Redaktör: Per-Olof Bergmark, Stina Karlström, Kristina Olofsson, och Jesper Olsson
Bildredaktör: Katarina Weström Formgivning: Typoform
Illustratör: Typoform Omslagsbild: Jesper Olsson/Adobe Firefly AI
Första upplagan, första tryckningen ISBN 978-91-511-1422-4
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk om skolkopieringsavtal finns mellan skolhuvudmannen och Bonus Copyright Access. För information om skolkopieringsavtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Användning av detta läromedel för text- och datautvinningsändamål med t.ex.
AI-tjänster är ej tillåten. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Tryck: Namn, ort och årtal.
Prefix matematik 1b
Prefix Matematik är en heltäckande läromedelsserie enligt Gy25, med material för både förberedelse och uppföljning genom aktiviteter, teori, exempel och uppgifter.
Prefix Matematik 1b är ett tryckt läromedel för matematik nivå 1b, där tryckt och digitalt material delar samma struktur. Detta möjliggör undervisning i grupp med en kombination av tryckta och digitala komponenter.
Läromedlet erbjuder:
● Samma innehåll och struktur i tryckt och digital form
● QR-koder med tillgång till över 100 filmer, diagnoser och lösningsförslag
● Snabbkollar och lösta exempel kopplade till teorin
● Uppgifter i tre nivåer för en varierad undervisning
Innehåll
1 Aritmetik
1.1 Repetition
1.1.1 Räkneregler
1.1.2 Bråkräkning
1.1 Öva
1.2 Tal i potensform
1.2.1 Potenslagarna
1.2.2 Potenser med olika bas
1.2.3 Potenser med rationella exponenter
1.2.4 Grundpotensform och prefix
1.2 Öva
1 Blandade övningar
1 Sammanfattning
2 Algebra
2.1 Grundläggande algebra
2.1.1 Grundläggande ekvationer
2.1.2 Ekvationer med flera x
2.1 Öva
2.2 Ekvationer och formler
2.2.1 Räkneregler för parenteser
2.2.2 Ekvationer med x i nämnaren
2.2.3 Ställa upp ekvationer
2.2.4 Faktorisering
2.2.5 Arbeta med formler
2.2 Öva
2.3 Potensekvationer och olikheter
2.3.1 Potensekvationer
2.3.2 Linjära olikheter
2.3 Öva
2.4 Digitala verktyg och problemlösning
2.4.1 Lösa ekvationer med digitala verktyg
2.4.2 Problemlösning
2.4 Öva
2 Blandade övningar
2 Sammanfattning
3 Procent
3.1 Procentuell förändring
3.1.1 Förändringsfaktor
3.1.2 Upprepad procentuell förändring
3.1 Öva
3.2 Index och KPI
3.2.1 Index
3.2.2 Konsumentprisindex (KPI)
3.2 Öva
3.3 Lån och ränta
3.3.1 Lån, ränta och amortering
3.3.2 Avbetalning och kredit
3.3 Öva
3 Blandade övningar
3 Sammanfattning
4 Funktioner
4.1 Vad är en funktion?
4.1.1 Samband mellan variabler
4.1.2 Skrivsättet f (x)
4.1.3 Funktioner i koordinatsystem
4.1.4 Definitionsmängd och värdemängd
4.1 Öva
4.2 Räta linjens ekvation
4.2.1 Grundkoncept
4.2.2 Bestämma ekvationen för en rät linje
4.2.3 Parallella och vinkelräta linjer
4.2 Öva
4.3 Icke-linjära funktioner
4.3.1 Potensfunktioner
4.3.2 Exponentialfunktioner
4.3 Öva
4.4 Grafisk problemlösning
4.4.1 Grafisk lösning av ekvationer och olikheter
4.4.2 Tolka grafer
4.4 Öva
4 Blandade övningar
4 Sammanfattning
5 Sannolikhet och statistik
5.1 Statistiska metoder
5.1.1 Statistiska undersökningar
5.1.2 Korrelation och kausalitet
5.1 Öva
5.2 Oberoende och beroende händelser
5.2.1 Enkla slumpförsök
5.2.2 Tärningsdiagram
5.2.3 Träddiagram (oberoende händelser)
5.2.4 Träddiagram (beroende händelser)
5.2 Öva
5 Blandade övningar
5 Sammanfattning
3 Procent
Aktivitet
a) Hur många procent högre är det andra tornet jämfört med det första?
b) Hur många procent högre är det tredje tornet jämfört med det andra?
c) Hur många procent högre är det tredje tornet jämfört med det första?
d) Hur många procent lägre är det första tornet jämfört med det andra?
e) Hur många procent lägre är det andra tornet jämfört med det tredje?
3.1 Procentuell förändring
Procent är ett viktigt begrepp som vi använder för att beskriva delar av en helhet. Ni har tidigare lärt er att procent innebär "hundradelar", vilket gör det enkelt att jämföra hur stor andel något utgör. Nu ska vi gå vidare och räkna med förändringsfaktor och upprepad procentuell förändring.
3.1.1
Förändringsfaktor
Vid räkning med procentuella förändringar används förändringsfaktor. Förändringsfaktorn visar hur mycket ett värde ökar eller minskar procentuellt, genom att multiplicera ett ursprungligt värde med faktorn.
Ökning/minskning Ny procent Förändringsfaktor Procentuell
1 % = 0,01
1 ‰ = 0,001
1 ppm = 0,000001
Förändringsfaktorn = Nya värdet
Gamla värdet
Nya värdet = Förändringsfaktorn · Gamla värdet
X Snabbkoll
1 Vilken förändringsfaktor beskriver
a) en ökning med 60 % b) en minskning med 60 % c) en ökning med 7 % d) en minskning med 7 %
2 Hur många procent har ett värde minskat om förändringsfaktorn är 0,75?
Utgångspunkten är 100 %, vilket motsvarar förändringsfaktorn 1. Vid en ökning är faktorn större än 1. Vid en minskning är faktorn mindre än 1.
3.1.1 Exempel
Procentuell ökning
Priset på morötter i lösvikt är 12,00 kr/kg.
Affären ökar priset med 5 %.
Vad blir det nya priset?
löSning
Gamla värdet (ursprungliga värdet): 12 kr/kg
Förändringsfaktor: 1,05 (100 % + 5 % = 105 %) Sätt in i formeln.
Nya värdet = Förändringsfaktorn · Gamla värdet
Nya värdet = 1,05 · 12,00 = 12,60
Svar: Det nya priset blev 12,60 kr/kg.
Procentuell minskning
För att kunna sälja många TV-apparater sänkte en affär sina priser med 15 %.
Vad blev det nya priset för en TV som har kostat 18 000 kr?
löSning
Förändringsfaktor: 0,85 (100 % − 15 % = 85 %)
Nya värdet = Förändringsfaktorn · Gamla värdet
Nytt pris = 0,85 · 18 000 kr = 15 300 kr
Svar: Det nya priset blev 15 300 kr.
Procentuell förändring (ökning)
Bonden Gösta har köpt nya kor. Före inköpet hade han 200 kor på sin gård och nu har han 500 kor.
Med hur många procent har antalet kor ökat?
löSning
Nya värdet är 500 kor.
Gamla värdet är 200 kor. Sätt in i formeln.
Nya värdet = Förändringsfaktorn · Gamla värdet
500 = Förändringsfaktorn · 200
Förändringsfaktorn = 500 200 = 250 100 = 2,5
Svar: Antalet kor har ökat med 150 %.
Förändringsfaktorn 2,5 är detsamma som 250 %, ökningen är därför 250 % − 100 % = 150 %, vilket säger oss att antalet kor har ökat med 150 %. 3.1.1 Exempel
Procentuell förändring (minskning)
En resebyrå sänkte priset på en resa från 4 500 kr till 3 375 kr.
Hur stor var den procentuella minskningen?
löSning
Nya värdet = Förändringsfaktorn · Gamla värdet
3 375 = Förändringsfaktorn · 4 500
Eftersom vi söker förändringsfaktorn så ersätter vi den med x.
3 375 = x · 4 500
x = 3 375 4 500 = 0,75
Förändringsfaktorn 0,75 säger oss att det ursprungliga värdet har minskat med 25 %.
Svar: Minskningen var 25 %.
Gamla värdet (ursprungligt pris)
Efter en prisökning på 8 % kostade en läsplatta 3 780 kr.
Vad kostade den före prishöjningen?
Korrekt elevlösning
Förändringsfaktor: 1,08
Nya värdet = Förändringsfaktorn · Gamla värdet
3 780 = 1,08 · x
x = 3 780 ______ 1,08
x = 3 500
Svar: 3 500 kr.
Det är lätt att felaktigt beräkna prisminskningen baserat på det nya värdet istället för det ursprungliga. Om man minskar priset med 8 % från 3 780 kr blir det fel, eftersom:
0,92 · 3 780 = 3 477,6 kr
3.1.1 Uppgifter
Nivå 1
3101 Vilken förändringsfaktor beskriver
a) en ökning med 7 %
b) en ökning med 0,5 %
c) en ökning med 230 %
d) en minskning med 7 %
e) en minskning med 32,5 %
3102 Hur många procent har ett värde ökat om förändringsfaktorn är 2,7?
3103 Vad innebär det att förändringsfaktorn är 0,2?
3104 En karateklubb har 370 medlemmar. Medlemsantalet ökar med 20 %.
a) Hur stor är förändringsfaktorn?
b) Beräkna det nya antalet medlemmar.
3105 Ett träningspass på Stinas gym kostar 90 kr. Priset sänks med 15 %. Vad kostar träningspasset efter sänkningen?
3106 Färgkritor som tidigare kostat 19,50 kr såldes ut för 14,90 kr. Hur stor procentuell rabatt gavs på färgkritorna?
3107 På grund av god ekonomisk styrning så minskar kostnaden för ett byggprojekt med 15 % jämfört med budgeten. Den nya kostnaden blev 18,6 miljoner kronor. Vad var den ursprungliga budgeten för projektet?
3108 Kalle var 49 cm lång när han föddes. På ettårsdagen var han 76 cm. Hur mycket hade hans längd ökat procentuellt?
3109 Värdet på en aktie ökar från 240 kr till 650 kr.
a) Hur många procent ökade värdet?
b) Sen sjunker värdet tillbaka till 240 kr. Hur många procent minskade värdet?
Nivå 2
3110 Anta att slitaget på Borgholms slottsruin får dess murar att minska i höjd med 0,70 ‰ per år. Om höjden på en mur är 18,349 meter. Hur hög kommer då muren vara om ett år? Svara med 5 värdesiffror.
3111 Hyran för en lägenhet ökar med 600 kronor när det dras in ett nytt bredband. Därefter ökar hyran med 2,2 %. Hyran för
lägenheten blir då 7 904 kr.
Vad var hyran från början?
3112 Erik sätter in 5 000 kr på ett sparkonto med räntesatsen 3,2 %. Året efter sätter han in 3 000 kr. Hur mycket pengar har han på kontot
a) direkt efter den andra insättningen
b) när banken betalat ut räntan efter det andra året
3113 Vid en Black Friday-rea sänks alla priser med 20 %. Wilma har dessutom en rabattkupong på 50 kronor så hon betalar bara 410 kr för en tröja.
Vad var ordinariepriset för tröjan?
3114 Sture är med i en tävling där man ska odla den största gurkan. Han har odlat en jättestor gurka som väger 1,0 kg. Gurkan innehåller 98 % vatten. På tävlingsdagen så ligger Stures gurka ute i solen hela dagen så vattnet i gurkan avdunstar. När domarna kommer för att väga gurkan så väger den endast 500 g, Sture förlorar tävlingen. Hur många procent vatten finns det i gurkan då den väger 500 g?
3115 Karim köpte en begagnad moped som minskat i värde med 10% från ursprungspriset 37 000 kr. När han skulle sälja den efter några år så hade värdet minskat med ytterligare 30 %. Vilken uträkning ger svar på försäljningsvärdet?
A 0,1 · 0,3 · 37 000
B 1,1 · 1,3 · 37 000
C 0,9 · 0,7 · 37 000
D 0,99 · 0,97 · 37 000
3.1.1 Uppgifter
3116 Alma köper en fin dator men med tiden minskar värdet på datorn. När värdet minskat med 30 % bestämmer hon sig för att byta grafikkort. Det nya grafikkortet ökar datorns värde med 1 800 kr. Alma har datorn ett par år till och värdet minskar med 37 % så när hon säljer datorn får hon bara hälften så mycket som hon ursprungligen betalade för datorn. Hur mycket kostade datorn?
3117 En sjukdom sprids mycket snabbt och på ett år har antalet insjuknade blivit tio gånger så många som föregående år.
a) Hur stor är förändringsfaktorn?
b) Hur stor är den procentuella ökningen av antalet insjuknade?
Nivå 3
3118 Samuels lön är 5 % högre än Linus lön. Efter att Linus får 1 900 kr i löneökning och Samuel får 2,0 % har de lika stor lön. Vilken lön har Samuel nu?
3119 Priset på en tröja minskar med 20 % på en rea. Felicia prutar ner priset med 150 kronor. Väl framme i kassan får hon 10 % medlemsrabatt. Felicia betalar med en 500-lapp och får 131 kr tillbaka. Vad var priset från början?
Vid upprepad procentuell förändring kan man multiplicera samtliga förändringsfaktorer för att få den totala förändringsfaktorn. Därefter multiplicerar man den totala förändringsfaktorn med det gamla värdet för att få det nya värdet. !
3.1.2 Upprepad procentuell förändring
Vi vet sedan tidigare att vi kan använda förändringsfaktorn för att ange hur mycket ett värde har förändrats. Men ibland kan ett värde förändras flera gånger efter varandra. För dessa situationer finns det ett smidigt sätt att räkna ut hur stor den totala förändringen blir.
Vid upprepad procentuell förändring multipliceras samtliga förändringsfaktorer för att få den totala förändringsfaktorn.
Nya värdet = Totala förändringfaktorn · Gamla värdet
Vi tittar på ett exempel.
Folkmängden i en kommun ökade med 12 % ett år för att sedan minska med 5 % nästa år. Under ett tredje år ökar folkmängden med 10 %. Från början bodde det 40 000 invånare i kommunen. Hur många bodde det i kommunen efter dessa tre år?
Vi beräknar den sammanlagda procentuella förändringen (den totala förändringsfaktorn).
Folkmängden efter tre år kan beräknas genom att multiplicera den totala förändringsfaktorn med den ursprungliga folkmängden.
1,1704 · 40 000 = 46 816
Folkmängden efter tre år är ca 47 000 personer.
Kom ihåg att man väntar med avrundningar till dess att man har gjort alla uträkningar och ska svara!
Om vi har samma förändringsfaktor som upprepas n gånger får vi:
Nya värdet = Gamla värdet · Förändringsfaktorn
Om till exempel en folkmängd på 200 000 invånare i en kommun ökar med 10 % per år i 3 år kan vi beräkna den nya folkmängden med formeln:
Nya värdet = Gamla värdet · Förändringsfaktorn3
Nya värdet = 200 000 · 1,103 = 266 200 invånare.
X S nabbkoll
1 Värdet på en aktie ökar med 15 % sedan minskar det med 10 %.
a) Hur stor är den totala förändringsfaktorn?
b) Hur många procent förändrades aktiens värde?
2 Priset på en råvara ändras två dagar i rad. Här är ett uttryck för priset på varan. Gamla · 1,06 · 0,91 = Nya
a) Vilken var den totala förändringsfaktorn under de två dagarna?
b) Med hur många procent förändrades råvarans värde?
3.1.2 Exempel
Värdeförändring på en aktie
Värdet på en aktie ökar med 40 % och minskar sedan med 40 %. Med hur många procent har aktiens värde förändrats?
löSning
En ökning med 40 % ger förändringsfaktorn 1,40. En minskning med 40 % ger förändringsfaktorn 0,60.
Sammanlagda förändringsfaktorn blir då:
1,40 · 0,60 = 0,84
Svar: Värdet på aktien har minskat med 16 %.
Beräknar man den totala förändringsfaktorn: 1,103 = 1,331 ser man att folkmängden har ökat med 33,1 % efter tre år.
Pengar på ett bankkonto
Sara fick vid årsskiftet 2015/2016 ett bankkonto med 10 000 kr av sin mormor. Hon förväntar sig en årlig räntesats efter skatt på 1 % under många år framåt. Hur mycket finns det enligt hennes förväntningar på kontot vid årsskiftet 2055/2056?
löSning
Förändringsfaktor för ett år: 1,01
Total förändringsfaktor:
Vi har samma procentuella förändring i 40 år, det innebär
Svar: Sara förväntas ha ca 14 889 kr vid årsskiftet 2055/2056.
Man kan lätt felaktigt tänka att 1 % ökning skulle ge 40 % ökning sammanlagt. Värdeökningens storlek ökar för varje år eftersom 1 % räknas på allt större belopp och inte på det ursprungliga beloppet. Man får ränta på räntan.
Årlig procentuell befolkningsökning
Befolkningen i en stad ökar från 38 014 till 43 168 under en tioårsperiod. Hur stor var den årliga procentuella ökningen?
löSning
Gamla värdet ∙ förändringsfaktornn = Nya värdet f = 10√ 43 168 38 014 ≈ 1,01279567
Svar: Den årliga procentuella ökningen var ungefär 1,28 %.
Grafisk lösning
En vitsippa har från början diametern 2,8 mm. När vitsippan växer ökar diametern med 15 % per dag. En annan vitsippa har diametern 5,0 mm och dess diameter ökar med 7 % varje dag. Hur lång tid tar det innan vitsippornas diameter är lika stor?
löSning
Vitsippa 1: diameter efter x dagar 2,8 ∙ 1,15x
Vitsippa 2: diameter efter x dagar 5,0 ∙ 1,07x
De har samma diameter då 2,8 ∙ 1,15x = 5,0 ∙ 1,07x
Vi löser uppgiften med ett digitalt verktyg.
Vi kan avläsa i grafernas skärningspunkt att x = 8,0415.
Svar: Efter drygt 8,0 dagar har vitsipporna samma diameter.
Värdeminskning på en bil
Värdet på en bil minskar med 12 % per år. Idag är bilen värd 132 200 kr. Hur mycket var bilen värd för 4 år sedan?
Korrekt elevlösning
Förändringsfaktor för ett år: 0,88 Total förändringsfaktor: 0,884
Svar: Bilens värde för fyra år sedan var ca 220 445 kr. 3.1.2 Exempel
3.1.2 Uppgifter
Nivå 1
3120 Amin kommer överens med sin chef om att få en löneökning på 3 % per år. Amins lön är vid överenskommelsen 23 000 kr. Vilken av följande uträkningar ska användas för att beräkna Amins lön efter 2 år?
A 23 000 + 1,032
B 23 000 · 1,032
C 23 000 · 0,032
D 23 000 · 1,03 · 2
3121 Priset på en bukett tulpaner ändras beroende på efterfrågan. Ett år kostar en bukett 79 kr första veckan i januari. Priset ökar med 11 % under den andra veckan och minskar sedan med 15 % den tredje veckan.
a) Skriv ett uttryck som kan användas för att beräkna priset den andra veckan.
b) Skriv ett uttryck som kan användas för att beräkna priset den tredje veckan.
c) Vad kostar en bukett tulpaner den tredje veckan?
3122 En tågbiljett mellan Malmö och Kalmar kostar 550 kronor. Under sommaren sänks priset med 12 %. Till jullovet höjs priset med 22 %. Hur mycket får du betala för biljetten på jullovet?
3123 David köpte skidutrustning för 7 300 kr. När han efter några år skulle sälja utrustningen så hade den minskat i värde med 45 %. Hur mycket var utrustningen värd då?
3124 Med hur många procent har ett pris ändrats om det först ökar med 10 % och sedan minskar med 10 %?
3125 Med hur många procent har ett pris ändrats om det först ökar med 30 % och sedan minskar med 40 %?
3126 Vad blir den totala förändringsfaktorn om man först ökar värdet med 15 %, därefter minskar värdet med 5 % och slutligen minskar med 16 %?
3127 Per köper en bil för 200 000 kr. Värdet på bilen avtar med 15 % varje år. Beräkna bilens värde efter fyra år. Avrunda till hela tusental.
3128 Vad blir den totala förändringsfaktorn om man först ökar värdet med 25 %, därefter minskar värdet med 5 % och slutligen minskar med 7 %? Avrunda ditt svar till 3 decimaler.
3129 Antalet gäster på en skidanläggning ökade med 50 % på två säsonger. Den första säsongen var ökningen 20 %. Hur stor var den procentuella ökningen den andra säsongen?
3130 På två år ökade en affär sin försäljning med 8 %. Det första året var ökningen 20 %. Hur stor var den procentuella förändringen andra året?
3131 Susanna köper en bil för 230 000 kr. Värdet på bilen minskar varje år med 13 %. Hur mycket är Susannas bil värd 12 år efter inköpet? Avrunda ditt svar till hela tusentals kr..
3132 Befolkningen i en kommun ökar från 114 000 till 138 000 under en femårsperiod. Hur stor är den årliga procentuella ökningen?
3133 Värdet av pengar på ett bankkonto ökar på 10 år från 12 000 kronor till 16 443 kronor. Bestäm räntesatsen på kontot.
3134 Anna köper en begagnad segelbåt för 180 000 kr. Anta att båtens värde minskar med 4 % per år.
a) Hur mycket var den värd för 10 år sedan?
b) Hur många år tar det innan värdet minskat från 180 000 kr till 100 000 kr.
3135 Med hur många procent har värdet på en aktie ökat om det först ökar med 3,9 % sju dagar i rad och sedan minskar med 5,1 % tre dagar i rad?
3136 En blomsterhandlare sänker priset på sina rosor med 60 %. Efter att rean är över ska priset höjas igen. Hur många procent ska han höja priset med om det nya priset ska bli samma som innan prissänkningen?
3137 Efter ett extremt lyckat räddningsprogram har antalet individer av en utrotningshotad djurart ökat med 170 % på 7 år.
Anta att antalet ökat med lika många procent varje år. Hur stor har den årliga ökningen varit? Svara med 3 värdesiffror.
3138 Värdet på en husvagn minskar med 6,0 % per år. Hur många år dröjer det till husvagnens värde har halverats?
Nivå 3
3139 Antalet smittade av ett virus ökar med 18,0 % per vecka. Efter ett halvår kommer ett vaccin ut på marknaden. Då minskar antalet smittade med 22,3 % per vecka.
Hur lång tid tar det innan antalet smittade är nere på de ursprungliga nivåerna?
3140 Elin har satt in 20 000 kr på ett konto med räntesatsen 1,4 %. Abdu har också satt in 20 000 kr och har räntesatsen 3,2 %. Hur lång tid dröjer det innan Abdu har 5 000 kr mer än Elin på sitt konto?
3141 Skriv ett uttryck för förändringsfaktorn f1 när ökningen är x %.
Skriv ett uttryck för förändringsfaktorn f2 när ökningen är y %.
Använd uttrycken för att visa varför man inte bara kan addera procenttalen vid upprepad procentuell förändring.
3.1 Öva
Nivå 1
1 Asma tittar på en jacka som kostar 750 kronor. Dagen efter har affären sänkt priset och jackan kostar 650 kronor.
a) Vilken förändringsfaktor beskriver prissänkningen?
b) Hur många procent sänktes priset?
2 Bestäm förändringsfaktorn då ett pris:
a) höjs från 75 kr till 81 kr
b) sänks från 320 kr till 280 kr
c) höjs med 30 kr från 420 kr
d) sänks med 35 kr till 390 kr
3 En frisör tog 350 kr för en klippning men höjde en dag sina priser med 12 %. Vad blev det nya priset?
4 Vid en utförsäljning i en klädbutik sänktes alla priser med 25 %. Vad kostade då en jacka som tidigare kostade 780 kr?
5 Lasse köpte en ny bil. Värdet på bilen minskade med 20 % under det första året. Efter ett år var bilen värd 160 000 kr. Hur mycket var bilen värd då Lasse köpte den?
6 Karl-Fredrik jämför tre olika par skor i en skoaffär. De kostar 599 kr, 699 kr och 799 kr.
a) På vilka skor ges den största rabatten i kronor om priserna sänks med 10 %?
b) På vilka skor ges den största rabatten i procent om priserna sänks med 100 kr?
7 Vad blir den sammanlagda förändringsfaktorn om ett värde …
a) först ökar med 35 % och sedan minskar med 20 %
b) först minskar med 20 % och sedan ökar med 35 %
8 Priset på lösviktsgodis höjdes vid ett tillfälle med 5 %. Därefter såldes godiset med 20 % rabatt. Hur stor var den totala procentuella prisändringen?
9 Mattias sparade 20 000 kr i en fond. Varje år växte fondens värde med 2,5 % efter skatt. Hur mycket var fonden värd efter 10 år?
10 I en kommun bodde det 55 800 invånare år 2013. Befolkningsökningen var 2 %, 3 % och 4 % de följande tre åren. Hur många invånare hade kommunen efter dessa tre år?
11 Värdet på en bostadsrätt ökade sex år i rad med 5,0 % per år. Hur stor blev den totala procentuella värdeökningen?
Nivå 2
12 Alice farfar investerade 24 000 kr i en fond när Alice föddes. När Alice fyller 18 år har pengarnas värde ökat till 51 207 kr. Hur stor var den årliga procentuella ökningen?
13 Värdet på en bil minskar från 470 000 kr till 212 000 kr på 6 år.
a) Hur stor är den procentuella värdeminskningen per år?
b) Hur lång tid tar det innan värdet sjunkit till 50 000 kr?
14
Tre vänner ska köpa varsin chokladkaka.
I affären lockar man med följande erbjudande:
Ta tre, betala för två!
Hur stor procentuell rabatt får vännerna tillsammans om de utnyttjar detta erbjudande?
A Ca 33 % B Ca 50 % C Ca 66 %
15 Värdet på Lars villa ökade under en period med 22 %. Lars ville då beräkna hur många procent villans värde kunde minska för att inte understiga värdet före ökningen. Lars är lite osäker på procenträkning och får fyra olika svar då han räknar. Vilket svar är rätt?
A 18 % B 20 % C 22 % D 78 %
16 David har köpt in ett parti solstolar till sitt UF-företag. Inköpspris per stol var 167 kr. David vill ha 50 kr i vinst per stol och han måste också lägga på 25 % moms på säljpriset.
Hur mycket kommer en stol att kosta då David säljer den?
17 Värdet på en aktie sjönk under ett år med 15 %. Hur mycket måste aktiens värde öka procentuellt för att återgå till värdet före värdeminskningen?
18 Cykelhandlaren Catarina höjde vid årsskiftet sina priser med 10 %. Då en kund köpte en cykel i början av januari gav Catarina 190 kr i rabatt för att delvis kompensera för prishöjningen. Det resulterade i att kunden fick betala 5 200 kr. Vad kostade cykeln innan årsskiftet?
19 Anna är lärare. Ett år ökade hennes månadslön från 28 100 kr till 28 800 kr. Vilken månadslön har Anna efter ytterligare fyra år om hennes inkomst ökar procentuellt lika mycket varje år?
20 Antalet åskådare på fotbollsklubben SAIKs matcher har ökat med 9 % per säsong tre år i följd till 7 900 åskådare. Hur många åskådare hade klubben före ökningarna?
Nivå 3
21 En lantegendom bestod av 60 % skog, 15 % ängsmark och 25 % åkermark. Ägaren gjorde en dag ett inköp av en annan egendom som endast bestod av ängs− och åkermark. Genom detta inköp ökade hennes åkermark med 40 % samtidigt som ängsmarken fördubblades.
Vilken ny procentuell fördelning blev det mellan de olika marktyperna?
22 Med ungefär hur många procent måste man öka sidlängden i en kvadrat, för att kvadratens area ska öka med 30 %?
23 En vattenmelon väger 4 kg. Den innehåller 91 % vatten och 9 % fruktkött. En vecka får melonen ligga i solen och torka så att vattenhalten sjunker till 80 %. Hur mycket väger melonen nu?
24 Olle är fruktodlare. Han odlar äpplen, päron, körsbär och plommon. I hans odling är 2 7 av träden äppelträd. Av de övriga träden
är 3 15 päronträd och 1 4 körsbärsträd. Hur många procent av träden är plommonträd?
3.2 Index och KPI
Index används för att jämföra exempelvis priser vid olika tidpunkter. Index är en förändringsfaktor multiplicerad med 100.
Konsumentprisindex (KPI) är en indexserie som visar hur priserna på vanliga varor och tjänster i Sverige utvecklas..
3.2.1 Index
När man vill jämföra hur mycket priset på en vara eller en tjänst har förändrats över tid kan vi använda index. Index beskriver förhållandet mellan två år. Året som vi väljer som startpunkt kallas för basår. Priset på varan andra år jämförs med basårets pris.
Förändringsfaktorn för alla år beräknas med hjälp av:
Nya värdet = Förändringsfaktorn · Gamla värdet
Förändringsfaktorn = Nya värdet Gamla värdet = Prisår n Prisbasåret
För att räkna ut index multiplicerar man förändringsfaktorn med 100. Det man får fram är egentligen förändringsfaktorn i procent men vi tar bort procenttecknet och kallar det för index.
Förändringsfaktor Procent Index 1,25 125 % 125
Om vi exempelvis vet att en chipspåse kostade 20 kronor år 2015. Samma chipspåse kostade 25 kronor år 2020 och 35 kronor år 2025 så kan vi bestämma hur prisindex har utvecklats under tidsperioden 2015–2025. Vi väljer år 2015 som basår. För att tydligt kunna jämföra priserna så ställer vi upp dem i en tabell och beräknar därefter förändringsfaktorer och index.
År Pris (kr) Förändringsfaktor
Som vi ser så har basåret index 100. Vi ser även tydligt att priset har ökat med 25 % mellan år 2015 och år 2020 och med 75 % mellan år 2015 och år 2025.
Förändring av index anges också i enheter. Exempelvis skiljer det 50 enheter mellan index 125 och 175.
Vi kan i denna tabell inte utläsa hur priset har förändrats mellan år 2020 och år 2025, men det kan beräknas genom att förändringsfaktorn mellan dessa två år.
Det innebär att när man räknar med index kan man ha nytta av att tänka på att både priset och index förändras med samma förändringsfaktor. Det innebär att:
Förändringsfaktorn = Index 2 Index 1 = Pris 2 Pris 1
3.2.1 Teori
X S nabbkoll
Årtal 2000 2010 2020 2024
Index 100 96 103 111
Tabellen visar index för prisutvecklingen för en vara. Beräkna med hur många procent som priset har förändrats mellan följande år.
a) 2000 till 2010
b) 2000 till 2024
c) 2010 till 2024
Prisutveckling
Om vi tittar på hur priset för två varor förändras så kan det vara svårt att jämföra deras prisutveckling eftersom de kostar olika mycket. Men om vi räknar ut deras index så kommer jämförelsen gå mycket lättare.
Årtal 2010 2015 2020 2025
Vi väljer 2010 som basår. Det innebär att alla priser ska jämföras med priserna 2010.
Vi beräknar de andra indexen på samma sätt. Resultatet kan du se i tabellen nedan.
Årtal 2010 2015 2020 2025 Index Vara 1 100 108,1 119,4 115,3
Index Vara 2 100 107,0 118,2 126,2
Nu kan vi enkelt se att varorna hade en liknande prisutveckling fram till 2020. Därefter har priset på Vara 1 sjunkit medan Vara 2 haft en fortsatt prisökning fram till 2025.
Jämför vi prisutvecklingen i kronor grafiskt blir resultatet följande, vilket inte säger mycket eftersom priset för de två varorna är så olika i storlek. Detta är en stor orsak till att vi använder index. Vi vill kunna jämföra prisutvecklingen för varor trots priserna på dem skiljer sig mycket.
Använder vi istället index i grafen blir det lättare att jämföra prisutvecklingen mellan varorna.
X S nabbkoll
1 Beräkna de två index som saknas i tabellen.
Årtal 2005 2010 2015 2020
Pris 17 21 26 37
Index 100 123,5
2 Priset för en exklusiv chokladkaka har förändrats enligt tabellen nedan.
År Pris (kr) Index
1985 4
2005 8
2025 27
a) Skapa en indextabell.
b) Hur mycket har priset på chokladkakan ökat mellan år 1985 och 2005?
c) Hur mycket har priset på chokladkakan ökat mellan år 1985 och 2025?
3.2.1
3.2.1 Exempel
Konstruera en indextabell
Nedan ser du vad en biobiljett kostade vid tre olika årtal.
År Pris
1978 16 kr
2006 79,90 kr
2016 120 kr
a) Gör en indextabell över priset på en biobiljett för åren i tabellen. Använd 1978 som basår.
b) Med hur många procent ökade priset på biobiljetter mellan åren 1978 och 2016?
löSning
a) Index för basåret 1978 sätts till 100. Därefter beräknas index för de övriga åren genom att dividera dess värde med basårets värde, följt av en multiplikation med 100.
År Pris Förändringsfaktor Index
1978 16 kr 16 16 = 1
2006 79,90 kr 79,60 16 = 4,98
2016 120 kr 120 16 = 7,50
b) Index år 1978 är 100 (basår) och index år 2016 är 750 vilket innebär att priset har ökat med 650 %.
Svar: Priset för en biobiljett har ökat med 650 %.
Ett vanligt fel är att man glömmer att subtrahera indextalet med 100 för att få den procentuella förändringen! Om vi exempelvis har ett index på 176 så innebär det en ökning med 76 % jämfört med basåret. !
Tolka en indextabell
Tabellen visar en indexserie för priset på en flaska vatten.
a) Vilket år är basår?
b) Hur mycket har priset ökat procentuellt från 1995 till 2005?
c) Hur mycket har priset ökat procentuellt från 2005 till 2015?
Korrekt elevlösning
a) 1995, eftersom index för år 1995 är 100.
Svar: År 1995
b) Förändringsfaktorn = Nya värdet _____________ Gamla värdet = Index2005 __________ Index1995 = 244 100 = 2,44
Ökning: 2,44 − 1,00 = 1,44, det vill säga 144 %.
Svar: Den procentuella ökningen är 144 %
c) Förändringsfaktorn = Nya värdet _____________ Gamla värdet = Index2015 __________ Index2005 = 284 ____ 244 = 1,16
Ökning: 1,16 − 1,00 = 0,16, det vill säga 16 %.
Svar: Den procentuella ökningen är 16 % År Index
3.2.1 Uppgifter
Nivå 1
3201 Tabellen visar en indexserie.
År Index
1991 97
1993 100
1996 110
2001 143
a) Vilket år är basår?
b) Med hur många enheter ökar index från 1996 till 2001?
b) Hur stor är den procentuella ökningen från 1993 till 1996? Svara med hela procent.
d) Hur stor är den procentuella ökningen från 1991 till 2001?
3202 Studera nedanstående indextabell och använd 2010 som basår. Bestäm index för samtliga år.
År Index
2010 74 kr
2015 80 kr
2020 94 kr
2025 105 kr
3203 Index för elcyklar var ett år 140 och då kostade en elcykel 25 000 kr. Vilken av beräkningarna nedan bestämmer priset under basåret?
A 1,40 · 25 000
B 0,6 · 25 000
C 25 000 1,40
D 25 000 0,6
3204 Arne är en glad pensionär som samlar på gamla mynt. Han har noterat värdet för sitt finaste mynt under fem års tid. Han funderar på hur värdet har förändrats från det år då han började notera värdet. I nedanstående tabell ser du värdet för respektive år.
År 1 2 3 4 5
Värde 250 270 370 320 400
Index 100 A B 128 C
a) Komplettera indextabellen.
b) Hur många procent ökar värdet mellan år 1 och år 3?
c) Hur många procent minskar värdet mellan år 3 och år 4?
3205 Big Mac-index uppfanns 1986 av tidskriften The Economist för att mäta hur olika valutor är värderade mot varandra. Det sägs att orsaken till att de valde just Big Mac var att den tillverkas helt inom det egna landets gränser och att den går lika snabbt att tillverka i hela världen.
Land Big Mac-index
USA 100
Ryssland 63
Danmark 147
Sverige 166
Kina 53
a) I vilket land är en Big Mac dyrast?
b) Hur många procent dyrare är en Big Mac i Danmark än i Ryssland?
c) Hur många procent billigare är en Big Mac i Kina än i USA?
3206 Index tabellen visar utvecklingen för priset
på en liter E5 bensin 1 juli. 1 Juli 2021 kostade 1 liter E5 bensin 16,39 kr.
Årtal 2017 2018 2019 2020 2021
Index 100 115 114 102 119
a) Hur mycket kostade den 1 juli 2017?
b) Hur mycket kostade den 1 juli 2019?
c) 2024 var priset 17,39 kr/liter. Vilket index skulle år 2024 ha i tabellen?
Nivå 2
3.2.1 Uppgifter
3207 2010 var fastighetsindex för en stad 130 och 2023 hade det ökat till 195. Selma köpte en fastighet i denna stad för
1 800 000 kr år 2010 och sålde den för
2 900 000 kr år 2023.
a) Hur stor var den procentuella ökningen av fastighetsindex från 2010 till 2023?
b) Vad var fastigheten värd år 2023 om dess värde hade följt utvecklingen för fastighetsindex?
c) Beräkna den årliga genomsnittliga tillväxttakten (genomsnittlig årlig procentuell ökning) av fastighetsindex mellan 2010 och 2023.
3208 Ett aktieindex var 1800 vid början av år 2018 och steg till 2400 i slutet av år 2023. En aktieportfölj hade ett värde på 500 000 kr i början av 2018 och var värd 650 000 kr i slutet av 2023.
a) Hur stor är den procentuella ökningen av aktieindexet under perioden 2018–2023?
b) Med hur många kronor har portföljen över- eller underpresterat i jämförelse med index?
c) Beräkna den genomsnittliga årliga avkastningen för både aktieindex och portföljen under perioden.
3.2.1 Uppgifter
3209 Priset visar den dramatiska prisutvecklingen för en 55-tums OLED TV.
Årtal 2017 2018 2019 2020 2021
Index 100 38,1 79,2 54,3 51,4
a) 2021 var priset 17 995 kr. Hur stor var prissänkningen i kronor mellan 2017 och 2018?
b) Med hur många procent steg priset mellan 2018 och 2019?
3210 2016 var importprisindex för en viss vara 115 och 2023 hade det ökat till 150. Under samma period försvagades växelkursen för den svenska kronan mot euron från 9,50 kr per euro till 11,50 kr per euro.
a) Om priset för en importvara var 3 000 kr år 2016, vad skulle dess pris vara år 2023 baserat på förändringen i importprisindex?
b) Hur mycket skulle varan ha kostat år 2023 om prisförändringen påverkas både av importprisindex och växelkursens försvagning?
Nivå 3
3211 Två ekonomer har räknat ut index för samma vara. Men de har använt olika basår.
2025 kostade varan 184 kr. Vad kostade varan år 2000?
Årtal Ekonomi A Ekonomi B 2000 89,6 2005 100,0
3212 Diagrammet visar prisutvecklingen för ett kilogram kakao. Enligt en indexserie var index för kakaopriset 135 år 2023. Vilket år var basår för indexserien?
Pris(kr/kg) Kakaopris
2029 2024 2019 2014
3.2.2 Konsumentprisindex (KPI)
Konsumentprisindex (KPI) är en indexserie som visar hur priserna på vanliga varor och tjänster utvecklas. KPI beräknas varje månad av Statistiska centralbyrån (SCB) och vid årets slut beräknas ett medelvärde för hela året. Historiskt har det funnits olika basår och det senast fastställda basåret är 1980.
Vi har i denna tabell tagit med värden för vart femte år sedan basåret 1980.
KPI följer samma räkneregler som när vi räknade med index tidigare.
Förändringsfaktorn = Index 2 index 1 = Pris 2 Pris 1
Vi tittar på ett exempel.
Anna tycker att biobiljetter har blivit dyra och hon vill därför undersöka om priset har följt KPI eller inte.
Tabellen visar prisutvecklingen för en biobiljett och KPI mellan 1990 och 2015.
För att kunna jämföra priserna med KPI så räknar man ut förändringsfaktorn för både priset och KPI.
Pris: Förändringsfaktorn = Nya värdet Gamla värdet = Pris2015 Pris1990 = 145 55 ≈ 2,64
Det innebär att priset har ökat med ca 164 %.
KPI: Förändringsfaktorn = Nya värdet Gamla värdet = KPI2015 KPI1990 = 313,4 207,8 ≈ 1,51
KPI har ökat med 51 %. Anna hade rätt, priset på biobiljetter har ökat mycket mer än andra varor (KPI).
X Snabbkoll
Använd tabellen för att svara på frågorna nedan.
1 Beräkna den procentuella förändringen i KPI mellan 2020 och 2024.
2 En gryta kostade 300 kronor år 2020. Vad kostade samma gryta 2024?
3 En lampa kostade 750 kronor 2024, vad kostade samma lampa 2020?
År
Pris driver (SEK) KPI
2005 3 700 280
2010 4 210 303
2015 4 140 313
3.2.2 Exempel
KPI livsmedel
Mjölkbonden Mats var besviken på den ersättning som han fick för mjölken han sålde 2023. Han ansåg att den ersättning som han fått var mycket liten samtidigt som priset på mjölk i affären hade ökat mer än priset på andra livsmedel sedan 2010. Hade Mats rätt?
löSning
På SCBs hemsida ser vi att KPI för livsmedel 2010 och 2023 var 273,16 respektive 403,70. Priset för en liter mjölk år 2010 var 7,40 kr och 2023 var priset 13,95 kr.
Förändringsfaktor (livsmedel) = Nya värdet Gamla värdet = KPI2023 KPI2010 = 403,70 273,16 ≈ 1,478
Förändringsfaktor (mjölk) = Nya värdet Gamla värdet = Pris2023 Pris2010 = 13,95 7,40 ≈ 1,885
Förändringsfaktorn för mjölkpriset är större än förändringsfaktorn för livsmedel. Alltså hade mjölkpriset stigit mer än andra livsmedel.
Svar: Mats hade rätt. Priset på mjölk hade ökat mer än andra livsmedel.
Prisjämförelse
Agnes och Frida spelar golf. Anges ska köpa en ny driver och tycker att det är så orättvist att priset på golfklubbor ökar mycket mer än på andra varor som man köper. Frida anser att Agnes har fel och säger att de kan kontrollera detta. De går därför ut på nätet och tar fram KPI och priser för den driver som Agnes har. De får fram värdena i tabellen.
Vem av tjejerna har rätt?
löSning
För att kunna jämföra priserna med KPI så räknar man ut förändringsfaktorn för både priset och KPI.
Förändringsfaktorn = Nya värdet Gamla
Vi börjar att jämföra åren 2005 och 2010.
Pris: Förändringsfaktorn = Pris år 2010 Pris år 2005 = 4 210 3 700 ≈ 1,138
Det innebär att priset har ökat med ca 13,8 %.
KPI: Förändringsfaktorn = KPI år 2010 KPI år 2005 = 303 280 ≈ 1,082
Det innebär att KPI har ökat med ca 8,2 %.
Det vill säga att mellan åren 2005 och 2010 har priset på Agnes driver ökat mer än priset på andra varor.
Nu jämför vi på samma sätt pris och KPI mellan åren 2005 och 2015.
Pris: Förändringsfaktorn = Pris år 2015 Pris år 2005 = 4 140 3 700 ≈ 1,119
Det innebär att priset mellan 2005 och 2015 har ökat med ca 11,9 %.
KPI: Förändringsfaktorn = KPI år 2015 KPI år 2005 = 313 280 ≈ 1,118
Det innebär att KPI mellan 2005 och 2015 har ökat med ca 11,8 %.
Detta innebär att priset på Agnes driver har följt KPI under de tio åren som de undersökte.
Svar: Om man jämför priserna åren 2005 och 2010 så har Agnes rätt i att hennes driver ökat mer än priset på andra varor. Men om man jämför åren 2005 och 2015 så har Frida rätt i att priset på drivern har följt KPI.
Jämförelse med hjälp av KPI
Nathalies månadslön var 34 600 kronor 2018. År 2023 hade hennes lön stigit till 39 900 kronor.
a) Vilken lön borde Nathalie haft år 2023 om den följt KPI?
b) Hur många procents reallönesänkning fick Nathalie mellan åren 2018 och 2023?
Korrekt elevlösning
År KPI
2018 328,40
2019 334,26
2020 335,42
2021 342,19
2022 371,91
2023 403,70
2024 415,15
a) Förändringsfaktor för index = KPI år 2023 KPI år 2018 = 403,70 328,40 ≈ 1,229
Ny lön år 2023 enligt KPI 34 600 · 1,229 = 42 533,56 ≈ 42 500 kr
Svar: Den nya lönen borde varit ca 42 500 kr.
b) Förändringsfaktor för lön = Lön år 2023 ___________ Lön år 2018 = 39 900 34 600 ≈ 1,153
Reallöneminskning = 1,229 – 1,153 = 0,076
Svar: Reallöneminskningen var ca 7,6 %.
Reallön är den lön du har kvar efter att inflationen har räknats bort från löneökningen. Reallönen är alltså den köpkraft som du har för din lön, det vill säga hur mycket du faktiskt kan köpa för dina pengar.
Reallönesänkning
uppstår om inflationen i samhället är högre än löneökningen. Om du får en löneförhöjning på 3 % ett år och inflationen samtidigt är 5 % så får du en reallönesänkning som motsvarar mellanskillnaden 2 %.
Reallöneökning
uppstår om inflationen i samhället är lägre än löneökningen. Om din lön höjs med 4 % och inflationen är 2,5 % så får du en reallöneökning som motsvarar mellanskillnaden 1,5 %.
3.2.2 Uppgifter
Nivå 1
3213 Vilken eller vilka av följande påståenden är
sant angående KPI?
A KPi är en förkortning av konsumentprisindex
B KPI är en indexserie som visar den genomsnittliga prisutvecklingen i Sverige
C Med hjälp av ett KPI kan man se förändringar i hur mycket det kostar att leva i Sverige år för år.
3214 Vad innebär det att KPI ökar?
3215 I tabellen nedan presenteras KPI för några valda år.
a) Hur många procent ökade KPI med mellan 2020 och 2022?
b) Hur många procent lägre var KPI 2020 jämför med 2022?
c) En bil kostade 350 000 kr år 2018. Vad skulle samma typ av bil kostat år 2023 om priset följt KPI? Avrunda till hela hundratal.
d) En annan bli kostade 700 000 kronor 2023. Vad kostade bilen 2020 om priset följt KPI? Avrunda svaret till hela hundratal.
År KPI
2018 328,40
2019 334,26
2020 335,42
2021 343,19
2022 371,91
2023 403,70
3216 Med hur många procent ökade konsumentprisindex, KPI, under perioderna nedan? Använd dig av tabellen för att lösa uppgiften.
År KPI
1980 100
1990 207,8
2000 260,7
2016 316,43
a) år 1980 till år 1990
b) år 1990 till år 2000
c) år 2000 till år 2016
3217 Amir köpte 2016 en cykel för 6 200 kr. Amirs pappa har en exakt likadan cykel som han köpte 1987 och pappan betalade då 2 550 kr.
Amirs pappa tycker att Amirs cykel är alldeles för dyr. Amir säger att priset är ungefär samma för båda deras cyklar, om man tänker på KPI. Vem har rätt? Motivera.
KPI 1987: 167,0
KPI 2016: 316,4
3218 Tabellen visar KPI för livsmedel för vissa år.
År 1990 kostade 500 g
kaffe 21,70 kr. Vad borde 500 g kaffe kostat år 1980 respektive 2017 om priset följde KPI?
3219 Priset på en barnklippning hos frisören Anna år 2010 var 255 kr. År 2016 kostade motsvarande klippning 266 kr. Har prisutvecklingen följt KPI? Motivera.
KPI år 2010: 303,46
KPI år 2016: 316,43
3220 Priset på en lampa år 2016 var 560 kr. Vad borde lampan ha kostat år 2010 om priset hade följt KPI?
KPI år 2010: 303,46
KPI år 2016: 316,43
Nivå 2
3221 År 2015 sparade Jan 100 000 kronor på ett bankkonto med räntesatsen 1,5 %. Konsumentprisindex (KPI) var 220 år 2015 och 290 år 2023.
a) Hur stor var den procentuella ökningen av KPI från 2015 till 2023?
b) Hur mycket hade pengarna på Jans sparkonto vuxit till år 2023 (baserat på årlig ränta)?
c) Hur stort skulle Jans sparbelopp behöva vara år 2023 för att behålla samma köpkraft som 2015, justerat för inflationen?
3222 Konsumentprisindex (KPI) var 260 år 2015 och 310 år 2023. År 2015 hade Said en månadslön på 32 000 kr.
a) Hur mycket förändrades KPI i procent från 2015 till 2023?
b) Saids lön ökade till 37 000 kr år 2023, hur stor var den procentuella löneökningen?
c) Vad skulle Saids ha haft i lön år 2023 om lönen hade följt KPI?
d) Har Saids köpkraft ökat eller minskat under denna period? Motivera ditt svar genom att jämföra löneökningen med förändringen i KPI.
3223 2010 var löneindex för en viss sektor 105 och 2023 hade det ökat till 130. Under samma period steg konsumentprisindex (KPI) från 250 till 340.
a) Om en person i denna sektor hade en månadslön på 28 000 kr år 2010, vad skulle motsvarande lön varit år 2023 baserat på löneindex?
b) Vad motsvarar den nya lönen (svaret i a) i 2010 års penningvärde?
Nivå 3
3224 Azra hade lönen 28 470 kr år 2000 och lönen 48 213 kr 2023.
Hur många procent har Azras reallön ökat i genomsnitt per år? (Reallön = Lönen om man tar hänsyn till KPI)
KPI 2023: 403,70
KPI 2000: 260,70
3225 2013 fick Malin ut lönen 14 637 kr efter skatt. Skatten var 27 %. 2023 hade Malin högre lön och hon fick ut 17 537 kr efter skatt. Malins reallön har sjunkit med i genomsnitt 0,14 % per år. Hur många procent betalar Malin i skatt 2023?
KPI 2023: 403,70
KPI 2013: 314,06
3.2 Öva
Nivå 1
1 Tabellen visar en indexserie för brevporto.
År Index
1993 100 1996 110
2001 143
a) Vilket år är basår?
b) Hur stor är den procentuella ökningen från 1993 till 1996?
c) Hur stor är den procentuella ökningen från 1996 till 2001?
2 Brevportot var 3,50 kr år 1993.
År Index
1993 100
1996 110
2001 143
Använd indextabellen för att beräkna brevportot.
a) År 1996
b) År 2001
3 Studera nedanstående indextabell och komplettera de index som saknas.. Avrunda till heltal.
År Pris
Index med 1990 som basår
Index med 1995 som basår 1990
4 Från 2012 till 2013 sjönk KPI. Hur stor är förändringen i procent?
Årtal 2012 2013
KPI 314,2 314,1
5 Tabellen visar kostnaden per hushåll för TV-avgifter under åren 2004 till 2008. Gör en indextabell med 2004 som basår.
År Avgifter (kr) Index (basår 2004)
2004 2 410 A
2005 2 690 B
2006 3 180 C
2007 3 460 D
2008 3 770 E
6 Priset på en vara fördubblas på 10 år räknat från dess basår. Vilket indexvärde har varan efter dessa tio år?
7 Tabellen visar antalet elever på grundskolan under åren 2000 till 2006.
Komplettera indextabellen över antalet elever med år 2000 som basår. Avrunda ditt svar till en decimals noggrannhet.
År Antal Index med 2000 som basår
2000 1 051 929 A
2002 1 057 225 B
2004 1 023 724 C
2006 962 349 D
8 1980 kostade en charterresa 1990 kr. Vad skulle den ha kostat år 2012 om priset hade följt KPI?
År 1980 2012
KPI 100 314,2
9 Från 1980 till 2000 ökade biopriserna från 22 kr till 73 kr. Hur ökade biopriserna jämfört med medelvärdet av prisökningen hos andra varor och tjänster? År 1980 är basår och KPI år 2000 är 260,7.
10 2004 kostade en matkasse 245 kr. Vad kostade en matkasse med motsvarande varor 20 år tidigare enligt KPI?
År 1980 1981 1982 1983 1984 – 2004
11 KPI beräknas för varje kalendermånad och publiceras på SCB:s hemsida. För december månad år 2010 var KPI 308,73 medan KPI för år 2010 var 303,46. Vilken av nedanstående förklaringar är korrekt?
A Människor handlar mer under december månad och då höjs KPI.
B KPI för ett år är ett genomsnittligt värde för hela året.
C Ett av värdena måste vara felaktigt.
Nivå 2
12 En familj betalade 900 kr för en matkasse år 2024. Ungefär hur många likadana matkassar hade familjen fått för samma belopp år 1983?
År 1980 1981 1982 1983 1984 – 2024
13 Vårt senaste konsumentprisindex har 1980 som basår. Innan dess fanns det KPI med 1914 och 1949 som basår. Att 1914 inte har 100 som index beror på att indexvärdet fastställdes i juli och hann öka så att medelvärdet under året blev 100,1.
Bestäm A, B och C.
År KPI(1914) KPI(1949) KPI(1980) 1914 100,1
14 I tabellen visas en indexserie över medelpriset på skor och kläder i Sverige. Indexserien har 1980 som basår.
År
a) Vilket av ovanstående år var kläder och skor billigast?
b) Vilket år var kläder och skor dyrast?
c) Vad kostade ett klädesplagg år 2004 om det kostade 249 kr år 1980 och priset har följt index?
d) Vad kostade ett klädesplagg år 1980 om det kostade 249 kr år 2008 och priset har följt index?
e) Daniel gör en ny indexserie med år 2004 som basår. Vilket år blir då index ca 98,4?
3.2 Öva
15 Vad fick man enligt KPI betala
a) år 2010 för en vara som 1949 kostade 100 kr?
b) år 1914 för en vara som 2010 kostade 100 kr?
År KPI(1914) KPI(1949) KPI(1980)
1914 100,1
1949 256,0 100,0
1980 1462,0 571,0 100,0
2010 4437,0 1733,0 303,46
16 Tabellen visar KPI och genomsnittlig grundlön i Sverige under några år.
a) Komplettera tabellen med en ny konsumentprisindexserie med 2004 som basår.
b) Hur mycket har lönen ökat procentuellt från 2004 till 2007?
c) Hur stor är motsvarande ökning av KPI?
d) Vad hade lönen varit år 2007 om den följt KPI?
År KPI Lön (kr/månad) KPI (basår 2004)
2004 279,20 22 600 A
2005 280,40 23 300 B
2006 284,22 24 000 C
2007 290,51 24 700 D
2008 300,61 26 000 E
17 Index för elektronikvaror och optik var 110,0 för år 2004 och 78,9 för år 2008 med 2005 som basår. En dator kostade 5 980 kr 2008. Vad kostade den år 2004 enligt index?
18 I ett land ökar KPI med 29 enheter under en femårsperiod. Samtidigt ökar priset på hamburgare från 72 kr till 78 kr. Det visar sig att priset på hamburgare följer KPI under den perioden. Bestäm KPI vid periodens slut.
19 En familj köpte en sommarstuga år 1980 för 120 000 kr och byggde sedan till den år 2000 vilket ökade värdet med 75 000 kr. Beräkna stugans värde år 2014 om värdet har följt KPI. Avrunda ditt svar till hela tusental. KPI för år 2000 var 260,8 och KPI för 2014 var 313,4 med 1980 som basår.
20 Johan har prenumerat på en biltidning i 5 år. Han funderar på hur priset har förändrats från det år då han började prenumera på tidningen. I nedanstående tabell ser du kostnaden för prenumerationen för respektive år. Din uppgift är att skapa en indexserie som visar hur priset har förändrats från år 1 (basår). Svara med heltal.
År Pris (SEK) Index 1
A
B
C
D
720 E
Nivå 3
21 När Rebeccas mormor gick i pension 2005 hade hon en månadslön på 41 970 kr. Vad hade hon för lön när hon anställdes 1964 om vi antar att den följt KPI under hela anställningen? Använd KPI-tabellerna nedan.
KPI(Basår 1980)
År 1980 1990 2000 2005
Index 100 208 261 280
KPI(Basår 1914)
År 1914 1924 1964 1980
Index 100 174 463 1 461
22 Hur mycket mer kostade Högakustenbron per meter räknat i 2020 år penningvärde jämfört med Ölandsbron? KPI 2020 var 335,9.
Ölandsbron Höga kusten bron
Byggår 1972 1997
Pris 130 miljoner 2 110 miljoner
Längd 6 072 m 1 876 m
KPI 47 257
23 Ett hus köptes 1975 för 180 000 kr. Sedan renoverades det 1984 för 50 000 kr och ytterliggare en stor renovering skedde 2010 för
360 000 kr. Vad borde huset vara värt 2020 om man tänker sig att prisutvecklingen följt KPI?
År 1975 1984 2010 2020
Index 60,8 143 303 336
24 Går man in på SCB och tittar på KPI utvecklingen så finns det olika upplagor av den med olika basår. En av dem har 1949 som basår och i den har år 2020 indexet 1918. I en annan tabell används 1980 som basår då och där har år 2020 indexet 336.
Med hur många procent steg prisnivån i genomsnitt per år mellan 1949 och 1980?
3.3 Lån och ränta
Att låna pengar kostar pengar. När man betalar tillbaka ett lån betalar man både ränta och amorteringar. Ränta är den avgift som man betalar för att få låna pengar och den anges med en räntesats i procent (vanligtvis årsvis). Amortering innebär att man gradvis betalar tillbaka alla pengarna som man lånat.
3.3.1 Lån, ränta och amortering
När man lånar pengar så bestämmer man över hur lång tid lånet ska löpa (amorteringstid) och hur man ska återbetala lånet (amortera).
Om man har tagit ett lån på 12 000 kr och ska betala tillbaka lånet på tolv månader med rak amortering så amorterar man 12 000 12 = 1 000 kr per månad som en fast avgift. Vid varje inbetalning betalas även ränta. Räntan beror på hur stor del av lånet som återstår. Det innebär att räntekostnaden är som störst vid den första återbetalningen. Räntekostnaden sjunker sedan i takt med att lånet minskar via amortering.
Årsränta Kostnaden i kronor för att låna pengar under ett år.
Räntesats Den procentuella kostnaden för att låna pengar under ett år. Kallas även årsräntesats.
Månadsräntesats Räntesatsen dividerat med 12
Kvartalsräntesats Räntesatsen dividerat med 4.
Fast ränta När man binder räntesatsen under en tidsperiod. Räntesatsen kan inte ändras av banken under denna tid.
Rörlig ränta Räntesatsen kan korrigeras av banken kontinuerligt. En rörlig ränta kan medföra en viss osäkerhet om hur stora lånekostnaderna blir.
Amortering En återbetalning av en del eller hela lånebeloppet. Vanligtvis amorteras lån varje månad enligt en överenskommen plan med banken.
Rak amortering Amorteringsbeloppet är konstant. Det innebär att den totala omkostnaden för ett lån successivt minskar eftersom räntekostnaderna minskar efterhand som lånet betalas av.
Annuitetslån En låneform där amorteringarna är lägre i början då räntekostnaderna är som högst, för att månadskostnaden ska vara konstant.
Skattereduktion Om man har en inkomst och därmed betalar skatt får man dra av en del av av sina räntekostnader på den skatt man ska betala.
Lånekostnad Den totala kostnaden för ett lån minus amortering.
Vi tittar på ett exempel:
Bertil tar ett lån på 500 000 kr. Lånet löper på 5 år och ska amorteras lika mycket varje år. Årsräntan är 7 % och räntan betalas en gång per år (vid varje amortering).
Hur mycket har Bertil betalat totalt till banken under de fem åren?
År Lån kvar att betala (kr) Amortering (kr) Ränta att betala (kr) Att betala (kr)
Lånet Bertil tog var på 500 000 kr. För att ta reda på hur mycket Bertil har betalat utöver lånet så subtraherar vi 500 000 kr från 605 000 kr. Det innebär att kostnaden för att ta lånet var 105 000 kr.
Totalt har Bertil betalat 605 000 kr till banken varav 105 000 kr var kostnaden för att få låna pengarna.
X Snabbkoll
Ante tar ett lån på 2 400 kronor. Lånet löper på 5 år och ska amorteras med lika stora belopp varje år. Årsräntesatsen är 5 %. Hur mycket ska Ante
a) amortera vid varje inbetalning
b) betala i ränta vid den första inbetalningen
c) totalt betala vid den första inbetalningen
d) betala i ränta vid den andra inbetalningen
e) totalt betala vid den andra inbetalningen
3.3.1 Exempel
Kostnader för ett banklån
Linnea lånar 180 000 kr för att kunna köpa en begagnad bil.
● Lånet löper på 10 år och ska amorteras med lika mycket varje månad.
● Årsräntesatsen är 7,2 % och den inbetalas varje månad.
a) Hur stor blir den första inbetalningen om den sker efter precis en månad?
b) Hur stor blir den sista inbetalningen?
löSning
a) Tid: 10 år = 10 · 12 mån = 120 mån Eftersom Linnea ska amortera varje månad så måste vi ha tiden i månader.
Amortering per månad: 180 000 120 = 1500 kr
Månadsräntesats = 7,2 % 12 = 0,60 %
Räntekostnad den första månaden:
0,0060 · 180 000 kr = 1 080 kr
Inbetalning den första månaden:
Räntesatsen på ett år var 7,2 % vilket ger att räntesatsen på en månad fås genom att dividera 7,2 % med 12.
b) Vid den sista inbetalningen återstår det endast 1 500 kr av skulden.
Räntekostnad den sista månaden:
0,60 % av 1 500 kr = 9 kr
Inbetalning den sista månaden:
1 500 kr + 9 kr = 1 509 kr (amortering+ränta)
Svar: Den sista inbetalningen blir 1 509 kr.
Nivå 1
3301 Hur stor blir årsräntan i kronor om du lånar 7 000 kr och räntesatsen är 12 %?
3302 Du har pengar på ett sparkonto i en bank som ger räntesatsen 2,5 %. Hur mycket har du på kontot efter ett år om du från början har 37 000 kr?
3303 Bella har 23 000 kr på ett konto. I slutet av förra året fick hon 322 kr i ränta. Vilken räntesats har kontot? Avrunda.
3304 Ett lån har räntesatsen 3,6 %.
a) Vad blir motsvarande månadsräntesats?
b) Vad blir motsvarande kvartalsräntesats?
3305 Saraf lånar 1,8 miljoner kr för att köpa ett hus. Lånet har löptiden 30 år.
a) Hur mycket ska Saraf amortera varje år?
b) Räntesatsen på kontot är 4,0 %. Hur mycket blir räntan första året?
c) Hur mycket pengar ska Saraf betala in till banken efter ett år?
3306 Maja ska köpa sin första bil och måste ta ett lån på hela beloppet, 30 000 kr. Lånet ska betalas tillbaka på fem år. Räntesatsen på lånet är 4 % och Maja ska amortera 6 000 kr per år. Hur mycket mer än 30 000 kr kommer Maja ha betalat banken när hela lånet är betalat?
3307 Ett lån på 30 000 kr ska amorteras en gång i månaden under ett år. Varje månad betalas även ränta. Den första inbetalningen är på 2 700 kr. Hur stor är månadsräntesatsen?
3308 Vi har skapat ett kalkylark för att lösa en avbetalningsuppgift enligt ovan. Vilka formler har vi skrivit i de markerade rutorna?
a) Ruta B5 b) Ruta D6
c) Ruta E8 d) Ruta D11
3309 Vilka tal kommer det att stå i cellerna?
a) B5 b) E5 c) C8
d) D5 e) C5
3310 Per ska betala en skuld på 2 000 kr på fyra månader. Han ska amortera lika mycket varje månad och månadsräntesatsen är 3 %. Hur mycket ska han betala den första månaden?
3.3.1
Uppgifter
Nivå 2
3311 Anna tog ett SMS-lån på 3 000 kr. Administrationskostnaden var 600 kr och lånet skulle betalas inom en månad. Vilken årsräntesats hos ett vanligt banklån motsvarar extrakostnaden på 600 kr?
3312 Vi har lånat 270 000 kr för att köpa en andel i en segelbåt. Lånet ska betalas av på 12 år med 12 lika stora amorteringar. Räntesatsen är 5,3 %. Beräkna räntekostnaden med hjälp av ett kalkylprogram.
3313 Pernilla och Peter har lånat 75 000 kr för att åka på en drömresa till Thailand. Lånet ska betalas av på ett halvår med en inbetalning varje månad. Årsräntesatsen är 8,6 %.
Hur mycket pengar kommer de betala in till banken totalt under det här halvåret?
3314 Juliana ska låna 1,2 miljoner för att köpa en båt. Hon får två olika alternativ.
Nbank erbjuder räntesatsen 6,0 % och avbetalningstiden 6 år.
Sbank erbjuder räntesatsen 5,0 % och avbetalningstiden 12 år.
a) Hur stor är skillnaden i första inbetalningen?
b) Hur stor är skillnaden i räntekostnad mellan lånen?
c) Diskutera vilka fördelar de två lånen har.
Nivå 3
3315 Pela tar ett lån på 420 000 kr. Lånet ska betalas tillbaka på 5 år med lika stora månadsvisa inbetalningar. Den sjunde månadsinbetalningen är 10 024 kr. Vilken årsräntesats har lånet?
3316 Alvida får låna 2 400 kr i ett SMS-lån för att göra en tatuering. Lånet ska återbetalas på ett år med månadsvisa inbetalningar. Räntesatsen är 18,0 %. Dessutom tillkommer 50 kronor för varje inbetalning i aviavgift.
a) Hur mycket kommer tatueringen totalt ha kostat?
b) Vilken "årsräntesats" motsvarar lånet?
3.3.2 Avbetalning och kredit
Då man handlar på kredit eller köper varor på avbetalning så köper man en vara som man ska betala av i efterhand.
Varje dag ser man erbjudanden om lån, krediter och avbetalningsköp.
Om man tar ett lån eller handlar på kredit så måste man läsa det finstilta. Många har blivit lurade och hamnat i avbetalningsfällor som de inte klarar av.
Avbetalning
Det är vanligt med erbjudanden om att köpa varor på avbetalning. Man får göra ett antal delbetalningar istället för att betala hela summan vid köptillfället. Ofta blir totalkostnaden för varan betydligt högre, eftersom det tillkommer uppläggningskostnad och aviavgifter.
Effektiv ränta
Effektiv ränta visar den totala kostnaden för ett lån, inklusive räntor och avgifter. Den ger en tydligare bild av hur dyrt lånet egentligen är, och används för att jämföra olika lån.
Kredit
Ett annat sätt att skjuta upp betalningar är att handla på kredit. Det innebär att man kan ha en skuld på sitt kreditkonto och att man kontinuerligt betalar ränta på den aktuella skulden. Kreditskulder har ofta en betydligt högre räntesats än till exempel räntesatsen på bostadslån.
”Räntefria lån”
Så kallade SMSlån eller snabblån lockar med att vara räntefria men de har oftast en mycket hög effektiv ränta på grund av höga uppläggningsavgifter och aviavgifter. Dessa avgifter gör att lånen kan bli riktigt dyra jämfört med ett vanligt banklån med lite högre ränta utan avgifter vid sidan om.
X Snabbkoll
1 Vad innebär effektiv ränta?
2 Varför kan det vara farligt att betala på kredit och att köpa varor på avbetalning?
Man bara ska låna pengar för att köpa hus och lägenheter eller möjligen en bil. Inte konsumtionsvaror som elektronik och kläder.
3.3.2 Exempel
Avbetalningslån
Anders köper en ny gamingskärm för 3 000 kr. Han väljer delbetalningar enligt villkoren nedan.
Lånebelopp 3 000 kr 5 000 kr 10 000 kr
Månadsbelopp vid 24 månader 190 kr 290 kr 542 kr
Månadsbelopp vid 36 månader 175 kr 217 kr 399 kr
Välj mellan 24 och 36 månaders återbetalningstid.
Uppläggningsavgiften på 245 kr tillkommer vid 24 månaders återbetalningstid men ingår i månadsbeloppet vid 36 månaders återbetalningstid.
Aviavgiften är 25 kronor per månad.
Lånebelopp 3 000 kr 5 000 kr 10 000 kr
Aktuell årsräntesats är 17,5 %.
Månadsbelopp vid 24 månader 190 kr 290 kr 542 kr
Två betalningsfria månader per kalenderår.
Månadsbelopp vid 36 månader 175 kr 217 kr 399 kr
a) Bestäm den totala kostnaden med 24 månaders återbetalningstid.
b) Bestäm den totala kostnaden med 36 månaders återbetalningstid.
c) Hur mycket dyrare blir det procentuellt att avbetala på 36 månader än att köpa kontant?
löSning
a) Två betalningsfria månader per år innebär att 20 inbetalningar görs på två år. Varje månad betalar han 190 kr samt en aviavgift på 25 kr, totalt 215 kr per månad. Slutligen så tillkommer en uppläggningsavgift på 245 kr.
Total kostnad: 20 · 215 kr + 245 = 4 545 kr
Svar: 4 545 kr
b) Två betalningsfria månader per år innebär att 30 inbetalningar görs på tre år. Varje månad betalar han 175 kr samt en aviavgift på 25 kr, totalt 200 kr per månad.
Total kostnad: 30 · 200 kr = 6 000 kr
Svar: 6 000 kr
c) Avbetalning på 36 månader kostar 6 000 kr och kontantbetalning kostar 3 000 kr.
Förändringsfaktorn = 6 000 3 000 = 2
En förändringsfaktor 2 ger oss att den procentuella ökningen är 100 %.
Svar: Det blir dubbelt så dyrt (100 % dyrare).
Effektiv ränta
Marco tar ett snabblån på 4 000 kr. Lånetiden är en månad och avgiften är 550 kr.
a) Vilken månadsräntesats motsvarar avgiften?
b) Vilken effektiv räntesats (enkel årsräntesats) motsvarar avgiften om den är lika stor varje månad?
Svar: Månadsräntesatsen är 13,75 % vilket motsvarar en effektiv räntesats (enkel årsräntesats) på 165 %.
Kreditlån
Estelle jämför kreditlån med ett vanligt banklån på 40 000 kr.
För kreditlån är årsräntesatsen 22,24 % och hon planerar att använda 75 % av krediten. För vanligt banklån är årsräntesatsen 8 %.
Hur mycket dyrare blir det att ta ett kreditlån i jämförelse med ett vanligt banklån under ett år? (Räntesatserna är hämtade från en bank vid samma tillfälle.)
Korrekt elevlösning
Kreditlån
75 % av 40 000 kr = 0,75 · 40 000 kr = 30 000 kr
Räntekostnad för ett år med 22,24 % räntesats:
0,2224 · 30 000 kr = 6 672 kr
Banklån
Räntekostnad för ett år med 8 % räntesats:
0,08 · 40 000 kr = 3 200 kr
Skillnad mellan kreditlån och banklån: 6 672 kr − 3 200 kr = 3 472 kr
För att bestämma hur många procent dyrare kreditlånet är än banklånet beräknas vi förändringsfaktorn 6 672 _____ 3 200 ≈ 2,085 vilket innebär att kreditlånet
är ca 108,5 % dyrare än banklånet.
Svar: Det kostar 3 472 kr mer att handla på kredit än att ta ett lån på banken. Det är 108,5 % dyrare.
3.3.2 Uppgifter
Nivå 1
3317 Stina tar ett lån på 18 000 kr där årsräntesatsen är 8,4 %. Lånet ska betalas tillbaka på två år med lika stora amorteringar varje månad. Uppläggningsavgiften är 290 kr och aviavgiften är 60 kr.
a) Hur mycket ska hon amortera varje månad?
b) Hur mycket ska hon betala den första månaden?
3318 En vara kostar 3 400 kr kontant. Man kan välja att delbetala varan med 340 kr per månad i ett år.
a) Hur mycket dyrare blir varan med delbetalningar?
b) Hur många procent dyrare är det?
3319 Ett lån på 2 400 kr med månadsräntesatsen 3,0 % ska avbetalas på tre månader. Aviavgiften är 29 kr och lånets uppläggningsavgift är 100 kr. Tabellen visar de två första månadernas beräkningar. Gör en liknande tabell och fyll i rätt tal.
Skuld Amortering Ränta aviavgift att betala 2 400 1
3320 Bella ska köpa sig en ny mobil. Hon kan välja mellan att betala kontant (7 990 kr) eller med avbetalning (350 kr/månad i 24 månader). Uppläggningssavgiften är 40 kr och aviavgiften är 20 kr.
Hur mycket dyrare blir det med avbetalning än att betala kontant?
3321 Anna tar ett räntefritt lån på 5 000 kr. Lånet ska återbetalas på ett år med lika stora amorteringar varje månad. Uppläggningsuppgiften är 180 kr och aviavgiften är 49 kr. Beräkna den effektiva räntesatsen för lånet.
3322 Ett företag annonserar på följande sätt: Köp en ny tvättmaskin för 12 200 kr på avbetalning till samma pris som kontant! Betala endast 400 kr/månad i 36 månader! Aviavgift på 40 kr tillkommer. Hur förändras den sammanlagda kostnaden vid avbetalning jämfört med kontantköp?
A Ingen förändring
B Ökar med ca 5 %
C Ökar med ca 20 %
D Ökar med ca 30 %
E Ökar med ca 40 %
3323 Tim blir erbjuden att låna 4 000 kronor av sin kompis om han lovar att betala tillbaka 5 500 kronor efter tre månader. Vilken årsräntesats motsvarar den kostnad som Tim ska betala sin kompis?
3324 Ett lån med löptiden 3 år amorteras med 2 500 kr/månad. Lånets räntesats är 4,8 % och aviavgiften är 30 kr.
a) Hur stort var lånet?
b) Hur stor var månadsräntesatsen?
c) Hur mycket ska man betala i ränta första månaden?
d) Hur stor var inbetalningen den första månad?
2
3325 Tyra tar ett lån på 460 000 kr för att köpa en elbil. Bilfirman erbjuder henne ett lån med 6,8 % räntesats och 3 års löptid. Uppläggningsavgiften är 250 kr och dessutom tillkommer 39 kr i aviavgift varje månad.
a) Hur mycket betalar Tyra första månaden?
b) Hur mycket kommer Tyra att ha betalt för lånet efter 3 år?
3326 Abdu tar ett lån på 190 000 kr för att köpa en bil. Bilfirman erbjuder honom ett lån med 7,8 % räntesats och amorteringen 5 000 kr i månaden. Uppläggningsavgiften är 250 kr och dessutom tillkommer 39 kr i aviavgift varje månad.
a) Hur mycket betalar Abdu första månaden?
b) Hur många månader kommer han att betala på lånet innan det är färdigamorterat?
c) Hur stor är lånekostnaden?
3327 Henrik ska köpa en begagnad båt men han har inte tillräckligt med pengar för att köpa den kontant. Han vet att båtfirman ökar priset med 20 % om en båt ska betalas med en fast månadsavgift under tre år istället för kontant. Dessutom tar firman ut en avgift på 50 kr vid varje betalningstillfälle.
a) Hur stor blir månadsavgiften för en båt som kostar 68 000 kr kontant?
b) Henrik köper båten på avbetalning. Hur mycket har han totalt betalat för båten efter de tre åren?
c) Hur mycket högre, procentuellt sett, är den totala kostnaden för båten vid avbetalning jämfört med kontant?.
3.3.2 Uppgifter
3328 Ett lån med löptiden 5 år amorteras med 2 000 kr i månaden. Aviavgiften är 39 kr. Andra månaden betalar man in 2 973 kr. Vilken räntesats har lånet?
Nivå 3
3329 Du har fått jobb på ett företag som säljer elprodukter. Chefen vill att du ska fylla i rätt belopp (A) i hennes text:
Om du lånar 10 000 kr och amorterar lika mycket på lånet varje månad under ett år blir det totala beloppet att betala A kr.
Villkor:
Räntor och avgifter Årsavgift 0 kr
Årsräntesats 22,43 %
Administrativ avgift 39 kr/mån
3330 Alana lånar 9 500 kr med räntesatsen 44,0 % och löptiden 10 månader. Det tillkommer 1 105 kr i uppläggningsavgift och totalt 600 kr i aviavgifter. Hur stor är lånekostnaden?
3.3 Öva
Nivå 1
1 Pelle lånade 60 000 kr för att köpa maskiner till sin firma. Han skulle betala lånet på fem år med rak amortering och en inbetalning per månad. Årsräntesatsen var 6,0 %.
a) Hur stor var varje amortering?
b) Hur stor var månadsräntesatsen?
c) Hur stor var räntekostnaden vid den första inbetalningen?
3 Anna ska köpa en ny TV och hittar ett bra erbjudande för 16 799 kr. Anna kan välja mellan att köpa TV:n kontant eller så kan hon få betala 433 kr/månad i fem år.
a) Hur mycket dyrare blir det att välja avbetalningar istället för att betala kontant?
b) Hur mycket dyrare blir det procentuellt?
2 Petra tar ett lån på 200 000 kr. Årsräntesatsen
är 3 %. Petra ska betala av lånet en gång per år under 5 år med lika stora amorteringar varje år. Trots detta så säger Petra att hon inte kommer att betala lika mycket varje år. Har Petra rätt? Motivera.
4 Marie tog ett banklån på 2 400 000 kr till sitt hus och med årsräntesatsen 4,8 %. Hon valde 40 års amorteringstid och rak amortering. Ränta och amortering betalas en gång per månad.
a) Hur stor blir månadsräntesatsen?
b) Hur mycket ska betalas in den första månaden?
c) Hur mycket ska betalas in den andra månaden?
5 Adnan tar ett lån på 300 000 kr. Lånet löper på 5 år och ska amorteras med lika mycket varje år. Årsräntesatsen är 8 % och räntan betalas en gång per år (vid varje amortering). Hur mycket utöver själva lånet har Adnan betalat efter de 5 åren?
Använd ett kalkylprogram för att lösa uppgiften.
6
Tom skulle fira sin födelsedag med en jorden-runt-resa och lånade 100 000 kr. Han fick ett lån på tio år med räntesatsen 6,4 %. Tom valde att betala ränta och rak amortering en gång per kvartal.
a) Hur stor blir kvartalsräntesatsen?
b) Hur stor sammanlagd inbetalning gjorde han vid den första betalningen?
c) Hur stor blev den allra sista inbetalningen?
7 Amir tar ett lån på 3 000 kr. Han betalar tillbaka lånet efter en månad; inklusive ränta och andra avgifter kostar det honom 3 300 kr. Beräkna den effektiva räntan.
8 Pelle ska köpa en ny bil men han har inte tillräckligt med pengar för att köpa den kontant. Han vet att bilfirman ökar priset med 13 % om en bil ska betalas med en fast månadsavgift under tre år istället för kontant. Dessutom tar firman ut en avgift på 60 kr vid varje betalningstillfälle.
a) Hur stor blir månadsavgiften för en bil som kostar 189 000 kr kontant?
b) Hur mycket har Pelle totalt betalat för bilen efter de tre åren?
c) Hur mycket högre, procentuellt sett, är den totala kostnaden för bilen vid avbetalning jämfört med kontant?
9 Ett vitvaruföretag gav följande erbjudande:
Vilket alternativ motsvarar förändringen av den sammanlagda kostnaden vid avbetalning jämfört med kontantköp?
A Ingen förändring
B Ökar med 0,5 %
C Ökar med 2 %
D Ökar med 20 %
E Minskar med 20 %
10 Vad ska det stå för siffror istället för A, B och C?
3.3 Öva
Nivå 2
11 Ida lånade pengar för att kunna studera utomlands. Lånet skulle återbetalas kvartalsvis inom 15 år. Hon fick sitt första inbetalningsbesked från banken, i beskedet stod det att hon skulle betala 1 200 kr i amortering och 900 kr i ränta.
a) Beräkna lånets storlek.
b) Beräkna årsräntesatsen för lånet.
12 Axel har en kredit med månadsräntesatsen 1,8 %. Under en månad är Axels skuld 7 800 kr i 15 dagar, 8 800 kr i tio dagar och 9 500 kr i fem dagar. Hur stor blir räntekostnaden den månaden? Räkna med att en månad har 30 dagar i denna uppgift.
13 Du tar ett lån på 270 000 kr med räntesatsen 12 % och löptiden 3 år. Du betalar tillbaka lånet med 3 årliga amorteringar.
a) Hur stor blir amorteringen?
b) Hur stor blir räntan första året?
c) Hur stor blir den totala inbetalningen första året?
d) Hur stor blir den totala inbetalningen andra året?
e) Hur stor är den totala lånekostnaden?
14 Ett lån löper på 4 år med årliga amorteringar. Första året är amorteringen 50 000 kr och räntan 16 000 kr.
a) Hur stort är lånet?
b) Vilken är räntesatsen?
c) Hur stor blir den totala inbetalningen andra året?
15 Emilia vill ansöka om en kredit med årsräntesatsen 22,5 %. Hon tror sig ha råd att betala 150 kr i ränta varje månad.
a) Vilket kreditbelopp bör hon högst ansöka om?
b) Hur stort banklån med årsräntesatsen 6 % kan hon ta för att få samma räntekostnad?
16 Victor fick ett amorteringsfritt lån på 10 000 kr. Årsräntesatsen var 12 %. Han hade ett speciellt avtal med banken, som innebar att han inte betalade månadsränta utan att skulden istället räknades upp med en procent (månadsräntesatsen) varje månad.
a) Hur stor var skulden efter en månad?
b) Hur stor var skulden efter två månader?
c) Hur stor var skulden efter ett år?
d) Hur mycket hade skulden ökat procentuellt under ett år?
17 Jonas tog ett lån på 20 000 kr som skulle betalas av på ett år med en inbetalning per kvartal. Årsräntesatsen var 8,0 %. Vad blev den sammanlagda räntekostnaden för lånet efter korrektion för skattereduktion med 30 % av inbetalad ränta?
Nivå 3
18 En kredit på 10 000 kr har månadsräntesatsen 1,5 %.
a) Hur stor blir månadsräntan om krediten utnyttjas maximalt?
b) Hur mycket högre blir kostnaden för månadsräntan om krediten i medelvärde utnyttjas till 60 % jämfört med att låna 10 000 kr med en månadsräntesats på 0,5 %?
c) Hur mycket högre blir räntekostnaden procentuellt för krediten om den utnyttjas till 60 % jämfört med ett vanligt lån som i b-uppgiften?
19 Ola tar ett lån på 1 000 000 kr. Lånet löper på 5 år och ska amorteras med lika mycket varje år. Räntesatsen är 8 % och räntan betalas en gång per år (vid varje amortering). Hur mycket har Ola betalat totalt till banken under de fem åren?
Lös uppgiften med hjälp av ett kalkylprogram.
20 Anna tar ett lån på 50 000 kr och hon ska amortera 3 000 kr i månaden till en årsräntesats på 3 %. Hur lång tid kommer det ta för henne att betala av lånet?
Lös uppgiften genom att använda dig av ett kalkylprogram.
21 Använd ett kalkylprogram för att beräkna lånekostnaden för ett lån på 2 400 000 kr med 20 års löptid och månadsvisa amorteringar. Om den första månadens inbetalning är 18 400 kr.
Tips
● Beräkna amorteringen
● Beräkna räntesatsen
22 Ett lån på 4 500 000 kr med 30 års löptid och månadsvisa amorteringar och räntesatsen 6 %.
a) Hur stor blir lånekostnaden?
b) Hur mycket pengar sparar man om man lyckas förhandla ner räntesatsen till 5 %?
c) Hur mycket pengar sparar man om man dessutom lyckas amortera 2 500 kr extra i månaden?
23 Ett lån på 850 000 kr återbetalas på 10 år med rak amortering varje kvartal. De första 3 åren är räntesatsen 3,5 % därefter ökas den till 5,2 % i 3 år. De sista 4 åren är räntesatsen 7,1 %. Beräkna den totala lånekostnaden.
3 Blandade övningar
Nivå 1
1 En affär höjde först sina priser med 20 % för att senare ge en rabatt på 20 % vid en realisation. Varorna kostade då mindre efter prisändringarna. Varför?
A Rabatten blev större än prisökningen eftersom rabatten räknades på ett högre belopp.
B Prisökningen blev större än rabatten eftersom rabatten räknades på ett högre belopp.
C Varorna måste kosta lika mycket som före ändringarna eftersom det är samma procentuella ökning som minskning.
2 Ett lån på 24 000 kr ska amorteras en gång i månaden under ett år. Varje månad betalas även ränta. Årsräntesatsen är 5 %. Hur stor blir den första månadsinbetalningen?
3 Efter en viktökning på 4,0 % vägde Johan 78 kg. Vad vägde han innan han ökade i vikt?
4 Om en förändringsfaktor är positiv har det alltid skett en ökning. Sant eller falskt?
5 Ett lån på 24 000 kr återbetalas på ett år med en amortering per månad. Varje amortering är lika stor och årsräntesatsen är 6 %. Vilket eller vilka påståenden är sanna?
A Räntekostnaden är lika stor varje månad.
B Den sista inbetalningen är 2 010 kr.
C Varje amortering är 2 000 kr.
D Den första inbetalningen är 2 500 kr.
6 Vid en prissänkning blev förändringsfaktorn 0,80. Det ursprungliga priset var 200 kr. Hur beräknar man det nya priset?
A Man dividerar 200 med 0,80.
B Man multiplicerar 0,20 med 200.
C Man dividerar 200 med 1,20.
D Man multiplicerar 0,80 med 200.
7 Mia älskar chokladbollar och ska bjuda sin släkt på det godaste hon vet. Hon har bjudit in 17 personer och har ett recept som är beräknat till 8 personer. Gör om receptet åt henne med hjälp av ett kalkylprogram och avgör hur mycket av varje ingrediens som behövs till 17 personer.
Ingredienser 8 personer
smör 100 gram
socker 120 gram
kakao 45 gram
vanlijsocker 15 gram
havregryn 300 gram
kaffe 30 gram
8 Ett lån på 12 000 kr amorteras med 3 000 kr per kvartal. Hur stor är den första inbetalningen om räntesatsen är 6,0 %?
9 En bilhandlare har gjort följande kalkylark för att visa en kund som har köpt en bil hur lånet kommer att utvecklas. Visa din förståelse för kalkylarket genom att ange formeln som ska stå i rutorna A,B,C,D och E.
Nivå 2
10 Ett företag producerar en produkt vars försäljningssiffror förändras på olika sätt under flera perioder. År 2015 sålde företaget 50 000 enheter. De två följande åren ökade försäljningen årligen med 5%. År 2018 genomfördes en marknadsföringskampanj som ökade försäljningen ytterligare med 20%. Sedan minskade försäljningen med 10 % per år under fem år på grund av ökad konkurrens. Hur många enheter sålde företaget under 2023?
11 En varas pris höjs med 30 % och sänks därefter med 10 %. Tänk dig istället att priset på varan först höjs med 10 %. Hur ska priset sedan förändras för att varan ska få samma slutpris?
12 Värdet på en aktie ökar med p %. Skapa ett uttryck för förändringsfaktorn.
13 Anna skulle sälja sitt hus med hjälp av en mäklare. Arvodet till mäklaren är 7 % av försäljningspriset. Anna räknade ut att om hon kunde sälja huset för utgångspriset så skulle hon få 2 976 000 kr efter avdrag för arvodet till mäklaren. Priset blev 250 000 kr lägre än utgångspriset. Vad blev mäklarens arvode?
14 I en sportaffär såldes i april månad alla fotbollsskor med 20 % rabatt. En kund betalade 1 300 kr för ett par fotbollsskor. Vad kostade dessa skor innan prissänkningen?
15 Ett lån på 30 000 kr ska amorteras en gång i månaden under ett år. Varje månad betalas även ränta. Den första inbetalningen är på 2 700 kr.
Vilken beräkning ger årsräntesatsen i procent för lånet?
A 1200 · (2 700 - 30 000/12) / 30 000
B (2 700 - 30 000/12) · 12
C (12 · 2 700 - 30 000) / 12
D 12 · (2 700 - 30 000/12) / 30 000
16 En förpackning har formen av ett rätblock. Sidan a förlängs med 20 % och sidan b med 30 %. Med hur många procent ska höjden minskas för att volymen inte ska ändras?
17 Index för elektronikvaror och optik var 110,0 för år 2004 och 78,9 för år 2008 med 2005 som basår. Ett par glasögon kostade 7 800 kr 2008. Vad kostade de år 2004 enligt index?
18 Ett åkeri har köpt in en ny långtradare för 1,76 miljoner. De betalar 200 000 kr i handpenning och tar ett lån med räntesatsen 5,6 % på resten av beloppet. Lånet betalas av med 6 lika stora avbetalningar på 6 år.
Hur stor blir räntekostnaden totalt?
3 Blandade övningar
19 I en stad steg bostadspriserna med 10 % ett år och 20 % nästa år, men det tredje året sjönk priserna med 30 %. Då köpte Hussein en villa för 3,2 miljoner kronor. Hade det varit billigare eller dyrare att köpa villan tre år tidigare?
Nivå 3
20 Biblioteket i en stad tycker att de har för få besökare och ger sig ut på stan för att göra en undersökning av invånarnas läsvanor. Undersökningen visar att 30 % varken läser böcker eller tidningar. Av de som läser så läser 30 % av dem böcker och 75 % av dem läser tidningar. Hur många procent av befolkningen läser både böcker och tidningar?
21 Ett företags styrelse består av 18 män och 2 kvinnor. Hur många män måste lämna styrelsen för att andelen män ska minska till 80 %?
22 Erika har 31 928 kr i månadslön. Den nyanställda Wilma förhandlar till sig 33 000 kr. Efter en lönerevision ökar Erikas månadslön med x % och Wilmas minskar med x %. Erikas nya lön är 1 200 kr högre än Wilmas nya lön. Bestäm talet x.
23 En kvadrats sidor ökar eller minskar med 5 %. Hur många procent större är kvadratens största möjliga area jämfört med den minsta möjliga?
24 Värdet på en bil är V kr och det minskar med P % per år. Efter x år har värdet halverats. Ställ upp en ekvation som beskriver situationen.
25 Priset på en vara ökar med 2 % per år i några år. Därefter ökar priset med 5 % fram till dess att priset har ökat med 60 %. Det har då totalt gått 12 år. Hur många år ökade priset med 5 %?
26 Ett lån på 450 000 kr ska amorteras på 3 år med månatliga inbetalningar. Räntesatsen är 4,7 % det första året och 5,6 % de kommande två åren. Hur stor blir räntekostnaden?
27 Åse och Emrik drömmer om att köpa en båt. De hittar en på nätet för 234 000 kr. De förhandlar med banken och erbjuds ett lån på 3 år med lika stora avbetalningar varje kvartal och räntesatsen 5,72 % (räntesatsen räknas per år).
a) Hur stor blir den totala kostnaden för lånet?
b) Hur många kronor mer betalar de första kvartalet jämfört med sista?
28 Ett företag tillverkar chokladkakor i endast en storlek. Den nya chefen som förstår sig på marknadsföring vet att man säljer mer choklad om man har chokladkakor i flera olika storlekar. De utvecklar därmed en chokladkaka som är 20 % större och en som är 25 % mindre. Priset på den lilla chokladkakan är 15 % lägre än priset på den vanliga och priset på den stora är 13 % högre än priset på den vanliga chokladkakan. Hur många procent högre är jämförpriset på den lilla chokladkakan jämfört med jämförpriset på den stora chokladkakan?
3 Sammanfattning
Förändringsfaktorn visar hur mycket ett värde ökar eller minskar procentuellt.
En förändringsfaktor på 1,17 motsvarar en ökning på 17 %.
En förändringsfaktor på 0,75 motsvarar en minskning på 25 %.
För att beräkna förändringsfaktorn använder man sig av formeln:
Förändringsfaktorn = Nya värdet
Gamla värdet
Nya värdet = Förändringsfaktorn ∙ Gamla värdet
Vid upprepad procentuell förändring multipliceras samtliga förändringsfaktorer för att få den totala förändringsfaktorn.
Index används när man vill jämföra hur mycket priset på en vara eller en tjänst har förändrats över tid.
Förändringsfaktorn = Nya värdet
Gamla värdet = Prisår n Prisbasåret
För att räkna ut index multiplicerar man förändringsfaktorn med 100.
Förändring Förändringsfaktor
När vi räknar på index så kan man ofta ha nytta av att tänka på att både priset och index förändras med samma förändringsfaktor. Det innebär att:
Förändringsfaktorn = Index 2
Index 1 = Pris 2 Pris 1
Konsumentprisindex (KPI) är en indexserie som visar hur priserna på vanliga varor och tjänster utvecklas.
Ränta är den avgift som man betalar för att få låna pengar och den beräknas med en räntesats i procent (vanligtvis årsvis). Räntan förändras efter varje avbetalning eftersom den beräknas på den del av lånet som finns kvar.
Amortering är återbetalning av en del eller hela lånet. Amortering är lika stora belopp vars storlek bestäms av antalet inbetalningar. Om man exempelvis har ett lån på 300 000 kr som ska amorteras sex gånger så dividerar man 300 000 med 6 för att få hur mycket (50 000 kr) man ska amortera vid varje inbetalning.
Det finns mer att upptäcka
Det här smakprovet består av en utvald del av den kompletta boken, för att du som lärare ska kunna utvärdera innehållet före köp. Vi har också ett stort sortiment av digitala läromedel som du kan prova gratis på gleerups.se. Har du några frågor eller synpunkter är du välkommen att kontakta Gleerups kundservice på 040-20 98 10 eller via gleerups.se
Beställ den riktiga boken
Vid beställning av boken ange ISBN 978-91-511-1422-4
