EN BICI POR PALENCIA
O de cómo hacer una ciudad más habitable por la gente y para la gente puede ser objeto de estudio matemático, contener conceptos matemáticos complejos y que estos puedan ser manejados y entendidos por chicas y chicos de 13 y 14 años.
En bici por Palencia
Alumnos de 3º ESO:
Coordinador:
Nohemí de la Fuente Vergara
Fernando Diez Vegas
Pedro Hijosa Gómez Pablo Ibáñez Gómez Samuel Marina Franco Vanessa Carolina Peña Romero
del IES VIRGEN DE LA CALLE de PALENCIA
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1. Introducción 2. Objetivos 3.Contenidos 4. ¿Qué es un Grafo? 5. Los puentes de Könisberg 6. Diseño de un bicicarril en Palencia 6.1. Antecedentes 6.2. Puntos de interés 6.3. Distancias entre puntos de interés 6.3.1. Métrica euclídea 6.3.2. Métrica Manhattan 6.4. Algoritmo de Kruskal 6.5. Software 7. Resultados 8. Bibliografía
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Introducción:
La ciudad de Palencia dispone en la actualidad de varios tramos de bicicarril. Ninguno de ellos conecta lugares de interés: IES, bibliotecas, centros de trabajo, parques y centros deportivos… Ninguno de ellos resuelve problemas de movilidad. El programa de préstamo de bicicletas del ayuntamiento palentino se abandonó a los pocos años de empezar a prestar servicio, hoy sólo quedan los aparcamientos diseñados para las bicicletas. Es necesario crear una ciudad por y para la gente, más sana y más respetuosa con el medio ambiente; una ciudad con un bicicarril que permita desplazarse de forma segura y práctica entre los lugares más importantes de la ciudad. LAS MATEMÁTICAS PUEDEN AYUDARNOS EN LA TAREA 2
Objetivos: Utilizar algoritmos de Teoría de Gafos para diseñar un bicicarril en la ciudad de Palencia que una los puntos más importantes de la ciudad y permita desplazamientos seguros, cómodos, cortos y con el menor coste posible. Comprender los conceptos iniciales de Teoría de Grafos y la necesidad de optimizar para resolver problemas reales y muy cercanos a nosotros que en poco se parecen a las matemáticas de los libros de texto. Fomentar el interés por las matemáticas y por la investigación. Poner de manifiesto la utilidad de las matemáticas en cualquiera de los campos de investigación. Introducir en clase de ESO conceptos de cursos muy superiores como grafos, matrices, algoritmos y métricas sin que nadie pierda la cabeza por el camino, sea este último Euleriano o no.
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Contenidos:
En el siguiente trabajo se hace un recorrido por los conceptos más elementales de la Teoría de Grafos a partir de juegos muy conocidos y del famoso problema de los Puentes de Könisberg. Se plantea la necesidad de dar soluciones óptimas a problemas de grafos como el del cartero o el camión de la basura, GPS, planes de evacuación, etc. y la necesidad de buscar algoritmos que permitan resolver dichos problemas: Hierholzer, Dijsktra o Kruskal en nuestro caso. [4]
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Seguidamente planteamos la construcción de un bicicarril en la ciudad de Palencia que una los puntos de mayor interés, con coste y/o recorrido mínimos, para lo que utilizaremos el algoritmo de Kruskal que explicaremos previamente. Nos ayudaremos para ello de los programas Geogebra y Grafos. En el diseño del bicicarril nos encontramos con un problema: medir las distancias entres los puntos de interés que debe unir el bicicarril. Para ello utilizamos el visor SIGPAC del Miniserio de Agricultura, Alimentación y Medio Ambiente. Obtener todas las distancias con SIGPAC o Google Earth sería prácticamente imposible si el número de puntos no es pequeño. Obtendremos sus coordenadas y utilizaremos una hoja de cálculo para obtener las distancias con una métrica Euclídea primero y la métrica “Manhattan” después. Una vez obtenidas esas distancias se introducen en los programas Geogebra y Grafos para obtener el Árbol Recubridor Mínimo del grafo. Este árbol será nuestro bicicarril. 4
¿Qué es un Grafo?
¿Qué es la teoría de grafos? ¿Quién ha oído hablar de ella? Seguro que casi ninguno. Pero, ¿alguna vez hemos visto un grafo? La respuesta es que, casi con toda certeza, sí. Tenemos a nuestro alcance planos, mapas… que muchas veces se simplifican para hacerlo más fácilmente inteligible: acabamos de descubrir un grafo.
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¿Puedes dibujar un sobre cerrado sin levantar el lápiz del papel? ¿Y un sobre abierto?
¡Toma!, otro grafo. Cuando se trata de diseñar recorridos eficientes en una ciudad sin repetir calles, por ejemplo para el camión de la basura o el cartero (por lo del ahorro de tiempo, dinero y contaminación), las matemáticas nos ayudan. De hecho, este es un problema que tiene un papel especial en la historia de las matemáticas por ser el primero que se planteó y resolvió usando Teoría de Grafos. Por otro lado, los GPS nos permiten elegir entre trayectos como el de menor distancia, tiempo o coste de forma casi inmediata. El algoritmo de Dijkstra nos ayuda en este caso y en el diseño de planes de evacuación donde la búsqueda del camino óptimo es el protagonista.
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Los puentes de Könisberg:
El problema de los siete puentes de Königsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII y actualmente Kaliningrado, provincia rusa) es un célebre problema matemático que fue resuelto por Leonhard Euler en 1736. Tiene como protagonista a un río, el Pregel, que cruzaba la ciudad de Königsberg, a dos islas que se encontraban en el mismo y a siete puentes que comunicaban las dos partes de la ciudad con las islas. La situación era como se describe en la imagen: A y B son las dos partes de la ciudad y C y D las dos islas.
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¿Es posible, comenzando en cualquier sitio de la ciudad de Könisberg, elegir un recorrido que nos permita pasar una única vez por cada uno de los siete puentes sobre el río Pregel? Otra pregunta diferente sería: ¿se puede diseñar un circuito, empezando y terminando en el mismo punto de la ciudad, que pase una, y solo una vez, por todos los puentes de Könisberg? El problema puede representarse de la siguiente manera:
Los puntos A, B, C y D se llaman NODOS o VÉRTICES y las líneas que los unen son ARISTAS. 2 nodos son ADYACENTES si hay una arista que los une. La pregunta sobre Könisberg se transforma en la siguiente pregunta: ¿se puede dibujar este grafo sin levantar el lápiz del papel y sin repetir ninguna de las líneas? ¿Y empezando y terminando en el mismo vértice? La respuesta a ambas preguntas es no, según el TEOREMA DE EULER. De hecho, en su honor, a los grafos que tienen la propiedad de poder ser recorridos (empezando y terminando en el mismo vértice) sin repetir aristas se les conoce como GRAFOS EULERIANOS. Si todos los vértices de un grafo son de ORDEN par (es decir, llegan a él un número par de lados), éste se puede recorrer de una sola pasada y volver al punto de partida. Es un GRAFO EULERIANO. Si dos de los vértices son de orden impar y el resto de orden par, se puede recorrer el grafo de una sola pasada pero no se puede acabar en el punto de partida. En este caso el GRAFO se llama SEMIEULERIANO. Si el grafo tiene más de dos vértices con un número impar de lados concurrentes, el problema planteado no tiene solución. Aparte del acertijo de los puentes, el estudio del carácter euleriano o no de un determinado grafo tiene aplicaciones a cualquier problema de diseño de rutas que necesiten recorrer todas las calles, como el camión de la basura o el cartero, pero sin [7]
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pasar más de una vez por ninguna de ellas. La solución a estos problemas la proporciona el algoritmo de Carl Hierholzer. 6 Diseños de un bicicarril en Palencia 6.1 Antecedentes La ciudad de Palencia dispone en la actualidad de varios tramos de bicicarril. Uno totalmente exterior a la ciudad que discurre por la mediana de un vial de circunvalación; un segundo tramo junto al río, 2 metros por debajo del nivel de la calzada y en el que muchos accesos son por escaleras; un tercero, comienza a 1 km de la salida de la ciudad en la subida al Monte el Viejo, subida que abandona a 3 km de llegar a su destino. Hay un cuarto tramo en el que gran parte del bicicarril transcurre por las aceras, suprimiendo espacio a los peatones y no a los coches. Los puntos de mayor interés para los habitantes de la ciudad no están conectados. Ninguno de los tramos resuelve problemas de movilidad. El programa de préstamo de bicicletas del ayuntamiento palentino se abandonó a los pocos años de comenzar a prestar servicio, hoy sólo quedan los aparcamientos diseñados para las bicicletas. 6.2 Puntos de interés Consideramos que el bicicarril, para ser práctico debe unir los siguientes puntos de interés: los IES con mayor número de alumnos, bibliotecas públicas, centros deportivos y pabellones de deportes, parques públicos de cierto tamaño, oficinas del Ayuntamiento y Junta de Castilla y León, centros neurálgicos de los barrios, etc. Todos los puntos de interés se recogen en un anexo con sus respectivas coordenadas obtenidas en SIGPAC y su situación en un plano de la ciudad. 6.3 Distancias entre puntos de interés A la hora de medir distancias entre dos puntos de interés nos encontramos con un problema: ¿cómo medirla?, ¿cuál es la distancia más corta? 6.3.1 Métrica Euclídea En clase nos enseñan que la distancia entre dos puntos se mide como la longitud del segmento que los une. Esa forma de medir la distancia es conocida como DISTANCIA EUCLÍDEA y es la que usamos cuando medimos usando un [8]
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metro entre los dos extremos de lo que queremos medir. En realidad, se trata de una consecuencia del Teorema de Pitágoras.
6.3.2 Métrica de Manhattan o Taxicab Si estamos pensando en diseñar una ruta que una dos puntos dentro de cualquier ciudad, la distancia real no siempre es la medida del segmento que une a esos puntos, puesto que en la mayoría de los casos, ese segmento atravesará algún edificio, y seguro que al alcalde no le gustaría. La distancia real, sin atravesar edificios, conocida como distancia Manhattan o del taxista se entiende muy bien en la siguiente imagen
(c,d)
(a,b) En verde, la distancia euclídea y el resto (todas de igual longitud) la distancia Manhattan.
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Debemos hacer notar que esta distancia dependerá de que el callejero de Palencia se parezca o no a un callejero ideal cuadriculado. Las distancias entre los distintos puntos se obtienen de la siguiente forma: Se localiza cada punto de interés en el visor SIGPAC y con la herramienta “x,y,z” se obtienen sus coordenadas. Se utiliza una hoja de cálculo para obtener las distancias Euclídea y de Manhattan. Obteniendo así la MATRIZ DE DISTANCIAS del grafo.
6.4 Algoritmo de Kruskal Un GRAFO PONDERADO es un grafo en el que se han asignado a cada arista un número, llamado coste o peso. El peso de cada arista puede indicar la distancia, el tiempo empleado en recorrerla, coste económico, etc. La solución a nuestro problema viene dada por el llamado algoritmo de Kruskal y el peso de cada arista vendrá dado por la distancia entre los nodos. Veámoslo con un ejemplo sencillo de manejar: Imaginemos un grafo con 8 puntos de interés y con todas las aristas marcadas con su peso (coste, distancia, …).
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El primer paso del algoritmo consiste en marcar en el grafo todos los caminos de menor peso (en el ejemplo distancia 1).
Marcamos ahora todos los caminos de distancia 2. Observamos que uno de ellos cierra un ciclo. ÂĄLo eliminamos! ÂżPor quĂŠ? Porque este nuevo camino no es necesario,
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los
nodos
que
une
ya
están
conectados.
El algoritmo continúa marcando los caminos de distancia 3, ¡siempre que no cierren ciclos!, y así sucesivamente hasta que se unan todos los nodos.
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Eliminamos el camino que cierra el ciclo y marcamos todos los caminos de distancia 4.
Eliminamos los que cierren un ciclo,
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y ya tenemos nuestro ÁRBOL CONECTOR MÍNIMO: un grafo que una todos los puntos de interés con el menor coste, es decir, NUESTRO BICICARRIL: que une todos los puntos de interés con la menor longitud posible. 6.5 Software Manejar 8 nodos es relativamente sencillo, pero el problema crece de forma exponencial con el número de nodos. Necesitamos la ayuda de un ordenador y un software apropiado. Utilizamos 2 programas:
GeoGebra es un software matemático multi-plataforma que nos ofrece la oportunidad de experimentar con las matemáticas. Permite calcular el árbol de expansión mínimo aunque no sabemos el algoritmo que utiliza. Es de muy fácil manejo, pues permite cargar una imagen de Palencia y sobre esta dibujar los nodos. Las distancias (Euclídea solamente) las calcula directamente. Grafos es un programa para la construcción, edición y análisis de grafos. El software Grafos ha sido desarrollado por Alejandro Rodríguez Villalobos (Universidad Politécnica de Valencia), y se distribuye bajo las [14]
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condiciones: Creative Commons Licenses. Es mucho más complicado de manejar, pero permite ponderar el grafo como queramos. En este caso utilizaremos la distancia Manhattan para ello, esto nos dará una mejor aproximación. Esta matriz es una matriz de 38 x 38, es decir, con 1404 valores que hay que introducir en el programa. Bueno, sólo 703, porque la matriz es simétrica y su diagonal principal son ceros. 7
Resultados y optimización de los mismos
En la siguiente imagen se recoge el plano de Palencia con los puntos de interés seleccionados por nosotros.
Dicha imagen se importa al programa GEOGEBRA para calcular el ARBOL RECUBRIDOR MINIMO con el comando del menú de Matemáticas discreta: ArbolRecubridorMinimo[lista de puntos] El coste de cada arista viene dado por la distancia euclídea, que no es la mejor (no podemos atravesar edificios) aunque si es válida como aproximación. Además, el conocimiento del software y la facilidad de cálculo ahorraba mucho trabajo (no necesitamos coordenadas, ni Sigpac, ni matrices) [15]
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Los resultados se reflejan en la imagen siguiente:
Posteriormente utilizamos el programo GRAFOS para ponderar cada arista con la distancia Manhattan y obtener un resultado más cercano a la realidad. Esto nos lleva mucho más trabajo, pues necesitamos obtener la matriz de distancias midiendo las coordenadas de cada punto en SIGPAC e incorporándolas a una hoja de cálculo. Una vez obtenida la matriz se importa al programa GRAFOS para su tratamiento. En la siguiente imagen se muestra el grafo con las 703 aristas entre los 37 puntos de interés.
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En los anexos se recoge el archivo “resultados kruskal.txt” generado por el programa Grafos y la hoja de cálculo utilizada para el cálculo de las distancias. En el primero se indican los caminos escogidos para el bicicarril y la matriz del mismo. ÁRBOL DE VALOR TOTAL MÍNIMO - ALGORITMO DE KRUSKAL * 0 ----(290)---> 25
* 5 ----(256)---> 7
* 9 ----(145)---> 12
* 21 ----(301)---> 33
* 0 ----(556)---> 30
* 5 ----(614)---> 27
* 9 ----(133)---> 15
* 22 ----(380)---> 29
* 1 ----(189)---> 2
* 5 ----(507)---> 34
* 11 ----(500)---> 14
* 22 ----(343)---> 37
* 1 ----(419)---> 10
* 6 ----(303)---> 15
* 11 ----(383)---> 21
* 24 ----(447)---> 30
* 1 ----(324)---> 11
* 6 ----(318)---> 16
* 13 ----(419)---> 23
* 25 ----(323)---> 31
* 1 ----(411)---> 13
* 7 ----(356)---> 23
* 14 ----(285)---> 15
* 26 ----(857)---> 28
* 2 ----(388)---> 20
* 8 ----(177)---> 12
* 17 ----(623)---> 18
* 27 ----(783)---> 28
* 3 ----(275)---> 16
* 8 ----(183)---> 35
* 17 ----(721)---> 20
* 32 ----(613)---> 36
* 4 ----(802)---> 31
* 8 ----(480)---> 37
* 18 ----(648)---> 19
Coste total = 15901
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El bicicarril se muestra en la siguiente imagen:
Podemos comprobar que no hay grandes diferencias debidas a la mĂŠtrica. SĂłlo algunos pequeĂąos tramos:
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Una vez obtenido el primer diseño del bicicarril es el momento de optimizarlo. Como se dijo hablando de la distancia Manhattan, entre 2 puntos hay varios caminos con igual distancia.
Elegir entre uno u otro de esos caminos dependerá del tamaño de la calle, del sentido del tráfico, de la anchura de las aceras, del coste de cada tramo, y de muchos otros factores que son más soluciones de construcción y diseño del tráfico.
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Dejaremos a la consideración de las administraciones correspondientes la finalización del mismo. Es seguro que en uno u otro momento tendrán que echar mano de las matemáticas.
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Bibliografía
Teoría de grafos aplicada al camión de la basura o al cartero. Clara Grima. Dpto. Matemática Aplicada, ETS Ing. Informática de la Universidad de Sevilla De rama en rama, pero por el camino más corto. Clara Grima. Dpto. Matemática Aplicada, ETS Ing. Informática de la Universidad de Sevilla Una breve introducción a la teoría de grafos. Revista Suma, 28. Junio 1998. Si Euclides hubiese conocido Manhattan. Clara Grima. Dpto. Matemática Aplicada, ETS Ing. Informática de la Universidad de Sevilla Grafos, software para la edición y análisis de grafos, Alejandro Rodríguez Villalobos, Departamento de Organización de Empresas, Escola Politécnica Superior d`Alcoi, Univ. Politécnica de Valencia Algoritmo de Kruskal y aplicación a la vida real.
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