UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES
En este tema vamos a hablar de proporcionalidad y porcentajes. Quizá con estos nombres, te suenen a chino. Pero verás que son algunos de los conceptos matemáticos más usados habitualmente. ¿O no te suenan los símbolos “%” y el número π (pi)?
El misterioso número π Las primeras civilizaciones indoeuropeas ya tenían conciencia de que el área del círculo es proporcional al cuadrado de su radio, y de que su circunferencia lo es al diámetro. Sin embargo no se sabe cuándo se comprendió por vez primera que ambas razones son la misma constante,
simbolizada en nuestros días por la letra griega π (pi ). Arquímedes de Siracusa, el mayor matemático de la antigüedad, estableció rigurosamente la equivalencia de ambas razones en su tratado Medición de un circulo. En el s. V, el astrónomo chino Tsu Ch'ung-Chih descubrió que pi=355/113(aproximadamente)= 3,1415929203539823008849557522124… Actualmente, los más potentes ordenadores intentan “finalizar” el número encontrar la periodicidad… sin éxito.
π,
o, por lo menos,
Es tal el interés que el número π despierta entre los matemáticos, que hay concurso de recitado de la parte que se conoce de este misterioso número. El 4 de octubre de 2006, el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial de recitar de memoria el número
π.
A la 1:30 de la
madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi recitó 100.000 dígitos del número apenas cada dos horas una pausa de horas de 10 minutos para tomar aire.
π, realizando
Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razón. Razón entre dos números Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos. Por ejemplo, la razón entre 15 y 3 es 5, ya que 15: 3 = 5 ó
La razón entre 4 y 8 es 0,5, ya que 4 : 8 = 0,5 ó
4 8
1 2
15 5 3
0,5
Proporciones. Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, estaremos hablando de una proporción numérica, si ambas razones son iguales Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.
Es decir
En la proporción
Tendremos una proporción si podemos formar dos fracciones equivalentes
hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.
La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.
Ejemplo Un saco de patatas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de patatas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?
Número de sacos
Peso en kg
1
2
3
...
26
...
20
40
60
...
520
...
Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20 Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Observa que Reducción a la unidad. Es de las maneras en de las sacos que vamos a solucionar problemas de proporcionalidad. Lasuna magnitudes número y peso en kg son los directamente proporcionales. Cuando tengamos dos cantidadespara directamente proporcionales, podemos La constante de proporcionalidad pasar de número de sacos a kg es 20. buscar fácilmente la constante de proporcionalidad, o razón. Después, sólo tendremos que multiplicar la constante por el número de unidades que tengamos. Ej. Un saco de 25 Kg de café cuesta 75 €. ¿Cuánto cuestan quince kilos? Buscamos la constante de proporcionalidad 75 : 25 = 3 € cuesta un kilo de café 15 · 3 = 45 € cuestan los 15 kilos.
Regla de tres simple directa Es el método de resolver problemas de cantidades proporcionales más empleado. Observa el ejemplo. En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal? Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales. Formamos la siguiente tabla: Litros de agua
50
x
Gramos de sal
1.300
5.200
Se verifica la proporción:
x es un número desconocido que representa los litros que contendrán 5200 gramos de sal, y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta: Es decir
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa. Ejemplo 2 Un automóvil gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?
Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km
PORCENTAJES Las fracciones decimales con denominador 100 se llaman también fracciones centesimales o porcentajes. Una fracción porcentual se puede escribir como fracción, como número decimal o como porcentaje
25 = 0,25 = 25% de una cantidad 100
Cálculo de porcentajes. Calcular un porcentaje es calcular la fracción centesimal de una cantidad. Se trabaja de la misma manera que para calcular la fracción de una cantidad (se multiplica por el numerador y se divide por el denominador, que siempre es 100) 32 % de 420 =
32 de 420 = 32 · 420 / 100 = 134,4 100
Ej. Un jersey de 30 € tiene un 15% de rebaja. ¿Cuánto pagaré por el jersey? Calculamos el 15% del precio del jersey 15% de 30 = 15· 30 / 100 = 4,50 E Restamos el descuento al precio del jersey 30 – 4,50 = 25,50 € pagaré por el jersey
ALGUNOS PORCENTAJES FÁCILES DE CALCULAR. * El 100% es la cantidad total * El 75%. Son tres cuartos del total. 75% de 25= 25 · 3 : 4 = 18,75 * El 50%. Es la mitad de una cantidad. 50% de 30 = 30:2 = 15 * El 25/. Es la cuarta parte de una cantidad. 25% de 50 = 50 : 4 = 12,5 * El 33%. Es, aproximadamente, la tercera parte. 33% de 18 = 18: 3 = 6 * El 10%. Es la décima parte. 10% de 43 = 43:10 = 4,3 * El 5%. Es el resultado de dividir la cantidad entre 20. 5% de 20 = 20:20 = 1 * El 1%. Es la centésima parte del total. 1% de 526 = 526:100 = 5,26 Podemos calcular cualquier porcentaje, rápidamente, multiplicando la cantidad por el número decimal que nos resulta de la fracción centesimal 54% de 250 = 0,54 · 250 = 135
TEMA 7. EJERCICIOS 1 . C a l c u l a l a r az ó n en t r e e s t a s p a r e j as d e nú m e r o s : 2 1 y 7; 3 6 y 1 8 ; 1 2 5 y 2 5 ; 2 y 8; 2 5 6 y 6 4 ; 1 0 y 5 0 ; 3 y 6 0 . 2 . O r d e n a l a s si g ui e n t e s f r a c c i o n e s , d e m a y o r a m e n o r , d e p e n d i e n d o d e l a r a z ó n qu e h a y en t r e s u s n ú m e r o s .
24 6
24 8
12 6
9 6
8 2
5 20
3 . B u s c a l a s t r e s p a re j a s d e n ú m e r o s má s p e q u e ñ a s c u y a r a z ó n s e a 6 . 4 . C u a n d o v e s e l s í m b o l o % e n u n a t i e n d a , j u n t o a l a p a l a b r a R E B A J A S, ¿ q u é s ig n if i c a d o t ie n e e l s í m b o l o ? 5. “La
razón
entre
dos
números
siempre
es
un
número
entero
o
un
d e c i m a l e x a c t o ” . E s t a a f i r m a c i ó n es f a l s a. P o n u n e je m p l o q u e d e m u e s t r e la falsedad. 6 . C o m p r u e b a s i l o s si g u i e n t e s p a r e j a s d e n ú m e r o s f o r m a n u n a p r o p o r c i ó n numérica 2y 4; 6 y 8
3 y 5;7 y 9
1 0 y 2 0 ; 2 0y 4 0
7 . B u s c a u n c u a r t o nú m e r o p a r a c o n s e gu i r f o r m a u n a p r o po r c i ó n n u m é r i c a con los otros tres. 4, 8, 12… 5, 10, 15… 7, 14, 21… 4, 9, 12… 3, 7, 9… 4, 6, 8… 1, 9, 2…
8 . ¿ Q u é m a g ni t u d e s se r á n d i r e c t a m e n t e p r o p o r c i o n a l e s ? L o s l i t r o s d e g a s o li n a y e l p r e c i o qu e p a g a m o s p o r e l l a . E l p e s o d e u n n i ñ o y su e d a d . L o s l i t r o s d e ag u a y l a c a n t i d a d d e b o t e l l a s p a r a e m b ot e l l a r l a . E l p r e c i o d e u n m e n ú y e l di n e r o q u e p a g a u n g r u p o d e p e r s o n a s . L a l o n g i t u d d e u n c i r c u i t o y l o s k i l óm e t r o s q u e s e r e c o r r e n e n é l L o s d í as d e l a s e m a n a y l a c a n t i d ad d e l l u v i a q u e c a e . L a v e l o c i d a d d e l v ie n t o y l a c a n t i d a d d e e n e r g í a e ó l i c a . L a e d a d d e u n a p er s o n a y l a a l t u r a qu e p u e d e s a l t a r . 9 . E n t r e t r e s c a m i o n e s i g u a l e s t r a ns p o r t a n 2 7 2 4 3 K g d e a r e n a . ¿ C u á n t os k i l o s d e a r e n a p o dr á n l l e v a r e n t r e 7 c a m i o n e s ? 1 0 . E n d o s h o r a s , u n e m b a l s e a r r o j a 7 0 0 0 0 l i t r o s d e a g u a . ¿ C uá n t o s litros arrojará en cinco horas? 11. En una jornada de ocho hora s, un equipo de trabajo coloca 24600 ladrillos.
Si
empezaron
a
t r a b a j ar
a
las
nueve
de
la
mañana,
¿cuántos ladrillos habían colocado a las doce del mediodía? 1 2 . L a l o n g i t u d d e u na c i r c u n f e r e n c i a e s d i r e c t a m e n t e p r o p o r c i o n a l a l radio de la circunferencia, con la fórmula L = 2·π· r, siendo L la longitud de la circunferencia y r el radio de la misma. Calcula la l o n g i t u d d e u n a c i rc u n f e r e n c i a d e 8 cm d e r a d i o . (u s a π = 3 . 1 4 ) 13. Un bote de 0,25 Kg de café cuesta 3,50 € y el de 0,45 Kg cuesta 5 , 8 5 € . ¿ E n q u é ca s o e s m á s c a r o e l c a f é ? 14.
Mi coche gasta 5,2 l de gasolina cada cien kilómetros. ¿Cuánta
gasolina gasto para venir a trabajar si debo hacer dos viajes de 2 1 , 3 6 K m ? R e su e l v e c o n r e g l a d e t r e s .
Resuelve con regla de tres 1 5 . S e i s k i l o s d e b o m b o n e s c u e s t a n 7 2 e u r o s . ¿ Cu á n t o c os t a r á n c u a t r o kilos? 1 6 . U n o b r e r o f ab r i ca 2 0 0 p i e z as e n c u a t r o h o r a s . Si t r a b a j a o c h o h o r a s d i a r i as , ¿ cuá n t a s p i e z as f ab r ic a r á e n v e i n t e d í as d e t r a b a j o ? 17. Con
doce
kilos
de
manzanas
se
obtienen
siete
litros
de
z u m o.
¿ C u á n t o s l i t r o s s e o b t e n d r á n c o n c i en k i l o s d e m a n z a n as ? 1 8 . C i n c o k i l ó m e t r o s d e a u t o p i s t a c u e s t an 9 m i l l o n e s d e e u r o s . ¿ C uá n t o c o s t a r á n 3 2 k i l ó m et r o s ? 1 9 . O c h e n t a C D ´ s v í rge n e s c u e s t a n 6 0 €. ¿ C u á n t o t e n d r é q u e p a g a r p o r noventa CD´s? 2 0 . E n u n a s e m a n a h e h a b l a d o 2 5 2 mi n u to s p o r t e l é f o n o . ¿C u á n t o t i e m p o h a b l a r é e n d i ez d ía s ? ( S e s u p o n e que t o d o s l o s d í a s ha b l o l o m i s m o ) 2 1 . U n c o c h e r e c o r r e e n s e is h o r a s 48 0 K m . S i n o p ar a s e , ¿ c u á n t o s kilómetros recorrerá en siete horas? 22. Un
g r i f o m a n a 3 2 4 0 l i t r o s p o r ho r a . ¿ C u á n t o s l i t r o s m a n a r á e n
v e i n t i c i n c o m i n u t o s? 2 3 . T r e s p a q u e t e s d e g a r b a nz o s p e s a n un k i l o y m e d i o . ¿ C u á n t o p e s a r á n catorce paquetes? 2 4 . S i a l o s o n c e a ñ o s m i d e s 1 , 4 5 m, ¿ sa b e s c u á n t o m e d i rá s a l o s 3 3? 25. Cinco ovejas producen un kilo y medio de lana. ¿Cuántos kilos de l a n a r e c o g e r á u n pa s t o r s i t i e n e d o sc i e n t a s d o c e o v e j a s ? 2 6 . T r e s c a m i o n e s t ra n s p o r t a n 4 2 0 3 Kg d e a r e n a . ¿C u án t o s k i l o s d e arena transportan veinte camiones? 2 7 . L o s o n c e t i t u l a r e s d e u n e q u i p o de f ú t b o l c o b r a n 3 8 5 0 0 0 € . S i todos
cobran
jugadores?
igual,
¿cuánto
cobrará
la
plantilla
de
veinticinco
28. Completa Fracción
26 100
Número decimal
Porcentaje
0,26 0,53 2% 0,98 50%
1 100 2 9 . A u n a m o t o c u y o p r e c i o e r a d e 5 . 0 0 0 € , h ay q u e a ñ a d i r l e e l 2 1 % d e I V A . ¿ C u á n t o c u e st a e n r e a l i d a d ? 3 0 . A l a dq u i r i r un v e h í c u l o c uy o pr e c i o e s d e 8 8 0 0 € , n os h a c e n un d e s c u e n t o d e l 7 . 5 % . ¿ C u á n t o h a y q ue p a g a r p o r e l v e hí c u l o ? 3 1 . A l c o m p r a r u n m o n i t o r q u e c u e s ta 4 5 0 € n os h a c e n u n d e s cu e n t o d e l 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar? 3 2 . S e v e n d e u n a r t í c u l o c o n u n a g a n a n c i a d e l 1 5 % so b r e e l p r e c i o d e costo. Si ha costado 80 €, halla el precio de venta. 33. Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra h a a s c e n d i d o a 180 € p a r a ga n a r a l v e n d e r l o e l 1 0 % . 3 4 . ¿ Q u é p r e c i o de v e n t a h e m o s d e p o n e r a u n a r t í c u lo c o m p r a d o a 2 8 0 € , p a r a p e r d e r e l 1 2 % s o b r e e l p r e c io d e v e n t a ? 35. Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €. 36. En una tienda ofrecen el pan de 70 céntimos con un descuento del 20%. ¿Cuánto pagarás si quieres comprar 25 panes?
37. En un colegio de 256 alumnos, aprueban todas las asignaturas 186. ¿Qué porcentaje del alumnado lo aprueba todo? ¿Qué porcentaje no lo aprueba todo? Planteamos el problema con una regla de tres. 256 alumnos 186 alumnos
100% de alumnado X (porcentaje de aprobados)
X = 186 · 100 : 256 = 72,66 % de alumnos lo aprueban todo, (resultado aproximado a la centésima) Como el total de alumno es el 100% 100 – 72,66 = 27,34% no aprueban todo 38. En una huerta se recogen 192 kilos de patatas. 144 kilos se dedican al consumo de la casa y el resto de patatas se siembran para la siguiente cosecha. Calcula los porcentajes de patatas dedicadas al consumo y a la siembra? 39. En una biblioteca con 850 libros, 425 son de infantiles, 340 son juveniles y 85 es literatura para adultos. ¿Qué porcentajes corresponde a cada edad? 40. En un traslado de edificio, se estropearon 51 libros, de la biblioteca del problema anterior. ¿Qué porcentaje de libros se han perdido? 41. En el año 2010 había en Cantabria casi 592000 habitantes, de los que 183000 viven en Santander y 56000 en Torrelavega. ¿Qué porcentaje de la población vive fuera de estas dos ciudades? 42. Una persona que gana 1700 € mensuales, destina 350 € al ocio, 1200 € a gastos de la casa y comida y el resto lo ahorra. ¿Qué porcentaje de ahorro tiene esa persona?
43. En sexto curso hay 37 alumnos. Son el 9,66% del total de los alumnos del colegio. ¿Cuántos niños hay en el colegio? Planteamos el problema con regla de tres 37 alumnos
9,66 %
X alumnos
100 %
X = 37 · 100 : 9,66= 383 alumnos 44. Una persona consigue ahorrar el 9% de su sueldo anual. Si ha ahorrado 1620€, ¿Cuánto dinero gana en un mes? 45. La población de Ribamontán al Mar es aproximadamente el 0,70 % de la población de Cantabria. ¿Cuántos habitantes hay en R. al Mar? 46. Un hostelero compra seis kilos de café, pagando 20 € por kilo. Con todo ese café puede hacer 100 dosis y las quiere servir con un beneficio del 125%. ¿Cuánto tiene que cobrar por cada café? 47. Un amigo mío compró una moto vieja por 120 €. Compró las piezas que le faltaban por 30 € y vendió la moto arreglada por 450 €. ¿Qué porcentaje de beneficio sacó por la moto? 48. En un restaurante se venden las bebidas con un beneficio del 250%. Si un botellín cuesta 22 céntimos, ¿cuánto dinero ganará en un mes, vendiendo 50 botellines diarios? 49. Una fábrica de ladrillos los vende a 6 céntimos. Una partida de un millón de ladrillos le sale defectuoso y los ofrece con un 60% de descuento. ¿Cuánto cobrará por esa partida de ladrillos? 50. Un barco de pesca está tres días en alta mar, pescando diariamente 840 Kg de merluza. Cuando vuelve a puerto vende el 90% del pescado a 3,50 € el kilo. Si paga el 15 % de impuestos, ¿cuánto dinero le deja la venta del pescado?