Libro total mate by Félix Díez

MATEMÁTICAS. SEXTO DE PRIMARIA CURSO 2012 - 2013 CEIP Nª Sra de LATAS - SOMO NIEVES REVUELTA – FÉLIX DÍEZ

ÍNDICE UNIDAD 0. EMPEZAMOS EL CURSO UNIDAD 1. NÚMEROS Y OPERACIONES UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES UNIDAD 3. MÚLTIPLOS Y DIVISORES UNIDAD 4. LOS NÚMEROS ENTEROS UNIDAD 5. LOS NÚMEROS DECIMALES UNIDAD 6. LAS FRACCIONES UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES UNIDAD 8. UNIDADES DE LONGITUD Y SUPERFICIE UNIDAD 9. OPERACIONES CON UNIDADES DE TIEMPO Y ÁNGULOS

UNIDAD 0. EMPEZAMOS EL CURSO

¡Hola, chicos y chicas! Bienvenidos al curso 2012-2013. Me llamo Mático… Tomate Mático, y este curso os voy a acompañar a lo largo de los diferentes temas que trabajéis. Vamos a comenzar con una historia…

Ese año en el colegio del barrio había nuevo profesor de matemáticas, y también unos cuantos niños nuevos. Y uno de estos niños nuevos era de lo más bruto que había visto nadie. Daba igual lo rápido o despacio que le explicasen las cosas de números, siempre terminaba diciendo alguna barbaridad: que si 2 y 2 son cinco, que si 7 por 3 eran 27, que si un triángulo tenía 30 ángulos... Así que lo que antes era una de las clases más odiadas y aburridas, se terminó convirtiendo en una de las más divertidas. Animados por el nuevo profesor, los niños descubrían las burradas que decía el chico nuevo, y con un ejemplo y sin números, debían corregirle. Todos competían por ser los primeros en encontrar los fallos y pensar la forma más original de explicarlos, y para ello utilizaban cualquier cosa, ya fueran golosinas, cromos, naranjas o aviones de papel. Al niño bruto parecía no molestarle nada de aquello, pero el pequeño Luisito estaba seguro de que tendría que llevar la tristeza por dentro, así que un día decidió seguir al niño bruto a su casa después del colegio y ver cuándo se ponía a llorar... A la salida del cole, el niño caminó durante unos

minutos, y al llegar a un pequeño parque, se quedó esperando un rato hasta que apareció... ¡el profesor nuevo! . Se acercó, le dio un beso, y se fueron caminando de la mano. En la distancia, Luisito podía oír que hablaban de matemáticas... ¡y el niño bruto se lo sabía todo, y mucho mejor que ninguno en la clase! Luisito se sintió tan engañado que se dio una buena carrera hasta alcanzarlos, y se plantó delante de ellos muy enfadado. El niño bruto se puso muy nervioso, pero el maestro, comprendiendo lo que pasaba, explicó a Luisito que lo del niño bruto sólo era un truco para que todos los niños aprendieran más y mejor las matemáticas, y que lo hicieran de forma divertida. Su hijo estaba encantado de hacer de niño bruto, porque para hacerlo bien se lo tenía que aprender todo primero, y así las clases eran como un juego. Por supuesto, al día siguiente el profesor explicó la historia al resto de los alumnos, pero éstos estaban tan encantados con su clase de matemáticas, que lo único que cambió a partir de entonces fue que todos empezaron a turnarse en el papel de "niño bruto".

Ahora, vamos a hacer algunos ejercicios de repaso. Son ejercicios del curso pasado. A ver que recuerdas…

1. En España existen 8116 municipios. Hay dos municipios con más de 1000000 habitantes: Madrid con 3273049 y Barcelona con 1619337. Los municipios con una población entre 500000 y 1000000 habitantes son, Sevilla con 704198, Zaragoza con 675121, Málaga con 568507 y Valencia con 809267. a) Escribe, con letra, la población de cada ciudad. b) Ordena las ciudades que aparecen, de menos a más pobladas c) En el número de habitantes de Madrid y Barcelona hay un “9”. ¿En qué posición está, en cada caso? 2. Realiza, en tu cuaderno, las siguientes operaciones 87364 + 873646 + 54263 70985 + 45637 98764 – 76530 6578 – 4098 Comprueba las restas con su prueba. 3. Calcula estas multiplicaciones 7646 x 32

87467 x 204

8747 x 1000

28327 x 10

8753 x 79 5647 x 100

4. Relaciona cada figura con su nombre Perpendiculares

Ángulo

Paralelas

Semirrecta

5. Haz en tu cuaderno estas divisiones 76553 : 9

9763847 : 63

6. Comprueba cuál de estas divisiones son correctas (recuerda la prueba) Dividendo

divisor

cociente

resto

7659

957

125658

6981

4350

807

7. Escribe el nombre las siguientes fracciones

6 10

3 8 1 5 4 15 9 13

2 7

8. Escribe las siguientes fracciones Dos novenos Cinco tercios Dos catorceavos Seis octavos Nueve décimos Trece quinceavos 9. Ordena estas fracciones de menor a mayor

6 10

6 3

6 8

6 15

6 9

6 2

10. Relaciona cada número romano con su valor correspondiente XXVIII

1221

MCCXXI

CMXXXIV

XIX

934

UNIDAD 1. NÚMEROS Y OPERACIONES

Seguramente recuerdas cómo se hacen todas las operaciones. Si no te acuerdas, no te preocupes, que las repasamos. Lo que sí conviene tener en cuenta son las propiedades que tienen, o que no tienen, las operaciones. Acuérdate:

Suma

Resta

 Los números que se suman son los sumandos

 El número que se coloca en primer lugar es el minuendo y el que resta es el sustraendo. El resultado es la diferencia.

 Propiedad conmutativa: El orden en que se suman los sumandos no varía el resultado. Ej 3+5=5+3=8  No tiene propiedad conmutativa.  En la suma el elemento neutro es el cero. 5+ 0 = 5  Propiedad de cerradura. Cuando se suman dos números naturales, el resultado es otro número natural

 El elemento neutro es el cero. 9 – 0 = 9  No tiene propiedad de cerradura, como ya veremos en uno de los siguientes temas.  Prueba de la resta. Diferencia + sustraendo = minuendo

Multiplicación  Los números que se multiplican son los factores  Propiedad conmutativa: El orden en que se multiplican los factores no varía el resultado. Ej 3 · 5 = 5 · 3 = 15  En la multiplicación el elemento neutro es el uno. 6· 1 = 6

División  Los cuatro números que tienes que reconocer son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto.  No tiene propiedad conmutativa.  El elemento neutro es el uno. 3:1 = 3  Prueba de la división

Dividendo = divisor · cociente + resto  Propiedad de cerradura. Cuando se multiplican dos números naturales, el resultado es otro número natural.

¿Te acordabas?. ¿No? Menos mal que SuperMático está aquí para ayudarte. Como ves, no sólo Mortadelo se sabe disfrazar. Ahora vamos a practicar un poco.

UNIDAD 1. EJERCICIOS. 1. El “niño bruto” ha dejado resueltas estas operaciones. Sabemos que cuatro de ellas están mal. Encuéntralas y corrígelas. 875 + 8540 + 4835= 14250 9094 + 8745= 17839 57489 – 9869= 67358 374890 – 328579= 26311 19876 · 102= 2027352 4392 · 93= 409456 98757: 9 = 10973 28428 : 38 = 748 resto 42

2. En un restaurante se sirve una mesa con cuatro personas. Cada una de ellas come un primer plato de 5 €, un segundo de 8 € y un postre de 4 €. ¿Cuánto pagan en total?

3. Si la comida del problema anterior se paga con un billete de 200 €, ¿cuánto habrá que devolver?

4. Tengo que pagar un coche en tres plazos. El primero es de 2500 €; el segundo es el doble que el primero y el tercer plazo es el triple que el segundo. ¿Cuánto me cuesta el coche?

5. En una familia hay tres hermanas. Lucía tiene quince años. La edad Marta es un tercio de la edad de Lucía. La edad de la Teresa es la diferencia de las edades de sus hermanas. ¿Cuántos años tiene cada una?

6. Las niñas del problema anterior tienen una bisabuela cuya edad es el triple de la suma de las edades de las tres, menos la edad de Marta. ¿Cuántos años tiene?

7. Si usas un zapato de la talla 39, tienes un pie de, aproximadamente, 26 cm. Si colocas tu pie, consecutivamente, 52 veces sin dejar espacios, ¿cuántos centímetros estás midiendo? 8. Queremos colocar 1440 naranjas en cajas de docena. ¿Cuántas cajas nos harán falta?

9. Una fuente mana 26 litros por segundo. ¿Cuántos litros manará cada hora?

10. Si quiero embotellar el agua manada en una hora en garrafas de ocho litros, ¿cuántas garrafas necesitaré?

11. Ahora voy a vender todas las garrafas a ochenta céntimos cada una. ¿Cuánto dinero conseguiré? Se nos ha olvidado anotar una propiedad de las divisiones. ATENCIÓN, que será necesaria en el futuro Si en una división multiplico el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente NO VARÍA, pero el resto queda multiplicado por el mismo número. Si en una división divido el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente NO VARÍA, pero el resto queda dividido por el mismo número.

Dividendo

divisor

cociente

resto

375

Es el turno de que Mático Bros te ayude a recordar cómo hacíamos las operaciones básicas con número decimales. Seguro que muchas de las cosas que digamos las recuerdas.

Suma y resta de números decimales. Para sumar y restar números decimales nos tenemos que fijar atentamente en la colocación de las cifras, poniendo atención de que coincida cada una de ellas. Es decir, décimas

con décimas;

centésimas con centésimas… Si en alguno de los números no existe una cifra, podemos poner un cero si nos ayuda a ver mejor el número.

TEN MUCHO CUIDADO, PARA QUE TODAS LAS COMAS DECIMALES ESTÉN EN LA MISMA COLUMNA

Multiplicación de números decimales. En una multiplicación puede haber números decimales en uno de los factores o en los dos. La operación se hace igual en los dos casos. Para hacer la operación, simplemente multiplicamos como si no hubiese decimales y, al terminar, ponemos en el resultado tantos decimales como los que haya en los dos factores.

División con números decimales Si recuerdas, cuando dividimos con decimales, se nos presentan varios casos, dependiendo de dónde haya números decimales. En cualquier caso podemos dividir, excepto cuando hay decimales en el divisor. En ese caso, tenemos que transformar los números para que desaparezcan los decimales del divisor y operar sin dificultades. Cuando no tenemos decimales en el divisor, operamos con normalidad. Simplemente colocamos una coma decimal en el cociente en el momento de “bajar” la primera cifra decimal del dividendo (si la hay)

Tampoco nos resulta fácil “sacar” decimales en el cociente. Solamente hay que añadir ceros al resto, tantos como cifras decimales queramos.

Si tenemos decimales en el divisor, los tenemos que quitar. Para ello “corremos” la coma decimal del divisor hacia la derecha, hasta que desaparezca. Si en el dividendo también hay una cifra decimal, movemos la coma los mismos lugares que en el divisor. Si no hay cifras decimales, añadimos ceros al final de la cifra, tantos como decimales hayamos eliminado del divisor.

Para “correr” estas comas hacia la derecha, hemos usado la propiedad de la división que dice que si

multiplico el dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente no varía . Observa que ,en el primer caso hemos multiplicado 18,247 y 4,25 por 100, dando como resultado 1824,7 y 425.En el segundo caso multiplicamos dividendo y divisor por 10. Cómo ves, no es magia. Movemos los números aprovechando las propiedades de las operaciones.

12. Tengo tres cajas de fruta que pesan, cada una, 2,145 Kg, 5,104 Kg y 3,58 Kg. ¿Cuánto pesan, en total, las tres cajas?

13. Cada kilo del problema anterior lo vendo por 1,32 €, ¿cuánto dinero sacaré por la fruta? (Recuerda que los euros sólo usan dos decimales)

14. Si me pagan la fruta con un billete de 20 €, ¿cuánto dinero devolveré?

15. Compro una camiseta de 14,95 € y un pantalón de 29,95 € con un billete de 50 €. Me dan de vuelta un billete de 5 € y dos monedas de cinco céntimos. ¿Es correcto?

16. Si embotello 30 litros de agua en botellas de litro y medio, ¿cuántas botellas me harán falta?

17. Una fábrica de cemento produce 3100,80 Kg de cemento por día. Al cabo de una semana carga todo el cemento producido en camiones. Si cada camión carga 3617,6 Kg de cemento, ¿cuántos camiones harán falta para transportar toda la producción?

18. Un refresco se puede comprar de dos formas. En la primera oferta, seis latas cuestan 3,36 €. En la segunda oferta, una docena de latas cuesta 6,48 €. ¿En qué oferta sale más barata la lata de refresco?

19. En una pescadería he comprado un rodaballo de 4,9 Kg por 129,85 €. ¿Cómo se llamaba el pescador? NOOOO, ahora en serio, ¿cuánto cuesta un kilo de rodaballo?

20.Si el “pescadito” del problema anterior lo pagamos con tres billetes de 50 €, calcula la vuelta que nos tienen que dar.

21. ¿Cuánto es la mitad de medio euro? Operaciones combinadas En algunas ocasiones nos vamos a ahorrar tiempo si, en lugar de hacer varias operaciones una a una,

las combinamos en una sola. De esta manera podemos hacer dos o más de las operaciones necesarias para resolver los problemas, en un solo paso. Tenemos que tener en cuenta lo siguiente: 1 . O pe r ac i o n e s c om b i n a da s si n pa r é nt e si s 1 . 1 Co m b i n a c i ó n d e su ma s y d i fe r e nc ia s. 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = C o m e nz an d o p or la iz q u i er da , va m o s efe c t u a n d o la s o p er a c i o n e s se gú n a par e c e n . = 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7 1 . 2 Co m b i n a c i ó n d e su ma s, r e sta s y p r o d u ct o s. 3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 = R ea l iz am o s p r i me r o l o s p r o d uc t o s p or te n e r ma y or p r i o r i da d . = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = E fe c t ua m o s la s su ma s y r e st a s. = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15 1 . 3 Co m b i n a c i ó n d e su ma s, r e sta s , pr o d u c t o s y d i vi si o n e s. 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 = R ea l iz am o s

los

p r o d uc t o s

c o ci e n te s

or d e n

e n c o n tr am o s p or q u e l a s d o s o p er ac i o n es t i e n e n la mi sm a p r i o r i da d . = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = E fe c t ua m o s la s su ma s y r e st a s. = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

2 . O pe r ac i o n e s c om b i n a da s c o n p a r é nt e si s (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 2)=

que los

R ea l iz am o s e n pr im er lu gar la s o pe r ac io n e s c o n t e n id a s e n e ll o s . = (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 2 )= Q u i t am o s p a ré n t e si s r ea l iz a n d o la s o pe r ac i o n e s. = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 8 = 24 3 . O p e ra ci o n e s c o m b i na da s c o n pa r é nte si s y c o r c he t e s [ 1 5 − ( 2 − 1 0 : 2 ) ] · [ 5 + ( 3 ·2 − 4 ) ] − 3 + ( 8 − 2 · 3 ) = P r i me r o o p er am o s c o n l a s p ot e nc i a s, p r o d u c t o s y c o c i e nt e s d e l o s p a r é nt e si s . = [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) = R ea l iz am o s l a s sum a s y r e sta s d e l o s p a r é nt e si s . = [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2= E n vez d e p o n er c or c h e t e s p o n dr e m o s p ar é n t e si s d ir ec ta m e n t e: = ( 1 5 − 3 ) · ( 5 + 2) − 3 + 2 = O p er am o s e n l o s c o r ch e te s . = 12 · 7 − 3 + 2 M u lt i pl i ca m o s . = 84 − 3 + 2= Re st a m o s y su m am o s . = 83 Mmm. Interesante forma de ganar tiempo. Veamos si lo han entendido. Pasemos a la práctica

22.Resuelve las siguientes operaciones combinadas 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 = (1 3 − 8 )+ (5 − 2 ) = 2 7 + 3 · 5 – 16 = 2 7 + 3 – 45 : 5 + 1 6 = (2 · 4 + 1 2 ) ·(6 − 4 ) = 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 = 3 · 9 + (6 + 5 – 3 ) – 12 : 4 = 9 − [ 12 − 2 − (1 1 − 8 ) − 3 + 4 ] + 5 = 9 : (6 : 2 ) = (1 2 + 6 - 5 · 3 ) + 3 - (5 - 8 : 2 ) = (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 1 − 3 + 6 ) = S ol uc iones 8

Plantea los siguientes problemas con una sola operación combinada 23. Un libro tiene un prólogo de 6 páginas y siete capítulos de 20 páginas cada uno. ¿Cuántas páginas tiene el libro? 24. En un colegio de 350 alumnos, cada uno tiene en su estuche tres bolis, un lápiz, dos gomas y seis pinturas. ¿Cuántos objetos guardan en los estuches los alumnos de ese colegio? 25. En un colegio hay dos sextos con 24 y 22 alumnos, respectivamente. Se van de excursión en dos autobuses iguales que llenan totalmente. a. ¿Qué capacidad tiene cada autobús? b. Resuelve el mismo problema, añadiendo a los tutores.

26. En una semana, una familia de cinco miembros gasta: 600 € de hotel, 500 € de comida y 300 € de entradas. a- Calcula el gasto por persona. b- Calcula el gasto por persona y día

27. Una familia consigue ahorrar 3 € diarios durante un año y, al final del mismo, paga los seguros del coche y el hogar que son, respectivamente, 400 € y 375 €. ¿Cuánto dinero les sobra? Indica el dato que falta en cada enunciado. Elígelo entre las resuelve el problema.

opciones propuestas y

28. He comprado 36 bolsas de caramelos. La mitad de los caramelos son de limón y el resto de naranja. ¿Cuántos caramelos de limón he comprado? Dato que falta ………………………………………………………………………………………………… – > Cada caramelo vale 25 céntimos. – > Una bolsa tiene 2 docenas de caramelos. –> El número de caramelos de naranja y de limón son iguales. 29. Un tren viaja a 120 kilómetros por hora. En el trayecto hace cuatro paradas de un cuarto de hora y una parada de media hora. ¿Cuánto tarda en hacer el recorrido total? Dato que falta ………………………………………………………………… – > El tren sale a las doce del mediodía. –> El tren lleva 340 viajeros. – > El tren recorre una distancia de 960 kilómetros.

¿Lo tendrán claro? Lo mejor es que demos un pequeño repaso.

30. Resuelve estas operaciones combinadas  8 ·(3+2) – 10 – 20 + 2·5 =  18 – 2·8 + (3+2·4) =  9:3 + 6·2 – 15:5 – (15-5) =  13 – 8:2 + (3·5 -14) – 10 =  (3+2·5) + (18:9 +4) -12 = Te doy, desordenadas, cuatro de las cinco soluciones: 20 – 7 – 2 -13 31. Un grupo de 8 amigos van al cine. La entrada les cuesta, a cada uno,

8,50 €, el

refresco que van a tomar 1,50 €, pero cada uno tiene un descuento de 1,20 €. ¿Cuánto dinero pagarán en total?. 32. Quiero meter en cajas de una decena 250 naranjas y vender cada caja por 2,05 €. ¿Cuánto dinero ganaré? (Intenta plantearlo con una sola operación)

33. Intenta plantear con una operación matemática estos dos casos: a.- Dos hermanas tienen seis euros, cada una. A una de ellas le dan el doble de dinero y lo juntan todo. b. Dos hermanas tienen seis euros cada una. Lo juntan todo y después, les dan el doble.

¿En qué caso juntan más dinero?

34. Resuelve estas parejas de operaciones combinadas, y fíjate en los resultados  3 + 5·2 =

(3+5)·2 =

 16 – 1 + 4·3 =

16 – (1+4)·3 =

 3 + 4·2 – 4:2 =

(3 + 4)·(2- 4:2) =

 8–3+5=

8 – (3+5) =

35. Inventa un problema que se resuelva con esta operación combinada 6 + 6·2 -8

36. Queremos vaciar una piscina de 38880 litros, con una máquina que expulsa 4,5 litros cada segundo. ¿Cuántas horas tardaremos?

37. Las últimas… de momento. 20 – 3 · (7 – 4) = 25 – 4 · 2 + 7 = 4 · (3 + 5) – 3 · (10 – 4) = 45 + 6 · 3 – 4 · 7 = 30 – 5 · 5 + 12 = 42 + 9 · 5 – 26 =

38. Relaciona los problemas de la derecha con las soluciones de la izquierda S e t i e n e n 2 4 c aja s c o n 2 5 b o l sa s d e c afé c a da u na .

557,75

S i ca d a b o l sa p e sa 0, 6 2 k g, ¿ c uá l e s el p e so d e l café?

16,4

U n a j ar r a vac í a p e sa 0 , 6 4 k g, y l l e na de a gu a 1 , 7 2 8 k g. ¿ C uá n t o p e sa e l a gu a ? D e u n d e p ó si t o c o n a gu a se sa ca n 1 8 4 , 5 l y d e sp u é s

372

1 2 8 , 7 5 l , fi na l m e nt e se sac a n 84 , 5 l . Al fi n al q u e da n e n e l d e p ó sit o 1 6 0 l . ¿ Q u é ca n ti d a d d e a gu a h a b ía el d e p ó si t o ?

5,63 1,088 0,15

2,5 + 3 · 4,8 – (6,3 – 5,8) = 10 : 2,5 + 3,25 – 7,1 = (8,65 + 3,08 ) – 2 · 3,05 =

Aunque pienses que ya eres mayor para estas cosas, pasa un rato coloreándome.

UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES

Os voy a leer una curiosa leyenda hindú.

Hace mucho tiempo reinaba en la India un príncipe llamado Iadava. Sus amigos estaban muy preocupados por él, pues últimamente estaba siempre triste. Hasta la aldea de Lahur Sessa, llegó la noticia de la tristeza del monarca. Así pues Lahur Sessa inventó un juego ("el ajedrez") que pudiera distraerlo y alegrar su corazón. Sessa explicó al rey Iadava, a los visires y cortesanos las reglas del juego. Era un gran tablero cuadrado dividido en 64 casillas. Sobre él se colocaban dos series de piezas, unas blancas y otras negras. Las formas de las figuras se repetían simétricamente y había reglas curiosas para moverlas. Iadava quedó impresionado por el ingenio de Sessa y le ofreció una bolsa llena de oro o un arca repleta de joyas o palacios o tierras... pero Lahur "sólo" le pidió granos de trigo: Un grano por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta, y así doblando sucesivamente hasta la última casilla. Al oír la petición de Sessa todos rieron, Iadava aunque extrañado, llamó a los algebristas de su corte para que hicieran el cálculo del nº de granos que debía entregar al brahmán. Cuando éstos hicieron el cálculo, vieron, asombrados, que no había trigo en el reino para pagar esa cantidad.

Cuando conozcas las potencias, comprendrás lo ingenioso que era Sessa

La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: BASE a y EXPONENTE n. Se escribe an, y se lee: «a elevado a n», donde a es la base y n es el exponente 45 se lee “cuatro elevado a cinco” o “cuatro a la quinta” 39 se lee “tres a la nueve” o “tres a la novena” 

Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar la base por sí misma varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

Por ejemplo: 24= 2·2·2·2 = 16 33=3·3·3 =27 

Las potencias cuyo exponente es dos, se llaman cuadrados y es el resultado de multiplicar un número por sí mismo:

22=4

32=9

42=16

52=25

72=49

82=64

92=81

102=100

 23=8 

62=36

Las potencias cuyo exponente es tres, se llaman cubos 33=27

43=64

53=125

Potencia de exponente 0

Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad: 10=1 

20=1

450=1

360=1

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base: a1=a

211=21

311=31

121=12

OPERACIONES CON POTENCIAS Multiplicación de potencias de igual base El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes): am · an = am+n

Ejemplos:

32·35 =37

98·93=911

265·2613=2618

División de potencias de igual base La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos Ejemplo:

36:34=32

am:an=am-n 59:52=57

265:262=263

Potencia de un producto La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a n: (a·b)n =an·bn

(3·2)5 = 35·25

(2·3)2 =22·32= 4·9=36

Nuestro sistema de numeración es decimal. Es decir que agrupamos todas las cantidades en grupos de diez. Así 10 unidades hacen una decena; diez decenas hacen una centena; diez centenas es una unidad de millar… Todos estos agrupamientos los podemos hacer usando potencias de base 10 100=1

UNIDAD

101=10

DECENA

102=100

CENTENA

103=1000

U. DE MILLAR

104=10000

DECENA DE MILLAR

105=100000

CENTENA DE MILLAR

106=1000000 U. DE MILLÓN Esto nos puede ayudar para hacer descomposiciones, sobre todo de números grandes. Ej. 26 = 2·10 + 6 =2·101 + 6·100 354 =3·100+ 5·10 + 4 = 3·102 + 5·10 + 4·100 265467 = 2·100000 + 6·10000 + 5·1000 + 4·100 + 6·10 + 7=2·105 + 6·104 + 5·103 + 4·102 + 6·10 + 7

Concepto de raíz. En la figura superior vemos el suelo de una habitación cuadrada que tiene 100 baldosas. ¿Cuántas baldosas tendrá por cada lado? Para resolver este problema habrá que hallar un número que elevado al cuadrado sea 100. Es el 10 porque 10 x 10 = 100; 102 = 100. Por tanto, la raíz cuadrada de 100 es 10. Elementos de la raíz.

El número 36 es el cuadrado de 6. También podemos decir que 6 es la raíz cuadrada de 36. El signo  se llama signo radical. En el ejemplo anterior el 36 se llama radicando; el 6 es la raíz cuadrada y  es el signo Raíces cuadradas exactas. radical. Cuando un número natural se eleva al cuadrado obtenemos los cuadrados perfectos. El 36 es el cuadrado perfecto de 6; también podemos decir que 6 es la raíz cuadrada de 36. Raíz cuadrada entera. Si queremos hallar la raíz cuadrada de 46 nos encontramos que no es un cuadrado perfecto, ya que es mayor que 36 (6 2) y menor que 49 (72). La raíz de 46 tendrá una parte entera, 6 y un resto. Raíz cuadrada entera de un número es la raíz del mayor cuadrado perfecto contenido en él. En este caso al cuadrado de 6 (36) le faltan 10 para llegar a 46. 46 -36 = 10. El número 10 se llama resto.

TEMA 2. EJERCICIOS. 1. Escribe cómo se leen las siguientes potencias 98

1523

762

103

2. Escribe en forma de producto las siguientes potencias 23= 2·2·2 45

510

3. Escribe en forma de potencia los siguientes productos 4·4·4·4·4·4·4 = 47 8·8·8·8 23·23·23 2·2·2·2·2·2·2·2 12·12·12·12·12·12 9·9·9·9·9·9·9·9·9·9 4. Calcula el cuadrado y el cubo de los siguientes números 8

5. Relaciona cada potencia con su resultado 25

65536

729

216

4096

6. Calcula el valor de 101, 102, 103, 104, 105 y 106

7. Completa el cuadro Base

Exponente

Potencia

Resultado

Se lee

Dos a la cuarta Tres al cubo

82 2

8. Un señor le ofreció al dueño de un restaurante 8 € por una comida que costaba 150 €. El dueño del restaurante le dijo que sólo aceptaba si lo elevaba a la potencia del día en que estaban. El señor, sin pensarlo, aceptó. Era el 5 de febrero. ¿Hizo buen negocio el dueño del restaurante?

9. En cada generación tiene un número de antepasados que es la potencia de dos. ¿Cuántos antepasados tenías hace 8 generaciones?

10. Copia estas curiosidades de los cuadrados y los cubos ¿Qué observas? 12 = 1 22 = 1 + 3 32 = 1 + 3 + 5 42 = 1 + 3 + 5 + 7 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

13 = 1 23 = 3 + 5 33 = 7 + 9 + 11 43 = 13 + 15 + 17 + 19 53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29

11.

Escribe

los

prefijos

Kilo

(1000),

Mega

(1000000),

Giga

(1000000000)

Tera

(1000000000000) en forma de potencia.

12. Escribe en forma de número 103, 105, 106, 102, 101, 100,

1010, 109, 1011

13. Descompón los siguientes números. Fíjate en el ejemplo. 23564 = 2·10000 + 3·1000 + 5·100 + 6·10 + 4 =2.104 + 3·103 + 5·102 + 6·10 + 4 98372 7098

128172

126

874158

1256892

14. Relaciona cada número con su descomposición 2563

2·104+6·10+5

1065

106+2·10+3

20065

2·103 + 5·102 + 6·10 +3

87459

5·107+2·106+3·105+6·104+5·103+4·102

1000023

3·104+5·103+9·102+8·10+7

698426

103+6·10+5

52365400

6·105+9·104+8·103+4·102+2·10+6

35987

8·104+7·103+4·102+5·10+9

15. Un año-luz es la distancia que recorre un rayo en un año y son aproximadamente 9460000000000 Km. Escríbelo en forma de potencia de 10

16. Con pequeños cubitos hemos construido un cubo grande que tiene 10 cubitos de lado. ¿Cuántos cubitos contiene el cubo grande?

17. Escribe en forma de una sola potencia 25·28 36·34 63·65·67 98·92 74·72 45·43 18. Escribe en forma de una sola potencia y calcula 98:96 25:24 36:33 84:82 77:75 29:25 19. Expresa el resultado como un producto de potencia

20. Estás jugando a adivinar. Tu compañero te dice: piensa una potencia que vale 16 y su base es 2; adivina el exponente. 21. Jugando a adivinar: piensa una potencia que vale 1000 y su base es 10. ¿Cuál es el exponente? 22. Completa la tabla, con los cuadrados de los veinticinco primeros números. número cuadrado número cuadrado número cuadrado número cuadrado número cuadrado

169

400

484

23. Una pista que te puede ayudar para calcular raíces cuadradas: los cuadrados de los números que terminan en cero, también acaban en cero. Completa las terminaciones Termina en

Su cuadrado termina Termina en

Su cuadrado termina

24. Calcula las siguientes raíces cuadradas (todas son exactas)

400

1225

1024

441

3600

2500

25. Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números (con resto)

259

189

903

500

26. Una niña le dice a otra: “la edad de mi abuelo es un cuadrado perfecto, mayor de 70 y menor de 100, y la mía es la raíz cuadrada de la edad de mi abuelo”. ¿Qué edad tienen abuelo y nieta? 27. Calcula las siguientes raíces (con y sin resto)

√0

√55

√33

√3

√47

√25

√46

√44

√8

√49

√56

√2

√45

√43

√51

28. Un señor tiene dos nietas de 8 y 6 años. La primera es la raíz cuadrada de su edad y la segunda es el resto de dicha raíz. ¿Qué edad tiene ese señor? 29. La edad de la niña pequeña del problema anterior es la raíz cuadrada de la edad de su madre y la edad de la niña mayor es el resto de esa misma raíz. ¿Qué edad tiene la madre? 30. Una habitación perfectamente cuadrada tiene 256 azulejos. Cada azulejo mide 25 cm de lado. ¿Cuántos metros mide, de lado, la habitación? 31. Al poner las baldosas de una habitación cuadrada, compramos quince cajas de 16 azulejos. Ocho azulejos vienen rotos y, después de colocarlos, sobran siete. ¿Cuántos azulejos ponemos en cada lado? 32. Completa el cuadro

Número

Raíz cuadrada

Resto

146

815 926 7225

33. Un virus informático se transmite de forma exponencial, de forma que un ordenador contagia a dos; esos dos a otros dos y así de forma sucesiva. Una empresa cuenta con 1500 ordenadores. Si el virus avance diez “pasos”, ¿cuántos ordenadores se salvan del contagio?. 34. Si la empresa del problema anterior se gasta 25€ en arreglar cada ordenador contagiado, ¿qué perjuicio le ha supuesto a la empresa el virus informático? 35. Queremos enlosar una habitación cuadrada de 36 baldosas por lado. Si cada caja de baldosas contiene una docena y cuesta 6 €, ¿cuánto nos costará cubrir el suelo? 36. Luis tiene seis años. La edad de su padre y su madre es el cuadrado de la suya y si suma la edad de sus padres y las de sus abuelos paternos (tienen la misma edad el abuelo y la abuela), le sale el cubo de su edad. ¿Qué edad tienen los padres y los abuelos? 37. María tiene cuatro años, su hermana el cuadrado de su edad y su abuela el cubo. ¿Qué edad suman entre las tres? 38. En la familia García son cuatro hijas. Las edades de las niñas son las cuatro primeras potencias de un número. Entre todas suman la edad de la tía, que es ocho años más joven que la madre, que tiene la mitad de la edad de la abuela. La abuela tiene setenta y seis años. ¿Qué edad tienen las demás mujeres de la familia?

UNIDAD 3. MÚLTIPLOS Y DIVISORES

¿Has oído hablar de Gauss? Ya verás como, para las matemáticas, no hay edad.

Gauss fue un prodigio, de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad. Siendo apenas un niño ya asombraban sus conocimientos, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completo su Magnum Opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no seria publicada hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teoría de los números se consolidara y ha moldeado esta área hasta los días presentes. Es célebre la siguiente anécdota: con tan solo 3 años corrigió en su cabeza un error de su padre, mientras éste realizaba un conteo de pago de sus empleados, haciendo ver su precoz habilidad para los números. Tenía Gauss 10 años cuando un día en la escuela el profesor mandó sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos Gauss levantó la mano y dijo tener la solución: “los cien primeros números naturales suman 5.050”. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, etc., era constante: 1 , 2 , 3 , 4 . . . . . . . . 97 , 98 , 99 , 100 1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 = ... = 101 Con los 100 números se pueden formar 50 pares, de forma que la solución final viene dada por el producto 101· 50 = 5050

MÚLTIPLOS Y DIVISORES. Múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por otro cualquiera.

Por

ejemplo, múltiplos de tres serían: 3·2 =6

3·3= 9

3·12 =36

3· 15 = 45

Cualquier número tiene infinitos múltiplos. Divisores de un número son los números que dividen, con división exacta, a ese número. Por ejemplo, divisores de ocho serán 1, 2, 4 y 8 8:8 = 1

8:4 = 2

8:2 = 4

8:1 = 8

Un número siempre tiene como divisores al 1 y al propio número.

CÁLCULO DE DIVISORES Para calcular los divisores de un número comenzaremos dividiendo por la unidad y seguiremos por el dos, tres, cuatro, etc. Recordando que son divisores solamente si la división es exacta. Cada división que nos resulte exacta nos va a dar dos divisores: el divisor y el cociente. Habremos conseguido todos los divisores en el momento que el cociente sea igual o mayor que el divisor. Ej: Vamos a calcular los divisores de 32 32:1 = 32, luego 1 y 32 son divisores de 32 32:2 = 16; 2 y 16 son divisores de 32 32:3 no es exacta 32:4 = 8; 4 y 8 son divisores de 32 32:5 no es exacta 32:6 no es exacta y, además, el cociente es 5, menor que el divisor. Hemos acabado Los divisores de 32 son 1, 2, 4, 8, 16 y 32.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Cuando estamos buscando los divisores de un número, nos va a ayudar el conocer los criterios de divisibilidad, es decir, qué tiene que cumplir un número para ser dividido por otro. Los principales criterios que nos van a ayudar son: * Divisible entre 2. Todo número par es divisible entre dos. Son los números que terminan en 0 – 2 – 4 – 6 – 8. Ej. 246:2 = 123

50:2 = 25

97 NO ES DIVISIBLE ENTRE DOS

* Divisible entre 3. Si sumamos las cifras de un número y nos resulta un múltiplo de tres, entonces el número es divisible entre tres. Ej 243 2+4+3 = 9. 9 es múltiplo de tres; entonces 243 es divisible entre 3. 243:3 = 81 96

9+6= 15. 96 es divisible entre 3. 96:3 =31

9+7 = 16.

97 NO ES DIVISIBLE ENTRE TRES.

* Divisible entre 5. Todos los números que terminan en 0 o en 5. Ej 620 es divisible entre 5

545 es divisible entre 5

* Un número es divisible entre 6 si lo es, a la vez, entre dos y entre tres. * Divisible entre 9. Si sumamos las cifras de un número y nos resulta un múltiplo de nueve, entonces el número es divisible entre nueve. Ej. 918 9+1+8= 18, múltiplo de 9.

Luego, 918 es divisible entre 9

658 6+5+8 = 19

658 NO ES DIVISIBLE ENTRE 9

* Un número es divisible entre 10 solo si termina en cero. Ej . 230 es divisible entre 10 * U n n ú m er o e s d i v i si b l e p o r 11 , si la d i fe r e n c ia e n tr e la su ma d e l a s ci fr a s q u e o c u pa n l o s l u gar e s par e s y l a d e l o s imp ar e s e s 0 ó m ú lt i pl o d e 1 1 . 121

(1 + 1) - 2 = 0

4224

(4 + 2) - (2 + 4) = 0

3650

(3+5) – (6+0) = 8 – 6 = 2.

3650 NO ES DIVISIBLE ENTRE 11

LOS NÚMEROS PRIMOS. En matemáticas, un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales distintos: él mismo y el 1. Euclides demostró alrededor del año 300 a. C. que existen infinitos números primos. Se contraponen a los números compuestos, que son aquellos que tienen más de dos divisores. El número 1 no se considera ni primo ni compuesto.

Todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9.

Para conocer los números primos, menores de cien, comenzaríamos por eliminar todos los números divisibles entre dos, es decir, los pares, excepto el dos. Seguiríamos eliminado los múltiplos de tres, excepto el tres. Repetiríamos la operación con los múltiplos de cinco, excepto el cinco y los múltiplos de siete, excepto el siete. Los números que queden sin tachar son los números primos menores de cien. Completa la tabla

100

En ocasiones, necesitamos descomponer un número grande en factores. Esto es, vamos a escribir un número como si fuera un producto. Así, podemos escribir

21 = 3· 7 ó

24 = 2·3·4

Para ello, buscamos algunos de los divisores de ese número.

Si usamos solamente números primos como divisores, diremos que hacemos una descomposición en factores primos. Para hacer esto es muy importante recordar los criterios de divisibilidad y conocer los números primos, al menos hasta el 50. Ej: Vamos a descomponer el 60 Empezaremos a trabajar con el 2, haciendo todas las divisiones necesarias, hasta que nos resulte un número impar. 60:2 = 30

30:2 = 15

15 no es divisible entre dos

Después veríamos las divisiones entre 3 15:3 =5

5 no es divisible entre tres

Lo siguiente será dividir entre 5 5:5 =1. Hemos terminado. 60= 2·2·3·5

Como se repite el dos, usamos potencias 60 = 2 2·3·5

También podemos ponerlo en forma vertical, de la siguiente manera 90

1 Luego 90 = 2·3·3·5. En forma de potencia 90= 2·32·5

Un número primo no tiene descomposición en factores

Mínimo común múltiplo E s e l m e n o r d e t o d o s m úl t ip l o s c om u ne s a va r i o s n úm e r o s , excluido el cero. Cálculo del mínimo común múltiplo 1 . S e d e sc o m p o ne n l o s n úm e r o s e n fac t o r e s p ri m o s 2 . S e t om a n l o s f a ct o r e s c om u n e s y n o c o m u n e s c o n ma yo r e x p o n e nt e . Ejemplo Calcula el mcm de 72 y 60 72 = 23 · 32 60 = 22 · 3 · 5 m . c . m . (72, 60) = 23 · 32 · 5 = 3 6 0 Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.

M á x im o c o mú n d i v i so r

El número 36 es múltiplo de 12.

E l má x i m o c o m ú n d i v i so r , m . c. d . d e do s o m á s n ú m e r o s e s e l m a yo r m . c . m . (12, 36) = 36

n ú m e r o q ue d i v i d e a t o d o s e x ac ta m e nt e . Cálculo del máximo común divisor 1 . S e d e sc o m p o ne n l o s n úm e r o s e n fac t o r e s p ri m o s. 2 . S e t om a n l o s f a ct o r e s c om u n e s c on m e n o r e xp o n e nt e . Ejemplo Hallar el m. c. d. de: 72 y 60. 72 = 23 · 32 60 = 22 · 3 · 5 m. c. d. (72, 60) = 22 · 3 = 12 12 es el mayor número que divide a 72 y 60. Si dos o más números no tienen factores comunes, entonces su m.c.d. es 1 y se dice que esos números son primos entre sí Ej 25 = 52

36 = 22·32

TEMA 3. EJERCICIOS.

A partir de ahora, vamos a demostrar que el movimiento se aprende andando

Calcula los cuatro primeros múltiplos de : 2 – 4 – 6 – 7 – 10 – 14

Relaciona los números de la derecha con uno de sus múltiplos 4

121

Escribe los múltiplos de 15, mayores de 100 y menores de 149.

Un niño se da cuenta de que, el número de alumnos de su clase, contándole a él, es

múltiplo de 2, de 3, de 4, de 6, de 8 y de 12. ¿Cuántos alumnos hay en clase, sabiendo que tienen que ser menos de 25?

¿Qué números menores de 81 son múltiplos de cinco?

¿Qué números menores de 1001 son múltiplos de 100?

¿Qué números son múltiplos de dos?

Calcula los divisores de: 8 – 10 – 15 – 24 – 36 – 40.

¿Cuáles son los divisores de: 7 – 17 – 37?

10. ¿Qué número tiene más divisores, el veinte o el dieciocho?

11. Relaciona cada número con su divisor 35

12. Un profesor quiere organizar la clase en grupos, para distintas actividades. Si tiene quince alumnos, ¿de qué maneras puede dividirlos en grupos?

13. Una niña quiere colocar sus libros en una estantería, de manera que pueda colocar el mismo número de libros en cada balda. Si tiene 28 libros, ¿cuántos modelos de estantería le valdrían? (Ej: le valdría una estantería de siete baldas, si coloca cuatro libros en cada una)

14. En La Magosta, un grupo de sexto tiene que hacer cucuruchos para los alumnos más pequeños. Les dan 92 castañas y les dicen que tienen que poner más de cinco en cada cucurucho y que todos los cucuruchos tienen que tener el mismo número de castañas. ¿Cómo lo hacen?

15. ¿Puede haber un número divisible entre tres y que sea múltiplo, a la vez, de siete y de ocho?

16. Teniendo en cuenta el criterio de divisibilidad, señala, sin hacer divisiones, si son divisibles entre dos: 36 – 45 – 800 – 964 – 357 – 99

17. Señala los números del ejercicio anterior que son divisible entre tres.

18. Completa la tabla, señalando los números que son divisibles Númer

Divisible

entre 2

entre 3

entre 5

entre 7

entre 9

entre 11

Sí

86 135

Sí

468 1840 2010

20790

19. Escribe tres números, de cinco cifras, que sean divisibles entre nueve.

20. Escribe tres números capicúas de cuatro cifras y divídelos entre once. ¿Qué observas?

21. Un gran club de atletismo tiene 693 niños en competición. Quiere organizar equipos de nueve. ¿Pueden hacerlo?. ¿Y en equipos de once?. ¿Y equipos de siete?

22. ¿Cuál es el número mínimo necesario para organizar un torneo de baloncesto con ocho equipos?

23. ¿Cuáles son los números inferiores a 100 divisibles, a la vez, por 2, 3 y 5?

24. Di si es verdadero o falso. 

El 57 es un número primo.



Los números primos son impares, excepto el dos.



Todos los impares son primos.



Como el 13 es primo, sus múltiplos son primos.



Los números primos son infinitos.



Todos los números que terminan en cinco son compuestos.



Hay más números primos entre el 1 y el 10 que entre el 80 y el 100.

25. Escribe los siguientes números como producto de números primos. Ej 35 = 5·7 40

26 = 2·13 91

100

39 = 3·13 36

24 = 2·2·2·3 49

26. Cuatro amigos se reúnen a comer. Le piden croquetas al camarero. Le dicen que les traiga entre 30 y 50, pero que sea una cantidad que puedan repartir exactamente, incluso si llegara un nuevo amigo. ¿Cuántas croquetas les sirvió?

27. Busca los números primos entre 100 y 150. Aplica los mismos pasos que has hecho para los menores de 100, añadiendo el 11.

28. Un niño muy egoísta lleva una tarta dividida en siete trozos, para una clase de trece alumnos, pensando que, al ser números primos no lo podrían dividir. Pero la maestra hizo una división exacta. ¿Cómo lo hizo?

29. Descompón, en factores primos, los siguientes números 92

108 432

512

726

1032 2010 5500

30. Di si las siguientes descomposiciones en factores primos son correctas y corrige las mal hechas. 35= 5·7

27=3·940=23·5

50=5·10

86=25·3

98= 24·32

31. Busca : 

El número más pequeño que se pueda descomponer como el producto de tres factores

primos al cuadrado. 

El número más pequeño que se pueda descomponer como producto de dos factores primos

al cubo

32. Calcula el mínimo común múltiplo de: 12 y 18

15 y 25

20 y 36

12,14 y 16

33. Calcula el máximo común divisor de: 12 y 18

25 y 40

9 y 18

25 y 49

34. De las siguientes parejas de números, señala los que son primos entre sí: 12-18 25-35 40-26 13-17 5-8

4-9 5-25

3 5 . U n vi a j e r o v a a B a r ce l o na ca d a 1 8 d í a s y o t r o c a d a 2 4 d í a s. H o y h an e st a d o l o s d o s e n B a rc e l o na . ¿ De n t r o d e c ua n t o s d ía s vo l ve r á n a e st a r l o s d o s a la ve z e n Ba r c el o n a ?

3 6 . S i l o s v i a j e r o s d el p r o b le m a a n te r i o r c o i n c i d e n e n B a rc e l o na el d í a d e A ñ o Nu e vo , ¿ c u ál e s el si gu i e nt e d ía q ue se ve n ?

37. U n fa r o se

e nc i e n de c a da

1 2 se gun d o s, o t r o c a da

1 8 se gu n d o s y u n

t e r ce r o ca d a m i n ut o ¿ Ca d a c uá n t o s se gu n d o s c o i n c i de n la s t r e s l u ce s?

38. Un coche tarda 150 segundos en dar una vuelta a un circuito y otro tarda 180 segundos. Una carrera va a durar 15 minutos. ¿Coincidirán en algún momento, cruzando al mismo tiempo por la meta?

3 9 . Queremos cortar cuerdas para saltar a la comba, iguales. Tenemos dos rollo de cuerda de 36 y 42 m. ¿Cuánto medirán las cuerdas, si las hacemos lo más largas posibles?

4 0 . E l su e l o d e u na ha b i t ac i ó n , q ue se q u i e r e em b a l d o sa r , t i e ne 5 m d e la r go y 3 m d e a n c h o . Ca l c ul a el l a d o y e l n ú m e r o d e la b a l d o sa s, t al q u e el n ú m e r o d e b a l d o sa s q u e se c o l o qu e se a m ín im o y q u e n o se a n e c e sa r i o c o r ta r n in gu n a d e e l l a s.

41. E n u n a b o d e ga h a y 3 t o n e l e s d e vi n o, c u ya s c a pa c i da d e s so n : 2 5 0 l , 3 6 0 l , y 5 4 0 l . S u c o n t e n i d o se q u ie r e e n va sa r e n c i e rt o n ú m e r o d e ga r ra f a s i gu a l e s. Ca lc u la r l a s ca pa c i da d e s má x i m a s d e e st a s ga r r a fa s pa r a q u e e n e l la s se p u e d e n e n va sa r e l v i n o c o n te n i d o e n c a da u n o d e l o s t o n e le s, y e l n ú m e r o d e ga r r a fa s q u e se ne ce si t a n.

42. T e n e m o s t r e s ta b l o n e s d e

1 2 , 1 6 y 2 0 m e t r o s. ¿ Cu á n t o m e d i r á n l os

t r o z o s i gu a le s, má s gr a n d e s, q ue p o de m o s ha c e r ?

UNIDAD 4. LOS NÚMEROS ENTEROS.

Los matemáticos siempre han sido famosos por ser muy despistados. Por supuesto, no siempre es así, pero algunas de las historias que nos llegan son muy graciosas. Aquí os dejo un buen ejemplo.

De Norbert Wiener (considerado fundador de la cibernética) se cuentan montones de anécdotas. En cierta ocasión cuando los Wiener se mudaban, su esposa le avisó con varias semanas de anticipación y la víspera se lo recordó nuevamente. Al salir a trabajar, su mujer, que conocía lo distraído que era, le puso en un papel la nueva dirección de su hogar, dado que allí tendría que dirigirse, ya que esa misma mañana la mudanza comenzaría. Durante el día Wiener usó el papel para borrajear una respuesta a un alumno que le había hecho una consulta matemática. Al salir lo hizo, como siempre, a su antiguo hogar y por supuesto encontró la casa vacía. Intentando llamar y ver a alguien de dentro se percató que no había muebles. Minutos más tarde recordó que la familia se había mudado y no desaparecido, como temía en un principio. Así que pensó en buscar ayuda y se acercó a una niña que lo miraba desde la acera. - Niña, ¿podrías decirme dónde se ha ido la familia que vivía en esta casa? La niña le respondió. - No te preocupes papá: mamá supuso que perderías la nota y me envió a buscarte. Un matemático despistado y una esposa previsora. Está claro que hacían una excelente pareja.

Hay muchas situaciones de la vida real que no se pueden explicar usando únicamente los números naturales. Por ejemplo si queremos explicar que un cachalote vive 900 metros por debajo de la superficie del mar, usaremos el número -900.

El cachalote vive en la cota -900 m. Una cabra montesa que viva a 2000 m. de altura, vivirá en la cota +2000 m. Para explicar la situación de la cabra y el cachalote con relación al nivel del mar se han usado los números +2.000 y –900 Estos números se llaman números enteros. Los números enteros pueden ser positivos y negativos. Los enteros positivos se obtienen colocando el signo + delante de los números naturales. Los enteros negativos se obtienen colocando el signo – delante de los números naturales. Los números enteros no son naturales (no existen –2 peras). Son números creados para referirse a situaciones en las que se marca un origen (que se considera valor 0) que provoca un antes y un después, un delante y un detrás, un arriba y abajo. Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad. El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas). Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como: 3−5=? Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar de ganancias y pérdidas: Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 euros y al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = 1000 €. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, entonces la operación que tenemos que hacer es 500 − 2000 = − 1500 €. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.

Los números negativos aparecen en muchas situaciones de la vida diaria. Para señalar el número de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos números negativos para las plantas que están por debajo de cero, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas.

Para medir altitudes. Se considera 0 el nivel del mar, los niveles por encima del mar se pueden expresarr con números enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar con números enteros negativos.

Para medir Temperaturas. Fíjate en el termómetro. El termómetro mide la temperatura en grados. Cuando el

terE Cuan termómetro marca 0 grados, el agua se congela.

Las temperaturas por encima de 0 grados se indican con números enteros positivos. Las temperaturas por debajo de 0 grados se indican con números enteros negativos.

Representamos los números enteros en una recta numérica. Trazamos una línea recta y situamos en ella el 0. El 0 divide a la recta en dos semirrectas. Dividimos cada una de las semirrectas en partes iguales:

Situamos los números enteros: los enteros positivos a la derecha del cero y los enteros negativos a la izquierda del cero:

Para comparar dos números enteros los situamos en la recta numérica: cualquier número entero es mayor que otro situado a su izquierda

(+6) > (-4) No obstante, vamos a tener en cuenta estas reglas: 1. Cualquier entero positivo es mayor que cualquier entero negativo. (+2) > (-20 )

(+1) > (-50)

2. El cero es mayor que todos los enteros negativos y menor que todos los enteros positivos. (+12) > 0 > (-8) 3. Entre dos enteros positivos, es mayor el que tenga un número mayor. (+30) > (+25) 4. Entre dos enteros negativos, es mayor el que tenga un número menor. (-20) > (-25)

(-8) > (-14)

(-2) > (-9)

¿Quieres saber cómo se suman los números enteros?.

1. Sumamos dos enteros del mismo signo En esta recta numérica, un salto de +3 y otro de +2. El salto total es de +5.

(+2) +(+3) = +5 En esta otra recta damos un salto de –2 y a continuación otro de –3. El salto total es de -5.

(-2) + (-3) = -5 Para sumar dos (o más) números enteros del mismo signo a. Conservamos el signo de los números. b. Sumamos sus valores 2. Sumamos dos números enteros de diferente signo. En esta otra recta, a partir de 0 hemos retrocedido primero 2 unidades (-2). Luego hemos avanzado 8 unidades (+8). Estamos en +6.

(-2)+(+8) = +6 Para sumar dos números enteros de diferente signo: a. Conservamos el signo del número con mayor valor numérico. b. Restamos los valores.

Fíjate en la posición de los números +3 y -3 en la recta numérica Observa que 3 y –3 se encuentran a la misma distancia de 0. Son simétricos respecto al 0. Tienen el mismo valor numérico, pero distinto signo. 0p. (+3) = - 3

0p. (-3) = + 3

Se llaman opuestos, por tanto: el opuesto de un número es aquel que tiene el mismo valor numérico,

Resta de números enteros. Pero distinto signo Observa el problema: “ Un señor nació en el año 25 a.c. y murió en el año 42 d.c.. ¿Cuántos años vivió?” La edad de una persona es la resta de las fecha de muerte y nacimiento. 42 – (-25), ya que las fechas antes de Cristo se consideran negativas. Para restar números enteros, sumamos el opuesto del número que queremos restar. Por tanto, la operación será 42 + (+25 ) = 67 años. A un número entero, en lugar de restarle otro, le sumamos el opuesto Ej: (-2) – (+3) = (-2) + (-3 ) = -5

(+8 ) – ( -9) = (+8) + (+9) = +17de números enteros. Multiplicación y división Para multiplicar y dividir los números enteros nos vamos a fijar en sus signos y en los valores numéricos. Hay que tener en cuenta: 1. Si los signos de los dos números que multipliquemos o dividamos son iguales (los dos positivos o los dos negativos) el signo resultante siempre será positivo. 2. Si los signos de los dos números que multipliquemos o dividamos son diferentes (uno positivo y el otro negativo) el signo resultante siempre será negativo. Así que haremos:

Ej:

a. Multiplicamos o dividimos los valores numéricos. b. Colocamos el signo, según lo que hemos visto antes.

(+8 ) · (-3) = - 24

(-3) · (-5) = +15

(-4) · (+3) = -12

(+5) · (+2) = +10

(+16 ) : (-4) = - 4

(-20) : (-5) = +4

(- 15 ) : (+3) = - 5

(+9) : (+3) = +3

TEMA 4. EJERCICIOS. 1.

Expresa con un número entero, las siguientes cantidades.

La temperatura a las ocho de la mañana era de seis grados bajo cero.

El escalador alcanzó la cota de los seis mil metros.

Consigo sumergirme doce metros sin bombonas.

En agosto la temperatura sube hasta los treinta grados.

Debes veinte euros.

Euclides estudió los números primos en el año 300 a.c.

He ahorrado 350 euros

Escribe

El número siguiente a +3

El número anterior a +9

El número anterior a -9

El número siguiente a -15

El número anterior a 0

El número siguiente a -2

El número anterior a -4

El número siguiente a +99

Escribe situaciones reales que puedan representar estos números enteros: -208

+ 372 4.

-8

-100

+8848

+1616

-19

Dibuja una recta numérica y señala los números (-3), (+4), (+2), (-1), (-6) y (+5)

Compara las siguientes parejas de números enteros.

+4 y +6

+4 y -2

+7 y -7

0 y +2

0 y -2

Ordena, de menor a mayor los siguientes números enteros.

+12

Ordena, de mayor a menor, los siguientes números enteros

+23

-34

-98

-9

-21

-5

+129

-300

-8

-8 y -10

-6 y -4

-3

+129

+232

-98

-96

8. Encuentra el camino por el que partiendo de la casilla superior izquierda donde se encuentra el +9 llegues a la inferior derecha en la que está el –9 de modo que yendo de una casilla a otra en sentido vertical u horizontal pases siempre a un número inferior al anterior +9 +8 +6 +3

-3

-2

+7 +4

+4 -5

-3

+3 -4

-6

-7

+5 +7

-8

-9

-2

9. En una estación de esquí se recogieron, en una semana, las siguientes temperaturas mínimas, de lunes a domingo: -7º, -5º, -11º, 0º, +2º, -2, +1º. Ordena los días de la semana, de la noche más fría a la más cálida.

10.

Luis

vive en el sexto piso de un edificio y guarda la moto en el segundo sótano.

Expresa con números enteros, el piso donde vive y el lugar donde guarda la moto. 11.

Suma los siguientes números enteros.

(+7) + (+3) =

(+17) + (-3) =

(+9) + (-9) =

(-5) + (+4) =

(+9) + (-4) =

(+12) + (+1) =

(+12) + (-21) =

(-7) + (+12) =

(-7) + (+3) =

(-7) + (+13) =

(+23) + (-3) =

(-44) + (-12) =

(+2) + (-3) =

(-56) + (-15) =

(+4) + (-9) =

12.

Completa las sumas con los términos que faltan:

(-5 ) + (

) = +2

(+8 ) + (

) = +1

(0 ) + (

(-9 ) + (-3) =

(-5 ) + (

) = 0

(-5 ) + (

(

(+15 ) + (

) + ( +2) = +9

) = -8

(

) = +4 ) = +4

) + (-3 ) = +14

13.

Antonio debe 25 € y contrae otra deuda de 15 €. ¿Cuánto dinero debe ahora?. Expresa

la operación con números enteros.

14.

Un globo asciende hasta los 3450 m y, al soltar el aire desciende 1290 m. ¿A qué

altura está ahora el globo? Expresa la operación como suma de números enteros.

15.

Escribe el opuesto de los siguientes números. +23, -6, -12, +32, -9, +4, +22, -5

16.

Realiza las siguientes restas:

(+6) – (+2) =

(+2) – (-2) =

(+5) – (+5) =

(+9) – (-21) =

(+16) – (+8) =

(+7) – (-52) =

(-21) – (-3) =

(-44) – (+22) =

(-21) – (-67) =

(+56) – (-23) =

(+76) – (-92) =

(-76) – (+92) =

17. Se cree que Arquímedes inventó el tornillo. Después de 2146 años se inventó el ordenador, en 1946. ¿En qué año inventó Arquímedes el tornillo? 18. Arquímedes nació en el año 287 a.c y murió en el año 212 a.c. ¿Cuántos años vivió Arquímedes? 19. El pasado invierno, la

temperatura en el patio del colegio, un día muy frío, era de -2º,

en la clase había 20º. ¿Cuál era la diferencia entre el interior y el exterior? 20. Un bombero tiene que subir a pie desde el quinto sótano de un edificio hasta la planta diecinueve. ¿Cuántas plantas sube? 21. Las guerras cántabras tuvieron lugar entre los años 29 a.c y 19 a.c. ¿Cuántos años duraron? 22. Un ciudadano romano nació en el año 12 a.c. y murió en el año 26 d.c. ¿Cuántos años vivió?

23. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones (-6) · (+3) =

(-3) · (+3) =

(-6) · (-3) =

(+8) · (-4) =

(-2) · (-9) =

(-2) · (+5) =

(-10) · (-3) =

(+9) · (+7) =

(+12) · (-7) =

(-12) · (+8) =

(-12) · (-4) =

(-2) · (+67) =

(+4) · (+4) =

(+7) · (-10) =

(+60) · (-30) =

(+15 ) : (-5) =

(-15 ) : (-3) =

(-18 ) : (-6) =

(-25 ) : (+5) =

(-40 ) : (-8) =

(+45 ) : (+9) =

(+100 ) : (-5) =

(+81 ) : (+3) =

(-63 ) : (-7) =

(-105 ) : (+5) =

(-42 ) : (-6) =

(+84 ) : (+12) =

(+121) : (-11) =

(+99 ) : (+9) =

(-15 ) : (+15) =

(+14 ) : (+7) =

(-76 ) : (-76) =

(+32 ) : (+16) =

24. El producto de dos números enteros consecutivos es +6. ¿Cuáles son esos números? 25.

María tiene una deuda de 75 €, que se hace el doble cada mes. ¿Calcula el dinero que

tiene María al cabo de cuatro meses?.

26.

En un restaurante se dan 98 comidas y cada una cuesta 9 €. La mitad de los que ganan

con la comida lo usan para pagar una deuda y la otra mitad lo reparten entre siete empleados. ¿Cuánto dinero gana cada empleado? Expresa las operaciones con números enteros.

27.

Cinco submarinistas se sumergen en el mar. El más arriesgado llega hasta 256 m de

profundidad. Cada uno de los otros se quedan a la mitad de profundidad del anterior. ¿Qué cota de profundidad alcanza cada uno?

28.

¿Qué personajes vivieron los mismos años, teniendo en cuenta que la primera fecha es

el nacimiento y la segunda, la fecha de deceso?

Isabel I de Castilla (1451 – 1504)

Aristóteles (384 a.c. – 322 a.c.)

Alejandro Magno (356 a.c.- 323 a.c)

César Borgia (1475 – 1508)

Albert Einstein (1879 – 1955)

Hérodes I (78 a.c – 4 a.c)

Julio César (100 a.c – 44 a.c.)

Poncio Pilatos (12 a.c – 40 d.c)

29.

Un ciudadano romano nació en el año 19 a.c. Con diecisiete años se alistó en la Legión,

con la que sirvió durante quince años. Tras retirarse vivió hasta el año 26 d.c. en Tarraco. Ese año volvió a Roma, donde falleció a la edad de 52 años. - ¿En qué año se alistó en la Legión? - ¿En qué año se retiró de la Legión? ¿Qué edad tenía entonces? - ¿Cuántos años tenía cuando volvió a Roma? - ¿En qué año murió?

30.

Realiza las siguientes operaciones.

(+2) – (+8) (-5)· (+3) (+14):(-2) (-16) + (-15) (+8)·(-8) (-14) – (-16) (-36) : (-6) (+9)-(-5) (-3)·(-9) (-14)-(-18) (+7)-(+7) (-6) +(-8) (+8):(-2) (+15):(-5) (-16)·(-2) (+18)-(+14)

31.

Una madre le pide a su hijo que baje a buscar un ordenador que ha olvidado en

el coche. El niño baja al garaje, situado en la planta -2. Si en total ha bajado y subido catorce pisos, ¿en qué piso vive esa familia?

32.

En un pueblo de Burgos se alcanza una temperatura máxima de 36º en verano y

una mínima de 15º bajo cero en invierno. ¿Qué amplitud térmica tiene ese pueblo?

33.

Dos ciudadanos de la antigua Grecia están hablando y uno le dice a otro:

“Acabo de cumplir 21 años”. El otro responde que tiene el doble de años. Si estamos en el 254 a.c.,¿en qué año nació cada uno de ellos?

UNIDAD 5. LOS NÚMEROS DECIMALES. El matemático ignorante En las aulas de cierta facultad de Matemáticas, nos podemos encontrar a un extraño personaje. Cierto día, me confesó que tan sólo sabía multiplicar y dividir por 2. - A pesar de todo, me dijo, puedo multiplicar rápidamente números de dos cifras. Le propuse que multiplicara 75 por 38. Tomó una hoja de papel y escribió a la izquierda 75 y a la derecha 38. Luego inició sus cálculos: - La mitad de 75 es 37, ¿no es así? - No -le dije- es 37,5. - De acuerdo, pero no sé trabajar con decimales, así que no los pongo. Escribió 37 y, repitiendo el proceso, dividió por dos y obtuvo, a pesar de mis protestas, 18, 9, 4, 2 y finalmente 1. Después multiplicó 38 por dos. El resultado, 76, lo escribió en la fila inferior. Volvió a multiplicar por dos y obtuvo 152, 304, 608, 1216 y 2432. Al final tenía escrito, 75 38 37 76 18 152 9 304 4 608 2 1216 1 2432 Me dijo que los números pares de la columna de la izquierda no servían de nada, así que los tachó (junto con el número que tenían a su derecha) con lo que quedó 75 37 9 1

38 76 304 2432

Sumando los números de la columna de la derecha obtuvo: 38+76+304+2432=2850, que es el resultado correcto. Probé con otros números y también funcionaba el método.

El matemático ignorante no sabía manejar números decimales, pero tú sí sabes. Vamos a recordar los aspectos más importantes de estos números tan útiles en la vida real, y a aprender algo nuevo… Y a repasar las operaciones, claro.

RE CU E RD A : F r ac c i ó n d e ci ma l U n a fr ac c i ó n d e c im al ti e n e p or de n o m in a d o r la u n i da d se gu i da d e c e r o s.

NÚ M E RO D E CIM A L E s a q u el q u e se p ue d e e x p re sa r me d i an t e u na fr a cc i ó n de c im al . Co n st a d e d o s pa r te s: e n te r a y de c im a l. P ar t e e nt e r a

3, 2 5

par t e d e c im al

P ar a e x pr e sar u n n ú me r o d ec i ma l c om o u n a fr a cc i ó n de c im al , e scr i b im o s c o m o n u m e r ad o r d e l a fr ac c i ó n el n ú me r o d a d o si n l a c om a y c o m o d e n om i n a d or l a u n i d a d se gu i da d e t a nt o s ce r o s c o m o ci fr a s d e c im al e s te n ga e se n ú me r o . 1,13=

113 100

0,1769=

1769 10000

2234,1=

22341 10

U NI D A D E S D E CI MA L E S S o n fr a c c i o ne s d e c im al e s q u e t i e n e n p o r nu m e ra d o r u n o y d e n o mi n a d o r u na p o t e nc i a d e 1 0 .

1 = 0,1 10 1 = 0,01 100 1 = 0,001 1000

U n a d éc i ma

U n a c e n t é si ma

U na m i l é si ma

RE D O ND E O D E DE CI M A LE S P ar a r e d o n d ea r n úm e r o s d ec i ma le s t en e m o s q u e fi jar n o s e n la u ni d a d d e c ima l p o st e r i o r a la q u e q u er e m o s r e d o n d e ar . S i la u n i da d d e c im al e s m a y or o i gu al q u e 5 , a um e n ta m o s e n u na u n i da d l a u n i da d d e c im al a n t er i or ; e n ca so c o n tr ar i o , la d e j a m o s c o m o e stá E j em pl o 2,36105

2 , 4 R e d o n d e o h a st a l a s d é c i ma s.

2,36105

2 , 3 6 R e d o n d e o ha st a l a s c e n té si m a s.

2,36105

2 , 3 6 1 R e d o n d e o ha st a la s m il é si m a s.

Cu a n d o t r a b aj em o s c o n e u r o s, si e mp r e r e d o n d ea m o s a la ce n t é sim a ( Cé n t i m o s d e e u r o )

DISTINTOS TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES

D e c i ma l e x ac t o La p a rt e d ec i ma l d e u n n ú m e r o de c ima l e xa ct o e st á c o m p u e sta p o r u n a c a nti d a d fi n i t a d e t ér m i n o s. Ej 0 ,8 6 1,25 3,127 P e r i ó d ic o p u r o La par t e d ec i ma l, ll am a da p er i o d o , se r e p i t e i n fi n it am e n t e. E j 3, 3 3 3 3 3 3 …

12,242424…

0 , 6 8 1 6 8 1 6 81 …

Periódico mixto S u p ar t e d e c im al e st á c o m pu e st a po r u na par t e n o p er i ó d ic a y u n a par t e p e r i ó d i ca o p er í o d o . E j 2, 2 3 4 1 2 1 21 2 …

98,2123444444…

No exactos y no periódicos Como el número π = 3,141592653589…

Ya vimos las operaciones básicas

Todas estas operaciones las

en 5º y a principios de este

podemos hacer, de la misma

curso. Esto es un resumen de lo

manera, con números enteros,

que vimos. Si se nos olvida algo,

positivos y negativos. Así que

repasa tus cuadernos.

repasa el tema anterior y pon atención a los signos

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES Co m p a ra c i ó n de n ú me r o s d e ci m al e s D a d o s d o s n ú m er o s d e c im al e s e s me n o r: 1 . E l qu e t e n ga m e n o r l a p a rt e e n t e ra . 34,87<54,76

7 , 6 5 < 1 2, 0 9 8

2 . S i t ie n e n l a m i sma pa r te e n te r a , e l q u e t e n ga la m e n or par t e d e c i ma l. 54,56<54,67

6 , 0 9 8 < 6 ,1

8,49<8,5

O J O . Lo s n ú m e r o s d ec i ma le s t am b i é n p u e de n se r n e ga t i vo s. Par a c o mp ar ar l o s u sa m o s e l mi sm o cr it er i o q u e e n el t em a a n t er i or . E s d e cir se r á m e n or el qu e t e n ga m a y or par t e e n t er a . S i l a par te e n t e r a e s l a m i sm a , ser á m e n or e l q u e t e n ga m e n or p ar t e d e ci ma l - 3 , 2 5 < - 2, 3 5

- 5 , 1 4 > - 5, 3 6

- 1 2 , 3 4 < - 1 2 , 08

S u m a y re st a de n úm e r o s d ec i ma le s 1 . S e c ol o ca n e n c o l um n a ha c ie n d o c or r e sp o n d e r la s c om a s. 2 . S e su ma n ( o se re st a n ) u n i da d es c o n u n i da d e s, d éc i ma s c o n d éc i ma s, c e n té si m a s c o n ce n t é sim a s. . .

M u lt i pl i ca c i ó n d e n úm e r o s d ec i ma le s 1 . S e mu l ti pl i ca n c om o si f u e r a n n ú me r o s e n t e r o s. 2 . E l r e sul ta d o f i n a l e s u n n ú m e r o d e c i ma l q u e ti e n e u n a c a n ti d a d de d e c i ma le s i gu al a l a su m a d e l n ú me r o d e d ec i ma le s d e l o s d o s fac t o r e s.

M u lt i pl i ca c i ó n p o r la u n id a d se gu i da de c e r o s P ar a mu l ti pl i car u n n ú m er o p or la u n id a d se gu i d a d e c er o s, se d e sp la za la c o m a h ac ia la d e re ch a t a nt o s l u ga re s c o m o ce r o s a c om pa ñ e n a la u n id a d . 23,15 · 10 = 231,5

0 , 0 2 3 · 1 0 0 = 2, 3

43,1 · 1000 = 43100

9 8 , 4 2 3 3 · 1 0 0 = 9 8 4 2, 3 3

D e l a m i sma ma n er a, par a d i v i d ir un n úm e r o p or l a u n i d a d se gu i d a d e c er o s, se d e sp la za l a c om a ha ci a la i z q ui e r da ta n t o s l u ga r e s c om o c e r o s a c om pa ñ e n a l a u n id a d . 26,35 : 10 = 2,635

2658,23 : 1000 = 2,65823

8: 1000 = 0,008

2659: 100 = 26,59

División de números d ecim ales 1 . S ól o el d i v i d e nd o e s d ec i ma l S e e f e c t ú a l a d i v i si ó n c om o si d e n ú m er o s e n t er o s se t r a tar a. C ua n d o b a j e m o s la pr i m er a c i fr a d ec i ma l, po n e m o s u n a c o m a e n e l c oc i e n t e y c o n t i n ua m o s d i v i d i e n d o. 11,355 : 5 =

2 . S ól o e l di v i so r e s d ec i ma l Q u i t am o s la c om a d e l di vi so r y a ñ a d im o s a l d i vi d e n d o t a nt o s c er o s c o m o c i fr a s d e ci m al e s t i e n e e l d i vi sor . A c o n t i n u ac i ó n d i vi d im o s c o m o si fu e r a n n ú m er o s e n t er o s. 1914 : 1,5 =

3 . El d i vi d e n d o y e l d i v i so r so n d e c i ma le s S e i gu a l a e l n úm er o d e c i fr a s d e c i ma l e s d e l d i vi d e n d o y e l d i vi so r , a ñ a d i e n d o a aq u e l q u e t u v i er e m e n o s, t a n t o s c e r o s c o m o c i fr a s d e c i m al e s d e d i fe r e n c ia hu b i e se . A c o n t i n ua c i ó n se p r e sc i n d e d e la c o ma , y d i vi d i m o s c om o si fu e r a n n ú m er o s e n t e r o s.

4 . R ec u er da q u e , e n c u al q u i er d i vi si ó n n o e x a c t a, p u e d e s sa ca r d ec i ma l e s e n e l c o ci e n t e , a ña d i e n d o c er o s a l r e st o

TEMA 5. EJERCICIOS. 1. Escribe la fracción decimal que corresponde a los siguientes números decimales 3,26

95,02

1,156

0,004

256,1

874,213

6,205

2. Escribe el número decimal que corresponde a cada una de estas fracciones.

35 100

5 100

12 10

256 1000

85 1000

32655 100

3 1000

3. Relaciona cada número decimal con su fracción decimal 37,3

5803 1000

2 1000

5,803

3,703

206 100

0,002

68 100

73 10 2,06

30006 10000 0,68

4. Escribe con número decimal y con fracción decimal: -

Una milésima

Doce décimas

Trece centésimas

Mil cuatrocientos dos décimas

Doce diezmilésimas

Ciento tres centésimas

Ciento tres mil setecientos quince milésimas.

Catorce cienmilésimas.

Mil centésimas.

3,0006

3703 1000 373 10

7,3

5. Redondea los siguientes números decimales, completando la tabla. Número

Redondeo a la

décima

centésima

milésima

diezmilésima

2,45567 32,980345 1,8987634 987,67382 0,003884 9,987863 32,98574 6. Ordena, de mayor a menor, los siguientes números decimales. 1,58

-2,05 6,85

6,86

7,06 -8,36 4,01 -4,96 3,78

8,73

-5,99

7. Ordena, de menor a mayor, los siguientes números decimales. 23,54

23,405

23,985

23,804

-23,44

23,763

-23,014

8. Escribe con un número decimal las alturas de los siguientes niños y ordénalos de más alto al más bajo. -

Lucas: 1 metro y cuarenta y dos centímetros

María: ciento cuarenta y seis centímetros

Paula: Un metro, cinco decímetro y tres centímetros.

Manuel: un metro y sesenta y cinco centímetros.

Luisa: ciento setenta y tres centímetros.

9. ¿Quién tiene más dinero? -

Pedro: un billete de diez euros, dos monedas de dos euros, tres monedas de 50 céntimos y cuatro monedas de dos céntimos.

Ana: Tres billetes de cinco euros, tres monedas de veinte céntimos y una moneda de un céntimo.

María: Siete monedas de dos euros, una de un euro y 2 monedas de cincuenta céntimos

10.Resuelve las siguientes sumas y restas. 36,26 + 2,154

852,145 + 985,003

85,1256 + 9654 , 25

50,265 – 46,3691

6987,852 – 269,0048

100 – 36,95

11. Resuelve las siguientes multiplicaciones 569,874 · 36

874,6 · 3,6

-1000 · 25,87

65,3 · 0,006

48,36 · 8

-785 · 1,6

87,256 · 1000

5,003 · 100

-345,76 · 100

0,009 · 10000

0,098 · 100

26,25 · 1000

12. Realiza las siguientes divisiones 2665,6 : -8

5,98 : 5

874,15 : 65

8525,68 : 19

85236 : 3,6

508 : 5,08

14 : 2,6

874,65 : 8,9

125,36 : 8,6

7802,06 : 8,5

7,09 : -0,03

1,125 : 0,05

56,236: 100

875: -1000

-0,026 : -10

90000: 1000

0,002 : 0,0001

8956: 100

653,82: 1000

1 : 1000000

13. Roberto mide 1,66 m; Pablo mide 38 cm más que Roberto y Andrea 0,25 m menos que Roberto. ¿Cuánto mide Andrea?

14. Un litro de aceite cuesta 4,36€. ¿Cuánto pagaremos por una docena de garrafas de 2,5 litros cada una?

15. Marisa ha comprado dos libros por 12,35 € y 9,87 €. Le quedan en la cartera 27,78 €. ¿Cuánto dinero tenía antes de comprar los libros?

16. Con un billete de cien euros quiero comprar tres camisas de 29,95 € cada una. ¿Cuánto dinero me tienen que devolver?

17. Un carpintero quiere colocar tablones de 2,2 m de largo, alrededor de una habitación cuadrada de 5 m de lado. ¿Cuántos tablones le hacen falta?

18. Una alfombra rectangular mide 3,75 m de largo y 2,85 m de ancho. ¿Qué perímetro tiene la alfombra?

19. He llenado el depósito de mi coche y me han cobrado 49,41€. Si me han echado 40,5 litros. ¿Cuánto cuesta un litro de gasolina?

20. Un coche da vueltas a un circuito. Recorre 31,104 Km, dando nueve vueltas. ¿Cuántos kilómetros de largo tiene el circuito?

21. Rebuscando en su bolsillo, Marina encuentra dos monedas de veinte céntimos, tres monedas de cinco céntimos, dos de dos céntimos y una moneda de un euro. ¿Tendrá suficiente para comprar ocho caramelos de diecinueve céntimos?

22. Un agricultor vende cuarenta sacos de 20,850 Kg de patatas y recibe 542,10 €. ¿A cuánto vende el kilo de patatas?

23. En una competición cada uno de los cuatro primeros clasificados recibe la mitad de premio que el que le ha ganado. Si el ganador recibe 550 €. ¿Cuánto se reparten entre los cuatro?

24. El agua de una piscina se reparte entre dieciséis vecinos, para aprovecharla para regar. Si en la piscina hay 31500 litros, ¿cuántos le tocan a cada uno?

25. Un padre reparte 50,10 € entre sus tres hijos. Con el dinero que tienen, cada uno tiene que comprar cinco libretas. Si el dinero es exacto, ¿cuánto les cuesta cada cuaderno?

26. En las pistas de nieve hay 3,4º bajo cero. ¿Cuánto tiene que bajar la temperatura para llegar a los quince bajo cero?

27. Dos obreros trabajan en una obra, cobrando 9,50 € la hora de trabajo. ¿Cuánto ganarán, entre los dos, en una semana de trabajo, si están en la obra nueve horas diarias?

28. En un colegio, de doce clases, hay 219 alumnos. Si queremos hacer un estudio, ¿cuántos alumnos diremos que hay por clase?

29. Un comerciante compra ochenta kilos de tomates por 46 €. Los quiere vender, ganando veinte céntimos por kilo. ¿A cuánto vende cada kilo? No olvides que debes redondear al céntimo.

30. Hace un año, el litro de gasoil costaba 0,96 €; hoy cuesta 1,20 €. Si mi coche tiene un depósito de 54 litros, ¿cuánto más me cuesta llenar el depósito ahora? 31. La madre de Raúl le mandó a comprar siete kilos de patatas y cada kilo costaba 0,85 €. Le dio un billete de diez euros. Con la vuelta le dijo que se podía comprar sobre de cromos. Si cada sobre cuesta veinte céntimos. ¿Cuántos se compró? 32. Resuelve las siguientes operaciones:

345: 2,8

900: 1200

324,98 : 1000

- 3 :- 8

24 : 1,09

234,98 · 9,8

- 2134,098 · 1000

3452 · 4,02

-9485,975 + 8475,93874

900 – 234,985

0,0005

2334: 1000

984,83

Vamos a aclarar algunas cosas que parecen que no han salido bien. Pongamos atención

REDUCCIÓN A LA UNIDAD. Para saber el precio, la medida, el peso, la longitud… de una sola cosa, usaremos el método llamado de “reducción a la unidad”. Este sistema lo vamos a emplear en otros temas. Para ello, tenemos que dividir el total de lo que queremos calcular (euros, metros, kilos…) entre el número de unidades que tenemos. No te engañes si tenemos más unidades que el total. En ese caso el resultado será un número menor que 1.

Ej: 25 kilos de patatas cuestan 10 €. ¿Cuánto cuesta un kilo? 10 : 25 = 0,40 €. Un kilo de patatas cuesta 0,40 E Ej: 12 tuberías iguales miden 8 m. ¿Cuánto mide una tubería 8:12 = 0,667 m mide una tubería. Ej: Colocamos 256 libros en 16 cajas. ¿Cuántos libros entran en cada caja? 256 : 16 = 16 libros en cada caja.

33. Un sastre hace 12 trajes y cobra por ellos 1453 €. ¿Cuánto cuesta un traje? 34. A ese mismo sastre le piden que arregle 25 vestidos. Por ese trabajo cobra 18 €. ¿Cuánto cuesta el arreglo de cada vestido? 35. En un restaurante se dan 142 menús, en un solo día. Al finalizar la jornada, hay 1207 euros en la caja. ¿Cuánto cuesta un menú?

36. Si pago el menú anterior, y un café que me tomo, con un billete de 10 €, ¿cuánto cuesta el café? 37. Si en este colegio hay 389 alumnos y veinte clases. ¿Cuántos alumnos hay por clase? 38. Un frutero compra por 71,76 €, 78 kilos de manzanas. ¿Cuánto cuesta un kilo? ¿Cuánto dinero ganará si vende cada kilo de manzanas por 1 €? 39. En una clase puede haber 25 alumnos, como máximo. ¿Podremos repartir 624 alumnos en 25 clases? 40. Una caja de 150 botones cuesta 10,50 €. ¿Cuánto costarán 380 botones? (Primero hay que calcular lo que cuesta uno) 41. Una bobina de cable de 850 metros lo dividimos en 1100 trozos. ¿Cuánto medirá cada trozo?

UNIDAD 6. LAS FRACCIONES

Las

fracciones

son

una

las

formas

matemáticas más antiguas. Su uso es de hace más de cuatro mil años, por lo menos. Hoy en día, empleamos las fracciones como forma de expresión en muchos temas del día a día y las empleamos como forma de expresión coloquial, para el tamaño de envases, para recetas de cocina, etc. Mira algunos ejemplos.



Una botella medio vacía es lo mismo que una botella medio llena. ¡Sé optimista!



Muchos de los relojes que hay en los campanarios dan las horas, pero también dan los cuartos y las medias.



Si das una vuelta completa a la Tierra por el ecuador, sólo habrás recorrido aproximadamente una décima parte de la distancia que hay entre la Tierra y la Luna.



Hay botellas de vino de 1 litro o de 2 litros, pero la mayoría son de 3/4 de litro.



Hay botes de refrescos de 1/2 litro, pero la mayoría son de 1/3 de litro.



Hay veces que la Luna está en cuarto creciente, y otras en cuarto menguante.



Estar a media luz, ¿sabes lo que significa?



De la superficie de nuestro planeta, la Tierra, las tres cuartas partes (3/4) están cubiertas por el agua de los mares y los océanos. Sólo una cuarta parte(1/4) es "tierra".



El sistema solar incluye el Sol, los nueve planetas y sus satélites. Pues bien, sólo una centésima parte de la masa de todo el sistema pertenece a los planetas y sus satélites. El sol contiene 99/100 de la masa del sistema solar.



Sólo 1/8 del hielo de un iceberg está por encima del agua. 7/8 están bajo el agua.



Para hacer horchata se emplea 1/7 de chufas, 1/7 de azúcar y 5/7 de agua, más o menos.

Hay muchos más ejemplos. Sólo tiene que mirar alrededor y darte cuenta.

Antes de comenzar a trabajar con las fracciones, sería conveniente repasar algunas cosas vistas en este curso y que nos van a hacer mucha falta.

En matemáticas, un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales distintos: él mismo y el 1. Se contraponen a los números compuestos, que son aquellos que tienen más de dos divisores. El número 1 no se considera ni primo ni compuesto.

Todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En ocasiones, necesitamos descomponer un número grande en factores. Esto es, vamos a escribir un número como si fuera un producto. Así, podemos escribir

21 = 3· 7 ó

24 = 2·3·4

Para ello, buscamos algunos de los divisores de ese número. Si usamos solamente números primos como divisores, diremos que hacemos una descomposición en factores primos. Para hacer esto es muy importante recordar los criterios de divisibilidad y conocer los números primos, al menos hasta el 50. Ej: Vamos a descomponer el 84 Empezaremos a trabajar con el 2, haciendo todas las divisiones necesarias, hasta que nos resulte un número impar. 84: 2 = 42

42: 2 = 21

21 no es divisible entre 2

Después veríamos las divisiones entre 3 21:3 =7

7 no es divisible entre tres

Es más, 7 es un número primo. Cuando llegamos a un número primo o al 1, hemos terminado 84=2·2·3·7

Como se repite el dos, usamos potencias 84 = 2 2·3·7

Un número primo no tiene descomposición en factores

Mínimo común múltiplo E s e l m e n o r d e t o d o s m úl t ip l o s c om u ne s a va r i o s n úm e r o s , excluido el cero. Cálculo del mínimo común múltiplo 1 . S e d e sc o m p o ne n l o s n úm e r o s e n fac t o r e s p ri m o s 2 . S e t om a n l o s f a ct o r e s c om u n e s y n o c o m u n e s c o n ma yo r e x p o n e n t e . Ejemplo Calcula el mcm de 36 y 30 36 = 22 · 32 30 = 2 · 3 · 5 m . c . m . (36, 30) = 22 · 32 · 5 = 1 8 0 Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.

M á x im o c o mú n d i v i so r

El número 36 es múltiplo de 12.

má x i m o

c om ú n

d i v i so r ,

m . c. d .

dos

más

números

m a yo r

m n ú. mce.r m o .q(12, ue 36) d i v=i d36 e a t o d o s e x ac ta m e nt e .

Cálculo del máximo común divisor 1 . S e d e sc o m p o ne n l o s n úm e r o s e n fac t o r e s p ri m o s. 2 . S e t om a n l o s f a ct o r e s c om u n e s c on m e n o r e xp o n e nt e . Ejemplo Hallar el m. c. d. de: 36 y 30. 36 = 22 · 32 30 = 2 · 3 · 5 m. c. d. (36,30) = 2 · 3 = 6 6 es el mayor número que divide a 36 y 30. Si dos o más números no tienen factores comunes, entonces su m.c.d. es 1 y se dice que esos números son primos entre sí Ej 25 = 52

36 = 22·32

25 y 36 no tienen factores comunes, luego su m.c.d. es 1. 25 y 36 son primos entre sí.

EJERCICIOS. TEMA 6. 1. Calcula los divisores (recuerda cómo hacerlo) de: 12, 18, 22, 26, 30. De todos los divisores, señalas los que son números primos.

2. Escribe los números primos menores de 50 y apréndetelos.

3. Descompón estos números en factores primos: 24 – 36 – 15 – 18 – 22 – 54 – 60.

4. Utiliza la descomposición del ejercicio anterior para calcular: m.c.m (24, 36)

m.c.d (36,15)

m.c.m (15, 18)

m.c.d (18,22)

m.c.d.(22, 54)

m.c.m.(36, 15)

m.c.d (54, 60)

m.c.m (18, 36)

5. Calcula el máximo común divisor de 15 y 22. ¿Cómo se dicen que son estos números, entre sí?

6. Calcula el mínimo común múltiplo de estas parejas : 4-32 8 – 32

16 – 32.

¿Qué observas? ¿Por qué ocurre esto?

7. Tengo dos tablones de 24 y 32 m, respectivamente. Quiero cortarlos en listones iguales, lo más largo posible. ¿Cuánto medirán estos listones? (observa las palabras clave: “cortar” “iguales” “más largo”)

8. Un fontanero tiene que colocar tuberías en una casa. Para ello, dispone de tres tozos de 12, 15 y 18 m. ¿cuánto medirán los trozos más largos que pueda hacer, si los queremos iguales. ¿Cuántos trozos serán? ¿Cuántos metros de tubería colocará?

9. E n u n a b o d e ga h a y 3 t o n e l e s d e vi n o , c u ya s c a pa c id a de s so n : 3 0 l , 3 6 l , y 5 4 l . S u c o n te n i d o se q u ie r e e n va sa r e n c i e r t o nú m e r o de b o t e l l a s i gu al e s. Ca lc u la r la s c apa c id a d e s má x i ma s d e e sta s b o t e ll a s p a ra q ue e n e ll a s se p ue d e n e n va sa r e l vi n o c o n te n i d o e n ca d a u n o de l o s t o n e le s, y e l nú m e r o de b o te l la s q u e se n ec e sit a n .

10. La clase de 1º A tiene 32 alumnos y la de 1º B, 36 alumnos. Queremos distribuir los alumnos en equipos del mismo número de participantes de manera que no falte ni sobre nadie y no se mezclen los grupos ¿Cuántos alumnos podrán entrar en cada equipo como máximo?

11. Tres aviones de línea regular salen del aeropuerto cada 3 días, cada 12 días y cada 18 días. ¿Cada cuántos días saldrán los tres aviones a la vez? (ojo, éste es de mcm) 12. En una bahía hay tres faros que emiten sus destellos cada 20,25 y 30 segundos, respectivamente. Si los tres coinciden emitiendo señales a las 11 de la noche, ¿a qué hora volverán a coincidir? 13. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de las tres llaves que vierten: la 1ª 12 litros por minuto; la 2ª 18 litros por minuto y la 3ª 20 litros por minuto?

14. Tres galgos arrancan juntos en una carrera en que la pista es circular. Si el primero tarda 10 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo 11 segundos, el tercero 12 segundos, ¿al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida y cuántas vueltas habrá dado cada uno ese tiempo?

A partir de ahora, comenzamos a trabajar con las fracciones. Muchas de las cosas que vamos a ver, las conoces desde hace años. Para trabajar lo nuevo, necesitas tener claro lo que hemos visto al principio del tema. ¡Ánimo, que no hace falta ser un superhéroe!

Recuerda: 

Una fracción es un número que expresa partes de un todo.



Los números fraccionarios o fracciones, se escriben de la siguiente manera:

  

5 es el denominador y nos indica en cuantas partes dividimos la unidad. 3 es el numerador y nos dice las partes de la unidad que cogemos. Las fracciones son números. Para obtener el valor numérico de una fracción, basta con dividir el numerador y el denominador.

3 5

3 = 3:5 = 0,6. 5 Dos o más fracciones pueden ser iguales, aunque no tengan el mismo numerador ni el mismo denominador. Son las fracciones equivalentes. Dos o más fracciones son equivalentes si: a.- El producto cruzado de sus términos es igual 

3 6 = porque 3 · 16 = 48 y 8 16

8 · 6 = 48

b.- Si tienen el mismo valor numérico 3 : 8 = 0,375



y 6 : 16 = 0,375

Para obtener fracciones equivalentes, basta multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número

3 3·2 6 = = 5 5·2 10

14 14 : 2 7 = = 12 12 : 2 6

COMPARACIÓN DE FRACCIONES 

Si tenemos dos o más fracciones con el mismo denominador, será mayor la que tenga mayor numerador.

18 14 8 4 > > > 5 5 5 5 

Si tenemos dos o más fracciones con el mismo numerador, será mayor la que tenga menor denominador.

18 18 18 18 > > > 5 7 10 12



Si tenemos dos o más fracciones, en las que no todas tienen el mismo numerador o el mismo denominador, para compararlas debemos buscar fracciones equivalentes, que tengan el mismo denominador. Lo veremos un poco más adelante.



Las fracciones que tienen el numerador menor que el denominador son menores que la unidad y se llaman fracciones propias

4 = 0,8 5 

Las fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador son mayores que la unidad y se llaman fracciones impropias

18 = 1,8 10 

Las fracciones que tienen igual el numerador y el denominador son iguales a la unidad.

18 =1 18

Fracción irreducible. La fracción irreducible es una fracción equivalente a la que tenemos, pero con los números más pequeños posibles, por lo que será más cómodo trabajar con ella. Para conseguir la fracción irreducible, dividiremos entre el máximo común divisor (m.c.d.) del numerador y el denominador . Ej Halla la fracción irreducible de

36 24

Buscaremos el m.c.d de 36 y 24. Recuerda como se hace: 1. Descomponemos los números en factores primos. 36 = 22 · 32 24 = 23 · 3 2. El m.c.d. es el producto de los factores primos comunes, con el menor exponente. m.c.d. (36, 24) = 22 · 3= 12 3. Dividimos numerador y denominador por el m.c.d.

36 3 = 24 2

3 2

es la fracción irreducible de

36 24

Convertir fracciones a denominador común son primos entre sí, el m.c.d es 1 y la fracción no se OJO. Si el numerador y el denominador

8 9

En puede algunasreducir. ocasiones vasea puede hacer reducir falta buscar las fracciones equivalentes de dos o más Ej: nos no fracciones, pero con la condición de que todas tengan un denominador común. Esto, nos va a ser útil para compararlas, sumarlas o restarlas. Hay infinitas fracciones con denominador común, a unas cuantas dadas, pero nos interesan las más pequeñas, para que sea más fácil trabajar con ellas. Haremos lo siguiente: Ej. Transforma estas fracciones a sus equivalentes con común denominador:

3 8 3 , , 2 6 4

1. El denominador común más pequeño es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Recuerda que hay que descomponer los números en factores primos y el m.c.m. es el producto de los factores comunes al mayor exponente y los no comunes 2=2 6=2·3 4 = 22 Luego m.c.m. (2,6,4) = 22 · 3 = 12 2. Para obtener el nuevo numerador, dividimos el m.c.m entre el denominador y lo multiplicamos por el numerador 12 : 2 · 3 = 18 12 : 6 · 8 = 16 12 : 4 · 3 = 9 Así las fracciones equivalentes con denominador común serán

18 12

16 12

9 12

Operaciones con fracciones. Suma y resta de fracciones con el mismo denominador. En este caso, se mantiene el mismo denominador y se suman o restan los numeradores.

18 8 13 39 + + = 12 12 12 12 8 5 3 - = 6 6 6 Suma y resta de fracciones con distinto denominador. Para realizar esta operación debemos buscar las fracciones equivalentes a las que vamos a sumar o restar, con el mismo denominador (recuerda el cuadro anterior). Una vez transformadas, trabajaremos como en el caso anterior. Ej

8 3 8 3 + ó 6 4 6 4

4 = 22

6=2·3

m.c.m (6, 4) = 22 · 3 = 12 Las fracciones equivalentes serán

16 9 y 12 12

Ya las podemos sumar o restar

16 9 25 + = 12 12 12 16 9 7 = 12 12 12 Multiplicación de fracciones Para multiplicar dos o más fracciones, simplemente multiplicamos los numeradores y los denominadores, por separado, para conseguir la fracción final.

6 9 54 · = 8 2 16

Si queremos una fracción equivalente más sencilla, hacemos la fracción irreducible,

si es posible. División de fracciones. Para dividir dos fracciones, multiplicamos en cruz. La fracción final tiene como numerador el producto del primer numerador con el segundo denominador y como denominador el producto del primer denominador con el segundo numerador

6 9 : = 8 2

6 8

9 6·2 = 2 8·9

12 Esta fracción también se puede simplificar 72

12 1 = , ya que si calculamos el m.c.d (12,72) = 12 72 6

15. Escribe la fracción que corresponde a las siguientes definiciones Tres octavos

doce veinteavos

dos novenos

Siete catorceavos

nueve veinteavos

seis décimos

16. Escribe el número decimal que corresponde a cada una de estas fracciones.

5 8

2 4

12 4

6 1000

8 32

31 310

3265 25

17. Calcula el número decimal que le corresponde a cada una de las siguientes fracciones y clasifícalos según el tipo de número decimal que sea

3 8

2 9

1 5

4 7

13 8

20 18

25 10

30 80

15 12

18. En una pizzería, una familia le pide al camarero veinticinco octavos de pizza. El camarero, que sabe matemáticas, les sirvió exactamente lo que le habían pedido. ¿Cuántas pizzas puso sobre la mesa?

19. Ordena, de menor a mayor, las fracciones siguientes.

8 8

2 8

4 8

5 8

13 8

12 8

20. Ordena, de mayor a menor, las siguientes fracciones

3 8

3 5

3 2

3 6

3 8

3 9

3 3 83 18

21. Busca dos fracciones equivalentes a cada una de las siguientes.

3 8

2 9

4 6

5 11

3 5

22. Calcula la fracción irreducible de

15 10

12 8

24 16

30 8

50 20

16 32

23. María dice: “ Mi padre me ha dado catorce veinteavos del dinero que tenía en el bolsillo y a mi hermano le ha dado siete doceavos, y nos ha dado la misma cantidad”. ¿Es verdad lo que dice María?

24. Transforma los siguientes tríos de fracciones, buscando fracciones equivalentes, con común denominador.

1 2 1 , , 9 6 4

2 6 6 , , 4 2 8

7 3 6 , , 12 9 15

25. Tres personas se reparten una herencia. El mayor recibe dos novenos; el mediano, cuatro décimos y el pequeño, un tercio. ¿Quién recibe mayor cantidad?

26. Realiza las siguientes operaciones.

12 3 + 9 9

3 5 7 + + 11 11 11

3 5 2 9 + + + 8 8 8 8

3 3 + 5 9

3 3 + 4 6

1 1 + 7 12

12 3 9 9

15 3 10 10

21 13 92 92

12 3 9 5

7 1 6 3

7 2 8 6

27. Realiza las operaciones siguientes y busca, si es posible, la fracción irreducible del resultado.

5 1 · 9 4

2 5 · 9 12

6 1 · 7 9

2 3 · 9 9

5 3 · 8 4

7 13 1 · · 10 5 7

30 1 · 2 90

6 5 · 4 5

8 10 · 9 15

36 8 : 4 9

1 3 : 2 4

6 3 : 3 6

2 4 : 5 6

4 14 : 7 8

8 3 : 9 2

28. El encargado de una fiesta quiere repartir una tarta entre tres niños: a uno le va a dar dos quintos; a otro dos sextos y al tercero tres séptimos. ¿Es posible?

29. Se reparte un terreno entre tres agricultores. A uno le corresponden dos octavos; a otro le corresponde cinco novenos. ¿Qué fracción de terreno le corresponde al otro?

30. Un ayuntamiento quiere dedicar seis onceavos del terreno municipal para hacer seis parques de juego. ¿Qué fracción de terreno municipal ocupará cada parque?

31. Si queremos embotellar noventa litros de agua en botellas de tres cuarto de litro, ¿cuántas botellas necesitamos?

32. Una familia ha consumido en un día de verano: Dos botellas de litro y medio de agua. 4 botes de 1/3 de litro de zumo. 5 limonadas de 1/4 de litro. ¿Cuántos litros de líquido han bebido? 3 3 . En una fiesta, cada niño se come dos séptimos de tarta. Si son catorce niños, ¿cuántas tartas hay en la fiesta?

3 4 . Mario come un cuarto de una pizza; Carlos, cuatro novenos y Andrés, el resto. ¿Qué porción de pizza come Andrés? 3 5 . Los tres primeros clasificados de una carrera, se reparten un medio, un cuarto y un octavo del dinero de la organización. El resto se emplea para pagar a los árbitros. Si son cuatro árbitros, ¿qué fracción del premio se lleva cada uno? 3 6 . Recuerda cómo se calcula la fracción de un número: “Para calcular la fracción de un número, se multiplica ese número por el numerador de la fracción y se divide entre el denominador” E j Cal c ul a r l o s

3 de 15>>> 5

3 · 1 5 = 45

>>> 45 : 5 = 9

3 de 15 = 9 5 3 7 . S i e n la c a r re r a de l ej e rc i c i o 3 5 h a y 5 0 0 0 € e n p r em i o s, c al c ul a e l va l o r d e l o s p r e mi o s d e c a d a u n o d e l o s t r e s p r i m e r o s c la si fi c a d o s y e l d i n e r o q u e p a ga n a c a da á r b i t r o . 38. De un tesoro de ocho mil monedas, el capitán se lleva tres quintos, el primer oficial un cuarto y, el resto se divide exactamente entre los cuatro marineros. ¿Cuántas monedas le corresponden a cada uno? 39. En un terreno de 20000 m2, se quieren construir ocho casas. Si sólo se pueden edificar tres octavos del terreno, ¿qué superficie máxima puede tener cada casa? 40. De una caja con 900 canicas un niño se lleva un noveno y otro cinco sextos. ¿Cuántas canicas quedan en la caja? 41. En un bote de propinas, se recogen 234,90 €. El jefe de camareros se queda con un tercio. El resto, se reparten entre seis camareros. ¿Cuánto le toca a cada uno? Plantea el problema con fracciones. 42. El padre de cuatro hijos les plantea el siguiente problema: “Os voy a repartir 300 €. Cada uno se llevará una fracción cuyo denominador es vuestra edad y el numerador será la cuarta parte de su edad.” ¿Quién se llevará más dinero si hay un niño de cuatro años, dos gemelas de ocho y el mayor tiene dieciséis años?

UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

En este tema vamos a hablar de proporcionalidad y porcentajes. Quizá con estos nombres, te suenen a chino. Pero verás que son algunos de los conceptos matemáticos más usados habitualmente. ¿O no te suenan los símbolos “%” y el número π (pi)?

El misterioso número π Las primeras civilizaciones indoeuropeas ya tenían conciencia de que el área del círculo es proporcional al cuadrado de su radio, y de que su circunferencia lo es al diámetro. Sin embargo no se sabe cuándo se comprendió por vez primera que ambas razones son la misma

constante, simbolizada en nuestros días por la letra griega π (pi ). Arquímedes de Siracusa, el mayor matemático de la antigüedad, estableció rigurosamente la equivalencia de ambas razones en su tratado Medición de un circulo. En el s. V, el astrónomo chino Tsu Ch'ung-Chih descubrió pi=355/113(aproximadamente)= 3,1415929203539823008849557522124… Actualmente, los más potentes ordenadores intentan “finalizar” el número menos, encontrar la periodicidad… sin éxito.

π,

que

o, por lo

Es tal el interés que el número π despierta entre los matemáticos, que hay concurso de recitado de la parte que se conoce de este misterioso número. El 4 de octubre de 2006, el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial de recitar de memoria el número π. A la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi recitó 100.000 dígitos del número

π, realizando apenas cada dos horas

una pausa de horas de 10 minutos para tomar aire.

Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razón. Razón entre dos números Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos. Por ejemplo, la razón entre 15 y 3 es 5, ya que 15: 3 = 5 ó

La razón entre 4 y 8 es 0,5, ya que 4 : 8 = 0,5 ó

15 5 3

4 1   0,5 8 2

Proporciones. Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, estaremos hablando de una proporción numérica, si ambas razones son iguales Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.

Es decir

En la proporción

Tendremos una proporción si podemos formar dos fracciones equivalentes

hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.

Ejemplo Un saco de patatas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de patatas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?

Número de sacos

Peso en kg

...

520

...

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20 Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20

Reducción a la unidad.Observa que Es una de las maneras en las que vamos a solucionar los problemas de proporcionalidad. Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales. Cuando tengamos dos cantidades directamente proporcionales, podemos buscar fácilmente la La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20. constante de proporcionalidad, o razón. Después, sólo tendremos que multiplicar la constante por el número de unidades que tengamos. Ej. Un saco de 25 Kg de café cuesta 75 €. ¿Cuánto cuestan quince kilos? Buscamos la constante de proporcionalidad 75 : 25 = 3 € cuesta un kilo de café 15 · 3 = 45 € cuestan los 15 kilos.

Regla de tres simple directa Es el método de resolver problemas de cantidades proporcionales más empleado. Observa el ejemplo. En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal? Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales. Formamos la siguiente tabla: Litros de agua

Gramos de sal

1.300

5.200

Se verifica la proporción:

x es un número desconocido que representa los litros que contendrán 5200 gramos de sal, y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta: Es decir

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa. Ejemplo 2 Un automóvil gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?

Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km

PORCENTAJES Las fracciones decimales con denominador 100 se llaman también fracciones centesimales o porcentajes. Una fracción porcentual se puede escribir como fracción, como número decimal o como porcentaje

25 = 0,25 = 25% de una cantidad 100

Cálculo de porcentajes. Calcular un porcentaje es calcular la fracción centesimal de una cantidad. Se trabaja de la misma manera que para calcular la fracción de una cantidad (se multiplica por el numerador y se divide por el denominador, que siempre es 100) 32 % de 420 =

32 de 420 = 32 · 420 / 100 = 134,4 100

Ej. Un jersey de 30 € tiene un 15% de rebaja. ¿Cuánto pagaré por el jersey? Calculamos el 15% del precio del jersey 15% de 30 = 15· 30 / 100 = 4,50 E Restamos el descuento al precio del jersey 30 – 4,50 = 25,50 € pagaré por el jersey ALGUNOS PORCENTAJES FÁCILES DE CALCULAR. * El 100% es la cantidad total * El 75%. Son tres cuartos del total. 75% de 25= 25 · 3 : 4 = 18,75 * El 50%. Es la mitad de una cantidad. 50% de 30 = 30:2 = 15 * El 25/. Es la cuarta parte de una cantidad. 25% de 50 = 50 : 4 = 12,5 * El 33%. Es, aproximadamente, la tercera parte. 33% de 18 = 18: 3 = 6 * El 10%. Es la décima parte. 10% de 43 = 43:10 = 4,3 * El 5%. Es el resultado de dividir la cantidad entre 20. 5% de 20 = 20:20 = 1 * El 1%. Es la centésima parte del total. 1% de 526 = 526:100 = 5,26 Podemos calcular cualquier porcentaje, rápidamente, multiplicando la cantidad por el número decimal que nos resulta de la fracción centesimal 54% de 250 = 0,54 · 250 = 135

TEMA 7. EJERCICIOS 1 . Ca l c ul a l a ra z ó n e nt r e e st a s p a r ej as d e n ú m e r o s: 2 1 y 7 ; 3 6 y 18; 125 y 25; 2 y 8; 256 y 64; 10 y 50 ; 3 y 60. 2 . O r d e n a la s si gu i e n t e s fr ac c i o ne s, de m a yo r a m e n o r , d ep e n d ie n d o d e la r az ó n q u e ha y e n t re su s n ú m e r os.

24 6

24 8

12 6

9 6

8 2

5 20

3 . B u sc a la s t r e s p a r ej a s d e n ú me r o s m á s p e q ue ñ a s c u ya r a z ó n se a 6. 4 . Cu a n d o

ves

sí m b ol o

una

t i e n da ,

j u nt o

pa la b r a

RE B A JA S , ¿ qu é si gn i fi ca d o t ie n e e l sí m b o l o ? 5 . “ L a r a z ó n e n t re d o s n ú m e r o s si em p re e s u n n úm e r o e nt e r o o u n d e c i ma l

e xa c t o ”.

E sta

a fi r m ac i ó n

fa l sa.

Pon

ej em p l o

que

fo r m a n

una

d e m u e st r e la f al se da d . 6 . Co m p r u e b a

los

si gu i e n t e s

pa r eja s

números

p r o p o r c i ó n nu m é ri ca 2y 4; 6 y 8 7 . B u sc a

3 y 5;7 y 9 un

c u a rt o

n ú me r o

pa r a

n u m é r ic a c o n l o s o t r o s t re s. 

4, 8, 12…



5, 10, 15…



7, 14, 21…



4, 9, 12…



3, 7, 9…



4, 6, 8…

10y 20; 20y 40 c o n se gu i r

fo r m a

u na

p r op o r c i ó n

8 . ¿ Q u é ma gn i t u d e s se rá n d i re c ta me n te p r o p o r c i o na le s? 

L o s l i t r o s d e ga so l i na y el p re c i o qu e p a gam o s p o r el la .



E l pe so d e u n ni ñ o y su e d ad .



L o s l i t r o s d e a gua y la ca n t i da d de bo t e ll a s pa ra e m b ot e ll a rl a .



E l p re c i o d e u n m e n ú y e l d i ne r o q ue p a ga u n gr u p o de pe r so n a s.



L a l o n gi t u d d e u n c i r cu i t o y l o s ki l ó me t r o s q u e se r e c o r re n e n é l



L o s d í a s d e la se ma n a y l a c a nt i da d d e l lu vi a qu e c a e.



L a v e l o c id a d de l v ie n t o y la ca n ti d a d d e e n e r gía e ól i ca .



L a e d ad d e u na p e r so n a y la a lt u r a qu e p ue d e sa l ta r .

9. Entre

tres

ca m i o ne s

i gu al e s

t ra n spo r t a n

27243

a re n a .

¿ Cu á n t o s k i l o s de a re n a p o d r á n l le va r e n t r e 7 ca m i o n e s? 1 0 . E n d o s h o r a s, u n e m b a l se a r r o ja 7 0 0 0 0 l i t r o s d e a gu a . ¿ Cu á nt o s l i t r o s a r r oj a rá e n c i n c o h o r a s? 1 1 . E n u n a j o r n a da 24600

l a d r il l o s.

m a ñ an a ,

de Si

¿ c uá n t o s

o ch o h o ra s, u n e q u i p o de em pe za r o n

la d r i ll o s

tr a b a ja r

habían

colocado

t ra b a j o c o l o ca

las a

n u e ve la s

doce

la d el

m e d i o d ía ? 1 2 . L a l o n gi t u d d e u na c i rc u n fe r e nc i a e s d i r e c ta me n t e p r o p o r ci o n al a l ra d i o d e l a c i rc u n f e r e nc i a , c o n la fó r m u l a L = 2 ·π · r , si e n d o L l a l o n gi t u d d e la c i rc u n fe r e nc i a y r e l r a d i o d e l a m i sma . Ca l c ul a la l o n gi t u d d e u n a ci r c u n fe ren c i a d e 8 c m d e r a d i o . ( u sa π= 3.14) 1 3 . U n b o t e d e 0 ,2 5 K g d e ca fé cu e sta 3 , 5 0 € y e l de 0 , 4 5 K g c u e sta 5 , 8 5 €. ¿ En q u é c a so e s m á s c a r o el ca fé ?

14.

M i c oc h e ga st a 5 , 2 l de ga so l i na c ad a c i e n k i l ó me t r o s. ¿ Cu á nta

ga so l i n a ga st o p a ra ve n i r a t r a ba ja r si d e b o h a c e r d o s vi a j e s d e 2 1 , 3 6 K m ? Re su el v e c o n re gl a d e t r es.

Re su e l v e c o n re gl a d e t r e s 15. Seis

kilos

bombones

c ue st a n

e u r o s.

¿ Cu á n t o

c o st a rá n

c u at r o k i l o s? 1 6 . U n o b r e r o f a b r ic a 2 0 0 p i ez a s e n c u at r o h o ra s. S i t ra b aj a o c ho horas

d ia r ia s,

¿ cu á n ta s

p i ez a s

fab r i c a r á

ve i n te

dí a s

t r a b aj o ? 1 7 . Co n d o c e k i l o s d e m a nz a na s se o b t ie n e n si e te l i t r o s d e zu m o . ¿ Cu á n t o s l it r o s se o b t e n d r á n c o n c i e n k i l o s d e m a nz a na s? 1 8 . Ci n c o

k i l óm et r o s

a ut o p i sta

c u e st a n

m il l o ne s

e u r o s.

¿ Cu á n t o c o sta r á n 3 2 k il ó m et r o s? 1 9 . O c he n ta CD ´ s v í r ge n e s c u e sta n 6 0 €. ¿ Cu á n t o t e n d r é q u e pa ga r p o r n o v e n t a CD ´ s? 2 0 . E n u n a se m a na h e ha b la d o 2 5 2 m i n u t o s p o r t e l é fo n o . ¿ Cu á n to t i e mp o ha b l a ré e n d ie z d í a s? (S e su po n e q u e t o d o s l o s d í a s ha b l o l o m i sm o ) 2 1 . U n c o ch e r ec o r r e e n se i s h o ra s 4 8 0 K m . S i n o p a ra se , ¿ cu á n t o s k i l ó me t r o s r e c o r re r á e n si et e h o r a s? 22. Un

gr i f o m a n a 3 2 4 0 l i t r o s p o r h o r a. ¿ Cu á n t o s l it r o s m a na r á en

ve i n t i c i nc o mi n u t o s? 2 3 . T r e s p aq u et e s d e

ga r b a n z o s p e sa n u n k i l o y m e d i o . ¿ Cu á n to

p e sa rá n ca t o rc e p a q ue te s? 2 4 . S i a l o s o n c e a ñ o s m i de s 1 , 4 5 m , ¿sa b e s c u á nt o me d i r á s a l o s 33?

2 5 . Ci n c o o v e j a s p r o d u ce n u n k il o y m ed i o d e la n a . ¿ Cu á n t o s k il o s d e l a na r e c o ge rá u n p a st o r si t i en e d o s ci e n t a s d oc e o vej a s? 2 6 . T r e s c a m i o ne s t r a n sp o rt a n 4 2 0 3 K g d e a r e na . ¿ Cu á n t o s k il o s d e a r e n a t ra n sp o r ta n v e i n te ca m i o ne s? 2 7 . L o s o n c e t it u la r e s d e u n eq u i p o d e fú t b o l c o b ra n 3 8 5 0 0 0 €. S i t o d o s c o b r a n i gu al , ¿ c uá n t o c o b r a rá l a p la n ti l la d e vei n t ic i n c o j u ga d o r e s? 2 8 . Co m p le ta F r a cc i ó n

26 100

Nú m e r o d ec i ma l

P o r c e nt aj e

0,26 0,53 2% 0,98 50%

1 100 2 9 . A u na m ot o cu yo p r ec i o e r a d e 5 .0 0 0 €, ha y q u e a ña d i r le el 2 1% d e I V A . ¿ Cuá n t o c u e sta e n r e a l i da d ? 3 0 . A l a d q u i r i r u n v eh íc u l o cu yo p r ec i o e s d e 8 8 0 0 €, n o s h ac e n u n d e sc u e nt o d el 7 . 5 % . ¿ Cu á n t o h a y qu e p a ga r p o r el veh í c ul o ? 3 1 . A l c o mp r a r u n m o ni t o r q ue c u e sta 4 5 0 € n o s ha ce n u n d e sc ue n t o d e l 8 %. ¿ Cu á nt o t e ne m o s q ue pa ga r ? 3 2 . S e v e nd e u n a rt í c ul o c o n u n a gan a n c ia d el 1 5% so b r e el p re c i o d e c o st o . Si ha c o sta d o 8 0 €, h al la e l p re c i o d e ve nt a . 3 3 . Cu á l se r á el p r ec i o q u e he m o s d e m a rc a r e n u n a rt í cu l o c u ya c o m p ra ha a sc e n d id o a 1 8 0 € p a ra gan a r al ve n d e rl o el 1 0 % .

3 4 . ¿ Q u é p r e c i o d e v e n ta he m o s d e p o n e r a u n a r t íc ul o c o m p ra d o a 2 8 0 €, p a ra pe r d e r e l 1 2% so b r e el p r e c i o d e ve nt a ? 35. Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €. 36. En una tienda ofrecen el pan de 70 céntimos con un descuento del 20%. ¿Cuánto pagarás si quieres comprar 25 panes? 37. En un colegio de 256 alumnos, aprueban todas las asignaturas 186. ¿Qué porcentaje del alumnado lo aprueba todo? ¿Qué porcentaje no lo aprueba todo? Planteamos el problema con una regla de tres. 256 alumnos

100% de alumnado

186 alumnos

X (porcentaje de aprobados)

X = 186 · 100 : 256 = 72,66 % de alumnos lo aprueban todo, (resultado aproximado a la centésima) Como el total de alumno es el 100% 100 – 72,66 = 27,34% no aprueban todo 38. En una huerta se recogen 192 kilos de patatas. 144 kilos se dedican al consumo de la casa y el resto de patatas se siembran para la siguiente cosecha. Calcula los porcentajes de patatas dedicadas al consumo y a la siembra? 39. En una biblioteca con 850 libros, 425 son de infantiles, 340 son juveniles y 85 es literatura para adultos. ¿Qué porcentajes corresponde a cada edad? 40. En un traslado de edificio, se estropearon 51 libros, de la biblioteca del problema anterior. ¿Qué porcentaje de libros se han perdido? 41. En el año 2010 había en Cantabria casi 592000 habitantes, de los que 183000 viven en Santander y 56000 en Torrelavega. ¿Qué porcentaje de la población vive fuera de estas dos ciudades?

42. Una persona que gana 1700 € mensuales, destina 350 € al ocio, 1200 € a gastos de la casa y comida y el resto lo ahorra. ¿Qué porcentaje de ahorro tiene esa persona? 43. En sexto curso hay 37 alumnos. Son el 9,66% del total de los alumnos del colegio. ¿Cuántos niños hay en el colegio? Planteamos el problema con regla de tres 37 alumnos

9,66 %

X alumnos

100 %

X = 37 · 100 : 9,66= 383 alumnos 44. Una persona consigue ahorrar el 9% de su sueldo anual. Si ha ahorrado 1620€, ¿Cuánto dinero gana en un mes? 45. La población de Ribamontán al Mar es aproximadamente el 0,70 % de la población de Cantabria. ¿Cuántos habitantes hay en R. al Mar? 46. Un hostelero compra seis kilos de café, pagando 20 € por kilo. Con todo ese café puede hacer 100 dosis y las quiere servir con un beneficio del 125%. ¿Cuánto tiene que cobrar por cada café? 47. Un amigo mío compró una moto vieja por 120 €. Compró las piezas que le faltaban por 30 € y vendió la moto arreglada por 450 €. ¿Qué porcentaje de beneficio sacó por la moto? 48. En un restaurante se venden las bebidas con un beneficio del 250%. Si un botellín cuesta 22 céntimos, ¿cuánto dinero ganará en un mes, vendiendo 50 botellines diarios? 49. Una fábrica de ladrillos los vende a 6 céntimos. Una partida de un millón de ladrillos le sale defectuoso y los ofrece con un 60% de descuento. ¿Cuánto cobrará por esa partida de ladrillos? 50. Un barco de pesca está tres días en alta mar, pescando diariamente 840 Kg de merluza. Cuando vuelve a puerto vende el 90% del pescado a 3,50 € el kilo. Si paga el 15 % de impuestos, ¿cuánto dinero le deja la venta del pescado?

UNIDAD 8. UNIDADES DE LONGITUD Y SUPERFICIE Actualmente, el Sistema Métrico Decimal es el más extendido en todo el mundo, sobre todo gracias al empleo del mismo por la comunidad científica. Pero no siempre ha sido así. A lo largo de la Historia, se han empleado diferentes unidades de medida. A continuación verás algunas muy curiosas y su origen.

La unidad de medida más antigua que se conoce es el "codo bíblico", medida que utilizó Noe para construir su arca, se estableció hace unos cuatro mil años, como la longitud entre el codo y la punta del dedo medio en el antebrazo del rey Og de Bazán. La legua es otra antigua unidad de longitud tiene 5573 metros y expresa la distancia en que una persona o un caballo pueden andar en una hora. En cada país tiene un valor diferente oscilando entre (4 y 7 kms). La legua francesa mide 4,44 kms, la legua marina 5,55 kms, en la Antigua Roma 4,43 kms y la legua castellana establecida en el siglo XVI medía 5572 metros. La milla tuvo su origen en la Antigua Roma y equivalia a la distancia recorrida con mil pares de pasos, exactamente 1480 metros, por lo tanto un paso simple era de 74 cms. Actualmente hay dos millas, la milla naútica internacional de 1852 metros y la milla terrestre que son 1.609,34 metros. La braza es una unidad de longitud náutica que se usa para medir profundidades de agua, se llama así porque equivale a la longitud de un par de brazos extendidos. La braza española vale 1,671 metros y una braza inglesa 1,828 metros. El pie tiene un valor 30,48 cms y como su nombre indica fue en principio la distancia entre el talón y la punta del dedo gordo. La yarda es un caso curioso, equivale a 91,44 cms, fue definida por Enrique VIII que utilizó su dedo para definir la yarda como la distancia existente entre la punta de su nariz y la punta de su dedo pulgar con el brazo totalmente extendido. La pulgada tiene 2,54 cms, representa la anchura del dedo pulgar de un hombre y en el siglo XIV, Eduardo I de Inglaterra, decretó que equivalía a tres granos de cebada seca medido longitudinalmente.

UNIDADES DE LONGITUD Recuerda que las unidades de longitud (y de masa y de capacidad…) se agrupan en un Sistema Decimal. Es decir, cada unidad “grande” agrupa a diez unidades menores. Todo lo que trabajemos, en el principio del tema, referido a las medidas de longitud, se trabajará de la misma manera con las unidades de masa (gramos) o capacidad (litros) Unidades de Longitud. Kilómetro

Km.

1.000 m.

Hectómetro

Hm.

100 m.

Decámetro

Dm.o dam

10 m.

metro

1 m.

decímetro

dm.

0,1 m.

centímetro

cm.

0,01 m.

milímetro

mm.

0,001 m

Para transformar unas unidades en otras, multiplicamos (si buscamos una unidad menor) o dividimos (si lo que queremos es una unidad mayor) por la unidad seguida de ceros, tantos como “pasos” tenemos que dar. Ej

3dm= 3:1000 =0,003 Hm

12m = 12:1000 = 0,012 Km

43,2 m = 43,2 · 100 = 4320 cm

32m = 32· 10 = 320 dm

UNIDADES DE SUPERFICIE La u n i da d pr i n c ip al d e sup er f i c i e e s el m e t r o c u a d ra d o (m 2 ) E l m e t r o c ua d r a d o e s l a su p er f i c i e d e u n c ua dr a d o q u e t i e n e 1 m e tr o d e la d o . O tr a s u n i d a d e s m a y or e s y m e n or e s so n : k i l ó me t r o cu a d ra d o

km2

1 000 000 m2

h e ct ó m et r o cu a d ra d o ( H ec tá r e a)

h m 2 ( Ha )

10 000 m2

d e c á m et r o c ua d r ad o ( á re a )

dam2 (a)

100 m2

m e t r o c u a d ra d o

1 m2

d e c í me t r o c u ad r a d o

dm2

0,01 m2

c e n t ím et r o c ua d r a d o

cm2

0,0001 m2

m i l ím e t r o c ua d r a d o

mm2

0,000001 m2

La s u n i d a d e s l la ma d a s á r ea (a ) = 1 0 0 m 2 y, so b r e t o d o, la H ec tá r e a ( H a ) = 1 0 0 0 0 m 2 so n m uy e mp l ea d a s p ar a h a b lar d e gr a n d e s sup er fi c i e s d e t er r e n o, c o m o l o s b o sq u e s D e sd e l o s su b m ú l t ip l o s, e n la p ar t e i n fe r i or , ha st a l o s m úl ti p l o s, e n la p ar t e su p e r i or , ca da u n i da d v al e 1 0 0 m á s qu e la a nt e r i o r

P o r l o ta n t o, e l pr o b l e ma d e c o n v er t ir u n a s u n i da d e s e n o tr a s se r e d u c e a m u l ti pl i ca r o d i v i d i r p o r la u n i da d se gu i d a de ta n t o s pa r e s d e c e r o s c o m o l u ga r e s h a ya e n t re el la s .

TEMA 8. EJERCICIOS 1. Calcula 23·100

32·1000

25·10

12·10000

2,43·1000

0,03·100

4,09·100

0,32·10

0,009·100

0,23·100

3,0902·1000

9,32·10

9,12·1000

0,0002·100

2,009·100

123,4·100

98000:10

200:1000

1000:10

32000:10

876:1000

7839:100

19034:1000

75,23:100

7663,22:1000

985,002:1000

2,987:100

0,03:100

0,5:1000

0,98:100

0,2:10

7003:10000

2. Calcula y compara los resultados en estas parejas de operaciones 25· 100 y 25:0,01

98:100 y 98·0,01

36· 1000 y 36:0,001

40:10 y 40·0,1

12:100 y 12· 0,01

75·1000 y 75:0,001

3. Transforma las siguientes unidades 12 Km= Hm=

3,2 dam = m=

0,03 Km = dam =

1,2 m = dam =

120000 mm =

4000000 cm = m = Km

4. Ordena, de mayor a menor, estas distancias 2 m, 4cm y 3 mm

20 dm y 40 mm

2400 mm

5. De mi casa a la plaza hay 127 m y desde la plaza al colegio 95 m . ¿Cuántos decímetros recorreré para ir desde mi casa al colegio si paso por la plaza? 6. ¿Cuántos

decímetros de alambre necesito para cercar un pequeño huerto

forma cuadrada que mide 35m de lado? 7. Una modista compra 2 piezas de tela que miden 3m y 5,6m respectivamente. Si emplea 5 m en hacer un vestido, ¿Cuántos decímetros de tela le sobra? 8. Para arreglar una vía de ferrocarril los operarios necesitan 2 rieles de 120 dm y 35 dm respectivamente. ¿Cuántos metros necesitan de riel? 9. Pedro tiene que recorrer 250 dm para coger la pelota. Si

ha recorrido 130 dm

¿Cuántos metros le quedan por recorrer? 10. Mi calle mide 75,4 m de longitud. ¿Cuántos cm mide de largo? 11. Quiero confeccionar dos cortinas de 3m y 4,60.m ¿Cuántos cm de tela que he de comprar todavía si tengo una pieza de 7m ? 12. Un ciclista ha recorrido 1947 Km en once etapas iguales. ¿Cuántos metros mide cada etapa? 13. La pista de un excalestric mide 37,6 dm ¿Cuántos m recorrerá un coche en catorce vueltas ? 14. Un tren de mercancías mide 4003,2 dm de largo. Si le quitamos 4 vagones cada uno de los cuales mide 205,3dm.¿Cuántos milímetros medirá ahora el tren? 15. De un tronco que media 3215mm de largo se ha cortado un trozo de 825 mm. ¿Cuántos cm mide ? 16. El agua de una piscina alcanza 0,153 dam de altura. Si la estatura de Pablo es 1520 mm. ¿Podrá estar de pie dentro de la piscina sin que el agua le cubra? 17. Un campo rectangular mide 12,52 dam de largo y 630 dm de ancho. ¿Cuántos hectómetros mide su perímetro? 18. En un hotel hay doce pasillos iguales de 12,5 metros cada uno. ¿Cuántas veces tendré que recorrer todos los pasillos para andar 3 Km?

19. El metro de un sastre mide de más, con un error del 10%. Con su metro, ha cortado unas telas de cortina de 440 centímetros. ¿Cuántos metros miden, en realidad, esas telas? 20. Un atleta tiene que correr seis kilómetros y medio cada día. Tiene que entrenar en un bosque, pero no sabe lo que mide. Dispone de una cuerda de 16250 dm y con ella marca un circuito que es el doble de la longitud de la cuerda. ¿Cuántas vueltas dará al circuito marcado? 21. El mismo atleta va a hacer un entrenamiento doble en una pista de atletismo. Si cada vuelta de un estadio son 400 m, ¿cuántas vueltas le dará al estadio? 22. La circunferencia de la Tierra es de 40000 Km. Un rayo recorre 300000 Km cada segundo. ¿Cuántas vueltas al mundo daría un rayo en un segundo? ¿Y en un minuto? 23. Una manguera puede lanzar agua hasta 9805 mm. Sufre una pequeña rotura, que le hace perder un 20 % de alcance. ¿Será suficiente para alcanzar un seto que está a ocho metros de distancia? 24. Un litro de gasoil cuesta 1,42 €. Si un coche gasta 5 litros cada cien kilómetros, ¿cuántos hectómetros recorrerá con 5 € de gasoil? 25. Una pulga puede saltar 200 veces la longitud de su cuerpo. ¿Cuántos metros saltará una pulga de 3,6 mm, si da ocho saltos iguales? 26. Otra pulga salta 9,456 metros en 12 saltos iguales. ¿Cuántos mm mide esa pulga? 27. Transforma las siguientes unidades de superficie 1 Km2=

Hm2

2,14 m2 =

mm2

21dm2 =

cm2

41 cm2 =

mm2

0,005 dam2 = m2

4,15 Km2 = dam2

54,006 m2 = dm2

200000 mm2 = dm2

400000 m2 = Km2

2,5 Km2= m2

1,003 dam2 = m2

0,0005 Hm2 = m2

10000 m2 = a

1,5 Ha = m2

3 Ha = a

200000 m2 = Km2

135 m2 = dam2

1500 mm2 = dm2

2000000 m2 = km2

52560000 mm2= a

3600 Ha = Km2

1dam2= cm2

500000dm2 = a

2,5 Km2= Ha

Recuerda. Para calcular la superficie de un rectángulo o un cuadrado, basta con multiplicar la longitud del largo y el ancho (en el caso del cuadrado, hay que elevar la longitud del lado al cuadrado) 28. Una familia quiere comprar un terreno de 123,5 dam 2 (áreas) y tienen ahorrado un millón de euros. ¿Podrán comprarlo si les cobran 80,50 € el metro cuadrado? 29. ¿Cuántos metros cuadrados ocupa un cuadrado de 200 dm de perímetro? 30. Un terreno de 3 Ha tiene una parte pantanosa que ocupa dos quintos del total. ¿Cuántos metros cuadrados ocupa el pantano? 31. En un edificio de apartamentos hay seis plantas con cuatro pisos iguales en cada planta. Si cada piso tiene una superficie de 92,65 m 2 totales. ¿Qué superficie tiene todo el edificio? 32. En uno de los pisos del problema anterior se quieren colocar baldosas de 500 cm2 de superficie. ¿Cuántas baldosas harán falta? 33. En un prado cuadrado de 180 m de lado, se ha edificado una casa cuadrada de 15 m de lado y el resto queda para jardín. Calcula la superficie del jardín. 34. Calcula el porcentaje de casa que ocupa el terreno del ejercicio anterior. 35. Una caja contiene cien baldosas cuadradas de 30 cm de lado. Si tenemos que colocar baldosas en un piso de 81 m2, ¿cuántas cajas nos harán falta? 36. Un coche mide cinco metros de largo por 1,80 de ancho. Para aparcar bien necesita un 40% más que su superficie. ¿Cuántas hectáreas deberá tener un aparcamiento para tres mil quinientos coches? 37. La superficie de Cantabria es de 5221 Km 2 y es el 1,05% de la superficie de todo el estado español. ¿Qué superficie tiene España, aproximadamente? (no saques decimales)

38. Recuerda los cambios de unidades: 36 m2 =

cm2

2500 cm2 =

3 Ha =

20000 mg =

25 Kg =

3,45 dag =

26000 m =

0,003 Km =

250 l =

1,025 Kl =

dm dal

7,09 m = 3500000 ml =

g mm dal

39. En un incendio se queman dos quintos de un bosque de 700 Ha. ¿Cuántos Km 2 se han salvado del incendio? 40. Para apagar el incendio del problema anterior se necesitó un litro de agua por cada metro cuadrado quemado. ¿Cuántos Kilolitros de agua se emplearon? 41. Un agricultor va a cultivar trigo en un campo rectangualr de 200 m de largo por 300 m de ancho. Para cada área de terreno necesita: cien litros de agua para regar, seis kilos de semilla de trigo y sabe que recogerá media tonelada de trigo: a. ¿Cuántas áreas tiene el terreno? b. ¿Cuántos Hl de agua va a necesitar? c. ¿Cuántos kilos de semilla empleará? d. ¿Cuántas toneladas de trigo va a recoger?

42. Se va a talar una plantación de eucaliptos de 25,63 Ha, para producir papel. En cada área de terreno se va a talar 0,6 toneladas de madera, de las cuales, sólo el 1% se transforma en papel. ¿Cuántos kilos de papel se conseguirán de esa plantación? 43. Con todo el papel del problema anterior, se hacen bobinas de 16 Kg. ¿Cuántas bobinas podremos hacer? 44. Un tractor tiene un depósito de gasoil de 50000 cl. Si el litro de gasoil agrícola cuesta 0,80 € y el agricultor tiene 400 €, ¿podrá llenar el depósito? 45. Con un depósito completo, el tractor del problema anterior puede arar una superficie de 24500 m2. ¿Cuántas veces tendrá que llenar el depósito para arar un terreno de 14,7 Ha? 46. Una casa tiene una superficie total de 165,75 m2. Hay tres habitaciones de 24,50 m2, cada una; tres cuartos de baño de 5,75 m 2 cada uno. La cocina tiene 20 m2 y 15 m2 de pasillos. También tiene un salón. ¿Qué superficie tiene el salón?

Recorta y pega este cuadro, donde te dice como calcular el área de algunas figuras planas. Figura

Superficie

b·a 2

Datos b = base a= altura

Triángulo

a = longitud a · b

b = altura

l = lado

π · r2

π = 3,14

Rectángulo

Cuadrado

r = radio Circulo y circunferencia

47. Dibujamos en el suelo un triángulo de 60 cm de base y 35 cm de altura. ¿Cuántos metros cuadrados ocupa ese triángulo? 48. Una rueda de bicicleta de montaña tiene un radio de 650 mm. ¿Cuántos cm 2 ocupan las dos ruedas? 49. ¿Cuántos metros cuadrados ocupa una habitación cuadrada de 600 cm de lado? 50. Una sala cuadrada de 100 m2, tiene un lado de… (operación contraria al problema anterior) 51. Un campo de 150 m de ancho y 520 m de largo se va a sembrar con tomates. En cada área se recogen 750 Kg. ¿Cuántas toneladas de tomates se recogen? 52. ¿Qué radio tiene un círculo de 12,56 m2 de superficie?

UNIDAD 9. OPERACIONES CON UNIDADES DE TIEMPO Y ÁNGULOS. A lo mejor te parece que el título de esta Unidad no tiene relación. ¿Por qué unir los ángulos con la medida del tiempo? ¿Por qué juntamos relojes con transportadores? ¿Tendrán algo que ver? Algo, no. Mucho. Aunque no lo parezca. Al final de la Unidad me darás la razón.

Es importante conocer el valor del tiempo, puesto que el tiempo es vida. Por ello no debemos malgastar nuestro tiempo en cosas que no sean de beneficio para nosotros, para nuestra familia, para la sociedad o para la humanidad en general. Si existe algo que debemos apreciar en nuestra vida es el tiempo. Apreciarlo, por su importancia y porque su mal empleo, puede influir negativamente en la toma de decisiones, en el trabajo realizado, en abordar nuevas o viejas relaciones y en definitiva, en la marcha de nuestra vida. El tiempo es inflexible, pasa y no se detiene, aunque a veces tengamos la sensación de todo lo contrario.. No podemos, alargarlo, estirarlo, comprarlo o detenerlo. Sin embargo, podemos llegar a controlarlo. En nuestra vida las actividades deben ordenarse de acuerdo a su nivel de importancia, en primer lugar debe ser realizado lo importante, en segundo lugar lo urgente. Si actuamos en el orden inverso nunca lo urgente nos permitirá realizar lo importante. Perder el tiempo es mucho más peligroso que malgastar el dinero, porque a diferencia del dinero el tiempo no puede ser compensado. Tener tiempo libre es una bendición a menudo pasada por alto, y no apreciada por mucha gente. Un viejo proverbio Sufi dice: “Hay dos favores de la providencia que son olvidados por muchos: la salud y el tiempo libre.” Esto indica lo importante que es hacer todo lo posible para hacer del tiempo el mejor uso posible y en cosas útiles.

La Unidad Internacional de medida del tiempo es el segundo, y resulta de dividir un día en 86400 partes iguales, o una hora en 3600 partes iguales. Por supuesto, estas definiciones no nos son útiles, pero sirven para darnos idea de lo pequeña que es esta unidad de medida. Si tendremos en cuenta algo que ya sabemos 1 hora (h) = 60 minutos (‘) (min) 1 minuto (‘)(min) = 60 segundos (‘’) (s) El sistema para transformar y operar con horas, minutos y segundos es sexagesimal. Tampoco hay que olvidar que 1 día = 24 horas

1 semana = 7 días

1 mes = 30 días

1 año = 12 meses= 365 días

Las mismas operaciones que hagamos con el tiempo se pueden hacer, de la misma manera, con las unidades de medida de ángulos , ya que: 1 grado = 60 minutos; 1 minuto = 60 segundos

Suma d e tiempos

S u p ó n q ue e s tá s e n c a s a , v i e nd o l a t el e . Hay

dos

programas

seguidos.

p r i m er o

d u ra 2 h 3 5 ’ 4 0 ’ ’ y el s e g u nd o 1 h 5 0 ’ 4 5 ’ ’ . ¿ C óm o p u e d e s c a l c ul a r el t ie m p o t ot a l qu e d u ra n l o s d o s p r o g r a m a s?

1 º P a r a su m a r t ie mp o s se c o l o c a n l as h o r a s d e b a j o d e l o s h o r a s, l o s m i n u t o s d e b aj o d e l o s m i n u t o s y l o s se gu n d o s d e b a j o d e l o s se gu n d o s ; y se su m a n .

2 h

35’

40’’

1 h

50’

45’’

85’

85’’

2 º S i l o s se gu n d o s su ma n má s d e 6 0 , se d i vi d e d i ch o n úm er o e n t re 6 0 ; e l r e st o ser á n l o s se gu n d o s y el c o c i ent e se a ñ a d ir á n a l o s m i n ut o s . 8 5 : 6 0 = 1 r e st o 2 5 ’’

El c oc i e nt e ( 1) l o su m am o s a l o s m i n ut o s ( t o ta l 8 6 ’)

3 º S e ha c e l o m i sm o p ar a l o s m i n u t o s. 8 6 : 6 0 = 1 r e st o 26 ’

E l c o c ie n te ( 1 ) l o su m am o s a l a s h o r a s ( t ot al 4 h )

E l ti e mp o t ot al d e l o s d o s p r o gr a ma s so n 4 h 2 6 ’ 2 5 ’’

Resta de tiem pos Imagina que quieres grabar los programas del ejercicio anterior, en un DVD, que puede almacenar 6h 30’ de contenidos. ¿Cuánto tiempo te sobrará en ese DVD? Es fácil. Del tiempo de grabación del DVD, habrá que restar la duración de los programas. ¿Cómo lo hacemos?

1 º P ar a r e sta r t ie mp o s se c o l oc a n l as h o r a s d e b aj o d e l a s h o r a s , l o s m i n u t o s d e b aj o d e l o s m i n ut o s y l o s segu n d o s d e b a j o d e l o s se gu n d o s . 6h -

30’

4 h 36’

35’’

2 º S e r e sta n l o s se gu n d o s . S i e l m i n ue n d o e s m e n o r q u e el su str a e n d o , c o n ve r ti m o s u n m i n u t o d e l m i n u e n d o en 6 0 se gu n d o s y se l o su ma m o s a l o s se gu n d o s d e l m i n u e n d o . A c o n t i nu ac i ó n r e sta m o s l o s se gu n d o s.

29’ 60’’

36’

35’’

3 º H a c e m o s l o m i sm o c o n l o s m i n ut o s. 5h

89’

60’’

- 4h

36’

35’’

53’

25 ’ ’

E n e l D V D, q u e da n l i b r e s 1 h , 5 3 ’ y 2 5 ’’

Como los ángulos, minutos y segundos, también emplean un sistema sexagesimal, las operaciones de suma y resta, serán exactamente iguales S u m a d e á n gu l o s La su m a d e d o s á n gu l o s e s o tr o á n gu l o c u y a am pl i t u d e s la su ma d e l a s a m pl i tu d e s d e l o s d o s á n gu l o s i n ic ia l es.

1 º P ar a su ma r á n gul o s se c o l oc a n l o s gr a d o s d e b a j o d e l o s gr a d o s , l o s m i n u t o s d e b aj o d e l o s m i n ut o s y l o s segu n d o s d e b a j o d e l o s se gu n d o s ; y se su m a n .

2 º S i l o s se gu n d o s su m a n má s d e 60 , se d i vi d e d i ch o n úm er o e nt r e 6 0; e l r e st o ser á n l o s se gu n d o s y el c o c i ent e se a ñ a d ir á n a l o s m i n ut o s .

3 º S e ha c e l o m i sm o p ar a l o s m i n u t o s.

Re st a d e á n gu l o s La r e st a d e d o s á n gul o s e s o t r o á n gulo c u y a a mp l it u d e s l a di fe r e n ci a e n t r e l a a mp l it u d de l á n gu l o m a yo r y l a de l á n gu l o me n o r .

1 º P ar a re st a r á n gu l o s se c o l o ca n l o s gr a d o s d e b a j o d e l o s gr a d o s , l o s m i n u t o s d e b aj o d e l o s m i n ut o s y l o s segu n d o s d e b a j o d e l o s se gu n d o s .

2 º S e r e st a n l o s se gu n d o s . Ca so d e q ue n o se a p o si b l e , c o n ver t im o s u n m i n u t o d el m i n u e n d o e n 6 0 se gu n d o s y se l o su m a m o s a l o s se gu n d o s d e l m i n u e n d o . A c o n t i n ua ci ó n r e st am o s l o s se gu n d o s.

3 º H a c e m o s l o m i sm o c o n l o s m i n ut o s.

TEMA 9. EJERCICIOS 1. Suma y resta los siguientes tiempos. 3h 20’ 40 ‘’ + 2h 15’ 10’’

2h 54’ 10’’ + 5 h 5’ 49’’

8h 15’ 55’’ + 2h 42’ 7’’

1h 20’’ 32’’ + 2h 26’’

2h 24’ 36’’ + 2h 35’ 24’’

7h 43’’ 12’’ + 4h 24’ 42’’

5h 42’ 24’’ + 12h 15’ 40’’ + 6h 1’ 56’’

8h 34’ – 3h 23’

2h 54’ 43’’ – 1h 32’ 21’’

5h 43’ 12’’ – 3h 23’ 54’’

2h 34’ – 1 h 12’ 50’’

6h 10’ – 2h 56’ 23’’

7h 17’ 40’’ – 6h 50’ 50’’

1h – 23’’

2h – 1h 35’ 33’’

2. Una película de cine dura 1h 29’ 12’’ y, además se proyectan anuncios que duran 12’ 46’’. ¿Cuánto dura la proyección total? 3. En el intermedio de un programa de televisión, emiten cuatro anuncios que duran, respectivamente, 46’’, 1’ 3’’, 28’’ y 37’’. ¿Cuánto tiempo ha estado interrumpido el programa? 4. Antonio ha perdido un avión. Ha llegado tarde, exactamente 4’ 23’’. Si llegó al aeropuerto a las 15h 22’ 12’’, ¿a qué hora salió el avión? 5. A las 8h 54’ 40’’ ha pasado un metro. En el andén indica que el próximo llegará en 5’ 20’’. ¿A qué hora exacta llegará el próximo metro? 6.

Si me acuesto a las 12 en punto de la noche, después de ver una película

durante

2h 15’, ¿a qué hora me puse a ver la tele?.

Si ha habido 25’ 14’’ de

anuncios, ¿cuánto dura exactamente la película? 7. Andrés sale de casa a las 8 h. 45 min. y llega al colegio a las 9 h. 28 min. 14 s. ¿Cuánto tiempo tardó en hacer el trayecto?

8. Mi reloj marca las 20 h. 42 min. Quiero coger un tren que sale a las 21 h. 23 min. Y tardo 35 min. en llegar a la estación. ¿Cuánto tiempo me falta o me sobra?

9. Un automovilista parte de una ciudad a las 7 h. 35 min., y llega a otra a las cuatro y cuarto de la tarde. Calcula la duración del viaje.

10. Faltan 3 horas, 2 minutos 35 segundos para el mediodía. ¿Qué hora es?

11. Una película dura 98 minutos. Otra es dos minutos, 30 segundos más corta. ¿Cuánto dura la película más corta? Da el resultado en horas, minutos y segundos.

12. Un viaje en autobús va a durar 6h 35’. Uno de los conductores estará al volante 2 h 15’; el segundo conductor, 2h 30’. ¿Cuánto tiempo conducirá el tercer conductor?

13. Tengo que entrar a trabajar a las 8h, en punto. Para llegar, tengo que hacer un viaje en metro de 22’ 55’’, uno en autobús de 27’ 45’’ y esperar en las paradas 9’ 30’’. Si salgo de casa a las 7 de la mañana, ¿llegaré puntual?

14. Si quiero llegar diez minutos antes al trabajo anterior, con esos viajes. ¿A qué hora exacta tendré que salir de casa?

15. Un partido de fútbol de hora y media sufre un 35% de pérdida, por diferentes interrupciones. ¿Cuánto tiempo están jugando?

16. Si un anuncio de televisión dura 28’’, ¿Cuántos se pueden emitir en cinco minutos y 36 segundos?

17. Realiza las siguientes operaciones de ángulos 23º + 58º 12º 13’ + 20º 36’

92º + 36º

147º + 236º

42º 40’ + 54º 10’

12º + 222º 10º 10’ + 25º 35’

320º 20’ 52’’ + 20º 12’ 7’’

41º 21’ 45’’ + 12º 13’ 12’’

45º 52’ 21’’ + 36º 47’ 58’’

74º 26’ 54’’ + 15º 36’ 26’’

73º - 58º

147º - 36º

72º 43’ - 20º 36’

92º- 36º

92º 40’ - 54º 10’

312º - 222º 100º 10’ - 25º 5’

320º 20’ 52’’ - 20º 12’ 7’’

41º 21’ 45’’ - 12º 13’ 12’’

45º 52’ 21’’ - 36º 47’ 58’’

74º 26’ 54’’ - 15º 36’ 26’’

18. Recuerda. Copia las siguientes frases y estúdialas: -

Los ángulos de cualquier triángulo siempre suman 180º

En un triángulo rectángulo siempre hay un ángulo de 90º

En un triángulo isósceles hay dos ángulos iguales.

En cualquier cuadrilátero, sus ángulos siempre suman 360º

En un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales.

En los paralelogramos, dos ángulos consecutivos son suplementarios (suman 180º) -

Los ángulos complementarios suman 90º

Una circunferencia tiene 360º

19. Completa el siguiente párrafo: Los ángulos se miden en ________. Un grado es la _____________ parte de un ángulo recto. Un grado se divide en __________ minutos. Un minuto se divide en sesenta ___________. Un ángulo llano es igual que dos ángulos __________, y un ángulo completo es igual que _______ ángulos llanos.

20. Transforma las siguientes unidades. 23º =

minutos =

45º =

segundos

12º 3’ = ’’ 8º 56’ 26 ’’ = segundos 8562” =

º ´y ”

21.Calcula los ángulos complementarios y suplementarios de 25º

75º

54º

63º

22. Las paredes de una casa, se supone que tienen que formar un ángulo recto. Si un albañil monta una pared con un ángulo de 81º¿Cuánto ángulo hay que corregir para que esté bien? ¿Qué porcentaje de error comete? 23. Dibuja un círculo con el compás y divídelo en ocho ángulos iguales. ¿Cuánto mide cada ángulo? 24. Realiza el mismo ejercicio que antes, pero dividiéndolo en doce partes. 25. El ángulo de un triángulo equilátero mide 60º. ¿Cuánto miden la suma de todos los ángulos del triángulo? 26. ¿Cuánto suman todos los ángulos de un cuadrado? 27. Si un tiovivo gira 72000º ¿cuántas vueltas da? 28. Un terreno triangular tiene un ángulo de 37º 12’ y otro de 82º 36’. ¿Cuánto mide el tercer ángulo del terreno? 29. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 29º 15’. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos? 30. En un triángulo isósceles un ángulo 140º. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos?.

31. Un parque tiene cuatro lados diferentes. El primer ángulo mide 98º 12’ 36’’; el segundo 43º 8’ 23’’; el tercero mide 100º. ¿Cuánto mide el cuarto ángulo? 32. En el rombo de abajo, uno de los ángulos pequeños mide 40º 15’. ¿Cuánto miden los otros ángulos?

33. Una escuadra es un triángulo rectángulo isósceles. Un cartabón es un triángulo escaleno, con un ángulo de 30º¿Cuánto miden los ángulos de la escuadra y el cartabón?

34. A un albañil algo chapucero le encargan la construcción de una habitación cuadrada. En el momento de finalizar, se da cuenta de que uno de los ángulos mide 91º 10’ 30’’. ¿Cuánto miden los otros tres ángulos de la habitación? 35. Un triángulo escaleno tiene un ángulo de 26º 44’ 10’’ y otro de 64º 15’ 50’’. ¿Qué tipo de triángulo es?

36. El trapecio de la imagen anterior tiene un ángulo de 110º 25’ 36’’. Averigua la medida de los otros tres ángulos.

37. Un cuadrilátero irregular tiene cuatro ángulos que miden 102º 36’ 20’’; 86º 54’ 45’’;55º 36’24’’ y 125º 33’ 31’’. ¿Es correcto? 38. Cada polígono tiene unos ángulos interiores, tantos como lados, cuya suma es fija y conocida, de acuerdo con la fórmula matemática (n-2) × 180°, donde n es el número de lados del polígono. Teniendo esto en cuenta, calcula cuánto suman los ángulos interiores de un pentágono y un hexágono

Figura

Lados

Suma de los ángulos interiores

Triángulo

180°

Cuadrilátero

360°

Pentágono

Hexágono

Forma

39. Un reloj de cuerda se para a las 19 h, 54’ 36’’ . Si la duración de la cuerda es de

12 h 45’ 30’’, ¿a qué hora di cuerda al reloj?

40. Un reloj marca esta hora. ¿Cuánto falta para el mediodía?

41. Un reloj malo adelanta en un año 1h 20’ 36’’. Si lo pongo en hora justo a las 0 horas del uno de enero. ¿A qué hora me dará las campanadas de NocheVieja? 42. Si afirmo que el reloj del problema anterior adelanta 403’’ mensuales, ¿digo o no digo la verdad? ¿Cuántos minutos y segundos son?