9. Funciones. Rectas y parábolas. Ana Fernández Iván Cañizares Raúl Martínez Alberto Fernández Javier Ortega
1.Funciones 1.1 clasificación de las funciones Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente, X, le corresponde un único valor de la variable dependiente, Y. 1. Es una función si por cada valor de x existe un único valor de y. 2. No es una función si hay valores de x a los que les corresponden dos valores de y
Si es una funci贸n no es una funci贸n
Las funcione se clasifican polinomicas f(x)= x3-3x+7 algebraicas racionales f(x)= 3x-5/x-1 irracionales f(x)= √x Funciones transcendentes
exponenciales f(x)=2x logarítmicas f(x)= log x trigonométricas f(x)=sen x
1.2.Estudio grafico de las características de las funciones • Consiste en analizar sus características a partir de lo que se obtiene en la grafica. EJEMPLO: Dada la imagen de la siguiente grafica, analiza sus características.
• Formulario: caracteristicas 1.Tipo de funcion: consiste en Calificarla.
y=x2-4 polinomica
2.Dominio de función: conjunto de Valores que toma la variable x. se dominio: Dom(f) = Ɍ Representa por Dom(F). 3.Continuidad de una función: una Función es continua si se puede es continua Dibujar sin levantar el lápiz del papel 4.Periodificidad de una funcion: una Función es periódica si se repite en no es periodica intervalos iguales.
5.Simetrias de una función:
simetrias: Una función par o simetrica respecto al f(-x)=(-x)2 -4=x2-4 Eje Y verifica que f(-x)= f(x) f(x)= f(-x) Una función impar o simétrica respecto es par o simetrica Del origen O (0,0) verifica que f(-x)=-f(x) respecto al eje y. 6.Asintotas de una función: son las asintotas: Rectas a las que se acerca la función en ·verticales: no tiene Puntos muy alejados del origen , sin horizontales: no tiene Llegar a tocarlas. 7. Puntos de corte de una funcion con Eje X: x2-4=0 x2=4 Los ejes: son los puntos en que x=0 y/o x=-2, x= 2 A(-2,0),B(2,0) Y=0. la grafica puede cortar al eje x en Eje Y: si x=0 y= -4 Varios puntos; al eje y, en solo uno. C(0,4)
8.Máximos y mínimos relativos de una función Max. Relativo: es un punto en que el valor De la función es mayor que en los puntos Que están muy cercanos. Max. Relativo: Min. Relativo: es un punto en que el valor no tiene de la función es menor que en los puntos Min. Relativo: Que están muy cercanos. C(0,-4) Monotonía: consiste en estudiar en que Intervalos la función es creciente (↗) o Decreciente (↘) .
Monotonía: consiste en estudiar en que Intervalos la funcion es creciente (↗ ) o Decreciente (↘) . Creciente: cuando al aumentar los valores de la variable independiente, x ,la variable dependiente, y, aumenta. decreciente: cuando al aumentar los valores de la variable independiente, x ,la variable dependiente, y, disminuye. monotonía • Creciente(↗): (0,+∞) = Ɍ • Decreciente(↘) : (-∞,0)
9.Curvatura y puntos de inflexión Una función es convexa si su grafica
· convexa
Tiene la forma: ᴗ Una función es cóncava si su grafica
(- ∞, +∞)= Ɍ · cóncava
Tiene la forma: ᴖ
ø
Un punto de inflexión de una función Es un punto en el que la función cambia De convexa(ᴗ) a cóncava(ᴖ) o viceversa.
10.Recorrido o imagen de una función Es el conjunto de valores que toma la ·Im(f)= (ᴦ -4,+ ∞) Variable dependiente ,y. Se representa Por Im(f).
2. Función lineal y función afín 2.1. Función lineal o de proporcionalidad directa. Una función es lineal o de proporcionalidad directa si al multiplicar la variable x por un numero, la variable y queda multiplicada por dicho numero , la ecuación es y=mx.
Ejemplo: • Dada la función lineal y=2/3x , calcula el valor de la pendiente e indica si es creciente o decreciente. Represéntala.
2.2 Paso de una grafica a formula Si una función lineal esta dada por una grafica, para hallar m se tiene en cuenta que, despejando m de y=mx, se obtiene: M=y/x,x≠0 Luego m es el cociente de cualquier valor de y dividido entre el valor correspondiente de x, siempre que x ≠0.
• Halla la ecuación de la recta del 2º dibujo del margen. Sobre el 2º dibujo del margen se añaden los datos para obtener el dibujo de la parte inferior. Desde el origen, el primer punto en el que la abscisa es positiva y entera, y la ordenada es entera, es P(2,-3). Cuando la x aumenta 2 unidades, la y disminuye 3 unidades: m=-3/2 => y=-3/2x
2.3. Función • Una función es afín si su ecuación es del tipo: Y = mx + b (siendo m y b números reales, m≠0, b≠0) • Su representación gráfica es una recta que tiene de pendiente m y pasa por el punto P(0,b). A b se le llama el valor de la ordenada en el origen.
• La gráfica de la función afín se obtiene al hacer una traslación vertical de b unidades, de la recta que corresponde a la función lineal. • Para dibujar la gráfica de una función afín de forma sencilla, se hace una tabla de valores de x=0, x=1. Si la pendiente es un número fraccionario, se toma como segundo valor de x el denominador de la pendiente; así se hacen los cálculos fácilmente
Ejemplo • Dada la función afín y = 3/2x - 4, halla la pendiente y la ordenada en el origen. Represéntala. Pendiente: m = 3/2 Ordenada en el origen: - 4 x
Y
0
-4
2
-1
A(0,-4) B(2,1)
2.4 PASO DE GRÁFICA ECUACIÓN (Iván) •Para hallar la ecuación de una recta afín a partir de su gráfica, se utiliza la ecuación y=mx+b, donde m es la pendiente, y b, la ordenada en el origen
Ejemplo: Halla la ecuaciรณn de las coordenadas A(0,2) y B(3,4): -Fรณrmula: y=mx+b -1ยบ Paso: Se halla la pendiente: A (x1,y1) B (x1,y1) => m= y2-y1/x2-x1 ; m=y/x A(0,2) y B(3,4) => m=4-2/3-0 ; m=2/3 -2ยบ Paso: Se halla b: Se marca el punto que corta al eje Y, que es A(0,2), entonces b=2. -3ยบ Paso: Sustituimos m y b por sus valores: m=2/3
b=2
y=mx+b => y=2/3x+2
2.4 paso de grafica a ecuación • Para hallar la educación de una recta afín a partir de una grafica, se utiliza la ecuación mx+b donde m es la pendiente , y b la ordenada de origen
Ejemplo • Halla la recta del tercer dibujo de la izquierda