GRUPO / MATEMATICA 2

[Matemática II]

MATEMÁTICA SUMÁRIO UNIDADE 1 – CONTAGEM 1.1.Fatorial ........................................................................................................................................................ 03 1.2. Princípio Fundamental da Contagem ......................................................................................................... 05 1.3. Problemas de Contagem ............................................................................................................................ 07 1.4. Probabilidade ............................................................................................................................................. 10

UNIDADE 2 – MATRIZES 2.1. Definição .................................................................................................................................................... 15 2.2. Algumas Matrizes Especiais........................................................................................................................ 16 2.3. Construção de Matrizes ............................................................................................................................. 17 2.4. Operações com Matrizes............................................................................................................................ 18

UNIDADE 3 – DETERMINANTES 3.1. Definição .................................................................................................................................................... 24 3.2. Determinantes de 2ª Ordem ...................................................................................................................... 24 3.3. Determinantes de 3ª Ordem ...................................................................................................................... 24 3.4. Propriedades .............................................................................................................................................. 25

UNIDADE 4 – SISTEMAS LINEARES 4.1. Regra de Cramer......................................................................................................................................... 28 4.2. Discussão de Sistema Linear....................................................................................................................... 29 4.3. Sistema Homogêneo .................................................................................................................................. 29

UNIDADE 5 – NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 5.1. Regra de Três Simples ................................................................................................................................ 32 5.2. Regra de Três Composta ............................................................................................................................ 34 5.3. Porcentagem .............................................................................................................................................. 35 5.4. Matemática Financeira............................................................................................................................... 36

UNIDADE 6 – GEOMETRIA PLANA 6.1. Teoria de Tales ........................................................................................................................................... 41 6.2. Semelhança de Triângulos.......................................................................................................................... 41 6.3. Área de Figuras Planas ............................................................................................................................... 42 6.4. Relações na Circunferência ........................................................................................................................ 43 6.5. Polígonos Regulares na Circunferência ...................................................................................................... 44

[1]

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UNIDADE 7 – GEOMETRIA ESPACIAL 7.1. Poliedros..................................................................................................................................................... 47 7.2. Prismas ....................................................................................................................................................... 50 7.3. Paralelepípedo ........................................................................................................................................... 53 7.4. Cubo – Hexaedro Regular .......................................................................................................................... 54 7.5. Cilindro ....................................................................................................................................................... 56 7.6. Cone ........................................................................................................................................................... 59 7.7. Pirâmide ..................................................................................................................................................... 62 7.8. Esfera .......................................................................................................................................................... 66

UNIDADE 8 – GEOMETRIA ANALÍTICA 8.1. Sistemas de Coordenadas Cartesianas ....................................................................................................... 68 8.2. Distância Entre 2 Pontos ............................................................................................................................ 69 8.3. Ponto Médio............................................................................................................................................... 69 8.4. Baricentro de Triângulo.............................................................................................................................. 70 8.5. Área de um Triângulo ................................................................................................................................ 70 8.6. Condição de Alinhamento de Três Pontos ................................................................................................. 71 8.7. Equação da Reta ......................................................................................................................................... 73 8.8. Coeficiente Angular .................................................................................................................................... 75 8.9. Posição Relativa Entre 2 Retas ................................................................................................................... 77 8.10. Ângulos Entre Duas Retas ........................................................................................................................ 79 8.11. Distância de Ponto a Reta ........................................................................................................................ 80 8.12. Equação da Circunferência ....................................................................................................................... 83

UNIDADE 9 – NÚMEROS COMPLEXOS 9.1. Definições ................................................................................................................................................... 88 9.2. Operações na Forma Algébrica .................................................................................................................. 89 9.3. Representação Gráfica ............................................................................................................................... 92 9.4. Operações na Forma Trigonométrica ........................................................................................................ 93

UNIDADE 10 – POLINÔMIOS 10.1. Definições ................................................................................................................................................. 96 10.2. Estudo das Raízes ..................................................................................................................................... 81 10.3. Divisão de Polinômios .............................................................................................................................. 102

EXERCÍCIOS ENEM + vestibulares ................................................................................................................................. 106

2]

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UNIDADE 1 CONTAGEM

1.1. Fatorial Fatorial de um número natural n, indicado por n! é definido pelo produto de números inteiros desde n até 1, quando n ≥ 2.

n! = n(n - 1)(n - 2) ... 3 . 2 . 1 4! =4.3.2.1 = 24

3! = 3.2.1 = 6

5! = 5.4.3.2.1 = 120

2! = 2.1 = 2

OBSERVAÇÃO: Quando temos n = 0 ou n = 1 teremos que definir 0! = 1 Cuidado: (

1! = 1 )

-5! = -120

Para resolver expressões ou equações que envolvem fatoriais, o quadro que segue é muito útil. ... (n + 3)(n + 2)(n + 1) n (n - 1)(n - 2)(n - 3) ...

O fatorial é muito útil nos problemas de contagem, trabalhar com o fatorial e saber simplifica-lo pode diminuir bastante os cálculos a serem feitos.

Vejamos:

mas como 5! = 5.4.3.2.1 = 120 podemos escrever simplesmente ou logo podemos simplificar a expressão e escrevermos da seguinte maneira

[3]

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. O valor da expressão

é:

17 10 1 b) 10 c) 10 1 d) 9 e) 9

a)

02. A equação

(

)

(

)

tem por conjunto solução:

a) {6} b) {-1} c) {-1, -6} d) {-1, 6} e) {1, 6} 03. O conjunto solução da equação

( (

)

é:

)

a) {4, 6} b) {-4, 6} c) {4, -6} d) {6} e) {4} 04. (PUC-RS) Se

( (

)

, então n é igual a:

)

a) 13 b) 11 c) 9 d) 8 e) 6

05. (UFSM) A expressão a)

(

)

(

)

, para

, equivale a:

(k  2)! (k  1)!

k 2  3k  1 k (k  2)! c) (k  1)!

b)

d) 2 e)

k 2  2k k 1

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.D | 2.B | 3.E | 4.C | 5.B

4]

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1.2. Princípio Fundamental da Contagem Através desse princípio, também conhecido como Princípio Multiplicativo, podemos calcular o número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento, composto de duas ou mais etapas sucessivas e independentes entre si; para tal, basta observar em cada problema o número de possibilidades individualmente e então multiplicar estas possibilidades.

Vejamos um exemplo: Luiz deseja viajar no feriadão para passear. Para isso ele está em dúvida se vai de carro, de ônibus. Também esta na dúvida se vai para o litoral em Capão da Canoa, para a serra em Gramado ou para as missões em São Miguel das Missões. Vejamos quantas possibilidades distintas existem para essa escolha.

1ª escolha – Para onde ir?

2ª escolha – Como ir?

Carro Ônibus

Possibilidades Ir para Capão de carro Ir para Capão de ônibus

Gramado

Carro Ônibus

Ir para Gramado de carro Ir para Gramado de ônibus

São Miguel das Missões

Carro Ônibus

Ir para São Miguel de carro Ir para São Miguel de ônibus

Capão da Canoa

Esse esquema pode ser chamado de árvore das possibilidades. Observe que para calcular o total de possibilidades existentes basta multiplicarmos o número de possibilidades em cada escolha.

3 possibilidades (lugar) x 2 possibilidades (meio de locomoção) = 6 possibilidades Exemplos: 01. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 6, 7, 8 e 9? centena dezena unidade

nº de possibilidades:

4

x

3

x

2

= 24 possibilidades

02. Quantos números de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 2, 3, 5, 6, 7 e 8?

03. Num hospício existem 3 portas de entrada que dão para um saguão no qual existem 4 elevadores. Um visitante quer se dirigir ao 5° andar, utilizando-se de um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?

[5]

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFRGS) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente, e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720 02. (UFRGS) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente, e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é a) 120 b) 230 c) 500 d) 600 e) 720 03. (UFRGS) Quantos números inteiros positivos, com 3 algarismos significativos distintos, são múltiplos de 5? a) 128 b) 136 c) 144 d) 162 e) 648 04. (UFSM) Para ter acesso a uma sala reservada, cada usuário recebe um cartão de identificação com 4 listras, de modo que qualquer cartão deve diferir de todos os outros pela natureza das cores ou pela ordem das mesmas nas listras. Operando com 5 cores distintas e observando que listras vizinhas não tenham a mesma cor, quantos usuários podem ser identificados? a) 10 b) 20 c) 120 d) 320 e) 625 05. (UFSM) A reforma agrária ainda é um ponto crucial para se estabelecer uma melhor distribuição de renda no Brasil. Uma comunidade de sem-terra, após se alojar numa fazenda comprovadamente improdutiva, recebe informação de que o INCRA irá receber uma comissão para negociações. Em assembleia democrática, os sem-terra decidem que tal comissão será composta por um presidente geral, um porta-voz que repassará as notícias à comunidade e aos representantes e um agente que cuidará da parte burocrática das negociações. Além desses com cargos específicos, participarão dessa comissão mais 6 conselheiros que auxiliarão indistintamente em todas as fases da negociação.

Se, dentre toda a comunidade, apenas 15 pessoas forem consideradas aptas aos cargos, o número de comissões distintas que poderão ser formadas com essas 15 pessoas é obtido pelo produto: a) 13. 11. 7. 52. 32. 24 b) 13. 11. 7. 5. 3. 2 c) 13. 11. 72. 52. 33. 26 d) 13. 72. 52. 33. 26 2 2 3 e) 13. 11. 7 . 5. 3 . 2

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.E | 2.D | 3.B | 4.D | 5.E

6]

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1.3. Problemas de Contagem ARRANJO SIMPLES Arranjo de “n” elementos tomados “p” a “p” é qualquer sequencia ordenada de “p” elementos distintos escolhidos entre os “n” elementos distintos de um conjunto. Ou seja, é todo problema cujos agrupamentos diferem pela ordem ou pela natureza de seus elementos.

(

)

COMBINAÇÃO SIMPLES É todo problema cujos agrupamentos diferem exclusivamente pela natureza de seus elementos. Não importando dentro de um mesmo grupo, a ordem que eles são colocados.

(

)

PERMUTAÇÃO SIMPLES É todo problema cujos agrupamentos diferem exclusivamente pela ordem de seus elementos, pois Se trata de um arranjo de “n elementos tomados “n” a “n”.

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO É todo problema cujos agrupamentos apresentam elementos repetidos e diferem exclusivamente pela ordem de seus elementos. Quando temos uma permutação de “n” elementos onde um elemento se repete “a” vezes, outro “b” vezes, outro “c” vezes, e assim sucessivamente, temos a relação:

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[Matemática II]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Num carro com cinco lugares e mais o lugar do motorista viajam 6 pessoas. Quantas maneiras se podem dispor essas 6 pessoas em viagem? a) 120 b) 240 c) 360 d) 720 e) 80 02. (FURG) Considerando que são usadas as letras A, B, C, D, E, para formar senhas, então o número de senhas formado com 3 letras distintas é igual a a) 10. b) 60. c) 72. d) 120. e) 360.

03. (UFSM) Numa Câmara de Vereadores, trabalham 6 vereadores do partido A, 5 vereadores do partido B e 4 vereadores do partido C. O número de comissões de 7 vereadores que podem ser formadas, devendo cada comissão ser constituída de 3 vereadores do partido A, 2 vereadores do partido B e 2 vereadores do partido C, é igual a a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800 04. (FURG) Com 9 pontos de uma reta e 15 pontos de uma outra reta paralela, que não coincide com a primeira, quantos triângulos distintos podem ser construídos? a) 2970 b) 1485 c) 135 d) 6864 e) 1144 05. Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se iluminá-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa? a) 63 b) 60 c) 27 d) 81 e) 15 06. O número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra ARARAQUARA é a) 2840 b) 3550 c) 4850 d) 5040 e) 40320

8]

[Matemática II] 07. Com 9 pontos, três a três não colineares, o numero de triângulos que podem ser formados é a) 96 b) 84 c) 78 d) 68 e) 56 08. (FFFCMPA) Um campeonato de futebol é disputado por 20 equipes, de acordo com o seguinte esquema: 1º- Formam-se 4 grupos de 5 equipes. Em cada grupo, as equipes jogam todas entre si, em turno e returno, saindo um campeão de cada grupo.

2º- Os quatro campeões dos grupos jogam entre si, também em dois turnos, para apontar o campeão.

O número total de jogos disputados é a) 46. b) 89. c) 92. d) 94. e) 96.

09. (FURG) Uma pizzaria permite que seus clientes escolham pizzas com 1, 2 ou 3 sabores diferentes dentre os 7 sabores que constam no cardápio. O número de pizzas diferentes oferecidas por essa pizzaria, considerando somente os tipos e número de sabores possíveis, é igual a a) 210. b) 269. c) 63. d) 70. e) 98.

10. (UFRGS) No desenho a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas, e os quadrados representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A e B que passam por C é

a) 12 b) 13 c) 15 d) 24 e) 30

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.D | 2.B | 3.D | 4.B | 5.A | 6.D | 7.B | 8.C | 9.C | 10.E

[9]

[Matemática II]

1.4. Probabilidade A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S. Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, determine o espaço amostral:

CONCEITO DE PROBABILIDADE Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

número de casos favoráveis P(A) = número de casos possíveis Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

número de elementos de A n( A ) P(A) = número de elementos de S = n(S )

10]

[Matemática II] Exemplos: 1) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um número maior do que 4?

2) No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas: a) pelo menos 2 caras?

b) exatamente 2 caras?

3) Formando todos os números de 3 algarismos distintos, permutando os dígitos 7, 8 e 9. Qual é a probabilidade de, escolhendo um número desses ao acaso, ele ser: a) ímpar?

b) par?

c) múltiplo de 6?

d) múltiplo de 4?

e) maior do que 780?

PROPRIEDADES IMPORTANTES Propriedade 1 ⇒

Se A e A’ são eventos complementares, então:

P( A ) + P( A' ) = 1

Propriedade 2 ⇒

A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0 (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

0  P(A)  1

[11]

[Matemática II] Exemplos: 1) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de que o resultado seja: a) um número par?

b) um número primo?

c) o número 3?

d) um número menor do que 1?

e) um número menor do que 7?

2) No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual é a probabilidade de não sair soma 5?

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Exemplos: 1) No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual é a probabilidade de se obter soma par ou soma múltipla de 3?

2) Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja vermelha ou um ás?

12]

[Matemática II]

EVENTOS INDEPENDENTES Dizemos que A e B e ... são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.

FÓRMULA DA PROBABILIDADE DOS EVENTOS INDEPENDENTES:

P(A ∩ B ∩ …) = P(A) . P(B) … .

Exemplos: 1) São realizados dois lançamentos sucessivos de um dado perfeito. Qual é a probabilidade de ocorrer, nos dois casos, o número 5? (1/36)

2)Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? (2/9)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Num determinado jogo, é realizado um sorteio de 5 números num universo de 25 números. Pode-se participar do jogo comprando bilhetes contendo de 6 a 10 números e ganhará o prêmio aquele que acertar os 5 números sorteados. A probabilidade de um jogador ganhar o prêmio participando do sorteio com apenas um bilhete de 10 números é: a) b) c) d) e)

5!

25!

10!

25!

1 125 5 625 6 1265

[13]

[Matemática II] 02. Dispondo-se de duas urnas, com 4 fichas cada uma, numeradas de 1 a 4, realiza-se o experimento de retirar aleatoriamente uma ficha de cada urna e somar os números indicados nas duas fichas sorteadas.

Nessas condições, a probabilidade de, em uma retirada, obter-se para a soma dos números das fichas um número primo é de: a) 1/4 b) 5/16 c) 9/16 d) 3/8 e) 3/4 03. A probabilidade de ocorrer um evento A é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis.

P(A) =

número de resultados favoráveis número de resultados possíveis

De uma urna com bolas numeradas de 1 a 30 serão sorteadas 3 bolas, sem reposição. Um apostador marcou um bilhete com 5 números distintos (de 1 a 30). A probabilidade de ele acertar os 3 números é: a) 1/4060 b) 1/812 c) 1/406 d) 1/203 e) 1/10 04. Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4% dos homens e 10% das mulheres são diabéticos.

Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região. Tomando–se ao acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabética é a) 4% b) 5% c) 5,4% d) 7,2% e) 8,2% 05. A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é a) 1/5 b) 2/5 c) ¾ d) ¼ e) ½

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.E | 2.C | 3.C | 4.E | 5.B

14]

[Matemática II]

UNIDADE 2 MATRIZES

2.1. Definições Chama-se matriz do tipo mxn (lê-se “m por n”) toda tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas. Geralmente estes elementos são números, e desta forma podemos chamar a matriz de matriz numérica. Tal tabela deve ser representada sempre entre parênteses ( ) ou entre colchetes [ ].

CONVENÇÃO A cada elemento da matriz A m x n , indicamos por aij , e este elemento é posicionado na linha i e na coluna j de uma matriz.

Exemplos:

(

)

a12 = 0;

a21 = -4;

a33 =√

b13 = - 3;

b23 = 1;

b21 = 2

√

[

√

]

REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ De modo genérico uma matriz A m x n pode ser representada da seguinte maneira:

[

]

[15]

[Matemática II]

2.2. Algumas Matrizes Especiais

16]

[Matemática II]

2.3. Construção de Matrizes A matriz pode ser construída mediante uma “lei de formação”. Para isso calculamos cada elemento aij da matriz, obedecendo esta lei. Depois de calcular cada elemento, montamos a matriz pretendida.

2

Exemplo 1: Construa a matriz A = (aij)2 x 3 , onde aij = 2.i + j .

[

Sabendo que a matriz é dada por:

]

Vamos calcular cada elemento da matriz, segundo a lei dada.

a11 = 2.1 + 12 = 2 + 1 = 3

a12 = 2.1 + 22 = 2 + 4 = 6

a13 = 2.1 + 32 = 2 + 9 = 11

a21 = 2.2 + 12 = 4 + 1 = 5

a22 = 2.2 + 22 = 4 + 4 = 8

a23 = 2.2 + 32 = 4 + 9 = 13

Então agora podemos montar a matriz pretendida.

[

]

2

Exemplo 2: Construa a matriz A = (aij)3 x 2 , onde aij = i

[17]

– 3.j

[Matemática II]

2.4. Operações com Matrizes IGUALDADE DE MATRIZES Dadas duas matrizes do mesmo tipo, A = ( aij)m x n e B = ( aij)m x n, dizemos que A = B se, e somente se, todo elemento de A igual ao seu correspondente em B.

aij = bij Exemplo: Vamos igualar as matrizes abaixo. =

Para que esta igualdade seja verificada, precisamos igualar cada elemento de uma matriz ao elemento que está na posição correspondente na outra matriz. Ou seja: x = 3;

x + y = z ⇒ 3 + (-1) = z ⇒ 2 = z;

y = -1;

-2 = -2

ADIÇÃO DE MATRIZES A soma de duas matrizes do mesmo tipo A=( aij ) m x n e B = (b ij ) que se indica por A + B, é a matriz C =(c ij ) m x n tal que, cada elemento da matriz C é igual à soma de seus correspondentes em A e B.

c ij = aij + bij Exemplo: Dadas as matrizes

[

]e

[

] ; calcule a matriz soma A + B:

Logo a matriz soma será [

( (

( ) ( ) ( ) ( )

) )

( ) ( )

( ) ( ) ] ( ) ( )

Então [

]

18]

[Matemática II]

SUBTRAÇÃO DE MATRIZES A soma de duas matrizes do mesmo tipo A=( aij ) m x n e B = (b ij ) que se indica por A + B, é a matriz C =(c ij ) m x n tal que, cada elemento da matriz C é igual à soma de seus correspondentes em A e B.

cij = aij - bij Exemplo:

[

Dadas as matrizes

]e

[

] ; calcule a matriz diferença A - B:

Logo a matriz diferença será [

( (

( ) ( ) ( ) ( )

) )

( ) ( )

( ) ( ) ] ( ) ( )

Então [

]

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES POR UM NÚMERO REAL O produto de um número k por uma matriz A= ( aij ) m x n, que se indica por kA, é a matriz B= (bij ) m x n tal que, cada elemento da matriz b é igual ao produto de seu correspondente em a, pelo número k.

bij = k.Aij Exemplo: Dada a matriz

[

] ; calcule a matriz 3A:

[

( ) ( )

( (

) )

( ) ] ( )

Então

[

[19]

]

[Matemática II]

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Para multiplicarmos duas matrizes, o número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz. E a matriz resultado devera ter o mesmo número de linhas da 1ª e de colunas da 2ª matriz.

Amxn . Bpxq = Cmxq ; n = p Para realizarmos a multiplicação devemos multiplicar todas as linhas da 1ª pelas colunas da 2ª. Uma maneira que facilita a visualização do processo é deslocarmos a segunda matriz para cima, conforme o exemplo.

Exemplo:

Dadas as matrizes A =

eB=

; calcule a matriz produto A.B

Considerando as matrizes anteriores, calcule a matriz produto B.A e verifique que A.B ≠ B.A.

20]

[Matemática II]

MATRIZ INVERSA A matriz inversa da matriz A de ordem “n”, é a matriz A-1, também de ordem “n”, tal que:

A . A-1 = A-1. A = I Devemos criar uma matriz A-1 de mesma ordem com variáveis. E, para que possamos descobrir a matriz inversa, multiplicamos A. A-1 e igualamos o resultado com a matriz identidade. Ao descobrirmos as variáveis é só montar a matriz inversa.

Exemplo:

Descubra a matriz inversa da matriz A =

IMPORTANTE: Uma matriz A só possui inversa se seu determinante for diferente de zero.

[21]

[Matemática II]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFSC – Adaptada) Sejam A = (aij)4x3 e B = (bij)3x4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A.B = C, então o elemento C32 da matriz C, é:

02. (UFSM) Na planilha de cálculos do setor de Engenharia, responsável pelas obras do shopping, foram encontradas as matrizes:

 log1 log 0,01 A  log100 log10 

e

   cos 2 B  sen 3 2 

  4   cos  3 tg

É correto, então, afirmar que A é igual a a) 1 B 2

b) B c) –B d) 2BT e) 2B

k 1 k 03. (FFFCMPA) A matriz A =  é tal que A2 =   1 8 . O valor de é    m m 3   4 7 a) 4. b) 2. c) 1. d) – 2. e) – 4.

04. (UFRGS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante. A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2, P3 desse restaurante. A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2 e P3, está indicada na alternativa

22]

[Matemática II]  5, se i  j , então o valor de a32  a34  a22 é:  1, se i  j

05. (PUC) Se a(ij) é uma matriz de ordem 3 x 4 definida por a ij   a) -125 b) -25 c) -5 d) 5 e) 25

x

y 1

 1  1 0 t  , tais que A  B = 1 0

06. (UNIFRA) Dadas as matrizes A =   eB=   1 1 x  0 vale:

 3 4   , então x + y  2 1

a) –3 b) –1 c) 1 d) 2 e) 11

2     2x 1 x   20   , B   - 4  e C    e A  B = C. Então log4 x é: 07. (UFSM) Se A   2 0 1 - 6    10   

a) 4 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) 0

08. (PEIES-II) Considere a matriz quadrada de ordem 2, A = (aij), onde a ij 

12 . Se B é a matriz inversa de A, ij

então B + Bt é igual a:  3

  2   2 3 

a)  2 

 3  4   4 6 

c) 

3

 2    2  3  1 1   d)  6 4   1 1   4 6

b)  2 

 3 4    4  6

e) 

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. 94 | 2.D | 3.D | 4.A | 5.B | 6.E | 7.C | 8.C

[23]

[Matemática II]

UNIDADE 3 DETERMINANTES

3.1. Definição Determinante de uma matriz quadrada é um número obtido realizando operações entre os elementos da própria matriz, seguindo algumas regras.

Podemos representar o determinante de uma matriz A de várias maneiras:

Det A = |A| =

2

-1

-2

3

3.2. Determinante de 2ª Ordem É obtido simplesmente subtraindo-se o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

Exemplos: a)

b)

c)

-1 - 2 2

3

4

5

-1

2

=

=

x

6

1

2

= 26

3.3. Determinante de 3ª Ordem O determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem é facilmente obtido, seguindo uma regra prática, chamada “Regra de Sarrus”.

Exemplos:

1

2

a) 0

-2

5 =

-1

-4

0

-1

-5

b) 2

0

1

2

-3

-3 3 = -1

24]

[Matemática II]

x

-x

c) 2x 5 x 1

-2

1 2 = 3x + 1 0

3.4. Propriedades 1) Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz A são nulos, então det A = 0 2) Se uma matriz que tem duas filas paralelas (linhas ou colunas) iguais, então; det A = 0 3) Se uma linha (ou coluna) é um múltiplo de outra linha (ou coluna), então; det A = 0 4) A troca da posição de duas linhas (ou colunas) altera o sinal do determinante, mas não o seu valor numérico.

5) O determinante não se altera se for somada a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna) multiplicada por uma constante.

6) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua Transposta. det A = detAt .

7) Se a linha de uma matriz é multiplicada por uma constante, o determinante fica multiplicado por esta constante.

8) Se uma matriz A de ordem “n” é multiplicada por uma constante “k”, o seu determinante será multiplicado por “ kn ”. det (k.An) = kn.det A 9) O determinante de uma matriz produto é igual ao produto dos determinantes. det (A.B) = det A. det B 10) O determinante de uma matriz inversa é igual ao inverso do determinante da matriz original. det A-1 = 1/ detA

[25]

[Matemática II]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFRGS) Sendo A = (aij) n x n uma matriz onde n é igual a 2 e aij = i2 - j, o determinante da matriz A é a) –3 b) –1 c) 0 d) 1 e) 3

aij  j; i  j aij  i  j; i  j

02. (UPF) Considere a matriz A, de ordem 3, na qual  O determinante da matriz A vale a) -20 b) 10 c) 13 d) -14 e) 18

03. (UFSM) A equação abaixo na variável x, tem duas soluções reais

a) somente para m  Z b) para todo m  |R c) somente para m = O d) somente para m = 1/3 e) para m = 1 + i, onde i é a unidade imaginária 04. (FURG) Considerando as matrizes:

a  A= d   g

b e h

c f  i 

a  B= b   c

d e f

g h  i 

 2a  C = 2d  2 g

2e  2e 2 f  2h 2i  2b

 a  D=  g    d

Se det ( A) = k ≠ 0 , então: det (B) + det (C ) + det ( D ) é: a) 10k b) 2k c) 4k d) 8k e) 11k 05. (UFRGS) Se A é uma matriz 2x2 e det A = 5, então o valor de det 2A é a) 5. b) 10. c) 20. d) 25. e) 40.

26]

b h e

c i  , f 

[Matemática II] 06. (UFRGS) O determinante da matriz mostrada na figura a seguir é nulo a) para quaisquer valores de a e b. b) apenas se a = 0 c) apenas se b = 0 d) somente se a = b e) somente quando 1 + 2a + (b + 3) = 0 07. (UFSM) Sejam A, B e C matrizes reais 3 × 3, tais que A . B = C-1, B = 2A e det C = 8.

Então o valor do |det A| é a) 1/16 b) 1/8 c) 1 d) 8 e) 16 2  08. (URGS) O valor do determinante: 0 0  0

2  1  é: 0 2 3   0 0  1 2

2

1

1

a) -4 b) -2 c) 0 d) 2 e) 4 *** OBS: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.  1   2 e B  1  1 3  3

09. (UCS) Dadas as matrizes A  0

0

2

1 2 det A é igual a:   então det B  2  3  

a) -11/2 b) 11/2 c) -7/2 d) -7/4 e) Zero  1  3 4   83  x  2 5  3

10. (UCPEL) O conjunto solução da equação algébrica: A   1

x

a) {2, 2} b) {-3/2} c) {2, -3/2} d) {2} e) {-2, -3/2}

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.E | 2.E | 3.B | 4.A | 5.C | 6.A | 7.B | 8.E | 9.C | 10.C

[27]

[Matemática II]

UNIDADE 4 SISTEMAS LINEARES

4.1. Regra de Cramer A Regra de Cramer é um método de resolução de sistemas lineares que se baseia na resolução de determinantes.

Para resolver um sistema devemos: 1º) Construir e resolver um determinante que chamaremos de Δ. Este determinante será formado pelos coeficientes das incógnitas.

2º) Construir e resolver um novo determinante que chamaremos de Δx . Este determinante será obtido substituindo no Δ a coluna dos coeficientes do x por uma coluna formada pelos termos independentes.

3º) Construir e resolver um novo determinante que chamaremos de

Δy .

Este determinante será obtido

substituindo no Δ a coluna dos coeficientes do y por uma coluna formada pelos termos independentes.

Este passo (2º e 3º) deve ser repetido, de modo similar, para todas as variáveis que existir no sistema.

Após determinarmos os valores de Δ, Δx ,Δy, Δz, e todos os demais que existirem, fica simples calcularmos os valores de x, y, z, etc. Para isso basta dividirmos os valores, da seguinte maneira:

,

,

,

...

Vejamos um exemplo

1º)

|

2º)

|

3º)

|

4º)

|

|

⇒ (-1 + 1 + 4 ) – ( -1 –2 –2 ) = ( 4 ) – ( -5 ) = 4 + 5 = 9

|

⇒ ( - 6 + 0 + 2 ) – ( 0 –12 –1 ) = ( - 4 ) – ( -13 ) = -4 +13 = 9

|

⇒ ( -1 + 0 + 6 ) – ( -1 + 0 – 12 ) = ( 5 ) – ( -13 ) = 5 +13 = 18

| ⇒ ( 0 + 24 -1 ) – ( -6 +2 + 0 ) = ( 23 ) – ( - 4 ) = 23 + 4 = 27

Agora basta descobrirmos os valores de x, y e z

28]

[Matemática II] Logo a solução do sistema será a terna ordenada x, y, z, ou seja S = { ( x, y, z ) } ⇒ S = { ( 1, 2, 3 ) }

4.2. Discussão de Sistema Linear Para discutirmos um sistema linear devemos analisar o que acontecerá com as possibilidades de solução de acordo com o comportamento de Δ, Δx ,Δy, Δz.

Vejamos.

Se Δ ≠ 0 ⇒ temos um Sistema Possível e Determinado ( possui uma única solução).

Se

Δ=0

⇒ devemos analisar o comportamento dos outros determinantes.

Se Δx = Δy = Δz = ... = 0 ( possui infinitas soluções ).

Se Δx ou

⇒ temos um Sistema Possível e Indeterminado

Δy ou Δz ou ... ≠ 0 ⇒ temos um Sistema Impossível ( não possui solução).

4.3. Sistema Homogêneo Sistema Homogêneo é um sistema linear que possui os seus termos independentes todos iguais a zero.

Exemplo:

Observe que como o sistema homogêneo tem todos os termos independentes iguais a zero, teremos sempre Δx = Δy = Δz = ... = 0, e por consequência um sistema homogêneo nunca será impossível.

Se Δ ≠ 0 ⇒ temos um Sistema Possível e Determinado ( possui uma única solução).

Se

Δ=0

⇒ temos um Sistema Possível e Indeterminado ( possui infinitas soluções ).

[29]

[Matemática II]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFSM) A remoção de um volume de 540 m3 de entulho da construção de uma obra viária foi feita com dois tipos de caminhões. O primeiro tem capacidade de carga de 6m3, com custo de R$30,00 por viagem. O segundo tem capacidade de carga de 10m3 com custo de R$ 40,00 por viagem. Sendo destinados R$ 2.400,00 para a remoção do entulho, as quantidades de viagens necessárias para os caminhões do primeiro e do segundo tipos removerem completamente o entulho são, respectivamente, a) 30 e 40. b) 30 e 50. c) 40 e 50. d) 40 e 40. e) 40 e 30. x+y =1

02. (UFRGS) Se a terna ordenada (a, b, c) satisfaz o sistema de equações

y + z = 1 , então a + b + c vale x+z =0

a) 2. b) 1. c) zero. d) -1 e) -2

4 x  3 y  z  0 03. (UFRGS) As soluções do sistema de equações 2 x  3 z  0 , estão representadas pela terna  8 x  6 y  2 z  0 

a) (x, 14x/9, 2x/3) b) (x, 14x, -2x/3) c) (x, -14x/9, 2x/3) d) (x, 14x, 2x/3) e) (x, 14x/9, -2x/3)

04. (UFSM) Uma escola dispõe de R$ 2,20 para fornecer um lanche a cada criança. É recomendado que cada lanche contenha 1350 calorias e 66 gramas de proteínas. Num certo dia, a escola serve iogurte, chocolate e pastel, distribuídos na tabela a seguir, em quantidades de calorias, proteínas e custo correspondentes a 100 gramas.

As quantidades de pastel, iogurte e chocolate que cada criança deve receber são, respectivamente, em gramas, a) 5, 20, 10 b) 150, 100, 200 c) 30, 200, 100 d) 100, 200, 50 e) 50, 100, 200

30]

[Matemática II]  x yz 3 05. (UFRGS) O sistema de equações abaixo tem solução se e só se o valor de a é  x  y  z  1  x  3 y  3z  a 

a) 6. b) 5. c) 4. d) 2. e) zero

2 x  y  2 z  b  1  06. (UFRGS) O sistema  x  2 y  z  b tem solução se, e somente se, b é igual a  x  y  z  1 b  a) –2. b) –1. c) 0. d) 1. e) 2.

07. (UFRGS) O sistema linear é possível e determinado, exceto para um número finito de valores de k. A soma de todos esses valores de k é

k  2 x  y  z  0   x  ky  z  0   x  (k  1) z  4  a) -1. b) -1/2. c) 0. d) 1/2. e) 1.

08. (UFRGS) A terna ordenada (x, y, z) = (1, 2, 3) é solução do sistema linear abaixo.

 x  ay  bz  1  0  ax  bz  z  1  0 Os valores de a e b são, respectivamente, a) 2 e -2. b) 1 e 2. c) 2 e 3. d) -1 e 2. e) 1 e -3.

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.E | 2.B | 3.A | 4.E | 5.B | 6.E | 7.A | 8.A

[31]

[Matemática II]

UNIDADE 5 NOÇÕES DE MATEMÁTICA

FINANCEIRA 5.1. Regra de Três Simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Para resolver um problema envolvendo regra de três simples, devemos: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos: 01. Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

02. Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

32]

[Matemática II]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

02. Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

03. (UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais para o almoço durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas, seria suficiente para um número de dias igual a: a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20 04. (UFRGS) Em 2006, segundo notícias veiculadas na imprensa, a dívida interna brasileira superou um trilhão de reais. Em notas de R$ 50,00, um trilhão de reais tem massa de 20.000 toneladas.

Com base nessas informações, pode-se afirmar corretamente que a quantidade de notas de R$ 50,00 necessárias para pagar um carro de R$ 24.000,00 tem massa, em quilogramas, de a) 0,46 b) 0,48 c) 0,50 d) 0,52 e) 0,54 05. (UFRGS) 0,3 semanas corresponde a a) 2 dias e 1 hora. b) 2 dias, 2 horas e 4 minutos. c) 2 dias, 2 horas e 24 minutos. d) 2 dias e 12 horas. e) 3 dias.

06. (UFRGS) A planta de um terreno foi feita na escala 1:500. Se, na planta, o terreno tem área de 10 cm2, sua área real, em metros quadrados, é a) 25. . b) 50. c) 100. d) 250. e) 500.

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. R$ 200,00 | 2. 32 dias | 3.C | 4.B | 5.C | 6.D

[33]

[Matemática II]

5.2. Regra de Três Composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para resolver estes problemas, podemos usar o mesmo raciocínio. As únicas diferenças que precisamos observar são: 1º) Quando analisar se as grandezas são diretas ou inversas, sempre deve ser feito em relação a grandezas a qual queremos descobrir (incógnita); 2º) Quando montar a igualdade, deve-se igualar a fração que tem a incógnita com o produto das outras frações estabelecidas após a inversão das grandezas que forem necessárias(as que são inversamente proporcionais).

Exemplo: Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

02. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

03. (UFPE) Certa tarefa seria executada por 15 operários trabalhando 8 horas por dia, durante 20 dias. Se 5 trabalhadores foram transferidos quando completados 13 dias do início da tarefa, em quantos dias os 10 trabalhadores restantes concluirão a tarefa, se, agora, eles trabalharão 7 horas por dia?

34]

[Matemática II] 04. (B. do Brasil) Vinte e cinco tecelões, trabalhando 7 horas por dia, durante 18 dias, fizeram 750 metros de certo tecido. Quantos tecelões trabalhando 9 horas por dia, durante 14 dias, seriam necessários para fazer 630 metros do mesmo tecido?

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. 32 | 2. 12 | 3. 12 | 4. 21

5.3. Porcentagem É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.

Exemplos: A gasolina teve um aumento de 15%.

Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00.

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

RAZÃO CENTESIMAL Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal.

Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

[35]

[Matemática II] Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos: Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXEMPLOS: 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

5.4. Matemática de Financeira A MATEMÁTICA FINANCEIRA tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação e ainda a obtenção de recursos financeiros.

ALGUMAS DEFINIÇÕES IMPORTANTES: CAPITAL: É qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época.

Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal.

36]

[Matemática II] JUROS: É o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo período de tempo.

TAXA DE JUROS: É um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado.

Exemplo: Capital Inicial: $ 100 Juros: $ 150 - $ 100 = $ 50 Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período A taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.

TAXA DE JUROS UNITÁRIA: A taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária ( 0.05 ) a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a taxa percentual por 100: 5 % / 100 = 0.05

MONTANTE: Denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).

Ex.: Capital Inicial (R$ 100) + Juros (R$ 50) = Montante = R$ 150

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO: Quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros: capitalização simples; capitalização composta.

JUROS SIMPLES Somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros Transformando em fórmula temos:

J=C.t.i Onde: J = juros C = capital i = taxa de juros t = número de períodos (tempo)

[37]

[Matemática II] Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao Capital temos o montante.

Montante = Capital + Juros

M=C+J Exemplos: 01. Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

02. Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

03. Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao capital para o cálculo dos juros do período seguinte.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao capital.

Exemplos: Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =C.(1 + i) 2º mês: o capital é igual ao montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o capital é igual ao montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula:

M = C . (1 + i)t 38]

[Matemática II] IMPORTANTE: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J=M–C Exemplos: 01. Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

02. Calcular o montante de um capital de $1.000,00, aplicado à taxa de 4% a.m., durante 5 meses, no regime de juros compostos.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.600,00 de juros em 75 dias?

02. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

03. Um capital de R$ 80.000 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período

04. Calcular o montante de um capital de $15.000,00, aplicado à taxa de 3% a.m., durante 6 meses, no regime de juros compostos.

[39]

[Matemática II] 05. A loja “Topa Tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de $16.000,00 sem entrada, para pagamento em uma única prestação de $22.753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja, se o regime é de juros compostos?

06. Em uma promoção numa revenda da carros, está sendo dado um desconto de 18% para pagamento à vista. Se um carro é anunciado por R$ 16.000,00, então o preço para pagamento à vista desse carro será: a) R$ 13.120,00 b) R$ 13.220,00 c) R$ 13.320,00 d) R$ 13.420,00 e) R$ 13.520,0 07. (PUC - RS) Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a: a) 2 b) 5 c) 20 d) 40 e) 80 08. (UnB) Um capital aplicado, a juros simples, a uma taxa de 20% ao ano duplica em: a) 24 anos b) 6 anos c) 12 anos d) 10 anos e) 5 anos 09. Um capital C foi aplicado a juros simples, durante um ano e seis meses da seguinte maneira: 50% do capital foram aplicados a 4% ao ano,1/3 foi aplicado a 10% ao ano e o restante foi aplicado a i% ao ano. Se o rendimento total obtido ao término do prazo foi 10,5% do capital aplicado, então o valor de i é: a) 8% b) 10% c) 12% d) 14% e) 16% 10. (VUNESP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos em uma certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente desse banco deposita 1000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, é: a) 1000 + 0,15n b) 1000 x 0,15n c) 1000 x 0,15n d) 1000 + 1,15n e) 1000 x 1,15n

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. R$ 120000 | 2. 8 meses | 3. R$ 6000 | 4. R$ 17910,75 | 5. 4,5% a.m. | 6. A | 7. C | 8. E | 9. B | 10. E

40]

[Matemática II]

UNIDADE 6 GEOMETRIA PLANA

6.1. Teorema de Tales Se duas transversais intersectam um feixe de paralelas, então os segmentos delimitados pelas mesmas paralelas sobre as transversais, são sempre de medidas proporcionais .

A

r

B

C

D

s

t

F

E

b

a

6.2. Semelhança de Triângulos Dois triângulos são semelhantes entre si se, e somente se, tem os ângulos congruentes e as medidas dos lados correspondentes proporcionais.

𝑨

𝑴

𝑩

𝑵

𝑪

𝑷

[41]

[Matemática II]

6.3. Área de Figuras Planas ÁREA DO TRIÂNGULO Vejamos as principais formas de calcular a área de um triângulo.

√ (

)(

)(

)

√

√

ÁREA DOS QUADRILÁTEROS Vejamos as principais formas de calcular a área de alguns quadriláteros mais usados.

√

42]

[Matemática II]

6.4. Relações na Circunferência CÍRCULO OU CIRCUNFERÊNCIA Comprimento ou Perímetro da Circunferência

Área do círculo:

Podemos observar que uma coroa circular é obtida retirando-se um círculo de raio r de um círculo de raio R, então podemos dizer que:

Podemos observar que um setor circular é uma parte da circunferência onde podemos estabelecer uma proporção utilizando o ângulo central deste setor com o ângulo total de uma circunferência inteira para descobrir tanto o comprimento l deste setor quanto sua área. Vejamos:

Comprimento

Área

[43]

[Matemática II]

6.5. Polígonos Regulares na Circunferência TRIÂNGULO EQUILÁTERO ⇒

√

√

⇒

QUADRADO ⇒ ⇒

√

HEXÁGONO REGULAR √

⇒

√

44]

[Matemática II]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01 (UFSM) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede: a) 33 m b) 38 m c) 43 m d) 48 m e) 53 m

02 (UFRGS) Para estimar a profundidade de um poço com 1,10 m de largura, uma pessoa cujos olhos estão a 1,60 m do chão posiciona-se a 0,50 m de sua borda. Desta forma, a borda do poço esconde exatamente seu fundo, como mostra a figura.

Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade do poço é: a) 2,82 m b) 3,00 m c) 3,30 m d) 3,52 m e) 3,85 m 03. (UFSM) Para facilitar o estudo dos triângulos, a menina foi orientada por sua professora a trabalhar com jogos educativos.

O TANGRAM é um quebra-cabeça de origem chinesa. É formado por cinco triângulos retângulos isósceles, T1, T2. T3, T4 e T5, um paralelogramo P e um quadrado Q que, juntos, formam um quadrado, conforme a figura apresentada. Se a área de Q é 1, é correto afirmar: a) A área do quadrado maior é 4. b) A área de T1 é o dobro da área de T3. c) A área de T4 é igual à área de T5. d) A área de T5 é ¼ da área do quadrado maior. e) A área de P é igual a área de Q. 04. (UFRGS) Um triângulo equilátero foi inscrito em um hexágono regular, como representado na figura abaixo. Se a área do triângulo equilátero é 2, então a área do hexágono é a) 2 2 b) 3 c) 2 3 d) 2+ 3 e) 4 05. (UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua área cresce a) 14 % b) 14,4 % c) 40 % d) 44 % e) 144 %

[45]

[Matemática II] 06. (UFRGS) Numa esquina cujas ruas se cruzam, formando um ângulo de 120º, está situado um terreno triangular com frentes de 20m e 45m para essas ruas, conforme representando na figura abaixo. A área desse terreno, em m2, é a) 225 b) 225 2 c) 225 3 d) 450 2 e) 450 3 07. (UFRGS) Uma das dimensões de um certo retângulo é o dobro da outra. A expressão algébrica da área A, desse retângulo, em função do seu perímetro P, é p2 p2 a) . d) .

18 4 p2 p2 b) . e) .

9 2 p2 c) .

6 08. (UFRGS) A altura de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência é 2 3 cm. A razão entre a área desse triângulo e a área de um quadrado inscrito nessa mesma circunferência é a) 3 /4 b) (3 3 )/4 c) 3/8 d) 3 /8 e) (3 3 )/8 09. (UFRGS) Os babilônios utilizavam a fórmula A = (a + c)(b + d)/4 para determinar aproximadamente a área de um quadrilátero com lados consecutivos de medidas a, b, c, d.

Para o quadrilátero da figura a seguir, a diferença entre o valor aproximado da área obtido utilizando-se a fórmula dos babilônios e o valor exato da área é a) 11/4. b) 3. c) 13/4. d) 4. e) 21/4.

10. (UFRGS) Observe a figura. Nesta figura, cada um dos quatro círculos tem raio igual a tangente às diagonais do quadrado e a um dos seus lados. A área do quadrado é

2 1 e é

2  1. b) 2 2 . a)

c) 4. d) 3 2  1 . e) 6.

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. B | 2. D | 3. E | 4. E | 5. D | 6. B | 7. A | 8. E | 9. C | 10. C

46]

[Matemática II]

UNIDADE 7 GEOMETRIA ESPACIAL

7.1. Poliedros Chamamos de poliedro o sólido geométrico limitado por polígonos que possuem, dois a dois, um lado comum (possui apenas superfícies planas).

Os elementos básicos de um poliedro são: faces, arestas, vértices e diagonais.

Diagonal de um poliedro é a semi-reta que une dois vértices que não pertencem a uma mesma face.

POLIEDRO CONVEXO Um poliedro é convexo quando em relação a uma face qualquer ele está inteiramente situado num mesmo semi-espaço em relação a essa face.

POLIEDRO NÃO CONVEXO Um poliedro não é convexo quando em relação a uma face ele não está inteiramente situado num mesmo semi-espaço em relação a essa face.

[47]

[Matemática II]

TEOREMA DE EULER Em qualquer poliedro convexo vale a relação.

V+F=A+2 Onde:

V = número de vértices; A = número de arestas; F = número de faces

Observe também que: Sendo f o número de faces com p arestas, e v o número de vértices com n arestas concorrendo no mesmo, temos:

ou

POLIEDROS REGULARES Um poliedro é regular quando as faces são polígonos regulares, e em cada vértice concorre o mesmo número de arestas.

Só existem 5 poliedros regulares.

48]

[Matemática II]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFRGS) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente, a) 34 e 10 b) 19 e 10 c) 34 e 20 d) 12 e 10 e) 19 e 12 02. (UFSM) Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de faces pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais é, em radianos, igual a a) 3 b) 12 c) 36 d) 64 e) 108 03. (Acafe-SC) Um poliedro convexo tem 15 faces triangulares, 1 face quadrangu1ar, 7 faces pentagonais e 2 faces hexagonais. O número de vértices desse poliedro é: a) 25 b) 48 c) 73 d) 96 e) 71 04. (PUC-RS) Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é 3 do número de faces?

5

a) 60 b) 30 c) 25 d) 20 e) 15 05. (PUC-PR) Um poliedro convexo tem 7 faces. De um de seus vértices, partem 6 arestas e de cada um dos vértices restantes, partem 3 arestas. Quantas arestas tem esse poliedro?

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.B | 2.E | 3.A | 4.B A | 5. 12

[49]

[Matemática II]

7.2. Prismas São poliedros que têm duas faces paralelas e congruentes chamadas de bases e as demais faces têm a forma de paralelogramos e são chamadas faces laterais.

Os prismas podem ser retos e oblíquos.

Quando a base é um polígono regular dizemos que o prisma é regular, e de acordo com o número de lados da base classificamos também o prisma, como triangular, quadrangular, pentagonal, e assim por diante.

ÁREA DA BASE Basta calcularmos a área da figura plana correspondente a base do prisma. Vejamos os principais casos de áreas da base nos prismas.

TRIANGULAR REGULAR

Área da base

QUADRANGULAR REGULAR

√

HEXAGONAL REGULAR

√

50]

[Matemática II]

ÁREA LATERAL Podemos observar que a planificação da área lateral de um prisma é um paralelogramo (se este prisma for reto esta planificação se torna um retângulo) e, portanto, podemos facilmente calcular a sua área lateral calculando a área do paralelogramo onde a base é o perímetro “ P ” da figura que forma a base do prisma e a altura é a própria altura “ h “ do prisma. Então:

ÁREA TOTAL É a soma de todas as áreas das faces do Prisma.

VOLUME É dado pelo produto da área da base pela altura do prisma.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFSM) Três crianças estavam brincando na biblioteca da escola e resolveram fazer pilhas de mesma altura, com livros, conforme a figura. A mais organizada fez a pilha A, e as outras duas fizeram as pilhas B e C. Considerando-se que todos os livros têm a mesma área de capa e que as pilhas têm a mesma altura, pode-se afirmar que

a) o volume da pilha A é maior do que o volume da pilha C. b) os volumes das pilhas B e C são iguais e maiores do que o volume da pilha A. c) o volume da pilha A é menor do que o volume da pilha B que é menor do que o volume da pilha C. d) os volumes das três pilhas são iguais. e) não existem dados suficientes no problema para decidir sobre os volumes e compará-los.

[51]

[Matemática II] 02. (UFRGS) A figura a seguir representa a planificação de um sólido. O volume deste sólido é a) 20 3 b) 75 c) 50 3 d) 100 e) 100 3

03. (UFSM) Um caminhão tem carroceria com 3,40 metros de comprimento, 2,50 metros de largura e 1,20 metros de altura. Quantas viagens devem-se fazer, no mínimo, para transportar 336 metros cúbicos de arroz? a) 24 b) 29 c) 30 d) 32 e) 33

04. (UFSM) Observe o sólido representado na figura, formado por cubos de aresta a. Considerando que ele é simétrico ao plano definido pelas retas r e s e que o bloco central é um paralelepípedo retângulo, pode-se afirmar que a área total da peça é a) 46a2 b) 58a2 c) 24a2 d) 60a2 e) 42a2

05. (UFRGS) Na figura ao lado está representada a planificação de um prisma hexagonal regular de altura igual à aresta da base. Se a altura do prisma é 2, seu volume é a) 4 3 . b) 6 3 . c) 8 3 . d) 10 3 . e) 12 3 .

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. D | 2. B | 3. E | 4. A | 5. E

52]

[Matemática II]

7.3. Paralelepípedo Chamamos de paralelepípedo reto retângulo, o prisma reto que tem como base um retângulo.

c

b a Vamos calcular as áreas e volume como os demais prismas, vejamos: Para calcularmos as áreas da base e lateral, basta calcularmos as áreas dos retângulos correspondentes. ÁREA DA BASE

ÁREA LATERAL

Para calcularmos a área total e o volume podemos utilizar as relações usadas nos prismas genéricos, substituindo os valores conhecidos. ÁREA TOTAL

VOLUME

(

)

CÁLCULO DA DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO. Vamos usar o teorema de Pitágoras e encontrar a diagonal do paralelepípedo.

d2 = a2 + b2

D2 = d2 + c2 logo 2 D = a2 + b2 + c2 √

[53]

[Matemática II]

7.4. Cubo – Hexaedro Regular Chamamos de cubo (hexaedro regular), o prisma quadrangular regular reto que tem a altura igual à aresta da base.

a

a a Vamos calcular as áreas e volume como os demais prismas, vejamos: Para calcularmos as áreas da base e lateral, basta calcularmos as áreas dos quadrados correspondentes. ÁREA DA BASE

ÁREA LATERAL

Para calcularmos a área total e o volume podemos utilizar as relações usadas nos prismas genéricos, substituindo os valores conhecidos. ÁREA TOTAL

VOLUME

CÁLCULO DA DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO. Vamos usar o teorema de Pitágoras e encontrar a diagonal do cubo.

d2 = a2 + a2 d2 = 2.a2

D2 = d2 + a2 logo 2 D = 2.a2 + a2 D2 = 3.a2

√ √ 54]

[Matemática II]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFSM) Uma caixa de sapatos (com tampa) é confeccionada com papelão e tem as medidas, em centímetros, conforme a figura. Sabendo-se que à área total da caixa são acrescentados 2% para fazer as dobras de fixação, o total de papelão empregado na confecção da caixa, em cm2, é

a) 2406 b) 2744 c) 2856

d) 2800 e) 8000

02. (UFRGS) Se num paralelepípedo o comprimento é reduzido em 10%, a largura é reduzida em 5% e a altura é aumentada em 15%, então o volume a) não se altera. b) aumenta em 0,75%. c) se reduz em 0,75%. d) aumenta em 1,675%. e) se reduz em 1,675%.

03. (UFSM) Uma caixa de embalagens dos Correios, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, foi utilizada pelo partido A para envio de materiais de campanha (cartazes, santinhos, ,,,) nas últimas eleições. A função S(x) que representa a área da folha de papelão retangular utilizada para construção da caixa, conforme a planificação dada na figura, é: a) S(x) = 4x2 + 900x + 48600. b) S(x) = 630x +48600. c) S(x) = - 4x2 + 180x +48600 d) S(x) = - 3x2 – 135x + 81000 e) S(x) = 3x2 – 135x - 81000

04. (UFPE) De um paralelepípedo reto-retângulo com dimensões x, 3x e 6x, são removidos dois cubos de aresta x, como indicado na figura. Qual o comprimento da aresta de um cubo cujo volume é igual ao do sólido restante?

05. (UFRGS) A figura representa a planificação de um cubo cujas faces foram numeradas de 1 a 6.

O produto dos números que estão nas faces adjacentes à face de número 1 é a) 120. b) 144. c) 180. d) 240. e) 360. 𝟑

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. C | 2. E | 3. B | 4. 𝟐𝒙 √𝟐 | 5. C

[55]

[Matemática II]

7.5. Cilindro É o sólido obtido a partir da rotação de um paralelogramo em torno de um de seus lados. Se este paralelogramo for um retângulo, teremos um cilindro reto.

Para fins de aplicação, vamos considerar o cilindro como um prisma regular.

Se planificarmos o cilindro, encontraremos dois círculos e um retângulo, e então obtemos as fórmulas relativas serão facilmente obtidas.

ÁREA DA BASE Basta calcularmos a área do círculo correspondente a base do cilindro.

 ÁREA LATERAL Podemos observar que a planificação da área lateral de um cilindro é um paralelogramo (se este cilindro for reto esta planificação se torna um retângulo) e, portanto, podemos facilmente calcular a sua área lateral calculando a área do paralelogramo onde a base é o perímetro “ P = 2r ” da circunferência que forma a base do cilindro e a altura é a própria altura “ h “ do cilindro. Então:

 56]

[Matemática II]

ÁREA TOTAL É a soma de todas as áreas do cilindro.

VOLUME É dado pelo produto da área da base pela altura do cilindro.

 OBSERVAÇÃO Cilindro Equilátero O cilindro é chamado de equilátero quando a mediada da altura é igual a medida do diâmetro da base.

2r = h EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFRGS) Um pedaço de cano de 30 cm de comprimento e 10cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a base inferior vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, e água. a) ultrapassa o meio do cano. b) transborda. c) não chega ao meio do cano. d) enche o cano até a borda. e) atinge exatamente o meio do cano.

02. (ULBRA) Em um cilindro circular reto de volume 108, a altura mede 12. O raio da base mede. a) 12. b) 9. c) 6. d) 3. e) 2.

[57]

[Matemática II] 03. (UFSM) Para viabilizar o escoamento do trânsito, será construído um túnel, em linha reta, de 300 m de comprimento cujas secções transversais são semicírculos de raio r = 10m.

Assim, o volume de terra retirado deve ser de aproximadamente ____ m3. A área da superfície circular do túnel será de ____m3.

Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas. a) 47.100; 4.710 b) 47.100; 9.420 c) 94.200; 9.420 d) 94.200; 4.710 e) 70.650; 7.065

04. (FFFCMPA) Um aquário tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo com as seguintes dimensões internas: 50cm de comprimento, 30cm de largura e 40cm de altura. Esse aquário contém água até a altura de 30cm. Deseja-se colocar nesse aquário objetos cilíndricos maciços e idênticos de densidade maior do que a densidade da água. Sabendo-se que a altura e o diâmetro desses cilindros medem 10cm e considerando  = 3,14, a quantidade máxima desses objetos que pode ser colocada no aquário, de modo que a água nele contida não transborde, é: a) 15. b) 16. c) 19. d) 20. e) 21.

05. (Vunesp) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m3 de água e 42m3 de petróleo. Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é: a) 2 b) 8 c) 7 d)

⁄

e)

⁄

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. A | 2. D | 3. B | 4. C | 5. C

58]

[Matemática II]

7.6. Cone É o sólido obtido a partir da rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus lados.

Se planificarmos o cilindro, encontraremos um círculo e um setor circular, e então obtemos as fórmulas relativas serão facilmente obtidas.

ÁREA DA BASE Basta calcularmos a área do círculo correspondente a base do cone.

 ÁREA LATERAL Podemos observar que a planificação da área lateral de um cone é um setor circular onde o raio é a geratriz do cone e o comprimento do arco do setor na planificação é o perímetro da circunferência da base do cone (P = 2r). Esta relação é bem importante para realização de alguns exercícios.

Para calcular a área lateral podemos usar a relação:

[59]

[Matemática II]

ÁREA TOTAL É a soma de todas as áreas das faces do Cone.

VOLUME Corresponde a 1/3 do volume de um cilindro de mesma base e mesma altura do cone em questão



OBSERVAÇÃO Cone Equilátero O cone é chamado de equilátero quando a mediada da geratriz é igual a medida do diâmetro da base.

2r = g

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (FURG) De um recipiente em forma de um cilindro circular reto, com raio r = 1m e altura h = 3m, cheio com um líquido, foi retirado um volume de líquido correspondente a um cone de mesma base e altura do cilindro. O volume de líquido que permanece no cilindro é 2  m3

5 3 m 2 5  m3 1 d)  m3 2 1 e)  m3 3

60]

[Matemática II] 02. (UFSM) Duplicando-se simultaneamente a medida do raio da base e da altura de um cone circular reto, seu volume. a) fica 8 vezes maior. b) fica 6 vezes maior. c) quadruplica. d) duplica. e) não se altera.

03. (UFSC) A geratriz de um cone equilátero mede 2 3 cm. Calcule a área da secção meridiana do cone, em cm2, e multiplique o resultado por 3 .

04. (FURG) Seja V1 o volume de um cone reto de altura 3 cm e diâmetro da base 4 cm. Aumentando o diâmetro da base em 20% e mantendo a mesma altura, obtemos um cone de volume V2 ; então a) V2 = 49 cm3

25 b) V2 = 24 cm3 5 81 c) V2 = cm3 16 d) V2 = 144 cm3 25

e) V2 = 484cm3 05. (Fuvest-SP) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20 cm. Com essa cartolina, um menino constrói um chapéu cônico e coloca-o com a base apoiada sobre uma mesa.

Qual a distância do bico do chapéu à mesa? a) 10 3 cm b) 3 10 cm c) 20 10 cm d) 20 cm e) 10 cm

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. A | 2. A | 3. 9 | 4. D | 5. A

[61]

[Matemática II]

7.7. Pirâmide Uma pirâmide é um poliedro cuja base é uma região polígonal, e suas faces laterais são triângulos que possuem um ponto comum chamado de vértice da pirâmide.

Quando a base é um polígono regular dizemos que a pirâmide é regular, e de acordo com o número de lados da base classificamos também o prisma, como triangular, quadrangular, pentagonal, e assim por diante.

Cálculo das áreas nas pirâmides.

ÁREA DA BASE Basta calcularmos a área da figura plana correspondente a base da pirâmide. Vejamos os principais casos de áreas da base nas pirâmides.

TRIANGULAR REGULAR

Área da base

QUADRANGULAR REGULAR

√

HEXAGONAL REGULAR

√

62]

[Matemática II]

ÁREA DA FACE LATERAL É a área do triângulo correspondente a face lateral. Observe que a base do triângulo da face lateral corresponde a aresta da base( L ) e a altura do triângulo corresponde ao apótema da pirâmide ( g ).

ÁREA LATERAL Basta calcular a soma das áreas dos triângulos que formam as faces laterais. Quando a pirâmide for regular, as faces laterais serão congruentes e, portanto basta calcular uma delas e multiplicar pelo número de faces (número de arestas da base).

Observe que se a pirâmide for regular com n lados na sua base, podemos calcular a área lateral da seguinte maneira:

Vejamos um resumo dos principais casos de áreas laterais nas pirâmides.

TRIANGULAR REGULAR

QUADRANGULAR REGULAR

HEXAGONAL REGULAR

Área lateral

ÁREA TOTAL É a soma de todas as áreas das faces da pirâmide.

VOLUME Corresponde a 1/3 do volume de um prisma de mesma base e mesma altura da pirâmide em questão

[63]

[Matemática II]

SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE OU DE UM CONE

Ao realizarmos uma secção transversal de uma pirâmide ou um cone estabelecemos algumas relações importantes. Vejamos:

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFRGS) Na figura, O é o centro do cubo. Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmide de base ABCD e vértice O é a) 1/2. b) 1/3. c) 1/4. d) 1/6. e) 1/8.

02. (UFRGS) A partir de quatro dos vértices de um cubo de aresta 6, construído com madeira maciça, foram recortadas pirâmides triangulares congruentes cada uma tendo três arestas de medida 3, conforme representado na figura.

O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura, ao lado.

O volume do sólido obtido é a) 198. b) 204. c) 208. d) 212. e) 216.

64]

[Matemática II] 03. (ITA-SP) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4 m e de área de base 64 m2 vale: a) 128 m2 b) 64 2 m2 c) 135 m2 d) 60 5 m2 e) 32





2

2 1 m

04. (UFSM) Um técnico agrícola utiliza um pluviômetro na forma de pirâmide quadrangular, para verificar o índice pluviométrico de uma certa região. A água, depois de recolhida, é colocada num cubo de 10cm de aresta. Se, na pirâmide, a água atinge uma altura de 8cm e forma uma pequena pirâmide de 10cm de apótema lateral, então a altura atingida pela água no cubo é de a) 2,24 cm b) 2,84 cm c) 3,84 cm d) 4,24 cm e) 6,72 cm

05. (UFRGS) Um octaedro tem seus vértices localizados nos centros das faces de um cubo de aresta 2.

O volume do octaedro é a) 2/3. b) 4/3. c) 2. d) 8/3. e) 10/3.

06. (UFSM) Na hora do recreio, Susanita comprou um copo de sorvete com a forma de um cone com altura h de 8 cm e raio da base R de 3 cm. Para enchê-lo com quantidades iguais de sorvetes de creme e de chocolate, a altura x atingida pelo primeiro sabor deve ser a) 4 3 cm b) 3 3 cm c) 4 3 4 cm d) 4 2 cm e) 4 cm

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. D | 2. A | 3. B | 4. C | 5. B | 6. C

[65]

[Matemática II]

7.8. Esfera Uma esfera de centro C e de raio R, é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão a uma distância menor ou igual a R do ponto C. Também podemos dizer que uma esfera é um sólido de revolução obtido pela rotação de um círculo sobre seu diâmetro.

ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA É a área da superfície que limita o interior da esfera.

VOLUME DE UMA ESFERA

PLANO SECANTE A UMA ESFERA Uma esfera quando seccionada por um plano, gera neste plano um círculo, e podemos facilmente estabelecer uma relação entre o raio deste círculo e o raio da esfera utilizando o Teorema de Pitágoras.

R2 = d 2 + R’ 2

66]

[Matemática II]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFSM) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16 cm3, o raio da esfera é dado por a) 3 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 4 +

2 cm

02. (UFRGS) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto de altura 4r, raio da base r e espessura desprezível, como na figura abaixo. Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas é a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/2 e) 2/3 03. (UFSM) Dentre as estratégias para conquistar o público, foi construída por renomado artista plástico uma obra de arte na área de acesso aos cinemas. Ela é composta por um cilindro de material transparente, com 4 m de diâmetro e 6 m de altura, no qual foi inscrito um cone de mesma base e altura, também transparente. Esse cone contém, no seu interior, um líquido vermelho com inúmeras esferas douradas as quais, por um movimento constante desse líquido, criam um belo visual para quem observa. Sabe-se que as esferas têm 3 cm de raio e totalizam 10.000 unidades.

Assim, se 7 = 3, o volume do líquido contido no cone é de a) 70,92 m3 b) 24,00 m3 c) 72,00 m3 d) 22,92 m3 e) 20,76 m3 04. (UFRGS) A figura representa um cilindro circunscrito a uma esfera.

Se V1 é o volume da esfera e V2 é o volume do cilindro, então a razão V1 / V2 - V1 é a) 1/3. b) 1/2. c) 1. d) 2. e) 3.

05. (UNIFRA) Uma superfície esférica de raio R é cortada por um plano que está a uma altura h = 1 cm dessa superfície, conforme a figura. O volume dessa esfera mede cm3. A área do círculo obtido pelo corte desse plano mede, em  cm2, a) 3. b) 9. c) 27. d) 81. e) 243.

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. C | 2. D | 3. D | 4. D | 5. B

[67]

[Matemática II]

UNIDADE 8 GEOMETRIA ANALÍTICA A Geometria Analítica tem por finalidade resolver problemas geométricos utilizando os recursos da álgebra.

8.1. Sistema de Coordenadas Cartesianas Na Geometria Analítica os pontos, as retas e as circunferências são elementos geométricos contidos num mesmo plano. y +3

2ºQ

1ºQ

+2 +1 x -3

-2

-1

0 +1

+1

+2

3º Q

+2

+3

4º Q

+3

 eixo OX é chamado eixo das abscissas.  eixo OY é chamado eixo das ordenadas.

COORDENADAS DE UM PONTO y

P Yp

xp

 Xp = abscissa do ponto P.  Yp = ordenada do ponto P.

68]

x

[Matemática II]

8.2. Distância Entre 2 Pontos Para calcularmos a distância entre 2 pontos podemos observar que na verdade basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triangulo abaixo onde as medidas dos catetos são as diferenças entre os valores das variáveis x e y. y

(

B

YB

d

)

(

)

Então

( YB – YA )

A

YA

( XB – XA )

√(

(

)

x

XB

XA

)

Exemplo: 1) Determine a distância entre os pontos A(9; 6) e B(1; 2):

2) Determine um ponto do eixo das abscissas equidistantes dos pontos A(2; -4) e B(-5; 3):

8.3. Ponto Médio A abscissa e a ordenada do ponto médio (M) de um segmento AB, são obtidas através da média aritmética das abscissas e das ordenadas dos extremos do segmento. Isso pode ser garantido se observarmos que ao escolhermos o ponto “M” definimos um novo triângulo cuja razão de semelhança é ½ em relação ao triangulo anterior. y B

YB M YA

A

XA

XB

x

Exemplos: 1) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A(0, 0) e B(4, 8):

[69]

[Matemática II]

8.4. Baricentro de Triângulo O baricentro de um triângulo é o ponto de interseção das medianas. Pode ser facilmente obtido calculandose a média das coordenadas dos vértices do triângulo. y

B

YB

M3 G

M1

YC

C M2 A

YA

XA

x

XC

XB

Exemplo: Determinar as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são A(0, 4), B(1, 3) e C(-2, 7):

8.5. Área de um Triângulo O cálculo a área de um triângulo ABC, conhecendo as coordenadas dos seus vértices, pode ser feito utilizando determinantes. Para isso devemos construir uma matriz 3x3 onde na 1ª coluna colocamos as abscissas dos pontos, na 2ª coluna as ordenadas e na 3ª coluna completamos com uma coluna de números iguais a “1” (elemento neutro na multiplicação). A área será, em módulo, a metade deste determinante. y

B

YB

|

YC

YA

Podemos também calcular esse determinante de modo similar utilizando o artificio abaixo:

C

A

DET = XA

XB

XC

Logo, teremos que a área será dada por:

|

x

|

|

Exemplo: Calcule a área do triângulo ABC, sendo A(-2, 1), B(5, 3) e C(0, 2):

70]

XA

XB

XC

XA

YA

YB

YC

YA

[Matemática II]

8.6. Condição de Alinhamento de Três Pontos Sejam A, B e C três pontos de um plano cartesiano, para que eles estejam eles não podem definir um triângulo, então a área definida por eles é igual à zero, ou seja, o determinante deve igual à zero, portanto a condição de alinhamento será: y C

YC

B

YB YA

A

XA

XB

XC

XA

XB

XC

XA

YA

YB

YC

YA

=0

X

Exemplo: Determinar os valores de m para que os pontos A(3, 2), B(m, 0) e C(2, m) estejam alinhados:

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFRGS) Na arquitetura, a Matemática é usada a todo o momento. A Geometria é especialmente necessária no desenho de projetos. Essa parte da Matemática ajuda a definir a forma dos espaços, usando as propriedades de figuras planas e sólidas. Ajuda também a definir as medidas desses espaços. Uma arquiteta é contratada para fazer o jardim de uma residência, que deve ter formato triangular. Analisando a planta baixa, verifica-se que os vértices possuem coordenadas A (8, 4), B (4, 6) e C (2, 4). No ponto médio do lado formado pelos pontos A e C, é colocado um suporte para luminárias.

Considerando o texto e seus conhecimentos, é correto afirmar que a distância do suporte até o ponto B mede, em unidades de comprimento, a) 37 b)

3 c) 5 d) 13 e) 17

[71]

[Matemática II] 02. (CTISM) Sabendo-se que A(3/5, 1/5) e B(2, 3), o comprimento do segmento AB é 3 5 7 5 3 b) 7

a)

c)

3 5 5

d)

7 3 5

e)

7 5 5

03. (UFSC) Um ponto material móvel P(-2 + t,

4t 3

+ 2) desloca-se no plano cartesiano e suas coordenadas

variam em função do tempo t (t  0). A distância percorrida pelo ponto material móvel entre o ponto A para t = 0 e o ponto B para t = 6, é:

04. (UFSM) Dados os pontos A ( 4 , 7 ), B ( 0 , 3 ) e C ( x , 2x + 1 ), os possíveis valores de x para os quais a área do triângulo ABC vale 6, são: a) 3 e -5 b) 5 e 3 c) -1 e 5 d) -1 e -5 e) 5 e -3 05. (PUC) - Para que os pontos A (1 , 0 ), B ( 0 , 1), C ( x , y ) estejam alinhados, deve-se ter? a) x + y - 1 = 0 b) x + y + 1 = 0 c) x - y - 1 = 0 d) x - y + 1 = 0 e) x + y = 0 06. (UFRGS) Os pontos A = (-a, 0), B = (0, b) e C = a, 0) são os vértices de um triângulo retângulo com ângulo reto em B. Então a) a - b = 0 b) a + b = 0 c) a - b = 1 d) a - |b| = 1 e) |a| - |b|

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. C | 2. E | 3. 10 | 4. C | 5. A| 6. E

72]

[Matemática II]

8.7. Equação da Reta Podemos escrever a equação da reta de diferentes maneiras. Vejamos alguns casos:

EQUAÇÃO GERAL DA RETA Vamos pensar primeiramente que uma reta é um conjunto de infinitos pontos que estão alinhados, e que para definirmos uma reta precisamos ter 2 pontos da mesma. Logo para encontrarmos a equação de uma reta, conhecendo dois pontos A e B, podemos utilizar a condição de alinhamento, e consideramos os dois pontos conhecidos e um terceiro genérico (X,Y)que representa todos os outros pontos que estão alinhados com os pontos A e B, e portanto, na mesma reta.

Logo, para encontrar a equação de uma reta, basta aplicar:

XA

XB

X

XA

YA

YB

Y

YA

=0

Encontraremos desta forma, o que chamamos de Equação Geral da Reta, que pode ser escrita como:

Ax + By + C = 0

→ EQUAÇÃO GERAL DA RETA

Exemplos: 1) Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A(2, 2) e B(4, -3):

2) Equação geral da reta da figura seguinte: y

3

x

-2

[73]

[Matemática II]

EQUAÇÃOREDUZIDA DA RETA Para obter a equação reduzida da uma reta, basta, a partir da equação geral, isolarmos o y.

Substituindo –A/B por m e –C/B por q, temos:

Onde m é chamado de coeficiente angular e n é chamado de coeficiente linear.

Exemplos: 1) Obter a equação reduzida, o coeficiente angular m e linear q das seguintes retas: a) r: 2x + 3y + 5 = 0

b) s: 3y – 9 = 0

c) t: -x + y = 0

2) Obter a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(0, 1) e B(1, 0):

3) Obter a equação geral e a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-2, 3) e B(4, -1):

74]

[Matemática II]

EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA Considere uma reta que não passe pela origem e intercepte os eixos nos pontos P(p,0) e Q(0,q). A equação segmentária ocorre quando evidenciamos os valores de p e q na equação.

y

Esta forma é obtida facilmente a partir da equação geral, simplesmente traspondo o termo independente para o outro lado da equação e a seguir dividindo toda a equação pelo próprio termo independente. Desta forma encontramos a seguinte forma da equação:

Q (0,q) P (p,0)

x Esta forma é chamada de Equação Segmentária da Reta.

Exemplos: 1) Obter a equação segmentária da reta 2x + 3y – 6 = 0

2) Obter a equação segmentária da reta 4x – 3y + 12 = 0 (represente graficamente).

8.8. Coeficiente Angular Vamos considerar uma reta r que possui uma inclinação  em relação ao eixo OX. O coeficiente angular “m” da reta r, é o número real que corresponde a tg .Ou seja:

Vejamos diferentes situações dependendo da inclinação da reta. y y r

00<  < 900

r

900 <  < 1800





x

x

y

y =0

r

0

 = 90°

r 

x

x

[75]

[Matemática II] Exemplos: Determinar o coeficiente angular em cada caso: y y

120° 30°

x

x

COEFICIENTE ANGULAR DADO DOIS PONTOS Quando conhecemos dois pontos de uma reta podemos utilizar a definição da tangente no triângulo retângulo para calcular o valor do coeficiente angular. Vejamos: y B

YB

( YB – YA ) YA

A

 ( XB – XA )

XA

XB

x

Exemplo: A reta r passa pelos pontos A(1, 3) e B(5, 7). Determine seu coeficiente angular e sua inclinação:

76]

[Matemática II]

EQUAÇÃO DA RETA DADO UM PONTO E O COEFICIENTE ANGULAR ; se considerarmos um ponto como um ponto genérico P(X;Y) e o outro como o

Sabendo que

ponto conhecido A(XA; YA), então teremos:

Logo, temos que:

(

)

Exemplo: Obtenha a equação da reta que passa por (2, 3) e tem inclinação de 60°.

8.9.Posição Relativa entre 2 Retas RETAS PARALELAS Quando temos 2 retas paralelas, elas possuem a mesma inclinação e portanto o mesmo coeficiente angular.

y

r

s

r = s r

s

mr = ms

x

Exemplos: 1) Determine a constante K de modo que as retas r e s, de equações 3x + 2y – 1 = 0 e Kx – 4y + 5 = 0, respectivamente, sejam paralelas:

[77]

[Matemática II] 2) Considere a reta r, de equação 4x + 2y – 1 = 0, e o ponto P, de coordenadas (3, 2). Determinar a equação da reta s, paralela à reta r, passando por P.

RETAS PERPENDICULARES Quando temos 2 retas perpendiculares, elas formam juntamente com o eixo OX um triângulo retângulo. Se aplicarmos as relações conhecidas na trigonometria, veremos que os seus coeficientes angulares podem ser relacionados da seguinte maneira:

y

1 mr = ms

r

r

Exemplos:

s

x s

1) Determine K de modo que as retas kx – 2y = 0 e (2k – 1) . x + 3y – 2 = 0 sejam perpendiculares.

2) Consideremos a reta r, de equação 4x + 2y – 1 = 0 e o ponto P(3; 2). Determinar a equação da reta s, perpendicular a r, passando por P.

3) Obtenha a equação da mediatriz do segmento de extremidades em A(1; 1) e B(7;9).

78]

[Matemática II]

INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS Duas retas não paralelas têm um ponto em comum. As coordenadas desse ponto são obtidas pela resolução do sistema das equações.

Exemplo: Obter a interseção das retas de equações 3x + y – 1 = 0 e x – y + 3 = 0:

8.10. Ângulos Entre Duas Retas Se observarmos que o ângulo  entre duas retas r e s é a diferença entre os valores de r e s, podemos utilizar os nossos conhecimentos de trigonometria para descobrir este ângulo.

Como y

, temos que:

(

);

Aplicando a tangente da diferença temos: s

Substituindo pelos coeficientes angulares e aplicando o módulo para encontrarmos o menor dos ângulos, temos:  s

|

r x

|

r

Exemplo: Calcular o ângulo formado pelas retas de equações r: 3x – y + 7 = 0 e s: 2x + y – 5 = 0

[79]

[Matemática II]

OBSERVAÇÃO Quando uma das retas for perpendicular ao eixo OX, podemos simplesmente considerar a relação: y



| r

|

x r

s

Exemplo: Determinar o ângulo entre as retas r: y = 3 x – 1 e s: x = 3

8.11. Distância de Ponto a Reta Para calcular a distância de um ponto P( XP;YP ) e uma reta r: ax + by + c = 0, basta aplicar a relação: y y P

p

x

|

√

|

x

p

r:ax+by+c = 0

Exemplos: 1)A distância do ponto P(2, -6) à reta r de equação 3x + 4y – 12 = 0, vale:

2) Calcular a distância entre as retas paralelas de equações r:4x + 3y + 17=0 e s:4x + 3y + 2=0

80]

[Matemática II]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFRGS) Considere a figura a seguir. Uma equação cartesiana da reta r é a) y = 3 /3 – x b) y =

3 /3 (1-x) c) y = 1 - 3 x d) y = 3 (1-x) e) y = 3 (x-1) 02. (FURG) Dada uma reta r cuja equação é y = – x + 4, seja s uma reta que não intercepta r e passa pelo ponto (3, – 1). Então, a equação da reta s é dada por y = 2x – 7. . y = x – 4. y = –2x + 5. y = –3x + 8. e) y = –x + 2.

03. (UFRGS) A área do triângulo que tem lados sobre as retas de equações y = -2x + 9, x = 1 e y = 1 é a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 04. (FURG) A equação da reta r , distante 3 unidades da origem e representada no gráfico, é

3 x – 3y = 0 3y+x–6=0 3x–y–6=0 2 3 x + 2y – 3( 3 + 1) = 0 3x+y–6=0

05. (PEIES) Considerando o gráfico, é INCORRETO afirmar: A equação da reta s é y + 3x – 3 = 0.

A intersecção da reta r com o eixo x é o ponto (-2,0).

As retas r e s se intersectam no ponto de abscissa x = 1/4.

A área da região do plano delimitada pelas retas r e s e pelo eixo x é igual a 27/4.

A tangente do ângulo agudo  formado pelas retas r e s é dada por tg  = 2.

06. (UFSM) Se as retas r: y = x e s: y = -x, sobre as quais estão dois lados de um retângulo. O ponto P(4, 2) é um dos vértices do retângulo. Então, pode-se dizer que os outros dois lados desse retângulo estão sobre as retas. y=x–2 e y=x+6 y = –x + 2 e y = x + 6 y = x – 2 e y = –x + 6 y = –x – 2 e y = –x + 6 y=x+2 e y=x+6

[81]

[Matemática II] 07. (UFSM) Supondo agora que o percurso feito por você e o Sr. Jones é descrito pela reta r, cuja equação é 2x – 3y + 5 = 0, então, a equação da reta perpendicular a r e que passa pelo ponto P(5, 10), é a) 3x + 2y – 35 = 0 b) 2x + 3y – 5 = 0 c) 2x + 3y + 35 = 0 d) 2x – 3y + 5 = 0 e) 3x – 2y + 35 = 0 08. (FURG) A equação da mediatriz do segmento AB , sendo A(-2, 2) e B(4, - 4) é a) x – y – 2 = 0 b) – x – y – 2 = 0 c) x + y = 0 d) x + y – 2 = 0 e) x – y + 2 = 0 09. (FAFRA) A equação geral da reta que passa pelo vértice da parábola definida por y = x2 + 2x - 1, cujo coeficiente angular é dado por tg 135º é: x+y+2=0 3x  y  3  2  0

3x  y  3  2  0 x+y+3=0 x+y-3=0

10. (UFRGS) As retas r e s da figura interceptam-se no ponto de ordenada: 3/2 5/3 7/4 9/5 11/6

11. (UNIFRA) Um raio luminoso parte de A (3,4) e se reflete em B (7,0). A equação da semi-reta r que é a trajetória do raio refletido e o ângulo formado pelos raios incidentes e refletido são, respectivamente: x – y – 7 = 0 e 90º. x – y + 7 = 0 e 60º. x + y – 7 = 0 e 135º. x + y + 7 = 0 e 45º. x – y – 7 = 0 e 135º.

12. (VUNESP) A equação da mediatriz do segmento, cujas extremidades são os pontos A(3,2) e B(-2,-4), é: 10x + 12y + 7 = 0 10x + 5y + 7 = 0 5x + 10y + 7 = 0 12x + 10y + 7 = 0 3x + 4y + 7 = 0

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. B | 2. E | 3. D | 4. E | 5. C | 6. C | 7. A | 8. C | 9. D | 10. D | 11. A | 12. A

82]

[Matemática II]

8.12. Equação da Circunferência Circunferência é a figura geométrica de infinitos pontos que estão a uma igual distância de um ponto chamado de centro da circunferência, essa distância é o raio da circunferência. Então podemos utilizar a relação da distância entre um ponto genérico P(X,Y) e o centro C(a,b) para construirmos a Equação Reduzida da Circunferência. y

P

y b

(

dp. c = Raio

c a

)

(

)

x

x

Exemplo: Determinar a equação reduzida das circunferências que têm centro e raio respectivamente iguais a: a) C(1, 2) e R = 5 (

)

(

)

⇒ (

)

(

)

b) C(0; 0) R = 4 (

)

(

)

⇒

c) C(3, -1) e R = 2 (

)

(

(

⇒ (

))

)

(

)

EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA A partir da equação reduzida da circunferência, basta desenvolvermos os produtos notáveis para obtermos a equação geral.

(

Chamando

de D,

)

(

)

de E e

Equação Geral da Circunferência

[83]

de F, teremos:

[Matemática II] Os dois principais problemas que envolvem circunferência são:.  Dadas as coordenadas do centro e o raio, obter a equação.  Dada a equação geral obter as coordenadas do centro e o raio.

COORDENADAS DO CENTRO E DO RAIO Como para escrever a equação da circunferência chamamos de D, de E e de F, para 2 2 obter as coordenadas do centro e o raio da circunferência, a partir da circunferência x + y + Dx + Ey + F = 0, faremos:

√ Exemplos: 1) Obtenha a equação geral da circunferência com centro em centro em C(-2, 1) e raio = 1 2 .

2) Determine as coordenadas do centro e o raio das circunferências a seguir: a) x2 + y2 + 10x – 4y + 26 = 0

c) x2 + y2 – 25 = 0

3) Determinar a equação da circunferência na qual os pontos A(5; 7) e B(-1; -1) são extremidades de um mesmo diâmetro:

84]

[Matemática II]

RECONHECIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA As condições para que a equação de 2º grau com duas variáveis abaixo represente uma circunferência são: Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 1°) A = B = 1 (ou redutíveis a 1) 2°) Cxy = 0 3°) r > 0 ⇒

Exemplo: Verifique quais das seguintes equações representam uma circunferência. Em caso afirmativo determine o centro e o raio. a) x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0

b) x2 + y2 + 4x + 10y + 30 = 0

c) 3x2 + 5y2 – 7x + 2y – 1 = 0

POSIÇÕES RELATIVAS – RETA E CIRCUNFERÊNCIA Dados uma circunferência de equação : x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, e uma reta de equação ax + by + c = 0 , existem 3 situações q podem ocorrer. Vejamos duas maneiras de diferencia-las:

⇒ Analisando a distância do centro da circunferência à reta. dC;e > R ⇒ A reta é externa a circunferência.

y

dC;t = R ⇒ A reta é tangente a circunferência. b

C e: asx + b3y + c3 = 0

a

dC;s < R ⇒ A reta é secante a circunferência.

x

t: a2x + b2y + c2 = 0 s: a1x + b1y + c1 = 0

[85]

[Matemática II] ⇒ Resolvendo o sistema formado pelas equações da reta e da circunferência  e analisando as soluções, teremos: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ax + by + c = 0 Se  > 0  A reta é secante à circunferência Se  = 0  A reta é tangente à circunferência Se  < 0  A reta é tangente à circunferência

Exemplos: 1) Obtenha a equação da circunferência de centro C(2; -3), sabendo que ela é tangente à reta x + y = 0.

2) Determine os pontos de interseção da reta r, de equação 2x – y + 3 = 0 com a circunferência de equação x2 + y2 – 4y + 3 = 0

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. (UFRGS) As extremidades de uma das diagonais de um quadrado inscrito em um círculo são os pontos (1,3) e (-1,1). Então, a equação do circulo é a) x2 + y2 + 4y – 2 = 0 b) x2 + y2 - 4y + 2 = 0 c) x2 + y2 - 2y + 2 = 0 d) x2 + y2 + 2 = 0 e) x2 + y2 - 4y = 0 02. (FFFCMPA) Os laboratórios de Física Nuclear utilizam o cíclotron no qual as partículas são aceleradas em trajetórias circulares. Supondo que uma partícula descreva uma trajetória circular ao longo da circunferência de equação x2 + y2- 6x + 8y = 0, então essa partícula percorrendo uma volta sobre essa circunferência terá percorrido, nessa trajetória, uma distância, em unidades de comprimento (u.c.) igual a a) 2  . b) 4  . c) 10  d) 14  . e) 25  .

86]

[Matemática II] 03. (UFRGS) A equação x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0 representa um círculo se e somente se a) m  0 b) m  0 c) m  13 d) m  -13 e) m  13 04. (FURG) Uma corda da circunferência x2 + y2 + 6y – 16 = 0 tem A(2,1) como ponto médio. A equação da reta suporte dessa corda é a) x + y – 3 = 0 b) 2x – y – 3 = 0 c) x – y – 1 = 0 d) x + 2y + 6 = 0 e) x +2y – 4 = 0 05. (FURG) Uma reta r contém o centro da circunferência x2 + y2 – 6x -16 = 0 e é perpendicular à reta x – 2y + 3 = 0. A equação da reta r é a) x + y + 3 = 0 b) x – 2y – 3 = 0 c) x + 2y + 3 = 0 d) 2x – y + 6 = 0 e) 2x + y – 6 = 0 06. (UFRGS) O comprimento da corda que a reta r definida pela equação 2x - y = 0 determina no círculo  de centro no ponto C (2, 0) e raio r = 2 é a) 0 b) 2 c) 5 d)

10

5

e) (4 5 )/5 07. (UFRGS) Um círculo com centro C = (2, -5) tangencia a reta de equação x - 2y – 7 = 0. O valor numérico da área da região limitada pelo círculo é a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 08. (UFSM) A equipe de arquitetos e decoradores que fez o projeto do shopping deseja circunscrever uma circunferência ao quadrado maior Q1, que possui lado de 10m. Se as coordenadas do centro da circunferência forem dadas pelo ponto (10, 8) e se forem usadas a parede da porta de entrada (x) e a lateral esquerda (y) como eixos coordenados referenciais, a equação da circunferência será a) x2 + y2 – 20x – 16y + 139 = 0 y b) x2 + y2 – 20x – 16y + 64 = 0 A B c) x2 + y2 – 20x – 16y + 114 = 0 2 2 d) x + y – 20x – 16y – 36= 0 e) x2 + y2 – 16x – 20y + 139 = 0 C x

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. B | 2. C | 3. E | 4. E | 5. E | 6. E | 7. B | 8. C

[87]

[Matemática II]

UNIDADE 9 NÚMEROS COMPLEXOS

9.1. Definições O conjunto dos números complexos vem para resolver problemas um tanto comuns aos nossos estudos, a raiz quadrada de um número real negativo. Vejamos: √

√ (

)

√ √

√

Então o problema que temos verdadeiramente é a √ ; por isso a partir de agora e para o estudo deste novo conjunto numérico, passaremos a considerar que √ e esta será chamada de unidade imaginária.

FORMA ALGÉBRICA Todo número complexo pode ser escrito na sua forma algébrica como Z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, ou seja:

 Imaginário puro  a = 0 e b ≠ 0  Número real  b = 0  Número não real  b ≠ 0 Exemplos: 2 + 3i ⇒ a = 2, b = 3; 1 - 5i ⇒ a = 1, b = -5; -7+13i ⇒ a = -7, b = 13; 3i ⇒ a = 0, b = 3; -4i ⇒ a = 0, b = -4; 2 ⇒ a = 2, b = 0;

CONJUGADO E OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO Considerando o número complexo Z = a + bi, define-se: CONJUGADO

OPOSTO

Z = a- bi

-Z = -a- bi

Exemplos: ̅

⇒ ⇒

̅

e e

88]

[Matemática II]

IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS Considerando os números complexos Z1 = a + bi e Z2 = c + di Se Z1 = Z2, então a = c e b = d.

Exemplo:

2x + (y + 3)i = 8 + 5i

2x = 8 e y + 3 = 5, logo x=4ey=2

POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA “i” Vamos observar as potências da unidade imaginária i. i0 = 1 i1 = i

i4 = 1 i5 = i

i8 = 1 i9 = i

i12 = 1 i13 = i

i2 = -1 i3 = -i

i6 = -1 i7 = -i

i10 = -1 i11 = -i

i14 = -1 i15 = -i

Logo podemos calcular facilmente qualquer potências de i, dividindo o expoente da potência por 4 e tomando o resto desta divisão como novo expoente de i.

Exemplos: i23 = i3 = -i i52 =

9.2.Operações na Forma Algébrica ADIÇÃO Para adicionar dois números complexos, soma-se, algebricamente, as componentes reais entre si e as componentes imaginárias também entre si.

Exemplos: (3+5i) + (2+10i) = 3 + 5i + 2 + 10i = 5 + 15i (4 - 8i) + (-2 + 3i) = 4 - 8i - 2 + 3i = 2 - 5i

SUBTRAÇÃO Para subtrair dois números complexos, troca-se de sinal o subtraendo e adiciona-se.

Exemplos: (10 + 8i) - (4 + 5i) = 10 + 8i - 4 - 5i = 6 + 3i (3 - 7i) - (5 - 2i) = 3 - 7i - 5 + 2i = -2 -5i

[89]

[Matemática II]

MULTIPLICAÇÃO Para multiplicar dois complexos, multiplica-se cada componente (parte) de um deles por cada componente (parte) do outro.

Exemplo: (5+3i) . (2 + 4i) = 10 + 20i + 6i + 12i2 = 10 + 26i + 12(-1) = 10 + 26i -12 = - 2 + 26i

DIVISÃO Para dividir dois complexos, multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do seu denominador.

Exemplo:

2  2i 2  2i 2  i 6  2i    2i 2i 2i 5

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. O valor de i35 é a) -i b) -1 c) 1 d) 0 e) i 02. Para que o complexo x + 2 + 8i seja um número imaginário puro, x deve ser igual a a) -8 b) -2 c) 8 d) 2 e) ±2 03. A parte real do número complexo 2a + b + (a - b)i é 9. Para que o mesmo seja um número real, a . b deve valer a) -9 b) -3 c) -1 d) 3 e) 9 04. O complexo m -1 + (m + n)i é igual ao complexo a) 25 b) 16 c) 9 d) 4 e) 1

5 + 2i. Calculando n2, encontra-se

90]

[Matemática II] 05. A soma da parte real com o coeficiente da parte imaginária do complexo

1 é 3i

a) 10 3 10 3 c) 5 1 d) 10 2 e) 5

b)

06. Dividindo 13 por 2 + 3i resulta a) 2 - 2i b) 3 - 2i c) 3 + 3i d) 3 + 2i e) 2 - 3i 07. (UFRGS ) A forma a + bi de z = (1 + 2i ) / (1 - i) é a) 1/2 + 3/2i b) -1/2 + 3/2i c) -1/2 + 2/3i d) -1/2 - 2/3i e) 1/2 - 3/2i 08. (UFSM - 2001) Se (1 + ai) (b - i) = 5 + 5i, com a e b  |R, então a e b são raízes da equação a) x2 - x - 6 = 0 b) x2 - 5x - 6 = 0 c) x2 + x - 6 = 0 d) x2 + 5x + 6 = 0 e) x2 - 5x + 6 = 0 09. (FFFCMPA – 2008) Se z é um número complexo e z é seu conjugado, a representação geométrica do conjunto solução da equação z . z = 1 é a) um ponto. b) um segmento de reta. c) uma reta. d) um arco de circunferência. e) uma circunferência.

10. (UFRGS -2007) Sendo i a unidade imaginária, a soma dos termos da sequência i0, i1, i2, i3, i4, i5, ..., i2007 é a) -1 b) 0 c) 1 d) –i e) i

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. A | 2. B | 3. E | 4. D | 5. E | 6. E | 7. B | 8. E | 9. E | 10. B

[91]

[Matemática II]

9.3. Representação Gráfica Todo número complexo Z=a + bi, também pode ser representado por um ponto P(a, b) no Plano Cartesiano. Este plano é conhecido aqui, como “Plano de Argand-Gauss”.

AFIXO, MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO Afixo: é o ponto P de coordenadas (a,b) que representa o número Z= a+bi.

Módulo ( | |

): É a distância do afixo até a origem. Logo: ⇒

√

Argumento ( ): é a medida do ângulo que se obtémgirando no sentido anti-horário o semi eixo real Ox até se encontrar o segmento OP. Então, podemos obseravar, para determinar  as razões trigonométricas. e

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO Como vimos sen Ɵ = b/ρ e cos Ɵ = a/ρ, então

e

,

logo podemos escrever o número complexo Z = a + bi, em função do módulo e do argumento;vejamos

então

(

)

Esta é a chamada “Forma Trigonométrica ou Polar de um Número Complexo”.

92]

[Matemática II]

9.4. Operações na Forma Trigonométrica Dados dois números complexos Z1 = ρ1.(cosƟ1 + i.senƟ1) e Z2 = ρ2.(cosƟ2 + i.senƟ2), podemos realizar as operações algébricas na forma trigonométrica, da seguinte maneira:

MULTIPLICAÇÃO/DIVISÃO Z1.Z2 = ρ1.ρ2. [cos(Ɵ1 + Ɵ2) + i.sen(Ɵ1 + Ɵ2)] Z1 / Z2 = ρ1 / ρ2. [cos(Ɵ1 - Ɵ2) + i.sen(Ɵ1 - Ɵ2)]

POTENCIAÇÃO (1ª FÓRMULA DE MOIVRE) Dado um número complexo Z = ρ.(cosƟ + i.senƟ), podemos facilmente fazer a potenciação do número complexo da seguinte forma:

OBSERVAÇÃO Você pode ganhar tempo!

(2 – 2i)12 = ((2 – 2i)2)6 = (4 – 8i + 4i2)6 = (4 – 8i + 4(-1))6 = ((4 – 8i - 4)6 = ( – 8i )6 = ( - 8)6.i6

= 86.i2

= - 218

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 02. Na figura, complexo Z é

[93]

= (23)6.(-1)

[Matemática II] 01. A forma trigonométrica do número complexo - 3 +i é a) cos 30° + i sen 30° b) 2 (cos 30° - i sen 30°) c) 2 (cos 120° + i sen 120°) d) 2 (cos 30° + i sen 30°) e) 2 (cos 150° + i sen 150°) 03. O valor de ( 3 + i)6 é a) 64 - 63 i b) - 64 i c) 64 i d) - 64 e) 64 04. (UFRGS) Considere a figura, onde u e v são números complexos.

Se v = u + 1/u, então u vale a) -1 + i b) -1/2 + i 1/2 c) - 3 /2 + i 3 /2 d) - 2 /2 + i 2 /2 e) -1/2 + i 3 /2 05. (UFRGS) (1 + i)15 é igual a a) 64 (1 + i). b) 128 (1 - i). c) 128 (-1 -i). d) 256 (-1 + i). e) 256 (1 + i).

06. (UFRGS) Se z =

3 + i e z' = 3 +

3 i, então z . z' tem módulo e argumento, respectivamente, iguais a

a) 2 3 e 30° b) 3 2 e 30° c) 3 2 e 60° d) 4 3 e 30° e) 4 3 e 60° 07. (UFSM) Dados dois números complexos na forma z = r(cos  + i sen) w = s(cos  + i sen ), pode-se afirmar que z . w é igual a a) rs [cos () - sen ()] b) rs [cos ( + ) + i sen ( + )] c) rs [cos ( - ) - i sen ( - )] d) (r + s) (cos  . cos  - i sen  . sen ) e) (r + s) [cos ( + ) + i sen ( + )]

94]

[Matemática II] 08. (UFSM)

O gráfico mostra a representação geométrica dos números complexos z1, z2 e z3. Sabendo que |z1| = |z2|, afirma-se o seguinte: I – z2 é o complexo conjugado de z1.

II - Se |z1| = 2 , então a área do triângulo cujos vértices são os pontos z1, z2 e z3 é igual a 4.

III - O número z3/z1 está localizado no 3º quadrante.

Está(ão) correta(s) a) apenas II. b) apenas III. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) apenas II e III.

09. (UFSM) Admitindo que o centro do plano complexo coincida com o centro do relógio de ponteiros da questão anterior, se o ponteiro dos minutos tiver 4 unidades de comprimento, estará, às 16 horas e 50 minutos, sobre o número complexo a) -2 3 + 2i b) 2 3 - 2i c) -2 3 - 2i d) -2 + 2 3 i e) 2 - 2 3 i

10. Seja Z o conjugado do complexo 1 - i. A potência Z12 é igual a a) -64 -i b) -64 +i c) -32 -i d) -32 +i e) -64

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. D | 2. E | 3. D | 4. E | 5. B | 6. E | 7. B | 8. B | 9. A | 10. E

[95]

[Matemática II]

UNIDADE 10 POLINÔMIOS

10.1. Definições POLINÔMIOS Chama-se polinômio de grau n a função P: CC, escrita na forma: P(x)=an . xn +an-1 . xn-1 +an-2 . xn-2 +...+a1 . x+ao onde: n  N; an, an-1, an-2, ... , a1 e a0 são os coeficientes do polinômio Exemplos: P1 (x) = -2x3 + 5x2 - x + 5 P2 (x) = x5 + 7x4 - 3x3 - x2 - x -1 P3 (x) = 2x7 + 2x6 - 3x4 - 5x3 + x2 - 2 P4 (x) = x4 + x3 + x2

GRAU DE UM POLINÔMIO É o maior expoente da variável x, cujo coeficiente é diferente de zero; nos exemplos acima Grau de P1(x) = 3 Grau de P2 (x) = 5 Grau de P3 (x) = 7 Grau de P4 (x) = 4

• O Grau da soma de dois polinômios é sempre menor ou igual ao grau do polinômio de maior grau.

• O Grau do produto de dois polinômios é sempre igual à soma dos graus dos dois polinômios.

• O Grau da potenciação é igual ao grau do polinômio multiplicado pelo expoente a que está sendo elevado este polinômio.

96]

[Matemática II]

POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO É todo polinômio cujos coeficientes são todos iguais a zero.

Exemplo: P(x) = 0. x5 + 0 . x4 + 0. x3 + 0. x2 + 0. x, Logo, P(x) = 0.

POLINÔMIOS IDÊNTICOS São polinômios cujos coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais.

Exemplos:

VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO É o número que se obtém quando se substitui x por a e realiza-se todas as operações indicadas no polinômio.

Se: P(x) = x3 + 4x2 - 5x - 10, então P(2) = 23 + 4 . 22 - 5.2 - 10, P(2) = 8 + 4 . 4 - 10 - 10, P(2) = 8 + 16 - 10 -10, P(2) = 4

10.2. Estudo das Raízes RAIZ OU ZERO DE UM POLINÔMIO É o número cujo valor numérico é igual a zero, ou melhor, a é raiz de P(x) ⇒ P(a) = 0 Exemplo: Se P(x) = x3 - 6x2 + 11 x - 6, Então x = 2 é raiz de P(x), pois P(2) = 23 - 6. 22 + 11 . 2 - 6 P(2) = 8 - 6 . 4 + 22 - 6 P(2) = 8 - 24 + 22 - 6 P(2) = 0 Observação: O grau de um polinômio indica o número de raízes e vice-versa.

[97]

[Matemática II]

FORMA FATORADA DE UM POLINÔMIO Todo polinômio escito como

P(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +... + a1 x +a0 Também pode ser escrito na forma:

P(x) = an (x - r1) (x - r2) (x - r3) .... (x - rn) onde r1, r2 , r3.... e rn são as raízes de P(x).

• As raízes de P(x) podem ser obtidas igualando cada fator a zero.

Exemplo: P(x) = (x - 1).(x2 - 3x - 4).(x + 2)3 x+2=0  x=-2 x2 - 3x - 4 = 0  x’ = - 1 ; x” = 4 x–1=0  x=-2

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ Significa o número de vezes que um número a é raiz de um polinômio P(x); através da forma fatorada, podemos analisar isso claramente.

Se P(x) = (x+1)2 . (x-1)3 . (x+2)4 . (x+3), então r1 = -1

 m=2

r2 = 1

 m=3

r3 = - 2  m = 4 r4 = -3  m = 1 (Raiz Simples) P(x) é um polinômio de grau igual a 2 + 3 + 4 + 1 = 10

RAÍZES NULAS DE UM POLINÔMIOS São determinadas se o termo independente deste polinômio for zero; a multiplicidade desta raiz é dada pelo menor expoente da variável x.

Exemplo: P(x) = 3x5 + 2x4 – x3 logo, R = 0  m = 3

98]

[Matemática II]

CANDIDATO A RAIZ RACIONAL DE UM POLINÔMIO É todo número

p tal que p é divisor de ao e q é divisor de an. q

Exemplo:

P (x) = 3x3 + 2x2 - x + 5

Logo o conjunto dos candidatos a raiz racional de P(x) é {1; -1;

1 1 5 5 ; - ; 5; -5; ; - } 3 3 3 3

RAÍZES COMPLEXAS Se P(x) é um polinômio de coeficientes reais e Z = a + bi, com b0, é raiz de P(x), ou seja P(z) = 0, então Z = a - bi também é raiz de P(x).

Se P(x) é de grau ímpar, então pelo menos uma raiz é real.

Se P(x) é de grau par, cuidado, pode ocorrer o caso que nenhuma raiz é real.

As raízes complexas Z e Z sempre aparecem aos pares, ou seja, Z e Z com mesma multiplicidade.

RELAÇÕES DE GIRARD Estabelece as relações existentes entre as raízes de um polinômio e seus coeficientes.

P(x)=an . xn + an-1 . xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1 x+a0 r1+ r2 + r3 + r4 + ... + rn-1 + rn = -

an  1 an

r1 . r2 + r1 . r3 + r1 . r4 + ... + rn-1 . rn =

an  2 an

r1 . r2 . r3 + r1 . r2 . r4 + ... + rn-2 . rn - 1 . rn = ....................................... a r1 . r2 . r3 . r4 . r5 ... rn-1 . rn = (-1)n . 0 an

[99]

an  3 an

[Matemática II]

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Dado p(x) = x2 + 5x + m e P(2) = 3, o valor de m é a) 11 b) -11 c) 3 d) 10 e) 12 02. Um polinômio P(x), cujas raízes são os números -2, -1 e 2, é igual a a) x3 - x2 - 4x + 4 b) x3 + x2 - 4x - 4 c) x3 - x2 - 4x – 4 d) x3 + x2 + 4x + 4 e) x3 - x2 + 4x +4 03. O valor de “a” na equação x2 - 14x + a = 0, sendo uma raiz igual a 5 é a) 5 b) 45 c) -45 d) -5 e) zero 04. A diferença entre a maior e a menor das raízes da equação (x3-x)(x2+4x) = 0 é a) -5 b) – 4 c) 1 d) 2 e) 5 05. Em relação ao polinômio P(x) = (x-2)2 . (x2-4), podemos afirmar que o número 2 a) é raiz simples. b) é raiz dupla c) é raiz tripla d) é raiz quádrupla e) não é raiz 06. O produto das raízes da equação (x-2)(x2-3x+2)3 = 0 é a) -16 b) -4 c) 4 d) 13 e) 16 07. A soma das raízes da equação x3 + 2x2 - x - 2 = 0 é a) -2 b) -1 c) zero d) 1 e) 2

100]

[Matemática II] 08. Uma das raízes do polinômio x3 + 2x2 - 9x - 18 é -2. A soma das outras duas raízes é a) -2 b) -1 c) zero d) 1 e) 2 09. Os valores de m, n e p, para que os polinômios P1(x) = mx2 + px2 + 2mx - nx + 4 e P2(x) = 3x2 + 5x + 2p + 2 sejam idênticos são, respectivamente, a) 2; 1; -1 b) 2; -1; 1 c) 1; -1; 2 d) -1; 1; 2 e) 2; 1; 1 10. Dentre os números abaixo, identifique aquele que não pode ser raiz do polinômio 3x4 + bx3 + cx2 + dx - 4. a) 1 b) 2 c) 4 d) 2/3 e) 3/4 11. As raízes da equação x3 + x2 - x - 1 = 0 são a) todas negativas b) todas positivas c) duas positivas e uma negativa d) duas negativas e uma positiva e) todas simples 12. Se -1, 3 + i e 2 - 5i são três das raízes de uma equação de coeficientes inteiros, então seu grau mínimo é a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 13. Sendo 1 + 4i e 2 -

i raízes do polinômio P(z) = z4 - 6z3 + 33z2 - 84z + k, onde kR, o número de raízes 2

reais de P(z) é a) zero b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 14. Se x4 - 3x3 + 2x2 + 2x - 4 = 0 admite a raiz complexa 1 - i, então a soma das duas raízes reais dessa equação é a) -3 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3

Gabarito dos exercícios de fixação: 1.B |2.B |3.B |4.E |5. C |6.E |7.A |8.C |9. B |10.E |11.D |12.D |13.A |14.C

[101]

[Matemática II]

10. 3. Divisão de Polinômios REGRA DA CHAVE Considere dois polinômios P(x) e D(x), sendo D(x) um polinômio não nulo. Ao realizar a divisão de P(x) por D(x), vamos proceder de modo similar a divisão de dois números naturais. Então, para isso, vamos utilizar o algoritmo da divisão; ao dividirmos P(x) por D(x) encontraremos um polinômio que chamaremos de quociente, representado por Q(x) e outro chamado de resto, representado por R(x); tais que:

P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) Esta expressão pode ser representada na chave, da seguinte forma:

P(x) D(x) Q(x) R(x) Exemplo: Considerando P(x) = x4 + x3 + 3x2 + x + 5 e D(x) = x2 – x + 1, vamos dividir P(x) por D(x).

P(x) = x4 + x3 + 3x2 + x + 5

 DIVIDENDO

D(x) = x2 – x + 1

 DIVISOR

Q(x) = x2 + 2x + 4

 QUOCIENTE

R(x) = 3x + 1

 RESTO

Observações importantes: 1. Gr(R) < Gr(D)

2. Gr(Q) = Gr(P) – Gr(D)

102]

[Matemática II]

TEOREMA DO RESTO É o resto da divisão de um Polinômio P(x) por ax +b dado por P( 

b ). a

Exemplo: P(x) = x3 + 2x2 + 4x + 5 D(x) = x + 2 x+2=0

R = P(-2) = (-2)3 + 2(-2)2 + 4 (-2) + 5

x = -2

R = -8 + 2.4 – 8 + 5 R = -8 + 8 – 8 + 5 R = -3

ALGORISMO DE BRIOTT-RUFFINI É um procedimento que obtém o quociente e o resto da divisão de P(x) por D(x) = ax + b.

Exemplo: Vamos dividir o polinômio P(x) = 3x3 - 8x2 + 5x + 6 pelo polinômio D(x) = x -2.

1º Passo: Encontrar a raiz do divisor e, na primeira linha, coloca-la no lado esquerdo do dispositivo; enquanto que no lado direito do dispositivo, colocar todos os coeficientes dos termos do dividendo, em ordem decrescente de expoente.

Raiz do D(x)

2

Coeficientes do P(x)

3

-8

5

6

2º Passo: Repetir o 1º coeficiente do P(x), na mesma coluna, porém na 3ª linha.

Raiz do D(x)

2

Coeficientes do P(x)

3

-8

3

[103]

5

6

[Matemática II] 3º Passo: Multiplicar a raiz do D(x) pelo número da 3ª linha, colocando o resultado, na 2ª linha, porém na próxima coluna à direita; a este resultado somar o coeficiente de P(x) da mesma coluna, colocando o resultado na 3ª linha.

Raiz do D(x)

2

Coeficientes do P(x)

3

-8

5

6

6 3

-2

4º Passo: Repetir o processo do 3º passo até a última coluna, separando o último valor encontrado, este último será o valor do R(x), e os demais são os coeficientes do Q(x) em ordem decrescente de expoente.

Raiz do D(x)

2

Coeficientes do P(x)

3

3

-8

5

6

6

-4

2

-2

1

8

Coeficientes do Q(x)

Resto

Então encontramos: Q(x) = 3x2 – 2x + 1 e R(x) = 8

OBSERVAÇÃO Dados dois Polinômios P(x) e D(x) tais que P(x) é divisível por D(x) , então: • O resto da divisão de P(x) por D(x) é zero.

• D(x) é fator de P(x).

• Todas as raízes de D(x), também são raízes de P(x).

• As demais raízes de P(x) são obtidas através da equação Q(x) = 0

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. a) b) c) d) e)

Dados P(x) = x3 – 4x2 + 7x – 3 e Q(x)= x2 – 3x + 2, o resto da divisão de P(x) por Q(x) será 2x –1 2x + 1 x+1 x–1 zero

104]

[Matemática II] 02. a) b) c) d) e)

O resto da divisão de P(x) = x3 – 2x2 + x – 1 por q(x) = x2 – x + 1 é o polinômio r(x).O valor de r(1) é 2 1 0 –1 –2

03. O resto da divisão do polinômio P(x) = x5 – 3x3 + 2x2 + 1 pelo polinômio Q(x) = x – 2 é a) –1 b) zero c) 1 d) 15 e) 17 04. a) b) c) d) e)

O resto da divisão de P(x) = x3 + ax2 – x + a por zero 1 2 4 6

x – 1 é 4. O valor de a é

05. A divisão de P(x) por x2 + 1 tem quociente x - 2 e resto 1. O Polinômio P(x) é a) x2 + x + 1 b) x2 + x – 1 c) x2 + x d) x3 – 2x2 + x - 2 e) x3 – 2x2 + x – 1 06. O resto da divisão de P(x) por x – 1 é 3, sabendo que P(x) é divisível por x + 2, podemos dizer que o resto da divisão de P(x) são (x – 1).(x + 2) é: a) R(X) = X - 2 b) R(X) = X + 2 c) R(X) = 2X + 1 d) R(X) = 2X – 1 e) R(X) = X + 5 07. Na divisão do polinômio P(x) = x3 + x2 - 10x + 8 pelo binômio x - 1, obteve-se o quociente Q(x). As raízes da equação Q(x) = 0 são a) 0 e 1 b) -1 e 0 c) -2 e 4 d) -4 e 2 e) -1 e 2 08. Uma das raízes da equação x3 - x2 - 17x - 15 = 0 é -3. As demais raízes são a) -5 e 1 b) -1 e 4 c) -1 e 5 d) 1 e 4 e) 2 e 4

Gabarito dos exercícios de fixação: 1. A | 2. D | 3. E | 4. C | 5. E | 6. B | 7. D | 8. C

[105]

[Matemática II]

EXERCÍCIOS: ENEM + vestibulares UNIDADE 1: CONTAGEM 1. (Enem) Como não são adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir o maior número de pontos. Observaram que o número de partidas jogadas depende do número de jogadores, como mostra o quadro: Quantidade de 3 5 6 2 4 7 jogadores Número de 3 6 10 15 1 21 partidas Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão realizadas? a) 64 b) 56 c) 49 d) 36 e) 28

Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir? a) C6, 4 b) C9, 3 c) C10, 4 d) 64 e) 46 3. (Enem) O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.

2. (Enem) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.

De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas? a) 15 b) 30 c) 108 d) 360 e) 972

106]

[Matemática II] 4. (Enem) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que "L" e "D" representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

Opção I II III IV V

6. (Enem) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.

Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.

Formato LDDDDD DDDDDD LLDDDD DDDDD LLLDD

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por a) 102  262 b) 102  522

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.

A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.

A opção que mais se adéqua às condições da empresa é

4!

2!

4! d) 102  262  2! 2!

4!

2 2 e) 10  52  2! 2!

c) 102  522 

7. (Enem) Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado.

Na figura, disponibilizada pelo site as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 5. (Enem) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro.

Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos.

Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição? a) b) c) d) e)

O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por

10!

4!  2! 8! 2! 2!

10! 4!  8! 2!

10! 2 2! 8!

6!  44 4!

6!  64 4!

9!

2!

9! b) 7! 2! c) 7!

5!  4! d) 2!

5! 4! e)  4! 3!

a)

[107]

[Matemática II] 8. (Enem) Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver mais pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.

A

B

A

B

A

B

A

6

7

8

8

9

9

8

9

8

10

9

10 10 10

66

Escola III Escola IV

8

8

7

8

6

7

50

9

10 10 10

9

10 10

68

Escola V

8

7

9

6

8

54

8

8

B

55

Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II? a) 21 b) 90 c) 750 d) 1.250 e) 3.125 9. (Enem) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos.

Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.

De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?

2

a) 20  8! (3!) b) 8! 5! 3! c) 8! 5! 3!

28 d) 8! 5! 3!

22

e)

16!

28

Quantidade de números escolhidos em uma cartela 6 7 8 9 10

Total

4. Bateria

3. Enredo e Harmonia

2.

Evolução e Conjunto

1. Fantasia e Alegoria

Quesitos Jurado

Escola I Escola II

6

10. (Enem) Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.

O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.

Preço da cartela (R$) 2,00 12,00 40,00 125,00 250,00

Cinco apostadores, cada um com R$500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções: - Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; - Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos; - Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos; - Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; - Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos.

Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são a) Caio e Eduardo. b) Arthur e Eduardo. c) Bruno e Caio. d) Arthur e Bruno. e) Douglas e Eduardo.

11. (Enem) Desde 1999 houve uma significativa mudança nas placas dos carros particulares em todo o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres alfanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando a ser formadas por sete caracteres, sendo que os três primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os quatro últimos devem ser algarismos (de 0 a 9). Essa mudança possibilitou a criação de um cadastro nacional unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou significativamente a quantidade de combinações possíveis de placas. Não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 14 jan.

2012 (adaptado).

Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser utilizadas é igual a a) 263 + 94 b) 263. 94 c) 263(104 – 1) d) (263 + 104) -1 e) (263. 104) - 1

108]

[Matemática II] 12. (Enem) Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez o seguinte desenho e o entregou à criança juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores diferentes.

15. (Enem) Um artesão de joias tem a sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.

Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.

A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai pediu? a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 72 Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36

13. (Enem) Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir.

Museus nacionais Masp — São Paulo MAM — São Paulo Ipiranga — São Paulo Imperial — Petrópolis

Museus internacionais Louvre — Paris Prado — Madri British Museum — Londres Metropolitan — Nova York

16. (Enem) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à contacorrente pela internet.

Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.

Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.

O coeficiente de melhora da alteração recomendada é

De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar? a) 6 b) 8 c) 20 d) 24 e) 36 14. (Enem) Um procedimento padrão para aumentar a capacidade do número de senhas de banco é acrescentar mais caracteres a essa senha. Essa prática, além de aumentar as possibilidades de senha, gera um aumento na segurança. Deseja-se colocar dois novos caracteres na senha de um banco, um no início e outro no final. Decidiu-se que esses novos caracteres devem ser vogais e o sistema conseguirá diferenciar maiúsculas de minúsculas.

Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multiplicado por a) 100. b) 90. c) 80. d) 25. e) 20.

a)

626

106 62! b) 10!

62! 4! c) 10! 56! d) 62!  10! e) 626  106

[109]

[Matemática II] 17. (Enem) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados.

Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.

Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75.913 é a) 24. b) 31. c) 32. d) 88. e) 89.

18. (Ufrgs) Se uma partida de futebol termina com o resultado de 5 gols para o time A e 3 gols para o time B, existem diversas maneiras de o placar evoluir de 0  0 a 5  3. Por exemplo, uma evolução poderia ser

Quantas maneiras, no total, tem o placar de evoluir de 0  0 a 5  3? a) 16. b) 24. c) 36. d) 48. e) 56.

19. (Ufrgs) Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis.

O número total de preços que podem ser representados por esse código é a) 1440. b) 2880. c) 3125. d) 3888. e) 4320.

20. (Ufrgs) No desenho a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas, e os quadrados representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A e B que passam por C é

a) 12 b) 13 c) 15 d) 24 e) 30 21. (Upf) Um jogo consiste em um prisma triangular reto com uma lâmpada em cada vértice e um quadro de interruptores para acender essas lâmpadas.

Sabendo que quaisquer três lâmpadas podem ser acesas por um único interruptor e que cada interruptor acende precisamente três lâmpadas, o número de interruptores que existem no quadro é a) 4 b) 20 c) 24 d) 120 e) 720 22. (Upf) As portas de acesso de todos os quartos de certo hotel são identificadas por meio de números ímpares formados com 3 elementos do conjunto S  {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Nessas condições, é correto afirmar que o número máximo de quartos desse hotel é: a) 18 b) 27 c) 90 d) 108 e) 216 23. (Udesc) A Camara de Vereadores de uma cidade é composta por 13 vereadores, sendo que 6 destes são de partidos políticos da situação (aliados ao governo municipal) e os 7 restantes são de partidos da oposiçao (contrários ao governo municipal). É necessário compor uma comissão especial a ser formada por exatamente 5 vereadores, de forma que haja pelo menos dois representantes de cada um destes blocos políticos. Além disso, foi definido que o líer da situação e o líder da oposição não poderem fazer parte da mesma comissão. Sob essas condições, a quantidade de comissões distintas que pode ser constituida é igual a: a) 945 b) 500 c) 620 d) 810 e) 310

110]

[Matemática II] 24. (Ucs) Um supermercado está selecionando, entre 15 candidatos que se apresentaram, 3 funcionários para desempenhar a função de “caixa”.

Em sua próxima jogada, o jogador deve escolher dentre os quadrados marcados com as letras P, Q, R, S e T um para abrir, sendo que deve escolher aquele com a menor probabilidade de conter uma mina.

De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa escolha? a) 5 b) 45 c) 215 d) 360 e) 455

O jogador deverá abrir o quadrado marcado com a letra a) P. b) Q. c) R. d) S. e) T.

25. (Pucrs) A capital dos gaúchos, oficialmente fundada em 26 de março de 1772, já foi chamada de Porto de Viamão. Atualmente, a também capital dos Pampas recebe o nome de PORTO ALEGRE.

27. (Enem) Um morador de uma região metropolitana tem 50% de probabilidade de atrasar-se para o trabalho quando chove na região; caso não chova, sua probabilidade de atraso é de 25%. Para um determinado dia, o serviço de meteorologia estima em 30% a probabilidade da ocorrência de chuva nessa região.

Adicionando o número de anagramas formados com as letras da palavra ALEGRE ao de anagramas formados com as letras da palavra PORTO em que as consoantes aparecem juntas, obtemos __________ anagramas. a) 378 b) 396 c) 738 d) 756 e) 840

Qual é a probabilidade de esse morador se atrasar para o serviço no dia para o qual foi dada a estimativa de chuva? a) 0,075 b) 0,150 c) 0,325 d) 0,600 e) 0,800

26. (Enem) A figura ilustra uma partida de Campo Minado, o jogo presente em praticamente todo computador pessoal. Quatro quadrados em um tabuleiro 16  16 foram abertos, e os números em suas faces indicam quantos dos seus 8 vizinhos contêm minas (a serem evitadas). O número 40 no canto inferior direito é o número total de minas no tabuleiro, cujas posições foram escolhidas ao acaso, de forma uniforme, antes de se abrir qualquer quadrado.

28. (Enem) Numa avenida existem 10 semáforos. Por causa de uma pane no sistema, os semáforos ficaram sem controle durante uma hora, e fixaram suas luzes unicamente em verde ou vermelho. Os semáforos funcionam de forma independente; a probabilidade de 2 acusar a cor verde é de e a de acusar a cor vermelha 3 1 é de . Uma pessoa percorreu a pé toda essa avenida 3 durante o período da pane, observando a cor da luz de cada um desses semáforos.

Qual a probabilidade de que esta pessoa tenha observado exatamente um sinal na cor verde?

10  2 a) 310 b) c) d) e)

[111]

10  29 310 210 3100 290 3100 2 310

[Matemática II] 29. (Enem) Um adolescente vai a um parque de diversões tendo, prioritariamente, o desejo de ir a um brinquedo que se encontra na área IV, dentre as áreas I, II, III, IV e V existentes. O esquema ilustra o mapa do parque, com a localização da entrada, das cinco áreas com os brinquedos disponíveis e dos possíveis caminhos para se chegar a cada área. O adolescente não tem conhecimento do mapa do parque e decide ir caminhando da entrada até chegar à área IV.

1 100 19 b) 100 20 c) 100 21 d) 100 80 e) 100

a)

31. (Enem) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos.

Suponha que relativamente a cada ramificação, as opções existentes de percurso pelos caminhos apresentem iguais probabilidades de escolha, que a caminhada foi feita escolhendo ao acaso os caminhos existentes e que, ao tomar um caminho que chegue a uma área distinta da IV, o adolescente necessariamente passa por ela ou retorna.

Nessas condições, a probabilidade de ele chegar à área IV sem passar por outras áreas e sem retornar é igual a 1 a) 96 1 b) 64 5 c) 24 1 d) 4 5 e) 12

A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é a) 23,7% b) 30,0% c) 44,1% d) 65,7% e) 90,0% 32. (Enem) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida.

Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo: Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes; Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas; Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.

Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.

30. (Enem) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100.

Uma das senhas é sorteada ao acaso.

Comparando-se essas probabilidades, obtém-se a) P(I)  P(III)  P(II) b) P(II)  P(I)  P(III) c) P(I)  P(II)  P(III)

Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20?

d) P(I)  P(II)  P(III) e) P(I)  P(II)  P(III)

112]

[Matemática II] 33. (Enem) O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia de 98% foi criada com o objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número de pessoas que venham a desenvolver câncer de colo de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas de 11 a 13 anos de idade.

Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta:

35. (Enem) O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20.

A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é a) 0,02048. b) 0,08192. c) 0,24000. d) 0,40960. e) 0,49152.

Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo.

Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo.

Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo.

Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo.

Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo.

36. (Enem PPL) Uma aluna estuda numa turma de 40 alunos. Em um dia, essa turma foi dividida em três salas, A, B e C, de acordo com a capacidade das salas.

Na sala A ficaram 10 alunos, na B, outros 12 alunos e na C, 18 alunos. Será feito um sorteio no qual, primeiro, será sorteada uma sala e, posteriormente, será sorteado um aluno dessa sala.

Para diminuir os custos, a proposta escolhida deveria ser também aquela que vacinasse a menor quantidade possível de pessoas.

Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014 (adaptado)

Qual é a probabilidade de aquela aluna específica ser sorteada, sabendo que ela está na sala C? a) 1/3 b) 1/18 c) 1/40 d) 1/54 e) 7/18

A proposta implementada foi a de número a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 34. (Enem PPL) Um programa de televisão criou um perfil em uma rede social, e a ideia era que esse perfil fosse sorteado para um dos seguidores, quando esses fossem em número de um milhão. Agora que essa quantidade de seguidores foi atingida, os organizadores perceberam que apenas 80% deles são realmente fãs do programa. Por conta disso, resolveram que todos os seguidores farão um teste, com perguntas objetivas referentes ao programa, e só poderão participar do sorteio aqueles que forem aprovados. Estatísticas revelam que, num teste dessa natureza, a taxa de aprovação é de 90% dos fãs e de 15% dos que não são fãs.

37. (Enem PPL) O quadro apresenta cinco cidades de um estado, com seus respectivos números de habitantes e quantidade de pessoas infectadas com o vírus da gripe. Sabe-se que o governo desse estado destinará recursos financeiros a cada cidade, em valores proporcionais à probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso na cidade, estar infectada.

De acordo com essas informações, a razão entre a probabilidade de que um fã seja sorteado e a probabilidade de que o sorteado seja alguém que não é fã do programa é igual a a) 1. b) 4. c) 6. d) 24. e) 96.

Cidade

I

II

III

IV

V

Habitantes

180000

100000

110000

165000

175000

Infectados

7800

7500

9000

6500

11000

Qual dessas cidades receberá maior valor de recursos financeiros? a) I b) II c) III d) IV e) V

[113]

[Matemática II] 38. (Enem PPL) Em um campeonato de futebol, a vitória vale 3 pontos, o empate 1 ponto e a derrota zero ponto. Ganha o campeonato o time que tiver maior número de pontos. Em caso de empate no total de pontos, os times são declarados vencedores.

Os times R e S são os únicos com chance de ganhar o campeonato, pois ambos possuem 68 pontos e estão muito à frente dos outros times. No entanto, R e S não se enfrentarão na rodada final.

Os especialistas em futebol arriscam as seguintes probabilidades para os jogos da última rodada: - R tem 80% de chance de ganhar e 15% de empatar; - S tem 40% de chance de ganhar e 20% de empatar.

Segundo as informações dos especialistas em futebol, qual é a probabilidade de o time R ser o único vencedor do campeonato? a) 32% b) 38% c) 48% d) 54% e) 57% 39. (Ufrgs) No jogo de xadrez, cada jogador movimenta as peças de uma cor: brancas ou pretas.

Cada jogador dispõe de oito peões, duas torres, dois cavalos, dois bispos, um rei e uma rainha.

Escolhendo ao acaso duas peças probabilidade de escolher dois peões é de a) 7/30 b) 7/20 c) 7/15 d) 14/15 e) 14/9

pretas,

a

40. (Ufrgs) Dardos são lançados em direção a um alvo com a forma de um quadrado de lado 10, como representado na figura abaixo, tendo igual probabilidade de atingir qualquer região do alvo.

41. (Ufrgs) Escolhe-se aleatoriamente um número formado somente por algarismos pares distintos, maior do que 200 e menor do que 500.

Assinale a alternativa que indica a melhor aproximação para a probabilidade de que esse número seja divisível por 6. a) 20% b) 24% c) 30% d) 34% e) 50% 42. (Ufrgs) Um jogo consiste em responder corretamente as perguntas sorteadas, ao girar um ponteiro sobre uma roleta numerada de 1 a 10, no sentido horário. O número no qual o ponteiro parar corresponde à pergunta a ser respondida. A cada número corresponde somente uma pergunta, e cada pergunta só pode ser sorteada uma vez. Caso o ponteiro pare sobre um número que já foi sorteado, o participante deve responder a próxima pergunta não sorteada, no sentido horário.

Em um jogo, já foram sorteadas as perguntas 1, 2, 3, 5, 6, 7 e 10. Assim, a probabilidade de que a pergunta 4 seja a próxima a ser respondida é de: a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 2/3 e) 3/4 43. (Ufrgs) Sobre uma mesa, há doze bolas numeradas de 1 a 12; seis bolas são pretas, e seis, brancas. Essas bolas serão distribuídas em 3 caixas indistinguíveis, com quatro bolas cada uma.

Escolhendo aleatoriamente uma caixa de uma dessas distribuições, a probabilidade de que essa caixa contenha apenas bolas pretas é a) 1/33 b) 1/23 c) 2/33 d) 1/11 e) 1/3

GABARITO UNIDADE 1 Se todos os dardos atingem o alvo e 50% atingem o quadrado de lado x, o valor inteiro mais próximo de x é a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8.

1. E 6. E 11. C 16. A 21. B 26. B 31. D 36. D 41. E

114]

2. B 7. A 12. C 17. E 22. D 27. C 32. E 37. C 42. C

3. E 8. C 13. D 18. E 23. D 28. A 33. A 38. D 43. A

4. E 9. B 14. A 19. D 24. E 29. C 34. D 39. A

5. A 10. A 15. B 20. E 25. A 30. C 35. B 40. D

[Matemática II]

UNIDADE 2 : MATRIZES

3. (Fgv) Uma matriz A de ordem 2 transmite uma palavra de 4 letras em que cada elemento da matriz representa uma letra do alfabeto.

1. (Enem) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as medias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.

Matemática Português Geografia História

1º bimestre

2º bimestre

3º bimestre

4º bimestre

5,9 6,6 8,6 6,2

6,2 7,1 6,8 5,6

4,5 6,5 7,8 5,9

5,5 8,4 9,0 7,7

A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz A é multiplicada pela matriz

4. (Ifsul) A temperatura da cidade de Porto Alegre – RS foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante 6 dias. Cada elemento a ij da matriz  9,4 8,1 12,4 15,7 13 11,7  A  12,2 10,5 15 18,2 14,2 13,1 15,7 13,2 17,5 21 16,3 18,5 

1 1 c)   1   1

corresponde à temperatura observada no tempo i do dia j. Com base nos dados da matriz A, analise as seguintes proposições:

 1 2    1 2    1 2  1   2

I. A temperatura mínima registrada está na posição a12 II. A maior variação de temperatura registrada entre os tempos 1 e 2 aconteceu no primeiro dia.

III. A temperatura máxima registrada está na posição a34

 1 4    1 4    1 4  1   4

Estão corretas as afirmativas a) I e III apenas. b) I e II apenas. c) II e III apenas. d) I, II e III. 5. (Fac. Albert Einstein - Medicina) Uma matriz B possui i linhas e j colunas e seus elementos são

[

2. (Ulbra) Sendo que

]

podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz A é: a) 46 b) 48 c) 49 d) 47 e) 50

b)  1 1 1 1  4 4 4 4

e)

] obtendo-se a matriz codificada

B.A. Sabendo que a matriz B.A é igual a [

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por  1 1 1 1 a)   2 2 2 2

d)

[

[

obtidos a partir da expressão bij  i  2j. Seja uma matriz A  (aij )23 cujos elementos da primeira

] os valores de x e y para

] são:

coluna são nulos e I2 a matriz identidade de ordem 2, tal que AB  I2 .

a) x = y = 2;

O valor numérico do maior elemento da matriz A é igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

b) x = 0 e y = 1; c) x = 1 e y = 2; d) x = 1 e y = 2; e) x = 0 e y = 2.

[115]

[Matemática II]  1 1  2 1 Se M   e N   , então 2 0   1 3 

6. (Ita) T

1

MN M a)

b)

c)

d)

e)

3 2  5  2 3 2  7  2 3 2   13  2 3 2  13  2 3 2   13  2

7. (Uel) Seja A a matriz formada pelos elementos aij , em que i são as regiões e j os tipos de criadouros apresentados na tabela. Considerando que cada região tenha seus tipos de criadouros aumentados em 10%, devido a um desequilíbrio ambiental, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a matriz B resultante.

N é igual a

5   2  3  2 

1   2  5   2  11   2  5  2  5   2  3  2 

a) B35  k  A35 , em que k  10,0 b) B35  (1 k)  A35 , em que k  0,1 c) B53  (1 k)  A53 , em que k  0,1 d) B53  (10  k)  A53 , em que k  0,1 e) B53  k  A53 , em que k  0,1

1 1 8. (Pucrs) Dada a matriz A    e a função f, 1 1 definida no conjunto das matrizes 2  2 por

f(X)  X2  2X, então f(A) é

11 2  3  2 

 1 1   1 1



a) 

b)

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Leia o texto a seguir e responda à(s) questão(ões). c)

O levantamento sobre a dengue no Brasil tem como objetivo orientar as ações de controle, que possibilitam aos gestores locais de saúde antecipar as prevenções a fim de minimizar o caos gerado por uma epidemia. O Ministério da Saúde registrou 87 mil notificações de casos de dengue entre janeiro e fevereiro de 2014, contra 427 mil no mesmo período em 2013. Apesar do resultado expressivo de diminuição da doença, o Ministério da Saúde ressalta a importância de serem mantidos o alerta e a continuidade das ações preventivas. Os principais criadouros em 2014 são apresentados na tabela a seguir.

Região

Armazenam ento da água (%)

Depósitos domiciliares (%)

0 0  0 0   

1 1 1 1  

2 2  3 e)  3 d)

2 2  3 3 

9. (Upf) Dadas as matrizes quadradas A, B e C, de ordem n, e a matriz identidade In , de mesma ordem, considere as proposições a seguir, verificando se são verdadeiras (V) ou falsas (F).

Lixo (%)

20,2 27,4 52,4 Norte 75,3 18,2 6,5 Nordeste 15,7 55,7 28,6 Sudeste Centro28,9 27,3 43,8 Oeste 12,9 37,0 50,1 Sul (Adaptado de: BVS Ministério da Saúde. Disponível em: <www.brasil.gov.br/saude/2014>. Acesso em: 21 abr.

2015.)

(

)  A  B  A2  2AB  B2

(

)  A  B  A2  B2

(

) CI  C

2

2

A sequência correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é: a) V – V – V. b) V – F – V. c) F – V – V. d) F – F – V. e) F – F – F.

116]

[Matemática II] 10. (Puc) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é:

13. (Ucs) Uma empresa vende três produtos.

O preço de venda do tipo j está representado por a1j

a) (A = B) . b) (A + B)t = At + Bt c) (A . B)t = At . Bt d) (A - B)C = AC - BC e) (At)t = A

O número de produtos vendidos do tipo j, em determinado mês, está representado por b1j na matriz

C

=

A

.

C

+

B

.

na matriz A  300 500 700 .

C

B   45 25 35 .

O custo para produzir cada produto do tipo j está representado por c1j na matriz C   225 368 580 .

A expressão que fornece o lucro obtido com a venda dos produtos, no mês em questão, é

11. (Ufpr) Um criador de cães observou que as rações das marcas A, B, C e D contêm diferentes quantidades de três nutrientes, medidos em miligramas por quilograma, como indicado na primeira matriz abaixo.

O criador decidiu misturar os quatro tipos de ração para proporcionar um alimento adequado para seus cães. A segunda matriz abaixo dá os percentuais de cada tipo de ração nessa mistura.

A

B

nutriente 1  210 370 nutriente 2 340 520 nutriente 3 145 225

C

D

450

290  485  260 

305 190

a) AB – CA. b) ABt – CBt . c) ABt . d) CBt – ABt . e) CA – AB.

percentuais de mistura A  35%   25%  B    30%  C   D 10% 

Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes em um quilograma da mistura de rações? a) 389 mg. b) 330 mg. c) 280 mg. d) 210 mg. e) 190 mg.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Observe a tabela a seguir, que mostra a relação entre três redes sociais da internet e a quantidade de usuários, em milhões de pessoas, que acessam essas redes na Argentina, Brasil e Chile, segundo dados de junho de 2011.

Número de usuários de redes sociais em milhões de pessoas Argentina Brasil Chile Facebook 11,75 24,5 6,7 Twitter 2,4 12 1,2 Windows Live profile 3,06 14,6 1,44 (http://www.slideshare.net/ecommercenews/estudore desocialamericalatina?from=embed)

12. (Puc rs) Num jogo, foram sorteados 6 números para compor uma matriz M  (mij ) de ordem 2  3.

Após o sorteio, notou-se que esses números obedeceram à regra mij  4i  j. Assim, a matriz M é

14. (Upf) Durante o mês de junho de 2011, os usuários da internet na Argentina tiveram uma média de 10 horas gastas em sites de rede sociais. No Brasil, a média foi de 4,7 horas e no Chile, de 8,7 horas. Avalie as afirmações:

igual a _________.

 1 2 3 a)   5 6 7   1 2 3 b)    4 5 6 3 2 1 c)   7 6 5  3 2  d)  7 6  11 10 

 10  I. Se B é a matriz  4,7  , o produto matricial AB é uma  8,7  matriz 3  1, cujo primeiro elemento representa o número de horas, em milhões, gasto pelos usuários dos três países no Facebook em junho de 2011.

II. 1,175  108 é a quantidade de horas que os argentinos gastaram com a rede social Facebook em junho de 2011.

III. O Windows Live Profile recebeu a visita de 19,1 milhões de usuários argentinos, brasileiros ou chilenos em junho de 2011.

3 7  e)  2 6   1 5 

[117]

[Matemática II]

UNIDADE 3: DETERMINANTES

a) Somente I é verdadeira. b) I e II são verdadeiras. c) I e III são verdadeiras. d) II e III são verdadeiras. e) Todas são verdadeiras.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática.

15. (Puc rs) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos de Engenharia, o professor pediu que os alunos resolvessem a seguinte questão:

1 2 2  , então A é igual a 3 4 

Se A  

a)

1. (Furg) Nesta questão, A denota uma matriz quadrada qualquer, A2 denota a matriz A multiplicada por ela mesma e o símbolo 0 denota uma matriz cujas entradas são todas nulas. Considere as seguintes afirmações: I - Se A2 = 0 então A = 0 .

II - Se a matriz A é inversível, então o determinante da matriz A é diferente de zero.

III - Se o determinante da matriz A é diferente de zero, então A é inversível.

Quais afirmações estão corretas? a) Apenas a II. b) Apenas a I. c) Todas. d) Apenas a III. e) Apenas a II e a III. 02. (Ufsm) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det A = det B  0, então det [(1/2) . A . B-1] é igual a a) 1/(2n) b) ½ c) (1/2) . det A d) [1/(2n)] . det A e) 2n

1 3 2 4   

1 4   9 16   7 10  c)   15 22 b) 

03.

(Espcex  a a3  b 3  M  a a3  5 2 

 5 11 d)   11 25 5 5 e)   25 25 

Aman) Considere a matriz  b  0  . Se a e b são números reais  3 

não nulos e det(M)  0, então o valor de 14a2  21b2 é igual a a) 15 b) 28 c) 35 d) 49 e) 70 04. (Udesc) Se AT e A 1 representam, respectivamente, a transposta e a inversa da matriz 2 3 A  , então o determinante da matriz 4 8

GABARITO UNIDADE 2 1. E 6. C 11. A

2. B 7. C 12. C

3. D 8. B 13. B

4. D 9. D 14. E

5. B 10. C 15. C

B  AT  2A 1 é igual a: 111 a) 2 83 b) 2 c) 166 97 d) 2 e) 62

118]

[Matemática II] 10. (Uesp) Se o determinante da matriz (

05. (Ufsm) Seja A uma matriz 2 x 2 com determinante não-nulo. Se det A2 = det (A + A), então det A é a) – 4 b) 1 c) 4 d) 8 e) 16

então o determinante da matriz (

) ) é igual

a: a) -9 b) -6 c) 3 d) 6 e) 9

06. (Uniform) Sejam as matrizes A e B abaixo; O determinante da matriz A.B é:

11. (Uesp) Se o determinante da matriz ( é igual a 10,

a) 64 b) 8 c) 0 d) -8 e) -64

então o determinante da matriz (

07. Para que o determinante da matriz (

) é igual a:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

)

seja nulo, o valor de a deve ser: a) 2 ou -2 b) 1 ou 3 c) -3 ou 5 d) -5 ou 3 e) 4 ou -4

12. Na matriz abaixo, resolvendo seu determinante, qual será o resultado obtido?

08. (Unibahia) Considerando-se a matriz [

]

e det A = 4, pode-se afirmar que o valor de x é igual a: a) -3 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3

a) 1 b) sen x c) sen2 x d) sen3 x 13. (Puc) O co-fator do elemento a23 da matriz

09. Sabendo-se que o determinante associado á matriz (

)

é nulo, concluímos que essa matriz tem: a) 2 b) 1 c) -1 d) -2 e) 3

a) duas linhas proporcionais; b) duas colunas proporcionais; c) elementos negativos; d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas; e) duas filas paralelas iguais.

[119]

)

[Matemática II]

UNIDADE 4: SISTEMAS LINEARES

14. Para que

1. (Enem PPL) Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua câmera duas vezes, somente com vídeos e fotos. Na primeira vez, conseguiu armazenar 10 minutos de vídeo e 190 fotos. Já na segunda, foi possível realizar 15 minutos de vídeo e tirar 150 fotos.

Todos os vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre si, assim como todas as fotos. Agora, essa pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória exclusivamente fotos, com a mesma qualidade das anteriores.

a) x > 2 b) 0 < x < 5 c) x < -2 d) x > 5 e) 1 < x < 2

Disponível em: www.techlider.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012.

15. (Mack) O valor de

O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é a) 200. b) 209. c) 270. d) 340. e) 475.

2. (Enem PPL) Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo deverá pagar R$10,00. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros e, ao final, recebeu R$100,00.

a) -4 b) -2 c) 0 d) 1 e) 1131

Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo? a) 30 b) 36 c) 50 d) 60 e) 64

GABARITO UNIDADE 3 1. E 6. D 11. C

2. A 7. A 12. D

3. C 8. E 13. D

4. B 9. D 14. C

5. C 10. E 15. C

3. (Enem) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano.

O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados.

O número esperado de carros roubados da marca Y é: a) 20. b) 30. c) 40. d) 50. e) 60.

120]

[Matemática II] 4. (Ufrgs) Uma pessoa tem no bolso moedas de R$1,00, de R$ 0,50, de R$0,25 e R$ 0,10. Se somadas, as moedas de R$1,00 com as de R$0,50 e com as de R$ 0,25, têm-se R$ 6,75. A soma das

7. (Ufrgs) Inovando na forma de atender aos clientes, um restaurante serve alimentos utilizando pratos de três cores diferentes: verde, amarelo e branco. Os pratos da mesma cor custam o mesmo valor. Na mesa A, foram consumidos os alimentos de 3 pratos verdes, de 2 amarelos e de 4 brancos, totalizando um gasto de R$ 88,00. Na mesa B, foram consumidos os alimentos de 2 pratos verdes e de 5 brancos, totalizando um gasto de R$ 64,00. Na mesa C, foram consumidos os alimentos de 4 pratos verdes e de 1 amarelo, totalizando um gasto de R$ 58,00.

moedas de R$0,50 com as moedas de R$0,25 e com as de R$ 0,10, resulta em R$ 4,45. A soma das moedas de R$0,25 com as de R$0,10 resulta em R$ 2,95.

Das alternativas, assinale a que indica o número de moedas que a pessoa tem no bolso. a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26

Comparando o valor do prato branco com o valor dos outros pratos, verifica-se que esse valor é a) 80% do valor do prato amarelo. b) 75% do valor do prato amarelo. c) 50% do valor do prato verde. d) maior que o valor do prato verde. e) a terça parte do valor da soma dos valores dos outros pratos.

5. (Ufrgs) Para os jogos da primeira fase da Copa do Mundo de 2014 na sede de Porto Alegre, foram sorteados ingressos entre aqueles que se inscreveram previamente. Esses ingressos foram divididos em 4 categorias, identificadas pelas letras A, B, C e D. Cada pessoa podia solicitar, no máximo, quatro ingressos por jogo. Os ingressos da categoria D foram vendidos somente para residentes no país sede e custaram, cada 1 um, do valor unitário do ingresso da categoria C. 3 No quadro abaixo, estão representadas as quantidades de ingressos, por categoria, solicitados por uma pessoa, para cada um dos jogos da primeira fase, e o valor total a ser pago.

Jogo 1 2 3

A 2 1 0

B 0 3 1

C 2 0 3

D 0 0 0

8. (Ufrgs) O sistema a seguir admite mais de uma solução.

x  ay  1  3x  y  b Então, segue-se que a) a  3 e b  1 .

3 b) a  3 e b  1 .

3 1 c) a   e b  3 .

3 d) a   1 e b  3 .

3 1 e) a   e b  3 .

3

TOTAL (em R$) 1.060,00 1.160,00 810,00

Se essa pessoa comprasse um ingresso de cada categoria para um dos jogos da primeira fase, ela gastaria, em reais, a) 860. b) 830. c) 800. d) 770. e) 740.

09. (Pucrs) Nas olimpíadas de 2016, serão disputadas 306 provas com medalhas, que serão distribuídas entre competidores de esportes masculinos, femininos e, ainda, de esportes mistos. Sabe-se que o total de competições femininas e mistas é 145. Sabe-se, também, que a diferença entre o número de provas disputadas somente por homens e somente por mulheres é de 25. Então, o número de provas mistas é

6. (Ufrgs) O sistema de equações

5x  4y  2  0  3x  4y  18  0

a) 3 b) 9 c) 25 d) 136 e) 161

possui a) nenhuma solução. b) uma solução. c) duas soluções. d) três soluções. e) infinitas soluções.

[121]

[Matemática II] 10. (Ufrgs) O sistema

13. (Ufrgs) O sistema linear

 k  2  x  y  z  0   x  ky  z  0  x  k  1 z  4   

2x  y  2z  b  1   x  2y  z  b x  y  z  1  b 

a) -2. b) -1. c) 0. d) 1. e) 2.

11. (Acafe) Seja o sistema S de equações lineares nas incógnitas x, y e z, e a e b números reais, dado por  x  y  z  4  S  4x  ay  z  25, analise as afirmações:  x  y  3z  b 

I. A matriz dos coeficientes associada ao sistema S tem determinante igual a (2a  8).

II. O sistema S é impossível para a  4 e b  2.

III. Se a  1 e para algum valor real de b, a tripla b2 4b  , ordenada (x,y,z)   7, é solução do 2 2   sistema S. IV. O sistema S possui infinitas soluções para a  4 e qualquer b  .

Todas as afirmações corretas estão em: a) I - II b) I - IV c) I - II - III d) II - III - IV 12. (Acafe) Um designer de joias utiliza três tipos de pedras preciosas (rubis, safiras e esmeraldas) na criação de três modelos diferentes de colares (A, B e

C). Na criação dessas peças ele verificou que: - Para cada colar do tipo A usaria 4 rubis, 1 safira e 3 esmeraldas.

- Para cada colar do tipo B usaria 3 rubis, 1 safira e 2 esmeraldas.

- Para cada colar do tipo C usaria 2 rubis, 3 safiras e 2 esmeraldas.

Se ele dispõe de 54 rubis, 36 safiras e 42 esmeraldas para a execução dessas peças, então, a relação entre o número de peças A, B e C é: a) C  A  B. b) B  A  C. c) A  C  B. d) C  2B  8A.

é possível e determinado, exceto para um número finito de valores de k. A soma de todos esses valores de ké a) -1. b) – 1/2 . c) 0. d) 1/2. e) 1.

14. (Pucrs) A terna (1, 2, 3) é solução do sistema  x  2 y  2 z  b  5x  y  az  3b 6x  y  z  b  a  Então, o valor de a é a) – 4 b) – 3 c) – 2 d) 3 e) 4

15. (Ucs) Em uma lanchonete, Luana consumiu uma unidade de cada um dos produtos A e B e pagou R$ 9,50; Renata consumiu uma unidade dos produtos B e C pelo que pagou R$ 11,00; e Fernanda pagou R$ 10,60, tendo consumido uma unidade dos produtos A e C. Joice consumiu uma unidade de cada um dos produtos A, B e C, e pagou o valor de R$ 15,70. Tendo como base o valor pago por suas colegas, Luana, Renata e Fernanda, o valor pago por Joice a) está correto. b) excede em 15 centavos o valor que ela teria de pagar. c) excede em 20 centavos o valor que ela teria de pagar. d) é 10 centavos a menos do que ela teria de pagar. e) é 25 centavos a menos do que ela teria de pagar.

GABARITO UNIDADE 4 1. C 6. B 11. C

122]

2. A 7. A 12. B

3. B 8. E 13. A

4. A 9. B 14. E

5. A 10. E 15. B

[Matemática II]

UNIDADE 5: NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

03. (Enem) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.

01. (Enem) Um empréstimo foi feito a taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P. O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é a)

A opção que dá a João o menor gasto seria a) renegociar suas dívidas com o banco. b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.

    1 1   P 1   2 i    i    1   1   100   100  

    1 1 b) P 1      i   2i     1  100   1  100       

c)

    1 1   P 1   2 2 i i       1  1  100     100    

04. (Enem) João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com todos os pontos possíveis, é de R$ 21.000,00 e esse valor não será reajustado nos próximos meses.

Ele tem R$ 20.000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado até que o montante atinja o valor do carro.

Para ter o carro, João deverá esperar: a) dois meses, e terá a quantia exata. b) três meses, e terá a quantia exata. c) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$225,00. d) quatro meses, e terá a quantia exata. e) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$430,00.

    1 1 1 d) P 1       i   2i   3i   1  1  1    100   100   100         

e)

    1 1 1   P 1    2 3 i    i  i     1   1  1  100     100   100    

02. (Enem) Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$ 180.000,00, a ser pago em 360 prestações mensais, com taxa de juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga um mês após a liberação dos recursos e o valor da prestação mensal é de R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do pagamento). Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$ 500,00 e considere que não há prestação em atraso.

05. (Ufrgs) Para pagar uma dívida de x reais no seu cartão de crédito, uma pessoa, após um mês, passará a fazer pagamentos mensais de 20% sobre o saldo devedor. Antes de cada pagamento, serão lançados juros de 10% sobre o saldo devedor. Efetuados 12 pagamentos, a dívida, em reais, será a) zero. b) x/12. c) (0,88)12x. d) (0,92)12x. e) (1,1)12x.

Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago ao banco na décima prestação é de a) 2.075,00. b) 2.093,00. c) 2.138,00. d) 2.255,00. e) 2.300,00.

[123]

[Matemática II] 06. (Enem PPL) Um trabalhador possui um cartão de crédito que, em determinado mês, apresenta o saldo devedor a pagar no vencimento do cartão, mas não contém parcelamentos a acrescentar em futuras faturas. Nesse mesmo mês, o trabalhador é demitido.

Durante o período de desemprego, o trabalhador deixa de utilizar o cartão de crédito e também não tem como pagar as faturas, nem a atual nem as próximas, mesmo sabendo que, a cada mês, incidirão taxas de juros e encargos por conta do não pagamento da dívida. Ao conseguir um novo emprego, já completados 6 meses de não pagamento das faturas, o trabalhador procura renegociar sua dívida. O gráfico mostra a evolução do saldo devedor.

Para quitar sua dívida, optou por pagar sempre o mínimo da fatura a cada mês e não efetuar mais nenhuma compra.

A dívida desse consumidor em 01/05/2012 será de a) R$ 600,00. b) R$ 640,00. c) R$ 722,50. d) R$ 774,40. e) R$ 874,22.

08. (Enem cancelado) Paulo emprestou R$ 5.000,00 a um amigo, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês.

Considere x o número de meses do empréstimo e M(x) o montante a ser devolvido para Paulo no final de x meses.

Nessas condições, a representação gráfica correta para M(x) é

a)

b)

Com base no gráfico, podemos constatar que o saldo devedor inicial, a parcela mensal de juros e a taxa de juros são a) R$ 500,00; constante e inferior a 10% ao mês. b) R$ 560,00; variável e inferior a 10% ao mês. c) R$ 500,00; variável e superior a 10% ao mês. d) R$ 560,00; constante e superior a 10% ao mês. e) R$ 500,00; variável e inferior a 10% ao mês.

07. (Enem PPL) O Conselho Monetário Nacional (CMN) determinou novas regras sobre o pagamento mínimo da fatura do cartão de crédito, a partir do mês de agosto de 2011. A partir de então, o pagamento mensal não poderá ser inferior a 15% do valor total da fatura. Em dezembro daquele ano, outra alteração foi efetuada: daí em diante, o valor mínimo a ser pago seria de 20% da fatura.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 29 fev.

2012.

Um determinado consumidor possuía no dia do vencimento, 01/03/2012, uma dívida de R$1.000,00 na fatura de seu cartão de crédito. Se não houver pagamento do valor total da fatura, são cobrados juros de 10% sobre o saldo devedor para a próxima fatura.

c)

d)

e) 09. (Unisc) A função f que representa o valor a ser pago após um desconto de 21% sobre o valor x de um produto é a) f(x)  x  21 b) f(x)  0,79x c) f(x)  1,21x d) f(x)  21x e) f(x)  1,021x

124]

[Matemática II] C1  R$ 2.000,00 e C2  R$ 1.500,00 são aplicados a juros simples de 1% ao mês e 18% ao ano, respectivamente, durante t meses. Após esse tempo, a soma dos montantes produzidos pelas duas aplicações é de R$ 3.840,00.

Nesse contexto, assinale o que for correto.

01) O tempo t de aplicação é superior a 6 meses.

02) O montante produzido por C2 é R$ 1.980,00.

04) C1 rendeu R$ 160,00 de juros.

08) O tempo t de aplicação é de 270 dias.

10. (ifsc) Segundo dados do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), o rendimento médio mensal das famílias catarinenses é R$ 1.368,00.

Considerando-se que uma família pegou um empréstimo no valor de 30% de sua renda média mensal e vai pagar este empréstimo a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, quanto essa família pegou emprestado e qual o valor que a família irá pagar (montante final) se saldar essa dívida em 2 meses? a) Pegou emprestado R$ 407,40 e pagará, ao final de

13. (Uepg)

2 meses, R$ 423,86. b) Pegou emprestado R$ 410,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$ 425,94.

Os capitais

14. (Uepg) Paulo tem a quantia de R$ 8.000,00 para aplicar durante quatro meses. Consultando três bancos, recebeu as seguintes propostas de investimento. Analise as propostas e assinale o que for correto.

c) Pegou emprestado R$ 409,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$ 424,90. d) Pegou emprestado R$ 409,40 e pagará, ao final de 2 meses, R$ 425,94. e) Pegou emprestado R$ 410,40 e pagará, ao final de

Proposta I: taxa de 15% ao ano de juros simples.

Proposta II: taxa de 0,04% ao dia de juros simples.

Proposta III: resgate de R$ 8.416,00 no final do período de 4 meses.

01) A proposta I render‫ ل‬mais de R$ 300,00 de juros.

02) A proposta II vai produzir um montante superior a R$ 8.400,00.

04) A proposta II renderá menos que a proposta III. 08) Se optar pela proposta III, Paulo terá aplicado seu dinheiro a uma taxa de juros simples igual a 6% ao semestre.

2 meses, R$ 426,98.

11. (Upe) Patrícia aplicou, num investimento bancário, determinado capital que, no regime de juro composto, durante um ano e seis meses, à taxa de 8% ao mês, gerou um juro de R$ 11.960,00. Qual é o capital aplicado por ela nesse investimento? Utilize

(1,08)18  3,99. a) R$ 3.800,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 4.600,00 d) R$ 5.000,00 e) R$ 5.200,00

15. (Uel) Considere que um contribuinte deve pagar determinado imposto no valor de R$ 5.000,00 em 5 parcelas de mesmo valor.

Sabendo que sobre o valor de cada parcela incide 1% de juros mais uma taxa fixa T de 0,82%, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor de cada parcela a ser paga pelo contribuinte. a) R$ 1.008,20 b) R$ 1.10,00 c) R$ 1.018,20

12. (Ifsc) Analise as seguintes situações: 1. Seu João fez um empréstimo de R$ 1.000,00, no Banco A, a uma taxa de juros simples; após 4 meses, pagou um montante de R$ 1.320,00 e quitou sua dívida.

2. Dona Maria fez um empréstimo de R$ 1.200,00, no Banco B, a uma taxa de juros simples; após 5 meses, pagou um montante de R$ 1.800,00 e quitou a dívida.

Assinale a alternativa CORRETA.

d) R$ 1.050,00 e) R$ 1.090,00

A taxa mensal de juros simples cobrada pelo Banco A e pelo Banco B, respectivamente, é: a) 8% a.m. e 10% a.m. b) 18% a.m. e 13% a.m.

GABARITO UNIDADE 5

c) 6,4% a.m. e 12,5% a.m. d) 13% a.m. e 18% a.m. e) 10% a.m. e 8% a.m.

1. A 6. C 11. B

[125]

2. B 7. D 12. A

3. E 8. A 13. 05

4. C 9. B 14. 05

5. C 10. E 15. C

[Matemática II]

UNIDADE 6: GEOMETRIA PLANA 1. (Enem) Um garçom precisa escolher uma bandeja de base retangular para servir quatro taças de espumante que precisam ser dispostas em uma única fileira, paralela ao lado maior da bandeja, e com suas bases totalmente apoiadas na bandeja. A base e a borda superior das taças são círculos de raio 4 cm e 5 cm, respectivamente.

A bandeja a ser escolhida deverá ter uma área mínima, em centímetro quadrado, igual a a) 192. b) 300. c) 304. d) 320. e) 400.

2. (Enem) Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura.

3. (Enem) A manchete demonstra que o transporte de grandes cargas representa cada vez mais preocupação quando feito em vias urbanas.

Caminhão entala em viaduto no Centro Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e Loureiro da Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto Alegre e transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na foto.

Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 0,60 m e que eles estejam em cima de uma carroceria cuja parte superior está a 1,30 m do solo. O desenho representa a vista traseira do empilhamento dos canos.

A margem de segurança recomendada para que um veículo passe sob um viaduto é que a altura total do veículo com a carga seja, no mínimo, 0,50 m menor do que a altura do vão do viaduto.

Considere 1,7 como aproximação para 3.

Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a a) 7,5 e 14,5. b) 9,0 e 16,0. c) 9,3 e 16,3. d) 10,0 e 17,0. e) 13,5 e 20,5.

Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para que esse caminhão pudesse passar com segurança sob seu vão? a) 2,82 b) 3,52 c) 3,70 d) 4,02 e) 4,20

126]

[Matemática II] 4. (Enem) Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma

dobraram as folhas quadradas ao meio sobrepondo os lados BC e AD, de modo que C e D coincidam, e o mesmo ocorra com A e B, conforme ilustrado na Figura 2. Marcaram os pontos médios O e N, dos lados FG e AF, respectivamente, e o ponto M do lado AD, de modo que AM seja igual a um quarto de AD. A seguir, fizeram cortes sobre as linhas pontilhadas ao longo da folha dobrada.

retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado

6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base circular (C).

O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições.

Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (l) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm.

Após os cortes, a folha e aberta e a bandeirinha esta pronta.

A figura que representa a forma da bandeirinha pronta é

a)

b)

Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para

2 e

3, respectivamente.

c) Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher? a) I b) II c) III d) IV e) V

d)

5. (Enem) Uma família fez uma festa de aniversário e enfeitou o local da festa com bandeirinhas de papel.

Essas bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira: inicialmente, recortaram as folhas de papel em forma de quadrado, como mostra a Figura 1. Em seguida,

e)

[127]

[Matemática II] 6. (Enem) O Esquema I mostra a configuração de uma quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados de garrafões, correspondem a áreas restritivas.

O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m  24 m.

O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente.

Considere 3,0 como aproximação para π.

Visando atender as orientações do Comitê Central da Federação Internacional de Basquete (Fiba) em 2010, que unificou as marcações das diversas ligas, foi prevista uma modificação nos garrafões das quadras, que passariam a ser retângulos, como mostra o Esquema II.

O maior valor possível para R, em metros, deverá ser a) 16. b) 28. c) 29. d) 31. e) 49.

8. (Enem) Para uma alimentação saudável, recomenda-se ingerir, em relação ao total de calorias diárias, 60% de carboidratos, 10% de proteínas e 30% de gorduras. Uma nutricionista, para melhorar a visualização dessas porcentagens, quer dispor esses dados em um polígono. Ela pode fazer isso em um triângulo equilátero, um losango, um pentágono regular, um hexágono regular ou um octógono regular, desde que o polígono seja dividido em regiões cujas áreas sejam proporcionais às porcentagens mencionadas. Ela desenhou as seguintes figuras:

Após executadas as modificações previstas, houve uma alteração na área ocupada por cada garrafão, que corresponde a um(a) a) aumento de 5.800 cm2 . b) aumento de 75.400 cm2 . c) aumento de 214.600 cm2. d) diminuição de 63.800 cm2. e) diminuição de 272.600 cm2.

7. (Enem) O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60. O raio R deve ser um número natural.

Entre esses polígonos, o único que satisfaz as condições necessárias para representar a ingestão correta de diferentes tipos de alimentos é o a) triângulo. b) losango. c) pentágono. d) hexágono. e) octógono.

128]

[Matemática II] 9. (Enem) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.

11. (Enem) A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B. Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45 com a linha do horizonte.

O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.

Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em a) 8 π. b) 12π. c) 16π. d) 32π. e) 64π.

10. (Enem) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo possível inferior a 360.

A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de a) 90 no sentido horário. b) 135 no sentido horário. c) 180 no sentido anti-horário. d) 270 no sentido anti-horário. e) 315 no sentido horário.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? a) 1m b) 2 m c) 2,4 m d) 3 m e) 2 6 m

[129]

[Matemática II] 12. (Enem PPL) Um fabricante recomenda que, para cada m2 do ambiente a ser climatizado, são necessários 800 BTUh, desde que haja até duas pessoas no ambiente. A esse número devem ser acrescentados 600 BTUh para cada pessoa a mais, e também para casa aparelho eletrônico emissor de calor no ambiente.

A seguir encontram-se as cinco opções de aparelhos desse fabricante e suas respectivas capacidades térmicas: Tipo I: 10.500 BTUh Tipo II: 11.000 BTUh Tipo III: 11.500 BTUh Tipo IV: 12.000 BTUh Tipo V: 12.500 BTUh O supervisor de um laboratório precisa comprar um aparelho para climatizar o ambiente. Nele ficarão duas pessoas mais uma centrífuga que emite calor. O laboratório tem forma de trapézio retângulo, com as medidas apresentadas na figura:

Para economizar energia, o supervisor deverá escolher o aparelho de menor capacidade térmica que atenda às necessidades do laboratório e às recomendações do fabricante.

A escolha do supervisor recairá sobre o aparelho do tipo a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 13. (Enem PPL) A figura traz o esboço da planta baixa de uma residência. Algumas medidas internas dos cômodos estão indicadas. A espessura de cada parede externa da casa é 0,20m e das paredes internas, 0,10m.

Sabe-se que, na localidade onde se encontra esse imóvel, o Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU) é calculado conforme a área construída da residência.

Nesse cálculo, são cobrados R$ 4,00 por cada metro quadrado de área construída.

O valor do IPTU desse imóvel, em real, é a) 250,00. b) 250,80. c) 258,64. d) 276,48. e) 286,00.

14. (Enem PPL) Um arquiteto deseja construir um jardim circular de 20 m de diâmetro. Nesse jardim, uma parte do terreno será reservada para pedras ornamentais. Essa parte terá a forma de um quadrado inscrito na circunferência, como mostrado na figura. Na parte compreendida entre o contorno da circunferência e a parte externa ao quadrado, será colocada terra vegetal. Nessa parte do jardim, serão usados 15 kg de terra para cada m2. A terra vegetal é comercializada em sacos com exatos 15 kg cada. Use 3 como valor aproximado para π.

O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários para cobrir a parte descrita do jardim é a) 100. b) 140. c) 200. d) 800. e) 1.000.

130]

[Matemática II] 15. (Enem PPL) Um casal e seus dois filhos saíram, com um corretor de imóveis, com a intenção de comprar um lote onde futuramente construiriam sua residência.

No projeto da casa, que esta família tem em mente,

16. (Ufrgs) Uma pessoa desenhou uma flor construindo semicírculos sobre os lados de um hexágono regular de lado 1, como na figura abaixo.

irão necessitar de uma área de pelo menos 400 m2 .

Após algumas avaliações, ficaram de decidir entre os lotes 1 e 2 da figura, em forma de paralelogramos, cujos preços são R$ 100.000,00 e R$ 150.000,00, respectivamente.

A área dessa flor é 3 π a)  3   .

2 2 3 b) ( 3  π ).

2 3 π c)  3   .

4 2 3 d) ( 3  π ).

4 3 e) ( 3  2 π ).

2

3 1 1,7 , e como aproximações 2 2 respectivamente, para sen(60), cos(60) e 3.

Use

17. (Ufrgs) Considere um quadrado de lado 1. Foram construídos dois círculos de raio R com centros em dois vértices opostos do quadrado e tangentes entre si; dois outros círculos de raio r com centros nos outros dois vértices do quadrado e tangentes aos círculos de raio R, como ilustra a figura abaixo.

Para colaborarem na decisão, os envolvidos fizeram as seguintes argumentações: Pai: Devemos comprar o Lote 1, pois como uma de suas diagonais é maior do que as diagonais do Lote 2, o Lote 1 também terá maior área; Mãe: Se desconsiderarmos os preços, poderemos comprar qualquer lote para executar nosso projeto, pois tendo ambos o mesmo perímetro, terão também a mesma área; Filho 1: Devemos comprar o Lote 2, pois é o único que tem área suficiente para a execução do projeto; Filho 2: Devemos comprar o Lote 1, pois como os dois lotes possuem lados de mesma medida, terão também a mesma área, porém o Lote 1 é mais barato; Corretor: Vocês devem comprar o Lote 2, pois é o que tem menor custo por metro quadrado.

A área da região sombreada é  2   1 π. a)    2  b) ( 2  1)π.

A pessoa que argumentou corretamente para a compra do terreno foi o(a) a) pai. b) mãe. c) filho 1. d) filho 2. e) corretor.

1  c) 1   2   π.

2   d) 1  ( 2  1)π.  2   1 π. e) 1     2 

[131]

[Matemática II] 18. (Ufrgs) Considere o pentágono regular de lado 1 e duas de suas diagonais, conforme representado na figura abaixo. A área do polígono sombreado é

sen36 .

2 sen72 . b) 2 sen72 c) .

3 d) sen36.

a)

e) sen72.

20. (Ufrgs) O emblema de um super-herói tem a forma pentagonal, como representado na figura abaixo.

A área do emblema é a) 9  5 3. b) 9  10 3. c) 9  25 3. d) 18  5 3. e) 18  25 3.

21. (Ufrgs) Considere o hexágono regular ABCDEF, no qual foi traçado o segmento FD medindo 6 cm, representado na figura abaixo.

19. (Ufrgs) Um desenhista foi interrompido durante a realização de um trabalho, e seu desenho ficou como na figura abaixo.

A área do hexágono mede, em cm 2 , a) 18 3. b) 20 3. c) 24 3. d) 28 3. e) 30 3.

Se o desenho estivesse completo, ele seria um polígono regular composto por triângulos equiláteros não sobrepostos, com dois de seus vértices sobre um círculo, e formando um ângulo de 40, como indicado na figura.

22. (Pucrs) Em um ginásio de esportes, uma quadra retangular está situada no interior de uma pista de corridas circular, como mostra a figura.

Quando a figura estiver completa, o número de triângulos equiláteros com dois de seus vértices sobre o círculo é a) 10. b) 12. c) 14. d) 16. e) 18.

A área interior à pista, excedente à da quadra retangular, em m2 , é a) 50π  48 b) 25π  48 c) 25π  24 25 π  24 d) 2 e) 10π  30

132]

[Matemática II] 4. Dessa forma, ficam definidas as medidas da base, a AR   d, e da altura, AB  a, desse retângulo.

2

23. (Ufrgs) Considere AB um segmento de comprimento 10 e M um ponto desse segmento, distinto de A e de B, como na figura abaixo. Em qualquer posição do ponto M, AMDC é quadrado e BME é triângulo retângulo em M.

Sendo assim, a razão entre a medida da base e da altura do quadrilátero áureo é: a) 1 5 b) 1 2

Tomando x como a medida dos segmentos AM e EM, para que valor(es) de x as áreas do quadrado AMDC e do triângulo BME são iguais?

10 a) 0 e .

3 b) 0, 2 e 3.

1 2 2 1 5 d) 2 a(1  5) e) 2 c)

10 .

3 10 d) 0, e 10.

3 e) 5.

c)

25. (Ucs) As medidas dos lados de um terreno A, de

50 m2 , em forma de retângulo, são dadas, em metros, por 3x  2 e x  1.

Pretendendo-se comprar um terreno B com a mesma forma e a mesma relação entre as medidas dos lados,

24. (Upf) Um quadrilátero áureo apresenta um valor especial para a razão entre as suas medidas da base (lado maior) e da altura (lado menor).

porém com 250 m2 de área, em quanto deve ser aumentado, em metros, o valor do parâmetro x ? a) 3 b) 5 c) 8 d) 9 e) 14

Os passos para a construção de um quadrilátero áureo são: 1. Construir um quadrado de lado a.

2. Dividir esse quadrado em dois retângulos iguais.

3. Traçar a diagonal do segundo retângulo e, com o compasso, marcar o ponto R sobre a horizontal.

GABARITO UNIDADE 6 1. C 6. A 11. B 16. A 21. A

[133]

2. B 7. B 12. C 17. E 22. B

3. D 8. C 13. E 18. A 23. C

4. B 9. A 14. A 19. E 24. D

5. E 10. C 15. C 20. C 25. B

[Matemática II]

UNIDADE 7: GEOMETRIA ESPACIAL 1. (Enem) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza.

3. (Enem) Os alunos de uma escola utilizaram cadeiras iguais às da figura para uma aula ao ar livre. A professora, ao final da aula, solicitou que os alunos fechassem as cadeiras para guardá-las. Depois de guardadas, os alunos fizeram um esboço da vista lateral da cadeira fechada.

Qual e o esboço obtido pelos alunos?

A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2 é a) tetraedro. b) pirâmide retangular. c) tronco de pirâmide retangular. d) prisma quadrangular reto. e) prisma triangular reto.

a)

2. (Enem) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposta por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m3 . Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.

b)

c)

d) Utilize 3 como aproximação para π.

O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é a) 6. b) 16. c) 17. d) 18. e) 21.

e)

134]

[Matemática II] 4. (Enem) A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e C.

comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina d’água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina.

A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às suas especificações técnicas é a) 11,25 b) 27,00 c) 28,80 d) 32,25 e) 49,50

Considere que o plano α é paralelo à linha do equador na figura.

6. (Enem) Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo.

Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces.

Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu? a) 6 b) 8 c) 14 d) 24 e) 30

A projeção ortogonal, no plano α, do caminho traçado no globo pode ser representada por

7. (Enem) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de paralelepípedo retangular reto.

Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e a)

base de 20 cm por 10 cm. No processo de confecção do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no estado líquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 25%, ficando com consistência cremosa.

Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura

b)

sabor chocolate com volume de 1.000 cm3 e, após essa mistura ficar cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar.

c) d)

e)

O volume máximo, em cm3 , da mistura sabor morango que deverá ser colocado na embalagem é a) 450. b) 500. c) 600. d) 750. e) 1.000.

5. (Enem) Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1.000 L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e

[135]

[Matemática II] 8. (Enem) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81m3 de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada.

Utilize 3,0 como aproximação para π.

Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado? a) 0,5 b) 1,0 c) 2,0 d) 3,5 e) 8,0

O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é a) 25. b) 33. c) 42. d) 45. e) 49.

11. (Enem PPL) Uma lagartixa está no interior de um quarto e começa a se deslocar. Esse quarto, apresentando o formato de um paralelepípedo retangular, é representado pela figura.

9. (Enem) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura.

Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual.

Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em a) 14,4% b) 20% c) 32,0% d) 36,0% e) 64,0% 10. (Enem) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 115cm.

A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo.

A lagartixa parte do ponto B e vai até o ponto A. A seguir, de A ela se desloca, pela parede, até o ponto M, que é o ponto médio do segmento EF. Finalmente, pelo teto, ela vai do ponto M até o ponto H. Considere que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância entre os respectivos pontos envolvidos.

A projeção ortogonal desses deslocamentos no plano que contém o chão do quarto é dado por: a)

b)

c)

d)

e)

136]

[Matemática II] 12. (Enem PPL) O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A granada é um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos polígonos correspondentes às faces.

a) 2V - 4F = 4 b) 2V - 2F = 4 c) 2V  F  4 d) 2V  F  4 e) 2V  5F  4 15. (Enem PPL) A figura mostra a pirâmide de Quéops, também conhecida como a Grande Pirâmide. Esse é o monumento mais pesado que já foi construído pelo homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha, cada um pesando em média 2,5 toneladas. Considere que a pirâmide de Quéops seja regular, sua base seja um quadrado com lados medindo 214 m, as faces laterais sejam triângulos isósceles congruentes e suas arestas laterais meçam 204 m.

Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual a a) 10. b) 12. c) 25. d) 42. e) 50.

13. (Enem PPL) Para a Olimpíada de 2012, a piscina principal do Centro Aquático de Londres, medindo 50 metros de comprimento, foi remodelada para ajudar os atletas a melhorar suas marcas. Observe duas das melhorias:

O valor mais aproximado para a altura da pirâmide de Quéops, em metro, é a) 97,0 b) 136,8 c) 173,7 d) 189,3 e) 240,0

A capacidade da piscina em destaque, em metro cúbico, é igual a a) 3750 b) 1500 c) 1250 d) 375 e) 150

16. (Ufrgs) Considere a planificação de um tetraedro, conforme a figura abaixo.

14. (Enem PPL) Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler V  A  F  2, em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente.

Os triângulos ABC e ABD são isósceles respectivamente em B e D. As medidas dos segmentos AC, BC, BD e DF estão indicadas na figura.

A soma das medidas de todas as arestas do tetraedro é a) 33. b) 34. c) 43. d) 47. e) 48.

17. (Ufrgs) Considere um cubo de aresta a. Os pontos

Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?

[137]

[Matemática II] I, J, K, L, M e N são os centros das faces ABCD, BCFG, DCGH, ADHE, ABFE e EFGH, respectivamente, conforme representado na figura abaixo.

a) 100 3. b) 150 3. c) 1.000 3. d) 1.500 3. e) 3.000 3.

20. (Ufrgs) Na figura abaixo, encontra-se representada a planificação de um sólido de base quadrada cujas medidas estão indicadas.

O octaedro regular, cujos vértices são os pontos I, J, K, L, M e N, tem aresta medindo a) a 3. b) a 2.

a 3 .

2 a 5 . d) 2 a 2 . e) 2 c)

18. (Ufrgs) Se um jarro com capacidade para 2 litros está completamente cheio de água, a menor medida inteira, em cm, que o raio de uma bacia com a forma semiesférica deve ter para comportar toda a água do jarro é a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

O volume desse sólido é a) 144. b) 180. c) 216. d) 288. e) 360.

21. (Ufrgs) No cubo de aresta 10, da figura abaixo, encontra-se representado um sólido sombreado com as alturas indicadas no desenho.

19. (Ufrgs) O primeiro prêmio de um torneio recebe um troféu sólido confeccionado em metal, com as medidas abaixo.

O volume do sólido sombreado é a) 300. b) 350. c) 500. d) 600. e) 700.

Considerando que as bases do troféu são congruentes e paralelas, o volume de metal utilizado na sua confecção é

22. (Ufrgs) Um cone reto com raio da base medindo 10 cm e altura de 12 cm será seccionado por um plano paralelo à base, de forma que os sólidos resultantes da secção tenham o mesmo volume.

138]

[Matemática II] 23. (Upf) Um tonel está com 30% da sua capacidade preenchida por um certo combustível. Sabendo que esse tonel tem diâmetro de 60 cm e altura de

A altura do cone resultante da secção deve, em cm, ser a) 6. b) 8.

600 cm, a quantidade de combustível contida nesse π tonel, em litros, é

c) 6 2 . d) 63 2 . e) 63 4 .

24. (Upf) Um reservatório de água tem formato de um cilindro circular reto de 3 m de altura e base com

1,2 m de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 1,2 m e 0,6 m respectivamente, e altura 1m, como representado na figura a seguir. a) 1,62 b) 16,2 c) 162 d) 180 e) 162.000 25. (Ucs) Uma ampulheta tem a forma de dois cones circulares retos idênticos (mesmo raio e mesma altura) no interior de um cilindro circular reto, conforme mostra a figura.

Nesse reservatório, há um vazamento que desperdiça 1 do seu volume por semana.

3 O volume da parte do cilindro sem os dois cones é igual __________ soma dos volumes desses cones. Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna acima. a) à b) ao dobro da c) à metade da d) a um terço da e) a dois terços da

Considerando a aproximação π  3 e sabendo que

1dcm3  1 , esse vazamento é de: a) 4.320 litros. b) 15,48 litros. c) 15.480 litros. d) 12.960 litros. e) 5.160 litros.

GABARITO UNIDADE 7 1. E 6. C 11. B 16. A 21. C

[139]

2. D 7. C 12. B 17. E 22. E

3. C 8. C 13. A 18. B 23. C

4. E 9. D 14. C 19. D 24. E

5. B 10. E 15. B 20. A 25. B

[Matemática II]

UNIDADE 8: GEOMETRIA ANALÍTICA

A tabela mostra a altitude y de uma aeronave, registrada pela torre de controle, t minutos após o início dos procedimentos de pouso. tempo t (em minutos) altitude y (em metros)

1. (Enem) Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B).

Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xOy da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.

Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que

0

5

10

15

20

10000

8000

6000

4000

2000

Considere que, durante todo o procedimento de pouso, a relação entre y e t é linear.

Disponível em www.meioaereo.com.

De acordo com os dados apresentados, a relação entre y e t é dada por a) y = – 400t b) y = – 2000t c) y = 8000 – 400t d) y = 10000 – 400t e) y = 10000 – 2000t 3. (Enem) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q.

1m de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro.

Use 3 como aproximação para π e 1,4 como aproximação para

2.

O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de a) 1.260. b) 2.520. c) 2.800. d) 3.600. e) 4.000.

2. (Enem PPL) Os procedimentos de decolagem e pouso de uma aeronave são os momentos mais críticos de operação, necessitando de concentração total da tripulação e da torre de controle dos aeroportos.

Segundo levantamento da Boeing, realizado em 2009, grande parte dos acidentes aéreos com vítimas ocorre após iniciar-se a fase de descida da aeronave. Desta forma, é essencial para os procedimentos adequados de segurança monitorar-se o tempo de descida da aeronave.

Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais.

De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são a) (290; 20). b) (410; 0). c) (410; 20). d) (440; 0). e) (440; 20).

140]

[Matemática II] 4. (Enem) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.

Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X  (20; 60). O helicóptero segue o percurso:

0,8L  0,5N  0,2O  0,1S  0,4N  0,3L De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é a) menor ou igual a 200 m. b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. e) maior que 800 m.

6. (Enem PPL) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema.

A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

A reta de equação y  x  4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P  (5,5) , localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seja automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto a) (5,0) . b) ( 3,1) . c) ( 2,1) . d) (0,4) . e) (2,6) .

5. (Enem) A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude da região.

Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x2  y2  2x  4y  31  0.

A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não.

Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas a) A e C. b) B e C. c) B e D. d) A, B e C. e) B, C e D.

[141]

[Matemática II] 7. (Enem) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.

9. (Enem) A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.

Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima.

Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado.

A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função

Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá a) diminuir em 2 unidades. b) diminuir em 4 unidades. c) aumentar em 2 unidades. d) aumentar em 4 unidades. e) aumentar em 8 unidades.

b) f(x)  2  x2

8. (Ufrgs) Os pontos A, B, C, D, E e F determinam um hexágono regular ABCDEF de lado 1, tal que o ponto A tem coordenadas (1, 0) e o ponto D tem coordenadas (1, 0), como na figura abaixo.

a) f(x)   2  x2

c) f(x)  x2  2 d) f(x)   4  x2 e) f(x)  4  x2 10. (Enem PPL) Na figura estão representadas, em um plano cartesiano, duas circunferências: C1 (de raio 3 e centro O1) e C2 (de raio 1 e centro O2 ), tangentes entre si, e uma reta t tangente às duas circunferências nos pontos P e Q.

A equação da reta que passa pelos pontos B e D é a) y  3x. b) y 

3 3 x .

3 3

3 x 2 3 d) y  x 3

c) y 

3 .

2 3 .

3

e) y  3 x  3 .

2

2

Nessas condições, a equação da reta t é a) y   3x  3 3 b) y   3 x  3 3 3

c) y  x  4 d) y   2 x  4 3 4 e) y   x  4 5

142]

[Matemática II] 11. (Enem) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

programador utilizará um software que permite desenhar essa região a partir de um conjunto de desigualdades algébricas.

As desigualdades que devem ser utilizadas no referido software, para o desenho da região de isolamento, são a) 3y  x  0; 2y  x  0; y  8; x  9 b) 3y  x  0; 2y  x  0; y  9; x  8 c) 3y  x  0; 2y  x  0; y  9; x  8 d) 4y  9x  0; 8y  3x  0; y  8; x  9 e) 4y  9x  0; 8y  3x  0; y  9; x  8 13. (Enem PPL) Observou-se que todas as formigas de um formigueiro trabalham de maneira ordeira e organizada. Foi feito um experimento com duas formigas e os resultados obtidos foram esboçados em um plano cartesiano no qual os eixos estão graduados em quilômetros. As duas formigas partiram juntas do ponto O, origem do plano cartesiana xOy. Uma delas caminhou horizontalmente para o lado direito, a uma velocidade de 4 km h. A outra caminhou verticalmente para cima, à velocidade de 3 km h.

Após 2 horas de movimento, quais as coordenadas cartesianas das posições de cada formiga? a) (8; 0) e (0; 6). b) (4; 0) e (0; 6). c) (4; 0) e (0; 3).

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.

O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas a) (65 ; 35). b) (53 ; 30). c) (45 ; 35). d) (50 ; 20). e) (50 ; 30).

d) (0; 8) e (6; 0). e) (0; 4) e (3; 0).

14. (Ufrgs) 2

A circunferência definida pela equação

2

x  y  6 x 2 y  6 está inscrita em um quadrado.

12. (Enem 2ª aplicação) Uma região de uma fábrica deve ser isolada, pois nela os empregados ficam expostos a riscos de acidentes. Essa região está representada pela porção de cor cinza (quadrilátero de área S) na figura.

A medida da diagonal desse quadrado é a) 2. b) 2 2. c) 4 2. d) 6 2. e) 8 2.

15. (Ufrgs) Considere as circunferências definidas por

(x  3)2  (y  2)2  16 e (x  10)2  (y  2)2  9, representadas no mesmo plano cartesiano.

As coordenadas do ponto de interseção entre as circunferências são a) (7,2). b) (2,7). c) (10,3).

Para que os funcionários sejam orientados sobre a localização da área isolada, cartazes informativos serão afixados por toda a fábrica. Para confeccioná-los,

d) (16,9). e) (4,3).

[143]

[Matemática II] 16. (Ufrgs) No pentágono representado no sistema de coordenadas cartesianas abaixo, os vértices possuem coordenadas inteiras.

18. (Ufrgs) Um círculo tangencia a reta r, como na figura abaixo.

O centro do círculo é o ponto  7, 2  e a reta r é definida pela equação 3x  4y  12  0.

A equação do círculo é a)  x  7 2   y  2 2  25. b)  x  7 2   y  2 2  25.

As retas suporte dos lados AE e BC interceptam-se no ponto  4 a)  5,  .  3  5 b)  5,  .  2  5 c)  5,  .  3  5 d)  5,  .  4  6 e)  5,  .  5

c)  x  7 2   y  2 2  36. d)  x  7 2   y  22  36. e)  x  7 2   y  22  36.

19. (Upf) Sobre a figura abaixo, sabe-se que a equação de r é 2y  x  3; que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo das abscissas; que as retas r e s são paralelas; e que t é perpendicular a r.

17. (Ufrgs) Considere os gráficos das funções f e g, definidas por f  x   x2  x  2 e g  x   6  x, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, interseção dos gráficos das funções f e g, como na figura abaixo.

Nessas condições, a equação da reta t é a) y  2x  6 1 b) y   x  6 2 c) 2y  x  6 d) y  2x  3

e) y 

A distância entre os pontos A e B é a) 2 2. b) 3 2. c) 4 2. d) 5 2. e) 6 2.

x6 2

20. (Upf) Sabendo que o ponto P(4,1) é o ponto médio de uma corda AB da circunferência x2 – 6x + y2 + 4 = 0, então a equação da reta que passa por A e B é dada por: a) y  x  5 b) y  x  5 c) y  x  3 d) y  x  3 e)

144]

y

1 x5 2

[Matemática II] 24. (Acafe) Considere a circunferência que passa pelos pontos A(2, 3) e B( 7, 0) e que tem como centro um

21. (Upf) Considere uma circunferência C definida 2

2

equação x  y  36. O ponto P de coordenadas (x, 4) pertence a essa circunferência e está localizado no 1º quadrante. Considerando que o ponto O é o centro da circunferência e o ângulo α é formado pelo segmento OP com o lado positivo do eixo x, o cosseno dos ângulos α e (180  α ) será igual a: a) 5/6 e – 5/6 b) 2/3 e – 2/3 c) 5/6 e 4/5 pela

d)

2 5 3

e



ponto da reta r de equação y  2x  1, representadas no plano cartesiano.

Assim, analise as seguintes proposições: I.

equação

da

circunferência

é

dada

por:

2

x  y  5x  3y  14  0.

II. A menor distância entre a circunferência e o ponto Q(4, 7) é igual a 2 5.

III. A área do quadrado inscrito na circunferência é 45 u.a.

IV. As retas de equação 2y  x  k  0 são tangentes à circunferência. Portanto, a soma dos possíveis valores de k é igual a 10.

2 5 3

e) 5 e  5 3

A 2

3

22. (Acafe) Na figura abaixo, a reta (r) dada pela equação x  y  10  0 se intercepta com a reta (t) no ponto P(x, y).

Está(ao) correta(s) apenas a(s) afirmação(ões): a) I e III. b) II e IV. c) I, II e III. d) IV. 25. (Acafe) O gráfico de uma função f(x) é o segmento de reta que une os pontos A  3, 4  e B  3, 0  .

Assim, analise as afirmações a seguir. l. A distância entre o segmento de reta AB e o ponto

C  2,  1 é

7 13 u.c.

13

Então, a soma das coordenadas do ponto P é igual a: a) 11. b) 12. c) 9. d) 10.

ll. A área compreendida entre o segmento de reta AB e o eixo das abscissas é 12 u.a. lll. O conjunto domínio e imagem da função inversa

23. (Acafe)

D = { x  R / 0 ≤ x ≤ 4 } e Im = { y  R /-3 ≤ y ≤3}.

Considere a circunferência dada pela

equação C1 : x2  y2  12x  6y  36  0 circunferência dada 2

f 1  x  são, respectivamente,

lV. Se f 1  x  é uma função inversa de f(x), pode-se

e outra por

dizer que f 1  2   0.

2

C2 : x  y  4x  6y  9  0, com os pontos A e B, tangentes às circunferências e C2 , C1 respectivamente.

Assinale a alternativa correta. a) Apenas I e IV são verdadeiras. b) Apenas II, III e IV são verdadeiras. c) Apenas a afirmação III é verdadeira. d) Todas as afirmações são verdadeiras.

O comprimento do segmento AB (em unidades de comprimento) é:

GABARITO UNIDADE 8 1. B 6. D 11. E 16. C 21. E

a) 4 3. b) 5 5. c) 4 5. d) 5 3.

[145]

2. D 7. C 12. E 17. E 22. D

3. E 8. B 13. A 18. A 23. D

4. B 9. D 14. E 19. A 24. B

5. A 10. B 15. A 20. A 25. B

[Matemática II]

UNIDADE 9: NÚMEROS COMPLLEXOS 1. (Ufrgs) O pentágono regular representado abaixo tem o centro na origem do sistema de coordenadas e um vértice no ponto (0, 2).

4. (Mackenzie ADAPTADA) O resultado da expressão 3  2i na forma x  yi é 1  4i a) 11 14  i 15 15 11 14  i c) 17 17 11 14 d)  i 15 15 1 e) 3  i 2

b)

5. (Pucsp)



Em relação ao número complexo



z  i87  i105  3 é correto afirmar que Girando esse pentágono, no plano XOY, em torno de seu centro, de um ângulo de 228° no sentido horário, as novas coordenadas do vértice A serão

  b)  3, 1 c)  1, 3  d) 1,  3  e)  1,  3  . a)  3,1

complexo v 

2. (Espcex (Aman)) Sejam z e v números complexos onde | z | 1 e v tem coordenadas no plano de Argand-Gauss

a) sua imagem pertence ao 3º quadrante do plano complexo. b) é imaginário puro. c) o módulo de z é igual a 4. d) seu argumento é igual ao argumento do número

 2 2 ,   .  2 2 

Sobre o número complexo z

e v (resultante da multiplicação dos complexos z e v), podemos afirmar que a) sempre é um número real. b) sempre tem módulo igual a 2. c) sempre é um número imaginário puro. d) pertence à circunferência x2  y2  1. e) sempre tem argumento igual a

3. (Mackenzie) Se

π .

4

2i tem parte imaginária igual a β  2i

zero, então o número real β é igual a a) 4 b) 2 c) 1 d) 2 e) 4

1 3  i.

2 2

6. (ifsul) De uma forma criativa, após um exame, o professor entregou as notas expressas por números complexos aos seus alunos. Para cada aluno descobrir sua nota, era necessário calcular o módulo (observe que o módulo de um número complexo z  a  bi é calculado por | z | a2  b2 ) do número complexo descrito no seu exame.

Dessa forma, as notas representadas pelos números complexos 2π 2π   N1  4   cos  i  sen , 3 3   5π 5π   N2  3   cos  i  sen e 6 6   5  1  3 N3    i     i   i aproximados são, 2  2  4 respectivamente, a) 4, 3 e 3,5. b) 3, 4 e 3,5. c) 3, 4 e 5. d) 4, 3 e 5.

146]

[Matemática II]

UNIDADE 1: CONTAGEM

7. (Ufrgs) Considere as igualdades abaixo.

I. (1  2i)(1  2i)  5, sendo i a unidade imaginária.

1.

II. 20  21  22  23   2.

III. 1  2  3  4  5  6   99  100  50.

(Ufrgs)

Considere

4

3

o

polinômio

2

p(x)  x  2x  7x  8x  12.

a) Apenas I. b) Apenas III. c) Apenas I e II. d) Apenas II e III. e) I, II e III.

Se p(2)  0 e p(2)  0, então as raízes do polinômio p(x) são a) 2, 0, 1 e 2. b) 2, 1, 2 e 3. c) 2, 1, 1 e 2. d) 2, 1, 0 e 2. e) 3, 2, 1 e 2.

8. (Unisc)

2. (Ufrgs)

Quais igualdades são verdadeiras?

z

A parte real do número complexo 2

1  (3i) 1 i

q(x)  x2  x. O número de soluções da equação p(x)  q(x), no conjunto dos números reais, é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

é

a) 1 b) 1 c) 2 d) 2 e) 4 9. (Eear) 3

Considere os polinômios p(x)  x3 e

Se i é a unidade imaginária, então

2

2i  3i  3i  2 é um número complexo que pode ser representado no plano de Argand-Gauss no __________ quadrante.

3.

(Ufrgs)

As

raízes

do

polinômio

p  x   x3  5x2  4x são a) 4,  1 e 0. b) 4, 0 e 1.

a) primeiro b) segundo c) terceiro d) quarto

c) 4, 0 e 4. d) 1, 0 e 1. e) 0, 1 e 4.

10. (ifal) Escrevendo o número complexo Z  1 i na forma trigonométrica, temos 4. (Ufrgs) Se 2 é raiz dupla do polinômio p(x) = 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x – 4, então a soma das outras raízes é a) -1. b) -0,5. c) 0. d) 0,5. e) 1.

a) Z  2(cos π 4  i sen π 4). b) Z  2(cos π 2  i sen π 2). c) Z  2(cos π 4  i sen π 4). d) Z  2(cos π 4  i sen π 4). e) Z  2(cos π 2  i sen π 2).

5. (Ufrgs) Um polinómio de 5º grau com coeficientes reais que admite os números complexos -2 +i e 1 – 2i; como raízes, admite a) no máximo mais uma raiz complexa. b) 2  i e 1 2i como raízes. c) uma raiz real. d) duas raízes reais distintas. e) três raízes reais distintas.

GABARITO UNIDADE 9 1. E 6. A

2. D 7. C

3. A 8. E

4. A 9. B

5. D 10. D

[147]

[Matemática II] 6. (Ufsc) Em relação às proposições abaixo, é correto afirmar que: 01) Se R(x) é o resto da divisão de

A(x)  x4  2x3  2x2  x  4

por

 1 7 B(x)  x3  2x2  1, então R    . 2 2 02) Observe a figura, que representa parte do gráfico da função f(x)  x3  ax2  bx  3. Com base nos dados abaixo, é correto afirmar que (b a)  0.

8. (Acafe)

Seja P(x) um polinômio divisível por

(x 2). Se dividirmos o polinômio P(x) por (x2  2x), obteremos como quociente o polinômio (x2  2) e resto igual a R(x). Se R(3)  6, então, a soma de todos os coeficientes de P(x) é igual a: a) 38. b) 41. c) 91. d) 79.

9.

(Epcar 3

(Afa))

O

polinômio

2

P(x)  x  mx  nx  12 é tal que P(x)  0 admite as raízes x1, x2 e x 3 .

Se x1  x2  3 e x2  x3  5, então é correto afirmar que a) P(m)  0 b) m  n  13 c) m  n  20 d) n  2m  7 10. (Mackenzie) Os valores de R, P e A para que a 04)

Se

a

forma

fatorada

T(x)  x4  7 x3  13x2  3x  18

do

polinômio é

T(x)  (x a)2  (x 1)  (x  2), então a é um número par.

4x  2 A B C    08) Se para todo x tal 3 x  4x x x  2 x  2 que x  0, x  2 e x  2, então A  B C  0.

16) Sabe-se que 2  i e 3  2i são raízes do polinômio P(x), que é de grau 5. Ao escolher, ao acaso, uma das raízes desse polinômio, a probabilidade de essa raiz ser um número real é de 60%.

7. (Udesc) Um polinômio p(x) dividido por x  1 deixa resto 16; por x  1 deixa resto 12, e por x deixa resto 1. Sabendo que o resto da divisão de p(x) por

(x  1)(x  1)x é da forma ax 2  bx  c, então o valor numérico da soma das raízes do polinômio ax2  bx  c é: 3 a) 5 b) 2 2 c) 15 d) 4 e) 2

2x 2  5x  1

R P A   seja uma x x  1 x 1 x x identidade são, respectivamente, igualdade

3



a) 3, 1 e 2 b) 1,  2 e 3 c) 3,  2 e 1 d) 1, 3 e 2 e) 2, 1 e 3 11. (Upf)

Sabe-se que 1  i é uma das raízes da

equação x 4  2x3  4x  4  0. dessa forma, que essa equação

Pode-se afirmar,

a) possui raízes racionais e iguais. b) possui raízes racionais e diferentes. c) possui raízes irracionais e iguais. d) não possui raízes reais. e) possui raízes irracionais e diferentes.

12. (Pucrs) O polinômio p(x)  ax3  bx2  cx, em R é divisível por (x  1). Podemos afirmar que p(p(1)) é a) 1 b) 0 c) 1 d) a  b  c e) a  b  c

148]

[Matemática II] 13. (Udesc) Um polinômio do terceiro grau, cujo coeficiente do termo dominante é igual a 1, admite apenas raízes reais e distintas que quando multiplicadas resultam em 15 e quando somadas resultam em 1. Se o resto da divisão desse polinômio por g(x)  x  2 é igual a 7, então o quociente dessa divisão é igual a:

17. (Pucrs) Se p(x)  ax3  bx2  cx  d, onde a, b, c, d são números reais, e sabendo que p(x) é divisível por x  1, podemos afirmar que: a) a  c  b  d b) a  c  b  d c) a  c  b  d d) a  b  c  d  0 e) a  b  c  d  1

a) x2  3x  11 b) x 2  3x  7 c) x2  x  15

18. (Pucpr)

d) x2  x  11

Se (x  2) é um fator do polinômio

x3  kx 2  12x  8, então, o valor de k é igual a:

e) x2  x  15

a) 3. b) 2. c) 3. d) 6. e) 6.

14. (ifsul) A soma e o produto das raízes reais da equação x 4  7x2  18  0 são, respectivamente, a) 0 e 9 b) 7 e 18 c) 5 e 6 d) 11 e 18

19. (Upf) Se o polinômio P(x)  x4  2x2  mx  p é

15. (cps) No século XVI, divertidos duelos intelectuais entre professores das academias contribuíram para o avanço da Matemática.

Motivado por um desses duelos, o matemático italiano Niccólo Fontana (Tartaglia) (1500 – 1557) encontrou uma fórmula para resolver equações polinomiais de terceiro grau. No entanto, os outros matemáticos da época não tinham acesso a tal descoberta, tendo que encontrar formas alternativas para resolver aqueles problemas.

divisível por D(x)  x2  1, o valor de m  p é: a) 3 b) 1 c) 0 d) 2 e) 3 20. (ifsc) Dado o polinômio 6  11x  6x 2  x 3 , é CORRETO afirmar que: a) Trata-se de um polinômio de grau 6. b) A fatoração do polinômio é (x  1)  (x  2)  (x  3). c) Se dividirmos o polinômio por x  3, o polinômio

Uma dessas formas alternativas é a fatoração, que facilita a observação das raízes (soluções), pois transforma a adição dos termos da equação em uma multiplicação igualada a zero. Veja o exemplo.

quociente é x2  2x  3. d) O grau do polinômio é 11.

x3  6x2  5x  12  0  (x  1)  (x  3)  (x  4)  0

e) Podemos dividir o polinômio por x5  6x2  11x  6

Analisando o exemplo dado, é correto afirmar que essa equação a) possui três raízes naturais distintas. b) possui três raízes inteiras distintas. c) possui duas raízes naturais distintas e uma raiz irracional. d) possui duas raízes irracionais distintas e uma raiz inteira. e) não possui raízes reais.

e obteremos como resposta o monômio x 2 .

16. (Eear) Considere P(x)  2x3  bx2  cx, tal que P(1)  2 e P(2)  6. Assim, os valores de b e c são, respectivamente, a) 1 e 2 b) 1 e 2 c) 1 e 3 d) 1 e 3

GABARITO UNIDADE 1 1. E 6. 09 11. E 16. D

[149]

2. D 7. C 12. B 17. B

3. A 8. B 13. A 18. E

4. B 9. D 14. A 19. E

5. C 10. B 15. B 20. B

[Matemática II]

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS - LONGEN, Adilson. Curso Prático de Matemática, volume 1. Curitiba: Bolsa Nacional do Livro.

- DANTE, Luiz Roberto. Matemática Série Novo Ensino Médio, volume único. Editora Ática.

- BARRETO FILHO, Benigno. Matemática aula por aula: volume único: ensino médio/ Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. São Paulo: FTD. - DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto e Aplicações, volume único: ensino médio. Editora Ática.

* Material didático elaborado pelo professor Luiz Geraldo Silveira, licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM). Dá aulas em escolas e cursos pré-vestibulares e ENEM desde 1998.

150]