Om Prefix 1a
Prefix 1a finns både i tryckt och digital version, vilket gör att du kan välja den version som passar dig bäst ”förutsatt att din skola har tillgång till båda”. Båda versionerna har samma upplägg, innehåll och struktur.
Kapitel och innehåll
I Prefix 1a arbetar du med sex kapitel kopplade till kursen Matematik nivå 1a. Det sista kapitlet, kapitel 7, är en sammanfattning där uppgifterna förbereder dig inför det nationella provet. Här finns också mer omfattande uppgifter som är anpassade till ditt yrkesprogram.
QR-koder
I Prefix 1a använder vi QR-koder. Via QR-koderna kan du:
● titta och lyssna på genomgångar digitalt.
● se inspelade lösningar till samtliga uppgifter i hela boken där metoder och strategier förklaras steg för steg.
● få tillgång till mängdträning inom alla områden.
● arbeta med yrkesinriktade uppgifter inom samtliga program.
Upplägg
i varje kapitel
Varje kapitel följer en tydlig struktur som hjälper dig att lära och förstå matematiken på ett effektivt sätt.
Samtliga kapitel börjar alltid med en teoridel, där du får en genomgång av viktiga begrepp, metoder och samband. Här kan du läsa förklaringar och ta del av exempel som visar hur matematiken fungerar i praktiken.
Efter teoridelen följer exempel som visar hur du kan använda metoderna i praktiken. Alla exempel har fullständiga lösningar, både i boken och som inspelade genomgångar, vilket ger dig flera sätt att ta till dig informationen. Att gå igenom exemplen noggrant är ett bra sätt att förbereda sig inför de kommande uppgifterna.
När du har förstått teorin och exemplen är det dags att öva. Uppgifterna är indelade i tre nivåer så att du kan välja den svårighetsgrad som passar dig:
Nivå 1 – grundläggande uppgifter med stödfrågor som hjälper dig att komma igång. Dessa fungerar som ett stöd när du löser uppgifterna, men tanken är att du successivt ska kunna lösa dem utan hjälp.
Nivå 2 – medelsvåra uppgifter där du får utmana dig själv lite mer.
Nivå 3 – mer komplexa uppgifter som kräver att du använder flera metoder och tänker ett steg längre.
Numreringen av uppgifterna bygger på kapitlets och avsnittets nummer, där den första siffran anger kapitel och den andra siffran anger avsnitt. Alla uppgifter har facit längst bak i boken. För ytterligare stöd finns inspelade lösningar (OBS! till alla uppgifter), som du kan nå via QR-koder vid rubriken Uppgifter.
Tester och diagnoser
Varje kapitel innehåller ett antal test där du får chans att kontrollera vad du har lärt dig. Testet är på grundläggande nivå och hjälper dig att se om du behöver gå tillbaka och repetera eller om du är redo att gå vidare. Om du behöver mer träning finns mängdträning tillgänglig via QR-koder.
När du har gått igenom alla områden inom ett kapitel får du göra en diagnos. Den visar om du behöver repetera något eller om du kan gå vidare till Blandade övningar. Om diagnosen visar att du behöver träna mer finns det hänvisningar till de avsnitt där du kan repetera och förstärka dina kunskaper.
Blandade övningar och nivåanpassning
Innan du går vidare till blandade övningar finns även en mer omfattande gruppuppgift, som du kan välja att arbeta med som en extra utmaning.
De blandade övningarna är nivågrupperade på samma sätt som övriga uppgifter, så att du kan arbeta vidare på den nivå som passar dig.
Sammanfattning, repetition och reflektion
Varje kapitel avslutas med en sammanfattning som hjälper dig att repetera de viktigaste momenten. Här kan du se tillbaka på vad du har lärt dig och säkerställa att du har förstått innehållet innan du går vidare.
Prefix 1a är utformat för att ge dig flera sätt att lära. Genom att kombinera text, inspelade genomgångar, stödfrågor och nivågrupperade uppgifter kan du hitta den metod som fungerar bäst för dig.
Lycka till med dina matematikstudier!
Yrkesspecifikt innehåll
Arbetslivet har förändrats i snabb takt de senaste årtiondena, och idag finns det en ökad förväntan på gedigna teoretiska kunskaper såväl som praktiska färdigheter för att utföra arbetsuppgifter på ett professionellt och effektivt sätt. Inom många yrkesroller är matematiska kunskaper avgörande – oavsett om det handlar om att göra exakta mätningar, beräkna materialkostnader eller tolka tekniska diagram.
I sista kapitlet, Repetition, hittar du uppgifter som är särskilt anpassade för olika inriktningar inom yrkesprogrammen. Här får du arbeta med matematiska problem som speglar verkliga situationer inom olika yrkesområden.
Barn- och fritidsprogrammet
● planera kost- och motionsprogram för barn och ungdomar
● tolka statistik över elevers utveckling
● beräkna tidsplaner för olika aktiviteter
Bygg- och anläggningsprogrammet
● beräkna materialåtgång för att gjuta en betongplatta
● räkna ut lutningen på ett tak
● uppskatta kostnaden för en renovering
El- och energiprogrammet
● förstå elscheman
● räkna på motstånd och strömstyrka
● dimensionera ledningar utifrån gällande säkerhetskrav
Fordon- och transportprogrammet
● tolka serviceintervaller
● beräkna bränsleförbrukning
● förstå hastighetsdiagram och lastfördelning
Frisör- och stylistprogrammet
● beräkning av storlek och form vid hår- och skäggstyling
● beräkning av rätt mängd material för hårförlängningar
● beräkning av vinstmarginaler på behandlingar och produkter
Försäljnings- och serviceprogrammet
● analysera försäljningsstatistik
● beräkna vinstmarginaler
● räkna ut moms och rabatter
● förstå lageromsättning
Hotell- och turismprogrammet
● hantera valutakurser
● beräkna kostnader för paketresor
● planera kostnadseffektiva event
Industritekniska programmet
● räkna ut skärhastighet vid svarvning
● beräkna toleranser vid montering
● förstå produktionsflödets effektivitet
Naturbruksprogrammet
● planera utfodring för djurhållning
● beräkna skördeutfall
● tolka väderprognoser
● uppskatta marknadspriser på grödor
Restaurang- och livsmedelsprogrammet
● skala upp recept för större sällskap
● räkna ut inköp av råvaror
● hantera livsmedelskostnader
● tolka näringsvärden
VVS- och fastighetsprogrammet
● beräkna vattenflöden i rörsystem
● kalkylera värmeeffektivitet
● analysera energiförbrukning i fastigheter
Vård- och omsorgsprogrammet
● dosera läkemedel
● beräkna vätskebalans
● tolka statistik om folkhälsa
● planera scheman utifrån vårdbehov
Dessa uppgifter hjälper dig att utveckla de matematiska färdigheter som krävs i just ditt yrkesområde. Vill du ta del av fler uppgifter som täcker samtliga tolv yrkesprogram? Skanna QR-koden vid avsnittets rubrik för att få tillgång till ett större utbud av övningar anpassade efter din inriktning.
Innehåll
1
Aritmetik 6
1.1 Tal och räkneregler 8
Positionssystemet 8
Räknesätt och prioriteringsregler
8
Exempel 11
Uppgifter 13
1.1 Test – Tal och räkneregler 15
1.2 Negativa tal 16
Vad är ett negativt tal? 16
Addition och subtraktion med negativa tal 17
Multiplikation och division med negativa tal 19
Exempel 20
Uppgifter 22
1.2 Test – Negativa tal 24
1.3 Bråk 25
Bråkform 25
Förlängning och förkortning av bråk 26
Exempel 27
Uppgifter 29
Räkna med bråk 31
Exempel fortsättning 33
Uppgifter fortsättning 35
1.3 Test – Bråk 36
1.4 Decimaltal och avrundning 37
Multiplikation och division med 10, 100 och 1 000 37
Avrundning 39
Exempel 40
Uppgifter 42
1.4 Test – Decimaltal och avrundning 44
1.5 Potenser 45
Tiopotenser 45
Grundpotensform 45
Exempel 47
Uppgifter 48
1.5 Test – Potenser 49
1.6 Överslagsräkning 50
Exempel 51
Uppgifter 53
1.6 Test – Överslagsräkning 54
Diagnos 55
Gruppuppgift 56
Blandade övningar 57
Sammanfattning 58
2 Procent
2.1 Procent, promille och ppm 61
Procentenheter 62
Promille och ppm 62
Exempel 63
Uppgifter 64
2.1 Test – Procent, promille och ppm 67
2.2 Förändringsfaktor 68
Exempel 70
Uppgifter 72
2.3 Index 75
Exempel 76
Uppgifter 77
2.2–2.3 Test - Förändringsfaktor och index 80
2.4 Lån, ränta, amortering, avbetalning och kredit 81
Lån 81
Ränta 81
Amortering 82
Avbetalning 82
Kredit 82
Lån, ränta och amortering med kalkylprogram 83
Exempel 86
Uppgifter 88
2.4 Test – Lån, ränta, amortering, avbetalning och kredit 91
Diagnos 92
Gruppuppgift 93
Blandade övningar 94
Sammanfattning 97
3 Algebra 98
3.1 Algebraiska uttryck 99
Beräkna värdet av algebraiska uttryck 100
Exempel 101
Uppgifter 102
3.2 Uttryck med parenteser 104
Exempel 105
Uppgifter 107
3.1–3.2 Test – Algebraiska uttryck 108
3.3 Enkla ekvationer 109
Hur löser vi en ekvation? 110
Exempel 111
Uppgifter 112
3.4 Ekvationer med flera x 114
Exempel 115
Uppgifter 118
3.3–3.4 Test – Enkla ekvationer och ekvationer med flera x 120
3.5 Ekvationer med parenteser och bråk 121
Korsmultiplikation 121
Exempel 122
Uppgifter 126
3.6 Formler och formulär 128
Exempel 129
Uppgifter 131
3.5–3.6 Test – Ekvationer med parenteser, bråk, formler och formulär 133
3.7 Lös ekvationer med digitala verktyg 134
Exempel 136
Uppgifter 140
3.8 Problemlösning 142
Exempel 143
Uppgifter 146
3.7 och 3.8 Test – Digitala verktyg och problemlösning 149
Diagnos 150
Gruppuppgift 151
Blandade övningar 153
Sammanfattning 155
4 Geometri 156
4.1 Omkrets och area 157
Exempel 159
Uppgifter 161
4.1 Test - Omkrets och area 163
4.2 Kub, rätblock, cylinder och prisma 164
Rätblock och kub 164
Cylinder 164
Prisma 165
Exempel 166
Uppgifter 168
4.3 Pyramid, kon och klot 170
Pyramid 170
Kon 170
Klot 170
Exempel 171
Uppgifter 173
4.2–4.3 Test – Volym och begränsningsarea 174
4.4 Enhetsomvandlingar och prefix 175
Längdenheter 175
Areaenheter 175
Volymenheter 176
Prefix 177
Exempel 178
Uppgifter 180
4.4 Test - Enhetsomvandlingar och prefix 182
4.5 Skala och likformighet 183
Skala 183
Likformighet 184
Exempel 185
Uppgifter 186
4.5 Test - Skala och likformighet 188
4.6 Vinklar och symmetrier 189
Vinklar 189
Symmetrier 190
Exempel 191
Uppgifter 192
4.7 Pythagoras sats 193
Pythagoras sats 193
Exempel 194
Uppgifter 195
4.6-4.7 Test – Vinklar, symmetrier och Pythagoras sats 197
4.8 Trigonometri och vektorer 198
Trigonometri 198
Trigonometri med digitalt verktyg 199
Vektorer 200
Addition av vektorer 200
Exempel 201
Uppgifter 205
4.8 Test - Trigonometri och vektorer 207
Diagnos 208
Gruppuppgift 209
Blandade övningar 210
Sammanfattning 214
5 Funktioner 216
5.1 Koordinatsystemets uppbyggnad 217
Exempel 218
Övningar 219
5.2 Funktionsbegreppet 220
Exempel 221
Uppgifter 223
5.3 Skrivsättet f (x) 225
Exempel 226
Uppgifter 227
5.4 Vad är proportionalitet? 229
Exempel 230
Uppgifter 231
5.1–5.4 Test - Koordinatsystem, funktionsbegreppet och skrivsättet f(x) 232
5.5 Värdetabell och y = kx + m 233 k-värdet 234
Linjer med positivt eller negativt k-värde 235 m-värdet 235
Exempel 236
Uppgifter 238
5.5 Test – Värdetabell och y = kx + m 240
5.6 Hitta räta linjens ekvation grafiskt 241
Exempel 242
Uppgifter 244
5.6 Test – Bestäm räta linjens ekvation grafiskt 247
5.7 Exponentialfunktioner 248
Exempel 250
Uppgifter 252
5.7 Test – Exponentialfunktioner 255
5.8 Rita upp funktioner med hjälp av digitalt verktyg 256
Rita upp graf från en funktion 256
Uppgifter 258
Diagnos 259
Gruppuppgift 260
Blandade övningar 261
Sammanfattning 264
6 Statistik och
sannolikhet 266
6.1 Enkla slumpförsök 267
Exempel 269
Uppgifter 270
6.2 Träddiagram – oberoende händelse 271
Exempel 273
Uppgifter 275
6.1–6.2 Test - Slumpförsök, träddiagram och oberoende händelse 277
6.3 Tärningsdiagram
Exempel 279
Uppgifter 281
6.4 Komplementhändelse 283
Exempel 283
Uppgifter 285
6.3–6.4 Test – Tärningsdiagram och komplementhändelse 286
6.5 Träddiagram – beroende händelse 287
Exempel 289
Uppgifter 291
6.5 Test - Träddiagram och beroende händelse 293
6.6 Statistik i samhället 294
Frekvenstabell 294
Stapeldiagram 294
Stoldiagram 295
Cirkeldiagram 295
Linjediagram 296
Histogram 296
Vilseledande statistik 296
Exempel 297
Uppgifter 298
6.7 Lägesmått 302
Medelvärde 302
Median 302
Typvärde 303
Spridningsmått 303
Exempel 304
Uppgifter 306
6.8 Statistiska samband 308
Population 308
Urvalsmetoder 308
Mätfel 309
Korrelation 309
Kausalitet 310
Exempel 311
Uppgifter 312
6.6–6.8 Test – Statistik i samhället, lägesmått och statistiska samband 314
Diagnos 315
Gruppuppgift 316
Blandade övningar 317
Sammanfattning 320
7 Repetition 322
Blandade övningar 323
Yrkesspecifikt innehåll 328
Barn- och fritidsprogrammet 328
Bygg- och anläggningsprogrammet 329
Facit 330
Register
Centralt innehåll
Begreppet förändringsfaktor och beräkning av förändringar i flera steg.
Matematiska begrepp som är relevanta för karaktärsämnen och yrkesliv, t.ex. procent och andelar samt indexmått.
Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen, med särskild utgångspunkt i yrkesliv, privatekonomi och samhällsliv.
Användning av kalkylprogram för bland annat beräkning av ränta och amortering.
2 Procent
Du kan stöta på procent i många olika sammanhang. Exempelvis kommer du kanske att köpa kläder på rea, din första lägenhet, bil eller göra ett annat stort inköp. För att få råd med detta kan du behöva ta ett banklån och då behöver du bland annat ha koll på ränta, avbetalning och amortering.
I detta område kommer du att lära dig att räkna med procent, förändringsfaktor och index. Du får också arbeta med procent i olika vardagliga situationer, till exempel vid löneförändringar och energiförbrukning.
Sant eller falskt?
Diskutera följande tre påståenden med klasskompisar. Motivera varför du tycker som du gör.
Fråga SantFalskt
1. 10 % av 1 000 är lika med 1 % av 10 000.
2. Om 40 % av ett antal är 80, så är det totala antalet 200.
3. Om priset på en vara ökar med 20 % och sedan minskar med 20 %, blir det nya priset det samma som det ursprungliga priset.
2.1 Procent, promille och ppm
Procent betyder hundradel och kan användas när vi vill jämföra andelar med varandra. Det vanligaste är att vi vill beräkna hur stor andel något är av det hela. Exempelvis, hur många procent är 20 kr av 100 kr? För det ska vi använda formeln:
Andelen = Delen Det hela
Sambandet kan vi ändra på beroende av vad vi vill räkna ut. Ska vi räkna ut det hela så är sambandet:
Det hela = Delen Andelen
Ska vi räkna ut delen så är sambandet:
Delen = Andelen Det hela
Omvandlingar mellan procentform och decimalform får vi genom att vi dividerar eller multiplicerar med 100 dvs. 0,01 i decimalform och 1 100 i bråkform. Exempelvis 8 % = 8 hundradelar = 8 100 = 0,08.
Några kända former är:
Kan du procentform, bråkform och decimalform ovan så kan du enkelt skriva om till vilka former som helst.
Procent betyder hundradel.
2.1
Teori
Procent och procentenheter är inte samma sak!
Procentenheter
Det är viktigt att ha kunskap om skillnaden mellan procent och procentenheter.
Procentenheter används för att uttrycka differensen (skillnaden) mellan två tal i procent.
Moderaterna fick vid valet år 2022 cirka 20 % av rösterna. År 2014 fick de cirka 23 % av rösterna. Det innebär att Moderaterna har minskat sitt väljarstöd med 23 – 20 = 3 procentenheter.
Vill vi se hur många procent Moderaterna har minskat sitt väljarstöd så behöver vi använda sambandet:
Andelen = Skillnaden Värdet från början
Vi får då 3 23 ≈ 0,13 = 13 % minskning.
Promille och ppm
Promille och ppm är enheter som används för att uttrycka mindre andelar än procent. Procent är störst, följt av promille och minst är ppm.
Promille används bland annat för att mäta mängden alkohol i blodet. Mängden alkohol i blodet är så liten att procent är en för stor enhet att använda och därför används promille som är en mindre enhet.
Promille betyder tusendel. Ppm kommer från engelskans parts per million och betyder miljondel.
1 % = 1 100 = 0,01
1 ‰ = 1 1 000 = 0,001
1 ppm = 1 1 000 000 = 0,000001
När du räknar med promille och ppm ska du tänka på samma sätt som när du räknar med procent, dvs. Andelen = Delen
Det hela .
När du får andelen i decimalform kan du göra om talet till antingen procent, promille eller ppm.
2.1 Exempel
Det hela
En frisörsalong består av åtta kvinnor. Kvinnorna motsvarar 40 % av alla som jobbar på frisörsalongen. Hur många personer jobbar på frisörsalongen?
Lösning
Vi ska räkna ut det hela.
Delen = 8
Andelen = 40 % = 0,40
Det hela = Delen
Andelen = 8 0,40 = 20
Svar: 20 personer jobbar på frisörsalongen.
Procent och procentenheter
Sara tar ett lån för att köpa en ny bil. Banken erbjuder först räntesatsen
5,0 % men när Sara har förhandlat klart har banken sänkt räntesatsen till 4,4 %. Hur stor var räntesänkningen i
a) procentenheter?
b) procent?
Lösning
a) Räntesänkning i procentenheter: 5,0 % – 4,4 % = 0,6 procentenheter.
Svar: Räntesänkningen i procentenheter motsvarar 0,6 procentenheter.
b) Räntesänkning i procent:
Skillnaden i procentenheter
Värdet från början = 0,6 5 = 0,12 = 12 %
Svar: Räntesänkningen i procent motsvarar 12 procent.
Promille
Hur många promille är 0,15 g av 50 g?
Lösning
Det frågas om promille.
Delen är 0,15 g och det hela är 50 g.
Andelen = Delen
Det hela = 0,15 50 = 0,003 = 3 ‰
Svar: 0,15 g av 50 g är 3 promille.
Räntesatsen innebär storleken på räntan i procent.
2.1 Uppgifter
Stödfrågor
• Vad ska jag räkna ut?
• Vad får jag veta i uppgiften?
• Behöver jag använda något samband?
• Är mitt svar rimligt?
Nivå 1
2101 Skriv i decimalform.
a) 43 % b) 92 %
c) 4 % d) 100 %
2102 Skriv i procentform.
a) 0,07 b) 0,74
c) 0,12 d) 0,98
2103 Skriv följande i bråkform och förkorta så långt som möjligt.
a) 74 % b) 0,3
2104 Hur många procent av rektangeln är grön?
2107 Hur många procent är
a) 60 kg av 300 kg?
b) 4 liter av 10 liter?
2108 Hur mycket är
a) 15 % av 300 kr? b) 8 % av 600 liter?
2109 40 % av eleverna på barn- och fritidsprogrammet på en skola är killar. På programmet går det totalt 90 elever. Hur många killar går på programmet?
2105 Ordna i storleksordning. Börja med det minsta. 3
2106 Para ihop de tal som motsvarar samma värde.
2110 En bils motor väger 75 kg. Detta motsvarar 5 % av bilens totalvikt. Vad väger bilen?
2111 Skriv om talen nedan till promille.
a) 0,004 b) 0,0432
c) 18 1 000 d) 28 2 000
2112 Hur många ppm är
a) 4 av 200 000?
b) 15 av 2,5 miljoner?
2113 Hur många promille är
a) 62 ml av 2 000 ml?
b) 0,15 liter av 25 liter?
c) 95 g av 5 000 g?
2114 Omvandla bråken nedan till procent.
a) 67 100 b) 25 100
c) 7 10 d) 4 5
Nivå 2
2115 Hur många procent av figuren är blå?
2.1 Uppgifter
2116 Skriv i procentform.
a) 1 8 b) 1 20
2117 En heltidstjänst innebär, på de flesta arbetsplatser, att man arbetar 40 timmar/ vecka. En frisör jobbar följande tider:
Måndag kl 08.00–13.30.
Tisdag kl 09.00–13.30.
Onsdag kl 08.00–15.30.
Torsdag kl 08.30–15.00.
Fredag kl 08.00–16.30.
Varje dag har frisören 30 minuters lunchrast. Hur många procent av en heltidstjänst jobbar frisören?
2118 Hassan påstår att 45 % av 140 kr är lika mycket som 50 % av 126 kr. Är det sant? Motivera ditt svar.
2119 Hotell Palma har 15 rum. Det är stor efterfrågan på rum och därför tänker ägaren utöka antalet rum med 40 %. Hur många rum har Hotell Palma efter tillbyggnaden?
2120 Vid en teknikrea sänktes alla priser med 40 %. En surfplatta sänktes med 2 000 kr. Vad kostade surfplattan innan sänkningen?
2121 På en stor byggarbetsplats jobbar 80 personer. Tiden för att slutföra bygget i tid hinns inte med om inte firman tar in ytterligare 250 % fler arbetare. Hur många personer behöver jobba på byggarbetsplatsen för att bygget ska hinna bli klart i tid?
2122 Under en två dagars lång hantverksmässa kom det 2 000 besökare på lördagen och 4 000 på söndagen. Vilket eller vilka av påståendena stämmer?
A. Det var 100 % fler besök på söndag än på lördag.
B. Det var 100 % färre besökare på lördag än på söndag.
C. Det var 50 % fler besökare på söndag än på lördag.
D. Det var 50 % färre besökare på lördag än på söndag.
2.1
Uppgifter
2123 Klara har tagit ett lån. Hennes räntekostnader för lånet ändras från 5 % till 4,25 %.
a) Hur många procentenheter ändras Klaras räntekostnader?
b) Hur många procent ändras Klaras räntekostnader?
2124 Ordna följande tal i storleksordning. Börja med det största talet.
● 8 500 ppm
● 125 ‰
● 23 %
2125 Petras företag skänkte 4 ‰ av sin vinst på 2 800 000 kr till välgörenhet. Hur mycket pengar skänkte företaget?
2126 I ett europeiskt land föddes ett år 200 000 barn. Antalet födslar per 1 000 invånare i landet är 25,1. Hur många invånare har landet? Avrunda ditt svar till hela miljoner.
2127 En vuxen människa har cirka fem liter blod i kroppen. I Sverige har vi gränsen 0,2 ‰ för grovt rattfylleri. Hur mycket alkohol finns i blodet om ett blodprov visar 0,2 ‰? Svara i ml.
2128 Skriv 0,75 ‰ som ppm.
2129 Stures företag är olycksfallsförsäkrat. Sture betalar in 1 060 kr varje år för försäkringen vilket motsvarar 1,2 ‰ av försäkringsbeloppet. Hur stort är hela försäkringsbeloppet? Avrunda ditt svar till hela tusental.
Nivå 3
2130 Tre guldsmeder har tittat på priset för guld. Under en tioårsperiod har priset på guld fördubblats två gånger. Vem av Vera, Najma och Abraham tänker rätt?
● Vera: Priset har sammanlagt ökat med 200 %.
● Najma: Priset har sammanlagt ökat med 300 %.
● Abraham: Priset har sammanlagt ökat med 400 %.
2131 Ett år föddes det 51 682 pojkar och 48 164 flickor i Danmark. Hur många procent av de nyfödda var flickor? Svara i hela procent.
2132 I en ishockeymatch mellan Sverige och USA vann Sverige med 5 – 4. Den svenska målvakten räddade 92 % av alla skott. Hur många skott räddade den svenska målvakten?
2133 På en restaurang häller en kock 880 gram vatten i en kastrull för att koka pasta.
I pastavattnet häller han även i 20 gram salt.
a) Hur stor andel är salt? Svara i bråkform och förenkla så långt som möjligt.
b) Hur mycket vatten behöver kokas bort för att andelen salt ska bli tre gånger så stor?
2134 Vilket eller vilka av talen är större än 2 promille?
0,00203 1 482 1 506 1,7 · 10 3 2 2 000
2135 Matvaror som klassas som glutenfria måste innehålla mindre än 20 ppm gluten. Ett halvt ton choklad innehåller 7 gram gluten.
a) Hur många ppm gluten innehåller blandningen?
b) Kan denna blandning fortfarande klassas som glutenfri? Svara ja eller nej på frågan.
2.1 Test – Procent, promille och ppm
Syftet med testet är att du ska se om du har förstått det du precis har jobbat med. Uppgifterna är på grundläggande nivå.
1 Angelica jobbar 32 timmar i veckan i en guldsmedsaffär. Hur många procent jobbar hon om en heltidstjänst är 40 timmar i veckan?
2 30 % av eleverna på fordonsprogrammet är tjejer. På programmet går det totalt 70 elever. Hur många elever är killar på fordonsprogrammet?
3 Ida betalar 1 500 kr för en begagnad dator. Detta motsvarar 25 % av datorns värde som ny. Hur mycket kostade datorn som ny?
4 I en valundersökning ökade ett parti sitt väljarstöd från 8 % till 12 %.
a) Med hur många procentenheter ökade partiet sitt väljarstöd?
b) Med hur många procent ökade partiet sitt väljarstöd?
5 Hur många ppm är 60 liter av 50 miljoner liter?
Behöver du träna mera? Fråga din lärare eller använd QR-koden för att gå till mängdträning.
Är förändringsfaktorn > 1 innebär det en ökning.
Är förändringsfaktor < 1 innebär det en minskning.
2.2 Förändringsfaktor
När vi pratar om förändringsfaktor (Ff) pratar vi om procentuell förändring i decimalform. Vi utgår alltid från 100 % dvs. 1,0 i decimalform. Får du förändringsfaktorn 1,15 så motsvarar detta i procentform 115 %. Det innebär en ökning med 15 % (100 % + 15 % = 115 %).
Om du får en förändringsfaktor som är lägre än 1,0, exempelvis 0,93, så motsvarar detta i procentform 93 %. Det innebär en minskning med 7 % (100 % – 93 % = 7 %).
Det finns 2 sätt att räkna ut förändringen. Vilket av sätten du använder beror på vad det frågas om i uppgiften.
Förändring
När du ska beräkna hur stor en förändring är i procent använder du följande formel:
Förändring = Skillnaden Gamla värdet
Detta samband, där du får svaret i decimalform, gör du sedan om till procentform.
Förändringsfaktor
När du ska räkna fram förändringsfaktorn använder du följande formel:
Förändringsfaktor = Nya värdet Gamla värdet
Om du har upprepade förändringar, räknar du fram förändringsfaktorn för varje steg i förändringen. För att sedan få fram den totala förändringen multiplicerar du förändringsfaktorerna med varandra.
Finns det flera procentuella förändringar, upprepade förändringar, är det lämpligt att använda sig av en förändringsfaktor. Det är viktigt att du hela tiden utgår från 100 %.
Om du som restaurangägare vill räkna ut den totala förändringen i antalet lunchgäster under två dagar kan du använda dig av förändringsfaktorer. Vi går igenom förändringen steg för steg.
Den första dagen ökade antalet lunchgäster med 20 % jämfört med dagen före. Det ger förändringsfaktorn:
100 % + 20 % = 120 % = 1,2
Den andra dagen minskade antalet lunchgäster med 25 % jämfört med dagen före. Det ger förändringsfaktorn:
100 % − 25 % = 75 % = 0,75
För att beräkna den totala förändringsfaktorn multiplicerar vi de två förändringsfaktorerna och omvandlar svaret till procent:
1,2 · 0,75 = 0,9 = 90 %
Eftersom vi alltid utgår från 100 % ser vi att det totala antalet lunchgäster efter två dagar har minskat med:
100 % − 90 % = 10 %
Om vi förkortar begreppet förändringsfaktor med Ff gäller följande:
• om Ff > 1 har vi en ökning
• om Ff < 1 har vi en minskning
Har vi upprepad förändring motsvarar den totala förändringsfaktorn produkten av alla Ff i varje steg.
Teori
2.2 Exempel
Förändringsfaktor
Agnes får reda på att hennes nya lön kommer öka med 7 %. Vilken förändringsfaktor ska hon multiplicera sin gamla lön med för att få veta sin nya lön?
Lösning
Vi utgår från 100 %. En ökning betyder att vi ska addera med 7 %.
Förändringsfaktor: 100 % + 7 % = 107 % = 1,07.
Förändringsfaktorn för 107 % är 1,07.
Svar: Agnes ska multiplicera sin gamla lön med 1,07.
Räkna ut förändringsfaktor
När Ahmed flög till Spanien på semester förra året kostade resan 6 500 kr. Året därpå när Ahmed återigen skulle flyga till Spanien kostade resan
7 000 kr. Med hur många procent hade resan ökat i pris? Avrunda till hela procent.
Lösning
Det frågas om ökning i procent och då ska du räkna ut förändringsfaktorn.
Förändringsfaktor = Nya värdet
Gamla värdet
Det nya värdet är 7 000 kr och det gamla värdet är 6 500 kr.
Förändringsfaktorn = 7 000 6 500 ≈ 1,08 avrundat till två decimaler.
1,08 = 108 % och vi utgår alltid från 100 %.
100 % + 8 % = 108 %. Vi får en ökning med 8 %.
Ökning i %: 108 % – 100 % = 8 %
Svar: Resan har blivit 8 % dyrare.
Flera procentuella förändringar
En borrmaskin ökar först med 10 % i pris för att sedan sjunka i pris med 15 % veckan därpå.
Har borrmaskinen blivit dyrare eller billigare i procent jämfört med vad den kostade från början?
Lösning
Ökningen ger förändringsfaktorn: 100 % + 10 % = 110 % = 1,1
Minskningen ger förändringsfaktorn: 100 % – 15 % = 85 % = 0,85
Total förändringsfaktor: 1,1 · 0,85 = 0,98 = 98 %
Vi utgår alltid från 100 % och då ser vi att priset har minskat med 2 % från ursprungspriset.
Minskning i %: 100 % – 98 % = 2 %
Svar: Borrmaskinen har blivit 2 % billigare.
Räkna ut antal besök
En frisörsalongs hemsida hade under 2023 ungefär 8 000 besök. Under 2024 ökade antalet besök med 30 %. Under 2025 ökade antalet besök med ytterligare 10 % jämfört med året innan.
Hur många besök hade frisörsalongens hemsida under år 2025?
Lösning
Första ökningen ger förändringsfaktorn: 100 % + 30 % = 130 % = 1,3
Andra ökningen ger förändringsfaktorn: 100 % + 10 % = 110 % = 1,1
Antal besök på hemsidan blir då år 2025: 1,3 ⋅ 1,1 ⋅ 8 000 = 11 440
Svar: Frisörsalongens hemsida hade 11 440 besökare år 2025.
2.2 Uppgifter
Stödfrågor
• Vad ska jag räkna ut?
• Vad får jag veta i uppgiften?
• Ökning eller minskning?
• Utgår alltid från 100 %.
• Någon formel att ta hjälp av?
• Är mitt svar rimligt?
Nivå 1
2201 Para ihop rätt procentform med rätt förändringsfaktor.
1,0 0,2 % 0,07 106 % 0,002 215 % 1,06 100 % 0,2 20 % 2,15 86 % 1,54 154 % 0,86 7 %
2202 Vilken förändringsfaktor motsvarar
a) en ökning med 16 %?
b) en minskning med 4 %?
c) en minskning med 15,5 %?
d) en ökning med 103 %?
2203 Pernillas lön ska öka med 3 %. Räkna ut den nya lönen om hennes lön tidigare var 23 000 kr.
2204 Charlie köper in en ny företagsbil. Han betalar 81 000 kr för den. Värdeminskningen per år uppskattas till 9 %. Vad är bilen värd efter att Charlie har kört den i ett år?
2205 Agnes har en jackaffär. Vid jul och nyår sänker hon priset på alla jackor med 15 %. Tidigare sålde hon jackorna för 600 kr styck.
a) Hur stor är förändringsfaktorn?
b) Vad kostar hennes jackor efter prissänkningen?
2206 Mårten jobbar på en resebyrå. En kund frågade hur mycket dyrare det är att resa till Spanien i år jämfört med förra året. Förra året kostade resan 6 500 kr och i år kostar den 7 200 kr. Med hur många procent har priset ökat? Avrunda till hela procent.
2207 Michael rustar upp gamla datorer. Han köpte en begagnad dator för 5 600 kr och köpte reservdelar för 4 300 kr. En månad senare sålde han datorn för 28 500 kr. Hur många procent vinst gjorde han? Avrunda till hela procent.
2208 Vad blir den totala förändringsfaktorn om
a) något först ökar med 10 % och sedan sjunker med 20 %?
b) en aktie först sjunker med 35 % för att sedan öka med 40 %?
c) ett pris först ökar med 25 % och veckan därefter återigen ökar med 10 %?
2209 Mia ska köpa målarfärg till sitt hus. En burk med 3,5 liter färg kostar 249 kr och en burk med fem liter färg kostar 285 kr. Hur många procent högre är priset per liter färg för 3,5-litersburken? Avrunda svaret till hela procent.
2210 En elscooter kostar 4 200 kr. Priset höjs först med 20 % och därefter med ytterligare 5 %.
a) Vad blir förändringsfaktorn efter den första prisökningen?
b) Vad blir förändringsfaktorn efter den andra prisökningen?
c) Vad blir den totala förändringsfaktorn?
d) Vad kostar elscootern efter de båda prisökningarna?
2211 År 2000 såldes det 12 500 mobiltelefoner av ett visst märke. År 2020 hade antalet mobiltelefoner av detta märke ökat i försäljning med 400 %. Hur många mobiltelefoner av detta märke såldes år 2020?
2212 En aktie var värd 400 kr. Hur har värdet förändrats om det nya värdet kan beräknas med uttrycket 0,05 · 400?
2.2 Uppgifter
2213 I en barngrupp finns det 45 barn. Året därpå ökar gruppen med 2 % och året därefter med 3 %. Hur många barn är det i gruppen efter två år? Avrunda ditt svar till ett heltal.
2214 En bok kostar 400 kr. Vad kommer boken att kosta om affären först sänker priset på boken med 15 % och därefter med 10 %?
2215 Adam är florist och planterar en solros. När han planterar den är den 20 cm hög. Första veckan växer den 10 cm. Andra veckan ökar tillväxten med 80 %. Hur hög är solrosen efter vecka 2?
2216 En surfplatta kostar 8 000 kr. Vad kommer surfplattan att kosta om priset först ökar med 7 % och sedan sänks med 17 %? Avrunda till hela kronor.
2217 Klara rear ut kläder i sin klädesbutik. Du får 15 % rabatt på alla tröjor i butiken. Efter rabatten kostar tröjor 700 kr. Hur mycket kostade tröjorna från början?
2218 En frisör gör en hårförlängning. Kunden är inte nöjd, så frisören ökar kundens hår med 30 %. "Jag vill ha det ännu längre", säger kunden. Då ökar frisören hårlängden med ytterligare 50 %. Med hur många procent ökar hela hårlängden?
2.2
Uppgifter
Nivå 3
2219 Viggo och Cissi bor tillsammans. Viggo tjänar 24 000 kr i månaden och Cissi tjänar 28 000 kr i månaden. Varje år får de en löneförhöjning. Ett år får Viggo en löneförhöjning på 5 % och Cissi får en löneförhöjning på 7 %. Med hur många procent ökar deras gemensamma lön? Svara med två värdesiffror.
2220 En florist säljer solrosor och får en fråga om hur snabbt de växer. Floristen berättar att en solros växer 5 % per dygn.
a) En solros är 70 cm hög. Hur hög blir solrosen efter fyra dygn? Avrunda till hela centimeter.
b) Efter hur många dygn har solrosen fördubblat sin längd? Pröva dig fram och svara i hela dygn.
2221 År 2023 hade en frisörsalong 1 000 besök. Året därpå behövde frisörsalongen anställa mer personal eftersom besöken ökade med 400 %. Hur många besök var det år 2024?
2222 Nova har en lokal där hon har sin syateljé. Ett år höjs lokalhyran med 226 kr till 5 876 kr.
a) Med hur många procent höjs hyran? Svara i hela procent.
b) Vilken är förändringsfaktorn?
c) Lokalhyran kommer att fortsätta höjas i samma takt efterföljande år. Vilken lokalhyra har Nova för sin syateljé efter ytterligare två år?
2223 Öland hade 43 000 invånare sommaren 2020. Prognosen för kommande fem sommarsäsonger på Öland är att invånarantalet ökar med 3 % per år.
a) Hur många invånare kommer Öland att ha sommaren 2023? Svara i hela invånarantal.
b) Med hur många procent kommer Öland att öka invånarantalet från år 2020 till år 2025? Svara i hela procent.
2224 En snickare ska bygga en rektangulär altan. Kunden är inte nöjd med de första måtten på altanen utan vill öka längden med 30 % och bredden med 40 %.
a) Med hur många procent vill kunden öka altanens area?
b) Hur mycket skulle arean öka procentuellt om kunden i stället vill öka längden med 40 % och bredden med 30 %?
2225 Sebastian jobbar på en bank och tar hand om kundernas aktier. Ett år minskar en aktie med en fjärdedel. Andra året ökar värdet på samma aktie med en åttondel. Hur många procent har värdet på aktien förändrats under dessa två år? Svara i hela procent.
2.3 Index
Ibland säger vi att allt har blivit dyrare jämfört med hur det var förr, men har det verkligen blivit dyrare?
För att se om något har ökat eller sjunkit i värde använder vi index
När vi ska se hur mycket två personers löner har ökat tittar vi på den procentuella förändringen i stället för att se hur mycket det skiljer i kronor. Det kan även handla om priset på varor eller tjänster.
Idag kostar det ett visst antal kronor att klippa sig, som säkert är mer än vad det kostade för 20 år sedan. Men det är inte säkert att det har blivit dyrare eftersom vi tjänar mer pengar idag än vad vi gjorde förr.
För att kunna jämföra om något har blivit billigare eller dyrare använder vi oss av förändringsfaktor skriven i procentform utan procenttecknet.
En indexserie visar relativa förändringen.
Index = Årets värde Basårets värde · 100
Vi utgår alltid från 100 och detta kallas basår i en indexserie.
Konsumentprisindex, KPI, är en indexserie som är framtagen av Statistiska centralbyrån, SCB. KPI beräknas varje månad av SCB och är den vanligaste indexserien att använda för att se hur något ökar eller minskar i värde.
I tabellen nedan är basåret 1980 och detta år är KPI 100. Index från KPI inom några huvudgrupper:
År 1980 1990 2000 2010
KPI 100 208 260 303
KPI år 2000 är 260 vilket innebär att prisnivån är 160 % högre än år 1980 eftersom det är basåret med index 100 (100 %).
Ökning i %: 260 % – 100 % = 160 %
Vi har därför en ökning med 160 % från 1980 till 2000.
Index – ett jämförelsetal som används för att se hur pris förändras .
Basår – en startpunkt som man räknar index utifrån.
2.3 Exempel
Förändringsfaktor – nöjen och kultur
Med hur många procent ökade priset på nöjen och kultur under perioden 1980–1990?
År
Nöjen och kultur
Lösning
År 1980 är indextalet 100 (basår) och år 1990 är indextalet 174,9.
Priset på nöjen och kultur har alltså ökat med 174,9 – 100 = 74,9 procent.
Svar: Priset på nöjen och kultur har ökat med 74,9 % under perioden 1980–1990.
Förändringsfaktor – kläder och skor
Med hur många procent ökade priset på kläder och skor under perioden 1990–2010? År
och kultur
Lösning
År 1990 är indextalet 144,4 och år 2010 är indextalet 174,2. Nu har vi inte basåret att utgå ifrån utan behöver räkna ut förändringsfaktorn.
Förändringsfaktor = Nya värdet Gamla värdet
Det nya värdet är 174,2 och det gamla värdet är 144,4.
Förändringsfaktor = 174,2 144,4 ≈ 1,21 = 121 %.
Vi utgår från 100 % och ser då att det är en ökning med 21 %.
Svar: Priset på kläder och skor ökade med 21 % under perioden 1990–2010.
2.3 Uppgifter
Stödfrågor
• Vad ska jag räkna ut?
• Vad får jag veta i uppgiften?
• Ökning eller sänkning? Utgå alltid från 100 %.
• Någon formel att ta hjälp av?
• Är mitt svar rimligt?
Nivå 1
2301 Basåret har alltid samma indextal. Vilket?
2302 Tabellen visar en indexserie.
År
a) Vilket år är basår?
b) Hur stor är den procentuella förändringen mellan år 2016 och 2020?
Svara i hela procent.
c) Hur stor är den procentuella förändringen mellan år 2014 och 2020?
Svara i hela procent.
2303 Studera nedanstående indextabell och fyll i de luckor som saknas. Avrunda dina svar till heltal.
År Pris Index med år 2000 som basår
2000 120 kr
2005 150 kr
2010
2304 En surfplatta kostar 4 000 kr när prisindex är 160. Beräkna vad priset var under basåret.
2305 Studera nedanstående indextabell och svara på frågorna.
och kultur
och
a) År 1980 kostade ett biobesök 40 kr. Hur mycket kostar en biobiljett 1990 om priset följer indextabellen ovan? Avrunda ditt svar till hela kronor.
b) År 1990 kostade ett par skor 300 kr. Vad kostade skorna år 2010 om priset följer indextabellen? Avrunda din förändringsfaktor till fyra värdesiffror och ditt svar till hela kronor.
2.3
Uppgifter
2306 Ett hotell på en turistort undersökte varje år hur nöjda gästerna var. År 2023 var gästnöjdhetsindex 85, och år 2024 hade det ökat till 91.
a) Beräkna förändringsfaktorn för gästnöjdhetsindex från 2023 till 2024. Avrunda till två decimaler.
b) Med hur många procent ökade indexvärdet? Avrunda till två decimaler.
Nivå 2
2307 Indextabellen visar vad en hamburgare kostar i olika länder.
Land Big Mac-index
USA 100
Ryssland 63
Danmark 147
Sverige 166
Kina 53
a) I vilket land är hamburgaren billigast?
b) Hur många procent dyrare är hamburgaren i Sverige jämfört med Kina? Avrunda till hela procent.
c) Hur många procent billigare är hamburgaren i Ryssland jämfört med Danmark? Avrunda till hela procent.
2308 Klara behöver hjälp med att fylla i indextabellen. Hon är intresserad av hur mycket priset på en firmabil har ändrats över ett antal år. Använd år 2011 som basår och avrunda indextalen till hela tal.
År Pris i kronor Index
2007 70 000
2011 94 000
2014 131 000
2017 157 600
2309 År 2000 var indextalet för att anlita en hantverkare 125, och timpriset var 400 kr. År 2015 hade indextalet ökat till 185. Hur mycket kostade det att anlita en hantverkare år 2015?
2310 Tabellen nedan visar information om olika iPhone-modeller. Du kan se vilket år de släpptes, vad konsumentprisindex (KPI) var det året och vad telefonen kostade vid lansering.
År KPI Modell Pris (kr)
a) Gör en ny indextabell för iPhone-priser, där priset för iPhone 10 är bastalet. Avrunda indextalen till heltal.
b) Om iPhone-priserna hade ökat i samma takt som KPI sedan iPhone 10, vad skulle iPhone 14 ha kostat?
2311 Tabellen nedan visar prisindex för en maträtt på restaurangen "Mätt och glad".
År
a) Vilket år är basår?
b) Hur många procent har priset på maträtten ökat från 2008 till 2009? Avrunda till hela procent.
c) År 2010 kostade maträtten 46 kr. Vad kostade den år 2006? Avrunda till hela kronor.
d) År 2015 kostar maträtten 63 kr. Vilket indextal skulle det motsvara om tabellen utökades?
2312 År 2015 var Konsumentprisindex (KPI)
315, och priset på en liter mjölk var 9,50 kr.
År 2023 hade KPI stigit till 385.
a) Hur mycket borde en liter mjölk ha kostat år 2023 om priset hade följt KPI?
b) Priset på en liter mjölk år 2023 var i verkligheten 14,90 kr. Hur många procent dyrare blev mjölken jämfört med KPI:s förändring? Svara med tre värdesiffror.
2313 År 2018 var en familjs genomsnittliga
månadskostnad för mat 7 200 kr.
Matprisindex var då 102. År 2023 hade matprisindex stigit till 140.
a) Hur mycket borde familjens matkostnader vara år 2023 om de följer indexutvecklingen?
b) Hur stor var den procentuella ökningen av matkostnaderna mellan åren 2018 och 2023?
Nivå 3
2314 Tabellen visar hur konsumentprisindex har utvecklats i Sverige under perioden 2000 till 2015.
a) Ett par jeans kostade 1 250 kr år 2015. Hur mycket borde jeansen ha kostat år 2000? Svara i hela kronor.
b) Vad är KPI år 2035 om jeansen följer index och då kostar 3 300 kr? Avrunda index till ett heltal.
2.2–2.3 Test - Förändringsfaktor och index
Syftet med testet är att du ska se om du har förstått det du precis har jobbat med. Uppgifterna är på grundläggande nivå.
1 Vilken förändringsfaktor motsvarar
a) en minskning med 34 %?
b) en ökning med 112 %?
2 Sara driver ett företag där hon köper begagnade surfplattor, renoverar dem och sedan säljer dem vidare. Hon köpte en surfplatta för 1 500 kr och behövde reservdelar för 700 kr. En vecka senare sålde hon surfplattan för 3 200 kr. Hur många procent vinst gjorde Sara på försäljningen?
Avrunda till hela procent.
3 Är priset på en vara oförändrat om det först sänks med 12 % och sedan höjs med 12 %? Motivera ditt svar.
4 Ett VVS-företag hade ett år 3 000 jobb som utfördes. Året därefter sjönk antalet jobb med 15 % första halvåret men ökade igen det andra halvåret med 20 %. Hur många jobb utfärdade VVS-företaget totalt under det året?
5 Indextabellen visar Olivers lägenhetshyra under fyra år:
År 2016 2017 2018 2019
Index 90 100 118 143
a) Vilket år är basåret?
b) Med hur många procent steg hyran mellan år 2017 och 2019?
c) Med hur många procent steg hyran från 2016 till 2019? Avrunda ditt svar till hela procent.
6 Indextalet för en utlandsresa år 2014 var 120. När Måns jämförde med år 2018 hade indextalet ökat till 180. Vad kostade en resa år 2018 om resan kostade 3 000 kr år 2014 och prisökningen följde index?
Behöver du träna mera?
Fråga din lärare eller använd QR-koden för att gå till mängdträning.
2.4 Lån, ränta, amortering, avbetalning och kredit
Lån
Att låna är inte alltid gratis. Om du lånar pengar av någon du känner kan det vara gratis, men om du lånar av en bank måste du betala tillbaka både det lånade beloppet och ränta. Ibland kan det även tillkomma olika avgifter. Tänk alltid efter när du ska låna pengar och jämför gärna med flera banker för att få bäst lån. Du ska vara försiktig med att ta SMS-lån eller köpa en vara på avbetalning. Vad är det då du ska tänka på? Du ska jämföra räntan mellan olika lån. Ju högre ränta du får desto dyrare blir lånet. Sedan ska du alltid kontrollera om det finns några avgifter för att ta lånet.
Ränta
När du lånar pengar av en bank vill banken tjäna pengar eftersom banken ska betala löner, hyra för sina lokaler m.m. Bankerna tjänar pengar på räntan när de lånar ut pengar till kunder. Banker tar ut en andel av hur mycket kunden lånar. Det är denna andel som kallas ränta. Andelen anger hur många procent av lånebeloppet som ska betalas varje år och kallas årsränta. Om du lånar 10 000 kr av en bank med årsräntan 5 % så kostar det dig 10 000 ⋅ 0,05 = 500 kr dvs. 10 500 kr (lån + ränta) att betala lånet på ett år.
Räntesatsen är själva räntan. I vårt exempel är det 5 %. Ibland säger vi räntekostnaden och då menar vi kostnaden i kronor. I vårt exempel är kostnaden 500 kr. Är det bra om räntan är hög eller låg? Det beror på situationen. Ska du spara pengar i en bank vill du ha hög ränta eftersom banken betalar ut ränta på dina sparade pengar. Är du låntagare vill du ha låg ränta eftersom du betalar räntan till banken.
Lån – pengar du lånar och betalar tillbaka senare, oftast med ränta.
Räntesats – storleken på räntan i procent.
Räntekostnad – den kostnad låntagaren får betala för att låna pengar.
Amortering – det belopp du ska betala av på ditt lån vid varje betalningstillfälle.
Amortering
När du betalar av ett lån säger man att du amorterar. Detta görs ofta i mindre avbetalningar. Om du t.ex. lånar 10 000 kr av en kompis och kompisen vill att du ska betala av detta utan ränta men med lika stora belopp under tio månader så ska du betala 10 000 10 = 1 000 kr/månad, dvs. du ska betala 1 000 kr varje månad i tio månader till din kompis. Därefter är lånet avbetalat.
Avbetalning
Avbetalning – ett kreditköp eller ett lån som du kan dela upp i mindre betalningar och betala av efter hand.
Kredit – en överenskommelse om att låna pengar eller köpa något nu men betala senare, ofta med ränta.
När du tar ett lån eller köper något på avbetalning kan det tillkomma extra avgifter, exempelvis uppläggningsavgift (betalas enbart en gång) och aviseringsavgift (betalas vid varje betalningstillfälle).
Idag kan vi nästan dagligen läsa om olika erbjudanden hur man lånar pengar. ”Lån upp till 200 000 kronor utan säkerhet.” eller ”Låna hur mycket du vill upp till 150 000 kronor och köp vad du vill.” är ett par exempel på erbjudanden vi kan läsa om. För att du ska kunna låna pengar behöver du oftast vara minst 20 år, ha en fast årsinkomst och inte ha någon betalningsanmärkning. Med betalningsanmärkning menas att du t.ex. har missat att betala en räkning i tid.
Kredit
Med kredit menas att du har möjlighet att få låna pengar eller handla på avbetalning med löfte om att betala tillbaka senare, ofta med ränta. Därför kan det bli dyrt att handla på kredit. När du blir erbjuden att handla på kredit eller med en avbetalningsplan för något du ska köpa så tänk på att läsa villkoren väldigt noga.
Lån, ränta och amortering med kalkylprogram
Vi har tidigare gått igenom hur du räknar ut amortering och ränta för hand men du kan också använda ett kalkylprogram för att räkna ut hur mycket du ska betala till banken när du tar ett banklån. Det finns flera kalkylprogram att ta hjälp av. Vi kommer att utgå ifrån kalkylprogrammet Excel.
Vi ska räkna ut, med hjälp av Excel, hur mycket du behöver betala till banken i slutet av varje år om du tar ett lån på 10 000 kr och ska amortera detta på fem år med en årsränta på 5 %.
Vi börjar med att på rad 1 skriva in rubrikerna i respektive kolumn, se bild nedan. Sedan, på rad 2, skriver vi in de värden vi har från början i uppgiften.
I cell A2 skriver vi 1 (första inbetalningen till banken).
I cell B2 skriver vi in lånebeloppet 10 000 kr.
I cell C2 skriver vi in amorteringen varje år; 2 000 kr (10 000/5 = 2 000).
Nu ska ditt kalkylprogram se ut enligt bild nedan om du har gjort rätt.
Nu ska vi skriva in de formler som behövs för att kalkylprogrammet ska kunna utföra alla andra uträkningar. När vi skriver in en formel i Excel så måste vi börja med att skriva “=” framför formeln.
I cell D2 skriver vi in formeln = 0,05 * B2. Med denna formel räknar programmet ut årsräntan. Vi får 500 i D2.
I cell E2 skriver vi in = C2 + D2 eftersom vi vill att programmet ska summera amortering och årsräntan. Vi får 2 500 i D2.
Nu ska ditt kalkylprogram se ut enligt bild nedan om du har gjort rätt.
Nu ska vi fortsätta mata in formler för att till slut komma fram till hur mycket du ska betala till banken.
I cell A3 skriver vi in formeln = A2 + 1 eftersom värdet ökar med 1 varje år. Vi får 2 i A3.
I cell B3 skriver vi in = B2 – C2 eftersom beloppet i B2 ska minska med beloppet i C2. Vi får 8 000 i B3.
Nu ska ditt kalkylprogram se ut enligt bild nedan om du har gjort rätt.
Fördelen med kalkylprogram är att vi kan återanvända formler vi redan har skrivit in.
Klicka i cell A3 och sätter muspekaren på den lilla kvadraten som finns i cellens nedre högra hörn och dra den ner till sista cellen, A6. När du har gjort detta rätt kommer kalkylprogrammet automatiskt att fylla i dessa celler (se bild nedan och kolumnen A). I A4 skriver programmet 3, i A5 skriver programmet 4 och så vidare ner till cell A6 där det står 5.
Nu gör du likadant med kolumnen B och ställer markören i cell B3 och drar ner till B6 (OBS! Innan du ser uträkningarna i denna kolumn måste du göra kolumnen för C också.)
I kolumn C ställer du markören i C2 och drar nedåt till C6.
I kolumn D ställer du markören i D2 och drar nedåt till D6.
I kolumn E ställer du markören i E2 och drar nedåt till E6.
Nu ska ditt kalkylprogram se ut enligt bild nedan om du har gjort rätt.
Slutligen vill vi beräkna summan av amortering, räntekostnad och summan av alla inbetalningar till banken.
I cell B7 skriver du Totalt.
Nu vill vi summera alla kolumner. Markera alla celler i kolumnen du vill summera och tryck på knappen som är markerad i bilden nedan:
Nu ska ditt kalkylprogram se ut enligt bilden nedan. Du ser då att programmet har räknat ut att du ska betala tillbaka 11 500 kr till banken.
2.4 Exempel
Amortering
Elis har ett lån på 75 000 kr. Hans lån ska återbetalas på fem år med lika stor amortering varje månad. Hur stor är Elis amortering varje månad?
Lösning
Antal månader att betala = 60 månader
Lån = 75 000 kr
Belopp att amortera varje månad: 75 000 60 kr/månad = 1 250 kr/månad.
Svar: Elis amorterar 1 250 kr varje månad.
Avbetalning
Moa och Petter behöver köpa in en ny såg till sitt företag. Sågen kostar 25 000 kr. Eftersom de inte har råd att betala hela sågen med kontanter behöver de göra ett kreditköp. De ska betala 10 % när de hämtar sågen och resten av beloppet får de dela upp på tolv månader. Uppläggningsavgiften är 150 kr och betalas vid hämtning av sågen. Vid varje inbetalningstillfälle får de betala 20 kr i aviavgift.
a) Vad ska Moa och Petter betala när de hämtar sågen?
b) Hur mycket dyrare blev det att i slutändan dela upp betalningen?
Lösning
a) Först räknar vi enbart ut hur mycket de betalar för sågen i kontanter.
Kontantinsats: 0,10 25 000 kr = 2 500 kr
Sedan tillkommer en uppläggningsavgift för lånet, 150 kr.
Första betalningen: 2 500 kr + 150 kr = 2 650 kr.
b) Sammanlagt ska Moa och Petter göra 12 inbetalningar.
Kostnad för 12 inbetalningar: 12 ⋅ 20 kr = 240 kr i aviavgifter.
De ska dessutom betala en uppläggningsavgift på 150 kr.
Extrakostnader: 240 kr + 150 kr = 390 kr.
Svar: a) Moa och Petter ska betala 2 650 kr.
b) Det blev 390 kr dyrare att dela upp betalningen.
Ränta
Klara har fått en kontorsskuld på 5 000 kr. Skulden ska hon amortera med lika stora belopp under fem månader. Månadsräntan är 3 %.
Hur mycket ska hon betala in första månaden?
Lösning
Amortering varje månad: 5 000 5 kr/månad = 1 000 kr/månad.
Ränta: 5 000 kr ⋅ 0,03 = 150 kr i ränta.
Totalt ska Klara betala in 1 000 kr + 150 kr = 1 150 kr första månaden.
Svar: Klara ska betala in 1 150 kr första månaden.
Beräkning av lån med kalkylprogram
Du tar ett banklån för att investera i nya datorer till ditt företag. Ditt lån är på 50 000 kr och banken ger dig en årsränta på 10 %. Du vill betala tillbaka lånet en gång om året under fem år.
Hur mycket har du betalat tillbaka till banken efter fem år?
Lös uppgiften med hjälp av kalkylprogram och använd rubrikerna År, Återstående lån, Amortering, Årsränta, Att betala till banken.
Lösning
Nu ska du ha denna bild i ditt kalkylprogram om du har använt dig av Excel.
Svar: Du ska betala tillbaka 65 000 kr till banken under fem år.
Stödfrågor
• Hur mycket är min skuld?
• Finns det avgifter?
• Antal månader att betala av på?
• Amortering per månad?
• Räntekostnad per månad?
• Vad ska jag betala tillbaka?
• Är mitt svar rimligt?
Nivå 1
2401 Hur många månader är ett kvartal?
2402 Tuva har 15 000 kr på ett sparkonto hon fått av sina föräldrar. Räntesatsen är 2,5 %.
a) Skriv 2,5 % i decimalform.
b) Hur mycket får hon i årsränta?
2403 Claes lånar 96 000 kr av banken till sitt nystartade företag. Banken vill att Claes ska betala av lånet varje månad i fyra år. Hur mycket ska Claes amortera varje månad i fyra år?
2404 Oskar sätter in pengar på ett sparkonto för att kunna köpa sig en lägenhet när han blir äldre. På ett år växer pengarna till 1,027 ⋅ 30 000 kr.
a) Hur mycket pengar sätter Oskar in?
b) Vilken är räntesatsen?
c) Bestäm årsräntan i kr.
2405 Hur stor blir årsräntan om du lånar 8 000 kr och räntesatsen är 2 %?
2406 Hasse har 14 000 kr på ett sparkonto. Hans bank ger räntan 3 %. Hur mycket har Hasse på kontot efter ett år?
2407 Kevin tar ett lån på 5 000 kr för att åka ut och resa. Ett år senare ska han betala tillbaka lånet med 6 700 kr. Hur många procent var årsräntan?
2408 Nathalie handlar på kredit till sin frisörsalong. Hon ska betala av lånet varje månad under två år. Uppläggningsavgiften är 150 kr och aviavgiften är 40 kr.
a) Hur många gånger ska Nathalie betala uppläggningsavgiften?
b) Hur många gånger ska Nathalie betala aviavgifter?
c) Hur mycket ska Nathalie betala i avgifter för lånet?
2409 Moa ska anställa ny personal till sitt företag och behöver köpa nya kontorsmöbler. Möblerna kostar 15 000 kr. Hon har inte råd att betala hela summan direkt, så hon gör ett kreditköp. Hon betalar 5 % av priset när hon hämtar möblerna, och resten delas upp på sex månader. Utöver detta betalar hon en uppläggningsavgift på 200 kr vid hämtning samt en aviavgift på 30 kr för varje månadsbetalning.
a) Hur mycket ska Moa betala vid hämtning av möblerna?
b) Hur mycket dyrare blev det att dela upp betalningen jämfört med att betala hela beloppet på en gång?
2410 Elis får 250 kr i årsränta på 8 000 kr i sin bank A. Elis syster Tuva har valt en annan bank, B, och får 400 kr i årsränta på 16 000 kr.
a) Vilken bank ger bäst ränta?
b) Vilken ränta ger denna bank? Avrunda ditt svar till två värdesiffror.
2411 Katarina sätter in 5 000 kr på ett sparkonto där räntan är 1,85 %. Efter ett år höjs räntan med 0,5 procentenheter. Året därefter tar Katarina ut sina pengar. Med hur många procent har hennes kapital ökat från dess att hon satte in pengarna på kontot? Svara med tre värdesiffror.
2412 Sture har ett lån på 35 000 kr. Under ett år var hans räntekostnader 500 kr varje kvartal. Vilken räntesats hade lånet? Avrunda ditt svar till två värdesiffror.
2413 Filip ska köpa in en mobiltelefon till sitt företag och har två alternativ att välja på. Antingen delbetalar han 1 500 kr i tre månader eller betalar han 4 000 kr direkt i kontant. Hur många procent dyrare blir det att ta köpet på avbetalning? Svara med tre värdesiffror.
2414 Björn och Anna tar ett lån för att renovera sin butik. De lånar 40 000 kr av banken och ska amortera med lika stora belopp under fyra år. Räntan är 5 %. Rita av tabellen eller använd ett digitalt verktyg och fyll i de luckor som är tomma.
År Återstående lån Årsränta Att betala till banken
1
4
2.4 Uppgifter
2415 Totte har en fotostudio. Han tar ett lån med en årsränta på 6,2 %. Lånet ska betalas av på två år med lika stora amorteringar varje månad. Uppläggningsavgiften för lånet är 300 kr och aviavgiften 50 kr.
a) Hur mycket ska han amortera varje månad?
b) Hur stor blir den första månadsinbetalningen?
2416 Ahmed lånar 490 000 kr för att starta upp en målarfirma. Banken ger honom följande villkor: Amorteringstiden är tio år och årsräntan är 6 %. Inbetalningar ska göras en gång per år och amorteringarna ska vara lika stora varje år. Hur mycket har Ahmed betalat till banken när hela lånet är betalt? Lös uppgiften med hjälp av ett kalkylprogram.
2.4 Uppgifter
Nivå 3
2417 Isa och Fredrik driver ett företag där deras affärsverksamhet är i en källarlokal som de har lånat pengar till. Ett år betalar de 36 000 kr i ränta på sitt lån.
a) Hur stort var lånet från början om räntesatsen var 4 %?
b) Om räntan ökar ett år med 0,25 procentenheter blir årsräntan 4,25 %. Hur stor blir räntan i kronor detta år?
2418 Klara har tagit ett banklån för att göra inköp till sin bilverkstad. Räntesatsen är först 3,75 % men höjs sedan till 4,25 %.
a) Med hur många procentenheter höjs räntan?
b) Med hur många procent höjs räntan?
Svara i hela procent.
2419 Adam tar ett lån för att göra ett inköp till sin bilverkstad. Han lånar 10 000 kr av banken och betalar ränta en gång per år.
Kvartalsräntan är 0,6 %. Hur stor är räntekostnaden efter ett år för Adam?
Svara i hela kronor.
2420 Jina ska låna 20 000 kr till sin frisörsalong. Hon går till två banker för att se var hon kan få bästa lånet. Vilken bank bör Jina välja för att få bäst lån?
● Bank 1: 3 % i kvartalsränta där Jina betalar en gång i kvartalet.
● Bank 2: 1 % i månadsränta där Jina betalar en gång i kvartalet.
2421 Micke har ett lån på 27 000 kr som ska betalas tillbaka med lika stora amorteringar varje månad i fyra år. Årsräntan är
4,2 %, uppläggningsavgiften är 435 kr och aviavgiften är 40 kr.
a) Hur stor är den första månadsinbetalningen?
b) På vilket belopp baseras räntan för den andra månaden?
2.4 Test – Lån, ränta, amortering, avbetalning och kredit
Syftet med testet är att du ska se om du har förstått det du precis har jobbat med. Uppgifterna är på grundläggande nivå.
1 Ida lånar 4 000 kr av sin kompis Harald. Hon ska betala av detta lån på åtta månader. Hur mycket ska Ida betala varje månad till Harald?
2 Ett lån på 20 000 kr med räntesatsen 12 % ska betalas tillbaka på ett år.
a) Hur stor blir räntan?
b) Vilket belopp ska betalas tillbaka?
3 Pernilla ska köpa sin första bil och behöver ta ett banklån för att kunna köpa bilen. Hon lånar 40 000 kr av banken med 8 % ränta.
Lånet ska betalas tillbaka på fem år. Pernilla gör en betalningsplan för hur hon ska betala tillbaka lånet årsvis. Hjälp henne att fylla i de tomma rutorna i tabellen.
År Återstående lån Årsränta
Att betala till banken (amortering + ränta)
1 40 000 kr 40 000 0,08 = = 3 200 kr 8 000 kr + 3 200 kr = = 11 200 kr
2 32 000 kr
3 1 920 kr
4 16 000 kr 9 280 kr
5 8 640 kr
4 En mobiltelefon köps antingen med kontant betalning eller via avbetalning. Betalar du kontant kostar mobiltelefonen 4 199 kr och väljer du avbetalning kostar det 159 kr/mån i 30 månader.
a) Beräkna summan av alla månadsbetalningar om man köper mobiltelefonen via avbetalningar.
b) Hur stor är skillnaden i kronor mellan avbetalning och kontant betalning?
c) Hur många procent dyrare är det att köpa mobiltelefonen med avbetalning jämfört med kontant betalning? Avrunda ditt svar till hela procent.
Behöver du träna mera? Fråga din lärare eller använd QR-koden för att gå till mängdträning.
2 Diagnos
Syftet med diagnosen är att du ska se vad du kan och vad du kan behöva jobba mera med i kapitlet du nu har jobbat igenom.
1 Hur många procent är a) 6 kr av 50 kr? b) 90 kg av 300 kg?
Repetera mera i avsnitt 2.1
2 35 % av 200 kr är 70 kr. Vilket är delen?
Repetera mera i avsnitt 2.1
3 Ordna talen i storleksordning med det minsta först.
7 promille 6 tusendelar 0,9 % 0,03
Repetera mera i avsnitt 2.1
4 Peder gjorde ett matteprov och hade 70 % rätt av totalt 40 poäng. Hur många rätt hade Peder på matteprovet?
Repetera mera i avsnitt 2.1
5 En snickare säljer en handgjord möbel för 1 120 kr under en rea. Det priset motsvarar 80 % av det ursprungliga priset. Vad var möbelns ursprungliga pris?
Repetera mera i avsnitt 2.1
6 En mätstation har undersökt mängden bly i en sjö. Vid den första mätningen var blynivån 0,8 promille. Efter saneringsarbete minskade halten med 25 %. Hur hög är blynivån i sjön efter saneringen?
Repetera mera i avsnitt 2.1
7 Ett par trådlösa hörlurar kostar 2 100 kr. Priset ökar först med 10 % men efter en tid sänks priset med 15 %. Skriv uttrycket som ger slutpriset på de trådlösa hörlurarna.
Repetera mera i avsnitt 2.2
8 En tigersåg kostar 1 400 kr. Priset höjs efter en tid med 20 %. Efter två månader sänker affären priset på tigersågen med 40 %. Vad kostar sågen efter de båda prisändringarna?
Repetera mera i avsnitt 2.2
9 Tabellen visar prisindex för en vara.
År 2015 2016 2017 2018 2019 Index 93 100 120 135 143
a) Vilket år är basår?
b) Hur många procent har priset ökat från år 2016 till 2018?
c) Vad kostar varan år 2018 om den kostade 500 kr år 2016?
d) Hur många procent steg priset från år 2017 till 2018? Avrunda ditt svar till hela procent.
Repetera mera i avsnitt 2.3
10 Filippa har en skuld på 4 000 kr som ska amorteras med lika stora belopp på åtta månader. Månadsräntan är 3,5 %. Hur mycket ska hon betala vid första inbetalningen?
Repetera mera i avsnitt 2.4
Hur gick det? Välj Blandade övningar utifrån hur det gick på Diagnosen.
Gruppuppgift
Är du sugen på att köpa en lägenhet?
Du överväger att köpa en lägenhet och har börjat undersöka vilken budget du behöver. Du vet att du behöver betala 10 % av lägenhetens pris i kontantinsats. Lägenheternas priser i det område du är intresserad av varierar mellan 1,5 miljoner kronor och 3 miljoner kronor.
1. Beräkna hur stor kontantinsatsen blir om du köper en lägenhet för det lägsta priset (1,5 miljoner kronor) och för det högsta priset (3 miljoner kronor).
2. Efter att du har räknat ut storleken på kontantinsatsen för både det lägsta och högsta priset, beräkna hur mycket mer pengar du behöver spara för att kunna köpa lägenheten om du idag har sparat 100 000 kronor.
3. Slutligen, anta att du sparar 5 000 kronor varje månad. I hur många fler månader behöver du spara för att nå målet för kontantinsatsen i båda fallen?
Blandade övningar
Nivå 1
1 Hur mycket är
a) 4 % av 300 kr?
b) 25 % av 800 kr?
2 Hur många procent är
a) 30 skruvar av 120 skruvar?
b) 12,50 kr av 250 kr?
3 Hur många promille är
a) 62 ml av 2 000 ml?
b) 0,15 liter av 25 liter?
c) 95 g av 5 000 g?
4 Priset på en vara ökar från 150 kr till 180 kr. Hur stor är ökningen i procent?
5 Du har en lön på 24 300 kr och får ett lönepåslag med 3,5 %. Vad blir din nya lön? Avrunda din lön till hela kronor.
6 Beräkna.
a) 4 promille av 32 000
b) 2 ‰ av 6 000 kr
7 Hur mycket är
a) 15 % av 300 kr? b) 8 % av 600 liter?
8 Tabellen nedan visar prisindex.
År 2010 2011 2012 2013 2014 Index 93 98 100 115 134
a) Vilket år är basår?
b) Med hur många procent ökar priset mellan åren 2012 och 2014? Svara i hela procent.
c) Med hur många procent ökar priset mellan åren 2010 och 2012? Svara i hela procent.
d) Med hur många procent ökar priset mellan åren 2010 och 2014? Svara i hela procent.
9 Ett par skridskor kostar 1 800 kr. Priset höjs först med 15 %. Detta pris sänks sedan med 20 %.
a) Vad blir den totala förändringsfaktorn efter prisändringarna?
b) Vad blir priset för skridskorna efter de båda prisändringarna?
10 Para ihop de tal som motsvarar samma värde.
11
Daniel köper en tv på kredit till månadsräntan 2 %. Han betalar 9 000 kr för tv:n och ska amortera på lånet varje månad i tio månader. Hur mycket kommer Daniel att betala första månaden?
12 Sara köper en hamburgare för 80 kr. Vilket av alternativen innebär att priset har ökat med 100 %?
A) 80 kr
B) 100 kr
C) 160 kr
D) 240 kr
13 Hur många promille är
a) 8 kg av 4 000 kg?
b) 3,5 gram av 5 kg?
Nivå 2
14 Hur många ppm är
a) 6 av 100 000?
b) 300 av 3 600 000? Avrunda till hela ppm.
15 Ett år ökade invånarna i Kalmar stad med 5 % till 65 000 invånare. Hur många invånare hade Kalmar stad innan ökningen? Avrunda ditt svar till hela tusental.
16 Polisen har tagit ett alkoholtest på en bilist och funnit att personen hade 0,0032 g alkohol i 9,4 g blod. Hur stor är alkoholhalten i promille? Svara med tre värdesiffror.
17 Caroline har ett lån där räntan minskar från 20 % till 17 %.
a) Med hur många procentenheter minskar räntesatsen?
b) Med hur många procent minskar räntan?
Blandade övningar
18 Charlies normala arbetsvecka består av 30 timmar. Under tre veckor ändras hans arbetstid per vecka enligt följande:
● Vecka 1: Minskning från veckan innan med 20 %.
● Vecka 2: Ökning jämfört med vecka 1 med 30 %.
● Vecka 3: Ökning jämfört med vecka 2 med 40 %.
Hur många timmar jobbade Charlie vecka 3?
Svara i hela timmar.
19 Den procentuella ökningen av index var lika stor mellan år 2018 och år 2019 som mellan år 2017 och år 2018. Vilket tal ska stå i den tomma rutan?
År 2017 2018 2019 Index 100 150
20 Det går 25 elever i Elis klass där 15 st är killar och 10 st är tjejer. Elis påstår att andelen killar i hans klass motsvarar 75 %. Stämmer det?
21 I tabellen nedan visas KPI för tre grupper mellan år 2015 och 2020.
2015 2020
Hotell och turism 749 794
Kläder och skor 160 174
Fritid och sport 398 471
a) Hur stor är den procentuella ökningen av KPI för hotell och turism?
b) Vilken av grupperna har den största procentuella ökningen av KPI?
c) Ett hotellrum kostade 650 kr per natt år 2015. Vad kostade samma rum år 2020 om ökningen följde KPI?
22 På en stor byggarbetsplats jobbar 80 personer. Tiden för att slutföra bygget i tid hinns inte med om inte firman tar in ytterligare 250 % fler arbetare. Hur många personer behöver jobba på byggarbetsplatsen för att bygget ska hinna bli klart i tid?
23 Stures företag är olycksfallsförsäkrat. Sture betalar in 1 060 kr varje år för försäkringen vilket motsvarar 1,2 ‰ av försäkringsbeloppet. Hur stort är hela försäkringsbeloppet? Avrunda ditt svar till hela tusental.
24 En sömmerska ska sy en kjol. När hon gör mönstret märker hon att det blir för litet, så hon ökar längden med 30 % och bredden med 50 %. Med hur många procent ökar tygets area?
Nivå 3
25 Simon brukar träna simning fem timmar per vecka. Under en tävling skadar han sig och måste ändra sin totala träningstid. Första veckan minskar han tiden med 50 %. Andra veckan ökar han tiden jämfört med veckan innan med 30 %. Tredje veckan minskar han tiden med 30 % jämfört med veckan innan. Hur många timmar i veckan tränar Simon efter dessa förändringar? Svara i hela timmar.
26 Familjen Nilsson köpte en villa för 3,4 miljoner. Första året efter husköpet steg huspriserna med 10 % och år två steg priserna med 30 %. Det tredje året sjönk priserna med 40 %. Hade det blivit billigare eller dyrare för familjen Nilsson att köpa huset tre år senare? Motivera ditt svar med uträkningar.
27 Värdet på en aktie ökar varje år med 7 %. Hur lång tid dröjer det tills värdet har fördubblats? Svara i hela år.
28 Julia betalar 30 % av sin lön i skatt. Av det hon har kvar av lönen betalar hon 13 % i hyra och 14 % går till mat. Hur mycket av lönen har Julia kvar i procent efter att ha betalat alla utgifter? Svara i hela procent.
Nu är du klar med Blandade övningar och kan göra ett Övningsprov som din lärare har till dig.
2 Sammanfattning
Procent, promille och ppm
Procent anger hundradelar. Om en andel är väldigt liten använder man ibland promille eller ppm istället för procent. Du tänker på samma sätt med promille och ppm som när du räknar med procent.
Procent: 4 % = 4 100 = 0,04 %
Promille: 4 ‰ = 4 1 000 = 0,004 ‰
ppm: 4 ppm = 4 1 000 000 = 0,000004 ppm
Vid procent använder vi begreppen andelen, delen och det hela.
Delen = Det hela ⋅ Andelen
Andelen = Delen Det hela
Det hela = Delen Andelen
Procentenheter
Procentenheter används bl.a. för att ange skillnaden mellan två procentuella värden. Det är viktigt att skilja på procent och procentenheter. Tänk på att efter din uträkning skriva vad det är du har räknat ut – i procent eller procentenheter – eftersom det inte är samma sak.
Förändringsfaktor
Förändringsfaktor skrivs alltid i decimalform och visar hur mycket något ökar eller minskar i värde procentuellt. För att räkna ut förändringsfaktor använder vi oss av formeln:
Nya värdet = Förändringsfaktor ⋅ Gamla värdet
Förändringsfaktor = Nya värdet Gamla värdet
Är förändringsfaktorn > 1 innebär det en ökning och om den är < 1 innebär det en minskning.
När vi har upprepad procentuell förändring så multiplicerar vi samtliga förändringsfaktorer med varandra för att få den totala förändringsfaktorn.
Index
Index används bl.a. för att jämföra priser vid olika tidsperioder. Det är inte säkert att något har blivit dyrare över tid enbart för att priset på en vara har ökat. Basåret i en indextabell är där indextalet är 100.
Konsumentprisindex (KPI)
Konsumentprisindex (KPI) är en indexserie där vi kan se hur priserna på en vara eller tjänst har förändrats över tid.
Ränta
Räntan är den avgift man betalar för att låna pengar. Räntan beräknas med en räntesats i procent som ofta står årsvis. Gör om procent till decimalform och multiplicera med lånet för att få årsräntan.
Amortering
Amortering är ett annat ord för återbetalning av ett lån.
Avbetalning
Avbetalning betyder att du köper något men betalar i mindre delar under en viss tid istället för att betala hela summan direkt. Ofta tillkommer ränta eller avgifter, vilket gör att det totala priset kan bli högre än om du hade betalat allt på en gång.
Kredit
Kredit betyder att du får låna pengar eller köpa något nu och betala senare. Ofta tillkommer ränta eller avgifter, vilket gör att det totala beloppet du betalar kan bli högre än det ursprungliga priset.
Facit
2.1 Procent, promille och
ppm
2101 a) 0,43 b) 0,92
c) 0,04 d) 1
2102 a) 7 % b) 74 %
c) 12 % d) 98 %
2103 a) 37/50 b) 3/10
2104 60 %
2105 3 100; 0,3; 33 100; 4 10; 55 %;
3 5; 70 %
2106 0,16 = 16 %; 40 % = 4 10;
8 % = 8 100; 3 4 = 0,75; 27 100 = 0,27; 80% = 4 5
2107 a) 20 % b) 40 %
2108 a) 45 kr b) 48 kr
2109 36 killar
2110 1 500 kg
2111 a) 4 promille
b) 43,2 promille
c) 18 promille
d) 14 promille
2112 a) 20 ppm
b) 6 ppm
2113 a) 31 promille
b) 6 promille
c) 19 promille
2114 a) 67 % b) 25 %
c) 70 % d) 80 %
2115 35 %
2116 a) 12,5 % b) 5 %
2117 75 %
2118 Ja
2119 21 rum
2120 5 000 kr
2121 280 personer
2122 Alternativ D
2123 a) 0,75 procentenheter
b) 15 %
2124 23 %, 125 promille,
8 500 ppm
2125 11 200 kr
2126 8 000 000 invånare
2127 1 ml
2128 750 ppm
2129 883 000 kr
2130 Najma
2131 48 %
2132 46 skott
2133 a) 1/45 b) 600 gram
2134 0,00203 och 1/482
2135 a) 14 ppm
b) Ja
2.1 Test –
Procent, promille och ppm
1 80 %
2 49 killar
3 6 000 kr
4 a) 4 procentenheter b) 50 %
5 1,2 ppm
2.2 Förändringsfaktor
2201 1,54 = 154 %, 1,0 = 100 %, 0,002 = 0,2 %, 1,06 = 106 %, 0,86 = 86 %, 2,15 = 215 %, 0,07 = 7 %, 0,2 = 20 %
2202 a) 1,16 b) 0,96 c) 0,845 d) 2,03
2203 23 690 kr
2204 73 710 kr
2205 a) 0,85 b) 510 kr
2206 11 %
2207 188 %
2208 a) 0,88 b) 0,91 c) 1,375
2209 25 %
2210 a) 1,2 b) 1,05 c) 1,26 d) 5 292 kr
2211 62 500 mobiltelefoner
2212 Minskat med 95 %
2213 47 barn
2214 306 kr
2215 54 cm
2216 7 105 kr
2217 823,53 ≈ 824 kr
2218 Ökning med 95 %
2219 Lönen ökades med 6,1 %
2220 a) 85 cm hög b) 15 dygn
2221 5 000 besök
2222 a) 4 % b) 1,04
c) 6 355 kr
2223 a) 46 987 invånare b) Ökning med 16 %
2224 a) 82 %
b) Ingen skillnad
2225 Minskat med 16 %
2.3 Index
2301 100
2302 a) År 2016
b) Ökning med 15 %
c) Ökning med 17 %
2303 100, 125, 158, 208
2304 4 000 1,6 = 2 500 kr
2305 a) 70 kr
b) 1,206 och 362 kr
2306 a) 1,07 b) 7,06 %
2307 a) Kina
b) Ökning med 213 %
c) 57 %
2308 74, 100, 139, 168
2309 592 kr
2310 a) 100, 109, 120, 123, 127 b) 14 369 kr
2311 a) 2007 b) 12 %
c) 34 kr d) 177
2312 a) 11,61 kr b) 28,3%
2313 a) 9 882 kr b) 37,3 %
2314 a) 714 kr b) 462
2.3 Test – Förändringsfaktor och index
1 a)0,66 b) 2,12
2 45 %
3 Nej
4 3 060 jobb
5 a)År 2017
b)Ökning med 43 %
c)Ökning med 59 %
6 4 500 kr
2.4 Lån, ränta, amortering, avbetalning och kredit
2401 3 månader
2402 a) 0,025 b) 375 kr
2403 2 000 kr
2404 a) 30 000 kr
b)2,7 %
c)810 kr
2405 160 kr
2406 14 420 kr
2407 34 %
2408 a) 1 gång
b)24 gånger
c)1 110 kr
2409 a) 950 kr b) 380 kr
2410 a) Bank A b) 3,1 %
2411 Ökat med 4,24 %
2412 5,7 %
2413 12,5 % dyrare
2414
År Återstående lån Årsränta Att betala till banken
1 40 000 kr2 000 kr12 000 kr
2 30 000 kr 1 500 kr11 500 kr
3 20 000 kr 1 000 kr11 000 kr
4 10 000 kr 500 kr10 500 kr
2415 a) 1 000 kr
b)1 474 kr
2416 242 kr
2417 a) 900 000 kr
b)38 250 kr
2418 a) 0,5 procentenheter
b)13 %
2419 242 kr
2420 Bank 1
2421 a) 1 132 kr
b)26 438 kr
2.4 Test – Lån, ränta, amortering, avbetalning och kredit
1 500 kr
2 a)2 400 kr
b)22 400 kr
3
År Återstående lån Årsränta Att betala till banken
1 40 000 kr 3 200 kr 11 200 kr
2 32 000 kr 2 560 kr10 560 kr
3 24 000 kr 1 920 kr 9 920 kr
4 16 000 kr 1 280 kr 9 280 kr
5 8 000 kr640 kr 8 640 kr
4 a)4 770 kr
b)571 kr
c)Ökning med 14 %
2 Diagnos
1 a)12 % b) 30 %
2 70 kr
3 0,03 0,9% 7 promille
6 tusendelar
4 28 rätt
5 1 400 kr
6 0,6 promille
7 2 100 · 1,1 · 0,85
8 1 008 kr
9 a)År 2016
b)35 %
c)675kr
d)13 %
10 640 kr
Blandade övningar
1 a) 12 kr b) 200 kr
2 a)25 % b) 5 %
3 a)31 promille
b)6 promille
c)19 promille
4 20 %
5 25 151 kr
6 a)128 b)12 kr
7 a)45 kr b) 48 liter
8 a)År 2012
b)Ökning med 34 %
c)Ökning med 8 %
d)Ökning med 44 %
9 a)0,92 b) 1 656 kr
10 80 % = 4/5 8 % = 8 100 0,16 = 16 % 40 % = 4 10 3 4 = 0,75 27 100 = 0,27
11 1 080 kr
12 160 kr
13 a) 2 promille
b)0,7 promille
14 a) 60 ppm
b)83 ppm
15 62 000 invånare
16 0,340 promille
17 a) 3 procentenheter
b)Minskning med 15 %
18 44 timmar
19 225
20 Nej, då andelen killar i Elis klass motsvarar 60 %.
21 a) Ökning med 6 %
b)Fritid och sport
c)689 kr
22 280 personer
23 883 000 kr
24 Ökning med 95 %
25 2 timmar
26 Billigare eftersom 85,3 %
är mindre än 100 %.
27 Ca 10 år
28 51 %
