UNIDAD 1. NÚMEROS Y OPERACIONES Seguramente recuerdas cómo se hacen todas las operaciones. Si no te acuerdas, no te preocupes, que las repasamos. Lo que sí conviene tener en cuenta son las propiedades que tienen, o que no tienen, las operaciones. Acuérdate:
Suma
Resta
Los números que se suman son los sumandos
El número que se coloca en primer lugar es el minuendo y el que resta es el sustraendo. El resultado es la diferencia.
Propiedad conmutativa: El orden en que se suman los sumandos no varía el resultado. Ej 3+5=5+3=8 No tiene propiedad conmutativa. En la suma el elemento neutro es el cero. 5+ 0 = 5 Propiedad de cerradura. Cuando se suman dos números naturales, el resultado es otro número natural
El elemento neutro es el cero. 9 – 0 = 9 No tiene propiedad de cerradura, como ya veremos en uno de los siguientes temas. Prueba de la resta. Diferencia + sustraendo = minuendo
Multiplicación Los números que se multiplican son los factores Propiedad conmutativa: El orden en que se multiplican los factores no varía el resultado. Ej 3 · 5 = 5 · 3 = 15 En la multiplicación el elemento neutro es el uno. 6· 1 = 6
División Los cuatro números que tienes que reconocer son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. No tiene propiedad conmutativa. El elemento neutro es el uno. 3:1 = 3 Prueba de la división
Dividendo = divisor · cociente + resto Propiedad de cerradura. Cuando se multiplican dos números naturales, el resultado es otro número natural.
¿Te acordabas?. ¿No? Menos mal que SuperMático está aquí para ayudarte. Como ves, no sólo Mortadelo se sabe disfrazar. Ahora vamos a practicar un poco.
UNIDAD 1. EJERCICIOS. 1. El “niño bruto” ha dejado resueltas estas operaciones. Sabemos que cuatro de ellas están mal. Encuéntralas y corrígelas. 875 + 8540 + 4835= 14250 9094 + 8745= 17839 57489 – 9869= 67358 374890 – 328579= 26311 19876 · 102= 2027352 4392 · 93= 409456 98757: 9 = 10973 28428 : 38 = 748 resto 42
2. En un restaurante se sirve una mesa con cuatro personas. Cada una de ellas come un primer plato de 5 €, un segundo de 8 € y un postre de 4 €. ¿Cuánto pagan en total?
3. Si la comida del problema anterior se paga con un billete de 200 €, ¿cuánto habrá que devolver?
4. Tengo que pagar un coche en tres plazos. El primero es de 2500 €; el segundo es el doble que el primero y el tercer plazo es el triple que el segundo. ¿Cuánto me cuesta el coche?
5. En una familia hay tres hermanas. Lucía tiene quince años. La edad Marta es un tercio de la edad de Lucía. La edad de la Teresa es la diferencia de las edades de sus hermanas. ¿Cuántos años tiene cada una?
6. Las niñas del problema anterior tienen una bisabuela cuya edad es el triple de la suma de las edades de las tres, menos la edad de Marta. ¿Cuántos años tiene?
7. Si usas un zapato de la talla 39, tienes un pie de, aproximadamente, 26 cm. Si colocas tu pie, consecutivamente, 52 veces sin dejar espacios, ¿cuántos centímetros estás midiendo?
8. Queremos colocar 1440 naranjas en cajas de docena. ¿Cuántas cajas nos harán falta?
9. Una fuente mana 26 litros por segundo. ¿Cuántos litros manará cada hora?
10. Si quiero embotellar el agua manada en una hora en garrafas de ocho litros, ¿cuántas garrafas necesitaré?
11. Ahora voy a vender todas las garrafas a ochenta céntimos cada una. ¿Cuánto dinero conseguiré? Se nos ha olvidado anotar una propiedad de las divisiones. ATENCIÓN, que será necesaria en el futuro Si en una división multiplico el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente NO VARÍA, pero el resto queda multiplicado por el mismo número. Si en una división divido el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente NO VARÍA, pero el resto queda dividido por el mismo número.
Dividendo
divisor
cociente
resto
36
7
5
1
72
14
5
2
375
15
25
0
75
3
25
0
Es el turno de que Mático Bros te ayude a recordar cómo hacíamos las operaciones básicas con número decimales. Seguro que muchas de las cosas que digamos las recuerdas.
Suma y resta de números decimales. Para sumar y restar números decimales nos tenemos que fijar atentamente en la colocación de las cifras, poniendo atención de que coincida cada una de ellas. Es decir, décimas con décimas; centésimas con centésimas… Si en alguno de los números no existe una cifra, podemos poner un cero si nos ayuda a ver mejor el número.
TEN MUCHO CUIDADO, PARA QUE TODAS LAS COMAS DECIMALES ESTÉN EN LA MISMA COLUMNA
Multiplicación de números decimales. En una multiplicación puede haber números decimales en uno de los factores o en los dos. La operación se hace igual en los dos casos. Para hacer la operación, simplemente multiplicamos como si no hubiese decimales y, al terminar, ponemos en el resultado tantos decimales como los que haya en los dos factores.
División con números decimales Si recuerdas, cuando dividimos con decimales, se nos presentan varios casos, dependiendo de dónde haya números decimales. En cualquier caso podemos dividir, excepto cuando hay decimales en el divisor. En ese caso, tenemos que transformar los números para que desaparezcan los decimales del divisor y operar sin dificultades. Cuando no tenemos decimales en el divisor, operamos con normalidad. Simplemente colocamos una coma decimal en el cociente en el momento de “bajar” la primera cifra decimal del dividendo (si la hay)
Tampoco nos resulta fácil “sacar” decimales en el cociente. Solamente hay que añadir ceros al resto, tantos como cifras decimales queramos.
Si tenemos decimales en el divisor, los tenemos que quitar. Para ello “corremos” la coma decimal del divisor hacia la derecha, hasta que desaparezca. Si en el dividendo también hay una cifra decimal, movemos la coma los mismos lugares que en el divisor. Si no hay cifras decimales, añadimos ceros al final de la cifra, tantos como decimales hayamos eliminado del divisor.
Para “correr” estas comas hacia la derecha, hemos usado la propiedad de la división que dice que si multiplico el dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente no
varía. Observa que ,en el primer caso hemos multiplicado 18,247 y 4,25 por 100, dando como resultado 1824,7 y 425.En el segundo caso multiplicamos dividendo y divisor por 10. Cómo ves, no es magia. Movemos los números aprovechando las propiedades de las operaciones.
12. Tengo tres cajas de fruta que pesan, cada una, 2,145 Kg, 5,104 Kg y 3,58 Kg. ¿Cuánto pesan, en total, las tres cajas?
13. Cada kilo del problema anterior lo vendo por 1,32 €, ¿cuánto dinero sacaré por la fruta? (Recuerda que los euros sólo usan dos decimales)
14. Si me pagan la fruta con un billete de 20 €, ¿cuánto dinero devolveré?
15. Compro una camiseta de 14,95 € y un pantalón de 29,95 € con un billete de 50 €. Me dan de vuelta un billete de 5 € y dos monedas de cinco céntimos. ¿Es correcto?
16. Si embotello 30 litros de agua en botellas de litro y medio, ¿cuántas botellas me harán falta?
17. Una fábrica de cemento produce 3100,80 Kg de cemento por día. Al cabo de una semana carga todo el cemento producido en camiones. Si cada camión carga 3617,6 Kg de cemento, ¿cuántos camiones harán falta para transportar toda la producción?
18. Un refresco se puede comprar de dos formas. En la primera oferta, seis latas cuestan 3,36 €. En la segunda oferta, una docena de latas cuesta 6,48 €. ¿En qué oferta sale más barata la lata de refresco?
19. En una pescadería he comprado un rodaballo de 4,9 Kg por 129,85 €. ¿Cómo se llamaba el pescador? NOOOO, ahora en serio, ¿cuánto cuesta un kilo de rodaballo?
20.Si el “pescadito” del problema anterior lo pagamos con tres billetes de 50 €, calcula la vuelta que nos tienen que dar.
21. ¿Cuánto es la mitad de medio euro?
Operaciones combinadas En algunas ocasiones nos vamos a ahorrar tiempo si, en lugar de hacer varias operaciones una a una, las combinamos en una sola. De esta manera podemos hacer dos o más de las operaciones necesarias para resolver los problemas, en un solo paso. Tenemos que tener en cuenta lo siguiente: 1 . O pe r ac i o n e s c om b i n a da s si n pa r é nt e si s 1 . 1 Co m b i n a c i ó n d e su ma s y d i fe r e nc ia s. 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = C o m e nz an d o p or l a iz q u i er da , va m o s efe c t u a n d o la s o p er ac i o n e s se gú n a p ar ec e n . = 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7 1 . 2 Co m b i n a c i ó n d e su ma s, r e sta s y p r o d u ct o s. 3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 = R ea l iz am o s p r i me r o l o s p r o d uc t o s p or te n e r ma y or p r i o r i da d . = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = E f e c t ua m o s la s su ma s y r e st a s. = 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15 1 . 3 Co m b i n a c i ó n d e su ma s, r e sta s , pr o d u c t o s y d i vi si o n e s. 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 = R ea l iz am o s l o s p r o du c t o s y c o c i e nt e s e n e l or d e n e n e l q u e l o s e n c o n tr am o s p or q u e l a s d o s o p er ac i o n es t i e n e n la mi sm a p r i o r i da d . = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = E f e c t ua m o s la s su ma s y r e st a s. = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
2 . O pe r ac i o n e s c om b i n a da s c o n p a r é nt e si s (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 2)= R ea l iz am o s e n pr im er lu gar la s o pe r ac io n e s c o n t e n id a s e n e ll o s . = (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 2 )= Q u i t am o s p a ré n t e si s r ea l iz a n d o la s o pe r ac i o n e s. = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 8 = 24 3 . O p e ra ci o n e s c o m b i na da s c o n pa r é nte si s y c o r c he t e s [ 1 5 − ( 2 − 1 0 : 2 ) ] · [ 5 + ( 3 ·2 − 4 ) ] − 3 + ( 8 − 2 · 3 ) = P r i me r o o p er am o s c o n l a s p ot e nc i a s, p r o d u ct o s y c o c i e nt e s d e l o s p a ré n t e si s. = [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) = R ea l iz am o s l a s sum a s y r e sta s d e l o s p a r é nt e si s . = [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2= E n v ez d e p o n er c or c h e t e s p o n dr e m o s p ar é n t e si s d ir ec ta m e n t e: = ( 1 5 − 3 ) · ( 5 + 2) − 3 + 2 = O p er am o s e n l o s c o r ch e te s . = 12 · 7 − 3 + 2 M u lt i pl i ca m o s . = 84 − 3 + 2= Re st a m o s y su m am o s . = 83 Mmm. Interesante forma de ganar tiempo. Veamos si lo han entendido. Pasemos a la práctica
22.Resuelve las siguientes operaciones combinadas 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 = (1 3 − 8 )+ (5 − 2 ) = 2 7 + 3 · 5 – 16 = 2 7 + 3 – 45 : 5 + 1 6 = (2 · 4 + 1 2 ) ·(6 − 4 ) = 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 = 3 · 9 + (6 + 5 – 3 ) – 12 : 4 = 9 − [ 12 − 2 − (1 1 − 8 ) − 3 + 4 ] + 5 = 9 : (6 : 2 ) = (1 2 + 6 - 5 · 3 ) + 3 - (5 - 8 : 2 ) = (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 1 − 3 + 6 ) = S ol uc iones 8
26
10
5
6
32
7
40
37
14
3
15
Plantea los siguientes problemas con una sola operación combinada 23. Un libro tiene un prólogo de 6 páginas y siete capítulos de 20 páginas cada uno. ¿Cuántas páginas tiene el libro? 24. En un colegio de 350 alumnos, cada uno tiene en su estuche tres bolis, un lápiz, dos gomas y seis pinturas. ¿Cuántos objetos guardan en los estuches los alumnos de ese colegio?
25. En un colegio hay dos sextos con 24 y 22 alumnos, respectivamente. Se van de excursión en dos autobuses iguales que llenan totalmente. a. ¿Qué capacidad tiene cada autobús? b. Resuelve el mismo problema, añadiendo a los tutores. 26. En una semana, una familia de cinco miembros gasta: 600 € de hotel, 500 € de comida y 300 € de entradas. a- Calcula el gasto por persona. b- Calcula el gasto por persona y día
27. Una familia consigue ahorrar 3 € diarios durante un año y, al final del mismo, paga los seguros del coche y el hogar que son, respectivamente, 400 € y 375 €. ¿Cuánto dinero les sobra? Indica el dato que falta en cada enunciado. propuestas y resuelve el problema.
Elígelo entre las
opciones
28. He comprado 36 bolsas de caramelos. La mitad de los caramelos son de limón y el resto de naranja. ¿Cuántos caramelos de limón he comprado? Dato que falta ………………………………………………………………………………………………… – > Cada caramelo vale 25 céntimos. – > Una bolsa tiene 2 docenas de caramelos. –> El número de caramelos de naranja y de limón son iguales. 29. Un tren viaja a 120 kilómetros por hora. En el trayecto hace cuatro paradas de un cuarto de hora y una parada de media hora. ¿Cuánto tarda en hacer el recorrido total? Dato que falta ………………………………………………………………… – > El tren sale a las doce del mediodía. –> El tren lleva 340 viajeros. – > El tren recorre una distancia de 960 kilómetros.
¿Lo tendrán claro? Lo mejor es que demos un pequeño repaso.
30. Resuelve estas operaciones combinadas 8 ·(3+2) – 10 – 20 + 2·5 = 18 – 2·8 + (3+2·4) = 9:3 + 6·2 – 15:5 – (15-5) = 13 – 8:2 + (3·5 -14) – 10 = (3+2·5) + (18:9 +4) -12 = Te doy, desordenadas, cuatro de las cinco soluciones: 20 – 7 – 2 -13 31. Un grupo de 8 amigos van al cine. La entrada les cuesta, a cada uno, 8,50 €, el refresco que van a tomar 1,50 €, pero cada uno tiene un descuento de 1,20 €. ¿Cuánto dinero pagarán en total?. 32. Quiero meter en cajas de una decena 250 naranjas y vender cada caja por 2,05 €. ¿Cuánto dinero ganaré? (Intenta plantearlo con una sola operación)
33. Intenta plantear con una operación matemática estos dos casos: a.- Dos hermanas tienen seis euros, cada una. A una de ellas le dan el doble de dinero y lo juntan todo. b. Dos hermanas tienen seis euros cada una. Lo juntan todo y después, les dan el doble.
¿En qué caso juntan más dinero?
34. Resuelve estas parejas de operaciones combinadas, y fíjate en los resultados 3 + 5·2 =
(3+5)·2 =
16 – 1 + 4·3 =
16 – (1+4)·3 =
3 + 4·2 – 4:2 =
(3 + 4)·(2- 4:2) =
8–3+5=
8 – (3+5) =
35. Inventa un problema que se resuelva con esta operación combinada 6 + 6·2 -8
36. Queremos vaciar una piscina de 38880 litros, con una máquina que expulsa 4,5 litros cada segundo. ¿Cuántas horas tardaremos?
37. Las últimas… de momento. 20 – 3 · (7 – 4) = 25 – 4 · 2 + 7 = 4 · (3 + 5) – 3 · (10 – 4) = 45 + 6 · 3 – 4 · 7 = 30 – 5 · 5 + 12 = 42 + 9 · 5 – 26 =
38. Relaciona los problemas de la derecha con las soluciones de la izquierda S e t i e n e n 2 4 c aja s c o n 2 5 b o l sa s d e c afé c a da
557,75
u n a . S i c a da b o l sa p e sa 0 , 6 2 k g, ¿c u ál e s e l p e so d e l ca fé ?
16,4
U n a j ar r a vac í a p e sa 0 , 6 4 k g, y l l e na de a gu a 1 , 7 2 8 k g. ¿ C uá n t o p e sa e l a gu a ? D e u n d e p ó si t o c o n a gu a se sa ca n 1 8 4 , 5 l y
372
d e sp u é s 1 2 8 , 7 5 l , fi na lm e n t e se sac a n 8 4 , 5 l. Al f i n a l qu e d a n e n e l d ep ó si t o 1 60 l. ¿ Q u é c a nt i da d d e a gu a ha b í a el d ep ó si t o ?
5,63 1,088 0,15
2,5 + 3 · 4,8 – (6,3 – 5,8) = 10 : 2,5 + 3,25 – 7,1 = (8,65 + 3,08 ) – 2 · 3,05 =
Aunque pienses que ya eres mayor para estas cosas, pasa un rato coloreándome.