ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ by κεντρο διδασκαλιας και μελετης

ΝΤΙΝΟΥ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΥ

ανάλυση τόμος Α΄

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥΣ ΤΩΝ ΑΝΩΤΑΤΩΝ ΣΧΟΛΩΝ

περιέχει • • • •

Θεωρία 124 παραδείγματα 103 εφαρμογές 536 ασκήσεις με υποδείξεις ή λύσεις

Πρόλογος Χθες ήταν που ξεκίνησα να κάνω το δάσκαλο των μαθηματικών και από χθες μέχρι σήμερα πέρασαν κοντά σαράντα χρόνια. Κοντά σαράντα χρόνια, λοιπόν, και όμως δεν άκουσα ποτέ και από κανένα μαθητή λυκείου να εκθειάζει ως εύκολο κάποιο βιβλίο μαθηματικών. Αντιλαμβάνεσθε πιστεύω τον πόθο μου, μια και το να γίνω δάσκαλος μαθηματικών το διάλεξα, να είμαι εγώ αυτός που θα γράψει το πρώτο ευκολοδιάβαστο βιβλίο μαθηματικών για το μαθητή του λυκείου. Όλα αυτά τα χρόνια το τόλμησα κάμποσες φορές. Αποτέλεσμα; Κάθε φορά τα γραπτά μου γίνονταν και πιο δύσκολα. Έπρεπε να περάσουν τόσα χρόνια, για να αποδεχθώ την ήττα μου και να το πάρω απόφαση πια, ότι εύκολο βιβλίο μαθηματικών για ένα μαθητή λυκείου δεν υπάρχει. Μπορεί να γραφεί ένα πιο ευχάριστο βιβλίο ως προς την εμφάνιση (χρώματα, εικόνες, ιστορικά παραλειπόμενα, καλύτερη σύνδεση με την πραγματικότητα). Αυτό όμως, θα μεγάλωνε τον όγκο του βιβλίου, πράγμα απαγορευτικό για τα Ελληνικά δεδομένα λόγω του μεγέθους της αγοράς. Στην ουσία όμως, αυτό καθαυτό το κείμενο δεν θα άλλαζε. Πάντα το βιβλίο μαθηματικών του λυκείου θα φαντάζει δύσκολο στα μάτια του μαθητή. Η δυσκολία έγκειται στο ότι τα μαθηματικά έχουν δικιά τους δομή (όπως μια ξένη γλώσσα), έχουν νόμους και κανόνες τους οποίους πρέπει να τηρούμε και το κυριότερο, έχουν συνέχεια, δηλαδή πρέπει να ξεκινήσουμε από το α και να προχωράμε γράμμα – γράμμα με συνεχείς επαναλήψεις. Δεν μπορούμε δηλαδή αφού μελετήσουμε το α να διαβάσουμε στη συνέχεια το θ. Μια ξένη γλώσσα πάλι, είναι δυνατόν να τη χρησιμοποιούμε υπακούοντας μόνο στους βασικούς της κανόνες, γιατί κύριο μέλημά μας είναι να κατορθώσουμε να συνεννοηθούμε κάπως με το συνομιλητή μας. Δυστυχώς, αυτό το κάπως δεν υπάρχει στα μαθηματικά. Όταν προσπαθούμε να λύσουμε ένα μαθηματικό πρόβλημα, έχουμε απόλυτη ελευθερία στο πώς να το προσεγγίσουμε. Όταν όμως το λύσουμε και θελήσουμε να το μεταφέρουμε στο χαρτί, τότε πρέπει να το γράψουμε ακολουθώντας και τους κανόνες της γραμματικής και του συντακτικού της γλώσσας μας, αλλά και τους κανόνες της γραμματικής και του συντακτικού των μαθηματικών. Αποτέλεσμα αυτού είναι να φαντάζει το κείμενο δύσκολο στα μάτια ενός μαθητή . Συμβιβασμένος πια με την αντικειμενική δυσκολία του εγχειρήματος, έγραψα το βιβλίο αυτό, καταστάλαγμα τόσων χρόνων εμπειρίας, που ολοκληρώνεται σε τρεις τόμους και απευθύνεται κυρίως σε υποψήφιους της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης, με την ευχή και προσδοκία να αποτελέσει ένα χρήσιμο εργαλείο στην προσπάθειά τους. Ο αναγνώστης υποψήφιος δεν θα πρέπει να ξεχνά ότι τίποτα δεν επιτυγχάνεται χωρίς κόπο. Εδώ θα ήθελα να τονίσω στον υποψήφιο, πως είναι λάθος η πεποίθηση που επικρατεί, ότι όσο περισσότερες ασκήσεις λύσει, τόσο καλύτερα είναι και προετοιμασμένος. Μάλιστα, αν βρεθεί κάποιος να του ομαδοποιήσει τις ασκήσεις, τότε

αποστηθίζοντας τις ομάδες νομίζει ότι είναι γνώστης και πανέτοιμος. Θα πρέπει να ξέρει ότι οι μεγάλοι βαθμοί στα γραπτά επιτυγχάνονται κυρίως με την καλή γνώση και όχι την αποστήθιση. Αποτεινόμενος στον υποψήφιο που θα αποκτήσει αυτό το βιβλίο, έχω να προτείνω τον παρακάτω τρόπο μελέτης ενός κεφαλαίου. α) Σε πρώτη φάση να μελετήσει προσεκτικά τη θεωρία, τα σχόλια και τις βασικές προτάσεις με τα αντίστοιχα παραδείγματα του κεφαλαίου. β) Να προσπαθήσει να λύσει τις εφαρμογές της Α΄ ομάδας, βοηθούμενος από τις λύσεις τους, και κάποιες από τις ασκήσεις της Α΄ ομάδας (για παράδειγμα να λύσει την 1η, κατόπιν την 4η, την 7η, …) , βοηθούμενος από τα αποτελέσματα, τις υποδείξεις ή τις λύσεις που υπάρχουν στο τελευταίο μέρος του βιβλίου. Εδώ θέλω να τονίσω ότι: • Στις εφαρμογές θα πρέπει οπωσδήποτε να διαβάσει και τις λύσεις τους. Αυτό πρέπει να γίνει, όχι τόσο για τον τρόπο που είναι λυμένες, γιατί είναι πολύ πιθανό να έχει βρει πιο εύκολο τρόπο λύσης (πιο εύκολος είναι ο τρόπος που κατανοεί κάποιος καλύτερα, έστω και αν είναι πιο μακροσκελής), αλλά για τον τρόπο που είναι γραμμένες, ώστε να μάθει πώς πρέπει να είναι η εικόνα της λύσης μιας άσκησης στο γραπτό. • Στις ασκήσεις θα πρέπει να χρησιμοποιεί το τελευταίο μέρος του βιβλίου μόνο σαν τελευταία λύση. γ) Μετά το τέλος των παραπάνω θα προχωρήσει στο επόμενο κεφάλαιο χωρίς να ασχοληθεί με τις εφαρμογές και τις ασκήσεις της Β΄ομάδας. δ) Όταν τελειώσει η πρώτη φάση για όλα τα κεφάλαια, τότε θα ξεκινήσει πάλι από την αρχή με επανάληψη της θεωρίας κάθε κεφαλαίου και λύση των εφαρμογών και κάποιων ασκήσεων της Β΄ομάδας. Εννοείται ότι, έχοντας εικόνα όλης της θεωρίας, μπορεί να διαλέξει και ευκολότερο δρόμο στη αντιμετώπιση κάποιας εφαρμογής ή άσκησης, έστω και αν χρησιμοποιήσει στοιχεία της θεωρίας που υπάρχουν σε επόμενα κεφάλαια. ε) Όταν τελειώσει η δεύτερη φάση θα ασχοληθεί με τα γενικά θέματα που βρίσκονται στο τέλος του Γ΄ τόμου για μια γενική επανάληψη. Κλείνοντας, θέλω να ευχαριστήσω όλους τους κατά την πάροδο των τόσων χρόνων διδασκαλίας μαθητές μου, για όλα όσα μου δίδαξαν με τον προβληματισμό τους, τις «χαζές», όπως πίστευαν οι περισσότεροι, αλλά γεμάτες ουσία παρατηρήσεις και απορίες τους και την παιδική τους αθωότητα. Ακόμη θέλω να ευχαριστήσω τους συναδέλφους, κυρίως αυτούς που υπηρέτησαν κάποιο διάστημα σε σχολείο της Καλλιθέας, οι οποίοι μου δίδαξαν πολλά μέσω των μαθητών τους. Ειδικότερα θέλω να ευχαριστήσω το Δημήτρη Βρύσαλη για τις εύστοχες παρατηρήσεις και διορθώσεις, καθώς επίσης τη γυναίκα μου και την κόρη μου για την υπομονή τους. Τέλος δεν μπορώ να μη νιώθω απέραντα υποχρεωμένος στη Μαρίνα Βαρδαλή – Καλύβα, χωρίς την υπομονή και την πολύτιμη βοήθεια της οποίας θα ήταν πολύ δύσκολο το γράψιμο αυτού του βιβλίου. Αθήνα Ντίνος Ζαφειρόπουλος

Βιβλιογραφία 1. Όλα τα κατά καιρούς εκδοθέντα από τον Ο.Ε.Δ.Β σχολικά βιβλία. 2. Περιοδικά Ευκλείδης Β΄ και Γ΄ της Ε.Μ.Ε. 3. Ασκήσεις που κατά καιρούς έχουν προτείνει συνάδελφοι στα σχολεία (κυρίως

της Καλλιθέας). 4. Τα θέματα που έχουν δοθεί στις εισαγωγικές εξετάσεις , θέματα που έχουν προ-

ταθεί από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο και θέματα που έχουν προταθεί σε εξετάσεις άλλων χωρών. 5. Κάππος. Α. Δ.– Απειροστικός λογισμός – έκδοσις Β΄ 1962. 6. Flett. T. M – Mathematical Analysis – Mc Graw Hill publishing Company Limited – London 1966. 7. Perju C. – Perju R – Culegere de probleme de matematica – Bucuresti 1970. 8. Φερεντίνου. Α – Νικολακοπούλου & Σαββαίδης. Χ. Β. – Στοιχεία Μαθηματικής Αναλύσεως – Τόμοι 1 & 2 – Αθήνα 1976. 9. Γαλανής. Ε – Εισαγωγή στην πραγματική ανάλυση – Εκδόσεις Συμεών – Αθήνα 1976. 10. Leithold L. – The calculus with analytic geometry – Third edition – Harper & Row 1976. 11. Μάγειρας. Ν. Π – Αλγεβρικά θέματα μετά σημειώσεων αναλύσεως – τόμοι 3, 4, 6 – Σύγχρονοι μεθοδικαί μαθηματικαί σπουδαί – Αθήνα 1971, 1972, 1977. 12. Berman N. G. – A problem book in mathematical analysis – Mir Publisheers – Moscow 1977. 13. Sallas L. S & Hill E. – Calculus – One and several variables – Part 1 Third edition –J. wiley – New York 1978. 14. Donciu N – Flondor D – Algebra si analisa matematica – Bucuresti 1978. 15. Καζαντζής. Ν. Θ – Συναρτήσεις – τεύχη 1ο & 2ο – Τυποεκδοτική Θεσσαλονίκη 1979 & 1980. 16. Binmor. K. G – Mathematical Analysis – Cambridge University Press – Second edition 1982. 17. Φράγκου Δ. Β. – Ασκήσεις διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού – Τόμοι Α΄& Β΄- Gutenberg – 1984. 18. Brand L. – Μαθηματική ανάλυση – Μετάφραση και έκδοση της Ε. Μ. Ε 1984. 19. Flanders. H – Calculus – W. H. Freeman and Company – New York 1985. 20. Zwirner G – Scaglianti L – Elementi di Analisi – Vol. secondo – Cendam – milani 1988. 21. Μαμούρης Ν. ΑΘ. – Συναρτήσεις - Μέρος ΙΙ – Διόφαντος – Αθήνα 1990. 22. Spivak M. – Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός – Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης – Ηράκλειο 1991. 23. Ganga M. – Teme si probleme de Matematica – Editura Tehnica – Bucuresti 1991.

24. Ντζιώρας Β. Η – Ανάλυση Γ΄ λυκείου 1, 2, 3 τεύχη – Πατάκης – 1992. 25. Νεγρεπόντης Σ – Γιωτόπουλος Σ – Γιαννακούλιας Ε – τόμοι I και II – Συμμε-

τρία 1987 & 1993. 26. Στρατή Γιάννη – Πραγματική Ανάλυση I – Εκδόσεις Αλκίνοος - Αθήνα 1993. 27. Thomas B. G – Finney L. R – Απειροστικός λογισμός – Τόμος Α΄ - Πανεπι-

στημιακές εκδόσεις Κρήτης – Ηράκλειο 1993. 28. Γεωργιακάκης Μ. – Ευσταθόπουλος Ε – Καββαδίας Κ – Σβέρκος Α – Τεύχη 1, 2, 3 - Βιβλιοεκδοτική Αναστασάκη – Αθήνα 1994. 29. Μπουνάκης Ι. Δ – Γενικά θέματα και προβλήματα ανάλυσης – Τόμοι 1, 2 – Σύνθεση – Ηράκλειο – 1994. 30. Καζαντζής. Ν. Θ – Ολοκληρώματα & 1000 ασκήσεις ολοκληρωμάτων – Μαθηματική βιβλιοθήκη Χ. Βαφειάδης – Θεσσαλονίκη 1994 & 1997. 31. Στεργίου Χαρ. – Νάκης Χρ. – Στεργίου Ι. – Ανάλυση – Ασκήσεις και θέματα – Σαββάλας. 1998. 32. Ζαφειρόπουλος Ντ. – Παράγωγοι – Καλλιθέα 1998. 33. Αχτσαλωτίδης Χριστοφ. – Ανάλυση – Μεταίχμιο 2006.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1. 1.1

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Σύνολα

1. Με τη λέξη σύνολο (set) εννοούμε μια συλλογή αντικειμένων τα οποία προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη σκέψη μας, ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο και αναγνωρίζονται με σιγουριά. Π. χ Οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 μέχρι και το 9 αποτελούν ένα σύνολο, οι τίτλοι των βιβλίων της βιβλιοθήκης μας αποτελούν ένα σύνολο, ενώ τα ωραία τραγούδια δεν αποτελούν σύνολο, γιατί δεν είναι τα ίδια για όλους μας. 2. Τα αντικείμενα που περιέχονται (ανήκουν) σε ένα σύνολο, τα λέμε στοιχεία (elements ή members) του συνόλου και τα συμβολίζουμε συνήθως με μικρά γράμματα, ενώ τα σύνολα τα συμβολίζουμε με κεφαλαία γράμματα. Π. χ Το σύνολο Α περιέχει τα στοιχεία α, β, γ, …

•

Με το συμβολισμό α ∈ Α δηλώνουμε , ότι το στοιχείο α ανήκει ή περιέχεται στο σύνολο Α, ενώ αν θέλουμε να δηλώσουμε ότι το α δεν ανήκει στο σύνολο Α, γράφουμε α ∉ Α. 3. Για να παραστήσουμε ένα σύνολο έχουμε δυο τρόπους γραφής: Την αναγραφή, όπου γράφουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου και τα κλείνουμε ανάμεσα σε δυο άγκιστρα. Π. χ Α = {α, β, γ } και την περιγραφή, όπου ανάμεσα σε δύο άγκιστρα γράφουμε τη χαρακτηριστική κοινή ιδιότητα που έχουν τα στοιχεία του συνόλου. Π. χ Οι θετικοί ακέραιοι οι μικρότεροι του 5 με αναγραφή αποδίδονται με Α = {1, 2, 3, 4, 5}, ενώ με περιγραφή Α = {θετικοί ακέραιοι μικρότεροι του5} ή με σύμβολα Α = {x ∈ `* / x < 5}.

• •

Το σύμβολο « / » διαβάζεται '' όπου " ή " τέτοιο ώστε ".

Υπάρχουν σύνολα που δεν μπορούμε να τα αποδώσουμε με αναγραφή. Π. χ Οι ρητοί αριθμοί, γιατί, αν γράψουμε ένα ρητό, ας πούμε το 2,334, δεν ξέρουμε ποιος ακολουθεί.

•

Σύνολα που έχουν πολλά ή άπειρα στοιχεία και γράφοντας τα στοιχεία τους γνωρίζουμε τη σειρά που θα ακολουθήσουμε, μπορούμε να τα αποδώσουμε με αναγραφή χρησιμοποιώντας το σύμβολο « … » (τρεις τελείες). Π. χ Οι φυσικοί αριθμοί γράφονται ` = {0, 1, 2, … } και τα γράμματα του Ελληνικού αλφάβητου {α, β, γ, … , ω}. 4. Δυο σύνολα που έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία, χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά που είναι γραμμένα, λέγονται ίσα (equal). Π. χ Α = {1, 2, 3, 4} και Β = {3, 1, 2, 4}.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1.2

Συναρτήσεις

1. Αν Α και Β είναι δυο μη κενά σύνολα, τότε κάθε τρόπος με τον οποίο μπορούμε να συσχετίσουμε τα στοιχεία του Α με τα στοιχεία του Β ονομάζεται διμελής σχέση (binary relation) ή απλά σχέση ή αντιστοιχία (corresponddence) από το σύνολο Α στο σύνολο Β. Π. χ Αν Α είναι το σύνολο των ανθρώπων, Β το σύνολο των αυτοκινήτων, τότε η πρόταση " Ο x άνθρωπος είναι ιδιοκτήτης του y αυτοκινήτου " ορίζει μια σχέση από το Α στο Β.

•

Το σύνολο Α ονομάζεται σύνολο αφετηρίας και το Β σύνολο άφιξης.

2. Μια ειδική σχέση είναι η συνάρτηση. Συγκεκριμένα: Συνάρτηση (function) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας, τρόπος) με την οποία, κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β.

•

Είναι φανερό από τον ορισμό ότι, σε μια συνάρτηση θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε όλα τα στοιχεία του Α (δεν μας ενδιαφέρει, αν χρησιμοποιήσουμε όλα τα στοιχεία του Β) και ακόμη ότι, κάθε στοιχείο x του Α να έχει μόνο ένα αντίστοιχο y στο Β. Δηλαδή κάθε σχέση δεν είναι οπωσδήποτε συνάρτηση. Π. χ Η παραπάνω σχέση δεν είναι συνάρτηση γιατί, αφενός δεν έχουμε χρησιμοποιήσει όλα τα στοιχεία του Α (όλοι οι άνθρωποι δεν έχουν αυτοκίνητο) και αφετέρου κάθε στοιχείο του Α δεν έχει ένα μόνο αντίστοιχο στο Β ( υπάρχουν άνθρωποι που έχουν περισσότερα από ένα αυτοκίνητα)

•

Η πρόταση " ο y είναι διπλάσιος του x " και τα σύνολα Α = {1, 2, 3} και Β = { 2, 3, 4} δεν ορίζουν συνάρτηση, γιατί το x = 3 του Α έχει διπλάσιο το y = 6 που δεν ανήκει στο Β.

• Η ίδια πρόταση με το ίδιο Α και Β = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ορίζουν συνάρτηση, ενώ η πρόταση " ο x είναι μικρότερος του y " με Α = { 1, 2, 3} και Β = {4, 5, 6, 7} δεν είναι συνάρτηση, γιατί στο x = 2 αντιστοιχούν πολλά (4, 5, 6, 7) y και όχι ένα. 3. Οι συναρτήσεις παριστάνονται συνήθως με τα μικρά γράμματα f , g , h , … του Λατινικού αλφάβητου. Λέμε λοιπόν, η συνάρτηση f από το σύνολο Α στο σύνολο Β και συμβολίζουμε f : Α → Β. Σε μια συνάρτηση: • Το σύνολο αφετηρίας Α λέγεται πεδίο ή σύνολο ορισμού (domain) της συνάρτησης.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1.4

Σύνθεση συναρτήσεων

1. Πρόβλημα. Το τμήμα παραγωγής μιας αυτοκινητοβιομηχανίας λειτουργεί 18 ώρες την ημέρα και ο αριθμός των αυτοκινήτων που παράγει κάθε μέρα, μετά από x ώρες λειτουργίας, είναι: f (x) = 108x − 3x 2 αυτοκίνητα. Το ημερήσιο κόστος g(t) για την παραγωγή t αυτοκινήτων είναι: g(t) = 12 + 9t χιλιάδες €. Να βρείτε το ημερήσιο κόστος g με τη βοήθεια (ως συνάρτηση) του χρόνου λειτουργίας του τμήματος παραγωγής.

•

Εδώ έχουμε δυο συναρτήσεις, τις: α) f (x) = 108x − 3x 2 , με πεδίο ορισμού το διάστημα A f = [0, 18], η οποία συνδέει τον αριθμό των αυτοκινήτων f(x) με τις ώρες λειτουργίας x. β) g(t) = 12 + 9t , με πεδίο ορισμού το A g = [0, +∞ ), η οποία συνδέει το

κόστος g(t) με τον αριθμό των αυτοκινήτων t. Μας ζητούν να βρούμε μια νέα συνάρτηση h(x) η οποία θα συνδέει το κόστος h(x) με τις ώρες λειτουργίας x. Δηλαδή, μας ζητούν να συνδυάσουμε τις δύο συναρτήσεις και να δημιουργήσουμε μια νέα, η οποία θα μας δίνει απευθείας το κόστος ως συνάρτηση του χρόνου λειτουργίας, χωρίς να παρεμβάλλεται ο αριθμός των αυτοκινήτων που παρήχθησαν. Είναι προφανές ότι, ο τύπος της συνάρτησης h θα προκύψει από τον τύπο της g, που δηλώνει κόστος, αν αντικαταστήσουμε το t που δηλώνει αριθμό αυτοκινήτων, με το f(x) που δηλώνει και αυτό αριθμό αυτοκινήτων. Έτσι θα έχουμε : h(x) = g(f(x)) = 12 + 9(108x – 3x2) = - 27x2 + 972x +12. Το πεδίο ορισμού της νέας συνάρτησης h περιέχει όλα εκείνα τα στοιχεία x (ώρες λειτουργίας) του πεδίου ορισμού της f, τα οποία έχουν τιμές f(x) (αυτόκίνητα) που περιέχονται στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι όλα τα x του A f = [0, 18], για τα οποία το f(x) ανήκει στο A g = [0, +∞ ). Έχουμε λοιπόν να επιλύσουμε το σύστημα των ανισώσεων: 0 ≤ x ≤ 18 και 108x − 3x 2 ≥ 0 . f (A) Η επίλυση του συστήματος δίνει Af A h = [0, 18]. Ag Επομένως, η νέα συνάρτηση είναι η h(x) = x f 2 f(x) g(f(x)) = - 27x + 972x +12, με πεδίο A gof ορισμού A h = [0, 18]. Τη νέα συνάρτηση που δημιουργήσαμε την gof g ονομάζουμε σύνθεση της f με τη g ή g g(A) κύκλος f, τη συμβολίζουμε με gof , έχει g(f(x)) τύπο (gof )(x) = g(f (x)) και πεδίο ορισμού A gof = {x ∈ A f / f (x) ∈ A g } ⊆ A f . Μπορούμε λοιπόν, να δώσουμε τον παρακάτω ορισμό.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1.5

Μονοτονία συνάρτησης

Μια συνάρτηση στην οποία, όταν μεγαλώνει ο x μεγαλώνει και ο y, λέγεται γνησίως αύξουσα. Γενικά: Μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (strictly increasing) σε ένα διάστημα Δ, όταν για όλα τα x 1 , x 2 του διαστήματος Δ, με x 1 < x 2, ισχύει f(x1) < f(x2).

• Μια συνάρτηση στην οποία, όταν μεγαλώνει ο x, ο y μικραίνει, λέγεται γνησίως φθίνουσα. Γενικά: Μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα (strictly decreasing) σε ένα διάστημα Δ, όταν για όλα τα x 1 , x 2 του διαστήματος Δ, με x 1 < x 2 , ισχύει f(x1) > f(x2).

• Είναι φανερό ότι, η γραφική παράσταση μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης ανέρχεται από τα αριστερά προς τα δεξιά, ενώ μιας γνησίως φθίνουσας συνάρCf

τησης κατέρχεται από τα αριστερά προς τα δεξιά, όπως φαίνεται και στα παραπάνω σχήματα.

•

Μια συνάρτηση, η οποία σε όλο το πεδίο ορισμού της είναι μόνο γνησίως αύξουσα ή μόνο γνησίως φθίνουσα, λέγεται γνησίως μονότονη (strictly monotonic).

• Μια συνάρτηση στην οποία, όταν μεγαλώνει ο x, τότε ο y μεγαλώνει ή δεν μεταβάλλεται (δηλαδή υπάρχουν στο πεδίο ορισμού δύο τουλάχιστον τιμές του x που αντιστοιχούν στο ίδιο y), λέγεται αύξουσα. Γενικά: Μια συνάρτηση f είναι αύξουσα (increasing) σε ένα διάστημα Δ, όταν για όλα τα x 1 , x 2 του διαστήματος Δ, με x 1 < x 2, ισχύει f(x1) ≤ f(x2).

•

Μια συνάρτηση στην οποία, όταν μεγαλώνει ο x, ο y μικραίνει ή δεν μεταβάλλεται, λέγεται φθίνουσα. Γενικά: Μια συνάρτηση f είναι φθίνουσα (decreasing) σε ένα διάστημα Δ, όταν για όλα τα x 1 , x 2 του διαστήματος Δ, με x 1 < x 2 ισχύει f(x1) ≥ f(x2).

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

7 Άρα f (A1 ) = f ((1,7]) = (1, ] . 4 Í Î

δ) Έστω η συνάρτηση f, με τύπο f (x) = 1 − x 4 . Για το πεδίο ορισμού της f έχουμε: 1 − x 4 ≥ 0 ⇔ (1 − x 2 )(1 + x 2 ) ≥ 0 ⇔ (1 − x)(1 + x)(1 + x 2 ) ≥ 0 ⇔ x ∈ [ −1,1] . Συνεπώς A = [−1,1] .

Για το σύνολο τιμών έχουμε y = 1 − x 4 . Επειδή κάθε τετραγωνική ρίζα είναι μη αρνητικός αριθμός, είναι y ≥ 0 και y 2 = 1 − x 4 ή y ≥ 0 και x 4 = 1 − y 2 ≥ 0 ή y ≥ 0 και −1 ≤ y ≤ 1 ή y ∈ [0,1] . Άρα f (A) = [0,1] .

1.6.2 Μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης. Έστω συνάρτηση f : \ → \ με f (x) = 2x 2 + 3 . Αν αναζητήσουμε το σύνολο τιμών της, θα βρούμε ότι f (A) = f (\) = [3, + ∞) Αυτό σημαίνει ότι, για κάθε x ∈ \ , f (x) ≥ 3 και μάλιστα: f (x) = 3 ⇔ 2x 2 + 3 = 3 ⇔ 2x 2 = 0 ⇔ x = 0 . Το τελευταίο σημαίνει ότι, για x = 0 η συνάρτηση παίρνει τη μικρότερη τιμή της y = 3 . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η f παρουσιάζει στο x 0 = 0 ελάχιστο, που είναι ίσο με y0 = 3 . Γενικά λέμε ότι: y

• Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α,

παρουσιάζει ολικό μέγιστο ή μέγιστο (maximum) σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε x ∈ A ισχύει f (x) ≤ f (x0 ) .

f(x 0 )

• Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α,

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή ελάχιστο (minimum) σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε x ∈ A ισχύει f (x) ≥ f (x0 ) .

• Το μέγιστο και το ελάχιστο ονομάζονται ακρότατα της συνάρτησης.

f(x) O

y Cf

f(x) x

f(x 0 )

Δίνουμε δυο παραδείγματα:

α) Έστω η συνάρτηση f : \ → \ με f (x) = x − 1 . Παρατηρούμε ότι, για κάθε x ∈ \ , f (x) ≥ 0 . Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 ∈ \ , που είναι ίσο με 0.

x0 x

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

19.

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το \ , η οποία είναι γνήσια μονότονη, μπορεί να είναι περιοδική; 20. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α, είναι γνησίως αύξουσα σ’ αυτό και 1 f ( x ) > 0 για κάθε x ∈ Α . Να εξετάσετε αν η g( x ) = είναι γνησίως αύξουσα f (x) ή γνησίως φθίνουσα. 21. Έστω f, g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, οι οποίες παίρνουν θετικές τιμές για κάθε x ∈ Δ και είναι γνησίως αύξουσες στο Δ. Να 1 1 αποδείξετε ότι, η συνάρτηση + είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. f g

1.6.8 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ B΄ ΟΜΑΔΑΣ 1 λx + 1 , να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f (x) = 2 x+2 στα διαστήματα (−∞, −2) και (−2, +∞) .

Αν λ ≠

Λύση Για x1 , x 2 ∈ \ − {−2} με x1 < x 2 έχουμε: f ( x1 ) − f (x 2 ) (λx1 + 1)(x 2 + 2) − (λx 2 + 1)(x1 + 2) = = x1 − x 2 (x1 − x 2 )(x1 + 2)(x 2 + 2) (x1 − x 2 )(2λ − 1) 2λ − 1 = . (x1 − x 2 )(x1 + 2)(x 2 + 2) (x1 + 2)(x 2 + 2)

Για x1 < x 2 < −2 ή −2 < x1 < x 2 ισχύει (x1 + 2)(x 2 + 2) > 0 , οπότε το πρόσημο του f ( x1 ) − f (x 2 ) εξαρτάται από τις τιμές του λ. Έτσι διακρίνουμε τις περιπτώσεις: x1 − x 2 f (x1 ) − f (x 2 ) 1 , τότε > 0, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στα δια2 x1 − x 2 στήματα (−∞, −2) και (−2, +∞) . f (x1 ) − f (x 2 ) 1 < 0, οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαβ) Αν λ < , τότε 2 x1 − x 2 στήματα (−∞, −2) και (−2, +∞) .

α) Αν λ >

Í Î

2. Έστω οι συναρτήσεις

f ( x ) = x + 1 και g( x ) = 3 − x 2 , με πεδίο ορισμού το \ . α) Αν Α, Β τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων, να αποδείξετε ότι το ΑΒ τριχοτομείται από τους άξονες x´x και y΄y. β) Αν Α΄ η προβολή του Α στον x´x, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΑ΄.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1.7 1.7.1

Αντίστροφη Συνάρτηση Συνάρτηση «1-1» (one – one ή one to one function ή bisection)

Μια συνάρτηση f : A → R λέγεται συνάρτηση "1-1", αν για οποιαδήποτε στοιχεία x1 , x 2 του πεδίου ορισμού της Α, για τα οποία έχουμε x1 ≠ x 2 , ισχύει f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) .

•

Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι:

Μια συνάρτηση f : A → R είναι συνάρτηση "1-1", αν και μόνο αν, για οποιαδήποτε x1 , x 2 ∈ A , για τα οποία έχουμε f (x1 ) = f (x 2 ) , ισχύει x1 = x 2 . Δίνουμε μερικά παραδείγματα : i) Η συνάρτηση f : \ → \ με f (x) = 3x + 2 είναι "1-1" γιατί, αν x1 , x 2 είναι τυχαία στοιχεία του \ , με f (x1 ) = f (x 2 ) , τότε: 3x1 + 2 = 3x 2 + 2 ή 3x1 = 3x 2 που σημαίνει ότι x1 = x 2 . Í Î

ii) Έστω η συνάρτηση f : \ → \ με f (x) = x 3 . Παρατηρούμε ότι, αν x1 , x 2 είναι τυχαία στοιχεία του \ , με f (x1 ) = f (x 2 ) , τότε: x13 = x 32 ή x1 = x 2 . Í Î

iii) Έστω η συνάρτηση f : \ → \ με f (x) = 2x 2 + 5 . Παρατηρούμε ότι, f (−1) = f (1) = 7 . Δηλαδή, από −1 ≠ 1 έχουμε f (−1) = f (1) . Άρα η f δεν είναι "1-1".

•

Από το τελευταίο παράδειγμα συμπεραίνουμε το εξής :

Για να αποδείξουμε ότι, μια συνάρτηση δεν είναι "1-1", αρκεί να βρούμε δύο στοιχεία x1 , x 2 του πεδίου ορισμού της με x1 ≠ x 2 , για τα οποία ισχύει f (x1 ) = f ( x 2 ) .

⎧2x + 1, x ≤ 1 έχουμε: f(0) = 1 και ⎩ x − 2, x > 1

iv) Για τη συνάρτηση f : \ → \ με f (x) = ⎨ f(3) = 1. Άρα η f δεν είναι "1-1".

•

Μια συνάρτηση f είναι "1-1", αν και μόνο αν:

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Π. χ για την f (x) = 2x 2 + 5 παρατηρούμε ότι, το y = 7 του συνόλου τιμών της είναι αντίστοιχο και του x = 1 και του x = - 1, γιατί f (−1) = f (1) = 7 . Εδώ μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε πότε η αντίστροφη σχέση μιας συνάρτησης είναι και αυτή συνάρτηση. Ας υποθέσουμε ότι, μια συνάρτηση f : A → \ είναι "1-1". Τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών f (A) της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο x του πεδίου ορισμού της Α, για το οποίο ισχύει f (x) = y . Επομένως στην περίπτωση αυτή η αντίστροφη σχέση της f είναι συνάρτηση. Αντιστρόφως, αν υποθέσουμε ότι, η αντίστροφη σχέση μιας συνάρτησης f είναι συνάρτηση, τότε είναι προφανές ότι η f θα είναι "1-1". Έχουμε λοιπόν το ακόλουθο συμπέρασμα . Αν μια συνάρτηση f : A → R είναι "1-1", ορίζεται μια συνάρτηση g : f (A) → R με την οποία, κάθε y ∈ f (A ) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x ∈ A , για το οποίο ισχύει f (x) = y . Η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με f

−1

•

Από τον τρόπο που ορίστηκε η f −1 προκύπτει ότι: α) Οι f και f − 1 είναι συναρτήσεις "1-1". β) Η f

−1

έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f (A) της f,

γ) Η f

−1

έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f,

δ) Ισχύει η ισοδυναμία f (x) = y ⇔ f −1 (y) = x . ε) Ισχύουν f −1 (f (x)) = x , για κάθε x ∈ A και f (f −1 (x)) = x , για κάθε x ∈ f (A) .

Για να βρούμε την αντίστροφη συνάρτηση μιας συνάρτησης f, εφόσον υπάρχει, ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία : i) Αποδεικνύουμε ότι η f είναι "1-1". ii) Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f. iii) Λύνουμε την εξίσωση y = f (x) ως προς x και θέτουμε όπου x το f −1 (x) και όπου y το x.

Δίνουμε δυο παραδείγματα:

α) Έστω η συνάρτηση f : \ → \ με f (x) = 3x + 2 . i) Αν για τυχαία στοιχεία x1 , x 2 του \ ισχύει f (x1 ) = f (x 2 ) , τότε 3x1 + 2 = 3x 2 + 2 ⇔ x1 = x 2 . Επομένως η f αντιστρέφεται , αφού είναι "1-1".

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1.7.6 Βασικές προτάσεις Θα αποδείξουμε παρακάτω μερικές προτάσεις, οι οποίες είναι δυνατόν να δοθούν ως ασκήσεις, αλλά και να χρησιμοποιηθούν στη λύση άλλων ασκήσεων, αφού πρώτα αποδειχθούν.

α) Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε αντιστρέφεται και η αντίστροφή της έχει το ίδιο είδος μονοτονίας.

Απόδειξη Αν η f είναι γνησίως μονότονη (έστω γνησίως αύξουσα), τότε είναι "1-1", οπότε και αντιστρέφεται. Ας υποθέσουμε ότι, η f −1 δεν είναι γνησίως αύξουσα. Τότε για κάποια y1 , y 2 ∈ f (A) , με y1 < y 2 θα έχουμε f −1 (y1 ) ≥ f −1 (y 2 ) . Ξέρουμε όμως, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και ότι τα f −1 (y1 ), f −1 (y 2 ) είναι στοιχεία του πεδίου ορισμού της f, οπότε θα έχουμε: f (f −1 (y1 )) ≥ f (f −1 (y 2 )) ή y1 ≥ y 2 . Αυτό όμως είναι άτοπο. Άρα f −1 (y1 ) < f −1 (y 2 ) και επομένως η f −1 είναι γνησίως αύξουσα. Όμοια αποδεικνύεται, όταν η f είναι γνησίως φθίνουσα.

β) Έστω μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού και σύνολο τινών το \ , η οποία αντιστρέφεται και C, C΄ οι γραφικές παραστάσεις των f και f −1 στο ίδιο σύστημα αξόνων. Διαπιστώνουμε ότι: Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι γραφικές παραστάσεις C , C΄ των f και f − 1 , αν τέμνονται, τέμνονται πάνω στις ευθεία y = x.

Το παραπάνω σημαίνει ότι: Οι λύσεις της εξίσωσης f −1 (x) = f (x) , όταν η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, ταυτίζονται με τις λύσεις της εξίσωσης f(x) = x και αντίστροφα.

Απόδειξη y

Έστω ξ λύση της εξίσωσης f −1 (x) = f (x) . Τότε f −1 (ξ) = f (ξ) . Θα αποδείξουμε ότι f(ξ) = ξ. Υποθέτουμε ότι f(ξ) > ξ. Επειδή η f −1 , σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση, είναι γνησίως αύξουσα έχουμε: f −1 (f(ξ)) > f −1 (ξ) ή ξ > f −1 (ξ) ή τέλος, επειδή f −1 (ξ) = f (ξ) , θα ισχύει ξ > f(ξ) που είναι, λόγω της υπόθεσης,

f(x) = x 3 Cf-1

y=x

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

άτοπο. Με ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι δεν μπορεί να είναι f(ξ) < ξ.. Συνεπώς f(ξ) = ξ. Αντιστρόφως, αν f(ξ) = ξ, τότε f (f (ξ)) = f −1 (ξ) ή ξ = f −1 (ξ) , οπότε και f −1 (ξ) = f (ξ) . −1

Π. χ Στο παραπάνω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της f(x) = x 3, που 3 ⎪⎧ x , x ≥ 0 . είναι γνησίως αύξουσα και της αντίστροφής της f −1 (x) = ⎨ 3 ⎪⎩ − − x , x < 0 Παρατηρούμε ότι, οι λύσεις της εξίσωσης f −1 (x) = f (x) είναι και λύσεις της εξίσωσης f(x) = x και αντίστροφα. Επομένως έχουμε: f −1 (x) = f (x) ⇔ f(x) = x ⇔ x 3 = x ⇔ x = 1 ή x = - 1 ή x = 0.

•

Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε και η f(x) – x είναι γνησίως φθίνουσα (γιατί;), οπότε η εξίσωση f(x) = x έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα. Στην περίπτωση αυτή δεν ισχύει το παραπάνω , γιατί οι γραφικές παραστάσεις των f και f −1 μπορεί να έχουν και άλλα κοινά σημεία. Για παράδειγμα οι γραφικές παραστάσεις της f (x) = − x 3 και της αντίστρο3 ⎪⎧ − x , x < 0 φής της f (x) = ⎨ έχουν 3 ⎪⎩ − x , x ≥ 0 κοινά σημεία τα: Α(0, 0), Β(-1, 1) και Γ(1, -1), όπως φαίνεται στο σχήμα, οπότε η εξίσωση f −1 (x) = f (x) έχει λύσεις τις: x = 0, x = 1 και x = -1.

f(x) = - x 3

−1

y=x

Cf-1 Ο

•

Στην περίπτωση της γνησίως φθίy=- x νουσας συνάρτησης αποδεικνύεται ότι, οι λύσεις της εξίσωσης f −1 (x) = f (x) δίνονται από τις λύσεις των εξισώσεων

f(x) = x και f(x) = - x.

γ) Αν οι συναρτήσεις f, g : R → R είναι αντιστρέψιμες και ορίζεται η σύνθεση της f με τη g , τότε ισχύει (gof )−1 = f −1og −1 .

Απόδειξη Επειδή οι f, g είναι αντιστρέψιμες , είναι "1-1", οπότε και η gof είναι "1-1" και επομένως αντιστρέψιμη. Έστω y = f (x) και z = g(y) . Τότε x = f −1 (y) και y = g −1 (z) .

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Έχουμε z = g(y) = g(f (x)) ή

g −1 (z) = y = f (x)

f −1 (g −1 (z)) = x , οπότε

(f −1og −1 )(z) = x (1).

Ακόμη από τη z = g(f (x)) ή z = (gof )(x) έχουμε x = (gof ) −1 (z) (2). Από (1) και (2) έπεται (gof ) −1 = f −1og −1 .

1.7.7 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ B΄ ΟΜΑΔΑΣ 1.

Υπάρχει συνάρτηση f : \ → \ η οποία είναι "1-1" και ικανοποιεί τη σχέση 12f (x 2 + 1) − [3f (x + 1)]2 ≥ 4 , για κάθε x ∈ \ ;

Λύση Έστω ότι υπάρχει. Τότε για x = 0 και x = 1 έχουμε: 12f (1) − [3f (1)]2 ≥ 4 ⇔ [3f (1) − 2]2 ≤ 0 ⇔ 3f (1) − 2 = 0 ⇔ f (1) =

12f (2) − [3f (2)]2 ≥ 4 ⇔ [3f (2) − 2]2 ≤ 0 ⇔ f (2) =

2 και 3

2 . 3

Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Í Î

Να βρεθεί συνάρτηση f : \ → \ με την ιδιότητα (fofof )( x ) = x , για κάθε x ∈ \ , αν είναι γνωστό ότι, η συνάρτηση g με τύπο g ( x ) = x + f ( x ) + (fof )( x ) είναι "1-1". (1)

Λύση Θέτουμε στην (1) όπου x το f(x) και έχουμε: g(f (x)) = f (x) + (fof )(x) + (fofof )(x) ή λόγω της ιδιότητας, g(f (x)) = f (x) + (fof )(x ) + x . Συνεπώς g(f (x)) = g(x ) , και επειδή η g είναι "1-1", έχουμε τελικά f ( x) = x . Í Î

3. Να βρείτε τις τιμές του λ2 −3λ

2 λ− 6

−3

λ ∈ \ , για τις οποίες ισχύει:

+ 2λ = 10λ − 12 . 2

Λύση Η εξίσωση γράφεται 3λ

−3λ

+ 2(λ 2 − 3λ) = 32 λ− 6 + 2(2λ − 6) .

Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) = 3x + 2x , η οποία είναι γνησίως αύξουσα, γιατί για

x1 < x 2 έχουμε 3x1 < 3x 2 και 2x1 < 2x 2 , οπότε είναι και "1-1". Είναι f (λ 2 − 3λ) = f (2λ − 6) . Συνεπώς λ 2 − 3λ = 2λ − 6 και λ = 2 ή λ = 3. Í Î

4. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f (x) = αx 3 + βx + γ με α, β, γ∈ \* διέρχεται από τα σημεία A(0, − 4) , B(1,1) , Γ(2, 18).

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

2. 2.1

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όριο συνάρτησης στο x 0∈R

2.1.1 Η έννοια του ορίου x2 − 4 . x+2 Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Αf = \ − {−2} και ο τύπος της γράφεται: (x − 2)(x + 2) f (x) = =x−2. x+2 Προφανώς η γραφική παράσταση της f είναι η ευθεία y = x − 2 με εξαίρεση το σημείο A(−2, − 4) . y y=x-2 Στο σχήμα παρατηρούμε ότι: "Καθώς το x προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό – 2, κιx x -2 νούμενο είτε από δεξιά είτε από αριστερά x Ο πάνω στον άξονα x΄x , το f (x) προσεγγίζει f(x) τον πραγματικό αριθμό – 4, κινούμενο πάνω (α) στον άξονα y΄y. Μάλιστα, όσο πιο κοντά στο A -4 – 2 κινείται το x, μένοντας πάντα διάφορο f(x) του – 2, τότε και το f(x) κινείται όλο και πιο κοντά στο – 4. Η προηγούμενη πρόταση δίνεται στα μαθηματικά με την εξής έκφραση: Οι τιμές f (x) της f προσεγγίζουν (πλησιάζουν) όσο θέλουμε το – 4, καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο το – 2, παραμένοντας διάφορο του - 2. Η έκφραση αυτή διατυπώνεται και ως εξής: Το όριο της f, όταν το x τείνει στο – 2, είναι το – 4, ή η f έχει στο – 2 όριο το – 4, ή η f τείνει στο – 4, όταν το x τείνει στο – 2 και συμβολίζεται lim f (x) = −4 . Έστω η συνάρτηση με τύπο f (x) =

x →−2

Γενικά: Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό A , καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό x 0 , τότε γράφουμε lim f (x) = A και διαβάζουμε "το όριο (limit) της f, όταν x → x0

το x τείνει (approaches) στο x 0 , είναι A " ή το όριο της f στο x 0 , είναι A .

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

θέτουμε u = αx , οπότε x = Άρα lim x→0

u ημ(αx) ημu = α lim = α ⋅1 = α . και lim x → 0 u → 0 α x u

ημ(αx) =α. x

Í Î

ημ(3x)

β) Ζητούμε να υπολογίσουμε το lim

3x + 1 − 1

x →0

π π , 0) ∪ (0, ) έχουμε: 10 10 ημ(3x)[ 3x + 1 + 1] ημ(3x)[ 3x + 1 + 1] ημ(3x) = = 3x + 1 − 1 3x + 1 − 1 [ 3x + 1 − 1][ 3x + 1 + 1] ημ(3x) = ⋅ ( 3x + 1 + 1) . Είναι: lim( 3x + 1 + 1) = 2 . x →0 3x ημ(3x) ημu = lim = 1. Θέτουμε u = 3x , οπότε lim u = lim(3x) = 0 και lim x →0 u → 0 x →0 x →0 3x u ημ(3x) = 2. Άρα lim x →0 3x + 1 − 1

Για κάθε x ∈ (−

2.2.8 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1.

Να υπολογίσετε , εφόσον υπάρχουν , τα όρια : i) lim x →1

x −x + x−2 2

ii) lim x →0

v) lim x →5

viii) lim x →1

x2 + 1

x 2 − 10x + 25 , x −5

iii) lim

x2 − 4 + x − 2

x →2

vi) lim x →1

x2 − 4 x −1 x+ x −2

x 2 + x + 14 − 3 , x2 + x + 3 x3 − x2 − x − 2 , x →2 x3 − 8

, iv) lim vii) lim x →3

x +6 −3 x − 2x + 6 − 3 2

2 − x3 − 3 x 2 . x2 −1

Λύση x 2 + x + 14 − 3 . x2 + x + 3 Επειδή οι διακρίνουσες των τριωνύμων x 2 + x + 14 και x 2 + x + 3 είναι αρνητικές και ο συντελεστής του x 2 είναι και στα δύο θετικός (α = 1), έχουμε x 2 + x + 14 > 0 και x 2 + x + 3 > 0, για κάθε x ∈ \ . Συνεπώς το πεδίο ορισμού της f είναι Α = \ .

i) Έστω f (x) =

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Είναι: lim(x 2 + x + 14) = 12 + 1 + 14 = 16 , οπότε lim x 2 + x + 14 = 16 = 4 . x →1

x →1

Ακόμη lim(x + x + 3) = 1 + 1 + 3 = 5 . 2

x →1

x 2 + x + 14 − 3 4 − 3 1 = = . x2 + x + 3 5 5

Επομένως lim x →1

─·─

x −x + x−2 2

ii) Έστω f (x) =

. Επειδή x 2 + 1 > 0 για κάθε x ∈ \ , είναι Α = \ .

x +1 Έχουμε: lim(x − x) = 0 και lim(x − 2) = −2 , οπότε lim x 2 − x = 0 και 2

x →0

lim x − 2 = −2 = 2 . Ακόμη lim(x + 1) = 1 . 2

x →0

x −x + x−2 2

Συνεπώς lim x →0

iii) Έστω f (x) =

x +1 2

0+2 =2. 1

x −4 + x−2 2

─·─ .

x2 − 4 Πρέπει x 2 − 4 > 0 και x − 2 ≥ 0 . Η συναλήθευση των δύο ανισώσεων δίνει το πεδίο ορισμού που είναι: Α = (2, + ∞) . Για κάθε x ∈ Α έχουμε: x−2⋅ x+2 + x−2 x − 2( x + 2 + 1) x + 2 +1 . = f (x) = = x−2⋅ x+2 x+2 x−2⋅ x+2 3 Συνεπώς lim f ( x) = lim+ f (x) = ⋅ ⋅⋅ = . x →2 x →2 2

─·─ x −x −x−2 . Προφανώς Α = \ - {2}. x3 − 8 (x − 2)(x 2 + x +1) x2 + x + 1 Για κάθε x ∈ Α έχουμε: f (x) = = 2 , οπότε 2 ( x − 2)(x + 2x + 4) x + 2x + 4 7 lim f (x) = ⋅ ⋅⋅ = . x →2 12

iv) Έστω f (x) =

─·─ x − 10x + 25 . x −5 x −5 (x − 5) 2 = Έχουμε f (x) = και Α = \ - {5}. x −5 x −5 Παρατηρούμε ότι η παράσταση x – 5 αριστερά και δεξιά του 5 έχει διαφορετικό

v) Έστω f (x) =

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

εφx , x →0 x

i) lim

ημ 2 x , x → π 1 + συνx ημx vii) lim , x →0 x

103

⎛ 3x − 2ημx ⎞ ⎟, x ⎝ ⎠ 1 1 ), v) lim( 2 − 2 x →0 x x συνx 2 1 viii) lim( 2 − ), x →0 ημ x 1 − συνx

ii) lim ⎜ x →0

⎛ 2ημx ⎞

iii) lim ⎜ 3 ⎟, x → 0 x + 3x ⎝ ⎠

εϕ 4x , x → 0 ημ 2x ημ5x ix) lim . x →0 5x + 4 − 2 f (x) =1. 12. Να βρείτε το lim f ( x ) , αν : i) lim(3f (x) + 1 − 5x) = 2 , ii) lim x → 1 x →1 x − 1 x→1 f (x) 2xf (x) − 5ημ 2 x 13. Αν lim = 5 , να βρείτε το lim . x →0 x x →0 x 2 + 4ημ 2 x f (x) − 3 14. Αν για την f , που είναι ορισμένη στο \ , ισχύει lim = −2 , να υπολοx →2 x − 2 x 2 f (x ) − 12 . γίσετε το lim 2 x →2 x − x − 2 f (x) − α 2 15. Αν για την f, που είναι ορισμένη στο \ , ισχύει lim = 2α , να βρείτε x →1 x −1 x 2 f (x) − α 2 x2 −1 ≤ 6 + lim 2 . τις τιμές του α ∈ \ , ώστε: lim x →1 x →1 x − 3x + 2 x −1 f (x)ημx + x − 8 16. Αν lim (xf (x) + 3 − x 2 ) = 3 , να υπολογίσετε το lim . x →0 x → 0 xf (x) + 4 − x

iv) lim

17. Να υπολογίσετε το 18.

λ ∈ \ , ώστε lim

vi) lim

(2λ − 3) x − 1 + x 2 − 1

= κ∈\ . x −1 Αν lim f (x) = 2α − 3 και xf (x) ≥ ημ2x − 7x , για κάθε x ∈ \ , να βρεθεί ο α. x →1

x →0

2.2.9 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ B΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν είναι γνωστό ότι: ημ(αx) ≤

ημx + ημ7x, με α ∈ \∗ , για κάθε x κοντά στο 0, x 2 − αx + 7 να βρείτε το όριο της συνάρτησης g(x) = στο 1. x2 −1

Λύση ημ(αx) ημx ημ7x ημ(αx) ≥ + και λόγω του ότι lim = α, x → 0 x x x x ημx ημ7x ημ(αx) ημx ημ7x lim = 1 και lim = 7 ισχύει: lim− ≥ lim− + lim− ή α ≥8. x →0 x x →0 x →0 x →0 x →0 x x x x ημ(αx) ημx ημ7x ≤ + Με ίδιο τρόπο για x > 0 έχουμε: , οπότε α ≤ 8 . x x x Για x < 0 έχουμε:

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

2.3

111

Μη πεπερασμένο όριο στο x 0∈R

2.3.1 Η έννοια του άπειρου ορίου 1. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) =

1 . x −1

y f(x)

Παρατηρούμε ότι, καθώς το x προσεγγίζει το 1, κινούμενο είτε από δεξιά είτε από αριστερά πάνω στον άξονα x΄x , οι τιμές f (x) αυξάνονται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η συνάρτηση f έχει στο 1 όριο +∞ (συν άπειρο) ή η συνάρτηση f απειρίζεται θετικά στο 1 και γράφουμε lim f (x ) = +∞ .

x O

x 1

x →1

• Το +∞ είναι ένα σύμβολο και δεν είναι πραγματικός αριθμός. Δεχόμαστε όμως ότι κάθε πραγματικός αριθμός είναι μικρότερος του +∞ . • *Η έκφραση "οι τιμές μιας συνάρτησης f αυξάνονται απεριόριστα" σημαίνει στα μαθηματικά ότι, για οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ οσοδήποτε μεγάλο που διαλέγουμε αυθαίρετα, οι τιμές της συνάρτησης είναι μεγαλύτερες του Μ ή η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = Μ. • *Μπορούμε τώρα να διατυπώσουμε το διαισθητικό ορισμό του ορίου ως εξής: Λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο x 0 όριο το +∞ , όταν για κάθε θετικό αριθμό Μ οσοδήποτε μεγάλο, που διαλέγουμε αυθαίρετα, μπορούμε να βρούμε (υπάρχει) ένα θετικό αριθμό δ ώστε, όταν το x διατρέχει το πεδίο ορισμού της f παραμένοντας στο διάστημα y ( x 0 - δ, x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 + δ), τότε το f(x) παίρνει τιμές μεγαλύ-τερες f(x) του Μ. • *Στο σχήμα, το παραπάνω σημαί-νει: f(x) Για οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ και Μ να διαλέξουμε, οσοδήποτε με-γάλο, μπορούμε να βρούμε ένα θετι-κό αριθμό δ, ώστε όλες οι τιμές της x x0 x Ο συνάρτησης να βρίσκονται μέσα x0 − δ x0 + δ στην ταινία που ορίζουν οι ευθείες x = x 0 - δ και x = x 0 + δ, αλλά πάνω από την ευθεία y = Μ.

120

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

2.4

Όριο συνάρτησης στο άπειρο

2.4.1 Η έννοια του ορίου στο άπειρο *

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα της μορφής (α, + ∞) .Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα, το f (x) προσεγγίζει όσο y θέλουμε τον πραγματικό αριθμό A . lim f (x) = A Δηλαδή για οποιονδήποτε θετικό x →+∞ A + ε αριθμό ε και να διαλέξουμε, οσοδήποτε μικρό, μπορούμε να βρούμε f(x) ένα θετικό αριθμό Κ, ώστε, όταν το A x παίρνει τιμές μεγαλύτερες του Κ, A−ε όλες οι τιμές της συνάρτησης να βρίσκονται μέσα στη ζώνη που ορίζουν οι ευθείες y = A - ε και y = x x Κ Ο A + ε. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f έχει στο +∞ όριο το A και γράφουμε lim f (x) = A . x →+∞

Μπορούμε λοιπόν να διατυπώσουμε τον παρακάτω ορισμό.

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, που περιέχει ένα διάστημα της μορφής (α, + ∞ ) . Λέμε ότι η f έχει στο + ∞ όριο το A ∈ \ και συμβολίζουμε lim f (x) = A , όταν για κάθε ε > 0 υπάρχει Κ > 0 τέx →+ ∞

τοιος, ώστε για κάθε x που ανήκει στο Α με x > Κ , να ισχύει f (x) − A < ε .

Ας εξετάσουμε τώρα τα παρακάτω σχήματα στα οποία έχουμε τις γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων σε ένα διάστημα της μορφής (α, + ∞) . y

lim f (x) = +∞

x →+∞

f(x) Μ O

lim f (x) = − ∞

x Κ

x →+ ∞

Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα,

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

127

Συνεπώς δεν υπάρχει το όριο της f(x) στο 3. Άρα το όριο της f(x) στο 3 υπάρχει μόνο όταν κ = 1 και είναι lim f (x) = x →3

Í Î

7 . 6

2. Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια : i) lim

x +x+7 ,

ii) lim ( x + 1 + x − 3x ) ,

x →− ∞

x →+ ∞

iv) lim (3x 2 + x + 7 − 2ημ 3 4x) , x → +∞

x − x2 +1 x − x2 −1

x →−∞

x 2 − 5x + 6

v) lim ( x 2 + 1 − x)ημ3x ,

x →−∞

vi) lim

iii) lim

4x 2 − x + 2x

x →+ ∞

Λύση i) Έστω f (x) = x 2 + x + 7 . Είναι A f = \ , (γιατί ;) Επειδή lim (x 2 + x + 7) = lim x 2 = + ∞ , έχουμε lim f (x) = + ∞ . x →− ∞

x →− ∞

─·─ ii) Έστω f (x) = x + 1 + x − 3x . Είναι A f = [−1, 0] ∪ [3, + ∞) , γιατί πρέπει 2

x + 1 ≥ 0 και x 2 − 3x ≥ 0 ή x ≥ −1 και (x ≤ 0 η x ≥ 3) . Έχουμε lim (x + 1) = + ∞ και lim (x 2 − 3x) = + ∞ , οπότε x →+ ∞

lim

x →+ ∞

x + 1 = + ∞ και lim

x →+ ∞

x 2 − 3x = + ∞ . Άρα lim f (x) = + ∞ . x →+ ∞

─·─ 4x − x + 2x 2

iii) Έστω f (x) =

. Είναι A f = \ − {2,3} . x 2 − 5x + 6 Μελετάμε ως προς το πρόσημο την παράσταση που βρίσκεται μέσα στο απόλυτο. 1 Έχουμε 4x 2 − x = x(4x − 1) , οπότε 4x 2 − x > 0 για κάθε x ∈ ( − ∞, 0) ∪ ( , + ∞) 4 1 και 4x 2 − x < 0 για κάθε x ∈ (0, ) . 4 4x 2 − x + 2x 4x 2 + x . = 2 Για x ∈ (− ∞, 0) ισχύει f (x) = 2 x − 5x + 6 x − 5x + 6 4x 2 Επομένως lim f (x) = lim 2 = 4 . x →− ∞ x →− ∞ x

─·─ iv) Έστω f (x) = 3x + x + 7 − 2ημ 4x . Είναι A f = \ . 2

Για x ∈ (− ∞, 0) ισχύει:

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

3. 3.1

141

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνέχεια Συνάρτησης

3.1.1 Συνέχεια σε σημείο • Στα παρακάτω σχήματα. δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων. Παρατηρούμε ότι: y Στο σχήμα (I) η συνάρτηση f είναι ορι(I) σμένη στο x 0 και η αριθμητική τιμή της Cf f (x 0 ) = A στο x 0 είναι ίση με το όριο της συνάρτησης στο x 0 . Δηλαδή ισχύει lim f (x) = f (x 0 ) = A . x →x0 x0 x O Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 . Στο σχήμα (II) η συνάρτηση f είναι οριy σμένη στο x 0 , αλλά η αριθμητική τιμή της (II) Cf στο x 0 δεν είναι ίση με το όριο της συνάρA τησης στο x 0 . f (x 0 ) Δηλαδή ισχύει lim f (x) = A ≠ f (x 0 ) . x →x0

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής ή είναι ασυνεχής στο x 0 . Τέλος στο σχήμα (III) η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο x 0 , όμως δεν υπάρχει το όριο της f στο x 0 , οπότε δεν έχει νόημα να το συγκρίνουμε με την αριθμητική τιμή της στο x 0 . Πληροφοριακά εδώ έχουμε lim+ f (x) = A 2 = f (x 0 ) και lim− f (x) = A1 .

(III)

y f (x 0 ) = A 2 Ο

x →x0 x →x0 A1 Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής ή είναι ασυνεχής στο x 0 . Από τις παραπάνω τρεις γραφικές παραστάσεις είναι φανερό ότι:

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

145

τησης, δεν χρειάζεται να σηκώσουμε το χέρι μας καθόλου παρά μόνο στα σημεία που δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού. Αντίθετα στα δύο τελευταία σχήματα, που δεν έχουμε συνεχείς συναρτήσεις, το χέρι μας σηκώνεται ακόμη και σε σημεία του πεδίου ορισμού, γιατί εμφανίζονται απότομες και ξαφνικές μεταβολές (πηδήματα), (στο 0 για το σχήμα III, στο x 0 για το σχήμα IV). Í Î

•

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) . (σχήμα V)

•

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον lim f (x) = f (α) και lim f (x) = f (β) . (σχήμα VI) x→α +

x→β −

(VI)

(V)

α α

•

Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής (α,β] , [α,β) .

3.1.3 Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων α) Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις

•

Από τον ορισμό της συνέχειας στο x 0 και τις ιδιότητες των ορίων απόδεικνύεται ότι, οι πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων δίνουν συνεχείς συναρτήσεις. Δηλαδή: Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο x 0 , τότε, με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το x 0 , είναι συνεχείς στο x 0 και οι συναρτήσεις: f + g , c ⋅ f , όπου c ∈ \ ,

f ⋅g,

f , g

και

f .

•

Οι συναρτήσεις f ( x) = εφx και g( x) = σφx είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών συναρτήσεων.

Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

i) Η συνάρτηση f (x) = 2x − 4 είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της [2, + ∞) , αφού η συνάρτηση g(x) = 2x − 4 είναι συνεχής. Í Î

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

3.2

157

Θεωρήματα Συνεχών Συναρτήσεων

3.2.1 Θεώρημα των Bolzano – Weierstrass Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] . Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και επιπλέον ισχύει f (α) ⋅ f (β) < 0 , τότε απόδεικνύεται ότι, υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ) = 0 . Δηλαδή, η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο ανοικτό διάστημα (α, β) ή η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα τουλάχιστον σημείο, όπως φαίνεται στο σχήμα.

y f(β) α

Π. χ η εξίσωση ημx − x + 1 = 0 έχει μία Ο τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0, π) . Πράγματι, αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(α) f (x) = ημx − x + 1 , παρατηρούμε ότι, είναι συνεχής στο διάστημα [0, π] και ισχύει f(0)f(π) = 1.(1 – π) < 0.

•

ξ β x

Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι το ακόλουθο.

Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Απόδειξη Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση P, με P(x) = α ν x ν + α ν −1x ν −1 + ... + α1x + α 0 , α ν > 0 και ν περιττό. Από τη θεωρία των ορίων γνωρίζουμε ότι: lim P(x) = lim (α ν x ν ) = +∞ και lim P(x) = lim (α ν x ν ) = −∞ , oπότε υπάρχουν x →+∞

x →+∞

x →−∞

α < 0 και β > 0 τέτοια, ώστε P(α) < 0 και P(β) > 0, δηλαδή P(α) P(β) < 0. Με ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε και όταν α ν < 0 . Συνεπώς ισχύει το θεώρημα των Bolzano – Weierstrass και άρα το P(x) έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Σχόλια α) Από το θεώρημα των Bolzano – Weierstrass προκύπτει ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ'

158

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ∈ Δ ή είναι αρνητική για κάθε x ∈ Δ . Δηλαδή διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα Δ, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.

y α

f(x) > 0

β f(x) < 0

x α

Πράγματι. Αν υποθέσουμε ότι, υπάρχουν στο Δ δύο σημεία α, β με α < β και f(α)f(β) < 0, τότε θα υπάρχει στο (α, β) ένα, τουλάχιστον, ξ με f(ξ) = 0. Αυτό όμως είναι άτοπο λόγω της υπόθεσης.

•

Άμεση συνέπεια του παραπάνω είναι το εξής. Μια συνεχής συνάρτηση f y διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα, στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Στο διπλανό σχήμα φαίνε+ + ρ ρ+ ρ2 ρ1 ται το πρόσημο των τιμών 4 5 ρ3 x Ο της f, όταν το x διατρέχει το − − − πεδίο ορισμού της. • Αυτό μας διευκολύνει στην επίλυση μιας ανίσωσης f(x) > 0 ή f(x) < 0, με f συνεχή συνάρτηση, όπου είναι απαραίτητος ο προσδιορισμός του πρόσημου της f για τις διάφορες τιμές του x. Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f(x) = 0. β) Σε καθένα από τα διαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό θ και βρίσκουμε το πρόσημο του f(θ). Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα. Π. χ Έστω ότι θέλουμε να βρούμε τις τιμές του x στο (0, 2π), για τις οποίες ισχύει 2ημx − 1 > 0 . Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) = 2ημx − 2 , η οποία είναι συνεχής, και υπολογίζουμε τις ρίζες της f (x) = 0 στο (0, 2π). 2 π 5π ⇔x = ή x = . Έτσι οι ρίζες της f χωρίζουν το διάστημα 2 4 4 π π 5π 5π (0, 2π), στα διαστήματα ( 0, ) , ( , ) και ( , 2π ) . 4 4 4 4 Έχουμε ημx =

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

161

γ) Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών αποδεικνύεται ότι: Αν μια μη σταθερή συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε το σύνολο τιμών της f(Δ) είναι διάστημα.

y Β

Αλλιώς διατυπωμένο: Η εικόνα ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα.

β x

Α Στο διπλανό σχήμα έχουμε μια μη σταθερή και συνεχή συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα [α, β). Παρατηρούμε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [Α, Β).

3.2.3

Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής – Σύνολο τιμών

1. Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Έστω f μια συνάρτηση που είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] . Αποδεικνύεται ότι, υπάρχουν x1 , x 2 ∈ [α,β] τέτοια ώστε, αν m = f (x1 ) και M = f (x 2 ) , να ισχύει m ≤ f (x) ≤ M , για κάθε x ∈ [α,β] . Δηλαδή, η f παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m.

Σχόλια Με τη βοήθεια των παραπάνω αποδεικνύεται ότι: Αν μια μη σταθερή συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] , τότε το σύνολο τιμών της f( [α, β] ) είναι κλειστό διάστημα.

M α

x1 β

Αλλιώς διατυπωμένο:

Η εικόνα ενός κλειστού διαστήματος [α,β] μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι κλειστό διάστημα. Π. χ στο παραπάνω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας μη σταθερής και συνεχούς συνάρτησης που είναι ορισμένη στο διάστημα [α, β]. Παρατηρούμε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [m, M], όπου m είναι η ελάχιστη και M η μέγιστη τιμή της συνάρτησης..

•

Το αντίστροφο της πρότασης δεν ισχύει. Δηλαδή υπάρχει περίπτωση να είναι το σύνολο τιμών, μιας μη σταθερής και συνεχούς συνάρτησης, κλειστό διάστημα, χωρίς το πεδίο ορισμού να είναι κλειστό διάστημα.

164

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

στοιχα τα: [f(α), lim f (x) ), [f(α), f(β)] και ( lim f (x) , f(β)]. x →−∞

x →+∞

Τέλος έχουμε: f(A) = [f(α), lim f (x) ) ∪ [f(α) , f(β)] ∪ ( lim f (x) , f(β)]. x →−∞

x →+∞

⎧2x − 1, x ≤ 1 ⎪ , η οποία είναι συνεχής, Π.χ το σύνολο τιμών της f (x) = ⎨ 1 x >1 ⎪⎩ x , γνησίως αύξουσα στο (- ∞ , 1] και γνησίως φθίνουσα στο (1, + ∞ ), είναι το ( lim f (x) , f(1)] ∪ ( lim f ( x) , lim f (x) ) = (- ∞ , 1] ∪ (0, 1) = (- ∞ , 1]. x →−∞

x →+∞

x →1

ε) Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι: Για να βρούμε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης, πρέπει να βρούμε το σύνολο τιμών της.

3.2.4 Βασικές προτάσεις Θα αποδείξουμε παρακάτω μερικές προτάσεις, οι οποίες είναι δυνατόν να δοθούν ως ασκήσεις, αλλά και να χρησιμοποιηθούν στη λύση άλλων ασκήσεων, αφού πρώτα αποδειχθούν.

1. Συνέχεια συνάρτησης και μονοτονία α) Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και σημείο γ του [α, β]. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) στα διαστήματα [α, γ) και (γ, β], τότε είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) στο [α, β]. Απόδειξη Η f είναι γνησίως αύξουσα στα [α, γ) και (γ, β], οπότε: ¾ Για κάθε x1 , x 2 ∈[α, γ) με x1 < x 2 ισχύει f (x1 ) < f (x 2 ) . ¾ Για κάθε x1 , x 2 ∈ (γ, β] με x1 < x 2 ισχύει f (x1 ) < f (x 2 ) . ¾ Θα εξετάσουμε, τι γίνεται στην περίπτωση x1 < γ < x 2 . Ισχύει lim+ f (x) = lim− f (x) = f(γ). x →γ

x →γ

Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [α, γ) ισχύει: f (α) ≤ f (x1 ) < lim− f (x) ή f(α) ≤ f (x1 ) < f(γ). x→γ

Ομοίως lim+ f (x ) < f (x 2 ) ≤ f(β) ή f(γ) < f (x 2 ) ≤ f(β). x →γ

Συνεπώς για x1 < γ < x 2 έχουμε f ( x1 ) < f (γ) < f (x 2 ) . ¾ Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β], γιατί σε κάθε περίπτωση, για κάθε x1 , x 2 ∈ [α, β] με x1 < x 2 ισχύει f (x1 ) < f (x 2 ) .

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

165

β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και « 1 – 1 » στο διάστημα [α, β], τότε είναι γνησίως μονότονη.

Απόδειξη Επειδή η f είναι « 1 – 1» ισχύει f (α) ≠ f (β) . Έστω f (α) < f (β) . Θα αποδείξουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Υποθέτουμε ότι η f δεν είναι γνησίως αύξουσα. Τότε θα υπάρχουν x 1 , x 2 , με α ≤ x 1 < x 2 ≤ β , ώστε f (x 1 ) > f (x 2 ) . (Το f (x 1 ) = f (x 2 ) αποκλείεται, γιατί η f είναι « 1 – 1 ») i) Αν α = x 1 , τότε f (β) > f (α) = f (x 1 ) > f (x 2 ) . Επειδή η f είναι συνεχής στο [ x 2 ,β] , παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f (x 2 ) και f(β). Συνεπώς θα παίρνει και την τιμή f ( x 1 ) = f (α) .(θεώρημα ενδιαμέσων τιμών) Δηλαδή θα υπάρχει ξ στο διάστημα (x 2 ,β) για το οποίο f (x 1 ) = f (ξ) . Το τελευταίο λόγω της υπόθεσης σημαίνει ότι ξ = x 1 . Δηλαδή το x 1 βρίσκεται στο διάστημα (x 2 ,β) , πράγμα άτοπο. Με ίδιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο, αν υπoθέσουμε ότι β = x 2 . ii) Αν α ≠ x 1 και β ≠ x 2 , τότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις. α) Αν f (β) > f (α) > f (x 1 ) > f (x 2 ) , τότε το x 1 βρίσκεται στο διάστημα (x 2 ,β) , πράγμα άτοπο. β) Αν f (x 1 ) > f (x 2 ) > f (α) , τότε το x 2 βρίσκεται στο διάστημα (α, x 1 ) , πράγμα άτοπο. γ) Αν f (x 1 ) > f (α) > f (x 2 ) τότε το α βρίσκεται στο διάστημα (x 1 , x 2 ) , πράγμα άτοπο. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β]. *

2 . Συνάρτηση συνεχής σε διάστημα και αντίστροφη Στα προηγούμενα είδαμε ότι η αντίστροφη μιας συνεχούς συνάρτησης δεν είναι πάντοτε συνεχής. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι συνεχής σε διάστημα. Αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα.

α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ και συνεχής σε ένα σημείο ξ που ανήκει στο Δ, τότε και η αντίστροφή της είναι συνεχής στο f(ξ).

β)

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και γνησίως μονότονη στο Δ, τότε και η αντίστροφή της είναι συνεχής στο f(Δ).

168

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

2) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] , η εξίσωση f ( x ) = 0 δεν έχει ρίζα στο (α, β) και υπάρχει ξ ∈ (α, β) , ώστε f (ξ) < 0 , τότε θα ισχύει f ( x ) < 0 , για κάθε x ∈ (α, β) . Σ Λ 3) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και παίρνει δύο διαφορετικές τιμές f ( x 1 ), f ( x 2 ) με x 1 , x 2 ∈ [α, β] , τότε παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f ( x 1 ) και f ( x 2 ) . Σ Λ 4) Αν η f είναι συνεχής στο \ και f ( x 1 ) = 1 , f ( x 2 ) = 4 , τότε υπάρχει x 0 ∈ ( x 1 , x 2 ) , ώστε f ( x 0 ) = e .

5) Αν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [α, β] , τότε το σύνολο τιμών της είναι [f (α), f (β)] . Σ Λ 6) Αν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφη Σ Λ της είναι συνεχής στο f (Δ ) . 7) Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα [α, β] είναι συνεχής και 1-1, Σ Λ τότε η συνάρτηση f −1 είναι συνεχής. 8) Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το \ έχει μέγιστη και ελάχιστη Σ Λ τιμή. 9) Κάθε συνάρτηση f, συνεχής στο [α, β] , με f (α) ≠ f (β) , παίρνει μόνο τις τιμές Σ Λ μεταξύ των f (α) και f (β) . 10) Αν οι συναρτήσεις f, g δεν είναι συνεχείς στο σημείο x 0 του κοινού πεδίου Σ Λ ορισμού τους , τότε η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο x 0 . 11) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x 0 και η συνάρτηση g δεν είναι συνεχής Σ Λ στο x 0 , τότε η συνάρτηση f + g είναι πάντοτε μη συνεχής στο x 0 . 12) Αν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο x 0 τότε και η f 2 δεν είναι συνεχής στο x 0 . Σ Λ

7. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] , με

f (α) ≠ 0 και ισχύει

f (α) + f (β) = 0 , να απόδείξετε ότι, η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (α, β).

8. Αν η f είναι συνεχής στο [2,5] και ισχύει

f (2)f (5) + x 2 − x + 7 < x + 2 , για κάθε x ∈ [2,5] , να αποδείξετε ότι, η εξίσωση f ( x ) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (2, 5).

Έστω f (x) = 2x 3 − 3xημ(πx) + 4 . Να δειχθεί ότι, υπάρχει x 0 ∈ (−1,1) τέτοιος, ώστε να ισχύει 3f (x 0 ) = 7 .

10. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g συνεχείς στο

\ , για τις οποίες ισχύει α ≠ 1 και g(x) = f (x) − 3(α − 1)x . Αν η εξίσωση f (x) = 0 έχει δύο ρίζες ρ1 < 0 < ρ2 , να

δειχθεί ότι, η εξίσωση g(x ) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (ρ1 , ρ2 ) .

11. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [0,1]

και πληρούν τις

170

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

21. Έστω η συνεχής συνάρτηση

f :[ −3,3] → \ , με 25(x 4 − 81) + 16f 2 ( x) = 0 , για κάθε x ∈ [−3,3] . Να αποδείξετε ότι, η f διατηρεί πρόσημο στο (−3,3) .

22.

Υποθέτουμε ότι f, g συνεχείς και ότι f 2 (x) = g 2 (x) και f (x) ≠ 0 , για κάθε x ∈ \ . Αποδείξτε ότι, f (x) = g(x) ή f (x) = −g(x) , για κάθε x.

23. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και όχι σταθερή. Αν κ, λ θετικοί ακέραιοι, δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α, β) ώστε f (ξ) =

κf (α) + λf (β) . κ+λ

24. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: i) f ( x ) = ln x − 1 , x ∈ [1, e] ,

ii) f ( x ) = e x + 1 , x ∈ (−∞,0] .

⎧2x + 1, 0 ≤ x < 2 . f (x) = ⎨ 2 ⎩ x + 1, 2 ≤ x ≤ 4 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τη συνέχεια. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της .

25. Δίνεται η συνάρτηση

26.

Για τη συνεχή συνάρτηση f :[α,β] → \ ισχύει f ( x ) ≠ 0 για κάθε x ∈ [α, β] . Να αποδείξετε ότι η ελάχιστη τιμή της είναι θετική, ή η μέγιστη τιμή της είναι αρνητική. 27. Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [-10, 10] και η εξίσωση f (x ) = 0 έχει μοναδικές ρίζες το - 4 και το 7. α) Αν υπάρχει x 0 < - 4 ώστε f ( x 0 ) > 0 , να δείξετε ότι f ( x ) > 0 για κάθε x < - 4 . β) Αν υπάρχει x 0 στο διάστημα (- 4, 7) ώστε f ( x 0 ) < 0 , να δείξετε ότι f ( x ) < 0 για κάθε x στο (- 4, 7).

3.2.6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ B΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Μια συνάρτηση

f είναι ορισμένη και συνεχής στο \ , με f(1) = 5. Αν για κάθε x < - 4 ή x > 3 ισχύει f (x) ≥ 5 να αποδείξετε ότι, υπάρχει πραγματικός αριθμός ξ, για τον οποίο ισχύει f (ξ) ≤ 5.

Λύση Η f είναι συνεχής στο διάστημα [- 4, 3], οπότε έχει ελάχιστη και μέγιστη τιμή. Δηλαδή υπάρχουν m και Μ ώστε m ≤ f (x) ≤ M για κάθε x ∈ [ −4, 3] . Θα είναι λοιπόν και m ≤ f (1) ≤ M ή m ≤ 5 ≤ M . Άρα υπάρχει ξ ώστε m = f(ξ) ≤ 5. Í Î

2. Αν η συνάρτηση f

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [α, β] να αποδείξετε ότι, υπάρχει ξ ∈ (α, β) τέτοιο, ώστε να ισχύει

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

177

4. 4.1

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

Κατακόρυφη Ασύμπτωτη

• Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 1 f (x) = . Παρατηρούμε ότι, καθώς το x x πλησιάζει από δεξιά στο 0, η γραφική παράσταση της f πλησιάζει, όσο θέλουμε, (τείνει να συμπέσει) την ευθεία x = 0. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Το ίδιο συμβαίνει και όταν το x πλησιάζει από αριστερά στο 0. Γενικά:

x y=

1 x y

Η ευθεία x = α λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη (vertical asymptote) της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f, όταν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim+ f (x) , lim− f (x) είναι +∞ ή −∞ . x→ α

x→ α

Δίνουμε τρία παραδείγματα.

α) Η ευθεία x = 1 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f (x) =

x , γιατί lim+ f (x) = +∞ , lim− f (x) = −∞ . x →1 x →1 x −1 Í Î

β) Η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f (x) =

x2 + 1 , γιατί lim+ f (x) = +∞ , lim− f (x) = −∞ . x →0 x →0 x Í Î

γ) Η ευθεία x = −1 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της x x−2 f (x) = , γιατί lim + f (x) = −∞ και lim − f (x) = +∞ . x → −1 x → −1 x +1 Í Î

•

Στα παρακάτω σχήματα δίνουμε μερικές περιπτώσεις στις οποίες η ευθεία

178

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

x = α είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης..

x=α lim+ f ( x ) = +∞

x=α lim+ f ( x ) = −∞ , lim− f ( x ) = −∞

x →α

Cf x O

x=α lim+ f (x) = −∞ , lim− f (x) = +∞

x →α

α x=α lim+ f ( x ) = +∞ , lim− f ( x ) = +∞

x →α

Σχόλια α) Αναζητούμε κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f: i) Στα άκρα των ανοικτών διαστημάτων του πεδίου ορισμού, στα οποία η f δεν ορίζεται. ii) Στα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής. Π. χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) =

2x + 1 με πεδίο x−2

1 ορισμού A = [− , 2) ∪ (2, + ∞) έχει πιθανή κατακόρυφη ασύμπτωτη την x = 2 2

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

4.3

181

Ασύμπτωτες

• Εκτός από τις οριζόντιες και τις κατακόρυφες ασύμπτωτες είναι δυνατόν μια οποιαδήποτε ευθεία να είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f. y Π. χ Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης x 2 − 2x + 2 Α . f (x) = f(x) x −1 y=x–1 Β Παρατηρούμε ότι, καθώς το x τείνει στο +∞ , η γραφική παράσταση της f πλησιάx x O ζει, όσο θέλουμε, (τείνει να συμπέσει) την y=x-1 ευθεία y = x - 1. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η ευθεία y = x - 1 είναι ασύμπτωτη (πλάγια) στο +∞ της γραφικής παράστασης της f. Το ίδιο συμβαίνει και όταν το x τείνει στο −∞ . •

Ακόμη παρατηρούμε ότι η απόσταση ΑΒ = f(x) – (x – 1) τείνει στο 0 καθώς το x τείνει στο +∞ . Γενικά:

Η ευθεία y = αx + β λέγεται ασύμπτωτη (asymptote) στο +∞ ( −∞ ) της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f, όταν lim [f (x) − (αx + β )] = 0 x → +∞

( lim [f (x ) − (αx + β)] = 0 ). x → −∞

Δίνουμε δύο παραδείγματα.

α) Η ευθεία y = x είναι ασύμπτωτη στο +∞ και στο −∞ (πλάγια) της γραφικής x2 +1 , γιατί x ⎛ x2 +1 ⎞ − x ⎟⎟ = 0 και lim (f (x) − x) = ... = 0 . lim (f (x) − x) = lim ⎜⎜ x →−∞ x →+∞ x →+∞ ⎝ x ⎠

παράστασης της f (x) =

Í Î

β) Η γραφική παράσταση της f (x) =

x x−2 x +1

έχει στο +∞ ασύμπτωτη την ευθεία

3 ⎞ ⎛ x(x − 2) lim [f (x) − (x − 3)] = lim ⎜ =0 − (x − 3) ⎟ = lim x →+∞ x →+∞ ⎝ x + 1 +1 x ⎠ και στο −∞ την ευθεία y = − x + 3 , γιατί

y = x − 3 , γιατί

x →+∞

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

185

3 = 2x + 1 + g(x) . x Επειδή lim g(x) = lim g(x) = 0 έχουμε

Είναι f (x) = 2x + 1 + x →+∞

x →−∞

lim [f (x) − (2x + 1)] = lim [f (x) − (2x + 1)] = 0 , οπότε η y = 2x + 1 είναι πλάγια

x →+∞

x →−∞

ασύμπτωτη στο +∞ και στο −∞ . 3 > 0 ή f (x) > 2x + 1 , οπότε η γραφική x παράσταση της f "κοντά" στο +∞ βρίσκεται πάνω από την ασύμπτωτη, ενώ "κοντά" στο −∞ βρίσκεται κάτω από την ασύμπτωτη, γιατί f (x) < 2x + 1 . Είναι για κάθε x > 0 , f (x) − (2x + 1) =

Í Î

δ) Θα ξέρουμε ότι: i) Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις δεν έχουν ασύμπτωτες.

P(x) ισχύουν: Q(x) α) Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος ή ίσος του βαθμού του παρονομαστή, έχουν οριζόντια ασύμπτωτη. β) Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι κατά ένα μεγαλύτερος του βαθμού του παρονομαστή, έχουν πλάγια ασύμπτωτη. γ) Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος τουλάχιστον κατά 2 του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες και οριζόντιες. x3 + x + 1 Π.χ. Οι γραφικές παραστάσεις των f (x) = 2x 3 + 3x + 7 και f (x) = 3x + 2 δεν έχουν πλάγιες και οριζόντιες ασύμπτωτες. Μάλιστα η πρώτη δεν έχει ούτε κατακόρυφες. 2x + 3 2x Οι γραφικές παραστάσεις των f (x) = και f (x) = 3 έχουν οριζόντια 3x − 2 x + 3x αλλά όχι πλάγια. x 3 + 2x x2 + 1 Τέλος οι γραφικές παραστάσεις των f (x) = 2 και έχουν πλάγια αλλά x −1 x +1 όχι οριζόντια. ii) Για ρητές συναρτήσεις

4.3.1 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α) f ( x ) =

Λύση

x+3 , x −1

β) f (x) = x 2 + 1 − 2x .

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

187

β) Αν είναι γνωστό ότι η ευθεία y = 2x + 3 είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ , να 4f (x) + 2x − 1 . βρείτε το lim x →+∞ 3xf (x) − 6x 2 − x + 7 γ) Να υπολογίσετε το lim

f 3 (x) − 2f 2 (x) + 4f (x) − 5

x →+∞

f 2 (x) + 1

Λύση α) Έστω g(x) =

2f (x) + 2x − 6x 2 ημ 4x 2 + 3 − 2x

1 x . Τότε:

1 1 f (x) = ( 4x 2 + 3 − 2x)g(x) − x + 3x 2 ημ και 2 x f (x) 1 ( 4x 2 + 3 − 2x) 1 = g(x) − 1 + 3xημ . x x 2 x Βρίσκουμε τα επί μέρους όρια. ( 4x 2 + 3 − 2x) 4x 2 + 3 − 4x 2 3 = lim = 0 και = lim 2 2 x →+ ∞ x →+ ∞ →+ ∞ x x x( 4x + 3 + 2x) x( 4x + 3 + 2x) 1 ημ 1 x = 1 .(γιατί ;) lim xημ = lim x →+ ∞ x →+ ∞ 1 x x f (x) 1 = ⋅ 0 ⋅ 5 − 1 + 3 ⋅1 = 2 . Συνεπώς lim x →+ ∞ x 2 β) Ισχύει lim (f (x) − 2x) = 3 , γιατί η y = 2x + 3 είναι ασύμπτωτη της Cf . lim

x →+ ∞

f (x) 1 +2− 4 4f (x) + 2x − 1 x x = 4⋅2 + 2 − 0 = 5 . Έχουμε: lim = lim 2 x →+∞ 3xf (x) − 6x − x + 7 x →+ ∞ 7 3⋅ 3 −1+ 0 4 3[f (x) − 2x] − 1 + x f (x) γ) Έστω h(x) = . Τότε f (x) = x ⋅ h(x) και lim f (x) = + ∞ , οπότε f(x) >0 x →+ ∞ x 3 2 για κάθε x κοντά στο +∞ . Είναι f (x) − 2f (x) + 4f (x) = f (x)[f 2 (x) − 2f (x) + 4] . Παρατηρούμε ότι η παράσταση f 2 (x) − 2f (x) + 4 είναι ένα τριώνυμο ως προς f(x) με διακρίνουσα αρνητική, οπότε f 2 (x) − 2f (x) + 4 > 0 για κάθε x κοντά στο +∞ , και επειδή f(x) > 0 είναι f 3 (x) − 2f 2 (x) + 4f (x) > 0 . Έχουμε lim

x →+∞

f 3 (x) − 2f 2 (x) + 4f (x) − 5 f 2 (x) + 1

f 3 (x) − 2f 2 (x) + 4f (x) − 5 = +∞ . x →+ ∞ f 2 (x) + 1

= lim

188

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

4.3.2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ Ομάδα

1. Να σημειώσετε το σωστό ή λάθος στα α) Η συνάρτηση f ( x ) =

παρακάτω : α ν x + α ν −1 x + ... + α 1 x + α 0 ν

ν −1

β μ x μ + β μ −1 x μ −1 + ... + β1 x + β 0

με α ν , β μ ≠ 0 έχει:

i) Οριζόντια ασύμπτωτη στο − ∞ την ευθεία με εξίσωση y = 0 , αν ν < μ Σ α ii) Οριζόντια ασύμπτωτη στο + ∞ την ευθεία με εξίσωση y = ν , αν ν = μ . βμ

Σ Λ iii) Οριζόντια ασύμπτωτη στο + ∞ την ευθεία με εξίσωση y = α ν , αν ν > μ . Σ Λ β) Υπάρχουν συναρτήσεις που έχουν δύο οριζόντιες ασύμπτωτες στο + ∞ . Σ Λ 1 , x ≠ 1 , τότε η συνάρτηση g( x ) = xf ( x ) έχει οριζόντια ασύμπτωγ) Αν f ( x ) = x −1 τη στο + ∞ την ευθεία με εξίσωση y = 1 . Σ Λ δ) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] , τότε μπορεί να έχει Σ Λ κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση x = α 2. Πόσες ασύμπτωτες έχει συνολικά η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2x 2 + 1 f (x) = Β. 2 Γ. 4 Δ. 3 ; Α. 0 x −2 x 2 + x + λ2 , λ ∈ \ . Ποια από τις προτάσεις δεν είναι αληθής; x −1 Α. η f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση x = 1 Β. lim f (x) = +∞ Γ. η f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + ∞ την ευθεία με

Έστω η f ( x ) =

x →+∞

Δ. η f είναι ορισμένη στο \ − {1} εξίσωση y = 1 Ε. η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. 4. Να βρεθούν όλες οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρx2 + 3 2x + 1 3x + 1 τήσεων: i) f ( x ) = , , ii) f ( x ) = 2 iii) f ( x ) = , x−4 3x + 1 x +3 iv) f ( x ) =

x 2 − 4x + 3 , x 2 − 5x + 6

vii) g(x) = 2 x , x) f ( x ) = x + 2 +

v) f ( x ) =

vi) f ( x ) =

x2 +1 , x6 + 8

x6 + 8 x 3 − 12 x 2 + 11x − 6 , ix) , f ( x ) = x2 −1 x 2 − 5x + 4 x x −1 . xi) f ( x ) = x−2

viii) f ( x ) = 1 , x2

x2 − 4 , ( x − 1) 2