UNIDAD 2. POTENCIAS Y RAÍCES
Os voy a leer una curiosa leyenda hindú.
Hace mucho tiempo reinaba en la India un príncipe llamado Iadava. Sus amigos estaban muy preocupados por él, pues últimamente estaba siempre triste. Hasta la aldea de Lahur Sessa, llegó la noticia de la tristeza del monarca. Así pues Lahur Sessa inventó un juego ("el ajedrez") que pudiera distraerlo y alegrar su corazón. Sessa explicó al rey Iadava, a los visires y cortesanos las reglas del juego. Era un gran tablero cuadrado dividido en 64 casillas. Sobre él se colocaban dos series de piezas, unas blancas y otras negras. Las formas de las figuras se repetían simétricamente y había reglas curiosas para moverlas. Iadava quedó impresionado por el ingenio de Sessa y le ofreció una bolsa llena de oro o un arca repleta de joyas o palacios o tierras... pero Lahur "sólo" le pidió granos de trigo: Un grano por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta, y así doblando sucesivamente hasta la última casilla. Al oír la petición de Sessa todos rieron, Iadava aunque extrañado, llamó a los algebristas de su corte para que hicieran el cálculo del nº de granos que debía entregar al brahmán. Cuando éstos hicieron el cálculo, vieron, asombrados, que no había trigo en el reino para pagar esa cantidad.
Cuando conozcas las potencias, comprendrás lo ingenioso que era Sessa
La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: BASE a y EXPONENTE n. Se escribe an, y se lee: «a elevado a n», donde a es la base y n es el exponente 45 se lee “cuatro elevado a cinco” o “cuatro a la quinta” 39 se lee “tres a la nueve” o “tres a la novena”
Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar la base por sí misma varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.
Por ejemplo: 24= 2·2·2·2 = 16 33=3·3·3 =27
Las potencias cuyo exponente es dos, se llaman cuadrados y es el resultado de multiplicar un número por sí mismo:
22=4
32=9
42=16
52=25
72=49
82=64
92=81
102=100
23=8
62=36
Las potencias cuyo exponente es tres, se llaman cubos 33=27
43=64
53=125
Potencia de exponente 0
Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad: 10=1
20=1
450=1
360=1
Potencia de exponente 1
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base: a1=a
211=21
311=31
121=12
OPERACIONES CON POTENCIAS Multiplicación de potencias de igual base El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes): am · an = am+n
Ejemplos:
32·35 =37
98·93=911
265·2613=2618
División de potencias de igual base La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos Ejemplo:
36:34=32
am:an=am-n 59:52=57
265:262=263
Potencia de un producto La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a n: (a·b)n =an·bn
(3·2)5 = 35·25
(2·3)2 =22·32= 4·9=36
Nuestro sistema de numeración es decimal. Es decir que agrupamos todas las cantidades en grupos de diez. Así 10 unidades hacen una decena; diez decenas hacen una centena; diez centenas es una unidad de millar… Todos estos agrupamientos los podemos hacer usando potencias de base 10 100=1
UNIDAD
101=10
DECENA
102=100
CENTENA
103=1000
U. DE MILLAR
104=10000
DECENA DE MILLAR
105=100000
CENTENA DE MILLAR
106=1000000 U. DE MILLÓN Esto nos puede ayudar para hacer descomposiciones, sobre todo de números grandes. Ej. 26 = 2·10 + 6 =2·101 + 6·100 354 =3·100+ 5·10 + 4 = 3·102 + 5·10 + 4·100 265467 = 2·100000 + 6·10000 + 5·1000 + 4·100 + 6·10 + 7=2·105 + 6·104 + 5·103 + 4·102 + 6·10 + 7
Concepto de raíz. En la figura superior vemos el suelo de una habitación cuadrada que tiene 100 baldosas. ¿Cuántas baldosas tendrá por cada lado? Para resolver este problema habrá que hallar un número que elevado al cuadrado sea 100. Es el 10 porque 10 x 10 = 100; 102 = 100. Por tanto, la raíz cuadrada de 100 es 10. Elementos de la raíz.
El número 36 es el cuadrado de 6. También podemos decir que 6 es la raíz cuadrada de 36. El signo se llama signo radical. En el ejemplo anterior el 36 se llama radicando; el 6 es la raíz cuadrada y es el signo Raíces cuadradas exactas. radical. Cuando un número natural se eleva al cuadrado obtenemos los cuadrados perfectos. El 36 es el cuadrado perfecto de 6; también podemos decir que 6 es la raíz cuadrada de 36. Raíz cuadrada entera. Si queremos hallar la raíz cuadrada de 46 nos encontramos que no es un cuadrado perfecto, ya que es mayor que 36 (6 2) y menor que 49 (72). La raíz de 46 tendrá una parte entera, 6 y un resto. Raíz cuadrada entera de un número es la raíz del mayor cuadrado perfecto contenido en él. En este caso al cuadrado de 6 (36) le faltan 10 para llegar a 46. 46 -36 = 10. El número 10 se llama resto.
TEMA 2. EJERCICIOS. 1. Escribe cómo se leen las siguientes potencias 98
87
1523
762
25
103
2. Escribe en forma de producto las siguientes potencias 23= 2·2·2 45
38
92
74
510
66
3. Escribe en forma de potencia los siguientes productos 4·4·4·4·4·4·4 = 47 8·8·8·8 23·23·23 2·2·2·2·2·2·2·2 12·12·12·12·12·12 9·9·9·9·9·9·9·9·9·9 4. Calcula el cuadrado y el cubo de los siguientes números 8
7
10
15
5. Relaciona cada potencia con su resultado 25
65536
52
729
84
32
48
216
36
25
63
4096
5
11
6. Calcula el valor de 101, 102, 103, 104, 105 y 106
7. Completa el cuadro Base
Exponente
Potencia
Resultado
Se lee
2
4
24
16
Dos a la cuarta Tres al cubo
82 2
5
6
6
23
1
8. Un señor le ofreció al dueño de un restaurante 8 € por una comida que costaba 150 €. El dueño del restaurante le dijo que sólo aceptaba si lo elevaba a la potencia del día en que estaban. El señor, sin pensarlo, aceptó. Era el 5 de febrero. ¿Hizo buen negocio el dueño del restaurante?
9. En cada generación tiene un número de antepasados que es la potencia de dos. ¿Cuántos antepasados tenías hace 8 generaciones?
10. Copia estas curiosidades de los cuadrados y los cubos ¿Qué observas? 12 = 1 22 = 1 + 3 32 = 1 + 3 + 5 42 = 1 + 3 + 5 + 7 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
13 = 1 23 = 3 + 5 33 = 7 + 9 + 11 43 = 13 + 15 + 17 + 19 53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29
11. Escribe los prefijos Kilo (1000), Mega (1000000), Giga (1000000000) y Tera (1000000000000) en forma de potencia.
12. Escribe en forma de número 103, 105, 106, 102, 101, 100,
1010, 109, 1011
13. Descompón los siguientes números. Fíjate en el ejemplo. 23564 = 2·10000 + 3·1000 + 5·100 + 6·10 + 4 =2.104 + 3·103 + 5·102 + 6·10 + 4 98372 7098
128172
126
874158
1256892
14. Relaciona cada número con su descomposición 2563
2·104+6·10+5
1065
106+2·10+3
20065
2·103 + 5·102 + 6·10 +3
87459
5·107+2·106+3·105+6·104+5·103+4·102
1000023
3·104+5·103+9·102+8·10+7
698426
103+6·10+5
52365400
6·105+9·104+8·103+4·102+2·10+6
35987
8·104+7·103+4·102+5·10+9
15. Un año-luz es la distancia que recorre un rayo en un año y son aproximadamente 9460000000000 Km. Escríbelo en forma de potencia de 10
16. Con pequeños cubitos hemos construido un cubo grande que tiene 10 cubitos de lado. ¿Cuántos cubitos contiene el cubo grande?
17. Escribe en forma de una sola potencia 25·28 36·34 63·65·67 98·92 74·72 45·43 18. Escribe en forma de una sola potencia y calcula 98:96 25:24 36:33 84:82 77:75 29:25 19. Expresa el resultado como un producto de potencia
20. Estás jugando a adivinar. Tu compañero te dice: piensa una potencia que vale 16 y su base es 2; adivina el exponente. 21. Jugando a adivinar: piensa una potencia que vale 1000 y su base es 10. ¿Cuál es el exponente? 22. Completa la tabla, con los cuadrados de los veinticinco primeros números. número cuadrado número cuadrado número cuadrado número cuadrado número cuadrado
1
1
6
11
16
21
2
4
7
12
17
22
3
8
13
18
23
4
9
14
19
24
5
10
15
20
81
169
400
484
25
23. Una pista que te puede ayudar para calcular raíces cuadradas: los cuadrados de los
números
que
terminan
en
cero,
también
acaban
en
cero.
Completa
terminaciones Termina en
Su cuadrado termina Termina en
0
0
Su cuadrado termina
5
1
6
2
7
3
8
4
9
9
24. Calcula las siguientes raíces cuadradas (todas son exactas)
25
36
400
1225
49
1024
441
3600
2500
las
25. Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números (con resto)
39
79
259
189
903
50
86
500
26. Una niña le dice a otra: “la edad de mi abuelo es un cuadrado perfecto, mayor de 70 y menor de 100, y la mía es la raíz cuadrada de la edad de mi abuelo”. ¿Qué edad tienen abuelo y nieta? 27. Calcula las siguientes raíces (con y sin resto)
√0
√55
√33
√3
√47
√25
√46
√44
√8
√49
√56
√2
√45
√43
√51
28. Un señor tiene dos nietas de 8 y 6 años. La primera es la raíz cuadrada de su edad y la segunda es el resto de dicha raíz. ¿Qué edad tiene ese señor? 29. La edad de la niña pequeña del problema anterior es la raíz cuadrada de la edad de su madre y la edad de la niña mayor es el resto de esa misma raíz. ¿Qué edad tiene la madre?
30. Una habitación perfectamente cuadrada tiene 256 azulejos. Cada azulejo mide 25 cm de lado. ¿Cuántos metros mide, de lado, la habitación? 31. Al poner las baldosas de una habitación cuadrada, compramos quince cajas de 16 azulejos. Ocho azulejos vienen rotos y, después de colocarlos, sobran siete. ¿Cuántos azulejos ponemos en cada lado? 32. Completa el cuadro Número
146
Raíz cuadrada
Resto
14
2 2
815 926 7225
0
33. Un virus informático se transmite de forma exponencial, de forma que un ordenador contagia a dos; esos dos a otros dos y así de forma sucesiva. Una empresa cuenta con 1500 ordenadores. Si el virus avance diez “pasos”, ¿cuántos ordenadores se salvan del contagio?.
34. Si la empresa del problema anterior se gasta 25€ en arreglar cada ordenador contagiado, ¿qué perjuicio le ha supuesto a la empresa el virus informático? 35. Queremos enlosar una habitación cuadrada de 36 baldosas por lado. Si cada caja de baldosas contiene una docena y cuesta 6 €, ¿cuánto nos costará cubrir el suelo? 36. Luis tiene seis años. La edad de su padre y su madre es el cuadrado de la suya y si suma la edad de sus padres y las de sus abuelos paternos (tienen la misma edad el abuelo y la abuela), le sale el cubo de su edad. ¿Qué edad tienen los padres y los abuelos?
37. María tiene cuatro años, su hermana el cuadrado de su edad y su abuela el cubo. ¿Qué edad suman entre las tres? 38. En la familia García son cuatro hijas. Las edades de las niñas son las cuatro primeras potencias de un número. Entre todas suman la edad de la tía, que es ocho años más joven que la madre, que tiene la mitad de la edad de la abuela. La abuela tiene setenta y seis años. ¿Qué edad tienen las demás mujeres de la familia?