐( تحمك معادنت انمطع انىالص ألوً ٔمز بٍا ( بؤرة انمطع انمكافئ )‬

‫‪95‬‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟐 𝟐‬

‫) معادلة ① (‬

‫𝟐‬

‫) نعوض فً معادلة ① (‬ ‫𝟎‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫) 𝟐 𝟐 ×(‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬ ‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫)𝟔‬

‫‪𝑏2‬‬

‫يهمم ‪3‬‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) معادلة القطع الناقص (‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒃()𝟑‬

‫)𝟐‬

‫𝟎‬ ‫𝑟𝑜‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝒃(‬

‫‪2‬‬

‫‪𝑏2‬‬

‫𝑟𝑒‪𝑒𝑖𝑡ℎ‬‬

‫𝟏‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟖‬

‫مثذذذذذذال ‪ /‬جذذذذذذد أحذذذذذذداثً البذذذذذذإرتٌن والرأسـذذذذذذـٌن والمطبذذذذذذٌن وطذذذذذذـول ومعادلذذذذذذـة كذذذذذذل مذذذذذذن المحذذذذذذورٌن للمطذذذذذذع‬ ‫𝟖 𝟐 𝟒( ثم جد لٌمة ‪ e‬؟‬ ‫𝟔𝟑 𝟐 𝟗‬ ‫النالص )𝟎 𝟒‬ ‫انحم ‪ /‬نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( وحدود ) ( مربع كامل وكما ٌلً ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫) 𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫) 𝟐‬

‫(𝟗‬

‫𝟒‬

‫(𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟒‬

‫بإضافة )𝟎𝟒( الى طرفً معادلة المطع انىالص حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل‬ ‫)𝟔𝟑 ( 𝟔𝟑‬

‫𝟐)𝟐‬

‫(𝟗‬

‫𝟐)𝟏‬

‫(𝟒‬

‫بانمماروت مع انمعادنت انمٕاسٕت نهمطع انىالص 𝟏‬

‫𝟎𝟒‬

‫𝟐)‬

‫)𝟒‬

‫𝟒‬

‫معادلة القطع الناقص‬

‫𝟏‬

‫𝟐)‬

‫(‬ ‫𝟐‬

‫‪√5‬‬

‫(‬

‫‪5‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏(‬ ‫‪2‬‬

‫)معادنت انمحىرانصغير(‬

‫𝑥‬

‫انبؤرتان )‪2‬‬

‫‪√5‬‬

‫انرأسان )‪2‬‬

‫(‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫(‪2‬‬

‫)‬

‫𝟒‬

‫‪b‬‬

‫(‬

‫(‬ ‫𝟗‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫وحدة ‪2√5‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝑎‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫)‪𝟐(√5‬‬ ‫𝑦‬

‫𝟐‬

‫𝑘‬

‫‪√5‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪2 (ℎ‬‬

‫)‬

‫‪(ℎ‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪(4‬‬

‫)‬

‫‪2 (ℎ‬‬

‫)‬

‫‪(ℎ‬‬

‫𝟏‬

‫‪96‬‬

‫𝟐)𝟏‬

‫𝟒‬

‫)معادنت انمحىرانكبير(‬

‫𝑥‬ ‫)‪2‬‬

‫𝟐)𝟐‬

‫(‬

‫)انمسافت بي انبؤرتيه (‬ ‫‪ℎ‬‬

‫(𝟗‬

‫𝟐‬

‫وحصم عهّ‬

‫𝟐‬

‫مركز القطع الناقص )𝟐‬ ‫𝑐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫(𝟒‬

‫‪√5‬‬

‫‪3‬‬

‫𝑦‬

‫االختالف المركزي‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال ‪ /‬جذد أحذداثً البذإرتٌن والرأسذٌن والمطبذٌن و طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورٌن وممذدار االخذتالف المركذزي‬ ‫ومعادلة المطع النالص الذذي مركذز )𝟒 𝟏( ومحذور الكبٌذر ٌذوازي محذور الصذادات وأحذدى بإرتٌذه تبعذد عذن‬ ‫الرأسٌن بالبعدٌن ‪ 2, 10‬وحدة طول‬ ‫انحم ‪ ∵ /‬مجمُع انبعدٔه‬ ‫𝟒‬

‫𝐜‬

‫𝟐‬ ‫𝟖‬

‫َانفزق بٕه انبعدٔه‬ ‫𝐜𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝐜𝟐‬

‫∵ محُري انكبٕز ُٔاسْ محُر انصاداث ⇐‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟔‬

‫𝒂‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐𝒄‬

‫معادلة القطع الناقص‬

‫)معادنت انمحىرانصغير(‬

‫‪4‬‬

‫𝑦‬ ‫انبؤرتان )‪8‬‬

‫انرأسان )‬

‫(‪2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒃‬ ‫𝟐)𝟒‬ ‫𝟔𝟑‬

‫(‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐)𝟏‬ ‫𝟎𝟐‬

‫(‬

‫وحدة ‪8‬‬

‫)‪𝟐(4‬‬

‫)معادنت انمحىرانكبير(‬

‫𝑦‬ ‫(‪2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒄‬

‫)انمسافت بي انبؤرتيه (‬ ‫𝑘‬

‫(‬

‫𝟐)‬

‫(‬

‫𝟐)‬

‫انمعادنت انمٕاسٕت نهمطع انىالص 𝟏‬ ‫𝟐𝒂‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫𝑥‬

‫𝟐‬

‫‪ℎ‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪2 (ℎ‬‬

‫)‬

‫‪(ℎ‬‬

‫)‪( 2‬‬

‫)‬

‫‪2 (ℎ‬‬

‫)‬

‫‪(ℎ‬‬

‫𝟏‬

‫‪2‬‬ ‫𝟑‬

‫‪4‬‬ ‫𝟔‬

‫𝑥‬

‫االختالف المركزي‬

‫******************************************************************‬

‫س ‪ : 1‬جد أحداثً البذإرتٌن والرأسذٌن والمطبذٌن و طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورٌن واالخذتالف المركذزي للمطذوع‬ ‫النالصة التالٌة ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟓𝟐𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟑‬

‫𝟗‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐 ) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒 ) (‬ ‫𝟐𝟏 ) (‬

‫س ‪ : 2‬بؤستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ الذي ‪:‬‬ ‫( أ ) بإرتا النمطتان )𝟎 𝟑 ( ورأسا النمطتان )𝟎 𝟔 ( ومركز نمطة االصل ‪.‬‬ ‫( ب ) بإرتا تمعان على محور السٌنات ومركز نمطة االصل َأحدِ بؤرتًٕ تبعد عه انزأســـــــــــــــــٕه‬ ‫بانبعدٔه ‪َ 2, 8‬حدة طُل ‪.‬‬

‫‪97‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫المطع الزائد‪ ( :‬الرأس فً نمطة األصل ) ‪:‬‬ ‫هو مجموعـــة نماط المســتوي)‬ ‫( التً تكون المٌمة المطلمة لفرق بعدي اي منها عن نمطتٌن ثذابتتٌن تسذمى‬ ‫( البإرتٌن ) ٌساوي عددا ثابتا لٌمته ) 𝟐(‬ ‫معادلة المطع الزائد الذي بإرتا تنتمٌان لمحور السٌنات )‪ (x-axis‬ومركز نمطة األصل‬ ‫) حسب تعرٌف القطع الزائد(‬

‫|𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐)𝒄‬

‫𝒙(√‬ ‫(√ 𝟐)𝟎 𝒚(‬ ‫( 𝟐)‬ ‫𝟐 )𝟎‬ ‫𝟐‬ ‫(√ 𝟐𝒚 𝟐)𝒄 𝒙(√‬ ‫𝟐𝒚 𝟐 )‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐𝒚 𝟐)𝒄 𝒙(√‬ ‫𝟐𝒚 𝟐 )‬ ‫)بتربٌـــــــع الطرفٌن (‬ ‫(√‬ ‫𝟐‬ ‫(√ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐𝒚 𝟐)𝒄 𝒙(‬ ‫( 𝟐𝒚 𝟐 )‬ ‫𝟐𝒚 𝟐 )‬ ‫(√ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐)𝒄 𝒙(‬ ‫( 𝟐𝒚 𝟐 )‬ ‫𝟐)‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐)‬

‫(√ 𝟒‬

‫)𝟒 (‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬ ‫𝟒‬

‫]نفرض‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟐‬

‫[‬ ‫)𝟐 𝟐‬

‫) معادلة القطع الناقص (‬

‫⦁ رأسا المطع الزائـد هما )𝟎‬

‫( )𝟎‬

‫(‬

‫𝟏‬

‫)𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫⦁ بنفس األسلوب ٌمكننا أٌجاد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا تنتمٌان لمحور الصادات وهً 𝟏‬ ‫رأسا المطع الزائد هما )‬

‫𝟎( )‬

‫𝟎(‬

‫وبإرتا هً )‬

‫‪98‬‬

‫𝟎( )‬

‫𝟎(‬

‫)𝟐‬

‫𝟐 (𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫( والمعادلة 𝟏‬

‫𝟐 (𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‬

‫(√‬

‫𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‬

‫وبإرتا هً )𝟎‬

‫𝟐)‬

‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐 𝟐‬

‫( )𝟎‬

‫(√ 𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐 (𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟐)‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐 𝟐‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫حٌث 𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟒‬

‫)بتربٌـــــــع الطرفٌن (‬ ‫𝟐 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫حٌث أن‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مالحظات ‪:‬‬ ‫① دائما )‬

‫( )‬

‫( حٌث أن )𝟎‬

‫(‬

‫② طول المحور الحمٌمً‬

‫𝟐‬

‫③ طول المحور المرافك‬ ‫𝟐‬ ‫④ البعد بٌن البإرتٌن‬

‫𝟐‬

‫⑤ االختالف المركزي )‬

‫( حٌث ٌالحظ أنه ٌكون )𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫⑥ دائما ٌكون‬ ‫⑦ النمطة التً تمع على احد المحورٌن وٌمر بها المطع الزائد تمثل رأسً المطع الزائد وتمثل لٌمة ) (‬ ‫⑧ تسمى المسافة بٌن بإرة المطع الزائد واي نمطة تنتمً للمطع (منتصف المطر البإري )‬ ‫مثال (‪/)16‬‬

‫عٌن البإرتٌن والرأسٌن وطول كل من المحورٌن الحمٌمً والمرافك للمطع الزائد 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟒𝟔‬

‫الحل‪/‬‬ ‫وحدة‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝒂𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝒂‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟐‬

‫طىل انمحىر انمرافق وحدة‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝒃𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝒃‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒄‬

‫طىل انمحىر انحقيقي‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝒄‬

‫𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟔𝟑‬

‫رأسا انقطع انزائد )𝟎 𝟖 ( 𝟐𝐕 )𝟎 𝟖( 𝟏𝐕‬

‫قطبا انقطع انزائد )𝟔‬

‫𝟎( 𝟐𝑷 )𝟔 𝟎( 𝟏𝑷‬

‫بؤرتا انقطع انزائد )𝟎 𝟎𝟏 ( 𝟐𝐅 )𝟎 𝟎𝟏( 𝟏𝐅‬

‫‪99‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫مثال (‪ /)17‬جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل وطول محور الحمٌمً‬ ‫المركزي ٌساوي )𝟐( والبإرتان على محور السٌنات‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟔 وحدات واالخـتالف‬

‫الحل‪/‬‬ ‫𝟐𝒂‬

‫𝟗‬ ‫𝟔𝟑‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟔‬

‫)𝟑()𝟐(‬

‫𝐜‬ ‫𝟕𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝒄‬ ‫𝟔𝟑‬

‫𝟗‬

‫𝒂‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫معادلة القطع الزائد‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟕𝟐‬

‫𝟗‬

‫مثال (‪ /)18‬جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة األصل وطول محور المرافك )𝟒( وحدات وبإرتا هـــــما‬ ‫النمطتان )𝟖√‬ ‫)𝟖√ 𝟎( 𝟏‬ ‫𝟎( 𝟐‬ ‫∵ البإرتان تنتمً لمحور الصادات‬ ‫الحل‪/‬‬

‫المعادلة المٌاسٌة للمطع الزائد هً 𝟏‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟒‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬ ‫𝟖‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐‬

‫معادلة القطع الزائـد‬

‫𝟐‬

‫𝟖√‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫فً المثال )‪ (18‬أعال نالحظ أن طول المحور الحمٌمً مسا ٍو الى طول المحور المرافك مثل هذا النوع من المطوع‬ ‫الزائدة ٌدعى ( بالمطع الزائد المائم او متساوي األضالع ) ألن النماط األربعة تشكل رإوس مربع وفٌه ٌكون‬ ‫االختالف المركزي ) ( ممدار ثابت لٌمته ) 𝟐√( ‪.‬‬

‫‪100‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫تمارين)𝟑‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐(‬

‫س ‪ / 1‬عٌن كل من البإرتٌن والرأسٌن ثم جد طول كل من المحورٌن واألختالف المركزي نهمطُع انشائدة االتٕت ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟖𝟒‬

‫𝟐𝟏 ‪ⓐ‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫الحل‪ /‬ومسم طزفٓ انمعادنت عهّ )𝟖𝟒(‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫طىل انمحىر انحقيقي‬ ‫طىل انمحىر انمرافق‬

‫وحدة‬

‫𝟑√‪4‬‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟒‬ ‫البؤرتان )𝟎 𝟒‬

‫(𝟐‬

‫وحدة‬

‫𝑎‪2‬‬

‫𝟑√𝟐‬

‫𝑏‪2‬‬

‫𝟐𝒄‬

‫)𝟎 𝟒(‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝑎‬

‫‪𝑎2‬‬

‫𝟒‬

‫‪b‬‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒃‬

‫االختالف المركزي 𝟏‬

‫𝟒𝟒𝟏‬

‫𝟒‬

‫‪𝑏2‬‬

‫𝟐𝟏‬

‫الرأسان )𝟎 𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬ ‫(𝟐‬

‫𝟐( 𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟎‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟔𝟏 ‪ⓑ‬‬

‫الحل‪ /‬ومسم طزفٓ انمعادنت عهّ )𝟒𝟒𝟏(‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫طىل انمحىر انحقيقي‬ ‫طىل انمحىر انمرافق‬

‫وحدة ‪6‬‬

‫وحدة ‪8‬‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟓‬ ‫البؤرتان )𝟎 𝟓‬

‫(𝟐‬

‫𝑎‪2‬‬

‫𝑏‪2‬‬ ‫𝟐𝒄‬

‫)𝟎 𝟓(‬

‫𝟒‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟏‬

‫‪3‬‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐𝒃‬

‫الرأسان )𝟎 𝟑‬ ‫االختالف المركزي 𝟏‬

‫‪101‬‬

‫‪9‬‬

‫‪b‬‬ ‫𝟗‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝑎‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫(𝟐‬

‫𝟓‬ ‫𝟑‬

‫)𝟎‬

‫𝟗‬

‫‪𝑎2‬‬ ‫‪𝑏2‬‬ ‫𝟐𝒄‬ ‫𝟑( 𝟏‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س ‪ / 2‬أكتب معادلة المطع الزائد فً الحاالت التالٌة ثم ارسم المطع ‪:‬‬ ‫ومركز فً نمطة االصل ‪.‬‬

‫‪ ⓐ‬البإرتان هما النمطتان )𝟎 𝟓 ( وٌتماطع مع محور السٌنات عند 𝟑‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫∵ بإرتا المطع الزائد )‬

‫‪(5‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫‪( 5‬‬

‫⇐ 𝟓‬

‫⇐ المانون‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫∵ المطع الزائد ٌتماطع مع محور السٌنات عند 𝟑‬ ‫∴ الراسان )‬

‫‪) (3‬‬ ‫𝟔𝟏‬

‫‪⇐ ( 3‬‬ ‫𝟐𝒃‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬ ‫𝟗‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒃‬

‫) معادلة القطع الزائد(‬

‫‪102‬‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝐲‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟗‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫‪ ⓑ‬طذذذذول محذذذذور الحمٌمذذذذً )𝟐𝟏( وحذذذذدة وطذذذذول محذذذذور المرافذذذذك )𝟎𝟏( وحذذذذدات وٌنطبذذذذك محذذذذورا علذذذذى‬ ‫المحورٌن االحداثٌ​ٌن ومركز نمطة االصل ‪.‬‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫𝟐𝒂‬

‫𝟔𝟑‬ ‫𝟓𝟐‬ ‫𝟏𝟔‬

‫∴ هنــــان حالتٌـــــــن للمطع الزائـــــــد وهما ‪-:‬‬ ‫عندما ٌوازي محور الصادات‬ ‫الرأسان )𝟏𝟔√‬

‫𝟔‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝑪‬

‫𝒂‬ ‫𝟓‬

‫‪36‬‬

‫𝒃‬

‫‪25‬‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒄‬

‫عندما ٌوازي محور السٌنات‬

‫𝟎( 𝟐𝑭 ) 𝟏𝟔√ 𝟎( 𝟏𝑭‬

‫الرأسان )𝟎 𝟏𝟔√ ( 𝟐𝑭 )𝟎 𝟏𝟔√( 𝟏𝑭‬

‫𝟎( 𝟐𝑽 )𝟔 𝟎( 𝟏𝑽‬

‫البؤرتان )𝟎 𝟔 ( 𝟐𝑽𝑭 )𝟎 𝟔( 𝟏𝑽‬

‫البؤرتان )𝟔‬ ‫معادلة القطع الزائد‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫معادلة القطع الزائد‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫‪ ⓒ‬مركز نمطة االصل وبإرتذا علذى محذور الصذادات وطذول محذور المرافذك )𝟐√𝟐( وحذدة واختالفذه المركذزي‬ ‫ٌساوي )𝟑(‬ ‫وزاري ‪ / 2013 /‬د‪2‬‬ ‫الحل‪ ∵ /‬بإرتا المطع الزائد تنتمً لمحور الصادات ⇐ المانون‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝒃‬ ‫𝒂𝟑‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐√‬ ‫𝒄‬

‫𝟐√𝟐‬

‫𝒃‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟐𝒃‬

‫𝟐 𝟐𝒂 𝟐𝒂𝟗‬ ‫𝟏‬ ‫𝟗‬ ‫𝟐 𝟐𝒂𝟖‬ ‫𝟐𝒂‬ ‫𝟐𝑪‬ ‫𝟒‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟎(‬ ‫)‬ ‫𝟎‬ ‫𝟎‬ ‫البؤرتان‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟎(‬ ‫)‬ ‫𝟎‬ ‫𝟎‬ ‫الراسان‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐𝒙 𝟐 𝐲‬ ‫𝟏‬ ‫) معادلة القطع الزائد(‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟒(‬

‫‪103‬‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒄‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س ‪ / 3‬جد باستخدام تعرٌف المطع الزائد الذي مركذز نمطذة االصذل وبإرتٌذه )𝟎 𝟐√𝟐()𝟎 𝟐√𝟐 ( وٌنطبذك‬ ‫محورا على المحورٌن االحداثٌ​ٌن والمٌمة المطلمة للفرق بٌن بعدي اٌة نمطة عن بإرتٌه ٌساوي )𝟒( وحدات‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫نفرض ان النمطة )‬

‫𝒂‬

‫𝟐)𝟎‬

‫𝟒‬

‫(‬

‫) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫)𝟐√𝟐‬

‫𝟐√𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) 𝟐√𝟐‬

‫(√‬

‫𝟐)𝟎‬

‫(‬

‫) 𝟐√𝟐‬

‫(√‬

‫𝟒‬

‫) 𝟐√𝟐‬

‫(√ 𝟖‬

‫) 𝟐√𝟐‬

‫)𝟖 (‬

‫(√ 𝟖‬ ‫𝟐√𝟖‬

‫𝟔𝟏‬

‫) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(‬

‫𝟐√‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐√𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫‪𝑦2‬‬ ‫‪4‬‬

‫معادلة القطع الزائد‬

‫‪104‬‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫‪4‬‬

‫)𝟒 ( ]‬

‫𝟏‬

‫)𝟐√𝟐‬

‫(√‬

‫)𝟐√𝟐‬

‫(√‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟔𝟏‬

‫|𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫للمطع الزائد‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫(‬

‫)من تعرٌف القطع الزائد(‬

‫𝟐‬

‫)𝟐√𝟐‬

‫𝟖‬ ‫𝟐‬

‫𝟐√𝟒‬

‫(√‬

‫)𝟐√𝟐‬

‫𝟖‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫(√𝟖‬

‫)𝟐√𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐√𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س ‪ / 4‬لطع زائد طول محور الحمٌمً )𝟔( وحدات واحدى بإرتٌه هً بإرة المطع المكافئ الذي راسه نمطة‬ ‫االصل وٌمر بالنمطتٌن )𝟓√𝟐 𝟏()𝟓√𝟐‬ ‫الزائد الذي مركز نمطة االصل ‪.‬‬ ‫الحل‪/‬‬

‫𝟏( ‪ .‬جد معادلتً المطع المكافئ الذي راسه نمطة االصل والمطع‬ ‫وزاري ‪ / 2014‬د‪1‬‬ ‫وزاري ‪ / 2013‬د‪3‬‬

‫من المطع المكافئ ‪:‬‬ ‫∵ النمطتان )𝟓√𝟐 𝟏()𝟓√𝟐‬ ‫والمانون ) 𝟒 𝟐 (‬

‫𝟏( متناظرة مع المحور الســٌنً لذا فالبإرة تنتمً للمحور السٌنً‬

‫∴ النمطة )𝟓√𝟐 𝟏( تحمك معادلة المطع المكافئ ( ألنه ٌمر بها )‬ ‫البؤرة ) 𝟎 𝟓(‬

‫𝟓‬

‫𝟒‬

‫)𝟏( 𝟒‬

‫) معادلة القطع المكافئ (‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝐩‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟎𝟐‬

‫فً المطع الزائد‪:‬‬ ‫𝟐𝒂‬

‫𝟗‬

‫∵ بإرتا المطع الزائد )𝟎 𝟓()𝟎 𝟓 ( ⇐ 𝟓𝟐‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫⇐ المانون‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟔‬

‫𝟐𝒄‬

‫) معادلة القطع الزائد(‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝒃‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝐲‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒄‬ ‫𝟐𝒙‬ ‫𝟗‬

‫وطذول محذور الحمٌمذً )𝟐√𝟔(‬ ‫𝟔𝟏 𝟐 𝟗 جــذـد لٌمـــــذـة كذل‬

‫س ‪ / 5‬لطذع زائذد مركذز نمطذة االصـــــــــذـل ومعادلتذه 𝟎𝟗‬ ‫وحدة وبإرتا تنطبمان على بذإرتً المطذع النذالص الذذي معادلتذـه 𝟔𝟕𝟓‬ ‫التً تنتمً الى مجموعة االعداد الحمٌمٌة‬ ‫من‬ ‫وزاري ‪ / 2012‬د‪2‬‬ ‫𝟐‬

‫الحل‪/‬‬

‫من المطع النالص ‪:‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟕√𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖𝟐‬

‫بإرتا المطع النالص )‬ ‫من المطع الزائد ‪:‬‬ ‫بإرتا المطع الزائد )‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟒𝟔‬

‫)𝟔𝟕𝟓 ( ]‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟕√𝟐( ) 𝟕√𝟐 ( ⇐ 𝟕√𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟔𝟕𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟕√𝟐( ) 𝟕√𝟐 (‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟖𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎𝟗‬ ‫) (‬

‫𝟗‬

‫‪105‬‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐√𝟔‬

‫𝟖𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟗‬

‫𝟎𝟗‬ ‫) (‬

‫𝟎𝟗‬ ‫𝟖𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬

‫𝟐√𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟏‬

‫⇐ المانون‬

‫𝟐‬

‫𝟖𝟏‬ ‫معادلة القطع الزائد‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒄‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟗‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟎𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س ‪ / 6‬اكتذذب معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االصـــــذذـل اذا علمذذت ان احـــذذـد راسذذٌه ٌبعذذد عذذن البذذإرتٌن‬ ‫بالعددٌن 𝟗 𝟏 وحدات على الترتٌب وٌنطبك محورا على المحورٌن االحداثٌ​ٌن ‪ .‬وزاري ‪ / 2012‬د‪3‬‬ ‫الحل‪/‬‬ ‫𝟐𝒄‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝟓‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟔𝟏‬ ‫𝟐𝒃‬

‫𝟗‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟐𝒄‬

‫𝟐‬ ‫𝒂‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟗‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒂‬

‫∴ هنان أحتمـــــــــــــالٌن لمعادلة المطع الزائد‬ ‫معادلة القطع الزائد صادٌة 𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫معادلة القطع الزائد سٌنٌة 𝟏‬ ‫𝟐‬

‫س ‪ / 7‬جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا هما بإرتا المطع الزائد الذي معادلته 𝟐𝟏‬ ‫بٌن طولً محورٌه‬ ‫الحل‪/‬‬

‫𝟓‬ ‫𝟑‬

‫ومركز نمطة االصل ‪.‬‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟔𝟏‬

‫والنسبة‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪3‬‬

‫من المطع الزائد ‪:‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟒‬

‫∴ بإرتا المطع الزائد )‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟒‬

‫)𝟐𝟏 ( ]‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟒( ) 𝟒 (‬

‫من المطع النالص ‪:‬‬ ‫بإرتا المطع النالص )‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟒𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟒𝟒𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫⇐ المانون‬

‫𝟒( ) 𝟒 ( ⇐ 𝟒‬ ‫𝟐 𝟓𝟐‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫)𝟗 (‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟏‬

‫𝟓𝟐‬ ‫𝟗‬ ‫)‪25 (9‬‬ ‫‪9‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪25‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫𝒄‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫معادلة القطع الناقص‬

‫‪106‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫س ‪ / 8‬النمطة )‬

‫𝟐‬

‫تنتمً الى المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل ومعادلته 𝟐𝟏‬

‫𝟔(‬

‫أ‪ .‬لٌمة‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫جد كال من‪:‬‬

‫ب‪ .‬طول نصف المطر البإري للمطع المرسوم فً الجهة الٌمنى من النمطة‬

‫الحل‪( /‬أ) ∵ النمطة )‬

‫𝟔(‬

‫تنتمً الى المطع الزائد‬

‫∴ النمطة )‬

‫𝟔(‬

‫تحمك معادلة المطع الزائد )𝟐𝟏‬

‫‪L‬‬

‫‪2√2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫‪24‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫(‬ ‫𝟔𝟑‬

‫𝟐𝟏‬ ‫)𝟐√𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟔( 𝟐‬

‫𝟐)𝟔(‬

‫𝟑‬ ‫𝟔( 𝟏‬

‫)𝟐√𝟐‬

‫(ب) من المطع الزائد ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫احداثً البؤرة االٌمن )𝟎 𝟒(‬ ‫)وحدة طول(‬ ‫)وحدة طول(‬

‫𝟑√𝟐‬ ‫𝟑√𝟐‬

‫وزاري ‪ / 2011‬د‪1‬‬

‫𝟖‬

‫𝟐𝟏√‬ ‫𝟐𝟏√‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟒√‬ ‫𝟐‬

‫)𝟎‬

‫𝟒√‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪2‬‬

‫𝟐𝟏‬ ‫𝟐𝒄‬

‫𝟔𝟏‬ ‫)𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟔(√‬

‫𝟐𝟏‬ ‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟏‬

‫𝟔(√‬

‫𝟐)𝟒‬

‫𝟐√𝟐 (‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟐)𝟒‬

‫𝟐√𝟐(‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒃‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟏‬

‫(‬

‫(√‬ ‫(√‬

‫وٌمس دلٌل المطع المكافئ 𝟎‬

‫الحل‪/‬‬

‫𝟐𝒄‬ ‫𝟏 𝟏‬

‫𝟏 𝟐‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪1‬‬

‫س ‪ / 9‬جذذذذد معادلذذذذة المطذذذذع الزائذذذذد الذذذذذي بإرتذذذذا همــــذذذذـا بذذذذإرتً المطذذذذع النذذذذالص الذذذذذي معادلتذذذذـه 𝟏‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫من المطع المكافئ ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫) بانمقاروت مع(‬ ‫𝟑‬

‫𝟐𝟏‬

‫𝐩‬

‫) معادلة الدلٌل (‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝐲‬

‫من المطع النالص ‪:‬‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫البؤرتان )𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬ ‫𝟎()𝟒 𝟎(‬

‫من المطع الزائد‪:‬‬ ‫∵ دلٌل المطع المكافئ ٌمطع المحور الصادي عند النمطة )𝟑 𝟎( وهً راس المطع الزائد‬ ‫𝟐‬

‫𝟗‬ ‫بإرتا المطع الزائد )𝟒‬ ‫معادلة القطع الزائد‬

‫⇐ المانون‬

‫𝟎()𝟒 𝟎( ⇐ 𝟒‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟕‬

‫𝟗‬

‫𝟕‬

‫‪107‬‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟏‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟐𝒙‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫أمثلة أضافٌة محلولة‬ ‫مثذذال ‪ /‬جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االصــــذذـل والبإرتذذان علذذى محذذور الصـــذذـادات وطذذول المحذذور‬ ‫الحمٌمً له‬

‫𝟓‬

‫𝟔𝟏 والنسبة بٌن المسافة بٌن بإرتٌه وطول محور الحمٌمً‬

‫𝟒‬

‫الحل‪/‬‬ ‫𝟐𝒂‬

‫𝟒𝟔‬ ‫𝟎𝟎𝟏‬

‫معادلة القطع الزائد‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟒𝟔‬

‫مثال ‪ /‬جد معادلة المطع الزائد الذي أحدى بإرتٌه بإرة المطع المكافئ‬

‫ٌساوي البعد بٌن بإرتً المطع النالص 𝟏‬ ‫الحل‪/‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝐜‬

‫𝟓‬ ‫𝟒‬

‫𝒄‬ ‫𝟖‬

‫𝟓‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝒂‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫وطول محور المرافك‬

‫من المطع المكافئ ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫) بانمقاروت مع(‬

‫البؤرة )𝟓 𝟎(‬

‫𝟓‬

‫𝐩‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟐‬ ‫𝟒‬

‫𝟎𝟐‬

‫من المطع النالص ‪:‬‬ ‫البعد البؤري 𝟕√𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟕‬

‫𝟕√‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐𝒄‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫من المطع الزائد ‪:‬‬ ‫𝟕‬

‫بإرتا المطع الزائد )𝟓 𝟎( )𝟓‬ ‫معادلة القطع الزائد‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟕√‬

‫⇐ المانون‬

‫𝟎( ⇐ 𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟕‬

‫𝟖𝟏‬

‫طول المحور المرافق 𝟕√𝟐‬

‫𝟖𝟏‬

‫‪108‬‬

‫𝟐‬

‫𝟕‬

‫𝟏‬ ‫𝟓𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒄‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫مثال ‪ /‬جد معادلة المطع الزائد الذي ٌمر بالنمطتٌن )𝟔‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟑( )𝟐√𝟑 𝟎(‬

‫الحل‪/‬‬ ‫∵ المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ٌمذذذذذذذذر بالنمطذذذذذذذذة )𝟐√𝟑 𝟎( لذذذذذذذذذا فالنمطذذذذذذذذة تمثذذذذذذذذل رأس المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ولٌمذذذذذذذذة‬ ‫( والمانون هو‬

‫)𝟐√𝟑‬

‫النقطة )𝟔‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟑( تنتمً للمطع الزائد لذا فهً تحمك معادلته‬ ‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟏‬

‫𝟔𝟑‬ ‫𝟖𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫) معادلة القطع الزائد(‬

‫مثذذال ‪/‬جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي بإرتذذا رأســـــــــذذـا المطذذع النذذالص 𝟏‬

‫𝟐)𝟑(‬

‫𝟐)𝟔 (‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟗‬

‫)𝟐√𝟑(‬

‫𝟐𝒚‬ ‫𝟖𝟏‬

‫وطذذول محــــذذـور‬

‫الحمٌمً )𝟐𝟏( وحدة‬ ‫الحل ‪/‬‬

‫من المطع النالص ‪:‬‬

‫راسا القطع الناقص )𝟎 𝟎𝟏( )𝟎 𝟎𝟏 (‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝒂‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟏‬

‫من المطع الزائد ‪:‬‬ ‫بإرتا المطع الزائد )‬

‫()‬

‫( ⇐ 𝟎𝟏‬ ‫𝟔𝟑‬

‫معادلة القطع الزائد‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟔𝟑‬

‫⇐ المانون‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟐‬

‫‪109‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟔‬ ‫𝟔𝟑‬

‫𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒂‬

‫𝟐𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س ‪ : 1‬جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز فذذً نمطذذة االصذذل و بإرتذذا تنتمذذً لمحذذور الصذذادات وطذذول محذذور‬ ‫المرافك ٌسذاوي البعذد بذٌن بذإرة المطذع المكذافئ ) 𝟐𝟏 𝟐 ( ودلٌلذه وطذول محذور الحمٌمذً ثالثذة امثذال طذول‬ ‫محور المرافك‬ ‫س ‪ : 2‬جذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذز فذذذً نمطذذذة االصذذذل و راسذذذا همذذا بذذذإرتً المطذذذع الزائذذذد الذذذذي‬ ‫معادلته )𝟒𝟒𝟏 𝟐𝒙𝟔𝟏 𝟐𝒚𝟗( ومجموع طولً المطع النالص )𝟔𝟏( وحدة طول‬ ‫س ‪ : 3‬لطعذذذان مخروطٌذذذان احذذذدهما نذذذالص واالخذذذر زائذذذد كذذذل منهمذذذا ٌمذذذر ببذذذإرة االخذذذر ‪ .‬فذذذاذا كانذذذت معادلذذذة‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 ( فجد معادلة االخر‬ ‫احدهما )𝟑‬ ‫س ‪ : 4‬جذذذذذذذذد معادلذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذالص الذذذذذذذذذي ٌمذذذذذذذذر بذذذذذذذذالنمطتٌن )𝟏 𝟑() 𝟏‬ ‫الكبٌر ٌساوي)𝟓𝟐( وحدة‬

‫𝟑( وطذذذذذذذذول محذذذذذذذذور‬

‫س ‪ :5‬جد معادلة المطع الزائد الذي مركز فً نمطة االصل و أحدى بإرتا هً بإرة المطع النالص الذي معادلته‬ ‫𝟏‬

‫𝟐𝒚‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟎𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫وأحد رأسٌه هً بإرة المطع المكافئ 𝟎‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫س ‪ : 6‬جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذً نمطذذذة االصذذذل و بإرتذذذا هذذذً بذذذإرتً المطذذذع الزائذذذد الذذذذي‬ ‫𝟔𝟏 𝟐 (‬ ‫معادلته )𝟐𝟑 𝟐𝒙 𝟐𝒚𝟖( وٌمس دلٌل المطع المكافئ )𝟎‬ ‫𝟐𝒙‬

‫س ‪ :7‬لذذذذذذذذتكن)𝟑‬

‫𝟐𝒚( معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد أحذذذذذذذذد بإرتٌذذذذذذذذه هذذذذذذذذً راس المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذالص‬

‫الذي ٌمر بالنمطة )𝟐 𝟏 ( والذي احد بإرتٌه )𝟔√ 𝟎( فجد لٌمة‬ ‫𝟐𝒙𝟒‬

‫س ‪ : 8‬لذذذذذتكن)‬ ‫معادلته )𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟓√‬

‫س ‪ : 9‬لذذذذذذذتكن)𝟎𝟗‬

‫𝟐𝒚𝟓( معادلذذذذذة لطذذذذذع زائذذذذذد أحذذذذذد بإرتٌذذذذذه هذذذذذً بذذذذذإرة المطذذذذذع المكذذذذذافئ الذذذذذذي‬ ‫𝟒( فجد لٌمة‬

‫𝟐𝒚𝑵‬

‫الذذذذذذذذذذذذي معادلتذذذذذذذذذذذه )𝟔𝟕𝟓‬

‫𝟐𝒙 ( معادلذذذذذذذة لطذذذذذذذع زائذذذذذذذد بإرتٌذذذذذذذه هذذذذذذذً بإرتذذذذذذذا المطذذذذذذذع النذذذذذذذالص‬ ‫𝟐𝒚𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟗( وطذذذذذذذذذذذول محذذذذذذذذذذذور الحمٌمذذذذذذذذذذذً‬

‫𝟐√𝟔 فجذذذذذذذذذذذد لٌمذذذذذذذذذذذة‬

‫س ‪ : 10‬لذذذذذذذذتكن)‬ ‫𝟐𝒙𝟒 𝟐𝒚𝟓( معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد احذذذذذذذذدى بإرتٌذذذذذذذذه هذذذذذذذذً بذذذذذذذذإرة المطذذذذذذذذع‬ ‫𝟒( فجد لٌمة‬ ‫المكافئ الذي معادلته )𝟎 𝟐 𝟓‬

‫‪110‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الثانً‬ ‫وزاري ‪ / 2014‬د‪3‬‬ ‫س‪ / 3‬لطع نالص مركز نمطة األصـــــــ ل ولطع زائد نمطة تماطع محورٌه نمطة األصذل أحذدهما ٌمذر ببذإرة األخذر‬ ‫فؤذا كانت 𝟓𝟐𝟐 𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟗 معادلة المطع النالص فجد ‪:‬‬ ‫(ب) محٌط المطع النالص ‪.‬‬ ‫(أ) مساحة المطع النالص ‪.‬‬ ‫(د) األختالف المركزي لكل منهما ‪.‬‬ ‫(ج) معادلة المطع الزائد ثم أرسمه ‪.‬‬ ‫الحل ‪( /‬أ)‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫)‪( 225‬‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐𝟐‬

‫𝟓‬

‫وحدة مربعة‬

‫𝟓𝟏‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬ ‫)𝟑()𝟓(‬

‫𝟐‬

‫𝝅 𝒃𝒂‬

‫(ب)‬

‫وحدة‬

‫𝟕𝟏√ 𝟐‬

‫𝟒𝟑‬ ‫√ 𝝅𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗 𝟓𝟐‬ ‫√ 𝝅𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫√ 𝝅𝟐‬

‫المحٌط‬

‫𝒑‬

‫(ج) من المطع النالص ‪:‬‬ ‫𝟑‬ ‫𝟒‬

‫𝐜‬

‫𝟗‬ ‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫البؤرتان )𝟎 𝟒 ( )𝟎 𝟒(‬

‫𝟓‬ ‫𝟗‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝒃‬

‫𝟐‬

‫الرأسان )𝟎 𝟓 ( )𝟎 𝟓(‬

‫من المطع الزائد ‪:‬‬ ‫المطع الزائد ٌمر ببإرة المطع النالص‬ ‫البؤرتان )𝟎 𝟓 ( )𝟎 𝟓(‬

‫‪111‬‬

‫الرأسان )𝟎 𝟒 ( )𝟎 𝟒(‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫معادنت انقطع انزائد‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟔𝟏‬

‫(د)‬ ‫األختالف المركزي للقطع الناقص‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬ ‫𝟓‬

‫األختالف المركزي للقطع الزائد‬

‫𝟏‬

‫𝟓‬ ‫𝟒‬

‫‪112‬‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫وزاري ‪ / 2011‬د‪2‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪3‬‬

‫س‪ / 4‬جذد معـــــذذـادلة المطذذع النذذالص الذذذي بإرتذذا تنتمٌذان لمحذذور الســـــذذـٌنات ومركذذز نمطذذة األصذذل ومســـذذـاحة‬ ‫منطمته 𝟕 وحدة مربعة ومحٌطه ٌساوي 𝟎𝟏 وحدة ‪.‬‬ ‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟕‬ ‫𝒂‬

‫) معادلة ① (‬ ‫𝟐‬

‫) معادلة ② (‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫√‬

‫𝟓‬

‫𝒃‬

‫𝟕‬

‫𝟐‬

‫) 𝟐 (‬

‫𝟐‬

‫√ 𝝅𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝝅 𝒃𝒂‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝝅𝟎𝟏‬

‫√ 𝝅𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝒑‬

‫بتعوٌض المعادلة ① فً المعادلة ② نحصل على ‪:‬‬ ‫𝟗𝟒‬ ‫𝟐𝒂‬

‫) تربيع الطرفين (‬

‫𝟗𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟓‬

‫) نعوض فً معادلة ① (‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟗𝟒‬ ‫𝟐𝒂‬

‫)𝟏‬

‫𝟕‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟗𝟒‬ ‫𝟐𝒂‬

‫) نعوض فً معادلة ① (‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫ٌهمل‬

‫𝟕‬

‫ألن لٌمة ) ( ٌجب أن تكون أكبر من لٌمة ) ( فً المطع النالص ‪.‬‬

‫‪113‬‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟗𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟗𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟕‬ ‫𝟕‬

‫𝟕‬ ‫𝒂‬

‫𝒃‬

‫معادنت انقطع انىاقص‬ ‫𝟐‬

‫√‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟓‬

‫()𝟗𝟒‬ ‫𝟗𝟒‬

‫𝟏‬

‫√‬

‫𝟐‬

‫) نضرب طرفً المعادلة ب 𝟐 (‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟕‬ ‫𝒂‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟗𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟕‬ ‫𝟏‬

‫𝟕‬ ‫𝒂‬

‫𝒃‬

‫𝟒‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الثانً‬ ‫سإال وزاري ‪/98‬د‪1‬‬ ‫لطع زائد معادلته 𝟎𝟗‬

‫𝟐‬

‫النالص الذي معادلته 𝟔𝟕𝟓‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫وطول محور الحمٌمً 𝟐√𝟔 وحذدة وبإرتذا تنطبمذان علذى بذإرتً المطذع‬ ‫𝟐‬

‫𝟗 جد لٌمة ‪.h , k‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫فً القطع الناقص‪:‬‬ ‫‪576‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪36‬‬

‫]‪576‬‬

‫‪36‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪64‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪[9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪64‬‬

‫‪2 √7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪28‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫البؤرتان ) ‪(2√7 ) ( 2√7‬‬ ‫فً القطع الزائد ‪ :‬البؤرتان ) ‪(2√7 ) ( 2√7‬‬ ‫‪3√2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6√2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪28‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2√7‬‬

‫‪c‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪ℎ‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ℎ‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪114‬‬

‫‪8ℎ‬‬

‫]‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ℎ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫سإال وزاري ‪/99‬د‪2‬‬ ‫𝟏‬

‫النمطة )𝟐 ( تنتمً إلى المطع المكافئ الذي رأسه فً نمطة األصل وبإرته تنتمً إلى محور السٌنات والتً هذً‬ ‫𝟑‬ ‫احدى بإرتً المطع النالص ‪ ,‬النسبة بٌن طولً محورٌه‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫المكافئ‪:‬‬

‫البؤرة ) ‪(3‬‬

‫𝟓‬ ‫𝟒‬

‫‪ ,‬جد معادلة كل من المطعٌن المكافئ والنالص‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪(2)2‬‬

‫) ( ‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫الناقص‬

‫البؤرتان هما ) ‪⇐ (3 ) ( 3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪4(3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪6‬‬

‫(‬

‫]‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪44‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫معادلة القطع الناقص‬ ‫سإال وزاري ‪/2000‬د‪2‬‬ ‫جد معادلذة المطذع النذالص الذذي بإرتذا همذا بذإرتً المطذع الزائذد الذذي معادلتذه 𝟐𝟏‬ ‫𝟓‬ ‫طولً محورٌة‬ ‫𝟑‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫فً المطع الزائد‪:‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫البؤرتان ) ‪( 4 ) (4‬‬ ‫فً القطع الناقص‪ :‬البؤرتان ) ‪( 4 ) (4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪44‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬ ‫) (‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪25‬‬

‫) (‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫⇐‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪25 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫معادلة القطع الناقص‬

‫‪115‬‬

‫‪25‬‬

‫) (‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪44‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫)‪2‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫𝟐‬

‫والنسذبة بذٌن‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪44‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫سإال وزاري ‪/2001‬د‪1‬‬ ‫جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي بإرتذذا تنطبمذذان علذذى بذذإرتً المطذذع النذذالص الذذذي معادلتذذه 𝟎𝟐𝟏‬ ‫والنسبة بٌن طول محور الحمٌمً والبعد بٌن بإرتٌه تساوي‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫الحل‪:‬‬ ‫فً المطع النالص‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪24‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫البؤرتان ) ‪( 4 ) (4‬‬ ‫فً القطع الزائد‪ :‬البؤرتان ) ‪( 4 ) (4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫⇐‬

‫‪24‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫سإال وزاري ‪/2001‬د‪2‬‬ ‫جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا همذا بإرتذا المطعذٌن المكذافئٌن‪𝟐𝟎 :‬‬ ‫طولً محورٌه الحمٌمً والمرافك = ‪ 2‬وحدة‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فً المطع المكافئ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫البؤرة ) ‪(5‬‬ ‫⇐‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟐‬

‫والفذرق بذٌن‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫البؤرة ) ‪( 5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫)‪( 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫معادلة القطع الزائد‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫فً المطع الزائد‪ :‬البؤرتان (‪)-5,0( , )5,0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪)2‬‬ ‫)‪( 2‬‬

‫ٌهمل ‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪116‬‬

‫(‬ ‫‪24‬‬ ‫)‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫()‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫(‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫سإال وزاري ‪/2002‬د‪1‬‬ ‫جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل وبإرتا على محور السذٌنات والمسذافة بذٌن بإرتٌذه تسذاو (‪)8‬‬ ‫وحدات ومجموع طولً محورٌه ‪ 16‬وحدة‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪6 64‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫معادلة القطع الناقص‬ ‫سإال وزاري ‪/2002‬د‪2‬‬ ‫جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا راسذا المطذع النذالص 𝟔𝟑‬ ‫إلى البعد بٌن بإرتٌه =‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫والنسذبة بذٌن طذول محذور الحمٌمذً‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫الحل‪:‬‬ ‫فً المطع النالص‬

‫‪6‬‬

‫الرأسان ) ‪( 6 ) (6‬‬ ‫فً القطع الزائد البؤرتان ) ‪⇐ ( 6 ) (6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪36‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪27‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪36‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫معادلة القطع الزائد‬ ‫سإال وزاري ‪/2003‬د‪1‬‬ ‫لطع نالص معادلته 𝟒‬ ‫الحل‪:‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫جد طول كل من محورٌه وأحداثً كل من بإرتٌه ورأسٌه‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫طول المحور الكبٌر‬ ‫طول المحور الصغٌر‬ ‫الرأسان ) ‪( 2 ) (2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪2(2‬‬ ‫) (‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪√3‬‬

‫البؤرتان ) ‪(√3‬‬

‫) ‪( √3‬‬

‫‪117‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫سإال وزاري ‪ /2004‬د‪1‬‬ ‫جد معادلة المطع المخروطً الذي محورا محوري االحداثٌات والذي احد رإوسه (‪ )3,0‬واحد بإرتٌه (‪)-5,0‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪6‬‬ ‫( القطع الزائد‬ ‫) ألن‬ ‫‪2‬‬

‫معادلة القطع الزائد‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫سإال وزاري ‪/2004‬د‪2‬‬ ‫لطع زائد ولطع نالص احدهما ٌمر ببإرتً اآلخر‪ .‬جد معادلة المطع الزائد إذا علمت أن معادلة المطع النالص هً‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟓𝟐‬

‫علما أن محورٌهما على محوري االحداثٌات‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫فً المطع النالص‪:‬‬

‫الرأسان ) ‪( 5 ) (5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫البؤرتان ) ‪( 4 ) (4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫فً القطع الزائد الرأسان ) ‪⇐ ( 4 ) (4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫البؤرتان ) ‪⇐ ( 5 ) (5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫معادلة القطع الزائد‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫سإال وزاري ‪/2006‬د‪1‬‬ ‫جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌمر بالنمطتٌن (‪ )3,6( , )-3,6‬ثم جد معادلة دلٌله‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫القطع من النوع الصادي وفتحة القطع إلى األعلى‬ ‫القطع متناظر حول محور الصادات‬ ‫‪24‬‬ ‫معادلة الدلٌل‬

‫‪9‬‬

‫معادلة القطع المكافئ‬

‫‪(3)2‬‬

‫)‪4 (6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫) (‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫سإال وزاري ‪ /2006‬د‪2‬‬ ‫جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌمر بالنمطتٌن (‪ )1,3( , )1,-3‬ثم جد معادلة دلٌلة‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫القطع من النوع السٌنً وفتحة القطع إلى الٌمٌن‪.‬‬ ‫القطع متناظر حول محور السٌنات‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫معادلة القطع المكافئ‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫معادلة الدلٌل‬

‫‪118‬‬

‫‪(3)2‬‬

‫) ( ‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫سإال وزاري ‪/2007‬د‪1‬‬ ‫جذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز نمطذذة األصذذل والبعذذد بذذٌن بإرتٌذذه (‪ )8‬وحذذدة ورأسذذا بإرتذذا المطذذع الزائذذد‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟔𝟏‬

‫‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫فً المطع الزائد‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫البؤرتان ) ‪( 5 ) (5‬‬ ‫‪4 ⇐ 2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫فً القطع الناقص‬ ‫الرأسان هما ) ‪5 ⇐ ( 5 ) (5‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫معادلة القطع الناقص‬ ‫سإال وزاري ‪/2007‬د‪1‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 تمثل معادلة لطع زائد احدى بإرتٌه بإرة المطع المكافئ 𝟖‬ ‫لتكن 𝟑‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫البؤرة ) ‪(2‬‬ ‫فً المطع المكافئ‪:‬‬ ‫‪c 2‬‬ ‫فً القطع الزائد البؤرتان ) ‪⇐ ( 2 ) (2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫‪ℎ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ℎ 3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫𝟐‬

‫جد لٌمة ‪.h‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ℎ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫سإال وزاري ‪/2007‬د‪2‬‬ ‫جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتا المطع النالص 𝟏‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫فً المطع النالص‪:‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟏𝟒‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫وطول محور المرافك (‪ )8‬وحدات‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫البؤرتان ) ‪( 5 ) (5‬‬ ‫فً القطع الزائد البؤرتان ) ‪( 5 ) (5‬‬ ‫⇐‬ ‫‪6 25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫معادلة القطع الزائد‬

‫‪119‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫سإال وزاري ‪/2008‬د‪1‬‬ ‫جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتً المطعٌن المكافئٌن 𝟎𝟐‬ ‫المرافك = ‪ 8‬وحدات‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الحل‪ :‬المكافئ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫البؤرة ) ‪(5‬‬ ‫الزائد البؤرتان ) ‪( 5 ) (5‬‬

‫⇐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟐‬

‫وطول محور‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫البؤرة ) ‪( 5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫سإال وزاري ‪/2008‬د ‪1‬‬ ‫لطع نالص معادلته‬ ‫الحل‪:‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫معادلة القطع الزائد‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟒 والبعد بٌن بإرتٌه = 𝟑√𝟐 وحدة‪ .‬جد لٌمة ‪.L‬‬ ‫‪√3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2 √3‬‬ ‫‪2‬‬

‫]‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫سإال وزاري ‪/2009‬د‪1‬‬ ‫جد معادلة المطع النالص الذي ٌمر ببإرتً المطع الزائد 𝟒𝟒𝟏‬ ‫طوله (‪ )12‬وحدة‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫فً المطع الزائد‪:‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫البؤرتان )‪5) ( 5‬‬ ‫فً المطع النالص‪:‬‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟐‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫𝟗 وٌمطع من محور السٌنات جزءا ً‬

‫(‬

‫)‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪44‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫معادلة القطع الناقص‬

‫‪120‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫سإال وزاري ‪/2010‬د‪1‬‬ ‫جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل ومحورا على المحورٌن االحداثٌ​ٌن وٌمر ببذإرة المطذع المكذافئ‬ ‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫ومساحة منطمة المطع النالص 𝟎𝟐 وحدة مربعة‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫فً المطع المكافئ‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫البؤرة ) ‪(4‬‬ ‫فً المطع النالص‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫) (‬

‫المطع النالص ٌمر بالنمطة (‪)4,0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫النمطة (‪ )4,0‬أما تمثل رأس أو لطب‬ ‫وهذا غٌر ممكن‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪b‬‬

‫‪4‬‬

‫والمطع من النوع الصادي‬ ‫‪2‬‬

‫معادلة القطع الناقص‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫سإال وزاري ‪/2010‬د‪2‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫منطمته تساوي‬

‫𝟐 مع محور الصادات علما ً أن مساحة‬

‫لطع نالص ٌمر بنمطة تماطع المستمٌم 𝟑√‬

‫حٌث بإرتذا تنتمٌذان لمحذور السذٌنات ومركذز نمطذة‬

‫𝟑√𝟐 وحدة مساحة‪ .‬جد لٌمة‬

‫االصل‪.‬‬ ‫الحل‪ :‬المستمٌم‪:‬‬

‫‪√3‬‬

‫عندما‬

‫⇐‬

‫‪2‬‬ ‫) (‪2‬‬

‫‪√3‬‬

‫‪y‬‬

‫⇐ ‪√3‬‬

‫نقطة التقاطع )‪( √3‬‬ ‫فً المطع النالص‪ :‬بما أن المطع من النوع السٌنً‬

‫𝟑√‬

‫⇐‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ألن القطع من النوع السٌنً(‬ ‫√‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫√‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ℎ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3ℎ‬‬

‫‪121‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 √3‬‬

‫√‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ℎ‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫وزاري ‪ /2012‬د‪1‬‬ ‫جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل وبإرتا على محور السٌنات ومجموع طولً محورٌه = ‪16‬‬ ‫𝟐‬ ‫وحدة طول وبإرتا تنطبمان على بإرتً المطع الزائد الذي معادلته 𝟔 𝟐 𝟐‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫فً المطع الزائد‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫البؤرتان ) ‪(3 ) ( 3‬‬ ‫فً المطع النالص‪:‬‬

‫البؤرتان‬

‫) ‪(3‬‬

‫) ‪( 3‬‬

‫⇐‬

‫‪c‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪64‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪55‬‬

‫‪)2‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪55‬‬

‫معادلة القطع الناقص‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪(8‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪64‬‬

‫‪6‬‬

‫‪55‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) (‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) (‬

‫وزاري ‪/2012‬د‪2‬‬ ‫جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل وٌنطبك محورا على المحورٌن االحداثٌ​ٌن وٌمطع من محور‬ ‫السٌنات جزءا ً طوله ‪ 8‬وحدات ومساحة منمطته 𝟒𝟐 وحدة مساحة‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪24‬‬

‫‪24‬‬

‫بما أن المطع النالص ٌمطع من محور السٌنات جزا ً طوله (‪ )8‬وحدات فؤن هذا الجزء أما ٌمثل طذول المحذور الكبٌذر‬ ‫أو طول المحور الصغٌر‪ .‬فؤذا كان هذا الجزء ٌمثل طول المحور الكبٌر فٌكون‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫وهذا غٌر ممكن ألن‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫دائما ً فً المطع النالص‪ .‬لذا فؤن الجزء الممطوع ٌمثل طول المحور الصغٌر‪:‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫والمطع من النوع الصادي‪:‬‬

‫معادلة القطع الناقص‬ ‫‪122‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫وزاري ‪/2013‬د‪1‬‬ ‫لطع مخروطً بإرتا )𝟎 𝟒‬

‫(𝟐‬

‫واختالفه المركزي = ‪ ,2‬جد معادلته‪.‬‬

‫𝟒( 𝟏‬

‫)𝟎‬

‫الحل‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫القطع زائد الن‬

‫⇐‬

‫‪4‬‬

‫⇐‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫معادلة القطع الزائد‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫وزاري ‪/2015‬د‪2‬‬ ‫لتكن‬ ‫جد لٌمة‬

‫𝟐‬

‫𝟒–‬

‫𝟐‬

‫𝟓 معادلة لطذع زائذد أحذدى بإرتٌــذـه هذً بذإرة المطذع المكذافئ 𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟓√‬

‫‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫فً المطع المكافئ ‪:‬‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟓√‬

‫𝟓√‬

‫𝟏‬ ‫𝟓√‬

‫البؤرة‬

‫فً المطع الزائد ‪ :‬البإرتان )‬

‫𝟏‬ ‫𝟓√‬

‫𝟏‬ ‫𝟓√‬

‫𝟎‬ ‫𝟎(‬

‫)‬

‫𝟏‬ ‫𝟓√‬

‫𝟎( ⇐‬

‫𝟏‬ ‫𝟓√‬

‫𝟗‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟓‬

‫𝟗‬

‫𝟓‬

‫𝟒‬ ‫𝟒‬

‫)𝟎𝟐×(‬

‫‪123‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫=‪c‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟓√‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟎‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟓√‬

‫𝟒‬

‫]‬

‫𝟒‬

‫)‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟒–‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫𝟓‬

‫𝟏‬ ‫[‬ ‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫وزاري ‪/2015‬د‪2‬‬ ‫جذذذذذد معادلذذذذذة المطذذذذذع النذذذذذالص الذذذذذذي بإرتذذذذذا تنتمٌذذذذذان لمحذذذذذور الصذذذذذادات ‪ ,‬مسذذذذذاحته 𝟐𝟑 وحذذذذذدة مسذذذذذاحة‬ ‫𝟏‬

‫والنسبة بٌن طولً محورٌه‬

‫𝟐‬

‫الحل‪:‬‬

‫𝟐‬ ‫𝟖‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫معادلة المطع النالص‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟏‬

‫× 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟏‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫سإال وزاري ‪/2015‬د‪3‬‬ ‫جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتً المطعٌن المكافئٌن 𝟎𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟐‬

‫وطول محور‬

‫المرافك = ‪ 8‬وحدات‪.‬‬ ‫الحل‪ :‬المكافئ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫البؤرة ) ‪(5‬‬ ‫الزائد البؤرتان ) ‪( 5 ) (5‬‬

‫⇐‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫البؤرة ) ‪( 5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫معادلة القطع الزائد‬

‫‪124‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫سإال وزاري ‪/2016‬د‪1‬‬ ‫جذذد معادلذذذة المطذذع النذذذالص الذذذي مركذذذز نمطذذة األصذذذل وبعذذد البذذذإري مسذذاوٌا ً لبعذذذد بذذإرة المطذذذع المكذذافئ عذذذن‬ ‫دلٌله 𝟎‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪ ,‬أذا علمت أن مساحة المطع النالص‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟖‬

‫الحل‪:‬‬ ‫فً المطع المكافئ ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫)البعد بٌن بؤرة القطع المكافئ ودلٌه(‬

‫) بالمقارنة مع(‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬ ‫(‬

‫)𝟒‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟒‬

‫فً المطع النالص ‪:‬‬ ‫𝟔𝟑‬ ‫)𝟏(‬

‫𝟐‬

‫𝟔‬ ‫𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟖‬

‫)𝟐(‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟖‬

‫نعوض المعادلة )𝟐( فً المعدلة )𝟏( فٌنتج ‪:‬‬ ‫𝟎‬

‫𝟎𝟎𝟒𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟔𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟎𝟎𝟒𝟔‬

‫𝟎‬ ‫𝟒𝟔‬

‫𝟎𝟎𝟒𝟔‬ ‫𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟒𝟔‬

‫) 𝟐 ×(‬

‫)𝟒𝟔‬

‫𝟔𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫()𝟎𝟎𝟏‬ ‫𝟎𝟎𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟒𝟔‬

‫ٌهمل 𝟒𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫أما‬

‫𝟐‬

‫أو‬

‫∴ هنان معادلتان للمطع النالص ألن مولع البإرتٌن غٌر محدد وهما ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟎𝟎𝟏‬

‫‪125‬‬

‫𝟐‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟒𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟎𝟎𝟏‬

‫أعــــــــــــداد‪ /‬األستاذ علً حمٌــــــد‬

‫الفصــــــــــل الثانً‪ /‬المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫سإال وزاري ‪/2016‬د‪1‬‬ ‫جذذذد معادلذذذة المطذذذع الزائذذذد والنذذذالص أذا كذذذان كذذذل ٌمذذذر ببذذذإرتً األخذذذر وكالهمذذذا ٌمعذذذان علذذذى محذذذور السذذذٌنات‬ ‫وطول المحور الكبٌر ٌساوي 𝟐√𝟔 وحدة طول وطول المحور الحمٌمً ٌساوي 𝟔 وحدة طول ‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫كل من المطعٌن ٌمر ببإرة األخر‬ ‫∴ رأسا المطع النالص ٌمثالن بإرتا المطع الزائد وبإرتا المطع النالص تمثالن رأسا المطع الزائد‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟐‬

‫فً المطع النالص ‪:‬‬ ‫𝟐√𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐√𝟔‬ ‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫معادلة القطع الناقص‬

‫𝟗‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫فً المطع الزائد ‪:‬‬ ‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫معادلة القطع الزائد‬

‫‪126‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬