GRUPO / MATEMÁTICA 1

[Matemática I]

MATEMÁTICA SUMÁRIO UNIDADE 1 – FUNÇÕES: CONCEITOS 1.1.Relações ...................................................................................................................................................... 03 1.2. Funções ..................................................................................................................................................... 04 1.3. Funções especiais ...................................................................................................................................... 05 1.4. Função inversa ........................................................................................................................................... 06 1.5. Função composta ...................................................................................................................................... 07

UNIDADE 2 – FUNÇÃO DE 1º GRAU 2.1. Definição / 2.2. Coeficientes ...................................................................................................................... 10 2.3. Zero ou raiz / 2.4. Domínio e imagem / 2.5. Sinal da Função de 1º grau................................................... 11

UNIDADE 3 – FUNÇÃO DE 2º GRAU 3.1. Definição / 3.2. Coeficientes ..................................................................................................................... 14 3.3. Zeros ou raízes ........................................................................................................................................... 15 3.4. Vértice da parábola ................................................................................................................................... 18 3.5. Domínio e imagem ..................................................................................................................................... 19 3.6. Sinal da Função do 2º grau

............................................................................. 20

3.7. Forma fatorada

............................................................................. 21

UNIDADE 4 - INEQUAÇÕES 4.1. Inequações do 1º grau / 4.2. Inequações do 2º grau ................................................................................. 24 4.3. Sistemas de inequações / 4.4. Inequações produto .................................................................................. 25 4.5. Inequações quociente ............................................................................................................................... 26 4.6. Domínio de função polinomial .................................................................................................................. 27

UNIDADE 5 - MÓDULO 5.1. Definições / 5.2. Equação Modular ............................................................................................................ 28 5.3. Função Modular ......................................................................................................................................... 29 5.4. Inequação Modular .................................................................................................................................... 30

UNIDADE 6 - EXPONENCIAL 6.1. 6.1. Revisando Potencias ............................................................................................................................ 32 6.2. Equação Exponencial ................................................................................................................................ 33 6.3. Função Exponencial .................................................................................................................................... 34 6.4. Inequação Exponencial............................................................................................................................... 35

[1]

[Matemática I]

UNIDADE 7 - LOGARÍTMOS 7.1. Definições ................................................................................................................................................... 38 7.2. Propriedades operatórias .......................................................................................................................... 41 7.3. Mudança de base ...................................................................................................................................... 42 7.4. Função logarítmica .................................................................................................................................... 42 7.5. Inequação logarítmica ............................................................................................................................... 44

UNIDADE 8 – NOÇÕES DE ESTATÍSTICA 8.1. Definições ................................................................................................................................................... 47 8.2. Gráficos ...................................................................................................................................................... 48 8.3. Medidas de tendência central.................................................................................................................... 49 8.4. Medidas de dispersão ................................................................................................................................ 51

UNIDADE 9 – TRIGONOMETRIA 9.1. Trigonometria no Triângulo Retângulo ...................................................................................................... 53 9.2. Arcos notáveis ............................................................................................................................................ 54 9.3. Ciclo trigonométrico................................................................................................................................... 56 9.4. Gráficos das funções principais .................................................................................................................. 58 9.5. Outras funções ........................................................................................................................................... 63 9.6. Variações gráficas....................................................................................................................................... 64 9.7. Redução ao 1º quadrante .......................................................................................................................... 67 9.8. Relações trigonométricas .......................................................................................................................... 69 9.9. Operações com arcos ................................................................................................................................. 73 9.10. Resoluções em triângulos ........................................................................................................................ 75

UNIDADE 10 – SEQUÊNCIAS 10.1. Definição / 10.2. Progressão aritmética (P.A.) ......................................................................................... 78 10.3. Progressão geométrica (P.G.)................................................................................................................... 81

EXERCÍCIOS ENEM + vestibulares ................................................................................................................................. 85

2]

[Matemática I]

UNIDADE 1 FUNÇÕES: CONCEITOS

1.1. Relações Relação de A em B é todo subconjunto do produto cartesiano A X B. Se A = {0, 1} e B = {3, 4, 5}, R1 = {(0; 3), (0; 4), (1; 3), (1; 5)} e R2 = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (0; 5)} São algumas relações de A em B.

   

A = conjunto de partida B = conjunto de chegada D(R) = {x/(x;y)  R} (Domínio) Im(R) = {y/(x;y)  R} (Imagem)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFRGS) Considerando A = {x  Z / -1 <x10},sendo R a relação em A formada pelos pares (x, y) tais que y = 2x-1, o domínio e a imagem dessa relação correspondem, respectivamente, a a) {0; 1; 2; 3} e {1; 3; 5; 7} b) {1; 2; 3; 4} e {3; 5; 7; 9} c) {0; 1; 2; 3; 4} e {0; 2; 4; 6; 8} d) {1; 2; 3; 4; 5} e {1; 3; 5; 7; 9} e) {1; 2; 3; 4; 5} e {0; 2; 4; 6; 8}

02. A sentença "y = 2x- 4" define no conjunto A={0,2,3,5,6} uma relação R dada por a) {(2,0),(3,2),(5,6)} b) {(3,2),(6,5)} c) {(3,2),(2,0),(5,3)} d) {(2,0),(5,2)} e) {(3,2),(2,3),(0,0)}

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.D | 2.A

[3]

[Matemática I]

1.2. Funções DEFINIÇÃO Considerando-se dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função de A em B (f: AB) qualquer relação onde para todo x pertencente ao conjunto A (domínio), existe um único y que pertence a B (contradomínio).

Exemplo: Vamos marcar nas funções abaixo quem é função.

VALOR NUMÉRICO DE UMA FUNÇÃO É o valor f(x) ou y associado a um determinado x, a partir de uma lei de formação estabelecida a uma função.

Exemplo: Dadas as funções f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x2 – 3, calcule: a) f(0) =

b) f(2) =

c) g(-1) =

d) g(3) = RASCUNHO

4]

[Matemática I]

IDENTIFICAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES Regra prática: Para verificarmos se um esboço gráfico corresponde a uma função, devemos traçar retas paralelas ao eixo y (eixo das ordenadas); se elas interceptarem o gráfico em apenas um único ponto, são funções.

Exemplos: Vejamos nos desenhos abaixo, quais representam funções. y

y

y

y

x

x

x

x

1.3. Funções Especiais FUNÇÃO SOBREJETORA Uma função f: A → B é sobrejetora quando todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A, ou seja, é quando Im(f) = CD(f) B

A 1 5

2 3

6

4

FUNÇÃO INJETORA Uma função f: A → B éinjetora quando todo elemento de distinto de B é a imagem de um elemento distinto em A, ou seja, elementos diferentes são sempre associados a imagens diferentes.

B

A 1

5

2

6

9 7 10 8

3 4

[5]

[Matemática I]

FUNÇÃO BIJETORA Uma função f: A → B ébijetora quando ela é simultaneamente injetora e sobrejetora.

B

A 1

5

2

6

3

7

4

8

1.4. Função Inversa É a função bijetora f -1 : B → A definida por todos os pares ordenados (y ; x) tais que (x ; y)  f . f -1(x) = {(y; x)/(x; y)  f(x)} f1 :

A

B

0

-1

B

A

3

3

0

1

4

4

1

2

5

5

2

3

6

6

3

f1

:

Observe que: D(f) = Im (f -1) e Im(f) = D(f -1) Para determinarmos a lei que define a f - 1 procedemos da seguinte forma: • substitui-se f(x) por y • troca-se x por y e vice-versa • isola-se y.

Exemplo: Dado f(x) = 2x + 5, determine f -1(x)

6]

[Matemática I]

1.5. Função Composta Dadas duas funções f: BC e g: A  B, chama-se função composta de f com g a função h: A C onde: (f o g) : A  C dada por f(g(x)).

A

B

C

g(x)

f(x)

h(x) = f(g(x))

Exemplo: Dados f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 – 1,calcule : f(g(x)) = 2.(g(x)) + 1 = 2. ( x2 – 1 ) + 1 = 2x2 – 2 + 1 = 2x2 – 1 g(f(x)) =

[7]

[Matemática I]

OBSERVAÇÃO: 1º) Tenha cuidado ao calcular o valor numérico de uma função que tem a “composição” no enunciado.

Se f(x+1) = 2x - 3, calcular f(3) Devemos primeiro encontrar o valor de x que gera o pedido no enunciado. Ou seja: X+1 = 3 → x = 2 Logo, deve-se fazer: f(2+1) = 2.2 -3 → f(3) = 4 – 3 → f(3) = 1

2º) Tenha cuidado ao calcular uma função composta a partir de uma outra função que tem a “composição” no enunciado.

Se f(x+1) = 2x - 3, calcular f(3x+5) Observe que temos f(g(x)), onde g(x) = x+1, e queremos f(h(x)), onde h(x) = 3x+5. Vejamos: Devemos primeiro encontrar g -1(x), e substituir esta no lugar do x na f(g(x)). Isto fará com que retornamos a ter f(x), e então basta encontrar f(h(x)). Vejamos: Vamos calcular g -1(x), y=x+1→ x=y+1→ x–1=y Substituindo esta no lugar do x na f(g(x)), teremos: f(x – 1 +1) = 2( x – 1) – 3 → f(x) = 2x – 2 – 3 → f(x) = 2x – 5 Agora basta calcular f(3x+5) f(3x+5) = 2.(3x+5) – 5 f(3x+5) = 6x +10 – 5 f(3x+5) = 6x +5

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFSM) Escolhendo aleatoriamente alguns números das páginas de um livro adquirido na Livraria Siciliano, foram formados os conjuntos A = {2, 5, 6} e B = {1, 3, 4, 6, 8}, sendo a relação definida por R = {(x,y)  A x B|x  y}.

Dessa forma, a) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8} b) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6} c) D(R) = {2, 5} e Im(R) = {1, 3, 4, 6} d) D(R) = {5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8} e) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {4, 6, 8}

8]

[MatemĂĄtica I] 02. (UFSM) Considere a função f: Rď&#x201A;ŽR definida por F(x)=

ď&#x192;Ź 2 x , se x ď&#x192;&#x17D; Q ď&#x192;­ 2 ď&#x192;Ž x ď&#x20AC;­ 1 , se x ď&#x192;? Q

O valor deđ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x153;&#x2039;) + đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x161;2) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(1) ĂŠ: a) đ?&#x153;&#x2039; 2 + 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;&#x2019; 2 b) 2đ?&#x153;&#x2039; + 2â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2019; 2 c) ď °2 - 2 d) 2ď ° + 1 e)2â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2039; + 1

03. Se f(x)= 6 ď&#x20AC;Ť 2x , entĂŁo f ( 5 ) . f (- 5 ) ĂŠ igual a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

04. Dadas f(x) = 2x - 1 e g(x) = 3x + 2, entĂŁo f(g(1)) ĂŠ a) 1 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

05.(UFSM-2001) Sendo as funçþes f: Rď&#x201A;ŽR definida por f(x-5) = 3x - 8 e g: Rď&#x201A;ŽR definida por g(x) = 2x + 1, assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmaçþes a seguir. ( ( (

) f(x-6) = 3x + 11 ) g-1(x) = 1/2x + 1/2 ) f(2) - g-1(7) = 10

A sequĂŞncia correta ĂŠ a) F - V - F. b) F - V - V. c) F - F - V. d) V - V - F. e) V - F - V.

Gbarito dos exercícios de fixação: 1. B | 2.C | 3.D | 4.D | 5.C

[9]

[Matemática I]

UNIDADE 2 FUNÇÃO DE 1º GRAU

2.1. Definição Uma função f: é chamada de função de 1º grau ou função afim quando existem 2 números reais a e b, tais que f(x) = ax + b, para todo . Ou seja:

f(x) = ax + b, com a  R*, b  R. Exemplos:

f(x) = 2x + 3;

f(x) = - 5x +7 ;

f(x) = -x;

f(x) = x – 2

 O gráfico da função de 1° grau é uma reta cujo aspecto depende das constantes a e b.

2.2. Coeficientes COEFICIENTE ANGULAR O coeficiente angular “a” informa a inclinação da gráfico (reta). a<0



Função DECRESCENTE

a>0



Função CRESCENTE

COEFICIENTE LINEAR O coeficiente linear “b” é a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas (y).

Vejamos: y

y

x

x

a<0 eb>0

a>0 b<0

10]

[Matemática I]

2.3. Zero ou Raiz É o valor de x para o qual a função f(x) = ax +b se anula ou seja é o valor de x para que se tenha f(x) = 0. Logo a raiz será a abscissa do ponto de intersecção da reta com o eixo das abscissas; para calculá-la, basta igualar a função à zero. y

Exemplos:

f(x) = 2x + 6 2x + 6 = 0 2x = -6

Raiz

x = -3

x

2.4. Domínio e Imagem y

 Domínio da função de 1° grau: D(f) =   Imagem da função de 1° grau: Im(f) =  x

2.5. Sinal da Função de 1º Grau Analisar o sinal de uma função, é o mesmo que observarmos o sinal de y para todos os pontos pertencentes a mesma. Para isso precisamos traçar um esboço do gráfico, e a partir deste observamos os pontos onde o y é positivo, ou seja, quando está acima do eixo x e onde o y é negativo, ou seja, quando está abaixo do eixo x.

Exemplos: a) y = x + 1 -1

++++++++++++++

-----------------Logo : f(x) > 0 quando x > -1 f(x) < 0 quando x < -1 f(x) = 0 quando x = -1

[11]

[Matemática I] b) y = -x + 2

++++++++++++++

2 --------------------

Logo : f(x) > 0 quando x < 2 f(x) < 0 quando x > 2 f(x) = 0 quando x = 2

OBSERVAÇÃO Se em uma função afim tivermos a = 0, teremos f(x) = b , e isto é uma “função constante”.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UNIFRA) Associe cada função à reta correspondente ao gráfico e preencha os quadros em branco com as suas respectivas letras (A) e (E).

A alternativa que corresponde à sequência correta das respostas é a) A - C - B - D - E. b) A - C - B - E - D. c) A - D - E - B - C. d) A - B - C - D - E. e) A - C - E - B - D. 02. Para que os pontos (1,3) e (3, -1) pertençam ao gráfico da função dada por f(x) = ax + b, valor de b - a deve ser a) 7 b) 5 c) 3 d) -3 e) -7

12]

[Matemática I] 03. (UFSM) Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma função afim (função de 1° grau) da altura de mercúrio. Sabendo que as temperaturas 0°C e 100°C correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 270 ml do mercúrio, então a temperatura corresponde a 112,5 ml é a) 36° C b) 37° C c) 37,5° C d) 38° C e) 40° C 04. (UFSM ) Os dados relativos ao texto anterior podem ser apresentados através do quadro e dos gráficos.

Analise as afirmativas a seguir, relacionadas às informações apresentadas.

I. A função de 1º grau ajustada aos dados, referentes aos milhões de eleitores do sexo feminino, nas duas eleições, é y = 6x + 53.

II. O coeficiente angular da reta ajustada aos percentuais do sexo masculino, para as duas eleições é -0,7.

III. Supondo correto o ajuste referido em I, a projeção para a eleição de 2010 (eleição 3) é de 71 milhões de mulheres eleitoras.

Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) I, II e III. 05. (UFRGS) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$15,00 em material, por unidade produzida, e além disso, tem um gasto fixo de R$600,00. Cada unidade será vendida por R$85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro de R$800,00? a) 7 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. E | 2.A | 3.B | 4.E | 5.E

[13]

[Matemática I]

UNIDADE 3 FUNÇÃO DE 2º GRAU

3.1. Definição Uma função f: é chamada de função de 2º grau ou função quadrática quando existem 2 números reais a, b e c, tais que f(x) = ax2 + bx + c, para todo . Ou seja:

f(x) = ax2 + bx + c, com a  0; Exemplos:

f(x) = x2 +2x + 3;

f(x) = 2x2 - 5x +7;

f(x) = -x2 + 9;

f(x) = x2 – 2x

 O gráfico da função de 1° grau é uma reta cujo aspecto depende das constantes a e b.

3.2. Coeficientes A

B

C

Indica a orientação da concavidade.

Se a > 0, a concavidade esta voltada para cima; se a < 0, a concavidade está voltada para baixo.

Indica se a parábola está “subindo” ou “descendo” quando intercepta o eixo das ordenadas.

Se b > 0, a parábola está “subindo”; Se b < 0, a parábola está “descendo”. É a ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo das ordenadas.

Vejamos: y

y

x

x

a > 0; b < 0;

c<0

a < 0;

14]

b < 0;

c>0

[MatemĂĄtica I] y

y

x

a > 0; b > 0;

x

c=0

a < 0;

b = 0;

c=0

y

y

x

x

a > 0; b < 0;

c>0

a > 0;

b < 0;

c=0

3.3. Zeros ou RaĂ­zes Ă&#x2030; o valor de x para o qual a função f(x) = ax2 +bx + c se anula, ou seja, ĂŠ o valor de x para que se tenha f(x) = 0. Logo as raĂ­zes serĂŁo as abscissas dos pontos de intersecção da parĂĄbola com o eixo das abscissas; para calculĂĄ-las, basta igualar a função Ă zero.

São obtidas resolvendo a equação ax2 + bx + c = 0, atravÊs da fórmula de Båskara, ou outras relaçþes conhecidas.

BĂ SKARA:

đ?&#x2019;&#x2122;=

SOMA E PRODUTO:

đ?&#x2019;&#x192;

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x192;Âąâ&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2020; ; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201A;

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201A; ;

Onde

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? =

â&#x2C6;&#x2020;= đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2019;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201E; [15]

đ?&#x2019;&#x201E; đ?&#x2019;&#x201A;

[MatemĂĄtica I] Exemplos: Encontre as raĂ­zes: 2

2

1) f(x) = 2x + 4x - 6

đ?&#x2018;Ľ= đ?&#x2018;Ľ= đ?&#x2018;Ľ=

2) f(x) = x - 5x + 6

â&#x2C6;&#x2019;4Âąâ&#x2C6;&#x161;42 â&#x2C6;&#x2019;4.2.(â&#x2C6;&#x2019;6)

đ?&#x2018;Ľ1 + đ?&#x2018;Ľ2 = â&#x2C6;&#x2019;

2.2 â&#x2C6;&#x2019;4Âąâ&#x2C6;&#x161;16+48

đ?&#x2018;Ľ1 =

4 â&#x2C6;&#x2019;4+8

đ?&#x2018;&#x2019;

=5

6

â&#x2C6;&#x2019;4Âą8

?+?=5 e ?.?=6

4

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 =

4

đ?&#x2018;Ľ1 = 1

=

1

đ?&#x2018;Ľ1 . đ?&#x2018;Ľ2 = 1 = 6

4 â&#x2C6;&#x2019;4Âąâ&#x2C6;&#x161;64

(â&#x2C6;&#x2019;5)

â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2C6;&#x2019;8

đ?&#x2018;Ľ1 = 2

4

đ?&#x2018;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľ2 = 3

đ?&#x2018;Ľ2 = â&#x2C6;&#x2019;3

2

2

3) y = 2x - 8x + 8

4) y = = 2x - 5x + 6

Quando as equaçþes estão incompletas podem ser resolvidas de forma mais pråtica.

ď&#x192;&#x17E; b=0 1) f(x) = x2 â&#x20AC;&#x201C; 9

2) y = - x2 + 8

2

0=x â&#x20AC;&#x201C;9 2

x â&#x20AC;&#x201C;9=0 x = Âą3

ď&#x192;&#x17E; c=0 1) f(x) = - x2 + 3x

2) y = x2 â&#x20AC;&#x201C; 5x

- x2 + 3x = 0 x( -x + 3) = 0 x=0

ou

â&#x20AC;&#x201C;x +3 = 0 3=x

16]

[Matemática I]

ESTUDO DAS RAÍZES De acordo com o comportamento das raízes, mais especificamente do Δ, o gráfico pode se apresentar de formas distintas.

 SE ∆ > 0 • Duas raízes reais e diferentes.

• O gráfico intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos.

X1

X2

X1

X2

 SE ∆ = 0 D=0

• Duas raízes reais e iguais.

• O gráfico tangencia o eixo das abscissas.

X1 = X 2

X1 = X 2

 SE ∆ < 0 • Duas raízes complexas não reais e conjugadas.

• O gráfico não intercepta o eixo das abscissas.

[17]

[MatemĂĄtica I]

3.4. VÊrtice da Paråbola O vÊrtice Ê o ponto de inflexão da paråbola, serå sempre o ponto de mínimo ou de måximo da função, dependendo da concavidade da mesma. Vamos representa-lo pelo ponto

V (xv;yv) y

y Ponto de mĂĄximo

x

x

Ponto de mĂ­nimo

XV =-

b 2a

yV =-

Î&#x201D; 4a

Observe tambĂŠm que como a parĂĄbola possui um eixo de simetria, e que o xv encontra-se exatamente sobre ele, outra maneira de encontra-lo serĂĄ encontrando a mĂŠdia das raĂ­zes.

đ?&#x2018;Ľ1 + đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ł = 2

Jå em consequência, outra maneira de encontrar o yv serå substituir o valor do xv na função, ou seja:

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ł ) LEMBRE: O valor mĂ­nimo ou valor mĂĄximo que a função assume ĂŠ sempre dado pelo â&#x20AC;&#x153;yvâ&#x20AC;?.

Exemplo: Encontre o vÊrtice das funçþes abaixo. a) y = x2 - 4x + 3

b) y = - x2 - 7x - 10

18]

[Matemática I]

3.5. Domínio e Imagem DOMÍNIO: São os valores assumidos pelo x; ou seja neste caso o domínio será sempre o .

IMAGEM: É o intervalo de valores assumidos por y. Será condicionada pelo vértice da função.

y

y

x

x

Im(f) = [y  / y < yv

Im(f) = [y  / y > yv

Exemplos: Encontre a imagem das funções abaixo. a) y = x2 - 4x + 3

b) y = - x2 - 7x - 10

[19]

[Matemática I]

3.6. Sinal da Função de 2º Grau Analisar o sinal de uma função, é o mesmo que observarmos o sinal de y para todos os pontos pertencentes a mesma. Para isso precisamos traçar um esboço do gráfico, e a partir deste observamos os pontos onde o y é positivo, ou seja, quando está acima do eixo x e onde o y é negativo, ou seja, quando está abaixo do eixo x.

Exemplos: a) y = x2 – 5x + 6 Descobrindo as raízes e fazendo um esboço do gráfico, teremos: x1 = 2; x2 = 3

++++++++

2

3 ++++++ -----------------

Logo : f(x) < 0 quando 2 < x < 3; f(x) > 0 quando x < 2 ou x > 3; f(x) = 0 quando x = 2 ou x = 3.

b) y = -x2 - 3x + 4 Descobrindo as raízes e fazendo um esboço do gráfico, teremos: x1 = -1; x2 = 4

-1 + + + + + + + + + + + + + + + + + 4 --------

--------

Logo : f(x) > 0 quando -1 < x < 4; f(x) < 0 quando x < -1 ou x > 4; f(x) = 0 quando x = -1 ou x = 4.

20]

[MatemĂĄtica I]

3.7. Forma Fatorada Toda função do 2º grau do tipo f(x) = ax2 + bx + c, que tem X1 e X2 como raízes tambÊm pode ser escrita na forma:

f(x) = a(x â&#x20AC;&#x201C; x1) (x â&#x20AC;&#x201C; x2) O que facilita a obtenção das raĂ­zes, visto que por estar escrita como fatores, podemos achar simplesmente as raĂ­zes dos mesmos e estas correspondem as raĂ­zes da função.

Exemplo 1: Quais as raĂ­zes da função f(x) = (x â&#x20AC;&#x201C; 3) (12 â&#x20AC;&#x201C; 3x).

xâ&#x20AC;&#x201C;3=0 x=3

12 â&#x20AC;&#x201C; 3x = 0 12 = 3x 4=x

Outra facilidade Ê a obtenção da lei de formação quando utilizamos da forma fatorada.

Exemplo 2: Qual a lei de formação da função representada no gråfico abaixo.

Substituindo as raĂ­zes temos: f(x) = a.(x â&#x20AC;&#x201C; 1).(x â&#x20AC;&#x201C; 5) Substituindo o ponto (0;3) observado no grĂĄfico, temos: 3 = a.(0 â&#x20AC;&#x201C; 1).(0 â&#x20AC;&#x201C; 5) 3 = a.(-1).(-5) 3 = a . 5, logo a = 3/5; Substituindo na f(x) acima, temos: f(x) = (3/5). (x â&#x20AC;&#x201C; 1). (x â&#x20AC;&#x201C; 5) Multiplicando os fatores temos a função: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) =

[21]

3 2 đ?&#x2018;Ľ 5

â&#x2C6;&#x2019;

18 đ?&#x2018;Ľ 5

+3

[Matemática I]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UNIFRA) f: RR é uma função definida pela lei f(x) = -x2 - x + 6 e U e V são dois pontos do gráfico que possuem abscissas iguais a -2 e +3 respectivamente. Então, a) os pontos U e V estão situados acima do eixo das abscissas. b) os pontos U e V estão situados abaixo do eixo das abscissas. c) U está situado abaixo do eixo das abscissas e V acima. d) U está situado acima do eixo das abscissas e V abaixo. e) U está situado sobre o eixo das abscissas e V abaixo.

02. (UFSM) A porta de entrada de uma das livrarias do shopping é um arco de parábola do 2° grau, cuja altura máxima é 4 m, e os pontos A e B, situados na base do arco, distam 3 m um do outro. Para fixar um painel a 0,5 m de A e a 0,5 m de B, a altura "h" que ficará disponível para passagem na porta é de a) 2,22 m b) 2,12 m c) 1,77 m d) 2,77 m e) 2,21 m

03. (UNIFRA) O lucro de uma empresa é dado por L(x) = 100(x - 5)(9 - x) em que x é a quantidade vendida.

Pode-se afirmar que o lucro é a) positivo qualquer que seja x. b) positivo para x maior do que 9. c) negativo para x entre 5 e 9. d) máximo para x igual a 7. e) máximo para x igual a 6.

04. (UNIFRA) Um avião com três classes, turísticas, econômica e luxo, com 60 lugares cada, foi fretado para uma excursão. A empresa cobrou de cada passageiro R$ 400,00 mais R$ 10,00 por lugar não ocupado.

Nessas condições, o número de passageiros necessários para que essa empresa tenha rentabilidade máxima é igual a a) 180 b) 120 c) 110 d) 100 e) 90

05. (Acafe-SC) Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio e em repouso, o número N de batimentos cardíacos, por minuto, varia em função da temperatura ambiente t (em graus Celsius), segundo a função N(t) = O,1t2 - 4t + 90. O número mínimo de batimentos por minuto e a temperatura em que ocorre, respectivamente, são: a) 60 e 30° d) 50 e 20° b) 50 e 40° e) 60 e 40° c) 80 e 20°

22]

[Matemática I] 06. (UFRGS) A parábola na figura abaixo tem vértice no ponto (-1, 3) e representa a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c. Portanto, a + b é

a) -3 b) -2 c) -1

d) 0 e) 1

07. (UFRGS) A partir de dois vértices opostos de um retângulo de dimensões 7 e 5, marcam-se quatro pontos que distam x de cada um desses vértices. Ligando-se esses pontos, como indicado na figura abaixo, obtém-se um paralelogramo P. Considere a função f, que a cada x pertencente ao intervalo (0, 5) associa a área f(x) do paralelogramo P. O conjunto imagem da função f é o intervalo

a) (0, 10]. b) (0, 18). c) (10, 18].

d) [0, 10] e) (0, 18].

08. (UFRGS) Um menino chutou uma bola. Esta atingiu altura máxima de 12 metros e voltou ao solo 8 segundos após o chute. Sabendo que uma função quadrática expressa a altura y da bola em função do tempo t de percurso, esta função é a) y = - t2 + 8t b) y = - 3/8 t2 + 3t c) y = - 3/4 t2 + 6t d) y = - 1/4 t2 + 2t e) y = - 2/3 t2 + 16/3t

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. D | 2.A | 3.D | 4.C | 5.D | 6.A | 7.E| 8.C

[23]

[Matemática I]

UNIDADE 4 INEQUAÇÕES

4.1. Inequações do 1º Grau Quando temos sentenças envolvendo os sinais das desigualdades ( <, ≤ , >, ≥) e a expressão é definida de modo que o maior expoente da vaiável é 1, que pode ser reduzida a ax + b, teremos uma inequação do 1º grau. Para resolver este tipo de inequação basta isolar a variável, observando as regras matemáticas.

Exemplos: 1) 3x - 7 ≤ 5x + 9

2) 4x – 6 > 2x + 18

3) 5x + 3 – x ≥ 17

3x – 5x ≤ 9 +7 - 2x ≤ 16 Multiplicando a inequação por -1 2x ≤ -16 x ≤ -8

4.2. Inequações do 2º Grau Quando temos sentenças envolvendo os sinais das desigualdades ( <, ≤ , >, ≥) e a expressão é definida de modo que o maior expoente da vaiável é 2, que pode ser reduzida a ax2 + bx + c, teremos uma inequação do 2º grau. Para resolver este tipo de inequação devemos achar a função quadrada equivalente, e fazer o estudo do sinal da mesma.

Exemplos: 1) x2 - 2x + 3 ≥ 3x - 1

2) 4x + 8 < x2 + 7x + 2

x2 - 2x + 3 – 3x + 1 ≥ 0 x2 - 5x + 4 ≥ 0 x1 = 1; x2 = 4

++ + + + + 1

4 ++++++ ---------------

Logo, como procuramos os valores ≥ 0, S = { x / x ≤ 1 ou x ≥ 4}

24]

[Matemática I]

4.3. Sistemas de Inequações Quando temos um conjunto de sentenças envolvendo os sinais das desigualdades ( <, ≤ , >, ≥) temos um sistema de inequações. Para resolver um sistema, devemos resolver separadamente cada inequação e depois fazer a intersecção entre os conjuntos solução de todas as inequações.

1)

2x + 3 ≥ 3x – 6

2)

x + 5 ≤ 3x - 3

5x - 15 < 3x + 9 2x – 7 > x - 8

 2x + 3 ≥ 3x – 6 -x≥-9

x (- 1)

x≤9  x + 5 ≤ 3x – 3 - 2x ≤ - 8

x(-1)

2x ≥ 8 x≥8 9 8 8

9

4.4. Inequações Produto As desigualdades na forma f(x).g(x) > 0, f(x).g(x) < 0, f(x).g(x) ≥ 0, f(x).g(x) ≤ 0 são chamadas inequações produto. Para resolver uma inequação produto, devemos analisar o sinal de cada função e aplicar a regra dos sinais dentro dos intervalos obtidos conforme as respectivas raízes.

Exemplo: Determine o conjunto solução de: b) (x2 - 2x).(x2 - 4x + 3) ≤ 0

a) (x - 2).(x -3) < 0 x–2=0 x–3=0 x=2 x=3

2

++++++++++++

-------

3 +++++++ ---------------

+++++ +

+++++++ --------

[25]

[MatemĂĄtica I]

4.5. Inequaçþes Quociente As desigualdades na forma f(x)/g(x) > 0, f(x)/g(x) < 0, f(x)/g(x) â&#x2030;Ľ 0, f(x)/g(x) â&#x2030;¤ 0 sĂŁo chamadas inequaçþes quociente. Para resolver uma inequação quociente, devemos analisar o sinal de cada função e aplicar a regra dos sinais dentro dos intervalos obtidos conforme as respectivas raĂ­zes. a)

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 +3đ?&#x2018;Ľ+10 2đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;10

<0

- x2 + 3x +10 = 0 x1 = - 2

b)

2đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;4 5â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

â&#x2030;Ľ0

2x â&#x20AC;&#x201C; 10 = 0

x2 = 5

x=5

+ + + + -2

5 +++++ -------------

5 +++++ ---------------------

-2 + + + + + + + + + + + 5 + + + + + -----S = { xď&#x192;&#x17D; ď&#x192;&#x201A;/ x > -2}

OBSERVAĂ&#x2021;Ă&#x192;O Quando a inequação nĂŁo esta igualada a zero, primeiro deve-se ajustar a equação. đ?&#x2018;Ľ+2 đ?&#x2018;Ľ+1

ď&#x20AC;žđ?&#x2018;Ľ

ď&#x201A;Ž

đ?&#x2018;Ľ+2 đ?&#x2018;Ľ+1

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľď&#x20AC;ž0

â&#x2020;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľ+2â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľ+1) đ?&#x2018;Ľ+1

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 + 2 ď&#x20AC;ž0 đ?&#x2018;Ľ+1

26]

ď&#x20AC;ž0

â&#x2020;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľ+2â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ+1

ď&#x20AC;ž0

[MatemĂĄtica I]

4.6. Domínio de Função Polinomial Observe as restriçþes do domínio existentes, para as funçþes reais. Basicamente deve-se cuidar duas situaçþes. O denominador que não pode ser zero, e a raiz com índice par que não pode ter o radicando negativo.

Exemplo: Determine o domínio das seguintes funçþes:

2 ď&#x192;&#x17E; X ď&#x20AC;Ť8

1)

f ( x) ď&#x20AC;˝

2)

f ( x) ď&#x20AC;˝ 2 X - 10

3

3) đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x161;3 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ

x+8â&#x2030; 0

ď&#x192;&#x17E;

ď&#x192;&#x17E;

2x â&#x20AC;&#x201C; 10 â&#x2030;Ľ 0

ď&#x192;&#x17E;

D( f ) = ď&#x192;&#x201A;

xâ&#x2030; 8

ď&#x192;&#x17E;

RASCUNHO

[27]

2x â&#x2030;Ľ 10

ď&#x192;&#x17E;

xâ&#x2030;Ľ5

[MatemĂĄtica I]

UNIDADE 5 MĂ&#x201C;DULO

5.1. Definiçþes MĂłdulo de um nĂşmero real â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;?, tambĂŠm chamado de valor absoluto de â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? deve ser indicado por |đ?&#x2019;&#x2122;|, e ĂŠ definido por:

|đ?&#x2019;&#x2122;| = { Exemplos:

a) |đ?&#x;&#x201C;| = đ?&#x;&#x201C; d) |đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x201C;| = {

đ?&#x2019;&#x2122;, â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122; ,

b) |â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2018;| = đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2030;Ľ đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2122; < đ?&#x;&#x17D; c) |đ?&#x;&#x17D;| = đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x201C;, đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x201C; â&#x2030;Ľ đ?&#x;&#x17D; â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2030;Ľ đ?&#x;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x201C;), đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x201C; < đ?&#x;&#x17D; â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2122; < đ?&#x;&#x201C;

5.2. Equação Modular Equaçþes modulares são aquelas equaçþes onde a variåvel aparece dentro de um módulo, e tudo o que estå escrito dentro do módulo chamamos de modulando.

Exemplo: a) |đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 | = 7

b) |8 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ| = 12

Para resolver uma equação modular, deve-se analisar o sinal do modulando, e depois resolver as equaçþes geradas por este estudo do sinal. Vejamos a resolução dos exemplos anteriores. b) |8 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľ| = 12

a) |đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 | = 7 đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3=0

â&#x2021;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľ=3

--------------------- 3 +++++++++++++++

|đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 | = 7 â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) = 7 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + 3 = 7 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ =7â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ = 4 đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;4

|đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 | = 7 đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3=7 đ?&#x2018;Ľ =7+3 đ?&#x2018;Ľ = 10

28]

[MatemĂĄtica I]

5.3. Função Modular Ă&#x2030; toda função que possui na sua lei de formação a variĂĄvel inserida em um mĂłdulo. Ou seja ĂŠ toda função f de R em R definida por:

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) = {

đ?&#x2019;&#x2122;, â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122; ,

đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2030;Ľ đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2122; < đ?&#x;&#x17D;

Para trabalhar com uma função modular, deve-se analisar o sinal do modulando, e depois trabalhar com as funçþes geradas por este estudo do sinal em cada intervalo gerado por esse estudo. Vejamos os exemplos a seguir.

Exemplos: a) đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) = |đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x201D; | 2x- 6 = 0

â&#x2021;&#x2019;

2x = 6

â&#x2021;&#x2019;

x=3

--------------------- 3 +++++++++++++++

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = |2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6 |

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = |2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6 |

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) = â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x201D;)

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x201D;

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;&#x201D;

3

b) đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) = đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; + |đ?&#x;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122;| + đ?&#x;&#x2022;

[29]

[MatemĂĄtica I]

5.4. Inequação Modular Quando temos sentenças envolvendo os sinais das desigualdades ( <, â&#x2030;¤ , >, â&#x2030;Ľ) e a expressĂŁo que define a inequação possui um mĂłdulo, e neste uma variĂĄvel, temos uma inequação modular.

Para trabalhar com uma inequação modular, deve-se analisar o sinal do modulando, e depois trabalhar com as funçþes geradas por este estudo do sinal em cada intervalo gerado por esse estudo.

Vejamos os exemplos a seguir. a) |10 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ | â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2 10 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ = 0

â&#x2021;&#x2019;

10 = 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2021;&#x2019;

+++++++++++++++

5= đ?&#x2018;Ľ

5 -------------------

|10 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ | â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;4 (10 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ľ= â&#x2C6;&#x2019;4 10 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019; 10 â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;6 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ 6 đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2030;Ľđ?&#x;&#x2018;

|10 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ | â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;10 + 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;4 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;4 + 10 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ 6 đ?&#x2018;Ľâ&#x2030;¤3

Como aqui estamos observando

Como aqui estamos observando

valores x â&#x2030;¤ 5 temos

somente os valores x > 5 temos

S = { xď&#x192;&#x17D; ď&#x192;&#x201A;/ 3 â&#x2030;¤ x â&#x2030;¤ 5}

S=Ă&#x2DC;

b) c) |4x â&#x2C6;&#x2019; 12 | < 6

30]

[Matemática I]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. (PUC-MG) A soma das raízes da equação |2x – 1| = 3 é igual a: a) -2 d) 1 b) -1 e) 2 c) 0 2. O conjunto solução da equação |3x – 4| = 5x - 10 corresponde a: 7 a)  ;3 4  7 b)   4

7 d)  3;  

4

7 e)  ;3  4 

c) {3} 3. (U. F. Uberlândia-MG) Considere os números reais x que satisfazem a equação |x|2 + |x| - 12 = 0 Pode-se afirmar que: a) existe um único número real x que satisfaz a equação. b) o produto desses números reais x é igual a -9. c) a soma desses números reais x é igual a 1. d) o produto desses números reais x é igual a 122.

4. (Unisa-SP) Seja S, um subconjunto de IR, o conjunto solução da desigualdade |x – 1|  3.

Assinale, entre as alternativas a seguir, aquela que representa o conjunto S. a) {-2  x  4} d) {0  x  3} b) {-3  x  3} e) {-4  x  4} c) {0  x  4} 5. (Unicap-PE, adaptada) O conjunto solução da inequação |2x – 3| < 2 , no conjunto das reais, é: 1 < x < 2} 2 1 5 b) B ={x  |R / < x < } 2 2

a) A = {x  |R /

c) C ={x  |R / x > 3}

1 } 2 1 5 e) E ={x  |R / x < ou x > } 2 2

d) D = {x  |R / x <

6. (PUC-RS) O gráfico que representa a função f: |R  |R, definida por f(x) = |x| - 1 é:

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.D | 2.C| 3.B| 4.A| 5.B| 6.D

[31]

[MatemĂĄtica I]

UNIDADE 6 EXPONENCIAL

6.1. Revisando Potencias Potenciação Ê um produto de fatores iguais.

Exemplo: 5 x 5 x 5, representamos por 53, onde: ď&#x192; Base: fator que se repete. ď&#x192; Expoente: nĂşmero de vezes que o fator se repete. ď&#x192; PotĂŞncia: resultado da operação potenciação.

23 = 2.2.2 = 8

34 = 3.3.3.3 = 81

(-2)5 = (-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = -32

(-5)2 = (-5).(-5) = 25

Propriedades: a0 = 1

a1 = a

a ď&#x20AC;­1 ď&#x20AC;˝

1 a

đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;? )

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;

=

a ď&#x20AC;­n ď&#x20AC;˝ ď&#x192;Ś aď&#x192;ś ď&#x192;§ ď&#x192;ˇ ď&#x192;¨ bď&#x192;¸

ď&#x20AC;­n

1 an

ď&#x192;Ś bď&#x192;ś ď&#x20AC;˝ď&#x192;§ ď&#x192;ˇ ď&#x192;¨ aď&#x192;¸

n

(a . b) = a . b

an ď&#x192;Śaď&#x192;ś ď&#x192;§ ď&#x192;ˇ ď&#x20AC;˝ n b ď&#x192;¨bď&#x192;¸

am . an = am+n

am ď&#x201A;¸ an = am-n

n

n

n

m an

(am)n = am.n

Cuidado!!!

(2 2 )3 â&#x2030;

22

3

ď&#x20AC;˝ n am

(- 2)4 â&#x2030; - 24

32]

n

[Matemática I]

6.2. Equação Exponencial São equações onde a incógnita aparece como expoente de uma ou mais potências. Geralmente, uma equação exponencial pode ser resolvida por um dos dois casos a seguir.

1º CASO: Igualdade das Bases Deve – se primeiramente buscar igualar a base das potências e depois podemos então simplificar e igualar os expoentes.

Exemplos: x

1) 2 = 8

x

2) 7 = 1

x

3) 9 = 27

2x = 23 x=3

x

4) 3 2 = 81

3x

5) 2 36 = 64

x

6) 2.3 = 486

2º CASO: Substituição Deve – se primeiramente evidenciar as potências buscando escrever todas as potências com a variável no expoente na mesma base, e depois, para facilitar, recomenda-se substituir esta potência por uma variável auxiliar. Resolve-se a equação e depois retorna-se a variável original.

Exemplos: 1) 2x+1 + 2x+2 = 24

2) 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 = 117

2x.21 + 2x.22 = 24 2x = y y. 21 + y.22 = 24 2y + 4y = 24 6y = 24 y=4 2x = 4 2x = 22 X=2

[33]

[MatemĂĄtica I] 3) 22x + 2x - 72 = 0

4) 32x - 4 . 3x + 3 = 0

(2x)2 + 2x â&#x20AC;&#x201C; 72 = 0 2x = y y2 + y â&#x20AC;&#x201C; 72 = 0 Aplicando a fĂłrmula de bĂĄkara yâ&#x20AC;&#x2122; = 8 ou yâ&#x20AC;? = - 9 2x = 8 â&#x2020;&#x2019; 2 x = 23 â&#x2020;&#x2019; x = 3 2x = - 9 â&#x2020;&#x2019; nĂŁo existe solução

6.3. Função Exponencial Quando em uma função real a variåvel estå no expoente, temos uma função exponencial. Podemos definir uma função exponencial como:

đ?&#x2018;&#x201C;: đ?&#x2018;&#x2026; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2026;+â&#x2C6;&#x2014; x ď&#x201A;Ž y ; đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ ; onde a > 0 e a â&#x2030; 1 Observe que para termos esta função definida no conjunto dos nĂşmeros reais, continua, e ainda nĂŁo sendo uma função constante, na definição temos a condição necessĂĄria na base â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? para que a sentença defina uma função exponencial. Devido a esta condição podemos dizer que a > 1 ou 0 < a < 1. Vejamos o que acontece em cada caso, na construção grĂĄfica.

Exemplo 1:

f(x) = 2x

x

y = 2x

-4

y = 2 â&#x20AC;&#x201C; 4 = 1/16

-3

y = 2 â&#x20AC;&#x201C; 3 = 1/8

-2

y = 2 â&#x20AC;&#x201C;2= Âź

-1

y = 2 â&#x20AC;&#x201C;1= ½

0

y=20=1

1

y=21=2

2

y=22=4

3

y=23=8

4

y = 2 4 = 16

34]

[Matemática I] Exemplo 2:

f(x) = (1/2)x

x

y = (1/2)x

-4

y = (1/2) – 4 = 16

-3

y = (1/2) – 3 = 8

-2

y = (1/2) – 2 =4

-1

y = (1/2) – 1 = 2

0

y = (1/2) 0 = 1

1

y = (1/2) 1 = 1/2

2

y = (1/2) 2 = 1/4

3

y = (1/2) 3 = 1/8

4

y = (1/2) 4 = 1/16

6.4. Inequação Exponencial Quando temos desigualdades onde a variável esta no expoente, temos uma inequação exponencial.

Para resolvê-las vamos relacionar com as funções exponenciais equivalentes, observando o seu crescimento ou decrescimento. Vejamos: Quando temos uma inequação onde a base é maior do que 1, a resolução é igual a de uma equação.

Porém quando a base é um valor entre 0 e 1, devemos no momento que simplificamos a base, inverter o sinal da inequação; ou seja: Se

Se

a>1



ax > ay 

x>y

ax < ay 

x<y



0<a<1

ax > ay 

x<y

ax < ay 

x>y

Exemplos: x

1. 2 ≥ 32 X

2 ≥2

2.

5

X>5

[35]

( 0,5 )

x+1

< 0,25

[Matemática I]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. (UFPR) Para verificar a igualdade 2 4 2 x a) 0 b) +1 c) -1 d) 1 e)  2

2

3

 256, o valor de x deve ser:

2. (UFRGS) A solução da equação 2-x + 1 = 2x pertence ao intervalo (A) [-1, 0].

(B) [0, 1].

(C) [1, 2].

(D) [2, 3].

(E) [3, 4].

3. (PUC-RJ) Uma das soluções da equação 10 x a) x = 1 b) x = 0 c) x = 2

2

3



1 é: 100

d) x = - 2 e) x = 3

4. O conjunto verdade da equação

25 x  5  5 x é: 6

a) {-1; 0} b) {0; 2} c) {-1; -2} d) {1; -1} e) {1; 0}

5. (UFRGS) A solução das inequação 0,5(1-x) >1 é o conjunto a) {x  R / x>1} b) {x  R / x<1} c) {x  R / x>0} d) {x  R / x<0} e) R

6. (Acafe-SC) Atualmente, o valor de um sítio é de R$ 200.000,00. Estima-se que daqui a t anos o valor do sítio seja de 200 . (2t) milhares de reais. Após três anos, a valorização do sítio (aumento de valor) em relação ao preço atual, em milhos de reais, será de: a) 1,8 d) 1,3 b) 1,6 e) 1,4 c) 1,2

36]

[Matemática I] 7. (UFRGS) Analisando os gráficos das funções reais de variável real definidas por f(x) = (3/2)x-1 e g(x) = x, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, verificamos que todas as raízes da equação f(x) = g(x) pertencem ao intervalo a) [0, 3]. d) (3/2, 6]. b) (1/2, 4]. e) (2, 6). c) [1, 5).

8. (UFSM)

A figura mostra um esboço do gráfico da função y = ax + b, com a, b  |R, a  0, a 1 e b  0. Então, o valor de a2 - b2 é a) –3 d) 1 b) –1 e) 3 c) 0 9. (UnB) A solução da equação 5y – 1 = a)

5 5

é:

5 12

9 12

d) 

e)

25

7 12

b)  c)

3

7 12

5 12

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.E | 2.B | 3.A | 4.E | 5.A | 6.E | 7.C | 8.E | 9.A

[37]

[MatemĂĄtica I]

UNIDADE 7 LOGARĂ?TMOS

7.1. Definiçþes Logaritmo de um nĂşmero N, com N > 0, em uma base a, com a > 0 e a â&#x2030; 1, ĂŠ o expoente x a que se deve elevar a base a para reproduzir o nĂşmero N; ou seja:

loga N = x ď&#x201A;Ž N = ax

CONDIĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DE EXISTĂ&#x160;NCIA Um logaritmo de um nĂşmero â&#x20AC;&#x153;Nâ&#x20AC;?, na base â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? sĂł pode ser definido quando:

N>0 a>0;aâ&#x2030; 1

BASES ESPECIAIS Dois casos muito comuns de base logarítmicas, que recebem um nome diferenciado, pela sua importante aplicação são:

LOGARITMOS DECIMAIS Quando temos um logaritmo que a base Ê o número 10, chamamos este de logaritmo decimal, e em sua notação a base pode ser omitida.

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2122; = đ??Ľđ??¨đ?? đ?&#x2019;&#x2122; LOGARITMO NEPERIANO Quando temos um logaritmo que a base ĂŠ o nĂşmero neperiano â&#x20AC;&#x153;eâ&#x20AC;? chamamos este de logaritmo neperiano ou tambĂŠm de logaritmo natural, e em sua notação podemos usar a representação â&#x20AC;&#x153; ln â&#x20AC;?.

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x2019;?đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2122;

38]

[MatemĂĄtica I]

PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS Se usarmos a definição podemos facilmente descobrir algumas propriedades decorrentes dela.

Observe estas abaixo que são muito usadas nas resoluçþes de exercícios.

1. đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;? = đ?&#x;&#x17D; 2. đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x201A; = đ?&#x;? đ?&#x2019;?

3. đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201A; = đ?&#x2019;?

4. đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2019;?

5. đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201A; (đ?&#x;?â &#x201E;đ?&#x2019;&#x201A;) = â&#x2C6;&#x2019;1

COLOGARITMO O cologaritmo de um nĂşmero nada mais ĂŠ do que o oposto do mesmo logaritmo.

cologa N = - loga N

IGUALDADE DE DOIS LOGARITMOS Outra propriedade importante decorre na verdade no fato de termos uma igualdade. Quando temos uma igualdade entre dois logaritmos que estão na mesma base, estes podem ser simplificados e basta que se igualem os logaritmandos. Isto facilita bastante a resolução de equaçþes. De outra forma, quando precisamos resolver uma exponencial e não Ê possível igualar as bases, muitas vezes o melhor caminho Ê aplicar logaritmos nos dois lados da equação.

EntĂŁo:

[39]

[Matemática I]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (PUC) Se log1/x 243 = 5 então x é igual a: a) 1/5 b) 1/3 c) 3 d) -3 e) 5 02. (UFSM) Se log8 16 = a e log125 25 = b, então a + b vale: a) 2 b) 17/2 c) 3/4 d) 3/2 e) 6 03. (UNIFRA) Pedro perguntou ao professor qual o valor numérico da expressão x – y. Este respondeu-lhe: “Como queres saber o valor numérico de uma expressão, sem atribuíres valores às variáveis? Agora, eu é que quero saber qual o valor numérico daquela expressão quando x = log2 2 32 e y = log2 0,125.”

A resposta correta à pergunta de Pedro, considerando-se os valores atribuídos às variáveis pelo professor, é a)

13 .

2

c) 2. e) –

b) 5. d)

1 2

1 2

4. (UFRN) O valor da expressão: log2 64 – log3 27 é igual a: a) 3 b) 13 c) 17 d) 31 e) 37 5. (FGV-RJ, adaptada) A condição para que exista log (-x2 + 2x+ 3) é: a) {x  |R / -1  x  3} b) {x  |R / x < -1 ou x > 3} c) {x  |R / -1 < x  3} d) {x  |R / -1 < x < 3} e) {x  |R / -1  x < 3}

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.B | 2.A | 3.A | 4.E | 5.D

40]

[MatemĂĄtica I]

7.2. Propriedades OperatĂłrias LOGARITMO DE UM PRODUTO Quando temos no logaritmando um produto de dois valores, este ĂŠ igual Ă soma dos logaritmos de cada valor, mantendo-se a mesma base do logaritmo do produto.

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201E; (đ?&#x2018;¨. đ?&#x2018;Š) = đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201E; đ?&#x2018;¨ + đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201E; đ?&#x2018;Š Exemplo: đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;10 (25.4) = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;10 25 + đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;10 4

LOGARITMO DE UM QUOCIENTE Quando temos no logaritmando um quociente de dois valores, este Ê igual a diferença dos logaritmos de cada valor, mantendo-se a mesma base do logaritmo do produto.

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201E; (đ?&#x2018;¨/đ?&#x2018;Š) = đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201E; đ?&#x2018;¨ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201E; đ?&#x2018;Š Exemplo: đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 (124/31) = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 124 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;2 31

LOGARITMO DE UMA POTĂ&#x160;NCIA Quando temos no logaritmando uma potĂŞncia, este ĂŠ igual ao produto do expoente da potĂŞncia pelo logaritmo da base da potĂŞncia, mantendo-se ainda a mesma base no logaritmo.

đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201E; đ?&#x2018;¨đ?&#x2018;Š = đ?&#x2018;Š. đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201E; đ?&#x2018;¨ Exemplo:

đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;5 27 = 7. đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;5 2

[41]

[MatemĂĄtica I]

7.3. Mudança de Base Muitas vezes para resolução de logaritmos devemos ajustar as bases, alterando-as. Para fazer isto podemos utilizar a relação a seguir:

logba =

logac logbc

Desta mudança de base decorrem casos tradicionais bastante usados, como os seguintes:

â&#x20AC;˘ đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x192; đ?&#x2019;&#x201A; =

đ?&#x;? đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x192;

â&#x20AC;˘ đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2018;ľ. đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x192; đ?&#x2019;&#x201A; = đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x192; đ?&#x2018;ľ â&#x20AC;˘ đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x17D; =

đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;?

. đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x192;

7.4. Função LogarĂ­tmica A função inversa da função exponencial f(x) = ax, com a > 0 e a â&#x2030; 1 ĂŠ denominada função logarĂ­tmica e pode ser escrita como f(x) = log a x. Ou seja, podemos definir a função logarĂ­tmica, da seguinte maneira:

đ?&#x2018;&#x201C;: đ?&#x2018;&#x2026;+â&#x2C6;&#x2014; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2026; x ď&#x201A;Ž y ; đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ ; onde a > 0 e a â&#x2030; 1 Observe que para termos esta função definida no conjunto dos nĂşmeros reais; temos condiçþes necessĂĄria na base â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? para que a sentença defina uma função logaritmica. Devido a esta condição podemos dizer que a > 1 ou 0 < a < 1. Vejamos o que acontece em cada caso, na construção grĂĄfica.

42]

[Matemática I] Exemplo 1:

𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒙

x

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒙

1/16

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 (𝟏/𝟏𝟔) = −𝟒

1/8

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 (𝟏/𝟖) = −𝟑

¼

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 (𝟏/𝟒) = −𝟐

½

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 (𝟏/𝟐) = −𝟏

1

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟏 = 𝟎

2

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟐 = 𝟏

4

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟒 = 𝟐

8

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟖 = 𝟑

16

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟏𝟔 = 𝟒

Exemplo 2:

D = ]0, +∞) Im(f) = R

𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝒙 𝟐

x

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒙

1/16

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟏 (𝟏/𝟏𝟔) = 𝟒

1/8

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟏 (𝟏/𝟖) = 𝟑

𝟐

𝟐

¼

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟏 (𝟏/𝟒) = 𝟐

½

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟏 (𝟏/𝟐) = 𝟏

𝟐

𝟐

1

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟏 = 𝟎

2

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟐 = −𝟏

𝟐

𝟐

4

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟒 = −𝟐

8

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟖 = −𝟑

D = ]0, +∞) Im(f) = R

𝟐 𝟐

16

𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟏𝟔 = −𝟒 𝟐

RASCUNHO

[43]

[MatemĂĄtica I]

7.5. Inequação Logarítmica Quando temos desigualdades envolvendo logaritmos, temos uma inequação logarítmica. Para resolvê-las vamos relacionar com as funçþes logarítmicas equivalentes, observando o seu crescimento ou decrescimento. Vejamos: Quando temos uma inequação onde a base Ê maior do que 1, a resolução Ê igual a de uma equação.

PorÊm quando a base Ê um valor entre 0 e 1, devemos no momento que simplificamos os logaritmos, inverter o sinal da inequação; ou seja: Se

Se

a>1

ď&#x201A;Ž

0<a<1

log a x > log a y ď&#x201A;Ž

x>y

log a x < log a y ď&#x201A;Ž

x<y

ď&#x201A;Ž

log a x > log a y ď&#x201A;Ž

x<y

log a x < log a y ď&#x201A;Ž

x>y

ATENĂ&#x2021;Ă&#x192;O: Numa inequação logaritmica deve-se conferir a condição de existĂŞncia antes de estabelecer o conjunto solução.

Exemplos: 1) đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;? (đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;?) < đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;? đ?&#x;&#x201C;

2) đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;?/đ?&#x;? (đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2022;) > đ?&#x;&#x17D;

Resolução: x + 1 < 5 ď&#x201A;Ž x < 4 Condição de existĂŞncia: x + 1 > 0 â&#x2020;&#x2019; x > -1 Realizando a intersecção, temos: 4 -1 -1

4 S = { Xď&#x192;&#x17D;ď&#x192;&#x201A;/ -1 < X < 4 }

44]

[Matemática I]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. O conjunto solução da equação log3 (x2-5x+5) = 0 é a) {1} b) {1; 4} c) {x  R| x0} d) {x  R| x>0} e) {x  R| x2 -5x + 5>0} 2. Resolvendo a equação log2 (logx16) = 3, obtém-se x igual a a) 1/2 b) 2 c) -2 d) 2 e) 3 3. A solução da equação log2 (4-x) = log2 (x+1) + 1 está no intervalo a) [-2, -1] b) (-1; 0] c) (0; 1] d) (1; 2] e) (2; 3] 4. O conjunto solução da equação: log2 (x+1) + log2 x = 1 é a) {1} b) {1, -2} c) {2} d) {2, -1} e) {1, 2} 5. Se log (2) = a e log (3) = b, então log 12 vale a) a+b b) 2a+b c) a+2b d) a.b e) a/b 6. O logaritmo de um número na base 16 é 2/3. Então, o logaritmo deste número na base 1/4 é a) 

4 3

c) 1 e)

2 3 8 d)  3

b) 

2 3

7. Se log a=4 e log b=1, então log 3

a2 é igual a b

a) 1/5 b) 7/3 c) 3 d) 3 e) 5 8. Se log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, então, log2 6 é igual a a) 0,584 b) 0,788 c) 1,584 d) 2,584 e) 2,778

[45]

[Matemática I] 9. Se log3 x + log9 x=1, então o valor de x é a) 3 3 b)

3

6

c) 3 9 d) 33 3 e) 93 3 10. O conjunto solução da equação: (log3 x)2 - 4 log3 x + 3 = 0 é a) Ø b) {0, 1} c) {1, 3} d) {3, 9} e) {3, 27} 11. (UFRGS) Na figura abaixo está representado o gráfico da função f(x) = logb x.

A área da região sombreada é (A) 2.

(D) 2,8.

(B) 2,2.

(E) 3.

(C) 2,5.

12. (UFRGS) Na figura abaixo, a área do retângulo sombreamento é 1/2 , e as curvas são gráficos das funções f(x) = ax e g(x) = loga x, sendo a um número real positivo.

Então, o valor de f(2) – g(2) é a) -1 d) 1 b) ¼ e) 5/4 c) ¾

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.B | 2.D | 3.C | 4.A | 5.B | 6.A | 7.B | 8.D | 9.C | 10.C| 11.A| 12.E

46]

[Matemática I]

UNIDADE 8 NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

8.1. Definições TERMOS ESTATÍSTICOS  UNIVERSO ESTATÍSTICO ou POPULAÇÃO ESTATÍSTICA é o conjunto de todos os elementos capazes de fornecer dados para uma pesquisa.  AMOSTRA ESTATÍSTICA é um subconjunto do universo estatístico.  ROL é quando temos a ordenação do universo estatístico.  CLASSES são intervalos reais disjuntos que contenham subconjuntos do rol.  AMPLITUDE DA CLASSE é a diferença entre o menor e o maior extremo de uma classe.

FREQUÊNCIAS  FREQUÊNCIA ABSOLUTA é o numero de elementos em cada classe.  FREQUÊNCIA RELATIVA é o quociente entre a frequência absoluta e o número total de elementos da amostra.

Geralmente essas frequências são agrupadas em uma tabela que é chamada “tabela de distribuição de frequências”.

 FREQUÊNCIA ACUMULADA é a soma da frequência da classe “i” em questão com todas as frequências de classe menor que “i”. Podemos ter a frequência acumulada em relação a frequência absoluta ou em relação a frequência relativa.

RASCUNHO

[47]

[Matemática I] Exemplo: Vamos fazer uma pesquisa sobre a idade dos alunos que prestarão a prova do vestibular. Para isso vamos usar uma amostra retirando os dados dos alunos aqui da sala Lista das idades: Rol:

Tabela de Frequências:

Índice (idade)

Fi (F. absoluta)

Facum (F. acumulada)

Frel (F. Relativa)

Fac rel (F. acumulada relativa)

8.2. Gráficos De acordo com a forma com que os dados são agrupados, temos diferentes formas de representalos, vejamos alguns exemplos de gráficos.  GRÁFICO DE BARRAS VERTICAIS OU DE COLUNAS:

 GRÁFICOS DE BARRAS HORIZONTAIS:

48]

[MatemĂĄtica I] ď&#x192; HISTOGRAMA: Quando os dados sĂŁo agrupados em classes ĂŠ comum a utilização de um tipo de grĂĄficos chamado histograma, onde as colunas estarĂŁo justapostas. Neste tipo de grĂĄfico, algumas vezes se utiliza o valor mĂŠdio das classes.

ď&#x192; GRĂ FICOS DE SETORES CIRCULARES:

8.3. Medidas de TendĂŞncia Central ď&#x192; MODA ĂŠ o elemento de maior frequĂŞncia do rol. ď&#x192; MEDIANA ĂŠ o elemento central do rol que tiver um nĂşmero Ă­mpar de elementos ou ĂŠ a mĂŠdia aritmĂŠtica dos dois elementos centrais do rol que tiver um nĂşmero par de elementos. ď&#x192; MĂ&#x2030;DIA ARITMĂ&#x2030;TICA Sejam x1, x2, x3, x4, ...,xn uma coleção de â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? nĂşmeros racionais, a mĂŠdia aritmĂŠtica ĂŠ dada por:

đ?&#x2018;´đ?&#x2018;¨ =

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2019; + â&#x20AC;Ś + đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;?

[49]

[MatemĂĄtica I] Ex: No colĂŠgio A, a mĂŠdia anual dos alunos, ĂŠ calculada pela mĂŠdia aritmĂŠtica das notas dos 3 trimestres.

Sabendo que TibĂşrcio tirou 9,0 no 1Âş trimestre, 5,0 no 2Âş trimestre e 4,0 no 3Âş trimestre, qual sua nota anual?

ď&#x192; MĂ&#x2030;DIA ARITMĂ&#x2030;TICA PONDERADA Sejam x1, x2, x3, x4, ...,xn uma coleção de â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? nĂşmeros racionais de modo que cada um deles esteja sujeito a um peso p1, p2,p3, p4, ...,pn respectivamente, a mĂŠdia ponderada ĂŠ dada por:

đ?&#x2018;´đ?&#x2018;ˇ =

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; . đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2019; . đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;&#x2019; + â&#x20AC;Ś + đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;? . đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;&#x2019; + â&#x20AC;Ś + đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;?

Ex1: E se TibĂşrcio estudar no colĂŠgio B, onde a mĂŠdia anual ĂŠ a mĂŠdia ponderada das notas trimestrais, e o 1Âş trimestre tem peso 2, o 2Âş trimestre tem peso 3 e o 3Âş trimestre peso 5. Qual sua nota anual?

Ex2: Considere agora que o 1Âş trimestre tem peso 5, o 2Âş peso 3 e o 3Âş peso 2. Qual a nota anual do TibĂşrcio?

ď&#x192; MĂ&#x2030;DIA HARMĂ&#x201D;NICA Sejam x1, x2, x3, x4, ...,xn uma coleção de â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? nĂşmeros reais positivos, a mĂŠdia harmĂ´nica entre eles ĂŠ dada por: đ?&#x2019;? đ?&#x2018;´đ?&#x2018;Ż = đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? + + + + â&#x2039;Ż+ đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;?

Ex: TibĂşrcio agora estuda na escola D, onde a mĂŠdia anual ĂŠ a mĂŠdia harmĂ´nica das notas trimestrais. Qual serĂĄ sua mĂŠdia anual se as notas forem Ă s mesmas?

50]

[MatemĂĄtica I] ď&#x192; MĂ&#x2030;DIA GEOMĂ&#x2030;TRICA Sejam x1, x2, x3, x4, ...,xn uma coleção de â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? nĂşmeros reais positivos, a mĂŠdia geomĂŠtrica entre eles ĂŠ dada por: đ?&#x2018;´đ?&#x2018;Ž = đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; . đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2019; â&#x20AC;Ś đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;?

Ex: Qual ĂŠ a mĂŠdia geomĂŠtrica entre 4, 6 e 9?

8.4. Medidas de DispersĂŁo ď&#x192; VARIĂ&#x201A;NCIA (S2) Sejam x1, x2, x3, x4, ...,xn uma coleção de â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? elementos do ROL, a variância ĂŠ a mĂŠdia aritmĂŠtica dos quadrados das diferenças entre cada elemento do rol e a mĂŠdia aritmĂŠtica desse rol. đ?&#x2018;şđ?&#x;? =

(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;´đ?&#x2018;¨ )đ?&#x;? + (đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;´đ?&#x2018;¨ )đ?&#x;? +(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;´đ?&#x2018;¨ )đ?&#x;? + â&#x2039;Ż + (đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;´đ?&#x2018;¨ )đ?&#x;? đ?&#x2019;?

ď&#x192; DESVIO PADRĂ&#x192;O (S) Chama-se desvio padrĂŁo a raiz quadrada da variância.

ATENĂ&#x2021;Ă&#x192;O: O menor valor do desvio padrĂŁo indica um desempenho mais regular.*** Exemplo: Calcule a Variância e o Desvio-padrĂŁo das notas do aluno Luiz que tirou notas 9,0; 8;0 e 4;0; e do aluno Geraldo que tirou notas 7,0; 7,5 e 6,5.

EXERCĂ?CIOS DE FIXAĂ&#x2021;Ă&#x192;O 01. (UFRGS) No Brasil, o nĂşmero de cursos superiores via internet tem crescido nos Ăşltimos anos, conforme mostra o grĂĄfico.

Anuårio Brasileiro Estatístico de Educação Aberta e a Distância 2005 e Educação e conjuntura.

Desde 2001, quando foram autorizados pelo governo, atĂŠ 2004, o percentual de aumento desses cursos foi de a) 6% b) 7% c) 70% d) 600% e) 700%

[51]

[Matemática I] 02. (UFRGS) As questões de Matemática do Concurso Vestibular da UFRGS de 2004 foram classificadas em categorias quanto ao índice de facilidade, como mostra o gráfico de barras abaixo.

Se esta classificação fosse apresentada em um gráfico de setores circulares, a cada categoria corresponderia um setor circular. O ângulo do maior desses setores mediria a) 80º. b) 120º. c) 157º. d) 168º e) 172º

Número de questões

14 10

4 1 0

muito fácil

fácil

mediana

difícil

muito difícil

Categoria

03. (UFRGS) Os resultados de uma pesquisa de opinião foram divulgados utilizando um gráfico de setores circulares, como o representado na figura abaixo.

Ao setor a estão associadas 35% das respostas, ao setor b, 270 respostas e, aos setores c e d, um mesmo número de respostas. Esse número é a) 45. b) 90. c) 180. d) 450. e) 900.

04. (UFSM) Acidentes custam R$ 5,3 bilhões por ano Os custos totais dos acidentes de trânsito nas áreas urbanas do país somam R$ 5,3 bilhões por ano. Só o afastamento temporário ou definitivo do trabalho - a perda de produção - significa 42,8% desse total. Os custos com os veículos representam 28,8%, e o atendimento médico-hospitalar e a reabilitação, 14,5%.

De acordo com os dados do gráfico por setores, o custo relativo à perda de produção devido a acidentes de trânsito, nas áreas urbanas do país, em bilhões de reais, foi, aproximadamente, a) 2,32 b) 2,30 Fonte: "Folha de São Paulo", 1º. 06.03, p. C1 (adaptado). c) 2,28 d) 2,24 e) 2,23 05. (FFFCMPA) O critério de avaliação de uma disciplina exige média mínima para aprovação 6,0 obtida pela média aritmética ponderada das notas, variando de O a 10,0, de quatro provas com pesos, respectivamente, 1, 2, 3 e 4. Um aluno, de posse das três primeiras notas, onde a primeira foi 10,0, efetuou a média aritmética simples, e obtendo o resultado 6,0, não compareceu à última prova. Mas, sua média correta é 4,4, pois recebeu nota zero na última prova. Nessas condições, a nota que esse aluno deveria ter alcançado na quarta prova para que fosse aprovado na disciplina deveria ser, no mínimo, a) 4,8. b) 4,5. c) 4,2. d) 4,0 e) 3,8

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.D | 2.D | 3.D | 4.C | 5.D

52]

[MatemĂĄtica I]

UNIDADE 9 TRIGONOMETRIA

9.1. Trigonometria no Triângulo Retângulo Num triângulo retângulo podemos estabelecer razþes entre as medidas dos seus lados, essas relaçþes serão chamadas de razþes trigonomÊtricas. Lembrando que os lados de um triângulo retângulo são chamados de catetos e de hipotenusa, podemos definir as razþes chamadas de seno(sen), cosseno(cos) e tangente(tg) facilmente, da seguinte maneira:

Observe o triângulo abaixo, e nele vamos definir as razþes trigonomÊtricas.

đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x153;ś =

đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x192;

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x153;ś = đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x153;ś =

đ?&#x2019;&#x201E;

đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x201E; đ?&#x2019;&#x192;

đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x153;ˇ =

đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x201E;

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x153;ś = đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x153;ś =

đ?&#x2019;&#x192;

đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x192; đ?&#x2019;&#x201E;

Sempre ĂŠ vĂĄlido ao iniciarmos o trabalho de trigonometria, relembrarmos o Teorema de PitĂĄgoras.

Mesmo ele sendo um teorema de geometria possui muita utilidade para este estudo. â&#x20AC;&#x153;Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa ĂŠ sempre igual a soma dos quadrados dos catetos.â&#x20AC;?

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x;?

[53]

[MatemĂĄtica I]

9.2. Arcos Notåveis Alguns ângulos, devido ao seu constante uso em questþes matemåticas, merecem uma atenção especial e são chamados de arcos notåveis; estes são os ângulos de 300, 450 e 600. Observe que estes ângulos aparecem quando usamos a diagonal de um quadrado e quando traçamos a altura de um triângulo equilåtero.

d

300

h 450

600

Se usarmos as definiçþes nos desenhos acima, aplicando as razþes, facilmente chegamos aos valores atribuídos ao seno, ao cosseno e a tangente destes ângulos. Estes valores estão expressos no quadro abaixo.

30°

45°

60°

Sen

đ?&#x;? đ?&#x;?

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;? đ?&#x;?

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?

Cos

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;? đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;?

Tg

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;&#x2018;

1

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018;

EXERCĂ?CIOS DE FIXAĂ&#x2021;Ă&#x192;O 01. O valor de x.y, no triângulo, ĂŠ a) 5 3 b) 25 3 c) 5 d) 10 3 e) 25 02. (UFRGS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120Âş com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60 m, a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de

a) 40

2

d) 50

3

b) 40

3

e) 60

2

c) 45

3

54]

[Matemática I] 03. (Fepar-PR) Um observador de 2m de altura vê o topo de um edifício sob um ângulo de 75º em relação ao horizonte, estando afastado a 100m dele. Considerando-se o edifício e o observador apoiados sobre um mesmo plano horizontal, a altura desse edifício, em metros, é de: Use tg 75º = 2 +

3.

a) (202 + 100 3 )

d) 200

b) 100( 3 +2)

e) 102

c) 202 3

04. (UFSM) Um estudante de Engenharia vê um prédio do Campus da UFSM construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30°. Aproximando-se do prédio mais 40m, passa a vê-lo sob um ângulo de 60°.

Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, então a altura h do prédio é igual a a) 30 3m

b) 20 3m

c) 30 m e) 28 m

d) 10 3m

cos 60º tg 45º é: sen90º 2 1 2

05. (PUC-RJ) O valor de a)

3 2

b) 2 c)

d) e) 0

2

06. (Faap-SP) A seguir, está representado um esquema de uma sala de cinema, com o piso horizontal. De quanto deve ser a medida de AT para que um espectador sentado a 15 metros da tela, com os olhos 1,2 metro acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que é T, a 30° da horizontal?

Dados: sen 30° = 0,5 cos 30° = 0,866 tg 30º = 0,577 sen 60° = 0,866

cos 60° = 0,5

2 =1,41

a) 15,0 m b) 8,66 m c) 12,36 m

tg 60º =

3

3 =1,73

d) 9,86 m e) 4,58 m

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.B | 2.B | 3.A | 4.B | 5.A | 6.D

[55]

[Matemática I]

9.3. Ciclo Trigonométrico O ciclo ou círculo trigonométrico é uma circunferência orientada com centro na origem do sistema cartesiano, com raio igual a 1. Dizemos que é uma circunferência orientada pois, todo ângulo medido, tem o vértice sobre a origem do sistema cartesiano, um de seus lados é o lado positivo do eixo x, e o ângulo medido deve ser a partir deste, onde, se medimos no sentido anti-horário assumirá um sinal positivo, já se medirmos no sentido horário terá um sinal negativo.

(0,1)

+

(-1,0)

(1,0)

(0,-1) Como sabemos um ângulo de volta inteira corresponde a 3600 o que equivale também a 2 radianos, então no círculo trigonométrico temos.

/2 rad

 rad

900

1800

0 rad 2 rad

00 3600

2700

3/2 rad

Para transformação de unidades em ângulos, podemos usar uma regra de três simples e direta, desde que nos lembremos da equivalência entre as unidades.

56]

[MatemĂĄtica I]

ARCOS CONGRUOS Quando temos ângulos que possuem a mesma extremidade (lados coincidentes) no círculo trigonomÊtrico, dizemos que são ângulos ou arcos côngruos ou congruentes.

30°=390°=750°=...

Observe que a diferença que existe, na pråtica, entre estes ângulos Ê o número de voltas. Então podemos escrever o que chamamos de expressão geral de arcos.

đ?&#x153;ś = đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; . đ?&#x2019;&#x152;

đ?&#x153;ś = đ?&#x153;śđ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;?. đ?&#x2019;&#x152;. đ??&#x2026;

Onde ď Ą representa um ângulo qualquer, ď Ą0 a menor determinação positiva do ângulo, e k um nĂşmero inteiro qualquer onde para cada k temos um ângulo cĂ´ngruo diferente.

Quando queremos encontrar a expressão geral devemos primeiro descobrir a menor determinação positiva do ângulo, o que pode facilmente ser descoberta, dividindo o ângulo por 3600. O resto dessa divisão Ê a menor determinação positiva.

Exemplo: Encontre a expressão geral dos arcos abaixo: a) 450°

b) 1890°

[57]

[Matemática I]

9.4. Gráficos das Funções Principais Para definirmos as funções trigonométricas, vamos primeiramente definir os valores que correspondem a sen x, cos x e tg x no círculo trigonométrico.

Ao traçarmos um ângulo de medida x no círculo trigonométrico, estaremos definindo um arco central também de medida x no círculo. A extremidade desse arco no círculo possui um ponto P associado. A ordenada deste ponto corresponde ao valor do sen x e a abscissa corresponde ao valor do cos x, ou seja, o ponto P tem coordenadas P(cos x; sen x).

Já a tg x obtemos ao prolongar a reta referente ao ângulo e encontrarmos a reta tangente ao círculo trigonométrico no ponto (1;0). O valor da tg x será a ordenada do ponto de intersecção T das duas retas.

T

P

sen x

x cos x

58]

[MatemĂĄtica I]

FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O SENO A função seno ĂŠ a função que associa um valor real x, referente a um ângulo x ao valor do sen x. Ou seja:

đ?&#x2019;&#x2021;: đ?&#x2018;š â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;š đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2122; Vejamos o comportamento parcial do grĂĄfico desta função. Esta curva recebe o nome de senĂłide.

Baseado nesse comportamento, podemos tirar algumas conclusĂľes; QUADRANTE

1Âş

2Âş

3Âş

4Âş

SINAL

+

+

-

-

VARIAĂ&#x2021;Ă&#x192;O

Crescente

Decrescente

Decrescente

Crescente

Observe os principais valores, simplesmente observando os valores da ordenada dos pontos referentes ao ângulo no cĂ­rculo trigonomĂŠtrico. Ă&#x201A;NGULO

0Âş

90Âş

180Âş

270Âş

360Âş

SEN X

0

1

0

-1

0

DOM�NIO: Como analisar o domínio de uma função Ê analisar os valores do x, veremos facilmente que conforme define a lei de formação;

D(f) = ď&#x192;&#x201A;

IMAGEM: Como analisar a imagem de uma função ĂŠ analisar os valores do y, veremos facilmente que; Im(f) = [ -1; 1] Ou seja, lembre que: -1 â&#x2030;¤ sen x â&#x2030;¤1

[59]

[MatemĂĄtica I] PERĂ?ODO: Toda função onde f(x) = f(x+a) com a â&#x2030; 0, para todo x ď&#x192;&#x17D; D(f), temos uma função periĂłdica; onde a ĂŠ chamado perĂ­odo da função. No caso as funçþes trigonomĂŠtricas sĂŁo sempre periĂłdicas. E no caso da função seno, temos: PerĂ­odo ĂŠ igual a 3600 ou 2ď ° rad

FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O Ă?MPAR: Uma função Ă­mpar ĂŠ uma função onde f( x ) = - f( - x ). EntĂŁo a função f(x)= sen x ĂŠ uma função Ă­mpar, pois podemos observar que sen x = - sen (-x) para qualquer valor de x.

Exemplo: sen 300 = - sen (- 300)

FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O COSSENO A função cosseno ĂŠ a função que associa um valor real x, referente a um ângulo x ao valor do cos x.

Ou seja:

đ?&#x2019;&#x2021;: đ?&#x2018;š â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;š đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2122; Vejamos o comportamento parcial do grĂĄfico desta função. Esta curva recebe o nome de cossenĂłide.

Baseado nesse comportamento, podemos tirar algumas conclusĂľes; QUADRANTE

1Âş

2Âş

3Âş

4Âş

SINAL

+

-

-

+

VARIAĂ&#x2021;Ă&#x192;O

Decrescente

Decrescente

Crescente

Crescente

Observe os principais valores, simplesmente observando os valores da ordenada dos pontos referentes ao ângulo no cĂ­rculo trigonomĂŠtrico. Ă&#x201A;NGULO

0Âş

90Âş

180Âş

270Âş

360Âş

COS X

1

0

-1

0

1

60]

[Matemåtica I] DOM�NIO: Como analisar o domínio de uma função Ê analisar os valores do x, veremos facilmente que conforme define a lei de formação;

D(f) = ď&#x192;&#x201A;

IMAGEM: Como analisar a imagem de uma função ĂŠ analisar os valores do y, veremos facilmente que; Im(f) = [ -1; 1] Ou seja, lembre que: -1 â&#x2030;¤ cos x â&#x2030;¤1

PERĂ?ODO: Toda função onde f(x) = f(x+a) com a â&#x2030; 0, para todo x ď&#x192;&#x17D; D(f), temos uma função periĂłdica; onde a ĂŠ chamado perĂ­odo da função. No caso as funçþes trigonomĂŠtricas sĂŁo sempre periĂłdicas. E no caso da função coseno, temos: PerĂ­odo ĂŠ igual a 3600 ou 2ď ° rad

FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O PAR: Uma função par ĂŠ uma função onde f( x ) = f( - x ). EntĂŁo a função f(x)= cos x ĂŠ uma função par, pois podemos observar que cos x = cos (-x) para qualquer valor de x.

Exemplo: cos 300 = cos (- 300)

FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O TANGENTE A função tangente ĂŠ a função que associa um valor real x, referente a um ângulo x ao valor da tg x.

Ou seja:

đ?&#x2019;&#x2021;: đ?&#x2018;š â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;š đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2019;&#x2122; Vejamos o comportamento parcial do grĂĄfico desta função. Esta curva recebe o nome de tangentĂłide.

Baseado nesse comportamento, podemos tirar algumas conclusĂľes; QUADRANTE

1Âş

2Âş

3Âş

4Âş

SINAL

+

-

+

-

VARIAĂ&#x2021;Ă&#x192;O

Crescente

Crescente

Crescente

Crescente

[61]

[MatemĂĄtica I] Observe os principais valores, simplesmente observando os valores da ordenada dos pontos referentes ao ângulo no cĂ­rculo trigonomĂŠtrico. Ă&#x201A;NGULO

0Âş

90Âş

180Âş

270Âş

360Âş

Tg X

0

â&#x2C6;&#x201E;

0

â&#x2C6;&#x201E;

0

DOMĂ?NIO: Como analisar o domĂ­nio de uma função ĂŠ analisar os valores do x, veremos facilmente que conforme define a lei de formação; đ??&#x2026;

D(f) = {đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;š/ đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2030; đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x152;đ??&#x2026;} ou D(f) = {đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;š/ đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2030; đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ??&#x2026;} IMAGEM: Como analisar a imagem de uma função ĂŠ analisar os valores do y, veremos facilmente que; Im(f) = ď&#x192;&#x201A; PERĂ?ODO: Toda função onde f(x) = f(x+a) com a â&#x2030; 0, para todo x ď&#x192;&#x17D; D(f), temos uma função periĂłdica; onde a ĂŠ chamado perĂ­odo da função. No caso as funçþes trigonomĂŠtricas sĂŁo sempre periĂłdicas. E no caso da função tangente, temos: PerĂ­odo ĂŠ igual a 1800 ou ď ° rad

FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O Ă?MPAR: Uma função Ă­mpar ĂŠ uma função onde f( x ) = - f( - x ). E a função f(x)= tg x ĂŠ uma função Ă­mpar, pois podemos observar que tg x = - tg (-x) para qualquer valor de x.

Exemplo: tg 300 = - tg (- 300)

EXERCĂ?CIOS DE FIXAĂ&#x2021;Ă&#x192;O 01. (UFRGS) Se ď ą = 85°, entĂŁo a) tan ď ą < cos ď ą < sen ď ą. b) sen ď ą < cos ď ą < tan ď ą. c) cos ď ą < sen ď ą < tan ď ą. d) sen ď ą < tan ď ą < cos ď ą. e) cos ď ą < tan ď ą < sen ď ą.

02. O valor de k, para que exista o arco que satisfaz a igualdade sen x = 4k - 5, ĂŠ a) k = 5 4

b) 1 ď&#x201A;Ł k ď&#x201A;Ł 5 c) 1 ď&#x201A;Ł k ď&#x201A;Ł d) 1 < k ď&#x201A;Ł e) 1 ď&#x201A;Ł k <

4 3 2 3 2 3 2

62]

[MatemĂĄtica I] 03. (UNISINOS-RS) Se f: |R ď&#x201A;Ž |R ĂŠ uma função definida por f(x) = sen x + cos x, o valor de a) -3 b) -2 c) 0 d) 1 e) 2 04. Se đ?&#x2018;Ś

a)

=

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x153;&#x2039;)+đ?&#x2018;&#x201C;(3đ?&#x153;&#x2039;â &#x201E;2) đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x153;&#x2039;â &#x201E;2)

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;Ľâ &#x201E;2)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľâ &#x201E;4).đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;Ľâ &#x201E;6) e x = ď °, entĂŁo y ĂŠ igual a: đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľâ &#x201E;3)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ

4â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2

2 â&#x2C6;&#x161;3 4â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;2 b) â&#x2C6;&#x161;3 4â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;6

c)

2 â&#x2C6;&#x161;2 d) â&#x2C6;&#x2019; 2â&#x2C6;&#x161;3

e) Outro valor

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.C | 2.C | 3.B | 4.A

9.5.Outras Funçþes Outras funçþes podem ser definidas, como razĂľes inversas das anteriormente estudadas. Ă&#x2030; interessante conhecermos a suas representaçþes no cĂ­rculo trigonomĂŠtrico, pois assim podemos definir os elementos principais, como valores e sinais. E ĂŠ importantĂ­ssimo sabermos de qual relação cada uma ĂŠ inversa. Vejamos:

FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O COTANGENTE

A cotangente ĂŠ o inverso da tangente!!!

[63]

[Matemática I]

FUNÇÃO SECANTE

A secante é o inverso do cosseno!!!

FUNÇÃO COSSECANTE

A cossecante é o inverso do seno!!!

9.6. Variações Gráficas Vejamos algumas variações que podem ocorrer nas funções trigonométricas:

g(x) = a ± b. f(cx ± d) Isto acarretará algumas alterações nos gráficos das funções, de acordo com os valores dos coeficientes. Os valores de a e b alteram diretamente a imagem da função, pois estes alteram o gráfico no sentido vertical, já o valor de c altera o período da função, enquanto que o domínio das funções podem ser alterados (no caso da função tangente, por exemplo) dependendo dos valores do c e do d, pois estes alteram o gráfico no sentido horizontal.

DICA: • Imagem é diretamente proporcional à função!

• Período é inversamente proporcional ao ângulo!

64]

[MatemĂĄtica I] Exemplos: 1) f(x) = sen(2x) Im(f) = [-1;1] PerĂ­odo â&#x2021;&#x2019;

2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; 2

ou

3600 2

â&#x2021;&#x2019; PerĂ­odo = ď ° rad ou 1800

D(f) = ď&#x192;&#x201A; 2) f(x) = 2.cosx Im(f) â&#x2021;&#x2019; [-1;1] (x 2) â&#x2021;&#x2019; Im(f) = [-2;2] PerĂ­odo = 2ď ° rad ou 3600 D(f) = ď&#x192;&#x201A; 3) g(x) = 1+ 2sen (3x + ď °) Im(f) â&#x2021;&#x2019; [-1;1] (x 2) â&#x2021;&#x2019; Im(f) = [-2;2] (+1) â&#x2021;&#x2019; Im(f) = [-1;3] PerĂ­odo â&#x2021;&#x2019;

2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; 3

ou

3600 3

â&#x2021;&#x2019; PerĂ­odo =

2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; 3

ou 1200

D(f) = ď&#x192;&#x201A; 4) g(x) = 1+ 2tg (3x +ď °) Im(f) = ď&#x192;&#x201A; PerĂ­odo â&#x2021;&#x2019;

đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; 3

ou

1800 3

â&#x2021;&#x2019; PerĂ­odo =

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018; 3

ou 600 đ?&#x153;&#x2039;

D(f) = {đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026;/ 3đ?&#x2018;Ľ + ď ° â&#x2030; 2 + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039;} â&#x2021;&#x2019; D(f) = {đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026;/ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030; 6 + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039;}

EXERCĂ?CIOS DE FIXAĂ&#x2021;Ă&#x192;O 01. O perĂ­odo da função definida por f(x) = 3sen ď&#x192;Śď&#x192;§ x ď&#x192;śď&#x192;ˇ ĂŠ ď&#x192;¨2ď&#x192;¸

a) ď ° b) 2ď ° c) 3ď ° d) 4ď ° e) 5ď ° 02. A imagem da função y = -2 + 3 sen x ĂŠ a) [-5; 1] b) (-5; 1) c) [-1; 5] d) [-2; 3] e) [ -1; 1]

[65]

[Matemática I] 03. O domínio da função dada por f(x) = tg 2x é o conjunto a) {x  R | x  b){x  R | x =

 4



c) {x  R | x =

+

4

+



k , k  Z} 2

k , k  Z} 2

+ k , k  Z}

2 k d) {x  R | x  , k  Z} 2

e) {x  R | x 



2

+ k  Z}

04. A função que melhor se adapta ao gráfico abaixo é x 2 x b) y = cos 2

a) y = sen

c) y = sen 2x d) y = cos 2x e) y = sen x

05. A função real representada no gráfico é y= m . cos x. O valor de m é a) -3 b) -2 c) 0 d) 2 e) 3

06. (UFRGS) Se f(x) = a + b . sen x tem como gráfico a) a = -2 e b = 1 b) a = -1 e b= 2 c) a = 1 e b = -1 d) a = 1 e b = -2 e) a = 2 e b = -1

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.D | 2.A | 3.A | 4.A | 5.E | 6.D

66]

[MatemĂĄtica I]

9.7. Redução ao 1Âş Quadrante REDUĂ&#x2021;Ă&#x192;O DE UM VALOR â&#x20AC;&#x153;Xâ&#x20AC;?

Podemos ao observar o ciclo trigonomÊtrico, verificar que para cada ângulo do 1º quadrante existe um ângulo no 2º quadrante, um ângulo no 3º e um no 4º que correspondem em valor absoluto para cada uma das razþes trigonomÊtricas.

Para encontrar o ângulo correspondente ao ângulo â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? no primeiro quadrante, devemos primeiro observar o quadrante que ele se encontra, e conforme este quadrante, obedecer Ă tabela a seguir.

2° QUADRANTE : 180°- x

3° QUADRANTE : x - 180°

4° QUADRANTE : 360°- x

Exemplos: a) 1200 Como 1200 pertence ao 20 quadrante, devemos fazer 1800 â&#x20AC;&#x201C; 1200, ou seja 1200 corresponde a 600. b) 2100 Como 2100 pertence ao 30 quadrante, devemos fazer 2100 â&#x20AC;&#x201C; 1800 , ou seja 2100 corresponde a 300. a) 3000 Como 3000 pertence ao 40 quadrante, devemos fazer 3600 â&#x20AC;&#x201C; 3000, ou seja 3000 corresponde a 600.

REDUĂ&#x2021;Ă&#x192;O DE UM ARCO DO TIPO (đ?&#x153;ś Âą đ?&#x2019;&#x2122;) Quando temos uma expressĂŁo do tipo (đ?&#x153;ś Âą đ?&#x2019;&#x2122;) podemos reduzi-la a uma expressĂŁo mais simples.

Considerando x um ângulo do 1Âş quadrante, podemos pensar de forma similar a â&#x20AC;&#x153;reduçãoâ&#x20AC;?. Este processo ĂŠ garantido pela periodicidade das funçþes trigonomĂŠtricas.

Vamos para simplificar, primeiro observar o ângulo ď Ą. â&#x20AC;˘ Se ď Ą = kď ° (ď Ą sobre ox ) MantĂŠm a função e analisa o sinal do quadrante.

â&#x20AC;˘ Se ď Ą = (2k + 1).

đ??&#x2026; đ?&#x;?

(ď Ą sobre oy )

Troca a função pela cofunção e analisa o sinal do quadrante.

[67]

[MatemĂĄtica I] Vamos lembrar:

CO â&#x20AC;&#x201C; FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O sen ď&#x201A;Ť cos tg ď&#x201A;Ť cotg sec ď&#x201A;Ť cosec

ATENĂ&#x2021;Ă&#x192;O!!!

Ao reduzirmos ao primeiro quadrante devemos observar o sinal do ângulo ou da expressão reduzida!

Exemplos:

ď °

cos (ď °+ x) =

- cos x

sen (

tg (2ď ° - x) =

- tg x

sen (

sen (ď ° - x) =

sen x

cotg (

2

+ x) = cos x

3ď ° - x) = - cos x 2

ď ° 2

- x) = tg x

EXERCĂ?CIOS DE FIXAĂ&#x2021;Ă&#x192;O 01. O valor numĂŠrico da expressĂŁo

đ?&#x2018;Ś=

2.đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 1500 +8.đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2 1350 +đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D;450 2.đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;300 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D;1350

a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) 0 02. Determine o valor a expressĂŁo: M ď&#x20AC;˝ 3 2 4 3 b) ď&#x20AC;­ 8 c) ď&#x20AC;­ 1 8

a) ď&#x20AC;­

sen2.460Âşď&#x192;&#x2014; cos 1.110Âş tg 2.205Âş

d) zero e) -

3 4

68]

ĂŠ

[MatemĂĄtica I] 03. Simplificando a expressĂŁo y =

tg ( ď ° + x) obtĂŠm-se tg ( ď ° / 2 - x)

a) tg2 x b) tg (p - x) c) cotg x d) tg x e) cotg2 x 04. O valor numĂŠrico da expressĂŁo

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 2đ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;? 4đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D; 5đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ

para x =

ď ° 2

ĂŠ

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -2

05. A expressĂŁo

sen ( ď ° + x). sec( ď ° - x) 2 tg ( ď ° + x) 2

ĂŠ igual a

a) sen x b) cos x c) tg x d) cotg x e) sec x

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.C | 2.E | 3.A | 4.A | 5.C

9.8. Relaçþes TrigonomÊtricas As relaçþes trigonomÊtricas podem ser facilmente verificadas, se observarmos no ciclo trigonomÊtrico que os segmentos que representam as funçþes formam alguns triângulos retângulos. Então podemos aplicar o Teorema de Pitågoras para defini-las. Outras basta que pensamos nas relaçþes inversas para possamos escreve-las. Vejamos: Do círculo trigonomÊtrico, aplicando o Teorema de Pitågoras, temos:

sen x

1

sen x

đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;?

cos x

[69]

[MatemĂĄtica I]

đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;

tg x 1

cotg x 1

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;

Das relaçþes inversas, temos:

đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201E; đ?&#x2019;&#x2122; =

đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2122;

;

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201E; đ?&#x2019;&#x2122; =

Lembrando que no triângulo retângulo; đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2019;&#x2122; =

đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2122;

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2022;.đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2022;.đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2039;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2020;

đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2122;

Como a cotangente Ê a relação inversa da tangente, temos:

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2019;&#x2122; =

70]

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2019;&#x2122; =

đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2019;&#x2122;

, e observando o cĂ­rculo trigonomĂŠtrico,

temos:

đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2019;&#x2122; =

;

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2122;

[Matemática I]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Sendo x um arco com extremidade no segundo quadrante e sec x =



5 3

, então 5 sen2 x - 3 tg x é igual a

32

a) - 15 b) c) d) e)

36 5 4 5 4 5 36 5

02. Se tg x =

3 4

eπ<x<

3 2

, o valor de cos x -sen x é

7 5 7 b)- 5 2 c) - 5 1 d) 5 1 e) - 5

a)

03. Se sec x = 3 e tg x < 0 então sen x vale 2 2 3 3 2 b) 2 2 2 c) 3

a)

d) -

2 2

e)

2

04. Se cotg x = -1 , x  2° quadrante, então cos x . sen x é a) -0,5 c) 1

b) 0,5 d) 1 3

e)

1  3

05. Sabendo-se que cos (a) = 3/5 e que a é um arco do primeiro quadrante, o valor de tg(a) é a) 4/5 b) 4/3 c) 3/4 d) 5/3 e) 5/4 06. Para todo x E R, a expressão (sen x + cos x)2 + (sen x - cos x)2 é igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) sen2 x e) 2 sen2 x

[71]

[MatemĂĄtica I] 07. A expressĂŁo a) b) c) d) e)

sec.đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2 đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;Ľ

ĂŠ equivalente a

sen x cos x tg x cotg x sen2 x

08. A expressĂŁo (1 + cotg2 x) (1 - cos2 x) ĂŠ igual a a) 0 b) 1 c) cos x d) sen x e) cotg x 09. Sabendo que tg x = a) -

b) -

c)

d) 5

5 13 12 13

12 5

eĎ&#x20AC;<x<

3ď ° 2

, entĂŁo sen x ĂŠ igual a

12 13

e) 12 10. Sabendo-se que đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; a) 6 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1

đ?&#x153;&#x2039; 6

1 2

đ?&#x153;&#x2039; 6

đ?&#x153;&#x2039; 6

= , o valor numĂŠrico de â&#x2C6;&#x161;3 (đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D; ) ĂŠ

RASCUNHO

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.E | 2.E | 3.C | 4.A | 5.B | 6.C | 7.D | 8.B | 9.A | 10.B

72]

[MatemĂĄtica I]

9.9. Operaçþes com Arcos Algumas relaçþes nos permitem calcular valores novos das funçþes trigonomĂŠtricas, isto irĂĄ ampliar os nossos conhecimentos, e propiciarĂĄ calcular valores das funçþes trigonomĂŠtricas de ângulos do tipo (a + b) ou (a â&#x20AC;&#x201C; b). Vejamos:

ARCO SOMA E ARCO DIFERENĂ&#x2021;A SENO: sen ( a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen ( a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a

COSSENO: cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b

TANGENTE: tg (a + b) =

tg a + tg b 1- tg a . tg b

tg (a - b) =

tg a - tg b 1+ tg a . tg b

Exemplo: Calcular o sen 750 e cos 750 đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?(đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ); entĂŁo: đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?(đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) = đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; . đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; . đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?(đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) =

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;? â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;? . + . đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? (đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) =

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;? + đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x2019;

đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? (đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) =

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D; + â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019;

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;(đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ); entĂŁo: đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;(đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) = đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; . đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; . đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;(đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) =

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;? đ?&#x;? . â&#x2C6;&#x2019; . đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; (đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) =

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x2019;

đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D; (đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) =

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019;

[73]

[Matemática I]

ARCO DUPLO Todo ângulo que escrito na forma (2x), pode ser chamado de arco duplo e escrito como (x + x). Se aplicarmos nas relações anteriores, teremos:

Sen 2x ⇒ 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙) = 𝟐. 𝒔𝒆𝒏 𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝒙

Cos 2x ⇒ 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙

tg 2x ⇒ 𝑡𝑔 (2𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥 + 𝑥) 𝑡𝑔 (2𝑥) =

𝑡𝑔 𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥 1 − 𝑡𝑔 𝑥. 𝑡𝑔𝑥

𝒕𝒈 (𝟐𝒙) =

𝟐. 𝒕𝒈 𝒙 𝟏 − 𝒕𝒈𝟐 𝒙

74]

[MatemĂĄtica I]

9.10. Resoluçþes em Triângulos Muitas vezes existem situaçþes que envolvem triângulos na matemåtica. Quando precisamos relacionar os lados e os ângulos de um triângulo qualquer, existem relaçþes que ajudam e facilitam esse processo.

LEI DOS SENOS Num triângulo qualquer a razão entre um lado e o seno do ângulo oposto Ê sempre constante e igual ao diâmetro do círculo que circunscreve esse triângulo.

đ?&#x2019;&#x201A; Ě&#x201A; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2018;¨

=

đ?&#x2019;&#x192; Ě&#x201A; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2018;Š

=

đ?&#x2019;&#x201E; Ě&#x201A; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2018;Ş

= đ?&#x;?. đ?&#x2018;š

LEI DOS COSSENOS Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado Ê igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

A Ě&#x201A; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?. đ?&#x2019;&#x192;. đ?&#x2019;&#x201E;. đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2018;¨ b

c

B

Ě&#x201A; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?. đ?&#x2019;&#x201A;. đ?&#x2019;&#x201E;. đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2018;Š

a

Ě&#x201A; đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?. đ?&#x2019;&#x201A;. đ?&#x2019;&#x192;. đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2018;Ş

C

[75]

[MatemĂĄtica I]

LEI DAS Ă REAS Num triângulo qualquer, a ĂĄrea â&#x20AC;&#x153;Sâ&#x20AC;? ĂŠ sempre igual Ă metade do produto de dois lados vezes o seno do ângulo formado por esses lados.

đ?&#x2018;ş=

Ě&#x201A; đ?&#x2019;&#x201A;. đ?&#x2019;&#x192;. đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2018;Ş đ?&#x;?

đ?&#x2018;ş=

Ě&#x201A; đ?&#x2019;&#x201A;. đ?&#x2019;&#x201E;. đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2018;Š đ?&#x;?

đ?&#x2018;ş=

Ě&#x201A; đ?&#x2019;&#x192;. đ?&#x2019;&#x201E;. đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2018;¨ đ?&#x;?

A b

c

B

a

C

EXERCĂ?CIOS DE FIXAĂ&#x2021;Ă&#x192;O 01. O valor de 4 sen 15° ĂŠ a) 2 b) 2 6 c) 2 - 6 d) 6 + 2 e) 6 - 2

1 02. Se tg x = 1 e tg y = , entĂŁo tg(x - y) ĂŠ igual a 3

a) b) c) d)

5

3 4 2 3 4 7 1 8

e) ď&#x20AC;­ 1

15

03. Se sen 2x=1, o quadrado de cosx - senx ĂŠ igual a a) 0 b) 1/16 c) 1/4 d) 1/2 e) 1

76]

[Matemática I] 04. No triângulo da figura,  = 30°,  = 15° e a) 10 b) 10 c) 15 d) 15 e) 15

AC

= 15

2

. A medida de

BC

é

6 2 3

05. A medida do lado AB na figura ao lado é a) 5 b) 5 c) 10 d) 12 e) 15

2 2 2

06. Na figura a = 14, b = 10 e c = 6. A medida do ângulo  é a) 150° b) 120° c) 90° d) 60° e) 30° 07. O valor de x no triângulo ABC é 2

a) 3 1

b) 3 c) 2 3

d) 2 1

e) 4 08. Uma praça triangular fica situada na esquina de duas ruas que se cruzam segundo um ângulo de 120°. A frente da praça para uma das ruas é 12 e para a outra, 16. A área da praça é a) 48 b) 48 3 c) 96 d) 96 e) 192 3

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.E | 2.D | 3.A | 4.C | 5.C | 6.B | 7.D | 8.B

[77]

[MatemĂĄtica I]

UNIDADE 10 SEQUĂ&#x160;NCIAS

10.1. Definição No dia a dia encontramos vårias situaçþes envolvendo elementos organizados atravÊs de alguma ordem, que formam uma sequência; situaçþes simples como os meses do ano, por exemplo. Quando esta sequência Ê formada por números, temos uma sequência envolvendo números, temos uma sequência numÊrica.

Algumas sequĂŞncias podem ser definidas por uma relação ou expressĂŁo matemĂĄtica chamadas â&#x20AC;&#x153;lei de formaçãoâ&#x20AC;?; que possibilitam encontrar qualquer termo da sequencia.

Uma sequĂŞncia pode ser representada por: (a1, a2, a3, a4, a5, ... , an , ...)

Exemplo: Podemos aqui definir algumas sequĂŞncias que podem ser facilmente encontradas. a)

an = 2n + 5

b) an = n2 - 1 c) an = 2.n2

10.2. ProgressĂŁo AritmĂŠtica (P. A.) DEFINIĂ&#x2021;Ă&#x192;O Ă&#x2030; uma sequĂŞncia numĂŠrica onde a partir de um termo soma-se uma constante numĂŠrica chamada razĂŁo para obter o termo subsequente. Esta progressĂŁo pode ser crescente, decrescente ou constante; finita ou infinita.

Exemplos: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35) (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ...)

Observe que como a razão Ê o valor adicionado para obtermos o próximo termo, podemos tambÊm dizer que esta Ê a diferença entre 2 termos consecutivos numa progressão aritmÊtica (P. A.)

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201C; â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201C; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?

78]

[MatemĂĄtica I]

TERMO GERAL Se analisarmos o comportamento da sequencia, podemos facilmente estabelecer uma relação para definir o termo geral de uma progressão aritmÊtica.

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x2018; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201C; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x2019; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x2019;&#x201C; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x201C; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x2019; + đ?&#x2019;&#x201C; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x201D; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x201C; + đ?&#x2019;&#x201C; = ..............

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201C; + đ?&#x2019;&#x201C; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x;?. đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x;?. đ?&#x2019;&#x201C; + đ?&#x2019;&#x201C; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x;&#x2018;. đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x;&#x2018;. đ?&#x2019;&#x201C; + đ?&#x2019;&#x201C; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x;&#x2019;. đ?&#x2019;&#x201C; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x;&#x2019;. đ?&#x2019;&#x201C; + đ?&#x2019;&#x201C; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x;&#x201C;. đ?&#x2019;&#x201C;

EntĂŁo

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + (đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?). đ?&#x2019;&#x201C; ou ainda

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x152; + (đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x152;). đ?&#x2019;&#x201C;

PROPRIEDADES 1) TrĂŞs Termos Consecutivos: em trĂŞs termos consecutivos de uma P. A. , o termo central, ĂŠ igual Ă mĂŠdia aritmĂŠtica dos extremos.

( x, y, z ) â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2019;&#x20AC; =

đ?&#x2018;ż+đ?&#x2019; đ?&#x;?

2) Termos Equidistantes: Dado uma P. A. com n termos, a soma dos termos equidistantes dos extremos ĂŠ sempre constante e igual a soma do extremos.

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x2019; + đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2018; = â&#x2039;Ż

3) Termo Central: Numa P. A. com n termos, o termo central ĂŠ a mĂŠdia aritmĂŠtica de quaisquer dois termos equidistantes dos extremos.

Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44) [79]

[MatemĂĄtica I]

SOMA DOS TERMOS DA P. A. Podemos observar que para calcular a soma dos termos de uma p. a. basta aplicar a relação:

(đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? + đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? ). đ?&#x2019;? đ?&#x2018;şđ?&#x2019;? = đ?&#x;?

EXERCĂ?CIOS DE FIXAĂ&#x2021;Ă&#x192;O 1. Em uma progressĂŁo aritmĂŠtica temos que o 1Âş termo ĂŠ 4 e a razĂŁo ĂŠ 3. O oitavo termo ĂŠ a) 14 b) 17 c) 21 d) 25 e) 28 2. O primeiro e o dĂŠcimo termos de uma progressĂŁo aritmĂŠtica valem, respectivamente, -6 e 30. A razĂŁo desta progressĂŁo aritmĂŠtica vale a) -8 b) -6 c) 4 d) 6 e) 8 3. As medidas dos lados de um triângulo sĂŁo expressas por x + 1, 2x, x2 - 5 e estĂŁo em PA, nesta ordem. O perĂ­metro do triângulo mede a) 8 b) 12 c) 15 d) 24 e) 33 4. A soma dos 22 primeiros termos da PA (-56, -54, ...) ĂŠ a) -470 b) -570 c) -670 d) - 770 e) - 870 5. (UFRGS) Cada um dos quadrados da figura abaixo tem 1cm de lado.

Se a curva poligonal em destaque na figura continuar evoluindo no mesmo padrĂŁo, a partir da origem O, qual serĂĄ seu comprimento quando tiver 20 lados? a) 20 cm d) 210 cm b) 100 cm e) 420 cm c) 200 cm

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.D | 2.C | 3.D | 4.D | 5.D

80]

[MatemĂĄtica I]

10.3. ProgressĂŁo GeomĂŠtrica (P.G.) DEFINIĂ&#x2021;Ă&#x192;O Ă&#x2030; uma sequĂŞncia numĂŠrica onde a partir de um termo multiplica - se uma constante numĂŠrica chamada razĂŁo para obter o termo subsequente. Esta progressĂŁo pode ser crescente, decrescente, constante ou ainda alternante; finita ou infinita.

Exemplos: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024) (1/9, 1/3, 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187,...)

Observe que como a razão Ê o valor adicionado para obtermos o próximo termo, podemos tambÊm dizer que esta Ê a diferença entre 2 termos consecutivos numa progressão geomÊtrica (P. G.)

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2019; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? / đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?

TERMO GERAL Se analisarmos o comportamento da sequencia, podemos facilmente estabelecer uma relação para definir o termo geral de uma progressão geomÊtrica.

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x2018; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2019; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2019;. đ?&#x2019;&#x2019; = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;&#x2019; = đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;&#x2018; . đ?&#x2019;&#x2019; = đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2019; = đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;&#x201C; = đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;&#x2019; . đ?&#x2019;&#x2019; = đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;&#x2018; . đ?&#x2019;&#x2019; = đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;&#x201D; = đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;&#x201C; . đ?&#x2019;&#x2019; = đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; . đ?&#x2019;&#x2019; = đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x;&#x201C; ..............

EntĂŁo

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? ou ainda

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x152; . đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x152;

[81]

[MatemĂĄtica I]

PROPRIEDADES 1) TrĂŞs Termos Consecutivos: em trĂŞs termos consecutivos de uma P. G. , o termo central, ĂŠ igual Ă mĂŠdia geomĂŠtrica dos extremos.

( x, y, z )

đ?&#x2019;&#x20AC; = Âąâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x2019;&#x2122;. đ?&#x2019;&#x203A; ou đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x2122;. đ?&#x2019;&#x203A;

â&#x2021;&#x2019;

2) Termos Equidistantes: Dado uma P. G. com n termos, o produto dos termos equidistantes dos extremos ĂŠ sempre constante e igual ao produto do extremos.

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x2018; . đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x2019; . đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2018; = â&#x2039;Ż

3) Termo Central: numa P. G. com n termos o termo central ĂŠ a mĂŠdia geomĂŠtrica de quaisquer dois termos equidistantes dos extremos.

đ?&#x2018;ťđ?&#x2019;&#x201E; = Âąâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? ou đ?&#x2018;ťđ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;?

Exemplo: (1/2, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512)

SOMA DOS TERMOS DA P. A. Podemos observar que para calcular a soma dos termos de uma P. G. devemos antes observar o tipo de progressão, pois podemos calcular a soma de uma P.G. finita com n termos ou ainda a soma de uma P.G. infinita e convergente desde que o termo tenda a zero. Depois, basta aplicar a relação conveniente:

â&#x2021;&#x2019; PG FINITA

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? (đ?&#x2019;&#x2019;đ?&#x2019;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?) đ?&#x2018;şđ?&#x2019;? = đ?&#x2019;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? â&#x2021;&#x2019; P.G. INFINITA E CONVERGENTE

đ?&#x2018;şđ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2021; =

đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;? đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2019;

82]

[Matemática I]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. O 18° termo da sequência (3, 9, 27, 81...) é a) 317 b) 318 c) 319 d) 320 e) 321

02. Numa PG o quociente entre o quarto e o segundo termos é 49. A razão da PG é a) ± 7 b) ±4 c) ±7 d) ±9 e) ±49

03. Os números x, x + 9 e 16x formam, nesta ordem, uma PG de termos positivos. Calculando x, pode-se dizer que a) 0 < x ≤ 1 b) 1 < x ≤ 2 c) 2 < x ≤ 3 d) 3 < x ≤ 4 e) 4 < x ≤ 5

04. A soma dos 10 primeiros termos da PG (3; -6; 12; -24; ....) é a) 512 b) - 512 c) 1.024 d) - 1.024 e) -1.023 1

2

4

05. O valor da soma 3 + 9 + 27 + ⋯ a) 8/81 b) 1 c) 3 d) 1/3 e) 2/3

06. (UFRGS) A tabela apresenta, em cada linha, o número de cabeças de um rebanho no final do ano dado.

Ano Cabeças 1997 2000 1998 1600 1999 1280 ----Se o rebanho continuar decrescendo anualmente na progressão geométrica indicada pela tabela, no final de 2006 o número de cabeças do rebanho estará entre (Dado log 2 = 0,3010) a) 10 e 80. d) 400 e 800. b) 80 e 100. e) 800 e 1000. c) 100 e 400.

[83]

[Matemática I] 07. (UFRGS) Considere que a espiral representada na figura abaixo é formada por oito semicírculos cujos centros são colineares. O primeiro semicírculo tem diâmetro 8 e, para cada um dos demais semicírculos, o diâmetro é a metade do diâmetro do semicírculo anterior. O comprimento dessa aspiral é

a) 

8 3 24 c) 7 b)

255 32 255 e) 16 d)

08. (FURG) O dono de uma loja precisa com urgência de vendedores para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecedem o Natal. Aparecem três candidatos. Ele oferece R$1,00 pelo primeiro dia de trabalho e, para os dias seguintes, o dobro do que eles recebem no dia anterior. Dois candidatos consideram humilhante a proposta e recusam-na. O candidato que conhece matemática aceita a proposta. Então, ele receberá, pelos doze dias de trabalho, a importância de: a) R$ 240,00. d) R$ 5095,00. b) R$ 4095,00. e) R$ 1095,00. c) R$ 3400,00.

09. (UFSM) Uma doença bovina propagou-se pelo rebanho de uma região de modo que, a cada 2 dias, o número de animais doentes triplicou. Sabe-se que, primeiramente, havia 10 animais doentes e que o rebanho sob risco era de 262440 cabeças. Após quantos dias, a quarta parte desse rebanho contaminouse? a) 9 d) 21 b) 12 e) 30 c) 18

10. (UFRGS) A dívida de uma pessoa dobra a cada três meses. Se a dívida está acumulada hoje em 1200 reais, há seis meses a dívida era de a) 75 reais. d) 450 reais. b) 150 reais. e) 600 reais. c) 300 reais.

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.B | 2.C | 3.C | 4.E | 5.B | 6.C | 7.D | 8.B | 9.C | 10.C

84]

[Matemática I]

EXERCÍCIOS: ENEM + vestibulares UNIDADE 1: FUNÇÕES CONCEITOS

04. (Udesc) Considere a função f cujo gráfico está representado na figura abaixo.

01. (ifsul) Em uma disciplina, o número de alunos reprovados por ano é descrito pela função g(t), em que t é dado em anos. Considerando f(g(t))  2t  1 e f(t)  t  2, é possível afirmar que a função g(t) é a) g(t)  2 t  3 b) g(t)  2t  3 c) g(t)  2 t  3 d) g(t)  2t  3 É correto afirmar que: a) f : [ 1, 4]  [ 2, 2] é injetora, mas não sobrejetora. b) f : [ 1, 4]  [ 2, 2] é bijetora. c) f : [ 1, 1]  [ 2, 1] é injetora, mas não sobrejetora. d) f : [ 1, 1]  [ 2, 1] é bijetora.

02. (Acafe) Dadas as funções f e g, com funções reais f(2x  1)  4x  12 e g(x  2)  2x  1 definidas para todo x  , então, pode-se afirmar que f(g(x))  2 é um número: a) divisor de 10. b) múltiplo de 4. c) fracionário. d) primo.

e) f : [ 1, 1]  [ 2, 2] injetora.

03. (Acafe) O gráfico a seguir representa a função real f(x), definida no intervalo [ 1, 6].

é

é

é sobrejetora, mas não é

05. (Upf) Considere a função real g, cuja representação gráfica está parcialmente ilustrada na figura a seguir. Sendo g g a função composta de g com g, então, o valor de (g g)( 2) é:

Considerando a função h(x)  f(x  2), então, o valor da expressão dada por f(h(3))  h(f(4)) é igual a:

a) 0 b) 4 c) 2 d) 2 e) 5

a) 7. b) 2. c) 5. d) 1.

[85]

[Matemática I] 06. (Ufsc) Sejam as funções f(x) = (x + 1)/(x - 1) definida para todo x real e x≠1 e g(x)=2x+3 definida para todo x real. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

12. (Ufpa) Sejam os conjuntos A = {I; 2} e B = {0; 1; 2}.

Qual das afirmativas abaixo é verdadeira? a) f: x 2x é uma função de A em B. b) f: x  x +1 é uma função de A em B. 2 c) f: x  x - 3x + 2 é uma função de A em B. 2 d) f: x  x - x é uma função de B em A. e) f: x  x – 1 é uma função de B em A.

01) f(1/x) = -f(x) para todo x ∈ IR - {0, 1}.

02) O valor de g(f(2)) é igual a 4/3.

04) O domínio da função fog (f composta com g) é D(fog) = IR - {-1}.

-1 08) A função inversa da g é definida por g (x)=(x-3)/2.

16) A reta que representa a função g intercepta o eixo das abscissas em (-3/2, 0).

2

13. (PUC-RS) Se f(x - 1) = x + 2, então f(3) é igual a: a) 2 b) 4 c) 6 d) 11 e) 18

07. (Ufrgs) Considerando A = {x  z / -1  x  10}, esendo R a relação em A formada pelos pares (x, y) tais que y = 2x - 1, o domínio e a imagem dessa relação correspondem, respectivamente, a a) {0, 1, 2, 3} e {1, 3, 5, 7} b) {1, 2, 3, 4} e {3, 5, 7, 9} c) {0, 1, 2, 3, 4} e {0, 2, 4, 6, 8} d) {1, 2, 3, 4, 5} e {1, 3, 5, 7, 9} e) {1, 2, 3, 4, 5} e {0, 2, 4, 6, 8}

14. (UFMG) Seja a função f: |R  |R tal que f(x) =

1 . Se x  0, uma expressão para f  1  é: x 1  x 2

2

a) x + 1 2 b) x  1 x2

1 x 1 x2 d) 2 x 1 c)

08. (Ufrgs) Considere a função f: |R  |R definida pelo sistema a seguir: f(x) =  1 se x é racional  0 se x é irracional

Então f ( 2 ) + f ( 2 ) - f ( 2 + a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

15. (UFAL) Sejam as funções reais definidas por f(x +3) = x + 1 e f(g(x)) = 2x. Então, o valor de g(0) é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

2 ) é igual a

16. (UFRGS) O gráfico seguinte representa a evolução do volume de água de um reservatório, durante um certo dia.

09. (Ufrgs) O gráfico a seguir representa a função y = f(x).

A solução da inequação f(x)  1 é o conjunto dos valores de x  [a,b] tais que a) x  0 d) x  1 b) x  0 e) x  IR c) x 1 10. (Mackenzie-SP) Se f(x) =

A vazão de água do reservatório, em litros/hora, nos períodos das 6h às 15h e das 15h às 24h é, nesta ordem, em valor absoluto, aproximadamente a) 3 e 8 d) 7 e 2 b) 5 e 2 e) 9 e 1 c) 7 e 1

2 8 x , então f(10) x2

pertence ao intervalo: a) [0,004; 0,006] b) [0,02; 0,03] c) [0; 0,001] d) [0,002; 0,003] e) [0,04; 0,05]

17.

(UFSC) Seja f uma função real de variável real, representada pelo gráfico abaixo.

11. (Uece) Se f: |R  |R é a função dada por f(x) = 5 5 100x- 5, então o valor de f (10 )  f (10 ) é: -1

a) 10 b) 1

2

10 5  10 5

c) 10 2 d) 10

86]

[Matemática I] Determine a soma dos números associados à(s) afirmativa(s) VERDADEIRA(S).

01. f tem três zeros reais.

02. f é uma função crescente em seu domínio.

04. a imagem de f é R. 08. f é inversível em seu domínio.

16. o domínio de f é R.

1 c) 3 3 b) 1 d) 5 22. (UFRR) Na figura a seguir, estão representados os gráficos das funções f e g.

a)

18. (U. F. Uberlândia-MG) Considere f a função real de variável real definida no intervalo [-1; 1], cujo gráfico está desenhado na figura a seguir.

A partir das informações dessa figura, o valor da soma f(g(-6)) + g(f(6)) é igual a: a) -3 d) 1 b) -1 e) 2 c) 0 Assinale a alternativa que corresponde ao gráfico -1 -l da função y = f (x), em que f é a inversa da função f.

23. (Fasa-MG) Se f(x) =

1 , então (f o f o f)(x) é igual 1 x

a: a) –x b) x

c) 2x d) 3x

24. (Unifor-CE) Considere a função f de |R* em |R 1 definida por f(x) = x + e as afirmações: x I. f é função ímpar. 1 II. f    f ( x)  x 2

 1   , se x > 0 III. f(x) + f(l) =  x  x  

1 é a função real de x variável real, definida para x  0 e x  2, sua função inversa é: 1 1 --1 --1 a) f (x) = + x d) f (x) = x x2 1 1 --1 --1 b) f (x) = - x e) f (x) = x x x 1 --1 c) f (x) = x2

19. (Iesville-SC) Se f(x) = 2 +

Nessas condições: a) somente I é verdadeira. b) somente II é verdadeira. c) somente III é verdadeira. d) somente I e II são verdadeiras. e) I, II e III são verdadeiras.

25. (PUC-SP) Sejam D = {1; 2; 3; 4; 5} e f: D  |R a . função definida por f(x) = (-2) (x - 4). Então: a) f é sobrejetora. b) f é injetora. c) f é bijetora. d) o conjunto imagem de f possui 3 elementos somente. e) Im(f) = {-1; 0; 1}

3

20. (PUC-SP) Sendo f(x) = x + 1 e g(x) = x - 2, então g(f(0)) é igual a: a) 1 d) 2 b) 3 e) -1 c) 0 21. (UFMG) Considere a função definida por: 3 x , se - 1  x  1  f ( x)  5, se 1  x  4 x - 4, se x  4  Pode-se afirmar que o valor de f(f(f(2))) é:

[87]

01. A

GABARITO UNIDADE 1 02. C 03. D 04. D

05. B

06. 61 11. D 16. E 21. C

07. D 12. A 17. 21 22. E

10. E 15. C 20. E 25. B

8. C 13. E 18. B 23. B

9. A 14. D 19. C 24. E

[Matemática I]

UNIDADE 2: FUNÇÃO DE 1º GRAU 01. (ifsul) Uma função do 1º grau f:   possui o gráfico abaixo.

Admitindo que um desses gráficos corresponda ao pedido do gerente, qual é esse gráfico? a) I b) II c) III d) IV e) V

A lei da função f é x 3 a) f(x)   2 2 b) f(x)  x  1 1 2 x 1 d) f(x)   2 2

c) f(x)  2x 

03. (Enem 2ª aplicação) Uma empresa farmacêutica fez um estudo da eficácia (em porcentagem) de um medicamento durante 12 h de tratamento em um paciente. O medicamento foi administrado em duas doses, com espaçamento de 6 h entre elas. Assim que foi administrada a primeira dose, a eficácia do remédio cresceu linearmente durante 1h, até atingir a máxima eficácia (100%), e permaneceu em máxima eficácia

02. (Enem (Libras)) A base de cálculo do imposto de renda é a parte dos rendimentos recebidos pelo contribuinte sobre a qual incide o imposto. Ela é obtida após serem descontadas, dos rendimentos, as deduções legais.

No ano de 2008, se a base de cálculo de um contribuinte teve um valor de até R$ 16.473,72, o contribuinte foi isento do imposto de renda. Se a base R$ 16.473,72 de cálculo ficou entre e R$ 32.919,00, o imposto devido foi de 15% sobre o

durante 2 h. Após essas 2 h em que a eficácia foi máxima, ela passou a diminuir linearmente, atingindo 20% de eficácia ao completar as 6 h iniciais de análise. Nesse momento, foi administrada a segunda dose, que passou a aumentar linearmente, atingindo a máxima eficácia após 0,5 h e permanecendo em 100% por 3,5 h. Nas horas restantes da análise, a eficácia decresceu linearmente, atingindo ao final do tratamento 50% de eficácia.

que excedeu R$ 16.473,72. Por fim, se a base de cálculo ultrapassou R$ 32.919,00, o imposto devido é dado pela soma de R$ 2.466,79 (correspondendo a 15% da diferença 32.919,00  16.473,72) mais

27,5% do que excedeu R$ 32.919,00.

O gerente de um escritório de contabilidade pediu a um estagiário que identificasse o gráfico que descrevia o valor imposto devido, para o ano de 2008, como função da base de cálculo, apresentando-lhe cinco gráficos, sem qualquer outra informação ou valores numéricos.

Considerando as grandezas tempo (em hora), no eixo das abscissas; e eficácia do medicamento (em porcentagem), no eixo das ordenadas, qual ‫ י‬o gráfico que representa tal estudo?

88]

[Matemática I] a)

04. (Enem) Após realizar uma pesquisa de mercado, uma operadora de telefonia celular ofereceu aos clientes que utilizavam até 500 ligações ao mês o seguinte plano mensal: um valor fixo de R$ 12,00 para os clientes que fazem até 100 ligações ao mês.

Caso o cliente faça mais de 100 ligações, será cobrado um valor adicional de R$ 0,10 por ligação, a partir da 101ª até a 300ª; e caso realize entre 300 e 500 ligações, será cobrado um valor fixo mensal de R $ 32,00.

b)

Com base nos elementos apresentados, o gráfico que melhor representa a relação entre o valor mensal pago nesse plano e o número de ligações feitas é: a)

c) b)

c)

d)

d) e)

e)

[89]

[Matemática I] 05. (Enem) Um dos grandes desafios do Brasil é o gerenciamento dos seus recursos naturais, sobretudo os recursos hídricos. Existe uma demanda crescente por água e o risco de racionamento não pode ser descartado. O nível de água de um reservatório foi monitorado por um período, sendo o resultado mostrado no gráfico. Suponha que essa tendência linear observada no monitoramento se prolongue pelos próximos meses.

07. (Enem) Uma cisterna de 6.000 L foi esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo.

Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora? a) 1.000 b) 1.250 c) 1.500 d) 2.000 e) 2.500

Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o sexto mês, para que o reservatório atinja o nível zero de sua capacidade? a) 2 meses e meio. b) 3 meses e meio. c) 1 mês e meio. d) 4 meses. e) 1 mês.

08. (Enem) No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia celular.

Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está em função do tempo mensal das chamadas, conforme o gráfico.

06. (Enem) Um reservatório é abastecido com água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da água desse reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litro por minuto, do volume de água que entra no reservatório pela torneira e do volume que sai pelo ralo, em função do tempo t, em minuto.

Essa pessoa pretende gastar exatamente R$30,00 por mês com telefone.

Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reservatório tem uma vazão constante de enchimento? a) De 0 a 10. b) De 5 a 10. c) De 5 a 15. d) De 15 a 25. e) De 0 a 25.

Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais vantajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa? a) A b) B c) C d) D e) E

90]

[Matemática I] 09. (Enem) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações: QO = –20 + 4P QD = 46 – 2P em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto.

A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam.

Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? a) 5 b) 11 c) 13 d) 23 e) 33

c)

d)

e)

10. (Enem) Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele ganha um valor fixo de R$750,00, mais uma comissão de R$3,00 para cada produto vendido. Caso ele venda mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de R$9,00 para cada produto vendido, a partir do 101º produto vendido.

Com essas informações, o gráfico que melhor representa a relação entre salário e o número de produtos vendidos é a)

11. (Enem) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira assinada.

Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr.

2010 (adaptado).

Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é a) y  4300x

b)

b) y  884 905x c) y  872 005  4300x d) y  876 305  4300x e) y  880 605  4300x

[91]

[Matemática I] 12. (Enem) As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é

13. (Enem) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00 , enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00 . As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada.

Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? a) 100n  350  120n  150 b) 100n  150  120n  350 c) 100(n  350)  120(n  150)

a)

b)

d) 100(n  350.000)  120(n  150.000) e) 350(n  100.000)  150(n  120.000) 14. (Enem) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear.

c)

d)

Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será a) menor que 1150. b) 218 unidades maior que em 2004. c) maior que 1150 e menor que 1200. d) 177 unidades maior que em 2010. e) maior que 1200.

e)

92]

[Matemática I] 15. (Enem) Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas.

Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade? a)

16. (Enem) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.

O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

b)

número de bolas (x) 5

nível da água (y) 6,35 cm

10

6,70 cm

15

7,05 cm

Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan.

2009 (adaptado).

Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?

c)

a) y  30 x. b) y  25 x  20,2. c) y  1,27 x. d) y  0,7 x. e) y  0,07 x  6. d) 17. (Enem) Considerando que o Calendário Muçulmano teve início em 622 da era cristã e que cada 33 anos muçulmanos correspondem a 32 anos cristãos, é possível estabelecer uma correspondência aproximada de anos entre os dois calendários, dada por: (C = Anos Cristãos e M = Anos Muçulmanos) a) C = M + 622 - (M/33). b) C = M - 622 + (C - 622/32). c) C = M - 622 - (M/33). d) C = M - 622 + (C - 622/33). e) C = M + 622 - (M/32).

e)

[93]

[Matemática I] 18. (Enem) O gráfico a seguir, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção.

a) 2005. b) 2006. c) 2007. d) 2008. e) 2009.

20. (Enem)

Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone ou correio eletrônico, propunha-se aos candidatos uma questão a ser resolvida na hora.

Deveriam calcular seu salário no primeiro mês, se vendessem 500 m de tecido com largura de 1,40 m, e

Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a a) 465. b) 493. c) 498. d) 538. e) 699.

no segundo mês, se vendessem o dobro. Foram bem sucedidos os jovens que responderam, respectivamente, a) R$ 300,00 e R$ 500,00. b) R$ 550,00 e R$ 850,00. c) R$ 650,00 e R$ 1000,00. d) R$ 650,00 e R$ 1300,00. e) R$ 950,00 e R$ 1900,00.

19. (Enem) O jornal de uma pequena cidade publicou a seguinte notícia: CORREIO DA CIDADE ABASTECIMENTO COMPROMETIDO O novo polo agroindustrial em nossa cidade tem atraído um enorme e constante fluxo migratório, resultando em um aumento da população em torno de 2000 habitantes por ano, conforme dados do nosso censo: Ano 1995 1997 1999 2001 2003

21. (Enem) A figura a seguir representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.

População 11.965 15.970 19.985 23.980 27.990

Esse crescimento tem ameaçado nosso fornecimento de água, pois os mananciais que abastecem a cidade têm capacidade para fornecer até 6 milhões de litros de água por dia. A prefeitura, preocupada com essa situação, vai iniciar uma campanha visando estabelecer um consumo médio de 150 litros por dia, por habitante.

A análise da notícia permite concluir que a medida é oportuna. Mantido esse fluxo migratório e bem sucedida a campanha, os mananciais serão suficientes para abastecer a cidade até o final de

Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então a) M(x)  500  0,4x. b) M(x)  500  10x. c) M(x)  510  0,4x. d) M(x)  510  40x. e) M(x)  500  10,4x.

94]

[Matemática I] 22. (Enem) O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta profissional em corridas de longa distância como a maratona (42,2 km), a meia-

23. (Enem) Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: a) 11.000. b) 22.000. c) 33.000. d) 38.000. e) 44.000.

maratona (21,1km) ou uma prova de 10 km. Para saber uma aproximação do intervalo de tempo a mais perdido para completar uma corrida devido ao excesso de peso, muitos atletas utilizam os dados apresentados na tabela e no gráfico:

Altura (m)

1,57 1,58 1,59 1,60

Peso (kg) ideal para atleta masculino de ossatura grande, corredor de longa distância 56,9 57,4 58,0 58,5

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, de modo independente, entre meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, meia hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho.

Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR a seguir indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y):

Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando 63 kg e com altura igual a 1,59 m, que tenha corrido uma meia-maratona, pode estimar que, em condições de peso ideal, teria melhorado seu tempo na prova em a) 0,32 minuto. b) 0,67 minuto. c) 1,60 minuto. d) 2,68 minutos. e) 3,35 minutos.

24. (Enem) Na região indicada, o conjunto de pontos que representa o evento "José e Antônio chegam ao marco inicial exatamente no mesmo horário" corresponde a) à diagonal OQ b) à diagonal PR c) ao lado PQ d) ao lado QR e) ao lado OR

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez.

Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: R(x) = k . x . (P - x), onde k é uma constante positiva característica do boato.

[95]

[Matemática I] TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: No quadro a seguir estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo 3 de água (em m ) e de eletricidade (em kWh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação.

26. (Enem 2ª aplicação) Uma torneira gotejando diariamente é responsável por grandes desperdícios de água. Observe o gráfico que indica o desperdício de uma torneira:

Se y representa o desperdício de água, em litros, e x representa o tempo, em dias, a relação entre x e y é a) y  2 x

1 x 2 c) y  60 x d) y  60 x  1 e) y  80 x  50 b) y 

25. (Enem) Dos gráficos a seguir, o que melhor representa o valor da conta de água, de acordo com o consumo, é: a)

27. (Enem 2ª aplicação) Em fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas de automóveis do mundo, passou a oferecer à população bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora extra. Revista Exame. 21 abr. 2010.

b)

A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse período é a) f(x)  3x b) f(x)  24

c)

c) f  x   27 d) f(x)  3x  24 e) f(x)  24x  3 d)

e)

96]

[Matemática I] 28. (Enem 2ª aplicação) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Observe o gráfico a seguir, em que se considera a origem como o ano de 2007.

hora. A distância que a mãe percorreu até encontrar João e o tempo que ela levou para encontrá-lo foram de: a) 10 km e 30 min b) 15 km e 15 min c) 20 km e 15 min d) 20 km e 30 min e) 20 km e 1 h 31. (Acafe) O soro antirrábico é indicado para a profilaxia da raiva humana após exposição ao vírus rábico. Ele é apresentado sob a forma líquida, em frasco ampola de 5mL equivalente a 1000UI (unidades internacionais). O gráfico abaixo indica a quantidade de soro (em mL) que um indivíduo deve tomar em função de sua massa (em kg) em um tratamento de imunização antirrábica.

De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos em 2011? a) 4,0 b) 6,5 c) 7,0 d) 8,0 e) 10,0

Analise as afirmações a seguir: l. A lei da função representada no gráfico é dada por q = 0,2 . m, onde q é a quantidade de soro e m é a massa.

II. O gráfico indica que as grandezas relacionadas são inversamente proporcionais, cuja constante de 1 proporcionalidade é igual a .

5 III. A dose do soro antirrábico é 40UI/Kg. lV. Sendo 3000UI de soro a dose máxima recomendada, então, um indivíduo de 80 kg só poderá receber a dose máxima.

V. Se um indivíduo necessita de 2880UI de soro, então, a massa desse indivíduo é de 72,2 kg.

29. (Enem 2ª aplicação) Certo município brasileiro cobra a conta de água de seus habitantes de acordo com o gráfico. O valor a ser pago depende do consumo mensal em m3 .

Todas as afirmações corretas estão em: a) I - III - IV b) I - III - IV - V c) II - III - IV - V d) I - II - V

Se um morador pagar uma conta de R$ 19,00, isso significa que ele consumiu a) 16 m3 de água. b) 17 m3 de água.

32. (Acafe) Uma pequena fábrica de tubos de plástico calcula a sua receita em milhares de reais, através da função R(x)  3,8x, onde x representa o número de tubos vendidos. Sabendo que o custo para a produção do mesmo número de tubos é 40% da receita mais R$ 570,00. Nessas condições, para evitar prejuízo, o número mínimo de tubos de plástico que devem ser produzidos e vendidos pertence ao intervalo: a) [240 ; 248]. b) [248 ; 260]. c) [252 ; 258]. d) [255 ; 260].

3

c) 18 m de água. d) 19 m3 de água. e) 20 m3 de água.

30. (Upf) João resolveu fazer um grande passeio de bicicleta. Saiu de casa e andou calmamente, a uma velocidade (constante) de 20 quilômetros por hora.

Meia hora depois de ele partir, a mãe percebeu que ele havia esquecido o lanche. Como sabia por qual estrada o filho tinha ido, pegou o carro e foi à procura dele a uma velocidade (constante) de 60 quilômetros por

[97]

[Matemática I] 33. (Ufsc) Seja f uma função polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1.

Determine a abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x. a) 4,0 m b) 1,5 m c) 3,0 m d) 1,0 m e) 3,5 m

37. (Ucs) Conforme divulgado pela ONU (Organização das Nações Unidas), a população mundial atingiu, em outubro último, 7 bilhões de pessoas.

Suponha que o modelo matemático que permita obter uma estimativa dessa população, no mês de outubro, daqui a t anos, seja a equação da reta do gráfico abaixo. Assinale a alternativa em que constam, respectivamente, essa equação e o ano em que, de acordo com ela, a população mundial atingiria 10 bilhões de seres humanos.

34. (Ufpr) O gráfico abaixo representa o consumo de bateria de um celular entre as 10 h e as 16 h de um determinado dia.

Supondo que o consumo manteve o mesmo padrão até a bateria se esgotar, a que horas o nível da bateria atingiu 10%? a) 18 h. b) 19 h. c) 20 h. d) 21 h. e) 22 h.

EQUAÇÃO

35. (Ucs) O custo total C, em reais, de produção de x kg de certo produto é dado pela expressão

a)

C(x)  900x  50.

b)

O gráfico abaixo é o da receita R, em reais, obtida pelo fabricante, com a venda de x kg desse produto.

c) d) e)

1 t7 8 1 p  t8 7 1 p t7 13 1 p t7 13 1 p  t7 8 p

ANO 2050 2039 2050 2100 2013

38. (Unioeste) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o cliente,

Qual porcentagem da receita obtida com a venda de 1 kg do produto é lucro? a) 5% b) 10% c) 12,5% d) 25% e) 50% 36. (Ucs) O salário mensal de um vendedor é de R$ 750,00 fixos mais 2,5% sobre o valor total, em reais, das vendas que ele efetuar durante o mês.

Em um mês em que suas vendas totalizarem x reais, o salário do vendedor será dado pela expressão a) 750  2,5x.

a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B. d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam cobrados. e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam cobrados.

b) 750  0,25x. c) 750,25x.

d) 750   0,25x . e) 750  0,025x.

98]

[Matemática I]

UNIDADE 3: FUNÇÃO DE 2º GRAU

39. (Ucs) O custo total, por mês, de um serviço de fotocópia, com cópias do tipo A4, consiste de um custo fixo acrescido de um custo variável. O custo variável depende, de forma diretamente proporcional, da quantidade de páginas reproduzidas. Em um mês em que esse serviço fez 50.000 cópias do tipo A4, seu custo total com essas cópias foi de 21.000 reais, enquanto em um mês em que fez 20.000 cópias o custo total foi de 19.200 reais.

Qual é o custo, em reais, que esse serviço tem por página do tipo A4 que reproduz, supondo que ele seja o mesmo nos dois meses mencionados? a) 0,06 b) 0,10 c) 0,05 d) 0,08 e) 0,12

01. (Fac. Albert Einstein - Medicin) A função f tem lei de formação f(x)  3  x e a função g tem lei de formação g(x)  3x 2 .

Um esboço do gráfico da função f(g(x)) é dado por

40. (Uel) Um consumidor adquiriu um aparelho de telefonia celular que possibilita utilizar os serviços das operadoras de telefonia M e N. A operadora M cobra um valor fixo de R$ 0,06 quando iniciada a ligação e mais R$ 0,115 por minuto da mesma ligação. De modo análogo, a operadora N cobra um valor fixo de R$ 0,08 e mais R$ 0,11 por minuto na ligação.

Considere as afirmativas a seguir: I. O custo de uma ligação de exatos 4 minutos é o mesmo, qualquer que seja a operadora.

II. O custo da ligação pela operadora M será menor do que o custo da ligação pela operadora N, independentemente do tempo de duração da ligação.

III. Uma ligação de 24 minutos efetuada pela operadora M custará R$ 0,10 a mais do que efetuada pela operadora N. IV. O custo da ligação pela operadora N será menor do que o custo da ligação pela operadora M, independentemente do tempo de duração da ligação.

03. C

04. B

05. A

06. B

07. C

8. C

9. B

10. E

11. C

12. E

13. A

14. C

15. A

16. E

17. A

18. C

19. E

20. C

21. C

22. E

23. B

24. A

25. A

26. C

27. D

28. E

29. B

30. B

31. A

32. B

33. 5

34. B

35. A

36. E

37. C

38. B

39. A

40. B

c)

d)

Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?

25 75 25 16 31 a) b) c) d) e) 4 2 3 3 5

GABARITO UNIDADE 2 02. E

b)

02. (Enem) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.

Assinale a alternativa que contém todas as afirmativas corretas. a) I e II. b) I e III. c) III e IV. d) I, II e IV. e) II, III e IV.

01. D

a)

[99]

[Matemática I] 03. (Enem) Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.

05. (Enem) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão

T(h)  h2  22h  85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta.

Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?

Intervalos de temperatura (C)

Classificação

T0 0  T  17 17  T  30 30  T  43 T  43

Muito baixa Baixa Média Alta Muito alta

Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como a) muito baixa. b) baixa. c) média. d) alta. e) muito alta.

a) 1 e 49 b) 1 e 99 c) 10 e 10 d) 25 e 25 e) 50 e 50

04. (Enem) Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:

06. (Enem) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y  f(x), da seguinte maneira: - A nota zero permanece zero.

- A nota 10 permanece 10.

- A nota 5 passa a ser 6.

y  9  x 2 , sendo x e y medidos em metros.

A expressão da função y  f(x) a ser utilizada pelo professor é

Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual 2 a da área do retângulo cujas dimensões são, 3 respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.

1 2 7 x  x.

25 5 1 y   x2  2x.

10 1 2 7 y x  x.

24 12 4 y  x  2.

5 y  x.

a) y   b)

Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado? a) 18 b) 20 c) 36 d) 45 e) 54

c) d) e)

100]

[Matemática I] 07. (Enem) Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato foi inspirado em uma ampulheta.

Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos de cone iguais e a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura.

08. (Enem) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para dentro dela, com vazão constante.

O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é a) b)

c)

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei 3 2 f(x)  x  6x  C, onde C é a medida da altura do 2 líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.

Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6.

d)

09. (Enem) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo

e)

t2  400, com t em minutos.

4 Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°. com a expressão T(t)  

Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0 e) 39,0

[101]

[Matemática I] 10. (Enem) Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula.

O consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente proporcional à potência do aparelho.

Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele?

a)

b)

c)

d)

a) 100. b) 108. c) 128. d) 130. e) 150.

12. (Enem) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.

Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é 2 a) V = 10.000 + 50x – x .

2 b) V = 10.000 + 50x + x .

2 c) V = 15.000 – 50x – x .

2 d) V = 15.000 + 50x – x .

2 e) V = 15.000 – 50x + x .

13. (Enem 2ª aplicação) Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende construir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura.

e) 11. (Enem) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.

Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função

A área para o público será cercada com dois tipos de materiais:

7 t  20, para 0  t  100  5 T t    2 t 2  16 t  320, para t  100  5 125

- nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é R $ 20,00; - nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro linear custa R $ 5,00.

em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.

Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 C e retirada quando a temperatura for 200 C. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a

A empresa dispõe de R $ 5.000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de tal maneira que obtenha a maior área possível para o público. A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é

102]

[Matemática I] 18. (Ufrgs) Considere as funções f e g tais que 2 f(x) = 4x – 2x –1 e g(x) = 3 – 2x. A soma dos valores de f(x) que satisfazem a igualdade f(x) = g(x) é a) –4. b) –2. c) 0. d) 3. e) 4.

a) 50,0 m da tela tipo A e 800,0 m da tela tipo B. b) 62,5 m da tela tipo A e 250,0 m da tela tipo B. c) 100,0 m da tela tipo A e 600,0 m da tela tipo B. d) 125,0 m da tela tipo A e 500,0 m da tela tipo B. e) 200,0 m da tela tipo A e 200,0 m da tela tipo B. 14. (Enem 2ª aplicação) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é

19. (Ufrgs) O gráfico do polinômio de coeficientes reais p(x)  ax2  bx  c está representado a seguir.

dado pela função f(t)  2t 2  120t (em que t é expresso em dia e t  0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.

A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1.600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.

A segunda dedetização começou no a) 19º dia. b) 20º dia. c) 29º dia. d) 30º dia. e) 60º dia.

15. (Ufrgs) Considere o polinômio p definido por

Com base nos dados desse gráfico, é correto afirmar que os coeficientes a, b e c satisfazem as desigualdades a) a  0; b  0; c  0 . b) a  0; b  0; c  0 c) a  0; b  0; c  0 d) a  0; b  0; c  0 e) a  0; b  0; c  0 20. (Ufrgs) Sabendo-se que um polinômio p(x) de grau 2 satisfaz p(1) = -1, p(2) = - 2 e p(3) = -1, é correto afirmar que a soma de suas raízes é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

p(x)  x2  2(n 2) x  9n. Se as raízes de p(x)  0 são iguais, os valores de n são a) 1 e 4. b) 2 e 3. c) 1 e 4. d) 2 e 4. e) 1 e 4.

16. (Ufrgs) Considere os gráficos das funções f, g e

h,

definidas

por

f(x)=2,

g(x)=x 2  5x  6

e

21. (Ufrgs) Em março de 2007, o menor preço oferecido por uma companhia telefônica para uma ligação do Brasil para os Estados Unidos era de R$ 0,95 o minuto. O mesmo serviço pela internet custava R$ 0,05 o minuto e mais R$ 0,10 da taxa de conexão da chamada. Em ambas as situações, o preço por segundo

2

h(x)  x  11x  30, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas.

O número de pontos distintos em que o gráfico de f intercepta os gráficos de g e h é a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

17. (Ufrgs)

Dada a função

f,

correspondia a

Nessas condições, para que uma ligação telefônica, do Brasil para os Estados Unidos, tivesse um custo menor via companhia telefônica do que via internet, a duração dessa ligação deveria ser, em número inteiro de segundos, no máximo, de a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.

definida por

f  x   x2  9  6x, o número de valores de x que satisfazem a igualdade f  x   f  x  é a) 0. c) 2. e) 4.

1 do preço por minuto.

60

b) 1. d) 3.

[103]

[Matemática I] 22. (Upf) Na figura, está representada, no referencial xy, parte do gráfico da função f definida por

a) 100 e 100. b) 50 e 200. c) 125 e 50. d) 75 e 150.

f(x)  x2  20x  98.

O ponto C tem ordenada 7 e o ponto A tem abscissa 8. Desprezando a curvatura da parábola e, assim, considerando o lado BC do trapézio retângulo ABCD como um segmento reto, a área desse trapézio é:

25. (Acafe) Considere o retângulo da figura abaixo, com um lado contido na reta s : x  2  0, o outro no eixo das abscissas e um vértice P na reta r que passa pelos pontos A (10, 0) e B (2, 8).

a) 48 unidades de área. b) 40 unidades de área. c) 37,5 unidades de área. d) 35,7 unidades de área. e) 35 unidades de área.

O valor da área máxima do retângulo hachurado, em unidades de área, equivale a:

23. (Upf) A figura a seguir representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os gráficos das

a) quarta parte da área do triângulo ABC. b) área de um retângulo cujo perímetro 20 u.c. c) área de um quadrado de lado 4 u.c .

funções reais f e g, com f(x)  x 2 e g(x)  x.

d) área de um quadrado de lado 6 u.c .

26. (Acafe) A figura abaixo representa um portal de entrada de uma cidade cuja forma e um arco de parábola. A largura da base (AB) do portal e 8 metros e sua altura é de 10 metros. A largura MN, em metros, de um vitral colocado a 6,4 metros acima da base é:

Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 160, o número real c é: a) 2 b) 1,5 c) 2 d) 1 e) 0,5 24. (Acafe) Utilizando-se exatamente 1.200 metros de arame, deseja-se cercar um terreno retangular de modo que a parte do fundo não seja cercada, pois ele faz divisa com um rio, e que a cerca tenha 4 fios paralelos de arame.

Nessas condições, para cercar a maior área possível do terreno com o arame disponível, os valores de x e y (em metros), respectivamente, são:

a) 5,2. b) 3,6. c) 6,0. d) 4,8.

104]

[Matemática I] 27. (Acafe) O vazamento ocorrido em função de uma rachadura na estrutura da barragem de Campos Novos precisa ser estancado. Para consertá-la, os técnicos verificaram que o lago da barragem precisa ser esvaziado e estimaram que, quando da constatação da rachadura, a capacidade C de água no lago, em milhões de metros cúbicos, poderia ser calculada por

graficamente, com algum prejuízo, em um sistema cartesiano, através de uma função polinomial de grau 2 da forma y  ax2  bx  c, com a base da montanha no eixo das abscissas.

C(t)  2t 2  12t  110, onde t é o tempo em horas.

Com base no texto, analise as afirmações: l. A quantidade de água restante no lago, 4 horas depois de iniciado o vazamento, é de 30 milhões de metros cúbicos.

II. A capacidade desse lago, sabendo que estava completamente cheio no momento em que começou o vazamento, é de 110 milhões de metros cúbicos.

III. Os técnicos só poderão iniciar o conserto da rachadura quando o lago estiver vazio, isto é, 5 horas depois do início do vazamento.

IV. Depois de 3 horas de vazamento, o lago está com 50% de sua capacidade inicial.

Para que fique mais adequada essa representação, devemos ter a) a  0 e b2  4ac  0 b) a  0 e b2  4ac  0 c) a  0 e b2  4ac  0 d) a  0 e b2  4ac  0 e) a  0 e b2  4ac  0 30. (Unisinos) Os alunos de uma escola irão fretar um ônibus com 50 lugares para um passeio ao jardim zoológico. Cada aluno deverá pagar R$ 40,00, mais R$ 2,00 para cada lugar vago. Para que quantidade de passageiros a empresa terá receita máxima? a) 35. b) 37. c) 39. d) 43. e) 45.

Todas as afirmações corretas estão em: a) I - II - III b) I - III - IV c) III - IV d) I - II - III - IV 28. (Ufsc) Um projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 300 m/s (suponhamos que não haja nenhuma outra força, além da gravidade, agindo sobre ele). A distância d (em metros) do ponto de partida, sua velocidade v (em m/s) no instante t (em segundos contados a partir do lançamento) e 2 aceleração a (em m/s ) são dadas pelas fórmulas: 2 d = 300t - (1/2).10 t , v = 300 - 10t, a = -10

31. (Imed) Em um determinado mês, o lucro de uma indústria de cosméticos é expresso por

L(x)   x2  10x  11, em que x representa a quantidade de cosméticos vendidos e L(x), o valor do lucro em reais. Nessas condições, o lucro máximo, em reais, atingido por essa indústria corresponde a: a) 24. b) 36. c) 48. d) 56. e) 64.

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) O projétil atinge o ponto culminante no instante t = 30s.

02) A velocidade do projétil no ponto culminante é nula.

04) A aceleração do projétil em qualquer ponto da sua 2 trajetória é a = -10m/s .

08) O projétil repassa o ponto de partida com velocidade v = 300m/s.

16) A distância do ponto culminante, medida a partir do ponto de lançamento, é de 4 500m.

32) O projétil repassa o ponto de lançamento no instante t = 60s.

32.

(Ucs) Dada a função f definida por 1 2 f(x)   x  4x  40, analise as proposições a 2 seguir, quanto à sua veracidade (V) ou falsidade (F). ( ) A função é decrescente em todo o seu domínio. ( ) A função tem um máximo que ocorre em x  4 e é igual a 48. ( ) A função não tem zeros reais.

Assinale a alternativa que preenche correta e respectivamente os parênteses, de cima para baixo. a) V – V – F b) V – F – V c) F – V – V d) V – F – F e) F – V – F

29. (Pucrs) O morro onde estão situadas as emissoras de TV em Porto Alegre pode ser representado

[105]

[Matemática I] 33. (Unisc) Sejam as funções definidas por y   x  5

36. (Ulbra) Preocupados com o lucro da empresa VXY, os gestores contrataram um matemático para modelar o custo de produção de um dos seus produtos. O modelo criado pelo matemático segue a seguinte lei: C 2 = 15000 – 250n + n , onde C representa o custo, em reais, para se produzirem n unidades do determinado produto. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo?

2

e y  x  3x  6.

A respeito da representação gráfica destas funções no sistema cartesiano podemos afirmar que a) se interceptam em um único ponto localizado no 1º quadrante. b) se interceptam em um único ponto localizado no 4º quadrante. c) se interceptam em dois pontos localizados no 1º e 4º quadrantes. d) se interceptam em dois pontos localizados no 1º e 2º quadrantes. e) Não se interceptam.

a) – 625. b) 125. c) 1245. d) 625. e) 315.

34. (Ifsul) No lançamento de uma bola de basquete, a trajetória é parabólica. Considere o arremesso de um lance livre, conforme figuras abaixo:

37. (Ucs) A relação entre a quantidade em oferta de determinado produto e o seu preço, quando este for x reais por unidade, é dada pela equação

q  x 2  3x – 70. Já a procura por esse produto (quantidade que os consumidores estão dispostos a comprar), quando o preço for x reais, é dada pela equação d  410 – x.

O equilíbrio no mercado ocorre quando q e d são iguais. Sendo x 0 o preço e y 0 a quantidade quando ocorre o equilíbrio, o valor de y 0  x 0 é a) 366. b) 370. c) 390. d) 410. e) 414.

Qual a função que descreve a trajetória da bola? a) y 

x2 7x  2 11,04 11,04

38. (Unisc) O gráfico da parábola cuja função

b) y 

 x2 4x  2 10,02 10,02

quilômetros horários, de um automóvel num intervalo ( x) de 0 até 5 segundos.

c) y 

x2 2x  6,25 6,25

Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.

d) y 

x2 4x  2 3 3

f  x   40x  10x2  50

mostra a velocidade, em

I. A maior velocidade que o automóvel atingiu supera a velocidade inicial em 40 km h.

II. A maior velocidade ocorreu quando o cronometro indicava x  2,5 segundos.

III. O automóvel estava parado quando o cronômetro indicava x  5 segundos.

35. (Ucs) O lucro obtido por um distribuidor com a venda de caixas de determinada mercadoria é dado 0,01 2  6 x   0,6x, em que pela expressão L(x)   x  5 5  x denota o número de caixas vendidas.

a) Todas as afirmativas estão corretas. b) Somente as afirmativas II e III estão corretas. c) Somente as afirmativas I e III estão corretas. d) Somente as afirmativas I e II estão corretas. e) Apenas uma das afirmativas está correta.

Quantas caixas o distribuidor deverá vender para que o lucro seja máximo? a) 60 b) 120 c) 150 d) 600 e) 1500

106]

[Matemática I]

UNIDADE 4: INEQUAÇÕES

39. (Ucs) Uma dose de um medicamento foi administrada a um paciente por via intravenosa.

Enquanto a dose estava sendo administrada, a quantidade do medicamento na corrente sanguínea crescia.

Imediatamente após cessar essa administração, a quantidade do medicamento começou a decrescer.

Um modelo matemático simplificado para avaliar a quantidade q, em mg, do medicamento, na corrente sanguínea, t horas após iniciada a administração, é

01. (Ufsc) Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que: 01) Com 45 metros quadrados de lajotas é possível fazer, sem perdas, uma moldura de 1,5 m de largura em volta de uma piscina cujas dimensões são 8 m de comprimento por 4 m de largura.

q  t   t 2  7t  60.

02) O conjunto solução da inequação

Considerando esse modelo, a quantidade, em mg, do medicamento que havia na corrente sanguínea, ao ser iniciada a administração da dose e o tempo que durou a administração dessa dose, em horas, foram, respectivamente, a) 5 e 12. b) 0 e 12. c) 0 e 3,5. d) 60 e 12. e) 60 e 3,5.

conjunto  é S  {x 

2x  1  1 no 4x  1

| x  1}.

04) Considere a operação a  b  a  b  2ab definida para a e b reais, então o conjunto solução da , é equação (1  3)  x  220, no conjunto S  {22}.

08) Devido à crise econômica, o dono de um restaurante observou que, com o preço do “prato feito” a R $ 21,00, ele servia 600 refeições por dia e que, para cada real de redução no preço, ele servia 100 refeições a mais. Com base nesses dados, é correto afirmar que o preço do “prato feito” deve ser de R $ 13,50 para que a receita do restaurante seja máxima.

40. (Ufsc) Sejam f e g funções de IR em IR definidas 2 por: f(x) = -x + 3 e g(x) = x - 1.Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01) f é uma função crescente.

02) A reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0,3).

04) -1 e +1 são os zeros da função g.

08) Im(g) = {y ∈ IR/y ≥ -1}.

-1 16) A função inversa da f é definida por f (x) = -x + 3.

32) O valor de g(f(1)) é 3.

16) Sendo f(x)  6 x  1 e (f g)(x)  30 x  29, então g( 1)  0.

02. (Udesc) Se f(x)  x  2 e g(x)  x  1 são funções reais, então o conjunto solução da inequação f(x)  g(x)  3g(x)  6  f 1(x) é: (f g)(x)

3   a) S   x  | x  ou x  1 5   3   b) S   x  | x  ou x  1 5   3   c) S   x  |  x  1 5   3  d) S   x  | x   5  e) S  {x  | x  1}

GABARITO UNIDADE 3 01. A

02. D

03. D

04. C

05. D

06. A

07. D

8. E

9. D

10. D

11. D

12. D

13. D

14. B

15. A

16. C

17. B

18. C

19. A

20. E

21. A

22. C

23. C

24. D

25. C

26. D

27. A

28. 55

29. D

30. A

31. B

32. E

33. A

34. A

35. C

36. B

37. B

38. C

39. E

40. 62

[107]

[Matemática I] 08. (U. Caxias do Sul-RS) Considere a função f: |  |R, 2 definida por f(x) = x - 3x + 2.

O conjunto A, no qual a função f é crescente e f(x)  0, qualquer que seja x  A, é:  3 a) 1;   2

03. (Ufrgs) Dadas as funções f e g, definidas por 2

f(x)  x  1 e g(x)  x, o intervalo tal que f(x)  g(x) é  1  5 1  5  a)  , .  2 2     1  5   1  5 b)   ,  ,   .    2   2  

3  b)  ; 2 

  1 5   1 5 c)   , ,   .      2   2  

c) [2; +] d) ]-; 1]  [2; +[

 1 5 1 5  d)  , .  2 2   e) (  ,   ).

3  e)   ;   [2; +[ 2 

04. (Fazu-MG) O domínio de f(x) =

1 x2 1

09. (PUC-SP) Quantos números inteiros e estritamente 1 1 positivos satisfazem a sentença ?  x  20 12  x a) 16 b) 15 . c) 14 d) 13 e) Menos que 13

é o

conjunto: a) 0 b) |R c) [-1; l[ d) [-1; 1] e) [-1; [ 05.

(U. f ( x)

10. (Fazu-MG) Determine o valor de x, de modo que:

Potiguar-RN) O 2x x  1 é igual a: 4 x



domínio

da

x 2 1 0 x2

função

x3

a) {x  |R / x  o} b) {x  |R / x  o} c) {x  |R / x < -1} d) {x  |R / x  o}

a) x > 3 b) x < -1 ou < x < 2 c) -1 < x < 2 d) -1 < x < 2 e) x < 1

06. (U. F. Itajubá-MG) A soma S de todos os valores inteiros de x que pertencem ao domínio da função 5 f: |R  |R, definida por , é igual a:

11. (Unifor-CE) O menor número inteiro que satisfaz a .

2 inequação (2x – 2) (3x – 1) > (1 – 3x) é:

24  2 x  x 2

a) 15 c) 9

b) 11 d) 6

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

07. (UFRGS - 2004) O domínio da função real de variável real definida por f(x) =

1  x 3  x  é

o intervalo a) (   , -3]. b) [-3, -1). c) (-3, 0). d) [-3, 1]. e) [1, +   ).

12. (PUC/Campinas-SP) O número de soluções inteiras 2 .

2 da inequação (x + 2x + 7) (x – 7x + 6)  0 é: a) 6 b) 5 c) 4 d) 7 e) 3

108]

[Matemática I] 13. (UFRGS) Os gráficos seguintes representam, respectivamente, as funções y = f(x) e y = g(x). Essas funções se anulam somente nos pontos indicados nas figuras.

17. (PUC-SP) Quantos números inteiros e estritamente 1 1 positivos satisfazem a sentença ?  x  20 12  x a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) Menos que 13.

18. (Fazu-MG) Determine o valor de x, de modo que:

x 2 1 0 x2 a) x > 3 b) x < -1 ou < x < 2 c) -1 < x < 2 d) -1 < x < 2 e) x < 1

A solução da inequação f(x) g(x)  0 é a) (-, 0) d) (-, -3)  (2, + ) b) (0, + ) e) (-3, 0)  (0, 2) c) (-3, 2) 13. (FURG) Sendo f (x) =

2  3x e g (t) = x

19. (PUC/Campinas-SP) O número de soluções inteiras 2 .

2 da inequação (x + 2x + 7) (x – 7x + 6)  0 é: a) 6 b) 5 c) 4 d) 7 e) 3

f (t )  t ,

então o domínio de g( t ) é: a) { t   | 0 < t ≤ 1 ou t ≥ 2} b) { t   | t < 0 ou t ≥ 2 } c) { t   | t ≠ 0 } d) { t   | 0 < t ≥ 2 } e) { t   | 1 ≥ t ≥ 2 ou t ≠ 0 }

20. (U. F. Lavras-MG) Seja R(x) a razão entre as 2 2 expressões P(x) = 2x + 4x – 30 e Q(x) = -3x – 3x + 36. Para quais valores de x, R(x) é negativa? a) (-5; -4) d) (-4; -3)  (3; ) b) (-; -5)  (-4; ) e) (-; -5)  (3; ) c) (-5; -4)  (-4, 3)

15. (FURG) Dadas as funções reais definidas por f(x) = x 2 – 2 e g(x) = –x + x – 12, podemos dizer que o domínio da função h(x) =

f (X ) é g ( x)

a) {x  R/ x ≤ 2} b) {x  R/ x < 2} c) {x  R/ –2≤ x < 2} d) {x  R/ x > 2} e) {x  R/ x ≥ 2} 16. (Mackenzie-SP) O conjunto solução da equação

GABARITO UNIDADE 4

x  4 x  4  x  2 é: a) [2; [ d) [0; [ b) [0; 1} e) |R c) [1; 2} 2

[109]

01. 25

02. B

03. E

04. B

05. D

06. C

07. D

08. C

09. B

10. C

11. C

12. A

13. D

14. A

15. A

16. A

17. B

18. C

19. A

20. E

[Matemática I]

UNIDADE 5: MÓDULO

02. (Ufsc) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01) O domínio da função f dada por f(x) 

01. (Ufrgs) Considere a função y  f(x) representada no sistema de coordenadas cartesianas abaixo.

x 1 é x3

{x  ; x  1}.

02) O único valor inteiro que pertence à solução da

inequação x2  4x  3  0 é 2.

04) O conjunto solução da equação modular | 3  2x || x  2 | é S  {1}.

 x, se x  0  08) A função R(x)   x 2 , se 0  x  1 é crescente em 1, se x  1  todo o seu domínio.

16) Se uma função f :  é simultaneamente par e ímpar, então f(1)  0.

32) Os gráficos das funções f :  e g :  , dadas respectivamente por f(x)  x 2 e g(x)  2x , para todo x real, se intersectam em exatamente um único ponto.

O gráfico que pode representar a função y  | f(x  2) | 1 é 64)

x 2  x para todo x real.

03. (Ufrgs) A interseção dos gráficos das funções f e g, definidas por f  x   x e g  x   1  x , os quais são desenhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono.

a)

b)

c)

d)

A área desse polígono é a) 0,125. b) 0,25. c) 0,5. d) 1. e) 2.

e)

110]

[Matemática I] 05. (Uesc) O número de raízes da equação P  x   1 ,

04. (Ufrgs) Se

no intervalo  5,2,7 , é igual a a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 06. (Udesc) A alternativa que representa o gráfico da função f(x) = | x  1| + 2 é:

é o gráfico da função f definida por y  f  x  , então, das alternativas abaixo, a que pode representar o gráfico da função z, definida por z  f  x  , é

a) a)

b)

b) c)

d)

c)

e)

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

Para fazer um estudo sobre certo polinômio P  x  , um

d)

estudante recorreu ao gráfico da função polinomial

y  P  x  , gerado por um software matemático.

Na figura, é possível visualizar a parte da curva obtida para valores de x , de 5 até 2,7 .

e)

07. (Ufrgs) Para -1 < x < 1/2, o gráfico da função y = │ x + 1 │ + │ 2x - 1 │ coincide com o gráfico da função y = ax + b. Os valores de a e b são, respectivamente, a) -1 e -1 b) 2 e -1 c) -1 e 2 d) 1/2 e -1 e) -1/2 e 1

[111]

[Matemática I] 08. (Udesc) A soma das raízes distintas da equação

16. (FURG) O produto de todas as raízes da equação 2 |x - 8|- 4 = 0 é a) 4 b) – 4 c) – 8 d) d) – 48 e) e) 48

x2  5x  6  x  3 é:

a) 10 b) 7 c) 0 d) 3 e) 4 09 (UFRGS) Para -1  x  1/2, o gráfico da função y = |x + 1| + |2x - 1| coincide com o gráfico da função y = ax + b. Os valores de a e b são, respectivamente, a) -1 e –1 d) 1/2 e -1 b) 2 e –1 e) -1/2 e 1 c) -1 e 2

17) (PUC-RS) O gráfico que representa a função f: |R  |R, definida por f(x) = |x| - 1 é:

10. (Fazu-MG) O produto das raízes da equação |x – 2| = 8 é: a) 60 d) 6 b) -60 e) 0 c) -6 11. (PUC-MG) A soma das raízes da equação |2x – 1| = 3 é igual a: a) -2 d) 1 b) -1 e) 2 c) 0 12. (UFCE) A soma dos valores reais de x que 3 x 1  1 é: satisfazem a igualdade x 1 5 2 3 b)  2 c) -5

a) 

d) -3 e) n.d.a.

13. (Cesgranrio) O número de raízes reais da equação |2x – 1| = |1- x| é: a) 0 d) 4 b) 2 e) 6 c) 3 14. (Mackenzie-SP) O conjunto solução de 1 < |x – 3| < 4 é: a) 4 < x < 7 ou –l < x < 2 b) -1 < x < 7 ou -3 < x < -1 c) -1 < x < 7 ou 2 < x < 4 d) 0 < x < 4 ou 2 < x < 7 e) -1 < x < 4 ou 2 < x < 7

18. (Mackenzie-SP) Seja f uma função de |R em |R definida por f(x) = 2|x – 3| + x – 1. O conjunto imagem dessa função é: a) {y  |R / y  2} b) {y  |R / y  2} c) {y  |R / y  3} d) |R e) {y  |R / y  3}

15. (Ibmec-RJ) A soma dos números naturais que não pertencem ao conjunto solução de 2 - |x – 1|  0 é igual a: a) 10 d) 3 b) 6 e) 1 c) 5

112]

[Matemática I] 20. (Fempar-PR) O conjunto imagem da função 22. (FURG) O conjunto de todos os números reais x que 2 satisfazem a inequação |x – 2| < 1 é:

f(x) = |x –l| - |x + 2 é: a) [-3; 3] b) [-3; +[ c) ]-; 3] d) |R+ e) |R

a) (-1,

3 ).

b) (- 3 , 3 ). c) (-1,1).

d) (- 3 ,0)  (0,

3 ).

e) (- 3 ,-1)  (1,

3 ).

23. O desenho a seguir representa o gráfico de y = f(x): 19. (Fasa-MG) O gráfico da equação y = |x| + 1 corresponde a:

Determine o gráfico de z = |f(x)|

21. (UFSE) Das figuras seguintes, a que melhor representa a função f, de |R em |R, definida por f(x) = |x| + I, é:

[113]

[Matemática I] 24. (Unisa-SP) Seja S, um subconjunto de IR, o conjunto solução da desigualdade |x – 1|  3.

Assinale, entre as alternativas a seguir, aquela que representa o conjunto S.

7  a)  ;3 4  7  b)   4 c) {3}

a) {-2  x  4} b) {-3  x  3} c) {0  x  4} d) {0  x  3} e) {-4  x  4}

7  d)  3;  4   7  e)  ;3  4 

25. (Unicap-PE, adaptada) O conjunto solução da inequação |2x – 3| < 2 , no conjunto das reais, é: 29. O gráfico que representa a função f(x) = |x – 2| é: 1 a) A = {x  |R / < x < 2} 2 1 5 b) B ={x  |R / <x< } 2 2 c) C ={x  |R / x > 3} 1 d) D = {x  |R / x < } 2 1 5 e) E ={x  |R / x < ou x > } 2 2

26. (Ibmec-RJ) A soma dos números naturais que não pertencem ao conjunto solução de 2 - |x – 1|  0 é igual a: a) 10 b) 6 c) 5 d) 3 e) 1 27. (FFFCMPA ) Se, f (x) = │2x -1│, x  R, então o conjunto dos valores de x para os quais f (x) < 1, é 2

a) (-1;1)- {0} b) (-1;1) c)

 2 2  -{0}    2 ; 2   

d) 

2 2   2 ; 2   

e) [0;1)

28. O conjunto solução da equação |3x – 4| = 5x - 10 corresponde a:

114]

[Matemática I]

UNIDADE 6: EXPONENCIAL

30. (FURG ) O gráfico que melhor representa a função f: R – {3} → R definida por

2 x 3 x 3

é

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

1. (Enem) Suponha que o modelo exponencial y = 363 0,03x e , em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 0,3 2010 e 2050. Desse modo, considerando e = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões. c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões. e) 870 e 910 milhões.

GABARITO UNIDADE 5 01. B

02. 18

03. C

04. D

05. D

06. A

07. C

08. E

09. C

10. B

11. D

12. A

13. B

14. A

15. D

16. E

17. D

18. A

19. A

20. A

21. A

22. E

23. A

24. A

25. B

26. D

27. A

28. C

29. A

30. E

[115]

[Matemática I] 2. (Enem) A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia-vida, tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo é igual a 50% da quantidade no início desse intervalo.

4. (Enem 2ª aplicação) Admita que um tipo de eucalipto tenha expectativa de crescimento exponencial, nos primeiros anos após seu plantio,

O gráfico anterior representa, de forma genérica, o que acontece com a quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo.

Admita ainda que y(0) fornece a altura da muda quando plantada, e deseja-se cortar os eucaliptos quando as mudas crescerem 7,5 m após o plantio.

O tempo entre a plantação e o corte, em ano, é igual a a) 3. b) 4. c) 6. d) log2 7.

modelado pela função y(t)  at 1, na qual y representa a altura da planta em metro, t é considerado em ano, e a é uma constante maior que 1. O gráfico representa a função y.

F. D. Fuchs e Cher l. Wannma. Farmacologia Clínica. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,1992, p. 40.

A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora.

Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12 h em um paciente, o percentual dessa dose que restará em seu organismo às 13 h 30min será aproximadamente de

e) log2 15.

5. (Enem PPL) A volemia (V) de um indivíduo é a quantidade total de sangue em seu sistema circulatório (coração, artérias, veias e capilares). Ela é útil quando se pretende estimar o número total (N) de hemácias de uma pessoa, a qual é obtida multiplicando-se a volemia (V) pela concentração (C) de hemácias no sangue, isto é, N  V  C. Num adulto normal essa concentração é de 5.200.000 hemácias por mL de sangue, conduzindo a grandes valores de N. Uma maneira adequada de informar essas grandes quantidades é utilizar a notação científica, que consiste

a) 10%. b) 15%. c) 25%. d) 35%. e) 50%.

3. (Enem 2ª aplicação) O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:

em expressar N na forma N  Q  10n, sendo 1  Q  10 e n um número inteiro.

Considere um adulto normal, com volemia de 5.000 mL.

p(t)  40  23t

http://perfline.com. Acesso em: 23 fev. 2013 (adaptado)

em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias.

Qual a quantidade total de hemácias desse adulto, em notação científica?

Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será

a) 2,6  1010 b) 2,6  109

a) reduzida a um terço. b) reduzida à metade. c) reduzida a dois terços. d) duplicada. e) triplicada.

c) 2,6  109 d) 2,6  1010 e) 2,6  1011

116]

[Matemática I] 6. (Enem PPL) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1.800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo

de

serviço

(t),

em

anos,

é

c)

s(t)  1.800  (1,03)t .

De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de tempo de serviço será, em reais, a) 7.416,00. b) 3.819,24. c) 3.709,62. d) 3.708,00. e) 1909,62.

d)

e) 10. (Ufrgs) A função f , definida por f(x)  4 x  2, intercepta o eixo das abscissas em a) 2.

7. (Enem PPL) Em um experimento, uma cultura de bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada hora, devido à ação de um agente bactericida.

Neste experimento, o número de bactérias em função do tempo pode ser modelado por uma função do tipo a) afim. b) seno. c) cosseno. d) logarítmica crescente. e) exponencial.

b) 1.

1 c)  .

2 d) 0.

e) 11.

1 .

2

(Ufrgs)

Considere 2x 1

após o início do estudo, é dado por N(t)  20  21,5 t.

Nessas condições, em quanto tempo a população de bactérias duplicou? a) 15 min. b) 20 min. c) 30 min. d) 40 min.

a)

b)

c)

d)

e) 45 min.

Considere a função f

definida por

x

f(x)  1  5  0,7 e representada em um sistema de coordenadas cartesianas.

Entre os gráficos abaixo, o que pode representar a função f é

a)

função

f

tal

que

5 f(x)  k    , com k > 0. 4 Assinale a alternativa correspondente ao gráfico que pode representar a função f.

8. (Ufrgs) No estudo de uma população de bactérias, identificou-se que o número N de bactérias, t horas

9. (Ufrgs)

a

b) e)

[117]

[Matemática I] 12. (Acafe - ADAPTADA) O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos naturais. Uma função exponencial pode ser enunciada pela lei

02) Zero é o menor número real cuja soma com o próprio quadrado é igual ao próprio cubo.

 x  1 se 0  x  2 a 5  x se 2  x  5

04) Para a função f(x)  

kt

N(t)  N0  a , onde N0 é o número inicial, N é o número no instante t, e k é a taxa de crescimento ou decrescimento do fenômeno em estudo.

Analise as proposições abaixo e classifique-as em V verdadeiras ou F - falsas. (

)

(

)

área da região limitada pelos eixos coordenados

 x  0 e y  0  e pelo gráfico de f, é 8,5 unidades

de área.

08) Se a receita mensal de uma loja de bonés é representada por R(x) = –200(x – 10)(x – 15) reais, na qual x é o preço de venda de cada boné (10  x  15), então a receita máxima será de R$ 2.500,00.

Para que a função N(t) represente um “decaimento” é necessário que k seja um número negativo.

A lei que representa o crescimento do número de pessoas infectadas pelo vírus da gripe em uma grande cidade é dada

15. (Imed)

(

)

Em relação à função real definida por

x

g(x)  2  1, é correto corresponde a: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

0,8t

por N(t)  600  2 , com t em horas.

Então, após 6h25min a cidade está com 19200 pessoas infectadas.

A população de certa região do país é dada pela função P(t)  P0  20,25t , onde t é o tempo em anos. Então, após 4 anos, a população dessa região está reduzida à metade da população inicial.

afirmar

que

g(g(0))

16. (Imed) Em um experimento no laboratório de pesquisa, observou-se que o número de bactérias de uma determinada cultura, sob certas condições, evolui conforme a função B(t)  10  3t 1, em que B(t) expressa a quantidade de bactérias e t representa o tempo em horas. Para atingir uma cultura de 810 bactérias, após o início do experimento, o tempo decorrido, em horas, corresponde a: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

A sequência correta, de cima para baixo, é: a) F - F - V b) V - V - V c) V - F - V d) V - F - F 13. (Ucs) Um modelo matemático para determinar o número de bactérias em determinado objeto é a função definida por N t   500  2t , em que t é o tempo, em horas, a partir da observação inicial.

Segundo esse modelo, o tempo, em horas, para que a quantidade de bactérias no objeto atinja 7.000, é dado por um número pertencente ao intervalo a) [99, 100]. b) [13, 14]. c) [6, 7]. d) [3, 4]. e) [1, 2].

17. (Udesc) Se x é solução da equação 3 x então x é igual a:

2 2 1 c) 2 e) 27 a)

14. (Ufsc) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).

01) Suponha que a decomposição de uma substância

b)

4x–1

1 4

d) 1

18. (Udesc) O Conjunto solução da inequação

0,2t siga a lei dada por Q  t   k  2 , em que k é





x 3

 3 2x  2   4x é:   a) S = { x  IR | 1  x  6}

uma constante positiva e Q(t) é a quantidade da substância (em gramas) no instante t (em minutos). O valor de t0, em minutos, considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico a seguir, é 15.

b) S = { x  IR | x   6 ou x  1} c) S = { x  IR | x   1 ou x  6} d) S = { x  IR | 6  x  1} e) S =

118]

 x  IR | x 

 6 ou x  6



x

+ 9 = 6,

[Matemática I] 19. (Pucrs) A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico modelado pela

sobreviventes, em função do tempo era N(t)  C  A t , com o tempo t dado em dias e A e C dependiam do tipo de radiação. Três dias após o início do experimento, havia 50 indivíduos.

Quantos indivíduos vivos existiam no quarto dia após o início do experimento? a) 40 b) 30 c) 25 d) 20 e) 10

fórmula q  10  2kt , onde q representa a quantidade de substância radioativa (em gramas) existente no instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a 3,3 horas, a quantidade existente q vale 5. Então, o valor da constante k é a)  35 5 b)  33 10 c)  5 33 e)  100 33

d)  10 33

23. (Ufpr) A análise de uma aplicação financeira ao longo do tempo mostrou que a expressão

20. (Pucrs) A função exponencial é usada para representar as frequências das notas musicais.

Dentre os gráficos a seguir, o que melhor representa a x função f ( x ) = e + 2 é:

a)

V(t)  1000  20,0625t fornece uma boa aproximação do valor V (em reais) em função do tempo t (em anos), desde o início da aplicação. Depois de quantos anos o valor inicialmente investido dobrará? a) 8. b) 12. c) 16. d) 24. e) 32.

24. (Ufpr) Uma pizza a 185°C foi retirada de um forno quente. Entretanto, somente quando a temperatura atingir 65°C será possível segurar um de seus pedaços com as mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T da pizza, em graus Celsius, possa ser descrita em função do tempo t, em minutos, pela

b)

expressão T  160  20,8t  25. Qual o tempo necessário para que se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos nuas, sem se queimar? c)

d) a) 0,25 minutos. b) 0,68 minutos. c) 2,5 minutos. d) 6,63 minutos. e) 10,0 minutos.

e)

25.

(Ifsul)

Considere

a

equação

exponencial

x 4

23  150. Sobre o valor de x, é verdade afirmar que a) x  [4, 6[

21. (Pucrs) O domínio da função definida por f(x) =

2x  1 é a) (-∞; 0) ⋃ (0; +∞) b) [0; +∞) c) (-∞; 0] d) (1; +∞) e) (-∞; -1)

b) x  [6, 8[ c) x  [8, 10[

01. E

02. D

03. D

04. B

05. D

22. (Ulbra) Em um experimento de laboratório, 400 indivíduos de uma espécie animal foram submetidos a testes de radiação, para verificar o tempo de sobrevivência da espécie. Verificou-se que o modelo matemático que determinava o número de indivíduos

06. E

07. E

08. D

09. A

10. C

11. A

12. A

13. D

14. 05

15. E

16. E

17. A

18. C

19. D

20. A

21. B

22. C

23. C

24. C

25. B

d) x  [10, 13[ GABARITO UNIDADE 6

[119]

[Matemática I]

UNIDADE 7: LOGARÍTMOS

3. (Enem) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t)  A (2,7)kt , onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.

Considere 0,3 como aproximação para log10 2.

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100

1. (Enem) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5.000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula P

5.000  1,013n  0,013

(1,013n  1) Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400;

2,525 como aproximação para log 335.

De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é a) 12. b) 14. c) 15. d) 16. e) 17.

4. (Enem) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como MW ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. MW e M0 se relacionam pela fórmula:

2. (Enem) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por 2  E  M  log  , 3  E0 

MW  10,7 

2 log10 (M0 ) 3

Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina.cm.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude MW  7,3 .

sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E 0 uma constante real positiva. Considere que E1 e E 2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.

U.S. GEOLOGICAL SURVEY, Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.

Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago.

2013 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina.cm)? a) 105,10 b) 100,73 c) 1012,00 d) 1021,65 e) 1027,00

Qual a relação entre E1 e E2 ? a) E1  E2  2 b) E1  102  E2 c) E1  103  E2 9

d) E1  10 7  E2 9 e) E1   E2 7

120]

[Matemática I] 5. (Ufrgs) log20

Se log5 x  2 e log10 y  4, então

9. (Ucs) Quando uma quantia de dinheiro igual a P reais é investida a uma taxa de juros de 12% ao ano, de modo que os juros sejam capitalizados continuamente, a fórmula para calcular o valor disponível após t anos, é

y é x

a) 2. b) 4. c) 6. d) 8. e) 10.

V  t   P  e0,12t .

Qual é o tempo aproximado, em anos, para que o dinheiro investido dobre de valor?

Dado: n 2  0,69. a) 24 b) 12,5 c) 12 d) 6 e) 4

6. (Ufrgs) Se 10x  20y , atribuindo 0,3 para log2, então o valor de

x é y

a) 0,3 b) 0,5 c) 0,7 d) 1 e) 1,3

10. (Ucs) A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que a quantidade remanescente da substância seja metade da quantidade desintegrada. A função que expressa a relação entre a quantidade presente Q e o tempo t é

7. (Acafe) Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sanguínea e, ao passar pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada. A quantidade de medicamentos, em miligramas, presente no organismo de um paciente é

Q  t   Q0ekt , em que k é a taxa segundo a qual a

calculada pela função Q(t)  30  2 10 , onde t é o tempo dado em horas.

O tempo necessário para que a quantidade de medicamento em um paciente se reduza a 40% da quantidade inicial, é:

substância se desintegra.

Qual é a meia-vida de uma substância que se desintegra a uma taxa de 4% ao ano? (Considere n2  0,7.) a) 175 anos b) 125 anos c) 17,5 anos d) 12,5 anos e) 12 anos

Dado: log 2  0,3 a) 13 horas e 33 minutos. b) 6 horas e 06 minutos. c) 13 horas e 20 minutos. d) 6 horas e 40 minutos.

11. (Upf) Considere as funções reais de variável real, definidas por:

1

t

f(x)  1  3 x 2 e g(x)  loga x 8. (Acafe) A figura abaixo representa o gráfico da função y  logb x, com b  1 e x  0.

Sabe-se que, na representação gráfica das funções, as curvas interceptam-se no ponto de abscissa 2. Dessa forma, o valor de a é: a)  2 1 b)  2 c) 1 1 d) 2 e) 2

Nessa representação, o polígono ABCDE possui área igual a:

3 2 .

2 b) logb 3. c) logb 3  logb 2. a) logb

d) 1,5logb 2.

[121]

[Matemática I] 12. (Upf) Se 24n1  3n1  16, então log3 n é igual a: a) 2 b) 1 1 c) 2 d) 1 e) 2

16. (Ifsul)

Tendo-se a e b como números reais 1  6 , então positivos, e sendo b  1 , se log2 a  logb 2 a∙b é igual a a) 12 b) 16 c) 32 d) 64

13. (Upf) Sendo loga x  2, logb x  3 e logc x  5, o valor de logabc x é: a) 30 b) 31 31 c) 30 30 d) 31 1 e) 3

17. (Uel) Considere A, B e C números reais positivos com A ≠ 1, B ≠1 e C ≠ 1. Se logA B = 2 e logC A = 3/5 conclui-se que o valor de logB C é: a) 1/2 b) 5/3 c) 1/6 d) 5/6 e) 6/5 18. (Uel) Quaisquer que sejam os números reais positivos a, b, c, d, x e y, a expressão log2(a/b) + log2(b/c) + log2(c/d) - log2(ay/dx) pode ser reduzida a: a) log2(y/x) b) log2(x/y) c) 1 d) 0 2 2 e) log2(a y/d x)

14. (Upf) Abaixo está representado o gráfico de uma x função f definida em * por f(x)  1  log3   . k

19. (Udesc) Sejam a, b e c valores que satisfazem simultaneamente as equações log2 (a  b  c)  0  log(a  2b)  1   2a  4b  2  8c  Analise as proposições em relação a a, b e c.

Tal como a figura sugere, 2 é um zero de f. O valor de k é: a) 2 2 b) 3 3 c) 2 d) 1 e) 1

I. Um dos valores é um número primo.

II. Todos os valores são números reais não negativos.

III. Dois dos valores são números naturais.

IV. Todos os valores são números racionais não inteiros.

Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras. d) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras. e) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.

15. (Upf) As populações de duas cidades, M e N, são dadas em milhares de habitantes pelas funções M(t)  log8 (1  t)6 N(t)  log2 (4t  4) Onde a variável t representa o tempo em anos. Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior do que a da outra. O valor mínimo desse instante t é: a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4

122]

[Matemática I] 22. (Udesc) Se log3 (x  y)  5 e log5 (x  y)  3, então log2 (3x  8y) é igual a: a) 9 b) 4  log2 5 c) 8 d) 2  log2 10 e) 10

20. (Udesc) No século XVII, os logaritmos foram desenvolvidos com o objetivo de facilitar alguns cálculos matemáticos. Com o uso dos logaritmos e com tabelas previamente elaboradas era possível, por exemplo, transformar multiplicações em somas e divisões em subtrações. Com o auxílio dos logaritmos era possível também realizar, de forma muito mais rápida, as operações de radiciação.

A tabela abaixo é um pequeno exemplo do que era uma tabela de logaritmos.

23. (Udesc) Sejam a e b números naturais para os quais log(a1) b  2a   2 e 1  loga b  1  a. Então

Tabela de logaritmos log 1,50

0,176

log3a  3b - a é igual a:

log 1,52

0,181

a) 

log 1,54

0,187

log 1,56

0,193

log 1,58

0,198

log 2

0,301

log 3

0,477

log 4

0,602

log 5

0,699

log 6

0,778

log 7

0,845

log 8

0,903

log 9

0,954

2 3

2 3 1 c) 2 1 d) 3 3 e) 2

b)

24. (Pucrs) Uma turma de uma escola central de Porto Alegre recebeu a seguinte questão em sua primeira prova no Ensino Médio: Um dos valores de x que soluciona a equação

log2 ( x2  32)  4 é igual ao número de centros culturais localizados nas proximidades do centro da cidade. Esse número é a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Com base nas informações da tabela acima, pode-se concluir que o valor aproximado para 8 35 é: a) 1,50 b) 1,56 c) 1,52 d) 1,54 e) 1,58 5 13 , log y  , 2 5 log(y  x)  1,913 e log(x  y)  2,854. Com base nestes dados, analise as proposições.

21. (Udesc)

Considere log x 

25. (Pucrs) A representação

51

I. xy  1010 II. log(y 2  x 2 )  0,2

x y III. log   2    0,608 x y Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somente a afirmativa I ‫ י‬verdadeira. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

é da função dada por y = f(x) = logn (x) O valor de logn 3 (n +8) é a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

[123]

[Matemática I] 26. (Pucrs) O conjunto solução da equação ℓn 3

1 + ℓn x

29. (Ufpr) Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lumens, a uma profundidade de x centímetros num determinado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte fórmula:

(2x ) = ℓn 3 é a)  3 , 3 2

2

 L  log    0,08x  15 

b)  3 , 3 2

c)

2

3 2

Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm?

d) {-1,1} e) {1}

a) 150 lumens. b) 15 lumens. c) 10 lumens. d) 1,5 lumens. e) 1 lúmen.

27. (Ufpr) Suponha que a quantidade Q de um determinado medicamento no organismo t horas após sua administração possa ser calculada pela fórmula: 2t

 1 Q  15     10  sendo Q medido em miligramas, a expressão que fornece o tempo t em função da quantidade de medicamento Q é:

30. (Ufpr) Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em determinar o valor x que satisfaz a x equação 10 = N e usar propriedades dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse número.

Dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47 use esse método para decidir qual dos números abaixo mais se aproxima 120 30 de N = 2 3 45 a) 10 50 b) 10 55 c) 10 60 d) 10 60 e) 10

15 Q log15 b) t  2logQ a) t  log

Q c) t  10 log    15  1 Q d) t  log 2 15 e) t  log

Q2 225

28. (Ufpr) Considere o gráfico da função f(x)  log2 x e a reta r que passa pelos pontos A e B, como indicado na figura abaixo, sendo k a abscissa do ponto em que a reta r intersecta o eixo Ox. Qual é o valor de k ?

GABARITO UNIDADE 7 01. D

02. C

03. E

04. E

05. A

a) 17 12. b) 14 11.

06. E

07. C

08. A

09. D

10. C

11. E

12. B

13. D

14. B

15. D

c) 12 7. d) 11 9.

16. D

17. D

18. B

19. A

20. B

21. A

22. E

23. E

24. B

25. B

e) 7 4.

26. C

27. A

28. A

29. D

30. B

124]

[Matemática I]

UNIDADE 8: ESTATÍSTICA

a) janeiro. b) fevereiro. c) agosto. d) novembro. e) dezembro.

1. (Enem) O gráfico apresenta a taxa de desemprego (em %) para o período de março de 2008 a abril de 2009, obtida com base nos dados observados nas regiões metropolitanas de Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo e Porto Alegre.

3. (Enem) Ao iniciar suas atividades, um ascensorista registra tanto o número de pessoas que entram quanto o número de pessoas que saem do elevador em cada um dos andares do edifício onde ele trabalha. O quadro apresenta os registros do ascensorista durante a primeira subida do térreo, de onde partem ele e mais três pessoas, ao quinto andar do edifício.

5º andar

4º andar

3º andar

2º andar

1º andar

Térreo

Número de pessoas

que entram 4 4 2 2 2 1 no elevador que saem 0 3 0 6 2 1 do elevador Com base no quadro, qual é a moda do número de pessoas no elevador durante a subida do térreo ao quinto andar? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

A mediana dessa taxa de desemprego, no período de março de 2008 a abril de 2009, foi de a) 8,1% b) 8,0% c) 7,9% d) 7,7% e) 7,6% 2. (Enem) O cultivo de uma flor rara só é viável se do mês do plantio para o mês subsequente o clima da região possuir as seguintes peculiaridades: - a variação do nível de chuvas (pluviosidade), nesses meses, não for superior a 50 mm; - a temperatura mínima, nesses meses, for superior a 15 C; - ocorrer, nesse período, um leve aumento não superior a 5 C na temperatura máxima.

Um floricultor, pretendendo investir no plantio dessa flor em sua região, fez uma consulta a um meteorologista que lhe apresentou o gráfico com as condições previstas para os 12 meses seguintes nessa região.

4. (Enem) O procedimento de perda rápida de “peso” é comum entre os atletas dos esportes de combate.

Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens” antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro.

Atleta

1ª pesagem (kg)

2ª pesagem (kg)

3ª pesagem (kg)

Média

Mediana

Desviopadrão

I II III IV

78 83 75 80

72 65 70 77

66 65 65 62

72 71 70 73

72 65 70 77

4,90 8,49 4,08 7,87

Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se enfrentariam na primeira luta.

A primeira luta foi entre os atletas a) I e III. b) l e IV. c) II e III. d) II e IV. e) III e IV.

Com base nas informações do gráfico, o floricultor verificou que poderia plantar essa flor rara.

O mês escolhido para o plantio foi

[125]

[Matemática I] 5. (Enem) O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um dos plásticos mais reciclados em todo o mundo devido à sua extensa gama de aplicações, entre elas, fibras têxteis, tapetes, embalagens, filmes e cordas. Os gráficos mostram o destino do PET reciclado no Brasil, sendo que, no ano de 2010, o total de PET reciclado foi de 282 kton (quilotoneladas).

respectivamente, via a) Correios e SMS. b) internet e Correios. c) internet e internet. d) internet e mídias sociais. e) rádio/TV e rádio/TV. 7. (Enem) Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de natação, numa olimpíada, os atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os seguintes tempos: Raia

1

2

3

4

5

6

7

8

Tempo (segundo)

20,90

20,90

20,50

20,80

20,60

20,60

20,90

20,96

A mediana dos tempos apresentados no quadro é a) 20,70 b) 20,77 c) 20,80 d) 20,85 e) 20,90

De acordo com os gráficos, a quantidade de embalagens PET recicladas destinadas a produção de tecidos e malhas, em kton, é mais aproximada de a) 16,0. b) 22,9. c) 32,0. d) 84,6. e) 106,6.

8. (Enem) Um cientista trabalha com as espécies l e II de bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie l e 1.250 bactérias da espécie II. O gráfico representa as quantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana.

6. (Enem) Uma pesquisa de mercado foi realizada entre os consumidores das classes sociais A, B, C e D que costumam participar de promoções tipo sorteio ou concurso. Os dados comparativos, expressos no gráfico, revelam a participação desses consumidores em cinco categorias: via Correios (juntando embalagens ou recortando códigos de barra), via internet (cadastrando-se no site da empresa/marca promotora), via mídias sociais (redes sociais), via SMS (mensagem por celular) ou via rádio/TV.

Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima? a) Terça-feira. b) Quarta-feira. c) Quinta-feira. d) Sexta-feira. e) Domingo.

Uma empresa vai lançar uma promoção utilizando apenas uma categoria nas classes A e B (A B) e uma categoria nas classes C e D (C D).

De acordo com o resultado da pesquisa, para atingir o maior número de consumidores das classes A B e C D, a empresa deve realizar a promoção,

126]

[Matemática I] 9. (Enem) A taxa de fecundidade é um indicador que expressa a condição, reprodutiva média das mulheres de uma região, e é importante para uma análise da dinâmica demográfica dessa região. A tabela apresenta os dados obtidos pelos Censos de 2000 e 2010, feitos pelo IBGE, com relação à taxa de fecundidade no Brasil.

Ano Taxa de fecundidade no Brasil 2000 2,38 2010 1,90 Disponível em: www.saladeimprensa.ibge.gov.br. Acesso em: 31 jul. 2013.

Suponha que a variação percentual relativa na taxa de fecundidade no período de 2000 a 2010 se repita no período de 2010 a 2020.

Nesse caso, em 2020 a taxa de fecundidade no Brasil estará mais próxima de a) 1,14 b) 1,42 c) 1,52 d) 1,70 e) 1,80 10. (Enem) Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de emprego em uma empresa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A tabela apresenta as notas obtidas pelos cinco candidatos.

Candidat Portugu Matemáti Direit Informáti os ês ca o ca K 33 33 33 34 L 32 39 33 34 M 35 35 36 34 N 24 37 40 35 P 36 16 26 41

Qual deve ser o aumento na receita da empresa para que o lucro mensal em 2014 seja o mesmo de 2013? a) R$114.285,00 b) R$130.000,00 c) R$160.000,00 d) R$210.000,00 e) R$213.333,00 12. (Enem) Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) de cada uma delas, em função de seus tempos (em anos) de existência, decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro médio anual.

O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa.

Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana das notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for a maior.

O candidato aprovado será a) K. b) L. c) M. d) N. e) P. 11. (Enem) Uma empresa de alimentos oferece três valores diferentes de remuneração a seus funcionários, de acordo com o grau de instrução necessário para cada cargo. No ano de 2013, a empresa teve uma receita de 10 milhões de reais por mês e um gasto mensal com a folha salarial de R$400.000,00, distribuídos de acordo com o Gráfico 1. No ano seguinte, a empresa ampliará o número de funcionários, mantendo o mesmo valor salarial para cada categoria. Os demais custos da empresa permanecerão constantes de 2013 para 2014. O número de funcionários em 2013 e 2014, por grau de instrução, está no Gráfico 2.

Empresa F G H M P

Lucro (em milhões de reais) 24 24 25 15 9

O empresário decidiu comprar a empresa a) F. b) G. c) H. d) M. e) P.

[127]

Tempo (em anos) 3,0 2,0 2,5 1,5 1,5

[Matemática I] 13. (Enem) A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. Em proporção, possui a economia que mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico.

15. (Enem) As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribui duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora.

Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias? a) 75,28 b) 64,09 c) 56,95 d) 45,76 e) 30,07 Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor.

A nova média, em relação à média anterior, é a) 0,25 ponto maior. b) 1,00 ponto maior. c) 1,00 ponto menor. d) 1,25 ponto maior. e) 2,00 pontos menor.

14. (Enem) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$200,00; B = R$300,00; C = R$400,00 e D = R$600,00. No gráfico, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária.

16. (Enem) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.

De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram a) março e abril. b) março e agosto. c) agosto e setembro. d) junho e setembro. e) junho e agosto.

O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é a) 300,00. b) 345,00. c) 350,00. d) 375,00. e) 400,00.

128]

[Matemática I] 17. (Enem) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sextafeira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa.

Rotina Juvenil

Durante semana 3

a

20. (Enem) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos.

O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:

No fim de semana 3

Assistir à televisão Atividades 1 1 domésticas Atividades escolares 5 1 Atividades de lazer 2 4 Descanso, higiene e 10 12 alimentação Outras atividades 3 3 De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? a) 20 b) 21 c) 24 d) 25 e) 27

Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais.

Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de a) 1998 e 2001. b) 2001 e 2003. c) 2003 e 2006. d) 2003 e 2007. e) 2003 e 2008.

18. (Enem) O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.

21. (Enem) Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas se eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento global. Eram três alternativas possíveis e 279 internautas responderam à enquete, como mostra o gráfico.

Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é a) 212 952. b) 229 913. c) 240 621. d) 255 496. e) 298 041.

Analisando os dados do gráfico, quantos internautas responderam “Não” à enquete? a) Menos de 23. b) Mais de 23 e menos de 25. c) Mais de 50 e menos de 75. d) Mais de 100 e menos de 190. e) Mais de 200.

19. (Enem) Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de suas propriedades. Os talhões têm a mesma área de 30 000 2 m e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em 2 sacas de 60 kg por hectare (10 000 m ).

A variância das produções dos talhões expressa em 2 (sacas/hectare) é a) 20,25. b) 4,50. c) 0,71. d) 0,50. e) 0,25.

[129]

[Matemática I] 22. (Enem) A tabela compara o consumo mensal, em kWh, dos consumidores residenciais e dos de baixa renda, antes e depois da redução da tarifa de energia no estado de Pernambuco.

Como fica a tarifa?

Residencial Consumo mensal (kWh) 140 185 350 500

Antes

Depois

Economia

R$ 71,04 R$ 93,87 R$ 177,60 R$ 253,72

R$ 64,75 R$ 85,56 R$ 161,86 R$ 231,24

R$ 6,29 R$ 8,32 R$ 15,74 R$ 22,48

Baixa renda Consumo mensal Antes Depois Economia (kWh) 30 R$ 3,80 R$ 3,35 R$ 0,45 65 R$ 11,53 R$ 10,04 R$ 1,49 80 R$ 14,84 R$ 12,90 R$ 1,94 100 R$ 19,31 R$ 16,73 R$ 2,59 140 R$ 32,72 R$ 28,20 R$ 4,53 Fonte: Celpe Diário de Pernambuco.28 abr. 2010 (adaptado).

Considere dois consumidores: um que é de baixa renda e gastou 110 kWh e outro do tipo residencial que gastou 185 kWh. A diferença entre o gasto desses consumidores com 1 kWh, depois da redução da tarifa de energia, mais aproximada, é de a) R$ 0,27 . b) R$ 0,29 . c) R$ 0,32 . d) R$ 0,34 . e) R$ 0,61.

13,5 18 20 18,5 13,5 21,5 20 16

Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a a) 17°C,17°C e 13,5°C b) 17°C,18°C e 13,5°C c) 17°C,135°C e 18°C d) 17°C,18°C e 21,5°C. e) 17°C, 13,5°C e 21,5°C. 24. (Enem) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para a classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular.

No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.

Dados dos candidatos no concurso

15 18

Desvio Padrão

15 15

Mediana

16 18

Média

15 19

Conhecime ntos Gerais

14 8

Português

Matemática

Marco Paulo

0,32 4,97

O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é a) Marco, pois a média e a mediana são iguais. b) Marco, pois obteve menor desvio padrão. c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português d) Paulo, pois obteve maior mediana. e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

23. (Enem) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos.

As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro: Dia do mês 1 3 5 7 9 11 13

15 17 19 21 23 25 27 29

Temperatura (em ºC) 15,5 14 13,5 18 19,5 20 13,5

130]

[Matemática I] 25. (Enem) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.

27. (Enem) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

0

5

1

3

2

4

3

3

4

2

5

2

7

1

Ano

R$ 83,00

2007

Novembro

R$ 73,10

2007

Dezembro

R$ 81,60

2007

Janeiro

R$ 82,00

2008

Fevereiro

R$ 85,30

2008

Março

R$ 84,00

2008

Abril

R$ 84,60

2008

28. (Enem) Uma pesquisa da ONU estima que, já em 2008, pela primeira vez na história das civilizações, a maioria das pessoas viverá na zona urbana. O gráfico a seguir mostra o crescimento da população urbana desde 1950, quando essa população era de 700 milhões de pessoas, e apresenta uma previsão para 2030, baseada em crescimento linear no período de 2008 a 2030.

26. (Enem) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no ultimo campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Quantidade de partidas

Cotação

Outubro

De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a a) R$ 73,10. b) R$ 81,50. c) R$ 82,00. d) R$ 83,00. e) R$ 85,30.

A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? a) 6 gols b) 6,5 gols c) 7gols d) 7,3 gols e) 8,5 gols

Gols marcados

Mês

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então a) X = Y < Z. b) Z < X = Y. c) Y < Z < X. d) Z < X < Y. e) Z < Y < X.

De acordo com o gráfico, a população urbana mundial em 2020 corresponderá, aproximadamente, a quantos bilhões de pessoas? a) 4,00. b) 4,10. c) 4,15. d) 4,25. e) 4,50.

[131]

[Matemática I] 29. (Enem) No gráfico a seguir, estão especificados a produção brasileira de café, em toneladas; a área plantada, em hectares (ha); e o rendimento médio do plantio, em kg/ha, no período de 2001 a 2008.

31. (Ufrgs) Observe o gráfico abaixo.

Se a tendência de rendimento observada no gráfico, no período de 2001 a 2008, for mantida nos próximos anos, então o rendimento médio do plantio do café, em 2012, será aproximadamente de

Nele está retratado o número de transplantes realizados no Rio Grande do Sul, até julho de 2015, e a quantidade de pessoas que aguardam na fila por um transplante no Estado, no mês de julho de 2015.

a) 500 kg ha. b) 750 kg ha. c) 850 kg ha. d) 950 kg ha.

Assinale a alternativa que está de acordo com as informações do gráfico. a) Mais de 50% dos transplantes realizados no RS, até julho de 2015, foram transplantes de córnea. b) O percentual de pessoas que aguardavam transplante de pulmão em julho de 2015 era 70% do total de pessoas na fila de espera por transplantes. c) O transplante de fígado é o que apresenta maior diferença percentual entre o número de transplantes realizados e o número de pessoas que aguardavam transplante. d) O número de transplantes de fígado realizados até julho de 2015 é 288% maior do que o número de transplantes de pulmão realizados no mesmo período. e) O transplante de córneas é o que tem a menor quantidade de pessoas aguardando transplante.

e) 1.250 kg ha.

30. (Enem)

As figuras apresentam dados referentes aos consumos de energia elétrica e de água relativos a cinco máquinas industriais de lavar roupa comercializadas no Brasil. A máquina ideal, quanto a rendimento econômico e ambiental, é aquela que gasta, simultaneamente, menos energia e água. Com base nessas informações, conclui-se que, no conjunto pesquisado, a) quanto mais uma máquina de lavar roupa economiza água, mais ela consome energia elétrica. b) a quantidade de energia elétrica consumida por uma máquina de lavar roupa é inversamente proporcional à quantidade de água consumida por ela. c) a máquina I é ideal, de acordo com a definição apresentada. d) a máquina que menos consome energia elétrica não é a que consome menos água. e) a máquina que mais consome energia elétrica não é a que consome mais água.

132]

[Matemática I] 32. (Ufrgs) O gráfico a seguir representa a população economicamente ativa de homens e mulheres no Brasil de 2003 a 2015.

d) De 2000 a 2013, houve crescimento percentual de 11,7% na emissão de dióxido de carbono. e) Em relação a 2000, o ano de 2013 apresentou emissão de dióxido de carbono aproximadamente 50% maior.

34. (Ufrgs) O gráfico e os dados abaixo mostram a precipitação de chuva que ocorreu nos meses de setembro, outubro e novembro no ano de 2011 e a previsão para os mesmos meses em 2012. Também apresentam a média histórica dessa precipitação, para as regiões leste e sul do Estado do Rio Grande do Sul.

Com base nos dados do gráfico, é correto afirmar que, a) no ano de 2009, a população economicamente ativa de mulheres era cerca de 50% da população economicamente ativa de homens. b) de 2003 a 2015, em termos percentuais, a população economicamente ativa de homens cresceu mais do que a de mulheres. c) em relação a 2005, a população economicamente ativa de mulheres em 2011 cresceu cerca de 5%. d) de 2003 a 2015, em termos percentuais, a população economicamente ativa de mulheres cresceu mais do que a de homens. e) em relação a 2007, a população economicamente ativa de homens em 2015 cresceu cerca de 3%.

33. (Ufrgs) O gráfico abaixo apresenta a evolução da emissão de Dióxido de carbono ao longo dos anos.

Com base nesses dados, é correto afirmar que a) a previsão de chuvas para o mês de novembro de 2012, na região leste, é exatamente 25% superior à média histórica da região. b) a quantidade de chuvas, na região sul, foi igual à média histórica da região, nos meses de setembro dos anos de 2011 e 2012. c) a previsão de chuvas para a região leste, no mês de outubro de 2012, é 60% da quantidade de chuvas, na mesma região, no mesmo mês de 2011. d) a quantidade de chuvas, na região sul, em outubro de 2011, superou a média histórica dessa região em 26%. e) a quantidade de chuvas prevista para o mês de novembro de 2012, na região leste, supera exatamente em 150% a quantidade de chuvas da região, no mesmo mês, em 2011.

Com base nos dados do gráfico, assinale a alternativa correta. a) Ao longo do período, a emissão de dióxido de carbono apresentou crescimento constante. b) Em relação aos anos 80, os anos 90 apresentaram emissão de dióxido de carbono 30% maior. c) O ano de 2009 apresentou menor valor de emissão de dióxido de carbono da primeira década do século XXI.

[133]

[Matemática I] 35. (Ufrgs) Muitos brasileiros acessam a internet de banda larga via celular.

(

Abaixo, está indicado, em milhões de pessoas, o número de brasileiros com acesso à internet de banda larga, fixa ou móvel, desde o início do ano de 2007 até março de 2010, segundo dados publicados na imprensa.

) A média de idade aproximada (em anos) de uma equipe formada por alunos cuja idade é menor ou igual a 18 anos é 17.

A sequência correta, de cima para baixo, é: a) V - V - V b) V - V - F c) V - F - F d) F - F - V

37. (Enem 2ª aplicação) Uma empresa registrou seu desempenho em determinado ano por meio do gráfico, com dados mensais do total de vendas e despesas.

Com base nessas informações, é correto afirmar que a) o número de usuários da internet de banda larga fixa decresceu nesses anos. b) o número de usuários de cada uma das duas bandas largas cresceu igualmente nesses anos. c) menos de 4% dos usuários da banda larga usavam a banda larga móvel em 2007. d) o número de usuários da banda larga móvel era 50% do número dos usuários da banda larga fixa em 2009. e) O número de usuários da banda larga era menor que 23 milhões em março de 2010.

O lucro mensal é obtido pela subtração entre o total de vendas e despesas, nesta ordem.

Quais os três meses do ano em que foram registrados os maiores lucros? a) Julho, setembro e dezembro. b) Julho, setembro e novembro. c) Abril, setembro e novembro. d) Janeiro, setembro e dezembro. e) Janeiro, abril e junho.

36. (Acafe) Para a realização de uma olimpíada escolar, os professores de educação física montam as turmas por meio da distribuição das idades dos alunos.

O gráfico abaixo representa a quantidade de alunos por suas idades.

Considere as seguintes afirmações: (

(

) Se um deles é sorteado aleatoriamente, a probabilidade de que tenha idade abaixo da média da turma é de 44%. ) O percentual de alunos de uma turma constituída por alunos cuja idade é maior ou igual a 18 anos é 56.

134]

[Matemática I] 38. (Enem 2ª aplicação) Uma pessoa está disputando um processo de seleção para uma vaga de emprego em um escritório. Em uma das etapas desse processo, ela tem de digitar oito textos. A quantidade de erros dessa pessoa, em cada um dos textos digitados, é dada na tabela.

Texto

40. (Enem 2ª aplicação) O gráfico expõe alguns números da gripe A-H1N1. Entre as categorias que estão em processo de imunização, uma já está completamente imunizada, a dos trabalhadores da saúde.

Número de erros

I 2 0 II III 2 IV 2 6 V 3 VI VII 4 5 VIII Nessa etapa do processo de seleção, os candidatos serão avaliados pelo valor da mediana do número de erros.

A mediana dos números de erros cometidos por essa pessoa é igual a a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0

De acordo com o gráfico, entre as demais categorias, a que está mais exposta ao vírus da gripe A-H1N1 é a categoria de a) indígenas. b) gestantes. c) doentes crônicos. d) adultos entre 20 e 29 anos. e) crianças de 6 meses a 2 anos.

39. (Enem 2ª aplicação) A diretoria de uma empresa de alimentos resolve apresentar para seus acionistas uma proposta de novo produto. Nessa reunião, foram apresentadas as notas médias dadas por um grupo de consumidores que experimentaram o novo produto e dois produtos similares concorrentes (A e B).

GABARITO UNIDADE 8

A característica que dá a maior vantagem relativa ao produto proposto e que pode ser usada, pela diretoria, para incentivar a sua produção é a a) textura. b) cor. c) tamanho. d) sabor. e) odor.

[135]

01. B

02. A

03. D

04. C

05. C

06. B

07. D

08. A

09. C

10. D

11. B

12. B

13. C

14. C

15. B

16. E

17. E

18. B

19. E

20. C

21. C

22. B

23. B

24. B

25. B

26. E

27. D

28. D

29. E

30. D

31. A

32. D

33. E

34. D

35. C

36. A

37. A

38. B

39. D

40. D

[Matemática I]

UNIDADE 9: TRIGONOMETRIA

3. (Enem) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km  2 km que contém uma área de extração de

1. (Enem) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15 com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade.

Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente 0 de 15 e duas casas decimais nas operações, descobrese que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço 2 a) menor que 100 m .

2 2 b) entre 100 m e 300 m .

2 2 c) entre 300 m e 500 m .

2 2 d) entre 500 m e 700 m .

2 e) maior que 700 m .

Considere:

3  0,58.

3

a) 50%. b) 43%. c) 37%. d) 33%. e) 19%.

4. (Ufrgs) Considere dois círculos concêntricos em um ponto O e de raios distintos; dois segmentos de reta

2. (Enem) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia.

Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2 .

A figura ilustra essa situação:

AB e CD perpendiculares em O, como na figura abaixo.

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo   30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB  2000 m . Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será a) 1000 m . b) 1000 3 m .

ˆ Sabendo que o ângulo ADB mede 30 e que o segmento AD mede 12, pode-se afirmar que os diâmetros dos círculos medem a) 12 sen 15 e 12 cos 15 . b) 12 sen 75 e 24 cos 75 . c) 12 sen 75 e 24 sen 75 .

3 m.

3 d) 2000 m . e) 2000 3 m .

d) 24 sen 15 e 24 cos 15 . e) 24 sen 75 e 12 cos 75 .

c) 2000

136]

[Matemática I] 5. (Ufrgs) Na figura abaixo, o retângulo ABCD tem lados que medem 6 e 9.

7. (Enem PPL) No jogo mostrado na figura, uma bolinha desloca-se somente de duas formas: ao longo de linhas retas ou por arcos de circunferências centradas no ponto O e raios variando de 1 a 8.

Durante o jogo, a bolinha que estiver no ponto P deverá realizar a seguinte sequência de movimentos: 2 unidades no mesmo sentido utilizado para ir do ponto O até o ponto A e, no sentido anti-horário, um arco de circunferência cujo ângulo central é 120.

Se a área do paralelogramo sombreado é 6, o cosseno de α é 3 a) .

5 2 b) .

3 3 c) .

4 4 d) .

5 8 e) .

9

Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no ponto a) B. b) D. c) E. d) F. e) G.

6. (Upf) Considere o triângulo ABC representado na figura.

8. (Enem) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo P(t)  A  Bcos(kt) em que A, B e k são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas.

Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados: Pressão mínima Pressão máxima Número de batimentos cardíacos por minuto

Sabe-se que:

78 120 90

A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi a) P(t)  99  21cos(3 πt)

AB  8 ˆ  30 ACB

b) P(t)  78  42cos(3 πt) c) P(t)  99  21cos(2 πt)

Qual das expressões seguintes representa BC, em função de α ? a) 16senα b) 8senα

d) P(t)  99  21cos(t) e) P(t)  78  42cos(t)

c) 4 3 senα d) 16cosα e) 4cosα

[137]

[Matemática I] 18 C, e que durante a tarde a temperatura fosse menor do que durante a manhã.

Quais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos funcionários seja atendido?

9. (Enem) Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo x com a sua superfície, conforme indica a figura.

Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por I(x)  k  sen(x)

a) A  18 e B  8 b) A  22 e B  4

sendo k uma constante, e supondo-se que x está entre 0 e 90.

c) A  22 e B  4 d) A  26 e B  8 e) A  26 e B  8 12. (Enem PPL) Uma pessoa usa um programa de computador que descreve o desenho da onda sonora correspondente a um som escolhido. A equação da onda é dada, num sistema de coordenadas cartesianas, por y  a  sen[b(x  c)], em que os parâmetros a, b, c são positivos. O programa permite ao usuário provocar mudanças no som, ao fazer alterações nos valores desses parâmetros. A pessoa deseja tornar o som mais agudo e, para isso, deve diminuir o período da onda.

O(s) único(s) parâmetro(s) que necessita(m) ser alterado(s) é(são) a) a. b) b. c) c. d) a e b. e) b e c.

Quando x  30, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor máximo? a) 33% b) 50% c) 57% d) 70% e) 86% 10. (Enem) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente.

Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por

r t 

13. (Acafe) Sobre funções trigonométricas, analise as proposições abaixo. l. A expressão sen x  2m  3 é verdadeira, com x pertence ao 3º Q se, e somente se, m pertencer ao  3 intervalo  1,  .  2 II. A soma dos valores máximo e mínimo da função 1 7 f(x)  1  cos2 x é .

3 3 III. Sendo cossec x  1,333 , com x pertence ao 2º

5865 1  0,15.cos  0,06t 

Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de a) 12 765 km. b) 12 000 km. c) 11 730 km. d) 10 965 km. e) 5 865 km.

7 .

3 π  lV. Sendo f(x)  1  tg  2x   , então, o período e o 6  π domínio da função f, valem, respectivamente, e 2 π kπ   , k  . x  | x   6 2   Q, então, cotg x vale

11. (Enem PPL) Um técnico precisa consertar o termostato do aparelho de ar-condicionado de um escritório, que está desregulado. A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com a função

 π  T(h)  A  B sen  (h  12)  ,  12 

sendo

h

o Todas as afirmações corretas estão em: a) I - II - III b) II - III - IV c) I - III - IV d) I - II - IV

tempo, medido em horas, a partir da meia-noite (0  h  24) e A e B os parâmetros que o técnico precisa regular. Os funcionários do escritório pediram que a temperatura máxima fosse 26 C, a mínima

138]

[Matemática I] 14. (Acafe) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água na região do sul da ilha, em Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro dia (t  0) e os dados foram representados pela

Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.

Tipo de material I II III IV V

função periódica T(t)  24  3cos  πt  π  , em que t  6 3 indica o tempo (em horas) decorrido após o início da medição e T(t), a temperatura (em C) no instante t.

O período da função, o valor da temperatura máxima e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação valem, respectivamente: a) 6 h, 25,5 C e 10 h.

Intervalo de valores de raio (cm) 0R5 5  R  10 10  R  15 15  R  21 21  R  40

Considere 1,7 como aproximação para 3.

O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

b) 12 h, 27 C e 10 h. c) 12 h, 27 C e 15 h. d) 6 h, 25,5 C e 15 h.

15. (Upf)

Seja a um número real pertencente ao π  intervalo  , π  . 2  A expressão que representa um número real positivo é: a) cos a  sen a b) sen a  tg a c) cos a  sen a d) sen a  tg a e) cos a  tg a

17. (Enem) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra.

A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função  πx  π  P(x)  8  5cos   , onde x representa o mês  6  do ano, sendo x  1 associado ao mês de janeiro, x  2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x  12 associado ao mês de dezembro.

16. (Enem) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular.

Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120. A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.

Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago.

2012 (adaptado).

Na safra, o mês de produção máxima desse produto é a) janeiro. b) abril. c) junho. d) julho. e) outubro.

[139]

[Matemática I] 18. (Enem) Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.

5π .

6 d) π. e) 2 π.

c)

22. (Upf) Na folha de papel A4 que está representada na figura a seguir, o ponto O se localiza no encontro das diagonais e o ponto A é o ponto médio da largura da folha. Para cada ponto X pertencente aos lados do ˆ retângulo, está associado o ângulo AOX, com medida θ em radianos, no sentido anti-horário.

Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por a) r  1  sen d  .

r  d b) r  1  cos  . r  d   c) r  1  tg  . r  d) rsen  r  .  d   e) rcos  r  .  d  

O gráfico que melhor representa a medida OX em função de θ é:

19. (Ufrgs) Considere as funções f e g definidas por f(x)  sen x e g(x)  cos x.

a)

O número de raízes da equação f(x)  g(x) no intervalo [ 2π, 2π] é a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7.

b)

20. (Ufrgs) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é a) 2 2  3 .

c)

b) 2  3 . c) 4 2  3 . d) 2 2  3 . e) 4 2  3 . d)

21. (Ufrgs) O período da função definida por f(x) = sen  3x  π  é 2 



π .

2 2π b) .

3

a)

e)

140]

[Matemática I] 23. (Upf) A quantidade de soluções que a equação 1 sen4 x  cos4 x  trigonométrica admite no 2 intervalo [0, 3 π] é: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

tempo, em segundos, após iniciado o movimento, e s, medido em centímetros, indica a posição.

Meio segundo após iniciado o movimento da corda, qual é, em cm, o afastamento da partícula da posição de repouso? a) 0 b) 0,125 c) 0,25 d) 10 e) 10,25

24. (Upf) Dentre as equações abaixo, assinale aquela que tem uma única solução em π , π. a) tg α  1 b) sen α  0 c) cos α  1 d) tg α  0 e) cos α  2

28. (Ucs) Para colocar um objeto em movimento e deslocá-lo sobre uma trajetória retilínea por x metros, é necessário aplicar uma força de 20  10 sen  x  newtons sobre ele.

Em qual dos gráficos abaixo, no intervalo 0,3, está representada a relação entre a força aplicada e a distância, quando o objeto é deslocado até 3 metros?

25. (Ucs) O gráfico abaixo representa uma função real de variável real.

a)

Assinale a alternativa em que consta a função representada pelo gráfico. a) f(x)  2cos x x 2 c) f(x)  2 sen x

b) f(x)  2 cos

b)

d) f(x)  2 sen 2x e) f(x)  sen

x 2

26. (Ucs) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em °C, possa ser expressa, em função do tempo t , em dias decorridos desde o início do ano, por  2π(t  105)  T(t)  14  12sen  .

364   Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de a) julho. b) setembro. c) junho. d) dezembro. e) março.

c)

d)

27. (Ucs) Suponha que o deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante seja dado pela 1 equação s  t   10  sen 10 πt  , em que t é o 4

e)

[141]

[Matemática I] sen(x)  cos(x)  a 29.

(Unisc) Seja cos(x)sen(x)  b. Podemos então afirmar que

UNIDADE 10: SEQUÊNCIAS

e

1. (Enem) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício.

João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares.

Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.

a) a  b  1 b) a2  b  1 c) a  b2  1 d) a2  2b  1 e) a2  2b  1 30. (Unisc) Se f é uma função real dada por f(x)  2  cos(2x), então é correto afirmar que a) 1  f(x)  3 para todo x real. b) O gráfico de f intercepta o eixo x . c) f(x)  2 para todo x real.

Qual é o número de andares desse edifício? a) 40 b) 60 c) 100 d) 115 e) 120

d) f(0)  2. e) f(x)  3 para todo x real.

2. (Enem) As projeções para a produção de arroz no período de 2012–2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

Ano

Projeção da produção (t)

2012

50,25

2013

51,50

2014

52,75

2015

54,00

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de a) 497,25. b) 500,85. c) 502,87. d) 558,75. e) 563,25.

GABARITO UNIDADE 9 01. E

02. B

03. E

04. D

05. D

06. A

07. D

08. A

09. B

10. B

11. B

12. B

13. D

14. C

15. D

16. D

17. D

18. B

19. B

20. C

21. B

22. A

23. D

24. C

25. D

26. A

27. A

28. A

29. D

30. A

142]

[Matemática I] 3. (Enem) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas.

A quantidade de cartas que forma o monte é a) 21. b) 24. c) 26. d) 28. e) 31.

O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 cm, o segundo quadrado tem lado medindo 2 cm, o terceiro 3 cm e assim por diante. O objetivo do trabalho é identificar em quanto a área de cada quadrado da sequência excede a área do quadrado anterior. A área do quadrado que ocupa a posição n, na sequência, foi representada por A n .

Para n  2, o valor da diferença A n  A n1, em centímetro quadrado, é igual a a) 2n  1 b) 2n  1 c) 2n  1

4. (Enem) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.

Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? a) 38 000 b) 40 500 c) 41 000 d) 42 000 e) 48 000

d) (n 1)2 e) n2  1 7. (Enem 2ª aplicação) Com o objetivo de trabalhar a concentração e a sincronia de movimentos dos alunos de uma de suas turmas, um professor de educação física dividiu essa turma em três grupos (A, B e C) e estipulou a seguinte atividade: os alunos do grupo A deveriam bater palmas a cada 2 s, os alunos do grupo

5. (Enem) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.

B deveriam bater palmas a cada 3 s e os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4 s.

O professor zerou o cronômetro e os três grupos começaram a bater palmas quando ele registrou 1 s.

Os movimentos prosseguiram até o cronômetro registrar 60 s.

Um estagiário anotou no papel a sequência formada pelos instantes em que os três grupos bateram palmas simultaneamente.

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? a) C = 4Q b) C = 3Q + 1 c) C = 4Q – 1 d) C = Q + 3 e) C = 4Q – 2

Qual é o termo geral da sequência anotada? a) 12 n, com n um número natural, tal que 1  n  5. b) 24 n, com n um número natural, tal que 1  n  2. c) 12 (n 1), com n um número natural, tal que 1  n  6. d) 12 (n 1)  1, com n um número natural, tal que 1  n  5. e) 24 (n 1)  1, com n um número natural, tal que 1  n  3.

6. (Enem 2ª aplicação) Em um trabalho escolar, João foi convidado a calcular as áreas de vários quadrados diferentes, dispostos em sequência, da esquerda para a direita, como mostra a figura.

[143]

[Matemática I] 8. (Enem 2ª aplicação) O trabalho em empresas de exige dos profissionais conhecimentos de diferentes áreas. Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal.

Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas.

10. (Enem PPL) Um ciclista participará de uma competição e treinará alguns dias da seguinte maneira: no primeiro dia, pedalará 60 km; no segundo dia, a mesma distância do primeiro mais r km; no terceiro dia, a mesma distância do segundo mais r km; e, assim, sucessivamente, sempre pedalando a mesma distância do dia anterior mais r km. No último dia, ele deverá percorrer 180 km, completando o treinamento com um total de 1 560 km.

A distância r que o ciclista deverá pedalar a mais a cada dia, em km, é a) 3. b) 7. c) 10. d) 13. e) 20.

Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou sua resposta: Funcionário I: aproximadamente 200 estrelas.

Funcionário II: aproximadamente 6 000 estrelas.

Funcionário III: aproximadamente 12 000 estrelas.

Funcionário IV: aproximadamente 22 500 estrelas.

Funcionário V: aproximadamente 22 800 estrelas.

11. (Ufrgs) Quadrados iguais de lado 1 são justapostos, segundo padrão representado nas figuras das etapas abaixo.

Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da quantidade de estrelas necessária? a) I b) II c) III d) IV e) V 9. (Enem 2ª aplicação) Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento financeiro.

Mantido esse padrão de construção, o número de quadrados de lado 1, existentes na figura da etapa 100, é a) 1.331. b) 3.050. c) 5.050. d) 5.100. e) 5.151.

Disponível em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010.

Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo.

Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente, a) 12 dias. b) 13 dias. c) 14 dias. d) 15 dias. e) 16 dias.

144]

[Matemática I] 12. (Ufrgs) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo.

15.

(Acafe) Considerando a sequência (a1, a2 , a3 , , an ), cujo n  ésimo termo é dado pela an  3n  4, expressão analise as seguintes proposições: I. Essa sequência é uma progressão aritmética cuja razão é igual a 3.

II. A soma dos n primeiros termos dessa sequência é 2 dada pela expressão Sn  3n  5n .

2

III. Não existe um número natural n para o qual a soma (a1  a2  a3   an1  an )  0.

IV. A sequência formada pelos 15 primeiros termos apresenta exatamente 7 termos representados por números primos.

Das proposições acima, tem-se exatamente: a) 4 corretas. b) 3 corretas. c) 2 corretas. d) 1 correta.

Na etapa 1, há um único triângulo equilátero. Na etapa 2, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo da etapa 1, formando dois triângulos equiláteros. Na etapa 3, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo menor da etapa 2, formando três triângulos equiláteros. Na etapa 4 e nas etapas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos triângulos menores da etapa anterior.

O número de trapézios na 6ª etapa de construção é a) 14. b) 15. c) 16. d) 17. e) 18.

16. (Enem) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3.000 C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.

Use 0,477 como aproximação para log10 (3) e 1,041 como aproximação para log10 (11).

O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 C é mais próximo de a) 22. b) 50. c) 100. d) 200. e) 400.

13. (Ufrgs) Nas malhas de pontos da figura abaixo, dois pontos adjacentes, na horizontal ou vertical, encontram-se a distância de 1 centímetro.

Considerando a sucessão de quadriláteros desenhados em cada etapa da figura, a área do quadrilátero da 2 vigésima etapa, em cm é a) 100. b) 200. c) 400. d) 800. e) 1.600.

14. (Ufrgs) Denominando P a soma dos números pares de 1 a 100 e I a soma dos números ímpares de 1 a 100, P  I é a) 49. b) 50. c) 51. d) 52. e) 53.

[145]

[Matemática I] a) 3  345 b) (3  3  3)  345

17. (Enem) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) - objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais - objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.

O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:

c) 33  345 d) 3  4  345 e) 34  345 19. (Enem PPL) O padrão internacional lSO 216 define os tamanhos de papel utilizados em quase todos os países, com exceção dos EUA e Canadá. O formatobase é uma folha retangular de papel, chamada de A0, cujas dimensões são 84,1 cm  118,9 cm. A partir de então, dobra-se a folha ao meio, sempre no lado maior, obtendo os demais formatos, conforme o número de dobraduras. Observe a figura: A1 tem o formato da folha A0 dobrada ao meio uma vez, A2 tem o formato da folha A0 dobrada ao meio duas vezes, e assim sucessivamente.

1. comece com um triângulo equilátero (figura 1); 2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias; 3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2; 4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).

Quantas folhas de tamanho A8 são obtidas a partir de uma folha A0 ? a) 8 b) 16 c) 64 d) 128 e) 256

De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é

a)

b) 20. (Enem PPL) Pesquisas indicam que o número de bactérias X é duplicado a cada quarto de hora. Um aluno resolveu fazer uma observação para verificar a veracidade dessa afirmação. Ele usou uma população

c)

inicial de 105 bactérias X e encerrou a observação ao final de uma hora.

Suponha que a observação do aluno tenha confirmado que o número de bactérias X se duplica a cada quarto de hora.

d)

e)

Após uma hora do início do período de observação desse aluno, o número de bactérias X foi de a) 22  105

18. (Enem 2ª aplicação) Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento.

Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é

b) 21  105 c) 22  105 d) 23  105 e) 24  105

146]

[Matemática I] 21. (Enem PPL) Uma maneira muito útil de se criar belas figuras decorativas utilizando a matemática é pelo processo de autossemelhança, uma forma de se criar fractais. Informalmente, dizemos que uma figura é autossemelhante se partes dessa figura são semelhantes à figura vista como um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski, criado por um processo recursivo, descrito a seguir:

O gráfico apresentado a seguir mostra as taxas percentuais de abandono no ensino médio, para todo o país, no período de 2007 a 2010, em que se percebe uma queda a partir de 2008. Com o objetivo de reduzir de forma mais acentuada a evasão escolar são investidos mais recursos e intensificadas as ações, para se chegar a uma taxa em torno de 5,2% ao final do ano de 2013.

- Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove quadrados idênticos (Figura 1). Inicia-se o processo removendo o quadrado central, restando 8 quadrados pretos (Figura 2).

- Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos quadrados restantes, ou seja, divide-se cada um deles em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um, restando apenas os quadrados pretos (Figura 3).

- Passo 3: Repete-se o passo 2.

Qual a taxa de redução anual que deve ser obtida para que se chegue ao patamar desejado para o final de 2013? Considere (0,8)3  0,51. a) 10% b) 20% c) 41% d) 49% e) 51%

23. (Acafe) Uma pessoa deseja comprar um carro, o qual pode ser adquirido pagando-se uma entrada e o saldo devedor em 6 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Na hora de pagar a entrada, o cliente foi informado que a segunda parcela seria de R$ R$ 12.800,00 e a quinta parcela seria de R$ 1.600,00.

Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja, divide-se cada um dos quadrados pretos da Figura 3 em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um deles.

O número de quadrados pretos restantes nesse momento é a) 64. b) 512. c) 568. d) 576. e) 648.

Sendo o valor da entrada na compra desse carro equivalente a 15% do total do valor das prestações, analise as afirmações a seguir.

I. O valor da entrada corresponde, aproximadamente, a 30% do valor da primeira prestação.

II. O valor do carro é superior a R$ 60.000,00.

III. O total das três últimas prestações é inferior a 15% do valor do carro.

IV. O valor das três primeiras prestações juntas é superior a 3 4 do valor do carro.

Todas as afirmações corretas estão em: a) I - II - III b) II - IV c) I - III - IV d) III - IV

22. (Enem PPL) O abandono escolar no ensino médio é um dos principais problemas da educação no Brasil.

Reduzir as taxas de abandono tem sido uma tarefa que exige persistência e ações continuadas dos organismos responsáveis pela educação no país.

[147]

[Matemática I] 24. (Ucs) O vazamento dos dutos de uma plataforma de perfuração de petróleo provocou, no mar, uma mancha de óleo, em forma circular, cujo diâmetro, no primeiro dia, atingiu 2 metros.

Os técnicos só conseguiram tomar providências após um mês, tendo por dia o raio da mancha aumentado 1 5 do aumento verificado no dia anterior. No final do décimo dia após o início do processo, qual era a medida, em metros, do raio da mancha?

Dado: Sn 

a) b) c) d)



a1 1  qn

a) b) c) d)



e)

1 q

1 .

2 1 .

4 1 .

8 1 .

16 1 .

32

26. (Ufrgs) Considere o padrão de construção representado pelos triângulos equiláteros abaixo.

59  1 4  58 510  1 4  59

510  1 2  59 59  1 2  58 10

 1 e) 2    5

O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é h; a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura do triângulo da etapa 1; a altura do triângulo da etapa 3 é metade da altura do triângulo da etapa 2 e, assim, sucessivamente.

25. (Ufrgs) Na figura abaixo, encontram-se representados quadrados de maneira que o maior quadrado (Q1 ) tem lado 1. O quadrado Q 2 está construído com vértices nos pontos médios dos lados de Q1; o quadrado Q3 está construído com vértices

Assim, a soma dos perímetros da sequência infinita de triângulos é a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.

nos pontos médios dos lados de Q 2 e, assim, sucessiva e infinitamente.

27. (Ufrgs) Para fazer a aposta mínima na Megassena uma pessoa deve escolher 6 números diferentes em um cartão de apostas que contém os números de 1 a 60. Uma pessoa escolheu os números de sua aposta, formando uma progressão geométrica de razão inteira.

Com esse critério, é correto afirmar que a) essa pessoa apostou no número 1. b) a razão da PG é maior do que 3. c) essa pessoa apostou no número 60. d) a razão da PG é 3. e) essa pessoa apostou somente em números ímpares.

A soma das áreas da sequência infinita de triângulos sombreados na figura é

148]

[Matemática I] 28. (Ufrgs) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo.

30. (Ufrgs) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e os triângulos sombreados são triângulos semelhantes tais que as alturas correspondentes formam uma 1 progressão geométrica de razão .

2

Na etapa 1, há um único quadrado com lado 1. Na etapa 2, esse quadrado foi dividido em nove quadrados congruentes, sendo quatro deles retirados, como indica a figura. Na etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. Nessas condições, a área restante, na etapa 5, é 125 a) .

729 125 b) .

2187 625 c) .

729 625 d) .

2187 625 e) .

6561

Se o perímetro do triângulo ABC é 1, a soma dos perímetros dos quatro triângulos sombreados é 9 a) .

8 11 b) .

8 13 c) .

8 15 d) .

8 17 e) .

8

29. (Ufrgs) A sequência representada, na figura abaixo, é formada por infinitos triângulos equiláteros. O lado do primeiro triângulo mede 1, e a medida do lado de 2 cada um dos outros triângulos é da medida do lado 3 do triângulo imediatamente anterior.

GABARITO UNIDADE 9 A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é a) 9. b) 12. c) 15. d) 18. e) 21.

[149]

01. D

02. D

03. B

04. D

05. B

06. A

07. D

08. C

09. D

10. C

11. E

12. B

13. D

14. B

15. A

16. D

17. C

18. C

19. E

20. E

21. B

22. B

23. C

24. B

25. B

26. E

27. A

28. E

29. A

30. D

[Matemática I]

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS - LONGEN, Adilson. Curso Prático de Matemática, volume 1. Curitiba: Bolsa Nacional do Livro.

- DANTE, Luiz Roberto. Matemática Série Novo Ensino Médio, volume único. Editora Ática.

- BARRETO FILHO, Benigno. Matemática aula por aula: volume único: ensino médio/ Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. São Paulo: FTD. - DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto e Aplicações, volume único: ensino médio. Editora Ática.

* Material didático elaborado pelo professor Luiz Geraldo Silveira, licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM). Dá aulas em escolas e cursos pré-vestibulares e ENEM desde 1998.

150]