Matematikkens kjerne, 2. utgave (9788245032826) by Fagbokforlaget

For å utvikle matematisk forståelse må barn gjøre egne erfaringer, undre seg og resonnere. Barnas interesse for matematikk trenger respons. Barnehagelærerne må ha kunnskap og engasjement i møtet med små matematikere som utforsker matematikkens kjerne. Kjernen utforskes både ute og inne, i lek, hverdag og tilrettelagte aktiviteter og er nær knyttet til kreativitet, glede og medvirkning. Matematikkens kjerne er skrevet for studenter i barnehagelærerutdanningen og alle andre som driver med matematikk for barn.

ISBN 978-82-450-3282-6

,!7II2E5-adcicg!

MATEMATIKKENS KJERNE

Barnehagens rammeplan fra 2017 har endret fokus i arbeidet med matematikk. Det er mer vektlagt at barna skal erfare med kropp og sanser. Det fremheves tydelig i denne nye utgaven av Matematikkens kjerne. Boken er oppdatert med det siste fra fagdidaktisk forskning, det har blitt fjernet en del teori for å forklare gjenværende teori mer grundig, og det er satt inn flere eksempler som vil støtte forståelsen.

Oliver Thiel

Anne Hjønnevåg Nakken og Oliver Thiel

Matematikk handler om å tenke og om å forstå den verden som omgir oss. Gjennom kropp og sanser og i samspill med omgivelsene og andre mennesker viser barna at de ønsker å oppdage strukturer og skape mening.

Anne hj. Nakken

«Matematikkens kjerne er det som alle må erfare og resonnere rundt for å kunne forstå matematikk. Kjernen er utgangspunkt for matematisk kunnskap og matematiske ferdigheter og er fundamentet som alt annet innenfor matematikkfaget bygges på. Det å møte og forstå matematikkens kjerne må være en del av alle barns trygge base. I en verden som stadig endrer seg, er det viktig at vi stimulerer barna til å bli fleksible og selvtenkende individer. Barnehagen skal bidra til at barna utvikler tro på egne evner. Barna trenger en trygg base, kunnskaper og verdier som hjelper dem med å manøvrere i en verden der alt går stadig raskere. Matematikkens kjerne er en essensiell del av denne basen, da matematikk handler om sammenhenger og strukturer som er varige og forutsigbare. Barn trenger å utvikle sin matematikk for å forstå hvordan vår verden henger sammen og fungerer.»

utgave

Anne hj. Nakken

Oliver Thiel

MATEMATIKKENS KJERNE 2. utgave

Foto: Monica Larsen Donovan

Anne Hjønnevåg Nakken er prosjektleder ved Matematikksenteret. Hun har arbeidet ved Dronning Mauds Minne Høgskole for barnehagelærerutdanning i ni år og undervist i matematikk. Hun har gjennomført flere prosjekter knyttet til matematikk for barn i alderen 0–6 år og er mye brukt som foredragsholder for ansatte i barnehagen. Oliver Thiel er førsteamanuensis ved Dronning Mauds Minne Høgskole for barnehagelærerutdanning. Han har undervist i matematikk siden 1998, både i Tyskland og Norge. Han har gjennomført flere forskningsprosjekter knyttet til barnehagebarns læring og forståelse av matematikk, samt barnehagelærerens rolle i barns matematiske utvikling.

Matematikkens kjerne

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 1

2019-08-16 09:59:33

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 2

2019-08-16 09:59:34

Anne Hjønnevåg Nakken og Oliver Thiel

Matematikkens kjerne 2. utgave

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 3

2019-08-16 09:59:34

Copyright © 2019 by Vigmostad & Bjørke AS All Rights Reserved 1. utgave 2014 2. utgave / 1. opplag 2019 ISBN: 978-82-450-3282-6 Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Omslagsdesign ved forlaget Forside- og baksidefoto: Silje Husdal Grafikk på omslagets klaff: Marion Kristina Winsnes Illustrasjoner: Oliver Thiel, Marion Kristina Winsnes og Burning Ink (Svein Reisang) Bilde 9-2, 9-3, 9-7, 9-8, 9-9 og 9-10: M.C. Escher’s Print Gallery and Fish and Scales © 2019 The M.C. Escher Company – The Netherlands. All rights reserved. www.mcescher.com

Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 Faks: 55 38 88 01 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no

Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

Innhold

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 5

2019-08-16 09:59:35

matematikkens kjerne 2. utgave

Kapittel 1 Introduksjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1

1.2 1.3 1.4 1.5

Hva er matematikkens kjerne? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Matematisk innhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Hvordan lærer du deg matematikk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Hvorfor lærer vi matematikk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Annes forhold til matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Olivers forhold til matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ditt forhold til matematikk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Litt om bokas struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 13 14 15 16 17 18 19

Kapittel 2 Barnehagematematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

2.9 2.10

Hva er matematikk?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematisk tenking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å gjøre erfaringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hvordan barn utvikler kunnskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Progresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Barns medvirkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Den matematiske samtalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematikk i lek, hverdag og tilrettelagte aktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Lek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Hverdag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Tilrettelagt aktivitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematiske erfaringer også utendørs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematikkglede i barnehagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 25 26 27 30 31 34 38 39 42 44 49 52

Kapittel 3 Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Hva er en struktur?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Kunnskap, ferdighet og generell kompetanse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Problemløsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Matematikk er et kreativt fag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Kvalitetene til strukturer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Matematikkens faglige struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.6.1 Telling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.6.2 Måling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 6

2019-08-16 09:59:36

Innhold

3.6.3 3.3.4 3.6.5 3.6.6

Lokalisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lek (og spill) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forklaring (og argumentasjon). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 80 80 81

Kapittel 4 Mengdelære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

4.6 4.7 4.8

Hva er en mengde? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Venndiagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Sammenhenger mellom mengder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Relasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Ekvivalensrelasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5.1 Refleksivitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.5.2 Symmetri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.5.3 Transitivitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Klassifisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Ordning og ordningsrelasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Logikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.8.1 Utsagn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.8.2 Implikasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.8.3 Ekvivalens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.8.4 Logikk og mengdelære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Kapittel 5 Begrep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.1

5.2 5.3

Hva er et begrep? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.1.1 Referent og begrepsomfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.1.2 Begrepsuttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1.3 Begrepsinnhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Begrepsutvikling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Representasjonsmåter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.3.1 Den enaktive representasjonsmåten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.3.2 Den ikoniske representasjonsmåten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.3.3 Den symbolske representasjonsmåten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.3.4 Trippelkodemodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 7

2019-08-16 09:59:36

matematikkens kjerne 2. utgave

Kapittel 6 Rom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.1

6.2

6.3 6.4

Hva er rom? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.1.1 Utvikling av romforståelse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.1.2 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Persepsjon og romlig handling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.2.1 Koordinasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.2.2 Figur–bakgrunn-diskriminasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.2.3 Perseptuell konstans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.2.4 Plassering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.2.5 Retning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Orientering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Romlig visualisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.4.1 Det å kunne lage mentale bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.4.2 Det å kunne forandre mentale bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Kapittel 7 Tall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.1 7.2

7.3

7.4

7.5

Hva er tall? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Tall brukes til å telle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.2.1 Ettallet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.2.2 Etterfølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.2.3 Det minste tallet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2.4 Telleramsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2.5 Fullstendighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Tall representerer antall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.3.1 Parkobling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.3.2 Kardinalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Telling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.4.1 Prinsippet om parkobling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.4.2 Prinsippet om stabil ordning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.4.3 Kardinaltallprinsippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.4.4 Abstraksjonsprinsippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7.4.5 Prinsippet om irrelevant ordning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Tallsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.5.1 Gruppering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.5.2 Additivt tallsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.5.3 Multiplikativt tallsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7.5.4 Posisjonssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 8

2019-08-16 09:59:36

Innhold

7.6

Regning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 7.6.1 Sammenhenger mellom tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.6.2 Sammenhenger i tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7.6.3 Forskjell på tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Kapittel 8 Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.1 8.2 8.3 8.4

8.5

Hva er form? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Kongruens og formlikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Forskjellige typer symmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Todimensjonale former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 8.4.1 Sirkel og runding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 8.4.2 Trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 8.4.3 Firkanter og andre mangekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Tredimensjonale former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Kapittel 9 Mønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 9.1 9.2 9.3

Hva er et mønster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Egenskaper til mønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Mønster i én og to dimensjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 9.3.1 Båndmønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 9.3.2 Tesselering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Kapittel 10 Størrelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 10.1 Hva er størrelse? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 10.2 Størrelser som ekvivalensklasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 10.2.1 Grov sammenligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 10.2.2 Direkte sammenligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 10.2.3 Indirekte sammenligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 10.2.4 Måling med vilkårlige enheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 10.2.5 Måling med standardiserte enheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 10.3 Lengde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 10.4 Areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 10.5 Volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 10.6 Vekt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 9

2019-08-16 09:59:36

matematikkens kjerne 2. utgave

10.7 10.8 10.9 10.10 10.11

Tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Fart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Lydstyrke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 ValÃ¸r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

Vedlegg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Kilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 10

2019-08-16 09:59:36

Kapittel 1

Introduksjon

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 11

2019-08-16 09:59:36

matematikkens kjerne 2. utgave

1.1

HVA ER MATEMATIKKENS KJERNE?

En kjerne er den viktigste, innerste og ofte mest robuste del av noe (Språkrådet, 2018c). Tenk på en bykjerne eller en atomkjerne – kjernen er innerst fordi alt annet bygges rundt kjernen. I frukt er det kjernen som er selve frøet, altså den delen som inneholder alt som trengs for at en ny plante kan vokse. Når vi bruker metaforen «matematikkens kjerne», mener vi det mest grunnleggende i matematikken. Matematikkens kjerne er det som alle må erfare og resonnere rundt for å kunne forstå matematikk. Kjernen er utgangspunkt for matematisk kunnskap og matematiske ferdigheter og er fundamentet som alt annet innenfor matematikkfaget bygges på. Det å møte og forstå matematikkens kjerne må være en del av alle barns trygge base. Forskning (jf. Duncan, Dowsett, Claessens, Magnuson & Huston, 2007) viser at barn i barnehagealder møter og utvikler forståelse for matematikkens kjerne. Læreplanen for skolen er basert på kjerneelementer i hvert fag. Kjerneelementene beskriver det viktigste elevene skal lære for å kunne mestre og bruke kunnskapen fra fagene i ulike situasjoner. Dette inkluderer sentrale kunnskapsområder, metoder, begreper, tenkemåter og uttrykksformer. Kjerneelementene skal bidra til at det blir mer tid til å gå i dybden på det viktigste i fagene på skolen (Utdanningsdirektoratet, 2019). Kjerneelementene ble fastsatt av Kunnskapsdepartementet i juni 2018. I matematikk er det disse: 1 2 3 4 5 6

utforsking og problemløsing modellering og anvendelser resonnering og argumentasjon representasjon og kommunikasjon abstraksjon og generalisering matematiske kunnskapsområder

Hvis vi sammenligner kjerneelementene for skolen med fagområdet «antall, rom og form» i rammeplanen for barnehagens innhold og oppgaver (Utdanningsdirektoratet, 2017), ser vi en tydelig sammenheng. I både barnehagen og skolen er det avgjørende for å lære matematikk at barna selv får være aktive og undersøkende i arbeidet med faget, og at forståelse utvikles gjennom kommunikasjon i flere former (Nordbakke, 2018). Utforsking, problemløsing, resonnering, representasjon, kommunikasjon og kunnskapsområdene blir løftet i styringsdokumentene både for barnehagen og skolen. Dette minner oss om at begge arenaer har mange felles tanker om hva som er det viktigste i matematikk. I en verden som stadig endrer seg, er det viktig at vi stimulerer barna til å bli fleksible og selvtenkende individer. Barnehagen skal bidra til at barna

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 12

2019-08-16 09:59:37

Introduksjon

utvikler tro på egne evner (Utdanningsdirektoratet, 2017, s. 8 og 22). Barna trenger en trygg base, kunnskaper og verdier som hjelper dem med å manøvrere i en verden der alt går stadig raskere. Denne trygge basen utvikles hos barna fra den dagen de blir født, og den består av et vidt spekter av ferdigheter og kunnskaper. Matematikkens kjerne er en essensiell del av denne basen, da matematikk handler om sammenhenger og strukturer som er varige og forutsigbare. Barn trenger å utvikle sin matematikk for å forstå hvordan vår verden henger sammen og fungerer. Fagområdet er avgjørende for at vi skal kunne forstå hverandre, og for å skape balanse, orden og skjønnhet rundt oss.

1.1.1 MATEMATISK INNHOLD Så hva er innholdet i matematikkens kjerne? Det kan ikke besvares med ett ord eller én setning. Det trengs god tid for å utforske og oppdage alt det som matematikkens kjerne innebærer – tid hvor barna for eksempel leker eller deltar i hverdagsaktiviteter i barnehagen. Vi som forfattere bruker hele denne boka for å vise deg hva matematikkens kjerne er, og hvordan du kan jobbe med den på en meningsfull måte i barnehagen. Noen tror at matematikk i barnehagen handler om å gjøre det samme som på skolen – bare tidligere – altså at vi flytter matematikkpensumet nedover i aldersgruppene. Dette stemmer ikke! Matematikk i barnehagen skiller seg i stor grad fra den matematikken barna møter i skolen. Heldigvis! Elever på barneskolen får ofte det inntrykket at «Matematikk er regnestykker» (Lorentzen, 2012, s. 7). På ungdomsskolen får de det inntrykket at «Matematikk er bokstavregning» (ibid.). Matematikere ved universiteter (f.eks. Devlin, 2012; Lorentzen, 2012) har et helt annet syn på matematikk:

Matematikk er en måte å tenke på, et språk som er velegnet til å formulere og løse problemer, en søken etter strukturer, en samling logiske resonnementer som bygger absolutte sannheter i en usikker verden, og sunn fornuft satt i system. (Lorentzen, 2012, s. 7)

Vi er opptatt av at matematikken skal utforskes, at sammenhenger skal oppdages, og at alle skal utvikle sin egen forståelse. Dette gjelder både barnehagematematikken og høyskolematematikken, selv om barnehagematematikken selvfølgelig skjer på et annet nivå, med andre hjelpemidler og med andre forutsetninger.

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 13

2019-08-16 09:59:37

matematikkens kjerne 2. utgave

Denne boka handler om teoretisk dybde så vel som oversikt og sammenheng i matematikkens kjerne som helhet. Teorien som presenteres, er tilpasset et bachelornivå. Den behandler delvis emner som i dag har liten eller ingen plass på skolen, men som er fundamentalt viktige deler av matematikkens kjerne, for eksempel mengdelære (jf. Clements, Sarama & Liu, 2008). Andre emner som spiller en stor rolle i skolematematikken (for eksempel tallteori, algebra og analyse), behandles bare lite eller ikke i denne boka fordi de tilhører mer matematikkens fruktkjøtt eller skall enn kjernen.

1.1.2 HVORDAN LÆRER DU DEG MATEMATIKK? På den ene siden er matematikk et fag hvor ny kunnskap bygger på den kunnskapen vi allerede har. Derfor anbefaler vi at du gjennomarbeider denne boka i vår oppsatte rekkefølge fra begynnelsen til slutten. Da vil alle de nye begrepene som du må lære deg, bli introdusert før vi bygger ny kunnskap på dem. På den andre siden er matematikk et fag hvor alt henger sammen med alt, og hvor vi stadig oppdager nye sammenhenger. Det betyr at det finnes forskjellige muligheter til å nærme seg matematikkens kjerne. Hvis du studerer ved en høyskole eller et universitet, vil læreren kanskje velge en annen rekkefølge enn den som vi har valgt. Det er greit. Du kan lese hvert kapittel når det blir behandlet i undervisningen, men da vil du av og til møte nye begreper som du ennå ikke har forståelse for. Da må du bare hoppe til det avsnittet hvor dette begrepet blir introdusert, for å lese om det! Vårt mål er at du etter å ha gjennomarbeidet boka vil ha både kompetanse og lyst til å kjenne igjen og stimulere barnehagebarns matematiske utvikling. Vi ønsker at du med iver og interesse skal spre matematikkglede i barnehagen. Gjennom å forstå mer av hvordan barna tenker og utforsker, vil du selv få en mer spennende og variert arbeidsdag. Men bli advart! Boka er utfordrende. Den innflytelsesrike amerikanske matematikeren Keith Devlin (2000, s. 268) innrømmer at matematikk er vanskelig. Matematikk er abstrakt og tvinger hodet til å tenke på ting som vi ikke alltid kan se for oss eller holde i hånden. For matematikere fi nnes det for eksempel ingen kuler. En kule er en tenkt form som har visse egenskaper. En ball, appelsin eller julekule er ikke kuler i geometrisk forstand. De er modeller av denne formen. Selve den geometriske formen «kule» er et abstrakt objekt som kun finnes i teorien. På samme måte fi nnes det ikke noe som er fire. «Fire» er den egenskapen som er felles for alle mengder med fire av noe. Hva det er fire av, spiller ingen rolle. Fire små ting og fire kjempestore ting er altså like mange – selv om disse tingene ikke har noe til felles. Dette er abstrakt – og derfor vanskelig. Heldigvis finnes det også mange faktorer som

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 14

2019-08-16 09:59:37

Introduksjon

gjør matematikk til et enkelt fag. Alle mennesker er for eksempel født med en evne til å gjøre matematikk (Antell & Keating, 1983; Brannon & Van de Walle, 2001; Starkey, Spelke & Gelman, 1990; Wynn, 1992). Dette er særlig tydelig hos små barn. Selv de yngste barna har en intuitiv forståelse av størrelser, antall og rom. Mennesket har også en iboende evne til å kjenne igjen det vi oppfatter som vakkert, altså ulike former for matematiske strukturer og mønstre (i musikk for eksempel). En annen faktor som gjør matematikk til et enkelt fag, er den tydelige sammenhengen med vårt daglige liv. Matematikken er en uunngåelig del av ditt, vårt og alles liv.

1.1.3 HVORFOR LÆRER VI MATEMATIKK? Vår verden og vårt samfunn er i stadig endring. Matematikken har vært en naturlig del av oss siden tidenes morgen og er i stadig utvikling. Det gjelder matematikkfaget både i barnehagen, på skolen og ved universitetet. Nye reformer, ny pedagogikk, nye mål og nye arbeidsmåter sørger for at vi er i utvikling omkring hvordan barn best utvikler sin matematiske kompetanse. Heldigvis vil matematikken alltid fascinere, glede og utfordre nye generasjoner. Den suksessfulle amerikanske journalisten Thomas Friedman (2005, s. 238) kaller mennesker som liker matematikk, for «urørlige». Med det mener han at det alltid vil være behov for mennesker med matematisk kunnskap selv når verden utvikler seg i retninger det er vanskelig å forutsi. Vår verden blir stadig mer digitalisert. Barna som er i barnehage nå, vil kanskje i voksen alder få en jobb som ikke eksisterer i dag. Vi vet lite om fremtidens arbeidsmarked. Det vi vet, er at fremtidens arbeidstaker må kunne navigere i en kompleks verden og være i stand til å møte problemer på varierte måter. For å få til dette kreves det matematisk kunnskap. Espen Andersen, leder av Senter for Digitalisering ved Handelshøyskolen BI, sier at ungdom som lærer mer matematikk, vil bli smarte, tenke kritisk, komme på parti med fremtiden, forstå hvordan og hvorfor ting henger sammen, og argumentere effektivt og overbevisende (Andersen, 2006). Vær derfor glad for at du nå lærer mer om matematikkens kjerne! Gled deg til å lære mer om hvordan du kan bidra i barnehagebarns begynnende matematiske forståelse! Andersen sier videre at matematikk kan sees på som en skarp kniv for å skjære gjennom problemstillinger. Vil du ha en skarp kniv i din mentale verktøykasse – lær matematikk (ibid.).

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 15

2019-08-16 09:59:37

matematikkens kjerne 2. utgave

1.2

ANNES FORHOLD TIL MATEMATIKK

Jeg har alltid vært glad i matematikk. Jeg var heldig som tidlig fikk oppleve matematikkens gleder og sammenhenger, samt utvikle selvtillit og evne til å tenke selv rundt matematiske problemer. Min pappa er interessert i blant annet matematikk, så jeg hadde tidlig en rundt meg som løftet frem matematikken i hverdagen på hjemmebane. Jeg var heldig som hadde en i nærheten som stilte de gode spørsmålene, en som fortalte de spennende historiene, og en som ga meg gode holdninger til fagområdet. Videre hadde jeg besteforeldre som var svært glade i både musikk og diverse spill. Gjennom oppveksten satt jeg gjerne ved orgelet, og vi spilte yatzy, ludo, kinasjakk, mil og stigespill. På barneskolen hadde jeg en lærer som var åpen for elevenes kreative strategier og tenkemåter. Hun la vekt på at vi skulle tenke selv og forstå matematikken – ikke at vi bare skulle gjøre. Jeg fi kk en god start med et stødig fundament – jeg utviklet en solid og fleksibel matematisk kjerne som jeg stadig bygger videre på. Interessen og fascinasjonen for matematikk vedvarte ettersom jeg ble eldre. Etter hvert forsto jeg mer og så dermed enda flere sammenhenger – det var spennende. Nyere teknologi og de mulighetene teknologiske hjelpemidler gir oss, har alltid interessert meg. Jeg valgte derfor å ta en utdanning som sivilingeniør. Etter hvert savnet jeg å arbeide mer med mennesker (og ikke bare maskiner) og valgte derfor å videreutdanne meg som lærer i tillegg til teknologiutdanningen. Jeg fikk jobb som lærer i matematikk ved Dronning Mauds Minne Høyskole. Tanken var å jobbe ved høyskolen i en liten periode for å få mer kompetanse om små barns matematikk. Nå er jeg hekta (!) på barnehagematematikken. Jeg besøker barnehager jevnlig og får ta del i barns intuitive fascinasjon over matematikken, deres nysgjerrighet og deres tilegnelse av matematisk forståelse i både lek, hverdag og aktiviteter. Undringen, entusiasmen, filosoferingen og opplevelsene sammen med barna har fått meg til å se fagområdet på en ny måte – og til å like det enda mer. Å være sammen med barn som utforsker, erfarer og viser glede over det helt grunnleggende i matematikken – det varmer et matematikkhjerte. Du har ikke sett det vakre og fargerike i matematikken før du har opplevd matematikkens kjerne sammen med barn i barnehagealder. Nå er det din tur til å åpne opp for barnehagematematikken. Vær kreativ og leken sammen med barna også innenfor det matematiske området. Senk skuldrene, kommuniser med barna og nyt øyeblikkene. La alle barna få oppleve matematikk som både spennende og meningsfullt. Ta vare på interessen og den lekende tenkingen, iderikdommen og engasjementet. Hilsen fra Anne

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 16

2019-08-16 09:59:37

Introduksjon

1.3

OLIVERS FORHOLD TIL MATEMATIKK

Jeg er fra Tyskland, og da jeg var et lite barn, var det ikke vanlig i Tyskland at barn gikk i barnehage. Jeg husker ingen spesielle opplevelser med matematikken før jeg begynte på barneskolen. Men jeg har gode minner om matematikk på begynneropplæringen. Det var på 1970-tallet da en bevegelse som kalles «ny matematikk», gikk rundt verden (jf. Mjaaland & Sandvold, 1972). De propagerte at mengdelæren er grunnlaget for matematikken, og at man derfor skulle begynne med logikk og mengdelære allerede på barneskolen. Jeg likte det svært godt, og jeg er overbevist om at den tidlige sysselen med mengdelære førte til at jeg elsker matematikk i dag. Riktignok hadde den nye matematikken to ulemper. Det første var at det ble for lite tid til å øve på praktiske regnestrategier. Mengdelære er ren matematikk og har ikke så mye med regning å gjøre. Fremdeles i dag har jeg problemer med hoderegning. Det andre var at foreldrene ikke skjønte mengdelære og syntes at det kunne være skadelig for barn hvis de ikke lærte regning allerede i de første ukene av barneskolen. «Macht Mengenlehre krank?» («Gjør mengdelære syk?») var tittelen av det innflytelsesrike tyske politiske magasinet Der Spiegel den 25. mars 1974. Som følge av dette ble mengdelæren tatt bort fra skolen i Tyskland. Det samme skjedde i Norge. Bloggeren Langeland (2012) påstår dette: «Den matematikken man har i grunnskolen, er knapt verdig til å bli kalt matematikk. Jeg vil heller kalle den enkel regning.» Etter min mening var ikke problemet at mengdelære er for vanskelig for barn. Problemet var at den ble presentert for abstrakt og formalt, og – enda viktigere – at det er for sent å begynne med mengdelæren på skolen! Mengdelæren handler ikke om regning, men den er grunnlaget for tallforståelse og regning. I barnehagen forventer ingen at vi underviser barn i regning. Men som barnehagelærere kan vi legge grunnlaget for at barn lettere lærer å regne på skolen. Det kan vi gjøre blant annet gjennom å jobbe på en morsom måte med mengder. Som ungdom var jeg interessert i forskjellige ting. Min interesse for matematikk ble spesielt tent da jeg leste Knuths (1974) spennende bok om Conways surreale tall. Likevel valgte jeg å studere fysikk og ikke matematikk fordi de fleste matematikerne ikke jobber med matematikk. Matematikere i næringslivet driver mest med regning – for eksempel i forsikringsselskaper. Fysikk er anvendt matematikk. Jeg spesialiserte meg i teoretisk astrofysikk fordi det er nesten ren matematikk, og fordi jeg var interessert i verdensrommet. Jeg fant fort ut at det er vanskelig å få jobb som astrofysiker. Derfor bestemte jeg meg for å begynne på et nytt studium. Det var å bli lærer i fysikk, matematikk og tysk på barneskolen. Jeg spesialiserte meg etter hvert på barnehagematematikk.

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 17

2019-08-16 09:59:37

matematikkens kjerne 2. utgave

På den ene siden var det for meg viktig å følge interessene mine. Gjennom å studere mine interesser opplevde jeg trivsel, motivasjon og medgang. Det er vanskeligere å lære om ting som ikke oppleves som interessante. Da mangler ofte motivasjonen, og man klarer kanskje heller ikke å fullføre. På den andre siden er det utfordrende å følge kun interessene, hvis det innebærer at det er svært vanskelig å få jobb. Vi må huske at omstendigheter kan forandre seg, og heldigvis oppstår det ofte nye muligheter. Derfor tror jeg at det er best å prioritere noe som åpner forskjellige retninger innenfor det området som virker mest motiverende. Vi må alltid være forberedt på forandring og at ting ikke alltid går som planlagt. Jeg er overbevist at de som liker og forstår matematikk, er de mest fleksible og de som på best måte takler det uventede. Og grunnlaget for matematisk glede og forståelse legges i barnehagen. Hilsen fra Oliver

1.4

DITT FORHOLD TIL MATEMATIKK

Samme hva du skal drive med, så er motivasjon er viktig – viktigere enn talent. Talent trenger du kun hvis du gjerne vil være bedre enn alle andre. Det samme gjelder matematikk. Nøkkelen til å mestre matematikk er at man har lyst til det, sier Keith Devlin (2000, s. 271). Barn har lyst, og de kan! Hvordan går det med deg nå? Har du fått lyst? Er du glad for at du nå skal lese denne boka? Gleder du deg til å lære om små barns matematikk? Gi deg selv et minutt eller to til å tenke over dine egne holdninger om matematikkfaget. Hva føler du når du tenker på matematikk? Hvorfor føler du slik du gjør? Hvis du nå kjenner at dine holdninger ikke bare er positive, kan det være en trøst at det aldri er for sent å like matematikk. Det finnes mange eksempler på personer som støtter denne påstanden, blant andre Anna Palmer. Hun hadde aldri tenkt på matematikk som et interessant fag, men har senere forandret sitt synspunkt og skrevet ei bok som forklarer hvordan man blir matematisk (Palmer, 2012). Er du en av dem som leser denne boka fordi du interesserer deg for matematikkfaget og hva matematikk i barnehagen handler om? Eller er du en av dem som leser denne boka fordi den er pensum ved barnehagelærerutdanningen og du vil bestå eksamen? Eller leser du boka av en helt annen grunn? Uansett: Lykke til!

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 18

2019-08-16 09:59:37

Introduksjon

1.5

LITT OM BOKAS STRUKTUR

Boka begynner med en generell innføring i fagfeltet barnehagematematikk. Der lærer du blant annet at matematikk «handler om å oppdage strukturer, om å undersøke og analysere strukturer og om å bruke strukturer for å forstå virkeligheten». Hva vi mener med struktur, utdyper vi i kapittel 3. De følgende kapitlene dreier seg om det konkrete innholdet i matematikkens kjerne. Kapittel 4 dreier seg om mengdelære, den mest grunnleggende matematiske teorien. Ikke bare blir hele den nåtidige matematikken bygd på denne teorien, den spiller også en stor praktisk rolle i barnehagen. Matematikk kan oppfattes som et språk. Språk dannes av begreper. Hva er et begrep? Hvordan utvikler mennesker begreper? Og hvordan representeres begreper i hjernen? Det er spørsmål som er grunnleggende for matematikklæring og blir besvart i kapittel 5. De følgende kapitlene handler om de matematiske innholdsområdene. I kapittel 6 begynner vi med det mest grunnleggende temaet rom. Romforståelse er en forutsetning for å kunne lære seg noe om tall som vi behandler i kapittel 7. Kunnskap om tall er nødvendig for å kunne analysere og skille de forskjellige geometriske formene. Derfor fortsetter vi med temaet form i kapittel 8. Formene kan vi blant annet bruke for å lage mønstre i kapittel 9. I det siste kapittelet, kapittel 10, behandles størrelser (Utdanningsdirektoratet, 2017, s. 54). Det er et tema som bygger på alt annet siden tall her brukes for å beskrive hvor stort noe er, og det er ofte geometriske former som skal måles (for eksempel lengde av et linjestykke eller areal av en todimensjonal form). Bøker skrives for at noen skal lese dem. Ved å lese mottar du informasjon. Det er bra, men ikke nok. Matematikk handler om å tenke. For å lære deg matematikkens kjerne må du tenke. Det gjelder altså å lese og å tenke igjennom det du har lest. For å få deg til å tenke enda mer har vi satt inn noen oppgaver i teksten. Den første vil du møte allerede på side 23. Det er ikke repetisjonsoppgaver som du bør løse etter du har gjennomarbeidet teksten. Oppgavene er en viktig del av tankeprosessen. Når du kommer til en oppgave, så ikke les videre med en gang. Du må stoppe og jobbe med oppgaven først. Når du har tenkt godt igjennom oppgaven, kan du lese videre. Teksten som følger en oppgave, fortsetter tankegangen som du har begynt ved å jobbe med oppgaven. Det finnes bare én oppgave (nemlig oppgave 7-5) som du bør jobbe med mens du leser videre.

_MATEMATIKKENS KJERNE (2.utg.).indb 19

2019-08-16 09:59:37

ISBN 978-82-450-3282-6

,!7II2E5-adcicg!

MATEMATIKKENS KJERNE

Oliver Thiel

Anne Hjønnevåg Nakken og Oliver Thiel

Anne hj. Nakken

utgave

Anne hj. Nakken

Oliver Thiel

MATEMATIKKENS KJERNE 2. utgave

Foto: Monica Larsen Donovan