Αντί προλόγου Δεν υπάρχει αμφιβολία, ότι η πλειοψηφία των ανθρώπων έχει απορρίψει τα μαθηματικά, με την πίστη πως είναι το πιο δύσκολο μάθημα, ελάχιστα χρήσιμο στη ζωή, αφού τα θεωρεί απαραίτητα μόνο για τους καθημερινούς λογαριασμούς. Αυτό συμβαίνει, διότι τα μαθηματικά, χρόνια τώρα, παρουσιάζονται μόνο ως ένα σύνολο αφηρημένων και παγκόσμιων αληθειών που δεν επιδέχονται καμία αμφισβήτηση, αφού έχουν διατυπωθεί από ειδικούς, μετά από πολύχρονη και επίπονη έρευνα. Έτσι τα μαθηματικά έχουν αποκτήσει μια ουδέτερη φύση απαλλαγμένα από ηθικές και κοινωνικές αξίες που συμβάλλουν ελάχιστα ή καθόλου στη διαμόρφωση της κοινωνίας και του πολιτισμού ενός τόπου. Αυτό βέβαια είναι μέγα λάθος. Τα μαθηματικά είναι ίσως το πλέον παρεξηγημένο μάθημα όχι μόνο για τους μαθητές αλλά και για τους μεγαλύτερους, γιατί: • Είναι ένα σπουδαίο εργαλείο στα χέρια μας. (Δεν ξεχνάμε ότι ένα εργαλείο μας επιτρέπει να κάνουμε πράγματα τα οποία χωρίς αυτό θα ήταν πολύ δύσκολο ή αδύνατο να γίνουν ή δεν θα πετυχαίναμε την ακρίβεια και τελειότητα που θα επιθυμούσαμε). Τα μαθηματικά λοιπόν είναι ένα τέτοιο εργαλείο, που παίζει καθοριστικό ρόλο στην εξέλιξη της τεχνολογίας, στην ανάπτυξη της βιομηχανίας, της οικονομίας, στα διαπλανητικά ταξίδια, είναι απαραίτητο εργαλείο σχεδόν σε όλους τους τομείς της γνώσης, από την εξήγηση των φυσικών φαινομένων και την ιατρική, έως τις μυστικές υπηρεσίες και την αμυντική θωράκιση μιας χώρας. Γενικά είναι ένα βασικό εργαλείο στην εξέλιξη των περισσοτέρων επιστημών. • Η προσφορά τους είναι πολύτιμη στην καθημερινή μας ζωή, όπως στον έλεγχο ενός λογαριασμού, στο σχεδιασμό ενός ταξιδιού, στην ανάγνωση μιας δημοσκόπησης κ.α.. Το αποτέλεσμα από την εφαρμογή τους μπορεί να είναι ένα έργο τέχνης, ένα μοντέλο στη χειροτεχνία. Είναι κρίμα ότι το μεγαλύτερο μέρος της δουλειάς στα μαθηματικά φαίνεται πως γίνεται χωρίς σκοπό. • Τα ίδια τα μαθηματικά ανεξάρτητα από την ωφελιμιστική τους αξία, διαθέτουν μια γοητεία που επηρεάζει σχεδόν κάθε άνθρωπο. Η χάρη μιας απόδειξης, η αισθητική έλξη ενός μαθηματικού σχεδίου, η λιτότητα και η λακωνικότητα μιας μαθηματικής πρότασης, η δύναμη που κρύβει ένας μαθηματικός τύπος καθώς και ένα πολλές φορές απρόσμενο αποτέλεσμα δεν αφήνουν κανέναν ασυγκίνητο. Τα μαθηματικά παίζουν πρωταγωνιστικό ρόλο στην πνευματική ανάπτυξη του ατόμου και συμβάλλουν αποφασιστικά στην ωρίμανση της σκέψης του. Βοηθούν τα μέγιστα στην όξυνση της αντίληψης, της μνήμης, της φαντασίας. Είναι απαραίτητα στην άσκηση της ακρίβειας, της σαφήνειας, της αυτοσυγκέντρωσης, της ορθότητας της έκφρασης, στην ανάπτυξη της παρατηρητικότητας. Καλλιεργούν την αίσθηση της αρμονίας και του ωραίου. Ένας παλιός δάσκαλος έλεγε, και δεν είχε άδικο, ότι τα μαθηματικά είναι ο υπηρέτης κάθε επιστήμης και ο μαθηματικός ο καλλιτέχνης της επιστήμης . Από όλα τα παραπάνω είναι φανερό ότι τα μαθηματικά παίζουν καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη του ατόμου και της κοινωνίας. Είναι λοιπόν προφανές ότι τα
μαθηματικά είναι από τα βασικότερα μαθήματα που πρέπει να διδάσκεται στο σχολείο. Για να παίξουν όμως τα μαθηματικά τον κοινωνικό τους ρόλο, πρέπει δασκάλα και δάσκαλος, μαθήτρια και μαθητής να μη ξεχνάμε ότι, κύριος λόγος που διδάσκονται τα μαθηματικά είναι η σημασία τους στην ανάλυση και την επικοινωνία των πληροφοριών και των ιδεών. Δεν πρέπει ποτέ να ξεχνάμε ότι, τα μαθηματικά πρέπει να χρησιμοποιούνται κυρίως για να μεταφέρουν νοήματα. Δηλαδή τα μαθηματικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν, να απεικονίσουν, να ερμηνεύσουν, να προβλέψουν και να εξηγήσουν. Τέλος δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι, η απομνημόνευση τύπων και ο καλός χειρισμός μαθηματικών συμβόλων είναι μεν απαραίτητα, αλλά δευτερεύουσας σημασίας. Θα πρέπει να θυμόμαστε πάντοτε πως τα μαθηματικά έχουν να κάνουν με σχέσεις, δεν είναι δηλαδή τυχαία συλλογή στοιχείων, αλλά τα διάφορα μέρη τους συνδέονται μεταξύ τους και μάλιστα καλό είναι τη σύνδεση αυτή να τη ψάχνουμε. Αν δεν μπορούμε να ερμηνεύσουμε το αποτέλεσμα μιας άσκησης, δεν έχουμε πετύχει και πολλά πράγματα, έστω και αν έχουμε λύσει την άσκηση σωστά. Θα πρέπει να θυμόμαστε πάντοτε πως η ανάπτυξή μας στα μαθηματικά είναι σωστή, όταν μπορούμε να θέτουμε και να απαντούμε στις δικές μας ερωτήσεις. Τι μου έδωσαν; … Έχει νόημα; … Τι μου ζητούν; …Πως μπορώ να συνδέσω αυτά που μου έδωσαν; … Έχει σημασία η σειρά; … Τι θα συμβεί αν αλλάξω αυτό; .. Γιατί; … Υπάρχει άλλος τρόπος; … Ποιες από τις γνώσεις μου πρέπει να χρησιμοποιήσω; … Μπορώ να φτιάξω παρόμοιο πρόβλημα ; … Είναι δυνατόν να το συνδέσω με κάτι από τα καθημερινά ή με άλλο μάθημα; … τι σημαίνει αυτό που βρήκα; … Τέλος, θα πρέπει να θυμόμαστε συνεχώς ότι, χρειάζεται υπομονή, επιμονή και μελέτη σε βάθος για να τελειώσουμε επιτυχώς την προσπάθεια που ξεκινήσαμε. Είναι μεγάλη η αίσθηση της επιτυχίας, όταν κατορθώσουμε να λύσουμε ένα, όπως συνήθως νομίζουμε, περίπλοκο πρόβλημα. Έτσι, πέρα από όλα τ’ άλλα, από τη μια αποκτούμε αυτοπεποίθηση και από την άλλη η ευχαρίστηση που νιώθουμε είναι ίδια με αυτή της πρώτης ανακάλυψης, έστω και αν αυτό που λύσαμε έχει ανακαλυφθεί χιλιάδες χρόνια πριν. Καλλιθέα Ντίνος Ζαφειρόπουλος
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΝΟΛΑ 1.1 Στοιχεία από τη λογική 1.1.1 Η συνεπαγωγή 1.1.2 Η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή 1.1.3 Ο σύνδεσμος «ή» 1.1.4 Ο σύνδεσμος «και» 1.1.5 Ασκήσεις 1.2 Στοιχεία από τα σύνολα 1.2.1 Η έννοια του συνόλου 1.2.2 Παράσταση συνόλου 1.2.3 Ίσα σύνολα – υποσύνολα – κενό σύνολο 1.2.4 Βασικό σύνολο – Διάγραμμα Venn 1.2.5 Πράξεις με σύνολα 1.2.6 Εφαρμογές 1.2.7 Ασκήσεις
1 1 2 3 3 4 4 4 5 6 7 7 9 10
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2.1 Οι φυσικοί και οι ακέραιοι αριθμοί 2.1.1 Εφαρμογές 2.1.2 Ασκήσεις 2.2 Οι ρητοί και οι πραγματικοί αριθμοί 2.2.1 Πράξεις στους πραγματικούς αριθμούς 2.2.2 Ασκήσεις 2.3 Δυνάμεις 2.3.1 Ασκήσεις
12 14 15 16 16 19 20 21
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
Ταυτότητες Παραγοντοποίηση Κλασματικές παραστάσεις Αναλογίες Μέθοδοι απόδειξης Εφαρμογές Ασκήσεις
23 26 27 29 31 35 40
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΟ 4.1 Έννοια της διάταξης
47
4.2 Ιδιότητες ανισοτήτων 4.2.1 Μόνιμες ανισότητες 4.2.2 Τρόποι λύσης ασκήσεων ανισοτήτων 4.3 Διαστήματα 4.4 Εφαρμογές 4.5 Ασκήσεις
50 53 54 56 58 63
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜH ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 5.1 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 5.2 Ιδιότητες των απολύτων τιμών 5.3 Απόσταση δύο αριθμών 5.3.1 Εφαρμογή του ορισμού της απόστασης στη λύση εξισώσεων και ανισώσεων 5.4 Εφαρμογές 5.5 Ασκήσεις
69 72 77 77 80 86
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 6.1 ν–οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμού 6.2 Ιδιότητες των ριζών 6.2.1 Μετατροπή κλασμάτων σε ισοδύναμα χωρίς ριζικά στους παρονομαστές 6.3 Δυνάμεις με ρητό εκθέτη 6.4 Εφαρμογές 6.5 Ασκήσεις
91 92 100 102 103 111
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7.1 Εξισώσεις 1 ο υ βαθμού 7.1.1 Η Εξίσωση αx + β = 0 7.1.2 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού 7.1.3 Εφαρμογές 7.1.4 Ασκήσεις 7.2 Η Εξίσωση xν = α 7.2.1 Ασκήσεις 7.3 Εξισώσεις 2 ο υ βαθμού 7.3.1 Λύση της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 – εφαρμογές - ασκήσεις 7.3.2 Άθροισμα και γινόμενο ριζών– εφαρμογές - ασκήσεις 7.3.3 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2ου βαθμού - ασκήσεις
119 119 122 125 129 133 134 135 135 149 164
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 8.1 Ανισώσεις 1 ο υ βαθμού 8.1.1 Οι ανισώσεις αx + β > 0 και αx + β < 0 8.1.2 Ανισώσεις με απόλυτες τιμές 8.1.3 Εφαρμογές 8.1.4 Ασκήσεις 8.2 Τριώνυμο – Ανισώσεις
169 169 172 172 175 178
8.2.1 Μορφές τριωνύμου 8.2.2 Πρόσημο των τιμών του τριωνύμου 8.2.3 Ανισώσεις της μορφής αx2 + βx + γ > 0 και αx2 + βx + γ < 0 8.2.4 Ανισώσεις γινόμενο 8.2.5 Ανισώσεις πηλίκο 8.2.6 Εφαρμογές 8.2.7 Ασκήσεις
178 180 184 186 188 192 201
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9.1 Η έννοια της συνάρτησης 9.1.1 Συντομογραφία συνάρτησης 9.1.2 Ισότητα και πράξεις 9.1.3 Εφαρμογές 9.1.4 Ασκήσεις 9.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης 9.2.1 Καρτεσιανές συντεταγμένες 9.2.2 Απόσταση σημείων 9.2.3 Γραφική παράσταση συνάρτησης 9.2.4 Εφαρμογές 9.2.5 Ασκήσεις 9.3 Η συνάρτηση f(x) = αx + β 9.3.1 Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας 9.3.2 Γραφική παράσταση της f(x) = αx + β 9.3.3 Η συνάρτηση f(x) = αx 9.3.4 Σχετικές θέσεις δύο ευθειών 9.3.5 Εφαρμογές 9.3.6 Ασκήσεις 9.4 Κατακόρυφη - οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 9.4.1 Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης 9.4.2 Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 9.4.3 Ασκήσεις 9.5 Μονοτονία – ακρότατα – συμμετρίες συνάρτησης 9.5.1 Μονοτονία συνάρτησης 9.5.2 Ελάχιστο και μέγιστο συνάρτησης 9.5.3 Άρτια συνάρτηση 9.5.4 Περιττή συνάρτηση 9.5.5 Εφαρμογές 9.5.6 Ασκήσεις
207 209 211 212 215 219 219 220 221 224 226 229 229 229 231 232 233 238 242 242 243 246 247 247 249 252 253 254 258
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο : ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 10.1 Η 10.1.1 10.1.2 10.1.3 10.2 Η
συνάρτηση f(x) = αx 2 Οι συναρτήσεις f(x) = x 2 και g(x) = -x 2 Η συνάρτηση f(x) = αx 2 Η συνάρτηση f(x) = αx 3 συνάρτηση f(x)= α/χ
264 264 265 267 268
10.2.1 Οι συναρτήσεις f(x) = 1/x και g(x) = -1/x 10.2.2 Η συνάρτηση f(x)= α/χ 10.3 Η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx + γ 10.4 Εφαρμογές 10.5 Ασκήσεις
268 270 272 277 283
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 11.1 Γραμμικά συστήματα 11.1.1 Η Εξίσωση αx + βy = γ 11.1.2 Γραμμικό σύστημα 2 x 2 11.1.3 Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος 2 x 2 11.1.4 Λύση – Διερεύνηση γραμμικού συστήματος 2 x 2 11.1.5 Γραμμικό σύστημα 3 x 3 11.2 Μη γραμμικά συστήματα 11.3 Εφαρμογές 11.4 Ασκήσεις
289 289 291 291 293 300 303 308 316
ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛΑ
1
1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ & ΤΑ ΣΥΝΟΛΑ 1.1
Στοιχεία από τη λογική
Είναι γνωστό σε όλους μας ότι, το χαρακτηριστικό γνώρισμα του ανθρώπου είναι ο λόγος. Με τη λέξη “Λόγος” εννοούμε συνήθως και τη σκέψη και την ίδια την έκφρασή της με τη γλώσσα. Με τη γλώσσα ασχολείται η επιστήμη που ερευνά τα στοιχεία του λόγου και τη δομή τους, δηλαδή η Γραμματική και το Συντακτικό, ενώ με τη σκέψη ασχολείται η Λογική. Λογική είναι η ικανότητα ή η διαδικασία μέσω της οποίας οι άνθρωποι κάνουν σκέψεις, καθώς και ο κλάδος ο οποίος ερευνά συστηματικά αυτή τη διαδικασία. Είναι το εργαλείο που βοηθά τον άνθρωπο να διακρίνει, ποια από τα προϊόντα της σκέψης είναι ορθά και ποια λαθεμένα. Πατέρας της λογικής θεωρείται ο Αριστοτέλης (384 – 322 π. Χ). Εδώ δεν θα ασχοληθούμε εκτενώς με τη λογική, αλλά θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε, όπου είναι απαραίτητο, για να διατυπώσουμε σαφέστερα κάποιες μαθηματικές έννοιες, προτάσεις κτλ.
1.1.1 Η συνεπαγωγή Ας θεωρήσουμε δυο πραγματικούς αριθμούς α, β. Ξέρουμε ότι, αν οι αριθμοί α, β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους θα είναι ίσα. Αυτό σημαίνει ότι: Αν ο ισχυρισμός α = β είναι αληθής (σωστός), τότε και ο ισχυρισμός α 2 = β 2 θα είναι αληθής (σωστός). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, ο ισχυρισμός α = β συνεπάγεται τον ισχυρισμό α 2 = β 2 και γράφουμε: α = β ⇒ α 2 = β 2 . Γενικά:
Έστω P και Q δυο ισχυρισμοί. Λέμε ότι, ο P συνεπάγεται τον Q και γράφουμε P ⇒ Q , αν οι ισχυρισμοί είναι τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q. Ο ισχυρισμός P ⇒ Q λέγεται συνεπαγωγή και διαβάζεται: P συνεπάγεται Q ή αν P, τότε Q. Ο P λέγεται υπόθεση και ο Q συμπέρασμα της συνεπαγωγής.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
12
2. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ 2.1
ΑΡΙΘΜΟΙ
Οι φυσικοί και οι ακέραιοι αριθμοί
Για να βρούμε πότε έγινε το θαύμα και άρχισε να μετρά ο άνθρωπος, πρέπει να ψάξουμε κάπου στο προϊστορικό παρελθόν του. Σήμερα βέβαια η χρήση των ψηφίων 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 μας φαίνεται τόσο απλή που νομίζουμε ότι είναι ένα έμφυτο χάρισμα του ανθρώπου. Πρέπει να ανατρέξουμε σε μια εγκυκλοπαίδεια ή σε ένα βιβλίο που αναφέρεται στην ιστορία των αριθμών για να μάθουμε, χωρίς να είναι σίγουρο ότι θα καταλάβουμε, πόση προσπάθεια και πόσες χιλιάδες χρόνια χρειάστηκαν για να μάθουμε να μετράμε σήμερα εύκολα και γρήγορα. Το σίγουρο είναι ότι ο άνθρωπος πολύ πριν μάθει να γράφει έμαθε να αριθμεί πράγμα περισσότερο απαραίτητο στις καθημερινές του ασχολίες. Περάσαμε από διάφορα συστήματα αρίθμησης για να φτάσουμε στο δεκαδικό σύστημα θέσης που χρησιμοποιούμε σήμερα. Πληροφοριακά από τις μέχρι τώρα αρχαιολογικές ανασκαφές το πρώτο κάπως προχωρημένο αριθμητικό σύστημα εμφανίστηκε γύρω στο 3500 π.Χ στους Σουμέριους και τους Ελαμίτες που ζούσαν στο σημερινό Ιράκ και Ιράν αντίστοιχα. Το σημερινό σύστημα το οφείλουμε στους Ινδούς που το ανακάλυψαν γύρω στον 3ο αιώνα μ. Χ και στους Άραβες που το μετέδωσαν γύρω στα 1000 μ. Χ στην Ευρώπη . Οι πρώτοι αριθμοί που δημιουργήσαμε είναι οι λεγόμενοι φυσικοί αριθμοί τους οποίους συμβολίζουμε με το ` και είναι οι 0, 1, 2, 3,… Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι πρώτοι αριθμοί που μελετήσαμε στο γυμνάσιο. • Με το ` * συμβολίζουμε τους αριθμούς 1, 2, 3, … . Γράφουμε και ` * = ` * – {0}. Οι επόμενοι αριθμοί που μελετήσαμε είναι οι ακέραιοι αριθμοί που συμβολίζονται με το ] και είναι οι …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Πράξεις με ακέραιους εμφανίζονται για πρώτη φορά στους Ινδούς (γύρω στο 700 μ.Χ). Νύξεις που προαναγγέλλουν τους ακέραιους βρίσκονται στα γραπτά του Διόφαντου από την Αλεξάνδρεια, ο οποίος θεωρείται πατέρας της άλγεβρας. (Ο χρόνος ζωής του τοποθετείται μεταξύ του 150 και του 250 μ.Χ). • Με το ] * συμβολίζουμε τους ακέραιους χωρίς το μηδέν. Γράφουμε και ] * = ] – {0}. • Οι φυσικοί αριθμοί είναι και ακέραιοι. Δεν ισχύει όμως και το αντίστροφο. • Οι φυσικοί χωρίς το μηδέν και οι θετικοί ακέραιοι είναι οι ίδιοι αριθμοί. Δίνουμε παρακάτω μερικές προτάσεις για τους φυσικούς και τους ακέραιους που μας είναι γνωστές από το γυμνάσιο . 1. Άρτιοι ή ζυγοί αριθμοί είναι αυτοί που το ψηφίο των μονάδων τους είναι 0, 2, 4, 6, 8. (π. χ -192 , 1848). Οι άρτιοι διαιρούνται με το 2.
ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ
3. 3.1
23
ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ
Ταυτότητες
Από το γυμνάσιο μας είναι γνωστή η έννοια της ταυτότητας Συγκεκριμένα: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα. π. χ η ισότητα α + β = β + α είναι ταυτότητα , γιατί αληθεύει όποια τιμή και αν πάρουν οι α, β, ενώ η α + 2 = 4 δεν είναι , γιατί αληθεύει μόνο για α = 2. Αναφέρουμε τις πιο γνωστές ταυτότητες:
i) (α + β)2 = α 2 + 2αβ + β 2
ii) (α − β)2 = α 2 − 2αβ + β 2
Δίνουμε μερικά παραδείγματα.
α) 1092 = (100 + 9) 2 = 1002 + 2 ⋅100 ⋅ 9 + 92 = 11.881 , β) 982 = (100 − 2) 2 = 1002 − 2 ⋅ 100 ⋅ 2 + 22 = 9.604 , 3 3 3 12 3 9 x y + y 2 και 5 5 5 5 25 2 2 2 2 2 2 2 δ) (α + 2β) + (2α − β) = α + 4αβ + 4β + 4α − 4αβ + β = 5α + 5β 2 .
γ) (2x 3 − y)2 = (2x 3 )2 − 2 ⋅ 2x 3 ⋅ y + ( y)2 = 4x 6 −
iii) α 2 − β 2 = (α + β)(α − β) Δίνουμε μερικά παραδείγματα.
α) 107 2 − 7 2 = (107 + 7)(107 − 7) = 114 ⋅100 = 11.400 , β) 89 ⋅ 111 = (100 − 11)(100 + 11) = 1002 − 112 = 10.000 − 121 = 9.879 , γ) (2x + 1)2 − (x − 3) 2 = [(2x + 1) + (x − 3)][(2x + 1) − (x − 3)] = (3x − 2)(x + 4) και (α − β + γ)(β + γ − α) = [γ + (α − β)][γ − (α − β)] = γ 2 − (α − β) 2 = γ 2 − α 2 − β 2 + 2αβ .
δ) (4x 2 + y 2 )(2x + y)(2x − y) = (4x 2 + y 2 )(4x 2 − y 2 ) = (4x 2 )2 − (y 2 )2 = 16x 4 − y 4
iv) (α + β)3 = α 3 + 3α 2β + 3αβ 2 + β 3
v) (α − β)3 = α 3 − 3α 2β + 3αβ 2 − β 3
ΔΙΑΤΑΞΗ
47
4. 4.1
ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΟ \
Έννοια της διάταξης
Από το γυμνάσιο μας είναι γνωστές οι έννοιες «μεγαλύτερος από» και «μικρότερος από». Συγκεκριμένα: Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β και συμβολίζουμε α > β, όταν η διαφορά α – β είναι θετικός αριθμός . π. χ ο αριθμός 7 είναι μεγαλύτερος του - 5, γιατί η διαφορά 7 – (- 5) = 12 είναι θετικός αριθμός. • Γεωμετρικά η ανισότητα α > β σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών ο αριθμός α είναι δεξιότερα από τον αριθμό β.
Λέμε ότι ένας αριθμός α είναι μικρότερος από έναν αριθμό β και συμβολίζουμε α < β, όταν ο αριθμός β είναι μεγαλύτερος του α. π. χ ο αριθμός - 5 είναι μικρότερος 7, γιατί, όπως είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, o 7 είναι μεγαλύτερος του – 5. • Γεωμετρικά η ανισότητα α < β σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών ο αριθμός α είναι αριστερότερα από τον αριθμό β.
Από τους παραπάνω ορισμούς προκύπτουν τα εξής: 1. Κάθε θετικός αριθμός α είναι μεγαλύτερος από το μηδέν. Δηλαδή α > 0. Πράγματι, αν α είναι ένας θετικός αριθμός, τότε α – 0 = α, που είναι θετικός. π. χ ο αριθμός 7 είναι θετικός, οπότε 7 > 0. Αντίστοιχα: Κάθε αρνητικός αριθμός α είναι μικρότερος από το μηδέν. Δηλαδή α < 0. π. χ ο αριθμός - 7 είναι αρνητικός, οπότε - 7 < 0. Έτσι κάθε πραγματικός αριθμός α μπορεί να είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος ή ίσος με το μηδέν. Δηλαδή για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει α > 0 ή α < 0 ή α = 0. 2. Λόγω των παραπάνω ο αρχικός ορισμός γράφεται ισοδύναμα:
α>β ⇔ α−β>0 Έτσι, για να συγκρίνουμε δύο αριθμούς, παίρνουμε τη διαφορά τους και αν αυτή είναι θετικός αριθμός σημαίνει, ότι ο πρώτος είναι μεγαλύτερος από το δεύτε-
ΔΙΑΤΑΞΗ
58
4.4
Εφαρμογές
1 , όταν x αρνητικός. x β) 2(αx + βy) και (α +β)( x + y), αν α > β > 0 και x > y > 0.
1. Να συγκρίνετε τους αριθμούς : α) 2
και x +
Λύση α) Βρίσκουμε το πρόσημο της διαφοράς x + Έχουμε: x +
1 −2. x
1 x 2 + 1 − 2x (x − 1) 2 1 −2= = ≤ 0 . Άρα x + ≤ 2 . x x x x
─·─ β) Έχουμε: (α + β)(x + y) − 2(αx + βy) = αx + αy + βx + βy − 2αx − 2βy = αy + βx − αx − βy = α(y − x) − β(y − x) = (y − x)(α − β) . Επειδή y – x < 0 και α – β > 0 είναι (y − x)(α − β) < 0, οπότε (α + β)(x + y) < 2(αx + βy) Í Î
2. Αν
α < β – 2 και β < 5, να αποδείξετε ότι α < 3.
Λύση Οι δυο ανισότητες έχουν την ίδια φορά, οπότε μπορούμε να τις προσθέσουμε κατά μέλη και έχουμε α + β < β – 2 + 5 ή α < 3. Í Î
1 2 3 5 3. Αν − < x < και − < y < , να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών περιέχεται 2 3 4 6 η τιμή της παράστασης Α = 8x – 12y + 3.
Λύση 1 3 < x < με το 8 και έχουμε −4 < 8x < 6 . (1) 2 4 2 5 Πολλαπλασιάζουμε την − < y < με το 12 και έχουμε −8 < 12y < 10 ή 3 6 −10 < −12y < 8 . (2) Προσθέτουμε τις (1) και (2) και έχουμε −14 < 8x − 12y < 14 . Προσθέτουμε στην τελευταία το 3, οπότε −11 < 8x − 12y + 3 < 17 . Άρα −11 < A < 17 . Πολλαπλασιάζουμε την −
Í Î
ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ
80
Έχουμε: x − 2 > 3 ⇔ d(x, 2) > 3 που σημαίνει ότι, η απόσταση του x από το 2, που είναι το κέντρο x0, είτε από δεξιά είτε από αριστερά, είναι μεγαλύτερη από 3 μονάδες, που είναι η ακτίνα ρ. d(x, 2)
-1 x΄
5
2 3 μονάδες
x
3 μονάδες
x
Επομένως: x − 2 > 3 ⇔ d(x, 2) > 3 ⇔ x < 2 − 3 ή x > 2 + 3 ⇔ x ∈ (−∞, 2 − 3) ή x ∈(2 + 3, + ∞) . Γενικά: Για x 0 ∈ \ και ρ > 0, ισχύει:
x − x0 > ρ ⇔
x ∈ ( −∞ , x 0 − ρ) ∪ (x0 + ρ, + ∞ ) ⇔ x < x 0 − ρ ή x > x 0 + ρ
Δηλαδή, οι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει x − x 0 > ρ , ρ > 0, αντιστοιχούν στα σημεία του άξονα x΄x που απέχουν από το x0 απόσταση μεγαλύτερη από ρ. π. χ x + 1 > 3 ⇔ x < −1 − 3 ή x > −1 + 3 ⇔ x < −4 ή x > 2 ⇔ x ∈ (−∞, − 4) ∪ ( 2, + ∞) και
x + 1 ≥ 3 ⇔ x ≤ −1 − 3 ή x ≥ −1 + 3 ⇔ x ≤ −4 ή x ≥ 2 ⇔ x ∈ (−∞, − 4] ∪ [2, + ∞) . Για την ανίσωση x > 3 έχουμε ρ = 3 και x 0 = 0 , οπότε: x > 3 ⇔ x ∈ (−∞, 0 − 3) ∪ (0 + 3, + ∞) ⇔ x ∈ (−∞, − 3) ∪ (3, + ∞) ⇔ x < −3 ή x > 3 . Δηλαδή, οι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει x > ρ , ρ > 0, αντιστοιχούν στα σημεία του άξονα που απέχουν από την αρχή Ο απόσταση μεγαλύτερη από ρ.
5.4
Εφαρμογές
1. Αν 1 < x < 2 , να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιμή την παράσταση: Κ = x −1 − x + 2 + 3 − x .
Λύση Είναι x > 1, x > – 2 και x < 3, οπότε: x – 1 > 0, x +2 > 0 και 3 – x > 0. Συνεπώς Κ = x – 1 – (x + 2) + 3 – x = – x. Í Î
ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ
2. Αν
81
α, β ≠ 0 και ισχύει α β + β α = 0 , να δειχθεί ότι οι α, β είναι ετερόσημοι.
Λύση Η δοθείσα ισότητα γράφεται ισοδύναμα: β β β β β α β = −β α ⇔ =− ⇔ = − ⇔ < 0. α α α α α Το τελευταίο σημαίνει ότι, οι αριθμοί α και β είναι ετερόσημοι. Í Î
3. Να απλοποιήσετε την παράσταση :
A=
3 2 − x − 2(x 2 − 4x + 4) x−2
, x ≠ 2.
Λύση Γνωρίζουμε ότι −α = α , οπότε 2 − x = x − 2 . 2
2
Ακόμη x 2 − 4x + 4 = (x − 2) 2 = x − 2 , γιατί α = α 2 . Έχουμε: A =
3 x−2 −2 x−2 x−2
2
=
x − 2 ⋅ (3 − 2 x − 2 ) x−2
= 3− 2 x − 2 .
Í Î
4. Να λύσετε την εξίσωση:
x 2 − 9 + 4 x − 12 = 0
Λύση Επειδή x 2 − 9 ≥ 0 και
4x − 12 ≥ 0 και το άθροισμά τους είναι 0, κάθε ένας από
τους όρους θα είναι 0. Έτσι: x 2 − 9 = 0 και 4x − 12 = 0 , οπότε x 2 − 9 = 0 και 4x − 12 = 0 ή x = ±3 και x = 3. Άρα x = 3. Í Î
5. Αν 1 < x < 2 B=
και 2 < y < 3 να απλοποιήσετε το κλάσμα
3x − 1 + y 2 − 9 − x 2 − 4 − 5 x − 3 − x 2 − x − 1 − y2
.
Λύση Από 1 < x < 2 έχουμε 3 < 3x < 6, οπότε 2 < 3x – 1 < 5 και 3x – 1 > 0. Ακόμη 2 – x > 0 και 1 < x 2 < 4 ⇔ x 2 − 4 < 0 . Συνεπώς 3x − 1 = 3x − 1 , 2 − x = 2 − x και
x 2 − 4 = −x 2 + 4 .
Από 2 < y < 3 έχουμε 4 < y 2 < 9 ⇔ − 4 > − y 2 > −9 ⇔ − 3 > 1 − y 2 > −8 , οπότε 1 − y 2 < 0 και 1 − y 2 = −1 + y 2 .
ΡΙΖΕΣ
110
i) α + β ≥ 2 αβ ,
ii) α + β + γ ≥ αβ + βγ + γα .
Λύση i) α + β ≥ 2 αβ ⇔ (α + β) 2 ≥ (2 αβ ) 2 ⇔ ( α ) 2 + ( β ) 2 − 2 α β ≥ 0 ⇔ ( α − β ) 2 ≥ 0 , που ισχύει. ─·─
ii) α + β + γ ≥ αβ + βγ + γα ⇔ 2( α) 2 + 2( β)2 + 2( γ ) 2 − 2 α β − 2 β γ − 2 γ α ≥ 0 ⇔ [( α ) 2 + ( β) 2 − 2 α β] + [( β) 2 + ( γ ) 2 − 2 β γ ] + [( γ ) 2 + ( α ) 2 − 2 γ α ] ≥ 0 ⇔
( α − β ) 2 + ( β − γ ) 2 + ( γ − α ) 2 ≥ 0 , που ισχύει. Í Î
17. Αν
α < 2 − 1 , τότε να αποδείξετε ότι
1− α 1− α
< 2 + 1.
Λύση Από τις ιδιότητες των απολύτων, επειδή α < 2 − 1 και − 2 + 1 < α < 2 − 1 , οπότε 2 − 1 > −α > − 2 + 1 και 2 >1− α > 2 − 2 ή 2 − 2 <1− α < 2 . Είναι όμως − 2 < 2 − 2 , οπότε − 2 < 1 − α < 2
2 − 1 > 0 έχουμε:
⇔ 1− α < 2
(1).
Από α < 2 − 1 έχουμε: − α > 1 − 2 ⇔ 1 − α > 2 − 2 ⇔ 1 1 < (2). 1− α 2 ( 2 − 1) Οι (1) και (2) έχουν τα μέλη τους θετικά και την ίδια φορά, οπότε μπορούμε να τις πολλαπλασιάσουμε. Έτσι: 1− α 1− α 2 2 +1 < = = 2 + 1 . Άρα < 2 + 1. 1− α 1− α 2( 2 − 1) ( 2 − 1)( 2 + 1) 1 − α > 2( 2 − 1) ⇔
Άλλος τρόπος Ισχύουν οι ισοδυναμίες: α < 2 −1 ⇔ − α > 1− 2 ⇔ 1− α > 2 − 2 .
Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με 2 + 1 > 0 και έχουμε την ισοδύναμη σχέση ( 2 + 1)(1 − α ) > (2 − 2)( 2 + 1) ή
( 2 + 1)(1 − α ) > 2 2 − 2 + 2 − 2 = 2 . (3)
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
119
7. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7.1
Εξισώσεις 1ου βαθμού
7.1.1 Η εξίσωση αx + β = 0 Γνωρίζουμε ότι: Εξίσωση λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται μόνο για ορισμένες τιμές των μεταβλητών της. π. χ η ισότητα β – 2 = 5 είναι εξίσωση, γιατί αληθεύει μόνο για β = 7, όπως και η x 2 − 5x = −6 , γιατί αληθεύει μόνο για x = 2 ή x = 3. Ο αριθμοί 7 για την πρώτη και 2 και 3 για τη δεύτερη εξίσωση του παραδείγματος, δηλαδή, οι τιμές των μεταβλητών που επαληθεύουν την εξίσωση, λέγονται ρίζες ή λύσεις της εξίσωσης. Η διαδικασία που ακολουθούμε για να βρούμε τις ρίζες μιας εξίσωσης, λέγεται επίλυση ή λύση της εξίσωσης. Κάθε εξίσωση της μορφής αx + β = 0 , όπου α, β είναι πραγματικοί αριθμοί και α ≠ 0 , λέγεται εξίσωση πρώτου βαθμού. • Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής αx + β = 0 για συγκεκριμένους πραγματικούς αριθμούς α, β με α ≠ 0 .
Τον θυμίζουμε με δύο παραδείγματα:
x 2x − 1 1 6 x − = ( − ) 6 3 3 5 3 x 2x − 1 6 x − = − , εκτελούμε πρώτα τις πράξεις 6 3 15 9 βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο όλων των παρονομαστών, εδώ είναι το 90, και πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π: x 2x − 1 6 x 90 ⋅ − 90 ⋅ = 90 ⋅ − 90 ⋅ ή 15x − 30(2x − 1) = 6 ⋅ 6 − 10x . 6 3 15 9 Εκτελούμε τις πράξεις: 15x − 60x + 30 = 36 − 10x , χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους: 15x − 60x + 10x = 36 − 30 ή −35x = 6 και −35x 6 6 = τέλος διαιρούμε με το συντελεστή του άγνωστου: ή x=− . 35 −35 −35
α) Για να επιλύσουμε την εξίσωση
Í Î
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
7.3
135
Εξισώσεις 2ου βαθμού
7.3.1 Λύση της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 Κάθε εξίσωση της μορφής αx 2 + βx + γ = 0, με α ≠ 0 λέγεται εξίσωση δευτέρου βαθμού ή δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο x. π. χ Η εξίσωση x 2 − 5x + 6 = 0 είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού, με α = 1, β = – 5 και γ = 6. Η εξίσωση 3x 2 + 2x = 0 είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού, με α = 3, β = 2 και γ = 0. Η εξίσωση 3x 2 − 1 = 0 είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού, με α = 3, β = 0 και γ = – 1. • Οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ λέγονται συντελεστές της εξίσωσης, ενώ η
ποσότητα Δ = β2 – 4αγ λέγεται διακρίνουσα της εξίσωσης.
π. χ Η δευτεροβάθμια εξίσωση λx 2 + (λ − 2)x − 2 = 0, λ ≠ 0 έχει συντελεστές τους αριθμούς α = λ, β = λ – 2, γ = – 2 και διακρίνουσα Δ = (λ − 2) 2 − 4 ⋅ λ ⋅ ( −2) = λ2 − 4λ + 4 + 8λ = λ2 + 4λ + 4 = (λ + 2) 2 . Η δευτεροβάθμια εξίσωση 3x 2 − 5x + 2 = 0 έχει διακρίνουσα Δ = (−5) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 25 − 24 = 1 . • Κάθε αριθμός ρ που επαληθεύει την εξίσωση λέγεται ρίζα ή λύση της εξίσωσης.
Δηλαδή, ο ρ είναι ρίζα της αx2 + βx + γ = 0, αν και μόνο αν αρ2 + βρ + γ = 0.
π. χ Η εξίσωση x 2 − 5x + 6 = 0 έχει ρίζα τον αριθμό 3, γιατί 32 − 5 ⋅ 3 + 6 = 0 , ενώ ο αριθμός 1 δεν είναι λύση της εξίσωσης, γιατί 12 − 5 ⋅ 1 + 6 = 2 ≠ 0 . + βx + γ, με α ≠ 0, που είναι ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, λέγεται τριώνυμο 2ου βαθμού, και έχει συντελεστές, τους συντελεστές της αντίστοιχης δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0, καθώς και διακρίνουσα και ρίζες. • Κάθε παράσταση της μορφής P(x) = αx
2
π. χ Το τριώνυμο P(x) = x 2 − 5x + 6 έχει συντελεστές, διακρίνουσα και ρίζες, τους συντελεστές, τη διακρίνουσα και τις ρίζες, της εξίσωσης x 2 − 5x + 6 = 0 .
Επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Θα προσπαθήσουμε τώρα να επιλύσουμε την εξίσωση δευτέρου βαθμού στη γενική της μορφή αx 2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 , με τη μέθοδο συμπλήρωσης του τετραγώνου. Έχουμε διαδοχικά: β γ αx 2 + βx + γ = 0 ⇔ x 2 + x + = 0 ⇔ α α
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
181
π. χ Το τριώνυμο P(x) = x 2 − 5x + 6 για x = 1 γίνεται θετικό, αφού
P(1) = 2 > 0, ενώ το τριώνυμο P(x) = x 2 + x + 1 παίρνει πάντα θετικές τιμές, όποια τιμή και να πάρει ο x. • Η εύρεση του προσήμου ενός τριωνύμου επιτυγχάνεται με τη βοήθεια της μορ-
φής που μπορεί να πάρει το τριώνυμο. Έστω το τριώνυμο P(x) = αx 2 + βx + γ με α ≠ 0. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: α) Αν Δ > 0, τότε το τριώνυμο παίρνει τη μορφή P(x) = α ( x − x1 )( x − x 2 ) , όπου x1, x2 είναι οι ρίζες . Έστω x1 < x2. • Αν το x παίρνει τιμές μικρότερες του x1 ή μεγαλύτερες του x2, δηλαδή αν x < x1 < x 2 ή x1 < x 2 < x ή όπως λέμε, το x παίρνει τιμές που βρίσκονται στα διαστήματα εκτός των ριζών του τριωνύμου, τότε οι αριθμοί x − x1 και x − x 2 είναι ομόσημοι, οπότε το γινόμενο (x − x1 )(x − x 2 ) είναι θετικό. Επομένως το πρόσημο του τριωνύμου είναι ίδιο με το πρόσημο του α. • Αν το x παίρνει τιμές στο διάστημα που βρίσκεται μεταξύ των ριζών του τριωνύμου, δηλαδή αν x1 < x < x 2 , τότε οι αριθμοί x − x1 και x − x 2 είναι ετερόσημοι, οπότε το γινόμενο (x − x1 )(x − x 2 ) είναι αρνητικό. Επομένως το πρόσημο του τριωνύμου είναι αντίθετο από το πρόσημο του α. Γενικά:
Αν Δ > 0, τότε το τριώνυμο P(x) = αx 2 + βx + γ είναι ομόσημο του α, όταν το x παίρνει τιμές εκτός των ριζών του τριωνύμου και ετερόσημο του α, όταν το x παίρνει τιμές μεταξύ των ριζών του τριωνύμου. Τα παραπάνω συμπεράσματα φαίνονται στο σχήμα:
P(x)
−∞ ομόσημο του α
x2
x1 ετερόσημο του α
+∞ ομόσημο του α
π. χ Το τριώνυμο P(x) = x 2 − 5x + 6 έχει α = 1 > 0, Δ = 1 > 0 και ρίζες 2, 3, οπότε το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές (γίνεται θετικό), όταν το x παίρνει τιμές εκτός των ριζών. Δηλαδή, όταν x < 2 ή x > 3, ενώ όταν 2 < x < 3, το τριώνυμο παίρνει αρνητικές τιμές (γίνεται αρνητικό).
x − 5x + 6 2
+
2
−
3
+
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
184
π. χ Για το P(x) = 3x 2 − x + 2 έχουμε αΡ(1) = 4 > 0 και Δ = – 23 < 0.
β) Στη περίπτωση που είναι Δ > 0 και ένας αριθμός ξ βρίσκεται μεταξύ των ριζών, ισχύει αP( ξ ) < 0. π. χ Για το τριώνυμο P(x) = x 2 − 6x + 5 έχουμε Δ = 16 > 0, α = 1 > 0 και ρίζες 1, 5, οπότε για τον αριθμό 3, που είναι μεταξύ των ριζών, ξέρουμε ότι ισχύει Ρ(3) < 0, χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε τις πράξεις. • Στην περίπτωση αυτή ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή, αν για κάποιον αριθμό ξ ισχύει αP( ξ ) < 0, τότε το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες ή Δ > 0.
π. χ Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο P(x) = λx 2 − (2λ − 1)x − 3λ − 1, λ ≠ 0 έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, χωρίς να βρείτε τη διακρίνουσα.
Λύση Παρατηρούμε ότι αΡ(1) = λ(λ – 2λ + 1 – 3λ – 1) = – 4λ2 < 0, οπότε το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.
8.2.3 Ανισώσεις της μορφής αx2 + βx + γ > 0 ή αx2 + βx + γ < 0
Τα προηγούμενα συμπεράσματα για το πρόσημο ενός τριωνύμου χρησιμοποιούνται στην επίλυση ανισώσεων της μορφής αx 2 + β x + γ > 0 ή < 0, α ≠ 0 , οι οποίες ονομάζονται ανισώσεις δευτέρου βαθμού. Για καλύτερη κατανόηση δίνουμε μερικά παραδείγματα.
i) Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x 2 − 3x + 2 > 0 ,
β) x 2 − 3x + 2 ≤ 0 .
Λύση α) Ζητάμε τις τιμές του x για τις οποίες το τριώνυμο x 2 − 3x + 2 είναι θετικό, δηλαδή ομόσημο του α = 1. Οι τιμές αυτές προκύπτουν από τη μελέτη του προσήμου του τριώνυμου. Έχουμε Δ = 1 > 0 και α = 1 > 0. Οι ρίζες του τριωνύμου είναι 1 και 2, οπότε η ανίσωση x 2 − 3x + 2 > 0 αληθεύει για κάθε τιμή του x που βρίσκεται εκτός των ριζών του τριωνύμου, δηλαδή για κάθε x με x < 1 ή x > 2. Στον άξονα οι λύσεις της σημειώνονται ως εξής: − ∞
1
+
2
−
+∞
+
β) Ζητάμε τις τιμές του x για τις οποίες το τριώνυμο x 2 − 3x + 2 είναι αρνητικό ή μηδέν, δηλαδή ετερόσημο του α = 1 ή μηδέν, οπότε η ανίσωση x 2 − 3x + 2 ≤ 0
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
188
(x − 1) 2 − x − 5 < (x − 2) 2 ⇔ x 2 − 2x + 1 − x − 5 < x 2 − 4x + 4 ⇔ x < 8 . 8
− ∞
+∞
Í Î
ii) Να επιλύσετε την ανίσωση: (x − 1) 2 − 5 ≥ (x − 2) 2 − x 2 . Λύση (x − 1) 2 − 5 ≥ (x − 2) 2 − x 2 ⇔ x 2 − 2x + 1 − 5 ≥ x 2 − 4x + 4 − x 2 ⇔
x 2 + 2x − 8 ≥ 0 . Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: Δ = 36 > 0 και οι ρίζες 2, – 4. Θέλουμε το τριώνυμο να είναι θετικό ή μηδέν, οπότε η ανίσωση αληθεύει για τιμές του x εκτός των ριζών ή ίσες με τις ρίζες του τριωνύμου, δηλαδή για κάθε x με x ≤ −4 ή x ≥ 2 . − ∞
2
-4
+
+∞
+
− Í Î
iii) Να επιλύσετε την ανίσωση: (x − 2)3 + 2(2x − 1) 2 + 4 > 3(x − 1) 2 + 14x − 9 . Λύση (x − 2)3 + 2(2x − 1) 2 + 4 > 3(x − 1) 2 + 14x − 9 ⇔ x 3 − 6x 2 + 12x − 8 + 8x 2 − 8x + 2 + 4 > 3x 2 − 6x + 3 + 14x − 9 ⇔
x 3 − x 2 − 4x + 4 > 0 ⇔ x 2 (x − 1) − 4(x − 1) > 0 ⇔ (x − 1)(x 2 − 4) > 0 ⇔ ( x − 1)(x + 2)(x − 2) > 0 . x x −1 x+2 x−2 Γινόμενο
−∞
-2
– – – –
1
– + – +
2
+ + – –
+∞
+ + + +
Άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε x με – 2 < x < 1 ή x > 2.
8.2.5 Ανισώσεις πηλίκο Ανισώσεις πηλίκο είναι αυτές στις οποίες ο άγνωστος εμφανίζεται και στους παρανομαστές.
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
192
Από την τελευταία γραμμή συμπεραίνουμε ότι η ανίσωση αληθεύει για κάθε x με x > 4 ή 0 < x < 3. (3) Η συναλήθευση των (1), (2) και (3) φαίνεται στο σχήμα: 0
1
3
2
4
(1)
(1) (2) (3)
(3)
Το σύστημα αληθεύει για 2 < x < 3.
8.2.6 Εφαρμογές 1.
Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων το τριώνυμο: P(x) = 2x 2 + (3α + 4β)x + α 2 + 3αβ + 2β 2 .
Λύση Είναι Δ = (3α + 4β) 2 − 4 ⋅ 2(α 2 + 3αβ + 2β 2 ) = 9α 2 + 24αβ + 16β 2 − 8α 2 − 24αβ − 16β 2 = α 2 ≥ 0 . Οι ρίζες του τριωνύμου είναι: −(3α + 4β) − α −(3α + 4β) + α −α − 2β ρ1 = = και ρ 2 = = −α − β . 4 4 2 Επειδή η Δ ≥ 0 το τριώνυμο παίρνει τη μορφή P( x) = α(x − ρ1 )(x − ρ 2 ) , οπότε −α − 2β −α − 2β έχουμε P(x) = 2[x − ][ x − (−α − β)] = [2x − 2 ⋅ ](x + α + β) = 2 2 [2x − (−α − 2β)](x + α + β) = (2x + α + 2β)(x + α + β) . Í Î
2. Να απλοποιήσετε το κλάσμα:
Κ=
α 2 + ( 2 − 1)α − 2 3α 2 + (3 2 − 1)α − 2
.
Λύση Για τον αριθμητή έχουμε: Δ = ( 2 − 1) 2 − 4 ⋅ (− 2) = ( 2) 2 − 2 2 + 1 + 4 2 = ( 2) 2 + 2 2 + 1 = ( 2 + 1) 2 , οπότε ρ1 =
−( 2 − 1) + ( 2 + 1) = 1, 2
−( 2 − 1) − ( 2 + 1) = − 2 και ο αριθμητής γράφεται (α − 1)(α + 2) . 2 Για το τριώνυμο του παρονομαστή έχουμε: Δ = (3 2 − 1) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 2) = ρ2 =
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
9. 9.1
207
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης
Ο τύπος Ε = α 2 δίνει το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α. Δηλαδή ο τύπος αυτός περιγράφει μια διαδικασία, με την οποία κάθε τιμή του α αντιστοιχίζεται σε μία ακριβώς τιμή του Ε. Για παράδειγμα, αν α = 2, έχουμε ακριβώς ένα Ε = 4, αν α = 5, τότε Ε = 25, ενώ αν α = 10, έχουμε ένα μόνο αποτέλεσμα Ε = 100. Αν x ευρώ στοιχίζει η τιμή μονάδος ενός προϊόντος, τότε τα χρήματα y που απαιτούνται για να αγοραστούν 8 μονάδες βρίσκονται από την ισότητα y = 8x. Ο τύπος y = 8x περιγράφει μια διαδικασία, με την οποία κάθε τιμή του x αντιστοιχίζεται σε μία ακριβώς τιμή του y. Έτσι για x = 1, έχουμε ακριβώς μία τιμή για το y, το 8, ενώ για x = 3, έχουμε ακριβώς ένα y, το 24. Ο τόκος Τ που αποδίδει κεφάλαιο 3000 ευρώ σε ένα χρόνο με επιτόκιο ε %, ε = 20ε . δίνεται από τον τύπο T = 2000 ⋅ 100 Ο τύπος Τ = 20ε περιγράφει έναν κανόνα, με τη βοήθεια του οποίου, κάθε τιμή του ε αντιστοιχίζεται σε μία ακριβώς τιμή του Τ. Για παράδειγμα, αν ε = 2, έχουμε ακριβώς ένα Τ = 40 ευρώ, ενώ αν ε = 3, έχουμε ακριβώς ένα Τ = 60 ευρώ. Σε καθένα από τα παραπάνω παραδείγματα εμφανίζονται δύο μεγέθη, τα οποία μεταβάλλονται με τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε φορά η τιμή του ενός να αντιστοιχίζεται σε μια ακριβώς τιμή του άλλου. Η διαδικασία με την οποία αντιστοιχίζονται τα δύο μεγέθη στα παραπάνω παραδείγματα, δίνεται από ένα μαθηματικό τύπο. ( Ε = α 2 , y = 8x και T = 20ε) Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις όπου η διαδικασία αντιστοίχισης δεν περιγράφεται ή δεν γνωρίζουμε αν περιγράφεται από κάποιο τύπο. π. χ Οι αριθμοί των κυκλοφορούντων αυτοκινήτων μια συγκεκριμένη ώρα της ημέρας και η ταχύτητά τους. Σε όλα τα παραπάνω παραδείγματα παρατηρούμε ότι, υπάρχουν δύο μη κενά σύνολα Α και Β και μια διαδικασία (τρόπος, κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β. Μια τέτοια διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση από το Α στο Β. Δηλαδή: Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας, τρόπος) με την οποία, κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β. • Οι συναρτήσεις παριστάνονται συνήθως με τα μικρά γράμματα f , g , h , … του
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
223
• Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f
y
αποτελείται από τα τμήματα της Cf που βρίσκονται πάνω στον άξονα x΄x και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα x΄x, των τμημάτων της Cf που βρίσκονται κάτω από αυτόν τον άξονα.
y = f (x)
y = f(x) x
Αν Cf και Cg είναι οι γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων f, g, με κοινό πεδίο ορισμού Α, τότε ισχύουν τα εξής: • Η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x για εκείνες
τις τιμές του x, για τις οποίες έχουμε f (x) > 0 , ενώ βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x για εκείνες τις τιμές του x ∈ A , για τις οποίες έχουμε f (x) < 0 .
π. χ Αν f ( x) = x 2 − 5x + 6 , τότε η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x, όταν f (x) = x 2 − 5x + 6 > 0 ή x ∈ (− ∞, 2) ∪ (3, + ∞) .
y f(x)
cf f(x) > g(x)
g(x)
• Η γραφική παράσταση της f
f(β) > 0
x
f(α) = g(α) γ
β
x α O βρίσκεται πάνω από τη γραφική cg παράσταση της g, για εκείνες τις τιμές του x ∈ A , για τις οποίες ισχύει g(γ) < 0 f (x) > g (x) , βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g, για εκείνες τις τιμές του x ∈ A , για τις οποίες ισχύει f (x ) < g(x) και • οι γραφικές παραστάσεις των f, g τέμνονται, για εκείνες τις τιμές του x ∈ A , για τις οποίες ισχύει f (x) = g(x) . y • Έστω C ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και ακτίνα ρ. Να αποδείξετε ότι, ένα Μ(x, y) C σημείο Μ(x, y) ανήκει στον κύκλο C, αν και ρ μόνο αν ισχύει x 2 + y 2 = ρ 2 .
Λύση
Ο
Ένα σημείο Μ(x, y) ανήκει στον κύκλο, αν και μόνο αν η απόστασή του από το κέντρο είναι ίση με την ακτίνα. Δηλαδή όταν (ΟΜ) = ρ. Όμως, (OM) = (x − 0) 2 + (y − 0) 2 =
x 2 + y2 ,
x
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
289
11. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 11.1
Γραμμικά συστήματα
11.1.1 Η εξίσωση αx + βy = γ Κάθε εξίσωση της μορφής αx + β y = γ , με α ≠ 0 ή β ≠ 0 λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Θα αποδείξουμε ότι: Κάθε γραμμική εξίσωση της μορφής αx + βy = γ , με α ≠ 0 ή β ≠ 0 παριστάνει ευθεία γραμμή.
Απόδειξη Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: • Αν β ≠ 0 , η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: α γ αx + β y = γ ⇔ β y = −αx + γ ⇔ y = − x + . β β Η τελευταία εξίσωση παριστάνει ευθεία που έχει α συντελεστή διεύθυνσης λ = − και τέμνει τον β γ άξονα y΄y στο σημείο . β
y γ β
γ α
αx + βy = γ, β ≠ 0
Ο
γ α
x
γ β
− Αν α ≠ 0 , τότε η ευθεία τέμνει και τους άξονες στα σημεία ( , 0) και (0, ) . − Αν α = 0 , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή y=
γ που παριστάνει ευθεία. β
Η ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα y΄y στο είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.
γ και β
y γ β αx + βy = γ, α = 0
Ο
x
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
298
⎧4x − 2y = 20 , ⎨ ⎩ 4x − 2y = 13 το οποίο προφανώς είναι αδύνατο. Í Î
⎧ 2x − y = 10 . ⎩4x − 2y = 20
δ) Να λυθεί το σύστημα: ⎨ Λύση
2 −1 = −4 − (−4) = 0 , οπότε το σύστημα είναι ή αδύνατο ή αόριστο. 4 −2 Αν διαιρέσουμε τα μέλη της δεύτερης εξίσωσης με το 2, προκύπτει το ισοδύναμο ⎧2x − y = 10 σύστημα , ⎨ ⎩2x − y = 10 δηλαδή το σύστημα έχει μία μόνο εξίσωση, την 2x − y = 10 . Αυτό σημαίνει ότι, οι λύσεις του συστήματος είναι λύσεις της εξίσωσης: 2 x − y = 10 ⇔ y = 2x − 10 . Άρα το σύστημα έχει άπειρες το πλήθος λύσεις, που δίνονται από τα ζεύγη της μορφής (x, y) = ( κ, 2κ − 10) , με κ ∈ \ . Έχουμε: D =
Διερεύνηση γραμμικού συστήματος 2 x 2 Στην § 7.1.1(σχόλιο) αναφέραμε την παραμετρική εξίσωση της μορφής αx + β = 0. Μια γραμμική εξίσωση είναι παραμετρική, όταν οι συντελεστές της και ο σταθερός όρος δεν είναι όλοι συγκεκριμένοι αριθμοί, αλλά κάποιοι εκφράζονται με τη βοήθεια γραμμάτων, που λέγονται παράμετροι. Τέτοιες εξισώσεις είναι οι: (λ2 − 1)x + 5y = λ − 1 , 2x + λy − ( κ − 2)z = κ + 2λ , με παραμέτρους τα κ, λ. (Χρειάζεται προσοχή για να μην μπερδεύετε τις παραμέτρους με τους αγνώστους) Ένα σύστημα στο οποίο μια τουλάχιστον από τις εξισώσεις του είναι παραμετρική χρειάζεται, όπως λέμε, διερεύνηση. Δηλαδή, πρέπει να εξετάσουμε για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων, πότε προκύπτει μοναδική λύση και να τη βρούμε ή πότε προκύπτει σύστημα αδύνατο ή σύστημα με άπειρες λύσεις. Δίνουμε δύο παραδείγματα. ⎧ (μ + 1)x + 8y = 4μ . ⎩μx + (μ + 3)y = 3μ − 1
α) Να λυθεί το σύστημα: ⎨ Λύση Έχουμε: D =
μ +1 8 = (μ + 1)(μ + 3) − 8μ = μ 2 − 4μ + 3 = (μ − 1)(μ − 3) , μ μ+3