917221Unidad07.qxd
7
19/1/09
10:59
Página 290
Llocs geomètrics. Còniques LITERATURA I MATEMÀTIQUES
El recel Després de Nadal [1922], en Jesús Vio va tenir una llarga conversa amb [el professor] Harold Lardy per orientar la feina de la tesi que havia de començar. Havia pensat encaminar la investigació atacant, en la mesura de les seves forces, l’últim teorema de Fermat. Li cridava l’atenció, com a tanta gent, la senzillesa del plantejament. El que Pierre de Fermat havia escrit al marge de l’Aritmètica de Diofant, probablement l’any 1637, era molt senzill: «És impossible escriure un cub com la suma de dos cubs, o, en general, escriure qualsevol potència més gran que dos com la suma de dues potències iguals.» Quan en Jesús li va plantejar a en Lardy la seva intenció de centrar la tesi en el teorema de Fermat, el professor va somriure, però no li ho va desaconsellar. Estaven asseguts al voltant d’una taula a la sala contigua a l’habitació on vivia el solter Lardy. [...] Una pissarra negra amb els guixos completava la decoració mural. «Comencem, doncs», va indicar en Lardy, mentre s’aixecava i s’acostava a la pissarra, on va escriure l’equació de Fermat: xn + yn = zn –No existeix cap terna (x, y, z) de nombres enters que, per a n més gran que 2, satisfaci aquesta equació –va concloure en Lardy. No es va asseure, sinó que va romandre dret: –Si m’ho permet –va continuar en Lardy–, li faré una petita digressió històrica que potser li serà útil. [...] Euler, seguint el mètode conegut com a «descens infinit», que Fermat mateix va utilitzar, tot i que no per demostrar aquesta conjectura, va demostrar la no-existència de solució per a la potència tres. Així ho va anunciar a Goldbach en una carta datada l’agost de 1753. Un segle després de la mort de Fermat, tan sols s’havia demostrat la validesa del seu teorema per a les potències 3 i 4. Si vol que li sigui sincer –va continuar en Lardy–, no crec que en aquest afer de Fermat s’hagi avançat gaire des d’aleshores. En tot cas, li prepararé una bibliografia tan exhaustiva com pugui al voltant d’aquest tema. Treballi-la i després proposi’m una via d’atac, la discutirem. Penso que ha arribat el moment que tinguem una trobada a la pista de tennis. L’he reservat per d’aquí a mitja hora. Tindrà prou temps? JOAQUÍN LEGUINA (text adaptat)
L’any 1994, Wiles va demostrar, després de vuit anys de treballar-hi intensament, que el teorema de Fermat és verdader. El més curiós és que, per a n = 2, l’equació x 2 + y 2 = z 2 té infinites solucions enteres. En aquesta equació, si considerem z com una constant, per exemple, z = 5, obtenim l’equació d’una figura geomètrica que no és una recta. Quina figura penses que pot ser? x2 + y2 = z2 Si z = 5 → x2 + y2 = 52 és una circumferència de centre (0, 0) i radi 5, perquè els punts que verifiquen aquesta equació equidisten de l’origen de coordenades una mesura constant de 5 unitats.
290
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 291
SOLUCIONARI
7
ABANS DE COMENÇAR... RECORDA 001
Dibuixa dos segments AB i CD, paral·lels entre si, de 8 cm i 10 cm, i traça’n les mediatrius amb l’escaire. Com són les mediatrius entre si? Mediatriu de AB B
A C
D Mediatriu de CD
Les mediatrius són paral·leles. 002
Dibuixa un angle de 60º i traça’n la bisectriu. Comprova que l’angle queda dividit en dues parts iguals.
30° 30°
003
Si el radi d’una circumferència fa 12 cm, quant fa el diàmetre? El diàmetre fa el doble: 24 cm.
004
Quin tipus de poliedre és un cub? I un ortoedre? Un cub és un prisma, i un ortoedre també és un prisma.
005
Dibuixa el desenvolupament pla d’un con de 3 cm de radi de la base i 10 cm de generatriu.
10 cm 3 cm
006
Troba l’equació de la recta: a) Paral·lela a l’eix X i que passa per P(1, 3). b) Paral·lela a l’eix Y i que passa per P(−1, 4). a) y = 3
b) x = −1
291
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 292
Llocs geomètrics. Còniques ACTIVITATS 001
Si en lloc d’una superfície cònica fem servir un cilindre, quines còniques podem obtenir? Si el pla és perpendicular a la generatriu del cilindre, la secció és una circumferència. Si no és perpendicular, la secció és una el·lipse.
002
Raona per què la paràbola és una secció cònica que no té dues branques. Perquè el pla només talla un dels cons de la superfície cònica.
003
Dibuixa el lloc geomètric dels punts que equidisten de dues rectes: a) Que es tallen. b) Que són paral·leles. a) El lloc geomètric està format per les dues bisectrius dels angles que formen les rectes en tallar-se.
b) El lloc geomètric és una altra recta paral·lela a totes dues.
004
Troba el lloc geomètric dels punts del pla la suma de coordenades cartesianes dels quals és 10. I si la condició del lloc geomètric és que el seu producte sigui 10? Els punts que verifiquen la primera condició formen una recta d’equació: x + y = 10 Els punts que verifiquen la segona condició formen una hipèrbola equilàtera d’equació: xy = 10
292
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 293
SOLUCIONARI
005
7
L’eix major i l’eix menor d’una el·lipse fan, respectivament, 10 cm i 6 cm. Troba la distància que hi ha entre els dos focus de l’el·lipse i també la distància que hi ha fins als vèrtexs. 2a = 10 cm → a = 5 cm 2b = 6 cm → b = 3 cm Com que a2 = b2 + c2 → c = 4 cm Així doncs, la distància entre els focus és de 8 cm. La distància des dels focus fins als vèrtexs A i A' és d’1 cm, i fins als vèrtexs B i B' és de 5 cm.
006
Un punt d’una el·lipse dista de cadascun dels focus 6 cm i 7 cm, respectivament, i la longitud de l’eix menor és de 6,6 cm. Calcula la longitud de l’eix major i la distància entre els focus. 2a = d(P, F) + d(P, F' ) = 6 + 7 = 13 cm L’eix major mesura 13 cm. 2a = 13 cm → a = 6,5 cm 2b = 6,6 cm → b = 3,3 cm Com que a2 = b2 + c2 → c = 5,6 cm Així doncs, la distància entre els focus és d’11,2 cm.
007
Calcula l’equació d’una el·lipse que té els focus als punts F(5, 0) i F'(−5, 0), i dos dels vèrtexs estan situats als punts A(8, 0) i A'(−8, 0). c = 5⎪⎫ ⎬→b= a = 8⎭⎪⎪
008
39 →
x2 y2 + =1 64 39
Troba l’equació de l’el·lipse que té els vèrtexs als punts següents: (−4, 0)
(0, −2)
(4, 0)
(0, 2)
x2 y2 a = 4⎫⎪ + =1 ⎬→ b = 2 ⎪⎪⎭ 16 4 009
Determina els focus i els vèrtexs d’aquestes el·lipses: a)
x2 y2 + =1 121 25 a)
b)
x2 y2 + =1 81 64
⎧⎪a = 11 → A(11, 0) A'(−11, 0) x2 y2 + = 1→ ⎨ B'(0, −5) 121 25 ⎩⎪⎪b = 5 → B(0, 5) Com que a 2 = b 2 + c 2 → c =
b)
96 = 4 6 → F ( 4 6 , 0)
F' (−4 6 , 0)
⎧⎪a = 9 → A(9, 0) A'(−9, 0) x y + = 1→ ⎨ ⎪⎪⎩b = 8 → B(0, 8) B'(0, −8) 81 64 2
2
Com que a 2 = b 2 + c 2 → c = 17 → F ( 17 , 0)
F' (− 17 , 0)
293
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 294
Llocs geomètrics. Còniques 010
Calcula les excentricitats de les el·lipses següents: a)
x2 y2 + =1 144 121 a)
b)
⎧⎪a = 12 x2 y2 + = 1→ ⎨ ⎪⎪⎩ b = 11 144 121 Com que a 2 = b 2 + c 2 → c =
b)
23 → e =
⎧⎪a = 15 x2 y2 + = 1→ ⎨ 225 9 ⎩⎪⎪b = 3 Com que a 2 = b 2 + c 2 → c =
011
x2 y2 + =1 225 9
216 = 6 6 → e =
F' (−5, 0)
Troba B i B' en una hipèrbola si en coneixem els focus, F(10, 0) i F'(−10, 0), i sabem que la distància entre els vèrtexs és de 16 unitats. c = 10 2a = 16 → a = 8 Com que c2 = a2 + b2 → b = 6 → B(0, 6)
013
6 6 2 6 = = 0,97 15 5
En una hipèrbola, la distància entre els vèrtexs és de 8 cm; si B(0, 3) i el seu punt simètric és B'(0, −3), calcula els focus de la hipèrbola. 2a = 8 → a = 4 b=3 Com que c 2 = a2 + b2 → c = 5 → F(5, 0)
012
23 = 0,39 12
B'(0, −6)
Calcula l’equació de la hipèrbola que té dos dels vèrtexs a (−6, 0) i (6, 0) i que passa pel punt (36, 7 35 ). a=6 Com que c2 = a2 + b2 → b2 = c2 − 36 Així doncs, l’equació de la hipèrbola és de la forma: Com que el punt (36, 7 35 ) pertany a la hipèrbola:
x2 y2 − 2 =1 c − 36 36
1.715 1.715 362 1.715 − 2 = 1 → 36 − 2 = 1→ 2 = 35 → c 2 − 36 = 49 c − 36 c − 36 c − 36 36 → c 2 = 85 → c = 85 L’equació de la hipèrbola és:
014
x2 y2 − =1 36 49
Determina l’equació de la hipèrbola que té els focus als punts (−2, 0) i (2, 0) i els vèrtexs a (−1, 0) i (1, 0). c = 2⎫⎪ ⎬→b= a = 1 ⎭⎪⎪
294
3 →
x2 y2 − =1 1 3
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 295
SOLUCIONARI
015
7
Troba els focus i els vèrtexs de la hipèrbola que té per equació: x2 y2 − =1 225 144 ⎧⎪a = 15 → A(15, 0) A'(−15, 0) x2 y2 − = 1→ ⎨ ⎪⎪⎩b = 12 → B(0, 12) B'(0, −12) 225 144 Com que c 2 = a 2 + b 2 → c =
016
369 = 3 41 → F (3 41, 0)
Calcula l’excentricitat de les hipèrboles que tenen les equacions següents: a)
x2 y2 − =1 225 196 a)
b)
b)
x2 y2 − =1 121 36
⎧⎪a = 15 x2 y2 − = 1→ ⎨ ⎪⎪⎩b = 14 225 196 421 → e =
421 = 1,36 15
Com que c 2 = a 2 + b 2 → c = 157 → e =
157 = 1,13 11
Com que c 2 = a 2 + b 2 → c =
017
F' (−3 41, 0)
⎧⎪a = 11 x2 y2 − = 1→ ⎨ ⎪⎪⎩b = 6 121 36
Troba l’equació de la paràbola amb vèrtex a l’origen de coordenades i focus F(0, 2). p = 4 → x2 = 8y
018
Calcula l’equació de la paràbola que té el vèrtex a l’origen de coordenades i focus F(2, 0). p = 4 → y2 = 8x
019
Determina l’equació de la circumferència amb centre C(−3, 1) i que passa per l’origen de coordenades. r = d(P, C ) = (−3 − 0)2 + (1− 0)2 = 10 L’equació de la circumferència és: (x + 3)2 + (y − 1)2 = 10 → x2 + y2 + 6x − 2y = 0
020
Calcula el centre i la longitud del radi de la circumferència d’equació x 2 + y 2 + 2x + 2y = 0. Com que A = −2a: 2 = −2a → a = −1 Com que B = −2b: 2 = −2b → b = −1 Com que C = a2 + b2 − r 2: 2 − r 2 = 0 → r = 2 Així doncs, el centre é C(−1, −1) i el radi mesura 2 .
295
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 296
Llocs geomètrics. Còniques 021
Estudia la posició relativa d’aquestes circumferències: x2 + y2 − 9 = 0
x 2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0
⎪⎧C (0, 0) x2 + y2 − 9 = 0 → ⎨ 1 ⎪⎪⎩ r1 = 3 ⎪⎧C (1, 1) x 2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0 → ⎨ 2 ⎪⎪⎩ r2 = 1 d(C1, C2) = (1− 0)2 + (1− 0)2 =
2 < r2 − r1 = 2
Les circumferències són interiors. 022
Troba una circumferència tangent interior a la circumferència d’equació (x − 3)2 + (y + 1)2 = 4. Resposta oberta. Una de les circumferències tangents interiors és: (x − 2)2 + (y + 1)2 = 1.
023
Determina la posició relativa de la circumferència d’equació x 2 + y 2 − 6x + 4y + 4 = 0 i els eixos de coordenades. ⎧⎪C(3, −2) x 2 + y 2 − 6x + 4y + 4 = 0 → ⎨ ⎩⎪⎪ r = 3 La distància del centre a l’eix d’abscisses és: d(C, r) =
−2
=2 02 + 12 Com que és més petita que el radi, l’eix és secant a la circumferència. La distància del centre a l’eix d’ordenades és: d(C, s) =
3
=3 1 + 02 Com que coincideix amb el radi, l’eix és tangent a la circumferència. 024
2
Troba tres rectes no paral·leles, que siguin secant, tangent i exterior a la circumferència d’equació x 2 + (y − 3)2 = 36. Resposta oberta. Una recta secant és: x − y = 0 Una recta tangent és: y + 3 = 0 Una recta exterior és: x − 7 = 0
025
Determina el lloc geomètric dels punts que equidisten de A(3, −5) i de B(7, 1). De quina figura es tracta? Considerem (x, y) un punt equidistant de A i B: ( x − 3)2 + ( y + 5)2 = ( x − 7)2 + ( y − 1)2 → x2 − 6x + 9 + y2 + 10y + 25 = x2 − 14x + 49 + y2 − 2y + 1 → 2x + 3y − 4 = 0 Es tracta d’una recta, la mediatriu del segment AB.
296
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 297
7
SOLUCIONARI
026
Troba el lloc geomètric dels punts que disten 3 unitats del punt P(−1, 4). Quina figura és? Si considerem (x, y) un punt del lloc geomètric, tenim que: ( x + 1)2 + ( y − 4)2 = 3 → (x + 1)2 + (y − 4)2 = 9 → x2 + y2 + 2x − 8y + 8 = 0 Aquesta és l’equació de la circumferència de centre (−1, 4) i radi 3.
027
r
Calcula el lloc geomètric dels punts que disten 4 unitats de la recta r: 4x −2y + 5 = 0.
P
P'
Si considerem (x, y) un punt del lloc geomètric, tenim que:
4 x − 2y + 5 4 2 + (−2)2
=4
⎪⎧ 4 x − 2y + 5 − 8 5 = 0 → 4 x − 2y + 5 = 4 20 → 4 x − 2y + 5 = 8 5 → ⎪⎨ ⎪⎪−4 x + 2y − 5 − 8 5 = 0 ⎩ 028
Troba el lloc geomètric dels punts que equidisten dels parells de rectes següents: a) 3x −4y −26 = 0 i 12x + 5y +1 = 0
a)
3x − 4 y − 26 32 + (−4)2
b) −2x + 7y + 9 = 0 i 4x −14y + 11 = 0
12x + 5y + 1 ⎪⎧⎪ 3x − 4 y − 26 = ⎪⎪ 13 5 = → ⎪⎨ ⎪⎪ 3x − 4 y − 26 −12x − 5y − 1 122 + 52 = ⎪⎪ 5 13 ⎪⎩ ⎪⎧⎪39x − 52y − 338 = 60x + 25y + 5 ⎪⎧⎪3x − 11y + 49 = 0 →⎨ →⎨ ⎪⎪⎩39x − 52y − 338 = −60x − 25y − 5 ⎪⎪⎩ 11x − 3y − 37 = 0 12x + 5y + 1
El lloc geomètric està format per les dues bisectrius de les rectes. ⎧⎪ −2x + 7 y + 9 4 x − 14 y + 11 ⎪⎪ = ⎪⎪ −2x + 7 y + 9 4 x − 14 y + 11 53 2 53 b) = →⎨ ⎪⎪ −2x + 7 y + 9 −4 x + 14 y − 11 4 2 + (−14)2 (−2)2 + 72 = ⎪⎪ ⎪⎩ 53 2 53 ⎧⎪⎪−4 x + 14 y + 18 = 4 x − 14 y + 11 ⎪⎧⎪8x − 28 y − 7 = 0 →⎨ →⎨ ⎪⎪⎩−4 x + 14 y + 18 = −4 x + 14 y − 11 ⎪⎪⎩ 0=0 Com que les rectes són paral·leles, el lloc geomètric és una altra recta paral·lela a totes dues. 029
Determina el lloc geomètric dels punts que es troben a doble distància del punt P(3, 5) que del punt Q(1, −2). Quina figura és? Considerem (x, y) un punt del lloc geomètric. ( x − 3)2 + ( y − 5)2 = 2 ( x − 1)2 + ( y + 2)2 → x2 − 6x + 9 + y2 − 10y + 25 = 4(x2 − 2x + 1 + y2 + 4y + 4) → 3x2 + 3y2 − 2x + 26y − 14 = 0 2 26 14 = 0. y− La figura és la circumferència d’equació: x 2 + y 2 − x + 3 3 3
297
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 298
Llocs geomètrics. Còniques 030
Calcula el lloc geomètric dels punts del pla que verifiquen que es troben a una distància de la recta d’equació 3x −5y −15 = 0 igual que el valor de l’ordenada y. Considerem (x, y) un punt del lloc geomètric. 3x − 5y − 15
= y → 3x − 5y − 15 =
32 + (−5)2
34 y
⎧⎪3x − (5 + 34 ) y − 15 = 0 ⎪⎧3x − 5y − 15 = 34 y → ⎪⎨ → ⎪⎨ ⎪⎪ 3x − (5 − 34 ) y − 15 = 0 ⎪⎪−3x + 5y + 15 = 34 y ⎩ ⎩ El lloc geomètric està format per dues rectes perpendiculars. 031
Troba el lloc geomètric dels punts del pla Q que verifiquen que el punt mitjà del segment PQ: P(2, 6), és un punt de la recta que té per equació 2x + 4y −5 = 0. Si Q(x, y) és un extrem del segment PQ, el seu punt mitjà és de la forma: ⎛ x + 2 y + 6 ⎟⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ Si aquest punt pertany a la recta: x +2 y+6 2⋅ +4⋅ − 5 = 0 → x + 2y + 9 = 0 2 2 El lloc geomètric és una altra recta.
032
Considerem la recta r: 3x −2y + 15 = 0 i el punt A(−1, 2). Troba el lloc geomètric dels punts B que verifiquen que, per a cada punt M de la recta, es compleix que AM = MB i, a més, els angles que formen aquests segments amb la recta són suplementaris. r M α
A
Considerem B(x, y) un punt del lloc geomètric. B r
β α
M
A
Si els punts M verifiquen les condicions de l’enunciat, són els punts mitjans ⎛ −1 + x 2 + y ⎞⎟ ⎟⎟ , dels segments AB per a cada punt B, de manera que: M ⎜⎜⎜ ⎝ 2 2 ⎟⎠ Com que els punts M pertanyen a la recta r, es verifica que: −1+ x 2+ y 3⋅ −2⋅ + 15 = 0 → −3 + 3x − 4 − 2y + 30 = 0 → 3x − 2y + 23 = 0 2 2 El lloc geomètric és una recta paral·lela a r.
298
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 299
SOLUCIONARI
033
7
Troba els vèrtexs, els focus i les excentricitats de les el·lipses següents: x2 + 25 x2 b) + 16 a)
y2 =1 9 y2 =1 25
d)
e) 9x2 + 25y2 = 900
c) 25x2 + 16y2 = 1.600 a)
x2 y2 + =1 25 16
f ) x2 + 2y2 = 16
⎪⎧a = 5 → A(5, 0) A'(−5, 0) x2 y2 + = 1 → ⎪⎨ ⎪⎪⎩b = 3 → B(0, 3) B'((0, −3) 25 9 Com que a2 = b2 + c2 → c = 4 → F(4, 0)
F' (−4, 0)
4 = 0,8 L’excentricitat és: e = 5 b)
⎪⎧b = 4 → B(4, 0) B'(−4, 0) x2 y2 + = 1 → ⎪⎨ ⎪⎪⎩a = 5 → A(0, 5) A'(0, −5) 16 25 Com que a2 = b2 + c2 → c = 3 → F(0, 4) L’excentricitat és: e =
3 = 0,6 5
c) 25x 2 + 16 y 2 = 1.600 →
⎪⎧b = 8 → A(8, 0) A'((−8, 0) x2 y2 + = 1 → ⎪⎨ ⎪⎪⎩a = 10 → B(0, 10) B'(0, −10) 64 100
Com que a2 = b2 + c2 → c = 6 → F(0, 6) L’excentricitat és: e = d)
F' (0, − 4)
F' (0, −6)
6 = 0,6 10
⎧⎪a = 5 → A(5, 0) A'(−5, 0) x2 y2 + = 1 → ⎪⎨ ⎪⎪⎩b = 4 → B(0, 4) B'(0, − 4) 25 16 Com que a2 = b2 + c2 → c = 3 → F(3, 0) L’excentricitat és: e =
e) 9x 2 + 25y 2 = 900 →
3 = 0,6 5 ⎧⎪a = 10 → A(10, 0) A'(−10, 0) x2 y2 + = 1→ ⎨ ⎪⎪⎩b = 6 → B(0, 6) B'(0, − 6) 100 36
Com que a2 = b2 + c2 → c = 8 → F(8, 0) L’excentricitat és: e = f) x 2 + 2y 2 = 16 →
F' (−3, 0)
F' (−8, 0)
8 = 0,8 10
⎪⎧a = 4 ⎯⎯⎯⎯→ A(4, 0) A'(−4, 0) x2 y2 + = 1 → ⎪⎨ ⎪⎪b = 8 = 2 2 → B (0, 2 2 ) B' (0, −2 2 ) 16 8 ⎩
Com que a2 = b2 + c2 → c = 2 2 → F (2 2 , 0) F' (−2 2 , 0) L’excentricitat és: e =
2 2 2 = = 0,707 4 2
299
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 300
Llocs geomètrics. Còniques 034
x2 y2 + = 1 i determina’n els focus. Comprova 100 36 que la suma de les distàncies d’aquests punts als focus coincideix amb l’eix més gran. Busca tres punts de l’el·lipse
⎧⎪a = 10 → 2a = 20 x2 y2 + = 1→ ⎨ ⎪⎪⎩b = 6 100 36 Com que a2 = b2 + c2 → c = 8 → F(8, 0)
F' (−8, 0)
Tres punts de l’el·lipse són: A(10, 0) → d(A, F ) + d(A, F' ) = (10 − 8)2 + (0 − 0)2 + (10 + 8)2 + (0 − 0)2 = = 2 + 18 = 20 B(0, 6) → d(B, F ) + d(B, F' ) = (0 − 8)2 + (6 − 0)2 + (0 + 8)2 + (−6 − 0)2 = = 10 + 10 = 20 C (5, 3 3 ) → d(C, F ) + d(C, F' ) = (5 − 8)2 + (3 3 − 0)2 + (5 + 8)2 + (3 3 − 0)2 = = 6 + 14 = 20 035
Troba les equacions de les el·lipses que compleixen les condicions següents: a) L’excentricitat és 0,6 i l’eix més gran fa 20. b) Els focus són (6, 0) i (−6, 0) i l’excentricitat és c) Passa pel punt (3, −2) i l’eix més gran fa 10.
1 . 3
d) Els focus són a (4, 0) i (−4, 0), i dos dels vèrtexs són (5, 0) i (−5, 0). a) 2a = 20 → a = 10 Si e = 0,6 → c = 6 Com que a 2 = b 2 + c 2 → b = 8 →
x2 y2 + =1 100 64
b) c = 6 1 → a = 18 3 x2 y2 Com que a 2 = b 2 + c 2 → b = 12 2 → + =1 324 288 c) 2a = 10 → a = 5 Si e =
Com que el punt (3, 2) és un punt de l’el·lipse: 9 4 4 16 25 5 + 2 = 1→ 2 = → b2 = →b= b b 25 25 4 2 Així doncs, l’equació de l’el·lipse és: x2 y2 + = 1 → x 2 + 4 y 2 = 25 25 25 4 d) c = 4⎪⎫ ⎬ a = 5⎪⎪⎭ Com que a2 = b2 + c2 → b = 3 →
300
x2 y2 + =1 25 9
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 301
SOLUCIONARI
036
7
Determina l’equació d’una el·lipse en la qual l’eix més gran fa el doble que el més petit i un dels focus és a (−7, 0). c=7 2a = 2 · 2b → a = 2b Com que a2 = b2 + c2 → 4b2 = b2 + 49 → b2 =
49 7 3 14 3 →b= →a= 3 3 3
Per tant, l’equació de l’el·lipse és: x2 y2 + = 1 → 3x 2 + 12y 2 = 196 196 49 3 3
037
Calcula la intersecció de l’el·lipse 4x2 + 9y2 = 72 i la recta 2( 2 − 1) x + 3y − 6 2 = 0 . 2(
4 x 2 + 9 y 2 = 72⎪⎫⎪ 6 2 − 2( 2 − 1) x ⎬→ y= 2 − 1) x + 3y − 6 2 = 0 ⎪⎪⎭ 3
Si substituïm, tenim que: 4 x 2 + (6 2 − 2( 2 − 1) x ) = 72 2
→ 4 x 2 + 72 − 24 2 ( 2 − 1) x + 4 ( 2 − 1) x 2 = 72 2
→ 4 x 2 − 48x + 24 2 x + 8x 2 − 8 2 x 2 + 4 x 2 = 0
⎪⎧ x = 0 → (2 − 2 ) x 2 − 3(2 − 2 ) x = 0 → x 2 − 3x = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩ x = 3 Els punts d’intersecció són: P (0, 2 2 ) i Q(3, 2).
038
Una el·lipse és tangent als costats del rectangle que defineixen les rectes y = 8, y = −8, x = 10 i x = −10. Troba l’equació i les coordenades de cinc punts. Y
2 2
X
x2 y2 a = 10⎫⎪ + =1 ⎬→ b = 8 ⎪⎪⎭ 100 64
Cinc punts de l’el·lipse són: A(10, 0), A' (−10, 0), B(0, 8), B' (0, −8) i C (5, 4 3 ).
301
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 302
Llocs geomètrics. Còniques 039
Determina la posició relativa d’aquestes rectes respecte de l’el·lipse a) 2x + 3y − 5 = 0 a)
b) −3x + 2y − 20 = 0
x2 y2 + = 1. 25 9
c) 3x + 10y − 15 5 = 0
2x + 3y − 5 = 0 ⎪⎫⎪ 5 − 2x ⎬→ y= 9x 2 + 25y 2 = 225⎪⎪⎭ 3 Si substituïm, tenim que: 25 − 20x + 4 x 2 9x 2 + 25 ⋅ = 225 → 81x 2 + 625 − 500x + 100x 2 = 2.025 9 → 181x 2 − 500x − 1.400 = 0 ∆ = 1.263.600 > 0 → L’equació té dues solucions; per tant, l’el·lipse i la recta són secants.
b) −3x + 2y − 20 = 0⎪⎫⎪ 3x + 20 ⎬→ y= 9x 2 + 25y 2 = 225⎪⎪⎭ 2 Si substituïm, tenim que: 9x 2 + 120x + 400 9x 2 + 25 ⋅ = 225 → 36x 2 + 225x 2 + 3.000x + 10.000 = 900 4 → 261x 2 + 3.000x + 9.100 = 0 ∆ = −500.400 < 0 → L’equació no té solució; per tant, l’el·lipse i la recta són exteriors. 15 5 − 3x c) 3x + 10 y − 15 5 = 0⎪⎫⎪ ⎬→ y= 9x 2 + 25y 2 = 225⎪⎪⎭ 10 Si substituïm, tenim que: 9x 2 + 25 ⋅
1.125 − 90 5 x + 9x 2 = 225 → 36x 2 + 1.125 − 90 5 x + 9x 2 = 900 100 → 45x 2 − 90 5 x + 225 = 0
∆ = 0 → L’equació té una solució; per tant, l’el·lipse i la recta són tangents.
040
Escriu l’equació del lloc geomètric dels punts que verifiquen que la suma de les distàncies (0, −12) i (0, 12) és 26. ( x − 0)2 + ( y + 12)2 + ( x − 0)2 + (y − 12)2 = 26 →
x 2 + ( y + 12)2 = 26 − x 2 + ( y − 12)2
→ x 2 + ( y + 12)2 = 262 + x 2 + ( y − 12)2 − 52 x 2 + ( y − 12)2 → y 2 + 144 + 24 y = 676 + y 2 + 144 − 24 y − 52 x 2 + y 2 + 144 − 24 y → 52 x 2 + y 2 + 144 − 24 y = 676 − 48 y → 13 x 2 + y 2 + 144 − 24 y = 169 − 12y → 169x 2 + 169 y 2 + 24.336 − 4.056 y = 28.561 + 144 y 2 − 4.056 y → 169x 2 + 25y 2 = 4.225 →
302
x2 y2 + =1 169 25
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 303
SOLUCIONARI
041
7
Determina els focus, els vèrtexs, les asímptotes i les excentricitats de les hipèrboles següents: x2 y2 − =1 25 9 y2 x2 − =1 b) 25 16 a)
d)
e) 9x 2 −25y 2 = 900
c) 16y 2 −25x 2 = 1.600 a)
f ) x 2 −2y 2 = 16
⎧⎪a = 5 → A(5, 0) A'(−5, 0) x2 y2 − = 1→ ⎨ ⎪⎪⎩b = 3 → B(0, 3) B'((0, −3) 25 9 Com que c 2 = a 2 + b 2 → c =
34 → F ( 34 , 0) F' (− 34 , 0)
34 = 1,16 5
L’excentricitat és: e = b)
x2 y2 − =1 25 16
⎧⎪a = 5 → A(0, 5) A'(0, −5) y2 x2 − = 1→ ⎨ 25 16 ⎩⎪⎪b = 4 → B(4, 0) B'(−4, 0) Com que c 2 = a 2 + b 2 → c =
41 → F (0,
41 )
F' (0, − 41 )
41 = 1,28 5
L’excentricitat és: e = c) 16 y 2 − 25x 2 = 1.600 →
⎪⎧a = 10 → A(0, 10) A'(0, −10) y2 x2 − = 1 → ⎪⎨ ⎪⎪⎩b = 8 → B(8, 0) B'(−8, 0) 100 64
Com que c 2 = a 2 + b 2 → c = 2 41 → F (0, 2 41 ) L’excentricitat és: e = d)
F' (0, −2 41 )
2 41 = 1,28 10
⎧⎪a = 5 → A(5, 0) A'(−5, 0) x2 y2 − = 1→ ⎨ ⎪⎪⎩b = 4 → B(0, 4) B'(0, − 4) 25 16 Com que c 2 = a 2 + b 2 → c = L’excentricitat és: e =
e) 9x 2 − 25y 2 = 900 →
41 → F ( 41, 0) F' (− 41, 0)
41 = 1,28 5 ⎧⎪a = 10 → A(10, 0) x2 y2 − = 1 → ⎪⎨ 100 36 ⎩⎪⎪b = 6 → B(0, 6)
Com que c 2 = a 2 + b 2 → c = 2 34 → F (2 34 , 0) L’excentricitat és: e = f) x 2 − 2y 2 = 16 →
A'(−10, 0) B'(0, − 6)
F' (−2 34 , 0)
2 34 = 1,16 10
⎧⎪a = 4 ⎯⎯⎯⎯→ A(4, 0) A'(−4, 0) x2 y2 − = 1 → ⎪⎨ ⎪⎪b = 8 = 2 2 → B (0, 2 2 ) B' (0, −2 2 ) 16 8 ⎩
Com que c 2 = a 2 + b 2 → c = 2 6 → F (2 6 , 0) L’excentricitat és: e =
F' (−2 6 , 0)
2 6 = 1,22 4
303
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 304
Llocs geomètrics. Còniques 042
x2 y2 − = 1 , determina’n els focus i comprova 100 36 que la diferència de les distàncies d’aquests punts als focus coincideix amb l’eix focal. Troba dos punts de la hipèrbola
⎧⎪a = 10 → 2a = 20 x2 y2 − = 1→ ⎨ 100 36 ⎩⎪⎪b = 6 Com que c 2 = a 2 + b 2 → c = 2 34 → F (2 34 , 0)
F' (−2 34 , 0)
Dos punts de la hipèrbola són: A(10, 0) → (d(A, F ) − d(A, F' ))2 = =
(
(10 − 2
34 ) + (0 − 0)2 − 2
(10 + 2
= ( 236 − 40 34 − 236 + 40 34
)
2
34 ) + (0 − 0)2 2
)= 2
=
= 236 − 40 34 + 236 + 40 34 − 2 55.696 − 54.400 = = 472 − 72 = 400 → d(A, F ) − d(A, F' ) = 20 A'(−10, 0) → (d(A', F ) − d(A', F' ))2 = =
(
(−10 − 2
34 ) + (0 − 0)2 − 2
(−10 + 2
= ( 236 + 40 34 − 236 − 40 34
)
2
34 ) + (0 − 0)2 2
)= 2
=
= 236 + 40 34 + 236 − 40 34 − 2 55.696 − 54.400 = = 472 − 72 = 400 → d(A', F ) − d(A', F' ) = 20
043
Troba les equacions de les hipèrboles que compleixen les condicions següents: a) Les asímptotes són y = 2x i y = −2x i un focus té per coordenades (3 5 , 0). b) Els focus són (−5, 0) i (5, 0), i la distància entre els vèrtexs és 8. 1 1 c) Les asímptotes són y = x i y = − x i passa pel punt (3 29 , 5). 3 3 d) Un focus és (6, 0) i l’excentricitat és 1,2. a)
b = 2 → b = 2a a
c=3 5
Com que c2 = a2 + b2 → 45 = a2 + 4a2 → a2 = 9 → a = 3 → b = 6 → b) c = 5
2a = 8 → a = 4
Com que c = a2 + b2 → 25 = 16 + b2 → b2 = 9 → b = 3 → 2
c)
b 1 = → a = 3b a 3
Com que el punt (3 29 , 5) és un punt de la hipèrbola: 261 25 36 − 2 = 1 → 2 = 1 → b2 = 4 → b = 2 → a = 6 b 9b 2 9b x2 y2 − = 1. Així doncs, l’equació de la hipèrbola és: 36 4
304
x2 y2 − =1 9 36
x2 y2 − =1 16 9
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 305
SOLUCIONARI
d) c = 6
e=
c = 1, 2 → a = 5 a
Com que c 2 = a 2 + b 2 → b = 11 → 044
7
x2 y2 − =1 25 11
Troba l’equació d’una hipèrbola l’eix focal de la qual mesura 18 i passa pel punt P (15, 4). Y
18 F'
P
O
F
X
2a = 18 → a = 9 Com que el punt (15, 4) pertany a la hipèrbola: 225 16 − 2 = 1 → 225b 2 − 1.296 = 81b 2 b 81 → 144b 2 = 1.296 → b = 3 x2 y2 Així doncs, l’equació de la hipèrbola és: − = 1. 81 9 045
El focus d’una hipèrbola es troba a una distància de 2 unitats d’un vèrtex i de 18 unitats de l’altre. Escriu-ne l’equació. d(A, F ) = 2 ⎫⎪ ⎬ → d(A, A' ) = 16 → a = 8 d(A', F ) = 18⎭⎪⎪ Com que d(A, F) = 2 → c = 10 Com que c2 = a2 + b2 → b = 6 →
046
x2 y2 − =1 64 36
Escriu l’equació del lloc geomètric dels punts la diferència de les distàncies dels quals a (0, −12) i a (0, 12) és 10. ( x − 0)2 + ( y + 12)2 − ( x − 0)2 + ( y − 12)2 = 10 →
x 2 + ( y + 12)2 = 10 +
x 2 + ( y − 12)2
→ x 2 + ( y + 12)2 = 102 + x 2 + ( y − 12)2 + 20 x 2 + ( y − 12)2 → y 2 + 144 + 24 y = 100 + y 2 + 144 − 24 y + 20 x 2 + y 2 + 144 − 24 y → 48 y − 100 = 20 x 2 + y 2 + 144 − 24 y → 12y − 25 = 5 x 2 + y 2 + 144 − 24 y → 144 y 2 − 600 y + 625 = 25x 2 + 25y 2 + 3.600 − 600 y y2 x2 → 119 y 2 − 25x 2 = 2.975 → − =1 25 119
305
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 306
Llocs geomètrics. Còniques 047
Troba el focus i la directriu de les paràboles següents. Representa-les gràficament. a) y 2 = 10x
c) x 2 = 6y
e) y 2 = −10x
b) y 2 = 7x
d) x 2 = y
f ) x 2 = −6y
⎛5 ⎞ a) 2p = 10 → p = 5 → F ⎜⎜ , 0⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 5 Directriu: x = − 2 F s
⎛7 ⎞ 7 → F ⎜⎜ , 0⎟⎟⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 2 7 Directriu: x = − 2
b) 2p = 7 → p =
F s
⎛ 3⎞ c) 2p = 6 → p = 3 → F ⎜⎜0, ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 3 Directriu: y = − 2
F s
⎛ 1⎞ 1 → F ⎜⎜0, ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 2 1 Directriu: y = − 4
d) 2p = 1 → p =
F s
⎛ 5 ⎞ e) 2p = −10 → p = −5 → F ⎜⎜− , 0⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 5 Directriu: x = 2
s
F
306
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 307
SOLUCIONARI
⎛ 3⎞ f) 2p = −6 → p = −3 → F ⎜⎜0, − ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 3 Directriu: y = 2
048
7
s F
Troba l’equació reduïda d’una paràbola de vèrtex (0, 0) i directriu horitzontal, i que passa pel punt (−3, 8). L’equació de la paràbola és de la forma: x2 = 2py Com que passa pel punt (−3, 8): 9 = 2p · 8 → p =
049
9 9 → x2 = y 16 8
Busca l’equació reduïda d’una paràbola de vèrtex (0, 0) i directriu vertical si saps que passa pel punt (5, −4). L’equació de la paràbola és de la forma: y2 = 2px Com que passa pel punt (5, −4): 16 = 2p · 5 → p =
050
8 16 → y2 = x 5 5
Troba els vèrtexs, els focus i les directrius d’aquestes paràboles: a) y 2 = 2(x − 3)
d) (x −3)2 = 8(y + 1)
b) (y − 1)2 = 4(x − 4)
e) x2 = −4(y + 1)
c) x 2 = 6(y − 2)
f ) (y + 3)2 = −8(x − 1)
a) V(3, 0)
⎛7 2p = 2 → p = 1 → F ⎜⎜ , ⎜⎝ 2 b) V(4, 1)
⎞ 0⎟⎟⎟ ⎟⎠
2p = 4 → p = 2 → F(5, 1)
Directriu: x =
5 2
Directriu: x = 3
c) V(0, 2)
⎛ 7⎞ 2p = 6 → p = 3 → F ⎜⎜0, ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
Directriu: y =
1 2
d) V(3, −1) 2p = 8 → p = 4 → F(3, 1)
Directriu: y = −3
e) V(0, −1) 2p = 4 → p = 2 → F(0, −3)
Directriu: y = 1
f) V(1, −3) 2p = 8 → p = 4 → F(−1, −3)
Directriu: x = 3
307
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 308
Llocs geomètrics. Còniques 051
Troba l’equació de les paràboles següents: a) Focus a (3, 0) i directriu x = −8. b) Focus a (0, 2) i directriu y = −2.
c) Focus a (3, 1) i directriu x = −5. d) Focus a (3, 1) i directriu x = 7.
a) d(P, F ) = d(P, s) → ( x − 3)2 + y 2 = x + 8 x 2 − 6x + 9 + y 2 = x 2 + 16x + 64 → y 2 = 22x + 55 b) d(P, F ) = d(P, s) → x 2 + ( y − 2)2 = y + 2 x 2 + y 2 − 4 y + 4 = y 2 + 4 y + 4 → x 2 = 8y c) d(P, F ) = d(P, s) → ( x − 3)2 + ( y − 1)2 = x + 5 x 2 − 6x + 9 + y 2 − 2y + 1 = x 2 + 10x + 25 → ( y − 1)2 = 16x + 16 d) d(P, F ) = d(P, s) → ( x − 3)2 + ( y − 1)2 = x − 7 x 2 − 6x + 9 + y 2 − 2y + 1 = x 2 − 14 x + 49 → ( y − 1)2 = −8x + 40
052
Troba l’equació de la paràbola amb aquestes dades i determina els elements que hi falten (focus, vèrtex o directriu): a) Vèrtex a (2, 3) i directriu x = −3. b) Vèrtex a (−2, 0) i directriu x = 6.
c) Vèrtex a (3, 1) i focus a (3, 7). d) Vèrtex a (3, 1) i focus a (5, 1).
a) L’equació de la paràbola és de la forma: ( y − 3)2 = 2p(x − 2) p Com que la directriu és x = −3 → =d(V,d)=5→ p = 10 → (y − 3)2 = 20(x − 2) 2 El focus de la paràbola és: F(7, 3) b) L’equació de la paràbola és de la forma: y2 = −2p(x + 2) p Com que la directriu és x = 6 → = d(V, d) = 8 → p = 16 → y2 = −32(x + 2) 2 El focus de la paràbola és: F(−10, 0) c) L’equació de la paràbola és de la forma: (x − 3)2 = 2p(y − 1) p F(3, 7) → = d(V, F) = 6 → p = 12 → (x − 3)2 = 24(y − 1) 2 La directriu de la paràbola és: y = −5 d) L’equació de la paràbola és de la forma: (y − 1)2 = 2p(x − 3) p F(5, 1) → = d(V, F) = 2 → p = 4 → (y − 1)2 = 8(x − 3) 2 La directriu de la paràbola és: x = 1 053
Troba l’equació del lloc geomètric dels punts que equidisten del punt P(3, 1) i de la recta r: 3x −4y + 5 = 0. P
P'' P'
308
r
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 309
SOLUCIONARI
7
Considerem P(x, y) un punt del lloc geomètric. ( x − 3)2 + ( y − 1)2 = →
3x − 4y + 5 32 + (−4)2
x 2 − 6x + 9 + y 2 − 2y + 1 =
3x − 4 y + 5
5 2 9 16 x + y 2 + 25 + 30x − 40 y − 24 xy → x 2 − 6x + 9 + y 2 − 2y + 1 = 25 → 25x2 − 150x + 225 + 25y2 − 50y + 25 = = 9x2 + 16y2 + 25 + 30x − 40y − 24xy → 16x2 + 9y2 + 24xy − 180x − 10y + 225 = 0
054
Quin és el vèrtex d’una paràbola que té de focus (−1, 3) si la directriu és la bisectriu del primer quadrant? Si la directriu és y = x, com que l’eix de la paràbola és una recta perpendicular, es verifica que és de la forma: y = −x + k. Com que F(−1, 3) és un punt de l’eix: 3 = 1 + k → k = 2 y = x ⎪⎫ ⎬ → P(1, 1) és el punt d’intersecció de l’eix i la directriu. y = −x + 2⎪⎪⎭ El vèrtex de la paràbola és el punt mitjà del segment PF: V(0, 2).
055
Troba les equacions de les circumferències que tenen les característiques següents: a) Centre a (5, −3) i radi 8. b) Centre a (−2, −4) i diàmetre 20 . c) Centre a (0, 0) i radi 3. d) Centre a (−3, 4) i radi 5. a) (x − 5)2 + (y + 3)2 = 64 → x2 + y2 − 10x + 6y − 30 = 0 b) (x + 2)2 + (y + 4)2 = 20 → x2 + y2 + 4x + 8y = 0 c) x2 + y2 = 9 d) (x + 3)2 + (y − 4)2 = 25 → x2 + y2 + 6x − 8y = 0
056
Determina l’equació d’una circumferència amb centre a (−1, 6) i que passa pel punt (3, −3). Digues si el punt (−2, −8) està situat en aquesta circumferència. L’equació de la circumferència és de la forma: (x + 1)2 + (y − 6)2 = r2 Si passa pel punt (3, −3): (3 + 1)2 + (−3 − 6)2 = 97 → r =
97
L’equació simplificada és: x + y + 2x − 12y − 60 = 0 2
2
Substituïm: (−2)2 + (−8)2 + 2(−2) − 12(−8) − 60 = 100 ⫽ 0 (−2, −8) No pertany a la circumferència.
309
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 310
Llocs geomètrics. Còniques 057
Determina si les equacions següents corresponen a circumferències i, en cas afirmatiu, calcula’n el centre i el radi: a) x 2 + y 2 + 6x − 4y − 12 = 0 b) x 2 + y 2 −2x + 10y + 21 = 0 c) x 2 + y 2 −4x + 6y + 18 = 0
d) x 2 + y 2 + 8x + 4y + 20 = 0 e) 4x 2 + 4y 2 −4x + 12y − 71 = 0 f ) 4x 2 + 4y 2 −4x + 6y − 7 = 0
a) x2 + y2 + 6x − 4y − 12 = 0 → (x + 3)2 + (y − 2)2 = 25 L’equació correspon a una circumferència de centre C(−3, 2) i radi 5. b) x2 + y2 − 2x + 10y + 21 = 0 → (x − 1)2 + (y + 5)2 = 5 L’equació correspon a una circumferència de centre C(1, −5) i radi 5 . c) x2 + y2 − 4x + 6y + 18 = 0 → (x − 2)2 + (y + 3)2 = −5 No és una circumferència. d) x2 + y2 + 8x + 4y + 20 = 0 → (x + 4)2 + (y + 2)2 = 0 No és una circumferència. 71 =0 4 2 2 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 3 81 → ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ + ⎜⎜ y + ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 ⎛1 3⎞ 9 L’equació correspon a una circumferència de centre C ⎜⎜⎜ , − ⎟⎟⎟ i radi . ⎝2 2 ⎟⎠ 2 3 7 2 2 2 2 f ) 4x + 4 y − 4x + 6y − 7 = 0 → x + y − x + y − = 0 2 4 2 2 ⎛ 3 ⎞⎟ 41 1 ⎞⎟ ⎛⎜ ⎜ → ⎜ x − ⎟⎟ + ⎜ y + ⎟⎟ = ⎜ ⎜⎝ ⎟ ⎟ 4⎠ 16 2⎠ ⎝ ⎛1 3⎞ 41 L’equació correspon a una circumferència de centre C ⎜⎜⎜ , − ⎟⎟⎟ i radi . ⎝2 4 ⎟⎠ 4
e) 4x 2 + 4 y 2 − 4 x + 12y − 71 = 0 → x 2 + y 2 − x + 3y −
058
Determina l’equació de la circumferència de centre (3, −4) i que és tangent a la recta: 3x + 4y −18 = 0 d(P, r) =
3 ⋅ 3 + 4 (−4) − 18
=5 32 + 4 2 L’equació de la circumferència és: (x − 3)2 + (y + 4)2 = 25 → x2 + y2 − 6x + 8y = 0. 059
Troba l’equació de la circumferència que passa pels punts (2, 9), (4, 7) i (−10, −7). Determina si els punts següents són a la circumferència o no. Si no és així, determina si són punts interiors o exteriors de la circumferència sense representar-la gràficament. a) (−4, −9)
b) (−5, 10)
c) (5, −5)
Considerem que l’equació de la circumferència és de la forma: x2 +y2 +Ax+By+C=0 4 + 81+ 2A + 9B + C = 0⎫⎪⎪ 2A + 9B + C = −85⎫⎪⎪ 2A + 9B + C = −85⎪⎪⎫ ⎪ 16 + 49 + 4A + 7B + C = 0⎬ → 4A + 7B + C = −65⎪⎬ → A − B = 10⎪⎬ ⎪ ⎪ ⎪ 100 + 49 − 10A − 7B + C = 0⎪⎭⎪ 10A + 7B − C = 149⎪⎭⎪ 7A + 4B = 16⎪⎭⎪ 2A + 9B + C = −85⎪⎫⎪ A = 8 → A− B = 10⎪⎬ B = −2 → x 2 + y 2 + 8x − 2y − 83 = 0 ⎪ 7A = 56⎪⎪⎭ C = −83
310
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 311
SOLUCIONARI
7
a) (−4)2 + (−9)2 + 8(−4) − 2(−9) − 83 = 0 → (−4, −9) pertany a la circumferència. b) (−5)2 + 102 + 8(−5) − 2 · 10 − 83 = −18 ⫽ 0 → (−5, 10) no pertany a la circumferència. x2 + y2 + 8x − 2y − 83 = 0 → (x + 4)2 + (y − 1)2 = 100 → Centre: (−4, 1) i radi: 10 (−5 + 4)2 + (10 − 1)2 =
82 < 10 → El punt (−5, 10) és interior.
c) 52 + (−5)2 + 8 · 5 − 2(−5) − 83 = 17 ⫽ 0 → (5, −5) no pertany a la circumferència. (5 + 4)2 + (−5 − 1)2 = 117 > 10 → El punt (5, −5) és exterior.
060
Determina el punt de la circumferència de centre (2, 8) i radi 5 que sigui més proper a cadascun d’aquests punts: a) P(7, 18) b) Q(−1, 6) c) R(5, 4) L’equació de la circumferència és: (x − 2)2 + (y − 8)2 = 25 → x2 + y2 − 4x − 16y + 43 = 0 Y P A N Q M
C R
2 2
X
a) La recta que passa per P i el centre de la circumferència és: 2x − y + 4 = 0 x 2 + y 2 − 4 x − 16 y + 43 = 0⎪⎫⎪ 2 ⎬ → x − 4x − 1 = 0 → x = 2 ± 5 y = 2x + 4 ⎪⎪⎭ Les coordenades del punt més proper són: A(2 + 5 , 8 + 2 5 ).
b) La recta que passa per Q i el centre de la circumferència és: 2x − 3y + 20 = 0 x 2 + y 2 − 4 x − 16 y + 43 = 0⎫⎪⎪ 26 ± 15 13 2x + 20 ⎪⎬ → 13x 2 − 52x − 173 = 0 → x = ⎪⎪ y= 13 ⎪⎭ 3 ⎛ 26 − 15 13 ⎞⎟ , 24 − 10 13 ⎟⎟. Les coordenades del punt més proper són: M ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 13 2 2 c) 5 + 4 − 4 · 5 − 16 · 4 + 43 = 0 → R pertany a la circumferència i coincideix amb el punt que es demana.
311
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 312
Llocs geomètrics. Còniques 061
Troba l’equació de la circumferència de centre (−4, 2) que és tangent a la circumferència: x 2 + y 2 −16x + 6y + 72 = 0 x2 + y2 − 16x + 6y + 72 = 0 → (x − 8)2 + (y + 3)2 = 1 La circumferència té centre C1(8, −3) i radi r1 = 1. (8 + 4)2 + (−3 − 2)2 = 13 → r2 = 12 Per tant, la circumferència tangent és: (x + 4)2 + (y − 2)2 = 144 → x2 + y2 + 8x − 4y − 124 = 0
062
Determina l’equació de la recta tangent i de la recta normal a la circumferència de radi 5 i centre (−8, 2) al punt (−4, −1). La recta normal passa pel punt i pel centre de la circumferència. La seva equació és: 3x + 4y + 16 = 0. La recta tangent passa pel punt i és perpendicular a la normal. La seva equació és: 4x − 3y + 13 = 0.
063
Escriu l’equació de la recta tangent i de la recta normal a la circumferència: x + y −6x − 2y − 15 = 0 2
2
4 P
al punt P(−1, 4). x2 + y2 − 6x − 2y − 15 = 0 → (x − 3)2 + (y − 1)2 = 25 → C(3, 1)
t
La recta normal passa pel punt i pel centre de la circumferència. La seva equació és: 3x + 4y − 13 = 0. La recta tangent passa pel punt i és perpendicular a la normal. La seva equació és: 4x − 3y + 16 = 0. 064
Troba l’equació de la circumferència que passa pels punts (7, −4) i (4, −1), i que té el centre a la recta 2x + y − 1 = 0. Com que el centre equidista dels punts, es troba a la mediatriu del segment que formen. ( x − 7)2 + ( y + 4)2 = ( x − 4)2 + ( y + 1)2 → x 2 − 14 x + 49 + y 2 + 8 y + 16 = = x 2 − 8x + 16 + y 2 + 2y + 1 → x − y − 8 = 0 El centre és el punt d’intersecció de la mediatriu i la recta donada. 2x + y − 1 = 0⎫⎪ ⎬ → C(3, −5) x − y − 8 = 0⎪⎪⎭ r = (3 − 7)2 + (−5 + 4)2 = 17 L’equació de la circumferència és: (x − 3)2 + (y + 5)2 = 17 → x2 + y2 − 6x + 10y + 17 = 0
312
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 313
SOLUCIONARI
065
7
Troba els punts d’intersecció de la circumferència x 2 + y 2 − 4x + 6y − 28 = 0 amb les rectes: a) r: x + 9y −16 = 0
b) s: x + y + 2 = 0
c) t: 4x −5y −23 = 0
a) x 2 + y 2 − 4x + 6 y − 28 = 0⎫⎪⎪ 2 ⎬ → y − 3y + 2 = 0 x + 9 y − 16 = 0⎪⎪⎭ Els punts d’intersecció són: (7, 1) i (−2, 2). b) x 2 + y 2 − 4x + 6y − 28 = 0⎫⎪⎪ 2 ⎬ → x − 3x − 18 = 0 x + y + 2 = 0⎪⎪⎭ Els punts d’intersecció són: (6, −8) i (−3, 1).
c) x 2 + y 2 − 4x + 6y − 28 = 0⎪⎫⎪ 2 ⎬ → x − 4 x − 21 = 0 4x − 5y − 23 = 0⎪⎪⎭ Els punts d’intersecció són: (7, 1) i (−3, −7).
066
Determina quines posicions relatives tenen aquestes rectes amb la circumferència x 2 + y 2 − 10x − 4y + 16 = 0. a) r: −x + 2y + 11 = 0 b) s: 3x − 2y − 7 = 0
c) t: 2x −3y + 9 = 0 d) u: 3x + 5y = −2
a) x 2 + y 2 − 10x − 4y + 16 = 0⎪⎫⎪ 2 ⎬ → 5y + 20 y + 27 = 0 −x + 2y + 11 = 0⎪⎪⎭ ∆ = −140 < 0 → L’equació no té solucions; per tant, la recta és exterior a la circumferència. b) x 2 + y 2 − 10x − 4y + 16 = 0⎪⎫⎪ 2 ⎬ → 13x − 106x + 169 = 0 3x − 2y − 7 = 0⎪⎪⎭
∆ = 2.448 > 0 → L’equació té dues solucions; per tant, la recta i la circumferència són secants.
c) x 2 + y 2 − 10x − 4 y + 16 = 0⎪⎫⎪ 2 ⎬ → y − 10 y + 25 = 0 2x − 3y + 9 = 0⎪⎪⎭
∆ = 0 → L’equació té una solució; per tant, la recta és tangent a la circumferència.
d) x 2 + y 2 − 10x − 4 y + 16 = 0⎪⎫⎪ 2 ⎬ → 17x + 89x + 222 = 0 3x + 5y + 2 = 0⎪⎪⎭
∆ = −7.175 < 0 → L’equació no té solucions; per tant, la recta és exterior a la circumferència.
067
Troba el valor del coeficient C a la circumferència x 2 + y 2 + 10x + 2y + C = 0 perquè sigui tangent a la recta 2x + 3y = 0. x 2 + y 2 + 10x + 2y + C = 0⎪⎫⎪ 2 ⎬ → 13x + 78x + 9C = 0 2x + 3y = 0⎪⎪⎭ Si la recta és tangent, llavors la intersecció amb la circumferència és un sol punt, per tant, l’equació de segon grau ha de tenir una única solució. 6.084 − 468C = 0 → C = 13
313
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 314
Llocs geomètrics. Còniques 068
Quin ha de ser el radi de la circumferència de centre (9, −2) perquè sigui tangent a la recta y = −3x + 5? Troba l’equació de la circumferència. ( x − 9)2 + ( y + 2)2 = r 2⎪⎪⎫ 2 2 ⎬ → 10x − 60x + 130 − r = 0 y = −3x + 5⎪⎪⎭ Si la recta és tangent, llavors la intersecció amb la circumferència és un sol punt, per tant, l’equació de segon grau ha de tenir una única solució. 3.600 − 40(130 − r2) = 0 → 40r2 − 1.600 = 0 → r = 2 10 L’equació de la circumferència és: (x − 9)2 + (y + 2)2 = 40 → x2 + y2 − 18x + 4y + 45 = 0
069
Calcula el valor de B de manera que la recta 3x + By −6 = 0 sigui tangent a la circumferència: x 2 + y 2 + 10x + 2y + 1 = 0 x 2 + y 2 + 10x + 2y + 1 = 0⎫⎪⎪ ⎪ 2 2 6 − By ⎬⎪ → (B + 9)y + (118 − 42B)y + 225 = 0 x= ⎪⎪ 3 ⎭ Si la recta és tangent, llavors la intersecció amb la circumferència és un sol punt, per tant, l’equació de segon grau ha de tenir una única solució. ⎪⎧⎪B = 4 (18 − 42B)2 − 900(B2 +9) = 0 → 4B2 − 7B − 36 = 0 → ⎪⎨ 9 ⎪⎪B = − ⎪⎩ 4
070
Determina l’equació de la recta tangent a la circumferència de radi 3, centre a (5, −2) i que és paral·lela a la recta 2x + y −11 = 0. Les rectes paral·leles a la recta donada són de la forma: 2x + y + k = 0 (x − 5)2 + (y + 2)2 = 9⎪⎫⎪ x 2 + y 2 − 10x + 4 y + 20 = 0⎪⎫⎪ ⎬ ⎬→ ⎪ y = −2x − k ⎪⎪⎭ 2x + y + k = 0⎪⎭ → 5x 2 + (4k − 18)x + k 2 − 4k + 20 = 0 Si la recta és tangent, llavors la intersecció amb la circumferència és un sol punt, per tant, l’equació de segon grau ha de tenir una única solució. (4k − 18)2 − 20(k2 − 4k + 20) = 0 → k2 + 16k + 19 = 0 → k = −8 ± 3 5 ⎧⎪2x + y − 8 + 3 5 = 0 Les dues rectes que compleixen les condicions són: ⎪⎨ ⎪⎪ 2x + y − 8 − 3 5 = 0 ⎩
071
Troba l’equació de la recta tangent a la circumferència x 2 + y 2 + 10x = 0 que és perpendicular a la recta −4x + y + 8 = 0. Les rectes perpendiculars a la recta donada són de la forma: x + 4y + k = 0 x 2 + y 2 + 10x = 0⎪⎪⎫ 2 2 ⎬ → 17y + (8k − 40)y + k − 10k = 0 x = −4 y − k ⎪⎪⎭ Si la recta és tangent, llavors la intersecció amb la circumferència és un sol punt, per tant, l’equació de segon grau ha de tenir una única solució. (8k − 40)2 − 68(k2 − 10k) = 0 → k2 − 10k − 400 = 0 → k = 5 ± 5 17 ⎧⎪ x + 4 y + 5 + 5 17 = 0 Les dues rectes que compleixen les condicions són: ⎪⎨ ⎪⎪ x + 4 y + 5 − 5 17 = 0 ⎩
314
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 315
7
SOLUCIONARI
072
Troba l’equació del diàmetre de la circumferència x 2 + y 2 − 2x + 4y − 24 = 0 i que passa per (11, 2). Determina els dos extrems del diàmetre. x2 + y2 − 2x + 4y − 24 = 0 → (x − 1)2 + (y + 2)2 = 29 → C(1, −2) x − 11 y −2 = → 2x − 5y − 12 = 0 10 4 x 2 + y 2 − 2x + 4y − 24 = 0⎫⎪⎪ 2 ⎬ → x − 2x − 24 = 0 2x − 5y − 12 = 0⎪⎪⎭
L’equació del diàmetre és:
Els extrems del diàmetre són els punts d’intersecció: (6, 0) i (−4, −4). 073
Calcula la longitud de la corda que determina la recta r: x + y + 1 = 0 quan talla la circumferència x 2 + y 2 + 4x + 12y + 11 = 0. Demostra que la mediatriu d’aquesta corda passa pel centre de la circumferència.
A
B
x 2 + y 2 + 4 x + 12y + 11 = 0⎪⎫⎪ 2 ⎬ → x − 3x = 0 x + y + 1 = 0⎪⎪⎭
r
Els punts d’intersecció són: A(0, −1) i B(3, −4) La longitud de la corda és: d(A, B) = (3 − 0)2 + (−4 + 1)2 = 3 2 unitats ⎛3 5⎞ El punt mitjà de la corda és: M ⎜⎜⎜ , − ⎟⎟⎟ ⎝2 2 ⎟⎠ ជ Com que AB = (3, −3), un vector normal és (1, 1). Així doncs, l’equació de la mediatriu és: 5 3 = x− → x− y−4 = 0 2 2 x2 + y2 + 4x + 12y + 11 = 0 → (x + 2)2 + (y + 6)2 = 29 → C(−2, −6) y+
Com que −2 + 6 − 4 = 0 → La mediatriu passa per C. 074
Les rectes 2x −3y + 5 = 0 i 3x + 2y + 1 = 0 són, respectivament, la recta tangent i la recta normal a una circumferència de radi 4 en un punt. Determina el punt i l’equació de la circumferència. 2x − 3y + 5 = 0⎪⎫ ⎬ → (−1, 1) és el punt de tangència. 3x + 2y + 1 = 0⎭⎪⎪ El conjunt de punts que es troben a 13 unitats del punt A és: (x + 1)2 + (y − 1)2 = 13 → x2 + y2 + 2x − 2y − 11 = 0 Com que la normal a la circumferència que es demana passa pel centre d’aquesta: x 2 + y 2 + 2x − 2y − 11 = 0⎫⎪⎪ 2 ⎬ → x + 2x − 3 = 0 3x + 2y + 1 = 0⎪⎪⎭ Els punts d’intersecció són: (1, −2) i (−3, 4)
Així doncs, les dues circumferències que compleixen les condicions són: ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 13 → x 2 + y 2 − 2x + 4 y − 8 = 0⎪⎫⎪ ⎬ ( x + 3)2 + ( y − 4)2 = 13 → x 2 + y 2 + 6x − 8 y + 12 = 0⎪⎪⎭
315
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 316
Llocs geomètrics. Còniques 075
Troba la intersecció de la circumferència de centre (0, 0) i radi 5 amb una altra circumferència que té com a centre (2, 0) i com a radi 4. 13 x 2 + y 2 = 25⎫⎪⎪ 2 2 ⎬ → 25 − x = 16 − ( x − 2) → 4 x = 13 → x = (x − 2)2 + y 2 = 16⎪⎪⎭ 4 169 231 231 + y 2 = 25 → y 2 = → y =± 16 16 4 ⎞⎟ ⎛ 13 ⎞ ⎛ 13 231 ⎟⎟ i ⎜⎜ , − 231 ⎟⎟⎟ . Els punts d’intersecció són: ⎜⎜⎜ , ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ 4 4 ⎠ ⎜⎝ 4 4 ⎟⎟⎠
076
Troba l’equació de la recta que passa pels punts d’intersecció d’aquestes circumferències: C1: x 2 + y 2 − 2x − y − 5 = 0 C2: x 2 + y 2 − 5 = 0 x 2 + y 2 − 2x − y − 5 = 0⎪⎫⎪ ⎬ → 2x + y + 5 = 5 → 2x + y = 0 x 2 + y 2 − 5 = 0⎪⎪⎭
077
Determina la distància del centre de la circumferència x 2 + y 2 − 2x + 4y − 24 = 0 a cadascuna de les rectes següents, i utilitza-ho per trobar la posició relativa de cada recta amb la circumferència: a) r: 2x + y −7 = 0 b) s: 5x + 2y −30 = 0
c) t: −x + 2y + 20 = 0 d) u: x −2 = 0
x2 + y2 − 2x + 4y − 24 = 0 → (x − 1)2 + (y + 2)2 = 29 → C(1, −2) a)
2 ⋅ 1 + (−2) − 7 2 +1 2
b)
c)
d)
078
2
=
5 ⋅ 1 + 2(−2) − 30 52 + 22 − 1 + 2(−2) + 20 (−1)2 + 22 1− 2 12
7 5 < 29 → La recta és secant a la circumferència. 5 =
29 = r → La recta és tangent a la circumferència.
= 3 5 > 29 → La recta és exterior a la circumferència.
= 1 < 29 → La recta és secant a la circumferència.
Calcula l’equació de la circumferència que passa pels punts (5, 4) i (−2, 3) i que té un radi de 5 unitats. La circumferència d’equació (x − a)2 + (y − b)2 = 52 passa per (5, 4) i (−2, 3): (5 − a)2 + (4 − b)2 = 52 → a2 + b 2 − 10a − 8b = −16 (−2 − a)2 + (3 − b)2 = 52 → a 2 + b 2 + 4a − 6b = 12 Restem les dues equacions: 14a + 2b = 28 → b = 14 − 7a Substituïm en la primera equació: ⎪⎧a = 2 → b = 0 a 2 + (7(2 − a))2 − 10a − 8 ⋅ 7(2 − a) = −16 → a 2 − 3a + 2 = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩a = 1 → b = 7 Hi ha dues circumferències que compleixen les condicions del problema: ( x − 2)2 + y 2 = 52 → ( x − 1)2 + ( y − 7)2 = 52
316
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 317
SOLUCIONARI
079
7
Troba l’equació de la circumferència que passa pels punts (−3, 7) i (11, 3) i amb un radi de 2 unitats. Explica el que passa. La circumferència d’equació (x − a)2 + (y − b)2 = 22 passa per (−3, 7) i (11, 3): (−3 − a)2 + (7 − b)2 = 22 → a 2 + b2 + 6a − 14b = −54 (11− a)2 + (3 − b)2 = 22 → a2 + b 2 − 22a − 6b = −126 Restem les dues equacions: 28a − 8b = 72 → b =
7a − 18 2
Substituïm en la primera equació: ⎛ 7a − 18 ⎞⎟ 7a − 18 ⎟ + 6a − 14 ⋅ = −54 → 53a 2 − 424a + 1.044 = 0 a 2 + ⎜⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 2 2
∆ = −41.552 → No hi ha cap circumferència que compleixi aquestes condicions alhora. 080
Troba el volum d’un cilindre la base del qual té d’equació x 2 + y 2 + 6x + 10y + 9 = 0, i l’altura mesura 2 unitats.
2
x2 + y2 + 6x + 10y + 9 = 0 → (x + 3)2 + (y + 5)2 = 25 → r = 5 El volum del cilindre és: V = π · r 2 · h = 50π =157,08. 081
Determina les equacions del lloc geomètric dels punts que equidisten de (1, 4) i de la recta 3x + 4y + 1 = 0. Es tracta d’una paràbola? En podem escriure l’equació? Per què? ( x − 1)2 + ( y − 4)2 = →
3x + 4 y + 1 32 + 4 2
x − 2x + 1 + y 2 − 8 y + 16 = 2
3x + 4 y + 1
5 9x 2 + 16 y 2 + 1 + 6x + 8 y + 24 xy → x − 2x + 1 + y − 8 y + 16 = 25 2
2
→ 25x2 − 50x + 25 + 25y2 − 200y + 400 = 9x2 + 16y2 + 1 + 6x + 8y + 24xy → 16x2 + 9y2 − 24xy − 56x − 208y + 424 = 0 Es tracta d’una paràbola, però no se’n pot escriure l’equació reduïda, perquè el vèrtex i el focus no estan situats en un dels eixos de coordenades. 082
Troba el lloc geomètric dels centres de les circumferències que passen, alhora, pels punts (4, 1) i (−2, 5). De quina figura es tracta? Els centres de les circumferències es troben a la mateixa distància dels dos punts; per tant, formen la mediatriu del segment que determinen. ( x − 4)2 + ( y − 1)2 = ( x + 2)2 + ( y − 5)2 → x 2 − 8x + 16 + y 2 − 2y + 1 = = x 2 + 4 x + 4 + y 2 − 10 y + 25 → 3x − 2y + 3 = 0
317
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 318
Llocs geomètrics. Còniques 083
Escriu l’equació de la circumferència que és tangent a la recta 3x −4y −28 = 0 si saps que el radi fa 5 i que passa pel punt (−2, 4). Y
La recta normal en el punt de tangència de la recta 3x − 4y − 28 = 0 que passa pel punt (−2, 4) és: 4x + 3y − 4 = 0
1 X
1
Les dues rectes es tallen en un altre punt de la circumferència: 3x − 4 y − 28 = 0⎫⎪⎪ 12x − 16 y − 112 = 0⎫⎪⎪ ⎬→ ⎬ → (4, − 4) 4 x + 3y − 4 = 0⎪⎪⎭ −12x − 9 y + 12 = 0⎪⎪⎭
Per tant, el punt mitjà del segment AB és C(1, 0), i el radi de la circumferència és: r = (−2 − 1)2 + (4 − 0)2 = 5 L’equació de la circumferència és: (x − 1)2 + y2 = 25 → x2 + y2 − 2x − 24 = 0. 084
Si dibuixes quatre punts sobre una circumferència i els uneixes, tal com es veu a la figura, resulta que:
N M
TM ⋅ TQ = TN ⋅ TP
T
Comprova-ho agafant els punts M(5, 1), N(4, 2), P(−3, −5) i Q(−2, 2) i demostrant que estan sobre la mateixa circumferència. Troba’n l’equació. Després, calcula el punt T i prova que es verifica la igualtat inicial.
P Q
Considerem que l’equació de la circumferència és de la forma: x2 + y2 + Ax + By + C = 0. 5A + B + C = −26⎪⎫⎪ 25 + 1 + 5A + B + C = 0⎪⎫⎪ 5A + B + C = −26⎪⎪⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 16 + 4 + 4A + 2B + C = 0⎬ → 4A + 2B + C = −20⎬ → A − B = −6 ⎬ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 9 + 25 − 3A − 5B + C = 0⎪⎭⎪ 3A + 5B − C = 34⎪⎭⎪ 4A + 3B = 4⎭⎪⎪⎪ A = −2 ⎪⎫⎪ 5A + B + C = −26 ⎪⎫⎪ ⎪ ⎪ → A−B = − 6⎬ → B = 4 ⎬ → x 2 + y 2 − 2x + 4 y − 20 = 0 ⎪ ⎪⎪ 7A = −14 ⎪⎭⎪ C = −20⎪⎪⎭⎪ Obtenim l’equació de la circumferència que passa per M, N i P. Com que (−2)2 + 22 − 2(−2) + 4 · 2 − 20 = 0, Q pertany també a la circumferència. x −5 y −1 = → x + 7 y − 12 = 0 −7 1 x−4 y −2 = → x − y −2 = 0 La recta que passa per N i P té per equació: −7 −7 ⎛ 13 5 ⎞ x + 7y − 12 = 0⎫⎪ ⎬ → T ⎜⎜⎜ , ⎟⎟⎟⎟ x − y − 2 = 0⎪⎪⎭ ⎝ 4 4⎠ La recta que passa per M i Q té per equació:
⎛ ⎛ 13 ⎞ ⎛ 5⎞ 13 ⎞ ⎛ 5⎞ TM ⋅ TQ = ⎜⎜5 − ⎟⎟⎟ + ⎜⎜1− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜−2 − ⎟⎟⎟ + ⎜⎜2 − ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 2
⎛ 13 ⎞ ⎛ TN ⋅ TP = ⎜⎜ 4 − ⎟⎟⎟ + ⎜⎜2 − ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 2
318
2
2
⎛ 5 ⎞⎟ 13 ⎞ ⎛ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜−3 − ⎟⎟⎟ + ⎜⎜−5 − ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 2
2
2
5 ⎞⎟ ⎟⎟ = 4 ⎟⎠ 2
50 ⋅ 16
450 75 = 16 2
18 1.2250 75 ⋅ = 16 16 2
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 319
7
SOLUCIONARI
085
s
En aquesta figura hem traçat les dues rectes tangents s i t a una circumferència, de centre C i radi r, dibuixades des d’un punt P exterior a la circumferència.
A C r
Suposem que C(−1, 3), el radi fa 5 unitats i el punt P(−9, −3). P
Les rectes que passen per P tenen la forma:
A'
t
y = −3 + m(x + 9) → mx − y + 9m − 3 = 0 Imposem que la distància de C a aquesta recta sigui igual que el radi, de 5 unitats. (−1)m − 3 + 9m − 3 m2 + 1
=5
Si elevem al quadrat, obtenim l’equació: (8m − 6)2 = (5 m2 + 1 )
2
que té dues solucions: 0,12 i 2,34; per la qual cosa les equacions de les rectes són: y = 0,12x − 1,92
y = 2,34x + 18,07
Si considerem totes aquestes dades, calcula les dues rectes tangents a la circumferència donada que passen per: a) El punt (0, 14). b) El punt (12, 0). c) Explica què passa quan calculem les rectes tangents a la circumferència que passen pel punt (2, 6). a) Les rectes que passen per (0, 14) són de la forma: mx − y + 14 = 0 m(−1) − 3 + 14 m + (−1) 2
2
=5→
−m + 11 m2 + 1
= 5 → m2 − 22m + 121 = 25(m2 + 1) ⎧⎪m = −2,51 → 12m2 + 11m − 48 = 0 → ⎪⎨ ⎩⎪⎪m = 1,59
⎧ Les rectes tangents són: ⎪⎨−2,51x − y + 14 = 0 ⎪⎪⎩1,59x − y + 14 = 0 b) Les rectes que passen per (12, 0) són de la forma: mx − y − 12m = 0 m(−1) − 3 − 12m m2 + (−1)2
=5→
−13m − 3 m2 + 1
= 5 → 169m2 + 78m + 9 = 25(m2 + 1) ⎧⎪m = 0,15 → 72m2 + 39m − 8 = 0 → ⎪⎨ ⎩⎪⎪m = −0,7
⎪⎧ 0,15x − y − 1,8 = 0 Les rectes tangents són: ⎪⎨ ⎪⎪⎩−0,7x − y + 8,4 = 0 c)
(2 + 1)2 + (6 − 3)2 = 3 2 < 5 → El punt és interior a la circumferència, no es poden traçar les tangents.
319
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 320
Llocs geomètrics. Còniques 086
Donades les rectes r: 3x + 4y + 7 = 0 i s: 12x − 5y + 7 = 0, podem traçar una circumferència de centre (4, 4) que sigui tangent a totes dues rectes? I amb el centre al punt (10, 2)? Escriu l’equació d’aquesta circumferència en el cas que la resposta hagi estat afirmativa. Circumferència de centre (4, 4): ⎫⎪ = 7 ⎪⎪ ⎪⎪ 32 + 4 2 ⎬ → No es pot traçar la circumferència, ja que 35 ⎪⎪ el centre no es troba a la mateixa distància 12 ⋅ 4 − 5 ⋅ 4 + 7 = ⎪ 13 ⎪⎪⎭ de les dues rectes. 122 + (−5)2 3⋅ 4 + 4 ⋅ 4 + 7
Circumferència de centre (10, 2): ⎪⎫ = 9 ⎪⎪ ⎪⎪ 3 +4 ⎬ → El centre és a la mateixa distància de les dues rectes. ⎪ 12 ⋅ 10 − 5 ⋅ 2 + 7 = 9⎪⎪⎪ 2 2 ⎪⎭ 12 + (−5) 3 ⋅ 10 + 4 ⋅ 2 + 7 2
2
L’equació de la circumferència és: (x − 4)2 + (y − 4)2 = 81 → x2 + y2 − 8x − 8y − 49 = 0
087
Donades les rectes r: 3x + 4y − 10 = 0 i s: 5x − 12y + 2 = 0, i la circumferència x 2 + y 2 − 20x + 84 = 0:
s A P
a) Comprova que les dues rectes són tangents a la circumferència.
Q
b) Troba el punt P d’intersecció de totes dues rectes; el punt C, que és el centre de la circumferència, i els punts A i A', en els quals les rectes són tangents a la circumferència.
C Q'
A' r
c) Si anomenem d la distància que separa P de C, la distància de P a Q és d − r, 2 i la distància de P a Q' és d + r. Demostra que PQ · PQ' = ( PA) . a) x 2 + y 2 − 20x + 84 = 0⎪⎫⎪ 2 ⎬ → 25x − 380x + 1.444 = 0 3x + 4 y − 10 = 0⎪⎪⎭ ∆ = 0 → L’equació té una solució; per tant, la recta és tangent a la circumferència. x 2 + y 2 − 20x + 84 = 0⎫⎪⎪ 2 ⎬ → 169x − 2.860xx + 12.100 = 0 5x − 12y + 2 = 0⎪⎪⎭ ∆ = 0 → L’equació té una solució; per tant, la recta és tangent a la circumferència.
320
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 321
SOLUCIONARI
7
b) 3x + 4 y − 10 = 0⎫⎪ 9x + 12y − 30 = 0⎫⎪ ⎬→ ⎬ → P(2, 1) 5x − 12y + 2 = 0⎪⎪⎭ 5x − 12y + 2 = 0⎪⎪⎭ x2 + y2 − 20x + 84 = 0 → (x − 10)2 + y2 = 16 → C(10, 0) 25x 2 − 380x + 1.444 = 0 → x =
⎛ 38 38 16 ⎞ → A⎜⎜ , − ⎟⎟⎟ ⎜ ⎝ 5 5 5 ⎠⎟
169x 2 − 2.860x + 12.100 = 0 → x =
⎛ 110 48 ⎞⎟ 110 ⎟ → A' ⎜⎜ , ⎜ ⎝ 13 13 ⎟⎟⎠ 13
c) x2 + y2 − 20x + 84 = 0 → (x − 10)2 + y2 = 16 → r = 4 d = (10 − 2)2 + (0 − 1)2 =
65
PQ ⋅ PQ' = ( 65 − 4) ⋅ ( 65 + 4) = 65 − 16 = 49 ⎞ ⎞ ⎛ 16 ⎛ 38 2 784 441 − 1⎟⎟⎟ = PA = ⎜⎜ − 2⎟⎟⎟ + ⎜⎜− + = 49 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ 5 25 25 2
088
2
Troba l’equació d’una el·lipse que té el centre a (2, 4),un focus a (5, 4) 3 i l’excentricitat és . 5 C (2, 4)⎪⎫⎪ ⎬→c=3 F (5, 4) ⎪⎪⎭
e=
Com que a2 = b2 + c2 → b = 4
089
3 →a=5 5
L’equació és:
( x − 2)2 ( y − 4)2 + = 1. 25 16
Escriu, en forma general, l’equació de l’el·lipse 4x 2 + 9y 2 −8x + 36y + 4 = 0. Troba’n també els focus i l’excentricitat. 4x2 + 9y2 − 8x + 36y + 4 = 0 → 4x2 − 8x + 4 + 9y2 + 36y + 36 = 36 ( x − 1)2 ( y + 2)2 + =1 → 4(x2 − 2x + 1) + 9(y2 + 4y + 4) = 36 → 9 4 El centre de l’el·lipse és C(1, −2). Com que a2 = b2 + c2 → c = 5 Per tant, els focus són: F (1 + 5 , −2) i F' (1− 6 , −2) . L’excentricitat de l’el·lipse és: e =
090
Una hipèrbola amb excentricitat Calcula’n l’equació.
5 . 3
5 té el centre a (2, 3) i un focus a (7, 3). 4
C (2, 3)⎪⎫⎪ ⎬→c=5 F (7, 3)⎪⎪⎭ Com que c2 = a2 + b2 → b = 3
e=
5 →a=4 4
L’equació és:
( x − 2)2 ( y − 3)2 − = 1. 16 9
321
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 322
Llocs geomètrics. Còniques Y
091
Una hipèrbola en la qual es compleix que a = b diem que és equilàtera. Suposa que té el centre a (0, 0) i que l’eix focal és horitzontal. Calcula’n l’equació i troba les coordenades dels focus en funció de a. Determina les equacions de les asímptotes.
B P
b a A'
F'
O
F
X
B'
L’equació de la hipèrbola
x2 y2 − 2 = 1 → x 2 − y 2 = a2 2 a a F' (− 2a, 0) Com que a = b i c2 = a2 + b2 → c = 2a → F ( 2a, 0) Com que a = b, les equacions de les asímptotes són: y = ±x. equilàtera és de la forma:
092
Comprova que la hipèrbola, amb focus ( 4 2 , 4 2 ) i (−4 2 , −4 2 ) i constant 8 2 , és una hipèrbola equilàtera. Comprova que (8, 2) està situat en aquesta hipèrbola. Troba’n l’equació. 2c =
(−4
2 − 4 2 ) + (−4 2 − 4 2 ) = 16 2
2
c = 8 ⎪⎫⎪ ⎬→b=4 2 a = 4 2 ⎪⎪⎭ Com que a = b, la hipèrbola és equilàtera.
( x − 4 2) + ( y − 4 2) 2
→
2
−
( x + 4 2) + ( y + 4 2) 2
( x − 4 2) + ( y − 4 2) 2
2
2
=8 2+
=8 2
( x + 4 2) + ( y + 4 2) 2
2
→ x 2 − 8 2 x + 32 + y 2 − 8 2 y + 32 = 128 + x 2 + 8 2 x + 32 + y 2 +
( x + 4 2) + ( y + 4 2)
→ −16 2 x − 16 2 y − 128 = 16 2 → x+ y+4 2 =−
2
2
+ 8 2 y + 32 + 16 2
( x + 4 2) + ( y + 4 2) 2
2
( x + 4 2) + ( y + 4 2) 2
2
→ x 2 + y 2 + 2xy + 8 2 x + 8 2 y + 32 = x 2 + 8 2 x + 32 + y 2 + 8 2 y + 32 → 2 xy = 32 → xy = 16 és l’equaació de la hipèrbola. 8 · 2 = 16 → (8, 2) és un punt de la hipèrbola. 093
Com ja saps, la paràbola és el lloc geomètric dels punts que equidisten d’una recta anomenada directriu i un punt anomenat focus. Utilitza la definició per calcular l’equació d’una paràbola amb directriu la recta r: 3x + 4y = 0 i focus F (−1, 0).
Y
1 F
r
322
X
1
s
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 323
SOLUCIONARI
(x + 1)2 + y 2 =
094
3x + 4 y
→
32 + 4 2
x 2 + 2x + 1 + y 2 =
7
3x + 4 y
5 2 9 x + 16 y 2 + 24 xy → x 2 + 2x + 1 + y 2 = 25 → 25x 2 + 50x + 25 + 25y 2 = 9x 2 + 16 y 2 + 24 xy → 16x 2 + 9 y 2 − 24 xy + 50x + 25 = 0
Troba els focus, els vèrtexs i les directrius de les paràboles següents: a) y = x 2 + 2x + 1 b) 4y = −x 2 + 8x − 6
c) y = 4x 2 −8x + 12 d) y = 6x 2 + 9x −10
(Recorda que, en una paràbola del tipus y = ax2 + bx + c, la directriu és horitzontal b i el vèrtex és un punt d’abscissa − .) 2a a) y = (x + 1)2 El vèrtex de la paràbola és: V(−1, 0) ⎛ 1 1⎞ 1 Directriu: y = − 2p = 1 → p = → F ⎜⎜−1, ⎟⎟⎟ ⎜ ⎝ 2 4 ⎟⎠ 4 5 1 = − ( x − 4)2 2 4
b) 4 y − 10 = −( x 2 − 8x + 16) → y − ⎛ 5⎞ El vèrtex de la paràbola és: V ⎜⎜ 4, ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2p = −
⎛ 39 ⎞⎟ 1 1 ⎟ → p = − → F ⎜⎜ 4, ⎜⎝ 16 ⎟⎟⎠ 4 8
41 16
Directriu: y =
c) y − 8 = 4(x2 − 2x + 1) → y − 8 = 4(x − 1)2 El vèrtex de la paràbola és: V(1, 8) 2p = 4 → p = 2 → F(1, 9)
Directriu: y = 7
⎛ ⎛ 107 3 9 ⎞⎟ 107 3⎞ ⎟⎟ → y + = 6⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ = 6⎜⎜ x 2 + x + ⎜ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ 8 2 16 8 4 ⎟⎠
2
d) y +
⎛ 3 107 ⎞⎟ El vèrtex de la paràbola és: V ⎜⎜− , − ⎟⎟ ⎜⎝ 4 8 ⎟⎠ ⎛ 3 95 ⎞ 2p = 6 → p = 3 → F ⎜⎜− , − ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 4 8 ⎟⎠ 095
Directriu: y = −
119 8
3 2 x i la circumferència Calcula els punts d’intersecció de la paràbola y = 16 x 2 + y 2 = 25. 3x 2 − 16y = 0⎫⎪⎪ 2 2 ⎬ → x = 25 − y x 2 + y 2 = 25⎭⎪⎪ ⎪⎧⎪ y = 3 3y 2 + 16y − 75 = 0 → ⎪⎨ 25 ⎪⎪ y = − 3 ⎩⎪ Els punts d’intersecció són: (4, 3) i (−4, 3).
323
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 324
Llocs geomètrics. Còniques 096
Determina les posicions relatives de la paràbola y2 = 9x amb les rectes següents: b) s: 2x + y + 6 = 0 c) t: 3x −2y + 3 = 0 a) r: 3x + y −6 = 0 En el cas que les rectes tallin la paràbola, troba els punts de tall. a)
y 2 = 9x ⎪⎫⎪ 2 ⎬ → y + 3y − 18 = 0 3x + y − 6 = 0⎪⎪⎭ ∆ = 81 > 0 → L’equació té dues solucions; per tant, la recta talla la paràbola en dos punts. Els punts d’intersecció són: (1, 3) i (4, −6).
b)
y 2 = 9x ⎪⎫⎪ 2 ⎬ → 2y + 9 y + 54 = 0 2x + y + 6 = 0⎪⎪⎭
∆ = −351 < 0 → L’equació no té solucions; per tant, la recta no talla la paràbola.
c)
y 2 = 9x ⎫⎪⎪ 2 ⎬ → y − 6y + 9 = 0 3x − 2y + 3 = 0⎪⎪⎭
∆ = 0 → L’equació només té una solució; per tant, la recta talla la paràbola en un punt, i és tangent en el punt (1, 3).
097
Les bisectrius dels quatre quadrants tallen la paràbola y = x2 −3x en tres punts. Troba l’àrea del triangle que formen. Y
C
B −1 −2
X A
⎪⎧ y = x Les bisectrius dels quatre quadrants tenen com a equacions: ⎪⎨ ⎪⎪⎩ y = −x y = x ⎪⎫ 2 ⎬ → x − 4x = 0 y = x 2 − 3x ⎭⎪⎪ Els punts d’intersecció són: (0, 0) i (4, 4) ⎫⎪ y = −x 2 ⎬ → x − 2x = 0 y = x 2 − 3x ⎪⎪⎭ Els punts d’intersecció són: (0, 0) i (2, −2) Com que l’angle en el vèrtex O és recte, l’àrea del triangle és: OA ⋅ OB = 2
324
8 ⋅ 32 =8 2
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 325
SOLUCIONARI
098
7
La cònica d’equació: 9x 2 + 16y 2 + 24xy + 8x −44y + 24 = 0 és una paràbola l’eix de la qual és la recta: r: 8x −6y + 2 = 0. Determina’n el focus. Considerem F(a, b) el focus de la paràbola. ( x − a)2 + ( y − b)2 =
8x − 6 y + 2 82 + (−6)2
by + b 2 = x 2 − 2ax + a 2 + y 2 − 2b
8x − 6 y + 2
10 2 64 36y x + y 2 − 96xy + 32x − 24 y + 4 x 2 − 2ax + a 2 + y 2 − 2by + b2 = 100 100x 2 − 200ax + 100a2 + 100 y 2 − 200by + 100b2 = = 64 x 2 + 36 y 2 − 96xy + 32x − 24 y + 4 9x 2 + 16 y 2 + 24 xy − (50a + 8) x − (50b − 6) y + 25a 2 + 25b 2 − 1 = 0 ⎪⎧⎪ 8 = −(50a + 8) ⎪⎧a = 0 ⎪ →⎨ 9x2 + 16y2 + 24xy + 8x − 44y + 24 = 0 → ⎨−44 = −(50b − 6) ⎪⎪ 2 2 ⎩⎪⎪ b = 1 ⎪⎩ 24 = 25a + 25b − 1 El focus és el punt F(0, 1). 099
Troba els punts de tall de les paràboles y 2 = 9x i x 2 =
1 y. 3
y 2 = 9x ⎪⎫⎪ 4 3 ⎬ → 9x − 9x = 0 → x ( x − 1) = 0 3x 2 = y ⎪⎪⎭ Els punts de tall són: (0, 0) i (1, 3). 100
El famós home bala Adal L. White va fer una demostració en una ciutat. Es va introduir en un canó que el va llançar a l’aire amb una trajectòria d’un arc de paràbola. Va assolir una altura màxima de 20 metres i va caure il·lès a una distància de 60 metres del canó. Determina l’equació de la paràbola que descriu la trajectòria que va seguir. (Pots suposar que el punt més elevat és l’origen de coordenades.) Y 10 30
A
B
X
Si es considera l’origen de coordenades com el punt més elevat, els punts A i B serien el punt de llançament i el d’aterratge, respectivament. L’equació de la paràbola és de la forma: y = −2px2 Com que (30, −20) és un punt de la paràbola: −20 = −2p ⋅ 900 → p =
Per tant, l’equació de la paràbola que descriu la trajectòria és: y = −
1 90
1 2 x. 45
325
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 326
Llocs geomètrics. Còniques 101
Determina el valor de k que fa que la recta 2x + y + k = 0 sigui tangent a la paràbola y 2 = 6x. y 2 = 6x ⎪⎫⎪ 2 2 2 ⎬ → (−2x − k) = 6x → 4 x + (4k − 6) x + k = 0 2x + y + k = 0⎪⎪⎭ La recta és tangent a la paràbola si només la talla en un punt; per tant, l’equació ha de tenir una única solució. 3 ∆ = (4k − 6)2 − 16k2 = 0 → −48k + 36 = 0 → k = 4
102
Troba l’equació d’una paràbola de directriu horitzontal que passi pels punts (4, 7), (−8, 7) i (10, 25). Si la directriu és horitzontal, l’equació de la paràbola és de la forma: y = ax2 + bx + c Així doncs: 7 = 16a + 4b + c ⎪⎫⎪ 16a + 4b + c = 7⎪⎫⎪ 16a + 4b + c = 49⎪⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = 0⎬ → 4a − b 7 = 64a − 8b + c ⎬ → 4a − b = 0⎬ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ = 3⎪⎪⎭ 6a 25 = 100a + 10b + c ⎪⎪⎭ 14a + b = 1⎪⎪⎪⎭ 1 2 5 a= b= c= 6 3 3 2 Per tant, l’equació de la paràbola és: 6y = x + 4x + 10.
103
El focus d’aquesta paràbola és F(−1, 3) i la directriu és la bisectriu del primer quadrant. Completa’n l’equació: x 2 + y 2 + 2xy + 4x + Y s F 1 X
1
( x + 1)2 + ( y − 3)2 =
x−y 1 + (−1)2 2
→
x 2 + 2x + 1 + y 2 − 6 y + 9 =
x−y
2 x 2 + y 2 − 2xy → x + 2x + 1 + y − 6 y + 9 = 2 → 2x 2 + 4 x + 2 + 2y 2 − 12y + 18 = x 2 + y 2 − 2xy 2
2
→ x 2 + y 2 + 2xy + 4x − 12y + 20 = 0
326
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 327
SOLUCIONARI
104
7
Determina quin tipus de còniques són les següents, troba’n els elements i fes-ne una representació gràfica aproximada: a) x 2 + y 2 + 2x + 6y + 1 = 0
c) 16x 2 + 9y 2 − 32x + 54y − 47 = 0
b) x − 4y + 16y − 32 = 0
d) x 2 + 6x − 4y + 17 = 0
2
2
a) x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0 (x + 1)2 + (y + 3)2 = 9 La cònica és una circumferència de centre C(−1, −3) i radi 3.
b) x2 − 4y2 + 16y − 32 = 0 → x2 − 4(y − 2)2 = 16 →
Y 1 2
X
x2 ( y − 2)2 − =1 16 4
La cònica és una hipèrbola de centre C(0, 2). ⎧⎪ A(4, 2) Com que a2 = 16 → a = 4 → ⎪⎨ ⎩⎪⎪ A'(−4, 2) Si c2 = a2 + b2 → c =
Y
20
⎪⎧F ( 20 , 2) → ⎪⎨ ⎪⎪F' (− 20 , 2) ⎩
1 1
X
c) 16x2 + 9y2 − 32x + 54y − 47 = 0 → 16(x − 1)2 + 9(y + 3)2 = 144 ( x − 1)2 ( y + 3)2 → + = 1 → La cònica és una el·lipse de centre C(1, −3). 9 16 ⎧⎪ A(1, 1) Y Com que a2 = 16 → a = 4 → ⎪⎨ ⎪⎪⎩ A'(1, −7) ⎪⎧B(−2, −3) Si b = 9 → b = 3 → ⎪⎨ ⎪⎪⎩B'(4, −3) 2
1
1
X
⎧⎪F (1, −3 + 7 ) Com que a2 = b2 + c2 → c = 7 → ⎪⎨ ⎪⎪F' (1, −3 − 7 ) ⎩ d) x2 + 6x − 4y + 17 = 0 → (x + 3)2 = 4(y − 2) 1 ( x + 3)2 4 La cònica és una paràbola de vèrtex V(−3, 2). → y −2 =
⎛ 1 1 17 ⎞⎟ ⎟⎟ → p = → F ⎜⎜−3, ⎜ ⎝ 4 8 8 ⎟⎠ 15 La directriu és la recta y = . 8
Y
Com que 2p =
1 1
X
327
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 328
Llocs geomètrics. Còniques 105
x2 y2 + =1 Calcula la recta tangent a l’el·lipse 25 16 al punt P(0, 8). (L’equació de les rectes que passen per (0, 8) és y = mx + 8) y = mx + 8 16x 2 + 25y 2 = 400⎪⎫⎪ ⎬ y = mx + 8 ⎪⎪⎭ → (16 + 25m2) x 2 + 400mx + 1.200 = 0
Y P
1 X
1
La recta és tangent a l’el·lipse si l’equació té només una solució, és a dir, si el discriminant de l’equació és igual a zero. ∆ = 160.000m2 − 4.800(16 + 25m2) = 40.000m2 − 76.800 = 0 → m = ±
4 3 5
Hi ha dues rectes tangents a l’el·lipse que passen pel punt (0, 8): ⎪⎧⎪ 4 3x − 5y + 40 = 0 ⎨ ⎪⎪ 4 3x + 5y − 40 = 0 ⎩ 106
A la figura inferior podem observar una propietat de la recta tangent a una el·lipse en un punt P. Veiem que és la bisectriu de l’angle que formen la recta P amb un focus i la recta que uneix P amb l’altre focus. t P
F'
O
F
Utilitza aquesta propietat per calcular l’equació de la recta tangent ⎛ 16 ⎞ x2 y2 + = 1. al punt P⎜⎜⎜3, ⎟⎟⎟⎟ de l’el·lipse d’equació ⎝ 5⎠ 25 16 a = 5⎫⎪ ⎬→c=3 b = 4⎪⎪⎭ Els focus són els punts: F(0, 3) i F'(0, −3) La recta que passa pel punt i el focus F és: x − 15y + 45 = 0 La recta que passa pel punt i el focus F' és: 31x − 15y − 45 = 0 Els punts de la bisectriu equidisten de les dues rectes: ⎪⎧ 593 ( x −15y + 45) = 113 (31x −15y − 45) x −15y + 45 31x −15y − 45 → ⎪⎨ = 2 2 2 2 ⎪⎪ 593 ( x −15y + 45) = − 113 (31x −15y − 45) 1 + (−15) 31 + (−15) ⎩ ⎪⎧305,18x + 205,82y − 1.574,17 = 0 Simplifiquem: ⎪⎨ ⎪⎪⎩ 353,88x − 524,72y + 6117,46 = 0 Com que la recta tangent en un punt del primer quadrant té pendent negatiu, la recta tangent que es demana és: 305,18x + 205,82y − 1574,17 = 0.
328
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 329
SOLUCIONARI
107
Fixa’t en aquesta figura. Hem dibuixat una paràbola i hi hem situat un punt P. Observa que la recta tangent a la paràbola en aquest punt és la bisectriu de l’angle que formen la recta que uneix P amb el focus i la recta perpendicular a la directriu que passa per P. Fes servir aquesta informació per calcular la recta tangent a la paràbola y 2 = 18x al punt (2, 6).
7
s P F
t
2p = 18 → p = 9 → F(9, 0) La directriu és la recta: x + 9 = 0 La recta que passa pel punt i el focus és: 6x + 7y − 54 = 0 La recta perpendicular a la directriu que passa pel punt és: y − 6 = 0 Els punts de la bisectriu equidisten de les dues rectes: 6x + 7 y − 54 6 +7
=
y −6
12 + 02 ⎧⎪6x + 7 y − 54 = 85 ( y − 6) → 6x − 2,21y + 1,31 = 0 → ⎪⎨ ⎪⎪6x + 7 y − 54 = − 85 ( y − 6) → 6x + 16,21y − 109,31= 0 ⎩ Com que la recta tangent en un punt del primer quadrant té pendent positiu, la recta tangent que es demana és: 6x − 2,21y + 1,31 = 0. 2
108
2
Si un senyal incideix sobre una antena parabòlica en direcció perpendicular a la directriu, es reflecteix com si xoqués contra la tangent en aquest punt. Demostra que el senyal reflectit passa sempre pel focus de la paràbola. Aquesta propietat és la que confereix la utilitat a les antenes parabòliques, perquè concentren el senyal en un únic punt, el focus.
s P F
t
S
Es considera un punt F, una recta s i un punt M que en formi part. Si es traça la perpendicular a d que passa per M, F aquesta recta talla la mediatriu del segment MF T en un punt P, que pertany a la paràbola de focus F i directriu s, ja que MP = PF. Com que la recta és perpendicular, la mesura del segment MP coincideix amb la distància del punt P a la recta s. Aquesta mediatriu és la tangent a la paràbola de focus F i directriu s. A més, els angles RPSi FPTsón iguals, ja que són els angles que formen el senyal que incideix i el senyal que es reflecteix. I com que són oposats pel vèrtex, els angles MPTi TPFtambé són iguals. Per tant, un senyal que incideix perpendicularment a la directriu es reflecteix passant pel focus F. s
M
P
R
329
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 330
Llocs geomètrics. Còniques 109
Un mirall hiperbòlic té de distància focal 26 mm i d’eix real 24 mm. Calcula les coordenades dels vèrtexs i dels focus. 2c = 26 → c = 13 → F(−13, 0)
F'(13, 0)
2a = 24 → a = 12 → A(−12, 0) A'(12, 0) 110
Un triangle inscrit en una circumferència el costat més gran del qual coincideix amb un diàmetre, és un triangle rectangle. a) Utilitza aquesta propietat per calcular el lloc geomètric dels punts que verifiquen que la suma dels quadrats de les distàncies a P(3, −3) i Q(−5, 3) és 100.
C
b) Comprova els resultats tenint en compte que, si coneixes els dos extrems del diàmetre, pots calcular el centre i el radi de la circumferència. a) Considerem P(x, y) un punt del lloc geomètric. (x − 3)2 + (y + 3)2 + (x + 5)2 + (y − 3)2 = 100 → x2 − 6x + 9 + y2 + 6y + 9 + x2 + 10x + 25 + y2 − 6y + 9 = 100 → x2 + y2 + 2x − 24 = 0 → (x + 1)2 + y2 = 25 b) És una circumferència de centre (−1, 0) i radi 5. El centre de la circumferència és el punt mitjà del segment: (−1, 0). I el radi de la circumferència és la meitat de la distància entre els punts: (−5 − 3)2 + (3 + 3)2 = 10 . 111
Des d’un punt d’una hipèrbola, els focus són a 2 cm i 8 cm, i l’eix imaginari fa 6 cm. Calcula:
8 cm
P
a) Quina és la distància entre els vèrtexs?
2 cm
b) I la distància focal?
F'
A'
O
A
F
a) 2a = d(P, F) − d(P, F') = 8 − 2 = 6 b) 2b = 6 → b = 3 cm Com que c2 = a2 + b2 c = 18 = 3 2 cm → 2c = 6 2 cm 112
Hem mesurat la distància des d’un punt d’una el·lipse als focus i és de 9 cm i 7 cm, respectivament. Si l’excentricitat és 0,8, quina és la longitud dels eixos?
B P
A'
F
F'
2a = d(P, F) + d(P, F') = 9 + 7 = 16 cm a = 8 ⎪⎫ ⎬ → c = 6,4 e = 0, 8⎪⎭⎪ Com que a2 = b2 + c2 → b = 4,8 cm → 2b = 9,6 cm
330
7c m
m 9c
B'
A
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 331
7
SOLUCIONARI
113
Dibuixa un altre triangle amb aquestes propietats i troba un mètode per dibuixar-los.
D
C
Els dos triangles de la figura tenen la mateixa base, AB, que fa 8 cm, i els perímetres fan 20 cm.
B
A
Resposta oberta. P
5 cm
A
7 cm
B
8 cm
Si P és el tercer vèrtex d’un triangle amb les condicions del problema, llavors: d(P, A) + d(P, B) = 12 Per tant, per dibuixar tots els triangles cal traçar l’el·lipse de focus A i B amb constant 2a = 12.
PER ACABAR... 114
Donats els punts A(2, 1) i B(6, 4), determina el lloc geomètric dels punts P que verifiquen que l’àrea del triangle ABP sigui de 10 unitats quadrades. d(A, B) =
4 2 + 32 = 5
Si l’àrea del triangle mesura 10, llavors l’altura ha de mesurar 4. x −2 y −1 = → 3x − 4 y − 2 = 0 Si anomenem r la recta determinada per A i per B: 4 3 d(P, r) = 4 →
3x − 4 y − 2 3 + (−4) 2
2
⎪⎧ 3x − 4 y − 2 = 20 =4→⎨ ⎪⎪⎩−3x + 4 y + 2 = 20
⎪⎧3x − 4 y − 22 = 0 El lloc geomètric està format per dues rectes paral·leles: ⎪⎨ ⎪⎪⎩3x − 4 y + 18 = 0 115
Considera un punt Q d’una circumferència amb el centre a l’origen i radi r, i un altre punt P amb la mateixa abscissa que Q. Troba el lloc geomètric dels punts P si saps que la raó de les ordenades de P i Q és k. Considerem C(a, b) el centre d’una circumferència tangent a la recta r: x = a que passa pel punt B(b, 0). d(C, r) = d(C, B) →
Y
P (a, y2) Q (a, y1) r O
X
x −a
= ( x − b)2 + ( y − 0)2 12 + 02 → ( x − a)2 = ( x − b)2 + y 2 → y 2 = 2(b − a) x El lloc geomètric és la paràbola de focus B i directriu r.
331
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 332
Llocs geomètrics. Còniques 116
Igual que podem expressar una recta amb equacions paramètriques, també ho podem fer amb les còniques. Comprova que aquestes equacions: ⎪⎧ x = a + r cos α són d’una circumferència. a) ⎨ ⎪⎪⎩ y = b + r sin α ⎧⎪ x = a cos α són d’una el·lipse. b) ⎨ ⎪⎪⎩ y = b sin α x − a = r cos α ⎫⎪⎪ a) x = a + r cos α ⎫⎪⎪ ⎬→ ⎬ y − b = r sin α ⎪⎪⎭ y = b + r sin α ⎪⎪⎭ → ( x − a)2 + ( y − b)2 = r 2 cos2 α + r 2 sin2 α = r 2 Es tracta d’una circumferència de centre C(a, b) i radi r. ⎫⎪ x = cos α ⎪⎪ ⎫ ⎪ α = x a cos x2 y2 b) ⎪ 2 2 ⎪⎬→ a ⎬ → 2 + 2 = cos α + sin α = 1 ⎪ ⎪ y y = b sin α ⎪⎭ a b ⎪ = sin α ⎪ ⎪⎪⎭ b Les equacions corresponen a l’el·lipse de centre C(0, 0) i constant 2a.
117
Descriu el lloc geomètric dels punts que verifiquen l’equació x 2 − y 2 − 4x + 6y − 5 = 0. x2 − y2 − 4x + 6y − 5 = 0 → (x2 − 4x + 4) − (y2 − 6y + 9) − 5 = 4 − 9 ⎪⎧ x − 2 = y − 3 ⎪⎧ x − y + 1 = 0 → ( x − 2)2 − ( y − 3)2 = 0 → ⎪⎨ →⎨ ⎪⎪⎩ x − 2 = −y + 3 ⎪⎪⎩ x + y − 5 = 0 El lloc geomètric està format per dues rectes perpendiculars.
118
Troba el lloc geomètric dels punts P(x, y), que verifiquen que el producte dels pendents de les rectes que els uneixen amb els punts A(2, 0) i B(−2, 0) és igual a k.
Y P (x, y )
Identifica el lloc geomètric si: a) k = −1 b) k = 0
c) k = −4 d) k = 4
1 B
y x −2 y ជ = ( x + 2, y ) → m2 = BP x+2 y y 2 ⋅ = k → y = k ( x 2 − 4) x −2 x +2 ជ = ( x − 2, y) → m1 = AP
a) Si k = −1 → y2 = −x2 + 4 → x2 + y2 = 4 El lloc geomètric és una circumferència centrada a l’origen de coordenades, de radi 2.
332
1
A
X
917221Unidad07.qxd
19/1/09
10:59
Página 333
SOLUCIONARI
7
b) Si k = 0 → y2 = 0 → y = 0 El lloc geomètric és una recta, l’eix d’abscisses. x2 y2 + =1 4 16 El lloc geomètric és una el·lipse centrada a l’origen de coordenades.
c) Si k = −4 → y2 = −4x2 + 16 → 4x2 + y2 = 16 →
x2 y2 − =1 4 16 El lloc geomètric és una hipèrbola centrada a l’origen de coordenades.
d) Si k = 4 → y2 = 4x2 − 16 → 4x2 − y2 = 16 →
Considerem un segment d’extrems A i B, i el punt mitjà M. Determina el lloc geomètric dels punts P que verifiquin que les distàncies entre aquest punt i M, A i B compleixen la condició següent: PM PB = PA PM P (x, y )
A
M
PB
PA
PM
119
B
Si AB = 2d i M = (0, 0), es pot considerar que A = (−d, 0) i B = (d, 0). Considerem P(x, y) un punt del lloc geomètric: PM =
x2 + y2
PA = ( x + d)2 + y 2 PB = ( x − d)2 + y 2 2 PM PB → (PM) = PA ⋅ PB → x 2 + y 2 = ( x + d)2 + y 2 ⋅ ( x − d)2 + y 2 = PA PM x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 = ( x 2 − d 2)2 + ( x + d)2 y 2 + ( x − d)2 y 2 + y 4
x 4 + 2x 2 y 2 = x 4 − 2d 2 x 2 + d 4 + x 2 y 2 + 2dxy 2 + d 2 y 2 + x 2 y 2 − 2dxy 2 + d 2 y 2 2d 2 x 2 − 2d 2 y 2 = d 4 →
x2 y2 − 2 =1 2 d d 2 2
Com que els eixos són iguals, el lloc geomètric és una hipèrbola equilàtera.
333