Livro de Trigonometria

TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS

TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS

CAMILA FRANCISCA DE MELO

CAMILA FRANCISCA DE MELO

GRUPO SER EDUCACIONAL

ISBN 978-65-86557-90-9

TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS

gente criando o futuro 9 786586 55790 9

Trigonometria e Números Complexos Camila Francisca de Melo

Curitiba 2022

Ficha Catalográfica elaborada pela Editora Fael.

M528t

Melo, Camila Francisca de Trigonometria e números complexos / Camila Francisca de Melo. – Curitiba: Fael, 2022.

232 p.

ISBN 978-65-86557-90-9 1. Trigonometria 2. Números complexos I. Título CDD 516.24

Direitos desta edição reservados à Fael. É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.

FAEL Direção Acadêmica Coordenação Editorial Revisão Projeto Gráfico Imagem da Capa Arte-Final

Valmera Fatima Simoni Ciampi Angela Krainski Dallabona Editora Coletânea Sandro Niemicz Ser Educacional Hélida Garcia Fraga

Sumário Carta ao Aluno | 5 1.

Trigonometria na origem | 7

2.

Trigonometria no triângulo retângulo | 23

3.

Ciclo Trigonométrico | 47

4.

Outras razões trigonométricas | 77

5.

Trigonometria em um triângulo qualquer | 103

6.

Equações e inequações trigonométricas | 125

7.

Funções trigonométricas | 145

8.

Números complexos | 173

9.

Operações com números complexos | 189

10. Representação Geométrica e Trigonométrica do Número Complexo | 209

1 Trigonometria na origem

1.1 A origem A palavra trigonometria vem do grego trigónon = triângulo e métron = medida, criada pelo matemático Bartholomeus Pitiscus para denominar a parte da matemática destinada ao estudo das medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo. Não se sabe exatamente quando nem onde se originou a trigonometria, mas existem registros de diferentes povos, como os babilônicos e os egípcios.

Os egípcios foram uma das grandes civilizações da Antiguidade no vale do Rio Nilo. Conta-se que o desenvolvimento da geometria aconteceu pela necessidade de adaptações. Os triângulos retângulos aparecem nas construções das pirâmides, mas existe um fato muito curioso que mostra outra aplicação. Depois dos alagamentos dos terrenos nas margens do Nilo, foi necessário remarcar as áreas para calcular e cobrar os impostos, e para esse trabalho existiam os esticadores de corda, que levavam esse nome porque utilizavam uma corda de 13 nós equidistantes para montar triângulos de lados proporcionais a 3, 4 e 5, que configuram um triângulo retângulo (figuras 1.1 e 1.2).

Trigonometria e Números Complexos Figura 1.1 – Esticadores de corda

Fonte: http://dominiopublico.mec.gov.br/download/texto/me001384.pdf Figura 1.2 – Montagem dos triângulos

Fonte: Shutterstock.com/EreborMountain

Ainda sobre os egípcios, não podemos deixar de comentar sobre o papiro de Rhind (Figura 1.3), com aproximadamente 30 centímetro de altura e 5 metros de comprimento, com cerca de 86 problemas de matemática divididos entre geometria e álgebra. Além do estudo dos triângulos, tem-se uma aproximação para o número π, utilizado em cálculos de volume.

– 8 –

Trigonometria e Números Complexos x 2 32 42 h 2 9 16 h2

25

h

5

b) Neste exemplo, o valor desconhecido é um dos catetos; com isso: h2 c2 c2

6 2

2

y 2 62

72 y 2 36 36

y2

y

6

Portanto, temos que os catetos são iguais e concluímos que é um triângulo isósceles.

2.

Um campo de futebol no Brasil normalmente tem medidas de 105 metros por 68 metros, como mostrado na figura. Se um jogador sair de um canto do campo e correr até o canto oposto, vai ter percorrido quanto?

Dimensões para o campo 105 m

68 m

Fonte: adaptada de Shutterstock.com/Save nature and wildlife

– 12 –

Trigonometria na origem

Resolução Como o exercício pede de um canto a outro, seria a diagonal do retângulo, por exemplo de A até C, conforme a imagem:

Utilizando Pitágoras, temos: h2 c2 c2 h 2 1052 682 h 2 11025 4624

h2

15649

h 125,10 cm

c) Passaremos a analisar outro ângulo, o que vai nos ajudar a identificar os catetos.

Com isso, temos que: 2 em relação ao ângulo α, o lado CB é o cateto oposto (lado oposto ao ângulo); o lado AC é o cateto adjacente (que fica ao lado); e o lado AB é a hipotenusa.

– 13 –

Trigonometria na origem

Também: AB DE

CA CD

AB CA

DE CD AB

** FG

DE

= = Utilizando (*) e (**), temos CA CF CD , que são razões (divisões) entre o cateto oposto e a hipotenusa dos três triângulos, e acabamos de mostrar que são iguais – para um ângulo agudo α fornecido.

Existem outras duas razões que seguem com demonstrações análogas e se mostram iguais para os três triângulos e ganham um nome especial na trigonometria: seno, cosseno e tangente.

1.3 Relações trigonométricas As razões são identificadas para facilitar seu uso e denominadas razões trigonométricas dadas da seguinte forma: 2 O seno é a razão entre a medida do cateto oposto pela hipotenusa do triângulo retângulo.

2 O cosseno é a razão entre a medida do cateto adjacente pela hipotenusa do triângulo retângulo.

2 A tangente é a razão entre a medida do cateto oposto pelo cateto adjacente do triângulo retângulo.

Tomando como base um triângulo retângulo e um ângulo agudo α, usaco etg mos as abreviações: sen para denotar respectivamente seno, cosseno e tangente do ângulo α.

Destaque Para facilitar, temos as seguintes notações: •

Cateto oposto: CO

•

Cateto adjacente: CA

•

Hipotenusa: HIP

– 15 –

Trigonometria no triângulo retângulo

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CBD: 2

a  a =   + h 2  2  2

a2 −

a2 = h2 4

3a 2 = h2 4 h=

a 3 2

Com o valor da altura h, é possível encontrar os valores de seno, cosseno e tangente de 30° e de 60°: 2 Ângulo de 30°:

a CO 1 sen 30° = → sen 30° = 2 → sen 30° = a HIP 2

a 3 3 CA h cos 30° = →cos 30° = →cos 30° = 2 →cos 30° = HIP a a 2 a a CO 1 3 2 → tg 30° = → tg 30° = 2 → tg 30° = tg 30° = → tg 30° = h CA 3 a 3 3 2

2 Ângulo de 60°:

a 3 CO h 3 sen 60° = → sen 60° = → sen 60° = 2 → sen 60° = HIP a a 2 – 29 –

5 Trigonometria em um triângulo qualquer

Nos capítulos anteriores, trabalhamos com relações métricas e trigonométricas em um triângulo retângulo, e estabelecemos as principais razões entre os lados do triângulo. Contudo, há vários problemas que envolvem triângulos que não são retângulos. Sendo assim, foi necessário desenvolver novos métodos para resolver problemas em um triângulo qualquer. Com isso, surgiram as leis gerais: lei dos senos e lei dos cossenos, que nos ajudam a resolver problemas em um triângulo qualquer, ou seja, triângulos que não necessariamente são retângulos.

A seguir, temos um exemplo de problema que envolve um triângulo não retângulo. Na imagem, tem-se a ponte férrea São João, localizada na região entre Morretes e Curitiba, no Paraná. Essa ponte é um dos atrativos do passeio de trem, que passa por ela. Imagine que um montanhista situado no ponto C deseja calcular o comprimento da ponte, ou seja, a distância AB , perceba que o triângulo formado não tem nenhum ângulo de 90° (ângulo reto), assim, o montanhista não pode aplicar nenhuma das razões trigonométricas

Trigonometria e Números Complexos

já conhecidas. Como será possível, então, calcular essa distância? Neste capítulo, estudaremos formas de se obter essa distância, para isso, vamos estudar a lei dos senos e a lei dos cossenos.

Figura 5.1 – Ponte férrea São João, PR.

A

B

α

C

Fonte: adaptada de https://www.uol.com.br/nossa/viagem/noticias/2010/05/21/passeio-detrem-para-morretes-no-parana-revela-historia-e-belas-paisagens-no-trajeto.htm

5.1 Lei dos senos A lei dos senos geralmente é utilizada quando precisamos estabelecer relações entre lados e ângulos de um triângulo qualquer ou quando a situação-problema envolve o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

Ao considerar um triângulo qualquer ABC de lados a, b, c, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles.

Ainda se tem que a constante de proporcionalidade dessas medidas é igual ao diâmetro (duas vezes o raio) da circunferência circunscrita ao triângulo, tem-se, portanto:

– 104 –

Trigonometria em um triângulo qualquer

a

sen (Â)

=

b

sen (Bˆ)

=

c

sen (Cˆ)

= 2r

Vale ressaltar que a utilização da lei dos senos não necessariamente acontece utilizando todos os termos, pode-se trabalhar com dois termos apenas, devido à igualdade. Nos exemplos resolvidos, isso ficará bastante claro.

Vamos realizar a demonstração dessa lei, que acontece para dois casos distintos: primeiramente, quando temos um triângulo retângulo inscrito na circunferência e, em segundo lugar, quando temos um triângulo qualquer inscrito na circunferência.

5.1.1 Demonstração 2 Quando o triângulo inscrito é retângulo: como um dos lados do triângulo é o diâmetro, isso implica que o ângulo central (BÔC ) seja de 180° e o ângulo inscrito (BÂC ) a metade do ângulo central, ou seja, um ângulo de 90°. Tem-se, assim, um triângulo retângulo com hipotenusa a = 2r (duas vezes o raio). Com isso, podemos encontrar as seguintes razões senos:

sen (Bˆ) =

b b ⇒ 2r = 2r sen (Bˆ)

c c sen (Cˆ) = ⇒ 2r = 2r sen (Cˆ) – 105 –

Funções trigonométricas

Sabemos que, se considerarmos o ângulo no sentido horário, esse ângulo de 40° será côngruo do ângulo de -320°.

Porém, se permanecermos no sentido anti-horário e passarmos de uma volta, teremos o ângulo de:

Se continuarmos com esse processo, ao acrescentarmos mais uma volta, teremos:

– 147 –

Trigonometria e Números Complexos

Já o gráfico da função secante, que é o inverso da função cosseno, é:

Como já falado, há grande semelhança entre ambos os gráficos.

Agora, vamos apresentar o gráfico da função cotangente, que é o inverso da função tangente.

Perceba que a função cotangente é muito parecida com o gráfico da função tangente. No entanto, suas “ondulações” são opostas.

– 168 –

Funções trigonométricas

Fora essas razões, ainda existem senoides, cossenoides e assim por diante, ou seja, a trigonometria é muito vasta, porém, não vamos abordar outros temas.

7.5 Outras atividades resolvidas Nesta seção, vamos trabalhar com mais alguns exercícios resolvidos.

Alguns exercícios dizem respeito às funções e podem ou não fazer referência aos gráficos. Vamos observar alguns exemplos:

Exercício resolvido 1 Encontre o domínio da função f definida por: f (x ) = 2 −

3.sen (x )

sen (x ) + cos (x )

Para resolver essa questão, ou seja, descobrir qual o domínio de f , o denominador deve ser diferente de 0, assim: sen (x ) + cos (x ) ≠ 0

→

sen (x ) ≠ −cos (x )

Desse modo, é necessário analisar os arcos em que os valores de seno e de cosseno são iguais, mas com sinais opostos. Isso acontece no segundo e no quarto 3p + k p e o domínio pode ser escrito como: quadrante, assim: x ≠ 4   3p D = x ∈ R / x ≠ + k p,com k ∈ Z    4  

Exercício resolvido 2 Qual é a imagem da função f ? f (x ) = 1 − 2cos (x )

Para solucionar essa questão e encontrar a imagem, devemos começar com a imagem da função cosseno, que é o intervalo [-1,1]: – 169 –

Funções trigonométricas  p cos 2x −  = 1  2 

Isso acontece quando o arco é igual a 0 ou 2p: 2x −

e

p p p = 0 → 2x = → x = 2 2 4

p p 5p 5p = 2p → 2x = 2p + → 2x = → x = 2 2 2 4 Ou seja, os valores de x para que a função tenha seu valor máximo são:

2x −

p 5p e .

4 4 Observação: caso fossem solicitados os valores de mínimo da função cosseno (ou mesmo seno), o raciocínio seria análogo, adaptando para o menor valor de f (x ), ou seja, para -1.

Exercício resolvido 4

tx

p +  uma função trigonométrica. Encontre o  2 3 

Seja f (x ) = 5 − cos 

valor de t para que o período da função seja p .

5 Quando falamos sobre período de uma função cosseno, lembramos que 2p . Nesse caso, a constante c é dada por t , substituindo os valores: P= c 2 2p P= c

4p p 2p p 2p p = → = → = → t p = 20p → t = 20 5 5 5 t t t 2 2 Desse modo, concluímos que os valores possíveis para t são ± 20.

– 171 –

Trigonometria e Números Complexos

Com isso, dos exemplos anteriores, podemos dizer que o exemplo “e” é um número real e que o exemplo “d” é um número imaginário puro. Além disso, do exemplo a, temos que z 4 2i e, assim, Re z 4 e I m z 2.

Como percebemos, o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos reais. Desse modo, podemos ter a seguinte representação:

Conjunto do Números Reais -



Conjunto do Números Complexos - 

Agora que já entendemos a relação dos conjuntos com o conjunto dos números complexos, podemos resolver alguns exercícios.

Exercício resolvido 1 Ao considerar que um número imaginário tem a forma genérica expressa por a + bi, complete a tabela abaixo com as partes faltantes:

a

b

6

a bi

Conclusão

6+i 5

−2

−3

−1

11

5i

4 9 − 8i

– 178 –

Imaginário puro

Real

Trigonometria e Números Complexos

Agora que já temos essa percepção das raízes complexas, podemos realizar alguns exemplos com equações de graus maiores do que 2.

Exemplo resolvido 3 Sobre as raízes de uma equação do 7° grau, assinale V para as opções verdadeiras e F para as opções falsas. ( ) Se todas as raízes forem reais, serão todas distintas. ( ) Pode ter quatro raízes reais e três raízes complexas. ( ) A equação pode ter duas raízes complexas e cinco raízes reais. ( ) Todas as raízes podem ser complexas. ( ) É possível que uma raiz seja real e seis raízes sejam complexas.

A solução dessa questão leva em consideração que as raízes complexas sempre aparecerão em pares, com isso: ( F ) Se todas as raízes forem reais, serão todas distintas. Não necessariamente as raízes serão distintas, podemos ter raízes com multiplicidade. ( F ) Pode ter quatro raízes reais e três raízes complexas. As raízes complexas sempre aparecem em valores pares, desse modo, não é possível ter três raízes complexas. ( V ) A equação pode ter duas raízes complexas e cinco raízes reais. ( F ) Todas as raízes podem ser complexas. Se todas as raízes forem complexas, teremos sete raízes. Como o valor é ímpar, isso não é possível. ( V ) É possível que uma raiz seja real e seis raízes sejam complexas.

Exemplo resolvido 4 Dada a equação do quarto grau abaixo, descubra quantas e quais são as raízes complexas.

(x

2

)(

)

+ 1 4x 2 + 3 = 0

Encontrando as raízes, temos: x 2 + 1 = 0 → x 2 = −1

– 206 –

Operações com números complexos x′ = i x = −1 → x = ±i → x ′′ = −i

Além disso, 4x 2 + 3 = 0 → x 2 = −

3 4

3 x′ = i 3 3 2 x = − → x = ± i → 4 2 3 x ′′ = − i 2

Assim, podemos concluir que a equação tem as quatro raízes complexas.

Exemplo resolvido 5 Uma equação de terceiro grau tem três raízes, sabendo que 1 é uma das raízes da equação x 3 − 3x 2 + 7x − 5 = 0, encontre as outras duas.

Neste exercício, já foi fornecida uma das raízes. Sendo assim, podemos utilizar a divisão de polinômios ou o dispositivo de Briot Ruffini para encontrar o polinômio de grau 2 e, com isso, descobrir as demais raízes. Neste exercício, vamos usar o dispositivo de Briot Ruffini. Dessa forma: 1 -3 7 -5 1

1 -2 5 0

Assim: x 3 − 3x 2 + 7x − 5 = 0

(x − 1).(x

2

)

− 2x + 5 = 0

Aplicando Bhaskara no termo quadrático, temos: − (−2) ± (−2) − 4.1.5 −b ± b 2 − 4ac x= → x = 2. 1 2a 2

x=

x ′ = 1 + 2i 2 ± 4 − 20 2 ± −16 2 ± 4i → x = → x = → x ′′ = 1 − 2i 2 2 2

– 207 –

Representação Geométrica e Trigonométrica do Número Complexo

b) z 2 = 2 + 2i c) z 3 = 3 − i Para encontrar o argumento dos números complexos, é preciso descobrir o módulo r primeiramente, e, em seguida, descobrir o ângulo do seno e do cosseno correspondentes às coordenadas polares, portanto: 2

a)

2  3   1     r = a + b → r = −  +   → r =  2   2  2

2

1 3 + → r = 1 4 4

Substituindo nas coordenadas polares,  1  −   2 cos (α) = − 1 cos (α) = 1 →  2 →     3 3

 sen (α) = 2  sen (α) = 2  1

 a  cos (α) = ρ   b sen (α) = ρ 

O ângulo cujo cosseno vale - 1 e o seno vale 3 é o de 120°.

2

2

b) r = a + b → r = 2 + 2 → r = 4 + 4 → r = 2 2 2

2

2

2

Substituindo nas coordenadas polares,  a  cos (α) = ρ   b sen (α) = ρ 

  2  cos (α) = 2 cos (α) =    2 2 2

→  →    2 2 = sen α ( ) sen (α) =    2 2 2

O ângulo cujo cosseno vale 2 e o seno vale 2 é o de 45°.

2

c)

2

r = a 2 + b 2 → r = 32 + (−1) → r = 9 + 1 → r = 10 2

Substituindo nas coordenadas polares, – 221 –

Trigonometria e Números Complexos  a  cos (α) = ρ   b sen (α) = ρ 

  cos (α) = →   sen (α) = 

 3 10 cos (α) = 10 →  10  1 10  sen (α) =  10 10 3

O ângulo solicitado não é um ângulo notável. Desse modo, é necessário o uso de uma calculadora científica para descobrir que a ≈ 18, 44° ou, se não tivermos uma calculadora científica, podemos deixar expresso por:        −1  3 10  arc cos  3 10  cos      10   10    ou a =  a=

 10   10      − 1    arcsen  sen    10   10     

10.4 Forma Trigonométrica Para encontrar a forma trigonométrica de um número complexo z, substituímos as equações polares na forma algébrica do número complexo, assim: z = a + bi z = ρ. cos (α) + ρ.sen (α) .i z = ρ.  cos (α) + i.sen (α)  

Essa última chamamos de forma trigonométrica ou forma polar do número complexo.

Destaque Apesar de não ser definido o argumento para o número complexo

nulo,

podemos

representar

z =0

z = 0.  cos (a) + i.sen (a) para qualquer valor de a.  

– 222 –

como

Representação Geométrica e Trigonométrica do Número Complexo

Vamos praticar um pouco a respeito desse conceito?!

Exercício resolvido 1 Encontre a forma trigonométrica dos seguintes números complexos.

1 3 i 2 2 b) z 2 = 2 + 2i

a) z1 = − +

Para encontrar a forma trigonométrica, é necessário encontrar o módulo e o argumento dos números complexos (nesses dois casos, já calculamos no exercício anterior) e, em seguida, substituir os valores na forma trigonométrica. a) z1 = ρ. cos (α) + i.sen (α) → z1 = 1. cos (120°) + i.sen (120°) → 

  z 1 = cos (120°) + i.sen (120°)



b) z 2 = ρ. cos (α) + i.sen (α) → z 2 = 2 2. cos (45°) + i.sen (45°)

Exercício resolvido 2 Dados os números complexos na forma trigonométrica, encontre-os na forma algébrica. a) z1 = 3. cos (180°) + i.sen (180°)     b) z 2 = 2. cos (30°) + i.sen (30°)   c) z 3 = cos (300°) + i.sen (300°)  

A solução desta questão se dá por meio dos valores de seno e cosseno que serão substituídos nos números dados, assim: a) z1 = 3. cos (180°) + i.sen (180°) → z1 = 3. −1 + i.0 → 



z 1 = −3

 3 1 z 2 = 2.  cos (30°) + i.sen (30°) → z 2 = 2.  + i.  → z 2 = 3 + i b)   2  2  1  1 3 3 i c) z 3 = cos (300°) + i.sen (300°) → z 3 =  − i.  → z 3 = − 2 2 2 2  

– 223 –

Representação Geométrica e Trigonométrica do Número Complexo

Como o ângulo é de 150°, isso significa que o resultado da multiplicação está no segundo quadrante e, com isso, podemos concluir que Marcia obteve sucesso na sua pesquisa e alcançou os objetivos desejados.

Depois desses exercícios, vamos conhecer a potência com números complexos na forma trigonométrica.

2 Potência Para a potenciação de números complexos na forma trigonométrica, vamos utilizar a definição acima (multiplicação) de um número complexo z por ele mesmo (potência). Desse modo, podemos começar calculando as seguintes potências z 2 e z 3: z 2 = z .z z 2 = ρ.ρ.  cos (α + α) + i.sen (α + α)   z 2 = ρ 2  cos (2α) + i.sen (2α)  

Além disso, z 3 = z .z .z z 3 = ρ.ρ.ρ.  cos (α + α + α) + i.sen (α + α + α)   z 3 = ρ 3  cos (3α) + i.sen (3α)  

Agora, se generalizarmos, temos:

z n = z .z .z .

.z

n termos

n termos

(α+ α +

n termos

(

.ρ. cos

+α + i.sen

(α + α +

Resultando em: z n = ρ n  cos (n α) + i.sen (n α)  

– 227 –

n termos

(

z n = ρ. ρ.

+α

Trigonometria e Números Complexos

Essa última é a equação geral da potência do número complexo z. Agora que já a conhecemos, partiremos para alguns exercícios resolvidos.

Exercício resolvido 1 Encontre, na forma algébrica, o resultado das potências dos respectivos números complexos.

2 a) z de z = 4 cos (15°) + i.sen (15°)

b) z 6 de z = 2 cos (10°) + i.sen (10°)  

c) z 3 de z = 2 cos (90°) + i.sen (90°)   Para esses casos, podemos aplicar a definição dada: z n = ρ n  cos (n α) + i.sen (n α)  

a) b) c)

 3 1 z 2 = 42  cos (2.15°) + i.sen (2.15°) → z 2 = 16  cos (30°) + i.sen (30°) → z 2 = 16  + i.  → z 2 = 8 3 + 8i     2 2   1 3  6

→ z 6 = 26  cos (6.10°) + i.sen (6.10°) → z 6 = 64  cos (60°) + i.sen (60°) → z 6 = 64  + i.  z = 32 + 32 3i     2   2 

z 3 = 23  cos (3.90°) + i.sen (3.90°) → z 3 = 8  cos (270°) + i.sen (270°) → z 3 = 8  0 + i. (−1) → z 3 = −8i      

Exercício resolvido 2 Encontre o número complexo na sua forma trigonométrica que tem seu valor ao cubo igual a − 27 2 + 27 2 i ?

2

2

Para resolver, temos que interpretar o enunciado. z3 = −

27 2 27 2 + i 2 2

Como o valor é ao cubo, da definição temos: z 3 = ρ 3  cos (3α) + i.sen (3α)   −

27 2 27 2 + i = ρ 3  cos (3α) + i.sen (3α)   2 2

– 228 –

Representação Geométrica e Trigonométrica do Número Complexo  2 2  27 − + i  = ρ 3  cos (3α) + i.sen (3α)   2   2   2 2  33 − + i  = ρ 3  cos (3α) + i.sen (3α)   2 2  

Descobrimos que o valor do módulo é 3, ou seja, r = 3. O ângulo que tem cosseno igual a - 2 e seno igual a 2

2 é igual a 135°. Como esse valor 2

do ângulo está sendo multiplicado por 3, temos: 135° = 45° 3

e z 3 = ρ 3  cos (3α) + i.sen (3α) →  

z 3 = 33  cos (3.45°) + i.sen (3.45°)  

Ou seja, o argumento do número desejado é 45°. Dessa forma, o número complexo desejado é: z = 3  cos (45°) + i.sen (45°)  

Por fim, agora vamos trabalhar com a última operação que será estudada a respeito dos números complexos na forma trigonométrica, a divisão.

2 Divisão Considerando dois números complexos escritos na forma trigonométrica: z 1 = ρ1 .  cos (α) + i.sen (α)  

e

z 2 = ρ2 .  cos (β ) + i.sen (β )  

onde z 2 ¹ 0, a divisão entre os dois números é expressa por: z1 z2

=

ρ1  cos (α − β ) + i.sen (α − β )  ρ  2

– 229 –

Trigonometria e Números Complexos

Podemos demonstrar essa expressão utilizando o conjugado do número complexo z 2:

z1 z2 z1 z2

=

Utilizando

=

z1 z2

. z2 z2

ρ1 .  cos (α) + i.sen (α) .ρ2 .  cos (β ) − i.sen (β )     | z2

as

propriedades

sen (b ) = −sen (−b )

2

trigonométricas,cos (b ) = cos (−b ) e

temos: z1 z2 z1 z2

z1 z2

z1 z2

=

ρ1 .  cos (α) + i.sen (α) .ρ2 .  cos (−β ) + i.sen (−β )     2 ρ2

=

ρ1 .ρ2  cos (α) cos (−β ) + isen (α) cos (−β ) + cos (α) i.sen (−β ) + i.sen (α) i.sen (−β )   ρ22

=

ρ1  cos (α) cos (−β ) + isen (α) cos (−β ) + i cos (α) sen (−β ) − sen (α) sen (−β )   ρ2

=

ρ1  cos (α) cos (−β ) − sen (α) sen (−β ) + i sen (α) cos (−β ) + cos (α) sen (−β )    ρ2

(

)

Utilizando soma de arcos trigonométricos, ρ1  cos (α − β ) + i.sen (α − β )  =  z2 ρ2 z1

Finalizando, assim, a demonstração.

Agora que finalizamos a demonstração da operação, vamos resolver alguns exercícios para colocar em prática o que acabamos de aprender.

– 230 –

Representação Geométrica e Trigonométrica do Número Complexo

Exercício resolvido 1 Conhecendo os números complexos z1 = 7 cos (75°) + i.sen (75°) e z 2 = cos (15°) + i.sen (15°), encontre z 1 na forma algébrica. z2

Podemos aplicar a equação da divisão: z1 z2 z1 z2

=

=

ρ1  cos (α − β ) + i.sen (α − β )   ρ2

7.  cos (75° − 15°) + i.sen (75° − 15°)   1 z1 z2

= 7 cos (60°) + 7i.sen (60°)

Colocando na forma algébrica, z1 z2

= 7. z1 z2

=

1 3 + 7. i 2 2 7 7 3 i + 2 2

Exercício resolvido 2 Encontre o valor do número complexo z. z=

2 3 + 2i

Percebemos que, no número complexo z, há uma divisão entre outros dois números complexos que vamos chamar de z 1e z 2 : z 1 = 3  cos (40°) + i.sen (40°)  

– 231 –

e

z 2 = 2 3 + 2i

TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS

TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS

CAMILA FRANCISCA DE MELO

CAMILA FRANCISCA DE MELO

GRUPO SER EDUCACIONAL

ISBN 978-65-86557-90-9

TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS

gente criando o futuro 9 786586 55790 9