Påfyll matematikk (9788245025538) by Fagbokforlaget

Ved universiteter og høyskoler gir boken et skreddersydd opplegg for et forkurs i matematikk spesielt egnet for studenter med matematikkbakgrunn 2P eller tilsvarende nivå. Den er også å anbefale som forberedende litteratur før studenter starter på obligatoriske matematikkemner, eller den kan rett og slett fungere som et oppslagsverk gjennom studietiden. Til slutt noen sitater fra godt fornøyde studenter som har lest tidligere versjoner: «Boken var helt perfekt, meget pedagogisk satt sammen, og et hjelpemiddel jeg ikke kunne vært foruten. Oppgavene var akkurat passe vanskelig. Oppbygningen var logisk, med eksempler etterfulgt av oppgaver som skulle løses. Alt i alt en meget bra bok!» «Fantastisk flott bok som virkelig har hjulpet meg i selvstudier. Den har blitt, og blir fortsatt flittig brukt for å kunne forstå ting bedre, siden innholdet er beskrevet på en mer leservennlig måte enn i andre lærebøker.»

«Jeg skulle ønske at alle fagbøkene hadde vært lagt opp på denne måten! Ordentlig forklart og beskrevet, forståelig, markert med farger, og kapitler som er fornuftig delt opp. Takk for det!» ISBN 978-82-450-2553-8

,!7II2E5-acffdi!

PÅFYLL MATEMATIKK

Boken er basert på forfatternes pedagogiske erfaringer fra kurs i matematikk på videregående skole og universitetsnivå. En hensikt med boken er å ufarliggjøre matematikken gjennom å bruke et folkelig språk og knytte problemstillingene til hverdagslige hendelser. Boken er bygget opp etter vanskelighetsgrad i stedet for den vanlige tematiske strukturen, er fylt med grundige eksempler og oppgaver med tilhørende løsningsforslag og den gir leseren mulighet for å kartlegge eget ferdighetsnivå. Gjennom aktiv bruk av pedagogiske elementer som farger og temabokser har forfatterne prøvd å fremheve mellomregninger og sentrale regnetips, og samtidig gjøre boken mer leservennlig. Den pedagogiske vinklingen gjør den også meget godt egnet for selvstudier.

KRISTENSEN—WÆRNESS

Vi trenger alle å kunne noe matematikk, enten til hverdags eller i forbindelse med studier og arbeidsliv. Studenter som kommer fra videregående skole, må ofte friske opp sine kunnskaper og tette matematiske hull. Andre har kanskje hatt et langvarig opphold fra matematikk når de begynner på høyere utdanning. I jobbsammenheng er det heller ikke uvanlig å møte problemstillinger som krever mer matematisk forståelse. På hjemmebane må også foreldre og foresatte gang på gang ty til rustne ferdigheter for å hjelpe sine håpefulle med matematikkleksene. Kanskje er du blant dem som trenger matematisk påfyll?

ØRJAN KRISTENSEN KRISTIAN WÆRNESS

FOR STUDENTER OG ANDRE LÆRELYSTNE

(2,1)

(3,1)

PÅFYLL MATEMATIKK

FOR STUDENTER OG ANDRE LÆRELYSTNE ØRJAN KRISTENSEN KRISTIAN WÆRNESS

(4,1)

Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Layout, sideombrekking og figurarbeid er utført av Gamma grafisk AS (Vegard Brekke) Omslagsdesign ved forlaget Omslagfoto: © Lutsina Tatiana / Shutterstock

Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 Faks: 55 38 88 01 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no

Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarframstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

(5,1)

Forord Matematikk anvendes innenfor mange ulike studieretninger ved universiteter og høyskoler, for eksempel økonomifag og ingeniørfag. Dersom du skal utdanne deg til lærer, trenger du også matematikk, og matematisk påfyll er nødvendig for både helsefag og andre realfaglige utdanninger. Matematikk kommer vi heller ikke utenom i arbeidslivet. Det kan være seg en butikkansatt som skal telle opp kassen, en sykepleier som skal klargjøre en medisindose, eller en snekker som skal beregne materialbehovet ved bygging av garasje. Også i det daglige er matematikk viktig, og vi bruker det ofte uten å tenke over det. Du må kanskje gjøre overslag for å finne ut hva du må betale i butikken, eller du ønsker å beregne bensinforbruket til bilen din. I privatøkonomisk sammenheng betaler du regninger i nettbanken, gjør endringer i selvangivelsen, eller anslår hvor mye du får i feriepenger neste år. På hjemmefronten må foreldre og foresatte ofte ta i bruk (smårustne) matematiske kunnskaper for å hjelpe sine håpefulle. Matematikk kommer altså til nytte både innenfor utdanning, arbeidsliv og til hverdags. Boken er skrevet for flere målgrupper. Hovedsakelig er den tiltenkt studenter som ønsker å forberede seg til kursene de møter på universiteter og høyskoler. Den er spesielt aktuell for studenter med matematikkbakgrunn tilsvarende 2P, og for studenter som ikke har hatt matematikk på en stund. Forhåpentligvis vil det matematiske påfyllet gi det nødvendige grunnlaget for å lykkes med matematikkfaget. Boken skal også egne seg bra som støttelitteratur for foresatte eller andre som skal hjelpe til med leksene hjemme. I arbeidslivet kan boken være nyttig i flere sammenhenger. Kanskje skal du ta videreutdanning, eller delta på konferanser som krever repetisjon av grunnleggende matematikk. Alle andre som føler behov for å friske opp sine matematiske kunnskaper, vil også kunne profitere på innholdet i denne boken. Boken er laget med utgangspunkt i våre egne faglige og pedagogiske erfaringer fra videregående skole og høyere utdanning. Gjennom et folkelig språk forsøker vi å ufarliggjøre matematikken, med begrenset bruk av formelle regler. Matematikere vil kanskje reagere litt på den uformelle tonen, men dette er et bevisst valg fra vår side. Alle forklaringer er satt i en enkel og praktisk sammenheng, ofte knyttet til hverdagslige problemer. Til forskjell fra andre bøker er boken bygget opp etter stigende vanskelighetsgrad, og ikke etter emner. For eksempel møter du brøkregning på tre ulike steder i boken. Det faglige innholdet forklares med mange detaljerte eksempler, og alle emner er supplert med tilhørende «test deg selv»-oppgaver og andre sammenfattende oppgaver. Ditt

(6,1)

PÅFYLL MATEMATIKK

ferdighetsnivå, både før og etter at du har jobbet med boken, kan du måle ved hjelp av kartleggingstester som vi har laget. Ofte er det en negativ sammenheng mellom matematiske forkunnskaper og kalkulatorbruk. Vi ønsker full fokus på analytisk forståelse, og du skal derfor arbeide med boken uten å bruke kalkulator. Boken er skrevet og lagt opp på en måte som også gjør at den egner seg godt til selvstudium. Boken er bygget opp av 10 trinn i kronologisk rekkefølge. Vi anbefaler at du først gjennomfører den innledende kartleggingstesten (den avsluttende testen tar du når trinnene er gjennomgått, og du får et mål på din fremgang). Du skal jobbe deg gjennom hvert trinn, og på veien bør du selv kontrollere utregningene i de mange detaljerte eksemplene. Eksempelboksene ser slik ut: Eksempel 0.1 Eksempelboks Regneeksempler på temaer som nettopp er gjennomgått. Du vil også møte bokser med tilhørende «test deg selv»-oppgaver som skal løses før du går videre. Disse ser slik ut: Test deg selv 0.1 «Test deg selv»-boks Oppgaver som bør løses før du går videre. Fullstendige løsningsforslag finnes bakerst i boken. I hvert trinn er det flere bokser med rød bakgrunnsfarge, og det er viktig å merke seg innholdet i disse. Her vil det være både begrepsavklaringer og nyttige regnetips. Boksene ser slik ut: Begrepsavklaringer og nyttige regnetips. Mer generelle regneregler vil du finne i blå bokser, men vi har prøvd å begrense omfanget av formelle regler. Disse boksene ser slik ut: Regel 0.1 Regelboks Formelle og mer generelle regneregler.

(7,1)

FORORD

Oppgaveregning er kjempeviktig for å bli tryggere på egne matematiske ferdigheter. Derfor avsluttes hvert trinn med 10 oppgaver som skal løses før du går videre til neste trinn. Bakerst i boken finner du fasit til alle oppgavene. Boken er designet slik at brukeren skal møte et klargjort og skreddersydd opplegg, som kan gjennomføres alene eller i organisert form med lærer. I organisert form foreslår vi at det brukes 3 timer til hvert trinn. Det bør legges inn korte pauser, slik at studentene kan regne «test deg selv»-oppgavene på egen hånd. Deretter anbefaler vi at disse oppgavene gjennomgås i plenum. Til neste økt skal studentene gjøre de avsluttende 10 oppgavene, som samlet sett ikke bør ta mer enn et par timer å regne. Dersom lærere har begrenset tid til å gjennomføre opplegget, kan studentene gjennomgå de første trinnene på egen hånd. På universiteter og høyskoler kan boken med fordel settes opp som anbefalt støttelitteratur. La oss nå si litt mer om innholdet i de ulike trinnene. I trinn 1 ser vi på de viktigste tegnene for sammenligning i matematikk, samt de mest grunnleggende regnereglene. Likeverdige brøker og forkorting av brøk ved hjelp av primtallsfaktorisering forklares i starten av trinn 2. Deretter introduseres potenser med tilhørende regneregler. Vi stifter bekjentskap med kvadratrøtter og brøkregning i trinn 3, i tillegg til omgjøring mellom brøker og desimaltall. Trinn 4 forklarer hvordan store og små tall kan skrives på standardform, og deretter introduseres algebra, hvor vi blant annet tar for oss faktorisering. Prosentvise endringer er tema i starten av trinn 5, mens vi mot slutten introduserer likninger og regner på ulike likningstyper. Forskjellen på likninger og ulikheter forklares i trinn 6, og vi løser grunnleggende ulikheter. I trinnet tar vi også opp algebraiske potenser og sentrale potensregler. Vi vender tilbake til prosentregning i trinn 7, der vi tar for oss fordelene med å bruke vekstfaktor. Deretter forklarer vi hva som menes med en funksjon, og vi både tegner og diskuterer spesielle punkter på grafen. I trinn 8 introduserer vi likninger med flere ukjente, som vi løser ved bruk av ulike metoder. Deretter regner vi nok en gang med brøker, som nå inneholder algebraiske uttrykk. Første del av trinn 9 tar for seg spesielle likninger, blant annet andregradslikninger. Deretter går vi tilbake til ulikheter, og viser hvordan disse kan løses ved bruk av fortegnsskjema. I trinn 10 regner vi med kvadratsetningene, og faktoriserer andregradsuttrykk ved hjelp av ABC-formelen. Til slutt tar vi for oss gjennomsnittlig og momentan vekstfart, og introduserer derivasjon. Vi avslutter med å se på sammenhenger mellom grafen og den deriverte. Til boken er det utarbeidet en egen nettressurs. Her vil du blant annet finne eventuelle rettelser. Adressen til nettressursen er: www.fagbokforlaget.no/pafyllmatematikk

(8,1)

PÅFYLL MATEMATIKK

Gjennom arbeidet med boken har vi fått mange gode og nyttige tilbakemeldinger fra både studenter og ansatte. Spesielt ønsker vi å takke våre kollegaer, universitetslektor Hanna Persson, universitetslektor Jørund Greibrokk, universitetslektor Inge Berg Nilssen og førsteamanuensis Eirik Eriksen Heen ved UiT Norges arktiske universitet (UiT). En stor takk rettes til siviløkonomstudent Dan Terje Nytrem ved UiT og sivilingeniørstudent Helge Jørgen Samuelsen ved NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet, som blant annet har kontrollregnet alle oppgavene i boken. En spesiell oppmerksomhet rettes også til professor Arild Wikan ved UiT, for konstruktive innspill gjennom skriveprosessen. Vi er også takknemlige overfor tilbakemeldingene fra studentene som gjennomførte forkurset i matematikk ved UiT høsten 2018. Til slutt vil vi takke Fagbokforlaget og UiT for økonomisk bistand, og ikke minst forlagsredaktør for økonomiske og administrative fag, Sven Barlinn, for et fruktbart og hyggelig samarbeid. Harstad, mai 2019 Ørjan Kristensen Kristian Wærness

(9,1)

Innhold TRINN 1

Innledende kartleggingstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1

Tegn for sammenligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Likhetstegnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ulikhetstegn og andre tegn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tall og regneoperasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De vanligste tallene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Avrunding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grunnleggende regneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 29

Parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tallfølger og tallrekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 39

Oppgaver til trinn 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TRINN 2

2.1

Brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hva er en brøk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45

Likeverdige brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primtallsfaktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 51

Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hva er potenser?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regneregler for potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 58

Flere regneregler for potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver til trinn 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

2.2

(10,1)

PÅFYLL MATEMATIKK

TRINN 3

3.1

Kvadratrøtter og andre røtter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hva er kvadratrøtter? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regneregler for kvadratrøtter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 69

3.2

Røtter av høyere orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Regneoperasjoners prioritet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mer om brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Addisjon og subtraksjon av brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Multiplikasjon og divisjon av brøk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brøk som tall og tall som brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 85

Oppgaver til trinn 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TRINN 4

4.1

4.2

Store og små tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gange og dele med store runde tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

En ny måte å skrive store tall på . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En ny måte å skrive små tall på . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 95

Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Regning med bokstaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forenkling av uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97 99

Regneregler for parenteser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Oppgaver til trinn 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

TRINN 5 5.1

113

Prosentregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Hva er prosent? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Prosentvis endring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Promille og prosentpoeng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2

Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Hva er en likning? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Likninger med parenteser og brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Likninger du selv må stille opp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Oppgaver til trinn 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

(11,1)

INNHOLD

TRINN 6

135

6.1

Ulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

Forskjell på likninger og ulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Noen enkle ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135 137

Ulikheter med parenteser og brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

Mer om potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hva er algebraiske potenser?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144 144

Regneregler for potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

Flere regneregler for potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

Oppgaver til trinn 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

TRINN 7

157

7.1

Mer prosentregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vekstfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157 157

Flere like prosentvise endringer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

Flere ulike prosentvise endringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164

Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

Hva er en funksjon? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

Tegne grafen til en funksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spesielle punkter på grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168 173

Oppgaver til trinn 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

TRINN 8

181

6.2

7.2

8.1

Likningssett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

Likninger med to ukjente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

Innsettingsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Addisjonsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182 187

Noen avsluttende synspunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190

Enda mer om brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

Algebraiske brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

Mer om minste felles nevner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forkorte algebraiske brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195 197

Brøker med røtter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199

Oppgaver til trinn 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

202

8.2

(12,1)

PÅFYLL MATEMATIKK

TRINN 9 9.1

205

Mer likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Likninger med den ukjente i nevner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Likninger med produkt som blir null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Enkel andregradslikning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

9.2

Mer ulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Drøfte fortegnet til en funksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Ulikheter og fortegnsskjema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Ulikheter med brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Oppgaver til trinn 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

TRINN 10

225

10.1 Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Første og andre kvadratsetning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Tredje kvadratsetning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Faktorisering med ABC-formelen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 ABC-faktorisering i spesielle tilfeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Forenkling av brøker med andregradsuttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 10.2 Derivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Gjennomsnittlig vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Momentan vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Grafen og den deriverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Avsluttende kartleggingstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Oppgaver til trinn 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

(13,1)

INNHOLD

TILLEGG A: Innledende kartleggingstest

259

Forklaring av testen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

260

Skjema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

268

TILLEGG B: Avsluttende kartleggingstest

269

Forklaring av testen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

269

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skjema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

270 278

TILLEGG C: Løsningsforslag «Test deg selv»

279

Trinn 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

279

Trinn 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trinn 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

284 288

Trinn 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trinn 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

293 296

Trinn 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

301

Trinn 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trinn 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

308 310

Trinn 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trinn 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

316 323

TILLEGG D: Fasit

331

TILLEGG E: Forfatteromtale

341

TILLEGG F: Register

343

(14,1)

(15,1)

TRINN

Fremdrift

Innledende kartleggingstest Før du går i gang med boken, anbefaler vi at du gjennomfører den innledende kartleggingstesten. Denne finner du i tillegg A på side 259. Hensikten med testen er at du får tilbakemelding på hvor du nå befinner deg i det matematiske landskapet. I tillegg B på side 269 finner du en avsluttende kartleggingstest. Innhold og vanskelighetsgrad i denne testen er laget slik at du kan sammenligne resultatet med den innledende testen. Har du oppnådd fremgang ved å gjennomgå boken? Vi har prøvd å lage testen i et underholdende format. Så her er det bare å finne fram kryssord- eller sudokupennen!

1.1 Tegn for sammenligning I dette avsnittet stifter vi først bekjentskap med likhetstegnet, et av de mest brukte matematiske tegnene. Deretter tar vi for oss ulikhetstegnet og andre viktige tegn for sammenligning innenfor matematikk.

Likhetstegnet Likhetstegnet må nesten betraktes som tegnenes mor i matematikken. Dere har garantert et langt kjennskap til dette tegnet allerede. Likhetstegnet skrives som ¼, og leses som «er lik». Dette tegnet setter vi mellom to uttrykk som skal ha samme verdi.

(16,1)

TRINN 1

PÅFYLL MATEMATIKK

Når du bruker likhetstegnet, må du være helt sikker på at de to uttrykkene på hver side faktisk er like. Vi kan godt sammenligne likhetstegnet med en vippehuske. Hvis dere ikke vet hva dette er, har vi laget en illustrasjon nedenfor.

Dersom du plasserer like mye vekt på begge sidene av vippehusken, står den vannrett (ingen side faller ned). Det er denne likevekten som skal illustrere likhetstegnet. Hvis det ikke er like mye på begge sidene, så faller den tyngste siden ned. Da er det ikke likevekt, og vi kan ikke bruke likhetstegnet. La oss nå plassere en boks på hver side av vippehusken og spille et spill. Dere er to lag med tre personer på hvert lag. Det andre laget legger henholdsvis 2, 5 og 4 kronestykker i sin boks. Dine to lagkamerater legger så 1 kronestykke og 3 kronestykker i boksen, slik figuren viser.

Så det store spørsmålet: Hvor mange kronestykker må du legge i boksen for at vippehusken ikke skal falle ned? Det andre laget har lagt 11 kronestykker i boksen. Dere har så langt lagt 4 kronestykker i boksen. Du skjønner ganske raskt at du må bidra med 7 kronestykker: 1þ3þ ? ¼2þ5þ4 1þ3þ7¼2þ5þ4 11 ¼ 11 Ta en ekstra titt på bruken av likhetstegnet ovenfor. I den første linjen lurer vi på hva spørsmålstegnet må være for at de to sidene skal bli like (i senere trinn vil vi erstatte spørsmålstegnet med den gode gamle x-en). Det er kun når dette er nøyaktig lik 7 at vi kan bruke likhetstegnet, slik det er vist i den andre linjen. Da er begge sidene lik 11, som den tredje linjen viser. Det er ikke alltid like enkelt å finne ut hva du må putte i boksen for å få likevekt. Det hadde vært lurt med en strategi som fungerer for alle tilfeller. Hvis du fjerner 1 kr og 3 kr fra din egen boks, står du igjen med bare spørsmålstegnet. Du står altså igjen med «svaret». Svaret er derimot ikke riktig før du

(17,1)

TEGN FOR SAMMENLIGNING

Strategien med å fjerne det samme fra begge sider kan også uttrykkes matematisk: 1þ3þ ? ¼2þ5þ4

? 1 3 ¼ 2 þ 5 þ 4 1 3 1þ3þ

? ¼2þ5þ4 1 3 ? ¼7

Var ikke dette en god strategi? For å finne verdien til spørsmålstegnet kan du trekke bort tallene som står på denne siden av likhetstegnet. Deretter trekker du bort de samme tallene på den andre siden av likhetstegnet. Nå har du funnet verdien av spørsmålstegnet. I trinn 5 skal du lære å løse likninger, og da vil denne strategien være meget sentral i arbeidet. Før vi går videre med et eksempel skal vi bare nevne en liten sak som vi regner med at du vet fra før: To minuser etter hverandre blir pluss, eller «minus og minus blir pluss». For eksempel har vi at 3 ð 2Þ ¼ 3 þ 2 ¼ 5. I tillegg har vi at «pluss og minus blir minus», for eksempel 3 þ ð 2Þ ¼ 3 2 ¼ 1. Det er vanlig å skrive negative tall i parentes.

TRINN 1

har fjernet 1 kr og 3 kr også fra den andre boksen. Først da kommer vippehusken i likevekt, og vi får at spørsmålstegnet blir 2 þ 5 þ 4 1 3 ¼ 7. Dette er strategien vi er ute etter. Fremgangsmåten er illustrert i figuren nedenfor.

(18,1)

TRINN 1

PÅFYLL MATEMATIKK

Eksempel 1.1 Finne manglende verdi ved bruk av strategi Finn den manglende verdien (spørsmålstegnet) i de to tilfellene nedenfor. ? 5¼9 1þ2 a) 3 þ

b) 8 ? 3¼4þ5 6

Løsning:

a) Strategien sier at vi skal trekke fra det samme på begge sider, slik at spørsmålstegnet til slutt blir stående alene. Dette gir: 3þ ? 5 3 ð 5Þ ¼ 9 1 þ 2 3 ð 5Þ

? ¼ 9 1 þ 2 3 þ5 ? ¼ 12

Spørsmålstegnet må altså ha verdien 12. Legg spesielt merke til hva som skjer med den negative femmeren vi trekker bort på begge sider. På høyre side ender 5 opp med en pluss foran seg (minus og minus blir pluss). Dette betyr at vi egentlig har lagt til 5 på begge sider. b) Så over til neste oppgave: 8 ? 3 8þ3¼4þ5 6 8þ3 ? ¼4þ5 6 8þ3 ? ¼ 2

? ¼2

Her får vi minus på begge sider av likhetstegnet. Derfor må spørsmålstegnet være lik tallet etter minusen på høyre side, altså 2. Eksemplet ovenfor viser at strategien kan utvides. Dette gir oss mer spillerom når vi skal finne verdien av spørsmålstegnet. For å finne verdien til spørsmålstegnet kan du både trekke fra og legge til tall som står sammen med spørsmålstegnet. Dette fortsetter du med til spørsmålstegnet står alene på den ene siden av likhetstegnet.

(19,1)

TEGN FOR SAMMENLIGNING

Finn verdien av spørsmålstegnet i alle tilfellene nedenfor. ? ¼3þ6 a) 4 þ 7 þ

b) ? þ2þ1¼4þ2þ9

? c) 9 þ 3 þ 1 ¼ 6 4 þ

d) 9 ? 2 ¼ 13 4

Ulikhetstegn og andre tegn Ulikhetstegn bruker vi dersom vippehusken faller ned til den tyngste siden. I utgangspunktet er det to ulikhetstegn: > og <. Disse leses henholdsvis som «større enn» og «mindre enn». La oss gå tilbake til vippehusken og kronestykkene. Hvor mange kronestykker må du legge i boksen for at din side skal falle ned?

Tidligere fant vi ut at 7 kronestykker i boksen ga likevekt. Legger du mer enn 7 kronestykker i boksen, faller vippehusken ned på din side. Det er altså flere løsninger på denne oppgaven. Et eksempel er å legge 9 kronestykker i boksen, som gir at 1þ3þ ? >2þ5þ4 1þ3þ9>2þ5þ4 13 > 11 Kunne du brukt strategien fra tidligere for å løse ulikheten? Svaret er ja. Hvis du nok en gang fjerner 1 kr og 3 kr fra begge boksene, så vil innholdet i den andre boksen være det som kreves for å få likevekt. Det blir altså likevekt for 2 þ 5 þ 4 1 3 ¼ 7. Hvis du legger mer enn 7 kr i boksen, så vil husken falle ned mot deg. Se figuren nedenfor.

TRINN 1

Test deg selv 1.1 Finne den ukjente verdien

(20,1)

TRINN 1

PÅFYLL MATEMATIKK

Dette kan vi matematisk skrive som ? >2þ5þ4 1þ3þ

? 1 3 > 2 þ 5 þ 4 1 3 1þ3þ

? >2þ5þ4 1 3 ? >7

Hva må du legge i boksen for at siden til det andre laget skal falle ned? Vi erstatter > med <, og prøver nok en gang med samme strategi: ? <2þ5þ4 1þ3þ

? 1 3<2þ5þ4 1 3 1þ3þ

? <2þ5þ4 1 3 ? <7

Dette virker jo rimelig. Strategien fungerer altså like bra med ulikhetstegnet som den gjorde med likhetstegnet. For å finne verdien til spørsmålstegnet kan du legge til eller trekke bort tallene som står på samme side av ulikhetstegnet. Du må deretter gjøre det samme på andre siden av ulikhetstegnet. Du vil nå ha funnet verdien av spørsmålstegnet. Noen ganger ønsker vi å undersøke når noe blir større enn eller likt noe annet. Hvor mange kr må du putte i boksen for at den skal falle ned på din side eller bli stående i likevekt? Da bruker vi tegnet , altså en blanding mellom ulikhetstegnet og likhetstegnet. Dette leser vi som «større enn eller lik». Tilsvarende har vi tegnet , som leses «mindre enn eller lik». Løsningsstrategien blir den samme som tidligere: 1þ3þ ? 2þ5þ4

1þ3þ ? 1 3 2þ5þ4 1 3

? 2þ5þ4 1 3 ? 7

1þ3þ ? 2þ5þ4

1þ3þ ? 1 3 2þ5þ4 1 3

? 2þ5þ4 1 3 ? 7

(21,1)

TEGN FOR SAMMENLIGNING

? >7 ? 7

? <7 ? 7

) 7 skal ikke være med ) 7 skal være med

I trinn 6 skal du lære om intervaller. Da vil du se at det er andre måter å skrive disse løsningene på. Det er mulig å sette en strek gjennom alle tegnene vi har sett på så langt. Da vil tegnet få stikk motsatt mening. Hvis vi setter en strek gjennom ¼, så får vi 6¼, som leses «ikke lik». Dette kan vi også gjøre for ulikhetstegnene. Tabellen nedenfor oppsummerer de viktigste tegnene for sammenligning. Tegn

Leses som

Tegn

Leses som

Er lik

6¼

Er ikke lik

Større enn

Ikke større enn

Mindre enn

Ikke mindre enn

Større enn eller lik

Ikke større enn eller lik

Mindre enn eller lik

Ikke mindre enn eller lik

I tillegg finnes det mange andre tegn som vi ikke kommer innom i denne boken. La oss heller ta et eksempel med de tegnene vi har vært igjennom. Eksempel 1.2 Løse oppgaver med ulikhetstegnet Nedenfor følger flere oppgaver med ulikhetstegnet. Løs disse. a) Finn det minste tallet (heltall) spørsmålstegnet kan være. 3þ ? >5þ2þ1

5þ ? 2 6þ4

b) Finn det største tallet (heltall) spørsmålstegnet kan være.

? 4<3þ8

4þ ? þ5 6þ2þ3

c) Spørsmålstegnet kan enten være > eller . Sett inn riktig tegn. ? 2þ8 1þ3þ6

4 2þ9 ? 6þ3

Løsning:

a) Dette løser vi ved å bruke strategien der vi trekker fra det samme tallet på begge sider. ? 3 > 5 þ 2 þ 1 3 3þ

? >5þ2þ1 3 ? >5

TRINN 1

Legg merke til forskjellen på de ulike løsningene:

(22,1)

TRINN 1

PÅFYLL MATEMATIKK

Dermed er 6 det minste tallet spørsmålstegnet kan være. Det andre tilfellet løses på tilsvarende måte ved å legge til og trekke fra det ? 7 (vis dette selv). Dette betyr samme på begge sider. Da får vi at det minste tallet er 7. b) I det første tilfellet får vi:

? 4 þ4 < 3 þ 8 þ4 ? <3þ8þ4 ? < 15 Dette betyr at 14 er det største tallet spørsmålstegnet kan være. I det

? 2 (vis dette selv), og det største tallet er andre tilfellet får vi dermed 2.

c) Vi trekker først sammen tallene på begge sider. Da ser vi lettere hva løsningen må være: ? 10 10 10 10 I det andre tilfellet får vi tilsvarende at 11 > 9.

Test deg selv 1.2 Finne verdien til spørsmålstegnet Løs oppgavene nedenfor. a) Finn det minste tallet (heltall) spørsmålstegnet kan være.

? þ6 1>7þ2þ4

4þ2þ ? þ 2 11 2 1

b) Finn det største tallet (heltall) spørsmålstegnet kan være. ? 1<5 2 2þ

? 2 þ 12 7 þ 8 1

c) Spørsmålstegnet kan enten være < eller . Sett inn riktig tegn. ? 5 þ 12 2þ6 3

6 2 1 ? 9 4 2

d) Spørsmålstegnet kan enten være 6> eller 6 . Sett inn riktig tegn. ? 1þ1þ2 9 3 2

2þ2þ4 ? 7þ3

(23,1)

TALL OG REGNEOPERASJONER

I dette avsnittet tar vi først for oss ulike typer tall vi bruker til daglig. Deretter gjennomgår vi grunnleggende regneregler, samt regler for avrunding og behandling av parenteser. Til slutt skal vi bli kjent med tallfølger og tallrekker.

De vanligste tallene De fleste av oss bruker eller støter på tall hver eneste dag. For eksempel oppgis priser som tall. De tallene vi stort sett anvender i det daglige, er 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . . , 1 Disse omtales som naturlige tall eller positive heltall. Symbolet 1 betyr uendelig. Det finnes altså uendelig mange naturlige tall. Symbolet 1 er ikke et tall i seg selv. Uansett hvilket tall vi velger, så kan vi alltid finne et større tall ved å legge til for eksempel 1. Noen ganger sier vi at et tall «kan deles» på et annet tall. Dette betyr at vi får et heltall til svar når vi deler tallene på hverandre. I motsatt tilfelle sier vi at tallet «ikke kan deles» på et annet. Naturlige tall som kan deles på to, kalles partall. Eksempler på partall er 8 og 12, siden vi får henholdsvis 4 og 6 ved å dele på to. Dersom siste siffer i et heltall er et partall, er tallet selv et partall. De naturlige tallene som ikke kan deles på to, kalles oddetall. Dette er tall som 5 og 21, som delt på to gir henholdsvis 2:5 og 10:5. Hvis siste siffer i et heltall er et oddetall, er tallet selv et oddetall. De to svarene 2:5 og 10:5 er for øvrig det som kalles desimaltall. Desimaltall inneholder et desimalskilletegn (normalt punktum eller komma). Sifrene etter desimalskilletegnet kalles for desimaler. Vi har allerede sett at 21 er et oddetall fordi det ikke kan deles på to. Hva om vi heller deler tallet på tre? Da får vi syv etter litt rask hoderegning. Deler vi 21 på syv finner vi at det blir tre. Tallet 21 kan altså deles på flere ulike tall. I tillegg kan det (som alle tall) deles på seg selv og 1. La oss nå se på tallet 7. Dette er et oddetall. I motsetning til 21 kan for øvrig ikke 7 deles på noe annet tall enn seg selv og 1.

TRINN 1

1.2 Tall og regneoperasjoner

(24,1)

TRINN 1

PÅFYLL MATEMATIKK

De naturlige tallene større enn 1 som bare kan deles på seg selv og 1, kalles primtall. Dette er tall som 2, 3, 5 og 7. For eksempel er ikke 9 et primtall siden vi også kan dele det på 3. Primtallene er svært viktige, og vi kommer til å møte disse mange ganger. Faktisk er primtallene «byggeklosser» i alle tall. Dette kommer vi tilbake til senere i boken. Legg merke til at 2 er det eneste primtallet som også er partall. Alle andre primtall er oddetall. Primtall som er større enn 10, må slutte på sifrene 1, 3, 7 eller 9. Dette betyr ikke at tall som slutter på 1, 3, 7 eller 9 nødvendigvis er primtall. Test deg selv 1.3 Avgjøre om tall er partall, oddetall eller primtall Betrakt tallene nedenfor. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 Hvilke av tallene er a) Partall?

b) Oddetall?

c) Primtall?

La oss fortsette med desimaltallene. Dette kan være tall som 1:25 |{z} 2 desimaler i svaret

0:125 |fflffl{zfflffl} 3 desimaler i svaret

Her er det et endelig antall desimaler i svaret, henholdsvis 2 og 3. Det er ikke alltid slik at desimaltall har et endelig antall desimaler. Dette skal vi komme tilbake til senere. Eksempel 1.3 Fordele 1 kr på tre personer Du har begynt å studere økonomi, og møter opplagt på forelesning. Her overfører den hyggelige foreleseren 1 kr til bankkontoen din. Han ber deg om å overføre denne kronen videre til tre av dine klassekamerater, slik at hver av dem mottar det samme beløpet. Hvor mye mottar hver klassekamerat?

(25,1)

TALL OG REGNEOPERASJONER

Du tenker så det knaker, og blir etter hvert usikker på om dette lar seg gjøre. Etter en stund bryter foreleseren inn og forteller klassen at det er umulig å dele 1 kr likt på tre personer. Likevel klarer du å resonnere deg frem til at de tre kameratene minst kan få 0.33 kr hver. Dette summerer seg til 0:33 kr þ 0:33 kr þ 0:33 kr ¼ 3 0:33 kr ¼ 0:99 kr Foreleseren forklarer at denne fordelingen er sånn høvelig riktig siden summen blir omtrent 1 kr. På matematikkspråket sier vi gjerne at 0.99 kr er tilnærmet lik 1 kr: 0:99 kr 1 kr Årsaken til at summen bare blir tilnærmet riktig, er at det fortsatt er 1 øre som ikke er fordelt.

Legg merke til forskjellen på likhetstegnet ¼ og tegnet for tilnærmet lik . Frem til nå har vi bare brukt positive tall, men det finnes også tall som er negative. Dersom man skal betale en faktura der beløpet er høyere enn saldoen på konto, vil saldoen bli negativ dersom betalingen gjennomføres. Dette betyr at du skylder banken penger. Saldoen beskrives da av et negativt tall. De negative heltallene er gitt som 1, . . . , 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 Dersom vi for eksempel trekker 9000 fra 7000, får vi et negativt tall til svar: 2000 7000 9000 ffl{zfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl ffl} ¼ |fflffl Regnetegnsminus

Fortegnsminus

Merk deg forskjellen på de to minusstrekene i regnestykket. Minustegnet mellom 7000 og 9000 kalles et regnetegn, og betyr at man skal trekke 9000 fra 7000. Minustegnet foran 2000 kalles et fortegn, og forteller oss at tallet er negativt. Når vi regner med positive tall, kan vi også bruke det positive fortegnet þ, men det er vanlig å sløyfe dette. Alle negative tall kan skrives som det tilsvarende positive tallet multiplisert med 1. For eksempel kan 12 skrives som ð 1Þ 12.

TRINN 1

Løsning:

(26,1)

TRINN 1

PÅFYLL MATEMATIKK

Som for de positive tallene finnes det også partall, oddetall og desimaltall for negative tall. For eksempel er 6 et partall, 7 et oddetall og 24:85 et desimaltall. Legg merke til at det ikke finnes negative primtall. Tall som kan skrives ved å dele et heltall på et annet heltall, kalles rasjonale tall. Siden 0.5 kan skrives som 1 : 2 (dette er det samme som brøken 1=2 vi skal komme tilbake til brøker senere), er dette et rasjonalt tall. Hele tall er rasjonale tall. For eksempel er 25 ¼ 25 : 1. Det finnes også tall som ikke er rasjonale tall. Slike tall kalles for irrasjonale tall, og kjente eksempler er pffiffiffi ¼ 3:1415926536 . . . og 2 ¼ 1:4142135624 . . . Prikkene på slutten betyr at tallene har uendelig mange desimaler. Både de rasjonale og de irrasjonale tallene kan plasseres på en tallinje. På tallinjen står tallene kronologisk på en uendelig lang rett linje. Den gir tydelig oversikt over hvor ulike tall er plassert i forhold til hverandre:

De positive tallene ligger til høyre og de negative tallene til venstre for null. Det er viktig å merke seg at distansen fra null til for eksempel 3 og 3 på tallinjen er identisk. Tallverdien er den samme, bare med ulikt fortegn. Desimaltallene finner vi mellom heltallene. For eksempel ligger 2:35 mellom 2 og 3, mens 3:5 ligger mellom 3 og 4. Rasjonale tall (som tallet 1 : 3) pffiffiffi kan plasseres nøyaktig på tallinjen. Irrasjonale tall som og 2 kan derimot aldri plasseres nøyaktig. Vi kan gjerne markere disse tallene som vist i figuren ovenfor, men plasseringen blir altså bare tilnærmet riktig.

Avrunding Av praktiske årsaker må du av og til avrunde tall. Avrunding av tall er det samme som å tilnærme tall, og er en metode som ofte anvendes for å forenkle desimaltall. I det forrige eksemplet så vi at 0.99 kr ble tilnærmet til 1 kr. Dette er det samme som å avrunde 0.99 kr til nærmeste hele krone. Dersom første siffer etter desimalskilletegnet er 0, 1, 2, 3 eller 4, beholdes heltallet foran. Hvis ikke, rundes tallet opp til neste heltall.

,!7II2E5-acffdi!

PÅFYLL MATEMATIKK

KRISTENSEN—WÆRNESS

ØRJAN KRISTENSEN KRISTIAN WÆRNESS

FOR STUDENTER OG ANDRE LÆRELYSTNE