El cielo desde Titán

EL CIELO DESDE TITÁN

Autor: Eva Pombo Carrascosa

Tutor: Gregorio Rosa

Rodríguez

EL CIELO DESDE TITÁN

Este proyecto ha sido realizado en el programa de Bachillerato de Excelencia del IES Arquitecto Ventura Rodríguez. Autora: Eva Pombo Carrascosa Coordinador: Gregorio Rosa Palacios Boadilla del Monte (Madrid), diciembre de 2022.

Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComerialCompartirIgual 4.0 Internacional.

AGRADECIMIENTOS

Quisiera agradecer en primer lugar al instituto IES Arquitecto Ventura Rodríguez por brindarme la oportunidad de realizar este proyecto de investigación, pero más en concreto a mi tutor de proyecto Gregorio Rosa por su dedicación, por dirigirme y ayudarme en todas las adversidades que han ido surgiendo a lo largo deltrabajo. Por supuesto, también quiero mencionar a los demás profesores que nos han ayudado mediante talleres para mejorar tanto personalmente como académicamente. También me gustaría agradecer a mis padres y mi hermana por apoyarme a diario ydarme consejos para mejorar y crecer en todos los aspectos. Y, por último, aunque no menos importante, me gustaría agradecer a mis compañeros de clase (2ºD Bachillerato) ya que entre todos hemos intentado motivarnos e intentar sacar lo mejor de nosotros mismos en todo momento. Aunque más en concreto quería darle las gracias a mis amigas Amaya, Samantha y Diana que me han animado en los momentos más complicados y me han ayudado a seguir adelante, aunque surgieran muchas dificultades a lo largo de este camino

SÍNTESIS

El propósito de este proyecto de investigación es hacer un estudio analítico del movimiento de objetos en el cielo de Titán, un satélite de Saturno, desde distintos puntos sobre su superficie en el ecuador de este. Para ello, se ha utilizado la hoja de cálculo, donde se han realizado cálculos para establecer las trayectorias de las órbitas del satélite Titán alrededor del planeta Saturno También se ha completado el trabajo con una simulación del movimiento de los astros a través de la aplicación Unity.

ABSTRACT

At first, I wasn’t sure what thetopic of myproject should be, but our physics teacher gave us some ideas and this project was one of those. Being so fond of astronomy and technologyI thought I would enjoydoing it, and I did indeed. The objective of myproject is to perform a simulation through a virtual reality application (Unity) which helps us see the sky of Titan, a satellite of Saturn, and the movement of the bodies it orbits (Saturn and the Sun). To carry out this project it has been divided into two parts: in the first one, numerous operations have been carried out to determine the positions of the celestial bodies and the altitudes of these, to know howthe skyof Titan would look from different points on its surface. After this, in the second part, a simulation has been carried out with the help of the necessary programming, transferring the data previously calculated to make it as realistic as possible. The results that have been obtained are all the operations that were needed to know those positions that have been named above and it has also been verified through the simulation that the calculations were correct. I shall mention that two simulations had to be carried out: a first more realistic and the second with the Sun positioned much close as the distances are so different that the scale did not let us see this star. Finally, this project does not have well defined conclusions since the most important side were the results obtained. If something must be highlighted is the learning (both personal and academic) and that all the knowledge previously acquired on this branch of science has been put into practice.

Keywords:

Astronomy, Titan, Saturn, celestial bodies, programming, virtual reality, simulation, Unity

1. Introducción

La astronomía es una de las ciencias más antiguas, ya que desde la antigüedad muchos filósofos como Aristóteles o Anaxágoras yalgunos científicos como Galileo1, Copérnico2 o Kepler3 se habían interesado en los astros y cuerpos celestes que había en el espacio. Aunque no fue hasta el siglo XX cuando empezaron a surgir las nuevas tecnologías que nos permitieron conocer los elementos que podemos encontrar en el espacio y las comprensiones del universo. Hoy en día esta rama de la ciencia cada vez es más utilizada por todas las personas, ya sea desde trabajadores hasta aficionados a la astronomía (que suelen recibir asesoramiento y conocimientos básicos para iniciarse en este campo) o incluso estudiantes de instituto, como es el caso de este proyecto. Esto seobservacada vez más, sobretodocuando las personasseunenengrupos, haciendo así observaciones nocturnas para contemplar los astros en el cielo. Aunque en las áreas educativas también se imparte de alguna manera esta materia como se ha mencionado anteriormente, es elcaso de algunos alumnos que hanrealizado trabajos conestatemática como son: Diego Márquez Morales4 (estudiante del instituto IES Arquitecto Ventura Rodríguez) o Álvaro Morales Mancheño5 (estudiante del instituto IES Juan Gris).

1.1. Misión Cassini Huygens

Esta misión es un proyecto en el que participaron la NASA6, la ESA7 y la ASI8. El día 15 deoctubrede1997se lanzó la naveCassiniconelpropósito deestudiar elplanetaSaturno y sus satélites naturales, llamados lunas. La nave espacial consta de dos elementos principales: la nave Cassini y la sonda Huygens que, tras separarse, la sonda aterrizó en Titán a principios del año 2005. Este lanzamiento duró 7 años en alcanzar la órbita de Saturno, aunque además ha estado 13 años alrededor del planeta. Esta misión ha sido una de las más significativas en la astronomía ya que se han descubierto nuevos elementos como algunas de sus lunas (Encélado o Titán) así como la mejora en el estudio de los 1 “Sidereus Nuncius” (presenta las primeras observaciones al telescopio) 2 “De revolutionibus orbium coelestium “(expone su teoría heliocéntrica) 3 “Astronomía nova” (trata el movimiento planetario en el que presenta sus leyes) 4 “Cálculo analítico de los movimientos de Júpiter y los satélites galileanos desde la superficie de Europa” 5 “El cielo de la luna” 6 National Aeronautics and Space Administration 7 European Space Agency 8 Agencia Espacial Italiana

anillos de Saturno (tamaño de las partículas en los anillos de Saturno y su estructura) e incluso su período de rotación, el cuál es de 10 horas, 33 minutos y 38 segundos.

1.2. Coordenadas

Las coordenadas son aquellas que nos permiten conocer la posición de un objecto en la esfera celeste mediante un conjunto de valores que describen esa posición. Entre ellas destacan:

1.2.1

Azimut

El azimut es el ángulo horizontal de una línea, siempre medido en el sentido de las agujas del reloj. En este caso, la medida se realizapor elplano dereferencia formado por el meridiano que pasa por el origen y el meridiano que pasa por el punto de observación. Entodoslos casos, elazimut se mide desde el norte ysiempre en el sentido de las agujas del reloj. El valor de este ángulo oscila puede darse entre 0 y 360°.

Imagen 1: Explicación azimut y altitud, obtenido de la página web Topografía2

1.2.2

Altitud

Laaltitudeselángulo quese formaentreelobjetoqueestamosobservando yelhorizonte, que es el astro que tomamos como referencia. Esta se mide desde los 0 a 90°.

1.2.3

Ascensión recta

La ascensiónrecta es una de las coordenadas que se utilizan para localizar los astros sobre la esfera celeste. La ascensión recta se mide a partir del punto Aries (punto por el cual el Sol pasa de un hemisferio a otro) en horas, minutos y segundos hacia el Este, a lo largo del ecuador (a la circunferencia completa (360º) le corresponden 24 horas)

1.2.4 Declinación

La declinación es el ángulo que forma el astro con el ecuador celeste. La declinación es comparable a la latitud geográfica, la diferencia es que ésta se mide sobre el ecuador terrestre. Se mide en grados y es positiva si está al norte del ecuador celeste y negativa si está al sur.

Imagen 2: Explicación ascensión recta y declinación obtenido de http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbasees/eclip.html

Un ejemplo de estas coordenadas en Titán sería el que se observa en la imagen 3: Imagen 3: Ejemplo de coordenadas en Titán (obtenido de la aplicación Stellarium)

1.3.

Ley de Gravitación Universal

Otro aspecto importante a destacar es la ley de gravitación universal formulada por Sir Isaac Newton en su libro “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” de 1687, también conocida como ley de gravedad. Esta describe la interacción gravitatoria entre varios cuerpos y establece una relación de proporcionalidad de esa fuerza gravitatoria con la masa de los cuerpos. Para formular esta ley, Newton dedujo que la fuerza con la que dos masas se atraen es proporcional al producto desusmasasdividido porladistanciaquelasseparaalcuadrado.Esto nosquiere decir que, cuanto más cerca estén los cuerpos que se atraen, se atraerán de una manera más intensa. �� ⃗ �� = ��· ��1·��2 ��2 · �� ⃗ �� [1]

Donde: - �� ⃗ ��: es el vector fuerza gravitatoria. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Newton (N). - ��: es la constante de gravitación universal, que no depende de los cuerpos que interaccionan y cuyo valor es �� =6,67·10 11 ��·��2 ����2 - ��1 y��2:son las masasde loscuerposque interaccionan. Suunidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el kilogramo (kg) - r: es la distancia que los separa. Es el módulo del vector. - �� ⃗ ��: es un vector unitario que posee la misma dirección de actuación de la fuerza, aunque de sentido contrario.

1.4. Leyes de movimiento

1.4.1. 2ª Ley de Newton (Ley de la aceleración o ley de fuerza)

Las leyes de Newton, también conocidas como leyes del movimiento de Newton, sontres principios que gracias a ellos se explican una gran parte de los problemas planteados en la mecánica clásica, en particular aquellos relativos al movimiento de los cuerpos.

Las tres leyes son: ley de la inercia, ley de aceleración o ley de fuerza y, por último, ley de acción y reacción.

La segunda ley del movimiento de Newton dice que “Cuando se aplica una fuerza a un objeto, éste se acelera. Dicha aceleración es en dirección a la fuerza y es proporcional a su intensidad y es inversamente proporcional a la masa que se mueve”. Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qué ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza que se realiza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección.

1.4.2. MRU

El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es un tipo de movimiento que tiene velocidad constante y además se desplaza en línea recta. Cuando decimos que la velocidad es constante nos referimos a que no cambian ni el módulo de la velocidad ni la dirección que tiene el movimiento. La expresión de este movimiento es la siguiente: ��(��)= ��0 +�� �� [3]

1.4.3. MRUA

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es un tipo de movimiento que se desplaza en línea recta pero que no tiene velocidad constante ya que existe una aceleración en el movimiento. Sus ecuaciones de posición y velocidad son las siguientes: ��(��)= ��0 +��0 ∙��+ 1 2 ∙��∙��2 [4] ��(��)=��0 +��∙�� [5]

1.4.4. MCU

El movimiento circular uniforme (MCU) es un tipo de movimiento cuyas características principales y que las diferencia del MRU es que su trayectoria no es recta, sino circular y además la posición se mide en ángulos (S.I: radianes).

De acuerdo con este tipo de movimiento caben destacar algunos parámetros para poder realizar los cálculos que se necesitanenelproyecto. Es elcaso delperiodo yla frecuencia angular. El periodo (T) es el tiempo que emplea el móvil en dar una vuelta completa. �� = 2�� �� [8]

La frecuencia angular (��), la cual coincide con la velocidad angular del cuerpo, es el número de vueltas que da el móvil en 1 segundo. �� = 2�� �� [9]

La expresión del movimiento circular uniforme es: ��(��)= ��0 +��∙�� [10]

1.5. Datos astronómicos

MASA (Kg) RADIO (m)

RADIO ORBITAL (m)

VELOCIDAD (m/s) PERIODO DE ROTACIÓN (s)

TITÁN 1’345· 1023 2’574· 106 1’2· 1012 2.650

15 días y 22 horas

SATURNO 5’683· 1026 5’8232· 107 1’426·1015 35.490 10 horas y 33 min

SOL 1’989· 1030 6’9634· 108 220.000 1’888 días

Tabla 1: Datos astronómicos de los cuerpos que intervienen en el proyecto (fuente: elaboración propia)

2. Objetivos

e Hipótesis

El objetivo de este proyecto, fundamentalmente, es realizar una simulación de cómo se verían Saturno y el Sol desde distintos puntos de la superficie de Titán, en el ecuador de este, mediante una serie de cálculos y con la ayuda de una aplicación de realidad virtual (Unity) con la que realizar dicha simulación.

3. Metodología

Para este proyecto se ha utilizado la hoja de cálculo (Microsoft Excel) para poder realizar todas las operaciones necesarias (Estudio analítico) yse ha finalizado con una simulación mediante la aplicación Unity (Simulación) Con el objetivo de obtener las variables involucradas en el estudio analítico, se ha recurrido al método de aproximaciones sucesivas dando valor a cada intervalo de tiempo en la órbita de Titán. Los pasos utilizados para realizarlos son los siguientes:

ESTUDIO ANALÍTICO

1. Se ha realizado un gráfico para determinar las fuerzas que existen entre los cuerpos que se estudian en el trabajo, añadiendo además los vectores que intervienen entre estos.

2. Se han calculado las órbitas de los distintos cuerpos:

2.1 Se ha obtenido la órbita de Titán calculando los puntos en los que se sitúa este utilizando a Saturno como punto de referencia.

2.2 Se ha determinado la posición de distintos puntos sobre la superficie de Titán respecto de su centro, formando así la trayectoria que realiza el satélite sobre sí mismo (rotación).

2.3 Se ha obtenido la órbita de Saturno calculando los puntos en los que se sitúa este utilizando al Sol como punto de referencia.

3. Se han calculado diferentes posiciones en la superficie de los cuerpos, en el ecuador de estos:

3.1 Se han calculado distintos puntos de la superficie de Titán respecto al centro de Saturno

3.2 Se han calculado distintos puntos de la superficie de Titán respecto al centro del Sol.

4. Se han obtenido las altitudes:

4.1 Del centro de Saturno respecto a un punto sobre la superficie de Titán.

4.2 Del Sol respecto a un punto sobre la superficie de Titán SIMULACIÓN

5. Se ha realizado una simulación de cómo se vería el cielo de Titán desde un punto de la superficie de este en el ecuador. Para ello y mediante la aplicación Unity, que permite realizar simulaciones en 3D, se ha conseguido ver el cielo desde Titán, observando lastrayectoriasdeSaturno yelSol. Asíse hapodido determinar y corroborar que los cálculos realizados anteriormente eran correctos.

4. Resultados

1. Realización de gráficos

Para poder comprender mejor los datos dela investigación se deben realizar unos gráficos en los que aparezcan las componentes que intervienen en el proyecto y sus vectores correspondientes, como se puede apreciar en la imagen 4.

Imagen 4: Relación vectorial entre los cuerpos celestes que intervienen en la investigación (Titán, Saturno y el Sol) (fuente: elaboración propia)

En la imagen 4 se pueden observar los tres componentes básicos que se estudian: Sol, Saturno y Titán. Entre estos, siempre hay uniones representadas con vectores como se muestran en la figura.

En este caso los vectores que se representan son los siguientes: - �� ⃗ : distancia que existe desde el centro de Saturno al centro de Titán. - �� ⃗

: distancia que existe desde el centro del Sol al centro de Saturno. - �� ⃗ : distancia que existe desde el centro del Sol al centro de Titán. Este se ha calculado mediante la expresión [11]

Imagen 5: Relación vectorial entre Titán y Saturno (fuente: elaboración propia)

En la imagen 5 se pueden observar más vectores, que en este caso relaciona puntos en la superficie de Titán y Saturno y sus respectivos centros. En esta figura se observa: -�� ⃗ : distancia en el eje x desde el centro de Saturno al centro de Titán. -�� ⃗ : distancia que existe entre el centro de Titán a un punto de la superficie de este. -�� ⃗ : distancia que existe desde el centro de Saturno al centro de Titán. Este se calcula mediante la expresión [12] �� ⃗ = ��⃗+�� ⃗ [12] También se pueden observar distintos ángulos (α, β) que se irán utilizando a lo largo del proyecto.

2. Cálculo de las órbitas de los distintos cuerpos

2.1 Cálculo de la órbita de Titán utilizando como punto de referencia a Saturno En primer lugar, para poder realizar las operaciones necesarias para la investigación es necesario calcular la órbita que realiza Titán utilizando a Saturno como sistema de referencia, para ello se han ejecutado las siguientes operaciones para obtener los siguientes vectores: - �� ⃗ : vector de posición desde el centro de Saturno al centro de Titán - �� ⃗ : distancia que existe entre el centro de Titán a un punto de su superficie. También se deben calcular las coordenadas cartesianas en cada eje. Esto se ha realizado mediante las expresiones [13] y[14]. �� = ��0 +����0 ·��+ 1 2 ·���� ·��2 [13] �� = ��0 +����0 ·��+ 1 2 ·���� ·��2 [14] A su vez, para poder obtener esos parámetros se han realizado las siguientes operaciones: Para �� (ángulo entre el vector posición y la horizontal) se ha utilizado la expresión [15] �� =����������( �� �� ) [15]

Cabe destacar que en este caso se observa que el arcotangente es una ecuación que proporciona dos resultados, por lo que se ha tenido que realizar la siguiente modificación en la fórmula de la tabla de Excel para obtener el ángulo correspondiente en cada caso:

Imagen 6: Ejemplo casilla H11 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

Para �� ⃗ : Se ha utilizado la Ley de Gravitación Universal mediante la expresión [1]

Imagen 7: Ejemplo casilla K10 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

En este caso se descompondrá la fuerza para cada coordenada como se observa en las expresiones [16]y[17]. - ���� =��·cos(��) [16] - ���� =�� sin(��) [17]

Para ��: Se ha utilizado la 2ª Ley de Newton con ayuda de la expresión [2]. �� ⃗ = �� ⃗ ��

Para la aceleración se hará al igual que con los parámetros anteriores, en el eje �� se utilizará ����, y en el eje �� se utilizará ����.

Imagen 8: Órbita de Titán respecto al centro de Saturno (fuente: elaboración propia)

Para �� ⃗ (vector velocidad): Se utiliza la ecuación del MRUA mediante las expresiones [18] y [19] ���� =����0 +���� ·�� [18] ���� =����0 +���� ·�� [19]

Tabla 2: Elementos de la órbita de Titán respecto al centro de Saturno (fuente: elaboración propia)

2.2 Cálculo de la posición de distintos puntos sobre la superficie de Titán respecto de su centro (trayectoria que realiza sobre su propio centro)

Para ello, primero se debe establecer un ángulo inicial en la superficie de Titán el cuál será el punto de partida para la investigación. En este caso se calculan varios parámetros como son: - ��: ángulo de Titán que hay entre �� ⃗ y �� ⃗ Este se calcula con ayuda de la expresión [20]. �� =��0 +��·�� [20]

Donde ��0 es el ángulo inicial (en el caso de este proyecto son 0º es decir, está en el perihelio) y �� es la velocidad angular de Titán, calculado mediante la expresión [21]. �� = 2�� �� [21] - ��: distancia en el eje x desde el centro Titán hasta su superficie. Para obtener �� se utiliza la expresión [22]. �� =�� ⃗ ·cos(��+��0) [22]

Imagen 9: Ejemplo casilla B10 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia) - ��: distancia en el eje y desde el centro Titán hasta su superficie Para obtener �� se realiza prácticamente el mismo procedimiento siguiendo la ecuación [23]. �� =�� ⃗ ·sin(��+��0) [23]

Imagen 10: Ejemplo casilla C10 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia) - �� ⃗ : distancia que existe desde el centro de Titán a un punto de la superficie de este. �� seríael módulo entre lasdosdistanciascalculadasanteriormente. Estetambiéncoincide con el radio de Titán.

Imagen 11: Ejemplo casilla E10 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

Tabla 3: Órbita de Titán respecto de su centro con ángulo inicial 0º (fuente: elaboración propia)

Tabla 4: Órbita de Titán sobre sí mismo con ángulo inicial 120º (fuente: elaboración propia)

Imagen 12: Gráfico de la órbita de Titán respecto a su centro (fuente: elaboración propia)

2.3 Cálculo de la órbita de Saturno utilizando como punto de referencia al Sol Para poder calcular la órbita de Saturno respecto del Sol se han realizado las mismas operaciones que enel punto 2.1 de este proyecto, variando los datos correspondientes que se necesitan en esta órbita. Se deben obtener los siguientes vectores que son los que intervienen en este cálculo: - �� ⃗ �� ������: distancia del centro del Sol al centro de Saturno. - �� ⃗ ������ ��������: distancia del centro de Saturno a distintos puntos de su superficie, esta corresponde al radio de Saturno.

También ha sido necesario determinar las coordenadas cartesianas en cada eje. Esto ha sido posible mediante a las ecuaciones [13] y [14].

Imagen 13: Ejemplo casilla B13 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

A su vez, para poder calcular esos parámetros se han realizado los siguientes cálculos: Para �� (ángulo entre el vector posición y la horizontal) se ha obtenido con la ayuda de la expresión [15]

Al igual que en el caso anterior el arcotangente proporciona dos resultados, por lo que se ha tenido que realizar la siguiente modificación en la fórmula de la tabla de Excel para obtener el ángulo correspondiente en cada caso:

Imagen 14: Ejemplo casilla H11 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

Para �� ⃗ : Se ha utilizado la Ley de Gravitación Universal, es decir: �� ⃗ = ��· �������� ·�������� ��2 ∙�� ⃗ ��

Imagen 15: Ejemplo casilla K10 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

En este caso cada coordenada se calculará mediante las expresiones [24] y [25] - ��′�� = ��′·cos(��) [24] - ��′�� =��′·sin(��) [25]

Para �� ⃗: Se ha utilizado la 2ª Ley de Newton: �� ⃗ = �� ⃗ ��

Para la aceleración se hará lo mismo que contodoslos parámetros, en eleje X se utilizará ��′��, y viceversa.

Para �� ⃗ : Se utiliza la ecuación del MRUA mediante las ecuaciones [26] y [27]. - ���� =����0 +���� ·�� [26] - ���� =����0 +���� ·�� [27]

Para realizar la imagen16 se hatenido que modificar el intervalo de tiempo ya que con el establecido tardaba demasiado en dar una vuelta completa, por lo que la variación de tiempo es cada 3500s en vez de cada 100s.

Imagen 16: Órbita de Saturno respecto del Sol (fuente: elaboración propia)

Tabla 5: Elementos de la órbita de Saturno respecto del Sol (fuente: elaboración propia)

3. Cálculo de diferentes posiciones en la superficie de los cuerpos, en el ecuador de estos

3.1 Cálculo de distintos puntos sobre la superficie de Titán respecto al centro de Saturno

Para calcular puntos en la superficie de Titán respecto a su centro se necesitan dos vectores (ambos obtenidos en los apartados 2.1 y 2.3): - �� ⃗: vector que va desde el centro de Saturno al centro de Titán. - �� ⃗ : vector que va del centro de Titán hasta su superficie. La suma de ambos vectores es la que va a originar un vector que vaya del centro de Saturno a un punto de la superficie de Titán (�� ⃗ ), como se observa en la expresión [28]. �� ⃗ = ��⃗+�� ⃗ [28]

Con respecto a las coordenadas se realiza mediante las expresiones [29] y [30]. ���� ⃗ =����⃗+���� ⃗ [29] ���� ⃗ =����⃗+���� ⃗ [30]

Imagen 17: Ejemplo casilla A4 de la hoja de cálculo (fuente: elaboración propia)

Para el vector que va desde un punto de la superficie de Titán al centro de Saturno (��′ ⃗ ) se realizan los mismospasosanteriores, pero con signo contrario ya que el vector tiene sentido opuesto, como se muestra en la tabla 6.

Tabla 6: Vectores que intervienen entre Saturno y Titán (fuente: elaboración propia)

3.2 Cálculo de distintos puntos de la superficie de Titán respecto al centro del Sol

Para determinar un punto de la superficie de Titánrespecto delSolse realizan los mismos pasos que en el apartado anterior, pero en este caso los vectores que intervienen son los siguientes: - �� ⃗ ��

: vector que va desde el centro del Sol al centro de Titán. - �� ⃗ : vector que va del centro de Titán hasta su superficie.

Por lo que la suma de vectores se corresponde con la expresión [31].

Y respecto a las coordenadas se realizaría con las ecuaciones [32] y [33].

[32]

[33]

También se aplica el paso de realizar el vector con sentido contrario, llamado ��⃗′ y se calcula al igual que en el punto 3.1 pero con los datos correspondientes a este apartado.

Tabla 7: Posición de Titán respecto del Sol con intervalos de tiempo de 100s (fuente: elaboración propia)

Imagen 18: Gráfica de la posición de Titán respecto del Sol con intervalos de tiempo de 100s (fuente: elaboración propia)

Tabla 8: Posición de Titán respecto del Sol con intervalos de tiempo de 3500s (fuente: elaboración propia)

Imagen 19: Posición de Titán respecto del Sol con intervalos de tiempo de 3500s (fuente: elaboración propia)

4. Se han calculado las altitudes

4.1 Cálculo de la altitud del centro de Saturno respecto a un punto sobre la superficie de Titán

Imagen 20: Altitud de Saturno respecto a un punto de la superficie de Titán (fuente: elaboración propia)

En primer lugar, se calcula la altitud de Saturno respecto de un puntodelasuperficiede Titán, para ello se utilizan los vectores mostrados en la imagen 20 (�� ⃗ y ��′ ⃗ ).

Para obtener esta altitud se realiza un producto vectorial utilizando las propiedades del producto escalar mediante las expresiones [34] y [35] �� ⃗·��′ ⃗ =�� ⃗·��′ ⃗ ·cos�� [34] �� ⃗·��′ ⃗ =���� ⃗·��′�� ⃗ +���� ⃗·��′�� ⃗ [35]

Ambas ecuaciones se pueden igualar, haciendo así que se determine la expresión para calcular la altitud (ecuación [37]).

Seguidamente se sustituyen los valores correspondientes que se han calculado anteriormente y se consiguen los ángulos que se necesitan. Es importante mencionar que al dato obtenido al calcular los ángulos hayque restarle 90º para conseguir el ángulo que se busca. Esto se debe a que esos 90º son el resultado del producto vectorial entre la prolongación del vector �� ⃗ yel vector ��′ ⃗ , por lo que si se busca el ángulo �� (altura) se deben restar esos 90º a este.

Tabla 9: Elementos para el cálculo de altitud de Saturno (fuente: elaboración propia)

Imagen 21: Ejemplo casilla H5 de la hoja de cálculo altura (rad) (fuente: elaboración propia)

La última columna corresponde a la altura en grados y no radianes. La conversión de grados a radianes se realiza mediante la expresión [38]

��(������)= 180º 2�������� [38]

Imagen 22: Gráfica altura de Saturno con ángulo inicial 0º (fuente: elaboración propia)

Imagen 23: Gráfica altitud de Saturno con ángulo inicial 120º un tercio de vuelta (fuente: elaboración propia)

Imagen 24: Gráfica altitud de Saturno con ángulo inicial 0º vuelta completa (fuente: elaboración propia)

En la imagen 23 se puede observar cómo hay una pequeña variación de 0,1º siendo así el ángulo 29,9º en vez de 30º como se muestra en la imagen 22. Esto se debe a que la órbita es elíptica y no circular.

4.2

Cálculo de la altitud del Sol respecto a un punto sobre la superficie de Titán

Para determinar la altitud del Sol respecto a un punto de la superficie de Titán se realizan los mismos pasos que en el apartado anterior. Esta vez se utilizan los vectores �� ⃗ �� �������� y �� ⃗ .

Imagen 25: Altitud del Sol respecto a un punto de la superficie de Titán (fuente: elaboración propia)

La expresión de la altitud en este caso se calcula mediante la ecuación [40].

ecuaciones se pueden igualar, haciendo así que se determine la expresión para calcular la altitud (ecuación [42]).

Seguidamente se sustituyen los valores correspondientes que se han calculado anteriormente y se consiguen los ángulos que se necesitan. Es importante mencionar que al dato obtenido al calcular los ángulos hayque restarle 90º para conseguir el ángulo que se busca (justificado en el apartado anterior).

Tabla 10: Elementos para el cálculo de la altitud del Sol respecto a Titán (fuente: elaboración propia)

Imagen 26: Altitud del Sol respecto a un punto de la superficie de Titán con ángulo inicial 0º (fuente: elaboración propia)

Imagen 27: Altitud del Sol respecto a un punto de la superficie de Titán con ángulo inicial 120º (fuente: elaboración propia)

En la imagen 27 se observa un cambio, esto se debe a que el ángulo va variando con el transcurso de tiempo desde los 90º a los -90º (270º) yviceversa, haciendo así que cambie de dirección la gráfica y se forme ese “pico”.

5. Realización de la simulación

Para finalizar este proyecto de investigación, se ha realizado una simulación para poder observar mejor el propósito de este proyecto y verificar los cálculos obtenidos en los apartados anteriores. El primer paso para realizarla es crear, en este caso, tres esferas para formar los tres elementos que componen el sistema (Titán, Saturno y el Sol). Tras esto, se han agregado diferentes texturas para que fueran más realistas.

Imagen 28: Cuerpos celestes que intervienen en la simulación (fuente: elaboración propia)

También se ha escalado, de la forma más exacta posible, el tamaño de los cuerpos, así como las distancias de sus órbitas, las velocidades y las velocidades angulares.

Cabe destacar que no se han podido escalar las medidas reales para que sean así en la simulación, debido a que los datos son muy grandes y distintos a la vez, por eso para el proyecto se han realizado dos simulaciones. La primera de ellas en la que el radio de la órbita de Saturno respecto del Sol se ajusta más con la realidad y la segunda en la que se han acercado Saturno y Titán para poder observar mejor todos los cuerpos del sistema.

Además, se ha utilizado un fondo obtenido de la tienda de la aplicación(Asset Store) llamado Milky Way.

Imagen 29: Fondo utilizado para la simulación (fuente: elaboración propia)

Por último, para poder realizar el movimiento de las órbitas de Titán y Saturno se ha tenido que hacer uso de la programación, eneste caso con el lenguaje C#, aunque también se podría hacer utilizando el lenguaje Java Script (Scipts adjuntados en el Anexo VIII) Por otra parte, los datos generales, individuales de cada simulación e imágenes de ambas se adjuntan también en los Anexos IX, X y XI Enlace a la simulación: <https://youtu.be/O5_CIcDmJjc>

5. Conclusión

Las conclusiones obtenidas van más allá de los resultados y los datos que se han podido calcular. En lo académico he conseguido poner en práctica la teoría impartida en clase, enparticular en laasignaturade física Es muyimportanteparaasimilar losconocimientos teóricos el comprobar empíricamente las fórmulas que en su día científicos pusieron a servicio de la humanidad. También he conseguido descubrir parte de las funcionalidades que ofrece la aplicación Unity, la cuál es muy compleja, aunque estoysegura que seguiré utilizando e investigando sobre ella en un futuro. Sin duda, en lo que más he crecido es en el ámbito personal ya que me ha permitido investigar de una manera más profunda sobre este tema que desconocía en un principio. También creo que este proyecto es una oportunidad muy importantequenotodos puedenrealizar atantemprana edad yque sirve en un futuro para saber desenvolverse mejor al realizar un trabajo de investigación con características similares a este. Respecto a las futuras líneas de investigación, sería interesante hacer los cálculos de este proyecto saliendo del ecuador, aunque también se propone que basándose en este trabajo se pueda realizar una simulación en 3D de lo que representaría el impacto de un meteorito en el satélite, con el correspondiente cálculo de las nuevas coordenadas que este hecho provocaría. Por último, me gustaría destacar este aforismo de Stephen Hawking “Mira a las estrellas y no a tus pies. Intenta dar sentido a lo que ves y pregúntate qué hace que el universo exista. Sé curioso.”

6. Bibliografía

Astronomía - Concepto, historia y ramas de estudio. (s. f.). Concepto. <https://concepto.de/astronomia/> 

Bernardini, E. de. (2020, 23 enero). Coordenadas. Astronomía Sur. <https://astronomiasur.com.ar/instrumental-coordenadas.html> 

Colaboradores de Wikipedia. (2022, 3 febrero). Ascensión recta. Wikipedia, la enciclopedia libre. <https://es.wikipedia.org/wiki/Ascensi%C3%B3n_recta> 

Colaboradores de Wikipedia. (2022, 5 noviembre). Saturno (planeta) Wikipedia, la enciclopedia libre. <https://es.wikipedia.org/wiki/Saturno_(planeta)> 

Colaboradores de Wikipedia. (2022, 8 noviembre). Sol. Wikipedia, la enciclopedia libre. <https://es.wikipedia.org/wiki/Sol> 

Colaboradores de Wikipedia. (2022, 18 octubre). Titán (satélite). Wikipedia, la enciclopedia libre. <https://es.wikipedia.org/wiki/Titán_(satélite)> 

Coluccio Leskow, E. Ley de Gravitación Universal - Concepto, fórmula y enunciado. (2021,15 junio). Concepto. <https://concepto.de/ley-de-gravitacionuniversal/> 

Cómo hacer un sistema solar en movimiento elíptico con Unity - Bing video (s. f.).[Vídeo].<https://www.bing.com/videos/search?q=como+hacer+n+sistema +solar+en+movimiento+eliptico+con+unity>



Componentes intrínsecas de la aceleración (s. f.).

<https://www.studocu.com/es/document/universidad-publica-denavarra/fundamentos-de-fisica/componentes-intrinsecas-de-laaceleracion/3953831>



Crear planetas en unity - Bing video. (s. f.). [Vídeo].

<https://www.bing.com/videos/search?q=crear+planetas+en+unity> 

Declinación y ascensión recta Astronoo. (2013, 1 junio). Astronoo. <http://www.astronoo.com/es/articulos/declinacion-ascension-recta.html>  EcuRed. (s. f.). Declinación (Astronomía) - EcuRed

<https://www.ecured.cu/Declinaci%C3%B3n_(Astronom%C3%ADa)> 

El cielo de la luna. (2020, 3 mayo). Issuu.

<https://issuu.com/iesjuangris/docs/el_cielo_de_la_luna_-_a_lvaro_morales>



El planeta Saturno, señor de los anillos (s. f.).

<https://www.astromia.com/solar/saturno.htm> 

Estos son los descubrimientos más relevantes de Cassini. (2017, 15 septiembre). La Vanguardia. <https://www.lavanguardia.com/ciencia/fisicaespacio/20170914/431272510731/descubrimientos-mas-importantes-cassinisaturno.html> 

Explore Saturno, estos 9 hechos únicos sobre la nave espacial Cassini. (2021, 13 diciembre). Notiulti. <https://www.notiulti.com/explore-saturno-estos-9hechos-unicos-sobre-la-nave-espacial-cassini/> 

Fernández. J. L. Ley de Gravitación Universal (s. f.). Fisicalab. <https://www.fisicalab.com/apartado/ley-gravitacion-universal> 

Fernández. J. L. Leyes del movimiento, de Newton. (s. f.). <https://www.profesorenlinea.cl/fisica/Leyes_de_Newton.html>



Jorge Ianiszewsky Rojas. Titán, satélite de Saturno. (s. f.). <https://www.circuloastronomico.cl/planetas/titan.html>



Kop Desarrollo. (2022, 15 abril). Como hacer que un objeto orbite alrededor de otro en Unity [Vídeo]. YouTube.

<https://www.youtube.com/watch?v=oS6kPnxRRf0>



López, N. (2022, 11 mayo). Movimiento Circular Uniforme, Conceptos, Características y 6 Ejercicios Resueltos. Educación e Investigacion. <https://educacioneinvestigacion.com/movimiento-circular-uniforme/>

 Martí, A. (2018, 2 enero). Titán y las posibilidades de albergar vida: la luna más grande de Saturno sigue siendo la esperanza. Xataka.

<https://www.xataka.com/espacio/titan-y-las-posibilidades-de-albergar-vida-laluna-mas-grande-de-saturno-sigue-siendo-la-esperanza-de-los-cientificos> 

Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.). (s. f.). Fisicalab. <https://www.fisicalab.com/apartado/mru>



Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). (2017, 12 septiembre). Didactalia: material educativo.

<https://didactalia.net/comunidad/materialeducativo/recurso/movimientorectilineo-uniformemente-acelerado-mrua/214832cd-3a22-433a-a73529473f4a4e7f>

Orbits and the Ecliptic Plane. (s. f.). <http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbasees/eclip.html> 

Penalva, J. (2017, 15 septiembre). Sonda Cassini: antes de su final, los grandes datos e imágenes de su viaje a Saturno. Xataka. <https://www.xataka.com/espacio/sonda-cassini-antes-de-su-final-los-grandesdatos-e-imagenes-de-su-viaje-a-saturno> 

Pina-Romero, S. (2022, 9 junio). Leyes de Newton. Significados. <https://www.significados.com/leyes-de-newton/> 

Realice la simulación del sistema solar con Unity3D - programador clic. (s. f.). <https://programmerclick.com/article/58121165044/> 

Serra, B. R. (2021, 30 agosto). Movimiento circular uniforme – MCU. Universo Formulas. <https://www.universoformulas.com/fisica/cinematica/movimientocircular-uniforme/> 

Technologies, U. (s. f.). Unity - Manual: Creando y usando scripts. <https://docs.unity3d.com/es/530/Manual/CreatingAndUsingScripts.html> 

Titán (luna de Saturno) Astronoo. (2013, 1 junio). Astronoo. <http://www.astronoo.com/es/titan.html> 

Villamandos. Rumbo y azimut; qué son y cómo se calculan. (2022, 18 abril). Topografia2. <https://topografia2.com/rumbo-y-azimut/> 

Vito Technology, Inc. (2022, 31 octubre). Datos sobre Saturno: ¡Explora el asombroso planeta anillado! Star Walk. <https://starwalk.space/es/news/factsabout-saturn-explore-the-amazing-ringed-planet> 

Wiki Targeted (Entertainment). (s. f.). Astropedia. <https://astronomia.fandom.com/wiki/Cassini-Huygens>

7. Anexos

Consultar en el documento de Anexos.