En el presente trabajo se recoge un estudio sobre la obra de Mozart K516f “Juego de dados musical”. Se da cuenta de las instrucciones del juego (lanzamiento de dos dados cuya suma determinan un compás compuesto previamente) Se buscan pautas y regularidades numéricas y musicales en las tablas y compases.
Se presentan los aspectos probabilísticos más importantes del juego musical Se revisan y corrigen los cálculos elaborados por otros autores Por último, jugamos a los dados y componemos
Contenidos
Se examinaron especialmente 3 trabajos: El juego de dados de Mozart: un recurso didáctico para la
Enseñanza-aprendizaje de la probabilidad. Yeimy Rodríguez García y otros. Universidad Distrital Francisco José De Caldas, Colombia. Actas del VII Congreso Iberoamericano de Eduación Matemática, ISSN 23010797 El sigilo aleatorio de Mozart. Bohdan Syroyid. Conservatorio Superior de Música de Málaga. Teoría de la probabilidad en la composición musical contemporánea. Tesis de Susana Tiburcio Solís. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Escuela de Artes
Juego de dados musical, k516f
A finales del siglo XVIII y principios del XIX son muy populares los pasatiempos musicales: Valses, polonesas, minuetos, tríos, …
El más conocido, “Juego de dados musical” k516f de Mozart
Juego de dados, k516f ď‚ž
176 compases agrupados en 2 tablas
Juego de dados, k516f
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
2
96
22
141
41
105
122
11
30
70
121
26
9
112
49
109
14
3
32
6
128
63
146
46
134
81
117
39
126
56
174
18
116
83
4
69
95
158
13
153
55
110
24
66
139
15
132
73
58
145
79
5
40
17
113
85
161
2
159
100
90
176
7
34
67
160
52
170
6
148
74
163
45
80
97
36
107
25
143
64
125
76
136
1
93
7
104
157
27
167
154
68
118
91
138
71
150
29
101
162
23
151
8
152
60
171
53
99
133
21
127
16
155
57
175
43
168
89
172
9
119
84
114
50
140
86
169
94
120
88
48
166
51
115
72
111
10
98
142
42
156
75
129
62
123
65
77
19
82
137
38
149
8
11
3
87
165
61
135
47
147
33
102
4
31
164
144
59
173
78
12
54
130
10
103
28
37
106
5
35
20
108
92
12
124
44
131
El primer compás de la columna I, el segundo de la columna II, … Se lanzan 2 dados, si suman 5 el compás se escoge de la fila 5, … El proceso se repite hasta obtener los 16 compases
Pautas y regularidades numéricas
¿Porqué las tablas no comienzan en el 1, siguen con el 2 y terminan en el 176?
Pautas y regularidades numéricas
¿Hay alguna secuencia escondida, alguna serie, …?
¿Incluyó algún juego numérico en sus tablas?
Pautas y regularidades numéricas Nos ayudamos de “The on-line encyclopedia of integer sequences”
Pautas y regularidades numéricas Pero…
“Sorry, but the terms do not match anything in the table” ¡No encontramos nada!
Pautas y regularidades musicales ď‚ž
Creemos que la estructura de los compases de una misma columna tienen que ser similares para que todos los minuetos suenen bien
ď‚ž
Recortamos y pegamos los compases uno a uno en folios siguiendo las tablas de Mozart
Pautas y regularidades musicales ¡¡¡Sorpresa!!! Había compases con distinta numeración y que eran exactamente iguales.
Pautas y regularidades musicales ¡¡¡Sorpresa!!! Todos los compases de la columna VIII son iguales, y en la XVI sólo hay dos compases diferentes
Pautas y regularidades musicales I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
2
96
22
141
41
105
122
11
30
70
121
26
9
112
49
109
14
3
32
6
128
63
146
46
134
81
117
39
126
56
174
18
116
83
4
69
95
158
13
153
55
110
24
66
139
15
132
73
58
145
79
5
40
17
113
85
161
2
159
100
90
176
7
34
67
160
52
170
6
148
74
163
45
80
97
36
107
25
143
64
125
76
136
1
93
7
104
157
27
167
154
68
118
91
138
71
150
29
101
162
23
151
8
152
60
171
53
99
133
21
127
16
155
57
175
43
168
89
172
9
119
84
114
50
140
86
169
94
120
88
48
166
51
115
72
111
10
98
142
42
156
75
129
62
123
65
77
19
82
137
38
149
8
11
3
87
165
61
135
47
147
33
102
4
31
164
144
59
173
78
12
54
130
10
103
28
37
106
5
35
20
108
92
12
124
44
131
Colores iguales, compases iguales
CLAVES
Pautas y regularidades musicales I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
2
96
22
141
41
105
122
11
30
70
121
26
9
112
49
109
14
3
32
6
128
63
146
46
134
81
117
39
126
56
174
18
116
83
4
69
95
158
13
153
55
110
24
66
139
15
132
73
58
145
79
5
40
17
113
85
161
2
159
100
90
176
7
34
67
160
52
170
6
148
74
163
45
80
97
36
107
25
143
64
125
76
136
1
93
7
104
157
27
167
154
68
118
91
138
71
150
29
101
162
23
151
8
152
60
171
53
99
133
21
127
16
155
57
175
43
168
89
172
9
119
84
114
50
140
86
169
94
120
88
48
166
51
115
72
111
10
98
142
42
156
75
129
62
123
65
77
19
82
137
38
149
8
11
3
87
165
61
135
47
147
33
102
4
31
164
144
59
173
78
12
54
130
10
103
28
37
106
5
35
20
108
92
12
124
44
131
ยกUn solo compรกs!
ยกDos compases diferentes!
Pautas y regularidades musicales Mozart introduce una regularidad en la estructura de sus obras, y ademรกs, estos compases no juegan al azar, ni a los dados. ยกLo camuflรณ!
Pautas y regularidades musicales
Nuestros conocimientos de música son muy escasos. Pedimos ayuda a la profesora de música Los cuatro primeros compases y los cuatro últimos tienen el tono de DO M y el resto de SOL M También hay regularidades en el grado de cada compás. Sigue el sistema armónico básico
Pautas y regularidades musicales I
II
III
IV
V
VI
VII VIII IX
X
XI
XII
XIII XIV XV XVI
Tonalidad D
D
D
D
S
S
S
S
S
S
S
S
D
D
D
D
Grado
I
V
I
V
I
IV
I
V
I
IV
I
I
I
IV
I
I
Sistema Arm贸nico B谩sico
Pautas y regularidades musicales Mozart organiza las tablas siguiendo este sistema armónico básico Así garantiza que la melodía está “bien construida”
Pautas y regularidades musicales
Además, las repeticiones de las columnas VIII y XVI dan a la obra: Cadencia
Estructura Y garantiza que casi todas las
composiciones finalizan del mismo modo
Juegos de dados y probabilidad
Estudiamos el experimento “lanzar dos dados y anotar su suma”
Ya estaba estudiado en clase
Juegos de dados y probabilidad ď‚ž
Espacio muestral + 1 2 3 4 5 6
ď‚ž
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
Probabilidades
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Juegos de dados y probabilidad ď‚ž
DistribuciĂłn de probabilidad
NO
todos los compases son igualmente probables todas las composiciones son equiprobables
Juegos de dados y probabilidad
Composición más probable: Compases de la fila 7
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
104
157
27
167
154
68
118
91
138
71
150
29
101
162
23
151
La probabilidad de obtener esta composición aparentemente es
Juegos de dados y probabilidad Pero… recuerda VIII y XVI I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
2
96
22
141
41
105
122
11
30
70
121
26
9
112
49
109
14
3
32
6
128
63
146
46
134
81
117
39
126
56
174
18
116
83
4
69
95
158
13
153
55
110
24
66
139
15
132
73
58
145
79
5
40
17
113
85
161
2
159
100
90
176
7
34
67
160
52
170
6
148
74
163
45
80
97
36
107
25
143
64
125
76
136
1
93
7
104
157
27
167
154
68
118
91
138
71
150
29
101
162
23
151
8
152
60
171
53
99
133
21
127
16
155
57
175
43
168
89
172
9
119
84
114
50
140
86
169
94
120
88
48
166
51
115
72
111
10
98
142
42
156
75
129
62
123
65
77
19
82
137
38
149
8
11
3
87
165
61
135
47
147
33
102
4
31
164
144
59
173
78
12
54
130
10
103
28
37
106
5
35
20
108
92
12
124
44
131
p=1
p = 34/36
Juegos de dados y probabilidad ComposiciĂłn mĂĄs probable:
ď‚ž
ď‚— CĂĄlculo correcto I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
104
157
27
167
154
68
118
91
138
71
150
29
101
162
23
151
6 36
6 36
6 36
6 36
6 36
6 36
6 36
6 36
6 36
đ?&#x;?
6 36
6 36
6 36
6 36
6 36
đ?&#x;‘đ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;”
Juegos de dados y probabilidad
Aquí aparece uno de los errores más frecuentes en la bibliografía consultada
No se tienen en cuenta los compases repetidos, es decir, compases iguales con distintos números.
Juegos de dados y probabilidad Pero… ¿cuántos minuetos pueden aparecer en Juego de dados musical? I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
11
11
11
11
11
11
11
1
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
11
11
11
11
11
11
11
2
Nº compases diferentes
nº minuetos =
759 billones de composiciones diferentes frente a la cantidad propuesta de 1116 en la mayor parte de documentos y páginas web examinadas.
Juegos de dados y probabilidad 759
billones diferentes
de
composiciones
Y cada pieza dura aproximadamente 23 segundos 553 millones de años de forma ininterrumpida Edad del Universo = 13 770 millones de años.
Somos compositores
Después de tanto trabajo había que divertirse, así que ¡A lanzar los dados!
Somos compositores I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
Suma
5
8
9
5
9
9
9
12
10
7
10
11
7
7
7
10
Compรกs
40
60
114
85
140
86
169
5
65
71
19
164
101
162
23
8
Probabilidad
Somos compositores Juego de dados musical de Mozart,k516f “Las Matemáticas del Planeta Tierra”
Somos compositores
La probabilidad de la composici贸n es 1.8 x 10-16
Somos compositores
Aparecerá una vez por cada 5000 billones de “juegos”.
Somos compositores
SonarĂĄ una vez cada 4 000 millones de aĂąos
Somos compositores
por lo que podemos afirmar que casi con toda probabilidad seguridad que SOMOS LOS ĂšNICOS que hemos escuchado esta pieza
Somos compositores
y te invitamos a participar de un hecho “tan excepcional” para nosotros
Las Matemáticas del Planeta Tierra
La Orquesta… Celia Martínez Bodero Elvira Martínez Bodero Carolina Morales Redondo Jénnifer Pérez Cantero María T. Tejido González
El Director… Fernando Diez Vegas del IES Virgen de la Calle de Palencia
Muchas gracias