Redaktör: Per-Olof Bergmark, Stina Karlström, Kristina Olofsson, och Jesper Olsson
Bildredaktör: Katarina Weström Formgivning: Typoform
Illustratör: Typoform Omslagsbild: Jesper Olsson/Adobe Firefly AI
Första upplagan, första tryckningen ISBN 978-91-511-1424-8
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk om skolkopieringsavtal finns mellan skolhuvudmannen och Bonus Copyright Access. För information om skolkopieringsavtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Användning av detta läromedel för text- och datautvinningsändamål med t.ex.
AI-tjänster är ej tillåten. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Tryck: Namn, ort och årtal.
Prefix matematik 1c
Prefix Matematik är en heltäckande läromedelsserie enligt Gy25, med material för både förberedelse och uppföljning genom aktiviteter, teori, exempel och uppgifter.
Prefix Matematik 1c är ett tryckt läromedel för matematik nivå 1c, där tryckt och digitalt material delar samma struktur. Detta möjliggör undervisning i grupp med en kombination av tryckta och digitala komponenter.
Läromedlet erbjuder:
● Samma innehåll och struktur i tryckt och digital form
● QR-koder med tillgång till över 100 filmer, diagnoser och lösningsförslag
● Snabbkollar och lösta exempel kopplade till teorin
● Uppgifter i tre nivåer för en varierad undervisning
Innehåll
1 Algebra
1.1 Grundläggande algebra
1.1.1 Grundläggande ekvationer
1.1.2 Ekvationer med flera x
1.1 Öva
1.2 Ekvationer och formler
1.2.1 Räkneregler för parenteser
1.2.2 Ekvationer med x i nämnaren
1.2.3 Ställa upp ekvationer
1.2.4 Faktorisering
1.2.5 Arbeta med formler
1.2 Öva
1.3 Potensekvationer och olikheter
1.3.1 Potensekvationer
1.3.2 Linjära olikheter
1.3 Öva
1.4 Digitala verktyg och problemlösning
1.4.1 Lösa ekvationer med digitala verktyg
1.4.2 Problemlösning
1.4 Öva
1 Blandade övningar
1 Sammanfattning
2 Procent
2.1 Procentuell förändring
2.1.1 Förändringsfaktor
2.1.2 Upprepad procentuell förändring
2.1 Öva
2.2 Index och KPI
2.2.1 Index
2.2.2 Konsumentprisindex (KPI)
2.2 Öva
2.3 Lån och ränta
2.3.1 Lån, ränta och amortering
2.3.2 Avbetalning och kredit
2.3 Öva
2 Blandade övningar
2 Sammanfattning
3 Funktioner
3.1 Vad är en funktion?
3.1.1 Samband mellan variabler
3.1.2 Skrivsättet f(x)
3.1.3 Funktioner i koordinatsystem
3.1.4 Definitionsmängd och värdemängd
3.1 Öva
3.2 Räta linjens ekvation
3.2.1 Grundkoncept
3.2.2 Bestämma ekvationen för en rät linje
3.2.3 Parallella och vinkelräta linjer
3.2 Öva
3.3 Icke-linjära funktioner
3.3.1 Potensfunktioner
3.3.2 Exponentialfunktioner
3.3 Öva
3.4 Grafisk problemlösning
3.4.1 Grafisk lösning av ekvationer och olikheter
3.4.2 Tolka grafer
3.4 Öva
3 Blandade övningar
3 Sammanfattning
4 Trigonometri och vektorer
4.1 Trigonometri
4.1.1 Pythagoras sats och avståndsformeln
4.1.2 Sinus, cosinus och tangens
4.1.3 Inversa trigonometriska funktioner
4.1 Öva
4.2 Vektorer
4.2.1 Rita vektorer
4.2.2 Räkneregler för vektorer
4.2.3 Vektorer med vinklar
4.2 Öva
4 Blandade övningar
4 Sammanfattning
5 Sannolikhet och statistik
5.1 Statistiska metoder
5.1.1 Statistiska undersökningar
5.1.2 Korrelation och kausalitet
5.1 Öva
5.2 Oberoende och beroende händelser
5.2.1 Enkla slumpförsök
5.2.2 Tärningsdiagram
5.2.3 Träddiagram (oberoende händelser)
5.2.4 Träddiagram (beroende händelser)
5.2 Öva
5 Blandade övningar
5 Sammanfattning
5 Sannolikhet och statistik
Den mystiska påsen
Vik ett A4-papper 5 gånger och klipp ut de 32 bitar du får. Färglägg bitarna i 5 olika färger (gul, röd, blå, grön och svart). Lägg slumpmässigt 15 av papperslapparna i en påse så at du inte ser vilka färger som står på lapparna.
Ta en lapp, notera färgen i tabellen nedan och lägg tillbaka lappen. Blanda runt och upprepa detta 30 gånger. Beräkna sannolikheten för att få en viss färg genom att dividera antalet av en viss färg med antalet totala dragningar.
Färg Gul Röd Blå Grön Svart
Antal
Sannolikhet
Gissa nu antalet lappar i respektive färg som finns i påsen baserat på sannolikheten.
Färg Gul Röd Blå Grön Svart
Gissade antalet
Faktiska antalet
Gissade du rätt?
Vad kan du göra för att få ett bättre resultat?
5.1 Statistiska metoder
De flesta människor kommer då och då i sitt liv att göra statistiska undersökningar. Det kan vara både i privatlivet, i föreningslivet eller i arbetslivet. En vanlig form av statistisk undersökning är enkäter med frågor till människor, men en statistisk undersökning kan också göras i form av mätningar.
I det här avsnittet ska vi titta på hur man gör en statistisk undersökning. Vi kommer då behandla följande punkter:
● Vad ska man tänka på när man formulerar frågor?
● Hur ska datainsamlingen gå till?
● Hur väljer man ut de som ska svara på frågorna eller undersökas?
● Hur sammanställer man resultatet av en undersökning?
● Vilka misstag ska man undvika när man tolkar resultatet av en undersökning?
5.1.1 Statistisk undersökning
Följande begrepp är centrala när man arbetar med statistiska undersökningar:
Population
En population består av den totala mängden individer eller enheter som man vill dra slutsatser om. Det kan vara en grupp människor, djur, objekt, eller händelser som har gemensamma egenskaper och som man är intresserad av att studera. Till exempel kan populationen vara ”alla gymnasieelever i Sverige” om undersökningen handlar om deras studievanor. Populationen utgör grunden för urvalet som är den delmängd av populationen som faktiskt undersöks.
Totalundersökning
Om man låter hela populationen delta i undersökningen är det en totalundersökning. Omröstningar i klassen och riksdagsval är totalundersökningar. De passar bra i liten skala men är väldigt dyra och svåra att genomföra i stor skala.
”Statistik är som en ridå på en teater. Det spännande är vad som döljer sig bakom den.”
– Lars Erik skovgaard
”Han använder statistik som den berusade använder lyktstolpen, mer till stöd än till upplysning.”
– andrEw Lang
Man ska också undvika värdeladdade ord, vilket kan påverka den som svarar. ”Vad tycker du om de nya kränkande reglerna om att man måste stanna hemma om man känner sig sjuk” har ett värdeladdat ord ”kränkande”.
Stickprov
När man väljer ut en mindre grupp ur en population, gör man ett stickprov. Det är viktigt att stickprovet är representativt för gruppen man vill undersöka. Det finns olika urvalsmetoder för att ta fram ett stickprov.
● Obundet slumpmässigt urval
Man lottar fram vilka ur populationen som ska delta i undersökningen.
Exempel: Namnet på alla skolans elever läggs i en hög och sedan drar man utan att titta så många man ska ha i stickprovet.
● Stratifierat slumpmässigt urval
Man delar in populationen i strater (grupper) och sedan gör man ett slumpmässigt urval ur dessa. Syftet är att man vill få ett så representativt urval som möjligt.
Exempel: Namnet på alla skolans elever läggs i olika högar, en för varje program. Därefter drar man ett visst antal ur varje hög. Hur många man tar ur varje hög beror på hur stor andel av eleverna på skolan som går på programmet. Går 20 % av skolans elever på samhällsprogrammet ska 20 % av de som väljs ut i stickprovet komma från högen med elever från samhällsprogrammet.
Felkällor
Det finns alltid felkällor i en undersökning som kan ge missvisande resultat. Man behöver fråga en tillräckligt stor grupp för att resultatet ska kunna representera den grupp man vill undersöka.
Man behöver också tänka igenom hur man ställer sina frågor. Det är viktigt att undvika ledande frågor, vilket innebär att man ställer frågan så att svaret antyds i frågan. ”Är du positiv till vegetariska rätter” är ledande, men ”Är du positiv eller negativ till vegetariska rätter” är inte ledande.
Bortfall
När man gör en undersökning så kommer det ofta finnas personer som väljs ut att vara med i undersökningen men som sedan inte svarar. Dessa uteblivna svar kallas bortfall och om man inte tar hänsyn till dem kan undersökningen ge en felaktig bild.
Bortfallsundersökning
En undersökning där man tillfrågar de som inte svarade i en ursprunglig undersökning för att förstå orsakerna till bortfallet och, om möjligt, samla in deras svar. Detta görs för att bedöma om de som inte svarade skiljer sig från de som svarade, vilket kan påverka tillförlitligheten i undersökningens resultat.
X Snabbkoll
Para samman rätt begrepp med rätt förklaring.
Begrepp
A Obundet
slumpmässigt urval
B Stratifierat slumpmässigt urval
C Totalundersökning
D Bortfall
E Bortfallsundersökning
Förklaring
1 Vi frågar alla i hela gruppen som ska undersökas.
2 Man lottar fram ett antal personer som får vara med i undersökningen.
3 De som blivit utvalda att delta i undersökningen men som ändå inte svarar.
4 Man gör en undersökning där de som inte svarade första gången får utgöra populationen.
5 Man delar in gruppen man undersöker i olika delgrupper och sedan lottar man på ett sådant sätt att dessa delgrupper får en representation som motsvarar deras andel av hela gruppen.
5.1.1 Exempel
Stratifierat urval
I en förening finns 275 män och 55 kvinnor. Föreningen vill genomföra en enkät och vill göra ett representativt stratifierat urval av 50 medlemmar.
Hur många män och kvinnor ska väljas ut?
löSning
Andelen män i föreningen är 275 275 + 55 = 0,833…
Andelen kvinnor i föreningen är 55 275 + 55 = 0,166 …
Antal män som ska väljas ut: 50 · 0,833 ≈ 42 Antal kvinnor som ska väljas ut: 50 · 0,166 ≈ 8
Svar: Antal män som ska väljas ut är 42 st och antal kvinnor 8 st.
5.1.1 Exempel
Arbetsmiljö
Ett företag gör en undersökning om arbetsmiljön på företaget genom att skicka ut ett mail till samtliga anställda. Av de 120 anställda är det 80 som svarar. Frågan som ställs är:
Tycker du att arbetsmiljön är bra?
57 personer svarar Ja och 23 personer svarar Nej.
a) Vilken urvalsmetod har företaget använt?
b) Hur stort var bortfallet?
c) Kan man vara säker på att en majoritet på företaget tycker att arbetsmiljön är bra?
d) Inom vilket intervall kan andelen anställda som tycker att arbetsmiljön är bra ligga?
löSning
Vi ritar en figur för att få grepp om undersökningen.
Ja 57 Nej 23 Svarade inte 40
a) Svar: Totalundersökning.
b) 120 − 80 = 40
Svar: Bortfallet var 40 personer.
c) Svar: De 57 personer som svarat att arbetsmiljön är bra är färre än hälften av de som arbetar på företaget. Man kan därför inte vara säker på att fler än hälften av de anställda tycker att arbetsmiljön är bra.
d) Vi räknar på de två extremfallen.
Ingen i bortfallsgruppen tycker att arbetsmiljön är bra.
57 + 0
120 = 0,475 = 47,5 %
Alla i bortfallsgruppen tycker att arbetsmiljön är bra.
57 + 40
120 = 0,808 = 80,8 %
Svar: Andelen som tycker att arbetsmiljön är bra ligger mellan
47,5 %–80,8 %.
Idrottsföreningen
Styrelsen i en idrottsförening överväger att köpa två nya trampoliner med skyddsutrustning. Det är en stor investering och åsikterna går isär, så de skickar ut en fråga till medlemmarna:
Ska vi investera i moderna trampoliner med tillbehör?
Svarsalternativen är: Ja, Nej, Ingen åsikt
Av 640 medlemmar svarar 197 Ja, 134 Nej och 27 Ingen åsikt, medan 44 % inte svarar. Styrelsen väljer då slumpmässigt 20 personer av de som inte svarat och ringer upp dem. Av dessa är 7 emot, 5 för och 8 utan åsikt.
a) Hur stort var bortfallet?
b) Är medlemmarna rent statistiskt sett för eller emot inköpet enligt denna undersökning?
löSning
a) Bortfallet var 640 − 197 − 134 − 27 = 282 personer.
Svar: Bortfallet var 282 personer.
b) Vi ritar en figur för att få grepp om undersökningen.
Ja 197 Ingen åsikt 27 Nej 134 Svarade inte 282
Nej 99 35 %
Ja 71 25 %
Ingen åsikt
Av de som röstade direkt var 197 för. Frågan är hur många i bortfallet som svarade Ja respektive Nej. Bortfallet var 282 personer. Resultatet av bortfallsundersökningen får representera hela bortfallsgruppen.
Bortfallsundersökningen visade att 7 av 20 svarade Nej, vilket motsvarar 35 %. 35 % av 282 är 99 personer. Totalt kan vi då anta att 134 + 99 = 233 personer är emot inköpet.
Bortfallsundersökningen visade att 5 av 20 var för köpet, dvs 25 %. 25 % av 282 är 71 personer. Totalt kan vi då anta att 197 + 71 = 268 personer är för inköpet.
Svar: Fler medlemmar var för ett köp än vad som var emot enligt undersökningen.
Nivå 1
5101 En trädgårdsförening ska göra en enkätundersökning bland sina medlemmar inför sommarens arbete. Föreningen har 460 stödmedlemmar och 80 arbetande medlemmar. Av dessa väljs 100 medlemmar ut för att svara på enkäten. Av dessa är det 76 som svarar.
a) Hur stor var populationen?
b) Hur stort var bortfallet?
c) Hur stort var urvalet?
5102 Avgör vilket eller vilka alternativ som stämmer. Motivera ditt svar.
A Vid en totalundersökning måste bortfallet vara noll.
B Om jag väljer ut 20 kor av en bondes 100 kor genom att välja var femte ko som går förbi mig på sin väg in i ladan så har jag gjort ett slumpmässigt urval.
C Om jag på måfå frågar personer på stan, utan att ha bestämt vilka i förväg, är det ett obundet slumpmässigt urval.
D Vid ett stratifierat urval så handplockas alla i urvalet istället för att låta slumpen bestämma.
E Vid en totalundersökning är populationen och urvalet lika stora.
5103 På ett företag arbetar 500 kvinnor och 200 män. Facket gör en undersökning om arbetsmiljön. De väljer ett stratifierat urval med 140 personer baserat på kön. Hur många kvinnor kommer de att intervjua?
5104 I en stad med 45 000 invånare ska stödet för att bygga en idrottshall undersökas. Gruppen som får ansvaret för undersökningen väljer att göra ett slumpmässigt urval på 2 000 personer. Av dessa är det 1 450 som svarar.
a) Hur stort är stickprovet?
b) Hur stor är populationen?
c) Hur stort är bortfallet?
d) 800 svarade att de var positiva till en idrottshall. Hur många procent av befolkningen borde enligt undersökningen vara positiv till en idrottshall?
Nivå 2
5105 Helga undersöker ungdomars semesterplaner. Hon ställer tre frågor:
1. Tänker du semestra utanför Europa?
2. Tänker du semestra i Europa?
3. Tänker du bara semestra i Sverige?
Hon delar enkäten på sociala medier där hon når 1 000 personer och får in 200 svar.
Hon får in resultatet:
● 20 % semestrar utanför Europa
● 30 % semestrar i Europa
● 50 % semestrar i Sverige
a) Hur stort bortfall har Helga?
b) Inom vilket intervall kan andelen ungdomar som semestrar i Sverige ligga om vi tar hänsyn till bortfallet?
c) Analysera frågornas formulering.
d) Analysera Helgas urvalsmetod.
5106 Tony gör en undersökning om ungdomars konsumtion av koffein. Han frågar 300 ungdomar genom att skicka ett formulär och presenterar resultatet i diagrammet:
Ungdomars
a) Hur stort är bortfallet?
b) Hur många ungdomar kan det maximalt vara som dricker energidryck om man tar hänsyn till bortfallet?
c) Hur många ungdomar kan det som mest vara som varken dricker energidryck eller annan koffeinhaltig dryck?
5107 Vid en slumpmässig undersökning om klimatförändringar tillfrågades 1 500 personer i åldern 18–65. Av de tillfrågade svarade 950 personer. I undersökningen frågade man:
Är du orolig för klimatförändringar?
Resultatet blev följande:
Ja: 760 Nej: 190
Man följer upp denna undersökning genom att göra en undersökning i bortfallsgruppen och får då resultatet:
Ja: 75 Nej: 20
Uppskatta andelen som är orolig och andelen som inte är det.
5108 Vid en opinionsundersökning om kärnkraft görs ett obundet slumpmässigt urval där 1 000 personer får svara på frågor om kärnkraft.
Av de tillfrågade svarar 700 personer:
1. 25 % vill avveckla kärnkraften
2. 43 % vill använda kärnkraft tills den stängs av säkerhetsskäl eller ekonomiska skäl
3. 32 % vill bygga ut kärnkraften
Av de personer som inte svarat görs en uppföljande undersökning som visar att:
1. 20 % vill avveckla kärnkraften
2. 45 % vill använda kärnkraft tills den stängs av säkerhetsskäl eller ekonomiska skäl
3. 35 % vill bygga ut kärnkraften
Beräkna andelarna av de olika svarsalternativen med hänsyn till bortfallet.
5109 Vid en undersökning svarar 63 % av deltagarna på minst en fråga. Av dessa är det 82 % som svarar på alla frågorna. Totalt är det 146 personer som inte svarar på alla frågorna. Hur många svarade på alla frågorna? 5.1.1 Uppgifter
Nivå 3
Stark positiv korrelation
5.1.2 Korrelation och kausalitet
Korrelation
Svag positiv korrelation
När vi människor vill förstå vår omvärld så försöker vi mäta den med olika mätinstrument såsom måttband och termometrar. Det kan också handla om enkäter och sammanställning av data, som en stads folkmängd eller människors inkomster. När datan är insamlad så gäller det att bearbeta den på ett sådant sätt att vi kan hitta samband mellan olika storheter. Vi har svårt att ta till oss långa tabeller med siffror. Ett bättre sätt att hitta samband är att presentera data i diagramform. Om vi vill finna samband mellan två variabler låter vi den oberoende variabeln vara på x-axeln och den beroende variabeln vara på y-axeln. Sedan kan vi avgöra om det finns något samband (korrelation) mellan variablerna.
Positiv korrelation
Positiv korrelation innebär att när den ena variabeln ökar så ökar även den andra variabeln.
Stark negativ korrelation
Svag negativ korrelation
Det kan till exempel vara laddningen i en telefon som funktion av tiden den har laddats eller momsintäkterna som funktion av antalet sålda varor.
Negativ korrelation
Negativ korrelation innebär att när den ena variabeln ökar så minskar den andra variabeln.
Det kan till exempel vara avståndet till målet i Mora som funktion av tiden efter att Vasaloppet startat, eller ljudnivån som funktion av avståndet till en högtalare.
Graden av korrelation
Beroende på hur spridda mätpunkterna är säger man att man har stark korrelation eller svag korrelation. Om korrelationen är för svag så säger man att korrelation saknas, det innebär att det inte går att se någon koppling mellan variablerna.
Korrelation saknas
Det kan till exempel vara sambandet mellan mängden kaffe som lärarna dricker på morgonen och antalet korrekta svar som eleverna ger på ett matteprov. Det är helt enkelt saker som inte har med varandra att göra.
Kausalitet
När man ska tolka korrelationssambandet gäller det att vara vaksam. Det är lätt att tro att korrelationssamband innebär att det finns ett orsakssamband (kausalitet) där den ena storheten medför den andra. Men så behöver det inte vara.
Vi förklarar med ett exempel. 10
Sveriges befolkning
Bensinpris (kr)
Det finns ett statistiskt samband som visar att ju högre bensinpriset i Sverige är, desto större blir Sveriges befolkning.
Men är det ett orsakssamband?
Nej! Det är inte det höga bensinpriset som får vår befolkning att öka. I det här fallet är det ganska uppenbart att det inte handlar om ett orsakssamband utan att både bensinpriset och befolkningen har ökat med tiden.
Statistiskt sett kör unga bilförare sämre än äldre eftersom de oftare är inblandade i olyckor. Men är det ett orsakssamband?
Har man tagit hänsyn till att unga kör mer bil sent på kvällar och nätter än vuxna? Har man jämfört vilka som kör längst och på vilka vägar? Har äldre bättre bilar med bättre däck?
Korrelation innebär inte kausalitet
Att två fenomen varierar på samma sätt betyder inte automatiskt att ett av fenomenen orsakar det andra. Det kan vara en gemensam bakomliggande variabel som får dem att korrelera eller så är det bara ren slump att de råkar göra det.
Gällande bilförsäkringar räcker det att veta att det finns ett statistiskt samband. Ungdomar krockar oftare, vilket innebär att försäkringsbolaget betalar ut mer pengar till dem. Därför måste unga förare betala en högre premie. Är du däremot trafikforskare eller samhällsplanerare måste du sätta dig in i detta på djupet för att förstå vad som orsakar ungas överrepresentation i trafikolyckor. Det är först när du förstår orsakssambandet som du kan sätta in effektiva åtgärder.
Teori
5.1.2
(g)
X S nabbkoll
Suddgummi vikt
1 a) Vad kan man dra för slutsatser av vikten på elevernas suddgummin?
b) Är korrelationen en kausalitet?
2 a) Vad kan man dra för slutsats om koldioxidutsläppen från konsumtion av livsmedel och befolkningens storlek?
b) Är korrelationen en kausalitet?
Sladdars längd och vikt
3 a) Vad kan man dra för slutsats om sladdars vikt?
b) Är korrelationen en kausalitet?
Statistisk signifikans
Om en stickprovsundersökning visar att stödet för ett politiskt parti ökar från 30 % till 30,7 % från en månad till en annan kan det bero på att stödet verkligen ökar 0,7 procentenheter, men det kan också bero på slumpen. Ökar partiet från 30 % till 34 % är det mindre sannolikt att det är en slump som orsakar ökningen. När ökningen är liten är det mer sannolikt att det är slumpen som är orsaken än om ökningen är stor.
Antal veckor
Man brukar i medier prata om statistisk signifikans eller att resultatet är statistiskt säkerställt. Är resultatet statistiskt säkerställt kan man säga att det finns en verklig skillnad, exempelvis att det finns en ökning för partiet i undersökningen.
Den statistiska signifikansen anges i procent och i vetenskapliga studier är det vanligt att man måste ange att resultaten har en statistisk signifikans på mindre än 5 % för att studien ska anses vara trovärdig.
Om ett politiskt parti ökar 4 procentenheter från en månad till en annan och ökningen har en statistisk signifikans betyder det att det är mindre än 5 % risk att skillnaden beror på slumpen.
Man kan också säga att statistisk signifikans är ett mått på hur osannolik en skillnad i två urval är om det inte finns någon skillnad i populationerna som man gjorde urvalen ur.
Felmarginal
När man gjort en statistisk undersökning så finns det alltid en osäkerhet. Den osäkerheten redovisas ofta som en felmarginal som anger hur mycket större eller mindre resultatet kan vara. Det anges ofta genom att man till värdet lägger till ± felmarginalen.
En statistisk undersökning visar att 24 % ± 4 % tänker rösta på parti A. Det innebär att som mest kan det vara 24 % + 4 % = 28 % som tänker rösta på parti A och som minst kan det vara 24 % − 4 % = 20 %. Om parti B får resultatet 18 % ± 4 % så kan det som mest vara 22 % och som minst vara 14 %.
De båda partiernas procentuella gränser överlappar varandra, vilket innebär att det inte går att skilja dem åt. Man kan grafiskt rita ut det som i diagrammet till höger.
Eftersom felmarginalerna överlappar varandra finns ingen statistisk signifikant skillnad mellan de två partierna.
X S nabbkoll
Avgör vilket eller vilka alternativ som stämmer. Motivera ditt svar.
A Att den statistiska signifikansen i en undersökning är 5 % innebär att det är 5 % sannolikhet att resultatet är en slump.
B När man gör en medicinsk studie vill man vara säker på att medicinen verkligen är bättre än placebo (förbättrat resultat utan medicinsk verkan). Då är det bättre att ha 5 % signifikans än 0,1 % signifikans.
Metoder för att räkna ut den statistiska signifikansen är komplicerade och ingår inte i kursen. Men du ska förstå vad begreppet statistisk signifikans betyder.
Parti B Parti A
Teori
5.1.2 Exempel
Korrelationer
Avgör för följande data om y har positiv eller negativ korrelation
mot x eller om x och y inte korrelerar. Ange även om korrelationen är stark eller svag.
a) x y b) x y
c) x y d) x y
löSning
a) Vi ser att när x ökar så kommer y att omväxlande öka och minska utan något tydligt mönster.
Svar: Ingen korrelation mellan x och y.
b) Vi ser att när x ökar så kommer y i huvudsak också öka. Detta innebär att vi har positiv korrelation. Punkterna ligger inte på en rak linje men tillräckligt nära för att vi ska ha en svag positiv korrelation.
Svar: En svag positiv korrelation mellan x och y.
c) Vi ser att när x ökar så kommer y att minska. Detta innebär att vi har negativ korrelation. Punkterna ligger nära en rak linje vilket innebär att korrelationen är stark.
Svar: Stark negativ korrelation mellan x och y.
d) Vi ser att när x ökar så kommer y att öka. Detta innebär att vi har positiv korrelation. Punkterna ligger nära en rak linje vilket innebär att korrelationen är stark.
Svar: Stark positiv korrelation mellan x och y.
Orsak och verkan
Finns det någon korrelation mellan folkmängd och BNP?
Vi ritar ett diagram med folkmängd på x-axeln och BNP på y-axeln.
BNP (miljarder)
(miljoner)
Vi ser i diagrammet att tvärtemot vad man kan tro så finns det inget tydligt samband mellan dessa länders folkmängd och deras BNP. Ett land med liten rik befolkning kan ha högre BNP än ett land med stor fattig befolkning.
Svar: Det finns ingen tydlig korrelation mellan ett lands folkmängd och dess BNP.
Solenergi
Tabellen visar hur elinstallationspriser i villor och installerad solcellseffekt
i Lund har förändrats över tid.
Undersök om det finns någon korrelation mellan:
a) pris och tid,
b) installerad solcellseffekt och tid,
c) installerad solcellseffekt och systempris.
Årtal
Pris (kr/W)
Installerad solcellseffekt (kW)
Diskutera för vart och ett av fallen om det är ett orsakssamband.
löSning
a) Vi ser tydligt i tabellen att priset sjunker när tiden går.
Svar: Vi har en negativ korrelation mellan pris och tid. Det är rimligt att det är ett orsakssamband eftersom det sker en ständig produktutveckling av solceller, vilket ökar deras effekt och sänker deras pris.
b) Vi ser tydligt i tabellen att installerad solcellseffekt ökar när tiden går.
Svar: Vi har en positiv korrelation mellan installerad solcellseffekt och tid. Det är ett rimligt orsakssamband eftersom de nyinstallerade solcellerna håller i ca 30 år och inte behöver bytas på länge.
c) Det är svårt att avgöra detta genom att titta i tabellen så vi ritar ett diagram med installerad solcellseffekt som funktion av systempriset.
Solceller
Installerad solcellseffekt (kW)
Systempris (kr/W)
Vi ser i diagrammet att den installerade solcellseffekten avtar när systempriset ökar. Det är alltså en negativ korrelation.
Svar: Vi har en negativ korrelation mellan installerad solcellseffekt och systempris. Det låter som ett rimligt orsakssamband att när systempriset sjunker ökar antalet som installerar solceller.
Felmarginal
I diagrammet kan man se hur stor andel av olika åldersgrupper som ser på TV mer än 4 h per dag.
a) Ange resultatet för barn, med felmarginal.
b) Kan man säga att resultatet för barn är högre än för vuxna?
c) Vilken är den största felmarginal som pensionärerna kan ha om de ska ha ett statistiskt signifikant lägre resultat än barnen?
löSning
a) Vi avläser värdet i diagrammet. Det är 16 %. Vi ser att det går upp till 19 % och ner till 13 %.
Det är 3 % uppåt och 3 % neråt. Alltså är felmarginalen 3 %.
Svar: 16 % ± 3 %
b) Vi ser att de vuxna bara når upp till 10 % även om man tar hänsyn till felmarginalen. Andelen barn blir som lägst 13 %. Det innebär att barnen statistiskt sett har ett signifikant högre värde än de vuxna.
Svar: Ja, resultatet är statistiskt signifikant högre för barn än för vuxna.
c) För att pensionärerna ska ha ett resultat som är statistiskt signifikant lägre än barnen så får de inklusive felmarginal inte överstiga 13 %.
Därmed måste pensionärernas felmarginal vara mindre än 2 %.
Svar: Felmarginalen < 2 %.
Vuxna
Pensionärer Barn
5.1.2 Uppgifter
Nivå 1
5110 Beskriv eventuell korrelation mellan x och y i diagrammen nedan.
a) x y 0
5 10 15 20 25
b) x y
5111 Tabellen visar data som Naturvårdsverket sammanställt för hur antalet björnar utvecklats i Sverige.
1930 130
1943 300
1966 400
1976 500
1991 650
1994 1 075
2000 2 222
2005 2 550
2008 3 300
2013 2 800
2017 2 877
Finns det någon korrelation mellan antalet björnar och tiden?
5112 Beskriv eventuell korrelation mellan x och y i diagrammen nedan.
5113 Beskriv eventuell korrelation mellan x och y i diagrammen nedan.
5114 Beskriv eventuell korrelation mellan x och y i var och en av tabellerna nedan.
a) x y
5115 Beskriv eventuell korrelation mellan x och y i var och en av tabellerna nedan.
a) x y
5116 Beskriv eventuell korrelation mellan x och y i var och en av tabellerna nedan.
a) x y
5117 Motivera för följande korrelationer om de också är en kausalitet.
a) Temperaturen i en vattenkokare har en positiv korrelation med tiden som vattenkokaren är igång.
b) Priset på mjölk korrelerar med priset på mjöl.
c) Priset på choklad korrelerar mot priset på kakao.
d) Arbetslösheten korrelerar med minskningen av antalet fruktkorgar som levereras till företag.
5118 Vid en opinionsundersökning var resultatet 36 % ± 4 % för parti A och 27 % ± 3 % för parti B. Parti C fick 22 % ± 3 %. Avgör om påståendena är statistiskt säkerställda. Motivera.
a) Parti B har en högre andel av rösterna än parti A.
b) Parti B har en högre andel av rösterna än parti C.
Nivå 2
5119 Tabellen visar data för 5 stycken begagnade bilar av modellen Volvo V40.
Årtal
Körsträcka (mil) Pris (kr)
2013 7 700 149 900
2013 3 990 219 900
2015 7 050 134 900
2017 2 048 189 900
2016 6 575 230 000
a) Finns det någon korrelation mellan körsträcka och bilens ålder?
b) Finns det någon korrelation mellan pris och bilens ålder?
c) Finns det någon korrelation mellan pris och hur långt bilen har åkt?
5.1.2
Uppgifter
5120 I diagrammet visas längden (minus svansen) och vikten på olika katter i ett bostadsområde. De gröna prickarna visar hankatter och de röda trianglarna honkatter.
Längd (tum)
a) Finns det någon korrelation mellan honkatternas vikt och kroppslängd?
b) Är korrelationen en kausalitet?
5121 Tabellen visar data från nio olika berg- och dalbanor i nio städer.
5122 En stickprovsundersökning visar att antalet som tittar på melodifestivalens första deltävling har minskat från 30,9 % till 29,9 % sedan förra året. Felmarginalen var ±0,4 % vid båda mätningarna.
Är resultatet statistiskt säkerställt?
Motivera.
a) Undersök om det finns någon korrelation mellan topphastigheten och varaktigheten på berg- och dalbanorna.
b) Undersök om det finns någon korrelation mellan topphastigheten och högsta höjden på berg- och dalbanorna.
Nivå 3
5123 Det finns en stark negativ korrelation mellan variablerna a och b. Då a = n är b = p där n och p är positiva tal. Vilka av följande samband bör då gälla?
A a = 2n och b = 2p
B a = 2n och b = p 3
C a = n + 2 och b = p − 5
D a = n + 4 och b = p + 4
Nivå 1
1 En trivselgrupp på en arbetsplats bestämmer sig för att göra en undersökning om vilka aktiviteter de anställda är intresserade av. Vilka av följande frågor innehåller värdeladdade ord?
A Skulle du kunna tänka dig att bowla på aktivitetsdagen?
B Är du intresserad av spännande bågskytte?
C Vill du prova på en skön massage?
D Vill du gå en lång promenad?
2 Hampus vill göra en statistisk undersökning över vilka färger bilarna har i den staden han bor. Han räknar bilarna som kör förbi fönstret och noterar färgen på var femte bil.
a) Vilken typ av urval har han gjort?
b) Vad kan man säga om urvalet? Resonera.
3 På en skola väljer man genom lottning ut 30 elever för att intervjua dem om Coronakrisen 2020. Det går totalt 900 elever på skolan.
a) Hur stor är populationen i undersökningen?
b) Hur stort är stickprovet?
c) Vilken typ av urval är stickprovet?
4 Man gör en undersökning på en skola om sömnvanor. Det går 375 killar på skolan och 425 tjejer. Hur många tjejer och killar ska väljas ut till ett stickprov på 100 elever om man vill göra ett stratifierat urval?
5 I en undersökning inför byggandet av en simhall görs en enkät i en kommun med 19 000 invånare. Man delar in invånare i grupper som representerar ålder, kön, nationalitet och yrke. Därefter väljs ett antal personer som representerar fördelningen i kommunen ut till undersökningen. Totalt 1 000 personer är med i undersökningen och man får in 375 svar.
a) Hur stort är bortfallet?
b) Vilken sorts urval har man gjort?
6 I en studie kan man läsa att en grupp personer som slutat borsta tänderna har fått fler hål i tänderna. Man visar detta diagram i samband med studien. Avgör vilket eller vilka påståenden som stämmer.
Andel som har hål i tänderna
Andel som slutat borsta tänderna
A Det finns en positiv korrelation.
B Det finns en negativ korrelation.
C Det finns ingen korrelation.
D Det finns en kausalitet mellan att borsta tänderna och andelen hål i tänderna.
E Det finns ingen kausalitet, men det finns en korrelation.
F Det finns ett orsakssamband i studien.
Öva
7 Beskriv eventuell korrelation mellan x och y i diagrammen nedan.
y
y
8 Vad är skillnaden mellan korrelation och kausalitet?
9 Vilka av följande samband har en kausalitet?
A Längd och klädstorlek.
B Antal personer som badar och dagstemperaturen.
C Antal bilolyckor och skogsbränder.
D Antal koppar kaffe och ålder.
10 Ett företag har tagit fram nya parfymer.
De har gjort en kundundersökning och fått resultat att 41 % ± 8 % väljer Eternity och 52 % ± 9 % väljer Blossom.
a) Chefen tycker personligen om Eternity och säger att felmarginalen är så stor att det inte är statistiskt säkerställt vilken av parfymerna som var mest populär.
Har chefen rätt?
b) Chefen säger att om felmarginalen på båda värdena varit hälften så stort så hade resultatet varit statistiskt säkerställt.
Har chefen rätt?
Nivå 2
11 I en pensionärsförening vill man göra en undersökning om vilket fikabröd som är populärast.
I föreningen finns 60 % kvinnor och 40 % män. Man väljer att göra ett stratifierat urval och väljer då ut 18 kvinnor. Hur många män väljs ut i stickprovet?
12 Tabellen visar utomhustemperaturen och glassförsäljningen i en glassbar under 8 dagar. Välj rätt alternativ nedan.
(°C)
Försäljning (kronor)
A Det finns en negativ korrelation och en kausalitet
B Det finns ingen korrelation.
C Det finns en positiv korrelation och en kausalitet.
D Det finns en positiv korrelation, men ingen kausalitet.
13 I en kommun med 25 000 invånare vill man undersöka tryggheten hos invånarna. Man väljer ett antal personer som representerar fördelningen i kommunen till undersökningen. Totalt 1 300 personer är med i undersökningen och man får in 450 svar. Av de 450 invånarna svarar 300 att de känner sig trygga och 150 att de känner sig otrygga.
a) Hur stort är bortfallet?
b) Hur stor andel av invånarna skulle som mest kunna känna sig trygga om man tar hänsyn till bortfallet?
c) Hur stor andel av invånarna skulle som minst kunna känna sig trygga om man tar hänsyn till bortfallet?
14 Avgör om det finns någon korrelation mellan temperaturen utomhus och försäljningen av korv i en korvkiosk.
15 En matbutik gör en undersökning om man önskar ha tidigare öppettider en dag i veckan. Man väljer att ta ett stickprov i staden på 1 400 personer. Bland dem svarar 1 120 personer och av dem svarar 470 Ja. Man gör en ny undersökning och frågar de som inte svarade första gången: Bland dem svarar 30 % Ja. Hur många procent svarar Ja om man
a) inte tar hänsyn till bortfallet
b) tar hänsyn till bortfallet
16 Tabellen visar BNP, förväntad livslängd och spädbarnsdödlighet för några olika länder.
Land
BNP per person (US dollar)
Förväntad livslängd (år)
Spädbarnsdödlighet (per 1 000 födslar)
Afghanistan 521 64 48
Bangladesh 1 698 72 25
Chile 15 923 80 6
Colombia 6 651 74 12
Guatemala 4 549 73 22
Indonesien 3 895 69 21
Irak 5 878 70 23
a) Finns det någon korrelation mellan förväntad livslängd och BNP?
b) Finns det någon korrelation mellan spädbarnsdödlighet och BNP?
17 En fabrik tillverkar under en vecka 25 000 kaviartuber. Man gör en kvalitetskontroll på var 50:e kaviartub. Bland dessa hittar man brister på 4 st. Under kommande vecka ökar man tillverkningen till 34 000 kaviartuber. Hur många tuber kan man förvänta sig har brister i kvaliteten baserat på stickprovet man gjort?
Nivå 3
18 Vid ett stratifierat urval finns tre grupper. En av grupperna i urvalet är dubbelt så stor som den minsta gruppen och den tredje gruppen innehåller 20 personer färre än den största gruppen. Hela populationen är 14 053 personer och den minsta populationsgruppen innehåller 3 142 personer. Hur många personer ingår i urvalet?
19 Diagrammet visar resultatet av en undersökning.
0 5 10 15 20 x y
Hur skulle korrelationen förändras om
a) vi lägger till x = 100, y = 0
b) vi lägger till x = −20, y = 45
c) alla y-värden upphöjs till a där 2 < a < 3
d) alla y-värden multipliceras med talet b där −3 < b < −2
20 Tabellen visar resultatet av en undersökning.
y 7 23 31 33 37 42 52
x 16 53 73 74 83 100 117
Hur skulle korrelationen förändras om
a) vi lägger till x = 1, y = 14
b) vi lägger till x = 229, y = 100
c) alla y-värden subtraheras med talet a där a > 0
d) alla y-värden divideras med talet b där b < −1
21 Vid en undersökning fanns bara två alternativ: Ja och Nej. 35 % av de som svarade angav Ja. I bortfallsundersökningen svarade 70 %
Ja. Statistikern som gjorde undersökningen drog slutsatsen att om man tar hänsyn till bortfallsundersökningen var resultatet för Ja 42 %. Hur många procent svarade på den första undersökningen?
22 Formeln for att beräkna felmarginalen (f) på en 95 % nivå (p) vid en stickprovsundersökning är:
f = 1,96 √ p(100 − p) n
I en undersökning svarade 63 % ja på frågan om de motionscyklar i någon form. Stickprovet är 360 personer. Hur stort måste stickprovet vara för att man ska halvera felmarginalen?
23 Under ett val där man delar in resultatet i två block röstar 48 % på block A och 52 % på block B. Populationen är 10 miljoner personer. Andelen som röstar är 80 %. Anton funderar på hur bortfallet kan påverka resultatet: ”Om ytterligare 1 miljon hade röstat, hur många procent hade behövt rösta på block A för att det blocket skulle vinna?”
24 En stor kommun ville undersöka behovet av barnomsorg det kommande året. De sände ut en enkät till 24 000 hushåll och fick 7 423 svar. Av dessa angav 2 649 att de behövde 15 h barnomsorg och 4 781 att de behövde 45 h barnomsorg. Resten svarade att de inte behövde någon barnomsorg alls. Eftersom bortfallet var så stort gjordes en bortfallsundersökning. Den gav resultatet: 172 behövde 15 h, 135 behövde 45 h och 401 behövde inte någon barnomsorg. Kommunen har 38 000 barn. Hur många timmars barnomsorg behöver dessa enligt undersökningen?
5.2 Oberoende och beroende händelser
Sannolikhet är ett mått på hur troligt det är att en händelse inträffar. Man kan beskriva sannolikheten för en händelse med ett tal mellan 0 och 1 eller 0 % och 100 %. Man anger sannolikhet i procentform, decimalform eller i bråkform, där summan av alla möjliga händelser är 100 % eller 1.
5.2.1 Enkla slumpförsök
Slumpmässigt försök
Ett kast med en tärning är exempel på ett slumpmässigt försök. Det innebär att det inte i förväg går att veta vad tärningen ska visa.
Utfall
Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas för ett utfall.
Utfallsrum
När man kastar en sexsidig tärning finns 6 möjliga utfall: 1, 2, 3, 4, 5 och 6.
Detta kallas för ett utfallsrum. Man brukar markera utfallsrummet inom klamrar {} för att visa att det är en mängd av värden:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Händelse
När man pratar om sannolikhet kallas det man vill undersöka en händelse. Det kan vara att kasta en tärning eller att slumpmässigt dra ett specifikt kort ur en kortlek. En händelse kan vara oberoende eller beroende.
Oberoende händelse
En oberoende händelse har samma sannolikhet varje gång. Om du slår en tärning har du samma chans eller sannolikhet att få en sexa varje gång du slår tärningen, oberoende av hur många gånger du slår. Därav namnet oberoende händelse.
En omöjlig händelse, som exempelvis att slå en sjua på en sexsidig tärning har sannolikheten 0 och en händelse som garanterat inträffar har sannolikheten 1.
Likformig sannolikhetsfördelning
När alla möjliga utfall har samma sannolikhet att inträffa innebär det att man har en likformig sannolikhetsfördelning.
5.2.1
Teori
Om man slår 10 000 kast med en tärning är det förväntade antalet tvåor 1 6 · 10 000 ≈ 1 667
Beroende händelse
En beroende händelse är en händelse vars sannolikhet påverkas av en annan händelse.
Om det finns tio lotter och en vinst i ett lotteri och du drar en lott så kommer den lottens resultat, vinst eller förlust, påverka sannolikheten att nästa lott är en vinst. Lottdragning är ett exempel på en beroende händelse.
Sannolikhet för en händelse
När man beskriver sannolikhet brukar man ange den med bokstaven P (probability).
P(A) betyder sannolikheten för en händelse A.
Sannolikheten för en händelse A vid en likformig sannolikhetsfördelning är
P(A) = antalet gynsamma utfall antalet möjliga utfall
Vi visar hur formeln fungerar genom att räkna ut sannolikheten att slå en tvåa med en vanlig sexsidig tärning.
P(slå en tvåa med en tärning) = 1 6 ≈ 0,17 = 17 %
Om vi skriver om formeln kan vi också beräkna antalet gynnsamma utfall om vi vet sannolikheten för en händelse A och totala antalet utfall.
Vi bryter ut antalet gynnsamma utfall.
Antalet gynnsamma utfall = P(A) · antalet möjliga utfall
0 ≤ P (A) ≤ 1
Sannolikheten för händelsen A ligger mellan 0 och 1, där 0 betyder att A aldrig inträffar och 1 betyder att A alltid inträffar.
Summan av sannolikheten för alla möjliga händelser i ett slumpförsök är 1.
Komplementhändelse
Om vi har en händelse A, är alla övriga händelser B komplementhändelse till A, om A och B inte kan inträffa samtidigt.
P(B) = 1 − P(A)
Frekvenstabell
Du kan enkelt testa och beräkna sannolikhet själv genom att kasta en sexsidig tärning flera gånger och studera utfallen. Då passar det bra att skapa en frekvenstabell där du noterar varje utfall. Om du till exempel vill undersöka resultaten av 36 tärningskast, kan du markera varje gång en viss siffra dyker upp, så här:
Utfall Avprickning Frekvens Relativ frekvens
sexa IIII II 7 7/36 ≈ 0,19 = 19 %
femma IIII 5 5/36 ≈ 0,14 = 14 %
fyra IIII I 6 6/36 ≈ 0,17 = 17 %
trea IIII II 7 7/36 ≈ 0,19 = 19 %
tvåa IIII I
etta IIII
6/36 ≈ 0,17 = 17 %
= 14 % Summa
Man kallar sannolikheten relativ frekvens eftersom det är frekvensen relativt det totala antalet utfall. Lägg märke till att summan av alla utfall blir 100 % vilket vi skriver som 1,00.
0,19 + 0,14 + 0,17 + 0,19 + 0,17 + 0,14 = 1,00
Vi vet att sannolikheten för att få en sexa teoretiskt är 1 6 ≈ 0,17. Experimentellt är det alldeles för få kast som utförts för att sannolikheten ska stämma. Det krävs många kast. Om alla elever i klassen kastar 100 kast var och vi sedan sammanställer detta, då lär vi komma närmare sannolikheten 1 6 . Antalet gynnsamma utfall blir då det totala antalet sexor alla i klassen kastat dividerat med totala antalet kast.
X S nabbkoll
1 Avgör om händelserna är beroende eller oberoende händelser.
A Välja en ordförande och sedan en sekreterare till ett klassråd.
B Slå en sexa med en tärning och sedan slå en sexa till.
C Dra ett ess och sedan ett ess till ur en kortlek.
D Vinna på lotto två veckor i rad.
Om klassen består av 30 elever som kastar 100 kast var blir det 100 · 30 = 3 000 kast. De bör då ha fått ungefär 3 000 · 0,17 = = 510 stycken sexor.
2 Beräkna sannolikheten för händelserna.
a) Slå ett udda tal med en vanlig tärning.
b) Dra en dam eller kung ur en vanlig kortlek.
c) Lyckas gissa vilken veckodag som en kompis är född.
d) Lyckas gissa en fyrsiffrig kod på ett försök.
5.2.1 Exempel
Skostorlek Avprickning Frekvens Relativ frekvens
II 2
Frekvenstabell
Rebecca gjorde en undersökning i klassen och frågade vad klasskompisarna hade i skostorlek.
Resultatet skrev hon ner i en frekvenstabell.
a) Fyll i den relativa frekvensen i tabellen.
b) Hur stor är sannolikheten att en slumpvis vald elev i klassen har storlek 39?
c) Hur stor är sannolikheten att en slumpvis vald elev i klassen har storlek 41 eller mer?
löSning
a) Skostorlek Avprickning Frekvens Relativ frekvens
II
IIII
2/30 ≈ 6,6 %
%
Summa: 30
b) Sannolikheten att en slumpvis vald elev i Rebeccas klass har storleken
39 är 20 %.
Svar: 20 %
c) Antal klasskompisar med storlek 41 eller mer är 4 + 6 + 2 + 1 = 13. Antal elever med storlek 41 eller mer är 13 av 30. P(storlek 41−44) = 13 30 ≈ 43,3
Svar: 43,3 %
Man kan också addera samman procenttalen 13,3 % + 20 % + + 6,6 % + 3,3 % men då måste man ange dem med fler decimaler. Om man anger för få decimaler kan man få avrundningsfel.
Antalet gynnsamma utfall
Pär kastar en sexsidig tärning 1 200 gånger. Hur många ettor är det troligt att han får?
löSning
P(1:a) = 1 6
Av 1 200 kast borde 1 6 vara 1:or.
1 6 · 1 200 = 200
Svar: Pär slår ungefär 200 stycken ettor.
Från frö till blomma
Kristina vet att chansen att ett frö gror till en blomma är 0,6. Kristina planterar 500 frön. Hur många blommor kan hon förvänta sig?
Korrekt elevlösning
Antal gynnsamma utfall = P(gror) · möjliga utfall
0,6 · 500 = 300
Svar: Ungefär 300.
Riskbedömning avbeställningsskydd
Du har köpt en resa för 8 000 kr. Du kan köpa ett avbeställningsskydd som ger dig pengarna tillbaka om du blir sjuk och inte kan åka. Avbeställningsskyddet kostar 480 kr.
Hur stor ska risken för att du blir sjuk på avresedagen vara för att avbeställningsskyddet ska vara en bra affär?
löSning
Avbeställningsskyddet kostar 480 kr. 480 kr av 8 000 kr utgör andelen
480
8 000 = 0,06 = 6 %
Svar: Om risken för att bli sjuk är större än 6 % är det en bra affär att köpa avbeställningsskyddet.
5.2.1 Uppgifter
Nivå 1
5201 Sannolikheten för att få en femma vid ett kast med en vanlig sexsidig tärning är 1/5. Sant eller falskt?
5202 Vilket är utfallsrummet för kast med en vanlig sexsidig tärning?
A U = {6}
B U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
C U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
5203 Vilket eller vilka alternativ beskriver sannolikheten för att få en 1:a, 2:a eller 3:a vid ett kast med en sexsidig tärning?
A P(1:a, 2:a eller 3:a) = 1 2
B P(1:a, 2:a eller 3:a) = 30 %
C P(1:a, 2:a eller 3:a) = 50 %
D P(1:a, 2:a eller 3:a) = 0,5
E P(1:a, 2:a eller 3:a) = 1 3
5204 Vilket är utfallsrummet för att få ett udda tal vid ett kast med en tiosidig tärning?
5205 I en låda ligger 5 blå pennor, 3 gröna och 4 svarta.
Man tar en penna ur lådan.
a) Bestäm och tolka P(grön).
b) Bestäm och tolka P(inte svart).
5206 Under januari 2017 var det 11 % risk att drabbas av influensan. Hur många drabbades sannolikt av influensan i ett område med 22 000 människor?
5207 I Motala hålls varje år ett ankrace. Det går till så att man släpper en massa gula badankor i Motala ström, där de får driva med strömmen en bit. Den som har satsat på den anka som kommer först i mål vinner. Ett år var det 756 ankor som släpptes ner. Anta att du har satsat på en av dem.
Hur stor är chansen att den ankan är bland de 10 första?
Nivå 2
5208 Två kompisar A och B spelar sten, sax, påse. Man formar sina händer som sten, sax eller påse slumpmässigt.
Sten vinner över sax, sax vinner över påse och påse vinner över sten. Om A väljer sten, vad är sannolikheten att B inte vinner?
5209 I en studentförening är sannolikheten 0,8 att medlemmarna har en cykel och 0,1 att medlemmarna har en bil. Ingen av studenterna har både en bil och en cykel. 70 medlemmar har varken bil eller cykel.
Hur många medlemmar är det i studentföreningen?
5210 I en kortlek finns 52 kort i färgerna ruter, hjärter, klöver och spader. Varje färg har 13 olika kort graderade från 2–10 och därefter knekt, dam, kung och ess.
Du blandar en kortlek och får följande kort:
Du byter sedan din spader 7 mot ett slumpmässigt valt kort.
a) Vad är sannolikheten att du får färg, dvs. att det blir ett hjärter?
b) Vad är sannolikheten att det blir stege och färg, dvs. att du får hjärter ess eller hjärter 6?
5211 Elsa gör en undersökning i en studentförening för att se vilken dryck studenterna föredrar när de fikar.
Dryck Avprickning Frekvens
Caffé latte IIII IIII IIII IIII II 22
Chai-te IIII II
Café au Lait
Relativ frekvens
IIII IIII IIII IIII IIII
Varm choklad IIII IIII 12,5 %
Saft 20 %
a) Hur många elever ingår i undersökningen?
b) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald elev föredrar Chai-te?
5.2.1 Uppgifter
5212 Euan inventerar sina strumpor och gör en tabell.
Färg Antal strumpor
Svart 12
Blå 8
Grön 4
Han tar en blå strumpa. Han tar slumpmässigt en strumpa till. Vad är sannolikheten att även den är blå?
Nivå 3
5213 En park har formen av en triangel. Dess sidor är 1,7 km och 1,4 km och 460 meter. En person springer runt parken. Hastigheten på de två långa sidorna är 4,0 m/s men på den korta sidan spurtar personen med hastigheten 6,0 m/s. Hur stor är sannolikheten vid ett visst ögonblick att personen just håller på att spurta?
5214 I en sammetspåse ligger 1 500 spelmarker märkta 1, 5 och 10. Några marker dras, värdet noteras och sedan läggs de tillbaka och påsen skakas om. Processen upprepas några gånger och resultatet förs in i en tabell. Vad borde statistiskt sett det totala värdet på markerna i påsen vara?
Marker 1 5 10
Antal 28 38 155
5.2.2 Tärningsdiagram
När man slår en vanlig sexsidig tärning är det lika stor chans att man får en etta som en sexa. Vad händer då om man slår tärningen två gånger? Kommer någon summa förekomma oftare än de andra summorna?
Om man vill beräkna sannolikheten för kast med två tärningar kan man visualisera utfallsrummet genom att rita ett tärningsdiagram.
Tärning 1
Ett tärningsdiagram kan förenklas om man låter tärningsparen vara prickar istället. Prickarna markerar de möjliga utfallen och då är det enkelt att markera de gynnsamma utfallen.
Första
Andra kastet
Vi kan exempelvis markera utfallet att få två sexor genom att ringa in den punkten.
Vi ser då att sannolikheten att få två sexor är en gynnsam på trettiosex möjliga:
P(2 sexor) = 1 36 ≈ 0,028 = 2,8 %
Vi undersöker frågeställningen:
Vilket är vanligast av poängsumman 9 eller 8 när man kastar två tärningar?
Vi ringar in poängsumman 9 med röda ringar och poängsumman 8 med blåa och studerar resultatet.
Tärning 2 Tärning 1
Tärning 1 = 6
Tärning 2 = 3
Summan = 6 + 3 = 9
De andra inringade utfallen ger också summan 9
Tärning 1 = 6
Tärning 2 = 2
Summan = 6 + 2 = 8
6 1 2 3 4 5
De andra inringade utfallen ger också summan 8
P(poängsumman 9 vid kast med två tärningar) = 4 36 = 1 9
P(poängsumman 8 vid kast med två tärningar) = 5 36
Det är alltså vanligare att få summan 8 än 9 vid kast med två tärningar.
X S nabbkoll
Man kastar två tärningar. Vad är sannolikheten att få
a) två treor
b) en femma och en sexa
c) summan 7
d) en summa under fyra 1 2 3 4 5 6
5.2.2
Komplementhändelse
Sannolikheten ”Att inte få två sexor” kallas komplementhändelsen till ”att få två sexor”.
P(Att inte få två sexor) + P(Att få två sexor) = 1
Tillsammans innehåller de alla utfall, de kompletterar varandra.
Detta samband kan man använda för att lösa problem. Det kan vara lättare att beräkna sannolikheten för komplementhändelsen än för händelsen som efterfrågas.
P(Att inte få två sexor) = 1 – P(Att få två sexor) = 1 − 1 36 = 35 36
Komplementhändelse
Om B är komplementhändelse till A så gäller:
P (A) + P (B ) = 1 det vill säga P (B ) = 1 − P (A)
X S nabbkoll
Vad är sannolikheten vid ett kast med två tärningar att
a) minst en av tärningarna blir en etta
b) maximalt en av tärningarna blir en etta
c) exakt en av tärningarna blir en etta
d) summan blir över 3
5.2.2 Exempel
Sannolikhet i tärningsdiagram
Vad är sannolikheten att få en 3:a och en 4:a vid två kast med en tärning?
löSning
Rita in de gynnsamma utfallen i ett koordinatsystem.
Man kan först få en 3:a och sedan en 4:a eller först en 4:a och sedan en 3:a.
Vi har två gynnsamma utfall. P(3:a och 4:a) = 2 36 = 1 18
Svar: Sannolikheten att få en 3:a och en 4:a vid 2 kast med tärning är 1 18 .
Sannolikhet för kombinationer
I en butik har man rea på blå och svarta jeans samt på blå, gröna och röda skjortor. Hur stor är sannolikheten då man slumpmässigt tar en skjorta och ett par jeans att få en kombination i olika färger?
Lös uppgiften genom att göra ett tärningsdiagram.
löSning
Skjorta
Vi ser att enda kombinationen med samma färg på jeans och skjorta är:
b) att få en poängsumma mindre eller lika med 7. löSning
a) Rita upp de olika utfallen i ett koordinatsystem. Här ringar vi in alla fall där poängsumman blir större än 7:
Här visar kast 2 en 6:a och kast 1 en 2:a, summan blir 8 vilket är större än 7
2
1
De andra inringade utfallen ger också summan större än 7
Vi ser 15 gynnsamma utfall av 36.
Svar: P(poängsumman > 7) = 15 36 = 5 12
b) Komplementhändelsen till händelsen ”att få en poängsumma > 7” är:
P(poängsumman ≤ 7) = 1 − P(poängsumman större än 7)
P(poängsumma ≤ 7) = 1 − 5 12 = 7 12
Svar: P(poängsumma ≤ 7) = 7 12
Nivå 1
5215 Tärningsdiagrammet visar möjliga resultat vid kast med två sexsidiga tärningar. 1 2 3 4 5 6
6 1 2 3 4 5
Hur stor är sannolikheten att
a) få en femma och sedan en trea
b) få en femma och en trea om ordningen inte spelar roll
c) få summan 10
d) få summan 8
e) båda tärningarna visar samma
f) den första tärningen visar ett udda tal och den andra ett jämt tal
g) minst en av tärningarna är en sexa
5216 Två mynt kastas och utfallen på mynten är krona eller klave. Bestäm P(klave, klave).
Lös uppgiften med ett tärningsdiagram.
5217 P(A) och P(B) är komplementhändelser P(B) = 0,3. Vad kan man säga om P(A)?
5218 Vad är komplementhändelsen till att
a) slå en sexa med en tärning
b) få summan över 8 när man slår två tärningar
c) inte få någon sexa när man slår tre tärningar
5219 Ett företag säljer 7 olika pennor och 5 olika linjaler i de prisklasser som anges i diagrammet. Zahra köper en penna och en linjal för 90 kr. Det gör du också. Hur stor är sannolikheten att ni har köpt samma sorter?
5220 Om du kastar två tärningar, hur stor är sannolikheten att summan är mindre än 5?
5221 Du kastar två sexsidiga.
a) Hur stor är sannolikheten att du får en 3:a och en 2:a?
b) Hur stor är sannolikheten att få en summa större än 5?
c) Hur stor är sannolikheten att få minst en 6:a?
5222 Magnus säger att chansen att få summan 7 är större än att få summan 8, när han slår två tärningar. Har han rätt?
5223 Hur stor är sannolikheten att få två st 5:or vid ett kast med
a) två 10-sidiga tärningar
b) två 20-sidiga tärningar
c) en 10-sidig tärning och en 20-sidig tärning
Pennor
5.2.2 Uppgifter
5224 Vilken är komplementhändelsen till att högst få summan 10 vid kast med två tärningar?
A Att få summan 10
B Att få summan minst 10
C Att få summan minst 11
D Att få summan minst 9
5225 Vad är sannolikheten för följande händelser om du slår en tärning två gånger?
a) P(summan 3)
b) P(en sexa eller en femma)
c) P(2 sexor)
d) P(ingen sexa)
Nivå 2
5226 Luca kastar två tärningar. Beräkna sannolikheten att han får
a) en eller två 3:or
b) endast en 3:a
5227 Vilken formulering beskriver utfallet som de gula prickarna i tärningsdiagrammet utgör.
2
1
A Åtminstone en fyra
B Poängsumman 8
C Poängsumman 7
D Endast 4:or eller 5:or
5228 Formulera utfallet som de gula prickarna i tärningsdiagrammet utgör.
Tärning 2
1
5229 Formulera komplementhändelsen till de gula prickarna i tärningsdiagrammet.
2 Tärning 1
5230 Tindra spelar Drakar och gnomer. Hon kastar en sexsidig och en tiosidig tärning. Hon vinner om summan är över 10 eller om den tiosidiga tärningen visar över 5. Hur stor är chansen att hon vinner?
5231 Axel simulerar tärningskast med 2 tärningar. Han simulerar 1 000 kast. Hur många av kasten förväntas ge en poängsumma som är mindre än 8?
5232 Du kastar en sjusidig tärning och en åttasidig tärning. Bestäm sannolikheten för att få summan 13 eller summan 5.
5233 Om man kastar 2 sextonsidiga tärningar vad är då sannolikheten att få
a) ingen sexa
b) ett par
c) summa över 17
d) ingen sjua och en summa under tio
Nivå 3
5234 En beachvolleyklubb har rankat sina åtta herrspelare med siffrorna 1–8 och sina fem damspelare med siffrorna 1–5. Inför en tävling bildas ett mixedpar. Hur stor är sannolikheten att ett sådant mixedpar har
a) rankingsumman över 6
b) minst en spelare som är rankad topp tre
c) en damspelare som har högre rankingpoäng än herrspelaren
5235 Vad är sannolikheten att få minst en 7:a vid kast med en tiosidig tärning 8 gånger?
Ska man göra flera svåra saker i rad minskar chansen att lyckas.
5.2.3 Träddiagram – oberoende händelser
Multiplikationsprincipen
Vi tittar på händelsen att du singlar slant två gånger och vill veta vad sannolikheten är att du får krona båda gångerna P(krona, krona).
Vi skriver ut de olika möjliga utfallen: (krona, krona), (krona, klave), (klave, krona) och (klave, klave). Vi har alltså fyra olika utfall och ett av dessa utfall är gynnsamt (krona, krona).
klave krona klave klave
Sannolikheten att få (krona, krona) är alltså 1 av 4.
Då man har två händelser kan man beräkna sannolikheten för slutresultatet, genom att multiplicera sannolikheten för att den första händelsen inträffar med sannolikheten att den andra händelsen inträffar.
P(A och B) = P(A) · P(B)
Sannolikheten för att både A och B ska inträffa är sannolikheten för A multiplicerat med sannolikheten för B.
Multiplikationsprincipen
Om man har en händelse som upprepas i fler steg, multiplicerar man de olika sannolikheterna för stegen för att få sannolikheten för hela förloppet.
P(A och B) = P(A) · P(B)
krona krona krona klave
Ett annat sätt att lösa detta problem är att rita upp ett träddiagram. Om vi tittar på händelsen att singla slant två gånger i ett träddiagram ser det ut så här:
Singlad slant första gången
Singlad slant andra gången
Singlad slant andra gången
Sannolikheten att få krona är 1 av 2 möjliga utfall. Sannolikheten att få klave är också 1 av 2 möjliga utfall.
Vi får ett träd med grenar som representerar sannolikheter. Varje linje är ett utfall och sannolikheten att få krona och sedan krona igen går genom den första och den andra röda linjen i träddiagrammet ovan, markerad med gult nedan. Vi väljer ett av fyra olika vägval.
Singlad slant första gången
Singlad slant andra gången
Singlad slant andra gången
Vårt vägval längs med den vänstra grenen som ger krona och sedan krona igen ger enligt multiplikationsprincipen att sannolikheten blir
P(krona, krona) = 1 2 · 1 2 = 1 4
Multiplikationsprincipen i träddiagram
Sannolikheten för en gren = produkten av sannolikheterna längs med grenen.
Lägg märke till att summan av alla vägval blir 1 eftersom det är summan av alla möjliga utfall.
Summan av alla vägar i träddiagrammet: 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 = 1
5.2.3
Teori
Kan man lyckas på flera sätt ökar chansen att lyckas.
Additionsprincipen
Om vi istället tittar på sannolikheten att få en krona och en klave, oberoende av ordning, så används multiplikationsprincipen för två händelseförlopp. Först krona och sedan klave eller först klave och sedan krona.
P(krona, klave) = 1 2 · 1 2 = 1 4
P(klave, krona) = 1 2 · 1 2 = 1 4
Sannolikheten blir då summan av de två utfallen 1 4 + 1 4 = 2 4 = 1 2
Sannolikheten för A eller B är sannolikheten för A adderat med sannolikheten för B.
P(A eller B) = P(A) + P(B)
Om vi istället tittar på sannolikheten att få en krona och en klave, oberoende av ordning, så adderar vi sannolikheten för de två vägarna.
Sannolikheten att vi har fått en krona och en klave är alltså 1 4 om vi tar hänsyn till ordningen. Men om vi bara är intresserade av slutresultatet att det är en av varje och inte tar hänsyn till ordningen, är sannolikheten 1 2 .
Additionsprincipen
P (A eller B) = P (A) + P (B)
Sannolikheten för A eller B är sannolikheten för A adderat med sannolikheten för B.
Om vi tittar på fallet P(krona, klave) i ett träddiagram ser vi att vi tar två vägar i träddiagrammet:
Lägg märke till att när vi använder ordet och är det multiplikation och vid ordet eller är det addition i beräkningen. 5.2.3
Sannolikheten för krona och klave eller klave och krona beräknar vi genom att använda multiplikationsprincipen och additionsprincipen.
Vi multiplicerar längs med grenen och adderar grenarna:
Additionsprincipen i träddiagram
Sannolikheten för flera grenar är summan av sannolikheterna för varje gren.
Summan av alla grenars sannolikhet blir 1.
X S nabbkoll
Naomi singlar slant och slår sedan en sexsidig tärning.
a) Vad är sannolikheten att hon får krona?
b) Vad är sannolikheten att hon slår en sexa?
c) Vad är sannolikheten att slå en sexa eller en femma med tärningen?
d) Vad är sannolikheten att få krona och en sexa?
e) Vad är sannolikheten att få krona eller en sexa?
Teori
5.2.3 Exempel
Oberoende sannolikhet i tre steg
Vad är sannolikheten när du singlar slant tre gånger att du får 2 × krona och 1 × klave oavsett ordning?
löSning
Rita ett träddiagram och skriv in sannolikheten för krona och klave. Markera i träddiagrammet samtliga vägar som ger två krona och en klave.
Singlad slant första gången
Singlad slant andra gången
Singlad slant andra gången
Singlad slant tredje gången
Använd multiplikationsprincipen och additionsprincipen.
Svar: Sannolikheten att få 2 × krona och 1 × klave då man singlar slant är 3 8 .
Urna med kulor
I en urna finns 5 kulor varav 2 är blåa och 3 är orangea. Lisa tar slumpvis en kula, noterar färgen, lägger tillbaka den och tar slumpvis en kula igen.
Vad är sannolikheten att hon får två blåa kulor?
löSning
Sannolikheten att få en blå kula är 2 5 (2 gynnsamma utfall av 5) och
sannolikheten att få en orange kula är 3 5 (3 gynnsamma utfall av 5).
Rita ett träddiagram där den första nivån är kula nummer 1 och andra nivån är kula nummer 2.
P(2 blå kulor) = 2 5 · 2 5 = 4 25
Svar: Sannolikheten att få två blå kulor är 4 25 .
Krona
Oberoende sannolikhet i tre steg
En skytt har en sannolikhet för träff på 0,7 och 0,3 för miss. Vad är sannolikheten för skytten att få minst en träff på 3 skott?
löSning med träddiagram
Rita ett träddiagram för de tre skotten. Det blir 3 nivåer.
Utfallen för skytten är: 0 träffar, 1 träff, 2 träffar och 3 träffar. Minst en träff ger utfallen: 1 träff, 2 träffar och 3 träffar.
Vi ser att man kan välja 3 vägar för att få sannolikheten för en träff: (träff, miss, miss) och (miss, träff, miss) och (miss, miss, träff).
Man kan gå 3 vägar för att få 2 träffar: (träff, träff, miss), (träff, miss, träff) och (miss, träff, träff).
Det finns en väg att få 3 träffar: (träff, träff, träff).
Vi multiplicerar längs med grenarna och adderar de olika vägvalen:
Svar: Sannolikheten för minst en träff av skytten är 0,973.
löSning med komplementhändelSe
Sannolikheten för minst en träff är 1 minus sannolikheten för inga träffar.
P(ingen träff) = 0,33 = 0,027
P(minst en träff) = 1 − 0,027 = 0,973
Svar: Sannolikheten för minst en träff är 0,973.
5.2.3
Exempel
Sannolikheten för att få minst en träff
Ulf är en duktig skytt. Sannolikheten att han träffar är 0,8.
Hur stor är sannolikheten att Ulf, då han skjuter 10 skott, får åtminstone en träff?
löSning
”Åtminstone en träff” har komplementhändelsen ”Ingen träff”, dvs 10 missar. Sannolikheten för 1 miss P(miss) = 1 − 0,8 = 0,2 eftersom totala sannolikheten för alla utfall miss och träff är 1.
P(10 missar) är enligt multiplikationsprincipen = = 0,2
= 0,210 = 0,00000010240
Man kan också se det som en gren med miss för varje skott:
Svar: Sannolikheten att han får minst en träff är 0,9999998976.
Sannolikheten att få fisk
Nils har räknat ut att sannolikheten att få napp när han står och kastar med sitt fiskespö och sitt bästa fiskedrag på sin favoritbro är 2,0 %.
Hur stor är chansen att efter femtio kast få minst en fisk?
Korrekt elevlösning
P(ingen fisk) = 1 − 0,02 = 0,98
P(ingen fisk på 50 kast) = 0,9850 ≈ 0,36
P(minst en fisk på 50 kast) = 1 − 0,36 = 0,64
Svar: Sannolikheten att få minst en fisk på 50 kast är 64 %
5.2.3 Uppgifter
Nivå 1
5236 Sara funderar på när hon ska använda träddiagram och när hon ska använda tärningsdiagram. Vilken eller vilka sannolikheter passar bäst att lösa med tärningsdiagram?
A P(att få 2 sexor vid kast med fyra tärningar)
B P(att få summan 6 vid kast med två tärningar)
C P(att få en summa större än 6 vid kast med två tärningar)
D P(att få summan 6 vid kast med tre tärningar)
E P(att få minst en 6:a vid kast med fyra tärningar)
F P(att få minst en 6:a vid kast med två tärningar)
5237 Vilken väg i träddiagrammet är komplementhändelse till händelsen minst en krona?
5239 Vad innebär multiplikationsprincipen i ett träddiagram? Vilket eller vilka alternativ är rätt?
5238 Sannolikheten att ett solrosfrö gror är 0,6. Jacob sår fyra stycken solrosfrön. Han funderar på hur stor sannolikheten är att han åtminstone lyckas få en solros att gro.
a) Vilken är komplementhändelsen till ”åtminstone en solros gror”?
b) Hur stor är sannolikheten att åtminstone en solros gror?
A Att man multiplicerar alla sannolikheter i diagrammet med varandra
B Att man multiplicerar sannolikheterna längst till vänster med varandra
C Att man multiplicerar sannolikheterna längs med en gren för att få sannolikheten för hela grenen
D Att sannolikheten för en gren är produkten av sannolikheterna längs med grenen
5240 Träddiagrammet visar en skytts tre skott. Vilka vägar ger händelsen ”två träffar och en miss” oberoende av ordningen?
Klave Klave
Singlad slant första gången
Singlad slant andra gången
Träff
Träff
5.2.3 Uppgifter
5241 Träddiagrammet visar sannolikheterna för utfallen då man singlar slant två gånger.
5243 Karl kör förbi tre trafikljus på vägen till jobbet. Sannolikheten för rött ljus är 0,6 och för grönt ljus 0,4.
Svara i decimalform med två gällande siffror.
a) Hur stor är sannolikheten att Karl får grönt ljus hela vägen in till jobbet?
b) Hur stor är sannolikheten att Karl får rött ljus hela vägen till jobbet?
c) Hur stor är sannolikheten att Karl får två röda och ett grönt ljus?
Nivå 2
5244 Vad är sannolikheten att få minst en 5:a kastar en sexsidig tärning tre gånger?
a) Hur stor är sannolikheten att få krona båda gångerna? Svara i enklaste bråkform.
b) Hur stor är sannolikheten att få olika utfall båda gångerna?
c) Hur stor är sannolikheten att få klave två gånger? Svara i decimalform.
d) Vad är summan av alla utfall?
5242 När man vinner en bana i ett dataspel får man ett pris. Sannolikheten för ett diplom är 6/10 för en medalj 3/10 och en pokal 1/10. Lia vinner två gånger i rad. Vad är sannolikheten att hon får
a) två diplom
b) en pokal och en medalj
c) minst en pokal
d) två olika pris
e) två likadana pris
5245 Loke ser två skålar. En med klossar och en med bollar.
Han tar slumpmässigt en kloss ur den ena skålen och en boll ur den andra.
Vad är sannolikheten att han får upp
a) en blå kloss och en gul boll
b) minst en blå eller gul färg på något av föremålen
5246 En skidskytt skjuter 5 skott på ett träningspass. Sannolikheten för att hon träffar är 0,75. Vad är sannolikheten för minst en träff? Svara med 4 decimalers noggrannhet.
Singlad slant första gången
Singlad slant andra gången
Singlad slant andra gången
5247 Aisa satsar på färgen gul när två lyckohjul snurrar samtidigt.
Vad är sannolikheten att hon får
a) två gula resultat
b) två röda resultat
5248 I en enbarnsfamilj med en pojke vill man skaffa tre barn till och hoppas på åtminstone två flickor. Vad är sannolikheten för det? Vi räknar med att sannolikheten för en pojke och flicka är lika stora.
5249 I ett lotteri tar man en kula och på kulan står det markerat om det är en vinst eller inte. När man tagit en kula läggs den tillbaka i skålen igen.
I skålen finns 100 kulor och 20 av dem är vinster. Det kostar 20 kr för att ta 3 kulor.
a) Vad är sannolikheten för att få 1 vinst?
b) Hannah spelar för 100 kr. Vad är sannolikheten för förlust alla gånger?
Avrunda ditt svar till tre decimaler.
5.2.3 Uppgifter
5250 En trafiksignal visar rött 60 % av tiden och grönt 35 % av tiden och gult 5 % av tiden. Om du passerar två sådana trafikljus, vad är sannolikheten att få grönt minst en gång? Svara med 3 decimalers noggrannhet.
5251 Beräkna sannolikheten till komplementhändelsen ”Att få en 1:a eller 6:a” vid 3 kast med en sexsidig tärning.
Nivå 3
5252 På en skola läser 80 % av eleverna spanska och 20 % av eleverna tyska. Skolan erbjuder också eleverna att välja ett språk till, franska. 40 % av de som valt tyska väljer också franska. Av eleverna läser 24 % spanska och franska. Hur stor andel av eleverna läser endast ett språk?
5253 På ett tivoli kostar det 20 kr att snurra tre lyckohjul. Man kan satsa på en färg som då ska visas minst en gång för att få ett pris.
a) Nicklas satsar på grönt. Vad är sannolikheten att han vinner ett pris?
b) Vilken färg ska han satsa på för att ha störst chans att vinna?
5.2.4 Träddiagram – beroende händelser
Om du har en skål med vingummi i olika färger och slumpmässigt tar ett vingummi att äta, finns en viss sannolikhet att du får en specifik färg. Eftersom vingummit inte återförs till skålen, ändras sannolikheten för att få samma färg nästa gång du tar ett vingummi.
Andra gången du tar ett vingummi har vi inte längre en oberoende händelse. Vingummit du tar första gången påverkar sannolikheten för färgen på det andra vingummit. Man säger att valet av det andra vingummit är en beroende händelse.
Beroende händelse
En händelse som är beroende av en tidigare händelse.
En skål med godis innehåller 4 gula och 2 gröna vingummin. Du tar ett vingummi och sedan tar du ett till. Hur stor är sannolikheten att du har ett gult och ett grönt vingummi? Vi kan lösa detta genom att rita upp ett träddiagram. Denna gång blir inte sannolikheterna samma i nivå ett och nivå två. Vi tittar vilka av vägarna som slutar med att vi har ett gult och ett grönt vingummi.
Vi beräknar sannolikheten för var och en av dessa vägar.
Svar: Sannolikheten att ta upp 2 orangea kulor i rad är 5 14 .
b) P(först en orange sedan en blå) = 5 8 · 3 7 = 5 · 3 8 · 7 = 15 56
Svar: Sannolikheten att först ta en orange och sedan en blå kula är 15 56 .
c) P(först en blå och sedan en orange) = 3
15 56
Svar: Sannolikheten att först ta en blå och sedan en orange är 15 56 .
d) P(en orange och en blå) = 15 56 + 15 56 = 30 56 = 15 28
Om man inte bryr sig om ordningen man tar kulorna i, blir det två vägar i träddiagrammet och då adderar vi dem.
Komplementhändelse
Toras motståndare i basket har begått en foul vid ett trepoängsskott så Tora ska skjuta tre straffar. Sannolikheten för att hon ska träffa är 0,75. Om Tora missar sjunker hennes självförtroende och då minskar sannolikheten för träff med 0,1. Om hon istället träffar ökar sannolikheten för träff med 0,1.
Hur stor är sannolikheten att Tora då hon skjuter sina straffar får
a) exakt en träff och två missar
b) minst en träff
löSning
a) Vi ritar ett träddiagram och markerar vägarna som ger exakt en träff och två missar.
De tre vägarna är (träff, miss, miss), (miss, träff, miss) och (miss, miss, träff).
Vi multiplicerar längs med var och en av grenarna och adderar sedan vägvalen:
Svar: Sannolikheten att Tora ska få åtminstone en träff är 0,96 eller 96 %.
Första skottet
Andra skottet
Andra skottet
Tredje skottet
Träff Miss
Träff
Träff Miss Miss
Träff Miss Träff Miss Träff Miss Träff Miss
5.2.4 Uppgifter
Nivå 1
5254 Vilken eller vilka av följande händelser är
beroende händelser?
A Sannolikheten att en yatzyspelare får yatzy på ett slag.
B En pokerspelares chans att få ett klöver ess då dealern ger hen ett kort till.
C Sannolikheten att få en godisnapp ur en påse blandat godis 3 gånger i rad.
5255 I en skål med frukt ligger 2 röda, 4 gröna och 4 gula äpplen. Rita upp ett träddiagram som beskriver vad som händer när man tar upp tre äpplen.
5256 Gunnar har hällt upp en skål med godisbilar. I skålen finns det 15 gröna, 12 vita och 18 rosa bilar. Hans favorit är de gröna bilarna.
a) Hur stor är sannolikheten att han slumpmässigt tar en grön bil?
b) Hur stor är sannolikheten då han tar två bilar att båda är gröna bilar?
5257 Mariella och Thea ser på tre olika travlopp med olika antal hästar som startar i varje lopp.
Lopp 1: 11 hästar
Lopp 2: 15 hästar
Lopp 3: 10 hästar
Mariella säger till Thea att sannolikheten att chansa på en vinnare i alla tre lopp inte är en beroende händelse.
a) Har hon rätt?
b) Hur stor är sannolikheten att få tre vinnare genom att chansa?
5258 Mattias drar två kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att han drar två damer?
Nivå 2
5259 Vilken eller vilka av följande beskrivningar passar den markerade vägen i träddiagrammet?
A Sannolikheten att ta upp en gul och en blå kula ur en urna med 3 gula och 4 blå kulor.
B Sannolikheten att slå en 3:a och en 4:a på en sjusidig tärning.
C Sannolikheten att ta upp minst en gul strumpa ur en låda med 3 gula och 4 blå strumpor.
D Sannolikheten att ta upp högst en gul kula ur en urna med 3 gula och 4 blå kulor.
E Sannolikheten att plocka en blå och en gul blomma slumpmässigt ur en rabatt med 3 gula och 4 blå blommor.
5260 Du drar 3 kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att du får triss i damer?
5261 Vendela drar 4 kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten att
a) det är 4 ess
b) det är 4 hjärter
c) hon får hjärter 2, 3, 4 och 5 i turordning
5262 I en godisskål finns godis i tre färger: gul, orange och silver.
Nivå 3
5264 Signe har fått korten på bilden när hon delat ut kort ur en kortlek. Hon tänker att denna hand är väldigt bra men Royal straight flush är det bästa man kan få. Royal straight flush är följande stege i färgen hjärter: 10, knekt, dam, kung, ess. Vad är sannolikheten att hon får det om hon byter ut de två spader-korten och tar två nya kort ur samma kortlek?
Det finns 5 gula bitar, 6 orangea och 5 silverfärgade. Vad är sannolikheten att
a) få minst en gul bit om man slumpmässigt tar upp tre bitar?
b) slumpmässigt ta upp två bitar med samma färg?
5263 Gabriella kastar pil. När hon börjar är sannolikheten för träff 0,8, men om hon inte träffar sjunker hennes självförtroende så att sannolikheten för träff minskar med 1/10. Hon har tre pilar att kasta. Beräkna sannolikheten för
a) 3 träffar
b) 3 missar
c) minst en träff
5265 I en glasburk finns 14 vita och 15 gula kulor. Om man lägger till dubbelt så många vita som gula kulor blir sannolikheten för att ta en gul kula 2/5. Om vi nu tar upp två kulor ur burken, vad blir då sannolikheten att ta upp minst en gul kula?
5.2 Öva
Nivå 1
1 Lisa drar ett kort ur en kortlek med 52 kort.
a) Hur stor är sannolikheten att hon får ett hjärter när hon slumpmässigt drar ett kort?
b) Hur stor är sannolikheten att hon drar hjärter ess?
4 Marie spelar på ett lyckohjul.
a) Hur stor chans har hon att vinna om hon satsar på blått?
b) Hur stor chans har hon om hon satsar på gult och rött?
5 Alina slår två tärningar. Vad är sannolikheten att hon får
a) poängsumman 5
2 Martin spelar kobingo. I kobingo tar man in en ko i en hage med 24 rutor utritade. Martin satsar pengar på att kon kommer att bajsa i en viss ruta. Hur stor är sannolikheten att Martin vinner?
3 Sebino tar slumpmässigt fram två strumpor från sin strumplåda. Lådan innehåller 12 svarta och 6 vita strumpor. De är inte ihopvikta utan ligger huller om buller. Svara på frågorna nedan i hela procent.
a) Hur stor är sannolikheten att han tar två svarta strumpor?
b) Hur stor är sannolikheten att han tar två strumpor av samma färg?
c) Hur stor är sannolikheten att han tar minst en svart strumpa?
b) en summa som är mindre än 4
c) minst en 1:a
6 Vilket alternativ har störst chans? Placera dem i ordning med lägst chans längst ner och störst chans högst upp.
1. Chansen att få två sexor när du kastar en sexsidig tärning två gånger.
2. Chansen att få krona två gånger i rad då du singlar slant.
3. Chansen att få en trea och en sexa när du kastar en åttasidig tärning två gånger.
4. Chansen att få grönt ljus vid två trafikljus då sannolikheten för grönt är 0,4.
7 Vad är sannolikheten att få minst en krona då du singlar slant 3 gånger?
8 Sigge sitter och blandar en kortlek och drar slumpmässigt 4 kort. Svara på frågorna nedan i hela procent.
a) Vad är sannolikheten att han inte får något ess?
c) Vad är sannolikheten att han får minst ett ess?
9 Nisse beställer två pizzor och låter slumpen avgöra vilka pizzor det blir. Det kan bli två likadana pizzor eller två olika.
a) Hur stor sannolikhet är det att båda pizzorna kostar 75 kronor?
b) Hur stor är sannolikheten att en pizza är vegetarisk och att en innehåller skinka?
c) Hur stor är sannolikheten att minst en pizza innehåller skinka?
10 Ronja har köpt en resväska med ett tresiffrigt kombinationslås. Hon är lite orolig över risken att någon kan mata in rätt kod på hennes resväska.
a) Hur många kombinationer av de tre siffrorna finns det?
b) Hur stor är risken att någon lyckas på ett försök? Svara i procent.
11 Patrik tar slumpvis en kula ur en urna, lägger tillbaka den och tar slumpvis en kula igen.
Vad är sannolikheten att han
a) tar två röda kulor?
b) tar en röd och en blå kula om man inte tar hänsyn till i vilken ordning han tar dem?
c) tar två blåa kulor?
Nivå 2
12 Jesper säger till Per-Olof: Vi singlar slant om vem som får betala lunchen! Bäst av 3 vinner! Jag satsar på krona, säger Jesper. Hur stor är sannolikheten att Jesper vinner?
13 Ett lyckohjul, där vinsten är en stor chokladkartong, har 20 nummer. Varje nummer kostar 20 kronor. Stina vill gärna vinna och satsar 100 kr. Hur stor är sannolikheten att hon ska vinna en chokladkartong?
5.2 Öva
14 Holly och Sally spelar Monopol. Sally kastar de två sexsidiga tärningarna och får summan 8 och hamnar på Hollys gata. Betala! säger
Holly och ler triumferande. Hur sannolikt var det? muttrar Sally.
a) Ja, hur stor var sannolikheten att hon skulle få summan 8?
b) För att Holly ska passera GÅ måste hon få en summa på minst 6. Hur stor är sannolikheten för det?
15 Hur stor är sannolikheten att man i en fyrabarnsfamilj har
a) 4 döttrar
b) fler döttrar än söner
16 Vad är sannolikheten att lyckohjulet visar
a) gult tre gånger i rad
b) samma färg tre gånger i rad
17 Alex funderar på hur stor sannolikheten är att någon kan knappa in rätt kod på mobiltelefonen. Koden har 6 siffror. Hur stor är sannolikheten att knappa in koden på ett försök?
18 En skidskytt har en träffsäkerhet på 85 % när han skjuter. Efter första skottet sjunker sannolikheten för träff till 80 % om han missar, men ökar till 90 % om han träffar.
Vad är sannolikheten för minst en träff då han skjuter två skott?
19 På en av delarna på högskoleprovet är det lite stressigt tycker Karl, så han chansar och svarar slumpmässigt. På 12 uppgifter får han 4 svarsalternativ.
a) Hur stor är sannolikheten att han har alla rätt på de 12 uppgifterna som han chansar på?
b) Hur stor är sannolikheten att han har minst ett rätt?
20 Ingela har fått en ask choklad där det finns 32 bitar av 8 olika sorter. En sort innehåller hasselnötter som hon är allergisk mot. Vi antar att det finns lika många bitar av varje sort. Bettina tar slumpmässigt två bitar och säger: ”Hur stor är sannolikheten att du tål minst en av de här bitarna?” Svara i hela procent.
21 När Anna ska åka på solsemester till Gran Canaria kostar resan 4 400 kr. Hon erbjuds att teckna avbeställningsskydd för 230 kr. Anna är sjuk 15 dagar/år i genomsnitt.
a) Hur stor är risken att Anna är sjuk på avresedagen?
b) Är det ett bra erbjudande? Motivera.
c) Den genomsnittlige resenären är sjuk 10 dagar/år. Hur mycket pengar tjänar resebolaget på de 100 000 resenärer som tecknar försäkringen och är friska?
22 I en kökslåda finns det 10 gafflar och 14 knivar. Benny ska bjuda sin flickvän på middag. Precis när han ska duka ringer det på dörren. Benny tar snabbt upp fyra bestick på måfå. Bestäm sannolikheten att han får två knivar och två gafflar.
Nivå 3
23 Amir kommer med i tv-programmet Bytt mot nytt. Det finns åtta föremål som är värda
mellan 400 kr och 400 000 kr. Spelet går till så att han väljer ett föremål, sedan har han möjlighet att byta mot ett nytt föremål och då väljer han bort det gamla föremålet. Han vinner den summa som föremålet han har kvar till sist är värt.
Amir funderar: Om jag bara slumpmässigt väljer och varje gång byter föremål, hur stor är sannolikheten att jag efter 7 byten har kvar det dyraste föremålet till sist?
Svara på Amirs fundering.
24 Ett hotell har fem våningar med 9 rum på varje. Jesper bor på våning 3 i rum 7. Hans nyckel är då märkt 37. Vid frukosten möter Jesper en annan gäst, Alma. Hur stor är sannolikheten att Almas nyckel är märkt med
a) två udda tal?
b) ett tal med siffersumman mindre än 10?
25 I en klass med 18 tjejer och 12 killar ska man lotta fram två tjejer och två killar. När lottningen är klar så undrar de fyra som valdes hur stor sannolikheten var att just de blev valda?
26 Reza utmanar Johan på ett tärningsspel. ”Om du slår två sexsidiga tärningar och summan är över 9 får du 300 kronor, annars får jag x kr. Visar någon av tärningarna 1 får du slå om.” Vilket värde ska x ha för att spelet ska vara så rättvist som möjligt?
27 Pär tar fem slumpmässiga kort ur en vanlig kortlek och får korthanden på bilden. Han slänger ruter tre och hjärter sju och tar två nya kort. Han har inte sett de andra spelarnas kort. Vad är sannolikheten att han får
a) två klöver som ger honom färg
b) en knekt och en tia i valfri färg som ger honom stege
c) klöver knekt och klöver tio som ger honom en royal straight flush
28 I en studentkorridor bor 5 svenskar, 4 tyskar och 2 norrmän. Helmut kommer från Berlin och har två grannar. Bestäm sannolikheten att hans grannar är från två olika länder.
5 Blandade övningar
Nivå 1
1 Beskriv ett eventuellt korrelationssamband mellan x och y variabeln.
a)
y
b)
c)
d)
2 I ett företag med 1 500 anställda är 40 % kvinnor och 60 % män. 8 % av de anställda ska väljas ut för att genomföra en intervju om arbetsmiljön på företaget. Hur ska urvalet göras om det ska spegla förhållandet mellan antalet kvinnor och antalet män i företaget?
3 Vilka av följande frågor är ledande?
A Skulle du rösta Ja på en ny motorväg om du fick frågan?
B Vad tycker du om kvaliteten på maten i skolan?
C Föredrar du att åka buss till jobbet om du får välja mellan buss och cykel?
D Är du för eller emot kärnkraft?
4 I en förening är 354 män och 637 kvinnor medlemmar. I en enkät tillfrågades 27 män och 45 kvinnor (slumpvis utvalda) om innehållet på en föreläsning man anordnat.
På frågan: ”Tycker du att föreläsningens innehåll var bra?” svarade 23 kvinnor Ja och 16 Nej. Bland männen svarade 9 Ja och 12 Nej.
a) Hur stort var bortfallet i procent? Avrunda till hela procent.
b) Hur många kvinnor i föreningen tyckte att innehållet på föreläsningen var bra om man bortser från bortfallet?
c) Uppskatta andelen medlemmar i föreningen som tyckte att innehållet på föreläsningen var bra om man bortser från bortfallet.
5 Matcha begrepp (A–D) med rätt förklaring (1–4).
A Totalundersökning
B Stratifierat urval
C Obundet slumpmässigt urval
D Annat urval
1 När svenska folket röstar.
2 Att till en undersökning välja alla som är födda den 5:e mars i en stad.
3 Att fråga var 3:e person i en kö till biografen.
4 Att till en undersökning välja så att könsfördelning, yrke och ålder är representerade.
6 Maria slår en vanlig sexsidig tärning. Hur stor är sannolikheten att hon slår
a) en 2:a
b) en 2:a eller en 3:a
7 Vad är sannolikheten
att få krona två gånger då du singlar slant två gånger?
8 Du kastar två sexsidiga. Hur stor är sannolikheten
a) att få poängsumman 6
b) att inte få poängsumman 6
9 Kristina tar upp bestick ur diskmaskinen. Det finns 2 knivar, 3 gafflar och 5 skedar. Hon tar slumpmässigt två bestick. Hur stor är sannolikheten att det är en kniv och en gaffel?
10 Du arbetar med datorsäkerhet och vill informera om hur säkert ett lösenord är. Hur stor är chansen att knäcka ett lösenord om det är en kod med
a) 8 siffror
b) 8 små bokstäver
c) 8 bokstäver som kan vara stora eller små (Räkna med att vi har 28 bokstäver).
11 En trollkonstnär ber en person i publiken att tänka på ett tal mellan 1 och 100. Hur stor är sannolikheten att trollkonstnären slumpvis först gissar fel och sedan gissar rätt?.
12 I en klass har eleverna svarat på frågan, ”Hur många syskon har du?”.
Tabellen visar hur många syskon eleverna i en klass har svarat att de har.
0 syskon 1 syskon 2 syskon 3 syskon 5 10 15 1
a) Bestäm den relativa frekvensen för att ha 2 syskon.
b) Hur stor är sannolikheten att en elev har mer än 1 syskon?
5 Blandade övningar
Nivå 2
13 På ett badhus vill man undersöka om man ska starta ett nytt koncept med en SPA-kväll varje vecka. Vilken urvalsmetod är lämpligast?
A Fråga alla besökande klockan 14.00 en dag.
B Fråga var 10:e besökare under en dag.
C Fråga alla som handlar i kiosken på badhuset under en dag.
D Fråga alla besökande mellan 18–65 under en dag.
E Fråga alla som äter mat i kiosken under en vecka.
14 I en klass på 32 elever gör en lärare en kursutvärdering. Av de 20 elever som svarar är 60 % positiva.
Vad skulle resultatet bli om
a) alla som inte svarade var positiva
b) alla som inte svarade var negativa
c) om 75 % av de som inte svarade var positiva
15 I ett lotteri finns det 100 lotter. Av de lotterna ger 10 lotter en vinst. Miriam tar två lotter.
a) Hur stor sannolikhet är det att båda lotter ger vinst? Ange svaret med en gällande siffra.
b) Hur stor sannolikhet är det att Miriam får minst en vinst? Ange svaret i hela procent.
16 I en klass är den relativa frekvensen för betyget B = 20 %.
Antalet elever som har betyget E är 4 st mindre än för betyg D.
Det är 8 st fler som har betyg C än betyg D. Lika många elever har betyg E som betyg A.
Det går 30 stycken elever i klassen och ingen elev har F.
Beräkna frekvensen och relativa frekvensen för betygen. Ange den relativa frekvensen med en decimals noggrannhet.
17 På en viss modell av en mobiltelefon är sannolikheten att det är något fel på den 10 % . Rami köper två telefoner av denna modell.
a) Hur stor är sannolikheten att det inte är något fel på någon av telefonerna?
b) Hur stor är sannolikheten att minst en av telefonerna är felfri?
c) Hur stor är risken att det är fel på båda telefonerna?
18 Pär får korthanden på bilden när han slumpmässigt tar 3 kort.
Vad är sannolikheten för det?
19
På en restaurang har man två lunchalternativ: spätta och köttbullar. Anta att 30 % väljer spätta och resten köttbullar. När de kommer fram till kassan kan de lägga till sallad, vilket 20 % av lunchgästerna gör. De kan också lägga till läsk, vilket 30 % gör. Hur stor är sannolikheten att
a) personen före i kön väljer köttbullar, sallad och läsk
b) två personer som råkar sätta sig bredvid varandra båda har valt spätta utan sallad men med läsk
20 I ett dataspel går man i en tunnel som delar sig i två gångar som båda leder till samma skatt. Väljer man den första gången möter man ett mindre monster och risken att förlora är bara 20 %. Den andra gången delar sig i ytterligare två gångar. I den första möter man en drake och där är chansen att förlora 70 %. I den andra möter man ett stort monster och risken att förlora är 62 %.
Beräkna sannolikheten att ta sig till skatten om man väljer varje gång slumpvis.
21 I en klass med 28 elever väljs tre elever slumpmässigt ut att svara på dagens läxfrågor. De tre eleverna tittar på varandra och en av dem viskar. ”Vad var sannolikheten att just vi tre skulle bli utvalda?”
22 Inför en bordtennisturnering lottas motståndarna. I första matchen möter Truls en spelare som han slagit i 7 av 11 matcher. I andra matchen möter han en spelare som han slagit i hälften av matcherna. I den tredje matchen möter han en svår motståndare som han bara slagit i 3 av 8 matcher. Hur stor är sannolikheten statistiskt sett att Truls ska
a) vinna alla dessa tre matcher
b) vinna minst en av dessa matcher
c) vinna minst två av dessa matcher
23
a) Hur stor är sannolikheten att ta sig igenom labyrinten på första försöket? Man får inte backa.
b) Det kostar 10 kr att försöka klara labyrinten på ett försök. Klarar man den vinner man 51 kr.
Bedöm om det är lönt att försöka.
24 På kanal A visas det ca 16 minuter reklam per timme och på kanal B ca 11 minuter per timme.
Hur stor är sannolikheten att det bara är reklam på en av kanalerna om man slår på TV:n vid en slumpmässig tidpunkt?
5
Blandade övningar
Nivå 3
25 Vad är sannolikheten att få minst en 7:a vid tio kast med en tiosidig tärning?
26 Hur många gånger säkrare skulle din 4-siffriga pin-kod bli om du använde två bokstäver kombinerat med två siffror?
Vi tänker oss att du får använda de latinska grundbokstäverna A–Z och att det inte är någon skillnad på stora eller små bokstäver.
27
frekvens
Den tankspridde matematikläraren hittar följande tabell och diagram som visar betygen för en och samma klass. Varken tabellen eller diagrammet är fullständigt. Vilken information saknas i diagrammet och tabellen?
Betyg Frekvens
A 3
B 6
C 10 D E 2
28 Bill och Bull spelar Yatzy. Bill får på två slag detta
Han har bara tre alternativ kvar i spelet, han behöver få yatzy, kåk eller fyrtal. Han behåller femmorna och slår sitt sista slag med två tärningar. (Om Bill får 5 femmor väljer han så klart Yatzy.)
Vad är sannolikheten att han får något av detta?
29 I två identiska godispåsar finns svarta, vita och blåa godisbitar. Totalt finns 20 bitar i varje påse. Du tar en bit från varje påse. Sannolikheten för att ta två svarta bitar är då 0,1225 och att ta två vita är 0,16. Hur många blåa bitar finns det i varje påse?
a) Hur stor är sannolikheten att ta sig igenom labyrinten på första försöket?
Man får inte backa.
b) Hur många mynt kommer en spelare i genomsnitt få när den går igenom labyrinten?
31 I ett tärningsspel använder man två tärningar.
Om tärningarna visar samma får man 10 poäng och om man får två olika udda nummer får man 5 poäng. Vid alla andra kombinationer får man slå om förutom om det blir en fyra och en tvåa för i så fall har man chans på en jackpot, 100 poäng, om man lyckas slå minst en sexa när man kastar tärningarna igen.
Hur många poäng bör man ha fått efter x omgångar av spelet?
32 I ett dataspel går man i en tunnel som delar sig i tre gångar som alla leder till samma skatt. Väljer man den vänstra gången möter man fem mindre monster ett i taget och risken att förlora är bara 10 % för vart och ett av dessa. Tar man mittengången möter man ett stort monster och risken att förlora är 60 %.
Väljer man högra gången är den fylld med fällor. Chansen att fastna är 20 % för den första 40 % för den andra och 60 % för den tredje.
Beräkna sannolikheten att ta sig till skatten om man väljer gång slumpvis.
33 Figurerna följer ett mönster. Vi tar en kula ur figur 100 och en ur figur 101 på måfå. Hur stor är sannolikheten att de har samma färg?
34 Ett lotteri fungerar så att den som spelar får slå en sexsidig tärning.
Visar tärningen 1–3 får man slå en tärning till. Visar den 6 vinner man 100 kr.
Visar tärningen 4–5 får man slå två tärningar till. Blir summan 6 vinner man 200 kr.
Visar tärningen 6 får man slå en tärning till.
Visar den 6 vinner man 1 000 kr.
Vad måste en lott kosta för att den som har lotteriet inte ska gå med förlust på lång sikt?
35 Tabellen beskriver antalet elever på respektive program på en gymnasieskola.
E N S T
182 253 154 89
Hur stor är sannolikheten för tre elever som råkar träffas att
a) de går på samma program
b) minst en går på samhällsprogrammet och minst en på ekonomiprogrammet
c) en elev går på S samt att alla tre går på olika program
36 I tabellen kan du se resultatet av en undersökning med efterföljande bortfallsundersökning.
A B C
Undersökning 316 425 103
Bortfallsundersökning 46 29 x
Den som gjorde undersökningen presenterade att urvalet till undersökningen var 1 500. Slutresultatet med hänsyn till bortfallet var att 36,7 % föredrog alternativ C. Bestäm värdet x.
5 Sammanfattning
Population
Den grupp av individer eller enheter från vilka data insamlas, vilket kan vara människor, djur eller föremål.
Totalundersökning
Om man låter hela populationen svara på undersökningen är det en totalundersökning.
Stickprov
Ett stickprov kan göras på två sätt:
● Obundet slumpmässigt urval
Man lottar fram vilka ur populationen som ska delta i undersökningen.
● Stratifierat slumpmässigt urval
Det innebär att de först delar in populationen i strater (grupper) och sedan gör man ett slumpmässigt urval ur dessa. Syftet är att man vill få ett så representativt urval som möjligt.
När man genomför en undersökning i en population, och frågar en mindre grupp ur denna population, gör man ett stickprov. Det är viktigt att stickprovet är representativt för gruppen man vill undersöka. Det finns olika urvalsmetoder för att ta fram detta stickprov.
Felkällor
Det finns alltid felkällor i en undersökning som kan ge missvisande resultat. Man behöver fråga en tillräckligt stor grupp för att resultatet ska representera den grupp man vill undersöka.
Frågeställning
Man behöver tänka igenom hur man ställer sina frågor vid statistiska undersökningar.
● Det är viktigt att undvika ledande frågor, vilket innebär att man ställer frågan så att svaret antyds i frågan.
”Är du positiv till vegetariska rätter” är ledande, men ”Är du positiv eller negativ till vegetariska rätter” är inte ledande.
● Man ska också undvika värdeladdade ord, vilket kan påverka den som svarar.
”Vad tycker du om de nya kränkande reglerna om att man måste stanna hemma om man känner sig sjuk” har ett värdeladdat ord ”kränkande”.
Bortfall
När man gör en undersökning så kommer det ofta finnas personer som väljs ut att vara med i undersökningen men sedan inte svarar, för att de inte vill eller för att man har svårt att få tag på dem. Dessa uteblivna svar kallas bortfall och om man inte tar hänsyn till dem ger undersökningen en felaktig bild.
Bortfallsundersökning
En undersökning där man tillfrågar de som inte svarade i en ursprunglig undersökning för att förstå orsakerna till bortfallet och, om möjligt, samla in deras svar.
Korrelation
Korrelation anger om det finns ett samband mellan variabler.
Positiv korrelation innebär att när den ena variabeln ökar så ökar även den andra variabeln.
Negativ korrelation innebär att när den ena variabeln ökar så minskar den andra variabeln.
Korrelation saknas innebär att det inte går att se någon koppling mellan variablerna.
Kausalitet
Kausalitet betyder orsakssamband.
Korrelation innebär inte kausalitet. Att två fenomen varierar på samma sätt betyder inte automatiskt att ett av fenomenen orsakar det andra. Det kan vara en gemensam bakomliggande variabel som får dem att korrelera eller så är det bara ren slump att de råkar göra det.
Statistisk signifikans
Statistisk signifikans är ett mått på hur osannolik en skillnad i två urval är. Detta mått används för att beskriva risken för att ett resultat uppkommer av en slump, vilket anges i procent.
Om den statistiska signifikansen är 3 % innebär det att risken för att resultatet är en slump är 3 %.
Stark positiv korrelation
Svag positiv korrelation
Stark negativ korrelation
Svag negativ korrelation
Korrelation saknas
5 Sammanfattning
Likformig sannolikhetsfördelning
En likformig sannolikhetsfördelning är när alla möjliga utfall har samma sannolikhet.
Sannolikheten för en händelse A vid en likformig sannolikhetsfördelning är:
P(A) = antalet gynnsamma utfall antalet möjliga utfall
0 ≤ P(A) ≤ 1
Sannolikheten för en händelse A ligger mellan 0 och 1.
Träddiagram
Ett träddiagram visar slumpförsök i flera steg.
Sannolikheterna för olika utfall då man singlar slant är; P(krona) = 0,5 och
P(klave) = 0,5. Detta kan beskrivas i ett träddiagram där varje omgång som vi singlar slanten utgör en nivå i träddiagrammet.
slant andra gången Singlad slant andra gången
Multiplikationsprincipen i träddiagram
Sannolikheten för en gren = produkten av sannolikheterna längs med grenen.
Sannolikheten längs en gren är ett utfall, och om man summerar alla grenar får man alla utfall som finns vilket ger summan 1.
Additionsprincipen i träddiagram
Sannolikheten för flera grenar är summan av sannolikheterna för varje gren.
Summan av alla grenars sannolikhet är 1.
Singlad slant första gången
Singlad
Tärningsdiagram
I ett tärningsdiagram markeras de gynnsamma utfallen och därefter beräknas sannolikheten för händelsen.
För att beräkna sannolikheten att få två sexor markeras det gynnsamma utfallet i tärningsdiagrammet (6,6) och därefter beräknas sannolikheten för händelsen. Vi har ett gynnsamt utfall av 36 möjliga utfall.
P(två 6:or) = 1 36
Beroende sannolikhet
Om man i en urna med kulor tar en kula i taget utan att lägga tillbaka den påverkas sannolikheten för nästa kula. Nästa kulas sannolikhet är beroende av den första kulan man tar.
Tärning 1
Om vi har en händelse A, är alla övriga händelser B komplementhändelse till A, om A och B inte kan inträffa samtidigt.
Summan av sannolikheten för alla händelser är 1.
P(B) = 1 − P(A)
Det finns mer att upptäcka
Det här smakprovet består av en utvald del av den kompletta boken, för att du som lärare ska kunna utvärdera innehållet före köp. Vi har också ett stort sortiment av digitala läromedel som du kan prova gratis på gleerups.se. Har du några frågor eller synpunkter är du välkommen att kontakta Gleerups kundservice på 040-20 98 10 eller via gleerups.se
Beställ den riktiga boken
Vid beställning av boken ange ISBN 978-91-511-1424-8
