Tema 7: Semejanzas Punto 2. Teorema de Pitágoras Ana Fernández Iván Cañizares Raúl Martínez Alberto Fernández Javier Ortega
2.1 Teorema de la altura ď śEl teorema de la altura dice: en un triĂĄngulo rectĂĄngulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados sobre ella.
Fórmula: h2 = b’· c’ =>
b
h
h = √ b’· c’
c
b’
c’ a
2.2 Teorema del cateto El teorema del cateto dice: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de cada cateto es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud de la proyección de dicho cateto sobre ella.
Fórmula: • Cateto b: b2 = a·b’ => b = √a·b’ • Cateto c: c2 = a·c’ => c = √a·c’
b
h
c
b’
c’ a
Ejemplo: Sabiendo que b’=1.8m,que c’=3.2m y que la hipotenusa=5m, halla la longitud de la altura y de los catetos. b
h
b’=1.8
Altura:
c
c’=3.2
a=5
h2=1.8 · 3.2 => h=√1.8 · 3.2= 2.4m Cateto b: b2=5 · 1.8 => b=√5 · 1.8= 3m Cateto c: c2=5 · 3.2 => c=√5 · 3.2= 4m
2.3 Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras dice que en un triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2=b2+c2
2.4 interpretación geométrica del teorema de Pitágoras El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la suma de las aéreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
2.5 Ternas pitagóricas Una terna pitagórica son tres números enteros que verifican el teorema de Pitágoras. Si una terna es pitagórica, sus múltiplos también lo son.
Ejemplo: • 3,4 y 5 = 32 + 42 = 25 = 52 • 6,8 y 10 = 62 + 82 =100 = 102
2.6 APLICACIONES DEL TEOREMA DEL PITÁGORAS Las aplicaciones del teorema de Pitágoras son la resolución de triángulos rectángulos en los que se conocen dos lados y hay que hallar el tercero.
Ejemplo: Halla el área lateral de un cono en el que el radio de la base mide 4m, y la altura, 7m. Redondea el resultado a dos decimales. G 2 =R 2 +H2 G 2 =42 +72 =16+49=65; G= √65=8,08m AL=πRG; AL= π×4×8,06=101,28m 2 AL=Área lateral RG=Radio generatriz R=Radio H=Altura G=Generatriz
2.7 Teorema de Pitágoras en el espacio El teorema de Pitágoras en el espacio dice: en un ortoedro la diagonal al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de la arista: D2 = a2+b2+c2 3m Ej.:
D2 =a2+b2+c2 D2=42+22+32=29 D=√29 =5,39m