917221Unidad10.qxd
10
19/1/09
11:06
Página 426
Límit d’una funció. ContinuïtatSOLUCIONARIO1
Límit d’una funció. Continuïtat
LITERATURA I MATEMÀTIQUES
El vuit En Sharrif anava traient els llibres [de la meva bossa] i els ordenava en un munt sobre l’escriptori mentre en llegia curosament els títols. –Jocs matemàtics d’escacs... ah! Els nombres de Fibonacci! –va exclamar, amb aquell somriure que em feia sentir que tenia alguna cosa contra mi. Assenyalava l’avorrit llibre d’en Nim–. De manera que us interessen les matemàtiques? –va preguntar i em va mirar amb intenció. –No gaire –vaig dir. Em vaig aixecar i vaig mirar de tornar a desar les meves coses a la bossa. [...] –Què en sabeu exactament sobre els nombres de Fibonacci? [...] –S’utilitzen per a projeccions de mercat –vaig murmurar. [...] –Aleshores, no en coneixeu l’autor? [...] Em refereixo a Leonardo Fibonacci. Un italià nascut a Pisa al segle XII, però educat aquí, a Alger. Era un brillant coneixedor de les matemàtiques d’aquell àrab famós, al-Hwarizmi, que ha donat el nom a la paraula algorisme. Fibonacci va introduir a Europa la numeració aràbiga, que va reemplaçar els vells nombres romans... Maleït sia! M’hauria d’haver imaginat que en Nim no m’havia donat el llibre tan sols perquè em servís d’entreteniment, encara que l’hagués escrit ell mateix. [...] Vaig quedar-me llegint-lo gairebé fins que va sortir el sol i la meva decisió havia resultat productiva, tot i que no sabia ben bé com. Pel que sembla, els nombres de Fibonacci es fan servir per a més coses, a banda de les projeccions del mercat de valors. La resolució d’un problema havia portat Fibonacci a formar aquesta interessant successió de nombres, que comença amb l’u i que va sumant a cada nombre el precedent: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... [...] Va descobrir que els quocients entre cada terme i l’anterior s’aproximaven al nombre 1 + 5 i que aquest 2 nombre descrivia també l’estructura de totes les coses naturals que formaven una espiral. KATHERINE NEVILLE (text adaptat)
Els nombres de Fibonacci apareixen de manera freqüent a la natura. Per exemple, el nombre d’espirals dels gira-sols o de les pinyes sempre és un d’aquests nombres. A més, com es diu en aquesta novel·la, si dividim cada terme de la successió de Fibonacci entre l’anterior, obtenim una nova successió de nombres que s’aproximen 1+ 5 cada vegada més al nombre d’or: . 2 Tot i que no la va descobrir Fibonacci, aquesta propietat és verdadera. Comprova-la.
La successió que s’obté si dividim cada terme de la successió de Fibonacci entre l’anterior és: a1 = 1
a3 =
3 = 1, 5 2
a5 =
8 = 1, 6 5
a7 =
21 = 1, 615… 13
a2 = 2
a4 =
5
a6 =
13
a8 =
34
3
Aquests valors s’aproximen a:
426
= 1,6
1+ 5 = 1, 618… 2
8
= 1, 625
21
= 1, 619…
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 427
SOLUCIONARI
10
ABANS DE COMENÇAR... RECORDA 001
002
Escriu els termes 14, 123 i 2.345 d’aquestes successions: n+4 a) an = n2 − 3 n + 2 b) an = 2n +1 a) a14 = 156
a123 = 14.762
a2.345 = 5.491.992
18 b) a14 = 29
127 a123 = 247
a2.345 =
2.349 4.691
Factoritza aquest polinomi: P(x) = 7x 5 + 14x 4 −35x 3 − 42x 2 P(x) = 7x2 (x − 2)(x + 1)(x + 3)
003
Simplifica aquestes fraccions algebraiques: a)
x 2 + 2x + 1 x ( x + 1) x ( x − 4) 2
b)
x( x − 2) ( x − 9 )( y 2 − 16 ) 2
2
d)
x( x − 2)
xy ( 2x − 6 )( y + 4 )2
a)
x2 + 2x + 1 x +1 ( x + 1)2 = = x ( x + 1) x ( x + 1) x
b)
x2 ( x2 − 4 ) x 2 ( x + 2 )( x − 2 ) = = x( x + 2) x( x − 2) x( x − 2)
c)
y2 ( x2 − 4 x + 4 ) x( x − 2)
d)
=
( x − 9 )( y − 16 ) 2
004
y 2 ( x 2 − 4x + 4 )
c)
2
xy ( 2 x − 6 )( y + 4 )
2
y 2 ( x − 2 )2 x( x − 2) =
=
y2 ( x − 2) x
( x + 3 )( x − 3 )( y + 4 )( y − 4 ) 2 xy ( x − 3 )( y + 4 )
2
=
( x + 3 )( y − 4 ) 2 xy ( y + 4 )
Resol aquestes operacions i simplifica’n el resultat: a) ( x + 1) −
x 2 − 3x + 1 x −1
b) ( 2x − 2 ) −
x −1 3x
x 2 − 3x + 1 x 2 − 1− x 2 + 3 x − 1 3x − 2 = = x −1 x −1 x −1 x −1 6x2 − 6x − x + 1 6 x 2 − 7x + 1 b) ( 2 x − 2 ) − = = 3x 3x 3x a) ( x + 1) −
ACTIVITATS 001
Troba el terme general d’aquestes successions: a)
3 7 11 , , , … 5 15 45 a) an =
4n − 1 5 ⋅ 3n−1
b)
3 1 −1 −3 ,… , , , 1 4 9 16 b) an =
−2 n + 5 n2
427
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 428
Límit d’una funció. Continuïtat 002
Amb la calculadora, troba els cinc primers termes de la successió recurrent a +3 an = n−1 , en què a1 = 1, i determina el nombre al qual s’aproxima. an−1 + 1 a1 = 1
a2 = 2
a3 =
5 = 1,6 3
Els termes de la successió s’aproximen a: 003
b) an = n2
a) lim an = 1
n→⬁
n →⬁
b) an = 4 − n
n→⬁
n→⬁
c) an = n2 + 3
d) an = ( −1)n+1
Calcula aquests límits de successions: n3 a) nlim →
n b) nlim →⬁
⬁
a) lim n3 = + ⬁ n →⬁
b) lim n = + ⬁ n →⬁
0 , 5n d) nlim →⬁
3 n4 c) nlim →⬁
c) lim 3 n4 = + ⬁ n →⬁
d) lim 0 , 5n = 0 n →⬁
Troba els límits de les successions amb els termes generals següents: 8n ( n − 1)10 a) b) 2 n2 + 3 n − 1 ( n + 2 )10 a) lim
n →⬁
8n =0 2n + 3n − 1 2
( n − 1)10 =1 n →⬁ ( n + 2 )10
b) lim
Troba els límits següents: ⎛ 3 n 2 −1 4 n 4 ⎞⎟ a) lim ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ n →⬁ ⎜ ⎝ n3 2 n 4 + 3 ⎟⎠ b) lim ln n →⬁
n2 + 7 2n
⎛ 3 n2 − 1 4 n4 ⎞⎟ a) lim ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 ⋅ n →⬁ ⎜ ⎝ n3 2 n4 + 3 ⎟⎠ b) lim ln
428
d) lim an = 0
n →⬁
Escriu successions de nombres reals que compleixin que el límit, quan n tendeix a infinit, és: a) lim an = 3 b) lim an = − ⬁ c) lim an = + ⬁ d) lim an no existeix. Resposta oberta. 3n a) an = n+1
007
19 ª = 1,72 11
d) an = 0 , 2 n
c) lim an = − ⬁
n →⬁
n→⬁
006
a5 =
3 = 1, 732…
c) an = n2 − n3
b) lim an = + ⬁
n →⬁
005
7 = 1, 75 4
Fes servir la calculadora per trobar el límit de les successions següents: a) an = ( −1)2n+ 4
004
a4 =
n2 + 7 = +⬁ 2n
c) lim
n →⬁
3 n2 + 1 n2 + n + 2
⎛ n+1 n −1 ⎞⎟ ⎟⎟ − d) lim ⎜⎜⎜ n →⬁ ⎝ n −1 n + 1 ⎟⎠ c) lim
n →⬁
3 n2 + 1 = n2 + n + 2
3
⎛ n + 1 n − 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟= 0 − d) nlim →⬁ ⎜ ⎝ n − 1 n + 1 ⎟⎟⎠
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 429
SOLUCIONARI
008
Calcula aquests límits: ⎛ n4 + 1 ⎞⎟ −n3 ⎜⎜ ⎟⎟ + a) nlim ⎜ 4 3 →⬁ ⎝ ⎜ 2n + 1 3 n + n + 1 ⎟⎠ ln b) nlim →⬁
n2 + 1
c) lim 9
2 d) lim 0 ,1 n
n →⬁
⎛ n4 + 1 ⎞⎟ − n3 1 a) lim ⎜⎜ ⎟⎟ = + 4 3 ⎜ n →⬁ ⎝ 2 n + 1 3 n + n + 1 ⎟⎠ 6 n →⬁
009
2n2
n →⬁
n +1
2 n3 + 1 2 n3 + n
b) lim ln
10
n2 +1
c) lim 9
2n2
n →⬁
=3
n+1
2 n3 + 1 =0 2 n3 + n
d) lim 0 ,1 n2 = 1 n →⬁
Explica per què no són indeterminacions: 0 ⬁ b) c) a) ⬁ ⋅ ⬁ 0 ⬁
d) ⬁1
a) Del producte de valors molt grans en resulta un valor encara més gran. b) Quan dividim el zero entre qualsevol nombre diferent de zero, el resultat és zero. c) El quocient d’un valor molt gran entre un nombre molt pròxim a zero és un valor encara més gran. d) Qualsevol nombre elevat a u és el mateix nombre. 010
Posa exemples de límits que produeixin indeterminacions d’aquests tipus: b) 1⬁
a) 0 ⋅ ⬁
c) ⬁0
d) 00
Resposta oberta. n
⎛ 1⎞ a) lim ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ln n n →⬁ ⎜ ⎝ 4 ⎟⎠
1
c) lim ( n − 4 ) n n →⬁
2n
⎛ 1 d) lim ⎜⎜⎜ 2 n →⬁ ⎝ n
⎛ n + 1 ⎞⎟ b) lim ⎜⎜ ⎟ n →⬁ ⎜ ⎝ n − 1 ⎟⎟⎠ 011
1
⎞⎟ n ⎟⎟ ⎟⎠
Calcula els límits següents i resol les indeterminacions que es puguin presentar: a) lim
n →⬁
n +3n n
a) lim
n→⬁
lim
n →⬁
b) lim
n→⬁
lim
n →⬁
b) lim
n →⬁
n + n +1 2n
n+3n ⬁ → n ⬁ n+3n =0 n n+ n+1 ⬁ → 2n ⬁ n+ n+1 1 = 2n 2
429
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 430
Límit d’una funció. Continuïtat 012
Presenten indeterminacions del tipus En cas afirmatiu, troba’n el límit.
⬁ aquestes successions? ⬁
5 − n2 n
a) lim
n →⬁
3
b) lim
n →⬁
5 − n2 n
a) No és una indeterminació, perquè l’arrel quadrada no està definida per a valors grans de n. 3 5 − n2 ⬁ b) És una indeterminació del tipus : lim =0 ⬁ n→⬁ n 013
Calcula els límits següents: ⎛ n4 −n3 + 2 ⎞⎟ b) lim ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎟⎠ n →⬁ ⎜ ⎝ n2 + 1 n
⎛ n3 + 2 n + 1 n2 ⎞⎟ a) lim ⎜⎜ ⎟⎟ − n →⬁ ⎜ ⎝ 2 n 2 −1 n −1 ⎟⎠
⎛ n3 + 2 n + 1 n2 ⎞⎟ ⎟⎟ → ⬁ − ⬁ − a) lim ⎜⎜ n→ ⬁ ⎜ ⎝ 2 n2 − 1 n − 1 ⎟⎠ ⎛ n3 + 2 n + 1 n2 ⎞⎟ − n4 − n3 + 3 n2 − n − 1 ⎟⎟ = lim − = −⬁ lim ⎜⎜ n→ ⬁ ⎜ ⎝ 2 n2 − 1 n − 1 ⎟⎠ n→ ⬁ 2 n3 − 2 n2 − n + 1 ⎛ n4 − n3 + 2 ⎞⎟ ⎟⎟ → ⬁ − ⬁ + b) lim ⎜⎜ 2 ⎟⎠ n→ ⬁ ⎜ ⎝ n +1 n ⎛ n4 − n3 + 2 ⎞⎟ − n3 + 2 n2 + 2 ⎟⎟ = lim lim ⎜⎜ 2 + = −1 ⎟⎠ n→ ⬁ n→ ⬁ ⎜ ⎝ n +1 n n3 + n 014
Troba aquests límits: a) lim
n →⬁
( n2 − 4 − n2 − 3 n
b) lim (2 n − n2 + 5 ) n →⬁
c) lim
n →⬁
(
n2 + 7 + 3 n2 + n )
a) lim ( n2 − 4 − n2 − 3 n ) → ⬁ − ⬁ n→⬁
lim ( n2 − 4 − n2 − 3 n ) = lim
n→⬁
n→⬁
3n − 4 n2 − 4 + n2 − 3 n
b) lim (2 n − n2 + 5 ) → ⬁ − ⬁ n→⬁
lim (2 n − n2 + 5 ) = lim
n→⬁
n→⬁
3 n2 − 5 4n + n + 5 2
c) lim ( n2 + 7 + 3 n2 + n ) = + ⬁ n →⬁
430
2
=
3 4
=
3 2
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 431
10
SOLUCIONARI
015
Calcula els límits següents: n
2n
⎛ ⎞ ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ 5 a) nlim ⎟ ⎜ →⬁ ⎝ n ⎟⎠
⎛ ⎞ ⎜⎜1 − 1 ⎟⎟ 3 b) nlim ⎟ ⎜ →⬁ ⎝ n ⎟⎠
n 1 ⎡⎛ ⎛ 1 ⎞5 1⎞ ⎤ 5 lim ⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ = lim ⎢⎢⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ ⎥⎥ = e 5 n→ ⬁ ⎜ n → ⬁ ⎢⎜ ⎝ n ⎟⎠ n ⎟⎠ ⎥⎦ ⎣⎝
n
2n
−n ⎡⎛ ⎛ 1⎞3 1 ⎟⎞ ⎤⎥ ⎟⎟ ⎥ lim ⎜⎜1− ⎟⎟⎟ = lim ⎢⎢⎜⎜1 + ⎜ n→ ⬁ ⎝ n → ⬁ ⎢⎜ − n ⎟⎠ ⎥⎦ n ⎟⎠ ⎣⎝
2n
⎛ 1⎞3 b) lim ⎜⎜1− ⎟⎟⎟ → 1⬁ ⎜ n→ ⬁ ⎝ n ⎟⎠ 016
2 3
=e
−
2 3
3n−2
n
⎛ 3 ⎞⎟ ⎟⎟ b) lim ⎜⎜⎜1 + n →⬁ ⎝ 2 n ⎟⎠
n ⎤ ⎡ n ⎢⎛ ⎛ 5 ⎞⎟ 1 ⎞⎟ 5 ⎥ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎥ = e 5 lim ⎜1 + ⎟⎟ = lim ⎢⎜1 + n→ ⬁ ⎜ n → ⬁ ⎢⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎝ n n ⎟⎠ ⎜ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎥⎦ 5
n
⎛ 5⎞ a) lim ⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ → 1⬁ n→ ⬁ ⎜ ⎝ n ⎟⎠
3 n−2
⎛ 3 ⎞⎟ b) lim ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎜ n→ ⬁ ⎝ 2 n ⎟⎠
3n−2
⎛ 3 ⎞⎟ ⎟⎟ lim ⎜⎜1 + ⎜ n→ ⬁ ⎝ 2 n ⎟⎠
⬁
→1
2n ⎤ ⎡ ⎢⎛ 1 ⎞⎟ 3 ⎥ ⎜ ⎟⎟ ⎥ = lim ⎢⎜1 + n → ⬁ ⎢⎜ 2 n ⎟⎟ ⎥⎥ ⎢⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
3 ( 3n−2 ) 2n
9
= e2
Troba els límits següents: ⎛ 2 x ⎞⎟ ⎟⎟ a) lim ⎜⎜⎜ x →+ ⬁ ⎝ x −1 ⎟ ⎠
3
b)
⎛ 2 x ⎞⎟ ⎟ = 23 = 8 lim ⎜⎜ x →+ ⬁ ⎜ ⎝ x − 1 ⎟⎟⎠ 3
a)
018
−
Troba aquests límits: ⎛ 5⎞ a) lim ⎜⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ n →⬁ ⎝ n ⎟⎠
017
1
n
⎛ 1 ⎞5 a) lim ⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ → 1⬁ ⎜ n→ ⬁ ⎝ n ⎟⎠
Calcula aquests límits: x ⎛ x + 1 ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ a) xlim ⎟ →+ ⬁ ⎜ ⎝ 3x + 3 ⎟⎠
lim
x →+ ⬁
( 3 x + 1) x 4 ( x 2 − 6 )( 2 x −1)3 ( 3 x + 1) x 4 3 = 2 3 x → +⬁ ( x − 6 )( 2 x − 1) 8
b) lim
⎛ x 2 + 2 x ⎞⎟ ⎟⎟ b) lim ⎜⎜⎜ 2 x →+ ⬁ ⎝ x + 1 ⎟ ⎠
x
x
a)
⎛ x + 1 ⎞⎟ ⎟ =0 lim ⎜⎜ x → +⬁ ⎜ ⎝ 3 x + 3 ⎟⎟⎠ x
⎛ x 2 + 2 x ⎞⎟ ⎟⎟ → 1⬁ b) lim ⎜⎜ 2 x → +⬁ ⎜ ⎝ x + 1 ⎟⎠ ⎛ lim ⎜⎜ x → +⬁ ⎜ ⎝
x 2 +1 ⎤ ⎡ ⎢⎛ ⎞⎟ 2x −1 ⎥ ⎛ ⎞⎟ − 1 x 2 + 2 x ⎞⎟ 2 x 1 ⎥ ⎟⎟ = lim ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎟⎟ = lim ⎢⎜⎜1 + 2 ⎥ x → +⬁ ⎢⎜ x → +⬁ ⎜ ⎟⎟ ⎝ x 2 + 1 ⎟⎠ x + 1 x 2 + 1 ⎟⎠ ⎜ ⎥ ⎢⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎥ ⎢⎜⎝ 2 x − 1 ⎟⎠ ⎦ ⎣ x
x
x ( 2 x −1 ) x 2 +1
= e2
431
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 432
Límit d’una funció. Continuïtat 019
Calcula els límits laterals al punt x = 3 de: ⎧ ⎪ x − 3 si x < 3 f (x) = ⎨ 2 ⎪ ⎪ ⎩ x + 1 si x ≥ 3 lim f ( x ) = lim− ( x − 3) = 0
x → 3−
020
x −1 x2
b) f ( x ) =
a) lim− f ( x ) = − ⬁ ⎧ ⎪1 b) f ( x ) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩−1
lim f ( x ) = + ⬁
si x > 0 si x < 0
x →2
lim f ( x ) → x →5
lim f ( x ) = 1
x →0+
x2 −1 a x = 2 i a x = 5. x −5
⎫ lim f ( x ) = − ⬁ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ → No exissteix lim f ( x ) . x →5 lim+ f ( x ) = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ x →5 ⎭
24 0
x → 5−
x −2 x +3 + Raona si existeix el límit d’aquesta funció. f ( x ) = x +3 x −2 a x = 2, a x = 3 i a x = 4. 5 lim f ( x ) → x →2 0 lim f ( x ) = x →3
37 6
⎪ lim f ( x ) = − ⬁ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ → No exissteix lim f ( x ) . x →2 lim+ f ( x ) = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ x →2 ⎭ x → 2−
lim f ( x ) = x →4
53 14
Troba els límits següents: a) lim
x →1
x3 − 2x2 + x x 2 − 3x + 2
a) lim
x →1
x → −2
lim
b)
x3 − 2x2 + x 0 → 2 x − 3x + 2 0
b) lim
x → −2
432
lim f ( x ) = −1
x →0 −
Calcula el límit de la funció següent: f ( x ) =
lim f ( x ) = −1
023
x ⏐x⏐
x →0+
x →0
022
x →3
Troba els límits laterals a x = 0 d’aquestes funcions: a) f ( x ) =
021
lim f ( x ) = lim+ ( x 2 + 1) = 10
x → 3+
x →3
lim
x → −2
x 4 − 16 x3 + 8 lim
x →1
x3 − 2x2 + x x ( x − 1)2 =0 = lim x →1 ( x − 1)( x − 2 ) x2 − 3x + 2
x 4 − 16 0 → 3 x +8 0 8 x 4 − 16 ( x 2 + 4 )( x + 2 )( x − 2 ) lim =− = 2 3 x → − 2 3 x +8 ( x + 2 )( x − 2 x + 4 )
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 433
SOLUCIONARI
024
xm −1 si m = 2 i m = 3. x →1 x − 1 Pots determinar el límit per a un valor m qualsevol?
Calcula lim
x2 − 1 0 → x →1 x − 1 0
lim
x2 − 1 = lim ( x + 1) = 2 x →1 x −1
lim
x3 − 1 0 → x −1 0
lim
x3 − 1 = lim ( x 2 + x + 1) = 3 x →1 x −1
lim
xm − 1 = lim (x m −1 + x m −2 + … + x + 1) = m x →1 x −1
lim
x →1
x →1
025
x →1
x →1
Posa un exemple d’una funció que tingui com a asímptotes verticals les rectes amb aquestes equacions: x=1 x=2 x=3 Resposta oberta. Per exemple: f ( x ) =
026
10
1 ( x − 1)( x − 2 )( x − 3 )
Troba les asímptotes verticals de les funcions següents: a) f ( x ) =
1 x
b) f ( x ) =
1 x2 −1
c) f ( x ) =
1 x 3 − 4x
a) Dom f = ⺢ − {0} ⎪ lim f ( x ) = − ⬁ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ → f (x) té una asímptota vertical a x = 0. lim+ f ( x ) = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ x →0 ⎭ x → 0−
b) Dom f = ⺢ − {−1, 1} ⎫ lim f ( x ) = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ ⎬ → f (x) té una asímptota vertical a x = −1. lim+ f ( x ) = − ⬁ ⎪ ⎪ ⎪ x →−1 ⎭ ⎫ lim f ( x ) = − ⬁ ⎪ ⎪ x →1− ⎪ ⎬ → f (x) té una asímptota vertical a x = 1. lim+ f ( x ) = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ x →1 ⎭ x →−1−
c) Dom f = ⺢ − {−2, 0, 2} lim f ( x ) = − ⬁ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ → f (x) té una asímptota vertical a x = −2. lim + f ( x ) = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ x →−2 ⎭ ⎫ lim f ( x ) = − ⬁ ⎪ ⎪ x → 2− ⎪ ⎬ → f (x) té una asímptota vertical a x = 2. lim+ f ( x ) = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ x →2 ⎭ ⎫ lim f ( x ) = + ⬁⎪ ⎪ x → 0− ⎪ ⎬ → f (x) té una asímptota vertical a x = 0. lim+ f ( x ) = − ⬁ ⎪ ⎪ ⎪ x →0 ⎭ x →−2 −
433
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 434
Límit d’una funció. Continuïtat 027
Pot passar que una funció tingui una asímptota horitzontal i una altra d’obliqua quan x → +⬁? Raona la resposta. No pot passar, perquè si té una asímptota horitzontal es verifica que: lim f ( x ) = k . x →+ ⬁ f ( x) I si lim = 0 , la funció no té asímptota obliqua. x →+ ⬁ x
028
Calcula les asímptotes d’aquestes funcions i representa-les. a) f ( x ) = a)
x
b) f ( x ) =
x2 + 1
lim
x →+ ⬁
x2
c) f ( x ) =
x2 + 1
x3 x2 + 1
x = 0 → f (x) té una asímptota horitzontal: y = 0. x +1 2
Y
1 1
b)
lim
x →+ ⬁
X
x2 = 1 → f (x) té una asímptota horitzontal: y = 1. x2 + 1 Y
1 1
X
⎫ ⎪ f ( x) x3 = lim 3 = 1⎪ ⎪ ⎪ x → +⬁ x x → +⬁ x + x ⎪ ⎪ ⎬ → f (x) té una asímptota obliqua: y = x. c) ⎛ x3 ⎞⎟ ⎪ x − ⎜ lim ⎜⎜ 2 − x ⎟⎟ = lim 2 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎟ x → + ⬁⎜ ⎪ ⎝ x +1 ⎠ x → +⬁ x + 1 ⎪⎭ lim
Y
1 1
434
X
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 435
SOLUCIONARI
029
10
Estudia la continuïtat d’aquestes funcions: a) f ( x ) = x −2
b) f ( x ) =
x−4
c)
f ( x ) = ln ( 1− x 2 )
a) Dom f = ⺢ − {0} → f (x) és contínua a ⺢ − {0}. b) Dom f = [4, +⬁) → f (x) és contínua a [4, +⬁). c) Dom f = (−1, 1) → f (x) és contínua a (−1, 1). 030
Troba m i n perquè la funció f ( x) sigui contínua a ⺢. ⎧ ⎪ si x ≤ 1 ⎪2 si 1 < x < 3 f (x) = ⎪ mx + n ⎨ ⎪ ⎪ si x ≥ 3 ⎪ ⎩4 f (x) és contínua a x = 1 si es verifica que: f ( 1) = lim f ( x ) ⎫ ⎪ ⎪ x →1 ⎪ ⎪ lim+ f ( x ) = m + n⎪ ⎬ → m+n= 2 ⎪ x →1 ⎪ ⎪ ⎪ f ( 1) = 2 ⎪ ⎭
x →1
lim− f ( x ) = 2
f (x) és contínua a x = 3 si es verifica que: f (3) = lim f ( x ) ⎫ lim f ( x ) = 3 m + n⎪ ⎪ x → 3− ⎪ ⎪ ⎪ lim+ f ( x ) = 4 ⎬ → 3m + n = 4 ⎪ x →3 ⎪ ⎪ ⎪ f (3) = 4 ⎪ ⎭
x →3
⎫ m=1 m + n = 2⎪ ⎬→ ⎪ 3 m + n = 4⎪ n=1 ⎭ 031
Estudia la continuïtat de la funció que assigna a cada nombre la seva part entera: y = [x] Especifica els tipus de discontinuïtats que presenta aquesta funció. La funció no és contínua per a tots els valors enters. Tots els nombres enters són punts de discontinuïtat inevitable de salt finit.
032
Estudia la continuïtat d’aquestes funcions: ⎧ 1 ⎪ ⎪ ⎪ x +1 x ⎪ a) f ( x ) = b) f ( x ) = ⎨ x ⎪ x −2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩5
si x ≤ 1 si 1 < x < 4 si x ≥ 4
a) Dom f = ⺢ − {2} ⎫ lim f ( x ) = − ⬁ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ → No existeix lim f ( x ) i f(x) no és contínua a x = 2. x →2 lim+ f ( x ) = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ x →2 ⎭ x → 2−
La discontinuïtat és inevitable de salt infinit. La funció té una asímptota vertical a x = 2.
435
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 436
Límit d’una funció. Continuïtat b) Dom f = ⺢ − {0} lim f ( x ) = − ⬁ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ → No existeix lim f ( x ) i f(x) no és contínua a x = 0. x →0 lim+ f ( x ) = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ x →0 ⎭ La discontinuïtat és inevitable de salt infinit. La funció té una asímptota vertical a x = 0. x → 0−
⎫ lim f ( x ) = 1⎪ ⎪ ⎪ ⎬ → ∃ lim f ( x ) = 1 x →1 lim+ f ( x ) = 1⎪ ⎪ ⎪ x →1 ⎭ Com que ∃ f ( 1) = lim f ( x ), la funció és contínua a x = 1. x →1−
x →1
⎫ lim f ( x ) = 4⎪ ⎪ ⎪ ⎬ → No existeix lim f ( x ) i f(x) no és contínua a x = 4. x →4 lim+ f ( x ) = 5 ⎪ ⎪ ⎪ x→4 ⎭ La discontinuïtat és inevitable de salt finit. x → 4−
033
Troba el terme general de les successions els primers termes de les quals són: a) 1, −1, 1, −1, …
b) 1, 2, 4, 8, …
a) an = (−1)n−1 b) an = 2n−1 034
Utilitza la calculadora per trobar el límit d’aquesta successió definida de manera recurrent: 3an−1 + 2 an = a1 = 1 4 an−1 + 3 a1 = 1 a2 =
5 = 0 , 71428… 7
a3 =
29 = 0 , 70731… 41
a4 =
169 = 0 , 70711… 239
a5 =
985 = 0 , 707106… 1.393
Els termes de la successió s’aproximen a: 035
Calcula el límit de la successió següent amb l’ajut d’aquesta taula: n2 − 1 an = 2n +1 n
5
50
500
5.000
50.000
an
2,18
24,74
249,74
2.499,74
24.999,74
lim an = + ⬁
n →⬁
436
1 = 0 , 7071… 2
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 437
SOLUCIONARI
036
037
10
Comprova la igualtat mitjançant aquesta taula: 4 − 6n = −3 lim n →⬁ 2 n + 1 n
5
50
500
5.000
50.000
an
−2,36
−2,93
−2,993
−2,9993
−2,9999
Troba els límits de successions següents: 2 ⎛ 2 ⎞ a) lim ⎜⎜ 5 n + n − n + 2 ⎟⎟⎟ ⎜ n −3 n →⬁ ⎝ n −1 ⎠ 2 ⎞ ⎛ 2 b) lim ⎜⎜ n − 3 n + 2 − n ⎟⎟⎟ n →⬁ ⎜ ⎝ 3n n + 3 ⎟⎠
2 ⎞ ⎛ c) lim ⎜⎜2 n − 4 n − 2 n + 7 ⎟⎟⎟ ⎟⎠ n →⬁ ⎜ ⎝ 2n + 1 2 ⎞ ⎛ 2 d) lim ⎜⎜ 6 n + 1 − 9 n − 5 ⎟⎟⎟ n →⬁ ⎜ ⎝ 2n + 4 3 n + 6 ⎟⎠
⎛ 5 n2 + n n2 + 2 ⎞⎟ a) lim ⎜⎜ ⎟⎟ → ⬁ − ⬁ − n→ ⬁ ⎜ ⎝ n−3 n − 1 ⎟⎠ ⎛ 5 n2 + n n2 + 2 ⎞⎟ 4 n3 − n2 − 3n + 6 ⎟⎟ = lim lim ⎜⎜⎜ − = +⬁ n→ ⬁ ⎝ n − 3 n2 − 4 n + 3 n − 1 ⎟⎠ n→ ⬁ ⎛ n2 − 3 n + 2 n2 ⎞⎟ b) lim ⎜⎜ ⎟⎟ → ⬁ − ⬁ − n→ ⬁ ⎜ ⎝ 3n n + 3 ⎟⎠ ⎛ n2 − 3 n + 2 −2 n3 − 7 n + 6 n2 ⎞⎟ ⎟⎟ = lim lim ⎜⎜⎜ − = −⬁ n→ ⬁ ⎝ 3n n + 3 ⎟⎠ n→ ⬁ 3 n2 + 9 n ⎛ 4 n2 − 2 n + 7 ⎞⎟ c) lim ⎜⎜2 n − ⎟⎟ → ⬁ − ⬁ ⎜ ⎟⎠ n→ ⬁ ⎝ 2n + 1 ⎛ 4 n2 − 2 n + 7 ⎞⎟ 4n−7 ⎟⎟ = lim lim ⎜⎜⎜2 n − =2 ⎟ n→ ⬁ ⎝ n → ⬁ ⎠ 2n + 1 2n + 1 ⎛ 6 n2 + 1 d) lim ⎜⎜ − n→ ⬁ ⎜ ⎝ 2n + 4 ⎛ 6 n2 + 1 lim ⎜⎜⎜ − n→ ⬁ ⎝ 2 n + 4 038
9 n2 − 5 ⎞⎟ ⎟⎟ → ⬁ − ⬁ 3 n + 6 ⎟⎠ 9 n2 − 5 ⎞⎟ 13 ⎟⎟ = lim =0 3 n + 6 ⎠⎟ n→ ⬁ 6 ( n + 2 )
Calcula els resultats de: a) lim
n →⬁
4 n2 + n − 3 3n + 1
a) lim
n→⬁
b) lim
n →⬁
4 n2 + n − 3 ⬁ → 3n + 1 ⬁ 8 n + 3n + 2 2
b) lim
n→⬁
c) lim
n →⬁
n + 2n 3
4
→
⬁ ⬁
8n2 + 3 n + 2
c) lim
n →⬁
n3 + 2 n 4 lim
n →⬁
lim
n →⬁
5 − 2 n + 6 n3 n2 − n − 6
4 n2 + n − 3 2 = 3n + 1 3 8 n2 + 3 n + 2 n + 2n 3
4
=
8 2
=4 2
5 − 2 n + 6 n3 =0 n2 − n − 6
437
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 438
Límit d’una funció. Continuïtat 039
Determina els límits. a) lim (n − n2 + 4 n − 1 ) n →⬁
b) lim ( 4 n2 + n + 31 − 3 n) n →⬁
c) lim ( 4 n − 16 n2 + 2 ) n →⬁
a) lim (n − n2 + 4 n − 1 ) → ⬁ − ⬁ n→⬁
lim (n − n2 + 4 n − 1 ) = lim
n→⬁
n→⬁
−4 n + 1 n + n2 + 4 n − 1
= −2
b) lim ( 4 n2 + n + 31 − 3 n) → ⬁ − ⬁ n→⬁
lim ( 4 n2 + n + 31 − 3 n) = lim
n→⬁
n→⬁
−5 n2 + n + 31 4 n2 + n + 31 + 3n
= −⬁
c) lim ( 4 n − 16 n2 + 2 ) → ⬁ − ⬁ n→⬁
lim ( 4 n − 16 n2 + 2 ) = lim
n→⬁
040
n→⬁
−2 4 n + 16 n2 + 2
Troba els límits següents: a) lim x 3 + 2 x 2 − 3 x →+ ⬁
b) lim
x →− ⬁
a)
1 ln ⏐ x ⏐
c)
lim
x →−⬁
4 x + 2x + 1 2
d) lim xe x x →+⬁
lim ( x 3 + 2 x 2 − 3 ) = + ⬁
x → +⬁
1 = x → − ⬁ ln ⏐x⏐
c)
lim
x →− ⬁
4 =0 x + 2x + 1 2
d) lim xe x = + ⬁
b) lim
041
=0
x → +⬁
Representa aquestes funcions: f (x) = 2 x − 3
g( x ) = x 2 + 2 x −1
A partir de la gràfica, calcula els límits següents: a)
lim f ( x )
x →− ⬁
b) lim g( x ) x →− ⬁
Y
c)
lim f ( x )
x →+⬁
d) lim g( x ) x →+⬁
g(x)
f(x) 1 2
a) lim f ( x ) = − ⬁
c) lim f ( x ) = + ⬁
b) lim g( x ) = + ⬁
d) lim g( x ) = + ⬁
x → −⬁
x → −⬁
438
x →+ ⬁
x →+ ⬁
X
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 439
SOLUCIONARI
042
10
Calcula. a) lim (x 3 − 3 x 2 )
c)
b) lim ( x 4 + 2x 3 + x 2 − 17x )
d) lim ( 1 − 3 x 3 + 5 x 2 − 6x )
x →+ ⬁ x →+ ⬁
a)
lim ( −2 x 4 + 8x 3 − 3 x 2 + 27x − 42 )
x →+ ⬁ x →+ ⬁
lim ( x 3 − 3x 2 ) = + ⬁
x → +⬁
b) lim ( x 4 + 2 x 3 + x 2 − 17x ) = + ⬁ x → +⬁
c)
lim ( −2 x 4 + 8 x 3 − 3 x 2 + 27x − 42 ) = − ⬁
x → +⬁
d) lim ( 1 − 3x 3 + 5 x 2 − 6 x ) = − ⬁ x → +⬁
043
Determina aquests límits: a)
lim ( 6x 3 + x 2 )
c)
x →− ⬁
b) lim ( x 4 + 4 x 3 + 7x 2 − 12 x + 1) x →− ⬁
a)
lim ( 5 x 3 − 3 x 2 − 16x + 3 )
x →− ⬁
d) lim ( 7 − 12 x + 3 x 2 + 9x 3 ) x →− ⬁
lim ( 6 x 3 + x 2 ) = − ⬁
x → −⬁
b) lim ( x 4 + 4 x 3 + 7x 2 − 12 x + 1) = + ⬁ x → −⬁
c)
lim (5x 3 − 3x 2 − 16 x + 3 ) = − ⬁
x → −⬁
d) lim (7 − 12 x + 3 x 2 + 9 x 3 ) = − ⬁ x → −⬁
044
Troba els límits següents: a) lim ⏐ −2 t 2 + 5 ⏐ t →+ ⬁
b) lim ⏐ t 3 + 6 t + 3 ⏐ t →−⬁
a) lim ⏐ −2 t 2 + 5 ⏐ = + ⬁ t → +⬁
045
b) lim ⏐ t 3 + 6 t + 3 ⏐ = + ⬁ t → −⬁
Calcula aquests límits i comprova els resultats amb la calculadora: 2 x 2 − 6x + 3 4 x 2 + x − 12 a) lim d) lim x →+ ⬁ x 2 − 3x + 5 x →+ ⬁ x 2 − x 3 + 2 2 x 2 − 6x 3 − x + 1 1+ x − 6x 4 + x 3 b) lim e) lim x →+ ⬁ x →+ ⬁ 4 x 2 + 5x − 2 3x + 2 x 2 − 3 c)
lim
x →+ ⬁
5 x 3 + 3x −1 6x 2 −3x 3 + x 2x2 − 6x + 3 =2 x 2 − 3x + 5
d) lim
b) lim
2x − 6x − x + 1 = −⬁ 4 x 2 + 5x − 2
e)
c)
5x 3 + 3x − 1 5 =− 2 3 6 x − 3x + x 3
a)
lim
x → +⬁
2
x → +⬁
lim
x → +⬁
x → +⬁
3
4 x 2 + x − 12 =0 x2 − x3 + 2
1+ x − 6 x 4 + x 3 = −⬁ x → +⬁ 3x + 2 x 2 − 3 lim
439
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 440
Límit d’una funció. Continuïtat 046
Troba aquests límits amb la calculadora i comprova els resultats que has obtingut: a)
x 2 + 5x + 7
lim
2 x2 + x +1
x →− ⬁
b) lim
x →− ⬁
a)
4 + x − 2x3
lim
x → −⬁
x → −⬁
x 3 − 2 x 2 − 10x
lim
− x2 + 2x3 − x + 3
x →− ⬁
− x 2 + 3 x + 21 5x 2 − 4 x 3 + 2 x
d) lim
2 x 2 − 3x + 11
b) lim
047
c)
x →− ⬁
x 2 + 5x + 7 1 = 2 2x + x + 1 2
c)
4 + x − 2 x3 = +⬁ 2 x 2 − 3 x + 11
d) lim
lim
x → −⬁
x →− ⬁
x 3 − 2 x 2 − 10 x 1 = 2 3 − x + 2x − x + 3 2 − x 2 + 3x + 21 =0 5x 2 − 4 x 3 + 2 x
Escriu, en cada cas, un polinomi, P(x), per aconseguir els resultats que s’indiquen quan calculem el límit: 8x 2 + 6 x − 1 lim x →+⬁ P(x) a) 4
b) 5
d) + ⬁
c) 0
e) −⬁
f) 1
Resposta oberta. a) P(x) = 2x 2 + x + 1 8 b) P(x) = x2 + x + 1 5 048
x →+ ⬁
d) P(x) = x + 1
f ) P(x) = 8x 2
(
4 x2 + 2 x − 4 x2 −3 )
b) lim
x →+ ⬁
(
x 2 −2x + 1 − x 2 −2x + 4 )
lim
(
4 x2 + 2x −
4x2 − 3 ) → ⬁ − ⬁
lim
(
4 x2 + 2x −
4 x 2 − 3 ) = lim
b) lim
(
x2 − 2x + 1 −
x2 − 2x + 4 ) → ⬁ − ⬁
lim
(
x2 − 2x + 1 −
x2 − 2x + 4 ) = −3
a)
x → +⬁ x → +⬁
x → +⬁
x → +⬁
= lim
x → +⬁
2x + 3
x → +⬁
x2 − 2x + 1 +
4 x2 + 2x +
x2 − 2x + 4
4x2 − 3
=0
Calcula aquests límits: 2 ⎛ 2 a) lim ⎜⎜ 5 x + 1 + 3 − x x →−⬁ ⎜ ⎝ x x+2
a)
440
e) P(x) = −1
Troba el valor de: a) lim
049
c) P(x) = 2x 3 + x
⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎠
⎛ 5x 2 + 1 3 − x 2 lim ⎜⎜⎜ + x → −⬁ ⎝ x x+2 2 ⎛ 5x + 1 3 − x 2 + lim ⎜⎜⎜ x → −⬁ ⎝ x x+2
⎛ 2 x 2 + 1 ⎞⎟ x3 ⎟⎟ b) lim ⎜⎜⎜ − x →−⬁ ⎜ 2 x − 4 ⎟⎠ ⎝ x2 −2 x ⎞⎟ ⎟⎟ → ⬁ − ⬁ ⎟⎠ ⎞⎟ 4 x 3 + 10 x 2 + 4 x + 2 ⎟⎟ = lim = −⬁ ⎟⎠ x → −⬁ x 2 + 2x
=
1 2
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 441
SOLUCIONARI
10
⎛ x3 2 x 2 + 1 ⎞⎟ b) lim ⎜⎜ ⎟⎟ → ⬁ − ⬁ − 2 ⎜ x → −⬁ ⎝ x − 2 x 2 x − 4 ⎟⎠ ⎛ x3 2 x 2 + 1 ⎞⎟ −x ⎟⎟ = lim lim ⎜⎜⎜ 2 − =0 2 ⎟ x → −⬁ ⎝ x − 2 x 2 x − 4 ⎠ x → −⬁ 2 x − 4 x 050
Troba els resultats de: a) lim
−3x + 6 x 2 x2 + 2
x →−⬁
a)
051
x → −⬁
2 x 4 + 5x 3 − 2 x 2 3 x −1
x →−⬁
−3 x + 6 x 2 =0 x2 + 2
lim
b) lim
x → −⬁
2x 4 + 5x 3 − 2x 2 = −⬁ 3x − 1
Determina. a) lim 2 − x + 4 x →0 x
b) lim
x →2
x − 2 x −2
a) lim
2−
x+4 0 → x 0
lim
2−
x+4 −x −1 1 = lim = lim =− x → 0 x → 0 x 4 2+ x + 4 x (2 + x + 4 )
x →0
x →0
b) lim
x →2
lim
x →2
052
b) lim
x − 2 0 → x −2 0 x − 2 x −2 = lim = lim x →2 x →2 x −2 ( x − 2 )( x + 2 )
1 x + 2
=
1 2 2
=
2 4
Determina aquests límits, després d’haver-ne calculat els límits laterals: a) lim
x →2
x 2 −3x + 2 2x −5
b) lim ( 1 + 2 x) x x →3
c) lim
x2 −2 x + 3 x +1
x →0
d) lim
x →−1
f ) lim
x →−3
x →3
x →0
5 4+ x d) lim 4 − 2 x = 2 x →−1 x 2 − 2 x ⎛ x + 1 ⎞⎟ ⎟= 0 e) lim ln ⎜⎜⎜ x →2 ⎝ 3 ⎟⎟⎠
b) lim ( 1 + 2 x ) x = 343 x2 − 2x + 3 = x +1
x 2 −2x
⎛ x + 1 ⎞⎟ ⎟ e) lim ln ⎜⎜⎜ x →2 ⎝ 3 ⎟⎟⎠
2 a) lim x − 3x + 2 = 0 x →2 2x − 5
c) lim
4 −2x
3
f ) lim
x →−3
5 4+x
=5
441
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 442
Límit d’una funció. Continuïtat 053
054
Fes servir la calculadora per completar la taula i comprova que x2 si f ( x ) = , aleshores lim f ( x ) = −0 , 5. x →1 x −3 x
0
0,9
0,99
0,999
1,001
1,01
1,1
f (x)
0
−0,38
−0,48
−0,49
−0,501
−0,51
−0,63
Calcula els límits indicats en aquesta funció: ⎧2 x + 4 ⎪ g( x ) = ⎪ ⎨ 2 ⎪ ⎪ ⎩ x − 2x + 1
si x ≥ 4
a) lim g ( x )
c) lim− g( x )
e) lim+ g ( x )
b) lim− g ( x )
d) lim g ( x )
f ) lim+ g ( x )
x →−3
x →6
x→4
x →6
x→4
x →3
a) lim g ( x ) = lim ( 2 x + 4 ) = −2
d) lim g ( x ) = lim ( 2 x + 4 ) = 10
b) lim g ( x ) = lim ( x 2 − 2 x + 1) = 25 − −
e) lim g ( x ) = lim ( x 2 − 2 x + 1) = 25 + +
c) lim g ( x ) = lim ( 2 x + 4 ) = 12 − −
f ) lim g ( x ) = lim ( x 2 − 2 x + 1) = 9 + +
x →−3
x →6
x→4
055
si x < 4
x →−3
x →3
x →6
x →6
x→4
x→4
x →3
x →6
x→4
Observa les gràfiques de les funcions f(x) i g(x), i troba els límits següents: a) lim− f ( x )
Y
x →1
lim f ( x )
x →1+
f (x)
1
X
1
b) lim− g ( x )
Y
x →1
lim g ( x )
x →1+
g(x)
1 1
a) lim f ( x ) = + ⬁ − x →1
lim f ( x ) = + ⬁
x →1+
442
b) lim g ( x ) = − ⬁ − x →1
lim g ( x ) = + ⬁
x →1+
X
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 443
SOLUCIONARI
056
Determina aquests límits i, si cal, calcula’n els límits laterals: a) lim
x2 + 6 x −2
c) lim
b) lim
3 9 − x2
d) lim
x →2
x →3
x2 + 2x 8 −2x
x→4
4 −2x x −2 x + 1 2
x →1
a) lim
x2 + 6 10 → x −2 0
x →2
b) lim
3 3 → 2 9− x 0
x →3−
c) lim
x2 + 2x 24 → 8 − 2x 0
d) lim
4 − 2x 2 → x − 2x + 1 0
x →2
x →3
x→4
lim−
x2 + 6 = −⬁ x −2
x →2
lim
3 = +⬁ 9 − x2
x →3+
lim−
x2 + 2x = +⬁ 8 − 2x
lim−
4 − 2x = +⬁ x − 2x + 1
x→4
2
x →1
057
10
2
x →1
lim+
x2 + 6 = +⬁ x −2
lim
3 = −⬁ 9 − x2
lim+
x2 + 2x = −⬁ 8 − 2x
lim+
4 − 2x = +⬁ x − 2x + 1
x→4
x →1
2
Calcula els límits següents: a) lim cos x
b) lim tg x
x →π
x→
c)
π
lim sin x x→
2
d) lim
x →π
3π
cos x sin x
2
a) lim cos x = −1 x →π
b) lim tg x → x→
c)
π
lim− tg x = + ⬁
x→
2
π 2
lim+ tg x = − ⬁
x→
π 2
lim sin x = −1 x→
3π 2
d) lim
x →π
058
1 0
cos x sin x
→−
1 0
lim
x →π−
cos x sin x
= −⬁
lim
x →π+
cos x sin x
= +⬁
Donada la funció f(x) definida a trossos, troba els límits: ⎧⎪ 2 x + 1 ⎪ ⎪ ⎪ 9 f (x) = ⎨ ⎪ x −1 ⎪ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎩ 2 + 6x − 32
si x < −2 si −2 ≤ x < 3 si x ≥ 3
a) lim f ( x )
c)
lim f ( x )
e) lim f ( x )
g) lim f ( x ) +
b) lim f ( x )
d) lim + f ( x )
f ) lim f ( x ) −
h) lim f ( x )
x →−⬁
x →+⬁
a)
lim f ( x ) = − ⬁
x →−⬁
b) lim f ( x ) = + ⬁ x →+⬁
c)
lim f ( x ) = −3
x →−2−
x →−2−
x →−2
x →−2
d)
x →3
x →3
x →3
lim f ( x ) = −3
x →−2+
e) lim f ( x ) = −3 x →−2
g) lim f ( x ) = −5 + x →3
h) lim f ( x ) no existeix . x →3
9 f ) lim f ( x ) = − x →3 2
443
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 444
Límit d’una funció. Continuïtat 059
Calcula els límits laterals i el límit següent: x2 − x −6 lim 2 x →3 x − 6x + 9 lim
x2 − x − 6 0 → 2 x − 6x + 9 0
lim
x2 − x − 6 ( x − 3 )( x + 2 ) x+2 5 = lim = lim → 2 2 x → 3 x → 3 x − 6x + 9 ( x − 3) x −3 0
x →3
x →3
⎫ ⎪ x2 − x − 6 ⎪ = + ⬁ ⎪ 2 ⎪ x2 − x − 6 x →3 x − 6 x + 9 ⎪ = +⬁ → lim ⎬ x →3 x 2 − 6 x + 9 ⎪ x2 − x − 6 ⎪ lim 2 = + ⬁⎪ ⎪ x → 3+ x − 6 x + 9 ⎪ ⎭ lim−
060
Resol aquests límits:
( 2 x − 3)( x + 3) x →−3 ( x + 1)( x + 3) 2 x 2 − 9 x + 10 b) lim x →2 3 x 2 − 7 x + 2 3 x 3 + 12 x 2 − x − 4 c) lim 3 x →−4 x + 7 x 2 + 14 x + 8 a) lim
d) lim
x →5
x 3 − 9 x 2 + 15 x + 25 x 3 − 5 x 2 + 2 x − 10
2 x 2 − 11x + 14 x →2 4 x 2 − 16 x + 16 x3 + x2 − x −1 f ) lim x →−1 x 3 + 2 x 2 + x e) lim
a) lim ( 2 x − 3 )( x + 3 ) → 0 x →−3 ( x + 1)( x + 3 ) 0 lim
x →−3
b) lim
x →2
lim
x →2
2 x 2 − 9 x + 10 0 → 2 3x − 7 x + 2 0 2x − 5 1 2 x 2 − 9 x + 10 ( x − 2 )( 2 x − 5 ) = lim =− = lim 2 x → 2 ( x − 2 )( 3 x − 1) x → 2 3x − 1 5 3 x − 7x + 2
c) lim
x →−4
lim
9 ( 2 x − 3 )( x + 3 ) 2x − 3 = = lim x → − 3 2 ( x + 1)( x + 3 ) x +1
3 x 3 + 12 x 2 − x − 4 0 → 3 2 x + 7 x + 14 x + 8 0 3 x 3 + 12 x 2 − x − 4
x →−4
x + 7 x + 14 x + 8 3
2
= lim
x → −4
= lim
x → −4
d) lim
x →5
lim
x →5
444
( x + 4 )( 3 x 2 − 1) ( x + 4 )( x 2 + 3 x + 2 )
=
47 3x 2 − 1 = 2 6 x + 3x + 2
x 3 − 9 x 2 + 15x + 25 0 → 3 2 x − 5x + 2 x − 10 0 x 3 − 9 x 2 + 15 x + 25 x 3 − 5x 2 + 2 x − 10
= lim
x →5
( x − 5 )(( x 2 − 4 x − 5 ) ( x − 5 )( x 2 + 2 )
= lim
x →5
x2 − 4x − 5 x2 + 2
=0
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 445
SOLUCIONARI
e) lim
x →2
lim
x →2
10
2 x 2 − 11 x + 14 0 → 2 4 x − 16 x + 16 0 2x − 7 3 2 x 2 − 11 x + 14 ( x − 2 )( 2 x − 7 ) →− = lim = lim x → 2 ( x − 2 )( 4 x − 8 ) x →2 4 x − 8 0 4 x 2 − 16 x + 16
lim−
x →2
2 x 2 − 11 x + 14 = +⬁ 4 x 2 − 16 x + 16
lim+
x →2
2 x 2 − 11x + 14 = −⬁ 4 x 2 − 16 x + 16
x3 + x2 − x −1 0 → x →−1 x 3 + 2 x 2 + x 0
f ) lim
x −1 x3 + x2 − x −1 ( x + 1)2 ( x − 1) = lim =2 = lim 3 2 x →−1 x + 2 x + x x →−1 x →−1 x ( x + 1)2 x lim
061
Donada la funció:
f(x) =
2 x 2 + 3x − 2 x2 − 4
determina els límits següents: a) lim f ( x ) x →+⬁
a)
b) lim f ( x )
c) lim f ( x )
x →1
x →−⬁
d) lim f ( x ) x →−2
lim f ( x ) = 2
x →+ ⬁
b) lim f ( x ) = −1 x →1
c)
lim f ( x ) = 2
x → −⬁
0 0 2x − 1 5 2 x 2 + 3x − 2 ( x + 2 )( 2 x − 1) = lim = = lim lim 2 x →−2 x →−2 ( x + 2 )(( x − 2 ) x →−2 x − 2 4 x −4
d) lim f ( x ) → x →−2
062
Troba el límit de la funció quan x tendeix a 0 i quan x tendeix a 3. x4 x − 3x 2 Especifica el valor dels límits laterals, si cal. f (x) =
lim
0 x4 → 3 2 0 x − 3x
lim
81 x4 → 0 x − 3x 2
x →0
x →3
3
lim
x →0
x4 x2 = =0 lim x →0 x − 3 x 3 − 3x 2
3
⎫ x4 ⎪ = −⬁ ⎪ ⎪ 3 2 ⎪ x →3 x − 3x x4 ⎪ . ⎬ → No existeix lim 3 4 x →3 x − 3 x 2 ⎪ x ⎪ lim 3 = + ⬁⎪ 2 ⎪ x → 3+ x − 3 x ⎪ ⎭ lim−
445
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 446
Límit d’una funció. Continuïtat 063
Determina el límit i comprova’n el resultat amb la calculadora: ⎞ ⎛ 3x 2 − 4 x lim ⎜⎜⎜ − 3 x ⎟⎟⎟ ⎟⎠ x →+⬁ ⎝ x+2 ⎛ 3x 2 − 4 x ⎞ lim ⎜⎜⎜ − 3 x ⎟⎟⎟ → ⬁ − ⬁ ⎟⎠ x→+⬁ ⎝ x+2 ⎛ 3x 2 − 4 x ⎞ −10 x lim ⎜⎜⎜ = −10 − 3x ⎟⎟⎟ = lim ⎟⎠ x → + ⬁ x + 2 x→+⬁ ⎝ x+2
064
Observa les taules de valors de la funció: f (x) =
4 x 2 − 5x 2x2 + 7
x
1
10
100
1.000
10.000
f (x)
−0,11
1,69
1,974
1,9975
1,99975
x
−1 1
−10 2,17
−100 2,024
−1.000 2,0025
−10.000 2,00025
f (x)
És cert que y = 2 és una asímptota? Quan x tendeix a + ⬁, la funció està per sobre o per sota de l’asímptota? Què passa quan x tendeix a −⬁? Sí, és cert que y = 2 és una asímptota horitzontal. Quan x tendeix a +⬁, la funció està per sota de l’asímptota. Quan x tendeix a −⬁, la funció està per sobre de l’asímptota. 065
3 − 2x té cap asímptota horitzontal i situa la funció x +1 respecte d’aquesta asímptota. Determina si la funció y =
lim
x → +⬁
3 − 2x = −2 → La funció té una asímptota horitzontal: y = −2. x +1
Si x = 1.000, f (x) > −2, i quan x tendeix a +⬁ la funció està per sobre de l’asímptota. Si x = −1.000, f (x) < −2, i quan x tendeix a −⬁ la funció està per sota de l’asímptota. 066
Fixa’t en les taules de valors d’aquesta funció: f (x) =
446
3x + 1 x −3
x
2
2,5
2,9
2,99
2,999
2,9999
f (x)
−7
−17
−97
−997
−9.997
−99.997
x
3,0001
3,001
3,01
3,1
3,5
f (x)
100.003
10.003
1.003
103
23
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 447
SOLUCIONARI
10
És cert que x = 3 és una asímptota vertical? Quan x tendeix a 3 per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix + ⬁ o −⬁? Què passa quan x tendeix a 3 per la dreta? Sí, és cert que x = 3 és una asímptota vertical. Quan x tendeix a 3 per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a −⬁. Quan x tendeix a 3 per la dreta, la branca infinita de la funció tendeix a +⬁. 067
1 té cap asímptota vertical x − 3x − 4 i estudia les branques infinites pròximes a aquestes asímptotes. Determina si la funció y =
2
Dom f = ⺢ − {−1, 4} 1 1 lim → x →−1 x 2 − 3 x − 4 0 ⎫ 1 ⎪ = + ⬁⎪ ⎪ x →−1 x − 3 x − 4 ⎪ ⎪⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = −1. ⎪ 1 lim+ 2 = −⬁⎪ ⎪ ⎪ x →−1 x − 3 x − 4 ⎪ ⎭ Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a +⬁, i per la dreta, a −⬁. lim−
lim
x→4
2
1 1 → x − 3x − 4 0 2
⎫ 1 ⎪ = −⬁ ⎪ ⎪ x → 4 x − 3x − 4 ⎪ ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = 4. ⎪ 1 ⎪ = + ⬁⎪ lim 2 ⎪ x → 4+ x − 3 x − 4 ⎪ ⎭ Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a −⬁, i per la dreta, a +⬁. lim−
068
2
Observa la taula de valors d’aquesta funció: 4x 2 + 6x f (x) = 2x − 3 x
10
100
1.000
10.000
f (x)
27,06
206,09
2.006,009
20.006,0009
Aquesta és la taula de valors de la recta y = 2x + 6. x
10
100
1.000
10.000
y = 2x + 3
26
206
2.006
20.006
És cert que la recta és una asímptota de l’altra funció? Quina posició tenen quan x tendeix a + ⬁? Investiga la posició relativa de totes dues quan x tendeix a −⬁. Sí, és cert que y = 2x + 3 és una asímptota obliqua. Quan x tendeix a +⬁, la funció està per sobre de l’asímptota. Si x = −1.000, f (x) − 2x − 3 > 0, i quan x tendeix a −⬁, la funció està per sobre de l’asímptota.
447
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 448
Límit d’una funció. Continuïtat 069
Comprova si la recta y = x + 3 és una asímptota obliqua de la funció y = En cas afirmatiu, determina la posició que ocupa l’una respecte de l’altra.
x 2 + 5x . x +2
⎫ f ( x) x 2 + 5x ⎪ ⎪ = lim 2 =1 ⎪ x → +⬁ x x → +⬁ x + 2 x ⎪ ⎪ → La funció té una asímptota ⎬ ⎛ x 2 + 5xx ⎞⎟ ⎪ 3x obliqua: y = x + 3. − x ⎟⎟ = lim lim ⎜⎜⎜ = 3⎪ ⎪ ⎪ ⎟⎠ x → + ⬁ x + 2 x → + ⬁⎝ x + 2 ⎭⎪ lim
Si x = 1.000, f (x) − x − 3 < 0, i quan x tendeix a +⬁, la funció està per sota de l’asímptota. Si x = −1.000, f (x) − x − 3 > 0, i quan x tendeix a −⬁, la funció està per sobre de l’asímptota. 070
Calcula les asímptotes obliqües de les funcions i la posició relativa respecte de les funcions: 2x2 + 4 2x2 + 4 a) f ( x ) = b) f ( x ) = 2+ x x −1 ⎫ f ( x) 2x 2 + 4 ⎪ ⎪ = lim =2 ⎪ x → +⬁ x x → +⬁ x 2 − x ⎪ ⎪ a) ⎬ → La funció té una asímptota ⎛ 2x2 + 4 ⎞⎟ ⎪ 4 + 2x ⎜ obliqua: y = 2x + 2. − 2 x ⎟⎟ = lim = 2⎪ lim ⎜⎜ ⎪ ⎪ ⎟⎠ x → + ⬁ x − 1 x → + ⬁⎝ x −1 ⎪ ⎭ lim
Si x = 1.000, f (x) − 2x − 2 > 0, i quan x tendeix a +⬁, la funció està per sobre de l’asímptota. Si x = −1.000, f (x) − 2x − 2 < 0, i quan x tendeix a −⬁, la funció està per sota de l’asímptota. ⎫ f ( x) 2x 2 + 4 ⎪ ⎪ = lim =2 ⎪⎪ x → +⬁ x x → +⬁ 2x + x 2 ⎪ b) ⎬ → La funció té una asímptota ⎛ 2x2 + 4 ⎞⎟ ⎪ x 4 − 4 obliqua: y = 2x − 4. lim ⎜⎜⎜ − 2 x ⎟⎟ = lim = −4⎪ ⎪ ⎪ ⎟⎠ x → + ⬁ x − 1 x → + ⬁⎝ 2 + x ⎪ ⎭ lim
Si x = 1.000, f (x) − 2x + 4 > 0, i quan x tendeix a +⬁, la funció està per sobre de l’asímptota. Si x = −1.000, f (x) − 2x + 4 < 0, i quan x tendeix a a −⬁, la funció està per sota de l’asímptota. 071
Determina totes les asímptotes de les funcions i situa-hi les branques infinites: a) f ( x ) =
2 − 6x x +3
d) f ( x ) =
3 x −1
b) f ( x ) =
3x 2 + 2 x x +1
e) f ( x ) =
x3 x 2 − 5x + 6
f ) f (x) =
x x + x +1
c) f ( x ) =
448
4x 3 x −5
2
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 449
SOLUCIONARI
a) lim
x →−3
10
2 − 6x 20 → x+3 0
⎫ ⎪ 2 − 6x = −⬁ ⎪ ⎪ ⎪ x+3 ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = −3. ⎪ 2 − 6x lim = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ x →−3+ x + 3 ⎪ ⎭ Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a −⬁, i per la dreta, a +⬁. lim
x →−3−
lim
x→+⬁
2 − 6x = −6 → La funció té una asímptota horitzontal: y = −6. x+3
Si x = 1.000, f (x) > −6, i quan x tendeix a +⬁, la funció està per sobre de l’asímptota. Si x = −1.000 → f (x) < −6, i quan x tendeix a −⬁, la funció està per sota de l’asímptota. Com que té una asímptota horitzontal, la funció no té asímptota obliqua. 3x 2 + 2 x 1 → x →−1 x +1 0
b) lim
⎫ ⎪ 3x 2 + 2 x = −⬁ ⎪ ⎪ ⎪ x →−1 x +1 ⎪ → La funció té una asímptota vertical a x = −1. ⎬ 2 ⎪ 3x + 2 x lim + = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ x →−1 x +1 ⎪ ⎭ Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a −⬁, i per la dreta, a +⬁. 3x 2 + 2 x lim = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. x → +⬁ x +1 ⎫ f(x) 3x 2 + 2 x ⎪ ⎪ =3 lim = lim ⎪ 2 x → +⬁ x → +⬁ ⎪⎪ x +x x ⎬ → La funció té una asímptota ⎛ 3x 2 + 2 x ⎞⎟ ⎪ −x ⎜ obliqua: y = 3x −1. ⎟ = −1⎪ − 3 x ⎟ = lim lim ⎜ ⎪ ⎪ ⎟ x → + ⬁⎜ x → + ⬁ ⎝ x +1 ⎠ x +1 ⎪ ⎭ Si x = 1.000, f (x) − 3x + 1 > 0, i quan x tendeix a +⬁, la funció està per sobre de l’asímptota. Si x = −1.000, f (x) − 3x + 1 < 0, i quan x tendeix a −⬁, la funció està per sota de l’asímptota. lim −
4x3 500 → x →5 x − 5 0 3 ⎫ ⎪ 4x = −⬁ ⎪ lim− ⎪ ⎪ x →5 x − 5 ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = 5. 3 ⎪ 4x = + ⬁⎪⎪ lim+ ⎪ x →5 x − 5 ⎪⎭ Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a −⬁, i per la dreta, a +⬁.
c) lim
lim
4x3 = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. x −5
lim
4x3 = + ⬁ → La funció no té asímptota obliqua. x 2 − 5x
x → +⬁
x → +⬁
449
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 450
Límit d’una funció. Continuïtat d) lim
x →1
3 3 → x −1 0
⎫ ⎪ 3 = −⬁ ⎪ ⎪ ⎪ x −1 ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = 1. ⎪ 3 lim = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ x →1+ x − 1 ⎪ ⎭ lim
x →1−
Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a −⬁, i per la dreta, a +⬁. lim
x → +⬁
3 = 0 → La funció té una asímptota horitzontal: y = 0. x −1
Si x = 1.000, f (x) > 0, i quan x tendeix a +⬁, la funció està per sobre de l’asímptota. Si x = −1.000, f (x) < 0, i quan x tendeix a −⬁, la funció està per sota de l’asímptota. Com que té una asímptota horitzontal, la funció no té asímptota obliqua. e) lim
x →2
8 x3 → 2 0 x − 5x + 6
⎫ ⎪ x3 ⎪ = + ⬁ ⎪ 2 ⎪ x → 2 x − 5x + 6 ⎪⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = 2. ⎪ x3 = −⬁⎪ lim+ 2 ⎪ ⎪ x → 2 x − 5x + 6 ⎪ ⎭ lim−
Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a +⬁, i per la dreta, a −⬁. lim
x →3
27 x3 → 0 x − 5x + 6 2
⎫ ⎪ x3 = −⬁ ⎪ ⎪ ⎪ x → 3 x − 5x + 6 ⎪⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = 3. ⎪ x3 = + ⬁⎪ lim+ 2 ⎪ ⎪ x → 3 x − 5x + 6 ⎪ ⎭ lim−
2
Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a −⬁, i per la dreta, a +⬁. lim
x → +⬁
x3 = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. x 2 − 5x + 6
⎫ ⎪ x3 ⎪ = 1 ⎪ ⎪ x → +⬁ x x → + ⬁ x 3 − 5x 2 + 6x ⎪ → La funció té una ⎬ 3 2 ⎛ ⎞⎟ ⎪ x 5 x − 6 x ⎜ asímptota obliqua: − x ⎟⎟ = lim 2 = 5⎪ lim ⎜ 2 ⎪ ⎪ ⎟ x → + ⬁⎜ x → + ⬁ x − 5x + 6 ⎝ x − 5x + 6 ⎠ ⎪ ⎭ y = x + 5. lim
f ( x)
= lim
Si x = 1.000, f (x) − x − 5 > 0, i quan x tendeix a +⬁, la funció està per sobre de l’asímptota. Si x = −1.000, f (x) − x − 5 < 0, i quan x tendeix a −⬁, la funció està per sota de l’asímptota.
450
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 451
SOLUCIONARI
10
f ) Dom f = ⺢ → La funció no té asímptota vertical. lim
x → +⬁
x = 0 → La funció té una asímptota horitzontal: y = 0. x + x +1 2
Si x = 1.000, f (x) > 0, i quan x tendeix a +⬁, la funció està per sobre de l’asímptota. Si x = −1.000, f (x) < 0, i quan x tendeix a −⬁, la funció està per sota de l’asímptota. Com que té una asímptota horitzontal, la funció no té asímptota obliqua.
072
Determina totes les branques infinites i les asímptotes de les funcions, i també la posició que tenen entre si: a) f ( x ) = b) f ( x ) = c) f ( x ) = d) f ( x ) =
x 3 − 7x + 1 2 x 2 − 5x 3 x 3 − 7x + 1 2x2 − 8 x 3 − 7x + 1 2x2 + 8 x 3 − 7x + 1 2x + 8
⎧ 2⎪ ⎫ ⎪ a) Dom f = ⺢ − ⎪ ⎨0 , ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 5⎪ ⎭ lim
x →0
x 3 − 7x + 1 1 → 2 3 2 x − 5x 0
⎫ ⎪ x 3 − 7x + 1 ⎪ = + ⬁ ⎪ 2 3 ⎪ x →0 2x − 5x ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = 0. 3 ⎪ x − 7x + 1 ⎪ lim+ = + ⎪ ⬁ ⎪ x →0 2 x 2 − 5x 3 ⎪ ⎭ lim−
Les dues branques infinites de la funció tendeixen a +⬁. lim x→
2 5
x 3 − 7x + 1 −1, 736 → 2 3 2 x − 5x 0
⎫ ⎪ x 3 − 7x + 1 = −⬁ ⎪ ⎪ 2 3 ⎪ 2 2 x − 5x ⎪ x→ ⎪ 2 5 ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = . 3 ⎪ x − 7x + 1 5 = + ⬁⎪ lim+ ⎪ 3 2 ⎪ 2 5 2 x − x ⎪ x→ ⎪ 5 ⎪ ⎭ lim−
Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a −⬁, i per la dreta tendeix a +⬁.
451
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 452
Límit d’una funció. Continuïtat lim
x → +⬁
x 3 − 7x + 1 1 1 = − → La funció té una asímptota horitzontal: y = − . 2 3 2 x − 5x 5 5
1 Si x = 1.000, f ( x ) < − , i quan x tendeix a +⬁, la funció està 5 per sota de l’asímptota. 1 Si x = −1.000, f ( x ) > − , i quan x tendeix a −⬁, la funció 5 està per sobre de l’asímptota. Com que té una asímptota horitzontal, la funció no té asímptota obliqua. b) Dom f = ⺢ − {−2, 2} x 3 − 7x + 1 7 → 2 2x − 8 0
lim
x →−2
⎫ ⎪ x 3 − 7x + 1 = + ⬁⎪ ⎪ 2 ⎪ x →−2 2x − 8 ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = −2. 3 ⎪ x − 7x + 1 lim + = −⬁⎪ ⎪ 2 ⎪ x →−2 2x − 8 ⎪ ⎭ lim −
Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a +⬁, i per la dreta, tendeix a −⬁. lim x →2
x 3 − 7x + 1 −5 → 2 2x − 8 0
⎫ ⎪ x 3 − 7x + 1 = + ⬁⎪ ⎪ 2 ⎪ x →2 2x − 8 ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = 2. 3 ⎪ x − 7x + 1 = − lim+ ⬁ ⎪⎪⎪ 2 x →2 2x − 8 ⎪ ⎭ lim−
Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a +⬁, i per la dreta, tendeix a −⬁. lim
x → +⬁
x 3 − 7x + 1 = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. 2x 2 − 8
⎫ ⎪ f ( x) x 3 − 7x + 1 La funció té 1 ⎪ = lim = ⎪ ⎪ x → +⬁ x x → + ⬁ 2x 3 − 8 x 2 ⎪ → una asímptota obliqua: ⎬ 1 3 ⎛ x − 7 x + 1 1 ⎞⎟ ⎪ −3 x + 1 y = x. ⎜ ⎪ ⎟ lim lim ⎜⎜ = 0 − x = ⎪ ⎟ 2 ⎪ x → + ⬁⎝ 2x 2 − 8 2 ⎟⎠ x → + ⬁ 2 x 2 − 8 ⎪ ⎭ lim
1 x < 0 , i quan x tendeix a +⬁, la funció està 2 per sota de l’asímptota. 1 Si x = −1.000, f ( x ) − x > 0 , i quan x tendeix a −⬁, la funció 2 està per sobre de l’asímptota. Si x = 1.000, f ( x ) −
452
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 453
SOLUCIONARI
10
c) Dom f = ⺢ → La funció no té asímptota vertical. x 3 − 7x + 1 = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. x → +⬁ 2x2 + 8 ⎫ f ( x) ⎪ 1 x 3 − 7x + 1 ⎪ La funció té una lim = lim = ⎪ ⎪ x → +⬁ x x → +⬁ 2 x 3 + 8 x 2 ⎪ → asímptota obliqua: ⎬ ⎛ x 3 − 7x + 1 1 ⎞⎟ ⎪ 1 −11x + 1 ⎪ ⎟ y = x. = 0 lim − x = lim ⎜⎜⎜ ⎪ ⎟ 2 2 ⎪ x → + ⬁⎝ 2x + 8 2 ⎟⎠ x → + ⬁ 2 x + 8 2 ⎪ ⎭ lim
1 x < 0 , i quan x tendeix a +⬁, la funció està 2 per sota de l’asímptota. 1 Si x = −1.000, f ( x ) − x > 0 , i quan x tendeix a −⬁, la funció 2 està per sobre de l’asímptota. Si x = 1.000, f ( x ) −
d) Dom f = ⺢ − {−4} x 3 − 7x + 1 −35 lim → x →−4 2x + 8 0 3 ⎫ ⎪ x − 7x + 1 = + ⬁⎪ lim − ⎪ ⎪ x →−4 2x + 8 ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = −4. 3 ⎪ x − 7x + 1 = −⬁⎪ lim + ⎪ ⎪ x →−4 2x + 8 ⎪ ⎭ Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a +⬁, i per la dreta, tendeix a −⬁. lim
x → +⬁
lim
x → +⬁
073
x 3 − 7x + 1 = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. 2x + 8 f ( x) x
= lim
x → +⬁
x 3 − 7x + 1 = + ⬁ → La funció no té asímptota obliqua. 2x 2 + 8x
Troba les asímptotes d’aquestes funcions i la posició de les branques infinites: a) f ( x ) =
x 3 − 6x 2 + 12 x − 8 x +3
d) f ( x ) =
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 x2 − 4
b) f ( x ) =
x 3 − 6 x 2 + 12 − 8 x2 + x −6
e) f ( x ) =
x 3 − 6x 2 + 12 x − 8 ( x − 2 )2
c) f ( x ) =
x 3 − 6x 2 + 12 x − 8 x −2
f ) f (x) =
x 3 − 6x 2 + 12 x − 8 x2 + 4
a) Dom f = ⺢ − {−3} x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 −125 lim → x →−3 x+3 0 ⎫ ⎪ x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 La funció té una asímptota vertical a = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ x →−3 x+3 x = −3. Per l’esquerra, la branca ⎪ ⎬→ 3 2 infinita de la funció tendeix a +⬁, ⎪ x − 6 x + 12 x − 8 lim+ = −⬁⎪ ⎪ i per la dreta, tendeix a −⬁. ⎪ x →−3 x+3 ⎪ ⎭ 3 2 x − 6 x + 12 x − 8 = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. lim x → +⬁ x+3 lim −
453
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 454
Límit d’una funció. Continuïtat f ( x)
lim
x obliqua. x → +⬁
= lim
x → +⬁
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = + ⬁ → La funció no té asímptota x 2 + 3x
b) Dom f = ⺢ − {−3, 2} x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 −125 → 2 x + x −6 0
lim
x →−3
⎫ ⎪ x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = −⬁ ⎪ ⎪ 2 ⎪ x →−3 x + x −6 ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a 3 2 ⎪ x − 6 x + 12 x − 8 lim+ = + ⬁⎪⎪⎪ 2 x →−3 x + x−6 ⎪ ⎭ x = −3. Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a −⬁, i per la dreta, tendeix a +⬁. lim −
lim
x →2
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 0 → 2 x + x −6 0
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 ( x − 2 )( x 2 − 4 x + 4 ) = lim =0 2 x →2 x →2 ( x − 2 )( x + 3 ) x + x −6 → La funció no té asímptota vertical a x = 2.
lim
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. x → +⬁ x2 + x − 6 ⎫ f ( x) ⎪ x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 ⎪ lim = lim =1 ⎪ 3 2 ⎪ x → +⬁ x x → +⬁ x + x − 6x ⎪ ⎬ 2 ⎛ x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 ⎞⎟ ⎪ − 7 x + 18 x − 8 ⎪ ⎟ lim ⎜⎜⎜ lim − x = = − 7 ⎪ ⎟ 2 2 ⎪ ⎟⎠ x → + ⬁ x → + ⬁⎝ x + x −6 x + x −6 ⎪ ⎭ → La funció té una asímptota obliqua: y = x − 7. lim
Si x = 1.000, f (x) − x + 7 > 0, i quan x tendeix a +⬁, la funció està per sobre de l’asímptota. Si x = −1.000, f (x) − x + 7 < 0, i quan x tendeix a −⬁, la funció està per sota de l’asímptota. c) Dom f = ⺢ − {2} lim
x →2
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 0 → x −2 0
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 ( x − 2 )( x 2 − 4 x + 4 ) = 0 → La funció = lim x →2 x →2 x −2 x −2 no té asímptota vertical a x = 2.
lim
lim
x → +⬁
lim
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. x −2 f ( x)
x → +⬁ x obliqua.
= lim
x → +⬁
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = + ⬁ → La funció no té asímptota x2 − 2x
d) Dom f = ⺢ − {−2, 2}
454
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 455
SOLUCIONARI
10
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 −64 → 2 x →−2 x −4 0 3 2 ⎫ ⎪ x − 6 x + 12 x − 8 lim − = −⬁ ⎪ ⎪ 2 ⎪ x →−2 x −4 ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a 3 2 ⎪ x − 6 x + 12 x − 8 lim + = + ⬁⎪ ⎪ 2 ⎪ x →−2 x −4 ⎪ ⎭ lim
x = −2. Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a −⬁, i per la dreta, tendeix a +⬁. lim
x →2
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 0 → x2 − 4 0
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 ( x − 2 )( x 2 − 4 x + 4 ) = 0 → La funció = lim x →2 x →2 ( x − 2 ) ( x + 2) x2 − 4 no té asímptota vertical a x = 2.
lim
lim
x → +⬁
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. x2 − 4
⎫ f ( x) ⎪ x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 ⎪ = lim =1 ⎪ 3 x → +⬁ x x → +⬁ ⎪ 4 x − x ⎪ ⎬ 2 3 2 ⎛ x − 6 x + 12 x − 8 ⎞⎟ ⎪ 6 x 16 x 8 + − − ⎪ ⎟ lim ⎜⎜⎜ − x lim = − 6 = ⎪ ⎟⎟ x → + ⬁ 2 2 ⎪ x → + ⬁⎝ x −4 x −4 ⎠ ⎪ ⎭ lim
→ La funció té una asímptota obliqua: y = x − 6.
Si x = 1.000, f (x) − x + 6 > 0, i quan x tendeix a +⬁, la funció està per sobre de l’asímptota. Si x = −1.000, f (x) − x + 6 < 0, i quan x tendeix a −⬁, la funció està per sota de l’asímptota. e) Dom f = ⺢ − {2} x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 0 lim → 2 x →2 ( x − 2) 0 x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 ( x − 2)3 = lim = 0 → La funció no té asímptota 2 x →2 x →2 ( x − 2 ) 2 ( x − 2) vertical a x = 2.
lim
lim
x → +⬁
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. ( x − 2)2
⎫ f ( x) ⎪ x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 ⎪ = lim =1 ⎪ 3 2 ⎪ x → +⬁ x x → +⬁ x − 4x + 4x ⎪ → La funció ⎬ 2 3 2 ⎛ x − 6 x + 12 x − 8 ⎞⎟ ⎪ − x + x − 8 2 8 ⎜ − x ⎟⎟ = lim = −2⎪ lim ⎜ ⎪ 2 2 ⎪ ⎟ x → + ⬁⎜ x → + ⬁ x − 4x + 4 x − 4x + 4 ⎝ ⎠ ⎪ ⎭ lim
té una asímptota obliqua: y = x − 2.
f (x) − x + 2 = 0 → L’expressió de la funció coincideix amb l’equació de l’asímptota, excepte a x = 2. f ) Dom f = ⺢ → La funció no té asímptota vertical.
455
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 456
Límit d’una funció. Continuïtat x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. x → +⬁ x2 + 4 ⎫ f ( x) ⎪ x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 ⎪ lim = lim =1 ⎪ 3 ⎪ x → +⬁ x x → +⬁ x + 4x ⎪ ⎬ 2 3 2 ⎛ x − 6 x + 12 x − 8 ⎞⎟ ⎪ 6 x + 8 x − 8 − ⎜ ⎟ = −6⎪ lim ⎜ − x ⎟ = lim ⎪ 2 2 ⎪ ⎟ x → + ⬁⎜ x → + ⬁ x +4 x +4 ⎝ ⎠ ⎪ ⎭ → La funció té una asímptota obliqua: y = x − 6. Si x = 1.000, f (x) − x + 6 > 0, i quan x tendeix a +⬁, la funció està per sobre de l’asímptota. Si x = −1.000, f (x) − x + 6 < 0, i quan x tendeix a −⬁, la funció està per sota de l’asímptota. lim
074
Troba les branques infinites i les asímptotes d’aquestes funcions: a) y = x 2 + 5x − 1 b) y = 2 x − 1 c) y = log x
d) y = tg x
a) Dom f = ⺢ → La funció no té asímptota vertical. lim ( x 2 + 5x − 1) = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. x → +⬁
lim
x → +⬁
f ( x) x
= lim
x → +⬁
x 2 + 5x − 1 = + ⬁ → La funció no té asímptota obliqua. x
b) Dom f = ⺢ → La funció no té asímptota vertical. lim ( 2 x − 1) = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal. x → +⬁
lim
x → +⬁
2x − 1 f ( x) = lim = + ⬁ → La funció no té asímptota obliqua. x → +⬁ x x
c) Dom f = (0, +⬁) lim+ log x = − ⬁ → La funció té una asímptota vertical a x = 0. x →0
La branca infinita de la funció tendeix a −⬁. lim log x = + ⬁ → La funció no té asímptota horitzontal.
x → +⬁
lim
x → +⬁
log x f ( x) = lim = 0 → La funció no té asímptota obliqua. x → +⬁ x x
⎫ ⎧ ⎪ ⎪π d) Dom f = ⺢ −⎨ + k π , k ∈ ⺪⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪2 ⎭ ⎩ 1 lim tg x → π 0 x→ 2
lim− tg x = + ⬁⎫ ⎪ ⎪ π ⎪ ⎪ π 2 ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = . lim+ tg x = − ⬁ ⎪ 2 ⎪ π ⎪ x→ ⎪ 2 ⎪ ⎭ Per l’esquerra, la branca infinita de la funció tendeix a +⬁, i per la dreta, a −⬁. Com que és una funció periòdica, de període π, tots els punts que no pertanyen al domini són asímptotes del mateix tipus. Per tant, la funció no té asímptotes horitzontals ni obliqües. x→
456
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 457
SOLUCIONARI
075
10
Troba les asímptotes de les funcions següents: 2x 2 x − 3⏐ a) y = ⏐ b) y = x 4 − x2 ⎧ 2x − 3 ⎪ ⎪ ⎪ x ⎪ a) f ( x ) = ⎪ ⎨ ⎪ −2 x + 3 ⎪ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎩
3 2 3 si x < 2 si x ≥
Dom f = ⺢ − {0} −2 x + 3 3 lim → x →0 x 0 ⎫⎪ −2 x + 3 = − ⬁ ⎪⎪ x →0 ⎪⎪ x ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = 0. ⎪ −2 x + 3 = + ⬁⎪⎪⎪ lim+ x →0 x ⎭⎪ Per l’esquerra la branca infinita de la funció tendeix a −⬁, i per la dreta, a +⬁. lim−
2x − 3 = 2 → La funció té una asímptota horitzontal: y = 2. x → +⬁ x Si x = 1.000, f (x) < 2, i quan x tendeix a +⬁, la funció està per sota de l’asímptota. lim
−2x + 3 = −2 → La funció té una asímptota horitzontal: y = −2. x Si x = −1.000, f (x) < −2, i quan x tendeix a −⬁, la funció està per sota de l’asímptota. Com que té asímptotes horitzontals, la funció no té asímptotes obliqües. lim
x → +⬁
b) Dom f = (−2, 2) 2x lim = −⬁ → La funció té una asímptota vertical a x = −2. x →−2+ 4 − x2 La branca infinita de la funció tendeix a −⬁. 2x lim = + ⬁ → La funció té una asímptota vertical a x = 2. − x →2 4 − x2 La branca infinita de la funció tendeix a +⬁. Si considerem el domini de la funció, no tenen sentit els límits a l’infinit, i la funció no té asímptotes horitzontals ni obliqües. 076
Fixa’t en la gràfica de la funció i determina aquests límits: lim− f ( x )
x →0
lim f ( x )
x →2−
lim+ f ( x )
lim f ( x )
lim f ( x )
lim f ( x )
x →0
x →3
Y f (x)
x →0
1
x →2
1
X
Estudia la continuïtat de la funció f (x).
457
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 458
Límit d’una funció. Continuïtat x →0−
lim f ( x ) = 2
x →0+
lim f ( x ) = 2
lim f ( x ) = 2
lim f ( x ) = 3
lim f ( x ) = 3,5
lim f ( x ) = 3
x →2−
x →0
x →3
x →2
La funció és contínua, excepte a x = 2, perquè no existeix f(2).
077
Completa la taula per a aquesta funció: f (x) =
x2 − 2x − 3 x −3
Comprova que el límit, quan x tendeix a 3, és: lim f ( x ) = 4 x →3
Quant val f (3)? Fes una representació de la funció. Quina diferència hi ha entre les gràfiques de f (x) i de y = x + 1? x
2,5
2,9
2,999
3,001
3,01
3,1
3,5
f(x)
3,5
3,9
3,999
4,001
4,01
4,1
4,5
No existeix f(3). Y 4
3
X
La gràfica de f(x) coincideix amb la gràfica de la recta y = x + 1, excepte en el punt x = 3.
078
Dibuixa una funció que sigui contínua, excepte a x = −1, que tingui un salt infinit i que tingui un salt finit a x = 3. Resposta oberta. Y
2
3
458
X
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 459
SOLUCIONARI
079
10
Dibuixa una funció que tingui com a domini [0, + ⬁), i que presenti un punt de discontinuïtat evitable a x = 4. Resposta oberta. Y
1 1
080
4
X
Determina els punts de discontinuïtat de les funcions següents: x +2 x − 7x + 12
a) y =
1 x +3
e) y =
b) y =
2
x +2 x − x + 12
f) y =
x −5
c) y =
4+x
g) y =
x2 − 2x − 8
d) y =
4 − 3x − x 2
h) y =
x2 − 2x + 8
2
a) Dom f = ⺢ − {−3} 1 x lim → x → −3 x + 3 0 ⎫ ⎪ 1 = −⬁ ⎪ ⎪ ⎪ x →−3 x + 3 ⎪ ⎬ → No existeix lim f ( x ), i x = −3 és un punt ⎪ x →−3 1 lim+ = + ⬁⎪ ⎪ de discontinuïtat inevitable de salt infinit. ⎪ x →−3 x + 3 ⎪ ⎭ lim−
b) Dom f = ⺢ → No hi ha punts de discontinuïtat. c) Dom f = [−4, +⬁) → No hi ha punts de discontinuïtat. d) Dom f = [−4, 1] → No hi ha punts de discontinuïtat. e) Dom f = ⺢ − {3, 4} x+2 5 lim 2 → x → 3 x − 7 x + 12 0 ⎪⎫ x+2 = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ x → 3 x − 7 x + 12 ⎪ ⎬ → No existeix lim f ( x ), i x = 3 és un punt ⎪ x →3 x+2 = −⬁⎪ lim+ 2 ⎪ de discontinuïtat inevitable de salt infinit. ⎪ x → 3 x − 7 x + 12 ⎪ ⎭ lim−
2
459
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 460
Límit d’una funció. Continuïtat lim
x→4
x+2 6 → x − 7 x + 12 0 2
⎪⎫ x+2 = −⬁ ⎪ ⎪ ⎪ x − 7 x + 12 ⎪ ⎬ → No existeix lim f ( x ) , i x = 4 és un punt ⎪ x→4 x+2 = + ⬁⎪ lim 2 ⎪ de discontinuïtat inevitable de salt infinit. ⎪ x → 4+ x − 7 x + 12 ⎪ ⎭ lim
x → 4−
2
f ) Dom f = [5, +⬁) → No hi ha punts de discontinuïtat. g) Dom f = (−⬁, −2] ∪ [4, +⬁) → No hi ha punts de discontinuïtat. h) Dom f = ⺢ → No hi ha punts de discontinuïtat. 081
Estudia la continuïtat de les funcions a x = 3. Si presenten discontinuïtat, determina de quin tipus de discontinuïtat es tracta: ⎧x + 3 ⎪ ⎪ ⎪ a) f ( x ) = ⎨6 ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎩x − 2x + 3 ⎧ 12 ⎪ ⎪ ⎪ x −1 b) f ( x ) = ⎪ ⎨ ⎪ 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩x − 2
si x < 3 si x = 3 si x > 3
⎧ 12 ⎪ ⎪ d) f ( x ) = ⎪ ⎨ x −3 ⎪ ⎪ ⎪ x − 15 ⎩
si x < 3
⎧ x +1 ⎪ ⎪ e) f ( x ) = ⎪ ⎨ x −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩−2
si x = 3 si x > 3
⎧ ln ( x − 2 ) ⎪ ⎪ c) f ( x ) = ⎪ ⎨−2 ⎪ ⎪ ⎪⎩ sin ( x − 3 )
si x < 3 si x ≥ 3 si x ≠ 3 si x = 3
si x < 3 si x = 3 si x > 3
a) f (3) = 6 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ → lim f ( x ) = 6 2 x →3 lim+ f ( x ) = lim+ ( x − 2x + 3 ) = 6 ⎪ ⎪ x →3 x →3 ⎪ ⎭ lim f ( x ) = lim− ( x + 3 ) = 6
x → 3−
x →3
Com que f (3) = lim f ( x ), la funció no és contínua a x = 3. x →3
b) f (3) = 6
⎫ ⎪ 12 =6⎪ ⎪ ⎪ x →3 x →3 x − 1 ⎬ → No existeix lim f ( x ), i la funció no és contínua x →3 ⎪ lim+ f ( x ) = lim+ ( x − 2 ) = 1⎪ ⎪ x →3 x →3 ⎪ ⎭ a x = 3. Es tracta d’un punt de discontinuïtat inevitable de salt finit. lim− f ( x ) = lim−
c) f (3) = −2 ⎪ lim f ( x ) = lim− (ln ( x − 2) ) = 0⎫ ⎪ x →3 ⎪ ⎬ → lim f ( x ) = 0 x →3 lim+ f ( x ) = lim+ sin ( x − 3 ) = 0 ⎪ ⎪ x →3 x →3 ⎪ ⎭ x → 3−
Com que f (3) ⫽ lim f ( x ), la funció no és contínua a x = 3. x →3
Es tracta d’un punt de discontinuïtat evitable.
460
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 461
SOLUCIONARI
10
d) f (3) = −12 ⎫ ⎪ 12 = −⬁ ⎪ ⎪ ⎪ x →3 x →3 x − 3 ⎬ → No existeix lim f ( x ), i la funció no és x →3 ⎪ lim+ f ( x ) = lim+ ( x − 15) = −12⎪ ⎪ x →3 x →3 ⎪ ⎭ contínua a x = 3. lim− f ( x ) = lim−
Es tracta d’un punt de discontinuïtat inevitable de salt infinit. e) f (3) = −2 lim f ( x ) = lim x →3
x →3
x +1 =2 x −1
Com que f (3) ⫽ lim f ( x ), la funció no és contínua a x = 3. x →3
Es tracta d’un punt de discontinuïtat evitable. 082
Quin valor ha de prendre a perquè les funcions siguin contínues? ⎧ 3 ⎪ ⎪ ⎪ x +1 a) f ( x ) = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎪a ⎪−2 x − 7 ⎩⎪
⎧ −π ⎪ ⎪ tg ⎪ c) f ( x ) = ⎨ 2x ⎪ ⎪ ⎪log ( ax + 7 ) ⎪ ⎩
si x < −2 si x = −2 si x > −2
⎧ ⎪2 x −1 b) f ( x ) = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ax − 2
si x ≤ −2 si x >−2
si x ≤ −2 si x > −2
a) f (−2) = a ⎫ ⎪ 3 ⎪ = −3 ⎪ ⎪ x +1 ⎬ → ∃ lim f ( x ) = −3 x →−2 ⎪ lim + f ( x ) = lim + ( −2 x − 7 ) = −3 ⎪ ⎪ x →−2 x →−2 ⎪ ⎭ lim f ( x ) = lim −
x →−2−
x →−2
La funció és contínua si f (−2) = lim f ( x ) → a = −3. x →−2
b) f ( −2) = 2−3 =
1 8
⎫ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ x →−2 x →−2 8 ⎬ ⎪ lim + f ( x ) = lim + ( ax − 2 ) = −2 a − 2 ⎪ ⎪ x →−2 x →−2 ⎪ ⎭ 1 17 → ∃ lim f ( x ) si = −2 a − 2 → a = − x →−2 8 16 lim − f ( x ) = lim − 2 x −1 =
c) f (−2) = 1
⎫ −π ⎪ ⎪ =1 ⎪ ⎪ 2x ⎬ ⎪ lim + f ( x ) = lim + log ( ax + 7 ) = log ( −2a + 7 ) ⎪ ⎪ x →−2 x →−2 ⎪ ⎭ 3 → ∃ lim f ( x ) si 1 = log ( −2a + 7 ) → a = − x →−2 2 lim f ( x ) = lim − tg
x →−2−
x →−2
461
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 462
Límit d’una funció. Continuïtat 083
Raona si la funció següent és contínua a x = 3 i a x = 0. ⎧ ⎪ 2x − 1 ⎪ ⎪ y = ⎨ 12 ⎪ +3 ⎪ ⎪ ⎩ x
si x ≥ 3 si x < 3
f (3) = 7 ⎫ ⎪ 12 +3=7⎪ ⎪ ⎪ x ⎬ → ∃ lim f ( x ) x →3 ⎪ x lim+ f ( x ) = lim+ ( 2 − 1) = 7⎪ ⎪ x →3 x →3 ⎪ ⎭ lim f ( x ) = lim−
x → 3−
x →3
Com que f ( 3 ) = lim f ( x ), la funció és contínua a x = 3. x →3
f(0) no existeix. ⎫ ⎛ 12 ⎞ ⎪ lim− f ( x ) = lim− ⎜⎜ + 3⎟⎟⎟ = − ⬁ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ x →0 x →0 ⎝ x ⎠ ⎪→ No existeix lim f ( x ), i la funció ⎬ ⎪ ⎛ 12 ⎞⎟ x →0 lim+ f ( x ) = lim+ ⎜⎜ + 3⎟⎟ = + ⬁⎪ ⎪ no és contínua a x = 0. ⎪ ⎜ x ⎟⎠ x →0 x →0 ⎝ ⎪⎭ Es tracta d’un punt de discontinuïtat inevitable de salt infinit.
084
Estudia la continuïtat en tot el domini de les funcions. Determina els punts de discontinuïtat que presenta cadascuna. a) y = sin (x + π) b) y = ln (x + e) ⎛ π⎞ c) y = tg ⎜⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠ d) y = 2x−3 a) Dom f = ⺢ → No hi ha punts de discontinuïtat. b) Dom f = (−e, +⬁) → No hi ha punts de discontinuïtat. c) Dom f = ⺢ − {π + kπ, k ∈ ⺪} ⎛ lim− tg ⎜⎜⎜ x − ⎝ x →π ⎛ lim+ tg ⎜⎜⎜ x − ⎝ x →π
⎫ ⎪ π ⎞⎟ ⎟⎟ = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ 2⎠ ⎪ ⎬ → No existeix lim f ( x ), i la funció no és contínua x →π ⎪ π ⎞⎟ ⎪ ⎟⎟ = − ⬁ ⎪ x = π. a ⎪ 2⎠ ⎪ ⎭
Es tracta d’un punt de discontinuïtat inevitable de salt infinit. Com que és una funció periòdica, de període π, tots els punts en què falla el domini són punts de discontinuïtat inevitable de salt infinit. d) Dom f = ⺢ → No hi ha punts de discontinuïtat.
462
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 463
SOLUCIONARI
085
10
Investiga si aquestes funcions són contínues: ⎧ log ( x + 7 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 a) f ( x ) = ⎪ ⎨ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x +2 ⎧ ⎪ 3x + 5 ⎪ ⎪ ⎪ 2 b) f ( x ) = ⎪ ⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎪⎪ ⎩⎪ x + 1 ⎧ 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪2− x c) f ( x ) = ⎨ ⎪ 5 ⎪ ⎪ x +1 ⎪ ⎪⎩2 + 1
si x < 3 si x = 3 si x > 3
si x < −1 si x = −1 si x > −1 si x < 1 si x = 1 si x > 1
a) Si x < 3: f (x) = log (x + 7) → Dom f = (−7, 3) → No hi ha punts de discontinuïtat. Si x = 3: f (3) = 1 ⎪ lim f ( x ) = lim− (log ( x + 7 )) = 1⎫ ⎪ x →3 ⎪ ⎪ ⎬ → ∃ lim f ( x ) = 1 5 x →3 ⎪ lim+ f ( x ) = lim+ =1 ⎪ ⎪ x →3 x + 2 x →3 ⎪ ⎭ x → 3−
Com que f ( 3 ) = lim f ( x ), la funció és contínua a x = 3. x →3
5 → Dom f = (3, +⬁) → No hi ha punts x+2 de discontinuïtat. Si x > 3: f ( x ) =
La funció és contínua a (−7, +⬁). b) Si x < −1: f ( x ) =
⎡ 5 ⎞ 3x + 5 → Dom f = ⎢− , − 1⎟⎟⎟ → No hi ha punts ⎟⎠ ⎢ 2 ⎣ 3
de discontinuïtat. Si x = −1: f (−1) = 1 ⎫ No existeix lim f ( x ) , i la funció no és ⎪ 3x + 5 = 1⎪ ⎪ x →−1 ⎪ x →−1 x →−1 2 ⎬ → contínua a x = −1. Es tracta d’un punt de ⎪ lim f ( x ) = lim+ ( x + 1) = 0 ⎪ ⎪ ⎪ x →−1 x →−1+ ⎭ discontinuïtat inevitable de salt finit. lim− f ( x ) = lim−
Si x > −1: f (x) = x + 1 → Dom f = (−1, +⬁) → No hi ha punts de discontinuïtat. ⎡ 5 ⎞ La funció és contínua a ⎢− , − 1⎟⎟⎟ ∪ (−1, +⬁). ⎟⎠ ⎢⎣ 3
463
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 464
Límit d’una funció. Continuïtat 5 → Dom f = (−⬁, 1) → No hi ha punts de discontinuïtat. 2− x Si x = 1: f (1) = 5 ⎫ 5 ⎪ lim f ( x ) = lim− =5 ⎪ ⎪ ⎪ x →1− x →1 2 − x ⎬ → ∃ lim f ( x ) = 5 x →1 ⎪ x +1 lim+ f ( x ) = lim+ ( 2 + 1) = 5⎪ ⎪ x →1 x →1 ⎪ ⎭
c) Si x < 1: f ( x ) =
Com que f ( 1) = lim f ( x ), la funció és contínua a x = 1. x →1
Si x > 1: f (x) = 2
x+1
+ 1 → Dom f = (1, +⬁) → No hi ha punts de discontinuïtat.
La funció és contínua a ⺢.
086
Estudia la continuïtat de la funció següent: ⎧ log ( t + 7 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪2 g(t ) = ⎨ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪⎩ 7 − t
si t < 3 si t = 3 si t > 3
Si presenta punts de discontinuïtat, estudia el límit quan t hi tendeix i determina quins tipus de discontinuïtats són. Si t < 3: g(x) = log (t + 7) → Dom f = (−7, 3) → No hi ha punts de discontinuïtat. Si t = 3: g(3) = 2 ⎫ lim g ( t ) = lim− log ( t + 7 ) = 1 ⎪ ⎪ t →3 ⎪ ⎬ → lim g ( t ) = 1 4 t →3 ⎪ =1 lim+ g ( t ) = lim+ ⎪ ⎪ t →3 7 − t t →3 ⎪ ⎭ t → 3−
Com que g (3 ) = lim g( t ), la funció és contínua a t = 3. t →3
Si t > 3: g ( t ) =
4 → Dom f = (3, +⬁) − {7} 7−t
⎫ 4 ⎪ = +⬁ ⎪ ⎪ ⎪ t →7 t →7 7 − t ⎬ → No existeix lim g( t ) i la funció no és ⎪ t →7 4 lim g ( t ) = lim+ = −⬁ ⎪ ⎪ t = 7. contínua a ⎪ t → 7+ t →7 7 − t ⎪ ⎭ lim− g ( t ) = lim−
Es tracta d’un punt de discontinuïtat inevitable de salt infinit. La funció és contínua a (−7, 7) ∪ (7, +⬁).
087
Estudia la continuïtat d’aquestes funcions: a) y = [x] b) y =
464
x ⏐x⏐
(Part entera de x)
2 c) y = ⏐x − 1⏐
d) y =
1 ⏐x − 1⏐ 2
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 465
SOLUCIONARI
10
a) La funció és contínua excepte en els nombres enters. ⎫ lim f ( x ) = a − 1⎪ ⎪ ⎪ f ( x) . ⎬ → No existeix lim x →a lim+ f ( x ) = a ⎪ ⎪ x →a ⎪ ⎭ Tots els nombres enters són punts de discontinuïtat inevitable de salt finit. Si a ∈ ⺪ →
x → a−
⎧−1 si x < 0 ⎪ b) f ( x ) = ⎨ ⎪ si x > 0 ⎪ ⎩1 No existeix f (0). ⎫ lim f ( x ) = −1⎪ ⎪ x → 0− ⎪ f ( x ), i la funció no és contínua a x = 0. ⎬ → No existeix lim x →0 lim+ f ( x ) = 1 ⎪ ⎪ x →0 ⎪ ⎭ Es tracta d’un punt de discontinuïtat inevitable de salt finit. La funció és contínua a ⺢ − {0}. ⎧ ⎪x2 − 1 si x < −1 o si x > 1 c) f ( x ) = ⎪ ⎨ 2 ⎪ − x + 1 si −1 ≤ x ≤ 1 ⎪ ⎩ Si x = −1: f (−1) = 0 ⎫ lim f ( x ) = lim− ( x 2 − 1) = 0 ⎪ ⎪ x →−1 ⎪ ⎬ → lim f ( x ) = 0 2 x →−1 lim+ f ( x ) = lim+ (− x + 1) = 0 ⎪ ⎪ x →−1 x →−1 ⎪ ⎭ Com que f (−1) = lim f ( x ) , la funció és contínua a x = −1. x →−1−
Si x = 1: f (1) = 0
x →−1
⎫ lim f ( x ) = lim− ( −x 2 + 1) = 0 ⎪ ⎪ x →1 ⎪ ⎬ → lim f ( x ) = 0 x →1 lim+ f ( x ) = lim+ ( x 2 − 1) = 0 ⎪ ⎪ ⎪ x →1 x →1 ⎭ Com que f (1) = lim f ( x ) , la funció és contínua a x = 1. x →1−
x →1
La funció és contínua a ⺢. ⎧ 1 ⎪ ⎪ si x < −1 o si x > 1 ⎪ ⎪ x2 −1 f ( x ) = d) ⎨ ⎪ 1 ⎪ si − 1 < x < 1 ⎪ 2 ⎪ ⎩ −x − 1 No existeix f (−1). ⎫ 1 ⎪ lim− f ( x ) = lim− 2 = +⬁ ⎪ ⎪ x →−1 x →−1 x − 1 ⎪ ⎬ → La funció no és contínua a x = −1. ⎪ 1 = + ⬁⎪ lim+ f ( x ) = lim+ ⎪ 2 ⎪ x →−1 x →−1 − x + 1 ⎪ ⎭ És un punt de discontinuïtat inevitable de salt infinit. No existeix f (1). 1 ⎫ lim f ( x ) = lim− = + ⬁⎪ ⎪ 2 ⎪ x →1− x →1 − x + 1 ⎪ ⎬ → La funció no és contínua a x = −1. ⎪ 1 = +⬁ ⎪ lim+ f ( x ) = lim+ 2 ⎪ ⎪ x →1 x →1 x − 1 ⎪ ⎭ És un punt de discontinuïtat inevitable de salt infinit. La funció és contínua a ⺢ − {−1, 1}.
465
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 466
Límit d’una funció. Continuïtat 088
Y
Observa la gràfica de la funció i determina els límits que s’indiquen: a) lim f ( x ) x →−⬁
1
b) lim f ( x )
f (x)
1
x →+⬁
c) lim f ( x ) x →−2
d) lim f ( x ) x →−1
lim f ( x ) = + ⬁
a)
c) lim f ( x ) no existeix.
x → −⬁
x →−2
b) lim f ( x ) = 0
d) lim f ( x ) no existeix.
x → +⬁
089
x →−1
Calcula els límits indicats a la funció definida a trossos: ⎧ ⎪ x 2 + 5x + 1 h( x ) = ⎪ ⎨ 2 ⎪ ⎪ ⎩3x − 5x + 6 c)
b) lim− h( x )
d) lim h( x )
x →−1
a)
si x ≥ −1
lim h( x )
a) lim h( x ) x →−⬁
si x < −1
x →−1+
x →+⬁
lim h ( x ) = lim ( x 2 + 5 x + 1) = + ⬁
x → −⬁
x → −⬁
b) lim− f ( x ) = lim− ( x 2 + 5x + 1) = −3 x →−1
c)
x →−1
lim h ( x ) = lim+ ( 3 x 2 − 5x + 6 ) = 14
x →−1+
x →−1
d) lim h ( x ) = lim ( 3 x 2 − 5x + 6 ) = + ⬁ x → +⬁
090
x → +⬁
Calcula lim ( f o g ), si les funcions són: x →3
g(x ) = x + 2
f (x) =
x2 −1 2 x 2 − 10x
( x + 2 )2 − 1 x2 + 4x + 3 = 2 ( x + 2 )2 − 10 ( x + 2 ) 2 x 2 − 2 x − 12 24 x2 + 4x + 3 lim (f o g ( x )) = lim 2 → x →3 x → 3 2 x − 2 x − 12 0
f o g ( x ) = f ( g ( x )) = f ( x + 2 ) =
⎫ ⎪ x2 + 4x + 3 = −⬁ ⎪ ⎪ 2 ⎪ x → 3 2 x − 2 x − 12 ⎪ ⎬ → No existeix el límit. 2 ⎪ x + 4x + 3 = + ⬁⎪ lim+ ⎪ ⎪ 2 x → 3 2 x − 2 x − 12 ⎪ ⎭ lim−
466
X
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 467
SOLUCIONARI
091
10
Fes la gràfica aproximada d’una funció que compleixi les condicions següents: • lim f ( x ) = 0 x →−⬁
• lim − f ( x ) = + ⬁ x →−2
• lim f ( x ) = + ⬁ x →+⬁
• lim + f ( x ) = −⬁ x →−2
Resposta oberta. Y
1 1
092
X
Dibuixa la gràfica aproximada d’una funció que compleixi aquestes condicions: • lim g ( x ) = −⬁ x →−⬁
• lim− g ( x ) = 3 x →2
• lim+ g ( x ) = −2 x →2
• lim g ( x ) = 0 x →+⬁
Resposta oberta. Y
2
2
X
467
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 468
Límit d’una funció. Continuïtat 093
Construeix la gràfica aproximada d’una funció que compleixi les condicions següents: • lim h( x ) = 1 x →−⬁
• lim− h( x ) = −⬁ x →0
• lim+ h( x ) = + ⬁ x →0
• lim h( x ) = 1 x →+⬁
Resposta oberta. Y
1 1
094
X
Representa tres funcions que compleixin que lim f ( x ) = 5 i cadascuna d’aquestes x →3 condicions: a) f(3) = 5 b) f(3) no existeix. c) f(3) = 2 Resposta oberta. a)
Y
5
3
468
X
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 469
SOLUCIONARI
10
Y
b)
5
3
X
3
X
Y
c)
5
095
Dibuixa una funció contínua que compleixi que f(x) és negativa si x > 3 i és positiva si x < 3. a) Quant val lim f ( x )? I f(3)? x →3
b) Hi ha un resultat possible? Raona la resposta. Resposta oberta. Y
1 3
X
a) lim f ( x ) = 0 x →3
f (3) = 0 b) Sí, perquè si la funció és contínua s’ha de verificar que: lim f ( x ) = f (3) . x →3
469
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 470
Límit d’una funció. Continuïtat 096
Troba les asímptotes d’aquestes funcions: f (x) =
x2 − 4x + 4 x 2 − x −2
g(x ) =
x 2 − 4x + 4 x 2 + x −2
Raona les diferències entre totes dues funcions. Dom f = ⺢ − {−1, 2} x2 − 4x + 4 9 → x →−1 x 2 − x − 2 0 lim
⎫ ⎪ x2 − 4x + 4 = + ⬁⎪ ⎪ 2 ⎪ x →−1 x − x −2 ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = −1. 2 ⎪ x − 4x + 4 lim+ 2 = −⬁⎪ ⎪ ⎪ x →−1 x − x −2 ⎪ ⎭ lim−
lim
x →2
x2 − 4x + 4 0 → x2 − x − 2 0
x2 − 4x + 4 ( x − 2 )2 = = 0 → La funció no té una asímptota lim x →2 x 2 − x − 2 x → 2 ( x − 1)( x − 2 ) vertical a x = 2.
lim
lim
x → +⬁
x2 − 4x + 4 = 1 → La funció té una asímptota horitzontal: y = 1. x2 − x − 2
Com que té asímptotes horitzontals, la funció no té asímptotes obliqües. Dom g = ⺢ − {−2, 1} lim
x →−2
x2 − 4x + 4 16 → 2 x + x −2 0
⎫ ⎪ x2 − 4x + 4 = + ⬁⎪ ⎪ 2 ⎪ x →−2 x + x −2 ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = −2. 2 ⎪ x −4x + 4 lim + 2 = −⬁⎪ ⎪ ⎪ x →−2 x + x −2 ⎪ ⎭ lim −
lim
x →1
x 2 − 4x + 4 1 → 2 x + x −2 0
⎫ ⎪ x2 − 4x + 4 = −⬁ ⎪ ⎪ 2 ⎪ x →1 x + x −2 ⎪ ⎬ → La funció té una asímptota vertical a x = 1. 2 ⎪ x − 4x + 4 = + ⬁⎪ lim+ 2 ⎪ ⎪ x →1 x + x −2 ⎪ ⎭ lim−
lim
x → +⬁
x2 − 4x + 4 = 1 → La funció té una asímptota horitzontal: y = 1. x2 + x − 2
Com que té asímptotes horitzontals, la funció no té asímptotes obliqües. Les funcions f(x) i g(x) tenen asímptotes verticals diferents, perquè els valors que anul·len el denominador en cadascuna són diferents.
470
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 471
SOLUCIONARI
097
10
Escriu una funció racional per a cadascun d’aquests casos: a) Que tingui x = 2 i x = −3 com a úniques asímptotes. b) Té com a úniques asímptotes x = −2 i y = 3. c) Té com a asímptotes x = 4 i y = 2x −1. Resposta oberta.
098
a) f ( x ) =
x4 ( x − 2 )( x + 3 )
b) f ( x ) =
3x x+2
c) f ( x ) =
2 x 2 − 9x x−4
Calcula el valor de a perquè el límit tingui valor finit: lim
x →+⬁
Amb aquest valor de a, troba b perquè es verifiqui que: lim
x →+ ⬁
2x2 + 3 − ax . x −1
2x2 + 3 − ax − b = 0 x −1
Quina relació hi ha entre la funció y =
2x2 + 3 i la recta y = ax + b? x −1
⎛ 2x 2 + 3 ⎞ 2 x 2 + 3 − ax 2 + ax − ax ⎟⎟⎟ = lim lim ⎜⎜⎜ ⎟⎠ x → + ⬁ x → +⬁ ⎝ x −1 x −1 El límit té valor finit si el grau del numerador és més petit o igual que el denominador; per tant, a = 2. ⎛ 2x 2 + 3 ⎞ 3 + 2 x − bx + 1 lim ⎜⎜⎜ − 2 x − b⎟⎟⎟ = lim = 2−b = 0 → b = 2 ⎟⎠ x → + ⬁ x → +⬁ ⎝ x −1 x −1 La recta y = 2x + 2 és l’asímptota obliqua de la funció y =
099
2x 2 + 3 . x −1
S’ha estimat que la població de guineus d’una zona es regeix 6t 2 + 3 per la fórmula z = 100 , en què z representa el nombre de guineus 2 + t2 i t és el temps transcorregut, en mesos. El veterinari de la zona ha observat, durant els primers sis mesos, que la població ha augmentat. Investiga si el creixement serà indefinit, si la població tendirà a estabilitzar-se o si tendirà a minvar. ⎛ 6 t 2 + 3 ⎞⎟ ⎟⎟ = 600 lim ⎜⎜⎜100 ⋅ t → + ⬁⎝ 2 + t 2 ⎟⎠ La població de guineus tendirà a estabilitzar-se.
471
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 472
Límit d’una funció. Continuïtat 100
mc
La famosa fórmula M =
és deguda a Einstein, i expressa la massa M d’un c − v2 cos en funció de la velocitat v, i c és la velocitat de la llum (300.000 km/s). 2
Calcula el límit de la massa M quan v tendeix a c. En vista d’aquest resultat, penses que un cos pot aconseguir aquesta velocitat? lim v →c
mc c − v2 2
= +⬁
Perquè la velocitat arribés a ser la de la llum, el cos hauria de tenir una massa infinita.
101
Representa mitjançant una funció definida a trossos la tarifa d’un aparcament.
APARCAMENT Horari: de 10:00 a 22:00 hores Tarifes: • Cada hora o fracció: 2 € • Més de 5 hores: 10 € • Estada màxima: 12 hores a) Estudia’n la continuïtat. b) Classifica’n els punts de discontinuïtat, si en té. Y 10 8 6 4 2 2
4
6
8
X
a) La funció no és contínua a: x = 10 x = 11 x = 12 x = 13 x = 14 b) Els punts són de discontinuïtat inevitable de salt finit.
472
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 473
SOLUCIONARI
10
PER ACABAR... 102
Calcula el valor de k perquè el límit següent sigui un nombre real: lim
x →2
Per al valor de k que has obtingut, quant val el límit? lim
x →2
x 2 + kx + 2 2k + 6 → 2 x −4 0
Si k = −3, la indeterminació és: Així doncs, el límit val: lim
x →2
103
x2 + kx + 2 x2 −4
0 0
1 x 2 − 3x + 2 ( x − 2 )( x − 1) = = lim 2 x → 2 4 x −4 ( x − 2 )( x + 2 )
Calcula aquests límits: a) lim x ⋅ sin x →0
1 x
b) lim
x →⬁
1 ⋅ cos x x
Encara que no sapiguem el valor que tenen el sinus i el cosinus d’un angle quan l’angle tendeix a infinit, sí que sabem que és una quantitat acotada, perquè tant el sinus com el cosinus d’un angle tenen un valor comprès a [−1, 1], i quan es multiplica per zero una quantitat acotada, el resultat és zero. a) lim x ⋅ sin x →0
104
1 =0 x
b) lim
x→+⬁
1 ⋅ cos x = 0 x
Què passarà amb les arrels de l’equació ax 2 + bx + c = 0 si el coeficient a tendeix a zero i els coeficients b i c són constants, amb b ⫽ 0? Les solucions de l’equació són de la forma: x = lim
a→0
lim
−b + b 2 − 4 ac 0 → 2a 0 − b + b 2 − 4 ac 2a
a→0
lim
a→0
−b ± b 2 − 4 ac 2a −b − b 2 − 4 ac −2 b → →⬁ 2a 0
b2 − ( b 2 − 4 ac )
= 2a(− b − b 2 − 4 ac ) 2c c = lim =− a→0 b − b − b 2 − 4 ac = lim
a→0
1
105
Comprova que lim e x no existeix. x →0
1
⎫ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎬ → No exiisteix lim e x . x →0 ⎪ = + ⬁⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
lim− e x = 0
x →0
1
lim+ e x
x →0
473
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 474
Límit d’una funció. Continuïtat 106
Estudia la continuïtat de cadascuna de les funcions següents: ⎧2 x ⎪ ⎪ a) y = ⎨ 1 ⎪ x ⎪ ⎪ ⎩5
si x ≤ 0
⎧ 1x ⎪ b) y = ⎪ ⎨5 x ⎪ ⎪ ⎩2
si x > 0
si x < 0 si x ≥ 0
⎧ 2 1 ⎪ ⎪ x ⋅ sin si x ⫽ 0 c) y = ⎪ ⎨ x ⎪ ⎪ si x = 0 ⎪ ⎩0
a) f (0) = 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎬ x ⎪ lim+ 5 = + ⬁⎪ ⎪ x →0 ⎪ ⎭ lim 2 x = 1
x → 0−
No existeix lim f ( x ), i la funció no és contínua a x = 0. x →0
Es tracta d’un punt de discontinuïtat inevitable de salt infinit. La funció és contínua a ⺢ − {0}. b) f (0) = 1 1 ⎫ ⎪ lim− 5 x = 0⎪ ⎪ ⎪ x →0 ⎬ x ⎪ lim+ 2 = 1 ⎪ ⎪ x →0 ⎪ ⎭
No existeix lim f ( x ), i la funció no és contínua a x = 0. x →0
Es tracta d’un punt de discontinuïtat inevitable de salt infinit. La funció és contínua a ⺢ − {0}. c) f (0) = 0 ⎛ 1⎞ lim ⎜⎜ x 2 ⋅ sin ⎟⎟⎟ = 0 ⎜ x →0 ⎝ x ⎟⎠ Com que f (0 ) = lim f ( x ) , la funció és contínua a x = 0. x →0
Així doncs, la funció és contínua a ⺢. 107
Demostra que la recta d’equació y = de la hipèrbola
y2 x2 − = 1. a2 b2
b x és una asímptota a
y2 x2 b2 x 2 − a2 b2 2 2 2 2 2 2 2 − = 1 → − = → = b x a y a b y a2 b2 a2 → y =± ⎛b lim ⎜⎜ ⎜⎝ a
x 2 − a2 −
b a
⎛b lim ⎜⎜ x →+ ⬁ ⎜ ⎝a
x 2 − a2 −
⎛b b ⎞⎟ x ⎟⎟ = lim ⎜⎜⎜ ⋅ a ⎟⎠ x →+ ⬁ ⎜⎝ a
x → +⬁
474
b2 x 2 − a2 b2 b =± 2 a a
⎞ x ⎟⎟⎟ → ⬁ − ⬁ ⎟⎠ ⎞⎟ ⎟⎟ = 0 ⎟ x 2 − a 2 + x ⎟⎠ − a2
x 2 − a2
917221Unidad10.qxd
19/1/09
11:06
Página 475
SOLUCIONARI
108
Si mesurem l’angle x en radians, demostra que lim
sin x x
x →0
= 1.
Si mesurem l’angle x en graus sexagesimals, aleshores lim
sin x
Com que la mida de la longitud de l’arc està continguda entre la mida dels segments AC i AB, l’àrea del sector circular està continguda entre l’àrea dels triangles.
2 R sin x 2
2
< R2 ⋅
π . 180 C
O
Àrea de OAC < Àrea del sector < Àrea de OAB < πR2 ⋅
=
x
x →0
R ⋅ R sin x
10
x
B
A
R ⋅ R tg x x < 2π 2
R 2 tg x x < 2 2
Simplifiquem dividint entre Dividim entre sin x:
sin x sin x →
<
R2 : sin x < x < tg x 2 tg x x < sin x sin x
sin x sin x
>
sin x x
>
sin x tg x
→ 1>
sin x x
> cos x
Fem límits amb x → 0: lim 1 > lim
sin x
> lim cos x → 1 > lim
x que volíem demostrar. x →0
x →0
x →0
sin x x
x →0
> 1 → lim
x →0
sin x x
= 1, que és el
Si x està mesurat en graus: R ⋅ R sin x 2
< πR 2 ⋅
R ⋅ R tg x R 2 sin x R 2 tg x x πR 2 < < ⋅x< → 2 360 2 2 360
Simplifiquem dividint entre
π R2 ⋅ x < tg x : sin x < 180 2
Dividim entre sin x: sin x tg x π x π x 1 < ⋅ < → 1< ⋅ < sin x 180 sin x sin x 180 sin x cos x 180 sin x → 1> ⋅ > cos x π x Fem límits amb x → 0: lim 1 > lim x →0
x →0
sin x 180 sin x 180 ⋅ > lim cos x → 1 > ⋅ lim >1 x → 0 x → 0 π π x x sin x 180 → ⋅ lim =1 π x →0 x
I, finalment, aïllem i tenim que: lim
x →0
sin x x
=
π . 180
475