917221Unidad11.qxd
11
19/1/09
11:09
Página 476
Derivada d’una funció
Derivada d’una funció
LITERATURA I MATEMÀTIQUES
La ciutat Rosa i Vermella Aquella princesa de cabells llargs i daurats estava alarmada en observar que, cada dia, molts cabells li quedaven enredats a la pinta. Però, per a tranquil·litat seva, el compte es mantenia sempre al voltant dels cent cinquanta mil cabells, malgrat que li queien aproximadament cinquanta cabells diaris, per la qual cosa no semblava probable que perdés el daurat atribut. Arribat el moment de prendre espòs, la princesa declarà que només es casaria amb qui endevinés la longitud de la seva cabellera. Eren dades àmpliament conegudes el nombre dels seus cabells i els que perdia diàriament, així com el fet que mai no se’ls tallava, ja que l’augusta cabellera era un dels temes de conversa més freqüents a palau. Així que l’astrònom reial, que l’estimava en silenci, es presentà davant de la princesa (que per confondre els pretendents es recollia el cabell en un monyo enorme) i li digué: –Si teniu cent cinquanta mil cabells i us en cauen uns cinquanta diaris, d’aquí a tres mil dies hauran caigut tots els que ara adornen el vostre cap (tot i que, naturalment, aleshores en tindreu un altres cent cinquanta mil, que us hauran anat sortint al mateix ritme que us cauen, ja que el compte diari demostra que el nombre dels vostres cabells roman constant). Lògicament, els últims a caure seran els que us han sortit avui mateix, i això equival a dir que la vida mitjana d’un cabell és de tres mil dies. Com que el cabell humà (fins i tot el principesc) creix a raó d’un centímetre al mes, i tres mil dies són cent mesos, la vostra cabellera deu mesurar al seu punt de longitud màxima (ja que en realitat teniu cabells de totes les mesures) aproximadament un metre. La princesa es casà amb l’astrònom, que, acostumat a comptar les estrelles, passà a ocupar-se personalment del còmput dels cabells, unint al rigor del científic la sol·licitud de l’espòs. CARLO FRABETTI (text adaptat)
En suposar que la «velocitat» de creixement del cabell és constant, 1 cm/mes, la funció que relaciona la longitud, en cm, del cabell (l ) i el temps, en mesos, transcorreguts (t ) és l = t. Si la velocitat de creixement fos de 2 cm/mes, la fórmula seria l = 2t. Però aquesta velocitat no sempre és constant. Imagina que, per efecte d’una loció regeneradora, la relació entre la longitud i el temps s’expressa amb la fórmula l = 3 t . Determina la velocitat de creixement entre els mesos 2n i 7è, 2n i 6è, 2n i 4t. És constant? l(7) − l(2) 7−2 l(6) − l(2) 6−2 l(4) − l(2)
= =
5 3 6 −3 2 4 6−3 2
= 0,73 = 0,77
= 0,87 4−2 2 La velocitat de creixement no és constant.
476
=
3 7 −3 2
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 477
SOLUCIONARI
11
ABANS DE COMENÇAR… RECORDA 001
Determina quins d’aquests vectors són paral·lels i quins són perpendiculars aW v = (−2, 1). a) W v1 = (−6, 3) b) W v2 = (−2, −4) c) W v3 = (8, −4) a) W v 1 = 3v W → Els vectors són paral·lels.
v ⋅W v 2 = 0 → Els vectors són perpendiculars. b) W
v 3 = −4v W → Els vectors són paral·lels. c) W 002
L’angle que forma una recta amb l’eix d’abscisses, pot fer més de 180°? Per què? No, perquè si la inclinació de la recta sobrepassa la inclinació de l’eix, la semirecta que queda per sobre d’aquest determina l’angle menor de 180º que cal considerar per calcular el pendent.
003
Calcula l’equació punt-pendent d’una recta que passa pel punt A(−3, 6) i que té com a vector director W v = (2, −4). y − 6 = −2(x + 3)
004
Estudia la continuïtat d’aquestes funcions. a) f ( x) = −
5 x −1
b) g(x) =
x2 −4
c) h(x) = ln
1 x
a) f(x) és contínua en R − {1}. b) g(x) és contínua en (−`, −2] ∪ [2, +`). c) h(x) és contínua en (0, +`). 005
Donades les funcions f (x) = (2x −1)2 i g(x) = ( g o f )( x ) = g[f ( x )] = g[(2x − 1)2] =
x −2 , calcula (g o f )(2) y (f o g )(2).
(2x − 1)2 − 2 =
4x 2 − 4x − 1 → ( g o f )(2) = 7
(f o g)( x ) = f [ g( x )] = f ( x − 2 ) = (2 x − 2 − 1) → (f o g)(2) = 1 2
006
Si la funció f (x) creix a l’interval (−10, −2) i decreix a l’interval (−2, 22), què passa al punt x = −2? En x = −2 la funció presenta un màxim.
477
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 478
Derivada d’una funció ACTIVITATS 001
Troba la taxa de variació mitjana de les funcions f (x) = x2 + x i g(x) = x3 + x als intervals següents: a) [0, 1]
b) [2, 3] 2−0 f (1) − f (0) = =2 1− 0 1 2−0 g(1) − g(0) T.V.M. ([0, 1]) = = =2 1− 0 1
a) T.V.M. ([0, 1]) =
12 − 6 f (3) − f (2) = =6 3−2 1 g(3) − g(2) 30 − 10 T.V.M. ([2, 3]) = = = 20 3−2 1
b) T.V.M. ([2, 3]) =
002
La cotització d’una acció segueix durant una setmana la funció f (x) = 0,02x2 + 1, en què x és el dia de la setmana (0 = dilluns, 1 = dimarts, …). Troba la taxa de variació mitjana d’aquesta cotització de dilluns a divendres. T.V.M. ([0, 4]) =
1,32 − 1 f (4) − f (0) = = 0,08 4−0 4
003
Calcula la derivada d’aquestes funcions a x = 1. 1 b) f ( x) = 2 a) f (x) = 4x + 2 x f(1 + h) − f(1) 4(1 + h) + 2 − 6 4 + 4h − 4 a) f' (1) = lim = lim = lim =4 h→ 0 h → 0 h →0 h h h 1 −1 f (1 + h) − f (1) 1− (1 + h)2 (1 + h)2 = = lim b) f' (1) = lim = lim h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h(1 + h)2 1− 1− 2h − h2 −2 − h = lim = −2 = lim 2 0 h→ 0 → h h(1 + h) (1 + h)2
004
Troba la derivada de les funcions en els punts x = 0 i x = 1. a) f (x) = x3
b) f (x) =
x
f (0 + h) − f (0) h3 = lim = lim h2 = 0 h→ 0 h→ 0 h h→ 0 h f (1 + h) − f (1) 1 + 3h + 3h2 + h3 − 1 (1 + h)3 − 1 = lim = lim f'(1) = lim = h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h = lim (3 + 3h + h2) = 3
a) f' (0) = lim
h→ 0
b) f' (0) = lim
h→ 0
f (0 + h) − f (0) = lim h→ 0 h
f (1 + h) − f (1) = lim h→ 0 h 1 1 = lim = h→ 0 2 1+ h + 1
f'(1) = lim
h→ 0
478
h = lim h→ 0 h
1 h
→ No existeix.
1+ h − 1 1+ h − 1 = lim = 0 h → h h( 1 + h + 1)
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 479
SOLUCIONARI
005
11
Troba el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció f (x) = x2 + 2 a x = 2. 4 + 4h + h2 − 4 (2 + h)2 + 2 − 6 f (2 + h) − f (2) = = lim = lim h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h = lim (4 + h) = 4
f'(2) = lim
h→ 0
El pendent de la recta tangent és 4. 006
Quin és el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció f (x) = x3 a x = −1? f (−1 + h) − f (−1) (−1 + h)3 + 1 = = lim h→ 0 h→ 0 h h −1 + 3h − 3h2 + h3 + 1 = lim = lim (3 − 3h + h2) = 3 h→ 0 h→ 0 h El pendent de la recta tangent és 3. f'(−1) = lim
007
Troba l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f (x) = 2x2 en el punt P (−1, 2). Quina és l’equació de la recta normal? f (−1 + h) − f (−1) 2(−1 + h)2 − 2 2 − 4h + 2h2 − 2 = lim = = lim h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h = lim (−4 + 2h) = −4
f'(−1) = lim
h→ 0
L’equació de la recta tangent és: y − 2 = −4(x + 1) → y = −4x − 2 1 1 9 x+ L’equació de la recta normal és: y − 2 = ( x + 1) → y = 4 4 4 008
Calcula les equacions de les rectes tangents a la funció f (x) = x3 + 1 en els punts x = 1 y x = −1. Comprova que són paral·leles a la recta y = 3x + 4. 1 + 3h + 3h2 + h3 − 1 (1 + h)3 + 1− 2 f (1 + h) − f (1) = = lim = lim h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h = lim (3 + 3h + h2) = 3
f'(1) = lim
h→ 0
L’equació de la recta tangent és: y − 2 = 3(x − 1) → y = 3x − 1 −1+ 3h − 3h2 + h3 + 1 f (−1+ h) − f (−1) (−1+ h)3 + 1 = lim = f'(−1) = lim = lim h→0 h→0 h→0 h h h = lim (3 − 3h + h2) = 3 h→0
L’equació de la recta tangent és: y − 0 = 3(x + 1) → y = 3x + 3 Y
2 1
X
479
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 480
Derivada d’una funció 009
Troba la funció derivada de f (x) = 4x + 2, aplicant la definició de derivada d’una funció en un punt. A partir del resultat que has obtingut, calcula la derivada de f (x) en aquests punts. a) x = 2
b) x = −7
Comprova que obtens el mateix resultat que si empres la definició de derivada en un punt. 4x + 4h − 4x 4( x + h) + 2 − (4x + 2) f (x + h) − f ( x ) = lim =4 = lim h→ 0 h→ 0 h h h a) f' (2) = 4 8 + 4h − 8 4(2 + h) + 2 − 10 f (2 + h) − f (2) = lim =4 = lim f' (2) = lim → 0 h → 0 h→ 0 h h h h b) f' (7) = 4 4(7 + h) + 2 − 30 f (7 + h) − f (7) 28 + 4h − 28 = lim f' (7) = lim = lim =4 → h→ 0 h 0 → 0 h h h h f'( x ) = lim
h→ 0
010
Quina és la funció derivada d’aquestes funcions? a) f (x) =
b) f ( x) =
x
1 x2
f ( x + h) − f ( x ) x+h − = lim h → 0 h h 1 1 = lim = h→ 0 x+h + x 2 x
a) f'( x ) = lim
h→ 0
x
= lim
h→ 0
x + h− x h( x + h +
= x)
1 1 − 2 2 f ( x + h) − f ( x ) x 2 − (x + h)2 x (x + h) = = lim = lim b) f'( x ) = lim h → 0 h(x + h)2 x 2 h→ 0 h→ 0 h h x 2 − x 2 − 2hx − h2 −2x −2x − h 2 = 4 =− 3 = lim = lim 2 2 2 2 h→ 0 0 → h (x + h) x x h(x + h) x x 011
A partir de la definició, calcula la funció derivada de la funció f (x) = 2x3 + x2. f ( x + h) − f ( x ) 2(x + h)3 + (x + h)2 − (2x 3 + x 2) = lim = h→ 0 h→ 0 h h 2x 3 + 6hx 2 + 6h2 x + 2h3 + x 2 + 2hx + h2 − 2x 3 − x 2 = lim = h→ 0 h 6hx 2 + 6h2 x + 2h3 + 2hx + h2 = lim (6x 2 + 6hx + 2h2 + 2x + h) = = lim h →0 h→ 0 h 2 = 6x + 2x
f'( x ) = lim
012
Calcula la derivada d’aquestes funcions, i comprova que es verifica que el resultat és igual a la suma de les derivades de les funcions que les formen. a) f (x) = 7x + 2x 2
480
b) f (x) = x−2 + 3x
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 481
SOLUCIONARI
11
f ( x + h) − f ( x ) 7(x + h) + 2(x + h)2 − (7x + 2x 2) = lim = h→ 0 h→ 0 h h 7x + 7h + 2x 2 + 4hx + 2h2 − 7x − 2x 2 7h + 4hx + 2h2 = lim = lim = h→ 0 h→ 0 h h = lim (7 + 4x + 2h) = 7 + 4x
a) f'( x ) = lim
h→ 0
7( x + h) − 7x 2( x + h)2 − 2x 2 7x + 7h − 7x + lim = lim + h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h h 2x 2 + 4hx + 2h2 − 2x 2 + lim = 7 + lim (4x + 2h) = 7 + 4x h→ 0 h →0 h
f'( x ) = lim
( x + h)−2 + 3( x + h) − ( x −2 + 3x ) g( x + h) − g( x ) = lim = h→ 0 h→ 0 h h 1 1 + 3x + 3h − 2 − 3x 2 ( x + h) x = = lim h→ 0 h x 2 + 3hx 4 + 6h2 x 3 + 3h2 x 2 − x 2 − 2hx − h2 = = lim h →0 h( x + h)2 x 2 3x 4 + 6hx 3 + 3hx 2 − 2x − h 3x 4 − 2x 3x 3 − 2 = = lim = 2 2 4 h→ 0 ( x + h) x x x3
b) g'( x ) = lim
1 1 − 2 2 3( x + h) − 3x ( x + h) − x ( x + h) x + g'( x ) = lim + lim = lim → 0 h→ 0 h → 0 h h h h 3x + 3h − 3x x 2 − x 2 − 2hx − h2 + lim = lim +3= h→ 0 h→ 0 h( x + h)2 x 2 h −2x 3x 3 − 2 −2x − h + 3 = + 3 = = lim h → 0 h( x + h)2 x 2 x4 x3 −2
013
−2
Troba la derivada de les funcions següents, a partir de la definició de derivada del producte d’un nombre per una funció. a) f (x) = 8x3 a) lim
h→ 0
b) f (x) = 4 x
c) f (x) = −5x2
( x + h)3 − x 3 x 3 + 3hx 2 + 3h2 x + h3 − x 3 3hx 2 + 3h2 x + h3 = lim = = lim h→ 0 h→ 0 h h h = lim (3x 2 + 3hx + h2) = 3x 2 h→ 0
f' (x) = 8 · 3x 2 = 24x 2 x+h − x x + h− x = lim = lim h h→ 0 → 0 h h( x + h + x ) 1 2 f'( x ) = 4 ⋅ = 2 x x
b) lim
h→ 0
1 x+h +
= x
1 2 x
2hx + h2 ( x + h)2 − x 2 x 2 + 2hx + h2 − x 2 = lim (2x + h) = 2x = lim = lim h→0 h→0 h→0 h→0 h h h f' ( x ) = −5 ⋅ 2x = −10x
c) lim
481
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 482
Derivada d’una funció 014
Calcula el producte de les funcions f (x) = x2 − 4 i g(x) = x + 1, i després troba’n la derivada. Comprova que el resultat és el mateix que si apliquem la fórmula de la derivada del producte de funcions. p( x ) = f ( x ) ⋅ g( x ) = ( x 2 − 4)(x + 1) = x 3 + x 2 − 4x − 4 ( x + h)3 + (x + h)2 − 4(x + h) − 4 − (x 3 + x 2 − 4x − 4) p' ( x ) = lim = h→0 h x 3 + 3hx 2 + 3h2 x + h3 + x 2 + 2hx + h2 − 4x − 4h − 4 − x 3 − x 2 + 4x + 4 = lim = h→0 h 3hx 2 + 3h2 x + h3 + 2hx + h2 − 4h = lim = lim (3x 2 + 3hx + h2 + 2x + h − 4) = h→0 h→0 h 2 = 3x + 2x − 4 Aplicando la fórmula: p' ( x ) = f' ( x ) ⋅ g( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) = ( x + h)2 − 4 − (x 2 − 4) ( x + h) + 1− (x + 1) = lim ⋅ ( x + 1) + ( x 2 − 4) ⋅ lim = → 0 h h →0 h h x 2 + 2hx + h2 − x 2 x + h− x = lim ⋅ ( x + 1) + ( x 2 − 4) ⋅ lim = h→ 0 h → 0 h h = lim (2x + h) ⋅ ( x + 1) + ( x 2 − 4) ⋅ 1 = 2x ( x + 1) + x 2 − 4 = 3x 2 + 2x − 4 h→ 0
015
Troba les derivades de les funcions f (x) = x2 + 1 i g(x) = −x + 5. g(x) f ( x) Quina és la derivada del quocient ? I la derivada del quocient ? f (x) g(x) x 2 + 2hx + h2 − x 2 ( x + h)2 + 1− ( x 2 + 1) = lim = lim (2x + h) = 2x h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h −( x + h) + 5 − (−x + 5) −x − h + x = lim = −1 g'( x ) = lim h→ 0 h → 0 h h f ( x ) ' f' ( x ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) 2x ⋅ (−x + 5) − (x 2 + 1)(−1) −x 2 + 10x + 1 = = = g( x ) (−x + 5)2 (−x + 5)2 [ g( x )]2 g( x ) ' g' ( x ) ⋅ f ( x ) − g( x ) ⋅ f' ( x ) (−1)(x 2 + 1) − (−x + 5) ⋅ 2x x 2 − 10x − 1 = = 2 2 2 f (x) = ( x + 1) ( x 2 + 1)2 [f ( x )]
f'( x ) = lim
016
Calcula la derivada d’aquesta funció, i indica els passos que segueixes per trobar-la. f (x) = x 2 + 2x S’aplica la derivada de la suma de funcions, la derivada de la funció potencial (n = 2),la derivada del producte d’un nombre per una funció i la derivada de la funció identitat: f' (x) = 2x2−1 + 2 ⋅ 1 = 2x + 2
017
482
x −3 2x 5 S’aplica la derivada del quocient de funcions. Per derivar la funció del numerador s’utilitza la derivada de la suma de funcions, la derivada de la funció identitat i la derivada de la funció constant. Per obtenir la derivada del denominador s’aplica la derivada del producte d’un nombre per una funció i la derivada de la funció potencial n = 5): −4x + 15 1⋅ 2x 5 − ( x − 3) ⋅ 2 ⋅ 5x 4 −8x 5 + 30x 4 f'( x) = = = 52 10 2x 6 (2x ) 4x
Troba la derivada de la funció següent: f ( x) =
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 483
SOLUCIONARI
018
11
Troba la derivada de les funcions següents. b) f (x) = (5x 2 ⋅ sin x) + (x ⋅ cos x)
a) f (x) = 5 sin x + 3 cos x
a) f' (x) = 5 · cos x + 3 · (−sin x) = 5 cos x − 3 sin x b) f' (x) = (5 · 2x · sin x + 5x2 · cos x) + (1 · cos x + x · (− sin x)) = = 10x sin x + 5x2 cos x + cos x − x sin x
019
Troba la derivada d’aquestes funcions. b) f (x) = 3x 2 − arc sin x
a) f (x) = e x ⋅ tg x
a) f' (x) = e x · tg x + e x · (1 + tg2 x) = e x (1 + tg x + tg2 x) 1 b) f'( x ) = 6x − 1− x 2 020
Troba la derivada d’aquestes funcions aplicant la regla de la cadena. a) f (x) = ln (cos x)
c) f (x) = (x4 + 2)9
b) f (x) = cos (ln x)
d) f (x) = x 2x 3 + 1
1 ⋅ (−sin x ) = −tg x cos x 1 b) f'( x ) = −sin (ln x ) ⋅ x a) f'( x ) =
c) f'( x ) = 9( x 4 + 2)8 ⋅ 4 x 3 = 36x 3( x 4 + 2)8 1
− 1 3 (2x + 1) 2 ⋅ 6x 2 = 2 3x 3 5x 3 + 1 = 2x 3 + 1 2x 3 + 1
d) f'( x ) = 1⋅ 2x 3 + 1 + x ⋅ 2x 3 + 1 +
=
021
Calcula la derivada d’aquestes funcions. a) f (x) = sin
c) f (x) = ln
x 2 + 3x
1+ x 1− x 2
b) f (x) = 3 sin x2 + 2 sin2 x
d) f (x) = e
( x +1)
1
a) f'( x ) = cos
x 2 + 3x ⋅
− 1 2 (2x + 3) cos x 2 + 3x ( x + 3x ) 2 ⋅ (2x + 3) = 2 2 x 2 + 3x
b) f'( x ) = 3 ⋅ cos x 2 ⋅ 2x + 2 ⋅ 2 ⋅ sin x ⋅ cos x = 6x ⋅ cos x 2 + 4 ⋅ sin x cos x c) f'( x ) =
1 1⋅ (1− x ) − (1 + x ) ⋅ (−1) 2 ⋅ = 1+ x (1− x )2 1− x 2 1− x 2
f'( x ) = e
( x +1)
⋅ 2( x + 1) ⋅
1
1 −2 ( x =e 2
2
x +1)
⋅
x +1 x
483
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 484
Derivada d’una funció 022
Troba els intervals de creixement i decreixement de les funcions següents: a) f (x) = x2 −6x + 5 b) f (x) = 8x + x2 a) f' (x) = 2x − 6
2x − 6 = 0 → x = 3 f' (4) > 0
f' (0) < 0
4
3
0
La funció és decreixent en (−`, 3) i és creixent en (3, +`). b) f' (x) = 8 + 2x
8 + 2x = 0 → x = −4 f' (0) > 0
f' (−5) < 0
0
−4
−5
La funció és decreixent en (−`, −4) i és creixent en (−4, +`).
023
Determina els intervals de creixement i els màxims i mínims d’aquestes funcions. a) f (x) = x3 −3x b) f (x) = 2 −x a) f' (x) = 3x2 − 3
3x2 − 3 = 0 → x = ±1 f' (−2) > 0 −2
f' (0) < 0 −1
0
f' (2) > 0 1
2
La funció és creixent en (−`, −1) ∪ (1, +`) i és decreixent en (−1, 1). Presenta un màxim en x = −1 i un mínim en x = 1. b) f' (x) = −1 < 0 La funció és decreixent en R. No té màxims ni mínims.
024
Calcula els màxims i mínims d’aquestes funcions. a) f (x) = x4 −4x 2 + 2 8 b) f (x) = 2 x +2 c) f (x) = x3 −12x x2 d) f (x) = 3 x +1
484
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 485
SOLUCIONARI
11
a) f' (x) = 4x3 − 8x x = 0 4 x 3 − 8x = 0 → 4 x ( x 2 − 2) = 0 → x = ± 2 2 f" (x) = 12x − 8
f" (− 2 ) = 16 > 0 → En x = − 2 té un mínim. f" (0) = −8 < 0 → En x = 0 té un màxim.
f" ( 2 ) = 16 > 0 → En x = b) f' ( x ) =
2 té un mínim.
−16x ( x 2 + 2)2
−16x =0→ x=0 ( x 2 + 2)2 48x 2 − 32 −16( x 2 + 2)2 + 16x ⋅ 2( x 2 + 2) ⋅ 2x = f" ( x ) = ( x 2 + 2)4 ( x 2 + 2)3 f" (0) = −4 < 0 → En x = 0 té un màxim.
c) f' (x) = 3x2 − 12
3x2 − 12 = 0 → x = ±2 f" (x) = 6x
f" (−2) = −12 < 0 → En x = −2 té un màxim.
f" (2) = 12 > 0 → En x = 2 té un mínim.
2x ⋅ ( x 3 + 1) − x 2 ⋅ 3x 2 −x 4 + 2x = ( x 3 + 1)2 ( x 3 + 1)2 4 x = 0 −x + 2x = 0 → −x 4 + 2x = 0 → 3 3 2 ( x + 1) x = 2 3 3 2 4 (−4 x + 2)( x + 1) − (−x + 2x) ⋅ 2( x 3 + 1) ⋅ 3x 2 2x 6 − 14 x 3 + 2 f" ( x ) = = ( x 3 + 1)4 ( x 3 + 1)3 f" (0) = 2 > 0 → En x = 0 té un mínim. 2 f" ( 3 2 ) = − < 0 → En x = 3 2 té un màxim. 3
d) f'( x) =
025
Si la funció f (x) = x3 + ax + bté un mínim en el punt (1, 5), determina els valors de a i b. Aquesta funció té algun altre màxim o mínim? f' (x) = 3x2 + a Si la funció té un mínim en: x = 1: f' (1) = 0 → 3 + a = 0 → a = −3 Com que el punt (1, 5) pertany a la gràfica de la funció f(x), es verifica que: f(1) = 5 En ser f(x) = x3 − 3x + b, s’ha de: 1 − 3 + b = 5 → b = 7 Per tant, l’expressió de la funció és: f(x) = x3 − 3x + 7 f' (x) = 3x2 − 3 3x2 − 3 = 0 → x = ±1 f" (x) = 6x f" (−1) = −6 < 0 → En x = −1 té un màxim.
485
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 486
Derivada d’una funció 026
Troba els màxims i mínims de f (x) = sin2 x a [0, 2π]. f'( x ) = 2 sin x cos x x sin x = 0 → x 2 sin x cos x = 0 → x cos x = 0 → x
=0 =π π = 2 3π = 2
f"( x ) = 2(cos2 x − sin2 x )
f"(0) = 2 > 0 → En x = 0 té un mínim. π π f" = −2 < 0 → En x = té un màxim. 2 2 f"(π) = 2 > 0 → En x = π té un mínim. 3π 3π f" = −2 < 0 → En x = té un màxim. 2 2 027
Representa aquestes funcions. a) f (x) =
1 x2
c) f ( x) =
x x + x +1
b) f (x) =
x2 + 1 x2 − x
d) f ( x) =
2 x +3
2
2
a) Dom f = R − {0} 1 lim 2 = +` → x = 0 és una asímptota vertical. x →0 x 1 lim = 0 → y = 0 és una asímptota horitzontal. x → +` x 2 No hi ha punts de tall amb els eixos. 2 x3 Si x > 0 → f' (x) < 0 → f(x) és decreixent en (0, +`).
f'( x ) = −
Si x < 0 → f' (x) > 0 → f(x) és creixent en (−`, 0).
La funció no té màxims ni mínims. Y f(x)
1 1
486
X
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 487
SOLUCIONARI
b) Dom f = R − {0, 1} 1 x2 + 1 → lim 2 x →0 x − x 0 x2 + 1 lim− 2 = +` x →0 x −x 2 x +1 lim+ 2 = −` x →0 x −x
11
2 x2 + 1 → x →1 x 2 − x 0 x2 + 1 lim− 2 = −` x →1 x − x 2 x +1 lim+ 2 = +` x →1 x − x
lim
x = 0 és una asímptota vertical. x = 1 és una asímptota vertical. x2 + 1 lim = 1 → y = 1 és una asímptota horitzontal. x →+` x 2 − x No hi ha punts de tall amb els eixos. 2x ⋅ ( x 2 − x ) − ( x 2 + 1) ⋅ (2x − 1) −x 2 − 2x + 1 f'( x ) = = ( x 2 − x )2 ( x 2 − x )2 −x 2 − 2x + 1 2± 8 = 0 → −x 2 − 2x + 1 = 0 → x = = −1 ± 2 2 2 −2 ( x − x) f' (−3) < 0
f' (−1) > 0
f' (0,2) > 0 0,2
−3
0,5
0 0,41
−1
−2,41
f' (0,5) > 0
f' (2) < 0
1
2
f(x) és decreixent en (−`; −2,41) ∪ (0,41; 1) ∪ (1, +`) i és creixent en en (−2,41; 0) ∪ (0; 0,41) Y Mínim: (−2,41; 0,82) Màxim: (0,41; −4,82)
f(x) 1 1
X
c) Dom f = R x = 0 → y = 0 és una asímptota horitzontal. lim x → +` x 2 + x + 1 Punt de tall: (0, 0) f'( x ) =
1⋅ ( x 2 + x + 1) − x ⋅ (2x + 1) 1− x 2 = = 0 → 1− x 2 = 0 → x = ±1 2 2 2 2 ( x + x + 1) ( x + x + 1) f' (0) > 0
f' (−2) < 0 −2
−1
0
f(x) és decreixent en (−`, −1) ∪ (1, +`) i és creixent en (−1, 1). Mínim: (−1, −1) Màxim: (1; 0,33)
f' (2) < 0 1
2 Y
1
f(x) 1
X
487
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 488
Derivada d’una funció d) Dom f = R 2 = 0 → y = 0 és una asímptota horitzontal. x2 + 3 No hi ha punts de tall amb els eixos. 4x f'( x ) = − 2 (x + 3)2 lim
x → +`
4x =0→ x=0 ( x + 3)2 Si x > 0 → f' (x) < 0 → f(x) és decreixent en (0, +`).
−
2
Si x < 0 → f' (x) > 0 → f(x) és creixent en (−`, 0). Màxim: (0; 0,66) Y
1
f(x) X
1
028
Representa les funcions següents: 3 4 x − x 3 − 3x 2 + 6 4 a) Dom f = R
a) f (x) =
b) f (x) =
1 e −1 x
f' (x) = 3x 3 − 3x 2 − 6x x = 0 x = 2 3x − 3x − 6x = 0 → 3x ( x − x − 2) = 0 → 2 x − x −2 = 0 → x = −1 3
2
2
f' (−2) < 0 −2
f' (−0,5) > 0 −1 −0,5
f' (3) > 0
f' (1) < 0 1
0
2
3
f(x) és decreixent en (−`, −1) ∪ (0, 2) i és creixent en (−1, 0) ∪ (2, +`). Mínims: (−1; 4,75) i (2, −2) Màxim: (0, 6) Y f(x)
1 1
488
X
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 489
SOLUCIONARI
11
b) Dom f = R − {0} lim
x →0
1 1 → 0 ex −1
1 = −` x →0 e − 1 → x = 0 és una asímptota vertical. 1 = +` lim+ x x →0 e − 1 lim−
x
lim
1 = 0 → y = 0 és una asímptota horitzontal. e −1
lim
1 = −1 → y = −1 és una asímptota horitzontal. ex −1
x → +`
x →−`
x
No hi ha punts de tall amb els eixos. f'( x ) = −
ex (e x −1)2
f' (x) < 0 → f(x) és decreixent en (−`, 0) ∪ (0, +`). No hi ha màxims ni mínims. Y f(x) 1 1
029
X
Troba dos nombres naturals positius la suma dels quals sigui 60 si saps que la suma d’un més el quadrat de l’altre és la més gran possible. x + y = 60 → y = 60 − x f ( x ) = 60 − x + x 2 f'( x ) = −1 + 2x −1 + 2x = 0 → x =
1 2
f"( x ) = −2 < 0 → En x = Els nombres són:
1 té un màxim. 2
1 119 i 2 2
489
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 490
Derivada d’una funció 030
L’àrea d’un rectangle és de 100 cm2. Si volem que tingui el perímetre més petit possible, quines són les dimensions del rectangle? 100 x ⋅ y = 100 → y = x 100 200 f ( x ) = 2x + 2 ⋅ = 2x + x x 200 f'( x ) = 2 − 2 x 200 2 − 2 = 0 → 2x 2 − 200 = 0 → x = ±10 x 400 f" ( x ) = 3 x f"(10) > 0 → En x = 10 té un mínim. Com que el valor de x correspon a la mesura d’un costat, no pot ser x = −10. Per tant, les dimensions d’un rectangle són: x = y = 10 cm. Es tracta d’un quadrat de 10 cm de costat.
031
Una peça amb forma de triangle rectangle té un catet d’1 m de longitud i l’altre catet mesura 3 m. Determina el rectangle de costats paral·lels als catets l’àrea del qual sigui la més gran possible. Si el triangle es recolza sobre els eixos de coordenades, els vèrtexs coincideixen amb els punts (0,0), (3,0) i (0,1). Y
1
(x, y)
X
1
Llavors el rectangle de costats paral·lels als catets té un vèrtex sobre la recta que conté la hipotenusa. x −3 y → x + 3y = 3 = 3 −1 x = 3 − 3y f ( y ) = (3 − 3y )y = 3y − 3y 2 f'( y) = 3 − 6 y
3 − 6y = 0 → y =
1 2
f"( y ) = −6 < 0 → En y =
1 té un màxim. 2
1 3 = 2 2 1 3 Així doncs, els costats dels rectangles mesuren m i m. 2 2 x = 3−3⋅
490
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 491
SOLUCIONARI
032
11
S’han construït caixes de cartó, de base quadrada i sense tapa, la capacitat de les quals és d’1 m3. Si volem mantenir-ne el volum, però modificar-ne la base, quines seran les dimensions de les caixes per minimitzar la despesa de cartó emprat? 1 x 2y = 1 → y = 2 x 1 4 f ( x) = x 2 + 4x ⋅ 2 = x 2 + y x x 4 f'( x ) = 2x − 2 x 4 x 2x − 2 = 0 → x 3 − 2 = 0 → x = 3 2 x x 8 f" ( x ) = 2 + 3 x f" ( 3 2 ) > 0 → En x = y=
1 2
( 2) 3
=
3
2 té un mínim.
1 3
4
1 3 L’aresta de la base mesura 2 m i l’altura de l’ortoedre és m. 3 4 033
Sabem que el rectangle d’àrea més gran que es pot inscriure en una circumferència és el quadrat. Això també passarà si considerem una semicircumferència? Per comprovar-ho, troba les dimensions d’un rectangle d’àrea màxima, inscrit en una semicircumferència de 5 cm de radi, sabent que la seva base està situada sobre el diàmetre. x 2 + y 2 = 52 → y =
25 − x 2
f ( x ) = x 25 − x 2 25 − x 2 + x ⋅
f'( x ) = =
−2x 2 25 − x 2
25 − 2 x 2
y x
25 − x 2
25 − 2x 2 25 − x
2
= 0 → 25 − 2x 2 = 0 → x = ±
−4 x 25 − x 2 − (25 − 2x 2) f" ( x ) = 5 2 f" 2
5 cm
=
25 5 2 =± 2 2
−x 25 − x 2
25 − x 2
=
2x 3 − 75x (25 − x 2) 25 − x 2
< 0 → En x = 5 2 té un màxim. 2
Com que el valor de x correspon a la mesura d’un costat, no pot ser x = − y=
25 −
25 = 2
5 2 . 2
25 5 2 = 2 2
Es tracta d’un quadrat el costat del qual mesura verifica en la semicircumferència.
5 2 cm; per tant, també es 2
491
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 492
Derivada d’una funció 034
Determina la taxa de variació mitjana de la funció y = x 2 −2x + 6 en l’interval [1, 3]. T.V.M. ([1, 3]) =
035
Quina és la taxa de variació mitjana de la funció f (x) = T.V.M. ([1, 4]) =
036
f (3) − f (1) 9−5 = =2 3 −1 2 12 en l’interval [1, 4]? x
f (4) − f (1) 3 − 12 = = −3 4 −1 3
Calcula la taxa de variació mitjana en els intervals indicats per a la funció següent:
Y
a) [1, 2] b) [1, 3] c) [2, 3] a) T.V.M. ([1, 2]) =
1
f (2) − f (1) 3−2 = =1 2 −1 1
1
f (3) − f (1) 6−2 = =2 3 −1 2 f (3) − f (2) 6−3 c) T.V.M. ([2, 3]) = = =3 3−2 1
b) T.V.M. ([1, 3]) =
037
Determina la taxa de variació mitjana d’aquesta funció en cada un dels intervals. Y
1 1
a) [−1, 1] a) T.V.M. ([−1, 1]) =
b) [1, 3] f (1) − f (−1) 1− 2 1 = =− 1− (−1) 2 2
f (3) − f (1) 4 −1 3 = = 3 −1 2 2 4−2 1 f (3) − f (−1) = = c) T.V.M. ([−1, 3]) = 3 − (−1) 4 2
b) T.V.M. ([1, 3]) =
492
X
c) [−1, 3]
X
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 493
SOLUCIONARI
038
11
Troba la taxa de variació mitjana de la funció y = 2x2 −x en l’interval [2, 2 + h]. Amb aquest resultat, determina la taxa de variació mitjana de la funció en els intervals següents: a) [2, 3]
b) [2, 5]
c) [2, 8] 2
f (2 + h) − f (2) 2 (2 + h) − (2 + h) − 6 = = h 2+ h−2 8 + 8h + 2h2 − 2 − h − 6 = = 7 + 2h h
T.V.M. ([2, 2 + h]) =
a) T.V.M. ([2, 3]) = 7 + 2 · 1 = 9 b) T.V.M. ([2, 5]) = 7 + 2 · 3 = 13 c) T.V.M.([2, 8]) = 7 + 2 · 6 = 19 039
Calcula el valor de a de manera que la taxa de variació mitjana de la funció f (x) = 2x + ax −5 en l’interval [0, 2] sigui 1. T.V.M. ([0, 2]) =
040
f (2) − f (0) 4 + 2a − 5 − (−5) 4 + 2a = 2 + a = 1 → a = −1 = = 2 2−0 2
Troba dues funcions polinòmiques de segon grau que passin pels punts (0, 4) i (3, 10). Comprova que la taxa de variació mitjana en l’interval [0, 3] és la mateixa per a les dues funcions. Resposta oberta. La funció és de la forma: f(x) = ax2 + bx + c Com que la gràfica passa pel punt (0, 4), es verifica que: c = 4 En passar també pel punt (3, 10), es compleix que: 9a + 3b + 4 = 10 → 3a + b = 2 Siguin f(x) = x2 − x + 4 i g(x) = 2x2 − 4x + 4 les funcions demanades. f (3) − f (0) 10 − 4 = =2 T.V.M. ([0, 3]) = 3−0 3 g(3) − g(0) 10 − 4 T.V.M. ([0, 3]) = = =2 3−0 3
041
Per què la taxa de variació mitjana de la funció y = 2x −3 en qualsevol interval és sempre 2? Perquè la gràfica de la funció és una recta de pendent 2 i aquesta indica la seva variació en qualsevol interval.
042
L’espai recorregut per un objecte, en metres, s’expressa amb la fórmula: e = 4t 2 + 2t + 1 a) Quin espai ha recorregut als 4 segons? I als 7 segons? b) Quina és la velocitat mitjana que ha mantingut entre els 4 i 7 segons? a) Als 4 segons: e = 73 m Als 7 segons: e = 211 m 211− 73 b) T.V.M. ([4, 7]) = = 46 m /s 7−4
493
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 494
Derivada d’una funció 043
Aplica la definició de derivada en un punt per calcular les derivades de les funcions en els punts que s’indiquen. a) y = 3x − 1
en x = 2
b) y = x2 + x
en x = 3
4x + 3 2 6 d) y = x e) y = (x − 1)2 c) y =
en x = −1 en x = 1 en x = −2
a) f'(2) = lim
h→ 0
6 + 3h − 6 f (2 + h) − f (2) 3(2 + h) − 1− 5 = lim = lim =3 h 0 → h →0 h h h
f (3 + h) − f (3) (3 + h)2 + 3 + h − 12 = = lim h→ 0 h→ 0 h h 9 + 6h + h2 + h − 9 = lim = lim (7 + h) = 7 h→ 0 h→ 0 h
b) f'(3) = lim
f (−1 + h) − f (−1) = lim c) f'(−1) = lim h→ 0 h→ 0 h −4 + 4h + 3 + 1 = lim =2 h→ 0 2h
4(−1 + h) + 3 1 + 2 2 = h
6 −6 6 − 6 − 6h f (1 + h) − f (1) 1+ h = lim = lim d) f'(1) = lim = h→ 0 h → 0 h → 0 h(1 + h) h h −6 = −6 = lim h→ 0 1 + h (−2 + h − 1)2 − 9 f (−2 + h) − f (−2) = lim = h→ 0 h→ 0 h h 9 − 6h + h2 − 9 = lim = lim (−6 + h) = −6 h→ 0 h→ 0 h
e) f'(−2) = lim
044
Calcula, a partir de la definició de derivada en un punt, f' (2) i f' (0) per a la funció següent: f (x) = 2x2 −x + 3 f (2 + h) − f (2) 2(2 + h)2 − (2 + h) + 3 − 9 = lim = h→ 0 h→ 0 h h 8 + 8h + 2h2 − 2 − h − 6 = lim = lim (7 + 2h) = 7 h→ 0 h→ 0 h
f'(2) = lim
f'(0) = lim
h→ 0
494
2h2 − h + 3 − 3 f (0 + h) − f (0) = lim = lim (2h − 1) = −1 h →0 h→ 0 h h
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 495
SOLUCIONARI
045
11
x+6 , determina a partir de la definició de derivada en un punt 3 les derivades següents: Si f ( x) =
a) f' (−3)
b) f' (2)
−3 + h + 6 −1 h+ 3−3 1 f (−3 + h) − f (−3) 3 = lim = a) f'(−3) = lim = lim h→ 0 h→ 0 h→ 0 h 3h 3 h 2+h+6 8 − f (2 + h) − f (2) 3 3 = lim h + 8 − 8 = 1 b) f'(2) = lim = lim h→ 0 h h →0 0 → h h 3h 3 046
Troba el pendent de la recta tangent a la funció y = 3x2 + 2x en el punt d’abscissa x = 5. f' ( x ) = 6x + 2 → f' (5) = 32
El pendent de la recta tangent és 32. 047
Troba la derivada de la funció y = −t 2 + 2t en el punt t = 8. f' ( t) = −2t + 2 → f' (8) = −14
048
L’espai, en metres, que recorre un mòbil en funció del temps, en segons, el descriu l’expressió: 2 e = t2 + t 3 Calcula la velocitat instantània del mòbil als 3 segons.
4 t + 1 → f' (3) = 5 3 La velocitat instantània del mòbil als 3 segons és de 5 m/s.
f' ( t) =
049
Determina l’equació de la recta tangent a la corba y = 3x2 en el punt d’abscissa 1. f(1) = 3 f' ( x ) = 6x → f' (1) = 6 L’equació de la recta tangent és: y − 3 = 6(x − 1) → y = 6x − 3
495
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 496
Derivada d’una funció 050
Demostra gràficament que la derivada d’aquesta funció en el punt d’abscissa 3 té un valor comprès entre 2 i 3. Y
1 1
X
La derivada de la funció en el punt x = 3 és el pendent de la recta tangent, i observant-ne el dibuix s’obté que, per cada unitat en horitzontal, l’avanç vertical està comprès entre 2 i 3 unitats.
051
1 1
X
A partir de la definició, calcula les funcions derivades de les funcions que s’indiquen. 12 a) y = 2x + 3 c) y = x3 e) y = x 2x −1 f ) y = (3x2 + 2)2 b) y = d) y = 2x2 − 3x 4 2( x + h) + 3 − (2x + 3) f ( x + h) − f ( x ) = = lim h → 0 h h 2x + 2h − 2x = lim =2 h→ 0 h 2( x + h) − 1 2x − 1 − f ( x + h) − f ( x ) 4 4 = lim = f'( x ) = lim h→ 0 h→ 0 h h 2x + 2h − 1− 2x + 1 1 = lim = h→ 0 4h 2 f ( x + h) − f ( x ) ( x + h)3 − x 3 f'( x ) = lim = = lim h→ 0 h→ 0 h h x 3 + 3hx 2 + 3h2 x + h3 − x 3 = lim = lim (3x 2 + 3hx + h2) = 3x 2 h→ 0 h→ 0 h 2 2( x + h) − 3( x + h) − (2x 2 − 3x) f ( x + h) − f ( x ) = f'( x ) = lim = lim h→ 0 h→ 0 h h 2x 2 + 4hx + 2h2 − 3x − 3h − 2x 2 + 3x = lim = lim (4 x + 2h − 3) = 4 x − 3 h→ 0 h→ 0 h 12 12 − 12x − 12x − 12h f ( x + h) − f ( x ) x+h x = lim = f'( x ) = lim = lim → 0 h→ 0 h h → 0 hx(x + h) h h 12 −12 =− 2 = lim h → 0 x ( x + h) x
a) f'( x ) = lim
h→ 0
b)
c)
d)
e)
496
Y
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 497
SOLUCIONARI
11
f ( x + h) − f ( x ) (3( x + h)2 + 2))2 − (3x 2 + 2)2 = = lim h→0 h→0 h h 9( x + h)4 + 12( x + h)2 + 4 − 9x 4 −12x 2 − 4 = lim = h→0 h 9x 4 + 36hx 3 + 54h2 x 2 + 36h3x + 9h4 + 12x 2 + 24hx + 12h2 − 9x 4 −12x 2 = lim = h→0 h = lim (36x 3 + 54hx 2 + 36h2 x + 9h3 + 24 x + 12h) = 36x 3 + 24 x
f ) f'( x ) = lim
h→0
052
Troba, aplicant la definició, la funció derivada de f (x) = x2 − 2x + 4, yi calcula’n la derivada en aquests punts: a) f' (1)
b) f' (−3)
c) f' (2)
f ( x + h) − f ( x ) ( x + h)2 − 2( x + h) + 4 − ( x 2 − 2x + 4) = = lim h→0 h→0 h h x 2 + 2hx + h2 − 2x − 2h + 4 − x 2 + 2x − 4 = lim = lim (2x + h − 2) = 2x − 2 h→0 h→0 h a) f' (1) = 0 b) f' (−3) = −8 c) f' (2) = 2 f'( x ) = lim
053
A partir de la definició, troba la funció derivada de f (x) = x2 + 2x + 2, i calcula f' (0), f' (−1) i f' (3). Decideix el tipus de creixement de la funció als punts d’abscissa 0, −1 y 3. ( x + h)2 + 2( x + h) + 2 − ( x 2 + 2x + 2) f ( x + h) − f ( x ) = lim = h→0 h→0 h h x 2 + 2hx + h2 + 2x + 2h + 2 − x 2 − 2x − 2 = lim (2x + h + 2) = 2x + 2 = lim h→0 h→0 h f' (0) = 2 > 0 → La funció és creixent en x = 0. f'(−1) = 0 → No es pot dir si la funció té un mínim o un màxim en x = −1. f' (3) = 8 > 0 → La funció és creixent en x = 3. f'( x ) = lim
054
1 . Amb aquest resultat, determina x l’equació de la recta tangent a aquesta corba en el punt d’abscissa 1. La funció derivada de y = ln x és y' =
L’equació de la recta tangent és: y − 0 = 1(x − 1) → y = x − 1
055
Troba les equacions de les rectes tangent i normal a la corba y = x + en el punt d’abscissa 4. 1 y' = 1 + 2 x
x
L’equació de la recta tangent és: 5 5 y − 6 = ( x − 4) → y = x + 1 4 4 L’equació de la recta normal és: 4 4 46 y − 6 = − ( x − 4) → y = − x + 5 5 5
497
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 498
Derivada d’una funció 056
En l’origen de coordenades, és horitzontal la recta tangent a la funció y = x3 + x2. Si és cert, quina serà l’equació de la recta normal? y' = 3x2 + 2x L’equació de la recta tangent és: y − 0 = 0(x − 0) → y = 0 Aquesta recta és horitzontal; per tant, la recta normal és: x = 0
057
x 1 És cert que la corba y = x 2 − té una tangent horitzontal 3 2 en el punt (1, 0)? x 1 1 y' = 2x − + x 2 ⋅ = x 2 − x 3 2 3 L’equació de la recta tangent és: y − 0 = 0(x − 1) → y = 0 És una recta horitzontal.
058
Es verifica que la recta tangent a la corbay = (x2 − x)(2x + 1), en el punt d’abscissa −1, és paral·lela a la recta 14x − 2y − 3 = 0? y' = (2x − 1)(2x + 1) + ( x 2 − x ) ⋅ 2 = 6x 2 − 2x − 1 L’equació de la recta tangent és: y − 0 = 7(x + 1) → y = 7x + 7 3 14 x − 2y − 3 = 0 → y = 7x − 2 Com que els pendents de les rectes són iguals, es verifica que són paral·leles.
059
Troba les equacions de les rectes tangent i normal a la funció y = cos x en el punt d’abscissa π. y' = −sin x L’equació de la recta tangent és: y + 1 = 0(x − π) → y = −1 Aquesta recta és horitzontal; per tant, la recta normal és: x = π
060
Quin ha de ser el valor de a perquè la funció f (x) = x ln x − ax tingui, en el punt d’abscissa e, una recta tangent paral·lela a la bisectriu del primer quadrant? La bisectriu del primer quadrant és: y = x Aquesta recta i la recta tangent són paral·leles si els seus pendents són iguals. El pendent de la recta tangent a la funció, en x = e, és: 1 f' ( x ) = ln x + x ⋅ − a = ln x + 1− a → f' (e) = 2 − a x Llavors, tenim que: 2 − a = 1 → a = 1
061
Troba la recta tangent i la recta normal a les funcions en els punts indicats. a) y = 23x−8 en x = 3 a) y' = 23x−8 ⋅ 3
b) y = x2 ln (x + 3) en x = −2
c) y = (3x − 5)6 en x = 2
L’equació de la recta tangent és: y − 2 = 6(x − 3) → y = 6x − 16 1 1 5 L’equació de la recta normal és: y − 2 = − ( x − 3) → y = − x + 6 6 2
498
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 499
SOLUCIONARI
b) y' = 2x ln ( x + 3) + x 2 ⋅
11
1 x+3
L’equació de la recta tangent és: y − 0 = 4(x + 2) → y = 4x + 8 1 1 1 L’equació de la recta normal és: y − 0 = − ( x + 2) → y = − x − 4 4 2 c) y' = 6(3x − 5)5 ⋅ 3 = 18(3x − 5)5
L’equació de la recta tangent és: y − 1 = 18(x − 2) → y = 18x − 35 1 1 10 L’equació de la recta normal és: y − 1 = − ( x − 2) → y = − x + 18 18 9
062
Determina la recta tangent i la recta normal a les funcions en els punts indicats. a) y =
2x + 6
en x = 5
b) y = sin (2x + π) en x = 0 π− x c) y = tg en x = π 2 1
a) y' =
− 1 (2x + 6) 2 ⋅ 2 = 2
1 2x + 6
1 11 1 ( x − 5) → y = x + 4 4 4 L’equació de la recta normal és: y − 4 = −4(x − 5) → y = −4x + 16 L’equació de la recta tangent és: y − 4 =
b) y' = cos (2x + π) ⋅ 2
L’equació de la recta tangent és: y − 0 = −2(x − 0) → y = −2x 1 1 L’equació de la recta normal és: y − 0 = ( x − 0) → y = x 2 2 π − x 1 ⋅ − c) y' = 1 + tg2 2 2 π 1 1 L’equació de la recta tangent és: y − 0 = − ( x − π) → y = − x + 2 2 2 L’equació de la recta normal és: y − 0 = 2(x − π) → y = 2x − 2π
063
Troba les equacions de les rectes tangents a la corba y = x3 + 3x2 + 3x + 4, que són paral·leles a la recta d’equació 6x − 2y + 1 = 0. 6x − 2y + 1 = 0 → y = 3x +
1 2 Aquesta recta i les rectes tangents són paral·leles si els seus pendents són iguals. y' = 3x 2 + 6x + 3 x = 0 3x 2 + 6x + 3 = 3 → x 2 + 2x = 0 → x = −2 Si x = 0, l’equació de la recta tangent és: y − 4 = 3(x − 0) → y = 3x + 4
Si x = −2, l’equació de la recta tangent és: y − 2 = 3(x + 2) → y = 3x + 8
499
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 500
Derivada d’una funció 064
Troba els punts en què la funció y = x 3 + 4x 2 + 2x + 1 té rectes tangents de pendent −2. Determina també l’equació d’aquestes rectes tangents. y' = 3x2 + 8x + 2 x = − 2 3x + 8x + 2 = −2 → 3x + 8x + 4 = 0 → 3 = − x 2 2 Si x = − , l’equació de la recta tangent és: 3 5 2 31 y− = −2 x + → y = −2x − 27 3 27 Si x = −2, l’equació de la recta tangent és: 2
2
y − 5 = −2(x + 2) → y = −2x + 1 065
Aplica les regles de derivació a la funció y = x3 − 3x2 + 2x − 5 per calcular: a) La funció derivada. b) La derivada en els punts d’abscissa −1, 0 i 3. c) L’equació de la recta tangent a la corba en el punt d’abscissa 3. a) f' (x) = 3x2 − 6x + 2 b) f' (−1) = 11 f' (0) = 2 f' (3) = 11
c) y − 1 = 11(x − 3) → y = 11x − 32 066
Empra les regles de derivació per calcular la funció derivada de: f (x) = (2x + 3)(x − 2) A partir del resultat obtingut, determina: 1 3 a) f' (2) f' − f' (−2) f' 3 2 b) L’equació de la recta tangent en el punt x = −2. c) L’equació de la recta tangent en el punt x = 2. f'( x ) = 2( x − 2) + (2x + 3) ⋅ 1 = 4 x − 1 a) f' (2) = 7 3 f' − = −7 2 f'(−2) = −9 1 1 f' = 3 3
b) y − 4 = −9(x + 2) → y = −9x − 26
c) y − 0 = 1(x − 2) → y = x − 2
500
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 501
SOLUCIONARI
067
068
Aplica les regles de derivació per calcular la funció derivada de les funcions següents: a) y = x3 − 2x2 + 5x − 6
c) y = 2x
b) y = log3 x
d) y =
6x 5
a) y' = 3x 2 − 4 x + 5
c) y' = 2 x ⋅ ln 2
1 b) y' = x ln 3
d) y' =
1
15x 4 15x 2 1 5 −2 (6x ) ⋅ 30x 4 = = 2 6x 6x 5
Amb les regles de derivació, troba la funció derivada d’aquestes funcions. x 2 − 3x + 8 2x + 5 a) y = 5 x c) y = e) y = 7 2 1 2x 4 b) y = 4 d) y = 4 f ) y = (6x) x 4 1 − 1 −4x 3 4 a) y' = ⋅ x 5 = d) y ' = =− 5 5 4 4 2 5 5 x (x ) x b) y' = 4 2x ⋅ ln 4 ⋅ 2 c) y' =
069
11
e) y' =
2x − 3 2
2 7
f ) y' = 4(6x)3 ⋅ 6 = 24(6x)3
Troba la derivada d’aquestes operacions de funcions. a) y = (x − 2)(x2 + 3x) x −3 x
b) y =
e) y = ln x + ex f) y =
2
3
2
c) y = x log x − 1 8 d) y = 2x −1
x
x x
g) y = x ⋅ 2 3x + 4 h) y = 2x −1
a) y' = 1⋅ ( x 2 + 3x ) + ( x − 2)(2x + 3) = 3x 2 + 2x − 6 1
2
1 −2 1 − 1 1 ⋅x − ⋅x 3 = − 3 2 3 2 x 3 x2 1 x c) y' = 2x log x + x 2 ⋅ = 2x log x + x ln 10 ln 10
b) y' =
d) y' =
−8 ⋅ 2 16 =− 2 (2x − 1) (2x − 1)2
1 + ex x 1 − 2 f) y' = ⋅ x 3 ⋅ 3
e) y' =
x +
3
3 1 − 1 x x 2x + 3x 5 + = = x ⋅ ⋅ x 2 = 6 6 7 3 3 x 2 2 2 x 6 x 6 x
g) y' = 2x ⋅ 2 x + x 2 ⋅ 2 x ⋅ ln 2 h) y' =
3(2x − 1) − (3x + 4) ⋅ 2 11 =− 2 (2x − 1) (2x − 1)2
501
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 502
Derivada d’una funció 070
Calcula la derivada de les operacions de funcions següents: a) y = b) y =
ln x + 4 ex x −8
d) y =
ln x +4 ex
e) y = 5e x − 3x
x
f) y =
c) y = (x 2 + 2) log2 x
x4 x −1
1 x ⋅ e − (ln x + 4) e x 1− x (ln x + 4) x = a) y' = (e x )2 xe x 1
1⋅
x −( x − 8)
b) y' =
( x )
2
1 −2 x 2 =
c) y' = 2x ⋅ log2 x + (x 2 + 2) ⋅
x −
x −8 2 x
x
=
x+8 2x x
x2 + 2 1 = 2x log2 x + x ln 2 x ln 2
1 x ⋅ e − ln x ⋅ e x 1− x ln x x = d) y' = (e x )2 xe x e) y' = 5e x − 3 x ⋅ ln 3 f) y' =
071
4 x 3( x − 1) − x 4 ⋅ 1 3x 4 − 4 x 3 = 2 ( x − 1) ( x − 1)2
Deriva les funcions trigonomètriques següents: a) y = sin x cos x
d) y = x tg x
cos x x2 c) y = sec x cosec x
e) y = x arc cos x
b) y =
f) y =
1 tg x
a) y' = cos2 x − sin2 x −sin x ⋅ x 2 − cos x ⋅ 2x −x sin x − 2 cos x = x4 x3 cos x 1 1 sin x − 2 ⋅ cosec x + sec x ⋅ − 2 = c) y' = 2 sin x cos2 x cos x sin x
b) y' =
d) y' = 1⋅ tg x + x ⋅ (1 + tg2 x ) = x + tg x + x tg2 x 1 e) y' = 1⋅ arc cos x + x ⋅ − 1− x 2 f ) y' = −
502
1 + tg2 x tg2 x
= arc cos x −
x 1− x 2
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 503
SOLUCIONARI
072
11
Calcula la derivada d’aquestes operacions en què intervenen funcions trigonomètriques. a) y = 2x + arc sin x + arc cos x b) y = (1 + x2) arc tg x c) y = ln x ⋅ tg x d) y = e x sin x e) y = cos x 2−x a) y' = 2 +
1 1− x
2
−
1 1− x 2
b) y' = 2x ⋅ arc tg x + (1 + x 2) ⋅ c) y' =
=2
1 = 1 + 2x arc tg x 1+ x 2
1 ⋅ tg x + ln x ⋅ (1 + tg2 x ) x
d) y' = e x ⋅ sin x + e x ⋅ cos x = e x (sin x + cos x ) e) y' =
073
(x − 2) sen x + cos x −sen x (2 − x ) − cos x ⋅ (−1) = 2 (2 − x ) (2 − x )2
Determina les derivades que s’indiquen. a) f (x) = ln x
f'' (x) y f''' (x)
5
b) f (x) = x
5
f' (x) y f'' (x) 4
c) f (x) = x − 3x a) f' ( x ) =
f''' (x) y f IV(x)
1 1 2 → f" ( x ) = − 2 → f '" ( x ) = 3 x x x
b) f' ( x ) = 5x 4 → f" ( x ) = 20x 3
c) f' ( x ) = 5x 4 − 12x 3 → f" ( x ) = 20x 3 − 36x 2 → f '" ( x ) = 60x 2 − 72x → f IV ( x ) = 120x − 72
074
Calcula les sis primeres derivades de les funcions y = sin x i y = cos x. y = sin x → y' = cos x → y" = −sin x → y'" = −cos x → y IV = sin x → y V = cos x → y VI = −sin x
y = cos x → y' = −sin x → y" = −cos x → y'" = sin x → y IV = cos x → y V = −sin x → y VI = −cos x 075
Troba el valor de k perquè la funció f (x) =
kx − 5 verifiqui que f' (−1) = 19. 2x + 3
3k + 10 k ⋅ (2x + 3) − (kx − 5) ⋅ 2 = 2 (2x + 3) (2x + 3)2 f'(−1) = 3k + 10 = 19 → k = 3
f'( x ) =
503
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 504
Derivada d’una funció 076
Escriu les funcions que componen les funcions següents i troba’n la derivada en cada cas. a) y = log3 (2x + 1)
e) y = 23x−4
b) y = (3x 2 − 3x + 1)4 c) y = sin x
f) y =
d) y = arc tg e
4
x 2 −1
g) y = cos ln x h) y = 3cos x
x
a) f ( x ) = log3 x i g( x ) = 2x + 1 2 1 y' = ⋅2= (2x + 1) ln 3 (2x + 1) ln 3 b) f ( x ) = x 4 i g( x ) = 3x 2 − 3x + 1 y' = 4(3x 2 − 3x + 1)3(6x − 3) c) f ( x ) = sin x i g( x ) = x 1 cos x 1 − y' = cos x ⋅ x 2 = 2 2 x d) f ( x ) = arc tg x i g( x ) = e x 1 ex x ⋅ = y' = e 1 + (e x )2 1 + e 2x e) f ( x ) = 2 x i g( x ) = 3x − 4 y' = 23x −4 ⋅ ln 2 ⋅ 3 f ) f ( x) =
4
x
i g( x ) = x 2 − 1 3
y' =
− x 1 2 ( x − 1) 4 ⋅ 2x = 2 4 4 2 ( x − 1)3
g) f ( x ) = cos x i g( x ) = ln x sin ln x 1 y' = −sin ln x ⋅ = − x x x h) f ( x ) = 3 i g( x ) = cos x y' = 3cos x ⋅ ln 3 ⋅ (−sin x) 077
Calcula la funció derivada d’aquestes funcions aplicant la regla de la cadena. a) y = ln (x2 − 5x)
c) y =
x2 + x
b) y = 23x−5
d) y =
log3 x
a) y' =
2x − 5 1 ⋅ (2x − 5) = 2 x − 5x x − 5x 2
b) y' = 23x −5 ⋅ ln 2 ⋅ 3 1
c) y' =
− 2x + 1 1 2 ( x + x ) 2 ⋅ (2x + 1) = 2 2 x2 + x
d) y' =
− 1 1 1 1 (log3 x) 2 ⋅ = ⋅ x ln 3 2 2 log3 x x ln 3
1
504
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 505
SOLUCIONARI
078
11
Aplica la regla de la cadena per determinar la funció derivada d’aquestes funcions. a) y = ln tg x b) y = cos x
f ) y = tg ln x g) y = cos x h) y = log22 x
2
c) y = log2 x
d) y = sin (cos x)
i) y = cos (sin x)
2
j) y = arc tg2 x
e) y = arc tg x a) y' =
1 ⋅ (1 + tg2 x) tg x
b) y' =
− 1 sin x (cos x) 2 ⋅ (−sin x) = − 2 2 cos x
c) y' =
1 2 ⋅ 2x = x ⋅ ln 2 x ln 2
1
2
d) y' = cos (cos x ) ⋅ (−sin x ) e) y' =
2x 1 ⋅ 2x = 2 2 1+ x 4 1+ ( x )
f) y' = (1 + tg2 ln x) ⋅ g) y' = (−sin
x )⋅
h) y' = 2 log2 x ⋅ i)
1
sin x 1 −2 x =− 2 2 x
1 x ⋅ ln 2
y' = −sin (sin x) ⋅ cos x
j) y' = 2 arc tg x ⋅
079
1 x
1 1+ x 2
Troba els coeficients i exponents desconeguts perquè es verifiqui que les funcions i les seves derivades es corresponguin. a) f (x) = x3 + ax2 + bx + 6 b) g (x) = a ln x + bx c) h(x) = d) i(x) =
ax xb b
x x
f' (x) = 3x2 + 4x − 3 3 g'(x) = − 5 x ln 2 1 h'(x) = a x − 2 x x 2 i'(x) = b 3 x
a) a = 2, b = −3 b) a = 3, b = −5 c) a = 2, b = 1 d) b = 3
505
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 506
Derivada d’una funció 080
Deriva les funcions següents: e ln x x e) y = ln (xe x)
2
a) y = x2 ⋅ 2x
d) y =
b) y = 5x ln x c) y = e
ln x x
f ) y = ln x ⋅ e x 2
2
2
a) y' = 2x ⋅ 2 x + x 2 ⋅ 2 x ⋅ ln 2 ⋅ 2x = 2 x +1( x + x 3 ln 2) 1 b) y' = 5 x ln x ⋅ ln 5 ⋅ ln x + x ⋅ = 5 x ln x ⋅ ln 5 ⋅ (ln x + 1) x 1 ⋅ x − ln x ⋅ 1 ln x 1− ln x x ⋅ e c) y' = e ⋅ x = 2 x x2 1 eln x ⋅ ⋅ x − eln x ⋅ 1 x d) y' = =0 x2 1 x +1 ⋅ (e x + xe x ) = e) y' = x x xe ln x x
f) y' = 081
1 x ⋅ e + ln x ⋅ e x x
Troba la derivada d’aquestes funcions. 2x − 3 d) y = a) y = (2x + 1)3 ⋅ 3x ex b) y = c) y =
x 2 −3 x3 x 2 −3
x 2 −3 x3 3 2 f) y = x − x3 e) y =
x3
a) y' = 3(2x + 1)2 ⋅ 2 ⋅ 3 x + (2x + 1)3 ⋅ 3 x ⋅ ln 3 = [6 + (2x + 1) ln 3] ⋅ (2x + 1)2 ⋅ 3 x 1 b) y' = 2
−
x 2 − 3 ⋅ x 3
1 2
⋅
2x ⋅ x 3 − ( x 2 − 3) ⋅ 3x 2 −x 2 + 9 = ⋅ 2x 4 x6
x3 x2 − 3
1
x 3 − (x 2 − 3) ⋅
2x ⋅ c) y' =
x x
3
− 1 ⋅ (x 3) 2 ⋅ 3x 2 2
=
4 x 3 − 3x ( x 2 − 3) 2x 2 x 3
=
x
x2 + 9 2x 2 x
2 ⋅ e − (2x − 3) ⋅ e 5 − 2x = 2x e ex 1 − 1 ⋅ (x 2 − 3) 2 ⋅ 2x ⋅ x 3 − x 2 − 3 ⋅ 3x 2 −2x 2 + 9 x 2 − 3( x 2 − 3) 2 = e) y ' = = 6 x x4 x2 − 3 x4 x2 − 3 d) y' =
1
3⋅ f) y' = 2x +
506
− 1 ⋅ ( x 3) 2 ⋅ 3x 2 9 9x 2 2 = 2x + = 2x + 3 2 3 3 x 2x x 2x x
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 507
SOLUCIONARI
082
11
Calcula la derivada d’aquestes funcions trigonomètriques. x cos x sin x f) y = cos x
1 x cos x b) y = x a) y = cos
e) y = sin
1 cos x 1 d) y = cos x x c) y =
a) y' = −sin
x sin cos x
g) y =
h) y = x arc tg 1 x
x
1 1 1 ⋅ − 2 = sin ⋅ 2 x x x
−sin x ⋅ x − cos x ⋅ 1 −x sin x − cos x = x2 x2 −sin x sin x = c) y' = − 2 cos x cos2 x 1 1 1 1 1 1 d) y' = −sin ⋅ − 2 ⋅ x + cos ⋅ 1 = sin ⋅ + cos x x x x x x
b) y' =
e) y' = cos
x cos x + x sin x ⋅ cos x cos2 x
f) y' =
1 cos x ⋅ cos x − sin x (−sin x ) cos2 x + sin2 x = = 2 2 cos x cos2 x cos x
g) y' =
sin (cos x ) + x cos (cos x ) ⋅ sin x 1⋅ sin (cos x ) − x cos (cos x ) (−sin x ) = 2 sin (cos x ) sin2 (cos x )
h) y' = 1⋅ arc tg
083
x +x⋅
1
1 2
1+ ( x )
⋅
1 −2 x = arc tg 2
x +
x 2(1 + x) x
Decideix si la funció següent és contínua i derivable en tot el seu domini. Si en algun punt no és contínua o derivable, raona-ho. Y
1 1
X
La funció és contínua en R i és derivable en R − {−3, 2}, perquè en els punts x = −3 i x = 2 la gràfica presenta «pics», és a dir, en aquests punts no es pot determinar una tangent a la funció, ja que els pendents en els punts que estan a la seva esquerra i a la seva dreta tenen signe diferent.
507
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 508
Derivada d’una funció 084
Dibuixa una funció contínua que no sigui derivable en el punt d’abscissa x = 4, que sigui derivable a la resta del domini i que la derivada s’anul·li si x és més gran o igual que 4. Resposta oberta. Y f(x) 1 2
085
X
Estudia si les funcions següents són contínues i derivables en els punts en què la funció canvia l’expressió algebraica. 4x + 5 a) f (x) = 2 3 4x − x 2
si x < 2 si x ≥ 2
x 2 + 6x si x <−1 b) g(x) = 2 x x + + 2 8 1 si x ≥−1
a) f (2) = 13 f ( x ) = 13 2 3 → ∃ lim x →2 lim+ f ( x ) = lim+ 4 x − x = 13 x →2 x →2 2 lim f ( x ) = lim− (4 x + 5) = 13
x → 2−
x →2
f (2) = lim f ( x ) → f ( x ) és contínua en x = 2. x →2
4 f'( x ) = 3 8x − 2
si x < 2 si x > 2
f' (2−) = 4 29 → La funció no és derivable en x = 2, perquè els valors f' (2+) = 2 no coincideixen. b) g(−1) = −5 g(xx ) = −5 → ∃ xlim 2 →−1 lim g( x ) = lim +(2x + 8x + 1) = −5 x →−1 x →−1+ lim g( x ) = lim − ( x 2 + 6x) = −5
x →−1−
x →−1
g(−1) = lim g( x ) → g( x ) és contínua en x = −1. x →−1
2x + 6 si x < −1 g'( x ) = 4 x + 8 si x > −1 g'(−1−) = 4 → La funció és derivable en x = −1. g'(−1+) = 4
508
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 509
SOLUCIONARI
086
11
Són contínues i derivables les funcions en tots els punts del domini? a) y = x2 − 4 b) y = x2 + 1 x 2 − 4 si x ≤ −2 a) f ( x ) = −x 2 + 4 si −2 < x < 2 2 x ≥2 x − 4 si Si x ∈ R − {−2, 2}, la funció és contínua. S’estudien els punts en què la funció canvia d’expressió: f(−2) = 0 lim f ( x ) = lim − ( x 2 − 4) = 0 x →−2 f ( x) = 0 → ∃ xlim 2 →−2 lim + f ( x ) = lim + (−x + 4) = 0 x →−2 x →−2 x →−2−
f (−2) = lim f ( x ) x →−2
f(x) és contínua en x = −2. f(2) = 0 lim f ( x ) = lim−(−x 2 + 4) = 0 x →2 f ( x) = 0 → ∃ lim 2 x →2 lim+ f ( x ) = lim+ (x − 4) = 0 x →2 x →2 x → 2−
f (2) = lim f ( x ) x →2
f(x) és contínua en x = 2. Per tant, la funció és contínua en R. 2x f'( x ) = −2x 2x
si x < −2 si −2 < x < 2 si x >2
Si x ∈ R − {−2, 2},la funció és derivable. S’estudien els punts en què la derivada canvia d’expressió: f' (−2−) = −4 f' (−2+) = 4 La funció no és derivable en x = −2, perquè els valors no coincideixen. f'(2−) = −4 f'(2+) = 4 La funció no és derivable en x = 2, perquè els valors no coincideixen. b) g(x) =x 2 + 1= x 2 + 1 Pel fet de ser polinòmica, la funció és contínua i derivable en R.
509
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 510
Derivada d’una funció 087
Estudia la continuïtat i la derivabilitat de les funcions: x 2 + 2x − 9 si x < 3 b) h(x) = 2x 2 − 4x si 3 ≤ x < 5 10−x 2 2 si x ≥ 5 − a) Si x ∈ R − {−2}, la funció és contínua. S’estudia el punt en què la funció canvia d’expressió:
x 2 − 5x a) f (x) = 2 3x − 2x − 2
si x <−2 si x ≥−2
f(−2) = 14 f (xx ) = 14 → ∃ xlim 2 →−2 lim + f ( x ) = lim + (3x − 2x − 2) = 14 x →−2 x →−2 lim f ( x ) = lim − ( x 2 − 5x ) = 14
x →−2−
x →−2
f (−2) = lim f ( x ) → f ( x ) és contínua en x = −2. x →−2
Per tant, la funció és contínua en R. 2x − 5 si x < −2 f'(x) = 6x − 2 si x > −2 Si x ∈ R − {−2}, la funció és derivable. S’estudia el punt en què la derivada canvia d’expressió: f'(−2−) = −9 → La funció no és derivable en x = −2, perquè els valors f'(−2+) = −14 no coincideixen. b) Si x ∈ R − {3, 5}, la funció és contínua. S’estudien els punts en què la funció canvia d’expressió: h(3) = 6 lim h( x ) = lim− ( x 2 + 2x − 9) = 6 x → 3− x →3 h( x ) = 6 → ∃ lim 2 x →3 lim h( x ) = lim+ (2x − 4x) = 6 x →3 x → 3+
h(3) = lim h( x ) → h( x ) és contínua en x = 3. x →3
h(5) = 30 lim h( x ) = lim− (2x 2 − 4 x) = 30 x → 5− x →5 h( x ) = 30 → ∃ lim 10− x x →5 − 2) = 30 lim+ h( x ) = lim+ (2 x →5 x →5
h(5) = lim h( x ) → h( x ) és contínua en x = 5. x →5
Per tant, la funció és contínua en R. 2x + 2 x <3 si h'( x ) = 4 x − 4 si 3 < x < 5 10− x ⋅ ln 2 si x >5 −2 Si x ∈ R − {3, 5}, la funció és derivable. S’estudien els punts en què la derivada canvia d’expressió: f'(3−) = 8 → La funció és derivable en x = 3. f'(3+) = 8
f'(5−) = 16 → La funció no és derivable en x = 5, perquè els valors + f'(5 ) = −32 ln 2 no coincideixen. Per tant, la funció és derivable en x ∈ R − {5}.
510
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 511
SOLUCIONARI
088
11
Decideix si aquestes funcions creixen o decreixen en els punts que s’indiquen. a) y = −2x 3 + 3x 2 − x + 1 En x = 1 2x 2 − 3x + 1 x En x = −2
b) y =
c) y = 2 x + 3 ln x − 8 En x = 4 d) y = 2x + 3 x En x = 9 a) f' (x) = −6x2 + 6x − 1 f' (1) = −1 < 0 → La funció és decreixent en x = 1. (4 x − 3) x − (2x 2 − 3x + 1) 2x 2 − x − 1 = x2 x2 7 f'(−2) = > 0 → La funció és creixent en x = −2. 4 3 c) f'( x ) = 2 x ⋅ ln 2 + x 3 f'(4) = 16 ln 2 + > 0 → La funció és creixent en = 4. 4 3 d) f'( x ) = 2 + 2 x
b) f'( x ) =
f'(9) =
089
5 > 0 → La funció és creixent en x = 9. 2
Determina els punts de les gràfiques d’aquestes funcions en els quals la tangent és horitzonta a) y = 3x2 − 15x + 13 b) y = 2x3 + 3x2 − 36x + 8 c) y = 2x3 + 3x2 + 6x − 12 x 2 + 2x + 2 d) y = x +1 x+2 e) y = x −2 La tangent és horitzontal si el pendent és igual a zero. a) y' = 6x − 15
6x − 15 = 0 → x =
5 2
b) y' = 6x 2 + 6x − 36
x = 2 6x 2 + 6x − 36 = 0 → x 2 + x − 6 = 0 → x = −3
511
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 512
Derivada d’una funció c) y' = 6x 2 + 6x + 6 6x 2 + 6x + 6 = 0 → x 2 + x + 1 = 0 L’equació no té solució, per la qual cosa no hi ha punts que tinguin tangent horitzontal. x 2 + 2x (2x + 2)( x + 1) − ( x 2 + 2x + 2) = ( x + 1)2 ( x + 1)2 2 x = 0 x + 2x = 0 → x 2 + 2x = 0 → 2 ( x + 1) x = −2
d) y' =
e) y' =
x − 2 − ( x + 2) −4 = 2 ( x − 2) ( x − 2)2
−4 = 0 → −4 = 0 ( x − 2)2
L’equació no té solució, i no hi ha punts que tinguin tangent horitzontal. 090
En quins punts de les gràfiques d’aquestes funcions la tangent és horitzontal? Decideix si són màxims o mínims. x 2 − 3x + 3 a) y = x −1 b) y =
x2 2−x
c) y =
x2 + 9 x
d) y =
x3 x2 + 4 (2x − 3)(x − 1) − ( x 2 − 3x + 3) x 2 − 2x = 2 ( x − 1) ( x − 1)2 x = 0 x 2 − 2x = 0 → x 2 − 2x = 0 → 2 ( x − 1) x = 2 2 f"( x ) = ( x − 1)3
a) f'( x ) =
f"(2) = 2 > 0 → En x = 2 té un mínim.
f"(0) = −2 < 0 → En x = 0 té un màxim. 2x(2 − x) − x 2(−1) 4x − x 2 = (2 − x)2 ( x − 2)2 2 x = 4 4x − x = 0 → 4x − x 2 = 0 → 2 ( x − 2) x = 0 8 f"( x ) = (2 − x)3
b) f'( x ) =
f"(0) = 1 > 0 → En x = −1 té un mínim. f"(4) = −1 < 0 → En x = 1 té un màxim.
512
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 513
SOLUCIONARI
c) f'( x ) =
11
x2 − 9 2x ⋅ x − (x 2 + 9) = x2 x2
x2 − 9 = 0 → x 2 − 9 = 0 → x = ±3 x2 2x ⋅ x 2 − ( x 2 − 9) ⋅ 2x 18 f"( x ) = = 3 4 x x 2 f"(−3) = − < 0 → En x = −3 té un màxim. 3 2 f"(3) = > 0 → En x = 3 té un mínim. 3 3x 2 ⋅ ( x 2 + 4) − x 3 ⋅ 2x x 4 + 12x 2 = 2 2 2 ( x + 4) ( x + 4)2 x 4 + 12x 2 = 0 → x 4 + 12x 2 = 0 → x = 0 2 2 ( x + 4) 96x − 8x 3 (4 x 3 + 24 x )( x 2 + 4)2 − ( x 4 + 12x 2) ⋅ 2( x 2 + 4) ⋅ 2x f" ( x ) = = ( x 2 + 4)3 ( x 2 + 4)4
d) f'( x ) =
f"(0) = 0 → En x = 0 no té un màxim ni un mínim. 091
Sigui la funció f (x) = 4x3 + 15x2 − 18x + 10. a) Determina els màxims i els mínims de la funció. b) Calcula lim f (x) i lim f (x) . x →−`
x → +`
c) Fes un esbós de la gràfica de la funció. a) f'( x ) = 12x 2 + 30x − 18
x = 1 12x 2 + 30x − 18 = 0 → 2x 2 + 5x 2 − 3 = 0 → 2 x = −3 f"( x ) = 24 x + 30 1 1 f" = 42 > 0 → En x = té un mínim. 2 2 f"(−3) = −42 < 0 → En x = −3 té un màxim.
b) lim f ( x ) = −` x →−`
lim f ( x ) = +`
x → +`
c)
Y
20 1
X
f(x)
513
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 514
Derivada d’una funció 092
x3 . 1− x 2 a) Troba els màxims i els mínims de la funció. Sigui la funció f (x) =
b) Determina les equacions de les asímptotes i la posició de la corba respecte d’elles. c) Dibuixa un esbós de la gràfica de la funció. 3x 2 ⋅ (1− x 2) − x 3(−2x ) 3x 2 − x 4 = (1− x 2)2 (1− x 2)2 2 4 x = 0 3x − x = 0 → 3x 2 − x 4 = 0 → 2 2 (1− x ) x = ± 3 3 2 2 2 6x + 2x 3 (6x − 4 x )(1− x ) − (3x − x 4) ⋅ 2(1− x 2)(−2x) = f"( x ) = 2 4 (1− x ) (1− x 2)3
a) f'( x ) =
3 3 > 0 → En x = − 3 té un mínim. 2 f"(0) = 0 → En x = 0 no té un màxim ni un mínim. f" (− 3 ) =
f''( 3 ) = −
3 3 < 0 → En x = 2
3 té un màxim.
b) Dom f = R − {−1, 1} lim f ( x ) = +` x →−1− → x = −1 és una asímptota vertical. lim + f ( x ) = −` x →−1 lim f ( x ) = +` x →1− → x = 1 és una asímptota vertical. lim+ f ( x ) = −` x →1 lim f ( x ) = −` → No hi ha asímptota horitzontal.
x → +`
f (x) x3 1 = lim = − 3 x → +` x → + ` x x−x 3 3 x3 x x x + − = 0 n = lim [f ( x ) − mx ] = lim + x = lim 2 x → +` 1 − x 2 x → +` x → +` 1− x Asímptota obliqua: y = −x
m = lim
Si x = 1.000 → f ( x ) − (−x ) < 0 → Quan x tendeix a +`, la funció està per sota de l’asímptota.
Si x = −1.000 → f ( x ) − (−x ) > 0 → Quan x tendeix a −`, , la funció està per sobre de l’asímptota. c)
Y f(x) 1 2
514
X
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 515
SOLUCIONARI
093
11
x x −4 Determina les equacions de les asímptotes i la posició de la corba respecte d’elles. Dibuixa, també, un esbós de la gràfica de la funció. Troba els màxims i els mínims de la funció. f (x) =
f'( x ) =
1⋅ ( x − 4) − x −4 = 2 ( x − 4) ( x − 4)2
No hi ha màxims ni mínims, f' (x) < 0 → La funció és decreixent. Dom f = R − {4} lim f ( x ) = −` x → 4− → x = 4 és una asímptota vertical. lim f ( x ) = +` x → 4+ lim f ( x ) = 1 → y = 1 és una asímptota horitzontal.
Y
x →+`
Si x = 1.000 → f(x) > 1 Quan x tendeix a +`, la funció està per sobre de l’asímptota. Si x = −1.000 → f(x) < 1 Quan x tendeix a −`, la funció està per sota de l’asímptota. 094
f(x)
2 2
X
Troba els vèrtexs de les paràboles següents, tenint en compte que en aquests punts la tangent és horitzontal. a) y = 3x2 − 6x + 1 b) y = 3x2 + x + 9 a) y' = 6x − 6 6x − 6 = 0 → x = 1 → V(1, −2) b) y' = 6x + 1
6x + 1 = 0 → x = −
095
1 107 1 → V − , 6 12 6
Representa una funció contínua i derivable la derivada de la qual s’anul·li en els punts (−1, 4) i (2, −3), i que compleixi aquestes condicions. lim f (x) = −`
lim f (x) = +`
x →−`
x →+`
Resposta oberta. Y f(x) 1 1
X
515
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 516
Derivada d’una funció 096
Donada la funció y = x3 + 6x2 − 36x + 29 a) Determina’n el domini. b) Troba’n les asímptotes. c) Té punts de tall amb els eixos? Quins són? d) Determina’n els intervals de creixement i decreixement. e) Troba’n els màxims i els mínims. f ) Representa la funció. a) Dom f = R b) lim f ( x ) = +` x →+`
La funció no té asímptota horitzontal. f ( x) = +` x La funció no té asímptota obliqua. lim
x →+`
c) Si x = 0 → y = 29
Si y = 0 → x 3 + 6x 2 − 36x + 29 = 0 → ( x − 1)( x 2 + 7x − 29) = 0 x = 1 → −7 ± 165 x = 2
d) f'( x ) = 3x 2 + 12x − 36
x = 2 3x 2 + 12x − 36 = 0 → x 2 + 4 x − 12 = 0 → x = −6 f' (−7) > 0
f' (0) < 0
−7
0
−6
f(x) és creixent en (−`, −6) ∪ (2, +`). f(x) és decreixent en (−6, 2). e) Mínim: (2, −11) Màxim: (−6, 245) f)
Y f(x)
50 3
516
X
f' (3) > 0 2
3
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 517
SOLUCIONARI
097
11
Estudia i representa les funcions polinòmiques: a) y = 3x 4 − 4x 3 − 36x 2 + 10 b) y = x 3 − 6x2 + 12x − 5 c) y = 3x 4 − 4x 3 − 48x 2 + 144x + 212 a) Dom f = R La funció no té asímptotes. f'( x ) = 12x 3 − 12x 2 − 72x
x = 0 12x 3 − 12x 2 − 72x = 0 → x ( x 2 − x − 6) = 0 → x = 3 x = −2 f' (−3) < 0 −3
f' (−1) > 0 −2
1
0
−1
f' (4) > 0
f' (1) < 0 3
4
f(x) és creixent en (−2, 0) ∪ (3, +`) i decreixent en (−`, −2) ∪ (0, 3). Mínims: (−2, −54) y (3, −179) Màxim: (0, 10) Y f(x)
30 2
X
b) Dom f = R La funció no té asímptotes. f'( x ) = 3x 2 − 12x + 12 3x 2 − 12x + 12 = 0 → x 2 − 4 x + 4 = 0 → ( x − 2)2 = 0 → x = 2 f' (x) > 0 → f(x) és creixent en R.
f' (2) = 0 → En x = 2 no té un màxim ni un mínim. f"(x) = 6x − 12.
f"(x) > 0 si x > 2 → f(x) és còncava en (2, +`). f"(x) < 0 si x < 2 → f(x) és convexa en (−`, 2). Y
f(x) 1 1
X
517
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 518
Derivada d’una funció c) Dom f = R La funció no té asímptotes. f'( x ) = 12x 3 − 12x 2 − 96x + 144
x = −3 12x 3 − 12x 2 − 96x + 144 = 0 → x = 2 f' (−4) < 0
f' (3) > 0
f' (0) > 0
−4
0
−3
2
3
f(x) és creixent en (−3, 2) ∪ (2, +`) i decreixent en (−`, −3). Mínim: (−3, −301) f"( x ) = 36x 2 − 24 x − 96
x = 2 36x − 24 x − 96 = 0 → 3x − 2x − 8 = 0 → 4 x =− 3 f"(x) > 0 si x > 2 → f(x) és còncava en (2, +`). 4 4 f"( x ) < 0 si − < x < 2 → f ( x ) és convexa en − , 2. 3 3 2
2
f"( x ) < 0 si x < −
4 4 → f ( x ) és convexa en −`, − . 3 3
Y f(x) 300
1
098
X
3x − 2 : x+4 Determina’n el domini. Troba’n les asímptotes. Té punts de tall amb els eixos? Quins són? Determina’n els intervals de creixement i decreixement. Troba’n els màxims i els mínims. Representa la funció.
Donada la funció y = a) b) c) d) e) f)
a) Dom f = R − {−4} b)
518
3x − 2 = +` x →−4 x+4 → x = −4 és una asímptota vertical. 3x − 2 lim = −` x →−4+ x + 4 3x − 2 lim = 3 → y = 3 és una asímptota horitzontal. x → +` x + 4 Com que té asímptota horitzontal, la funció no té asímptota obliqua. lim −
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 519
SOLUCIONARI
11
2 c) Punt de tall amb l’eix X: , 0 3 1 Punt de tall amb l’eix Y: 0, − 2 d) f'( x ) =
3( x + 4) − (3x − 2) 14 = 2 ( x + 4) ( x + 4)2
f' (x) > 0 → f(x) és creixent en (−`, −4) ∪ (−4, +`). e) La funció no té màxims ni mínims. f)
Y f(x) 2 2
099
X
Estudia i representa aquestes funcions racionals. a) y =
5x + 1 x −2
b) y =
x 2 − 2x + 1 x −3
x2 2−x 2x 2 + 2x − 4 d) y = x2 + x −6 c) y =
a) Dom f = R − {2} 5x + 1 = −` x −2 → x = 2 és una asímptota vertical. 5x + 1 = +` lim+ x →2 x −2 lim
x → 2−
lim
x → +`
5x + 1 = 5 → y = 5 és una asímptota horitzontal. x −2
Com que té asímptota horitzontal, la funció no té asímptota obliqua. 1 Punt de tall amb l’eix X: − , 5
0
1 Punt de tall amb l’eix Y: 0, − 2 f'( x ) =
5( x − 2) − (5x + 1) −11 = 2 ( x − 2) ( x − 2)2
f' (x) < 0 → f(x) és decreixent en (−`, 2) ∪ (2, +`).
519
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 520
Derivada d’una funció La funció no té màxims ni mínims. Y f(x)
4 X
4
b) Dom f = R − {3} x 2 − 2x + 1 = −` x →3 x −3 → x = 3 és una asímptota vertical. 2 x − 2x + 1 lim = +` x → 3+ x −3 lim−
lim
x → +`
x 2 − 2x + 1 = +` → La funció no té asímptota horitzontal. x −3
x 2 − 2x + 1 =1 2 x → +` x − 3x → Asímptota obliqua: y = x + 1 x 2 − 2x + 1 x +1 = 1 − x = lim n = lim x → +` x → +` x − 3 x −3
m = lim
Punt de tall amb l’eix X: (1, 0) 1 Punt de tall amb l’eix Y: 0, − 3 (2x − 2)( x − 3) − ( x 2 − 2x + 1) x 2 − 6x + 5 = ( x − 3)2 ( x − 3)2 x = 1 x 2 − 6x + 5 = 0 → x = 5
f'( x ) =
f' (2) < 0
f' (0) > 0 0
2
1
f' (4) < 0 3
4
f' (6) > 0 5
6
f(x) és creixent en (−`, 1) ∪ (5, +`) i és decreixent en (1, 3) ∪ (3, 5). Màxim: (1, 0)
Mínim: (5, 8) Y
3 6
520
X
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 521
SOLUCIONARI
11
c) Dom f = R − {2} x2 = +` x →2 2 − x → x = 2 és una asímptota vertical. x2 = −` lim+ x →2 2 − x 2 x = +` → La funció no té asímptota horitzontal. lim x → +` 2 − x x2 = −1 m = lim 2 x → +` 2x − x → Asímptota obliqua: y = −x − 2 x2 x 2 = −2 + x = lim n = lim x → +` → + x ` 2− x 2− x Punt de tall amb els eixos: (0, 0) lim−
2x (2 − x ) + x 2 4x − x 2 = (2 − x )2 (2 − x )2 x = 0 4x − x 2 = 0 → x = 4
f'( x ) =
f' (1) > 0
f' (−1) < 0
1
0
−1
f' (3) > 0 2
3
f' (5) > 0 4
5
f(x) és decreixent en (−`, 0) ∪ (4, +`) i és creixent en (0, 2) ∪ (2, 4). Mínim: (0, 0)
Màxim: (4, −8) Y
2 4
X
d) Dom f = R − {−3, 2} 2x 2 + 2x − 4 = + ` 2 x →−3 x + x −6 → x = −3 és una asímptota vertical. 2 2x + 2x − 4 lim + = − ` x →−3 x2 + x − 6 2 2x + 2x − 4 = −` lim 2 x → 2− x + x −6 → x = 2 és una asímptota vertical. 2 2x + 2x − 4 = +` lim 2 x → 2+ x + x −6 lim −
lim
x → +`
2x 2 + 2 − 4 = 1 → y = 1és una asímptota horitzontal. x2 + x − 6
Com que té asímptota horitzontal, la funció no té asímptota obliqua.
521
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 522
Derivada d’una funció Punts de tall amb l’eix X: (1, 0) y (−2, 0) 1 Punt de tall amb l’eix Y: −3, 2 −16x − 8 f'( x ) = 2 ( x + x − 6)2 1 −16x − 8 = 0 → x = − 2
−4
−3
−1
−
f' (3) < 0
f' (0) < 0
f' (−1) > 0
f' (–4) > 0
1
0
2
3
2
1 1 f(x) és creixent en (−`, −3) ∪ −3, i és decreixent en − , 2 ∪ (2, +`). 2 2 1 18 Màxim: − , 2 25 Y f(x) 4 4
100
X
Representa aquestes funcions racionals i analitza’n les característiques. a) y =
x 2 x − 3x − 4
x 2 + 2x + 3 x 2 + 2x + 1 x+5 c) y = 2 x − 3x − 4 b) y =
x 2 + 4x + 2 x2 2x e) y = 2 x + x −6 d) y =
f) y =
x −3 (x + 1)(x −1)
a) Dom f = R − {−1, 4} x = −` x − 3x − 4 → x = −1 és una asímptota vertical. x lim + 2 = +` x →−1 x − 3x − 4 x lim = −` x → 4− x 2 − 3x − 4 → x = 4 és una asímptota vertical. x = +` lim x → 4+ x 2 − 3x − 4 x lim = 0 → y = 0 és una asímptota horitzontal. x → +` x 2 − 3x − 4 lim
x →−1−
2
Com que té asímptota horitzontal, la funció no té asímptota obliqua.
522
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 523
SOLUCIONARI
11
Punt de tall amb els eixos: (0, 0) f'( x ) =
−x 2 − 4 x 2 − 3x − 4 − x (2x − 3) = 2 2 2 (x − 3x − 4) ( x − 3x − 4)2
f' (x) < 0 → f(x) és decreixent en (−`, −1) ∪ (−1, 4) ∪ (4, +`). La funció no té màxims ni mínims. Y f(x) 2 2
X
b) Dom f = R − {−1} x 2 + 2x + 3 = + ` 2 x →−1 x + 2x + 1 → x = −1 és una asímptota vertical. 2 x + 2x + 3 lim + 2 = +` x →−1 x + 2x + 1 lim −
lim
x → +`
x 2 + 2x + 3 = 1 → y = 1 és una asímptota horitzontal. x 2 + 2x + 1
Com que té asímptota horitzontal, la funció no té asímptota obliqua. Punt de tall amb l’eix Y: (3, 0) f'( x ) =
(2x + 2)( x 2 + 2x + 1) − ( x 2 + 2x + 3)(2x + 2) −4 x − 4 = 2 (x 2 + 2x + 1)2 ( x + 2x + 1)2
−4 x − 4 = 0 → x = −1 ∉ Dom f
f' (x) > 0 si x < −1 → f(x) és creixent en (−`, −1).
f' (x) < 0 si x > −1 → f(x) és decreixent en (−1, +`). La funció no té màxims ni mínims. Y f(x)
1 1
X
523
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 524
Derivada d’una funció c) Dom f = R − {−1, 4} x+5 = +` lim − 2 x →−1 x − 3x − 4 → x = −1 és una asímptota vertical. x+5 = −` lim + 2 x →−1 x − 3x − 4 x+5 = −` lim x → 4− x 2 − 3x − 4 → x = 4 és una asímptota vertical. x+5 lim+ 2 = +` x→4 x − 3x − 4 x+5 lim = 0 → y = 0 és una asímptota horitzontal x → +` x 2 − 3x − 4 Com que té asímptota horitzontal, la funció no té asímptota obliqua. Punt de tall amb l’eix X: (−5, 0) 5 Punt de tall amb l’eix Y: 0, − 4 x 2 − 3x − 4 − ( x + 5)(2x − 3) −x 2 − 10x + 11 = ( x 2 − 3x − 4)2 ( x 2 − 3x − 4)2 2 x = −11 −x − 10x + 11 = 0 → −x 2 − 10x + 11 = 0 → 2 2 ( x − 3x − 4) x = 1
f'( x ) =
f' (−2) > 0
f' (−12) < 0
f' (0) > 0
−2 −1 0 1
−12 −11
f' (3) < 0 f' (5) < 0 3 4 5
f(x) és creixent en (−11, −1) ∪ (− 1, 1) i és decreixent en en (−`, −11) ∪ (1, 4) ∪ (4, +`). 1 Mínim: −11, − Màxim: (1, −1) 25 Y f(x) 2 6
X
d) Dom f = R − {0} x 2 + 4x + 2 lim− = +` 2 x →0 x → x = 0 és una asímptota vertical. 2 x + 4x + 2 lim+ = +` 2 x →0 x
x 2 + 4x + 2 = 1 → y = 1 és una asímptota horitzontal. x → +` x2 Com que té asímptota horitzontal, la funció no té asímptota obliqua. lim
524
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 525
SOLUCIONARI
11
Punts de tall amb l’eix X: (− 2 − 2, 0) y ( 2 − 2, 0) (2x + 4) ⋅ x 2 − ( x 2 + 4 x + 2) ⋅ 2x −4 x − 4 = 2 2 (x ) x3 −4 x − 4 = 0 → x = −1 f'( x ) =
f' (−0,5) > 0
f' (−2) < 0 −2
−1
−0,5
f' (1) < 0 0
1
f(x) és decreixent en (−`, −1) ∪ (0, +`) i és creixent en (−1, 0). Mínim: (−1, 1) Y f(x)
1 1
X
e) Dom f = R − {−3, 2} 2x = −` x + x−6 → x = −3 és una asímptota vertical. 2x = +` lim + 2 x →−3 x + x −6 2x lim = −` x → 2− x 2 + x − 6 → x = 2 és una asímptota vertical. 2x = +` lim x → 2+ x 2 + x − 6 lim
x →−3−
lim
x → +`
2
2x = 0 → y = 0 és una asímptota horitzontal. x2 + x − 6
Com que té asímptota horitzontal, la funció no té asímptota obliqua. Punt de tall amb els eixos: (0, 0) 2( x 2 + x − 6) − 2x (2x + 1) −2x 2 − 12 = ( x 2 + x − 6)2 ( x 2 + x − 6)2 f' (x) < 0 → f(x) és decreixent en (−`, −3) ∪ (−3, 2) ∪ (2, +`).
f'( x ) =
La funció no té màxims ni mínims. Y f(x) 1 1
X
525
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 526
Derivada d’una funció f) Dom f = R − {−1, 1} x −3 = −` x →−1 ( x + 1)( x − 1) → x = −1 és una asímptota vertical. x −3 = +` lim x →−1+ ( x + 1)( x − 1) lim −
x −3 = +` ( x + 1)( x − 1) → x = 1 és una asímptota vertical. x −3 = −` lim+ x →1 ( x + 1)( x − 1) x −3 lim = 0 → y = 0 és una asímptota horitzontal. x → +` ( x + 1)( x − 1) Com que té asímptota vertical, la funció no té asímptota obliqua. lim
x →1−
Punt de tall amb l’eix X: (3, 0) Punt de tall amb l’eix Y: (0, 3) x 2 − 1− ( x − 3) ⋅ 2x −x 2 + 6x − 1 = ( x 2 − 1)2 ( x 2 − 1)2 −x 2 + 6x − 1 = 0 → −x 2 + 6x − 1 = 0 ⇒ x = 3 ± 2 2 ( x 2 − 1)2
f'( x ) =
f' (−2) < 0 −2
f' (0) < 0 f' (0,5) −1
0 0,5 1
f' (2) < 0 2
f' (6) < 0 3+2 2
6
3−2 2
f(x) és decreixent en (−`, − 1) ∪ (−1, 3 − 2 2 ) ∪ (3 + 2 2 , + `) i és creixent en (3 − 2 2 , 1) ∪ (1, 3 + 2 2 ) . 3 − 2 2 Màxim: 3 + 2 2 , 2
3 + 2 2 Mínim: 3 − 2 2 , 2
Y
f(x)
1 1
101
X
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció f (x) = 2x2 − 2x + 3 en l’interval [1, 1 + h]. a) Utilitza el resultat per determinar la taxa de variació mitjana en els intervals [1, 3], [1, 5] i [1, 8]. b) Calcula el límit quan h tendeix a zero de la taxa de variació mitjana en l’interval [1, 1 + h], i comprova que equival a f' (1).
526
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 527
SOLUCIONARI
11
f (1 + h) − f (1) 2(1 + h)2 − 2(1 + h) + 3 − 3 = = 1+ h − 1 h 2 + 4h + 2h2 − 2 − 2h = = 2h + 2 h
T.V.M. ([1, 1 + h]) =
a) T.V.M. ([1, 3]) = 2 · 2 + 2 = 6 T.V.M. ([1, 5]) = 2 · 4 + 2 = 10 T.V.M. ([1, 8]) = 2 · 7 + 2 = 16 b) lim
h→ 0
102
f (1 + h) − f (1) = lim (2h + 2) = 2 h→ 0 1+ h − 1
f' ( x ) = 4 x − 2 → f' (1) = 2
A partir de la definició, troba la funció derivada d’aquestes funcions. 1 a) y = x + 1 b) y = x f ( x + h) − f ( x ) x + h +1− x +1 = lim = h → 0 h h 1 x + h + 1− (x + 1) 1 = lim = lim = → 0 h→0 h 2 x +1 x + h +1 + x +1 h( x + h + 1 + x + 1)
a) f'( x ) = lim
h→0
1 1 − x − ( x + h) f (x + h) − f ( x ) x+h x = = lim b) f'( x ) = lim = lim 0 → h→0 h → 0 h h( x + h) x h h 1 −1 =− 2 = lim h→0 ( x + h) x x 103
Les funcions següents es poden expressar com a composició d’altres funcions més senzilles. Troba’n les funcions derivades de dues maneres diferents i compara’n els resultats. x2 a) y = 23x+5 b) y = (x2 + 7x)2 c) y = ln (3x) d) y = log3 3 a) f ( x ) = 2 x y g( x ) = 3x + 5 y' = 23x +5 ⋅ ln 2 ⋅ 3 3x 5 3x 5 y = 2 ⋅ 2 → y' = 2 ⋅ ln 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 23x +5 ⋅ ln 2 ⋅ 3 b) f ( x ) = x 2 y g( x ) = x 2 + 7x y' = 2( x 2 + 7x )(2x + 7) = 4 x 3 + 42x 2 + 98x 2 2 y = ( x + 7x ) ⋅ ( x + 7x ) → y' = (2x + 7) ⋅ ( x 2 + 7x ) + ( x 2 + 7x ) ⋅ (2x + 7) = = 4 x 3 + 42x 2 + 98x c) f ( x ) = ln x y g( x ) = 3x
y' =
y = ln (3x ) = ln 3 + ln x → y' = x2 3
1 1 ⋅3= x 3x
1 x
1 2x 2 ⋅ = x 2 ⋅ ln 3 3 x ⋅ ln 3 3 1 2 x2 = y = log3 = 2 log3 x − log3 3 = 2 log3 x − 1 → y' = 2 ⋅ 3 x ⋅ ln 3 x ⋅ ln 3
d) f ( x ) = log3 x y g( x ) =
y' =
Els resultats obtinguts coincideixen.
527
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 528
Derivada d’una funció 104
Troba les funcions derivades d’aquestes funcions utilitzant la regla de la cadena. a) y = e ln x 4
2
3
2 2 2 2 b) y = − 3 + 5 − 4 + 3 x x x x c) y = sin
x 2
d) y = ln (x 2e) a) y' = eln x ⋅
1 1 = x⋅ =1 x x
2 2 2 3 2 2 64 72 40 8 b) y' = 4 − 9 + 10 − 4 ⋅ − 2 = − 5 + 4 − 3 + 2 x x x x x x x x
c) y' = cos d) y' =
105
x 1 ⋅ 2 2
1 2 ⋅ 2xe = 2 xe x
Determina el valor de l’expressió a perquè la funció no sigui derivable en el puntx = 3. a si x < 3 f ( x) = 2 x + x − 3 5 si x ≥ 3 f(3) = 13 lim f ( x ) = a → Si a Þ 13, la funció no és contínua i no és derivable. lim+ f ( x ) = 13 x →3 x → 3−
106
Completa la funció següent perquè sigui derivable en tot el conjuntR. x2 + x f ( x) = bx + 4
si x < 2 si x ≥ 2
Perquè sigui derivable, la funció ha de ser contínua: f(2) = 2b + 4 → Si 6 = 2b + 4, la funció és contínua → b = 1. lim+ f ( x ) = 2b + 4 x →2 lim f ( x ) = 6
x → 2−
si x < 2 2x + 1 f '( x ) = 1 si x ≥ 2 f '(2−) = 5 → La funció no és derivable. f '(2+) = 1
528
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 529
SOLUCIONARI
107
11
La recta amb equació y = 9x − 14 tangent a la funció y = x3 − 3x + k. Determina en quin punt són tangents i troba el valor de k. Hi ha una única solució? La funció té dos punts en els quals la tangent és horitzontal. Troba’ls i escriu l’equació d’aquestes rectes. f' (x) = 3x2 − 3 Quan la recta donada és tangent: 3x2 − 3 = 9 → x2 = 4 → x = ±2 Si x = 2 → y − (2+ k) = 9(x − 2) → y = 9x − 16 + k → k = 2 Si x = −2 → y − (−2 + k) = 9(x + 2) → y = 9x + 16 + k → k = −2 Per tant, hi ha dues solucions vàlides. Quan la tangent és horitzontal, es compleix que: 3x2 − 3 = 0 → x2 = 1 → x = ±1 Si x = 1 → y − (−2 + k) = 0 · (x − 1) → y = −2 + k Si x = −1 → y − (2 + k) = 0 · (x + 1) → y = 2 + k
108
És cert que la funció y = x3 esempre és creixent? Què passa a l’origen de coordenades? f' (x) = 3x2 Si x Þ 0 → f' (x) > 0 → f(x) és creixent en (−`, 0) ∪ (0, +`). Si x = 0 → f' (0) = 0 → La funció no és creixent ni decreixent en aquest punt.
109
S’ha estimat que la despesa d’electricitat d’una empresa, de 8 a 17 hores, segueix aquesta funció: E (t) = 0,01t3 − 0,36t2 + 4,05t − 10 en què t pertany a l’interval (8, 17). a) Quin és el consum a les 10 hores? I a les 16 hores? b) En quin moment del dia el consum és màxim? I mínim? c) Determina les hores del dia en què el consum s’incrementa. a) E(10) = 4,5 E(16) = 3,6 b) E'(t) = 0,03t 2 − 0,72t + 4,05
t = 9 0,03t 2 − 0,72t + 4,05 = 0 → t = 15 E" (t) = 0,06t − 0,72
E"(9) = −0,18 < 0 → En t = 9 té un màxim. E"(15) = 0,18 > 0 → En t = 15 té un mínim. Per tant, el consum és màxim a les 9 hores i és mínim a les 15 hores.
c) Com que t = 9 és un màxim, el consum creix de les 8 hores a les 9 hores. De la mateixa manera, com que t = 15 és un mínim, el consum creix de les 15 a les 17 hores.
529
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 530
Derivada d’una funció 110
Un investigador prova l’acció d’un medicament sobre un bacteri. Ha comprovat que el nombre de bacteris, N, varia amb el temps, t, un cop subministrat el medicament, segons la funció: N = 20t 3 − 510t 2 + 3.600t + 2.000 a) Quants bacteris hi havia en el moment de subministrar el medicament? I al cap de 10 hores? b) En aquest moment, el nombre de bacteris està creixent o disminuint? c) Quin és el moment en què l’acció del producte és màxima? d) En quin moment comença a notar-se l’efecte del medicament? e) En quin moment el medicament comença a perdre efecte? a) Si t = 0 → N = 2.000 bacteris Si t = 10 → N = 7.000 bacteris b) N' = 60t 2 − 1.020t + 3.600
t = 5 60t 2 − 1.020t + 3.600 = 0 → t = 12 f' (0) > 0 0
f' (6) < 0 5 6
f' (20) > 0 12
20
El nombre de bacteris creix fins a les 5 hores i torna a créixer a partir de les 12 hores. Aquest nombre decreix entre les 5 hores i les 12 hores. c) El medicament assoleix la màxima acció a les 12 hores. d) L’efecte del medicament comença a notar-se a partir de les 5 hores. e) El medicament comença a perdre l’efecte a partir de les 12 hores. 111
Quina és l’equació d’una paràbola que passa pel punt (0, 9) i en el punt (2, 9) té com a recta tangent y − 6x + 3 = 0? Sigui f(x) = ax2 + bx + c. Com que la paràbola passa pel punt (0, 9) → c = 9 I com que també passa pel punt (2, 9) → 4a + 2b + 9 = 9 → 4a + 2b = 0 → b = −2a Així resulta que: f(x) = ax2 − 2ax + 9 → f' (x) = 2ax − 2a Si y = 6x − 3 és la tangent en el punt x = 2, llavors: f' (2) = 6 → 4a − 2a = 6 → a = 3 L’equació de la paràbola és: f(x) = 3x2 − 6x + 9
112
Troba l’expressió algebraica d’una funció que passa per (2, 5), si saps que la seva derivada és:f' (x) = 2x2 + 6x − 3 Si f'( x ) = 2x 2 + 6x − 3 → f ( x ) =
2 3 x + 3x 2 − 3x + k 3 Com que la funció passa pel punt (2, 5) → f(2) = 5 2 19 ⋅ 8 + 12 − 6 + k = 5 → k = − 3 3 2 19 L’equació de la paràbola és: f ( x ) = x 3 + 3x 2 − 3x − 3 3
530
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 531
SOLUCIONARI
113
Representa la funció y =
11
1 . x
a) Considera un punt qualsevol de la funció que estigui al primer quadrant. Comprova que la recta tangent a la funció en aquest punt forma un triangle amb els semieixos positius. b) Demostra que, independentment del punt que escollim, l’àrea d’aquest triangle és sempre la mateixa. a)
Y
1
f(x) 1
Y
f(x)
1 1
X
X
1 b) Si a > 0, llavors a, és un punt de la funció en el primer quadrant. a Com que y' = −
1 , l’equació de la recta tangent en x = a és: x2
1 1 = − 2 (x − a) a a Les coordenades dels punts de tall de la tangent amb els eixos determinen la base i l’altura del triangle. y−
Si x = 0 → y −
1 1 2 = →y= a a a
Si y = 0 → 0 −
1 1 1 1 2 =− 2 x+ → 2 x = → x = 2a a a a a a 2a ⋅
Així, l’àrea del triangle és: A = valor de a.
114
2
2 a =2 2 u , iindependentment
La recta tangent a una funció f (x) en el punt d’abscissa x = 2 és y = 5x −7. Troba el valor de la funció i de la seva derivada en el punt d’abscissa 2. f (2) = 3 y = 5x − 7 → y − 3 = 5(x − 2) → f' (2) = 5
115
Explica què valen f' (0) i g' (0) en les funcions f (x) = ln x i g(x) = (Pots dibuixar la gràfica de les funcions, si és necessari).
x.
Dom f = (0, +`) → f' (0) no existeix perquè la funció no està definida en x = 0.
Dom g = [0, +`) → g' (0) no existeix perquè la funció no està definida per a valors més petits que 0 i no existeix g' (0−).
531
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 532
Derivada d’una funció 116
1 La funció derivada d’una paràbola és una recta que passa pels punts 1, 2 11 i −1, − . Troba l’abscissa del vèrtex d’aquesta paràbola. 2 Com que l’equació d’una paràbola és y = ax2 + bx + c, la seva derivada és y' = 2ax + b. L’equació de la recta que passa pels punts és: 1 y− x −1 2 → y = 3x − 5 = −2 −6 2 Igualant coeficients, resulta: 3 2ax = 3x → a = 2 5 b=− 2 5 − b 5 =− 2 = L’abscissa del vèrtex és: x = − 3 2a 6 2⋅ 2
117
Si tracem la recta tangent i la recta normal a la funció y = x3 − 12x2 + 42x − 40, en el punt (3, 5), es forma, amb els semieixos positius de coordenades, un quadrilàter. Determina’n l’àrea. Y
2
f' ( x ) = 3x − 24 x + 42 f' (3) = −3 L’equació de la recta tangent en (3, 5) és: y − 5 = −3( x − 3) → y = −3x + 14
1 1
I l’equació de la recta normal és: 1 1 y − 5 = (x − 3) → y = x + 4 3 3 14 El quadrilàter té com a vèrtexs: (0, 0), (0, 4), (3, 5) i , 0. 3 Per calcular la seva àrea es descompon en tres figures: • El rectangle de vèrtexs (0, 0), (4, 0), (3, 4) i (3, 0) mesura 12 u2. 3 • El triangle de vèrtexs (4, 0), (3, 4) i (3, 5) mesura u2. 2 14 25 2 • El triangle de vèrtexs (3, 5), (3, 0) i , 0 mesura u. 3 6 3 25 53 2 = u Per tant, l’àrea del quadrilàter és: 12 + + 2 6 3 118
Sigui una funció que no és contínua a x = 3. lim f (x) Þ f (3) x →3
Demostra que la funció no pot ser derivable en aquest punt estudiant el límit: lim
h →0
532
f (3 + h) − f (3) h
X
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 533
SOLUCIONARI
11
Si la funció és derivable en x = 3 llavors existeix el límit: lim
h→ 0
f (3 + h) − f (3) = l → lim (f (3 + h) − f (3)) = l lim h h→ 0 h→ 0 h → lim (f (3 + h) − f (3)) = 0 → lim f (3 + h) = lim f(3) h→ 0
h→ 0
h →0
Això no és cert, perquè la funció no és contínua en x = 3, i la funció no pot ser derivable en aquest punt. 119
Considera una paràbola general expressada de la forma: y = ax2 + bx + c a) Com que al vèrtex la tangent serà horitzontal, la derivada s’anul·la en aquest punt. Comprova-ho i aïlla el valor de x. b) Troba també el valor de y, aplicant-ho a la paràbola y = −2x2 + 8x + 4.
a) y' = 2ax + b
2ax + b = 0 → x = −
b 2a 2
b) x = −
b b b2 b2 −b 2 + 4ac b − +c= → y = a− + b− + c = 2a 2a 2a 4a 2a 4a
PER ACABAR... 120
Sigui f (x) = arc tg f'( x ) =
sin x . Estudia si f(x) i f' (x) són constants. 1 + cos x 1 2
⋅
cos x + 1 cos x(1 + coss x) + sin2 x = = 2 (1 + cos x) (1 + cos x)2 + sin2 x
sin x 1 + 1 + cos x cos x + 1 cos x + 1 1 = = = 1 + 2 cos x + cos2 x + sin2 x 2 cos x + 2 2
En ser f' (x) constant i no nul·la, la funció f(x) no és constant.
533
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 534
f(x),
Derivada d’una funció 121
Y
A partir de la gràfica d’una funció f(x), representa de manera aproximada la funció f' (x).
f(x)
Y
1 1
1 1
122
X
Si la gràfica d’una funció f' (x) és aquesta, representa de manera aproximada la funció f(x).
Y f’(x) 1
Y
1
f(x)
1 1
123
X
f’(x)
X
X
Si f(x) i g(x) són funcions inverses, és a dir, (g o f )(x) = x, es verifica que (g' o f' )(x) = x? No es verifica. Si es consideren les funcions f(x) = x3 i g(x) = 3 x , s’obté que són inverses ja que compleixen que: (g o f )(x) = x 1 1 Tanmateix, resulta que: ( g' o f' )( x ) = g' (f ' ( x )) = g' (3x 2) = = Þx 3 2 2 3 3x 9x 3 (3x ) Per tant, f’(x) i g’(x) no són funcions inverses.
124
Definim l’angle de dues corbes en un punt comú com l’angle format per les rectes tangents a aquestes corbes en aquest punt. Aplica-ho a les corbes y = x2 i x = y2. y = x 2 → (0, 0) és el punt d’intersecció de les corbes. x = y 2 La recta tangent en aquest punt a la primera corba és: y = 0 La recta tangent en el mateix punt a la segona corba és: x = 0 Com que les rectes són perpendiculars, l’angle que formen les dues corbes mesura 90°.
125
Verifica que si un polinomi té una arrel doble, també és arrel de la seva derivada. Resol l’equació 12x3 −16x2 + 7x −1 = 0, sabent que una de les seves arrels és doble. Si un polinomi té una arrel doble a, llavors: f(x) = (x − a)2 ⋅ p(x) f'(x) = 2(x − a) ⋅ p(x) + (x − a)2 ⋅ p'(x) = (x − a)[2p(x) + (x − a) ⋅ p'(x)] Per tant, a és també una arrel de la derivada.
534
917221Unidad11.qxd
19/1/09
11:09
Página 535
SOLUCIONARI
11
Sigui f(x) = 12x 3 − 16x 2 + 7x − 1. 1 x= 2 2 2 Com que f'(x) = 36x − 32x + 7, resulta que: 36x − 32x + 7 = 0 → 7 x= 18 I com que una de les arrels és doble coincideix amb una de les anteriors: 1 1 f = 0 → 12x 3 − 16x 2 + 7x − 1 = x − ⋅ (12x 2 − 10x + 2) 2 2 1 x= 2 12x 2 − 10x + 2 = 0 → 1 x= 3 1 1 Les solucions de l’equació són: (doble) i 2 3 126
Com s’ha de descompondre un nombre positiu a en la suma de dos nombres no negatius perquè la suma dels quadrats dels dos sumands sigui mínima? I perquè sigui màxima? Sigui x tal que 0 ≤ x ≤ a, de manera que a = x + (a − x). f (x) = x 2 + (a − x)2 f'(x) = 2x + 2(a − x) ⋅ (−1) = 4x − 2a
4x − 2a = 0 → x =
a 2
a a f " = 4 > 0 → x = éss un mínim. 2 2 a a Per tant, si el nombre a es descompon en + , la suma dels quadrats és 2 2 mínima. Com que f(x) = x 2 + (a − x)2 = 2x 2 − 2ax + a 2 és una paràbola oberta cap a dalt, com que 0 ≤ x ≤ a, lla suma dels quadrats és màxima si x = 0 o si x = a, és a dir, si el nombre es descompon en a + 0. f''(x) = 4
127
Demostra que la tangent a una circumferència en un punt és perpendicular al radi en aquest punt. Sigui una circumferència centrada en l’origen de les coordenades de radi r: x 2 + y 2 = r 2 x −2x Si y = r 2 − x 2 → y' = =− 2 2 2 2 r −x r − x2 a Llavors l’equació de la recta tangent en un punt (a, b) és: y − b = − (x − a) b La recta determinada pel radi de la circumferència que passa per aquest punt és: x y b = →y= x a b a b 1 Les rectes són perpendiculars ja que: =− a a − b
535