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Artigo
A BUSCA PELA GEOMETRIZAÇÃO DA MATÉRIA Por Adílio Jorge Marques
Resumo: Os gregos da Antiguidade, em contraposição a outras culturas, fizeram uma notável descoberta advinda da razão: a natureza obedece a leis universais e eternas, e que podem ser investigadas pelos homens. O objetivo deste texto é mostrar a tentativa inicial de se estabelecer uma correspondência entre a forma e as propriedades e a estrutura da matéria desde a ideia dos sólidos de Platão. A ideia persistiu ao longo dos séculos, a partir da premissa de que, na natureza, as formas complexas se originam de entidades simples. Palavras Chave: História das Ciências. Platão. Geometrização. Química.
Platão e os sólidos geométricos
M
esmo que as leis do movimento
assim o ordena, ou deseja, mas porque existe uma lei
expressas pelos filósofos gregos se
natural da qual depende o comportamento dessa
tenham mostrado equivocadas, como
pedra, e à qual os próprios deuses estariam sujeitos.
no caso da Física aristotélica, a descoberta da
Tal proposta grega foi uma ruptura notável com os
regularidade da natureza e da possibilidade de que
padrões de pensamento vigentes nas outras
os homens possam penetrar seus segredos foram
civilizações da Antiguidade, nas quais o mito
descobertas monumentais, cuja importância, num
predominava, e introduziu uma nova forma de pensar
mundo como o de hoje, em que isso é considerado
o mundo.
corriqueiro, nunca é demais enfatizar. Sabemos que
Dentre as muitas cogitações da Filosofia grega
uma pedra cai não porque determinada divindade
sobre o mundo natural, uma das mais importantes foi
GNARUS |6 aquela da constituição da matéria, sobre a qual
corresponde ao tetraedro, associado à forma de uma
inúmeros filósofos tiveram algo a dizer, muitos dos
chama, o ar ao octaedro, com a possibilidade de
quais com profundas implicações sobre a ciência de
movimento ascendente e descendente, enquanto a
nosso tempo. Talvez o mais profundo deles tenha sido
água, moldável e fluida, corresponde ao icosaedro. A
Platão de Atenas (428/427 - 347 a.C.).
terra, associada à noção de solidez e estabilidade,
Discípulo
de Sócrates, fundou a conhecida Academia de
corresponde ao sólido de faces quadradas, o cubo. O
Atenas, sendo posteriormente mestre de Aristóteles
quinto sólido platônico, o icosaedro, com doze faces
(384 - 322 a.C.). A sua teoria sobre a constituição da
pentagonais, corresponde à quintessência, ou
matéria foi formulada na magistral obra “Timeu” (ou
elemento celeste (MARQUES & SENRA, 2008, 725-
“Diálogo sobre a natureza”), pertencente à chamada
730).
fase final ou da maturidade de Platão, na qual mostra os seus pensamentos sobre a physis, ou natureza.
O pensador ateniense busca, também, estabelecer uma cosmologia que parte da distinção entre dois
Platão utiliza os quatro elementos de Empédocles
mundos: o mundo mutável do devir (baseado no “vir-
(495 – 430 a.C.), ou seja, terra, água, ar e fogo,
a-ser” heraclitiniano1) e as formas que existiriam de
associando-os aos sólidos constituídos por faces de
maneira eterna. Ele reconhece a mudança constante
polígonos regulares, para criar o seu quinteto
do mundo sensível em oposição ao mundo das ideias,
geométrico, conforme a Figura 1 abaixo. Três desses
este estabelecido na permanência e na estabilidade
sólidos têm faces triangulares, o tetraedro, o
proposta por Parmênides (cerca de 530 a.C. - 460
octaedro e o icosaedro. Nesta classe o fogo
a.C.).
Figura 1. Os cinco sólidos platônicos (Timeu, 54-56): 1 – tetraedro; 2 – octaedro; 3 – icosaedro; 4 – cubo; 5 – dodecaedro. Imagem da obra Timeu e Crítias ou A Atlântida. São Paulo: Hemus, 1990, p. 49. 1
Heráclito de Éfeso (540 - 470 a.C.).
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A construção dos sólidos
associou ao elemento fogo pela sua forma pontiaguda e ascendente.
Para Platão a figura geométrica que engloba todas
Ainda, considerando os sólidos geométricos
as formas possíveis é a esfera. Da esfera podemos
regulares simples, é possível unir quatro triângulos
inferir a simetria entre dois lados de algo que foi
equiláteros, cuja soma dos ângulos internos
criado (PLATÃO, 1990). Usando a simetria (VLASTOS,
adjacentes nos vértices é 240º, formando o octaedro,
1987) pode-se obter qualquer outra forma possível,
associado ao elemento ar, lembrando a Platão o
pois as formas harmoniosas do espaço (logo,
movimento ascendente e descendente. Com cinco
simétricas) são as chamadas classes de simetria
desses triângulos num vértice, a soma é 300º, ainda
(PLATÃO, 1990, 84): “Por isso, Deus tornou o Todo em
inferior a 360º, surgindo o icosaedro, figura de 20
forma esférica e circular, sendo todas as distâncias
faces, que foi relacionada por Platão ao elemento
iguais, do centro à extremidade. ” (Timeu, 33).
água e à sua fluidez e possibilidade de ser moldável
Da perfeita simetria da esfera (representação platônica
do
mundo
ideal)
obtemos
(VLASTOS, 1987).
as
A partir de seis triângulos equiláteros surge um
representações mais simples da natureza, assim como
problema matemático. A soma dos ângulos internos
os movimentos lineares e circulares que os antigos
adjacentes unidos pelos vértices, neste caso, é 360º,
observavam nos céus nas órbitas dos planetas visíveis.
o que não permite fechar a figura por esse mesmo
A partir do formato esférico, todas as outras formas
vértice (ou seja, não permite formar um ângulo
podem ser derivadas, como classes particulares e
sólido). Também não é possível um número maior de
finitas de simetria, a partir do caso geral e infinito da
triângulos equiláteros em torno de um vértice para a
esfera (REALE, 1993). A natureza busca uma
construção de um outro poliedro. Logo, com quatro
ordenação interna que possibilite a ligação das
vértices, Platão verifica que a geometria o obriga a
formas umas com as outros. As relações entre as
partir para o cubo, que para ele tinha a estabilidade
formas e sua simetria pode ser de variados graus,
do elemento terra (PLATÃO, 1990, 109): “Pois a terra,
formando sistemas mais ou menos complexos
das quatro espécies, é a mais difícil de mover e é, de
(MARQUES & SENRA, 2008, 725-730).
todos os corpos, o mais tenaz” (Timeu, 55).
Na construção dos sólidos platônicos devemos
Passando às figuras de cinco lados, os pentágonos,
utilizar apenas polígonos regulares congruentes, ou
apenas é possível construir o dodecaedro, figura de
seja, aqueles para os quais a razão de 360 pela soma
12 lados, que Platão associou diretamente à
dos ângulos internos é um número maior que 1. Se
quintessência, da qual o próprio Cosmos seria
esta razão for 1, não é possível a construção de um
derivado. Com pentágonos, cada vértice possuirá
ângulo sólido. Vejamos, então, como Platão
108º. Com hexágonos não é possível construir sólidos
estruturou os sólidos.
platônicos (MARCONDES, 2000).
Partindo-se da forma mais simples do triângulo
Há uma relação dual geométrica entre os sólidos
equilátero constrói-se um tetraedro, que Platão
propostos por Platão, e que pode ser verificada na substituição de faces por vértices e de vértices por
GNARUS |8 faces. Por exemplo, as 12 faces e os 20 vértices do
no qual faces e vértices são de mesmo número
dodecaedro são transformados nas 20 faces e 12
(quatro). Ver Tabela 1 abaixo (TRINAJSTIC, NIKOLIC,
vértices do icosaedro. O mesmo pode ser verificado
MIHALIC, 1994, 62).
nos outros casos, com exceção do tetraedro, poliedro
Tabela 1 Sólidos de Platão Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Faces 4 6 8 12 20
A correspondência química
Vértices 4 8 6 20 12
Arestas 6 12 12 30 30
traduzir o livro do filósofo grego do texto original para o alemão, como um exercício para aprender a
A tentativa de estabelecer uma correspondência
língua grega, que seu pai lecionava em Munique. Ele
entre a forma e as propriedades e a estrutura da
confessa
que
ficou
matéria persistiu ao longo do tempo, a partir da
(HEISENBERG, 1972, 8-9):
perplexo
a
princípio
premissa de que na natureza as formas complexas se originam de entidades simples. Esta questão está relacionada à busca pela ordem imanente na natureza, em que o caos aparente das formas macroscópicas na verdade encobre o cosmos, ou ordem, existente em microescala. É proposital aqui o uso dessas duas palavras de origem grega, que são antônimas em sua acepção de origem. As propriedades de simetria da matéria, tão importantes na Química e na física atuais, como mostra o pensamento de um dos fundadores da mecânica quântica, Werner Heisenberg (1901 – 1976), remetem-nos às cogitações de Platão. Heisenberg, em seu livro de memórias Physics and
Beyond confessa a perplexidade que lhe causou a leitura de Platão no Timeu. A provocação de Platão nunca o abandonaria. Em 1920, quando ainda um estudante na Universidade de Munique ele se pôs a
“A coisa toda parecia uma especulação absurda, perdoável talvez pelo fato de os gregos não possuírem o conhecimento empírico necessário. Contudo entristeci-me de ver um filósofo da perspicácia de Platão sucumbindo a fantasias desse tipo. Procurei um princípio que me pudesse ajudar a encontrar alguma justificação para a especulação de Platão, mas por mais que tentasse, não conseguia descobrir nada. Mesmo assim, eu estava fascinado pela ideia de que as menores partículas de matéria devem reduzir-se a alguma forma matemática. Afinal, minha tentativa de desenrolar o denso novelo de fenômenos naturais dependia da descoberta de formas matemáticas, mas a razão de Platão ter escolhido os corpos regulares da geometria sólida, entre tantas coisas, permanecia um completo mistério para mim. Eles não pareciam ter qualquer valor como explicação. Se continuei, todavia, a ler os Diálogos, foi simplesmente para melhorar meu grego.... Continuei pensando, por que um grande filósofo como Platão teria imaginado que podia reconhecer ordem nos fenômenos naturais, quando nós próprios não podíamos?”
GNARUS |9 Os estudos de simetria realmente se mostraram
aquela do conjunto das moléculas que formam a rede
cruciais na ciência moderna, começando com uma
cristalina do sólido molecular. A nova abordagem
visão macroscópica desde o estabelecimento da nova
evidenciou uma geometrização muito mais ampla e
mineralogia na virada do século XIX. Aqueles estudos
interessante da matéria, ao mostrar as razões de
ganharam muita força após o estabelecimento da
muitas propriedades não aparentes a partir do
teoria do carbono tetraédrico por Jacobus H. van’t
conhecimento
Hoff na década de 1870. Duas décadas depois um
individuais. Esta geometrização mais ampla, com
tratamento análogo foi efetuado por Alfred Werner
todas as suas consequências, faz-nos refletir sobre a
para compostos de coordenação octaédricos,
profundidade da intuição platônica ao querer
quadráticos e tetraédricos.
descobrir os segredos da estrutura íntima da matéria
Ao longo do século XX, a espectroscopia e a
das
estruturas
de
moléculas
a partir da geometria.
cristalografia por difração de raios X consagraram
Por exemplo, quando se estudam os sólidos iônicos,
definitivamente o papel fundamental da simetria no
covalentes e metálicos, isto é, aqueles em que todas
entendimento da constituição da matéria. Contudo,
as partículas estão unidas umas às outras por forças
durante a maior parte do século XX, a preocupação
iguais, obtêm-se em geral estruturas para os
maior dos químicos e outros investigadores da
conjuntos
estrutura dos materiais foi sobretudo a geometria de
correspondendo
moléculas individuais. Nas últimas décadas, os
platônicos ou a eles relacionadas (SHERDEN &
estudos se ampliaram consideravelmente no sentido
ALLAN, 2005). Algumas dessas estruturas podem ser
de que, para se conhecer a estrutura de uma
vistas na Figura 2, a saber, dois cubos e a estrutura de
substância molecular, é necessário estudar não só a
um octaedro metálico.
estrutura da molécula individual como também
A)
B)
de
partículas
que
frequentemente
se aos
repetem, sólidos
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C)
Figura 2 – a) Estrutura de um cubo iônico, NaCl. b) Sólido covalente cúbico, diamante. c) Forma dos orbitais ligantes (bolas azuis) ao redor de um íon metálico com seus orbitais d em um octaedro metálico.
As estruturas dos sólidos iônicos, exemplificados na
também para o entendimento das interações
Fig. 2, foram obtidas por difração de raios X de
intermoleculares, cujo papel é crucial para o
monocristais daqueles materiais. A descrição da
conhecimento das propriedades da substância.
estrutura de sólidos moleculares, contudo, teve um tratamento diverso. Tradicionalmente se dava uma ênfase muito maior à estrutura da molécula, ficando
Conclusão
a estrutura do cristal, de que a molécula é o bloco fundamental, em segundo plano. Nos últimos anos,
Ao fazer um estudo da estrutura cristalina dos
percebeu-se que ambos os aspectos têm peso
sólidos moleculares nas ciências físicas e químicas,
considerável
sólidos
curiosamente retornam, com grande frequência, as
moleculares, ou seja, é necessário conhecer a
imagens dos sólidos platônicos e outros deles
estrutura da molécula individual, mas também a
derivados, assim como acontece nos sólidos iônicos,
maneira em que as várias moléculas se agrupam
covalentes e metálicos. Desta maneira, podemos
formando o retículo cristalino do sólido. Isto é
dizer que essas estruturas têm enorme importância
importante não só do ponto de vista estrutural como
para o estudo dos sólidos em geral, qualquer que seja
no
entendimento
dos
G N A R U S | 11 a forma de ligação entre os átomos que constituem o sólido. A Química necessita estudar os sólidos de Platão, assim como a área da cristalografia, para melhor entender a natureza íntima da matéria. Adílio Jorge Marques é Doutor em História e Epistemologia das Ciências pela UFRJ e Professor Adjunto da UFF/INFES.
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