Διαθεματική διερεύνηςη για τη διδακτική αξιοποίηςη του φωτόσ ΕΠΙΜΟΡΥΩΣΙΚΗ ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟΤ Β/ΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΗ
ΤΠΟ ΣΗΝ ΑΙΓΙΔΑ ΣΗ ΠΕ.ΔΙ.ΕΚ. ΗΠΕΙΡΟΤ
ΠΡΟΣΤΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΟ ΓΤΜΝΑΙΟ ΖΩΙΜΑΙΑ ΦΟΛΗ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ 27 & 28 ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟΤ 2015
«Φωσ… περιςςότερο φωσ!», Επιμορφωτική Διημερίδα Ιωάννινα 27 & 28 Φεβρουαρίου 2015
Το φως και οι σκιές Εφαρμογές και στη Γεωμετρία της Μαρίας Παπαγεωργίου, μαθηματικοφ
Σν θσο όηαλ δηέξρεηαη κέζα από ζρηζκέο ζρεκαηίδεη επζύγξακκεο δέζκεο. Μηα πνιύ ιεπηή δέζκε θσηόο ηελ παξηζηάλνπκε κε κηα επζεία γξακκή πνπ ηελ νλνκάδνπκε ακηίνα θυηόρ. Υξεζηκνπνηώληαο ην κνληέιν ησλ θσηεηλώλ αθηίλσλ κπνξνύκε λα πεξηγξάςνπκε ηα θαηλόκελα ηεο νπηηθήο κε ηε βνήζεηα ηεο γεσκεηξίαο. Η κειέηε ηνπ θσηόο πνπ βαζίδεηαη ζην παξαπάλσ κνληέιν νλνκάδεηαη Γευμεηπική Οπηική. Η Γευμεηπική Οπηική αζρνιείηαη θπξίσο κε ηελ πεξηγξαθή ησλ πεξηζζόηεξσλ θαηλνκέλσλ πνπ έρνπλ ζρέζε κε ην θσο θαη κε ηηο πνζνηηθέο ζρέζεηο απηώλ ρσξίο λα ππεηζέξρεηαη ζηελ εξκελεία ηεο θύζεο απηώλ ησλ θαηλνκέλσλ. Ο κλάδορ ηηρ Γευμεηπικήρ (κλαζικήρ) οπηικήρ θευπεί όηι ηο θυρ διαδίδεηαι (ζ’ ένα ομογενέρ και ιζόηποπο μέζο) πάνηα εςθύγπαμμα καηά μήκορ ηυν οπηικών ακηίνυν. Ο Δπθιείδεο (325-265 π.Υ.) ζηα Οπτικά ηνπ πεξηγξάθεη ην κάηη καο λα εθπέκπεη ΑΚΣΙΝΔ ΟΡΑΗ νη νπνίεο δηαδίδνληαη επζύγξακκα. Ο Ήξσλ ν Αιεμαλδξεύο (1νο αη. π.Υ.), κεραληθόο θαη γεσκέηξεο, δηαηύπσζε ηελ αξρή: «Σν θσο δηαδηδόκελν αθνινπζεί (νδεύνληαο) ηε ζπληνκόηεξε νδό», γλσζηή σο αξρή ηνπ Ήξσλα. ήκεξα ε Γεσκεηξηθή Οπηηθή ζεσξεί ην θσο σο έλα ζύλνιν από θσηεηλέο αθηίλεο πνπ δηαδίδνληαη ζύκθσλα κε ηελ αξρή ηνπ ειαρίζηνπ ρξόλνπ, όπσο ηελ δηαηύπσζε ην 1650 ν Γάιινο καζεκαηηθόο Πηέξ ληε Φεξκά. ύκθσλα κε απηή ηελ αξρή, όηαλ ην θσο δηαδίδεηαη από έλα ζεκείν ηνπ ρώξνπ ζε έλα άιιν, αθνινπζεί ηε δηαδξνκή γηα ηελ νπνία απαηηείηαη ο ελάσιζηορ σπόνορ. πλέπεηα ηεο παξαπάλσ αξρήο απνηειεί ε
ΠΡΟΣΤΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΟ ΓΤΜΝΑΙΟ ΖΩΙΜΑΙΑ ΧΟΛΗ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ
2
Το φως και οι σκιές – Εφαρμογές και στη Γεωμετρία Μαρία Παπαγεωργίου
δηαπίζησζε όηη κέζα ζε θάζε νκνηνγελέο πιηθό ην θσο αθνινπζεί επζύγξακκε πνξεία δηάδνζεο όπσο είρε δερζεί (πξώηνο ζηελ αξραηόηεηα) ν Ήξσλ. Φαινόμενα πος επμηνεύονηαι ζηα πλαίζια ηηρ Γευμεηπικήρ Οπηικήρ είναι η ανάκλαζη και η διάθλαζη ηος θυηόρ. Σξεηο πεξίπνπ αηώλεο π.Υ. ν Δπθιείδεο παξνπζίαζε ηελ πεξηγξαθή ηεο αλάθιαζεο από ηε «Γεσκεηξηθή νπηηθή». ε δύν από ηα έξγα ηνπ, ζηα Οπτικά θαη ζηα Κατοπτρικά, παξνπζηάδεηαη ην κνληέιν ηεο ΦΩΣΔΙΝΗ ΑΚΣΙΝΑ, ην νπνίν είλαη βαζηθό εξγαιείν ηεο Οπηηθήο κέρξη ζήκεξα. Γηα ηελ πεξηγξαθή ηνπ θαηλνκέλνπ ρξεζηκνπνηεί γεσκεηξηθέο έλλνηεο, όπσο Πξνζπίπηνπζα αθηίλα, Αλαθιώκελε αθηίλα, Δπηθάλεηα πξόζπησζεο, Κάζεηνο ζηελ επηθάλεηα πξόζπησζεο, Δπίπεδν πξόζπησζεο, Γσλία πξόζπησζεο, Γσλία αλάθιαζεο. ηα
Κατοπτρικά
δηαηππώλεηαη
ν
λόκνο γηα ηελ αλάθιαζε ηνπ θσηόο, ζύκθσλα κε ηνλ νπνίν «ε γσλία πξόζπησζεο είλαη ίζε κε ηε γσλία αλάθιαζεο».
Κ Ι Α Η δεκηνπξγία ηεο ζθηάο είλαη απνηέιεζκα ηεο επζύγξακκεο δηάδνζεο ηνπ θσηόο. Έηζη, εάλ ζηελ πνξεία ησλ νπηηθώλ αθηίλσλ παξεκβάιιεηαη έλα εμπόδιο, ε θιαζηθή νπηηθή δέρεηαη όηη πίζυ από αςηό ζα εκθαληζηεί ζκιά. Η ζθηά ελόο ζώκαηνο ζρεκαηίδεηαη ζηηο πεξηνρέο εθείλεο όπνπ δελ θζάλνπλ νη αθηίλεο πνπ πξνέξρνληαη από ηε θσηεηλή πεγή, γηαηί ζηελ πνξεία ηνπο παξεκβάιιεηαη έλα αδηαθαλέο ζώκα.
ΠΡΟΣΤΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΟ ΓΤΜΝΑΙΟ ΖΩΙΜΑΙΑ ΧΟΛΗ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ
3
«Φωσ… περιςςότερο φωσ!», Επιμορφωτική Διημερίδα Ιωάννινα 27 & 28 Φεβρουαρίου 2015
Από ηον 6ο αι. π. Υ. οι Έλληνερ Γευμέηπερ σπηζιμοποιούζαν ηο θαινόμενο «ΚΙΑ» ζηιρ μεηπήζειρ και ηιρ αποδείξειρ ηοςρ. Αθνινπζνύλ δύν ραξαθηεξηζηηθά παξαδείγκαηα:
1. Ο Θαλήρ ο Μιλήζιορ ςπολόγιζε ηο ύτορ ηηρ Πςπαμίδαρ ηος Υέοπα ηελ πεξηνρή ηεο Γθίδαο κηα ζπγθεθξηκέλε κεζεκβξία ν ήιηνο ζρεκάηηδε γσλία 45° κε ην επίπεδν ηνπ εδάθνπο (θαη δηεξρόηαλ από ηνλ άμνλα ηεο κεγάιεο ππξακίδαο).
Ο Θαιήο ν Μηιήζηνο – ν παηέξαο ηεο Θεσξεηηθήο Γεσκεηξίαο – ράξαμε κπξνζηά ζηελ ππξακίδα κε ην ξαβδί ηνπ έλα ηόμν αθηίλαο ίζεο κε ην ύςνο ηνπ θαη πεξίκελε ηε ζηηγκή πνπ ε ζθηά ηνπ άγγημε ην ηόμν απηό. Σόηε ην κήθνο ηεο ζθηάο ηνπ ήηαλ ίζν κε ην ύςνο ηνπ, άξα ν ήιηνο ζρεκάηηδε γσλία 45° κε ην επίπεδν ηνπ εδάθνπο (ζρεκάηηδε ηξίγσλν ηζνζθειέο), νπόηε αληίζηνηρα απηή ηε ρξνληθή ζηηγκή ην ύςνο ηεο ππξακίδαο ήηαλ ίζν κε ην κήθνο ηεο ζθηάο ηεο. Μηα δεύηεξε απνδεηθηηθή κέζνδνο πνπ κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα ηελ ίδηα κέηξεζε, είλαη κε ηελ εθαξκνγή αλαινγηώλ ζηα όκνηα ηξίγσλα πνπ ζρεκαηίδνληαη. ηελ πεξίπησζε απηή όζεο θνξέο είλαη κεγαιύηεξε ε ζθηά ελόο αληηθεηκέλνπ από ηε
ΠΡΟΣΤΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΟ ΓΤΜΝΑΙΟ ΖΩΙΜΑΙΑ ΧΟΛΗ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ
4
Το φως και οι σκιές – Εφαρμογές και στη Γεωμετρία Μαρία Παπαγεωργίου
ζθηά ελόο ξαβδηνύ ηόζεο θνξέο είλαη ςειόηεξν ην αληηθείκελν από ην ξαβδί. Δάλ ζεσξήζνπκε όηη έλα ξαβδί
γλσζηνύ
κήθνπο
είλαη
ηνπνζεηεκέλν ζηελ άκκν θνληά ζηελ ππξακίδα,
ηόηε
ε
ζθηά
ηνπ
ζρεκαηίδεη ηελ ίδηα γσλία κε ηηο αθηίλεο ηνπ ήιηνπ, όζε είλαη θαη ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε ζθηά ηεο ππξακίδαο κε ηηο αθηίλεο ηνπ ήιηνπ.
2. Ο Επαηοζθένηρ ηο 240 π.Υ. σπηζιμοποιεί ηη ζκιά και ςπολογίζει ηην πεπιθέπεια ηηρ Γηρ Σξεηο πεξίπνπ αηώλεο αξγόηεξα, νη Αιεμαλδξηλνί καζεκαηηθνί αμηνπνηώληαο ηε Γεσκεηξία ηνπ Δπθιείδε θαη ηνπ Αξρηκήδε θαη βαζηδόκελνη ζηε κειέηε ηνπ θαηλνκέλνπ «ΚΙΑ» θαη ζηε ΘΔΩΡΙΑ ΣΗ ΔΤΘΤΓΡΑΜΜΗ ΓΙΑΓΟΗ ΣΟΤ ΦΩΣΟ, κε ηελ παξέκβαζε ηνπ Δξαηνζζέλε, νδεγήζεθαλ γηα πξώηε θνξά ζηελ ηζηνξία ηεο αλζξώπηλεο έξεπλαο ζηε κέηξεζε ηνπ κεγέζνπο ηνπ πιαλήηε Γε. Ο Δξαηνζζέλεο ν Κπξελαίνο (Κπξήλε 276 π.Υ. – Αιεμάλδξεηα 194 π.Υ.) ππνιόγηζε ηελ πεξηθέξεηα ηεο Γεο, ρξεζηκνπνηώληαο ην θσο ηνπ Ηιίνπ θαηά ην
ζεξηλό
ειηνζηάζην
ζε
δύν
δηαθνξεηηθά γεσγξαθηθά ζεκεία, πνπ όκσο βξίζθνληαλ ζηνλ ίδην (πεξίπνπ) κεζεκβξηλό.
ΠΡΟΣΤΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΟ ΓΤΜΝΑΙΟ ΖΩΙΜΑΙΑ ΧΟΛΗ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ
5
«Φωσ… περιςςότερο φωσ!», Επιμορφωτική Διημερίδα Ιωάννινα 27 & 28 Φεβρουαρίου 2015
ηε ςήνη (ζεκεξηλό Αζνπάλ), ην κεζεκέξη ηεο κέξαο ηνπ ζεξηλνύ ειηνζηαζίνπ (21 Ινπλίνπ, ε πην κεγάιε κέξα ηνπ έηνπο), ην ειηαθό θσο έπεθηε ζην λεξό ηνπ πεγαδηνύ ρσξίο λα ζρεκαηίδεη καμία ζκιά. ηελ Αλεξάνδπεια – 800 ρηιηόκεηξα βνξεηόηεξα ηνπ Αζνπάλ – νη αθηίλεο ηνπ ήιηνπ ζσημάηιζαν ζκιά ζε έλαλ γλώκνλα (έλα ζηέιερνο πνπ ζηεξεώλεηαη θάζεηα ζ’ έλα νξηδόληην επίπεδν). Αλ ε Γε ήηαλ επίπεδε, θαη δερόκελνη όηη νη αθηίλεο ηνπ Ηιίνπ πέθηνπλ θάζεηα ζηε πήλε, ζα έπξεπε λα ζπκβαίλεη θάηη αληίζηνηρν θαη ζηελ Αιεμάλδξεηα. Έηζη ν Δξαηνζζέλεο θαηέιεμε ζην ζπκπέξαζκα όηη η Γη δεν είναι επίπεδη. Ο Δξαηνζζέλεο, κεηξώληαο κε ηε βνήζεηα ησλ ζθηώλ θαη ηεο ηξηγσλνκεηξίαο ηελ επίθεληξε γσλία πνπ αληηζηνηρεί ζην ηόμν ηεο απόζηαζεο κεηαμύ Αιεμάλδξεηαο θαη πήλεο, ππνιόγηζε ηε κεζεκβξηλή πεξηθέξεηα ηεο Γεο ζε 252.000 ζηάδηα ή 40.068.000 κέηξα (1 ζηάδην=159 κέηξα). ήκεξα ε πεξηθέξεηα ηεο Γεο ππνινγίδεηαη ζε 40.008.000 κέηξα. Σν ζθάικα ηνπ Δξαηνζζέλε αλέξρεηαη πεξίπνπ ζε 0,3 %.
3. Σα ηλιακά πολόγια Σν Ηιηαθό ξνιόη είλαη θαηαζθεπή πνπ κεηξά ην ρξόλν κε βάζε ηε ζέζε ηεο ζθηάο πνπ ξίρλεη ν ήιηνο πάλσ ζε έλα αληηθείκελν. ην νξηδόληην θαη ην θαηαθόξπθν ειηαθό ξνιόη ν ήιηνο θσηίδεη έλαλ ζηύιν, ν νπνίνο νλνκάδεηαη γλώκνλαο, θαη ε ζθηά ηνπ πέθηεη ζε έλα επίπεδν όπνπ είλαη ραξαγκέλν ην δηάγξακκα ησλ σξώλ. Ο γλώκνλαο πξνζαλαηνιίδεηαη έηζη ώζηε λα βξίζθεηαη ζην κεζεκβξηλό επίπεδν ηνπ ηόπνπ, δειαδή ζην θαηαθόξπθν επίπεδν πνπ δηέξρεηαη από ηε γξακκή Βνξξά-Νόηνπ (κεζεκβξηλή γξακκή
ΠΡΟΣΤΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΟ ΓΤΜΝΑΙΟ ΖΩΙΜΑΙΑ ΧΟΛΗ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ
6
Το φως και οι σκιές – Εφαρμογές και στη Γεωμετρία Μαρία Παπαγεωργίου
ηνπ ηόπνπ). Η ππνηείλνπζα ηνπ γλώκνλα πξνεθηεηλόκελε θαηεπζύλεηαη ζρεδόλ ζηνλ Βόξεην Πνιηθό αζηέξα (δείρλεη ηνλ Βνξξά). Άξα, παξαηεξώληαο έλα ειηαθό ξνιόη κπνξνύκε εύθνια λα πξνζαλαηνιηζηνύκε σο πξνο ηα ζεκεία ηνπ Οξίδνληα. εκεηώλνπκε όηη γηα ηνπο ηόπνπο ηνπ Ννηίνπ εκηζθαηξίνπ ν γλώκνλαο «ζηνρεύεη» ηνλ Νόην. Η σξνινγόπιαθα ηνπνζεηείηαη ζην νξηδόληην επίπεδν ηνπ ηόπνπ, ελώ ε ππνηείλνπζα ηνπ γλώκνλα ζρεκαηίδεη γσλία θ κε ην νξηδόληην επίπεδν, ίζε κε ην γεσγξαθηθό πιάηνο ηνπ ηόπνπ. Γειαδή θάζε ειηαθό ξνιόη είλαη κνλαδηθό γηα ηνλ ηόπν πνπ είλαη θαηαζθεπαζκέλν. Γηα κηα ηπραία ζέζε ηνπ ήιηνπ, ε ζθηά ηνπ γλώκνλα ζρεκαηίδεη κε ηε κεζεκβξηλή γξακκή γσλία σ πνπ νλνκάδεηαη σξηθή γσλία. Μέζσ ηνπ ππνινγηζκνύ ησλ γσληώλ σ (κε ηε βνήζεηα ηεο ζθαηξηθήο ηξηγσλνκεηξίαο) κπνξνύκε λα ραξάμνπκε ηηο σξηθέο γξακκέο ηεο σξνινγόπιαθαο. Οη δηαζηάζεηο ηνπ γλώκνλα έρνπλ ζρέζε θαη κε ηηο δηαζηάζεηο ηνπ δηαγξάκκαηνο ησλ σξώλ θαη πξέπεη λα είλαη ηέηνηεο, ώζηε ε ζθηά ηεο ππνηείλνπζαο λα θόβεη ηελ έιιεηςε ηνπ δηαγξάκκαηνο ησλ σξώλ. Έηζη ε ζθηά ηεο αθκήο ηνπ γλώκνλα απνθόπηεη ζηελ νξηδόληηα πιάθα ζην δηάγξακκα ησλ σξώλ ηελ ειηαθή ώξα ηνπ ηόπνπ.
4. ΘΕΑΣΡΟ ΚΙΩΝ: Σο θυρ παίζει με ηιρ ζκιέρ ζηο λεςκό πανί! Πόζν παιηά είλαη ε ύπαξμε ηεο ζθηάο! Όηαλ έρνπκε θσο, έρνπκε θαη ζθηά. Σν ΦΩ δεκηνπξγεί ηε ΚΙΑ. Πξώηα ν ήιηνο, θαη κεηά ε θσηηά, ύζηεξα νη ειεθηξηθνί ιακπηήξεο. Η ζθηά γελλήζεθε καδί κε ηελ γέλλεζε ηνπ ήιηνπ, ηνπ θσηόο. ΠΡΟΣΤΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΟ ΓΤΜΝΑΙΟ ΖΩΙΜΑΙΑ ΧΟΛΗ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ
7
«Φωσ… περιςςότερο φωσ!», Επιμορφωτική Διημερίδα Ιωάννινα 27 & 28 Φεβρουαρίου 2015
Σν θσο θαη νη ζθηέο δε βξίζθνπλ εθαξκνγή κόλν ζηα Μαζεκαηηθά θαη ζηε Φπζηθή. Όινη ζηα παηδηθά καο ρξόληα παίμακε κε ηε ζθηά καο, ηελ θπλεγήζακε, ηξέμακε λα ηελ μεπεξάζνπκε, θξπθηήθακε από ην θσο, γηα λα ζηακαηήζεη λα καο παξαθνινπζεί!... Καη όηαλ ην θσο θξύβεηαη πίζσ από ην ιεπθό παλί, ηόηε αξρίδεη ην παηρλίδη ησλ ζθηώλ. Σο θέαηπο ζκιών, έλα από ηα πην ελδηαθέξνληα ζεαηξηθά είδε, έρεη απνηειέζεη αληηθείκελν βαζηάο έξεπλαο γηα ηελ ηζηνξία θαη ηελ θαηαγσγή ηνπ. ηελ Διιάδα ην ζέαηξν ζθηώλ πξσηνεκθαλίδεηαη ζηελ Πολιτεία ηνπ Πιάησλα ηνλ 4ν αη. π.Υ. κε ηνλ Μύζν ηνπ πειαίνπ. Αμίδεη λα ζεκεησζεί όηη ε πξώηε παξάζηαζε Καξαγθηόδε ζηελ Διιάδα δόζεθε ζηα Γηάλλελα ην 1809. ήκεξα, ην ζέαηξν ζθηώλ έρεη κεηεμειηρζεί θαη παξνπζηάδεη απεξηόξηζηεο δπλαηόηεηεο εκθαλίδνληαο ζην ιεπθό θόλην απεξίγξαπηα Shadow Tricks…
ΔΙΚΣΤΟΓΡΑΦΙΑ
http://el.wikipedia.org
http://users.sch.gr/kassetas/z%20ParabolaElipse.htm
http://gregzer.pbworks.com/f/light_shadows.swf
https://taxidistignosi.wordpress.com
http://www.youtube.com/watch?v=SrqV6agVmYo
http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGYMC201/531/3516,14430/extras/Experiments-Simulations/kef6.2_skiaparaskia/WebPlayer.html
http://www.edc.uoc.gr/~odysseas/webs/sxedia_Didaskalias/sxedia/fysikh_opti kh/iliako-roloi_optiki.pdf
http://www.astrosynedrio2007.gr/praktika/workshops/shmeiwseis-rologia.pdf ΠΡΟΣΤΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΟ ΓΤΜΝΑΙΟ ΖΩΙΜΑΙΑ ΧΟΛΗ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ
8