Desarrollo Curricular Área Educación Matemática by haciendoescuelarn

Provincia de Río Negro Ministerio de Educación y Derechos Humanos Dirección de Planeamiento, Educación Superior y Formación Dirección de Educación Secundaria

Desarrollo Curricular N° 1

2017

ÁREA EDUCACIÓN MATEMÁTICA Las buenas prácticas Ciclo Básico y Formación General del Ciclo Orientado de la Escuela Secundaria

ESRN PROF. ANA FELISA YAKSICH - PROF. SUSANA GRACIELA FANTINI - PROF.MARÍA VICTORIA PISTONESI

GOBERNADOR Sr. Alberto Weretilneck MINISTRA DE EDUCACIÓN Lic. Mónica Silva CONSEJO PROVINCIAL DE EDUCACION Vocalía Gubernamental: Prof. Oscar Cifuentes - Prof. Omar Ribodino Vocalía Docente Prof. Sandra Schieroni SECRETARIO DE EDUCACION: Prof. Juan Carlos Uriarte DIRECCION DE PLANEAMIENTO, EDUCACIÓN SUPERIOR Y FORMACION PROFESIONAL: Mg. Mercedes Jara Tracchia DIRECCION DE EDUCACIÓN SECUNDARIA: Prof. Gabriela Fernanda Lerzo

EQUIPO DE TRABAJO COORDINACION Prof. Gabriela Lerzo – Mg. Mercedes Jara Tracchia

COORDINACIÓN DE ESPECIALISTAS Prof. Mónica Sede

ESPECIALISTAS CURRICULARES Lic. Irene Silin

Prof. Lorena Cañuqueo

Prof. Luis Constantini

Prof. Marcela Alcaraz

Prof. Julio Antonio Padrón

Prof. Mariela Acossano

Prof. Karina Rodriguez

Prof. Micaela Fachinetti

Prof. María Victoria Pistonesi

Prof. Pablo Cortondo

Prof. Alejandra Spampinatto

Prof. Pablo Suarez

Prof. Alejandro Otsubo

Prof. Pamela Diaco

Prof. Ana Nuñez

Prof. Paula Yende

Prof. Ana Yaksich

Prof. Susana Graciela Fantini

Prof. Analía Castro

Prof. Susana Romaniuck

Prof.Andres Paillalef

Prof. Viviana Lorca

Prof. Ariel Campos

Prof. Cecilia Zemborain

Prof. Carolina Ardhengui

Prof. Claudia Forneron

Prof. Daniela Antista

Prof. Vanesa Soto Gallardo

Prof. Duilio Minieri

Prof. Jennifer Albino

Prof. Graciela Manzur

Prof. Javier D`Alessandro

Prof. Laura Méndez

Provincia de Río Negro Ministerio de Educación y Derechos Humanos Dirección de Planeamiento, Educación Superior y Formación Dirección de Educación Secundaria

ÁREA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Desarrollo Curricular Nº 1 Las buenas prácticas

Ciclo Básico y Formación General del Ciclo Orientado de la Escuela Secundaria Prof. Ana Felisa Yaksich Prof. Susana Graciela Fantini Prof. María Victoria Pistonesi

2017

Índice

Página

Presentación

La construcción de buenas prácticas en educación matemática

2.1

¿Qué es una buena práctica?

Experiencias áulicas para la educación matemática

3.1

Cálculo del área del lago Nahuel Huapi

3.2

Cuadriláteros, ¿con lápiz y papel o con Geogebra?

3.3

Modelizando con las funciones

ANEXO 1 y ANEXO 2 de 3.1

Bibliografía

1. Presentación Con este Desarrollo Curricular se intentan acercar las características de las actividades para la enseñanza y el aprendizaje basadas en el enfoque didáctico que se sustenta en el Diseño Curricular de la ESRN, centrándose en lo que se considera una “buena práctica”, como así también su formulación y gestión en el aula. Las actividades que se plantean no surgen de manera aislada, sino que se enmarcan en determinados contextos teniendo como propósito, entre otros, que los estudiantes se interesen por el mundo en el que viven y por el conocimiento que ha generado la humanidad, para que quieran plantearse y resolver problemas, y sean capaces de comprender, de tomar decisiones y de ser críticos; colaborando de esta forma en su formación ciudadana. Una “buena práctica” no se puede definir de manera cerrada, única, sino que debe definirse de forma extensiva, considerando ideas básicas de acuerdo a distintos autores y también experiencias áulicas que permitirán reconocer algunos rasgos / características de un conocimiento educativo que sea amplio y reflexivo. Las propuestas que se incluyen muestran la construcción y desarrollo de contextos simulados que facilitarán la posterior transferencia de aprendizajes en la vida real; en particular la calidad de los contextos radica en incorporar conocimientos derivados de la participación que tengan en la realidad. La lectura que se hace de experiencias de otros profesores es un buen punto de partida para iniciar la reflexión de la propia práctica docente: ¿En qué medida usamos actividades manipulativas en nuestras clases? ¿Cuánto tiempo dedicamos a situaciones de diálogo y preguntas? ¿Qué tipo de intervenciones del profesor resultarán fértiles para sostener el vínculo del alumno con la situación? ¿Cuántas excursiones organizamos desde el área matemática? ¿Qué objetos de la vida cotidiana llevamos al aula? ¿Qué materiales usamos? ¿Cómo y para qué usamos la tecnología en las clases de matemática?, etc. La reflexión tiene que ser un impulso para la acción y un modo de revisarla sobre todo cuando los resultados no son los esperados. Atendiendo entonces a lo expresado, este documento ha sido organizado teniendo en cuenta algunos marcos teóricos de distintos autores que hacen referencia a las buenas prácticas en educación matemática, e incorporando luego distintas experiencias áulicas que permitirán reflexionar acerca de su formulación, de los contextos, de la gestión en el aula, de los distintos saberes de la matemática, y de la relación entre esos saberes y el mundo que nos rodea (la vida cotidiana, las informaciones que brindan los medios, las otras ciencias, la cultura, los aspectos tanto estéticos como lúdicos, la historia, etc.).

2. La construcción de buenas prácticas en educación matemática 2.1 ¿Qué es una buena práctica? De un modo general, se puede decir que una buena práctica es aquélla que consigue que se cumpla con los propósitos que han sido planificados. Este término lleva tiempo de uso en el marco de las didácticas específicas y, tal como se expresó ya anteriormente, es un concepto que debe definirse de forma extensiva, y por medio de ejemplos. No obstante lo dicho, pueden establecerse características básicas que estarán acordes con la postura educativa del autor o los autores que lo usan. A continuación, se expondrán consideraciones de varios autores acerca de lo que es una buena práctica, sin cerrar la definición a una única postura.1 En el informe Delors (UNESCO, 1996) se establecieron cuatro principios fundamentales para la educación: saber conocer, saber hacer, saber ser y saber convivir, que pueden interpretarse como cuatro pilares sobre los que debería fundamentarse una buena práctica. En Van Oers (2003), se menciona “buena práctica escolar” de un modo parecido. Según este autor, una buena práctica escolar es la que busca un aprendizaje efectivo, en el sentido de considerar tanto el aumento de las capacidades cognitivas del alumnado como las habilidades y capacidades de relación social para participar en la vida de su comunidad. Esto pone de relieve la necesaria transferencia de aprendizajes entre el contexto escolar y el contexto real y, en particular, apunta a la necesidad de incorporar contextos simulados de la vida real en el aula. Broomes (1989) menciona la influencia de Polya en sus trabajos y ofrece una aproximación rigurosa al término “buena práctica en la enseñanza” a partir de la concreción de rasgos que deben identificarse. Toda buena práctica: -

Está relacionada con el currículum, tanto intencional como el que se quiere desarrollar. Permite establecer conexiones entre distintas áreas del currículum dentro o fuera de la matemática, con lo que amplía la imagen de las ideas matemáticas y desarrolla significados. Sirve como introducción y motivación para un contenido básico y, por lo tanto, su presencia en el currículum desarrollado está justificada. Supone un reto para la mayoría de los estudiantes, ya que incluye una gradación de dificultades a partir de las posibilidades de cada uno de ellos según los diferentes ritmos de aprendizaje, permitiendo la expansión para los que no tienen dificultades.

Educación Matemática y buenas prácticas. Infantil, primaria, secundaria y educación superior. Planas, N. y Alsina, Á. (coords.). 2009. Ed. GRAÓ. P 12-26

Facilita la implicación de todos los estudiantes, ya que permite el establecimiento de conexiones con el contexto fuera del aula. Es flexible, lo que favorece que el alumno relacione conocimientos y los aplique. Pretende la búsqueda de respuestas y la generación de buenas preguntas. Finaliza cuando el estudiante es consciente de sus aprendizajes, reflexionando, interiorizando y relacionando aprendizajes anteriores y vivencias escolares.

Alsina y Planas (2008) hablan de la contextualización, la globalización y la personalización como condiciones necesarias para que se den buenas prácticas. Estos principios plantean la integración de aportes de distintas disciplinas para comprender la significación de un fenómeno. Es así como Fourez (2008) dice que una buena práctica es necesariamente una práctica interdisciplinaria, en tanto que construye saberes adecuados para una situación, utiliza diferentes disciplinas con esta finalidad y no implica la desvalorización de los conocimientos de las disciplinas usadas ni de las personas que los aplican. Una buena práctica es, en definitiva, una manera de organizar la enseñanza, donde lo fundamental es la situación en su conjunto y el papel que en ella desempeña el estudiante, por delante de intereses de disciplinas, expertos y prácticas futuras. De acuerdo con la NCTM (2003) una visión interdisciplinaria de la educación matemática es aquella que: -

Reconoce y usa conexiones entre ideas matemáticas. Comprende cómo se relacionan estas ideas y se organizan en un todo coherente. Reconoce y aplica ideas matemáticas en contextos no matemáticos.

Tharp, Estrada, Stoll-Dalton y Yamauchi (2002), mencionan cinco criterios que pueden entenderse como condiciones para la organización de buenas prácticas en la enseñanza. 1. Producción conjunta de actividades por medio de la colaboración entre profesorado y alumnado. Las tareas tienen que admitir la conservación en torno a ellas y no podrán ser concluidas sin la incorporación de conocimientos de distintos participantes del aula. Por ejemplo las dinámicas de trabajo en pequeños grupos son otro modo de beneficiarse de la actividad conjunta. 2. Desarrollo de aspectos sociolingüísticos del lenguaje escolar. Hay grandes diferencias entre el lenguaje cotidiano y el lenguaje académico que los estudiantes tienen que aprender a reconocer y usar. Los estudiantes tienen que tener la oportunidad de hablar, escuchar, escribir y leer textos representados por medio del lenguaje específico de la matemática. 3. Creación de significados en entornos de conversación dialógica. Una conversación es dialógica, cuando todas las personas que intervienen en la misma aceptan la posibilidad de aprender unas de otras. “El profesor y los alumnos colaboran por medio del intercambio de ideas y conocimientos en una situación de igualdad, hasta donde sea posible: el profesor asume que los

alumnos tienen algo que decir y que, además, lo que tienen que decir es importante." 2 4. Planteamiento de situaciones que estimulen el pensamiento complejo. Este criterio tiene que ver con el desarrollo de prácticas de enseñanza que requieran pensamiento, discusión y análisis, y no sólo la aplicación de mecanismos o rutinas que han sido memorizadas. “La finalidad del aprendizaje escolar es en parte llegar a la memorización de hechos y respuestas correctas, pero sobre todo es conseguir educar para la discusión, el cuestionamiento de ideas y el desarrollo de alternativas. Ser capaz de reconocer un reto y enfrentarse a él, cuando sea asumible, ayuda al desarrollo de la complejidad cognitiva y a pensar de una manera sostenida.” 3 5. Contextualización de la enseñanza en experiencias del alumnado. Van Oers (2003) expresa que hay que establecer relaciones entre contexto real y contexto escolar, por medio de la creación de contextos simulados dentro del aula. Es importante que el diálogo con los estudiantes equilibre la falta de conocimiento que puede tener el profesor sobre lo que le interesa a ellos y sobre lo que ya saben. Las secuencias de buenas prácticas tienen que incorporar aspectos de la vida cotidiana de los estudiantes y establecer conexiones entre esos aspectos y los saberes curriculares. Este criterio, junto con los anteriores, es esencial para promover la transferencia de los aprendizajes. Desde el punto de vista de las buenas prácticas, otro concepto muy usado y que deviene de un enfoque sociocultural de la enseñanza es el de andamiaje, que puede considerarse una condición necesaria para que tenga lugar una retroalimentación adecuada de enseñanza y aprendizaje. Hay dos aspectos del andamiaje que son importantes para entender mejor estos procesos: -

Los requisitos de las tareas deben ajustarse a los intereses de los alumnos, así como atender los rasgos propios y a los estados emocionales. La gestión de las tareas debe permitir que los alumnos puedan autocorregir sus errores a partir del retorno de información que se les proporciona, además de desarrollar actitudes de perseverancia en la búsqueda de aproximaciones y soluciones.

Hay distintos andamios según la tarea que se propone: a veces el docente explica verbalmente el proceso de resolución de una tarea y, así, sirve de modelo de actuación. En otras ocasiones, un estudiante es el que marca el modelo de actuación para otro estudiante mediante la verbalización de sus acciones y decisiones. También el profesor puede formular preguntas orientadas a que los estudiantes regulen sus aprendizajes reflexionando sobre sus actuaciones y modificando, si es necesario, parte del proceso. Estos andamios fomentan procesos matemáticos como la resolución de problemas, el razonamiento, la comunicación del conocimiento, las conexiones o las representaciones, entre otros. 2 3

Op. Cit. P. 15 Op. Cit. P. 16

Asociado con las buenas prácticas, hay dos andamios principales: uno tiene que ver con la contextualización, descontextualización y recontextualización de los saberes y el otro tiene que ver con el trabajo de cognición, metacognición y revisión de la cognición en torno a esos saberes. Las interacciones de los docentes con los estudiantes se interpretan como una ayuda en el sentido de favorecer estos procesos. Estos dos tipos de andamios, más los criterios y condiciones que se comentaron, son la base de la práctica asociada a lo que denominan educación matemática cíclica. Este proceso cíclico debe reproducirse en todas las etapas y en cada secuencia didáctica de enseñanza y aprendizaje que se considere completa. El conocimiento matemático tiene que construirse primero en un contexto particular (contextualización) que tenga sentido para los estudiantes, para luego hacer un proceso de distanciamiento (descontextualización), y más adelante, aplicar este conocimiento en una situación distinta a la inicial (recontextualización) (Font, 2007). Se incorpora un cuadro que da cuenta de esta visión cíclica de la educación matemática. 4

Esta visión cíclica de la educación matemática está acorde con las demandas de una sociedad de la información reflexiva, donde la educación de las personas es también educación con las personas y donde la cuestión escolar no debería agotar el tema más general de la educación. La escuela, y también la universidad, inciden con fuerza en la historia de vida de las personas. Por este motivo, la mejora de las prácticas matemáticas escolares parece una manera efectiva de empezar a superar algunos 4

Op. Cit. P. 21

aspectos de la visión lineal 5 de la educación matemática tales como la percepción de la educación matemática básica como un objetivo únicamente asociado a la escuela, o el énfasis en la capacidad del alumno como un elemento determinante de sus logros de aprendizaje.

3. Experiencias áulicas para la educación matemática A continuación se incluyen experiencias llevadas a cabo en aulas de matemática, destacando rasgos, características, principios básicos que subyacen en ellas y hacen a una buena práctica escolar. Están escritas por diferentes profesores y se ha sostenido la diferencia en los formatos, en las maneras de relatar, con el propósito de mostrar que estas construcciones no son únicas y que tampoco hay una única forma de concretizarlas. 3.1. Cálculo del área del lago Nahuel Huapi Presentación de la experiencia Una de las concepciones más básicas del área, y que debe ser tratada en la escolaridad, es la que se asocia con el concepto de cubrimiento, que se cuantifica cuando se usa una superficie (unidad), capaz de cubrir, por repetición, otra mayor. Aquí es crítica la forma de la unidad (porque la figura con la que se trabajará en este caso es irregular) para que sea capaz de cubrir sin dejar huecos entre sí. Hay muchas formas con esa propiedad, algunas más conocidas o utilizadas que otras. El grado de cubrimiento es mayor cuanto menor es la unidad de área, ya sea o no, convencional. Para ello, habrá que subdividir esta área en fracciones (en los sistemas vigentes las unidad principal se divide en décimos, centésimos, milésimos, etc., pero bien puede dividirse en mitades, cuartos, tercios, entre otras). Si se siguiera subdividiendo cada vez más la unidad, habría una aproximación al cubrimiento completo, hasta llegar a un error despreciable; y esta idea es la base del concepto matemático de área que culminará con una rigurosa formulación después de transitar un largo camino por la escuela. Además de las ideas expuestas, en el desarrollo de la propuesta se tendrán en cuenta distintas relaciones y nociones que estructuran el concepto de magnitud (área) y su respectiva medición, como asimismo las estrategias puestas en juego para resolver las situaciones. Propósitos En base a lo expresado anteriormente, a través de situaciones problemáticas, vinculadas con la experimentación, se promoverá:

La visión lineal o modelo lineal está relacionado con la idea de que las etapas de escolarización formal – educación inicial, primaria, secundaria y superior – se ven como un proceso único de acceso al conocimiento. En la etapa inicial se prepara a los niños para la primaria, en la primaria para la secundara y así sucesivamente.

- la necesidad de estimar y/o medir efectivamente, sin recurrir en un principio al cálculo, seleccionando las unidades adecuadas y registrando que la medida es inexacta. - la producción y el análisis reflexivo de procedimientos usados para estimar y calcular el área de una figura irregular, elaborando argumentos sobre la equivalencia de diferentes expresiones de la misma cantidad, con unidades no convencionales y convencionales. - la reflexión sobre las estrategias utilizadas para la resolución y la profundización de nociones relacionadas con el proceso de medir (medida, cantidad, magnitud, elección y uso de unidades no convencionales y convencionales adecuadas, entre otras). Con el fin de explorar y ver la utilidad de la matemática en la vida cotidiana, colaborando en la construcción de conceptos numéricos y geométricos. Material: el mapa del lago Nahuel Huapi, en San Carlos de Bariloche – Provincia de Río Negro (ANEXO 1) y distintos elementos como: garbanzos, porotos de soja, lentejas, porotos, maíz, papel cuadriculado y milimetrado; además de papeles, tijeras, goma de pegar, etcétera.

Comentario 1: esta actividad ha sido presentada y trabajada con estudiantes de dicha localidad.

Organización: grupal, pero no más de tres o cuatro estudiantes por grupo para que todos puedan tener una participación activa (si el grupo no es muy numeroso, pueden trabajar en parejas). Consigna: Estimar y luego medir la superficie del lago utilizando el material del que se dispone. 6

Comentario 2: desde la coordinación que realiza el docente, no se da ninguna instrucción / indicación sobre cómo llevar a cabo la tarea. Se reparte a cada grupo un mapa del lago (como el del ANEXO 1) y se dejan los materiales en una mesa para que cada grupo decida qué va a utilizar. En general, no saben apriori cuál es el resultado (aproximadamente 532 km 2) y tampoco se les informa (esto tiene por finalidad que con las estrategias “no tiendan a encontrar el resultado” sino que realmente haya una “genuina” búsqueda del mismo).

Mientras trabajan en el problema, se confecciona en el pizarrón un cuadro como el siguiente con el fin de que cada grupo, a medida que va terminando, complete su fila.

El problema puede considerarse abierto, ya que admite diversas formas de solución y/o diferentes respuestas. Estos problemas suelen estar escasamente pautados, dando lugar a la formulación de nuevas preguntas y a la construcción de estrategias personales de resolución. Permiten manejar los tiempos y la búsqueda de información en forma más flexible que lo que impone el trabajo habitual en el aula.

¿Con qué (unidad)

midieron?

¿Cuánto midió?

Mide:

(medida)

(cantidad)

En km2 (cantidad convencional)

Garbanzos

132

132 garbanzos

309, 3 km2

Arroz

600

600 arroces

535, 70 km2

Cuadraditos

306

306 cuadraditos

478,12 km2

cm2 (papel milimetrado)

84,75

84,75 cm2

530 km2

Porotos de soja

227

227 por. de soja

496,56 km2

Porotos de soja

260

260 por. de soja

747,5 km2

Garbanzos

139

139 garbanzos

651,56 km2

Porotos de soja

264

264 garbanzos

577,5 km2

Porotos comunes

104

104 porotos

487,5 km2

Comentario 3: ha ocurrido algunas veces que algún grupo solicita lana, o hilo, supuestamente con el fin de calcular el perímetro. También, en algunas oportunidades han medido perímetro por área y, cuando se está completando el cuadro se dan cuenta de que “algo anda mal”, y que han calculado lo que no se solicitaba. En otras oportunidades, han llevado a cabo la estrategia A. (se describe más adelante en otra actividad), donde lo que subyace es el supuesto de que igual perímetro encierra siempre la misma área.

Puesta en común En un principio, comentan sus estimaciones y cómo las realizaron. Muchos apelan a sus conocimientos geográficos del lugar, por ejemplo saben que frente a la ciudad (Bariloche) el lago tiene un ancho de 4,5 km aproximadamente, entonces tratan de estimar el “largo”, como si fuera rectangular. Otros, a partir de actividades deportivas como la pesca, que los ha llevado a navegar por los distintos “brazos” del lago han adquirido conocimientos que tratan de aplicar ahora y entonces van haciendo una descomposición en distintas partes para luego sumarlas a todas. En este caso el contexto evoca el conocimiento y las experiencias del alumnado, incorporando aspectos de la vida cotidiana en el aula y estableciendo conexiones entre esos aspectos y los saberes curriculares. Asimismo, este contexto extra – matemático, debe complementarse con un análisis “intra”, y viceversa. Al estar centrada la enseñanza en la actividad matemática, cada conocimiento ha de pasar de un primer momento en el cual se presenta en la clase como herramienta de la actividad matemática, a otro en el que se transforma en objeto de estudio.

Cada grupo explica la estrategia que utilizó para la realización de la actividad y lo primero que surge fuertemente es la diferencia en los resultados de los grupos que usaron los mismos elementos: “¿Cómo hicieron ustedes?” “¿Por qué les dio mucho más que a nosotros?” lo que lleva a tratar el tema de las unidades no convencionales y convencionales (si algún grupo las usó en el primer momento para medir) y las estrategias de medición: compensaciones, forma de las unidades, cuidados en el cubrimiento de la superficie (en el sentido de los “huecos” que va dejando la unidad). Es posible también continuar este análisis sobre las unidades planteando ¿cómo es posible que unidades que poseen volumen sean utilizadas para medir un área? ¿Qué es lo que se está considerando al medir? A propósito de lo anterior, algunos procedimientos posibles son: - cuadricular la figura y tomar como unidad de medida el cuadradito. Luego, hacer las subdivisiones necesarias para seguir cubriendo. - calcar sobre el papel cuadriculado o milimetrado la figura y tomar como unidad de medida el cuadradito. Si se ha utilizado el papel milimetrado, como se muestra en el ANEXO 2 exponiendo el trabajo de uno de los grupos, surgen comentarios relacionados con que “al ser la unidad de medida tan pequeña, es menor el error que se comete al medir”. La regularidad de la trama en los papeles tanto cuadriculados como milimetrados, es otra observación realizada ya que favorecería la obtención de resultados con mayor precisión. - cubrir con distintos materiales como lentejas, arroz, garbanzos, porotos, etc. y cuantificar la cantidad utilizada. - hacer el cubrimiento con figuras conocidas para los sectores más grandes (en general rectángulos, cuadrados) y luego recurrir a los cuadraditos o los materiales anteriores para el resto. La estrategia continúa con la conversión de esas cantidades halladas a la convencionalidad, utilizando la escala del mapa; para expresar finalmente la medida en km2. Pero la etapa que más los compromete intelectualmente es la primera, ya que se da lugar al uso de diferentes conocimientos y esto tiene como consecuencia el desarrollo de diferentes aprendizajes. También surge el tema del error, no solamente por la diferencia en las cantidades obtenidas sino, por ejemplo, y observando el cuadro: “¿Cómo puede ser que con 132 garbanzos haya dado 309, 3 km2 y con 139 garbanzos 651,56 km2?” Lo que lleva a chequear los cálculos y revisar las estrategias implementadas por uno y otro grupo, porque además, hay procesos para medir que son más precisos que otros. En este problema, una misma superficie se está midiendo con distintas unidades no convencionales y convencionales, por lo que todas las cantidades deberían ser equivalentes y, para el caso de la misma unidad, tendrían que ser iguales o muy próximas. Si no lo son, entonces esto lleva a analizar el proceso de medir y también a explicar, qué significa medir.

Otro tema de análisis es la relación entre el tamaño de la unidad y la medida: cuando mayor es la unidad, menor es el número obtenido como medida, y recíprocamente; pero no solamente eso, sino que se puede avanzar sobre ¿Cuál es la relación existente entre la unidad y la medida? (En una cantidad expresada en una unidad dada, si divido la unidad por n, la medida quedará multiplicada por n, o viceversa, si multiplico la unidad por n la medida quedará dividida por n).

Comentario 4: si algún grupo calculó el perímetro en lugar del área, se trabaja sobre esta situación, analizando por qué surgió la confusión (si es simplemente un error de lectura rápida o es un problema de conocimiento). Asimismo, si usaron una estrategia que no lleva a la resolución del problema (como la presentada en el apartado A. de la próxima actividad) se analiza entre todos por qué ocurrió eso, qué supuestos subyacen en la misma.

De este modo, durante toda la propuesta se tratará de estructurar distintos conceptos relacionados con: la medida, medir, cantidad, unidades (convencionales o no), relaciones entre la unidad y la medida, planteando preguntas como: ¿qué implica el proceso de medir?, ¿Qué magnitud se trabaja? ¿Es lo mismo hablar de área que de superficie? ¿Cómo lo explicarían? ¿Existe esa diferenciación para otras magnitudes? Entre otras.

Propuesta: Análisis de estrategias, para el cálculo del área del lago Nahuel Huapi. Consigna: Se presentan las siguientes estrategias de dos estudiantes que afrontan la resolución del mismo problema del cálculo del área del lago Nahuel Huapi. Los invitamos a analizarlas, discutirlas y concluir si les han servido para resolver el problema. Además, comenten en el grupo qué supuestos hay detrás de estas estrategias.

Comentario 5: siempre que no surja en la propuesta anterior, la idea de esta actividad es tratar por un lado, la noción de área y perímetro, desvinculándolas y, por el otro, exponer otra estrategia válida que deviene del campo de la química.

A. Cuenta Pablo: “Busqué un hilo suficientemente largo y fijé una punta en la desembocadura del río Limay. Con la mayor precisión posible traté de formar con el hilo el contorno del lago (intentaba calcular el perímetro). Cuando volví a llegar a la desembocadura, corté el hilo. Lo retiré y formé con él un cuadrado sobre un papel cuadriculado. Medí su superficie y me dio 615 cuadraditos. Hice lo mismo con la isla Victoria. Me dio 64 cuadraditos. Lo resté y me dio 551 cuadraditos. Como un cuadradito según la escala del mapa es de aproximadamente 1,5625 km2, la medida de la superficie del lago es aproximadamente 861 km2.”

B. Martina dice: “Pegué el mapa en un cartón, lo recorté y lo pesé. Aparte, pesé cuadraditos del mismo cartón hasta llegar al mismo peso (tenía cuadraditos de distintas medidas y usé los más apropiados). Sumé las áreas de todos esos cuadrados y me dio 84,25 cm2. Por lo tanto, de acuerdo a la escala, la superficie del lado es de aproximadamente 526, 56 km2.” Puesta en común Discusión de ambos procedimientos y la validez, o no, de los mismos para resolver el problema; concluyendo que: -

para determinar el área de una figura, no es útil valerse del perímetro.

puede darse el caso que haya figuras de igual área e igual perímetro, pero basta encontrar un contraejemplo para que no se realice la generalización.

Comentario 6: en esta parte de la actividad, se está tratando de poner en expresiones de otras personas, la estrategia tanto correcta como incorrecta. Cuando se piensa el aprendizaje en términos de concepciones que se van construyendo, ampliando, revisando, aquello que solemos interpretar como “error” se resignifica en términos de conocimiento provisorio, derivado de las experiencias en las que el sujeto ha tenido oportunidad de participar. Esto – que vale tanto para los niños como para los adultos, no sólo en lo que respecta al conocimiento matemático, sino también al didáctico – nos lleva a pensar de manera más dinámica en saberes que se transforman, antes que en conocimientos que se tienen, no se tienen, de manera acabada. Esta cuestión impregna todas las intervenciones docentes. De ese modo, será clave la construcción de un espacio de confianza donde cada estudiante, incluido el docente, sienta que afortunadamente tiene algo más que aprender.

3.2. Cuadriláteros, ¿con lápiz y papel o con Geogebra? 7

Para la realización de esta experiencia se tuvieron en cuenta los siguientes materiales:  Pochulu, M. D. y Espósito, S. (2013). Clase 1: Pensar la clase de matemática. Enseñar con TIC, Matemática 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.  Pochulu, M. D., Espósito, S. (2013). Clase 2: Analizando la clase de matemática. Enseñar con TIC, Matemática 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.  Pochulu, M. D., Espósito, S. (2013). Clase 3: Avanzando en el diseño de la secuencia. Enseñar con TIC, Matemática 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.  Pochulu, M. D., Espósito, S. (2013). Clase 4: El diseño de las actividades. Enseñar con TIC, Matemática 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

La siguiente experiencia es de la autoría de los profesores/as: Andiarena, Paola Yanina; Santi, Viviana Alicia; Toledo, Walter Ariel; Fernández, Gonzalo Javier, de General Roca - Provincia de Río Negro. La secuencia de enseñanza plantea la resolución de problemas que involucran saberes correspondientes al eje Geometría y Medida del Diseño Curricular de la ESRN (Sub – eje: Análisis de figuras y cuerpos geométricos), y está destinada a estudiantes que cursarán el 3ro y 4to cuatrimestre (2do año). Cuando hablamos de secuencia didáctica, nos referimos a una serie de situaciones relacionadas unas con otras, y no a un conjunto de actividades independientes entre sí. Esta secuencia supone un ir y venir respecto de la construcción de cuadriláteros y sus propiedades, que si bien ya fue un contenido trabajado con otros recursos y desde otro tipo de prácticas geométricas, ahora el propósito es que los alumnos desarrollen distintas estrategias de resolución incorporando las TIC. Más allá de esto, los diversos procedimientos utilizados en las construcciones, tanto en entorno de lápiz y papel como tecnológico, pueden llevar a la explicitación de los mismos, al análisis de relaciones y propiedades de los cuadriláteros, rescatando la riqueza constructiva de ambos entornos y confrontando los conocimientos que se producen al abordar un mismo problema, utilizando instrumentos tradicionales de geometría o el recurso tecnológico (Geogebra). Los problemas planteados, no tienen el foco puesto en el contenido sino en las estrategias de resolución que los alumnos planteen, con el fin de construir los saberes correspondientes. Es así, entonces, que en la formulación de cada consigna de la secuencia, se tiene en cuenta que no sea cerrada, es decir que admita más de una solución y así posibilitar múltiples estrategias de resolución. Tampoco se le dice al estudiante lo que debe hacer, es decir no es pautada, no da los pasos que ellos  Pochulu, M. D., Espósito, S. (2013). Clase 5: Las TIC en la secuencia. Enseñar con TIC, Matemática 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.  Pochulu, M. D., Espósito, S. (2013). Clase 6: La evaluación en la secuencia didáctica. Enseñar con TIC Matemática 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.  Panizza, M. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS.  Feldman, Daniel, Didáctica general. - Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación, 2010.  Coll, C. “Aprender y enseñar con las TIC: expectativas, realidad y potencialidades”.  “Proyecto de mejora para la formación inicial de profesores para el nivel secundario”, Ministerio de Educación,  Ejemplos de Secuencias Didácticas ofrecidas en el módulo Enseñar con Tic, Matemática 2: Cuadriláteros, Derivada, Teorema de Pitágoras.

deben seguir y cómo resolverla. Al respecto, Pochulu, M., Font, V. y Rodríguez, M. consideran que estas cuestiones son algunos indicadores de calidad matemática ya que se encuadran en la posibilidad de no tener una única solución. Sosa, Peligros y Díaz Muriel (2010) definen la buena práctica con TIC como “toda aquella práctica educativa que con el uso de las TIC supone una mejora o potencialización del proceso de enseñanza aprendizaje y por tanto de sus resultados, pudiendo servir, además, de referencia a otros contextos”; por esto es que planteamos la incorporación de un software en la resolución de las distintas actividades ya que facilitará a los estudiantes la visualización y elaboración de sus conjeturas, su comparación y refutación; llegando a descubrir en algunos casos las formas de justificación. Ampliando lo antes expuesto, el uso del software posibilita otros modos de hacer en la clase de Matemática, y siguiendo a Arcavi y Hadas, “los ambientes dinámicos no sólo permiten a los estudiantes construir figuras con ciertas propiedades y visualizarlas, sino también les permite transformar esas construcciones en tiempo real”. De esta manera este tratamiento dinámico también favorece la comprensión de los distintos conceptos geométricos, promoviendo la exploración y los ensayos, lo que conlleva a un cambio en la forma de interactuar con los problemas. En cuanto al estudiante, el trabajo lo realiza en primera instancia en forma individual apropiándose de la situación (momento de acción), luego comparte con un par (momento de formulación) y esto lo obliga a explicitar sus ideas de resolución, pero también a tratar de comprender las de sus compañeros y por último realizar acuerdos para llegar a una solución común, es decir decidir sobre la verdad o falsedad de sus aseveraciones (momento de validación). En este sentido, Itzcovich (2010), define la validación de la respuesta a un problema como la decisión autónoma del estudiante acerca de la verdad o falsedad de su respuesta, que no se establece empíricamente sino que se apoya en las propiedades de los objetos geométricos, considerando la importancia de establecer relaciones y condiciones de validez generales. Propósitos: 

La realización de distintas experiencias de aprendizaje para desarrollar y complejizar el bagaje personal de saberes matemáticos con el que ingresan a la escuela secundaria.  Enriquecer “las ideas que los estudiantes tienen de los cuadriláteros” a partir de problemas de construcciones geométricas (fundamentalmente con Geogebra) que: o los impliquen en exploraciones, conjeturas, descubrimiento y verificación de propiedades y relaciones entre los elementos de las figuras; o les exijan poner de manifiesto los atributos relevantes de las figuras con que tratan y distinguir, por lo tanto, los que no lo son.



Propiciar la discusión matemática, respecto del empleo de diferentes caminos de solución, con la intención de producir el análisis de estrategias más económicas y controlables, las dificultades o errores encontrados y las definiciones o propiedades que validan cada decisión, comparando los conocimientos puestos en juego en entorno de lápiz y papel y del Geogebra. Generar un clima de trabajo que favorezca la autonomía en la resolución de los problemas y la comprensión de los nuevos conocimientos.

Saberes a construir (fundamentalmente con el uso del Geogebra): 



La exploración y el análisis del comportamiento de los elementos y propiedades de los cuadriláteros a partir de la modificación de las condiciones iniciales de los mismos. Análisis de las distintas estrategias de resolución para validar las respuestas o conjeturas planteadas, y de esta manera avanzar en las argumentaciones deductivas propias del trabajo geométrico. Estudio de las condiciones necesarias y suficientes para la construcción de uno o varios cuadriláteros que cumplen determinadas condiciones.

Recursos al servicio de la Secuencia: Papel y lápiz. Guía de actividades. Instrumentos geométricos. Uso de Netbooks (Internet, software matemático Geogebra). Proyector. Problema 1: Realicen, de ser posible, las siguientes construcciones y extraigan conclusiones: a) Un cuadrilátero que no sea paralelogramo y que tenga dos lados opuestos iguales. b) Un cuadrilátero que no sea paralelogramo y que tenga dos lados opuestos paralelos. c) Un cuadrilátero que no sea paralelogramo y que tenga dos lados opuestos iguales paralelos. A partir de lo construido. ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero sea un paralelogramo? En un primer momento los estudiantes leerán el problema y se les pedirá que compartan la interpretación del mismo con un compañero. En caso de no recordar algún concepto o propiedad, tendrán disponibles fichas de propiedades de figuras planas. De todas maneras ante cualquier dificultad el docente realizará las intervenciones que considere necesarias, como por ejemplo, una de las posibles dificultades es recordar ¿qué es un paralelogramo? ¿Cómo copiar segmentos congruentes en otro lugar de la hoja?; perder de vista que la consigna dice que no sea paralelogramo, no recordar la clasificación de cuadriláteros y sus propiedades.

El docente según el caso, intervendrá realizando las preguntas pertinentes: ¿recuerdan que es un paralelogramo? ¿Cuáles son sus propiedades? ¿Todas las construcciones serán posibles de ser realizadas? Observación: Si bien se propicia y se espera el uso del entorno tecnológico en la resolución de los problemas presentados, llegado el caso se cotejarán los procedimientos realizados en lápiz y papel y Geogebra, analizando relaciones y propiedades de los cuadriláteros, y explicitando las estrategias para su resolución.

Momento de cierre: El docente pedirá a los grupos que muestren y expliquen sus procedimientos, y mediante la interpretación y discusiones que realicen sobre los aciertos, errores, qué instrumentos utilizaron, cómo validan lo que dicen, se podrá arribar a las siguientes conclusiones:  Si construimos un cuadrilátero con un par de lados paralelos, no siempre es paralelogramo.  Si construimos un cuadrilátero con un par de lados opuestos congruentes, no siempre es paralelogramo.  La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea paralelogramo es que posea un par de lados opuestos congruentes y paralelos. Problema 2: Construir un cuadrilátero ABCD. Trazar el cuadrilátero EFGH formado por los puntos medios de los lados del cuadrilátero ABCD. Analizar todas las características y propiedades que se pueden anticipar del EFGH si se conocen las características y propiedades del ABCD. Justificar en cada caso. En un primer momento los estudiantes leerán el problema, y se les pedirá que compartan la interpretación del mismo con un compañero. En caso de no recordar algún concepto o propiedad, tendrán disponible fichas de propiedades de figuras planas. Luego tratarán de encontrar una posible solución al problema y comenzarán la búsqueda de distintas soluciones. Algunas dificultades que se pueden presentar: a) Como la consigna dice un cuadrilátero cualquiera, que ellos elijan un cuadrilátero determinado acotando así la posibilidad de encontrar otras respuestas. b) No interpretar la consigna en cuanto a qué se entiende por “anticipar las características y propiedades de los cuadriláteros”. c) Al observar los distintos cuadriláteros que se forman pueden decir: rombo, rectángulo, cuadrado o paralelogramo, pensando que los primeros no son paralelogramos. Momento de cierre:

Después del trabajo en parejas, se llevarán a cabo las presentaciones de cada una de las estrategias utilizadas. Es decir, cada pareja de alumnos explicará al resto las distintas soluciones a las que arribaron, sus discusiones, dificultades, herramientas utilizadas (lápiz y papel o Geogebra). Dichas presentaciones se realizarán utilizando el cañón para que todo el grupo clase pueda debatir y explicitar sus coincidencias o diferencias respecto a lo expuesto. El docente intervendrá en la medida que colabore con la comprensión y aclaración de las distintas situaciones que se presenten. Además, podrá realizar las preguntas convenientes para que puedan arribar juntos a las distintas conclusiones y dejará explícito qué conocimientos se trabajaron con este problema. Problema 3: Construye un cuadrilátero ABCD cualquiera, traza las mediatrices de sus lados. Llama O a la intersección de las mediatrices de AB y BC. Traza la circunferencia con centro en O, que pase por A, ¿Qué tiene que ocurrir para que exista una circunferencia que pase por los cuatro vértices? Explica todas las respuestas. Al presentar el problema pueden surgir muchas preguntas, ¿qué es la mediatriz? ¿Cómo la trazamos? ¿Por qué las mediatrices de dos lados consecutivos de un cuadrilátero se cortan en un único punto? Los estudiantes comenzarán trabajando en base a los conocimientos que posean respecto del problema, y es probable que la definición de circunferencia no la tengan disponible. Aquí el docente podrá evocar que las propiedades que han utilizado para triángulos también pueden ser revisadas y ayudan para avanzar en esta situación. Además, pueden surgir dudas en cuanto a ¿qué significaba triángulo circunscripto? Otra cuestión a considerar es si es posible empezar al revés, es decir que los cuatro vértices pertenezcan a la circunferencia y luego analizar lo que pide el problema. Momento de cierre: Cada pareja explicará al resto de los compañeros las distintas soluciones a las que arribaron, ¿qué cuestiones tuvieron en cuenta para la resolución del problema? ¿Trazaron todas las mediatrices? ¿Qué dificultades se les presentaron? Dichas presentaciones se realizarán utilizando el cañón para que todo el grupo clase pueda debatir y explicitar sus coincidencias o diferencias respecto a lo expuesto. El docente intervendrá en la medida que colabore con la comprensión y aclaración de las distintas situaciones que se presenten. Además, podrá realizar preguntas convenientes como por ejemplo:  



Cuando midieron los ángulos opuestos del cuadrilátero, ¿era evidente que la suma es de 180°? ¿Cómo hicieron para solucionar este problema? ¿Qué ocurrió cuando realizaron la construcción de tal manera que los puntos estén en la circunferencia? Además el docente podrá sugerir a los alumnos que

busquen información sobre las características de los cuadriláteros trabajados (puede ser en internet o brindándoles directamente direcciones de búsqueda).

3.3. Modelizando con las funciones Presentación de la experiencia La matemática se ha configurado a lo largo de la historia ante la necesidad de resolver problemas de distinta naturaleza. La actividad involucrada en la resolución de problemas da lugar la producción de conocimientos por parte de quien lo resuelve. Buscar un procedimiento que lo resuelva lleva a recuperar conocimientos, a desechar los que no resultan prósperos para lograr un camino, a cometer errores, a revisar el camino andado, retomar otra vía; todas tareas vinculadas al quehacer matemático. En esta oportunidad presentamos dos problemas con la intención de involucrar a los estudiantes en una verdadera actividad de producción de conocimiento. Las propuestas buscan propiciar un ambiente que aliente a ensayar y producir diferentes soluciones dando lugar a que el docente pueda organizar una clase en la que se discuta sobre la validez, precisión, claridad, generalidad, alcance, etc., de lo que se produjo. Las actividades tenderán a favorecer la necesidad de buscar una fórmula que modelice la situación. La riqueza de este tipo de actividades está en la posible diversidad de producciones de los estudiantes. Las distintas escrituras que aparezcan en el aula permiten trabajar sobre la noción de equivalencia de expresiones y sobre las transformaciones algebraicas tanto como la idea de variación y dependencia. Pero sobre todo el que surja en ellos la necesidad de crear una fórmula para resolver el problema. A continuación de cada actividad se proponen posibles procedimientos y el análisis de los mismos. Este análisis nos permite poner en diálogo el modo en que los estudiantes proponen diversas resoluciones a las situaciones y las posibles intervenciones docentes. Propósitos -

Favorecer una conceptualización de la noción de función como modelización de fenómenos. Promover el análisis, comparación, equivalencia y reflexión sobre los procedimientos de los estudiantes para enriquecer y potenciar su aprendizaje. Estimular la búsqueda de soluciones alternativas favoreciendo la reflexión, la discusión acerca de las distintas estrategias y distintas formas de razonamiento ante la resolución de problemas en matemática. Construir un espacio de reflexión sobre “el valor social de la Matemática” y “los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, en la escuela actual”.

Reconocer la relación entre matemática y la resolución de problemas, con diferentes sentidos y desde diferentes concepciones.

Problema 1 En un supermercado se quieren acomodar las latas de duraznos como muestra la figura:

a) b) c) d) e) f)

¿Cuántas latas serán necesarias para armar una torre de 5 pisos? ¿Cuántas serán necesarias para una torre de 15 pisos? ¿Y de 100 pisos? ¿Se podrán disponer de esta manera 28 latas sin que sobre ninguna? ¿Y 100 latas? ¿Se podría anticipar si con 1000 latas se podría construir una torre de las mismas características?

Análisis de los posibles procedimientos de resolución La resolución de este problema favorece una constante interacción entre los alumnos y la noción de variabilidad, como así también, una aproximación a la escritura simbólica. El objetivo de los incisos a), b) y c) del problema es encontrar la dependencia que existe entre la cantidad de latas y la de pisos. En un principio, como los números son pequeños, los alumnos podrían contabilizar fácilmente la cantidad de latas valiéndose de un dibujo, un bosquejo de la situación. Va surgiendo, paulatinamente, la idea de una dependencia entre la cantidad de latas y la cantidad de pisos: pues de acuerdo a una será el resultado de la otra. En el inciso c), el número elegido (100 pisos), lleva a tener que explorar propiedades numéricas; favorece la búsqueda de regularidades y escrituras convenientes de los números. El procedimiento por conteo ya no resulta económico, así se hace necesario encontrar una manera que facilite el cálculo. Por ejemplo, podría surgir escrituras como: 1 1 2 3 = 1+2 3 6= 3+3= 1+2+3 ….. Esto no significa que algunos alumnos no sigan contando, lata a lata, piso a piso.

De todos modos, queda de manifiesto que existe una dependencia entre la cantidad de latas y la cantidad de pisos. Los incisos d), e) y f) tienen el propósito de crear la necesidad de encontrar una relación entre el número de latas y el número de pisos y traducirla en una fórmula. Para resolverlos, es necesario un pensamiento inverso: teniendo las latas, ¿cuántos pisos se pueden armar? Para 28 latas, los alumnos pueden recurrir a la respuesta del inciso b) o armar una tabla, por ejemplo; pero para 100 latas el uso de la misma no sería un procedimiento económico. Más aún, las 1000 latas escapan a la posibilidad de un conteo como se podría haber resuelto hasta ahora. Es en este momento cuando surge la necesidad de una fórmula, de una relación algebraica entre una y otra variable que facilite la resolución, en la que la expresión matemática funcionaría como una ecuación. Para el hallazgo de una fórmula se puede realizar “tanteos” hasta lograr evidenciar alguna regularidad numérica para los primeros pisos de las torres: 1 2 3 4 5

1 3 = 1+2 6 = 3+3 = 1+2+3 10 = 6+4 = 1+2+3+4 15 = 10+5 = 1+2+3+4+5 5+1=6 = (5+1) = 1+2+3+4+5 2+4=6 = (5+1) 3 6 3 2

5 1 2

15=…..

21 = ….= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

= (5+1) + (5+1) +

5 1 = 2

= (6+1) + (5+2) +(4 + 3) =

(5+1) . ( 5  1 ) +

(6  1) 

5 1 2

6 2

Entonces, si n es par: n

(n  1)  n 2

Y si n es impar: n

(n  1)  (

n 1 n  1 (n  1)  (n  1)  (n  1) (n  1)  n )( )  2 2 2 2

En estos incisos la elección de los números posibilita el estudio del dominio de validez de la función encontrada. Cuando los alumnos consigan hallar una fórmula que resuelva el problema, podrían asociarla con la fórmula resolvente de ecuaciones de segundo grado. En este caso, analíticamente la fórmula da dos resultados; pero no se debe perder de vista que estamos hablando de números naturales, lo que llevaría a

pensar aún más en las condiciones de n. Así por ejemplo, para 28 latas la fórmula da dos posibles resultados: 7 y -8, cabe la pregunta: ¿es posible armar una torre de -8 pisos? Para 100 y 1000 latas los resultados son decimales; cabría la pregunta: ¿cómo dispondríamos 14,6 pisos? Aparece entonces, por primera vez, la necesidad del análisis del dominio de la función para descartar una de las soluciones. Problema 2 En una comunidad indígena, donde no se utiliza dinero para comprar, se establecen las siguientes equivalencias para realizar trueques: Por 5 gallinas, recibirán 6 palomas. Por 4 palomas, recibirán 5 patos. a) Si una persona desea canjear gallinas por patos, ¿cuál será la equivalencia entre éstos? b) ¿Podrías determinar en esta situación una función matemática? Justifica tu respuesta. c) Si ahora el trueque se establece de la siguiente manera: por 5 palomas, recibirán 4 patos. Por 6 palomas, recibirán 5 gallinas. Si tengo que comprar animales, ¿qué animal me conviene comprar: patos o gallinas? d) Si tengo un pato, ¿puedo cambiarlo por gallinas? ¿en cuál de los dos trueques me conviene?

Análisis de los posibles procedimientos de resolución En la resolución de este problema se involucran magnitudes directamente proporcionales y conlleva a manipular expresiones equivalentes. El problema no muestra ninguna fórmula, es el alumno el que tiene que plantear equivalencias para poder establecer la relación entre los animales. Algunos alumnos pueden recurrir a la "regla de tres", apoyándose seguramente en los tratamientos clásicos de las situaciones de proporcionalidad, y proponer respuestas tales como "por cada dos gallinas recibirán 3 patos". Asimismo es posible que otros alumnos utilicen una fórmula, por ejemplo: 5g = 6pl

4pl = 5pt

Otros podrán relacionar g y pt obteniendo 2g = 3 pt. La intención es que los alumnos establezcan equivalencias entre los animales, adviertan la insuficiencia de ese procedimiento y tengan que buscar otro, al momento de comparar los trueques. Es necesario que los alumnos expliciten la relación ¿cuántos patos equivalen a una gallina? o viceversa para poder proceder al trueque. Los valores numéricos elegidos para este problema, permiten resaltar la necesidad de una delimitación del dominio de la función. El estudiante tendrá que comparar resultados y darse cuenta que en algunos casos esos valores serán coherentes y en otros no, teniendo en cuenta que hablamos de un conjunto discreto. Por ejemplo, si en

el primer trueque se obtiene la equivalencia: un pato es equivalente a

3 2

gallinas, esto

sólo tendrá sentido para cantidades de patos que sean múltiplos de 2. Puede suceder que algunos alumnos propongan expresiones no adecuadas como pt = 2/3g, sin tener en cuenta que dicha expresión no indica el número de patos en función del número de gallinas sino cuántas gallinas equivalen a un pato. A fin de que los estudiantes se den cuenta de que el error proviene de una confusión entre variable independiente y variable dependiente, puede sugerirse utilizar esa expresión para responder a la pregunta: "Si tengo 10 gallinas para hacer el trueque, ¿cuántos patos me corresponderán?", y solicitar que se controle el resultado volviendo a la equivalencia inicial. También es posible que otros estudiantes sugieran la fórmula correcta: pt = 3/2g, (o bien, f(x) = 3/2 x, siendo x el número de gallinas y f (x) el número de patos en función del número de gallinas). Sin embargo, si no se delimita el dominio de validez de estas últimas, resultan insuficientes en el contexto del problema. Resultaría adecuado organizar un debate y proponer preguntas tales como: "Si sólo se dispone de dos gallinas: ¿es posible efectuar el trueque? ¿Y en caso que haya sólo 5 palomas?". Las relaciones entre las variables involucran una función compuesta. Aunque esta noción no es objeto de enseñanza, el problema contribuirá a otorgar sentido a la misma. A modo de cierre Los problemas presentados requerían de una modelización un tanto compleja, favoreciendo el planteo de una expresión matemática que facilite estudiar las relaciones entre las magnitudes en juego tanto como el análisis de la variación y dependencia entre ellas. Ambas propuestas buscan promover el surgimiento de distintas estrategias de resolución por parte de los estudiantes. Este tipo de problemas, busca que tomen decisiones, se responsabilicen de los resultados hallados, validándolos y confrontándolos con sus pares. Así La fórmula aparece como una necesidad para resolver la situación aunque en ningún momento se pide su hallazgo.

ANEXO 1 (Experiencia 3.1)

ANEXO 2 (Experiencia 3.1)

4. Bibliografía  ABRATE, R. y POCHULU, M. (comps.), 2007. Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática. Universidad Nacional de Villa María. Pcia. de Córdoba. Argentina.  CAMUYRANO, María Beatriz; NET, Gabriela; ARAGÓN, Mariana, 2000. Matemática I, Modelos Matemáticos para interpretar la realidad. Buenos Aires. Editorial Estrada Polimodal.  HIGUERAS, L., 1998. La noción de función. Análisis epistemológico y didáctico. Universidad de Jaén, España.  ITZCOVICH, H., 2005. Iniciación al estudio didáctico de la geometría. De las construcciones a las demostraciones. Buenos Aires. Libros del Zorzal.  ITZCOVICH, H., 2007. La Matemática escolar. Las prácticas de enseñanza en el aula. Buenos Aires. Editorial Aique.  PLANAS, N. y ALSINA, A. (coords), 2009. Educación Matemática y buenas prácticas. Infantil, primaria, secundaria y educación superior. Barcelona. Editorial GRÁÓ.  PLANAS, N. (coord.), 2012. Teoría, crítica y práctica de la Educación Matemática. Barcelona. Editorial GRAÓ.  POCHULU, M. y RODRIGUEZ, M. (comps.), 2012. Educación Matemática. Aportes a la formación docente desde distintos enfoques teóricos. Buenos Aires. Editorial Universitaria Villa María. Universidad Nacional de General Sarmiento.  SADOVSKY, P., 2005. Enseñar Matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos. Buenos Aires. Libros del Zorzal.  SEGAL, S. y GIULIANI, D., 2008. Modelización matemática en el aula. Buenos Aires. Libros del Zorzal.  SESSA, C., 2006, Iniciación al estudio didáctico del álgebra. Orígenes y perspectivas. Buenos Aires. Libros del Zorzal.  TASSARA, A.; PORRAS, M.; MARTÍNEZ, R. FANTINI, S.; PISTONESI, V. y otros, 2010. Crónicas de las escuelas medias del Alto valle de Río Negro y Neuquén. Facultad de Ciencias de la Educación. UNCo.