1btxsol9

917221Unidad09.qxd

9

19/1/09

11:04

Página 378

Funcions elementals LITERATURA I MATEMÀTIQUES

La clau Gaudí –L’any 1892 el marquès li va encarregar el projecte d’un edifici per a les missions catòliques franciscanes de Tànger; es tractava d’una església, un hospital i una escola. Gaudí va acabar el projecte en un any, però els pares franciscans el van trobar massa ostentós. Tampoc no els va agradar que la torre tingués una altura de seixanta metres.

–No els va agradar l’altura de la torre?

–Suposo que no va ser només això. Als franciscans no els va agradar el projecte en general, les solucions arquitectòniques.

–Quin tipus de solucions?

–Genials! Murs inclinats, finestres en forma d’hiperboloide i torres en forma de paraboloide de revolució que, com dic, no van arribar a construir-se. A Gaudí li va doldre molt que al final fracassés el projecte de les missions.

–Llàstima, un projecte perdut –va dir Miquel.

–No. –No? –va preguntar amb interès.

–A partir de 1904, Gaudí va utilitzar la forma, l’estructura pensada per a les torres […] a la façana del Naixement de la Sagrada Família. […]

–I l’altre projecte que ha esmentat, el de Nova York? –va tornar a preguntar Miquel.

–Sí, l’any 1908 va rebre la visita de dos empresaris nord-americans que li van encarregar un projecte d’hotel. Es tractava d’un edifici de gairebé 300 m d’altura. Tenia un perfil de catenària per aconseguir el perfecte equilibri de la seva estructura.

–I què va passar amb aquest segon projecte? Per què no es va dur a terme?

–No se sap amb exactitud. Pel que sembla l’any 1909 Gaudí va caure malalt. En qualsevol cas, els dos projectes van ser essencials per avançar en la forma definitiva del Temple de la Sagrada Família. Tant l’elegància de les torres de Tànger com la monumentalitat del projecte de Nova York van permetre a Gaudí fer les maquetes definitives de l’estructura de la Sagrada Família. Va depurar els seus estudis sobre les superfícies reglades en forma d’hiperboloides i paraboloides hiperbòlics, així com les formes esveltes de les columnes de la nau principal del temple.

ESTEBAN MARTÍN; ANDREU CARRANZA

Una paraboloide és la superfície generada per una paràbola quan gira sobre seu eix, i el mateix passa amb la hiperboloide. Representa gràficament una paràbola i una hipèrbola i escriune les expressions analítiques.

La paràbola i la hipèrbola més simples tenen l’expressió analítica següent: 1 y = x 2 i y = ; i les corresponents x representacions gràfiques són:

378

Y

Y y =

y = x2 0

X

0

1 x X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 379

SOLUCIONARI

9

ABANS DE COMENÇAR... RECORDA 001

Calcula el pendent de la recta que passa pels punts A(2, 1) i B(−2, 3). m=−

002

1 2

Dibuixa sobre uns eixos de coordenades algunes paràboles que tinguin com a vèrtex el punt (0, 1).

Y

Resposta oberta.

2 1

003

X

Dibuixa, sobre uns eixos de coordenades, una hipèrbola de vèrtexs (1, 1) i (−1, −1) i asímptotes y = 0 i x = 0.

Y

Resposta oberta.

1 1

004

Calcula les raons trigonomètriques següents.

3π 4π 3π 10π a) sin b) cos c) tg d) sin 4 3 2 6 3π 2 = 4 2 4π 1 =− b) cos 3 2 a) sin

c) tg

3π no existeix.

2

d) sin

10π 3 =− 6 2

X

e) cos

9π 4

f ) tg

5π 2

9π 2 = 4 2 5π f ) tg no existeix.

2 e) cos

ACTIVITATS 001

Representa, sobre els mateixos eixos de coordenades, les funcions y = 3x −1 i y = 5x + 4. Troba el punt comú a les dues gràfiques.

Y 1

El punt d’intersecció és: 1

X

⎛ 5 17 ⎞⎟ ⎜⎜− ,− ⎟ ⎟ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠

379

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 380

Funcions elementals 002

Dibuixa tots els tipus de rectes que coneixes i troba els que no corresponen a una funció. Escriu-ne les equacions.

Resposta oberta.

Y 1

1

3 3 x − és una funció afí.

4 2 3 y = −3x és una funció lineal.

2 y=

2 2 2

003

y = 4 és una funció constant.

X 4

3

4

x = 4 no és una funció.

Representa gràficament les funcions quadràtiques següents. a) y = −3x2 −x −1

b) y = x2 + 2x −2

⎛ 1 11 ⎞ a) V ⎜⎜⎜− ,− ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 6 12 ⎠

b) V (−1, −3) Y

Y 1 X

1

1 1

004

Representa en l’interval [−1, 1], amb una escala que sigui suficientment gran, les funcions: f(x) = x

f(x) = x 2

f(x) = x 3

f(x) = x 4

Descriu-ne les propietats.

Y

1 1

X

En totes les funcions, el domini és R i el punt de tall amb els eixos és l’origen de coordenades.

Les funcions d’exponent parell són decreixents per als valors negatius de x, són creixents per als valors positius, tenen un màxim absolut a x = 0 i són simètriques respecte de l’eix d’ordenades.

Les funcions d’exponent senar són creixents, no tenen màxims ni mínims i són simètriques respecte de l’origen de coordenades.

380

X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 381

SOLUCIONARI

005

9

Representa gràficament les funcions de proporcionalitat inversa següents. a) y =

3 x

b) y = −

1 2x

Y

a)

1 X

1

Y

b)

2 2

006

X

Representa aquestes funcions racionals, i relaciona-les amb les funcions de proporcionalitat inversa. a) y =

1 x +2

b) y =

Y

a)

1 x2 Y

b)

2 1 1

X

És una translació horitzontal de la funció de proporcionalitat inversa: 1 1 f (x) = → f ( x + 2) = x x+2 007

1

X

És el producte de la funció de proporcionalitat inversa per si mateixa: f ( x) =

1 1 → f ( x) ⋅ f ( x) = 2 x x

Troba el domini d’aquestes funcions amb radicals. a) f (x) =

3

x2 − 4

b) g(x) =

x 2 − 36

a) Dom f = R b) Dom g = (−⬁, −6] ∪ [6, +⬁)

381

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 382

Funcions elementals 008

Representa gràficament aquestes funcions. a) f (x) =

x+2

c) h (x) =

b) g (x) =

x−4

d) i (x) =

Y

a)

3

3

c)

x −1 x +2 Y

2 1 X

1

Y

b)

3

X

1

X

Y

d)

2 1 1

009

X

Raona, sense dibuixar la gràfica, si les funcions següents són creixents o decreixents. a) f(x) = 1,2x ⎛2⎞ b) g (x) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝3⎠

x

c) h(x) = 0,8x d) i (x) = ( 3 )

x

a) 1,2 > 1 → f(x) és creixent.

2 < 1 → g(x) és decreixent.

3 c) 0,8 < 1 → h(x) és decreixent. b)

d)

010

3 > 1 → i(x) és creixent.

Representa gràficament aquestes funcions. a) y = −2x

⎛4⎞ c) y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝3⎠

b) y = 2−x

d) y = 0,1x

x

e) y = −2−x x

382

f) y = 2 3

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 383

9

SOLUCIONARI

Y

a)

d)

Y

1 1

X

1 X

1

Y

b)

Y

e)

1 1

X

1 1

X

Y

c)

f)

2

2 1

011

Y

X

1

X

Raona, sense representar-les gràficament, si les funcions següents són creixents o decreixents. a) f(x) = log1,2 x

c) h(x) = log7 x

e) j (x) = log

b) g(x) = log 2 x

d) i(x) = log0,8 x

f ) k(x) = log8,2 x

3

x

3

a) 1,2 > 1 → f(x) és creixent.

2 < 1 → g(x) és decreixent. b) 3 c) 7 > 1 → h(x) és creixent. d) 0,8 < 1 → i(x) és decreixent. e)

3 > 1 → j(x) és creixent.

f) 8,2 > 1 → k(x) és creixent.

012

Representa gràficament aquestes funcions. a) y = −log2 x

c) y = log 4 x

e) y = −log2 (−x)

3

b) y = log2 (−x)

d) y = log0,1 x

⎛ x ⎟⎞ f ) y = log2 ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⎠

383

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 384

Funcions elementals a)

Y

Y

d)

1

1

Y

b)

Y

e)

1

1 1

1

X

Y

c)

X

1

X

1

X

Y

f)

1 1 1 2

013

X

Descriu les característiques d’aquestes funcions. a) f(x) = sin (x −1) b) g(x) = (sin x) − 1 a) Dom f = R

Im f = [−1, 1]

La funció és periòdica, amb període 2π radians. No és simètrica. π 3π + 2kπ i mínims a x = 1 + + 2kπ , Presenta màxims a x = 1 + 2 2 amb k ∈ Z. b) Dom g = R

Im g = [−2, 0]

La funció és periòdica, amb període 2π radians. No és simètrica. π 3π + 2kπ i mínims a x = + 2kπ , Presenta màxims a x = 2 2 amb k ∈ Z. 014

Representa les funcions i digues què hi observes. ⎛ π⎞ a) f (x) = sin ⎜⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠

384

⎛

b) g(x) = cos ⎜⎜⎜ x − ⎝

π ⎞⎟ ⎟⎟ 2 ⎟⎠

X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 385

SOLUCIONARI

b)

Y

a)

Y

1

1 π

π

X

⎛ π⎞ f ( x ) = sin ⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ = cos x ⎜⎝ 2 ⎟⎠

015

9

X

⎛ π⎞ g( x ) = cos ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ = sin x ⎜⎝ 2 ⎟⎠

Descriu les característiques d’aquestes funcions. ⎛ π⎞ a) f (x) = tg ⎜⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠

b) g(x) = tg (x + 1)

a) Dom f = R − {kπ, k ∈ Z} Im f = R La funció és periòdica, amb període π radians.

Sempre és creixent i simètrica respecte de l’origen de coordenades. ⎧⎪ π ⎫⎪ b) Dom g = R − ⎪⎨ − 1 + kπ, k ∈ Z⎪⎬ Im g = R ⎩⎪⎪ 2 ⎭⎪⎪ La funció és periòdica, amb període π radians.

Sempre és creixent i no és simètrica.

016

Representa les funcions inverses. ⎛ π ⎞⎟ a) f (x) = arc cos ⎜⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠ a)

b) g(x) = arc sin (x −π) b)

Y

1

1 π

017

Y

π

X

X

Representa gràficament aquesta funció definida a trossos. ⎧⎪ 4 si x ≤−2 ⎪ f (x) = ⎪⎨ x 2 si −2 < x ≤ 1 ⎪⎪ ⎪⎩ 1 si x > 1 Descriu-ne les característiques principals.

Y

1

1 Dom f = R Im f = [0, 4] La funció és contínua, no és periòdica ni simètrica. És decreixent a (−2, 0) i és creixent a (0, 1). Té un mínim absolut a x = 0.

X

385

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 386

Funcions elementals 018

En un contracte mensual de telefonia mòbil es factura a 0,12 € per minut.

Si el consum no arriba a 9 €, aleshores s’abona aquesta quantitat. a) Troba l’expressió de la funció que relaciona el consum, en minuts, i l’import de la factura mensual, en euros. b) Representa la funció. a)

⎧⎪ 9 ⎪⎪ ⎪⎪ 9,12 ⎪⎪9, 24 f ( x) = ⎨ ⎪⎪9, 36 ⎪⎪9, 38 ⎪⎪ ⎪⎪⎩ K

b)

si si si si si

0 ≤ x < 76 76 ≤ x < 77 77 ≤ x < 78 78 ≤ x < 79 79 ≤ x < 80

Y 9,38 9,36 9,24 9,12 9 75

019

76 77

78

79

X

El servei de correus cobra 0,30 €pels primers 25 g de tramesa i, a partir d’aquesta quantitat, cobra 0,20 € per cada 25 g (o fracció) de pes extra. Representa la gràfica del cost de la tramesa de cartes fins a 150 g.

Y 1,30 1,10 0,90 0,70 0,50 0,30 X

25

020

La funció que associa a cada nombre la seva part decimal és: f(x) = x −[x] Representa la funció i analitza’n les propietats.

Dom f = R

Im f = [0, 1)

La funció no és contínua. Tots els nombres enters són punts de discontinuïtat inevitable de salt finit. És periòdica, amb període 1. No és simètrica. És creixent a (k, k + 1), amb k ∈ Z. No té màxims ni mínims.

386

Y

1 1

X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 387

SOLUCIONARI

021

9

Representa, sense elaborar les taules de valors, les funcions lineals i afins següents: a) y =

x −3 3

b) y = −x + 4 c) y =

1 x +1 2

d) y = −2x Y

a)

c)

Y

1

b)

1

X

2

Y

1

X

1

X

Y

d)

2 1 X

1

022

Escriu l’expressió algebraica de les funcions representades i calcula’n el pendent i l’ordenada a l’origen.

Y t

s

r

1 5

X

v

r: y = x + 2 s: y = −3x − 2 2 t: y = − x 3 1 v: y = x − 1 3

m=1 m = −3 2 m=− 3 1 m= 3

n=2 n = −2 n=0 n = −1

387

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 388

Funcions elementals 023

Representa les funcions als mateixos eixos de coordenades, i relaciona l’obertura de les branques de cada paràbola amb el coeficient de x2. a) y = x2

b) y =

1 2 x 2

c) y = 2x2

d) y =

1 2 x 4

Y

2 1

X

L’obertura és més petita quan el coeficient és més gran.

024

Troba els vèrtexs i els punts de tall amb els eixos de les paràboles següents: a) f(x) = x2 −2x + 2

b) g(x) = −2x2 + x −1

c) h(x) = −x2 −2

a) V(1, 1) No té punts de tall amb l’eix X. Punt de tall amb l’eix Y: (0, 2) ⎛1 7⎞ b) V ⎜⎜⎜ , − ⎟⎟⎟ ⎝4 8 ⎟⎠ No té punts de tall amb l’eix X. Punt de tall amb l’eix Y: (0, −1) c) V(0, −2) No té punts de tall amb l’eix X. Punt de tall amb l’eix Y: (0, −2) 025

Fes la representació gràfica de les funcions quadràtiques següents, i indica’n el vèrtex i els talls amb els eixos. a) y = x2 −2x −8 b) y = −x2 + 3x c) y = x2 + 4x + 4 d) y = 2x2 + 3x −2 a) V(1, −9) Punts de tall amb l’eix X: (−2, 0) i (4, 0) Punt de tall amb l’eix Y: (0, −8)

388

Y 1 1

X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 389

SOLUCIONARI

⎛3 9⎞ b) V ⎜⎜ , ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 4 ⎟⎠

9

Y 1

Punts de tall amb l’eix X: (0, 0) i (3, 0)

X

1

Punt de tall amb l’eix Y: (0, 0)

c) V(−2, 0)

Y

Punt de tall amb l’eix X: (−2, 0) Punt de tall amb l’eix Y: (0, 4) 1 1

⎛ 3 25 ⎞ d) V ⎜⎜⎜− , − ⎟⎟⎟ ⎝ 4 8 ⎟⎠

Y

⎛1 ⎞ Punts de tall amb l’eix X: (−2, 0) i ⎜⎜⎜ , 0⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠ Punt de tall amb l’eix Y: (0, −2)

026

X

1 1

X

Representa la funció y = x2 i, a partir d’ella, dibuixa les gràfiques d’aquestes funcions polinòmiques: a) y = (x −2)2 b) y = x2 + 3 c) y = (x + 3)2 d) y = x2 −4 Quina relació tenen les gràfiques de les quatre últimes funcions amb la gràfica de la primera? a)

Y

1 1

X

La funció es trasllada horitzontalment 2 unitats cap a la dreta.

389

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 390

Funcions elementals b)

Y

1 X

1

La funció es trasllada verticalment 3 unitats cap amunt. c)

Y

1 X

1

La funció es trasllada horitzontalment 3 unitats cap a l’esquerra. d)

Y

1 1

X

La funció es trasllada verticalment 4 unitats cap avall.

027

Fes la gràfica de la funció f(x) = x2 + 2x. Troba l’expressió algebraica de les funcions següents i representa-les. a) f(x −2)

c) f(x + 1)

b) f(x) −4

d) f(x) + 2

Hi ha cap relació entre aquestes gràfiques? a) f(x − 2) = (x − 2)2 + 2(x − 2) = x 2 − 2x Y

2

f(x − 2) 3

390

X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 391

SOLUCIONARI

9

b) f(x) − 4 = x2 + 2x − 4 Y 2 X

2 f(x) − 4

c) f(x + 1) = (x + 1)2 + 2(x + 1) = x2 + 4x + 3 Y

3 f(x + 1) X

1

d) f(x) + 2 = x2 + 2x + 2 Y

f(x) + 2 1 X

1

028

Considera les funcions següents: f(x) = x2 −2x + 1

g(x) = (x −1)2

h(x) = 3x

Calcula l’expressió algebraica de la funció que s’indica en cada apartat, i representa-la gràficament. a) f(−x)

c) g(−x)

b) −f(x)

e) h(−x)

d) −g(x)

f ) −h(x)

a) f(−x) = (−x) − 2(−x) + 1 = x + 2x + 1 2

2

Y f(−x)

1 1

X

391

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 392

Funcions elementals b) −f(x) = −x2 + 2x − 1 Y 1 X

1 −f(x)

c) g(−x) = (−x−1)2 = x2 + 2x + 1 Y

g(−x) 1 X

1

d) −g(x) = −(x −1)2 = −x2 + 2x − 1 Y 1 X

1 −g(x)

e) h(−x) = 3(−x) = −3x Y 3

X

1 h(−x)

f) −h(x) = −3x Y 3

X

1 −h(x)

392

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 393

SOLUCIONARI

029

9

Elabora la taula de valors d’aquestes funcions i dibuixa’n la gràfica. a) y = x3 + 2x2 + 3 b) y = −x3 + 6x + 1 a)

−2,5

x

−2

−1,5

−1

−0,5

0

1

2

3

4,125

4

3,375

3

6

19

f(x) −0,125

Y

1 X

1

b)

x

−3

−2

−1

0

1

2

3

f(x)

10

−3

−4

1

6

5

−8

Y

1 1

030

X

Troba els punts on les funcions polinòmiques següents tallen l’eix X. a) y = 3x + 9

d) y = 8x2 + 10x −3

b) y = −2x + 5

e) y = 2x2 + x + 3

c) y = 6x + 17x −3 2

d) x =

a) x = −3 b) x =

5 2

c) x = −3, x = 031

1 3 , x =− 4 2

e) No té punts de tall.

1 6

Troba els punts on aquestes funcions tallen l’eix X. a) y = (x −1)(x + 2) a) x = 1, x = −2

b) y = (2x −1)2 b) x =

1 2

c) y = (x −2)(x + 3)(2x + 1) c) x = 2, x = −3, x = −

1 2

393

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 394

Funcions elementals 032

Representa les funcions polinòmiques següents i indica’n els punts de tall amb els eixos. a) y = 4x2 + 4x + 1 b) y = x3 −x2 −9x + 9 c) y = 2x3 −9x2 + x + 12

d) y = x3 −2x2 −7x −4 e) y = x3 −2x2 −2x −3

⎛ 1 ⎞ a) Punt de tall amb l’eix X: ⎜⎜⎜− , 0⎟⎟⎟ ⎝ 2 ⎟⎠

Y

Punt de tall amb l’eix Y: (0, 1) 1

b) Punts de tall amb l’eix X: (−3, 0), (1, 0) i (3, 0) Punt de tall amb l’eix Y: (0, 9)

1

X

4

X

Y

6

c) Punts de tall amb l’eix X: ⎛ 3 ⎞⎟ (− 1, 0), ⎜⎜⎜ , 0⎟⎟⎟ i (4, 0) ⎝2 ⎠ Punt de tall amb l’eix Y: (0, 12)

Y

3 X

1

d) Punts de tall amb l’eix X: (−1, 0) i (4, 0) Punt de tall amb l’eix Y: (0, 4)

e) Punt de tall amb l’eix X: (3, 0) Punt de tall amb l’eix Y: (0, −3)

394

Y 2 1

X

1

X

Y 1

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 395

SOLUCIONARI

033

9

Relaciona cada gràfica amb la seva expressió algebraica. a) y =

x2 + 3x − 1 2

c) y = −

b) y = 2x2 −2x + 1

x2 −x + 2 3

d) y = −2x2 + x + 1 Y f(x)

g(x) 1 1

h(x)

X

i(x)

1 > 0, la paràbola és oberta cap amunt i c = −1.

2 b) y = h(x), perquè si a = 2 > 0, la paràbola és oberta cap amunt i c = 1.

1 c) y = g(x), perquè si a = − < 0, la paràbola és oberta cap avall i c = 2.

3 d) y = i(x), perquè si a = − 2 < 0, la paràbola és oberta cap avall i c = −1. a) y = f(x), perquè si a =

034

Representa funcions de la forma y = ax2 −3x + 2 amb diferents valors de a, i estudia’n la variació en funció del paràmetre.

Y Resposta oberta.

Si a = 1 → f(x) = x2 − 3x + 2 3 3 → g(x) = x 2 − 3x + 2 Si a = 4 2 2 1 1 2 Si a = − → h(x) = − x − 3x + 2 4 2 2 Si a = −1 → i(x) = −x2 − 3x + 2 Si a = −3 → j(x) = −3x2 − 3x + 2 L’obertura de les paràboles és menor com més gran és el valor absolut de a.

035

X

Representa funcions de la forma y = x2 + bx + 2 amb diferents valors de b, i explica com varien en funció del paràmetre.

Y Resposta oberta.

Si b = 1 → f(x) = x2 + x + 2 3 3 → g(x) = x 2 + x + 2 Si b = 2 2 1 1 Si b = − → h(x) = x 2 − x + 2 2 2 1 Si b = −1 → i(x) = x2 − x + 2 1 Si b = −3 → j(x) = x2 − 3x + 2 L’obertura de les paràboles és més gran com més gran és el valor absolut de b.

X

395

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 396

Funcions elementals 036

Representa funcions de la forma y = x2 + 2x + c amb diferents valors de c, i analitza’n la variació en funció del paràmetre.

Resposta oberta.

Y

Si c = 1 → f(x) = x + 2x + 1 2

Si c =

3 3 → g(x) = x 2 + 2x + 2 2

2 2

Si c = 2 → h(x) = x2 + 2x + 2 Si c = −

1 1 → i (x) = x 2 + 2x − 2 2

Si c = −1 → j(x) = x2 + 2x − 1 Si c = −3 → k(x) = x2 + 2x − 3 Totes les paràboles tenen la mateixa obertura. Es traslladen verticalment, cap amunt si c és positiu, i cap avall si c és negatiu.

037

Escriu funcions amb les característiques següents: a) Una paràbola que talli l’eix X a x = 3 i x = 5. b) Una paràbola que talli l’eix X a x = −2 i x = 1. c) Una paràbola que talli dues vegades l’eix X a x = 2. d) Una funció cúbica que talli l’eix X a x = −3, x = −1 i x = 1. e) Una funció cúbica que talli l’eix X dues vegades a x = 2 i una vegada a x = −1. f ) Una funció cúbica que talli una vegada l’eix X a x = 5. g) Una funció polinòmica de quart grau que talli l’eix X a x = −1, x = 3, x = 4 i x = 5. h) Una funció de quart grau que només talli dues vegades l’eix d’abscisses, a x = −2 i a x = 5.

Resposta oberta.

038

a) y = (x − 3)(x − 5)

e) y = (x − 2)2(x + 1)

b) y = (x + 2)(x − 1)

f ) y = (x − 5)3

c) y = (x − 2)2

g) y = (x + 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5)

d) y = (x + 3)(x + 1)(x − 1)

h) y = (x + 2)2(x − 5)2

Explica les diverses situacions que es poden produir en determinar on talla l’eix X una funció polinòmica de quart grau.

Per determinar els punts de tall amb l’eix X s’iguala a zero l’expressió de la funció. Llavors s’obté una equació polinòmica de quart grau que pot tenir com a màxim quatre solucions. Per tant, la funció pot no tallar l’eix, o bé tallar-lo una, dues, tres o quatre vegades, segons el nombre d’arrels del polinomi.

396

X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 397

SOLUCIONARI

039

9

Troba l’expressió algebraica de la funció quadràtica que passa pels punts A(1, −2), B(2, −2) i C(3, 0) i representa-la.

Considerem f(x) = ax2 + bx + c. a + b + c = −2 ⎪⎫⎪ a + b + c = −2 ⎪⎫⎪ 4a + 2b + c = −2 ⎪⎬ → 3a + b = 0⎪⎬ ⎪⎪ ⎪ 9a + 3b + c = 0⎪⎭ 8a + 2b = 2⎪⎪⎭

a + b + c = −2 ⎫⎪⎪ a = 1 = 0⎪⎬ b = −3 → 3a + b ⎪ 2a = 2⎪⎪⎭ c = 0

L’expressió de la funció és: f(x) = x2 − 3x Y

1 1

040

X

Troba i representa les funcions polinòmiques de grau mínim que passen pels punts següents: ⎛ 5⎞ a) A(0, 0), B⎜⎜5, ⎟⎟ i C(−2, −1) ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎛ 3 1⎞ b) A(−1, 0), B(0, −1) i C ⎜⎜ , ⎟⎟ ⎝⎜ 2 2 ⎠⎟ c) A(3, 0), B(4, 1) i C(5, 0)

d) A(1, 0), B(2, 1), C(3, 0) i D(4, 1) ⎛2 3⎞ e) A(−2, 3), B⎜⎜ , ⎟⎟ i C(2, 2) ⎜⎝ 3 2 ⎟⎠ f) A(−2, −2), B(1, 1) i C(4, −3)

a) Els punts A, B i C estan alineats.

La funció que hi passa és: f(x) = 2x

Y

1 1

X

b) Considerem f(x) = ax2 + bx + c. ⎪⎫⎪ 4 b + c = 0 ⎪⎪ a= ⎪⎪ a − b = 1 ⎫⎪ 5 c = −1 ⎬ → ⎬ ⎪⎪ 3a + 2b = 2⎪⎪⎭ 1 9 3 1⎪ b=− a + b +c = ⎪⎪ 5 4 2 2 ⎪⎭ a−

397

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 398

Funcions elementals L’expressió de la funció és: f(x) =

Y

4 2 1 x − x −1 5 5 1 1

X

c) Considerem f(x) = ax2 + bx + c.

9a + 3b + c = 0⎪⎫⎪ 9a + 3b + c = 0⎪⎫⎪ 9a + 3b + c = 0⎪⎫⎪ a = −1 16a + 4b + c = 1 ⎪⎬ → 7a + b = 1 ⎪⎬ → 7a + b = 1⎪⎬ b = 8 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ 25a + 5b + c = 0⎪⎭ 16a + 2b = 0⎪⎭ 2a = −2 ⎪⎪⎭ c = −15 L’expressió de la funció és: f(x) = −x2 + 8x − 15

Y 1 X

1

d) Considerem f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. a+ b+ c 8a + 4b + 2c 27a + 9b + 3c 64a + 16b + 4cc

+d +d +d +d

= 0⎪⎫⎪ a+ b + c +d 7a + 3b + c = 1 ⎪⎪ ⎬→ = 0⎪⎪ 13a + 4b + c 63a + 15b + 3c = 1 ⎪⎪⎪⎭

a+ b+c +d 7a + 3b + c → 6a + b 21a + 3b

L’expressió de la funció és: f(x) =

2 3 34 x − 5x 2 + x −7 3 3

= 0⎪⎫⎪ = 1 ⎪⎪ ⎬ = 0⎪⎪ = 1 ⎪⎪⎪⎭

a+ b+c +d = 0 ⎫⎪⎪ = 1⎪⎪ 7a + 3b + c ⎬→ = −1⎪⎪ 6a + b = −1⎪⎪⎪⎭ 3a

Y

1 2

398

2 a= = 0⎫⎪⎪ 3 = 1⎪⎪ b = −5 ⎬ = −1⎪⎪ 34 c= = 2⎪⎪⎪⎭ 3 d = −7

X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 399

SOLUCIONARI

9

e) Considerem f(x) = ax2 + bx + c.

4a − 4 a+ 9 4a +

2b + c = 3 ⎪⎫⎪ 8a + 2c = 5⎪⎫⎪ 4a − 2b + c = 3⎪⎫⎪ a= 2 3 ⎪⎪⎪ 8a + 18c = 30⎪⎪ ⎪ b + c = ⎬ → 8a + 12b + 18c = 27 ⎬ → ⎬ ⎪⎪ ⎪ 1 3 2 ⎪⎪ 4b = −1⎪⎪⎭ b=− ⎪⎪ c = 2b + c = 2 ⎪⎪⎪⎭ 4 ⎪⎭

L’expressió de la funció és: f ( x) =

15 64 25 16

Y

15 2 1 25 x − x+ 64 4 16 2 X

1

f) Considerem f(x) = ax2 + bx + c.

7 18 4a − 2b + c = −2⎪⎫⎪ a + b + c = 1 ⎪⎫⎪ a + b + c = 1 ⎪⎫⎪ 11 a + b + c = 1⎪⎬ → 3a − 3b = −3⎪⎬ → a − b = −1⎪⎬ b = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 18 = −7⎪⎭ 16a + 4b + c = −3⎪⎭ 15a + 3b = −4⎪⎭ 18a 7 c= 9 a=−

L’expressió de la funció és: f ( x) = −

041

7 2 11 7 x + x+ 18 18 9

1 1

X

Quin és el domini d’aquestes funcions racionals? a) f (x) =

7 ( x + 7)( x − 4)

b) g (x) =

a) R − {−7, 4} 042

Y

2x + 3 x + 3x − 10 2

b) R − {−5, 2}

2 , determina l’expressió algebraica x de les funcions següents:

Donada la funció f ( x) =

a) g(x) = f(x −3) b) g(x) = f(x + 1) 2 x −3 2 b) g(x) = x +1 a) g(x) =

c) g(x) = f(x) − 2 d) g(x) = f(x) + 3 2 2 − 2x −2= x x 2 2 + 3x +3= d) g(x) = x x c) g(x) =

e) g(x) = f(−x) f ) g(x) = −f(x) 2 2 =− −x x 2 f) g(x) = − x e) g(x) =

399

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 400

Funcions elementals 043

Observa la gràfica de la funció y =

9 . x Y

y=

9 x

1 X

1

Representa les funcions següents: a) y =

9 x −3

c) y = −

b) y =

9 −3 x

d) y =

a)

9 x

e) y =

9 x +2

f) y = −

d)

Y

9 +2 x 9 x −1

Y

2 2 2

b)

2

X

e)

Y

X

Y

2 2

c)

2 X

f)

Y

2

X

2

X

Y

2 2

400

2

X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 401

SOLUCIONARI

044

Sense representar-les, escriu la relació que hi ha entre les gràfiques d’aquestes funcions i la de y = a) y = a) b) c) d)

045

9

12 x+4

12 . x b) y =

12 −2 x

c) y =

12 +1 x

d) y = −

12 x

La funció es desplaça horitzontalment 4 unitats cap a l’esquerra.

La funció es desplaça verticalment 2 unitats cap avall.

La funció es desplaça verticalment 1 unitat cap amunt.

La funció és simètrica a la inicial i l’eix de simetria és l’eix d’ordenades.

La gràfica de la funció y =

3 és: x Y

y= 1

3 x X

1

Troba la relació que tenen aquestes funcions amb la funció y =

3 i representa-les. x

a) y =

3 x+4 x+4 = 1+ . Has de tenir en compte que: y = . x +1 x +1 x +1

b) y =

2x − 5 x −1

c) y =

−2x + 1 x +1

d) y =

−x − 5 x +2

a)

b)

Y

Y

2

4 2

X 4

y=

x+4 3 = 1+ x +1 x +1

y=

X

2x − 5 3 =2− x −1 x −1

401

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 402

Funcions elementals c)

d)

Y

Y

2 2

X

2

2

y=

046

−2x + 1 3 = −2 x +1 x +1

y=

Determina el domini d’aquestes funcions amb radicals. a) f ( x) =

x +7

c) h (x) =

b) g (x) = − x + 5

x +7

d) i (x) = − x + 5

a) Dom f = [0, +⬁) b) Dom g = [0, +⬁) 047

−x − 5 3 = − 1− x+2 x+2

c) Dom h = [−7, +⬁) d) Dom i = [−5, +⬁)

Troba el domini de les funcions amb radicals següents: a) f ( x) =

3

x −1

b) g (x) =

x 4 − 81

c) h (x) = 4 1 − x 3

a) Dom f = R b) Dom g = (−⬁, −3] ∪ [3, +⬁) c) Dom h = (−⬁, −1] 048

Quin és el domini d’aquestes funcions amb radicals?

3x − 1 7x a) f ( x) = b) g (x) = 2 − x −5 4− x +1 a) Dom f = [5, 9) ∪ (9, +⬁)

049

La gràfica de la funció f (x) =

b) Dom g = [−1, 15) ∪ (15, +⬁)

x és:

Y

f ( x) =

x

1 1

X

Troba l’expressió algebraica de les funcions següents i representa-les. a) f(x −2) b) f(x + 3)

402

c) 1 + f(x) d) −f(x)

e) −1 − f(x) f ) f(x) −2

X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 403

SOLUCIONARI

f (x − 2) =

a)

x −2

9

d) −f (x) = − x

Y

Y 1 2

X

1 X

1

b) f (x + 3) =

x+3

e) −1 − f (x) = − 1 − x Y

Y

1 X

1 1 X

1

c) 1 + f (x) = 1 +

x

f)

f (x) − 2 =

Y

x −2

Y

1 1

1

050

X

X

1

Amb l’ajuda de la calculadora, elabora una taula de valors per representar la funció y=

x 2 + 1 . Determina’n el domini i el recorregut. x

−2

−1

0

1

2

f(x)

2,23

1,41

1

1,41

2,23

Dom f = R Im f = [1, +⬁) Y

2 2

X

403

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 404

Funcions elementals 051

A partir de la gràfica de la funció y = x 2 + 1 , explica com faries la representació gràfica d’aquestes funcions amb radicals: a) y = 1 +

x2 + 1

b) y = −2 + a) b) c) d)

052

c) y = 1− x 2 + 1

x2 + 1

d) y =

x 2 + 2x + 2

La funció es desplaça verticalment 1 unitat cap amunt.

La funció es desplaça verticalment 2 unitats cap avall.

La funció es desplaça verticalment 1 unitat cap avall.

La funció es desplaça verticalment 1 unitat cap amunt i es dibuixa oberta cap avall amb la mateixa obertura.

Calcula el domini d’aquestes funcions.

2 a) y = 4 (x − 1)

b) y =

x −1

Utilitza el resultat per provar que les funcions no són iguals i representa-les gràficament. b) Dom f = [1, +⬁)

a) Dom f = R Y

Y

1

1 1

053

1

X

Representa la gràfica de les funcions y = 2x i y = 3x.

A partir d’aquestes gràfiques, raona com serà la gràfica de les funcions y = 5x i y = 10x.

Les gràfiques de les funcions y = 5x i y = 10x també són creixents i passen pel punt (0, 1), però el seu creixement és més lent si x < 0, i és més ràpid si x > 0, com més gran és el valor de la base.

054

404

Amb l’ajuda de la calculadora, elabora una taula de valors per representar x ⎛ 1⎞ la funció exponencial y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ . ⎝ 3 ⎠⎟ x

−2

−1

0

1

2

f(x)

9

3

1

0,33

0,11

X

Y

1 1

X

1

X

Y

1

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 405

SOLUCIONARI

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ Representa les funcions y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ i y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ . A partir de les gràfiques, ⎝ 2 ⎠⎟ ⎝ 3 ⎟⎠ x x ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ com seran les gràfiques de les funcions y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ i y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ? ⎝ 5 ⎟⎠ ⎝ 10 ⎟⎠ x

055

x

Les gràfiques de les funcions x x ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ y = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ i y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ també són ⎝ 10 ⎠⎟ ⎝⎜ 5 ⎠⎟ decreixents i passen pel punt (0, 1), però el seu decreixement és més lent si x < 0, i és més ràpid si x > 0, com més petit és el valor de la base.

Y

1 1

056

9

X

Aquesta és la gràfica de la funció exponencial f(x) = 4x.

Y

f(x) = 4x

1 1

X

Troba l’expressió algebraica de les funcions següents i representa-les. a) f(x −3) b) f(x + 1)

c) 4 + f(x) d) −f(x)

e) 2 − f(x) f ) f(x) −2

a) f(x − 3) = 4x − 3

c) 4 + f(x) = 4 + 4x Y

Y

1 1

X

1

X

1 1

X

b) f(x + 1) = 4x + 1

d) −f(x) = −4x

Y

Y

1

1 1

X

405

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 406

Funcions elementals e) 2 − f(x) = 2 − 4x

f) f(x) − 2 = 4x − 2 Y

Y

1 1

1 1

X

X

⎛ 1⎞ A partir de la gràfica de la funció y = ⎜⎜ ⎟⎟ , explica com faries la representació ⎜⎝ 3 ⎟⎠ gràfica de les funcions següents: x

057

⎛ 1⎞ a) y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝3⎠

x −3

−x

⎛ 1⎞ c) y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝3⎠

⎛ 1⎞ d) y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝3⎠

b) y = 3

x

e) y = 3x + 2 x +1

2− x

⎛ 1⎞ f ) y = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝3⎠

a) La funció es trasllada horitzontalment 3 unitats cap a la dreta. −1

⎛⎛ 1 ⎞−1⎟⎞ ⎛⎛ 1 ⎞x ⎟⎞ ⎜ ⎜ y = 3 = ⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎟⎟ ⎜⎜⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎟⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ x

b)

x

La funció li és simètrica i l’eix d’ordenades és l’eix de simetria de totes dues. −1

c)

−x ⎛⎛ 1 ⎞x ⎞⎟ ⎛ 1⎞ ⎜ y = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎟⎟ ⎝⎜ 3 ⎟⎠ ⎝ ⎠

La funció li és simètrica i l’eix d’ordenades és l’eix de simetria de totes dues. Coincideix amb l’anterior. d) La funció es trasllada horitzontalment 1 unitat cap a l’esquerra. e)

y=3

x +2

⎛⎛ 1 ⎞−1⎞⎟ ⎜ = ⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎟⎟ ⎠ ⎝

x +2

−1

⎛⎛ 1 ⎞x +2 ⎞⎟ ⎜ = ⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎟⎟ ⎠ ⎝

Primer es trasllada horitzontalment 2 unitats cap a l’esquerra i, després, es dibuixa la funció que li és simètrica respecte de l’eix d’ordenades.

2− x

f)

⎛ 1⎞ y = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎠⎟

−1

⎛⎛ 1 ⎞x −2 ⎟⎞ ⎜ = ⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎟⎟ ⎝ ⎠

Primer es trasllada horitzontalment 2 unitats cap a la dreta i, després, es dibuixa la funció que li és simètrica respecte de l’eix d’ordenades.

406

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 407

SOLUCIONARI

058

9

Amb la calculadora, elabora una taula de valors per representar la funció logarítmica y = log3 x. x

1

2

3

4

5

f(x)

0

0,63

1

1,26

1,46

Y

1 X

1

059

Representa la gràfica de les funcions: y = log3 x

y = log2 x

Dedueix, a partir d’elles, com serà la gràfica de les funcions y = log5 x i y = log x.

Y

1 X

1

Les gràfiques de les funcions y = log5 x i y = log x també són creixents i passen pel punt (1, 0), però el seu creixement és més ràpid si 0 < x < 1, i és més lent si x > 1, com més gran és el valor de la base.

060

Representa les funcions y = log 1 x i y = log 1 x .

2

3

Com seran les gràfiques de les funcions y = log 1 x i y = log 1 x ?

5

10

Y

1 1

X

Les gràfiques de les funcions y = log 1 x i y = log 1 x també són decreixents 5

10

i passen pel punt (1, 0), però el seu decreixement és més ràpid si 0 < x < 1, i és més lent si x > 1, com més petit és el valor de la base.

407

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 408

Funcions elementals 061

Aquesta és la gràfica de la funció logarítmica f(x) = log x.

Y

f(x) = log x

1 1

X

Troba l’expressió d’aquestes funcions i representa-les. a) f(x −4)

c) 4 + f(x + 1)

e) 2 − f(x −2)

b) f(x + 3)

d) −f(x)

f ) f(2 −x)

a) f(x − 4) = log (x − 4)

d) −f(x) = −log x Y

Y

1 X

1

1 X

1

b) f(x + 3) = log (x + 3)

e) 2 − f(x − 2) = 2 − log (x − 2)

Y

Y

1 1

X 1 X

1

c) 4 + f(x + 1) = 4 + log (x + 1)

f) f(2 − x) = log (2 − x)

Y

Y

1 1 1 1

408

X

X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 409

SOLUCIONARI

062

9

A partir de la gràfica de la funció logarítmica y = log3 x, explica com faries la representació gràfica de les funcions següents: a) y = log3 3x

⎛ 1⎞ c) y = log3 ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ x ⎟⎠

e) y = log 1 3x

b) y = log 1 x

⎛3⎞ d) y = log 1 ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ x ⎟⎠

⎛x⎞ f ) y = log3 ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝9⎠

3

3

3

a) y = log3 3x = 1 + log3 x La funció es trasllada verticalment 1 unitat cap amunt. b)

y = log 1 x = log3−1 x 3

La funció li és simètrica i l’eix d’abscisses és l’eix de simetria de totes dues. c) La funció li és simètrica i l’eix d’abscisses és l’eix de simetria de totes dues.

Coincideix amb l’anterior. d)

⎛3⎞ y = log3 ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 1 − log3 x ⎜⎝ x ⎟⎠ Primer es dibuixa la funció que li és simètrica respecte de l’eix d’abscisses i, després, es trasllada verticalment 1 unitat cap amunt.

e)

y = log 1 3x = log 1 3 + log 1 x = −1 + log3−1 x 3

3

3

Primer es dibuixa la funció que li és simètrica respecte de l’eix d’abscisses i, després, es trasllada verticalment 1 unitat cap avall. f)

⎛x⎞ y = log3 ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = log3 x − 2 ⎜⎝ 9 ⎟⎠ La funció es trasllada verticalment 2 unitats cap avall.

063

Dibuixa la gràfica de y = cos x i, a partir d’ella, fes la gràfica de les funcions següents: a) y = −cos x ⎛ π ⎞⎟ b) y = cos ⎜⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠ a)

c) y = 1 + cos x d) y = cos (−x) b)

Y

Y

1

1 π

X

π

X

409

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 410

Funcions elementals c)

d)

Y

1

1 π

064

π

X

a)

c) y = −2 + sin x d) y = −sin (−x) c)

Y

π

b)

Y

1

1 X

d)

Y

1

π

X

π

X

Y

1 π

X

Fes una gràfica d’aquestes funcions i estudia’n les característiques. y = sin 2x

y = sin 3x

A partir d’això, explica com seran les gràfiques de les funcions: a) y = sin 4x

b) y = sin 6x Y

1 π

X

Les gràfiques de les funcions y = sin 4x i y = sin 6x tenen el mateix domini i recorregut i són periòdiques, però el període és més gran com més gran és el valor pel qual es multiplica la variable independent x.

410

X

Dibuixa la gràfica de y = sin x i, a partir d’ella, fes la gràfica d’aquestes funcions: a) y = −sin x ⎛ π ⎞⎟ b) y = sin ⎜⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠

065

Y

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 411

SOLUCIONARI

066

Representa i estudia les característiques d’aquestes funcions. x x y = cos y = cos 2 3

9

Y

Explica, a partir de l’estudi anterior, com seran les gràfiques de les funcions següents: x x a) y = cos b) y = cos 5 6

1 π

X

x té el mateix domini i recorregut 5 i és periòdica, però el període és 10π. x b) La gràfica de la funció y = cos té el mateix domini i recorregut 6 i és periòdica, però el període és 6π. a) La gràfica de la funció y = cos

067

Amb l’ajut de la gràfica, comprova que aquests parells de funcions no són iguals. ⎛ x ⎞⎟ a) y = cos ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝2⎠ ⎛ x ⎞⎟ b) y = sin ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝2⎠ a)

y=

cos x 2

y=

sin x 2

⎛ x ⎞⎟ c) y = tg ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝2⎠

y=

c)

Y

Y

1

b)

tg x 2

1 π

X

π

X

π

X

Y

1

Y

068

Aquesta és la gràfica de la funció trigonomètrica y = tg x.

1 π

X

411

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 412

Funcions elementals Utilitza aquesta gràfica per construir les gràfiques de les funcions següents: a) y = tg (x + π) a)

b) y = 1 − tg x b)

Y

Y

1

1 π

069

π

X

A continuació pots veure la gràfica de la funció y = arc sin x.

Y

π 2 y = arc sin x

−1

1

−

π 2

Dibuixa les gràfiques de les funcions: a) y = 2 + arc sin x b) y = 3 −arc sin x a)

X

⎛ 1 ⎞⎟ c) y = arc sin ⎜⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠ d) y = arc sin (x −1) c)

Y

Y

π 2

π

−1 −1

b)

1

X

Y

d)

Y

π 2

1

π 2

−1

412

1

X

1

X

X

X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 413

SOLUCIONARI

070

9

Y π

Aquesta és la gràfica de la funció y = arc cos x.

Fes les gràfiques de les funcions: a) y = 2 + arc cos x b) y = 3 −arc cos x ⎛ 1 ⎞⎟ c) y = arc cos ⎜⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠

π 2

d) y = arc cos (x −1) a)

y = arc cos x

−1

Y

c)

1

X

Y π

π 2

π

π 2

−1

−1 1

b)

X

d)

Y

π 2

π 2

071

Y π

π

−1

X

1

1

−1

X

1 X

Observa la gràfica de la funció y = arc tg x.

Y

π 2

Fes les gràfiques de les funcions:

y = arc tg x

a) y = 2 + arc tg x b) y = 3 −arc tg x ⎛ 1 ⎞⎟ c) y = arc tg ⎜⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠

X

−

d) y = arc tg (x −1) a)

b)

Y

1

π 2 Y

1 π

X

π

X

413

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 414

Funcions elementals c)

d)

Y

Y

1

1 π

072

π

X

La funció l’expressió algebraica de la qual és y =

X

x s’anomena funció signe de x. ⏐x⏐

Y

y= 1

x ⏐x⏐

X

1

Troba’n l’expressió algebraica com una funció definida a trossos. a) Quant val si x = 3? b) I si x = −5? ⎧⎪ 1 si x > 0 f(x) = ⎨ ⎪⎪⎩−1 si x < 0 a) f(3) = 1 073

b) f(−5) = −1

c) I si x = −3,4?

c) f(−3,4) = −1

Representa i descriu les característiques de les funcions següents: ⎧⎪2x + 1 a) f (x) = ⎪⎨ ⎪⎪⎩ x − 5

si x < 2 si x ≥ 2

⎪⎧⎪ x 2 − 3x b) g(x) = ⎪⎨ 6 ⎪⎪ ⎪⎩−x + 3

si x < 3 si x = 3 si x > 3

⎪⎧⎪ 6 c) h (x) = ⎪⎨ x −1 ⎪⎪ ⎪⎩ 2x + 1 a) Dom f = R

si x < 2 si x ≥ 2 Im f = R

La funció és creixent a (−⬁, 2) ∪ (2, +⬁).

No és contínua a x = 2, i aquest és un punt de discontinuïtat inevitable de salt finit.

No té asímptotes.

No és simètrica ni periòdica.

414

Y

2 2

X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 415

SOLUCIONARI

9

Y

⎡ 9 ⎞ Im g = ⎢− , + ⬁⎟⎟⎟ ⎟⎠ ⎢⎣ 4 ⎛3 ⎞ La funció és creixent a ⎜⎜⎜ , 3⎟⎟⎟⎟ ∪ (3, +⬁) ⎝2 ⎠ 1 ⎛ 3⎞ ⎜ i és decreixent a ⎜⎜−⬁ , ⎟⎟⎟ .

1 ⎟ ⎝ 2⎠ 3 Té un mínim absolut a x = .

2 No és contínua a x = 3, i aquest és un punt de discontinuïtat evitable.

No té asímptotes. No és simètrica ni periòdica.

b) Dom g = R

c) Dom h = R − {1} Im h = (−⬁, 0) ∪ [6, +⬁) Y La funció és decreixent a (−⬁, 1) ∪ (1, 2) i és creixent a (2, +⬁).

2 Té un mínim relatiu a x = 2.

2 No és contínua a x = 1, i aquest és un punt de discontinuïtat inevitable de salt infinit.

Té una asímptota vertical a x = 1 i una asímptota horitzontal a y = 0.

No és simètrica ni periòdica.

074

X

X

Representa i descriu les característiques d’aquestes funcions definides a trossos. ⎪⎧⎪ x 3 ⎪⎪ 2 a) f ( x) = ⎪⎨ ⎪⎪ x − 3 ⎪⎪ ⎪⎩ x

si x ≤ 0

⎪⎧2 x b) g (x) = ⎪⎨ ⎪⎪⎩log x

si 0 < x ≤ 4

si x ≤ 1 si x > 1

si x > 4

a) Dom f = R − {3}

Im f = (−⬁, 0] ∪ [2, +⬁)

La funció és creixent a (−⬁, 0) ∪ (4, +⬁) i és decreixent a (0, 3) ∪ (3, 4).

Té un mínim relatiu a x = 4.

No és contínua a x = 0, ni a x = 3, i el punt x = 0 és de discontinuïtat inevitable de salt finit, i el punt x = 3 és de discontinuïtat inevitable de salt infinit.

Té una asímptota vertical a x = 3.

No és simètrica ni periòdica.

Y

2 4

X

415

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 416

Funcions elementals b) Dom g = R

Im g = (0, 2]

La funció és creixent a (−⬁, 1) ∪ (1, +⬁).

No té màxims ni mínims.

No és contínua a x = 1, i aquest punt és de discontinuïtat inevitable de salt finit.

No té asímptotes.

No és simètrica ni periòdica.

Y

1 X

1

075

Escriu com a funcions definides a trossos: a) y = ⏐x + 2⏐

b) y = ⏐12 −3x⏐

⎪⎧ x + 2 si x ≥ −2 a) f ( x ) = ⎨ ⎩⎪⎪−x − 2 si x < −2 076

⎪⎧ 12 − 3x b) f ( x ) = ⎨ ⎪⎪⎩−12 + 3x

Observa la gràfica de la funció y = x2 −x −6.

Y 1 1

y = x2 − x − 6

Dibuixa la gràfica de y = ⏐x2 −x −6⏐.

Y

1 1

416

X

X

si x ≤ 4 si x > 4

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 417

SOLUCIONARI

077

Representa la funció:

⎪⎧⎪⏐x 2 + 3x⏐ f ( x) = ⎪⎨−4 ⎪⎪ ⎩⎪−x + 3

9

si x <−1 si x = −1 si x >−1

Completa les taules i estudia el valor que pren la funció als punts propers a −1.

Esquerra de −1

−2

−1,5

−1,1

−1,05

f(x)

2

2,25

2,09

2,0475

Dreta de −1

0

−0,5

−0,9

−0,95

f(x)

3

3,5

3,9

3,95

Descriu què li passa a la funció a les proximitats de −1.

Per l’esquerra de −1 els valors de la funció s’acosten a 2, i per la dreta s’acosten a 4.

078

Escriu-les aquestes funcions com a funcions definides a trossos i representa-les. c) y = ⏐2x2 −7x + 3⏐ a) y = ⏐x2 −4x −5⏐ 2 d) y = ⏐−x2 + 4x −5⏐ b) y = ⏐x −4x + 5⏐ ⎧⎪ x 2 − 4x − 5 si x ≤ − 1, x ≥ 5 a) f ( x ) = ⎪⎨ 2 ⎪⎪⎩−x + 4x + 5 si −1 < x < 5 Y

2 2

b)

X

Y

1 1

X

⎧⎪ 2 1 ⎪⎪2x − 7x + 3 si x ≤ , x ≥ 3 ⎪ 2 c) f ( x ) = ⎨ ⎪⎪ 1 2 < x <3 ⎪⎪−2x + 7x − 3 si 2 ⎪⎩

Y

1 1

X

417

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 418

Funcions elementals d)

Y

1 X

1

079

Expressa com una funció definida a trossos. a) b) c) d)

080

y = ⏐x⏐ + ⏐x + 2⏐ y = ⏐x + 1⏐ − ⏐1 − x⏐ y = ⏐x −1⏐ − ⏐1 − x⏐ y = ⏐2x + 1⏐ − ⏐2 − x⏐ ⎪⎧⎪−2x − 2 si x ≤ −2 a) f ( x ) = ⎪⎨ 2 si −2 < x ≤ 0 ⎪⎪⎪ 2x + 2 si x >0 ⎩

c) f(x) = 0

⎧⎪−2 si x ≤ −1 ⎪ b) f ( x ) = ⎪⎨ 2x si −1 < x ≤ 1 ⎪⎪ x >1 ⎪⎩ 2 si

⎪⎧⎪ 1 x ≤− ⎪⎪−x − 3 si 2 ⎪ d) f ( x ) = ⎨⎪ 1 ⎪⎪ 3x − 1 si − < x ≤ 2 ⎪⎪ 2 ⎪⎪⎩ x + 3 si x >2

El nombre d’alumnes afectats per una epidèmia de grip s’obté a partir de la funció: 30x f ( x) = x +2 en què x és el nombre de dies que han passat des de l’inici de l’epidèmia. a) Quants afectats hi va haver el primer dia? b) En quin moment el nombre d’afectats va ser 15? c) Representa la funció i comprova els resultats que has obtingut als apartats anteriors. a) f(1) = 10 afectats b)

30x = 15 → 30x = 15x + 30 → 15x = 30 → x = 2 x+2 Hi va haver 15 afectats dos dies després del començament de l’epidèmia.

c)

Y

20 2

418

X

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 419

SOLUCIONARI

081

9

Un capital de 5.000 € està dipositat en un banc, i produeix un interès anual del 2 %. a) Quants diners hi ha al cap d’un any? b) I als dos anys? c) I als n anys? a) 5.100 €

082

b) 5.202 €

c) C = 5.000 · 1,02n

La taula recull l’interès que ofereix un banc quan s’hi ingressen diners durant un any.

Interès (%)

Diners (€) Fins a 1.000

5

De 1.000 a 2.500

10

De 2.500 a 5.000

15

Més de 5.000

20

a) Representa la funció que determina l’interès obtingut segons els diners que s’ingressen. De quin tipus de funció es tracta? b) Si hi ingresso 1.800 €, quants diners tindré al final de l’any? c) I si hi ingresso 500 €? a)

Y

5 500

X

Es tracta d’una funció definida a trossos. b) 1.800 · 1,1 = 1.980 € c) 500 · 1,05 = 525 € 083

Troba les funcions inverses d’aquestes funcions: a) y = 3x −1

f ) y = ln (x + 3)

b) y =

g) y = 3 + 4 ⋅ 5x 1 + log3 x h) y = 5

x

c) y = sin 2x 1 + tg x 2 e) y = arc cos (x −2)

d) y =

i) y = ⏐x −1⏐ j) y = x

419

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 420

Funcions elementals a) y = 3x − 1 → y + 1 = 3x → x = b) y =

y +1 x +1 → f −1( x ) = 3 3

x → x = y 2 → f −1( x ) = x 2

arc sin y arc sin x → f −1( x ) = 2 2 1 + tg x d) y = → 2y − 1 = tg x → x = arc tg (2y − 1) → f −1( x ) = arc tg (2x − 1) 2 c) y = sin 2x → 2x = arc sin y → x =

e) y = arccos (x − 2) → cos y = x − 2 → x = 2 + cos y → f −1( x ) = 2 + cos x f ) y = ln (x + 3) → x + 3 = e y → x = e y − 3 → f −1( x ) = e x − 3 ⎛ y − 3 ⎞⎟ ⎛ x − 3 ⎞⎟ y −3 ⎟⎟ → f −1( x ) = log5 ⎜⎜ ⎟ g) y = 3 + 4 · 5 x → 5 x = → x = log5 ⎜⎜ ⎜ ⎜⎝ 4 ⎟⎟⎠ ⎟ ⎝ 4 ⎠ 4 1 + log3 x 5y = 1 + log3 x → log3 x = 5y − 1 → x = 35y −1 → f −1( x ) = 35x −1 h) y = 5 ⎧⎪ x − 1 si i) f ( x ) = ⎨ ⎩⎪⎪−x + 1 si

x ≥1 x <1

⎧⎪ x + 1 sii x ≥ 1 y = x − 1 → x = y + 1 ⎫⎪ −1 ⎬ → f (x) = ⎨ ⎪⎪⎩−x + 1 si x < 1 y = −x + 1 → x = −y + 1⎪⎪⎭

j) y = x → x = y → f −1(x) = x

084

Una granja de cargols ha ajustat les despeses de producció per a x kilograms de cargols segons la funció: 1 G(x) = 2.000 + x3 200.000 Els ingressos de la granja es regeixen per la fórmula: 1 1 I (x) = 8.000 + 2x − x2 + x3 1.000 200.000 Esbrina quin és el nombre de kilograms de cargols amb què s’obté el màxim benefici.

Els beneficis de la granja s’obtenen a partir de la funció: 1 1 1 x2 + x 3 − 2.000 − x3 = 200.000 1.000 200.000 1 = 6.000 + 2x − x2 1.000

f ( x ) = 8.000 + 2x −

Es tracta d’una funció quadràtica i, per tant, la seva gràfica és una paràbola.

Com que el coeficient de x2 és un valor negatiu, la paràbola és oberta cap avall, i per això la funció té el màxim en el vèrtex: b x =− = 2.000 kg 2a

420

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 421

SOLUCIONARI

085

9

Una ONG ha estimat que el nombre de persones ingressades als hospitals després 110 t ∈ (0, 30) d’un tsunami segueix aproximadament la fórmula: P = 1 + 2 t + 10 en què P és el nombre de persones hospitalitzades, en milers, i t és el nombre de dies transcorreguts des del tsunami. a) Quantes persones hi haurà hospitalitzades el primer dia? b) Quantes n’hi haurà al cap de tres setmanes? c) Si la capacitat hospitalària d’una illa de l’àrea afectada és de 2.000 llits, fins a quin dia va estar desbordada la capacitat? a) 11.000 persones b) 1.243 persones c) 1 +

110 = 2 → t 2 + 120 = 2t 2 + 20 → t 2 − 100 = 0 → t = ±10 t 2 + 10

Com que el nombre de persones hospitalitzades decreix d’acord amb el nombre de dies, la capacitat d’hospitalització va estar desbordada fins al desè dia.

086

L’evolució d’una població ve determinada per la funció P(t) = 100 ⋅ 2t, i la dels aliments que necessita segueix la funció A(t) = 1.000t + 1.000. a) Quanta població hi havia al principi? I aliments? b) I després de 2 anys? c) A partir de quin any la població tindrà menys aliments dels que són necessaris? a) P(0) = 100

A(0) = 1.000

b) P(2) = 400

A(2) = 3.000

c)

Y

1.000 2

X

A partir del sisè any.

421

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 422

Funcions elementals PER ACABAR...

087

Raona per a quin valor de x es fa més gran la diferència

x 2 + 1 −⏐x⏐.

Y

La diferència té el valor més gran per a x = 0.

3

1

088

X

La funció f(x) està formada per quatre segments.

Y

Com que f(1) = f(−2) = 6, les solucions de l’equació són els valors per als quals les ordenades són iguals a 1 i a −2.

En total, hi ha sis punts que compleixen aquestes condicions, és a dir, l’equació té sis solucions.

089

C(1, 6)

B(−2, 6)

Quantes solucions té l’equació f[f(x)] = 6?

2 X

2 A(−7, −4)

D(5, −6)

Calcula els valors màxim i mínim (extrems absoluts) que pot assolir la funció f(x) = ⏐1 −x2⏐a l’interval [−2, 2].

Y

A l’interval [− 2, 2], el valor màxim és 4, ja que els punts x = 2 i x = −2 són els màxims absoluts, i el valor mínim és 0, perquè els punts x = 1 i x = −1 són els mínims absoluts.

1 X

1

090

Quantes solucions tenen les equacions següents a l’interval [−π, π]? x a) e x = 2 −x2 b) ln x = −x c) sin x = 2 Y Y a) b) y = ex

y = ln x

2

X

2 1

X y = –x

y = 2 − x2

Té dues solucions.

422

Té una solució.

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 423

SOLUCIONARI

c)

9

Y

y = sin x 1 π

y=

X

x 2

Té tres solucions.

091

Les agulles d’un rellotge fan 20 cm i 30 cm. Entre les 12 hores i les 12 hores i 30 minuts: a) Expressa l’angle que formen en funció del temps, t, mesurat en minuts. b) Troba l’àrea del triangle creat quan unim els seus extrems en funció de t.

Pot prendre el valor zero? A quina hora assoleix el valor més gran? c) Expressa la distància entre els extrems de les agulles en funció de t. a) Com que l’agulla que marca les hores tarda 12 hores a completar una volta 2π π = rad/min (2π radians), la seva velocitat és: v h = 720 360 2π π = De manera anàloga, la velocitat de l’altra agulla és: v m = rad/min 60 30 L’angle que formen les dues agulles és la diferència entre els angles que recorre cadascuna, en funció del temps t transcorregut: π π 11π α= t− t= t rad 30 360 360 b) A =

⎛ 11π ⎞⎟ ⎛ 11π ⎞⎟ 1 · 20 · 30 · sin ⎜⎜ t ⎟⎟ = 300 sin ⎜⎜ t⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎜ 360 ⎟⎟⎠ 2 360

Aquesta funció s’anul·la si l’angle mesura kπ radians, amb k ∈ Z. A l’interval de temps donat, aquesta condició només es compleix a les 12 hores (α = 0).

Com que el valor més gran de la funció sinus s’obté quan l’angle mesura π radians, s’ha de calcular a quina hora l’angle format té aquesta amplitud: 2 11π π t= → t = 16, 36 360 2 L’àrea és màxima a les 12 hores i 16,36 minuts. c) Segons el teorema del cosinus, la distància entre els extrems de les agulles és: d=

⎛ 11π ⎞⎟ ⎛ 11π ⎞⎟ 202 + 302 − 2 · 20 · 30 · cos ⎜⎜ t ⎟ = 1.300 − 1.200 cos ⎜⎜ t⎟ = ⎜⎝ 360 ⎟⎟⎠ ⎜⎝ 360 ⎟⎟⎠

⎛ 11π ⎞⎟ t⎟ = 10 13 − 12 cos ⎜⎜ ⎜⎝ 360 ⎟⎟⎠

423

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Página 424

Funcions elementals 092

Un tipus de bengala roman encesa durant 5 minuts. El percentatge de lluminositat que produeix ve donat en funció del temps: f(t) = 16t(5 −t), 0 ≤t ≤5 a) Per a quin valor de t s’obtindrà el màxim de lluminositat? b) I el mínim? c) En quin interval de temps creix el percentatge de lluminositat? d) Per a quin valor de t el percentatge de lluminositat és del 35 %? a) Com que és una funció de segon grau, f(t) = −16t2 + 80t, amb a <0, el màxim –b −80 = = 2, 5. estarà en el vèrtex: xv = 2a 2 · (–16) b) El mínim s’obtindrà en els extrems x = 0 i x = 5 en què f(0) = f(5) = 0. c) Com es pot veure en la gràfica, el percentatge de lluminositat creix en l’interval [0, 2, 5]. d) Hem de buscar el valor de x que fa que f(x) = 35: −16t 2 + 80t = 35 → 16t 2 − 80t + 35 = 0 → t =

80 ± 802 − 4 · 16 · 35 2 · 16

⎧⎪t = 0, 48 s I obtenim com a solucions (valors aproximats): ⎨ 1 ⎪⎪⎩t2 = 4, 52 s Les solucions també es poden observar de manera aproximada en la gràfica de la funció: Y 100 90 80 70 60 50 40 35 30 20 10 0

424

X 0 t1 1

2

3

4 t2 5

917221Unidad09.qxd

19/1/09

11:04

Pรกgina 425

NOTES

425