UNIDAD 3. MÚLTIPLOS Y DIVISORES
¿Has oído hablar de Gauss? Ya verás como, para las matemáticas, no hay edad.
Gauss fue un prodigio, de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad. Siendo apenas un niño ya asombraban sus conocimientos, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completo su Magnum Opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no seria publicada hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teoría de los números se consolidara y ha moldeado esta área hasta los días presentes. Es célebre la siguiente anécdota: con tan solo 3 años corrigió en su cabeza un error de su padre, mientras éste realizaba un conteo de pago de sus empleados, haciendo ver su precoz habilidad para los números. Tenía Gauss 10 años cuando un día en la escuela el profesor mandó sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos Gauss levantó la mano y dijo tener la solución: “los cien primeros números naturales suman 5.050”. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, etc., era constante: 1 , 2 , 3 , 4 . . . . . . . . 97 , 98 , 99 , 100 1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 = ... = 101 Con los 100 números se pueden formar 50 pares, de forma que la solución final viene dada por el producto 101· 50 = 5050
MÚLTIPLOS Y DIVISORES. Múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por otro cualquiera.
Por
ejemplo, múltiplos de tres serían: 3·2 =6
3·3= 9
3·12 =36
3· 15 = 45
Cualquier número tiene infinitos múltiplos. Divisores de un número son los números que dividen, con división exacta, a ese número. Por ejemplo, divisores de ocho serán 1, 2, 4 y 8 8:8 = 1
8:4 = 2
8:2 = 4
8:1 = 8
Un número siempre tiene como divisores al 1 y al propio número.
CÁLCULO DE DIVISORES Para calcular los divisores de un número comenzaremos dividiendo por la unidad y seguiremos por el dos, tres, cuatro, etc. Recordando que son divisores solamente si la división es exacta. Cada división que nos resulte exacta nos va a dar dos divisores: el divisor y el cociente. Habremos conseguido todos los divisores en el momento que el cociente sea igual o mayor que el divisor. Ej: Vamos a calcular los divisores de 32 32:1 = 32, luego 1 y 32 son divisores de 32 32:2 = 16; 2 y 16 son divisores de 32 32:3 no es exacta 32:4 = 8; 4 y 8 son divisores de 32 32:5 no es exacta 32:6 no es exacta y, además, el cociente es 5, menor que el divisor. Hemos acabado Los divisores de 32 son 1, 2, 4, 8, 16 y 32.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Cuando estamos buscando los divisores de un número, nos va a ayudar el conocer los criterios de divisibilidad, es decir, qué tiene que cumplir un número para ser dividido por otro. Los principales criterios que nos van a ayudar son: * Divisible entre 2. Todo número par es divisible entre dos. Son los números que terminan en 0 – 2 – 4 – 6 – 8. Ej. 246:2 = 123
50:2 = 25
97 NO ES DIVISIBLE ENTRE DOS
* Divisible entre 3. Si sumamos las cifras de un número y nos resulta un múltiplo de tres, entonces el número es divisible entre tres. Ej 243 2+4+3 = 9. 9 es múltiplo de tres; entonces 243 es divisible entre 3. 243:3 = 81 96
9+6= 15. 96 es divisible entre 3. 96:3 =31
97
9+7 = 16.
97 NO ES DIVISIBLE ENTRE TRES.
* Divisible entre 5. Todos los números que terminan en 0 o en 5. Ej 620 es divisible entre 5
545 es divisible entre 5
* Un número es divisible entre 6 si lo es, a la vez, entre dos y entre tres. * Divisible entre 9. Si sumamos las cifras de un número y nos resulta un múltiplo de nueve, entonces el número es divisible entre nueve. Ej. 918 9+1+8= 18, múltiplo de 9.
Luego, 918 es divisible entre 9
658 6+5+8 = 19
658 NO ES DIVISIBLE ENTRE 9
* Un número es divisible entre 10 solo si termina en cero. Ej . 230 es divisible entre 10 * U n n ú m e r o e s d i v i s ib l e p o r 1 1 , s i l a d i f e r e n c i a e n tr e l a s u m a d e l a s c i f r a s q u e o c u p a n l o s lu g ar e s p a r e s y l a d e l o s i mp a r e s e s 0 ó m ú l t i pl o d e 1 1 . 121
(1 + 1) - 2 = 0
4224
(4 + 2) - (2 + 4) = 0
3650
(3+5) – (6+0) = 8 – 6 = 2.
3650 NO ES DIVISIBLE ENTRE 11
LOS NÚMEROS PRIMOS. En matemáticas, un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales distintos: él mismo y el 1. Euclides demostró alrededor del año 300 a. C. que existen infinitos números primos. Se contraponen a los números compuestos, que son aquellos que tienen más de dos divisores. El número 1 no se considera ni primo ni compuesto.
Todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9.
Para conocer los números primos, menores de cien, comenzaríamos por eliminar todos los números divisibles entre dos, es decir, los pares, excepto el dos. Seguiríamos eliminado los múltiplos de tres, excepto el tres. Repetiríamos la operación con los múltiplos de cinco, excepto el cinco y los múltiplos de siete, excepto el siete. Los números que queden sin tachar son los números primos menores de cien. Completa la tabla
1
2
3
5
7
8
9
11
12
13
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
En ocasiones, necesitamos descomponer un número grande en factores. Esto es, vamos a escribir un número como si fuera un producto. Así, podemos escribir
21 = 3· 7 ó
24 = 2·3·4
Para ello, buscamos algunos de los divisores de ese número.
Si usamos solamente números primos como divisores, diremos que hacemos una descomposición en factores primos. Para hacer esto es muy importante recordar los criterios de divisibilidad y conocer los números primos, al menos hasta el 50. Ej: Vamos a descomponer el 60 Empezaremos a trabajar con el 2, haciendo todas las divisiones necesarias, hasta que nos resulte un número impar. 60:2 = 30
30:2 = 15
15 no es divisible entre dos
Después veríamos las divisiones entre 3 15:3 =5
5 no es divisible entre tres
Lo siguiente será dividir entre 5 5:5 =1. Hemos terminado. 60= 2·2·3·5
Como se repite el dos, usamos potencias 60 = 22·3·5
También podemos ponerlo en forma vertical, de la siguiente manera 90
2
45
3
15
3
5
5
1 Luego 90 = 2·3·3·5. En forma de potencia 90= 2·32·5
Un número primo no tiene descomposición en factores
Mínimo común múltiplo E s e l m e n o r d e t o d o s m ú l t i p l o s c o m un e s a v a r i os n ú m e ro s , excluido el cero. Cálculo del mínimo común múltiplo 1 . S e d e s c o m p o n e n l o s n ú m e r o s e n f ac t o r e s p r i m o s 2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente. Ejemplo Calcula el mcm de 72 y 60 72 = 23 · 32 60 = 22 · 3 · 5 m . c . m . (72, 60) = 23 · 32 · 5 = 3 6 0 Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.
M á x i m o c o m ú n d i v is o r
El número 36 es múltiplo de 12.
El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el mayor m . c . m . (12, 36) = 36
número que divide a todos exactamente. Cálculo del máximo común divisor 1 . S e d e s c o m p o n e n l o s n ú m e r o s e n f ac t o r e s p r i m o s . 2. Se toman los factores comunes con menor exponente. Ejemplo Hallar el m. c. d. de: 72 y 60. 72 = 23 · 32 60 = 22 · 3 · 5 m. c. d. (72, 60) = 22 · 3 = 1 2 12 es el mayor número que divide a 72 y 60. Si dos o más números no tienen factores comunes, entonces su m.c.d. es 1 y se dice que esos números son primos entre sí Ej 25 = 52
36 = 22·32
25 y 36 no tienen factores comunes, luego su m.c.d. es 1. 25 y 36 son primos entre sí.
TEMA 3. EJERCICIOS.
A partir de ahora, vamos a demostrar que el movimiento se aprende andando
1.
Calcula los cuatro primeros múltiplos de : 2 – 4 – 6 – 7 – 10 – 14
2.
Relaciona los números de la derecha con uno de sus múltiplos 4
35
6
27
9
121
10
78
11
4
7
50
3.
Escribe los múltiplos de 15, mayores de 100 y menores de 149.
4.
Un niño se da cuenta de que, el número de alumnos de su clase, contándole a él, es
múltiplo de 2, de 3, de 4, de 6, de 8 y de 12. ¿Cuántos alumnos hay en clase, sabiendo que tienen que ser menos de 25?
5.
¿Qué números menores de 81 son múltiplos de cinco?
6.
¿Qué números menores de 1001 son múltiplos de 100?
7.
¿Qué números son múltiplos de dos?
8.
Calcula los divisores de: 8 – 10 – 15 – 24 – 36 – 40.
9.
¿Cuáles son los divisores de: 7 – 17 – 37?
10. ¿Qué número tiene más divisores, el veinte o el dieciocho?
11. Relaciona cada número con su divisor 35
10
18
23
11
4
10
3
32
7
46
11
12. Un profesor quiere organizar la clase en grupos, para distintas actividades. Si tiene quince alumnos, ¿de qué maneras puede dividirlos en grupos?
13. Una niña quiere colocar sus libros en una estantería, de manera que pueda colocar el mismo número de libros en cada balda. Si tiene 28 libros, ¿cuántos modelos de estantería le valdrían? (Ej: le valdría una estantería de siete baldas, si coloca cuatro libros en cada una)
14. En La Magosta, un grupo de sexto tiene que hacer cucuruchos para los alumnos más pequeños. Les dan 92 castañas y les dicen que tienen que poner más de cinco en cada cucurucho y que todos los cucuruchos tienen que tener el mismo número de castañas. ¿Cómo lo hacen?
15. ¿Puede haber un número divisible entre tres y que sea múltiplo, a la vez, de siete y de ocho?
16. Teniendo en cuenta el criterio de divisibilidad, señala, sin hacer divisiones, si son divisibles entre dos: 36 – 45 – 800 – 964 – 357 – 99
17. Señala los números del ejercicio anterior que son divisible entre tres.
18. Completa la tabla, señalando los números que son divisibles Númer
Divisible
Divisible
Divisible
Divisible
Divisible
Divisible
o
entre 2
entre 3
entre 5
entre 7
entre 9
entre 11
21
No
Sí
No
Sí
No
No
86 135
Sí
468 1840 2010
No
20790
19. Escribe tres números, de cinco cifras, que sean divisibles entre nueve.
20. Escribe tres números capicúas de cuatro cifras y divídelos entre once. ¿Qué observas?
21. Un gran club de atletismo tiene 693 niños en competición. Quiere organizar equipos de nueve. ¿Pueden hacerlo?. ¿Y en equipos de once?. ¿Y equipos de siete?
22. ¿Cuál es el número mínimo necesario para organizar un torneo de baloncesto con ocho equipos?
23. ¿Cuáles son los números inferiores a 100 divisibles, a la vez, por 2, 3 y 5?
24. Di si es verdadero o falso.
El 57 es un número primo.
Los números primos son impares, excepto el dos.
Todos los impares son primos.
Como el 13 es primo, sus múltiplos son primos.
Los números primos son infinitos.
Todos los números que terminan en cinco son compuestos.
Hay más números primos entre el 1 y el 10 que entre el 80 y el 100.
25. Escribe los siguientes números como producto de números primos. Ej 35 = 5·7 40
86
26 = 2·13 91
100
75
39 = 3·13 36
15
98
24 = 2·2·2·3 49
24
26. Cuatro amigos se reúnen a comer. Le piden croquetas al camarero. Le dicen que les traiga entre 30 y 50, pero que sea una cantidad que puedan repartir exactamente, incluso si llegara un nuevo amigo. ¿Cuántas croquetas les sirvió?
27. Busca los números primos entre 100 y 150. Aplica los mismos pasos que has hecho para los menores de 100, añadiendo el 11.
28. Un niño muy egoísta lleva una tarta dividida en siete trozos, para una clase de trece alumnos, pensando que, al ser números primos no lo podrían dividir. Pero la maestra hizo una división exacta. ¿Cómo lo hizo?
29. Descompón, en factores primos, los siguientes números 92
25
36
74
108 432
512
726
1032 2010 5500
30. Di si las siguientes descomposiciones en factores primos son correctas y corrige las mal hechas. 35= 5·7
27=3·940=23·5
50=5·10
86=25·3
98= 24·32
31. Busca :
El número más pequeño que se pueda descomponer como el producto de tres factores
primos al cuadrado.
El número más pequeño que se pueda descomponer como producto de dos factores primos
al cubo
32. Calcula el mínimo común múltiplo de: 12 y 18
15 y 25
20 y 36
12,14 y 16
33. Calcula el máximo común divisor de: 12 y 18
25 y 40
9 y 18
25 y 49
34. De las siguientes parejas de números, señala los que son primos entre sí: 12-18 25-35 40-26 13-17 5-8
4-9 5-25
35. Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han e s t a d o l o s d o s e n B a r c e l o n a . ¿ D e n t r o d e c u a n t o s d í a s v o l v e r á n a e s t a r lo s d o s a la vez en Barcelona?
36. Si los viajeros del problema anterior coinciden en Barcelona el día de Año N u e v o , ¿ c u á l e s e l s i g ui e n t e d í a qu e se v e n ?
37. U n f a r o s e e n c i en d e c a d a 1 2 s e gu n d o s , o t r o c a d a 1 8 s e gu n d o s y u n t e r c e r o c a d a m i n u t o ¿ C a d a c u á n t o s s e g u n d o s c o i n ci d e n l a s t r e s l u c e s ?
38. Un coche tarda 150 segundos en dar una vuelta a un circuito y otro tarda 180 segundos. Una carrera va a durar 15 minutos. ¿Coincidirán en algún momento, cruzando al mismo tiempo por la meta?
3 9 . Queremos cortar cuerdas para saltar a la comba, iguales. Tenemos dos rollo de cuerda de 36 y 42 m. ¿Cuánto medirán las cuerdas, si las hacemos lo más largas posibles?
4 0 . E l s u e l o d e u n a h ab i t a c i ó n , q u e s e qu i e r e e m b a l d o s a r , t i e n e 5 m d e l a r go y 3 m d e a n c h o . Ca l c u l a e l l a d o y e l n ú m e r o d e l a b a l do s a s , t a l qu e e l n úm e r o d e b a l d o s a s q u e se c o l o q u e s e a m í n im o y q u e n o s e a ne c e s a r i o c o r t a r n i n g u n a de ellas.
41. E n u n a b o d e g a h ay 3 t o n e l e s d e v i no , c u y a s c a p a c id ad e s s o n : 2 5 0 l , 36 0 l , y 5 4 0 l . S u co n t e n i d o s e q ui e r e e n v a s a r e n ci e r t o n ú m e r o d e g a rr a f a s i g u a l e s . C a l c u l a r la s c a p a c i d a d e s m áx i m a s d e e s t a s g ar r a f a s p a r a qu e e n e l l a s s e p u e d e n e n v as a r e l v i n o c o n t e n i d o e n c a d a u n o d e lo s t o n e l e s , y e l nú m e r o d e g a r r a f a s q u e se n e c e s i t a n .
42. T e n e m o s
tres
tablones
de
12,
16 y
20
metros.
t r o z o s i gu a l e s , m ás g r a n d e s, q u e p o de m o s h a c e r ?
¿C u á n t o
medirán
lo s