FRANCISCO GINÉS NAVARRO LOZANO • http://www.issuu.com/francisco_matematicas
UNIDAD 9 : PROBABILIDAD "En el fondo la teoría de la probabilidad es sólo sentido común expresado con números". Pierre Simón de Laplace
Se tiran dos dados, la ficha cuyo número coincide con la suma de los resultados avanza una casilla. ¿Todas tienen la misma probabilidad de ganar? , ¿por cuál apostarías?, tira los dados y compruébalo.
PROBABILIDAD El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como las que se mencionan a continuación:
¿ Cuál es la probabilidad de que me toque la lotería ?
¿ Qué posibilidad hay de que me pase un accidente ?
¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para llevar mi paraguas o no.
EXPERIMENTOS ALEATORIOS Un experimento determinista es aquel experimento que una vez estudiado podemos predecir, es decir, saber lo que sucederá antes de que ocurra. Por ejemplo: Si ponemos un recipiente con agua a calentar, sabemos que a 100 °C el agua hervirá. Si un coche circula a 100 km/h, y tarda en hacer un trayecto 2 horas, habrá recorrido 200 km. Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir, que depende del azar. Por ejemplo: Si lanzamos un dado, no podemos predecir el número que saldrá. Extraer una carta de una baraja.
EXPERIMENTO ALEATORIO Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:
Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;
Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;
El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles.
ESPACIO MUESTRAL Espacio Muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra E. Ejemplos: 1.- Experimento: Se lanza una moneda. Espacio muestral = total de formas en como puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento). E= { C, X } Experimento: Se lanza un dado. Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
TIPOS DE SUCESOS Suceso ELEMENTAL Es aquel formado por un único punto muestral, es decir por un único resultado del experimento. Ejemplo Al lanzar un dado: Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, y {6} Suceso COMPUESTO Es el que está formado por dos o más sucesos elementales. Ejemplo Al lanzar un dado dos veces: Sucesos compuestos: {1,1}, {1,2}, {1,3}, …., {6,5}, y {6,6} Suceso SEGURO Es el que está formado por todos los resultados posibles. Ejemplo Al lanzar un dado: Sea A={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Suceso IMPOSIBLE Es aquel que nunca se verifica. Se representa por ø. Ejemplo Al lanzar un dado: Sea el suceso A={7} Sucesos IGUALES Son los que están formados por los mismos puntos muestrales. Ejemplo Al lanzar dos dados iguales, cuando el resultado es el mismo. •No puede hablarse de sucesos iguales cuando los resultados sean iguales pero un dado sea exagonal y otro tetraédrico, •E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y E’ = {1, 2, 3, 4} Suceso CONTRARIO Es el que se verifica cuando no se realiza el suceso A. Se expresa de este modo: Ā Ejemplo Al lanzar un dado que el resultado NO sea un número primo. Sea A={1, 2, 3, 5} y por tanto Ā = {4, 6}
Sucesos COMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos compatibles cuando se pueden dar a la vez. Ejemplo_1 •Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 6” y •sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par”. Ejemplo_2 •Sea A el suceso “Al extraer una carta sea una copa” y •sea B el suceso “Al extraer una carta sea un rey”. Sucesos INCOMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos incompatibles cuando no se pueden dar a la vez. Ejemplo_1 •Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 5” y •sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par”
UNIÓN de sucesos Unión de dos sucesos, A y B, es el suceso formado por todos los sucesos elementales de A y de B. Se representa por A U B INTERSECCIÓN de sucesos Intersección de dos sucesos, A y B, es el suceso formado por todos los sucesos elementales comunes a A y a B. Se representa por A ∩ B E •Sucesos compatibles: A∩B<>Ø. 10 •Sucesos incompatibles: A∩B=Ø. B 4
Ejemplo •Sea E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} •Sea A={1,3,5,7,9} y B={1,2,3,5,7} •AUB={1,2,3,5,7,9} •A∩B={1,3,5,7}
2
1
3 5
7 9
A
ACTIVIDAD 1.-Se tiene un dado en forma de tetraedro (ocho caras numeradas del 1 al 8). a) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? b) ¿Cuáles son los sucesos elementales del experimento aleatorio que consiste en tirar el dado?
2.-Se lanzan dos dados y se suman los puntos. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener? Forma el espacio muestral.
3. Se tiene una baraja de cartas española. Realizamos el experimento de sacar una carta. Escribe los sucesos elementales. a) Sacar oros. b) Sacar un 5. c) Sacar una figura. d) Sacar bastos. 4. Se tienen ocho cartas numeradas del 1 al 8. Realizamos el experimento aleatorio de sacar una carta. Escribe los sucesos elementales. a) Obtener número par. b) Obtener múltiplo de 3. c) Obtener número mayor que 4.
PROBABILIDAD DE UN SUCESO • •
Frecuencia y probabilidad La probabilidad es el número hacia el que tienden las frecuencias relativas de un suceso cuando repetimos el experimento aleatorio un número elevado de veces. EJEMPLO: Trazando la poligonal de frecuencias relativas correspondiente al número de caras obtenidas al lanzar una moneda 20, 40, 60, … 200 veces, se observa: Pruebas
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Nº de caras Fr. relativa
11
18
31
42
48
59
72
83
92
101
0,550
0,450 0,517 0,525 0,480 0,492 0,514 0,519 0,511 0,505
0,58 0,54 0,5 0,46 0,42 20
60
100
140
180
REGLA DE LAPLACE •
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Cuando todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio son equiprobables, la probabilidad de un suceso A es el cociente del número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles. Esta expresión es la regla de Laplace:
número de casos favorables P ( A) = número de casos posibles La probabilidad, P, es una función que a cada suceso de un experimento aleatorio le asocia un número entre 0 y 1, y mide la facilidad de ocurrencia de un suceso.
EJEMPLO Se lanza un dado de seis caras al aire. Calcula las siguientes probabilidades
El espacio muestral es: E= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
EJERCICIOS •
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1.- Hacemos quinielas con un dado de tres caras con el 1, dos caras con la X y la otra cara con el 2. Tras lanzar el dado, halla mediante la regla de Laplace (son sucesos elementales equiprobables). a) El espacio muestral: E = ...... b) La probabilidad de obtener 1. c) La probabilidad de obtener X. d) La probabilidad de obtener 2. 2.- Una urna contiene 4 bolas: 1 roja, 1 azul, 1 verde y 1 blanca. Si se sacan 2 bolas a la vez, halla: a) El espacio muestral b) La probabilidad de que una bola sea blanca y la otra roja. c) La probabilidad de que las dos bolas sean rojas. d) La probabilidad de que ninguna de las dos bolas sea blanca.
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3.- Se saca una carta de una baraja española de 40 cartas. mediante la regla de Laplace, halla la probabilidad de obtener: a) Un rey. e) Una carta que no sea de copas. b) Oros. f) Una figura de bastos. c) Un 4 o un 6. g) Una carta que no sea figura. d) El rey de oros. h) Una carta menor que 5.
• a) b) • • •
4.-Si se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos, halla: El espacio muestral. La probabilidad de que la suma sea 3. c) La probabilidad de que la suma sea 7. d) La probabilidad de que la suma sea superior a 10. e) La probabilidad de que la suma sea 4 o 5.
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TÉCNICAS DE RECUENTO
En muchas ocasiones un experimento aleatorio está formado por la sucesión de otros más sencillos, se dice compuesto, es el caso de "tirar dos dados", "lanzar dos o más monedas", "extraer varias cartas de una baraja",... En estos casos para obtener el espacio muestral se puede utilizar alguna de estas técnicas: Construir una tabla de doble entrada, si se combinan dos experimentos simples.
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Hacer un diagrama de árbol, más útil si se combinan dos o más experimentos simples.
Observa que si el primer experimento tiene m resultados distintos y el segundo n, el número de resultados para la combinación de ambos experimentos es m·n.
EJERCICIOS Calcula las posibilidades mediante un diagrama de árbol: a) En un equipo de fútbol-sala disponen para jugar de pantalones blancos o negros, y de camisetas rojas, azules o verdes. ¿De cuántas maneras se pueden vestir para un partido? b) Se tira una moneda y un dado, ¿cuáles son los resultados posibles? c) Se tira una moneda, si sale cara se saca una bola de la urna A que contiene una bola roja, una azul y una verde; y si sale cruz se saca de la urna B en la que hay una bola roja, una azul, una blanca y una negra. Escribe los posibles resultados. d) Marta y María juegan un campeonato de parchís, vence la primera que gane dos partidas seguidas o tres alternas. ¿De cuántas maneras se puede desarrollar el juego?