Dimensjonering av stålkonstruksjoner (9788245033915) by Fagbokforlaget

I 3. utgave er det kommet til stoff om shear lag-effekten, samt nye vedlegg med anvisninger for innfestinger til betong og plassbehov for skruer i forbindelser. Det er også gjort forbedringer i teksten og i en del figurer. Per Kristian Larsen var professor ved Institutt for konstruksjonsteknikk, NTH/NTNU, hvor han underviste i konstruksjonsmekanikk og stålkonstruksjoner fra 1975 til 2010. Han er utdannet bygningsingeniør fra NTH, og har en Ph.D. fra University of California, Berkeley, USA. Han har vært Visiting Professor samme sted og ved Cornell University, USA. Larsen har deltatt i standardisering innen stålkonstruksjoner både nasjonalt og internasjonalt, blant annet gjennom ISO og CEN.

ISBN 978-82-450-3391-5

,!7II2E5-addjbf!

Per Kristian Larsen

Alle beregningseksempler i boken referer til NS-EN 1993 (Eurokode 3).

DIMENSJONERING AV STÅLKONSTRUKSJONER

Dimensjonering av stålkonstruksjoner er skrevet som et grunnlag for undervisningen i stålkonstruksjoner ved NTNU. Boken dekker grunnkursene i faget. Hovedhensikt med boken er å gi et teoretisk grunnlag som setter studentene og praktiserende ingeniører i stand til å forstå og tolke prosjekteringsregler. Det er lagt vekt på å forklare bakgrunnen for de ulike bestemmelsene i standardene, slik at studentene eventuelt kan benytte mer nøyaktige beregninger der det er hensiktsmessig. Boken forutsetter forkunnskaper i statikk og fasthetslære, samt noe konstruksjonsteknikk.

Per Kristian Larsen

DIMENSJONERING AV STÅLKONSTRUKSJONER 3. utgave

Per Kristian Larsen

DIMENSJONERING AV STÃ&#x2026;LKONSTRUKSJONER 3. utgave

Copyright © 2020 by Vigmostad & Bjørke AS All Rights Reserved 1. utgave 1990 2. utgave 2010 3. utgave 2020 / 1. opplag 2020 ISBN: 978-82-450-3391-5 Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Omslagsdesign ved forlaget Omslagsfoto: Anders Rönnquist Grafisk formgiving: Forfatteren Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 Faks: 55 38 88 01 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

FORORD Første utgave av denne læreboken ble utgitt i 1990. På det tidspunkt hadde utviklingen av Eurokodene, felleseuropeiske standarder, begynt. I påvente av ferdigstillingen av disse ble boken skrevet uten henvisninger til spesifikke punkter i den da gjeldene NS 3472, mens eksemplene refererte til NS 3472. Arbeidet med Eurokodene har tatt mye lengre tid enn forventet, og først i april 2010 er standardene innført som eneste gyldige standarder i Norge. I denne reviderte utgaven refereres i stor utstrekning til NS-EN 1990 Grunnlag for prosjektering av konstruksjoner, NS-EN 1991 Laster på konstruksjoner, NS-EN 1992 Prosjektering av betongkonstruksjoner og NS-EN 1993 Prosjektering av stålkonstruksjoner, både i teksten og i eksemplene. Boken er skrevet som støttelitteratur for undervisningen i stålkonstruksjoner ved NTNU. Hovedhensikt med boken er å gi et teoretisk grunnlag som setter studentene i stand til å forstå og tolke prosjekteringsregler. Dette innebærer at det er lagt vekt på å forklare bakgrunnen for de ulike bestemmelsene i regelverkene, slik at studentene eventuelt kan benytte mer nøyaktige beregninger der det er hensiktsmessig. Boken inneholder et rikholdig utvalg av beregningseksempler. Disse er primært valgt for å illustrere ulike sider av teorien, og gjenspeiler ikke nødvendigvis den enkleste eller beste utførelse av en konstruksjon eller en konstruksjonskomponent. Hovedvekten i boken er lagt på dimensjoneringen av konstruksjonskomponenter og konstruksjonsdetaljer, dvs på beregningen av deres kapasitet (bæreevne) for en gitt konstruktiv utforming og gitte ytre laster. Videre er det lagt stor vekt på bruk av plastisitetsteori i dimensjoneringen. Det er ikke gjort noe forsøk på å se dimensjoneringen i sammenheng med hele prosjekteringsprosessen, og valg av bæresystem for ulike konstruksjonstyper er ikke behandlet. Forfatteren har mottatt råd og assistanse fra en rekke kolleger under arbeidet med 2. utgave av boken. Dr.ing. Knut Engesvik har gitt en rekke verdifulle innspill under arbeidet, og har gjennom korrekturlesing avdekket mange feil og uklarheter. Professor Arild Clausen og førsteamanuensis Arne Aalberg har også ytet en uvurderlig hjelp i så måte. Trondheim, juli 2010. Per Kr. Larsen

Forord til 2. opplag av 2. utgave Siden 2. utgave kom i 2010 har boken vært brukt i undervisningen ved NTNU i fire år, og i denne perioden har en avdekket både trykkfeil og uklarheter. Det er også påvist feil i noen av beregningseksemplene. Disse er nå etter beste evne rettet opp. Forfatteren retter en takk til kollegaer ved Institutt for konstruksjonsteknikk for bidragene i dette arbeidet.

Trondheim, mai 2013. Per Kr. Larsen

Forord til 3. utgave Boken er igjen gjennomgått for å rette opp uklarheter og feil som blir meldt inn og som vi oppdager. Boken har fått ny forside, en del figurer er utbedret, det er lagt til et nytt delkapittel 9.9 om shear lag–effekten, samt nye vedlegg med anvisninger for innfestinger til betong og plassbehov for skruer i forbindelser. Opprettingsarbeidet har vært utført av Professor Arild Holm Clausen og Professor Arne Aalberg.

Trondheim, desember 2019. Per Kr. Larsen, Arild Holm Clausen, Arne Aalberg

INNHOLD ……………………………………………………………

……………..…………………………………………………………….

Innholdsfortegnelse Symboler

1 Analyse- og dimensjoneringsprinsipper 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Lover, forskrifter og standarder …………………………………… …. Konstruksjons- og materialmodeller ………………………………….. Elastisk lastvirkningsanalyse …………………………………………. Plastisk lastvirkningsanalyse …………………………………………. 1.4.1 Plastisitetsteoriens grenseteoremer ………………………..... 1.4.2 Flyteleddberegninger ……………………………………….. Dimensjoneringsprinsipper …………………………………………… Påvisning av kapasitet ………………………………………………… Konstruksjoners pålitelighet ………………………………………….. Litteratur ………………………………………………………………

17 19 22 25 25 26 33 36 37 39

2 Materialer og materialegenskaper 2.1 Generelt ……………………………………………………………… 2.2 Fremstilling av stål og stålprodukter ………………………………… 2.2.1 Stålraffinering ……………………………………………… 2.2.2 Termisk og mekanisk bearbeiding ………………………. … 2.3 Konstruksjonsstål …………………………………………………….. 2.3.1 Fasthetsklasser og stålkvaliteter ……………………………. 2.3.2 Flytespenning og bruddspenning …………………………… 2.4 Støpestål ……………………………………………………………… 2.5 Rusttrege og rustfrie stål …………………………………………….. 2.6 Stålprodukter ………………………………………………………… 2.6.1 Valsede og sveiste profiler ………………………………… 2.6.2 Valse- og sveisespenninger i profiler ……………………… 2.7 Mekaniske egenskaper ………………………………………………. 2.7.1 Flytekriterier ………………………………………………. 2.7.2 Sprøbrudd og slagseighet …………………………………. 2.7.3 Bruddmekanikk …………………………………………… 2.8 Valg av stålkvalitet …………………………………………………. 2.9 Litteratur ……………………………………………………………..

41 42 42 45 48 49 50 52 54 56 56 59 63 63 65 66 72 74

3 Tverrsnittskapasitet 3.1 Definisjon av snittkrefter ……………………………………………. 3.2 Elastisk tverrsnittskapasitet …………………………………………. 3.2.1 Kapasitetskriterium ……………………………………….. 3.2.2 Aksialkraft og moment om to akser ………………………. 3.2.3 Bøyningsinduserte skjærspenninger ……………………… 3.2.4 Spenningskonsentrasjoner ………………………………… 3.3 Plastisk tverrsnittskapasitet ………………………………………… 3.3.1 Nedre grenseteorem ………………………………………. 3.3.2 Aksialkraftkapasitet ………………………………………. 3.3.3 Momentkrumningsforløp i bjelker ……………………....... 7

77 78 78 79 82 85 86 86 87 88

3.3.4 Momentkapasitet for enaksial bøyning …………………... 3.3.5 Skjærkraftkapasitet ………………………………………. 3.3.6 Interaksjon mellom moment og aksialkraft …………….... 3.3.7 Interaksjon mellom moment og skjærkraft ……………….. 3.3.8 Generell interaksjon ……………………………………..... 3.4 Forutsetninger for dannelse av plastiske ledd ……………………... .. 3.4.1 Generelt …………………………………………………..... 3.4.2 Tverrsnittsklassifisering …………………………………… 3.4.3 Bæreevne som funksjon av analyse- og dimensjoneringsmetode 3.5 Litteratur ……………………………………………………………….

90 92 95 101 104 105 105 106 111 112

4 Torsjon 4.1 Generelt ……………………………………………………………….. 4.2 St Venants torsjon …………………………………………………….. 4.2.1 Grunnleggende forutsetninger ……………………………….. 4.2.2 Sirkulære tverrsnitt …………………………………………... 4.2.3 Rektangulære tverrsnitt ……………………………………… 4.2.4 Sammensatte åpne tverrsnitt ………………………………… 4.2.5 Lukkede tynnveggede tverrsnitt …………………………….. 4.2.6 Flercelletverrsnitt ……………………………………………. 4.2.7 Spesielle torsjonsproblemer ………………………………… 4.2.8 Plastisk torsjonskapasitet …………………………………… 4.3 Skjærsenter ……………………………………………………………. 4.4 Hvelvningstorsjon …………………………………………………….. 4.4.1 Hvelvningsfrie tverrsnitt …………………………………….. 4.4.2 Hvelvningsdeformasjoner …………………………………… 4.4.3 Hvelvningsmotstand for I-profil ……………………………. 4.5 Torsjon av staver ……………………………………………………… 4.5.1 Randbetingelser ……………………………………………... 4.5.2 Respons av torsjonsbelastet stav ……………………………. 4.5.3 Tverrsnittsdimensjonering etter NS-EN 1993-1-1 ………….. 4.5.4 Numerisk analyse av staver og rammer ……………………… 4.6 Litteratur ……………………………………………………………….

115 116 116 117 118 119 122 125 128 130 132 135 135 136 139 141 141 142 148 149 150

5 Knekking av staver og rammer 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Generelt ………………………………………………………………… Kritisk kraft for enkle staver …………………………………………… Staver med elastisk fastholding ……………………………………….. Stabilitet av stavsystemer og enkle rammer …………………………… Rammer med pendelsøyler ……………………………………………. Bjelker på elastisk underlag ……………………………………………. Annen ordens analyse av staver med tverrlast og varierende moment … 5.7.1 Staver med tverrlast …………………………………………. 5.7.2 Staver med forhåndsutbøyning ………………………………. 5.7.3 Dominerende knekkform ……………………………………. 5.8 Inelastisk knekking av staver ………………………………………….. 5.8.1 Teoretisk grunnlag …………………………………………… 5.8.2 Relativ slankhet ……………………………………………… 5.8.3 Virkning av egenspenninger …………………………………. 5.9 Knekkurver for sentrisk trykk …………………………………………. 8

151 152 157 162 171 173 175 175 177 179 181 181 183 184 186

5.10 Dimensjonering av avstivninger ……………………………………… 5.11 Staver med sammensatt tverrsnitt …………………………………….. 5.11.1 Generelt ……………………………………………………… 5.11.2 Gitterstaver ………………………………………………….. 5.11.3 Rammestaver ………………………………………………... 5.12 Torsjonsknekking og bøyetorsjonsknekking ………………………….. 5.13 Litteratur ……………………………………………………………….

190 193 193 197 200 205 211

6 Vipping av bjelker 6.1 Generelt ………………………………………………………………… 6.2 Kritisk moment ………………………………………………………… 6.2.1 Bjelker med konstant moment ……………………………….. 6.2.2 Bjelker med enkeltsymmetrisk tverrsnitt …………………….. 6.2.3 Bjelker med varierende moment og lastangrep ………………. utenfor skjærsenteret 6.2.4 Bundet vipping ……………………………………………….. 6.3 Vippekurver ……………………………………………………………. 6.3.1 Generelle profiler …………………………………………….. 6.3.2 Valseprofiler og tilsvarende sveiste profiler …………………. 6.3.3 Forenklet vippevurdering av bjelker i bygninger ……………. 6.4 Litteratur ………………………………………………………………...

213 213 213 219 221 231 234 235 236 240 243

7 Dimensjonering av bjelke-søyler 7.1 Generelt …………………………………………………………………. 7.2 Analyse av bjelke-søyler ………………………………………………... 7.3 Interaksjonsformler for dimensjonering ………………………………... 7.3.1 Ekvivalent formavvik …………………………………………. 7.3.2 Teoretisk grunnlag ……………………………………………. 7.3.3 Kapasitetsformler etter NS-EN 1993-1-1 …………………….. 7.3.4 Generalisering av kapasitetsformlene ………………………… 7.4 Elastisk-plastisk interaksjon for rammer ……………………………… 7.5 Litteratur ………………………………………………………………..

245 246 249 249 250 253 262 264 268

8 Elastisk plateknekking 8.1 Platebøyning …………………………………………………………. 8.2 Differensialligninger for plateknekking ………………………………. 8.3 Kritisk kraft for enkle rektangulære plater ……………………………. 8.3.1 Plate med enaksialt trykk ……………………………………. 8.3.2 Plate med momentbelastning ……………………………….. 8.3.3 Skjærbelastede plater ……………………………………….. 8.3.4 Plater med enaksialt trykk og moment ……………………… 8.4 Elastisk knekking av plater med langsgående stivere …………………. 8.5 Litteratur ……………………………………………………………….

269 274 276 276 280 282 284 285 292

9 Kapasitet av plater og platekomponenter 9.1 Generelt ……………………………………………………………….. 9.2 Flytelinjeberegninger av tverrbelastede plater ………………………… 9.2.1 Kinematiske mekanismer ……………………………………. 9.2.2 Plastisk arbeid i flytelinjen ……………………………………

293 293 294 296

9.2.3 Enkle aktuelle løsninger ……………………………………… 9.2.4 Flytekriterier for plater ……………………………………… 9.3 Kapasitet av aksial- og momentbelastede plater ………………………. 9.3.1 Overkritisk kapasitet av plater ……………………………….. 9.3.2 Kapasitet av plater med langsgående stivere …………………. 9.4 Kapasitet av skjærbelastede plater ……………………………………… 9.4.1 Generelt ………………………………………………………. 9.4.2 Strekkfeltteori og metoden med rotert spenningsfelt …………. 9.3.3 Designmodell i NS-EN 1993-1-5 …………………………….. 9.5 Kapasitet av plater med punktlaster på platerand ………………………. 9.5.1 Generelt ……………………………………………………….. 9.5.2 Hjullaster på kranbaner ……………………………………….. 9.5.3 Overkritisk kapasitet av plater med punktlast ………………… 9.6 Interaksjon mellom snittkrefter …………………………………………. 9.7 Flensindusert stegknekking …………………………………………….. 9.8 Dimensjonering av stivere ……………………………………………… 9.8.1 Generelt ………………………………………………………. 9.8.2 Tverrstivere …………………………………………………… 9.8.3 Langsgående stivere …………………………………………… 9.9 Skjærdeformasjon i bjelker (shear lag) ………………………………….. 9.10 Litteratur …………………………………………………………………

297 302 300 300 312 320 320 321 325 330 330 331 332 337 338 339 339 340 344 347 353

10 Forbindelser og forbindelsesmidler 10.1 10.2 10.3 10.4

10.5

10.6

10.7 10.8

Generelt ……………………………………………………………… Skruetyper …………………………………………………………… Klassifisering av skrudde forbindelser ………………………………. Skruers kapasitet …………………………………………………….. 10.4.1 Avskjæringskapasitet ………………………………………. 10.4.2 Hullkantkapasitet …………………………………………… 10.4.3 Kapasitet i strekk …………………………………………... 10.4.4 Friksjonsforbindelser ……………………………………… 10.4.5 Forspenning av skruer ……………………………………… 10.4.6 Strekk i forspent forbindelse ……………………………….. 10.4.7 Bolteleddforbindelse ……………………………………….. Brudd i grunnmaterialet ………………………………………………. 10.5.1 Brudd i nettotverrsnitt ………………………………………. 10.5.2 Utriving av skruegruppe ……………………………………. 10.5.3 Vinkelprofil forbundet i ett ben ……………………………... 10.5.4 Lange skrueforbindelser …………………………………… Kapasitet av eksentrisk belastede skruegrupper ………………………... 10.6.1 Elastisk beregning …………………………………………… 10.6.2 Plastisk beregning …………………………………………… 10.6.3 Strekkforbindelse med bøyedeformasjoner …………………. Konstruktive krav til skrueforbindelser ………………………………. Sveising og sveisbarhet ………………………………………………. 10.8.1 Sveiseprosessen …………………………………………….. 10.8.2 Temperatur og metallurgiske forhold i sveisen ……………... 10.8.3 Sveisetyper og utførelsesfeil ………………………………… 10.8.4 Sveisedeformasjoner og sveisespenninger på grunn av temperatur ………………………………………. 10

355 358 359 362 362 363 366 367 370 372 373 375 375 376 378 379 380 381 388 390 393 393 393 395 399 400

10.9 Kapasitet av sveiser ……………………………………………………. 10.9.1 Kilsveiser ……………………………………………………... 10.9.2 Buttsveiser ……………………………………………………. 10.9.3 Kapasitet av sveisegrupper …………………………………… 10.9.4 Forbindelser til uavstivede flenser ……………………………. 10.9.5 Lange forbindelser ……………………………………………. 10.9.6 Vinkelprofil forbundet i ett ben ………………………………. 10.9.7 Sveising i kalddeformerte områder …………………………… 10.9.8 Eksentrisk belastet kilsveis …………………………………… 10.10 Litteratur ……………………………………………………………… 11

Konstruksjonsdetaljer 11.1 Klassifisering, modellering og analyse ………………………………… 11.1.1 Klassifisering etter stivhet ……………………………………. 11.1.2 Klassifisering etter styrke …………………………………….. 11.1.3 Global lastvirkningsanalyse ………………………………….. 11.1.4 Komponentmetoden ………………………………………….. 11.2 Ekvivalent T-stykke …………………………………………………… 11.3 Søyle-bjelke forbindelse ………………………………………………. 11.3.1 Panelsonens skjærkapasitet …………………………………… 11.3.2 Panelsonens kapasitet for tverrkraft ………………………….. 11.3.3 Momentkapasitet av søyleflens ………………………………. 11.3.4 Momentkapasitet av endeplate ………………………………. 11.3.5 Konstruktiv utforming en ensidige søyle-bjelke forbindelser …………………………………………………. 11.4 Bjelkeskjøt og bjelke-bjelke forbindelser ……………………………. 11.5 Søyleskjøter og søyleføtter ……………………………………………. 11.5.1 Søyleskjøter …………………………………………………. 11.5.2 Søyleføtter …………………………………………………… 11.6 Rammehjørner ………………………………………………………… 11.6.1 Sveiste rammehjørner ………………………………………… 11.6.2 Skrudde rammehjørner ………………………………………. 11.7 Fagverksknutepunkt …………………………………………………… 11.7.1 Knutepunkt med knuteplater …………………………………. 11.7.2 Knutepunkt med hulprofiler …………………………………. 11.8 Rotasjonsstivhet ………………………………………………………. 11.9 Litteratur ……………………………………………………………….

402 402 409 412 420 421 422 422 423 424 425 426 427 427 428 429 430 431 432 434 436 438 447 449 449 450 456 456 462 463 463 466 469 476

Utmatting 12.1 Generelt ……………………………………………………………… . 12.2 Initiering og vekst av sprekker i metaller …………………………. 12.2.1 Initiering av mikrosprekker ………………………………… 12.2.2 Sprekkvekst …………………………………………………. 12.2.2 Restbrudd ……………………………………………………. 12.3 Lastvirkningsanalyse og syklustelling ………………………………… 12.3.1 Lastbeskrivelser ……………………………………………… 12.3.2 Syklustelling ………………………………………………… 12.4 Utmattingsfasthet ……………………………………………………… 12.4.1 Harmonisk spenningsvariasjon ……………………………… 12.4.2 Definisjon av SN-kurver ……………………………………. 11

479 481 481 482 484 485 485 488 491 491 492

12.5

12.6 12.7 12.8 13

12.4.3 Materialegenskaper ………………………………………….. 12.4.4 Betydning av egenspenninger ………………………………. 12.4.5 Betydning av etterbehandling av sveisen …………………… 12.4.6 Korrosjonsutmatting ………………………………………… Dimensjonering mot utmatting ………………………………………... 12.5.1 Dimensjoneringsfilosofi …………………………………….. 12.5.2 Påvisning av kapasitet ………………………………………. 12.5.3 SN-kurver …………………………………………………… 12.5.4 Detaljklassifisering ………………………………………….. 12.5.5 Spenningsberegning ………………………………………… Beregningseksempler …………………………………………………. Kumulativ skade og levetidsberegninger ……………………………… Litteratur ………………………………………………………………..

493 495 496 498 499 499 501 502 504 508 511 518 524

Branndimensjonering 13.1 Brannteknisk klassifisering av bygningsdeler …………………………. 13.2 Laster og lastvirkningsanalyse ………………………………………… 13.3 Stålets egenskaper ved høye temperaturer …………………………….. 13.3.1 Termiske egenskaper …………………………………………... 13.4 Termisk analyse ……………………………………………………….. 13.4.1 Generell varmelære …………………………………………... 13.4.2 Naturlige og nominelle temperatur-tid kurver ………………. 13.4.3 Avanserte modeller …………………………………………… 13.4.4 Uisolerte komponenter ……………………………………….. 13.4.5 Isolerte komponenter …………………………………………. 13.5 Enkel dimensjonering ………………………………………………….. 13.5.1 Generelt ………………………………………………………. 13.5.2 Tverrsnittsklassifisering ……………………………………… 13.5.3 Kapasitet i strekk ……………………………………………… 13.5.4 Momentkapasitet ……………………………………………… 13.5.5 Bøyningsknekking …………………………………………… 13.5.6 Vipping ………………………………………………………. 13.5.7 Bjelke-søyler …………………………………………………. 13.5.8 Forbindelser og knutepunkt ………………………………….. 13.6 Kapasitetspåvisning i temperaturområdet ………………………………. 13.7 Konstruktive forhold …………………………………………………… 13.8 Eksempler ……………………………………………………………… 13.9 Litteratur ………………………………………………………………..

525 528 531 532 534 534 535 537 537 539 541 541 542 542 543 543 545 545 545 546 548 549 552

Vedlegg Vedlegg A Vedlegg B Vedlegg C Vedlegg D Stikkordregister

von Mises flytekriterium ……………………………………….. Diagrammer for beregning av knekklengder …………………… Søyleføtter – innfesting …………………………..……………... Plassbehov for skruer og verktøy…………………..……………...

555 559 562 571

…………………………………………………………………… 575

SYMBOLER Symboler er i hovedsak definert første gang de forekommer i teksten. I de tilfeller hvor symbolene er tillagt forskjellig betydning i ulike deler av teksten er de redefinert, og betydningen vil fremgå av tekstens tema. I den utstrekning det er hensiktsmessig benyttes symboler som er i overensstemmelse med de enkelte deler av NS-EN 1993. Dette gjelder spesielt bruken av subskripter og superskripter: NEd NRk NRd

Beregnet dimensjonerende lastvirkning (snittkraft), hvor ”E” indikerer beregnet størrelse og ”d” indikerer at det er tatt hensyn til lastfaktorer. Snittkraftens karakteristiske kapasitet (motstand). ”R” og ”k” indikerer henholdsvis kapasitet og karakteristisk verdi (uten materialfaktorer). Snittkraftens dimensjonerende kapasitet. ”R” og ”d” indikerer henholdsvis kapasitet og dimensjonerende verdi (materialfaktorer inkludert).

De hyppigst forekommende symboler er A Ab Aeff Af Am Am/V Anet As Asl Ast AV Aw B C Cm D E Et F Fb,Rd Fp,C Fs,Rd Ft,Rd Fv,Rd FT G Gk Iy, Iz, Iyz Ip, IT Iw KI KIC

tverrsnittsareal brutto tverrsnittsareal effektivt tverrsnittsareal (for plateknekking) flensareal areal omsluttet av tverrsnittets senterlinje (torsjon av lukket tverrsnitt), overflateareal av stav pr lengdeenhet profilfaktor for uisolert stav netto tverrsnittsareal spenningsareal av skruer eller gjengestenger totalareal av langsgående platestivere bruttotverrsnitt av én tverrstiver skjærareal stegareal, areal av sveis bi-moment sprekkvekstparameter (materialparameter), bjelkeparameter ekvivalent momentfaktor platestivhet ( D = Et3/12(1–Q ) ), skadeparameter elastisitetsmodul (Young’s modulus) tangentmodul kraft, ytre last, sannsynlighetsfunksjon dimensjonerende hullkantkapasitet per skrue forspenningskraft i skrue dimensjonerende friksjonskapasitet per skrue dimensjonerende strekkapasitet per skrue dimensjonerende avskjæringskapasitet per skrue kraft i T-stykke skjærmodul ( G = E/2(1+Q) ) karakteristisk verdi av permanent last annet arealmoment om y- og z-aksen, sentrifugalmoment polart arealmoment, St. Venants torsjonskonstant hvelvningskonstant (også Cw) spenningsintensitetsfaktor kritisk verdi av spenningsintensitetsfaktoren (materialfaktor) 13

KV L Lk, Lcr M Mb,Rd Mcr Mel Mpl MRd MN,Rd Mx, My, Mz ΔM N, Nx, Ny, Nxy Nf NEd Nb,Rd Nc,Rd Ncr Ncr,T, Ncr,TF Nt,Rd Nu,Rd Ny,cr, Nz,cr P,Pp Q Qk,1 R Sj, Sj,ini Sy, Sz SCF T TEd TRd Tt,Ed Tw,Ed V Vcr, Vd, Vt Vc,Rd VEd Vpl,Rd VT,Rd Vy,Ed, Vz,Ed Vw Wel, Wpl Wi, Wy , Wp Wy, Wz

slagseighet lengde, spennvidde kritisk lengde, knekklengde moment dimensjonerende vippemoment kritisk moment for vipping elastisk momentkapasitet=( fy∙W) plastisk momentkapasitet=( fy∙Wpl) dimensjonerende momentkapasitet dimensjonerende momentkapasitet redusert pga samtidig aksialkraft N momenter om x-, y- og z-akse tilleggsmoment på grunn av forskyvning av arealsenter kraft, aksialkraft, aksialkraft pr lengdeenhet i plater, antall lastvekslinger flenskraft dimensjonerende aksialkraft dimensjonerende kapasitet i bøyeknekking dimensjonerende aksialkraftkapasitet i trykk kritisk kraft for bøyningsknekking (Eulerlast) kritisk kraft for torsjonsknekking, kritisk kraft for bøyetorsjonsknekking dimensjonerende aksialkraftkapasitet i strekk dimensjonerende aksialkraftkapasitet i nettotverrsnitt kritisk kraft for knekking om y- og z-aksen kraft eller ytre last, bruddkraft (plastisk) verdi av kraft kontaktkraft karakteristisk verdi av dominerende variabel last radius, spenningsforhold i utmatting, R (resistance, tid) i branndimensjonering rotasjonsstivhet i knutepunkt, initialstivhet (elastisk) første arealmoment om y- og z-aksen spenningskonsentrasjonsfaktor torsjonsmoment, temperatur dimensjonerende torsjonsmoment (snittkraft) dimensjonerende kapasitet i torsjon dimensjonerende torsjonsmoment i St. Venants torsjon dimensjonerende hvelvningstorsjonsmoment skjærkraft, volum skjærkraft i strekkfeltteori; kritisk skjærkraft, kapasitet, strekkfeltkomponent dimensjonerende kapasitet i skjær dimensjonerende skjærkraft (snittkraft) plastisk kapasitet i skjær dimensjonerende skjærkraftkapasitet redusert pga samtidig torsjonsmoment T dimensjonerende skjærkraft i y- og z-retning skjærkraft i søylestegpanel elastisk og plastisk tverrsnittsmodul (motstandsmoment) indre arbeid, ytre arbeid, plastisk arbeid i flytelinje elastisk tverrsnittsmodul (motstandsmoment) om hhv y- og z-aksen

a b beff c

nominelt rotmål, lengde av platefelt, sprekkmål, avstand tverrsnittsbredde, bredde av platefelt effektiv bredde av platefelt, effektiv bredde av plate eller flens spesifikk varmekapasitet, utstikk fotplate 14

d d0 e e1 e2 e* f fk fy fu g h, hw hf hnet ,d

diameter og skruediameter diameter for hull til skrue eksentrisitet, avstand til flenskant endeavstand i kraftretning, målt fra skruehullets senter til stavende kantavstand normalt på kraftretningen målt fra skruehullets senter amplituden til ekvivalent formfeil forsterkningsfaktor pga aksialkraft N knekkspenning flytespenning, flytegrense bruddspenning, strekkfasthet gap mellom staver i rørknutepunkt, bredde av strekkfelt, gap tverrsnittshøyde, avstand, steghøyde mellom flensene avstand mellom flensenes arealsentra dimensjonerende varmefluks pr arealenhet

i, iy, iz k ky,θ, kE,θ, kp,θ kyy, kyz, kzy, kzz kw kx, kφ kσ, kb, kτ, kF l, ly, le leff leff,cp, leff,nc m m1, m2 mx, mp p q s r t tf tw u, v, w w0 x, y, z ys, zs y0, z0 zekv

arealtreghetsradius, arealtreghetsradius om y- og z-aksen koeffisient, stivhet reduksjonsfaktorer for egenskaper ved varierende temperatur (brann) interaksjonsfaktorer for bjelke-søyler interaksjonsfaktor for bjelke-søyler stivhet av elastisk underlag translasjonsstivhet, rotasjonsstivhet knekkingskoeffisienter lengde og spennvidde, effektiv lastlengde for punktlast, parameter for punktlast effektiv lengde (av T-stykke) effektiv lengde for T-stykke, cp (sirkulære) og nc (ikke-sirkulære) mekanismer sprekkvekstparameter, helning av SN-kurver, avstand skrue til steg i T-stykke parametere for punktlast på platerand fordelt moment om x-akse, plates flytemoment (begge er per lengdeenhet) fordelt last, hullavstand fordelt last, skjærspenningsstrøm hullavstand ved forskjøvet hullplassering radius, avrundingsradius i I- eller H-profil tykkelse, tid flenstykkelse stegtykkelse forskyvninger i x-, y- og z-retning initialutbøyning koordinater koordinater av arealsenter (tyngdepunkt) koordinater av arealsenter (tyngdepunkt) avstand i knutepunktsberegning, ekvivalent arm

α αc αb, αd αcr

temperaturutvidelseskoeffisient, knekkurveparameter, lengdeforhold i plate varmeoverføringskoeffisient (c = konveksjon) koeffisienter for bestemmelse av skruekapasitet laveste egenverdi ved stabilitetsanalyse, minste multiplikator for lasten for å nå ideell (elastisk) knekklast knekklengdefaktor, reduksjonsfaktor for lange forbindelser, forholdstall, reduksjon, overføringsfaktor for moment/skjær i knutepunkt korrelasjonsfaktor for sveis

β βw

γ γM0, γM1, γM2 γMf γM,fi

skjærtøyning, dimensjonsløs stivhet materialfaktorer for bruddformer materialfaktor for utmatting materialfaktor for brann

δ, ∆ ε εp εt εy εu

nedbøyning, bruddforlengelse, dimensjonsløs stivhet, forskyvning tøyning, faktor avhengig av fy, emissivitet plastisk tøyning termisk tøyning flytetøyning bruddtøyning hovedakse ut av planet svak hovedakse, justeringsfaktor i stegslankhetsberegning, utnyttelsesgrader reduksjonsfaktor for dimensjonerende last ved brann endring i torsjonsvinkel φ pr lengdeenhet, rotasjon av platedel ståltemperatur kritisk ståltemperatur gasstemperatur i brann krumning, skjærkonstant, parameter i shear-lag faktorer for beregning av kapasitet av brannpåkjent bjelke slankhet, varmeledningskoeffisient flyteslankhet relativ slankhet for bøyningsknekking relativ slankhet for torsjons- eller bøyetorsjonsknekking

]

η ηfi θ θa θa,cr θg κ κ1, κ2 λ

O1 O OT OLT Op , Op

μ μ0 ν ξ ρ, ρc σ σx, σy, σz σe, σE σcr σm Δσ, Δτ ΔσR, ΔτR ΔσE,2, ΔτE,2 ΔσC, ΔτC ΔσD, ΔτD ΔσL, ΔτL τ φ χ, χLT, χfi ψ

relativ slankhet for vipping relativ plateslankhet, plateslankhet friksjonskoeffisient, parameter i knutepunktkapasitet utnyttelsesgrad tverrkontraksjonstall sterk hovedakse, forholdstall ved plate/søyle knekking massetetthet, reduksjonsfaktor for plateknekking, og for platefeltknekking normalspenning og Stefan-Boltzmanns konstant normalspenning i x-, y- og z-retning basis knekkspenning kritisk spenning middelspenning spenningsvidde for normal- og skjærspenning utmattingsfasthet ekvivalent harmonisk spenningsvidde ved 2∙106 vekslinger utmattingsfasthet ved NC = 2∙106 vekslinger utmattingsgrense for konstant amplitude ved ND vekslinger cut-off grense ved NL vekslinger skjærspenning (eks: τxy er spenning i snitt på x-akse pekende langs y-akse) rotasjon, torsjonsvinkel reduksjonsfaktor bøyeknekking, vipping og bøyeknekking ved brann spenningsforhold, forhold mellom endemomenter sektorkoordinat (hvelvningstorsjon), reduksjon for skjærkraft i søylestegpanel

ANALYSE- OG DIMENSJONERINGSPRINSIPPER

1.1 Lover, forskrifter og standarder I dag er det et samfunnsansvar at sikkerheten av bygninger og samfunnets fysiske infrastruktur er så høy at sammenbrudd og andre alvorlige skader på konstruksjoner ikke skal påføre mennesker eller miljøet skader. Av denne grunn har man et hierarki av lover, forskrifter og offentlige regelverk som samlet skal sikre at bygningskonstruksjoner har tilstrekkelig sikkerhet mot sammenbrudd. Det overordnede ledd i dette systemet er Plan- og bygningsloven [1.1], som er en ramme- og fullmaktslov. Den gir hovedbestemmelsene for byggevirksomheten, bl a om planer på riksnivå, fylkes- og kommuneplaner, reguleringsplaner og konsekvensutredninger. Videre inneholder loven bestemmelser om ekspropriasjon og skjønn, refusjoner av utgifter til vei, vann og kloakk, bestemmelser om byggetillatelse, nabovarsel og kontroll av byggearbeider. Loven har også bestemmelser vedrørende ansvarsforhold i forbindelse med byggeaktivitet. Byggeforskriftene [1.2] er neste ledd i hierarkiet, og inneholder detaljbestemmelser om bl a kartverk, bygningsdeler og installasjoner samt enkelte konstruktive bestemmelser. Forskriftene gir generelle funksjonskrav til materialer, konstruksjoner og bygningsdeler med hensyn til lyd- og varmeisolasjon, ventilasjon og brannmotstand, samt detaljerte bestemmelser om varmeanlegg og ildsteder. Byggeforskriftene utarbeides og forvaltes av Statens bygningstekniske etat (BE). Prosjektering og utførelse av bygningskonstruksjoner skal gjennomføres i samsvar med reglene i Norsk standard (NS), som omfatter standarder for produkter, prosjektering og utførelse. Standardene utgis og forvaltes av Standard Norge. Prosjekteringsstandardene for bygningskonstruksjoner er i dag del av felles europeiske standarder, Eurokoder (EN). Disse standardene har betegnelsen NS-EN 199X, som betyr at dette er en europeisk standard

(EuroNorm) utarbeidet av den europeiske standardiseringsorganisasjonen CEN, og vedtatt som Norsk standard. Norsk standard anses juridisk som en del av Plan- og bygningsloven og Byggefor-skriftene når disse henviser til Norsk standard. Videre betraktes Plan- og bygningslovens krav til utførelse av byggearbeider som oppfylt dersom materialvalg og materialbruk er i henhold til de relevante bestemmelser i standardene. Figur 1.1 gir en oversikt over hierarkiet av lover og regler.

Produkter

Plan- og bygningslov

Ramme- og fullmaktslov Hovedbestemmelsene for byggevirksomheten

Byggeforskrifter

Detaljbestemmelser

Norsk standard (NS)

Krav og anvisninger

Prosjektering

Utførelse

Figur 1.1 Hierarki av lover og regelverk De viktigste prosjekteringsstandarder for bygningskonstruksjoner er: NS-EN 1990 Grunnlag for prosjektering av konstruksjoner NS-EN 1991 Laster på konstruksjoner NS-EN 1992 Prosjektering av betongkonstruksjoner NS-EN 1993 Prosjektering av stålkonstruksjoner NS-EN 1994 Prosjektering av samvirkekonstruksjoner av stål og betong NS-EN 1995 Prosjektering av trekonstruksjoner NS-EN 1996 Prosjektering av murkonstruksjoner NS-EN 1997 Geoteknisk prosjektering NS-EN 1998 Prosjektering av konstruksjoner for seismisk påvirkning NS-EN 1999 Prosjektering av aluminiumskonstruksjoner Det finnes produktstandarder for de fleste materialer og produkter som benyttes i byggeindustrien. Hensikten med produktstandardene er å sikre at produkter som anskaffes skal tilfredsstille visse krav. Dette innebærer for eksempel at når man kjøper en skrue og en mutter skal

de to delene ha samme type gjenger og passe sammen, uavhengig av hvilken produsent som har produsert dem. Det finnes videre en rekke standarder knyttet til utførelsen av bygg og anlegg. Noen av disse regulerer kontraktsforholdene mellom byggherre og entreprenør, mens andre gir spesifikke regler for hvordan ulike arbeidsoperasjoner skal utføres. Det viktigste formål med disse standarder er å sørge for at det ikke skal være tvil om hva entreprenøren har forpliktet seg til å levere, og til hvilken pris og kvalitet. Prosjekteringsstandardene for bygningskonstruksjoner i stål, NS-EN 1993 [1.3], består av en rekke generelle (generiske) deler, samt anvendelsesregler (application rules) for f.eks. bruer, master, tårn og siloer. De viktigste av disse reglene finnes på norsk, mens andre kun er tilgjengelig på engelsk. De generelle regler er NS-EN 1993-1-1 Allmenne regler og regler for bygninger NS-EN 1993-1-2 Brannteknisk dimensjonering NS-EN 1993-1-3 Konstruksjoner av kaldformede tynnplateprofiler NS-EN 1993-1-4 Konstruksjoner av rustfritt stål NS-EN 1993-1-5 Plater påkjent i plateplanet NS-EN 1993-1-6 Skallkonstruksjoner NS-EN 1993-1-7 Plater påkjent normalt på plateplanet NS-EN 1993-1-8 Knutepunkter NS-EN 1993-1-9 Utmattingspåkjente konstruksjoner NS-EN 1993-1-10 Materialers slagseighet og egenskaper i tykkelsesretningen NS-EN 1993-1-11 Konstruksjoner med kabler og strekkstag NS-EN 1993-1-12 Konstruksjoner med høyfast stål

1.2 Konstruksjons- og materialmodeller For å kunne gjennomføre lastvirkningsanalysen, dvs bestemme de indre snittkrefter og/eller deformasjoner, er det nødvendig å lage en matematisk modell av konstruksjonen som enkelt lar seg løse, og som er representativ for konstruksjonens oppførsel under belastning. I den klassiske bjelketeorien modelleres for eksempel en bjelke som en endimensjonal komponent hvor dimensjonen L i lengderetningen er stor i forhold til de øvrige tverrsnittsdimensjonene, og vi finner enkelt fordelingen av normal- og skjærspenningene. Dersom bjelkens høyde h er

større enn ca L/4, fås imidlertid en ikke-lineær spenningsfordeling over bjelkens høyde, og den klassiske bjelketeorien er ikke lenger tilstrekkelig. Tilsvarende må vi etablere matematiske modeller for plater og skallkonstruksjoner, som gjør det mulig å finne løsninger som er tilstrekkelig nøyaktige for prosjekteringen. For fagverk og rammer er det videre nødvendig å etablere modeller som beskriver knutepunktenes egenskaper. Figur 1.2 viser to mulige modeller av et enkelt stålfagverk som består av 13 stavformede elementer. I modell 1 antas at alle knutepunktene er utformet som ledd, hvor alle stavender er fritt dreibare og momentfrie. Dette er en modell som beregningsmessig er lett å løse, men som i praksis ikke nødvendigvis er en hensiktsmessig utforming. Fritt dreibare og momentfrie ledd er kostbare i produksjon, og det er heller ikke rasjonelt å kappe opp en stålstav, som kommer i lengder opp til 12 m, i kortere deler for deretter å føye dem sammen igjen. I modell 2 er både over- og undergurten utført i to lengder, mens forbindelsen mellom diagonaler og vertikaler er leddet mot gurtene. Dette er en mer realistisk modell, men som er statisk ubestemt og ikke lar seg enkelt løse ved hjelp av de metoder som er presentert i den grunnleggende statikk og fasthetslære.

Modell 1

Modell 2

Figur 1.2 Beregningsmodeller for fagverk Forbindelsen mellom søyle og bjelke i en rammekonstruksjon kan gis ulike konstruktive utforminger, og dermed ulike egenskaper. Figur 1.3 viser tre modeller for et rammehjørne; et momentstivt (kontinuerlig) hjørne, et leddet hjørne hvor stavendene er fri til å rotere relativt til hverandre, og en modell med delvis kontinuitet, hvor hjørnets moment-rotasjonsegenskap er modellert ved hjelp av en rotasjonsfjær med stivhet kφ. kφ

Momentstivt

Leddet

Delvis kontinuerlig

Figur 1.3 Modellering av rammehjørne 20

Mange konstruksjoner kan ikke modelleres ved hjelp av enkle stavformede elementer, og man må bruke mer kompliserte 2- og 3-dimensjonale elementer. Figur 1.4 viser hvordan flenser og steg i en I-bjelke med en langsgående stegstiver er modellert ved hjelp av rektangulære plane elementer. Med en slik modell er det ved hjelp av elementmetoden (FEM) mulig å beregne spenningsfordelingen i steg, flenser og stiver numerisk, samt å undersøke om det for eksempel er fare for lokal knekking av steg eller flenser.

Figur 1.4 I-bjelke med langsgående stiver modellert ved hjelp av rektangulære elementer I tillegg til den geometriske modelleringen av konstruksjonen må materialets mekaniske egenskaper også modelleres. Figur 1.5 viser spennings-tøynings forløpet for et typisk konstruksjonstål. Materialet oppfører seg tilnærmet lineært elastisk opp til flytespenningen fy, hvoretter det oppstår permanente plastiske deformasjoner. For dimensjoneringen er det ikke hensiktsmessig å basere beregningene på det virkelige forløpet, og vi innfører forenklede materialmodeller. De vanligste modellene er den lineært elastiske, den elastisk-perfekt plastiske og den stiv-plastiske. σ

Elastisk-plastisk

σ Elastisk-perfekt plastisk

Stivt plastisk

Figur 1.5 Materialmodeller for konstruksjonsstål I de fleste tilfeller tillates flytning, men kun små plastiske deformasjoner, og stålets fastning kan neglisjeres. I slike tilfeller er den elastisk-perfekt plastiske materialmodellen nøyaktig nok. Den stiv-plastiske modellen benyttes ved plastiske analyser, avsnitt 1.4. Den elastiskplastiske materialmodellen benyttes for ikke-lineære, numeriske analyser. 21

1.3 Elastisk lastvirkningsanalyse De indre krefter og deformasjoner beregnes vanligvis ved hjelp av en linearisert elastisk analyse, ogsĂĽ kalt en 1. ordens elastisk analyse. Dette innebĂŚrer at materialet er modellert som lineĂŚrt elastisk, samtidig som det er foretatt to viktige forenklinger (lineariseringer): - likevektsligningene er formulert i konstruksjonens ubelastede/udeformerte tilstand - smĂĽ forskyvninger og rotasjoner For en bjelke betyr den siste forenklingen at rotasjonen w,x << 1, og at sammenhengen mellom krumning Îş og tverrforskyvning w kan lineariseres

1 R

w, xx

3 2 2

1 w,

| w, xx

Forenklingene medfĂ¸rer at bjelkens differensialligning blir lineĂŚr og dermed lett ĂĽ lĂ¸se. Lineariteten innebĂŚrer ogsĂĽ at superposisjonsprinsippet kan benyttes, slik at man med liten regneinnsats kan analysere hvert lasttilfelle (egenlast, nyttelast, snĂ¸- og vindlast) for seg, og deretter kombinere lĂ¸sningene lineĂŚrt for de enkelte lastsituasjoner. Ved en 2. ordens analyse etableres likevektsligningene i deformert tilstand og det ikke-lineĂŚre uttrykket for krumningen beholdes. Dette innebĂŚrer at diff.ligningen blir ikke-lineĂŚr, og mĂĽ i de fleste tilfeller lĂ¸ses numerisk, for eksempel ved hjelp av elementmetoden. Den fritt opplagte bjelken i figur 1.6 har ett fast lager og ett glidelager, og er belastet med en fordelt last q. Momentet og nedbĂ¸yningen w finnes enkelt etter 1. ordens teori, men teorien gir ingen informasjon om forskyvningen u i bjelkens lengderetning eller om glidelagerets forskyvning Î&#x201D;. Dersom man antar at lasten q gir en sinusformet nedbĂ¸yning med amplitude Î´ w G sin

Sx L

finner man fra en geometrisk betraktning at L

1 2 w, x dx 2 Âł0

S2 Â§G Âˇ

Â¨ Â¸ 4 ÂŠ LÂš

Dersom man videre antar at Î´/L = 0,01, som er en stĂ¸rre nedbĂ¸yning enn hva vi vanligvis tillater for en bjelke, fĂĽs Î&#x201D; â&#x2030;&#x2C6; 2,5Âˇ10-4 L. Da endeforskyvningen Î&#x201D; ikke er forhindret, oppstĂĽr det ingen aksialtĂ¸yning eller aksialkraft N i bjelken. Forskyvningen har selvfĂ¸lgelig ingen

betydning for de indre momenter og skjærkrefter. Dersom bjelken utføres med to fastlagre, gir 1. ordens teori samme resultat som for den fritt opplagte bjelken. Dette skyldes at likevektsligningene fortsatt er skrevet i udeformert tilstand, og at den horisontale fastholdingen ikke inngår i formuleringen av problemet.

Figur 1.6 Respons for fritt opplagt og tosidig fastholdt bjelke For den fritt opplagte bjelken gir 1. og 2. ordens teori samme nedbøyning og moment, men i tillegg bestemmer 2. ordens teori også forskyvningen Δ. Da Δ ikke er fastholdt oppstår det imidlertid ingen aksialkraft N i bjelken, og responsen for begge teorier er gitt ved kurve c i figur 1.6. For den tosidig fastholdte bjelken er Δ = 0, og på grunn av deformasjonen w får bjelken en betydelig aksialkraft N, som i deformert tilstand har en vertikalkomponent. Denne komponenten inngår i den vertikale likevektsligningen, og N vil derfor bidra til bjelkens stivhet. Bjelken vil virke som en hengekøye med en stor aksialkraft N, og responsen er gitt ved kurve d i figuren. Så lenge vi ikke har innført noen begrensning på normalspenningen σ = N/A vil kurven fortsette å stige, og løsningen etter 1. ordens teori vil være konservativ med hensyn til maksimal nedbøyning.

Figur 1.7 Respons av utkrager med aksialkraft

I motsetning til bjelkeeksempelet, hvor den positive aksialkraften bidrar til å øke bjelkens stivhet, vil den negative aksialkraften i utkrageren i figur 1.7 bidra til å redusere stivheten. Etter 1. ordens teori er momentet ved innspenningen gitt ved MA = H·L. N inngår ikke i likevektsligningen, og forskyvningen Δ0 = HL3/(3EI) er uavhengig av N. I deformert tilstand er momentet MA = H·L + N·Δ, og responskurven i figuren viser at for konstant H øker Δ eksponensielt når N→Ncr. Ncr er stavens kritiske last (knekklast), og diskuteres videre i kapittel 5. Disse illustrasjonene viser at i enkelte tilfeller er det absolutt nødvendig å benytte 2. ordens teori for å få en realistisk løsning for lastvirkningene. NS-EN 1993-1-1 [1.3] angir at det skal tas hensyn til 2. ordens effekter dersom de påvirker de indre snittkrefter betydelig, eller endrer konstruksjonens oppførsel. 1. ordens analyse kan benyttes dersom deformasjonene gir neglisjerbare økninger i de indre krefter. Dette kravet anses å være tilfredstilt dersom

D cr

Fcr t 10 for elastisk analyse FEd

D cr

Fcr t 15 for plastisk analyse FEd

Her er FEd den dimensjonerende ytre last og Fcr er den verdi av lasten som gjør konstruksjonen ustabil. Figur 1.8 viser tre alternative utforminger av bæresystemet for et etasjebygg. I alternativ a må de horisontale laster opptas ved bøyning i søylene, og bygget har liten sideveis stivhet. Det kan da være nødvendig å undersøke om det er nødvendig å benytte 2. ordens teori. I alternativ b og c er bygget sideveis avstivet av henholdsvis et vertikalt fagverk og en stiv skive (skravert), og det vil normalt være tilstrekkelig å benytte 1. ordens teori.

Figur 1.8 Alternative utforminger av etasjebygg

1.4 Plastisk lastvirkningsanalyse 1.4.1 Plastisitetsteoriens grenseteoremer Ved elastisk dimensjonering antas at konstruksjonens kapasitet er fullt utnyttet ved begynnende flytning i det mest påkjente punkt i konstruksjonen. Denne kapasiteten representerer ikke nødvendigvis den maksimale bæreevnen, det vil si den påkjenning som fører til sammenbrudd i konstruksjonen. Denne kapasiteten kan bestemmes ved en plastisk analyse. Den elastiske løsningen av et spenningsproblem forutsetter at følgende relasjoner er tilfredsstilt: - Likevekt mellom ytre og indre krefter - Materialloven (Hookes lov) - Tøynings-forskyvningsrelasjonen (Bernoulli-Navier for bjelker) - Randbetingelsene De tre første av disse danner basis for utledningen av problemets differensialligning, som deretter integreres med hensyn til randbetingelsene. Ved en plastisk løsning søkes den last som gir et plastisk sammenbrudd i konstruksjonen. En inkrementell numerisk analyse, for eksempel ved hjelp av elementmetoden, kan ta hensyn til ikke-lineariteter i både geometri og materiale, og kan bestemme både bruddlasten og forskyvningene ved sammenbrudd. Ved en analytisk plastisk analyse er dette generelt ikke mulig, og det er vanlig å modellere materialet som stivt plastisk. Dette medfører at forskyvningene forblir ukjente, men ved hjelp av plastisitetsteoriens grenseteoremer kan man bestemme øvre og nedre grenser for bruddlasten [1.4]. Øvre grenseteorem (det kinematiske teorem) En valgt (antatt) kinematisk mulig mekanisme vil ved en arbeidsbetraktning, hvor det ytre arbeid settes lik det indre plastiske arbeid, gi en kapasitet som er større eller lik den korrekte verdi. Teoremet benyttes ved flyteledd- og flytelinjeberegninger av henholdsvis bjelker/rammer og plater belastet normalt på eget plan. En kinematisk mulig mekanisme finnes ved at det for eksempel i en bjelke innføres så mange plastiske ledd at den kollapser som en mekanisme. Dette innebærer at man relakserer randbetingelsen eller kontinuitetsbetingelsen der leddene er innført. For en statisk bestemt bjelke er ett flyteledd tilstrekkelig for at me-

kanismen dannes, mens en ĂŠn gang statisk ubestemt bjelke krever to flyteledd. Dersom lĂ¸sningen ikke overskrider den plastiske momentkapasiteten noe sted i konstruksjonen, vil lĂ¸sningen vĂŚre den korrekte. Nedre grenseteorem (det statiske teorem) En valgt (antatt) fordeling av spenninger innen en konstruksjon som tilfredsstiller likevekt mellom indre og ytre krefter og som ikke noe sted overskrider den plastiske kapasitet, vil gi en kapasitet som mindre eller lik den korrekte verdi. Teoremet benyttes ofte for ĂĽ bestemme kapasiteten av et tverrsnitt utsatt for en kombinasjon av snittkrefter. Dersom den valgte spenningsfordeling er korrekt, vil ogsĂĽ bruddlasten vĂŚre korrekt. Grenseteoremene gir grenser for konstruksjonens plastiske kapasitet (bruddlast), men gir ingen informasjon om konstruksjonens forskyvninger nĂĽr den bryter sammen. VĂŚr videre oppmerksom pĂĽ at superposisjonsprinsippet ikke gjelder for ikke-lineĂŚre systemer, og det er derfor nĂ¸dvendig ĂĽ gjennomfĂ¸re den plastiske analysen for flere lastsituasjoner for ĂĽ finne den ugunstigste. Ved vanlig dimensjonering er det derfor ikke vanlig ĂĽ benytte plastisitetsteorien i lastvirkningsanalysen, men teorien er ofte det eneste alternativ for dimensjoneringen av kompliserte konstruksjonsdetaljer. 1.4.2 Flyteleddberegninger Som nevnt ovenfor mĂĽ vi bestemme hvor mange flyteledd som er nĂ¸dvendig for at en konstruksjon skal danne en mekanisme med ĂŠn frihetsgrad. For en konstruksjon som er U ganger statisk ubestemt er det nĂŚrliggende ĂĽ anta at antall nĂ¸dvendige flyteledd L=U+1. For globale mekanismer er dette dekkende, men det kan ofte vĂŚre nĂ¸dvendig ĂĽ vurdere lokale mekanismer som krever fĂŚrre flyteledd. Antall ledd vil derfor vĂŚre [1.5] L d U 1

Som et eksempel betraktes en kontinuerlig bjelke over fire felt, figur 1.9. Bjelken er tre ganger statisk ubestemt, og for den globale mekanismen er det nĂ¸dvendig med L=4 flyteledd. Det kan imidlertid oppstĂĽ lokale mekanismer hvor det er tilstrekkelig med fĂŚrre flyteledd, som vist i figuren. For den jevnt fordelte lasten q er det lite trolig at den globale mekanismen er den korrekte, da q utfĂ¸rer negativt arbeid i to av feltene. For at denne mekanismen skal vĂŚre

aktuell må det være noen oppadrettede krefter som gir positivt arbeid i disse feltene, som vist i figuren. Flyteleddene opptrer vanligvis under punktlaster, i felt belastet med fordelt last, i skjøter med endring i plastisk momentkapasitet, i rammehjørner og ved innspenninger.

Figur 1.9 Lokale og globale mekanismer i kontinuerlig bjelke Ved økende last får konstruksjonen økende elastiske deformasjoner, og når bruddlasten er nådd har konstruksjonen fått så mange flyteledd at det har oppstått en kinematisk mekanisme med én frihetsgrad. I denne tilstanden er det fortsatt likevekt mellom ytre last og indre krefter. Man kan nå introdusere virtuelle forskyvninger og rotasjoner som er i samsvar med mekanismen, det vil si at elastiske deformasjoner neglisjeres. Lastene utfører dermed et ytre virtuelt arbeid Wy, og det utføres et indre plastisk arbeid Wp i flyteleddene. I henhold til øvre grenseteoremet finnes bruddlasten ved å sette Wy = Wp. Den beregnede bruddlasten er enten korrekt eller den er for stor. Dersom bjelkens resulterende momentdiagram ikke noe sted overskrider den plastiske momentkapasiteten, er den korrekte mekanismen funnet.

Figur 1.10 Moment-rotasjonskurve for bjelke

I et forsĂ¸k hvor en fritt opplagt bjelke belastes med to like og symmetrisk plasserte punktlaster er momentet konstant mellom lastene, og rotasjonen Î¸ over midtfeltet kan mĂĽles. For et vanlig konstruksjonsstĂĽl er sammenhengen mellom M og Î¸ som vist i figur 1.10. I flyteleddberegningene neglisjeres de elastiske deformasjonene, og M-Î¸ forlĂ¸pet kan modelleres som stivt plastisk. Det plastiske arbeidet i et flyteledd som pĂĽfĂ¸res en rotasjon Î¸ er dermed lik MpÂˇÎ¸. I det viste eksemplet er skjĂŚrkraften V = 0 i midtfeltet, og har ingen innflytelse pĂĽ M-Î¸ forlĂ¸pet. For I-profiler kan det generelt vises at en skjĂŚrkraft V â&#x2030; 0 ikke pĂĽvirker momentkapasiteten Mp i nevneverdig grad. Derimot vil en aksialkraft N kunne endre M-Î¸ kurven. Det er her forutsatt at bjelkens tverrsnitt har sĂĽ liten slankhet at flenser og steg ikke knekker lokalt. For ĂĽ unngĂĽ dette stilles det krav til slankheten av tverrsnittsdelene, se avsnitt 3.5.

Eksempel 1.1 Statisk ubestemt bjelke med punktlast F A

C Mp

Î¸A

Î&#x201D;

Rotasjoner

Î¸C

Î¸B

' L

' 2L

T B T A TC

3' 2L

Figur 1.11 Statisk ubestemt bjelke med punktlast Figur 1.11 viser en bjelke som er fast innspent i punkt A, fritt opplagt i punkt C og belastet med punktlasten F i punkt B. Bjelken har konstant plastisk momentkapasitet Mp. Bjelken er ĂŠn gang statisk ubestemt, og det kreves to flyteledd for ĂĽ danne en mekanisme. Den naturlige plassering av leddene er i punktene A og B. Dersom mekanismen pĂĽsettes en forskyvning Î&#x201D; finnes de absolutte rotasjonene Î¸A og Î¸C og den relative rotasjonen Î¸B uttrykt ved Î&#x201D;. Det virtuelle plastiske og ytre arbeidet er henholdsvis Wp

M pT A M pT B

'Â§ 3Âˇ ' Â¨ 1 Â¸ =M p 2,5 LÂŠ 2Âš L

og bruddlasten Fp er

2,5

Mp L 28

F Â&#x2DC;'

ISBN 978-82-450-3391-5

,!7II2E5-addjbf!

Per Kristian Larsen

Alle beregningseksempler i boken referer til NS-EN 1993 (Eurokode 3).

DIMENSJONERING AV STÅLKONSTRUKSJONER

Per Kristian Larsen

DIMENSJONERING AV STÅLKONSTRUKSJONER 3. utgave