UNIDAD 6. LAS FRACCIONES
Las
fracciones
son
una
de
las
formas
matemáticas más antiguas. Su uso es de hace más de cuatro mil años, por lo menos. Hoy en día, empleamos las fracciones como forma de expresión en muchos temas del día a día y las empleamos como forma de expresión coloquial, para el tamaño de envases, para recetas de cocina, etc. Mira algunos ejemplos.
Una botella medio vacía es lo mismo que una botella medio llena. ¡Sé optimista! Muchos de los relojes que hay en los campanarios dan las horas, pero también dan los cuartos y las medias. Si das una vuelta completa a la Tierra por el ecuador, sólo habrás recorrido aproximadamente una décima parte de la distancia que hay entre la Tierra y la Luna. Hay botellas de vino de 1 litro o de 2 litros, pero la mayoría son de 3/4 de litro. Hay botes de refrescos de 1/2 litro, pero la mayoría son de 1/3 de litro. Hay veces que la Luna está en cuarto creciente, y otras en cuarto menguante. Estar a media luz, ¿sabes lo que significa? De la superficie de nuestro planeta, la Tierra, las tres cuartas partes (3/4) están cubiertas por el agua de los mares y los océanos. Sólo una cuarta parte(1/4) es "tierra". El sistema solar incluye el Sol, los nueve planetas y sus satélites. Pues bien, sólo una centésima parte de la masa de todo el sistema pertenece a los planetas y sus satélites. El sol contiene 99/100 de la masa del sistema solar. Sólo 1/8 del hielo de un iceberg está por encima del agua. 7/8 están bajo el agua. Para hacer horchata se emplea 1/7 de chufas, 1/7 de azúcar y 5/7 de agua, más o menos. Hay muchos más ejemplos. Sólo tiene que mirar alrededor y darte cuenta.
Antes de comenzar a trabajar con las fracciones, sería conveniente repasar algunas cosas vistas en este curso y que nos van a hacer mucha falta.
En ocasiones, necesitamos descomponer un número grande en factores. Esto es, vamos a escribir un número como si fuera un producto. Así, podemos escribir
21 = 3· 7 ó
24 = 2·3·4
Para ello, buscamos algunos de los divisores de ese número. Si usamos solamente números primos como divisores, diremos que hacemos una descomposición en factores primos. Para hacer esto es muy importante recordar los criterios de divisibilidad y conocer los números primos, al menos hasta el 50. Ej: Vamos a descomponer el 84 Empezaremos a trabajar con el 2, haciendo todas las divisiones necesarias, hasta que nos resulte un número impar. 84: 2 = 42
42: 2 = 21
21 no es divisible entre 2
Después veríamos las divisiones entre 3 21:3 =7
7 no es divisible entre tres
Es más, 7 es un número primo. Cuando llegamos a un número primo o al 1, hemos terminado 84=2·2·3·7
Como se repite el dos, usamos potencias 84 = 22·3·7
Un número primo no tiene descomposición en factores
Mínimo común múltiplo E s e l m e n o r d e t o d o s m ú l t i p l o s c o m un e s a v a r i os n ú m e ro s , excluido el cero. Cálculo del mínimo común múltiplo 1 . S e d e s c o m p o n e n l o s n ú m e r o s e n f ac t o r e s p r i m o s 2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente . Ejemplo Calcula el mcm de 36 y 30 36 = 22 · 32 30 = 2 · 3 · 5 m . c . m . (36, 30) = 22 · 32 · 5 = 1 8 0 Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos. El número 36 es múltiplo de 12.
M á x i m o c o m ú n d i v is o r m . c . m . (12, 36) = 36
El
máximo
común
divisor,
m . c . d.
de
dos
o
más
números
es
el
mayor
número que divide a todos exactamente. Cálculo del máximo común divisor 1 . S e d e s c o m p o n e n l o s n ú m e r o s e n f ac t o r e s p r i m o s . 2. Se toman los factores c omunes con menor exponente. Ejemplo Hallar el m. c. d. de: 36 y 30. 36 = 22 · 32 30 = 2 · 3 · 5 m. c. d. (36,30) = 2 · 3 = 6 6 es el mayor número que divide a 36 y 30. Si dos o más números no tienen factores comunes, entonces su m.c.d. es 1 y se dice que esos números son primos entre sí Ej 25 = 52
36 = 22·32
25 y 36 no tienen factores comunes, luego su m.c.d. es 1. 25 y 36 son primos entre sí. Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d.
EJERCICIOS. TEMA 6. 1. Calcula los divisores (recuerda cómo hacerlo) de: 12, 18, 22, 26, 30. De todos los divisores, señalas los que son números primos.
2. Escribe los números primos menores de 50 y apréndetelos.
3. Descompón estos números en factores primos: 24 – 36 – 15 – 18 – 22 – 54 – 60.
4. Utiliza la descomposición del ejercicio anterior para calcular: m.c.m (24, 36)
m.c.d (36,15)
m.c.m (15, 18)
m.c.d (18,22)
m.c.d.(22, 54)
m.c.m.(36, 15)
m.c.d (54, 60)
m.c.m (18, 36)
5. Calcula el máximo común divisor de 15 y 22. ¿Cómo se dicen que son estos números, entre sí?
6. Calcula el mínimo común múltiplo de estas parejas : 4-32 8 – 32
16 – 32.
¿Qué observas? ¿Por qué ocurre esto?
7. Tengo dos tablones de 24 y 32 m, respectivamente. Quiero cortarlos en listones iguales, lo más largo posible. ¿Cuánto medirán estos listones? (observa las palabras clave: “cortar” “iguales” “más largo”)
8. Un fontanero tiene que colocar tuberías en una casa. Para ello, dispone de tres tozos de 12, 15 y 18 m. ¿cuánto medirán los trozos más largos que pueda hacer, si los queremos iguales. ¿Cuántos trozos serán? ¿Cuántos metros de tubería colocará?
9. E n u n a b o d e g a h a y 3 t o n e l e s d e v i n o , c u y as c a p a c id a d e s s o n : 3 0 l , 3 6 l , y 5 4 l . S u c o n t e n i d o s e q u i e r e e n v a sa r e n c i e r t o n ú m e r o d e b o t e l l a s i g u a l e s . C a l c u l a r l a s c a p ac i d a d e s m á x i m a s d e e s t a s b o t e l l a s p a r a qu e e n e l la s s e pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de b o t e l l a s q u e s e n ec e s i t a n .
10. La clase de 1º A tiene 32 alumnos y la de 1º B, 36 alumnos. Queremos distribuir los alumnos en equipos del mismo número de participantes de manera que no falte ni sobre nadie y no se mezclen los grupos ¿Cuántos alumnos podrán entrar en cada equipo como máximo?
11. Tres aviones de línea regular salen del aeropuerto cada 3 días, cada 12 días y cada 18 días. ¿Cada cuántos días saldrán los tres aviones a la vez? (ojo, éste es de mcm) 12. En una bahía hay tres faros que emiten sus destellos cada 20,25 y 30 segundos, respectivamente. Si los tres coinciden emitiendo señales a las 11 de la noche, ¿a qué hora volverán a coincidir? 13. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de las tres llaves que vierten: la 1ª 12 litros por minuto; la 2ª 18 litros por minuto y la 3ª 20 litros por minuto?
14. Tres galgos arrancan juntos en una carrera en que la pista es circular. Si el primero tarda 10 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo 11 segundos, el tercero 12 segundos, ¿al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida y cuántas vueltas habrá dado cada uno ese tiempo?
A partir de ahora, comenzamos a trabajar con las fracciones. Muchas de las cosas que vamos a ver, las conoces desde hace años. Para trabajar lo nuevo, necesitas tener claro lo que hemos visto al principio del tema. ¡Ánimo, que no hace falta ser un superhéroe!
Recuerda: Una fracción es un número que expresa partes de un todo. Los números fraccionarios o fracciones, se escriben de la siguiente manera:
3 5
5 es el denominador y nos indica en cuantas partes dividimos la unidad. 3 es el numerador y nos dice las partes de la unidad que cogemos. Las fracciones son números. Para obtener el valor numérico de una fracción, basta con dividir el numerador y el denominador.
3 = 3:5 = 0,6. 5 Dos o más fracciones pueden ser iguales, aunque no tengan el mismo numerador ni el mismo denominador. Son las fracciones equivalentes. Dos o más fracciones son equivalentes si: a.- El producto cruzado de sus términos es igual
3 6 = porque 3 · 16 = 48 y 8 16
8 · 6 = 48
b.- Si tienen el mismo valor numérico 3 : 8 = 0,375
y 6 : 16 = 0,375
Para obtener fracciones equivalentes, basta multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número
3 3·2 6 = = 5 5·2 10
14 14 : 2 7 = = 12 12 : 2 6
COMPARACIÓN DE FRACCIONES Si tenemos dos o más fracciones con el mismo denominador, será mayor la que tenga mayor numerador.
18 14 8 4 > > > 5 5 5 5 Si tenemos dos o más fracciones con el mismo numerador, será mayor la que tenga menor denominador.
18 18 18 18 > > > 5 7 10 12
Si tenemos dos o más fracciones, en las que no todas tienen el mismo numerador o el mismo denominador, para compararlas debemos buscar fracciones equivalentes, que tengan el mismo denominador. Lo veremos un poco más adelante. Las fracciones que tienen el numerador menor que el denominador son menores que la unidad y se llaman fracciones propias
4 = 0,8 5 Las fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador son mayores que la unidad y se llaman fracciones impropias
18 = 1,8 10 Las fracciones que tienen igual el numerador y el denominador son iguales a la unidad.
18 =1 18
Fracción irreducible. La fracción irreducible es una fracción equivalente a la que tenemos, pero con los números más pequeños posibles, por lo que será más cómodo trabajar con ella. Para conseguir la fracción irreducible, dividiremos entre el máximo común divisor (m.c.d.) del numerador y el denominador . Ej Halla la fracción irreducible de
36 24
Buscaremos el m.c.d de 36 y 24. Recuerda como se hace: 1. Descomponemos los números en factores primos. 36 = 22 · 32 24 = 23 · 3 2. El m.c.d. es el producto de los factores primos comunes, con el menor exponente. m.c.d. (36, 24) = 22 · 3= 12 3. Dividimos numerador y denominador por el m.c.d.
36 3 = 24 2
3 2
es la fracción irreducible de
36 24
Convertir fracciones a denominador común son primos entre sí, el m.c.d es 1 y la fracción no se OJO. Si el numerador y el denominador
8
En puede algunasreducir. ocasiones vasea puede hacer reducir falta buscar las fracciones equivalentes de dos o más Ej: nos no 9 fracciones, pero con la condición de que todas tengan un denominador común. Esto, nos va a ser útil para compararlas, sumarlas o restarlas. Hay infinitas fracciones con denominador común, a unas cuantas dadas, pero nos interesan las más pequeñas, para que sea más fácil trabajar con ellas. Haremos lo siguiente: Ej. Transforma estas fracciones a sus equivalentes con común denominador:
3 8 3 , , 2 6 4
1. El denominador común más pequeño es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Recuerda que hay que descomponer los números en factores primos y el m.c.m. es el producto de los factores comunes al mayor exponente y los no comunes 2=2 6=2·3 4 = 22 Luego m.c.m. (2,6,4) = 22 · 3 = 12 2. Para obtener el nuevo numerador, dividimos el m.c.m entre el denominador y lo multiplicamos por el numerador 12 : 2 · 3 = 18 12 : 6 · 8 = 16 12 : 4 · 3 = 9 Así las fracciones equivalentes con denominador común serán
18 12
16 12
9 12
Operaciones con fracciones. Suma y resta de fracciones con el mismo denominador. En este caso, se mantiene el mismo denominador y se suman o restan los numeradores.
18 8 13 39 + + = 12 12 12 12 8 5 3 - = 6 6 6 Suma y resta de fracciones con distinto denominador. Para realizar esta operación debemos buscar las fracciones equivalentes a las que vamos a sumar o restar, con el mismo denominador (recuerda el cuadro anterior). Una vez transformadas, trabajaremos como en el caso anterior. Ej
8 3 8 3 + ó 6 4 6 4
4 = 22
6=2·3
m.c.m (6, 4) = 22 · 3 = 12 Las fracciones equivalentes serán
16 9 y 12 12
Ya las podemos sumar o restar
16 9 25 + = 12 12 12
16 9 7 = 12 12 12 Multiplicación de fracciones Para multiplicar dos o más fracciones, simplemente multiplicamos los numeradores y los denominadores, por separado, para conseguir la fracción final.
6 9 54 · = 8 2 16
Si queremos una fracción equivalente más sencilla, hacemos la fracción
irreducible, si es posible. División de fracciones. Para dividir dos fracciones, multiplicamos en cruz. La fracción final tiene como numerador el producto del primer numerador con el segundo denominador y como denominador el producto del primer denominador con el segundo numerador
6 9 : = 8 2
6 8
9 6·2 = 2 8·9
=
12 Esta fracción también se puede simplificar 72
12 1 = , ya que si calculamos el m.c.d (12,72) = 12 72 6
15. Escribe la fracción que corresponde a las siguientes definiciones Tres octavos
doce veinteavos
dos novenos
Siete catorceavos
nueve veinteavos
seis décimos
16. Escribe el número decimal que corresponde a cada una de estas fracciones.
5 8
6 1000
2 4
8 32
12 4
31 310
3265 25
17. Calcula el número decimal que le corresponde a cada una de las siguientes fracciones y clasifícalos según el tipo de número decimal que sea
3 8
2 9
1 5
4 7
13 8
20 18
30 80
25 10
15 12
18. En una pizzería, una familia le pide al camarero veinticinco octavos de pizza. El camarero, que sabe matemáticas, les sirvió exactamente lo que le habían pedido. ¿Cuántas pizzas puso sobre la mesa?
19. Ordena, de menor a mayor, las fracciones siguientes.
8 8
2 8
4 8
5 8
13 8
12 8
20. Ordena, de mayor a menor, las siguientes fracciones
3 8
3 5
3 2
3 6
3 8
3 9
3 3 83 18
21. Busca dos fracciones equivalentes a cada una de las siguientes.
3 8
2 9
4 6
5 11
3 5
22. Calcula la fracción irreducible de
15 10
12 8
24 16
30 8
50 20
16 32
23. María dice: “ Mi padre me ha dado catorce veinteavos del dinero que tenía en el bolsillo y a mi hermano le ha dado siete doceavos, y nos ha dado la misma cantidad”. ¿Es verdad lo que dice María?
24. Transforma los siguientes tríos de fracciones, buscando fracciones equivalentes, con común denominador.
1 2 1 , , 9 6 4
2 6 6 , , 4 2 8
7 3 6 , , 12 9 15
25. Tres personas se reparten una herencia. El mayor recibe dos novenos; el mediano, cuatro décimos y el pequeño, un tercio. ¿Quién recibe mayor cantidad?
26. Realiza las siguientes operaciones.
12 3 + 9 9
3 5 7 + + 11 11 11
3 5 2 9 + + + 8 8 8 8
3 3 + 5 9
3 3 + 4 6
1 1 + 7 12
12 3 9 9
15 3 10 10
21 13 92 92
12 3 9 5
7 1 6 3
7 2 8 6
27. Realiza las operaciones siguientes y busca, si es posible, la fracción irreducible del resultado.
5 1 · 9 4
2 5 · 9 12
6 1 · 7 9
2 3 · 9 9
5 3 · 8 4
7 13 1 · · 10 5 7
30 1 · 2 90
6 5 · 4 5
8 10 · 9 15
36 8 : 4 9
1 3 : 2 4
6 3 : 3 6
2 4 : 5 6
4 14 : 7 8
8 3 : 9 2
28. El encargado de una fiesta quiere repartir una tarta entre tres niños: a uno le va a dar dos quintos; a otro dos sextos y al tercero tres séptimos. ¿Es posible?
29. Se reparte un terreno entre tres agricultores. A uno le corresponden dos octavos; a otro le corresponde cinco novenos. ¿Qué fracción de terreno le corresponde al otro?
30. Un ayuntamiento quiere dedicar seis onceavos del terreno municipal para hacer seis parques de juego. ¿Qué fracción de terreno municipal ocupará cada parque?
31. Si queremos embotellar noventa litros de agua en botellas de tres cuarto de litro, ¿cuántas botellas necesitamos?
32. Una familia ha consumido en un día de verano: Dos botellas de litro y medio de agua. 4 botes de 1/3 de litro de zumo. 5 limonadas de 1/4 de litro. ¿Cuántos litros de líquido han bebido? 3 3 . En una fiesta, cada niño se come dos séptimos de tarta. Si son catorce niños, ¿cuántas tartas hay en la fiesta?
3 4 . Mario come un cuarto de una pizza; Carlos, cuatro novenos y Andrés, el resto. ¿Qué porción de pizza come Andrés? 3 5 . Los tres primeros clasificados de una carrera, se reparten un medio, un cuarto y un octavo del dinero de la organización. El resto se emplea para pagar a los árbitros. Si son cuatro árbitros, ¿qué fracción del premio se lleva cada uno? 3 6 . Recuerda cómo se calcula la fracción de un número: “Para calcular la fracción de un número, se multiplica ese número por el numerador de la fracción y se divide entre el denominador” Ej Calcular los
3 de 15>>> 5
3· 15 = 45
>>> 45 : 5 = 9
3 de 15 = 9 5 3 7 . S i e n l a c a r re r a d e l e j e r c i c i o 3 5 h a y 5 0 0 0 € en p r e m i o s , c a l c u l a e l valor de los premios de cada uno de los tres primeros clasificados y el dinero que pagan a cada árbitro. 38. De un tesoro de ocho mil monedas, el capitán se lleva tres quintos, el primer oficial un cuarto y, el resto se divide exactamente entre los cuatro marineros. ¿Cuántas monedas le corresponden a cada uno? 39. En un terreno de 20000 m2, se quieren construir ocho casas. Si sólo se pueden edificar tres octavos del terreno, ¿qué superficie máxima puede tener cada casa? 40. De una caja con 900 canicas un niño se lleva un noveno y otro cinco sextos. ¿Cuántas canicas quedan en la caja? 41. En un bote de propinas, se recogen 234,90 €. El jefe de camareros se queda con un tercio. El resto, se reparten entre seis camareros. ¿Cuánto le toca a cada uno? Plantea el problema con fracciones. 42. El padre de cuatro hijos les plantea el siguiente problema: “Os voy a repartir 300 €. Cada uno se llevará una fracción cuyo denominador es vuestra edad y el numerador será la cuarta parte de su edad.” ¿Quién se llevará más dinero si hay un niño de cuatro años, dos gemelas de ocho y el mayor tiene dieciséis años?