UNIDAD 1. LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
Las Matemáticas es una ciencia milenaria. Todos los pueblos las han utilizado: para calcular cantidades, medir distancias, construir edificios. Hay muchos matemáticos famosos a lo largo de la Historia. Y otros personajes interesados en esta ciencia, pero que han sido conocidos por otros motivos. Como Napoleón…
No suele saberse que Napoleón era un entusiasta matemático aficionado, y aunque tal vez no muy estudioso, sin duda estaba fascinado por la geometría, ciencia, por otra parte, de gran importancia militar. Además, Napoleón sentía admiración por los creativos matemáticos franceses contemporáneos suyos. Gaspard Monge, uno de ellos, parece haber sido el único hombre con quien Napoleón mantuvo amistad permanente. «Monge me quiso mucho», confesó Napoleón en una ocasión. Monge fue uno de los varios matemáticos franceses que recibieron de Napoleón títulos de nobleza. Cualquiera que haya sido la capacidad geométrica de Napoleón, es mérito suyo haber revolucionado de tal forma la enseñanza de las matemáticas en Francia, que según varios historiadores, sus reformas fueron las causantes de la floración de matemáticos, orgullo de la Francia decimonónica. Al igual que Monge, el joven Mascheroni fue ardiente admirador de Napoleón. Ambos hombres se conocieron en 1796, cuando Napoleón invadió el norte de Italia, y llegaron a ser amigos. Un año después, cuando Mascheroni publicó su libro dedicado a construcciones con sólo compás, volvió a honrar a Napoleón con una dedicatoria, esta vez una extensa oda. Napoleón conocía a fondo muchas de las construcciones de Mascheroni. Se dice que en 1797, mientras Napoleón hablaba de geometría con Joseph Louis Lagrange y Pierre Simon de Laplace (famosos matemáticos a quienes más tarde Napoleón haría conde y marqués, respectivamente), el pequeño general sorprendió a ambos explicándoles algunas soluciones de Mascheroni que les eran totalmente desconocidas. Se dice que Laplace comentó: «General, esperábamos de vos cualquier cosa, excepto lecciones de geometría».
LAS CIFRAS Desde la antigüedad el hombre ha inventado métodos para poder contar las cosas. Los romanos utilizaron algunas letras mayúsculas del alfabeto latino (I, V, X, L, C, D, M) para representar números. Nosotros representamos los números mediante unos símbolos o signos denominados cifras. Nuestro sistema actual de numeración utiliza diez cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9, que también se llaman dígitos, por su relación con el número de dedos de las manos. Estas diez cifras son de origen indo-arábigo (hindú y árabe). Los árabes usaban las cifras del 1 al 9 y, en sus relaciones comerciales con la India, conocieron que los matemáticos hindúes usaban el cero y lo incorporaron a su sistema de numeración que es el que usamos actualmente. Los hindúes denominaban al cero «sunya» que quiere decir «vacío». Los árabes lo denominaron «sifr» (vacío en árabe). Esta palabra árabe, nombre del cero, se aplicó posteriormente a las demás cifras, dando origen a las palabras castellanas cero y cifra.
LOS NÚMEROS NATURALES Con sólo diez cifras podemos formar cualquier número de nuestro sistema de numeración. El conjunto de todos estos números se denomina «Números Naturales» y se representa con la letra N. N
=
{1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10,
11,
12,
13,
14...}
La cantidad de números naturales es infinita, porque siempre es posible agregar un número más. No existe un número que sea el mayor de todos.
NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN Un Sistema de numeración es un conjunto de normas que se emplean para escribir y expresar cualquier número. Nuestro Sistema de numeración tiene dos características fundamentales: es decimal y posicional. 1. DECIMAL, porque utilizamos 10 cifras para construir todos los números. Por lo tanto 1 unidad de cualquier orden equivale a 10 unidades del orden inmediato inferior y a la inversa 10 unidades de cualquier orden constituyen 1 unidad del orden inmediato superior. Cuando en un número no hay algún orden de unidades se completa su lugar con la cifra cero. Por ejemplo: 1 centena equivale a 10 decenas y 10 centenas equivalen a 1 millar (Ver tabla 1). Se denomina base de un Sistema de Numeración al número de unidades de un orden inferior que forman una unidad del orden inmediatamente superior. Nuestro Sistema de Numeración es decimal, por tanto, de base diez. El Sistema decimal de numeración ha sido usado por la humanidad desde tiempos muy remotos porque para contar cosas el hombre siempre ha empleado los diez dedos de las manos.
Tabla 1. Sistema decimal Unidades de primer orden
Unidades (U)
Unidades de segundo orden
Decenas (D)
= 10 U
Unidades de tercer orden
Centenas (C)
= 10 D
Unidades de cuarto orden
Unidades de millar (UM)
= 10 C
Unidades de quinto orden
Decenas de millar (DM)
= 10 UM
Unidades de sexto orden
Centenas de millar (CM)
= 10 DM
Unidades de séptimo orden
Unidades de millón (UM1)
= 10 CM
Unidades de octavo orden
Decenas de millón (DM1)
= 10 UM1
Unidades de noveno orden
Centenas de millón (CM1)
= 10 DM1
2. POSICIONAL, porque el valor que representa cada cifra depende de la posición que ocupa dentro del número. Por ejemplo en el número 853.963 aparece dos veces la cifra «tres» y tiene distinto valor dependiendo de su posición dentro del número. Contando de derecha a izquierda el primer tres representa las unidades y equivale, por lo tanto, a tres unidades. En cambio el segundo tres representa las unidades de millar y equivale, por lo tanto, a tres mil unidades.
LEER NÚMEROS NATURALES Para
leer
los
números
se
realizarán
las
siguientes
operaciones:
1º) El número se divide en grupos de seis cifras, empezando de derecha a izquierda.. 2º) Cada grupo de seis cifras se divide, mediante un punto, en dos grupos de tres cifras. Por ejemplo, para leer el número 765638946126 lo primero que haremos será dividirlo en grupos de 6 cifras contando de derecha a izquierda: 76563/8946126 A continuación dividiremos cada grupo de 6 cifras, en dos grupos de 3 cifras cada uno, mediante un punto: 765.638/946.126: “setecientos sesenta y cinco mil seiscientos treinta y ocho millones, novecientos cuarenta y seis mil ciento veintiséis”. Los números hasta el 30 inclusive se escriben con letras en una sola palabra y a partir del 31 en dos palabras. Por ejemplo: dieciséis, diecisiete, veintiuno, veintidós, veinticinco, veintinueve, treinta y uno, treinta y dos.
Numeración romana Es un sistema de numeración que usa letras mayúsculas a las que se ha asignado un valor numérico. Se usa principalmente:
En En En En En
los números de capítulos y tomos de una obra. la numeración de los siglos los actos y escenas de una obra de teatro. los nombres de papas, reyes y emperadores. la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, certámenes...
Reglas: La numeración romana utiliza siete letras mayúsculas a las que corresponden los siguientes valores: Letras
I
V
X
L
C
D
M
Valores
1
5
10
50
100
500
1.000
Si a la derecha de una cifra romana de escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior. Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67 La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades. Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900 En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas. Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34 La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque otras letras ("X", "C", "M") representan su valor duplicado. Ejemplos: X = 10; C = 100; M = 1.000 Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente. Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129 Si se coloca una raya horizontal sobre un número, o parte de él, el valor de los números romanos queda multiplicado por mil Ejemplos: XIX = 19000
CCIIIDCLI= 203651
TEMA 1. EJERCICIOS. 1. Escribe los números (con letra) entre el 15 y el 30. 2. Relaciona cada número con su escritura 16852
Nueve mil ochocientos cincuenta y cuatro
9850236
Novecientos ochenta y cinco mil trescientos cuatro
45056
Dieciséis mil ochocientos cincuenta y dos
985304
Cuarenta y cinco mil cincuenta y seis
52874521
Nueve millones ochocientos cincuenta mil doscientos treinta y seis
9854
Cincuenta y dos millones ochocientos setenta y cuatro mil quinientos veintiuno.
3. Escribe con letra. 265977
5000152
87501250
9845601
2540114
10000025
87450125
4000526
32
40215
874001
29
4. ¿Qué número es mayor: 2451 ó 20451? ¿Por qué? 5. Escribe un número que cumpla. Hazlo con números y letras - Número de seis cifras, todas impares. - Número de cinco cifras, que termine en cero y las unidades de millar impares - El menor número de cuatro cifras. - El mayor número de tres cifras. - El número anterior a 50000 - El número siguiente a 19999
6. La distancia media del Sol a la Tierra es de aproximadamente 149.600.000 kilómetros, o 92.960.000 millas, y su luz recorre esta distancia en 8 minutos y 19 segundos. El Sol es una estrella, que se formó entre 4567900000 y 4570100000 de años y permanecerá en la secuencia principal aproximadamente 5000000000 de años más. *Escribe, con letra, los números de este texto. 7. Estos números están mal escritos. Corrige los fallos 26
ventiseis
32
trenta y dos
49
cuarentainueve
168
ciento ochenta y seis
15896
quincemil ocho cientos noventaiseis
500025
cinco millones veinticinco
15487
mil quinientos ochenta y siete
15
quinze
95
noveinta y cinco
8. Escribe estos números en numeración romana: 1984
555
8965
1200
2893
792
326
3000
481
9 .Escribe estos números romanos en números cardinales: MCMXCIX MMII DCCLIII M MCM
LXXX
10. Relaciona los valores de las dos columnas. 6958
LXXXV
256
CDLXX
85
VICMLVIII
2011
MII
24587
XCVI
470
XVII
1002
XXIVDLXXXVII
96
MMXI
17
CCLVI
11. ¿Quién reinó primero Alfonso VIII O Alfonso X?
12. En la fachada de un palacio hay una inscripción que dice: “Este palacio se comenzó a construir en el año MDCCCXCVII y se terminó en el año MCMIV”. ¿Cuántos años tardó en construirse el palacio? 13. Escribe con números romanos: El siglo en el que estamos El primer año del S XV El año en el que naciste El último año del S XX El año en que se construyó el colegio (en el año 2004 se celebró el 25º aniversario)
14. Ordena, de menor a mayor, los siguientes números CCCXXIX
MCC
CDII
XXXVIII
DXII
DCII
15. Escribe, con letra y números romanos, las siguientes cantidades 22541
14852
20014
454789
16. Mi primo cumplió XLII años, en el año MCMXCVIII. ¿En qué año nació? (en números romanos)
17. Roma se fundó en el DCCLIII a. C. a orillas del Río Tíber por Rómulo y Remo. Roma fue fundada, mediante la creación de pequeñas aldeas
que
terminaron por fusionarse (siglo IX y VIII a.C). Hacia DX a. C. se fundó el templo de Júpiter, y de la misma época son los templos de Saturno (CDXCVIII a. C.), de Cástor (CDLXXXIV a. C.) y otros. Escribe las cifras romanas con números arábigos 18. Relaciona las tres columnas XXXVCCXLII
12709
Seiscientos veinticinco mil ochocientos catorce
XIIDCCIX
3303
Cuarenta y nueve mil ocho
DCXXVDCCCXIV
99013
Treinta y cinco mil doscientos cuarenta y dos
XCIXXIII
49008
Tres mil trescientos tres
MMMCCCIII
625814
Doce mil setecientos nueve
XLIXVIII
35242
Noventa y nueve mil trece
19. Escribe con números romanos 2584
274
9805
99
2087
313
20. Escribe con cifras: Descompón los siguientes números, siguiendo el ejemplo: 25412569 = dos DECENAS DE MILLÓN, cinco UNIDADES DE MILLÓN, cuatro CENTENAS DE MILLAR, una DECENA DE MILLAR, dos UNIDADES DE MILLAR, cinco CENTENAS, seis DECENAS, nueve UNIDADES. * 89652365
*5201257
* 2000145
*8596000
* 13659
*88745
*600000024
*54210024
21. Mi amigo tiene un número de móvil en el que no se repite ningún número, ningún número es cero y termina en cinco. Escribe con letra y número tres ejemplos del número que puede tener.
22.
Escribe todos los números (con cifra) con los números 1-2-3: 123 – 132…
23. Escribe estos números: Un millón seis mil veinticinco: .............................................................................. Tres millones ochocientos ..................................................................................... Nueve millones nueve............................................................................................ Cuatro millones cuarenta ....................................................................................... Ocho millones cien mil .......................................................................................... Seis millones doscientos mil dos............................................................................ Dos millones cuatrocientos mil cuatrocientos ........................................................ Un millón mil ........................................................................................................
24. Completa la tabla Anterior
Número
Posterior
Anterior
9999
Número
Posterior
999999
1299
50000001 9000000
2999998 20000
59999999
3000 5000000
25. Escribe (con número y letra) el mayor y el menor número que puedas con las cifras: 5-6-7-8-4-9