Tocando Pi e Dando Nota ao Show by jose augusto gava

Tocando π e Dando Nota ao Show Aí está, π normalmente vem na base 10, que é a dos dedos de duas mãos. Depois de muitas voltas desde 1994 (foi como criei a Rede Cognata), deparei com a idéia de converter na base 7 (o que está feito abaixo) e acoplar diretamente as notas musicais, como se pode ver. A SEQUÊNCIA SERIA ESTA 1. π normalmente é apresentado na base 10 (3,141592...). Devido ao livro de 1985 de Carl Sagan Contato, as pessoas começaram a se aprofundar no número transcendental procurando grupos de binários e chegaram a 200 bilhões e agora em 2010 a 1.000 bilhões de casas decimais; 2. π10 (base 10) seria então convertido em π7 (base 7), como abaixo; 3. as notas musicais seriam postas na posição correspondente aos números da base 7 (0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6) para dó, ré, mi, fá, sol, lá, si; 4. desde que como música fosse considerada harmônica ou consonante a seqüência seria enviada ao espaço sideral; 5. alcançaria Saturno em no máximo uma hora e meia; 6. se a Grande Nave estiver lá ela acordará e emergirá do planeta, como está posto abaixo. Serra, segunda-feira, 01 de março de 2010. José Augusto Gava.

3,141592... NOTAS 3. fá

0 dó

6 si

3 fá

6 si

5 lá

1 4 3 2 0 3 ré sol fá mi dó fá

6 si

1 ré

3 4 1 fá sol ré

AS NOTAS COMPARADAS COM OS NÚMEROS DA BASE 7 0 dó

1 ré

2 mi

3 fá

4 sol

5 lá

6 si

ANEXOS 3.

1. ondas de rádio; 2. o rádio-emissor; O Apocalipse (a passagem de abrir o sétimo selo); 4. Saturno; 5. π; 6. conversor de bases; 1

7. A Nave Mundo se Levanta de Saturno. Quando uma onda de rádio se distancia do local da estação emissora propaga-se através da atmosfera terrestre. Isto faz com que a parte da irradiação que se dirige ao solo, reflete-se parcialmente. O restante da onda é absorvido pela superfície terrestre, constituindo-se esta no que se denomina de ONDA TERRESTRE. A energia irradiada com uma inclinação positiva, ou seja, para cima, propaga-se para o espaço constituindo-se no que se chama de ONDA ESPACIAL. As ondas terrestres podem ser : Ondas de Superfície e Ondas Aéreas umas viajam através da atmosfera em linha reta e a outra parte reflete-se na superfície terrestre.

A zona útil da propagação pela onda direta e o alcance da transmissão é dado e limitado pelo horizonte geográfico da antena transmissora em relação a receptora. Pelo contrário na transmissão por ondas terrestres, o alcance é consideravelmente maior do que o visual ou direto pois pode chegar a ser de vários milhares de quilômetros, dependendo da potência da emissora. É muito importante ter em conta que em igualdade de condições, o maior alcance obtém-se quando a onda viaja através da água salgada. Nas bandas de Onda Curtas, a propagação é muito difícil de ser prevista, a onda espacial pode encontrar-se em boas, regulares ou em má condição, pois estão variando constantemente. Também depende em uma grande parte da antena receptora que temos instalada e conectada no receptor, como também a hora em que estamos recebendo as emissões de uma estação transmissora e a época do ano em que estamos neste momento. As ondas de rádio podem viajar também através da atmosfera e são dirigidas ao espaço sideral, sendo denominadas de ONDAS ESPACIAIS. Neste caso a atenuação é relativamente pequena e o alcance pode ser muito grande com pouca potência na transmissão (vide fig. abaixo).

As Ondas Espaciais tem muita dependência da ionosfera e das características em que este ponto de reflexão encontra-se no exato momento quando estão sendo refletidas. Temos que ter em conta que a ionosfera durante a noite tem sua altura consideravelmente reduzida, pelo que o alcance das ondas é muito maior durante esta etapa. 2

A ionosfera esta subdividida em várias capas que ficam situadas a cada momento a diferentes distâncias do globo terrestre. A condição ionosférica vária durante o dia e afeta de diferentes formas e maneiras as diversas freqüências em que podemos transmitir neste momento. O transmissor irradia em muitas direções, no momento em que as ondas encontram a ionosfera, esta as refrata com diferentes ângulos e nem sempre todas essas ondas voltam para o globo terrestre. Assim mesmo, dependendo da freqüência de transmissão, as ondas podem alcançar diferentes capas da ionosfera e podem ser refletidas ou não dependendo das condições desta última. As ondas de maior freqüência, alcançam a maior altura na ionosfera, (camadas mais altas) sendo que as primeiras camadas são as que mais facilmente refletem as ondas. Também podemos considerar que uma mesma onda transmitida pode ser refletida por diferentes camadas atmosféricas, se obtendo assim diferentes distâncias na sua reflexão (vide fig. abaixo).

Neste gráfico acima, podemos apreciar como são produzidas as diferentes refrações segundo sejam refletidas as ondas por diferentes freqüências e camadas que se encontram favoravelmente ionizadas na atmosfera. Também podemos apreciar as reflexões múltiplas produzido diferentes alcances segundo são refletidas em uma capa ou em outra, como também se as ondas estão sendo devolvidas pela terra para que sejam novamente refletidas Quanto a propagação em freqüências muito altas (VHF), onde também se encontra a banda de radiodifusão em FM, podemos dizer que é de pouco alcance, pelo fato de ser tão alta a freqüência, as ondas não são refletidas pela ionosfera e escapam desta para o espaço sideral, pelo que o alcance destas emissoras é muito limitado por influência do terreno e obstáculos que se encontram no caminho da onda, dependendo assim o alcance da grande altura em que possam se encontrar suas antenas transmissoras. No seguimento das freqüência assinaladas para os radioamadores na banda do VHF, as boas condições de propagação para se fazer um contato a longa distância (DX), são muito escassas e esporádicas. Dependendo muito de condições atmosféricas muito determinadas e especiais, os ditos contatos em DX normalmente realizam-se através da chamada propagação Troposférica ou por chuva de meteoritos. Sendo esta última uma possibilidade bem escassa, porém é muito bem aproveitada pelos radioamadores sobre tudo em épocas estivais quando temos chuvas de estrelas. Por isso nesta banda é freqüente o uso de antenas direcionais que aumentam tanto o ganho de transmissão bem como o de recepção consideravelmente. 3

Resumindo tudo quanto anteriormente exposto, podemos considerar que a Propagação das ondas Hertzianas possuem muita variação dependendo da freqüência e do angulo em que se transmite assim como da época do ano em que nos encontramo-nos, as condições atmosféricas, as ionosféricas e as estelares. Em freqüências muito altas as ondas viajam de modo visual, nas ondas curtas no modo espacial e nas ondas médias e longas no modo terrestre. Rádio (comunicação) Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Rádio é um recurso tecnológico das telecomunicações utilizado para propiciar comunicação por intermédio da transcepção de informações previamente codificadas em sinal eletromagnético que se propaga através do espaço. Uma estação de radiocomunicação é o sistema utilizado para executar contatos à distância entre duas estações, ela é composta basicamente de um transceptor (transmissor-receptor) de radiocomunicação, de uma linha de transmissão e da antena propriamente dita. A este sistema se dá o nome de sistema irradiante. A radiodifusão é uma emissão comercial, que ocorre apenas por transmissão de sinais, sem transcepção dos mesmos. Estrutura O rádio é um sistema de comunicação através de onde ondas eletromagnéticas propagadas no espaço, que por serem de comprimento diferente são classificadas em ondas curtas de alta frequência e ondas longas de baixa frequência, assim, utilizadas para fins diversos. Os sistemas de radiocomunicação normais são formados por dois componentes básicos: • Transmissor – composto por um gerador de oscilações, que converte a corrente elétrica em oscilações de uma determinada frequência de rádio; um transdutor que converte a informação a ser transmitida em impulsos elétricos equivalentes a cada valor e um modulador, que controla as variações na intensidade de oscilação ou na freqüência da onda portadora, sendo efetuada em níveis baixo ou alto. Quando a amplitude da onda portadora varia segundo as variações da freqüência e da intensidade de um sinal sonoro, denomina-se modulação AM. Já quando a freqüência da onda portadora varia dentro de um nível estabelecido a um ritmo igual à frequência de um sinal sonoro, denomina-se modulação FM; • Receptor – Tem como componentes principais: a antena para captar as ondas eletromagnéticas e convertê-las em oscilações elétricas; amplificadores que aumentam a intensidade dessas oscilações; equipamentos para desmodulação; um alto-falante para converter os impulsos em ondas sonoras e na maior parte dos receptores osciladores para gerar ondas de

radiofrequência que possam se misturar com as ondas recebidas. História Segundo alguns autores, a tecnologia de transmissão de som por ondas de rádio foi desenvolvida pelo italiano Guglielmo Marconi, no fim do século XIX, mas a Suprema Corte Americana concedeu a Nikola Tesla o mérito da criação do rádio, tendo em vista que Marconi usara 19 patentes de Tesla em seu projeto. Na mesma época em 1893, no Brasil, o padre Roberto Landell de Moura também buscava resultados semelhantes, em experiências feitas em Porto Alegre, no bairro Medianeira, onde ficava sua paróquia. Ele fez as primeiras transmissões de rádio no mundo, entre a Medianeira e o morro Santa Teresa. As primeiras radioemissões O início da história do rádio foi marcado pelas transmissões radiofônicas, sendo a transcepção utilizada quase na mesma época. Consideram alguns que a primeira transmissão radiofónica do mundo foi realizada em 1906, nos EUA por Lee de Forest experimentalmente para testar a válvula tríodo. No Brasil, a primeira transmissão foi realizada no centenário da Independência do Brasil, em 7 de setembro de 1922, em que o presidente Epitácio Pessoa, acompanhado pelos reis da Bélgica, Alberto I e Isabel, abriu a Exposição do Centenário no Rio de Janeiro. O discurso de abertura de Epitácio Pessoa foi transmitido para receptores instalados em Niterói, Petrópolis e São Paulo, através de uma antena instalada no Corcovado. No mesmo dia, à noite, a ópera O Guarani, de Carlos Gomes, foi transmitida do Teatro Municipal para alto-falantes instalados na exposição, assombrando a população ali presente. Era o começo da primeira estação de rádio do Brasil: a Rádio Sociedade do Rio de Janeiro. Fundada por Edgar Roquette-Pinto, a emissora foi doada ao governo em 1936 e existe até hoje, mas com o nome de Rádio MEC. Tecnologia

Rádio com toca-fitas cassette. Anos 80. Receptor A função do receptor de rádio é a decodificação dos sinais eletromagnéticos recebidos do espaço, captados pela antena, transformando-os em ondas sonoras, sinais digitais e/ou analógicos. A televisão e o rádio automotivo, por exemplo, são receptores. O equipamento é conectado a uma antena receptora, um sistema de sintonia e amplificadores de áudio, vídeo e/ou sinais digitais.

Rádio de 1936, em madeira, AM e Ondas Curtas. Transmissor O radiotransmissor converte sinais sonoros, analógicos ou digitais em ondas eletromagnéticas, enviando-os para o espaço através de uma antena 5

transmissora, para serem recebidos por um radioreceptor, por exemplo, emissoras de AM, FM ou de TV Alem do LW. Transceptor O radio-transceptor, funciona das duas formas, como transmissor e receptor, alguns exemplos de transceptor são, o telefone celular, os radares nos aeroportos, os equipamentos de comunicações em veículos oficiais, e de empresas particulares. Além da radiodifusão, existem outras modalidades na utilização de equipamentos emissores de radiofreqüência que influenciam nas radiocomunicações. • Radiotelegrafia, bastante utilizada até meados da década de 1970. Após o advento da digitalização, a transcepção via código morse caiu em desuso comercialmente e militarmente, embora ainda existam utilizadores da radiotelegrafia. • Radiotelefonia ainda utilizada, porém em outros modos, por exemplo, os telefones celulares são modos de radilotelefonia. • Radioemissora não é necessariamente radiodifusão, ou radiocomunicação. Uma radioemissora pode emitir sinais de rádio para os mais diversos fins, desde militares até industriais. • Radiocomunicação é a modalidade mais utilizada. • Radiogoniometria é uma modalidade de radiolocalização. Um radiogoniômetro localiza uma emissão de radiofreqüência de qualquer modalidade. • Radiolocalização é uma forma de radiogoniometria. Um radiofarol, por exemplo, sendo um radioemissor, emite sinais que são recebidos por um radiogoniômetro, que tendo um sistema monodirecional de recepção, faz a triangulação da emissora, localizando-a com precisão. • Radioterapia por Diatermia chamado por alguns do meio médico de Ondas Curtas. Este sistema, embora não pertença ao assunto radiocomunicação, tem sua relevância, pois, é um dos maiores interferentes (Poluidor) nas radiocomunicações. Trata-se de um equipamento transmissor de radiofreqüência de alta potência utilizado em medicina e não em comunicação. Também não se deve confundir com Radioterapia por Radiação Ionizante), esta é realizada no comprimento de onda dos raios-x. • Sua relevância à radiocomunicação se dá pelo fato de serem (juntamente aos equipamentos de diatermia) grandes poluidores do espectro eletromagnético. É um meio de comunicação que ocupa lugar de destaque. Apesar de ser um hobby, este tem vital importância para as pesquisas e desenvolvimento em diversas modalidades desta ciência. As estações de radiocomunicação mantidas por radioamadores, se prestam para comunicados e conversas informais além dos concursos e competições nacionais e internacionais os chamados contestes. Além do passatempo, os radioamadores prestam serviços para testes de condições de propagação ionosférica, direta, e por reflexão, (inclusive lunar) nas mais diversas freqüências do espectro. Em casos extremos, as estações de radiocomunicações de radioamadores, em função de sua portabilidade, agilidade, gama de utilização, potência, e sistemas de antenas de fácil montagem e alcance, auxiliam as autoridades de Defesa Civil do mundo inteiro nas situações de risco e calamidades públicas. Alguns conceitos básicos

Domingo, 2006-05-07 ALGUNS CONCEITOS BÁSICOS • O que é a escuta das ondas curtas? A escuta das ondas curtas consiste basicamente na recepção de emissões radiofônicas realizadas na faixa do espectro eletromagnético compreendida entre 3 e 30 MHz, conhecida como ondas curtas, ou faixa de alta freqüência. Através das ondas curtas, pode-se escutar transmissões a longa distância, muitas delas realizadas a partir de localidades distantes, muitas vezes de outros países; o longo alcance das emissões é uma característica desta parte do espectro. Outros serviços utilizam também as ondas curtas, tais como o radioamadorismo e estações utilitárias (serviços móveis e aeronáuticos), mas o serviço de radiodifusão é o mais difundido. A escuta das ondas curtas (shortwave listening) pode ser definida como a aCtividade de se escutar emissoras de rádio internacionais, ou de localidades distantes do próprio país, numa linguagem compreensível e apreciando os programas transmitidos, como noticiários, desporto, música, entre outros. O radioescuta (como é genericamente chamado o ouvinte de rádio) costuma escrever para as emissoras enviando comentários e fazendo sugestões, como uma forma de retorno. Muitas estações agradecem as cartas escritas, enviando prospectos sobre a emissora e brindes. As estações também costumam responder às informações de recepção dos ouvintes enviando os chamados cartões QSL.

• O que são ondas curtas e para que servem? Uma das vantagens das ondas curtas é que elas alcançam milhares de quilômetros. Um transmissor manda o sinal do rádio para fora. O sinal sai da superfície da Terra, faz uma refracção ( bate e volta ) na ionosfera, e então repete o processo. Isto pode acontecer muitas vezes, fazendo com que este sinal viaje enormes distâncias ao redor do mundo. Algumas condições geográficas ou climáticas podem ajudar ou interferir no processo. • Qual a diferença entre ondas curtas e o AM e FM? A transmissão AM (ondas médias), seguem a curvatura da Terra mas são rapidamente absorvidas, limitando a distância da transmissão. Os sinais FM só podem ser recebidos se o receptor tiver uma antena. A qualidade desses sinais são muito bons, mas a distância alcançada é extremamente limitada. As transmissões de ondas curtas não têm a mesma qualidade de som que as de AM/FM, porém, a área coberta pelas ondas curtas é muito maior. Uma nova tecnologia, as "ondas curtas digital", aliam a vantagem potencial de melhorar a qualidade do som com a grande área coberta dos rádios de ondas curtas de hoje em dia.

Quem está à escuta? Existem duas grandes categorias de ouvintes de ondas curtas. Um grupo é constituído pelas pessoas que vivem em países em que o governo restringe o rádio, oferecendo apenas um ponto de vista. Este grupo (50-80% da população) possui um rádio de ondas curtas, que traz programas que oferecem uma perspectiva melhor. O segundo grupo é de pessoas individuais de países onde existe uma maior variedade de meios de comunicação e de programas mas que tem um •

interesse internacional. Este grupo é uma pequena mas importante parte da população. Têm a tendência de ser "as pessoas que decidem" nos seus países e um nível de educação mais elevado. • Qual é o perfil típico do ouvinte de ondas curtas? Homem, Nível de educação elevado, Entre 30 e 45 anos de idade, Localizado em áreas urbanas e áreas remotas do país. • O que é "dx"? A maioria dos ouvintes de ondas curtas contenta-se em ouvir as estações mais fáceis de serem captadas. Contudo, certos ouvintes estão interessados nos aspectos técnicos do hobby, como propagação e experiências com antenas. Esta actividade é chamada de DX, termo este derivado da sigla em inglês DX, onde a letra "D" significa "distância" e a letra "X" significa "incógnito"(em analogia à letra X usada na Matemática em expressões algébricas). Este termo pode ser interpretado como "escutar estações de rádio localizadas a uma distância desconhecida". Para eles isto significa varrer as faixas de ondas curtas à procura de novas estações, que por vezes possuem um sinal tão fraco que torna difícil a sua escuta. Muitas destas estações não estão interessadas em transmitir para audiências tão distantes, geralmente são estações regionais, transmitindo em baixa potência, que usam as ondas curtas para atingir ouvintes de regiões específicas e não muito distantes, da mesma forma que em muitas partes do globo as estações locais usam a faixa de ondas médias ou a faixa de freqüência modulada. Apocalipse 8:1 Quando abriu o sétimo selo, fez-se silêncio no céu, quase por meia hora. Apocalipse 8:2 E vi os sete anjos que estavam em pé diante de Deus, e lhes foram dadas sete trombetas. Apocalipse 8:3 Veio outro anjo, e pôs-se junto ao altar, tendo um incensário de ouro; e foi-lhe dado muito incenso, para que o oferecesse com as orações de todos os santos sobre o altar de ouro que está diante do trono. Apocalipse 8:4 E da mão do anjo subiu diante de Deus a fumaça do incenso com as orações dos santos. Apocalipse 8:5 Depois do anjo tomou o incensário, encheu-o do fogo do altar e o lançou sobre a terra; e houve trovões, vozes, relâmpagos e terremoto. Apocalipse 8:6 Então os sete anjos que tinham as sete trombetas prepararam-se para tocar. Apocalipse 8:7 O primeiro anjo tocou a sua trombeta, e houve saraiva e fogo misturado com sangue, que foram lançados na terra; e foi queimada a terça parte da terra, a terça parte das árvores, e toda a erva verde. Apocalipse 8:8 O segundo anjo tocou a sua trombeta, e foi lançado no mar como que um grande monte ardendo em fogo, e tornou-se em sangue a terça parte do mar. Apocalipse 8:9 E morreu a terça parte das criaturas viventes que havia no mar, e foi destruída a terça parte dos navios. Apocalipse 8:10 O terceiro anjo tocou a sua trombeta, e caiu do céu uma grande estrela, ardendo como uma tocha, e caiu sobre a terça parte dos rios, e sobre as fontes das águas.

Apocalipse 8:11

O nome da estrela era Absinto; e a terça parte das águas tornou-se em absinto, e muitos homens morreram das águas, porque se tornaram amargas. Apocalipse 8:12 O quarto anjo tocou a sua trombeta, e foi ferida a terça parte do sol, a terça parte da lua, e a terça parte das estrelas; para que a terça parte deles se escurecesse, e a terça parte do dia não brilhante, e semelhantemente a da noite. Apocalipse 8:13 E olhei, e ouvi uma águia que, voando pelo meio do céu, dizia com grande voz: Ai, ai, ai dos que habitam sobre a terra! por causa dos outros toques de trombeta dos três anjos que ainda vão tocar. DISTÂNCIA (contando 300.000 km/s, abaixo dos números estão as horas que levaria uma mensagem para percorrer as distâncias, não contando os 150 milhões de km Sol-Terra, que seriam atravessados em 8,3 minutos pela luz) MÁXIMA MÉDIA 1.429.400.000 km 1.000.000.000 km 1,32 hora 0,93 hora

Fatos sobre Saturno Saturno é o segundo maior planeta do sistema solar e o sexto a partir do Sol: o distância do Sol: 1.429.400.000 km (9,54 u.a.) o diâmetro equatorial: 120.536 km; diâmetro polar: 108.728 km o massa: 5,688e26 kg • Na mitologia romana, Saturno é o deus da agricultura. Corresponde ao deus Cronus dos gregos, filho de Urano e Gaia e pai de Zeus (Júpiter). Saturno é a raiz da palavra inglesa "saturday" (veja o Apêndice 4). • Saturno é conhecido desde os tempos pré-históricos. Galileu foi o primeiro a observá-lo com um telescópio, em 1610. Ele notou sua estranha aparência, mas deixou-se confundir por ela. As primeiras observações de Saturno foram complicadas pelo fato de que a Terra passa através dos anéis de Saturno, a certos períodos, à medida que este se move em sua órbita. . Uma imagem de Saturno de baixa resolução, portanto, sofre modificações notáveis. Não foi senão em 1659 que Christiaan Huygens inferiu corretamente a geometria dos anéis. Os anéis de Saturno permaneceram como fenômeno único no sistema solar até 1977, quando anéis de fraca intensidade foram descobertos ao redor de Urano e, pouco depois, em torno de Júpiter e Netuno). • Saturno foi visitado pelA primeira vez pela Pioneer 11 em 1979 e, mais tarde, pelas sondas Voyager 1 e Voyager 2. • Visto através de um pequeno telescópio (foto 10), Saturno é visivelmente achatado nos pólos. Seu achatamento é de quase 10%. Isso resulta de a sua rápida rotação e de seu estado fluido. • Saturno é o menos denso dos planetas; sua gravidade específica (0,7) é inferior a da água ( Se você pudesse colocar Saturno dentro d'água, ele flutuaria). • Como Júpiter, Saturno é cerca de 75% hidrogênio e 25% hélio, com traços de água, metano, amônia e "rocha, similar à composição da Nebulosa Solar primordial, da qual o sistema solar se formou. • O interior de Saturno é similar ao de Júpiter, consistindo em um núcleo rochoso, uma camada de hidrogênio molecular. Traços de vários gelos estão também presentes. • O interior de Saturno é quente (12000 k no núcleo). O planeta irradia mais energia para o espaço do que recebe do Sol. A maior parte da energia extra é gerada pelo mecanismo de Kelvin-Helmholtz, como em Júpiter. Mas isso pode não ser o bastante para explicar a luminosidade de Saturno; alguns outros mecanismos podem estar em atividade, talvez a "chuva" de hélio em suas camadas mais profundas. • As faixas, que em Júpiter são bastante acentuadas, mostram-se muito mais fracas em Saturno (foto 2). Elas são também muito mais largas próximo ao equador. Os detalhes dos topos das nuvens não são visíveis da Terra, e observações mais precisas da circulação atmosférica de Saturno só puderam ser feitas a partir das missões Voyager. Saturno também apresenta nuvens ovais de longa duração e outras formações comuns em Júpiter. Em l990, o HST observou uma enorme nuvem branca perto do equador de Saturno que não estava lá durante durante a visita das sondas Voyager; em 1994, observou-se uma tempestade menor. • Dois anéis proeminentes (A e B) e um anel fraco (C) podem ser vistos da Terra. A falha entre os anéis A e B é conhecida como a divisão de Cassini; a falha muito mais fraca no anel A é conhecida como Folga de Encke (foto •

13). As fotos enviadas pela Voyager mostram quatro outros anéis fracos. Os anéis de Saturno, diferentemente dos anéis dos outros planetas, são muito brilhantes (albedo 0,2 - 0,6). • Embora pareçam contínuos quando vistos da Terra, os anéis, na verdade, são formados de milhares de pequenas partículas de diferentes tamanhos, variando de um centímetro, aproximadamente, a vários metros. É também provável que existam objetos com alguns quilômetros de comprimento. • Os anéis de Saturno são extraordinariamente finos; embora tenham um diâmetro de 250.000 km ou mais, sua espessura não vai além de 200 metros. A despeito de sua expressiva aparência, há realmente muito pouco material nos anéis - se os anéis fossem condensados num único corpo, este não teria mais que 100 km de raio. • As partículas dos anéis parecem ser compostas basicamente de gelo de água, mas partículas rochosas cobertas por gelo podem também existir. • A Voyager confirmou a existência de intrigantes inohemogeneidades radiais nos anéis, chamadas de "raias", observadas pela primeira vez por astrônomos amadores (foto 13). Sua natureza é ainda um mistério, mas é possível que isso tenha algo a ver com o campo magnético de Saturno. • O anel mais externo de Saturno - anel F - é uma estrutura complexa constituída de dois anéis estreitos, entrelaçados e brilhantes, juntamente com "nós" visíveis. (foto 14). Os cientistas supõem que os "nós" possam ser aglomerados de material dos anéis, ou pequenas luas. • Há complexas ressonâncias de maré entre algumas luas de Saturno e o sistema de anéis: algumas das luas, os chamados "satélites pastores" (i.e. Atlas, Prometeu e Pandora) são importantes na medida em que mantém os anéis no lugar; Mimas parece ser responsável pela reduzida quantidade de material na divisão de Cassini, que parece ser similar às falhas de Kirkwood no cinturão de asteróides; Pan está localizado dentro da Folga de Encke. Todo o sistema é muito complexo e, até aqui, pouco se sabe sobre ele. • A origem dos anéis de Saturno (e de outros planetas jovianos) é desconhecida. Embora tais planetas possam ter tido anéis desde sua formação, os sistemas de anéis não são estáveis e devem ser regenerados por processos contínuos, provavelmente pela fragmentação de satélites maiores. • Como os outros planetas jovianos, Saturno tem um forte campo magnético. • Pode-se ver Saturno no céu noturno, a olho nu. Embora não seja tão brilhante quanto Júpiter, é facilmente identificável porque ele não "pisca" como as estrelas. Os anéis e os satélites maiores são visíveis através de um pequeno telescópio astronômico. Os mapas localizadores de planetas de Mike Harvey mostram a atual posição de Saturno (e dos outros planetas) no céu. Fotos 1. (acima) Saturno com Réia e Dione 162k gif; 34k jpg 298k gif

parte de Saturno com Tétis e Dione 85k 11

gif; 14k jpg

revendo Saturno 316k gif 4. grande imagem de Saturno, B&W 358k gif 5. o planeta Saturno, as melhores fotos em "tamanho reduzido" 113k gif 6. o planeta Saturno, vista geral do planeta e anéis 242k gif 7. o planeta Saturno, vista "em close" do planeta e anéis 236k gif 8. o planeta Saturno, com a lua passando sobre a superfície 245k gif 9. Saturno, visto pelo HST 71k gif; 39k jpg 10. Saturno, visto pelo Nordic Optical Telescope 43k gif

Nuvem vermelha oval 103k gif; 16k jpg close de Saturno, mostrando as formações de nuvens 353k gif

11. 12.

13.

raias dos anéis (cor falsa) 204k gif

14.

anéis trançados 5k jpg; 31k gif 15. anéis de Saturno, close das raias 245k gif 16. anéis de Saturno, vistas mais ampliada das raias 287k gif 17. espetacular imagem (cor falsa) dos anéis 130k jpg 18. diagrama dos anéis 101k gif

19.

anéis vistos da borda e duas luas, HST 64k gif 20. ... mais imagens de Saturno Filmes Saturno, o Planeta Vermelho, em rotação, e dois satélites 82k fle 2. Passagem da Voyager 2 por Saturno 606k quicktime 3. Tempestade em Saturno 186k mpg 12

Raias nos anéis de Saturno 990k quicktime; 1300k AVI Os Satélites de Saturno Saturno tem 18 anéis com nomes, mais do que qualquer outro planeta. É bem possível que existam vários satélites pequeno ainda não descobertos. • De todos os satélites cujas velocidades de rotação são conhecidas, Febe e Hiperíon são os únicos que não possuem rotação sincrônica. • Os três pares: Mimas-Tétis, Encélado-Dione e Titã-Hiperíon interagem gravitacionalmente de forma a manterem relações estáveis entre as suas órbitas; o período da órbita de Minas é exatamente a metade do de Tétis; diz-se, portanto, que estão numa ressonância de 1:2; Encélado-Dione também estão numa ressonância de 1:2; Titã-hiperíon estão numa relação de 3:4. • Além dos 18 satélites nomeados, pelo menos uma dezena de outras luas já foram identificadas e provisoriamente classificadas. Distância Raio Massa Satélite (000 km) (km) (kg) Descobridor Data --------- -------- ------ ------- ---------- ----Pan 134 10 ? Showalter 1990 Atlas 138 14 ? Terrile 1980 Prometeu 139 46 2,70e17 Collins 1980 Pandora 142 46 2,20e17 Collins 1980 Epimeteu 151 57 5,60e17 Walker 1980 Jano 151 89 2,01e18 Dollfus 1966 Mimas 186 196 3,80e19 Herschel 1789 Encélado 238 260 8,40e19 Herschel 1789 Tétis 295 530 7,55e20 Cassini 1684 Telesto 295 15 ? Reitsema 1980 Calipso 295 13 ? Pascu 1980 Dione 377 560 1,05e21 Cassini 1684 Helene 377 16 ? Laques 1980 Réia 527 765 2,49e21 Cassini 1672 Titã 1222 2575 1,35e23 Huygens 1655 Hiperíon 1481 143 1,77e19 Bond 1848 Iápeto 3561 730 1,88e21 Cassini 1671 Febe 12952 110 4,00e18 Pickering 1898 Os Anéis de Saturno Distância Largura Massa Anel (km) (km) (kg) ---- -------- ----- -----D 67000 7500 ? C 74500 17500 1,1e18 B 92000 25500 2,8e19 Divisão de Cassini A 122200 14600 6,2e18 F 140210 500 ? G 165800 8000 1e7? E 180000 300000 ? (distância do centro de Saturno à borda interna do anel) Esta categorização é, na verdade, um tanto enganosa, uma vez que a densidade das partículas varia de forma complexa, não indicada por uma divisão em regiões bem delimitadas: há variações dentro dos anéis; as falhas não são totalmente vazias; os anéis não são perfeitamente circulares. 13

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. A letra grega π mínúscula é usada como símbolo do Pi Na matemática, é uma proporção numérica originado do relação entre as grandezas do perímetro de uma circunferência e seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro e diâmetro , então aquele número é igual a . É representado pela letra grega π. A letra grega π (lê se: pi), foi adotada para o número a partir da palavra grega para perímetro, "περίμετρος", provavelmente por William Jones em 1706, e popularizada por Leonhard Euler alguns anos mais tarde. Outros nomes para esta constante são constante circular, constante de Arquimedes ou número de Ludolph. Notação Os primeiros a utilizarem a letra grega foram os matemáticos ingleses, mas para designar a circunferência de um círculo. O primeiro a utilizar definição atual[1] foi William Jones. Entretanto foi só após Leonhard Euler utilizá-la que houve aceitação da notação pela comunidade científica.[2] Valor de π O valor de π pertence aos números irracionais. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar π por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima π por 3,1415927. Para cálculos mais precisos

pode-se utilizar com 31 casas decimais.[3] Para cálculos ainda mais precisos pode-se obter aproximações de π através de algoritmos computacionais. Aproximações para π Desde a Antiguidade, foram encontradas várias aproximações de π para o cálculo da área do círculo.[4] Entre os egípcios, por exemplo no papiro de Ahmes, o valor atribuído a π seria , embora também seja encontrado o [5][6] valor . Na Bíblia é possível encontrar que os hebreus utilizavam o valor 3 como aproximação de π.[5] Entre os babilônios, era comum o uso do valor 3 para calcular a área do círculo, apesar de o valor já ser conhecido como aproximação.[4] Métodos de cálculo Existem muitas formas de se obter o valor exato de π e alguns métodos aproximados. Consideramos que [[π]] é um número irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões. Método clássico para o cálculo de π

Método do clássico para o cálculo de π A primeira tentativa rigorosa de encontrar π deve-se a um dos mais conhecidos matemáticos da Antigüidade, Arquimedes. Pela construção de polígonos inscrito e circunscrito de 96 lados encontrou que pi seria entre um 14

valor entre 223/71 e 22/7, ou seja, estaria aproximadamente entre 3,1408 e 3,1429. Tal método é o chamado método clássico para cálculo de de pi.[7] Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou pi tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416. Considerando o que sabemos atualmente, sua aproximação foi bem melhor que a de Arquimedes. A "busca" pelo valor de π chegou até à China, onde Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3.072 lados. Mas só no final do século V que o matemático Tsu Ch'ung-chih chegou a uma aproximação melhor: entre 3,1415926 e 3,1415927. Nesta mesma época, o matemático hindu Aryabhata deixou registrado em versos num livro a seguinte afirmação: "Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62.000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20.000". Analisando matematicamente e considerando a equação citada anteriormente de :

O valor de π, portanto, seria 3,1416. Obviamente, quanto maior o número de casas decimais, melhor a aproximação do valor real de pi. Mas devemos considerar que, na época, isso não era algo fácil de se calcular. O maior cálculo de casas decimais até o século XV foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático árabe al-Kashi. O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de π com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de π com as supracitadas 35 casas decimais. Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até bilhões de casas decimais para π. Uma aproximação de π que apresenta diferença de aproximadamente 2,7e-7 é a seguinte:

Formulação matemática do método de Arquimedes Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para um polígono de qualquer número de lados. Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 − 2cosα Temos formado um triângulo isósceles, de base l e lados r=1: l2 = r2 + r2 − 2cosα l2 = 12 + 12 − 2cosα l2 = 2 − 2cosα 15

O ângulo do triângulo isósceles no centro do polígono é expresso por 360º dividido pelo número de lados (n), portanto:

Dessa forma, o perímetro do polígono será de:

Como π é representado pelo perímetro do polígono dividido pelo seu diâmetro, temos:

Métodos estatísticos

Outro método interessante para o cálculo de π pode ser realizado através de Monte Carlo utilizando-se a estatística. Nesse método são sorteados aleatoriamente pontos num quadrado compreendido entre as coordenadas O = (0,0) e B = (1,1). Em seguida calcula-se a distância dos pontos sorteados cn = (xn,yn) até a origem O = (0, 0). π pode ser aproximado através do número de pontos inscritos na circunferência de raio 1 em relação ao total de pontos sorteados no quadrado de lado 1. No exemplo ao lado, Outro método que utiliza a estatística de Monte Carlo para o cálculo de π é conhecido como Agulha de Buffon, proposto no século XVIII pelo naturalista francês Georges de Buffon. Métodos de séries infinitas O francês François Viète, estudando o método de Arquimedes, desenvolveu a seguinte série para o cálculo de π em 1593:

O matemático John Wallis, desenvolveu outra série infinita em 1655: . Outra série conhecida para o cálculo de π foi desenvolvida por Leibniz em 1682, utilizando-se da série de Taylor para a função arctan(x), tomando-se x=1 e, por conseguinte, arctan(1)=π/4. . Johann Heinrich Lambert publicou, em 1770, uma série na forma de divisões infinitas: 16

Métodos de cálculo numérico Um dos estudos dos métodos de cálculo numérico é obter a raiz de uma função. Quando consideramos a função f(x) = sin(x) sabemos que f(π) = sin(π) = 0. Os principais métodos do calculo numérico para a obtenção da raiz da função f(x) podem incluir uma busca binária no intervalo [a,b] onde se sabemos que f(3) = sin(3) > 0 (a = 3) e f(4) = sin(4) < 0 (b = 4) então podemos aprimorar o intervalo para: , se

, se Partindo-se do intervalo esse método permite refiná-lo sucessivamente para os intervalos 1. 2. 3. 4. e assim sucessivamente. Ainda no cálculo numérico, o método de Newton-Raphson, mais eficiente que uma busca binária permite obter aproximações sucessivas para a raiz da função f(x) = sin(x) utilizando um ponto inicial x0 exigindo que conheçanos f'(x) = cos(x). Tomando-se x0 = 3 e considerando-se que por Newton-Rapson , temos a seguinte série para π 1. x0 = 3 2. x1 = 3,14254654 3. x2 = 3,14159265 Um método otimizado de cálculo numérico para o cálculo de π através das raízes de uma função pode ser obtido pela simplificação xi + 1 = xi + sin(xi), pois na proximidade de π, .[8] Notemos que nesses algoritmos de cálculo numérico considera-se π como trancendental, uma vez que a função f(x) = sin(x) não pode ser escrita através de um polinômio finito de coeficientes racionais; a função f(x) = sin(x) é obtida através da expansão da série de Taylor. Algoritmo de Gauss-Legendre O Algoritmo de Gauss-Legendre,[9] que é um método de cálculo numérico de aproximações succesivas, foi utilizado por Yasumasa Kanada para obter o recorde mundial no cálculo de casas decimais de pi em 2002.[10] Método de cálculo isolado das decimais π Em 1995, David Bailey, em colaboração com Peter Borwein e Simon Plouffe, descobriu uma fórmula de cálculo de π, uma soma infinita (freqüentemente 17

chamada fórmula BBP):

Essa fórmula permite calcular facilmente a enésima decimal binária ou hexadecimal de π sem ter que calcular as decimais precedentes. O sítio de Bailey contém sua derivação e implementação em diversas linguagens de programação. Graças a uma fórmula derivada da fórmula BBP, o 4 000 000 000 000 000° algarismo de π em base 2 foi obtido em 2001. Grandezas que dependem de π Várias relações matemáticas dependem do conhecimento da constante π, entre elas: • Perímetro de uma circunferência: • Área do círculo : • Volume de uma esfera: π também está nas fórmulas gravitacionais e do eletromagnetismo da física. Irracionalidade e transcendência de π Johann Heinrich Lambert demonstrou em 1761 que se é racional e diferente

de , então nem , nem podem ser racionais . Como , seguese que é irracional, e portanto que é irracional.[11][12] Lindemann provou em 1882 que π é transcendente utilizando o método utilizado por Hermite para provar que e é transcendente. Isto significa que π não pode ser a solução de nenhuma equação algébrica de coeficientes racionais. A transcendência de π estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com régua e um compasso euclideanos, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de um determinado círculo. Questões sem resposta A questão em aberto mais importante é a de saber se π é um número normal, isto é, se qualquer sucessão de algarismos aparece nas decimais de π, como seria de se esperar em uma seqüência infinita e completamente aleatória de algarismos. Isso deveria ser verdadeiro em qualquer base, e não somente na base 10. Também não se sabe que algarismos aparecem um número infinito de vezes na constituição de π. Bailey e Crandall demonstraram em 2000 que a existência da fórmula BaileyBorwein-Plouffe mencionada acima e de fórmulas similares implicam a normalidade de π em base 2. Cronologia do cálculo de π Matemático Ano Casas Decimais Egípcios (Papiro de Rhind)

1650 A.C.

Arquimedes

250 A.C.

Zu Chongzhi

480 D.C.

Jamshid Masud Al-Kashi

1424

Ludolph van Ceulen

1596

Jurij Vega

1794

126

William Shanks

1874

527 18

Levi B. Smith, John W. Wrench

1949

1.120

Daniel Shanks, John W. Wrench

1961

100.265

Jean Guilloud, M. Bouyer

1973

1.000.000

Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura

1982

16.777.206

Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo

1987

134.217.700

Chudnovskys

1989

1.011.196.691

Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi

1997

51.539.600.000

Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi

1999

206.158.430.000

Yasumasa Kanada

2002

1.241.100.000.000

Daisuke Takahashi

2009

2.600.000.000.000

Fabrice Bellard

2010

2.699.999.990.000 [13]

Ver também • Agulha de Buffon • Constante de Euler-Mascheroni • Prova da irracionalidade de π • Prova de que 22/7 é maior que π Notas 1. ↑ Ou seja, que π é um número que representa a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro 2. ↑ Eves (2004) p. 144 3. ↑ Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Fifth Printing.ed. National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55, 1966. 4,0 4,1 4. ↑ Cajori (2007), p. 45 5. ↑ 5,0 5,1 Eves (2004), p. 141 6. ↑ Boyer (1996), p. 12 7. ↑ Eves (2004), p. 141 e 142 8. ↑ O Cálculo do Número Pi (2006). 9. ↑ Gauss-Legendre Algorithm (October 20, 2004). 10. ↑ Yasumasa Kanada (December 10, 2002). 11. ↑ Cajori (2007), p. 330 12. ↑ Boyer (1996), p. 320 13. ↑ Pi Computation Record. Bibliografia • BOYER, C. B. (1996), História da Matemática, Editora Edgard Blücher. ISBN 85-212-0023-4 • CAJORI, F. (2007), Uma História da Matemática, Editora Ciência Moderna. ISBN 978-85-7393-555-4 • EVES, H. (2004), Introdução à História da Matemática, Editora Unicamp. ISBN 85-268-0657-2 19

• •

Ligações externas Curiosidades da Matemática - Evolução cronológica do cálculo de pi Joy Woller (1996). The Basics of Monte Carlo Simulations. University of Nebraska-Lincoln • Pi-memory Pi com 10.000 casas decimais Introdução Sistemas de Numeração 1. Representação em base B:

a base B designa a quantidade de algarismos distintos utilizados o ex: base 10: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} base 2: { 0, 1 } base 8: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } • Notação posicional: o peso do algarismo depende da posição dentro do número o algarismo de índice zero tem peso 1 o algarismos a esquerda da vírgula tem pesos iguais a potências da base B  acrescenta-se 1 ao algarismo à esquerda quando se esgota o número representável pelos algarismos à direita  ex: 9 -> 10, 19 -> 20, 99 -> 100, etc o algarismos a direita da vírgula tem pesos iguais a potências negativas de B  base 10: 0,1 = 10-1; 0,01 = 10-2  base 2: 0,1 = 2-1; 0,01 = 2-2 o o valor de um algarismo é dado pela multiplicação do algarismo pelo peso o o valor do número é a soma dos produtos algarismo x peso  ex: 123,456 = 1·102 + 2·101 + 3·100 + 4·10-1 + 5·10-2 + 6·10-3 101,110 = 1·22 + 0·21 + 1·20 + 1·2-1 + 1·2-2 + 1·2-3 2. Bases importantes em computação • Base binária: a base binária é utilizada em computadores por ser mais simples de armazenar e manipular. o dois dígitos: { 0, 1 } o dois valores de tensão: 0 = GND, 1 = VCC • Base Octal: o oito algaristmos: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } o cada algarismo octal corresponde a um número binário de 3 bits •

OCTAL Binário 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 20

5 6 7

101 110 111

Base Hexadecimal: o 16 algarismos: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E } o cada algarismo corresponde a um número binário de 4 bits •

HEXA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F •

Binário 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

3. Representação em múltiplas bases pode-se escrever um número utilizando-se algarismos de múltiplas bases:

onde i designa o algarismo, Pi o peso do algarismo e j a base a qual o algarismo pertence O peso de um algarismo em uma representação em base múltipla é dado pelo produto das bases dos algarismos a direita ex: suponha um número de três algarismos com as bases { 5, 7, 10 }: B5B7B10  pesos: P1 = 1, P2 = 10, P3 = 70 4. Conversão entre bases 4.1 Parte inteira diversos métodos permitem transformar uma representação de um número em uma base origem em uma base destino Método Polinomial: interpreta-se o número como um polinômio na aritmética da base destino o ex: binário para decimal 1001012 = 1·25 + 0·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 3710 32025 = 3·53 + 2·52 + 0·51 + 2·50 = 3·125 + 2·25 + 2·1 = 42710 Método das Subtrações: determinam-se os algarismos de maior peso (mais a esquerda) subtraindo-se potências da base, a maior potência da base menor ou igual ao número. 21

o ex: 68110 -> binário 681 - 1·29 = 681 - 512 = 169 (1·29) 169 - 0·28 = 169 - 0·256 = 169 (0·28) 169 - 1·27 = 169 - 128 = 41 (1·27) 41 - 0·26 = 41 - 0·64 = 41 (0·26) 41 - 1·25 = 41 - 32 = 9 (1·25) 9 - 0·24 = 9 - 0·16 = 9 (0·24) 9 - 1·23 = 9 - 8 = 1 (1·23) 1 - 0·22 = 1 - 0·4 = 1 (0·22) 1 - 0·21 = 1 - 0·2 = 1 (0·21) 9 - 1·23 = 9 - 8 = 1 (1·20) o resultado: 68110 = 10101010012 • Método das Divisões: determinam-ne os algarismos de menor peso (mais a direita) tomando-se o resto da divisão do número pela base destino. x = an-1·Bn-1 + ... + a1·B1 + a0·B0 x/B = an-1·Bn-2 + ... + a1·B0, resto = a0 o repete-se o método sobre o quociente obtido até que este seja zero: x= x1·B + a0 x1 = x2·B + a1 ... xn-1 = 0·B + an-1 o ex: 75110 -> base 2 751/2 = 375, resto: 1 375/2 = 187, resto: 1 187/2 = 93, resto: 1 93/2 = 46, resto: 1 46/2 = 23, resto: 0 23/2 = 11, resto: 1 11/2 = 5, resto: 1 5/2 = 2, resto: 1 2/2 = 1, resto: 0 1/2 = 0, resto: 1.  75110 = 10111011112 o ex: 75110 -> base 7 751/7 = 107, resto: 2 107/7 = 15, resto: 2 15/7 = 2, resto: 1 2/7 = 0, resto: 2.  75110 = 21227 Método da substituição direta: nas bases que são potência de 2 a conversão para a base binária pode ser feita diretamente pela substituição de algarismos por grupos de dígitos binários. o ex: 1010112 -> octal: (101) (011) = 538 101010110001111,0101000112 = (101)(010)(110)(001)(111),(010)(100)(011) = 52617,2438 1010101100011112 = (0101)(0101)(1000)(1111) = 558F16 4.2 Parte Parte Fracionária • Método das multiplicações: a parte fracionária do número é multiplicada pela base destino. Os algarismos a esquerda da vírgula produzidos pela multiplicação fornecem a parte fracionária na base destino.

x = a-1·B-1 + a-2·B-2 + a-3·B-3 + ... x·B = a-1 + a-2·B-1 + a-3·B-2 + ... = a-1 + x' x'·B = a-2 + a-3·B-1 + a-2·B-1 + a-3·B-2 + ... o ex: converter 0,8125 para binário 2·(0,8125) = 1,625 => a-1 = 1 2·(0,625) = 1,25 => a-2 = 1 2·(0,25) = 0,5 => a-3 = 0 2·(0,5) = 1,0 => a-4 = 1 0,812510 = 0,11012 • Método das subtrações: similar ao método empregado na parte inteira, subtrai-se a parte fracionária por potências negativas da base destino, verificando quais fatores são imediatamente inferiores a parte fracionária da base origem. o ex: 0,8125 - 1·2-1 = 0,8125 - 0,5 = 0,3125 => a-1 = 1 0,3125 - 1·2-2 = 0,3125 - 0,25 = 0,0625 => a-2 = 1 0,0625 - 0·2-3 = 0,0625 - 0·0,125 = 0,0625 => a-3 = 0 0,0625 - 1·2-4 = 0,0625 - 0,0625 = 0 => a-4 = 1 Códigos Binários Qualquer informação no computador é representada por códigos binários: caracteres, números, símbolos, etc. Existem diversas alternativas para codificar elementos dependendo das características almejadas. Um código pode ser otimizado para reduzir espaço de armazenamento necessário, ou para representar informações de forma unívoca, ou ainda explorar redundâncias para deteção e correção de erros Códigos Alfanuméricos • A representeção de informações textuais foi uma das primeiras formas de codificação utilizadas em computadores. Os primeiros códigos utilizavam 6 bits para representar as letras maiúsculas (26), os dígitos decimais (10) e uma série de caracteres especiais (ponto, vírgula, dois pontos, etc). Um destes códigos é o de Hollerith, utilizado pela IBM em cartões perfurados. • EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code): código utilizado pela IBM incluindo letras maiúsculas, minúsculas, caracteres especiais, etc. • ASCII (American Standard Code for Information Interchange): código inicialmente de 7 bits, posteriormente extendido para 8 bits, é o mais utilizado correntemente. Inclui caracteres de controle (0 a 31), como tabulação, retorno de linha, ejeção de página, bip, e outros; dígitos decimais; caracteres maúsculos e minúsculos (65 - A, 66 - B; etc); Código BCD (Binary Coded Decimal) • utilizado em sistemas computacionais para codificar algarismos decimais utilizando 4 bits diversas associações entre algarismos decimais (10 algarismos) e códigos de 4 bits (16 combinações) são possíveis. Dígito 0 1 2

NBCD (8421) 0000 0001 0010

Aiken (2421) 0000 0001 0010

Stibitz (8421-3) 0011 0100 0101

7421

642-1

0000 0001 0010

0000 0011 0010 23

3 4 5 6 7 8 9

0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001

0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111

0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100

0011 0100 0101 0110 0111 1001 1010

0101 0100 0111 1000 1011 1010 1101

O código mais utilizado é o BCD natural. O código de Stibitz, também chamado de excesso-de-três, simplifica a aritmética BCD, que exige correções em determinados casos. Os outros códigos foram desenvolvidos com aplicações específicas em mente, mas não são adequados a aritmética BCD Código Gray (espelhado) código desenvolvido inicialmente para representar grandezas analógicas, que variam gradualmente (continuamente). Dois códigos adjacentes diferem apenas em 1 bit. É um código cíclico, pois a mesma regra de formação se aplica ao primeiro e ao último códeigos. • regra de formação: •

Origem Espelha Vertical Completa Espelha Vertical Completa 0 0 00 00 000 1 1 01 01 001 1 11 11 011 0 10 10 010 10 110 11 111 01 101 00 100

existem diferentes sequências Gray • pode-se representar um determinado código Gray indicando o código inicial e a sequência de bits que mudam a cada passo: o ex: o código acima seria indicado por:  código inicial: 000  sequência: ( 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1 ) • naturalmente, não é necessário utilizar todas as 2n combinações binárias o 3 bits e comprimento 6: ( 1, 2, 1, 3, 2, 3 ) o 4 bits e comprimento 8: ( 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 3 ) o 5 bits e comprimento 10: ( 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4 ) este é conhecido como o "código caminhante" Códigos k de n • são códigos formados com n bits, dos quais k são "1" e n-k são "0" são códigos normalmente utilizados para deteção de erros em transmissão de dados • são possíveis n!/k!(n-k)! combinações possíveis o ex: 2 de 5 ( 74210 ) ( 11000, 00011, 00101, 00110, 01001, 01010, 01100, 10001, 10010, 10100 ) o ex: 2 de 7 ( 5043210, biquinário ) •

Decimal 50 432310 0 01 00001 1 01 00010 2 01 00100 3 01 01000 4 10 00001 5 10 00010 6 10 00100 7 10 01000 o ex: 1 de n (one-hot code) ( 00001, 00010, 00100, 01000, 10000 ) Códigos de Paridade acrescenta-se um bit a palavra de modo que a soma dos "1's" da palavra e do bit de paridade seja par ou ímpar • tem por objetivo a deteção de erros simples na transmissão de dados o ex:

Código 000 001 010 011 100 101 110 111

Paridade Par 1's 0 0 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 0 2 1 3

Paridade Ímpar 1 0 0 1 0 1 1 0

1's 1 1 1 3 1 3 3 3

Códigos de Hamming • introduzem vários bits de paridade para deteção e correção de erros • distância de Hamming: número de bits diferentes entre dois códigos o ex: distância entre 0001 e 1000 é 2 • deteção e correção de erros: se a distância entre códigos for 1, não é possível nem detectar nem corrigir erros, pois se um bit de um código mudar, gera outro código válido o se a distância for 2, é possível detectar mas não corrigir o erro  ex: (000, 011, 110, 101) 001 seria um código errado, que pode ser gerado por 000, 101 ou 011 o se a distância for 3, então um erro simples pode ser detectado e corrigido  ex: ( 001, 110) 011 seria gerado por 001, 010 por 110, etc para corrigir um erro altera-se a palavra para o código válido mais próximo (de menor distância) Exemplo: Para corrigir um erro simples em um código de 4 bits, o código de Hamming introduz três bits de paridade, A, B e C. Posição Código 0

1 A 0

2 B 0

3 8 0

4 C 0

5 4 0

6 2 0

7 1 0 25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1

1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1

0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

'A' calcula a paridade par das posições 1, 3, 5 e 7 'B' calcula a paridade par das posições 2, 3, 6 e 7 'C' calcula a paridade par das posições 4, 5, 6 e 7 Existindo erro simples, a sua posição é dada por CBA Exemplo: • número enviado: 6 (1100110) • código recebido: 1100100 o Paridade C: ímpar, C = 1 o Paridade B: ímpar, B = 1 o Paridade A: par, A = 0 • CBA = 110, erro no bit 6 do código Bits de paridade introduzidos para nbits de informação: • • •

Informação 4 5 11 12

Paridade 3 4 4 5

A Nave Mundo se Levanta de Saturno A GRANDE NAVE EM SATURNO

O hexágono de Saturno Um curioso hexágono formado por um jato de partículas envolve o pólo norte de Saturno na imagem acima, capturada pela sonda Cassini, da NASA. Os astrônomos não sabem o que causa o fenômeno, registrado pela primeira vez por outra sonda da NASA, a Voyager, em sua passagem pelo planeta há quase 30 anos. O hexágono circunda Saturno a cerca de 77 graus de latitude norte e tem o diâmetro aproximado de duas Terras. Cientistas calculam que o jato

de partículas se move ao longo do hexágono a cem metros por segundo (ou 360 km/h). O Grande Hexágono de Saturno 10.abril.2007

A sonda espacial Cassini capturou novas imagens de um curioso hexágono no pólo norte de Saturno, descoberto inicialmente pelas sondas Voyager no início dos anos 1980. É um aspecto embasbacante, já que cada lado deste hexágono tem em torno de 13.800 quilômetros de tamanho, pouco maior que a Terra — imagine seis planetas Terra alinhados neste hexágono. O Grande Hexágono de Saturno está em rotação, e completa uma volta em pouco mais de dez horas:

Embora fosse mais curioso, infelizmente não há um outro hexágono no pólo 27

sul do planeta. Será mais um “Mistério Espacial Insolúvel”®? Cansados de terem suas magníficas obras de engenharia igualadas a “desenhos nas nuvens”, ou pareidolia, teriam os alienígenas decidido chutar o balde e criar literalmente desenhos nas nuvens com dezenas de milhares de quilômetros de tamanho? Seria um marcador de que Saturno é o sexto planeta a partir do Sol? Talvez, mas os cientistas investigam antes hipóteses um pouco mais prosaicas, e no ano passado, Richard Hendricks andou brincando com espécie de baldes e água em rotação, e publicou seu artigo científico “Polygons on a Rotating Fluid Surface” (PDF). Você pode conferir imagens e mesmo um vídeo dos experimentos de Hendricks clicando na foto abaixo:

“Nós relatamos uma nova e espetacular instabilidade da superfície de um fluido em um sistema em rotação. Em um fluxo movido por um fundo rotatório de um cilindro estacionário parcialmente cheio, a forma da superfície livre pode espontaneamente quebrar a simetria axial e assumir a forma de um polígono em rotação rígida com uma velocidade diferente do fundo. Com água, observamos polígonos de até seis vértices”, escreve Hendricks. Saturno não é um cilindro com um fundo giratório, e seus gases não são líquidos, mas o trabalho de Hendricks mostra que fluidos rotatórios podem sim produzir polígonos regulares de forma espontânea nas condições adequadas. Como exatamente isto ocorre em Saturno parece assim um mistério especial solúvel através da exploração espacial. [via The Planetary Society blog, do qual este post é um plágio, visto no Bad Astronomy blog] Há 10 milhões de anos - com o aparecimento dos primeiros hominídeos sobre a Terra indicando a invenção futura possível da língua (o que se deu com os neandertais) - a Nave Mundo chegou ao sistema solar e desceu sobre o pólo norte de Saturno, ficando ali à espera dos acontecimentos que haveriam de se dar segundo o planejamento de i Deus-Natureza. Quando os neandertais emergiram há 300 mil anos ela enviou observadores e desde então vem monitorando. Com o aparecimento dos CRO-magnons há 80 mil anos acelerou os procedimentos e finalmente de uns tantos milhares de anos, desde o aparecimento das cidades no fim da glaciação e principalmente a partir da invenção da escrita ela pôs-se inteiramente de prontidão e começou a enviar contínuos jorros de partículas pelo subespaço. De fato, de vez em quando chegam e partem naves, mas não desde 1957, pois poderia ser fotografada, como foi, recentemente, indicando a consecução de seus objetivos e missão. Ela acordou e se colocou à escuta dos sinais radiofônicos desde a primeira emissão em 1906. Por qual sinal esperava ela? AS MEMÓRIAS DE G 28

BASE B10 B7

A DECIFRAÇÃO DE PI 3,141592... 3,1415... 2 3 4

9/8

5/4

4/3

dó

ré

fá

EXPRESSÃO π 5

3/2

5/3

15/8

sol

lá

números da base 7 frações matemáticas notação lingüísticomusical (dialógicap.6)

Não são apenas os instrumentos externos, mas psicologiaprincipalmente os interpretadores internos. p.3 VISÃO V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 (imagens) AUDIÇÃO A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 (sons) OLFATO O0 O1 O2 O3 O4 O5 O6 (cheiros) PALADAR p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 (gostos) TATO P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 (pressões) Os mesmos de cima, sem interpretadores igualmente biologia-p.2 potentes. f (Hz) 256 288 320 341,3 384 426,7 480 física(freqüências) química Como foi escolha humana não há garantia de o emparelhamento das notas musicais relativas aos sons ter sido feito corretamente. A sugestão é que há (segundo o modelo pirâmide) quatro elementos verdadeiros, dois pseudoelementos montadores e um elemento central de onde sai tudo; e porisso cores, sons, cheiros, gostos, pressões e tudo mais podem ser representados por notas de uma linguagem geral, universal, a qual serve também para decifrar π e re-produzir a língua original pré-Babel. Escrito na base sete π só conta com sete algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 – estando o 7 excluído; na base binária o dois é que fica fora, restando 0 e 1) e o 9 teria de ser convertido em 12. Desse modo, como está em PI/grama Musical (Para Tocar o Sol) logo no início, PI pode ser tocado; a suposição é que dele despontará certa música, a MÚSICA DA CRIAÇÃO e que ela despertará a Nave Mundo. Em resumo: 1) π deve ser convertido à base 7; 2) obtido um primeiro pareamento verdadeiro com as notas musicais (dó ou é 0 ou 1 ou ...6); 3) as notas devem ser inseridas nos seus lugares-números; 4) PI-SONANTE será então tocado como música audível.

Quando π foi emitido audivelmente, certo aparelho colocado na Terra pela Nave Mundo captou o som e enviou-o a ela que começou lentamente a emergir de Saturno, de dentro de sua atmosfera superior, de seu manto de nuvens, onde esteve esperando tantos milhões de anos de lenta condução da evolução humana. A Nave Mundo é um planeta em si mesmo, só sua parte superior tem mais de 26 mil km de diâmetro, sendo apenas sua “tampa”, seu lugar de saída, de onde emergem as naves visitantes que em tremenda velocidade vem através do subespaço. A FORMA DA GRANDE NAVE (ela apareceu como necessidade sem forma através da Rede Cognata quando foi lido na confecção de Adão Sai de Casa, mas não se sabia onde no sistema solar ela poderia ficar escondida; não poderia ser atrás de nenhum planeta porque logo teria sido avistada pelas câmeras)

Hexágonos e pentágonos misturados. A chave veio através do livro totalmente tolo (veja a cartilha Estamos nós no Universo) de Henri Lœvenbruck O Testamento dos Séculos, Rio de Janeiro, Bertrand Brasil, 2009 (original francês de 2003) que juntou Cristo, chave e a frase “Tu és Pedro e sobre esta pedra edificarei minha igreja” – quando isso é lido pela Rede Cognata fica que chave = SETE = PEDRO = PERFEITO e segue. Ou seja, base 7. Serra, terça-feira, 16 de fevereiro de 2010. José Augusto Gava. ANEXOS 1. CONVERSÃO DE BASES Conversão de base numérica Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Conversão de base numérica é o nome dado à passagem de um valor de uma base para outra mantendo o valor quantitativo, mas alterando a simbologia para se adequar a nova base. Introdução Atualmente é muito comum o uso de bases numéricas derivadas de 2 ao se utilizar computadores em baixo nível (quando se programa um, por exemplo). O humano está familiarizado com a base 10 (decimal), no dia-a-dia, já os computadores atuais trabalham exclusivamente com a base 2 (binário), assim é preciso fazer conversões entre estas bases quando se pretende inserir algum valor para ser processado pelo computador. Obviamente que ninguém vai ficar convertendo números para o binário para então digitá-lo na calculadora e depois converter o resultado para decimal 30

para usá-lo. Esse processo de conversão está, no caso da calculadora, préprogramado para ser feito por ela, o ponto a ser entendido aqui é que internamente ela faz tudo em binário, em outras palavras: ela converte o que foi digitado para binário, faz o cálculo, converte o resultado para decimal e apresenta o resultado. No entanto quando se está escrevendo um programa é normal a introdução de valores no meio do código, e em muitas situações a digitação de códigos binários é muito complicada/longa para o programador, então existem outros códigos que facilitam a digitação, na prática é muito utilizada a base 8 (octal), e a base 16 (hexadecimal), ambas derivadas da base 2 (note que estas bases facilitam a digitação somente, de qualquer forma ao ser compilado toda e qualquer base usada para escrever o programa é convertida para base 2 para que o valor seja usado pelo processador). Exemplos Valores numéricos representados em algumas bases 10 (Decimal) 2 (Binário) 8 (Octal) 16 (Hexadecimal) 0

1010

1111

301

100101101

455

12D

1379

10101100011

2543

563

42685

1010011010111101

123275

A6BD

Repare como na base maior (hexadecimal), o número de símbolos usados para representar o mesmo valor é bem menor que nas bases menores, é isso que facilita a digitação e memorização dos valores. Repare também que no caso da simbologia da base haxadecimal são usadas algumas letras, isso ocorre porque temos símbolos para representar somente os algarismos de 0 a 9, como na base 16 é necessária a representação de algarismos de 10 a 15 então as letras de A até F são utilizadas para isso resultando na sequência: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Conversões A conversão entre bases pode ser realizada por meio de divisões sucessivas, que funciona para qualquer combinação de bases, ou então, para os casos em que a base de origem e de destino pertencem a mesma base logarítmica, a conversão pode ser feita simplesmente por reagrupamento dos algarismos. Divisões sucessivas Neste método uma das bases tem que ser a decimal. Assim se nenhuma delas for decimal é necessário primeiro converter a base de origem para decimal e então converter para base de destino. Tomemos o exemplo da conversão do número base 10 (decimal), 745 para a base 4. Uma série de divisões inteiras é realizada até que o valor zere, o divisor usado é o valor da base de destino e os restos das divisões inteiras é a sequência de algarismos da base de destino. Como a base de origem é decimal podemos usar o método diretamente: • • •

• •

Portanto 74510 = 232214 Outro exemplo 4C18 para a base 7: Como o valor de origem está na base 18 primeiro precisamos convertê-lo para a base 10: 4C18 = 4 * 181 + 12 * 180 = 72 + 12 = 8410 Repare na substituição do algarismo C pelo valor decimal 12. Isso foi feito porque como na base 18 precisamos que cada algarismo represente 18 valores diferentes comumente se usa letras na sequência do último algarismo numérico para o qual temos um símbolo, o 9, então o A vale 10, o B vale 11 e assim sucessivamente até o valor 17 (com o símbolo zero levado em consideração teremos então os 18 que precisávamos). Agora sim aplicamos as divisões: • • •

Assim: 4C18 = 8410 = 1507 Mais um exemplo: converter 6528 para a base 3: 6528 = 6 * 82 + 5 * 81 + 2 * 80 = 384 + 40 + 2 = 42610 • • • • • •

Assim: 6528 = 42610 = 1202103 Reagrupamento Quando as bases envolvidas são da mesma base logarítmica então a conversão pode ser facilmente feita por simples reagrupamentos dos algarismos e uso de pequenas tabelas de conversão. Por exemplo, entre as bases 16 e 8 ou entre 2 e 16 ou ainda entre as bases 27 e 9. Na prática é muito usada a conversão entre as bases 2, 8 e 16 pelos motivos citados anteriormente. Segue uma tabela básica para estas conversões: Tabela de conversão de bases de origem binária Decimal Binário

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110

15 1111

Octal

Hexadecimal

Convertendo 1110101102 para a base 16: Pela tabela vemos que para cada algarismo em hexadecimal são necessários 4 algarismos para realizar sua representação em binário. Então o primeiro passo é separar o valor em base 2 em blocos de 4 algarismos: 1110101102 = 1.1101.0110 Depois, consultando a tabela convertemos o valor de cada bloco para seu equivalente hexadecimal, assim teremos: 1110101102 = 1.D.616 = 1D616 32

Convertendo 1110101102 para base 8: Pela tabela vemos que para cada algarismo em octal são necessários 3 algarismos para realizar sua representação em binário. Então devemos separar o valor em base 2 em blocos de 3 algarismos: 1110101102 = 111.010.110 Depois, consultando convertemos o valor de cada bloco para seu equivalente octal, assim teremos: 1110101102 = 7.2.68 = 7268 Finalmente uma conversão do valor 3A816 para octal: Primeiro convertemos para os blocos binários equivalentes com 4 dígitos: 3A816 = 3.A.816 = 0011.1010.10002 = 11101010002 Agora reagrupamos em blocos de 3 dígitos: 11101010002 = 1.110.101.0002 = 1.6.5.08 Assim: 3A816 = 16508 2. AMPLITUDE DOS SONS Teoria Musical - Acordes e Cifras A música é, sem dúvida, uma das mais interessantes e criativas manifestações do espírito humano. Apesar das diferenças entre uma filarmônica e um show de rock, ambos tem a mesma base: a escala musical. Além da beleza das músicas que pode produzir, a seqüência dó, ré, mí, fá, sol, lá, sí, dó guarda dentro de si as relações matemáticas, associadas ao som correspondente a cada nota musical. O som é produzido por objetos em vibração como, por exemplo as hastes de um diapasão, o diafragma de um alto-falante ou ainda uma corda esticada e depois dedilhada. Ela vibra e produz um som. Mas nem sempre o que nós ouvimos pode ser considerado um som, ele pode ser assim dividido: • Som é o resultado de uma freqüência constante, ou seja, uma vibração regular. • Ruído é o resultado de uma freqüência não constante, ou seja, irregular. A percepção que nossos ouvidos têm desse som depende do número de vibrações por segundo. Para melhor demonstrar isso, tomaremos um violão! A nota é diferenciada pelo número de vibrações da corda. A esse número de vibrações damos o nome de freqüência ou tom. A escala musical correspondente, na realidade, a um conjunto de freqüências que identificam as diversas notas musicais. Concluindo, todo e qualquer barulho é uma nota, e sua classificação dependerá do número de vibrações. Vamos considerar, como ponto de partida, a nota produzida por uma corda que vibre 256 vezes por segundo e chamá-la de dó. A experiência mostra que se cortarmos a corda ao meio ela passará a vibrar duas vezes mais depressa e a nota produzida também será um dó, porém com a freqüência de 512 vibrações por segundo, ou seja uma oitava mais alta. O intervalo entre dois dós consecutivos contém as outras notas musicais. A esse conjunto de notas de dó a dó chama-se escala musical. Assim, é fácil perceber que temos várias escalas musicais que se diferenciam por tons mais graves e agudos. Sabe-se que o ouvido humano é sensível a sons emitidos com a freqüência entre 16 e 20.000 vibrações por segundo. A tabela abaixo mostra o número de freqüências de notas musicais audíveis nesse intervalo. É interessante notar que: • Cada linha da tabela corresponde a uma escala musical. Observe que 33

uma nota qualquer de uma escala repete-se oito notas adiante, por esse motivo uma nota de uma determinada escala é chamada oitava da mesma nota na escala anterior. • Cada coluna da tabela contém um número de oitavas. Note que as freqüências das oitavas de uma determinada nota musical formam uma progressão geométrica de razão 2. Dó Ré Mí Fá Sol Lá Sí 16 18 20 21,3 24 26,7 30 32 36 40 42,6 48 53,4 60 64 72 80 85,2 96 106,8 120 128 144 160 170,5 192 213,5 240 256 288 320 341 384 427 480 512 576 640 682 768 854 960 1.024 1.152 1.280 1.364 1.536 1.708 1.920 2.048 2.304 2.560 2.728 3.072 3.416 3.840 4.096 4.608 5.120 5.456 6.144 6.832 7.680 8.192 9.216 10.240 10.912 12.288 13.664 15.360 16.384 18.432 Qualidades do som • Altura é a qualidade que nos permite classificar os sons em agudos (altos) e baixo (graves). o Graves com a freqüência menor, mais "grossa", como a voz masculina. o Agudos com a freqüência maior, mais "fina", como a voz feminina. • Intensidade é a qualidade que nos permite um som forte de outro mais fraco, ou que podemos chamar de "volume". o Forte de amplitude maior, como o ronco da motocicleta. o Fraco de amplitude menor, como zumbido de um inseto. • Timbre é a qualidade que nos permite distinguir os sons de mesma altura e de mesma intensidade, mas emitidos por fontes distintas. Música = Arte científica de combinar os sons de modo agradável ao ouvido, obedecendo aos critérios do ritmo, melodia e harmonia. Ritmo = São movimentos em tempos fracos e fortes com intervalos regulares. O ritmo faz a música andar. Melodia = Sucessão rítmica, ascendente ou descendente de sons simples, a intervalos diferentes e que encerram certo sentido musical. A melodia faz a música ter vida. Harmonia = São notas diferentes executadas juntas em conformidade ou em harmonia entre si formando uma consonância lógica. Sua função é dar vida a música. Em síntese, a música é feita pela execução de acordes diferentes, mas que tenham coerência entre elas. Os Acordes Antes de tudo, quero deixar uma coisa bem definida: Nota é diferente de Acorde pois: Nota = É a menor divisão de um acorde, ou seja qualquer barulho é uma nota. 34

As notas, por sua vez, estão contidas dentro de uma série de oito notas musicais mais conhecida como "escala cromática" com intervalos de tom e semitons entre uma nota e outra, começando e terminando com a mesma nota, Ex.: Dó, Ré, Mí, Fá, Sol, Lá, Sí,Dó. Acorde = É a união de várias notas, em harmonia, formando assim um único som. Os acordes podem ser classificados em: • Maiores = São as notas puras, sem nenhuma distorção ou mistura com outras notas, ex.: C, D, E, F, G... • Menores = É a união de três tons e um semitom. • Sustenido = Faz com que a nota seja enviada seja elevada meio tom. C#m, G#, F#m, etc... b b • Bemol = Faz com que a nota seja abaixada meio tom, ex.: B , A , etc... • Dissonantes = É uma nota que causa uma dissonância e produz uma distorção e não condiz com o real absoluto, deixando o iniciante confuso e ao iniciante fascinado! ex.: A4, B5+, etc... • Consonantes = São notas que se misturam à outras, ex.: C/G, G/F, etc.... • Tom = É a distância entre dois tons, ex.: C-D,F-G, etc... • Semitom = É a menor distância entre dois tons, ex.:C-C#, D-D#, etc... Para que todo o mundo falasse a mesma linguagem na música, foi desenvolvido um sistema, que consiste em representar as notas e os acordes pelas letras do nosso alfabeto, em qualquer parte do mundo a representação será a mesma. O gráfico mostra o acorde(acima) e a nomenclatura(abaixo). Dó Ré Mí Fá Sol Lá Sí C D E F G A B Formação de acordes Os acordes são formadas pela parte melódica e pelo baixo. • Melodia parte do acorde formada pela união de graus como veremos a seguir. • Baixo parte do acorde cuja função é de dar "peso" na música. Notas C D E F G A B Graus 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª Sendo assim, montaremos o acorde de Dó como exemplo. Todo acorde é formado pelos 1a, 3a e 5a graus, ou seja, Dó é formado por C, E e G, e todas os outros acordes são formados da mesma maneira. Portanto guarde estes números: 3 e 7. Estes números são da 3ª e da 7ª de todo e qualquer acorde. Terça maior para acordes maiores; terça menor para acordes menores, sétima maior para acordes maiores e sétima menor para acordes menores. Veja a seguinte progressão harmônica: C7M F7M Em7 Am7 Dm7 G7 C7M C-E-G-B F-A-C-E E-G-B-D A-C-E-G D-F-A-C G-B-D-F C-E-G-B Observe nos três últimos compassos do exemplo acima: (Dm7,G7,C7M). A 3ª nota do acorde de Dm7 (F) torna-se a sétima do acorde de G7. A 3ª nota do acorde de G7 (B) torna-se a sétima do acorde de C7M. Daí a regra: Três vira sete e sete vira três, e assim por diante. Dissonantes Dissonantes são acordes com alteração de graus na sua formação, são elas que dão o brilho na música. Os acordes são formados através dos 1o, 3o e 5o 35

graus da escala, e agora veremos que todos os graus presentes entre eles são considerados dissonantes. Vamos a escala de C(dó). Notas C D E F G A B Graus 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª Ou seja, o acorde de C é formado pelos graus 1o , 3o e 5o ou seja, C, E e G! Agora :C, E e G# formam a C5+ pois o 5o grau foi aumentado em meio tom. E para montar uma dissonância menor é só diminuir o grau! Assim: 1ª, 3ª e 5ª formam o C, mas se baixarmos a 5ª em meio tom será um C5Consonantes Consonante é o acorde com alterações no seu baixo, ou seja, as dissonantes tem alterações nos graus de sua formação; já as consonantes no seu baixo. Basta apenas trocar o baixo original pela nota que se deseja. Assim: C= 1ª , 3ª e 5ª graus mais o baixo em C, se você deseja fazer um C/B é só fazer a melodia de C= 1ª , 3ª e 5ª graus e ao invés de fazer o baixo na nota C, fazer no B. Relativos Se observarmos atentamente notaremos que as mesmas notas que formam a escala de dó maior são as mesmas que formam a escala de lá menor, bem como as notas da escala de sol maior são as mesmas da escala de mi menor. Portanto, são tons relativos: dó maior e lá menor dó# maior e lá# menor ré maior e si menor ré# maior e dó menor mi maior e dó# menor fá maior e ré menor fá# maior e ré# menor sol maior e mi menor sol# maior e fá menor lá maior e Fá# menor lá# maior e sol menor si maior e sol# menor Toda tonalidade maior tem como seu tom relativo uma tonalidade menor, e toda tonalidade menor tem com seu tom relativo uma tonalidade maior. Instrumentos musicais e suas características físicas Cada tipo de instrumento tem uma espécie de "assinatura", um conjunto de características sonoras associado que, embora possa parecer subjetivo, tem uma descrição matemática extremamente precisa. Anteriormente comentamos que o som pode ser representado pela soma de diversas ondas individuais, que chamamos de componentes de Fourier. O que diferencia um instrumento de outro são as amplitudes e a duração de cada um dos harmônicos presentes no som resultante; a esse conjunto de características chamamos timbre. A altura de um som está ligada à intensidade com que ele é emitido, ou seja, ao volume sonoro deste som. Em termos físicos, a altura está ligada à amplitude da onda sonora gerada pela vibração de um determinado instrumento ou material. Quanto maior a amplitude da onda, maior é a quantidade de energia que ela carrega, conseqüentemente, maior é o seu 36

volume. Entretanto, a altura pode ser também tratada como a "afinação" de um som. Ela é um atributo do sistema auditivo humano a partir do qual sons quaisquer podem ser classificados em uma ordem que vai do mais baixo ao mais alto, como numa escala de notas musicais. A relação entre a altura e a afinação está ligada à freqüência de vibração do objeto que gerou esse som. As ondas sonoras complexas geradas por um instrumento musical sempre poderá ser representada por uma série de Fourier, compostas das nota fundamentais e da série de harmônicos ou sobretons, cada um com a sua amplitude e fase. A expressão matemática de uma onda complexa poderia ter a seguinte forma: P = sen w t + 1/2 sen 2w t + 1/3 sen 3w t + 1/4 sen 4w t + 1/5 sen 5w t. A Figura 4 mostra as componentes individuais e o resultado das somas de todas (P) e da soma de somente os harmônicos ímpares.

Figura 4 – De cima para baixo, as componentes harmônicas da onda representada na página anterior. Em a), b), c), d) e e) temos as componentes individuais, em f) temos todas colocadas na mesma figura e em g) temos a soma das 5 componentes. A estrutura de uma onda sonora produzida por um instrumento pode ser extremamente complexa. Qual seria o tipo de onda produzido pelas séries abaixo? P = cos w t + 0,7 cos 2w t + 0,5 cos 3w t (5.1) P = senw t - 0,5sen3w t + 0,33sen5w t – 0,25sen7w t (5.2)

Figura 5 - Soma dos harmônicos em fase (preto) e em fase invertida (vermelho), de acordo com as equações acima A fase de uma componente desempenha um papel importantíssimo na determinação da forma da onda resultante. Por exemplo, nas expressões abaixo (vistas na Figura 5) notamos que a fase do terceiro harmônico da segunda expressão está invertida de 180 graus em relação à primeira. Observe como a diferença é notável. Em geral, exceto por mudança de fases muito grandes, como foi o caso acima, ou sons muito intensos, a fase não é muito importante na determinação da forma da onda. O espectro sonoro é uma forma de mostrar a estrutura de uma onda complexa. Ele é capaz de mostrar quais são as freqüências principais que constituem um determinado som. Então, ao invés de um gráfico onde temos a amplitude em função do tempo, como nas Figuras 4 e 5, teremos um gráfico de amplitude x freqüência. Um exemplo desse gráfico espectral pode ser visto na Figura 6. O que diferencia um instrumento do outro é exatamente a distribuição de freqüências e das formas de ondas que vimos nas figuras anteriores. Pode-se ver no laboratório que instrumentos de corda são, em geral, bem mais ricos em termos de harmônicos e possuem a forma de onda mais complexa. Os mais pobres são, tipicamente, os de percussão e alguns dos metais (a flauta é o melhor exemplo dos metais, por praticamente não apresentar termos harmônicos de ordem superior a 2, quando ela toca uma nota de freqüência igual a 1568 Hz). Vamos encerrar esta seção comentando as freqüências fundamentais de ressonância de diversos instrumentos. Elas são características de cada instrumento e dependem, como veremos abaixo, das peculiaridades de cada um. Sistemas acionados por cordas vibrantes possuem uma freqüência fundamental que depende da tensão, massa e comprimento da corda.

Figura 6a – Espectro sonoro da primeira equação dos senos (5.1)

Figura 6b – Espectro sonoro da segunda equação dos senos (5.2) 40

Membranas vibrantes e discos metálicos, típicos de instrumentos de percussão, possuem um padrão de freqüência fundamental que é típica e parecida uma com a outra, dependendo também da tensão e densidade da membrana. Já tubos sonoros dependem exclusivamente do comprimento da coluna de ar contida no tubo. A Tabela 3 mostra essa relações para diversos ressonadores, inclusive tubos de órgãos metálicos, e a nomenclatura de cada termo. Os termos referentes aos módulos de Young e razão de Poisson podem ser encontrados em qualquer livro texto clássico de Mecânica e oscilações. Os valores são, por uma questão de concordância, dados no sistema de unidades CGS. Tabela 3 – Relação entre elementos vibradores e suas freqüências de ressonância Elemento vibrador

Frequência

Componentes

Cordas

f = 1/(2l) (T/r )1/2

l = comprimento da corda T = tensão r = densidade linear

Barra vibrante presa em um das pontas (vibração transversal)

f = 0,5596/l2 (QK2/r )1/2

l = comprimento da barra

Q = módulo de Young K= r = densidade linear Membranas esticadas

f = 0,382/R * (T/r )1/2

R = raio da membrana T = tensão r = densidade linear

Pratos circulares presos nas bordas

f = 0,467t/R2(Q/r (1-s 2)1/2

t = espessura da placa R = raio da placa r = densidade linear s = razão de Poisson Q= módulo de Young

Pratos circulares presos no centro

f = 0,193t/R2(Q/r (1-s 2)1/2

t = espessura da placa R = raio da placa r = densidade linear s = razão de Poisson Q= módulo de Young 41

Barras vibrantes (vibração longitudinal)

f = 1/(2l) (Q/r )1/2

l = comprimento da corda Q = módulo de Young r = densidade linear

Órgãos e tubos

f = c/2xl (aberto) f = c/4xl (fechado em um dos lados)

l = comprimento do tubo c = velocidade do som

Sala 45 Edifício CEA "novo", Av. dos Astronautas,1.758 - Jd. Granja - CEP 12227-010 Fone: 55-12-3945-7197 São José dos Campos - SP - Brasil © 2009 INPE. Todos os direitos reservados ao INPE. Nota Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Diferentes formas das notas para representar as durações Nota musical é o termo empregado para designar o elemento mínimo de um som, formado por um único modo de vibração do ar. Sendo assim, a cada nota corresponde uma duração e está associada uma freqüência, cuja unidade mais utilizada é o hertz (Hz), a qual descreverá em termos físicos se a nota é mais grave ou mais aguda. Lembrando que o som fisicamente é uma onda (ou conjunto de ondas) que se propaga no ar com uma certa freqüência, sendo que se essas ondas estiverem com a freqüência na faixa de 20 a 20.000 Hz, o ouvido humano será capaz de vibrar à mesma proporção, captando essa informação e produzindo sensações neurais, às quais o ser humano dá o nome de som. As ondas com freqüência bem baixa (entre 20 e 100 Hz por exemplo, soam em nossos ouvidos de forma grave, e sons com freqüência elevada - por exemplo acima de 400 Hz, soam de forma aguda).

Representação das alturas através da posição da nota na pauta As frequências propagam-se em intervalos definidos de tempo que as notas tem capacidade de sugerir, podendo ser mais longas (maior duração) ou mais curtas (menor duração). A grande maioria das notas empregadas na música possui duração e frequência determinadas, mesmo assim, existem notas indeterminadas em um, ou nos dois sentidos, o que não as faz deixar de serem também notas musicais. As notas podem combinar-se sendo tocadas ao mesmo tempo (definindo a harmonia), ou em seqüência (definindo a melodia), e se esses fatores, junto a alguns outros, forem combinados dentro de um 42

determinado padrão lógico pelo intelecto humano, na forma de arte, dá-se a essa seqüência o nome de música.

Nome das notas Origem do nome das notas «dó ré mi fá sol lá si» O nome das notas (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si) tem a sua origem na música coral medieval. Foi Guido d'Arezzo, um monge italiano, que criou este sistema de nomear as notas musicais - o chamado sistema de solmização. Seis das sílabas foram tiradas das primeiras seis frases do texto de um hino a São João Baptista, em que cada frase era cantada um grau acima na escala. As frases iniciais do texto, escrito por Paolo Diacono, eram: Ut queant laxis, Resonare fibris, Mira gestorum, Famuli tuorum, Solve polluti, Labii reatum. Tradução: "Para que os teus servos possam cantar as maravilhas dos teus actos admiráveis, absolve as faltas dos seus lábios impuros". Mais tarde ut foi substituído por do, sugestão feita por Giovanni Battista Doni, um músico italiano que achava a sílaba incômoda para o solfejo, e foi adicionada a sílaba si, como abreviação de Sante Iohannes ("São João"). A sílaba sol chegou a ser mais tarde encurtada para so, para uniformizar todas as sílabas de modo a terminarem todas por uma vogal, mas a mudança logo foi revertida. As sílabas ut, ré, mi, fa, sol e la, chamadas vozes, não correspondiam a alturas absolutas na escala, mas apenas a graus num hexacorde. A altura das notas era designada por letras de A a G. A partir de um trecho escrito num modo eclesiástico qualquer, podia-se transpô-lo de uma quarta, quinta ou oitava sem modificar nenhuma das vozes sobre as quais o trecho seria cantado. Uma sequência ré-mi-fa transposta de uma quarta continuava a ser considerada ré-mi-fa, na solmização, e não sol-lá-si bemol como no sistema actual, embora fosse designada por G-A-Bb em vez de D-E-F. Mais tarde, nos países latinos, adoptou-se a designação "dó ré mi fá sol lá si dó" para representar "C D E F G A B C". Nomenclatura das notas em línguas anglo saxônicas Os países anglófonos mantiveram a utilização de letras para a nomenclatura das alturas musicais. As letras A, B, C, D, E, F e G são utilizadas para as alturas musicais lá, si, dó, ré, mi, fá e sol, respectivamente. Os países de língua inglesa utilizam os sinais # (em inglês: sharp, "sustenido") e b (em inglês: flat, "bemol") para representar as alterações cromáticas dessas notas. Já os países de línguas germânicas utilizam, além das sete letras universais, a letra H, exclusivamente para a nota si natural, sendo a letra B utilizada para representar o si bemol. Nessas línguas, as alterações para as outras notas são feitas acrescentando-se a terminação is no lugar de # ("sustenido") e es para b ("bemol"). Nas notas lá e mi, representadas pelas letras A e E, respectivamente (as únicas vogais do conjunto), na terminação para 43

representar bemol (por padrão es) há a contração da vogal que representa a nota e a vogal e do sufixo (As para lá bemol e Es para mi bemol; no entanto, Ases e Eses são lá dobrado bemol e mi dobrado bemol, respectivamente) Portanto: Ces (dó bemol), C (dó natural), Cis (dó sustenido) Des (ré bemol), D (ré natural), Dis (ré sustenido) Es (mi bemol), E (mi natural), Eis (mi sustenido) Fes(fá bemol), F (fá natural), Fis (fá sustenido) Ges (sol bemol), G (sol natural), Gis (sol sustenido) As (lá bemol), A (lá natural), Ais (lá sustenido) B (si bemol), H (si natural), His (si sustenido) Acústica Prof. Luiz Ferraz Netto leobarretos@uol.com.br Som O ouvido íntegro pode ser sensibilizado por uma onda mecânica que se propaga num campo ondulatório (meio material), como o ar, desde que essa onda apresente intensidade suficiente e sua freqüência encontre-se dentro de um certo intervalo subjetivo. À estas sensibilizações denominaremos por sensações sonoras. Em geral, ao estudo da produção (fontes sonoras), propagação e fenômenos correlatos sofridos pela onda mecânica sonora ou audível, denomina-se Acústica e, em particular, denominaremos por som à toda onda mecânica nas condições acima especificadas (intensidade suficiente e freqüência limitada num certo intervalo). Se a freqüência da onda sonora pertence ao intervalo subjetivo (depende do observador), 16Hz -------20000 Hz, esse som é audível para o ser humano. Ultra-som e Infra-som Ondas longitudinais de freqüências superiores a 20 kHz, caracterizam sons inaudíveis e denominam-se ultra-sons; e aquelas de freqüências inferiores a 16 Hz, também inaudíveis, são ditas infra-sons.

Escala das Ondas Mecânicas Freqüência Denominação Hz 0,5 ---- 20

Infra-sons

20 ---- 2.104 Sons Audíveis

2.10 ---- 10

Ultra-sons

Método de excitação

Aplicação

Vibração da água em grandes reservatórios, batidas do coração. Voz humana e dos animais, instrumentos musicais, apitos, sereias, alto-falantes ... Emissores magnetostrictivos e piezoelétricos, apitos de Galton, também são excitados

Prognóstico do tempo, diagnóstico de doenças do coração. Para comunicação e sinalização, assim como para a medição de distâncias. Deteção submarina por eco, limpeza e deteção de defeitos em peças e estruturas de constru-

10 ....

Hipersons

por alguns animais e insetos (morcegos, grilos, gafanhotos etc.)

ções, aceleração de reações químicas, investigação em medicina, biologia e física molecular.

Vibrações térmicas das moléculas

Em investigações científicas.

Como citamos na tabela acima, os ultra-sons de altas potencias podem ser produzidos por emissores piezelétricos (quartzo vibrante) e encontram larga aplicação nos sonares. Em Química, os ultra-sons provocam oxidações e despolimerizações; em Físico-Química, fazem cessar estados de equilíbrio instáveis (superfusão, supersaturação) e impressionam a chapa fotográfica. Em Física, provocam a coagulação dos aerossóis, determinam nos líquidos o fenômeno de cavitação, excitam a luminescência de certos líquidos. Em Biologia, determinam a segmentação dos microrganismos e, por vezes, sua destruição (aplicação a esterilização do leite). Sons Musicais e Ruídos Quanto ao efeito sobre o ouvido, os sons são classificados em sons musicais e ruídos. Subjetivamente esta classificação deixa muito a desejar, pois há quem (muito propriamente) considere o rock'n rol um ruído e outros (mais desprovidos de sensibilidade) um som musical.

Fisicamente, entende-se por som musical ao resultado da superposição de ondas sonoras periódicas ou aproximadamente periódicas; ruídos correspondem a ondas sonoras não-periódicas e breves, que mudam imprevisivelmente de características. O som musical pode ser simples, quando corresponde a uma única onda harmônica e composto quando compõe-se de duas ou mais ondas harmônicas.

Superposição de 3 sons musicais simples (lá3,lá4 e lá5) resultando num som composto. 45

Fontes Sonoras É todo e qualquer dispositivo capaz de produzir ondas sonoras num meio material elástico (campo ondulatório); citaremos alguns de destaque em Acústica: a) cordas vibrantes — violão — violino — piano — cordas vocais etc. b) tubos sonoros — órgão - flauta — clarineta — oboé etc. c) membranas e placas vibrantes: tambor — címbalos etc. d) hastes vibrantes: diapasão — “triangulo” etc. Qualidades Fisiológicas do Som Os sons simples distinguem-se uns dos outros por duas características, a saber, INTENSIDADE e ALTURA; os sons compostos, além daquelas, diferenciam-se pelo TIMBRE. A intensidade fisiológica do som esta ligada à amplitude das vibrações (e, portanto à energia transportada pela onda sonora); é a qualidade pela qual um som forte (grande amplitude — muita energia) se distingue de um som fraco (pequena amplitude — pouca energia).

Apesar de variarem num mesmo sentido, é preciso não confundir intensidade fisiológica (ou intensidade auditiva ou ainda nível sonoro) com a intensidade física (ou intensidade sonora, quando se trata de onda sonora) da onda que é uma grandeza física associada ao fenômeno vibratório. Vamos detalhar isso um pouco mais. Vale lembrar que, durante a propagação das ondas tem lugar um transporte de energia, no entanto, as partículas do meio não se deslocam no sentido da propagação das ondas, limitando-se a realizar movimentos oscilatórios nas proximidades da posição de equilíbrio (quando a amplitude das ondas é pequena e o meio em que se propagam não é viscoso). A grandeza que é numericamente igual à energia média transportada pela onda, por unidade de tempo, através de uma unidade de área da superfície da onda é denominada intensidade física da onda. Essa intensidade é medida em W/m2. A intensidade das ondas acústicas é denominada intensidade física do som ou, simplesmente, intensidade sonora. Durante a propagação das ondas mecânicas, a velocidade e a aceleração das partículas do meio variam de acordo com a mesmo tipo da lei do deslocamento (espaço, elongação), ou seja, uma lei harmônica. Quando a 'amplitude' do deslocamento (elongação máxima) das partículas durante a propagação de uma onda harmônica plana de pulsação ω apresenta o valor a, a 'amplitude' máxima da velocidade da oscilação terá o valor vmáx. = ω.a a 'amplitude' máxima da aceleração da oscilação terá o valor γmáx.= ω2 .a 46

e a intensidade física da onda será dada por I= (1/2).V.ρ.ω2.a2 onde ρ é a massa específica do meio onde a onda se propaga, V é a velocidade de propagação. Como ω = 2.π.f e, uma vez que ρ e V são características do meio elástico, supondo-o homogêneo e à temperatura constante podemos escrever: I = k.f2.a2 --- para uma dada freqüência, a intensidade física é diretamente proporcional ao quadrado da amplitude; --- para uma dada amplitude, a intensidade física é diretamente proporcional ao quadrado da freqüência (e isso explica claramente a alta energia transportada por um ultra-som). O nível de variação da intensidade fisiológica (∆S) cuja unidade é o bell (b) e a intensidade física (I) cuja unidade é o W/m2 relacionam-se mediante uma lei experimental ou lei de Weber-Fechner: A variação da intensidade fisiológica (∆S), na zona central do campo de audibilidade é proporcional à variação dos logaritmos das intensidades físicas correspondentes. Assim, seja So uma intensidade fisiológica de referência e Io a correspondente intensidade física. Se S é outra intensidade fisiológica qualquer e I a intensidade física correspondente, a lei de Weber-Fechner permite escrever: adotando-se So ==> Io e tomando-se S ==> I vem S - So = log(I/Io), em bell (b). Exemplo: Numa conversação fraca (conversa baixa), seja I1 = 10 µW/cm2 a intensidade física recebida por um ouvinte. Calcular qual será a variação da intensidade auditiva percebida pelo ouvinte, quando a intensidade da onda sonora da conversação aumentar para I2 = 100 µW/cm2. Solução: I1 = 10 µW/cm2 ==> S1 e I2 = 100 µW/cm2 ==> S2 , pergunta-se o valor de ∆S = S2 - S1 ; pomos ∆S = log10(I2/I1) = log10(100/10) = log1010 = 1 bell Comumente, em vez de usarmos o bell como nível de variação de intensidade auditiva, usa-se o decibel, de modo que, podemos por: ∆S = S2 - S1 = 10.log10(I2/I1) (db) Por convenção internacional, definiu-se So= 0, para Io = 10-12 W/m2 como sendo a intensidade auditiva de referência, relativa a um som simples de freqüência 1000 Hz. Essa intensidade corresponde ao limiar de audição.

A intensidade do som captada pelo ouvido corresponde à sensação do que se denomina popularmente de volume do som. Quando o som tem uma determinada intensidade mínima, o ouvido humano não capta o som. Essa intensidade mínima é denominada nível mínimo de audição, ou como colocamos acima, limiar de audição e esse mínimo difere segundo a freqüência dos sons. Quando a intensidade é elevada, o som provoca uma sensação dolorosa. A intensidade mínima a que um som ainda provoca 47

sensação dolorosa tem o nome de limiar da sensação dolorosa. A intensidade auditiva também pode ser referida em fons e, para tanto, basta que se fixe as seguintes referências: freqüência de 1000 Hz; intensidade física de 10-12 W/m2 ==> So = 0 fon. Com essas convenções a lei de Weber-Fechner torna-se: S (em fons) = 10.log10 (I/10-12), com I em W/m2 . Exemplo: Sabendo-se que uma onda sonora apresenta intensidade física de 1 W/m2 dizer, em fons, a intensidade auditiva percebida por um observador. Solução: So = 0 ==> 10-12 W/m2 S = ? ==> 1 W/m2 S = 10.log10(1/10-12) = 10.log101012 = 120 fons Notas: a) No ar, o som se propaga, normalmente, sob a forma de ondas esféricas, valendo: I1/I2 = d22/d12 , ou em palavras: a intensidade física da onda diminui com o quadrado da distância à fonte. b) No ar, o som se propaga, normalmente, sob a forma de ondas esféricas, valendo: a1/a2 = d2/d1 , ou em palavras: a amplitude de vibração das partículas do meio diminui com a distância da partícula considerada à fonte. A altura do som está ligada unicamente à sua freqüência; é a qualidade pela qual um som grave (som baixo --- freqüência baixa) se distingue de um som agudo (som alto --- freqüência alta).

48 É fácil perceber que essa característica do som depende tão somente da freqüência; sabe-se, por exemplo, que encurtando-se uma lamina elástica (gilete presa no bordo da mesa), aumenta-se a freqüência de suas vibrações e, correlativamente, constata-se que o som emitido se torna mais e mais agudo.

O quociente das freqüências de dois sons, define um intervalo sonoro (i), em particular, se i = 2, ou seja, f2/f1 = 2, teremos um intervalo de uma oitava — a freqüência do som mais agudo é o dobro da freqüência do outro. A definição dos diversos intervalos musicais levam ao estabelecimento de uma ESCALA MUSICAL. Em música, usam-se apenas determinados sons, de 48

freqüências convencionais e que se denominam notas musicais. Denomina-se gama ao conjunto das notas musicais pertencentes ao intervalo de uma oitava. Gama natural de Zarlino dó1 ré1 mi1 fá1 sol1 lá1 si1 dó2 1o) tom maior = 9/8 ... (f2/f1 = 9/8) 2o) tom menor = 10/9 ... (f2/f1 = 10/9) 3o) semi-tom = 16/15 ... (f2/f1 = 16/15) 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

Intervalos fundamentais:

Relação com a tônica (dó1): Notas

dó1

Intervalos relativos Relação entre notas

ré1 9/8

mi1 10/9

fá1 16/15

sol1 9/8

lá1 10/9

si1 9/8

dó2 16/15

A fim de que os diversos instrumentos musicais possam dar as mesmas notas,foi necessário fixar a altura absoluta de uma certa nota, isto é, sua freqüência. Um congresso internacional fixou: freqüência do lá3 = 435 Hz Em musica, utilizam-se nove oitavas, cada uma delas sendo caracterizada por um índice compreendido entre -1 e +9 (não se usa o índice zero): 1__1__2__3__4__5__6__7__8__9. Cada nota de uma certa oitava (por exemplo ré4) tem freqüência igual ao dobro da nota correspondente da escala anterior (no caso, ré3 ) assim, no exemplo: fré4 = 2.fré3 . Exemplo: Conhecida a freqüência do lá3 = 435 Hz, determinar a freqüência do si-1. Solução: Inicialmente deve-se determinar a freqüência do lá-1(que pertence à mesma gama do si-1):

Os limites extremos da voz humana são cerca de 60 e 550 Hz para o homem e 110 e 1300 Hz para a mulher. Imagine a 'incompatibilidade auditiva' que deve existir entre um casal cujo homem fala na base dos 60 Hz e a mulher na base dos 1300 Hz! [Nota: Nos E.U.A. há casos de divórcios baseados em incompatibilidade auditiva.] O timbre depende dos harmônicos associados ao som fundamental no caso dos sons musicais ou das ondas que se superpõem, no caso dos sons compostos em geral. No caso dos sons musicais, é a qualidade que permite distinguir dois sons de mesma altura emitidos por fontes sonoras diferentes; uma flauta e um violino, por exemplo, ambos emitindo, digamos, o dó3. É o número (quantidade) e as intensidades dos harmônicos (que sempre existem ao se tocar um instrumento musical) que acompanham o som fundamental que dão ao som musical essa característica (enfeite) particular.

Abaixo, esquerda, ilustramos a forma de onda denominada dente de serra. O som correspondente é produzido à partir do som fundamental de freqüência f ao qual se superpõem os sons de freqüências 2f, 3f, 4f, ..., respectivamente, com amplitudes 1/2, 1/3, 1/4, ... Mediante softwares geradores de gráficos de funções, tal curva pode ser posta assim: f(t)=sin(2·π·440·t)+sin(2·π·880·t)/2+sin(2·π·1320·t)/3+sin(2·π·1760·t)/4+.... Nesse exemplo, a freqüência fundamental é a de 440 Hz. Fazendo 2·π·440·t = x, 2·π·880·t = 2x, etc. a função será: y = f(x) = sinx + (sin2x)/2 + (sin3x)/3 + (sin4x)/4 + ...

50 Acima, direita, ilustramos a forma de onda denominada onda quadrada. O som correspondente é produzido à partir do som fundamental de freqüência f ao qual se superpõem os sons de freqüências 3f, 5f, 7f, ..., respectivamente, com amplitudes 1/3, 1/5, 1/7, ... Mediante softwares geradores de gráficos de funções (Equation Grapher), tal curva pode ser posta assim: f(t)=sin(2·π·440·t)+sin(2·π·1320·t)/3+sin(2·π·2200·t)/5+sin(2·π·3080·t)/7+... Nesse exemplo, a freqüência fundamental é a de 440 Hz. Fazendo 2·π·440·t = x, 2·π·1320·t = 3x, etc. a função será: y = f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + .. ... Fenômenos compatíveis com a propagação da onda sonora Na propagação do som observam-se os fenômenos gerais da propagação ondulatória. Dada sua natureza longitudinal, o som não pode ser polarizado; sofre, entretanto, os demais fenômenos, a saber: difração, reflexão, refração, interferência e efeito Doppler. A difração depende do comprimento de onda; é a propriedade que a onda apresenta em contornar (devido ao modelo de fontes secundárias, posto na 50

teoria da ondulatória, no princípio de Huyghens) os obstáculos que encontra durante sua propagação. Como o comprimento de onda (λ) das ondas sonoras é bastante grande (enorme, em relação ao comprimento de onda da luz), a difração sonora é intensa. A reflexão do som obedece às leis da reflexão ondulatória nos meios materiais elásticos e suas conseqüências. Convém frisar que a reflexão do som ocorre bem em superfícies cuja extensão seja grande em comparação com o comprimento de onda, determinando, por sua vez, novos fenômenos subjetivos conhecidos como reforço, reverberação e eco. Esses fenômenos derivam do fato de que o ouvido humano discerne duas excitações breves e sucessivas, apenas se, o intervalo de tempo que as separa é maior ou igual a 1/10 do segundo (persistência auditiva). Suponhamos que a fonte emita um som breve, que representaremos por (tá) e siga dois raios sonoros; um que vai diretamente ao ouvido (D) e outro que incide num anteparo A, reflete-se e dirige-se para o ouvido do mesmo observador (R). Dependendo do intervalo de tempo (∆t) com que esses sons breves (D) e (R) atinge o ouvido, poderemos ter três sensações distintas (reforço, reverberação e éco).

o reforço, o som breve direto (D)( tá ) atinge o tímpano e o excita-o e, antes de terminar sua completa excitação, chega o som breve refletido (R)( tá ) e reforça a ação do som direto. Isso ocorre porque o intervalo de tempo que os separa é menor que 0,1 segundo. Na reverberação o som breve refletido (R)( tá ) chega ao ouvido antes que o tímpano, já excitado pelo som direto, tenha tempo de se recuperar da excitação (fase de persistência auditiva) e assim começa a ser excitado novamente, combinando tais excitações. Isso ocorre quando o intervalo de tempo entre o (D) e o (R) é maior ou igual a zero, porém menor que 0,1 segundo. O resultado é uma 'confusão' auditiva o que prejudica o discernimento tanto do som direto quanto do refletido. É o que ocorre em auditórios acusticamente mal planejado. No eco o som breve refletido chega ao tímpano após esse ter sido excitado pelo som direto e se recuperado dessa excitação voltando completamente ao 51

seu estado natural (completa a fase de persistência auditiva), e assim, começa a ser excitado novamente, permitindo discernir perfeitamente as duas excitações ( tá tá ).

Quando o próprio observador é a fonte, como ilustramos acima, e pelo fato da sensação sonora persistir por 0,1 segundo, sua distância ao anteparo não pode ser inferior a 17 metros, caso queira ouvir o eco de suas últimas sílabas. Ainda derivado do fenômeno da reflexão do som, temos a considerar a formação de ondas estacionárias nos campos ondulatórios limitados, como é o caso de colunas gasosas aprisionadas em tubos. O tubo de Kundt, abaixo ilustrado, permite visualizar através de montículos de pó de cortiça a localização de nós (região isenta de vibração --- e de som) no sistema de ondas estacionárias que se estabelece como resultado da superposição da onda sonora direta e a onda sonora refletida.

52 A distância (d) entre dois nós consecutivos é de meio comprimento de onda ( d = λ/2 ). Sendo Vgás = λ.f tem-se: Vgás = 2.f.d . Que resulta num processo que permite calcular a velocidade de propagação do som em um gás qualquer! A freqüência f é fornecida pelo oscilador de áudio-freqüência que alimenta o auto-falante. A refração do som obedece às leis da refração ondulatória, fenômeno que caracteriza o desvio sofrido pela frente de onda, que geralmente ocorre, quando ela passa de um campo ondulatório (por exemplo, ar) a outro de elasticidade (ou compressibilidade, para as ondas longitudinais) diferente (por exemplo, água). Convém frisar que ao passar de um campo (meio) para outro (do ar para a água, no exemplo), a característica do som que se mantém é a sua altura (freqüência); assim, tanto o comprimento de onda (λ) como sua velocidade de propagação (V) são diferentes em cada campo ondulatório. f = V1/λ 1 = V2/λ 2 = V3/λ 3 ..... Cuidado! ... raio sonoro versus raio de luz a) Som necessita de meio material para sua propagação, pois é onda mecânica! 52

b) Luz dispensa um meio material (ordinário) para a sua propagação, pois é onda eletromagnética! c) Som e luz transportam apenas energia --- conceito da ondulatória ---; o som (com suporte material, o meio) leva energia mecânica; a luz (com ou sem suporte material) leva energia dos campos elétrico e magnético. d) Geralmente, apenas para as ondas eletromagnéticas, associa-se ao meio uma característica traduzida pelo seu índice de refração ( n = Vvácuo/Vmeio ); para as ondas mecânicas, a influência do meio é caracterizada pela impedância característica ( Zmeio = δmeio x Vmeio ) expressa no S.I.U. em unidades rayls (homenagem a Rayleigh) (kg/m2.s). entretanto, para a uniformização das fórmulas, pode-se colocar o conceito de índice de refração de um meio, para o som, fazendo nmeio = Z/δmeio . A impedância característica do ar é de 420 rayles, o que significa que há necessidade de uma pressão de 420 N/m2 para se obter o deslocamento de 1 metro, em cada segundo, nas partículas do meio. Atente bem para isso!

A interferência é a conseqüência da superposição de ondas sonoras; o trombone de Quincke é um dispositivo que permite constatar o fen6omeno da interferência sonora, além de permitir a determinação do comprimento de onda. O processo consiste em encaminhar um som simples produzido por uma dada fonte (diapasão, por exemplo) por duas vias diferentes (denominados 'caminhos de marcha') e depois reuni-los novamente em um 53

receptor analisador (que pode ser o próprio ouvido).

Pela ilustração: 1 caminho de marcha = ABC = L1 ; 2o caminho de marcha = AB'C = L2 ; ∆L = diferença de marcha = L2 - L1 (valor lido no próprio aparelho). Análise do fenômeno (casos notáveis): (a) Se o ∆L = (2k + 1)(λ/2), ou seja, um número ímpar de meios comprimentos de onda, os dois sons chegam ao ouvido em oposição de fase (detalhe 1. na ilustração acima), o que determina o anulamento (extinção) delas; diz-se que ocorre uma 'interferência destrutiva'. (b) Se o ∆L = 2k(λ/2) = k.λ , ou seja, um número par de meios comprimentos de ondas ou um número inteiro de comprimentos de onda, os dois sons chegam ao ouvido em concordância de fase (detalhe 2. na ilustração acima), o que determina um considerável reforço na intensidade do som; diz-se que ocorre uma 'interferência construtiva'. Para se determinar o comprimento de onda do som emitido pela fonte (diapasão) no meio contido pelo trombone, basta procurar as posições da vareta móvel (B') que correspondem a duas extinções sucessivas, assim: 1a extinção do som ==> ∆Lo = λ/2 (lido no aparelho, k = 0) 2a extinção do som ==> ∆L1 = 3.λ/2 (lido no aparelho, k = 1) ∆L1 - ∆Lo = 3.λ/2 - λ/2 = λ <== obtido Conhecida a freqüência f (da fonte, e portanto do som) pode-se calcular a velocidade de propagação do som no gás contido no tubo: V = λ.f . Nota - Dois sons de alturas iguais (freqüências iguais) se reforçam ou se extinguem permanentemente conforme se superponham em concordância ou em oposição de fase. Se suas freqüências não forem rigorosamente iguais, ora eles se superpõem em concordância de fase, ora em oposição de fase, ocorrendo isso a intervalos de tempo iguais, isto é, periodicamente se reforçam e se extinguem. É o fenômeno de batimento. o

O intervalo de tempo acima referido denomina-se 'período do batimento' TB e a freqüência com que ele ocorre na unidade de tempo é fB expresso por fB = | f2 - f1|, sendo f1 e f2 as freqüências dos sons que se superpõem. É fácil de observar batimentos acústicos tocando-se simultaneamente, em um piano, uma tecla e a do correspondente sustenido; o som percebido apresenta máximos e mínimos de intensidade. Os batimentos estorvam, em música, a utilização simultânea (de maneira corrente) de poucas notas de freqüências muito próximas. Entretanto, obtémse um efeito excelente no órgão onde, pelo jogo celeste (duas freqüências muito próximas), dá-se ao som um andamento ondulante que é agradável ao ouvido. O efeito Doppler é a conseqüência do movimento relativo entre o observador e a fonte sonora, o que determina uma modificação aparente na altura do som recebido pelo observador.

Convenção de sinais

F : fonte sonora (a) em repouso, VF = 0; (b) em movimento progressivo, VF > 0; (c) em movimento retrógrado, VF < 0.

O: observador (a) em repouso, VO = 0; (b) em movimento progressivo, VO > 0; (c) em movimento retrógrado, VO < 0.

Vsom = velocidade do som em relação a R = constante; Var = velocidade do ar em relação a R = constante; VO = velocidade do observador em relação a R; VF = velocidade da fonte em relação a R; fap = freqüência aparente do som, percebida pelo observador; freal = freqüência real do som emitido pela fonte. Notas Musicais As ondas sonoras são ondas mecânicas longitudinais e o que se chama de som é a percepção auditiva de uma onda sonora. Um objeto que vibra, como uma corda de violão ou de piano, a palheta de um saxofone ou a membrana de um tambor ou de um alto-falante, movimentando-se para frente e para trás, repetidamente, gera regiões de compressão e de rarefação que se propagam no ar como uma onda sonora. Cada movimento de vai e vem constitui uma oscilação. O número de oscilações por unidade de tempo é a freqüência da onda. O intervalo de tempo de uma oscilação é o período. A distância percorrida pela onda num período é o comprimento de onda. O módulo da velocidade de propagação de uma onda pode ser escrito: v=lf onde l representa o comprimento de onda e f, a freqüência da onda. O módulo da velocidade de propagação de qualquer onda sonora num dado 55

meio é constante e depende apenas das propriedades desse meio. Ou seja, o módulo da velocidade de propagação não depende nem do comprimento de onda nem da freqüência da onda. Isso garante, por exemplo, que uma música seja percebida do mesmo modo a qualquer distância da fonte. O módulo da velocidade de propagação de uma onda numa corda é dado por: vc = ( F / m )1/2 onde F é o módulo da tensão e m, a massa por unidade de comprimento da corda. O ouvido humano pode captar ondas sonoras com freqüências entre 20 Hz e 20.000 Hz, embora esses números possam variar de uma pessoa a outra e com a idade. A altura de um som, ou seja, o fato de ele ser grave ou agudo, está associada à freqüência da onda sonora: quanto maior a freqüência, mais agudo (mais alto) é o som. O volume de um som está associado à intensidade da onda, ou seja, à quantidade de energia transportada, que é proporcional ao quadrado da amplitude. No caso de uma onda sonora, a amplitude é dada pela diferença entre a pressão de uma região de compressão (ou de rarefação) máxima e a pressão atmosférica normal. O volume relativo das várias notas que compõem uma dada música é componente importante da execução dessa música porque contribui para despertar as emoções no ouvinte. A intensidade de uma nota pode ser controlada, no violão, pela força exercida sobre a corda ao toca-la, no violino, pela força do arco sobre a corda, no piano, pela força com que a tecla é tocada, numa corneta, pela intensidade do sopro, etc. Ondas Estacionárias numa Corda As ondas estacionárias numa corda de comprimento L com as duas extremidades fixas podem ter os seguintes comprimentos de onda: l1 = 2L (modo fundamental ou primeiro harmônico), l2 = l1 / 2 = L (segundo harmônico), l3 = l1 / 3 = 2L / 3 (terceiro harmônico), e assim por diante. As freqüências correspondentes são dadas pela expressão f = vc / l.

A corda, vibrando segundo qualquer uma de tais ondas estacionárias, produz, no ar, ondas sonoras com a freqüência correspondente. Ondas Estacionárias em Tubos Nas extremidades de um tubo aberto, a onda sonora exibe ventres, isto é, 56

regiões onde a pressão do ar é a pressão atmosférica normal. As ondas estacionárias num tubo aberto de comprimento L podem ter os seguintes comprimentos de onda: l1 = 2L (modo fundamental ou primeiro harmônico), l2 = l1 / 2 = L (segundo harmônico), l3 = l1 / 3 = 2L / 3 (terceiro harmônico), e assim por diante.

Na extremidade fechada de um tubo, a onda sonora exibe um nó, isto é, uma região de compressão ou rarefação máximas. As ondas estacionárias, nesse caso, podem ter os seguintes comprimentos de onda: l1 = 4L (modo fundamental ou primeiro harmônico), l3 = l1 / 3 = 4L / 3 (segundo harmônico), l5 = l1 / 5 = 4L / 5 (terceiro harmônico), e assim por diante. Notas Musicais Quando uma corda é posta a vibrar, desenvolve-se nela uma onda complexa que é a superposição do modo fundamental com uma série de harmônicos superiores. Nota musical é a onda sonora desenvolvida no ar por essa onda complexa.

O mesmo vale para uma coluna de ar dentro de um tubo ou para uma membrana. A nota é musical, ou seja, agradável ao ouvido humano, porque as freqüências das componentes (o modo fundamental e os harmônicos) guardam entre si relações matemáticas simples. Caso contrário, a onda sonora seria associada a um som desagradável (ruído). De qualquer forma, é a freqüência do modo fundamental que define a nota. Por exemplo, independentemente dos harmônicos que possam se somar ao modo fundamental, se esse tem uma freqüência de 256 Hz, a nota é chamada dó. Timbre Um pêndulo ou um diapasão oscilam, cada um, com sua freqüência natural própria. Obrigados a oscilar por um impulso periódico externo, numa freqüência diferente, eles o farão com uma amplitude pequena, mas, obrigados a oscilar com sua freqüência natural, eles o farão com amplitudes cada vez maiores, mesmo que o impulso externo periódico seja pouco intenso. A coincidência da freqüência do impulso periódico externo com a freqüência natural é o que se chama de ressonância. 57

Quase todos os instrumentos musicais possuem uma caixa de ressonância capaz de aumentar a amplitude apenas de determinados harmônicos e, com isso, definir a qualidade das suas notas musicais ou, como se diz, o seu timbre. Escalas Musicais Uma escala musical é uma sucessão de notas de freqüências (alturas) crescentes cujas relações têm efeito agradável ao ouvido humano. Como duas notas estão separadas por uma oitava quando a freqüência de uma delas é o dobro da outra, a definição de uma escala deve abarcar uma oitava porque, na oitava seguinte, as freqüências das notas serão o dobro das correspondentes na oitava anterior. Por exemplo, na escala diatônica maior, as freqüências das notas compreendidas numa oitava obedecem as seguintes relações matemáticas entre suas freqüências: Nota Dó Ré Mi Fá Sol Lá Si Dó Relação

9/8

5/4

4/3

3/2

5/3

15 / 8

f (Hz)

256

288

320

341,3

384

426,7

480

512

Notas e Instrumentos Os instrumentos musicais fazem vibrar o ar de diversas maneiras. O violão e o piano, por cordas, a flauta, por uma borda pontiaguda e o saxofone, por uma lingüeta flexível no caminho do ar soprado, o tambor, por uma membrana, etc. Uma corda comprida dá uma nota mais grave do que uma corda curta. Assim, no violão e no violino, a nota desejada é obtida diminuindo-se apropriadamente o comprimento da corda com os dedos de uma das mãos. No caso de um piano ou de uma harpa, existem cordas com todos os comprimentos correspondentes às notas do instrumento. Por outro lado, como a altura da nota produzida por uma corda depende, além do seu comprimento, também da tensão e da massa por unidade de comprimento, as cordas são esticadas por tensões diferentes e/ou têm diâmetros diferentes. Um tubo comprido dá uma nota mais grave do que um tubo curto. Assim, a nota desejada é obtida controlando-se o comprimento efetivo do tubo fechando alguns orifícios, como no caso de uma flauta, abrindo, como no caso de um saxofone ou movendo uma vara em forma de U, como no caso de um trombone. No caso de um órgão, existem tubos com os comprimentos correspondentes às notas do instrumento. Ondas sonoras (* Preparado por C.A. Bertulani para o projeto de Ensino de Física a Distância) Som As ondas sonoras são produzidas por deformações provocadas pela diferença de pressão em um meio elástico qualquer (ar, metais, isolantes, etc), precisando deste meio para se propagar. Desta forma, percebemos que o som é uma onda mecânica, não se propagando no vácuo. A maioria dos sons acaba sendo obtido através de objetos que estão vibrando, como é o caso do alto58

falante. Quando o diafragma contido no alto-falante se movimenta para fora da caixa acústica ele cria uma região de alta pressão pois comprime o ar que está nas proximidades. Da mesma forma, ocorre uma rarefação quando o diafragma se move para dentro da caixa.

Quando as variações de pressão chegam aos nossos ouvidos, os tímpanos são induzidos a vibrar e nos causam a sensação fisiológica do som. Um ouvido normal consegue ouvir uma faixa de freqüências que varia aproximadamente entre 20 e 20000 Hz, sendo que as ondas que apresentam freqüencias inferiores a 20 Hz são denominadas infra-sônicas ao passo que os sons superiores a 20000 Hz são chamadas de ultra-sônicas. Já outros animais podem produzir e ouvir sons em freqüências inacessíveis aos ouvidos humanos como é o caso do morcego. Leia: O ouvido humano. A velocidade do som A velocidade do som em qualquer meio é dada por [11.1] onde r é a densidade do meio e B é o módulo de compressão volumétrica, definido por [11.2] onde uma mudança na pressão Dp causa uma mudança no volume DV de um meio. Sugerimos a leitura do livro do Moyses Nussenzveig, ou do Halliday & Resnick, para uma demonstração desse resultado. A velocidade do som no ar em condições normais é 343 m/s = 1234 Km/h [11.3] A velocidade do som foi ultrapassada por um avião há muitos anos atrás. Mas, sómente em outubro de 1997, ela foi ultrapassada por um automóvel. Meio

Temperatura, 0C

Metros/segundo

331,4

hidrogênio

1286

oxigênio

317,2

água

1450

chumbo

1230

alumínio

5100

cobre

3560

ferro

5130

granito

6000

borracha vulcanizada

54 59

O som pode ser descrito como uma onda de pressão. Em função do caminho e do tempo percorrido, a equação que descreve esta onda é dada por (veja capítulo anterior) Dp = Dpm sen (kx - wt) [11.4] onde x é o caminho percorrido pela onda, e t o tempo decorrido. k é o número de onda, e w a sua freqüência angular. Dpmé a pressão máxima da onda sonora. Pode-se mostrar (veja livro do Halliday, ou do Moyses) que [11.5] Dpm = (vwr)sm onde sm é o deslocamento máximo das camadas de ar (ou de cada molécula de ar individualmente) a partir da posição de equilíbrio. Difração É possível ouvir o som produzido por uma explosão que se situa atrás de um muro delimitador, mesmo que este tenha grande espessura de tal forma que as ondas sonoras não consigam atravessá-lo. Da mesma forma, se algum membro da sua família que está trancado sozinho num dos quartos colocar uma música num volume bem alto num aparelho de som potente, todos os outros irão ouvi-la.

Deste modo, percebemos que o som (e todos os outros tipos de ondas) tem a capacidade de contornar obstáculos. A esta habilidade definiu-se o nome de difração, que ocorre devido ao fato do comprimento de onda dos sons variarem de alguns centímetros a vários metros, de forma que estas ondas são "grandes" em comparação com as aberturas e obstáculos freqüentemente encontrados na natureza. Quando partes de uma onda são ceifadas pela presença de obstáculos, sua propagação no meio considerado torna-se bem mais complicada, fugindo ao que o bom senso esperaria. Isto pode ser exemplificado imaginando-se um tanque cheio d'água com ondas planas se propagando em sua superfície. De início, poderia se pensar que além do orifício, a onda só se propagaria nos pontos situados entre as extremidades da passagem. Porém, o que realmente acontece é que o orifício funciona como se fosse uma fonte de ondas puntiforme, produzindo ondas circulares (Caso a passagem seja muito grande comparado com o comprimento de onda da onda incidente, apenas nas regiões próximas às bordas é que será notado alguma curvatura nas ondas).

Deste modo, podemos definir como difração a curvatura que uma onda faz ao passar por um obstáculo. Esta curvatura pode ocorrer em maior ou em menor grau, dependendo da forma e das dimensões do obstáculo a ser transpassado. 60

O fenômeno da difração pode ser entendido com base no princípio de Huygens, descoberto em 1678 pelo holandês Christiaan Huygens. O referido princípio considera que cada ponto de uma dada frente de onda age como se fosse uma fonte puntiforme de ondas. A nova frente de onda (num instante posterior), é determinada pela superfície envoltória de todas estas ondículas esféricas emitidas por estas fontes puntiformes que se propagaram durante o intervalo pertinente. Cumpre notar que no caso das ondas luminosas, seus comprimentos de onda variam de 4000 a 8000 angstroms aproximadamente. Por esta razão não se observa a difração da luz com facilidade, pois as aberturas e fendas são muito maiores do que o comprimento desta ondas. Batimentos Designamos por batimento ao fenômeno que acontece quando existe uma superposição entre duas fontes emissoras de ondas que produzam ondas que possuam a mesma direção, amplitude e freqüências próximas f1 e f2. Pelo fato das freqüências diferirem uma da outra, haverá momentos de interferência construtiva, onde a amplitude resultante será grande e momentos de interferência destrutiva, acarretando numa amplitude diminuta.

Um exemplo familiar de batimento é aquele produzido por dois diapasões, ou por duas cordas de guitarra de freqüências parecidas. Neste caso, ouvimos um som de intensidade variável, cuja freqüência de batimento fbat é a subtração das duas freqüências envolvidas dividida por 2 (fbat = (|f1 - f2|)/2).

A função de cada onda pode ser descrita através de uma senóide, com vetores 61

de onda k, além de fases f1 e f2, respectivamente.

Pelo princípio da superposição de ondas, a onda resultante será determinada pela soma algébrica das duas ondas individuais. [11.6] y(x,t) = ym [sen(kx - w1t + f1) + sen(kx - w2t + f2 )] Através do uso da relação entre a soma de dois senos, verificamos que a expressão anterior pode ser reescrita sob a forma: y(x,t) = ym cos(wbatt + fbat) sen(kx - wmedt + fmed )] [11.7] onde a fase de batimento fbat=|f1 - f2| / 2 e as freqüência e fase médias são dadas pelas média aritmética das freqüências e fases iniciais (fmed = wmed / 2p = (f1+f2)/2 e fmed = (f1 + f2)/2). Escala de intensidade do som: decibel Decibel é uma unidade inventada para medir a intensidade do som. Ela é uma razão entre valores, com um valor de referência. Como a intensidade absoluta dos sons varia em uma escala muito grande, a unidade é definida em termos de uma escala logarítmica. Para se medir a intensidade do som é necessário uma pressão de referência, P0. Usamos uma pressão sonora que é aproximadamente igual ao limiar de audibilidade a 1000 Hz, isto é, a pressão exercida por uma onda de som de um som de 1000 Hz no tímpano, que é apenas o suficiente para ser ouvida. Esta pressão é tomada como sendo 2 x 10-5 N/m2. A escala de intensidade do som é então dada por [11.8] 20 log10(P/P0) dB (Note que a fórmula para a escala usa 20 log em vez de 10 log, já que a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude de pressão.) A intensidade do som no limiar da audibilidade, I0, é 10 -12 W/m2. A intensidade som indica o fluxo da potência acústica sobre uma dada área. Para a intensidade, a fórmula acima fica 10 log10(I/I0) dB [11.9] A intensidade do som pode ser obtida em função do deslocamento máximo dos elementos do fluido onde ele se propaga. Pode-se mostrar (veja o livro do Moyses, ou o do Halliday) que I = (r v w2 sm2) / 2 [11.10] Exemplos de níveis de som típicos: Pressão do som 2 x 10-5 N/m2

Intensidade do som 10-12 W/m2

Exemplos típicos

63,2

130

limiar da percepção

120

1,0

grande avião a jato

6,3

110

0,1

grande orquestra

2,0

100

0,01

arrebitamento

0,63 0,2

90 80

-3

trem

-4

escritório ruidoso

10 10

0,063

10-5

motor de carro

0,02

10-6

discurso

-7

escritório médio

-8

6,3 x 10

-3

2 x 10

6,3 x 10-4 -4

2 x 10

6,3 x 10

-5

escritório quieto

10-9

biblioteca

-10

sussurro

-11

sussurro bem baixo

10 10

limiar da audibilidade (a 1000 Hz) As áreas dinâmicas de audição são mostradas na figura abaixo. A linha superior é o limiar da dor, a diferentes freqüências. A linha inferior é o limiar da audibilidade. Se o número de dB - decibéis - aumentar de 10 dB, o som é duas vezes mais alto! Numa linguagem popular dizemos que isto é o mesmo que passar um alto-falante de 10 Watts para 100 Watts. A mudança é 10 dB, ou duas vezes mais alto. 2 x 10-5

10-12

O efeito Doppler O efeito Doppler é um fenômeno observado com todas as ondas. Ele possui o nome do cientista austríaco Christian Doppler (1803-1853). (a) Observador em movimento Suponha que uma fonte estacionária está gerando ondas sonoras com freqüência f0 = 240 Hz (Si) e comprimento de onda l0 = v / f0. Um observador estacionário a uma certa distância da fonte ouvirá um som com freqüência f0. 240 vezes por segundo o tímpano do observador será empurrado para dentro e para fora à medida que os máximos e mínimos da pressão alcançam o ouvido. O período de tempo entre dois máximos consecutivos é T = 1 / f0 = (1/240) s. Suponha que o observador suba em uma motocicleta e diriga no sentido oposto ao da fonte. Suponha que no tempo t1 um máximo de pressão alcança o ouvido na posição x. O próximo máximo estará na posição x no tempo t1 + T. Mas, o ouvido não estará mais nesta posição. O observador se moveu. O máximo tem que percorrer uma distância extra antes de alcançar o ouvido. Esta distância extra toma um tempo extra Dt. O intervalo de tempo entre máximos sucessivos que alcança o ouvido do observador é agora T + Dt. O período aumentou, a freqüência aparente da onda diminui. O observador ouve uma outra nota menor do que o Si. Este é um exemplo do efeito Doppler. Se o observador estiver dirigindo no sentido da fonte, o intervalo de tempo entre os máximos alcançando o ouvido será mais curto que T. Suponha que no tempo t1 um máximo de pressão alcance o 63

ouvido na posição x. O próximo máximo chegará na posição x no tempo t1 + T. Mas, ele chegará ao ouvido antes de ele alcançar a posição x, já que o observador se move no sentido da fonte. O observador ouve uma nota maior do que o Si. A freqüência aparente do som que alcança o observador é f = f0 (v + vo) / v [11.11] onde v é a velocidade do som, e vo é a componente da velocidade do observador na direção da fonte (vo é negativo se o observador estiver se movendo para longe da fonte.). Normalmente não observamos o efeito Doppler quando nos movemos a pé, já que a velocidade do som é muito maior do que a nossa. Mas, movendo-se em uma motocicleta a 90 km/h = 25 m / s na direção de uma fonte, temos que f = f0 (340 + 24.6) / 340 = 1.07 f0. Movendo-se para longe da fonte dá f = f0 (340 � 24.6) / 340 = 0.93 f0. Quando passamos pela fonte, observamos então uma variação de freqüência da ordem de 14%, uma variação razoável. (b) Fonte em movimento A freqüência observada de uma onda sonora também varia se o observador estiver se movendo. A freqüência aparente neste caso é dada por f = f0 v / (v - vs) [11.12] onde vs é a componente da velocidade da fonte na direção do observador (vs é negativo se a fonte se mover para longe do observador.).

64 Na figura acima os anéis simbolizam os máximos da onda sonora. O intervalo de tempo entre as emissões sucessivas é T. Quanto maior o círculo, mais tempo faz que a emissão foi feita. Todos os círculos expandem com a mesma velocidade. Se um observador estiver estacionário, então o intervalo de tempo entre a chegada dos círculos sucessivos ao ouvido é T.

Nesta figura a fonte está se movendo para o observador. O centro de cada círculo está na posição da fonte no momento em que ela emite o máximo. Como a fonte está se movendo para a direita, o centro dos círculos sucessivos 64

move-se para a direita. Se o observador estiver parado, então o intervalo de tempo entre a chegada dos círculos sucessivos ao ouvido é menor do que T.

Nesta figura a fonte está movendo-se para longe do observador. Como a fonte move-se para a esquerda, o centro dos círculos sucessivos move-se para a esquerda. Se o observador está estacionário, então o intervalo de tempo ente a chegada dos círculos sucessivos é maior do que T.

Desde que a fonte e o observador se movam relativamente entre si, o comprimento de onda do som será deslocado pelo efeito Doppler. Mas a fórmula do deslocamento de Doppler depende de quem está se movendo, a fonte ou o observador. Se a fonte estiver movendo-se para o observador com a velocidade próxima à do som, o comprimento de onda chegando ao ouvido será muito curto e a freqüência muito alta. Na fórmula, f = f0 v/(v - vs), o denominador ficará muito pequeno. Quando vs = v, o denominador é zero, e f se torna infinito. Um estrondo será produzido na localização do observador: a barreira do som é alcançada. Problema: Um trem apita com freqüência de 400 Hz. Você é um observador estacionário e ouve o apito, mas o ouve com freqüência de 440 Hz. Qual é a velocidade com que o trem se aproxima de você? Solução: A freqüência é maior, de modo que o trem está se movendo para você. A velocidade relativa é encontrada da fórmula f = f0 v/(v - vs). Temos que (v vs) = (v/f)f0, logo v / f = (400 /s) (340 m/s)/ (440 /s) = 309 m/s. Portanto, vs = 340 m/s � 309 m/s = 31 m/s = 111.6 mph. Quando uma fonte de luz e um observador se aproximam, a luz que alcança o observador é deslocada para freqüências maiores, ou comprimentos de onda mais curtos. Dizemos que a luz está deslocada para o azul. Quando a fonte de luz e o observador se afastam, a luz que alcança o observador é deslocada para freqüências mais baixas, ou comprimentos de onda mais altos. Dizemos que a luz é deslocada para o vermelho. O deslocamento para o vermelho, ou para o azul, das linhas espectrais pode ser usado para determinar a 65

velocidade da luz de objetos astronômicos com respeito a nós. Leia: a origem do universo. Sistemas de radares obtém informação por reflexão de ondas por objetos. Meteorologistas examinam chuvas e outros fenômenos atmosféricos usando um tipo de radar especial chamado de radar Doppler. Uma antena de alta potência gira e emite pulsos de ondas de rádio. Os pulsos refletem na chuva e retornam à fonte de radar. Medindo-se o tempo entre os pulsos e o tempo que leva para os ecos voltarem, o sistema de radar calcula a distância e a direção da chuva. O radar Doppler também mede mudanças nas ondas de rádio, que indicam velocidade e direção. Um computador combina a informação do radar em um mapa, e pode informar onde a chuva está caindo. Programas especiais de computador permitem analisar áreas pequenas, permitindo que os meteorologistas examinem o tempo em cidades e mesmo em pequenos bairros. Música Dentre os diferentes tipos de sons produzidos pela natureza e audíveis ao ser humano, a música para alguns é sinônimo de criação divina ou então a expressão máxima de sensibilidade do ser humano.

Quando algum objeto vibra de forma completamente desordenada, dizemos que o som produzido por esta vibração é um ruído, como por exemplo o barulho de uma explosão, um trovão. O ruído é o resultado da soma de um número muito grande de freqüências, de forma que exprimi-lo matematicamente é necessário levar em conta um número muito grande de termos (leia a seção de análise de Fourier do capítulo anterior). Deste modo, um vulcão, quando em erupção ou um instrumento musical qualquer pode produzir um grande número de freqüências. A diferença entre os sons musicais e outros quaisquer é que nos instrumentos musicais utilizamos apenas algumas dentre as inúmeras freqüências possíveis, que foram estabelecidas por convenção, constituindo-se nas notas musicais. Quando um instrumento por alguma razão começa a produzir freqüências diferentes daquelas que estamos acostumados a ouvir, dizemos que o referido instrumento está desafinado, precisando de um ajuste a fim de retornar a produzir sons na escala convencional. As notas musicais por sua vez podem ser agrupadas de modo a formar um conjunto. Este conjunto recebe o nome de gama e um conjunto de gamas se constitui numa escala musical. Cumpre observar que tanto as gamas quanto as escalas musicais podem ser construídas de diversas maneiras, não sendo única (isto pode ser exemplificado verificando-se que a música oriental usa uma gama de cinco notas musicais ao passo que o mundo ocidental utiliza uma gama de sete). Entre as diversas gamas existentes, a mais popular de todas é a chamada gama natural ou gama de Zarlin, que utiliza as notas denominadas dó, ré, mi, fá, sol, lá, si e novamente dó. Estes nomes foram atribuídos a Guido de Arezzo, que foi um músico italiano que viveu no século 66

XI.

Obviamente devemos utilizar alguma notação que diferencie as diversas gamas que constituem a escala de Zarlin. Para isto, é utilizado índices nas notas musicais, ou seja, o dó da primeira gama será o dó1, o da segunda gama dó2 e assim por diante. O dó1 ocupa um lugar de destaque na escala natural, já que é a primeira nota da gama, recebendo o nome de nota fundamental. O conhecimento da nota fundamental é importante pois serve de referência para se construir a escala musical completa, pois podemos obter as demais notas simplesmente multiplicando-se a freqüência da nota fundamental por determinados valores (veja tabela abaixo).

Exemplo 1: A freqüência universalmente aceita como padrão é a do lá de índice 3 (lá3), cujo valor é igual a 435 Hz. Calcular deste modo a freqüência da nota dó3: Resp.: Sendo lá3= 435 Hz, temos dó3= (3/5). lá3 = 261 Hz. Exemplo 2: Sabendo-se que a freqüência do dó4 é igual a 261 Hz, calcular a freqüência da nota fundamental (dó1): Resp.: Como dó4= 261 Hz, temos dó1= (1/4). dó4= 65,25 Hz. O denominado intervalo acústico entre duas notas, que pode ser definido como a razão entre duas freqüências f1 e f2, onde (f1 > f2). Em decorrência da própria definição, o intervalo acústico T será sempre maior ou igual a 1 (quando I =1, f1=f2). I = f1 / f2 [11.13] Deste modo, conforme vemos pela tabela, os intervalos entre as notas consecutivas da gama natural podem assumir apenas os valores 1 (uníssono), 9/8 (tom maior), 10/9 (tom menor), 16/15 (semitom) e 2 (oitava). Para introduzir uma nota intermediária entre duas notas consecutivas, de freqüências f1 e f2 temos a liberdade de proceder de duas maneiras distintas: A primeira delas é aumentar a freqüência de f1 e a segunda é reduzir a freqüência da nota f2. A primeira modalidade chama-se sustenir e a segunda bemolizar. Sustenir uma nota consiste em aumentar a sua freqüência, multiplicando-a por 25/24. Para indicar que uma nota foi sustenida, escrevemos o índice # à direita da nota. Bemolizar uma nota significa diminuir a sua freqüência, multiplicando-a por 24/25. Para indicar que uma nota foi bemolizada, escrevemos o índice b à direita da nota. Exemplo 3: A nota lá3 de uma certa gama tem a freqüência de 435 Hz. Calcular a freqüência do lá sustenido (lá#) e do lá bemolizado (láb): Resp.: 67

Sendo lá3= 435 Hz, temos: a) lá# = (25/24). lá = 453 Hz. b) láb= (24/25). lá = 417,6 Hz. Considere agora que você esteja ouvindo o som produzido por algum instrumento. Caso a audição de duas notas musicais (sucessivas ou simultâneas), provocar uma sensação agradável, dizemos que entre essas duas notas existe um intervalo musical. Essa sensação, depende exclusivamente da razão entre as freqüências dos sons, embora varie de ouvinte para ouvinte a nível sensitivo. Os intervalos musicais são classificados em consonantes e dissonantes. Os intervalos consonantes são expressos por frações em que o numerador e o denominador são termos menores que 6. Intervalo de quarta (dó-fá): 4/3. Intervalo de quinta (dó-sol): 3/2. Já os intervalos dissonantes são expressos por frações cujos termos aparecem inteiros maiores que o número 6. Intervalo de sétima maior (dó-ré): 15/8. Intervalo de segunda maior (dósol): 9/8. Se a escala musical é a mesma como conseguimos diferenciar os sons dos instrumentos musicais? Conseguimos distinguir os sons produzidos pelos instrumentos musicais através de uma característica sonora denominada timbre. O timbre depende da fonte sonora e da forma de vibração que produz o som. Por exemplo, uma mesma nota musical emitida por uma harpa e uma guitarra produzem ao nossos ouvidos sensações diferentes, mesmo que suas intensidades sejam iguais. Matematicamente o timbre Tb é a forma da onda resultante quando levamos em conta todas as ondas produzidas num instrumento. De um modo geral, estas ondas possuem amplitudes A, freqüências wie fases f diferentes, de forma que o timbre deve ser conseguido através de uma somatória das N freqüências. Deste modo:

[11.14] onde o índice i representa a varredura em todas as freqüências wi produzidas no instrumento musical. Pelo fato do resultado final desta somatória ser diferente, variando de instrumento para instrumento é que conseguimos determinar as diferenças de sons entre os diversos instrumentos musicais. Como vimos do capítulo anterior, isto é uma análise de Fourier do som do instrumento. Outra característica importante do som é a altura do som (ou tom), que é a qualidade do som que permite distinguir som grave (baixo) do som agudo (alto). Deste modo, som alto é o que possui alta freqüência ao passo que som baixo é aquele que tem baixa freqüência. Os instrumentos musicais são acústicos: datam desde os tempos antigos e podem ser divididos em cordas (violão, harpa, guitarra, etc.), sopro (flauta, saxofone, sanfona, etc.) e percussão (bateria, bongô, sino, etc.) ou eletrônicos: datam da década de 60 e é composto pelos sintetizadores.

Inicialmente vamos falar um pouco sobre os instrumentos acústicos de cordas. 68

Como o próprio nome diz, todos eles possuem pelo menos uma corda esticada, apresentando suas duas extremidades fixas. Uma perturbação é fornecida a esta corda através da própria mão ou de algum outro agente externo (palheta, arco no caso do violino ou violoncelo, etc.), fazendo a corda entrar em vibração. Esta vibração está confinada entre as extremidades da corda e através de interferências entre os pulsos refletidos nas extremidades acabam formando uma onda estacionária com uma freqüência bem definida.

Como vimos no capítulo anterior, as freqüências possíveis são: f=nn/2L [11.15] Desta forma, para n = 1 temos a freqüência fundamental ou primeiro harmônico. Todos os outros harmônicos (n = 2,3,4, ...) são múltiplos inteiros da freqüência fundamental, sendo este o princípio de funcionamento de todos os instrumentos de cordas como o violão, banjo, berimbau, etc. Passamos agora a falar um pouco a respeito dos instrumentos de sopro, os quais nada mais são do que tubos sonoros, sendo que dentro deles uma coluna de ar é posta a vibrar. Estas vibrações são obtidas através de sistemas denominados embocaduras, que se classificam em dois tipos: Embocadura tipo flauta: Neste tipo, o músico injeta um jato de ar que é comprimido por um calço para depois colidir contra um corte em diagonal, efetuado na parede do tubo. Nestas circunstâncias, o jato de ar sofre turbilhonamentos e variações de pressão que o lançam alternadamente ora para fora, ora para dentro do tubo. Dessa maneira, a coluna gasosa interna do tubo é golpeada intermitentemente, dando origem a uma onda longitudinal que se propaga no interior do tubo.

Embocadura tipo palheta: Neste tipo, o operador injeta um jato de ar do mesmo modo que a embocadura anterior. Logo na entrada, o ar é comprimido pelo calço, tendo sua velocidade aumentada antes de passar ao interior do tubo, o qual é por uma folga existente entre uma lâmina flexível (palheta) e a parede do tubo. A passagem de ar se dá com turbilhonamentos e variações de pressão, que fazem a lâmina vibrar. Em conseqüência, esta passa a golpear o ar no interior do tubo, dando origem a uma onda.

De acordo com as extremidades dos tubos sonoros, podemos classificá-los em abertos ou fechados, sendo que os abertos possuem as duas extremidades livres enquanto que nos fechados apresentam uma de suas extremidades obstruída.

Tubo aberto: São tubos que apresentam as duas extremidades livres, de modo que em cada extremidade aberta sempre existe um ventre. Os primeiros harmônicos estão mostrados nas figuras abaixo: o primeiro harmônico (fundamental) e o segundo harmônico.

Tubo fechado: São tubos que apresentam uma extremidade aberta e outra fechada, de modo que na extremidade aberta sempre existe um ventre e na fechada um nó. Com isto, a freqüência dos harmônicos fica determinada por f = (2n - 1) / 2L, onde L é o comprimento do tubo e n o número de ventres dentro do instrumento. Pela própria definição, percebemos que apenas a ocorrência de harmônicos ímpares. Alguns harmônicos estão mostrados nas figuras abaixo.

OBS.: Quando existir um furo nos tubos (como é o caso da flauta, saxofone, clarinetes, pistão, órgãos antigos, etc.), acarretará na formação de um ventre 70

naquele local. Problema: A comprimento de onda fundamental em um tubo aberto em ambos os extremos é maior do que, igual, ou menor do que o comprimento de onda fundamental em um tubo de uma extremidade aberta e outra fechada? Solução: Em um tubo com dois extremos abertos f = v/2L, l = v/f = 2L. Em um tubo com um extremo aberto e outro fechado f = v/4L, l = v/f = 4L. O comprimento de onda fundamental em um tubo aberto em ambos os extremos é menor do que o comprimento de onda fundamental em um tubo aberto em um extremo e fechado em outro. Problema: Você sopra na abertura de uma garrafa para produzir um som. Qual deve ser aproximadamente a altura da garrafa para que a nota fundamental seja um Si médio? Solução: A garrafa é um tubo com um extremo aberto e outro fechado. Temos que l = 4L. O comprimento de onda do Si médio é 1,29 m. Logo, L = 32,25 cm. Projeto: Ensino de Física a distância Desenvolvido por: Carlos Bertulani