Ángulos

A

Ángulos DEFINICION: Es aquella figura geométrica formada por dos rayos que tienen el mismo origen. A dichos rayos se les denomina lados y al origen común vértice del ángulo.

A

regió n in terio r

O

 O

B

Angulo obtuso- Es aquel ángulo cuya medida es mayor a 90° y menor a 180° En el gráfico el AOB es obtuso; entonces: 90° <  < 180° A



 B

O

Elementos: - lados OA y OB - O: vértice - Notación: Angulo AOB: AOB - Medida del ángulo AOB: mAOB mAOB= BISECTRIZ DE UN ANGULO: Es aquel rayo ubicado en la región interior del ángulo cuyo origen es el vértice de dicho ángulo y que forma con sus lados, ángulos de igual medida.

B

Ángulo Nulo Cuando sus dos lados coinciden midiendo de esta manera 0º.

. m∢A0B = 0º

A

Ángulo Llano Es aquel cuya medida es 180º. (sus lados se encuentran extendidos en direcciones opuestas)

P  O



B

En la figura OP: bisectriz del ángulo AOB. Entonces: mAOP= mPOB CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS: Según sus medidas:

. m∢A0B = 180º . Ángulo de una Vuelta Es el ángulo cuya medida es 360º

Angulo agudoE s a q ue l c u y a m e d i d a e s m a y o r d e 0 ° y m e no r d e 9 0 ° E n e l gráfico el AOB e s a g ud o ; e nt o n c e s : 0°<  < 90° . m∢A0B = 360º .

A

Según la posición de sus lados O



B

Angulo recto- Es aquel cuya medida es igual a 90° En el gráfico el AOB= 90° es recto entonces  = 90°

Angulo adyacente- Son dos ángulos el mismo vértice y además están distinto lado de un lado común. En el ángulos AOB y BOC son adyacentes. que =+

que tienen situados a gráfico los Se cumple

M

B

A

B

A



 

Q

C

O

y

x

Ángulos consecutivos- se denominan así dos o más ángulos que son adyacentes con su inmediato. En la figura los ángulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos. Entonces: mAOE=       B

C

A

O

N

TEOREMAS FUNDAMENTALES Teorema I La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es 180º

D 



 

O

E

Angulo opuesto por el vérticeSon dos ángulos que tiene el mismo vértice y además los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro en sentido contrario.

Teorema II La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto en un plano es 360º.

A



M

O

.  +  +  +  = 180º .



B

N

En la figura los ángulos AOB y MON son opuestos por el vértice. mAOB = mMON. Es decir  =  Ángulos complementarios- son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 90° En la figura se tiene los ángulos complementarios AOB y MON. Entonces  +  = 90° Luego: C() = complemento de  Sea C() = 90° - 

Ejercicios 1.-En la siguiente figura, las medidas de los ángulos AOB, BOC, COD, DOE y EOA están en progresión aritmética. Hallar la medida del ángulo COD.

M

B

A

.  +  +  +  +  = 360º .

 Q N

B



C

O

Ángulos suplementarios- son ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180° En la figura se tiene los ángulos suplementarios AOB y MON. Entonces: x + y = 180° sea. S(x) : suplemento de x entonces: S(x) = 180° - x

A

O

E

a) 36°

b) 42°

D

c) 72°

d) 84°

e) N.a.





C O D, O Q bisectriz de A O S; O R bisectriz de T 

Resolución C  A



O D. Hallar Q O R.

B

a) 12° d) 40°

+r +2r

+4r

b) 15° e) N.a.

Resolución

+3r

Q

+ +r++2r+  + 3r +  + 4r = 360° 5 + 10c = 360°  + 2r = 72° m<COD = 72°

a) 10° d) 45°

b) 20° e) N.a.

c) 30°

 





Z 



 Q O R = 15° CLAVE: “B”



A

C

De la figura 2 +  = 180º ... (I) Por dato:      =140°  2 

SC 

     =140°  2 

180 - 90º 

=140

 +  = 100°  = 100° -  ... (II) • Reemplazando (II) en (I) 2(100° - ) +  = 180°   = 20° CLAVE: “B” 



Se dan los ángulos consecutivos A O B, B O C y C donde



a) A O D = m + x + n = 150° b) m + x = n +  c) n + x = m +  m + n + 2x = n + m +  +  2x =  + 

B O C = m - 2 + x + n - 2 = 90° m + n + x – 2 ( + ) = 90° 150° - 2(2x) = 90° 60° = 4x  x = 15°

B



D

Además:

Resolución

O D,

n

Del gráfico:

2.-Si el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forman la bisectriz del ángulo adyacente “” y el lado no común es 140°. Calcule el ángulo 

2

m

m 

CLAVE: “C”

90 +

S

n A

C

x

T

  

R

B

D

E



c) 20°



A O D=150°

y



B O C=90°

se

trazan: O T bisectriz del <AOB, O S bisectriz de