4
Trigonometria
LITERATURA I MATEMÀTIQUES
El mesurament del món El cel estava ennuvolat, la terra, enfangada. Va grimpar per sobre d’una bardissa i va trobar-se, panteixant, suat i cobert de fulles de pi, davant de dues noies. En preguntar-li què feia allà, va explicar, nerviós, la tècnica de la triangulació: si coneixem un costat i dos angles d’un triangle, en podem determinar els altres costats i l’angle desconegut. Així que s’escollia un triangle en qualsevol lloc d’aquella terra de Déu, se’n mesurava el costat d’accés més fàcil, i se’n determinaven els angles per al tercer punt amb aquell aparell. Va alçar el teodolit i el va girar, cap aquí cap allà, i fixeuvos-hi, així, amb dits maldestres, d’un costat a l’altre, com si fos la primera vegada. Després, afegiu una sèrie d’aquests triangles un al costat de l’altre. […] Però un paisatge, digué la més gran de les dues, no era un pla. Ell va mirar-la fixament. No hi havia hagut pausa. Com si a ella no li calgués reflexionar. Evidentment que no, respongué ell somrient. Els angles d’un triangle, va dir ella, sumaven en un pla cent vuitanta graus, però no sobre una esfera. Amb això quedava tot dit.. Ell va observar-la com la veiés aleshores per primera vegada. Ella li va tornar la mirada alaçant les celles. Sí, va dir ell. Bé. Per compensar-ho, s’havia d’encongir, en certa manera, els triangles després del mesurament fins a una mida infinitament petita. En principi una operació diferencial senzilla. Tot i que d’aquesta manera... Va seure a terra i va treure una llibreta. D’aquesta manera, murmurà mentre conjuminava les seves notes, encara no ho havia fet ningú. Quan va alçar la vista, s’havia quedat sol. […] Demanà per carta la mà de Johanna i va ser rebutjat. No tenia res contra seva, va escriure ella, només que dubtava que l’existència al costat seu fos saludable. Sospitava que ell extreia la vida i l’energia de les persones del seu entorn, igual que la terra del sol i el mar dels rius, que prop d’ell estaria condemnada a la palidesa i a la semirealitat d’una existència d’espectre. [Passat un temps, ho tornà a provar i, aquesta vegada, va ser acceptat. «Ell», un dels dos protagonistes d’aquesta novel·la, es deia Gauss i va ser un dels astrònoms, físics i matemàtics més importants del segle XIX.] DANIEL KEHLMANN
En una superfície de terra plana, hi ha tres arbres, A, B i C, i no podem arribar a l’arbre C. La distància entre A i B és de 26 m, i amb un teodolit, com el de Gauss, mesurem els angles CAB i CBA i obtenim 48° i 60°, respectivament. Amb aquestes dades, quines altres distàncies o àrees podem calcular? Basant-ne en això, explica la tècnica de la triangulació. Podem trobar l’angle desconegut, tenint en compte que la suma dels angles d’un triangle és 180°: 180° − 60° − 48° = 72° Apliquem el teorema del sinus: a = 20,32 m a b 26 a b c = = → → = = b = 23,68 m sin 48° sin 60° sin 72° sinA $ sinB $ sinC $ Per calcular l’àrea podem aplicar la fórmula d’Heró. Si anomenem p el semiperímetre, tenim que: A=
p( p − a)( p − b)( p − c)
A=
35(35 − 20,32)(35 − 23,68)(35 − 26) = 228,79 m2
La tècnica de la triangulació consisteix a aplicar la trigonometria per trobar distàncies desconegudes.
2
SOLUCIONARI
4
ABANS DE COMENÇAR... RECORDA 001
Troba el terme que falta perquè aquestes parelles de raons formin una proporció. 4 10 3 x x x i i i a) b) c) 7 x 10 2 3 2 a) x = 17,5
002
c) x = 6
Calcula l’angle complementari i suplementari dels angles següents: a) 15° a) b) c) d)
003
b) x = 0,6
b) 47°
c) 78°
d) 89°
L’angle complementari de 15° és 75° i el suplementari és 165°. L’angle complementari de 47° és 43° i el suplementari és 133°. L’angle complementari de 78° és 12° i el suplementari és 102°. L’angle complementari de 89° és 1° i el suplementari és 91°.
Si els angles d’aquests triangles són iguals, quant ha de mesurar c perquè els dos triangles siguin semblants? 3 cm
4 cm
8 cm
c
5 cm 10 cm
Com que els triangles són semblants, les mesures dels costats són proporcionals. Per tant, c ha de mesurar 6 cm. 004
Raona per què són semblants els tres triangles rectangles que apareixen quan tracem l’altura sobre la hipotenusa en un triangle rectangle. Per explicar que els triangles són semblants, demostrarem que els tres angles són iguals: 1r Els tres triangles tenen un angle recte. 2n El triangle mitjà i el triangle més petit comparteixen un angle agut amb el triangle més gran. 3r Com que la suma dels angles d’un triangle és un valor constant, si coincideix la mesura de dos angles, el tercer angle ha de ser igual.
005
Indica quines d’aquestes ternes de longituds corresponen als costats d’un triangle. a) 3 cm, 4 cm i 5 cm b) 1 cm, 2 cm i 3 cm
c) 5 cm, 15 cm i 30 cm d) 15 cm, 8 cm i 20 cm
a) Poden ser les longituds dels costats d’un triangle, ja que el costat més llarg és més petit que la suma dels altres costats. b) No poden ser les longituds dels costats d’un triangle, ja que el costat més llarg és igual a la suma dels altres costats. c) No poden ser les longituds dels costats d’un triangle, perquè el costat més llarg és més petit que la suma dels altres costats. d) Poden ser les longituds dels costats d’un triangle, ja que el costat més llarg és més petit que la suma dels altres costats.
3
Trigonometria 006
$ En un triangle ABC , l’angleA $= 105°. Quant sumenBC? i$ Com que la suma dels tres angles d’un triangle és igual a 180°: 180° − 105° = 75° Per tant, els anglesBC$ i$ han de sumar 75°.
007
Construeix triangles amb les dades següents. a) a = 5 cm, b = 4 cm i c = 3 cmc) b) a = 5 cm,B $ = 60°Ci $ = 45° d) a)
a = 5 cm, b = 4 cmCi $ = 20° a = 5 cm,B $ = 50° Ai $= 85° c)
c
b
b C$ a
a
b)
d) A$ C$
B$
B$ a
a
ACTIVITATS 001
Expressa en graus els angles l’amplitud dels quals és 1, 2, 3, 4, 5 i 6 radians. Com que 2π rad són 360°: són 360 ⋅ 1 Si 2π rad → 360° = 57° 17' 45" seran → x = 1 rad → x graus 2π
1 rad = 57° 17' 45" 2 rad = 114° 35' 30" 3 rad = 171° 53' 14" 4 rad = 229° 10' 59" 5 rad = 286° 28' 44" 6 rad = 343° 46' 29" 002
Expressa en radians la mesura dels angles dels quatre primers polígons regulars. Si anomenem n el nombre de costats del polígon regular, aleshores la mesura 180°(n − 2) dels seus angles ve donada per l’expressió: n π Els angles d’un triangle equilàter mesuren: 60° = rad 3
4
SOLUCIONARI
Els angles d’un quadrat mesuren: 90° =
4
π rad 2
3π rad 5 2π rad Els angles d’un hexàgon regular mesuren: 120° = 3 Els angles d’un pentàgon regular mesuren: 108° =
003
Calcula les raons trigonomètriques dels angles aguts. a)
b)
53 c m
5 cm
28 cm 45 cm
6 cm
a) Anomenem C$ l’angle oposat al costat de 28 cm. 28 53 = 0,53 = 1,89 sin C$ = sec C$ = 53 28 45 53 = 0,85 = 1,18 cos C$ = cosec C$ = 53 45 28 45 = 0,62 = 1,61 tg C$ = cotg C$ = 45 28 AnomenemB $l’angle oposat al costat de 45 cm. 45 53 = 0,85 = 1,18 sinB $= secB $= 53 45 28 53 = 0,53 = 1,89 cosB $= cosecB $= 53 28 45 28 = 1,61 = 0,62 tgB $= cotgB $= 28 45
C
B A
b) Calculem la diagonal del rectangle utilitzant el teorema de Pitàgores: D = 52 + 62 = 61 cm l’angle oposat al costat de 6 cm. AnomenemC $ 61 = 1,3 6 61 61 5 = 1,56 cos C$ = cosec C$ = = 0,64 5 61 6 5 tg C$ = = 1,2 cotg C$ = = 0,83 5 6 AnomenemB $l’angle oposat al costat de 5 cm. 6
C$ = sin
5
sinB $= cosB $=
61 6
= 0,77
= 0,64 = 0 ,77
61 tgB $=
5 = 0,83 6
sec C$ =
A
C
B
61 = 1,56 5 61 = 1,3 cosecB $= 6 6 cotgB $= = 1,2 5 secB $=
5
Trigonometria 004
Demostra que es compleixen les igualtats següents. 1 1 a) sec α = b) cosec α = cos α sin α
c) cotg α =
1 cos α = tg α sin α
a 1 1 = = c c cos α a a 1 1 b) cosec α = = = b b sin α a c 1 1 1 cos α c) cotg α = = = = = b sin α b tg α sin α c cos α a) sec α =
005
Calcula les raons trigonomètriques de l’angle si: 1 2 a) sin α = c) cos α = b) tg α= 0,49 4 3 1
d) sin α= 0,2
2
sin α = 4 1 + cos2 α = 1 a) sin2 α + cos2 α = 1 → 4 15 15 4 4 15 cos α = = → sec α = = 16 4 15 15 1 1 15 sin α sin α = 4 , cos α = 4 4 15 tg α = → tg α = 4 = = → cotg α = 15 15 cos α 15 4 15 4 1 sin α = → cosec α = 4 4
b) cos α =
1 → cos α = 0,9 → sec α = 1,11 1 + tg2 α cos α = 0,9
sin2 α + cos2 α = 1 → sin2 α + 0,92 = 1 sin α = 0,44 → cosec α = 2,29 tg2 = 0,49 → cotg α = 2,04 2
2
cos α = 2 3 c) sin2 α + cos2 α = 1 → sin2 α + = 1 3
sin α =
tg α =
sin α =
6
sin α cos α
5 5 3 3 5 → cosec α = = = 9 3 5 5
sin α = 5 , cos α = 2 3 3
→ tg α =
15 → cosec α = 3
3 15
=
15 5
5 3 = 5 → cotg α = 2 2 2 5 3
SOLUCIONARI
4
sin α = 0,2
d) sin2 α + cos2 α = 1 → 0,22 + cos2 α = 1 → cos α = 0,98 → sec α = 1,02 tg α =
sin α sin α = 0,2; cos α = 0,98 0,2 → tg α = = 0,2 → cotg α = 4,9 0,98 cos α
sin α = 0,2 → cosec α = 5 006
Raona si hi ha algun angle que verifiqui: a) sin α= 0,3 i cos α= 0,8 b) sin α= 0,72 i tg α= 1,04
c) cos α= 0,1 i sin α= 0,99
a) No n’hi ha cap, ja que no es compleixen les relacions trigonomètriques. sin2 α + cos2 α = 1; 0,32 + 0,82 = 0,73 Þ 1 b) Sí que n’hi ha, ja que es compleixen les relacions trigonomètriques. 0,72 Calculem el cosinus: 1,04 = → cos α = 0,69 → 0,722 + 0,692 = 1 cos α c) Sí que n’hi ha, perquè es compleixen les relacions trigonomètriques. 0,12 + 0,992 = 1 007
Calcula l’altura d’un triangle equilàter de 5 cm de costat sense utilitzar el teorema de Pitàgores. h → h = 5 ⋅ cos 30° = 4,33 cm 5 L’altura del triangle és 4,33 cm.
cos 30° =
008
Si l’altura d’un triangle equilàter fa 5,196 cm, calcula, sense utilitzar el teorema de Pitàgores, quant mesura el costat del triangle. 5,196 → l = 6 cm l El costat del triangle mesura 6 cm.
cos 30° =
009
Troba el valor de les expressions següents: a) cos 30° − sin 60° + tg 45° b) cos2 60° − sin2 45°
c) tg 60° + sin 45° − cos2 30° d) tg 30° + tg 60° − sin 30° ⋅ cos 30°
3 3 − + 1= 1 2 2 2 2 1 2 = − 1 b) cos2 60° − sin2 45° = − 2 2 4 a) cos 30° − sin 60° + tg 45° =
2
c) tg 60° + sin 45° − cos2 30° = 3 +
2 3 −3 + 4 3 + 2 2 − = 2 2 4
d) tg 30° + tg 60° − sin 30° ⋅ cos 30° =
3 1 3 13 3 + 3− ⋅ = 3 2 2 12
7
Trigonometria 010
Indica el signe que tenen les raons trigonomètriques dels angles i identifica el quadrant en què es troben. a) 66°
d) 135°
b) 18°
e) 342°
c) 175°
f ) 120°
a) És del 1r quadrant; totes les raons trigonomètriques són positives. b) És del 1r quadrant; totes les raons trigonomètriques són positives. c) És del 2n quadrant; el sinus i la cosecant són positives, i la resta de les raons trigonomètriques són negatives. d) És del 2n quadrant; el sinus i la cosecant són positius, i la resta de les raons trigonomètriques són negatives. e) És del 4t quadrant; el cosinus i la secant són positius, i la resta de les raons trigonomètriques són negatives. f) És del 2n quadrant; el sinus i la cosecant són positius, i la resta de les raons trigonomètriques són negatives.
011
Raona la resposta. a) Per què no existeix tg 90°? b) Passa el mateix amb tots els angles que són múltiples de 90°? a) No existeix perquè cos 90° = 0. b) Si multipliquem 90° per un nombre parell, la tangent és zero, ja que el sinus val 0 i el cosinus val 1. Si multipliquem 90° per un nombre senar, la tangent no està definida, ja que el cosinus val 0.
012
Indica el signe de les raons trigonomètriques dels angles l’amplitud dels quals és múltiple de 90°. Estudiem els angles que són múltiples de 90°: • Per a 360° ⋅ k, on k és un nombre natural. El cosinus i la secant són positius, el sinus i la tangent valen 0 i la cosecant i la cotangent no estan definides. • Per a 90° + 360° ⋅ k, on k és un nombre natural. El sinus i la cosecant són positius, el cosinus i la cotangent valen 0 i la secant i la tangent no estan definides. • Per a 180° + 360° ⋅ k, on k és un nombre natural. El cosinus i la secant són negatius, el sinus i la tangent valen 0 i la cosecant i la cotangent no estan definides. • Per a 270° + 360° ⋅ k, on k és un nombre natural. El sinus i la cosecant són negatius, el cosinus i la cotangent valen 0 i la secant i la tangent no estan definides.
8
SOLUCIONARI
013
4
Si saps que cos 50° = 0,6428; troba les raons trigonomètriques de: a) 130°
b) 230°
c) −50°
d) 310°
Calculem el sinus de 50°: sin2 50° + 0,64282 = 1
sin 50° = 0,766
a) −cos 50° = cos 130° = −0,6428; sin 50° = sin 130° = 0,766; tg 130° = −1,1918 sec 130° = −1,5557; cosec 130° = 1,3054; cotg 130° = −0,8391 b) −cos 50° = cos 230° = −0,6428; −sin 50° = sin 230° = −0,766 tg 230° = 1,1918; sec 230° = −1,5557; cosec 230° = −1,3054; cotg 230° = 0,8391 c) cos 50° = cos (−50°) = 0,6428; −sin 50° = sin (−50°) = −0,766 tg (−50°) = −1,1918; sec (−50°) = 1,5557; cosec (−50°) = −1,3054 cotg (−50°) = −0,8391 d) cos 50° = cos 310° = 0,6428; −sin 50° = sin 310° = −0,766 tg 310° = −1,1918; sec 310° = 1,5557; cosec 310° = −1,3054 cotg 310° = −0,8391
014
Calcula les raons trigonomètriques en funció de les raons d’altres angles del 1r quadrant. a) 475°
b) 885°
c) 1.130°
d) 695°
e) 1.215°
f ) 985°
a) sin 475° = sin 115° = sin 65° = 0,9063 cos 475° = cos 115° = −sin 65° = −0,4226 tg 475° = tg 115° = −tg 65° = −2,1445 b) sin 885° = sin 165° = sin 15° = 0,2588 cos 885° = cos 165° = −cos 15° = −0,9659 tg 885° = tg 165° = −tg 15° = −0,2679 c) sin 1.130° = sin 50° = 0,766 cos 1.130° = cos 50° = 0,6428 tg 1.130° = tg 50° = 1,1917 d) sin 695° = sin 335° = −sin 25° = −0,4226 cos 695° = cos 335° = cos 25° = 0,9063 tg 695° = tg 335° = −tg 25° = 0,4663 e) sin 1.215° = sin 135° = sin 45° =
2 2
cos 1.215° = cos 135° = −cos 45° = − tg 1.215° = tg 135° = −tg 45° = −1
2 2
f) sin 985° = sin 265° = −sin 85° = −0,9962 cos 985° = cos 265° = −cos 85° = −0,0872 tg 985° = tg 265° = tg 85° = 11,4301
9
Trigonometria 015
Si saps que sin α = a) sin (90° −α) a)
1 , calcula: 5 b) sin (180° −α)
c) sin (−α)
1 = sin α = cos (90° − α) 5 Substituïm a l’expressió per calcular sin (180° − α): cos2 (90° − α) + sin2 (90° − α) = 1; sin (90° − α) = 1−
b) sin (180° − α) = sin α = c) sin (−α) = −sin α = −
016
1 2 6 = 25 5
1 5
1 5
Si sin 18° = 0,309 i cos 18° = 0,951; calcula: a) sin 72°
b) cos 162°
c) tg (−72°)
a) sin 72° = sin (90° − 18°) = cos 18° = 0,951 b) cos 162° = cos (180° − 18°) = −cos 18° = −0,951 c) tg (−72°) = −tg 72° = −tg (90° − 18°) = =−
017
1 cos 18° 0,951 =− =− = −3,0777 tg 18° sin 18° 0,309
Indica com són els angles αi β si compleixen les igualtats següents: b) cos α= cos β c) sin α= sin β a) sin α= cos β a) Els angles són complementaris. b) Els angles són oposats. c) Els angles són suplementaris.
018
A partir de les raons de 30° i 45°, calcula les raons trigonomètriques de 75° i de 22,5°. sin 75° = sin (30° + 45°) = sin 30° ⋅ cos 45° + cos 30° ⋅ sin 45° = =
1 2 3 2 ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2
2+ 6 = 0,97 4
cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° ⋅ cos 45° − sin 30° ⋅ sin 45° = =
3 2 1 2 ⋅ − ⋅ = 2 2 2 2
6− 2 = 0,26 4
3 +1 3 = = 3,73 tg 75° = tg (30° + 45°) = 1 + tg 30° ⋅ tg 45° 3 1− ⋅1 3 tg 30° − tg 45°
45° sin 22,5° = sin =± 2
10
1− cos 45° 2
1− =±
2
2 2 = ± 0,38
SOLUCIONARI
=±
2 1− cos 45°
45° tg 22,5° = tg =± 2
019
1+
1 + cos 45°
45° cos 22,5° = cos =± 2
1 + cos 45°
2
4
2 2 = ± 0,92
2 2 2 1+ 2
1− =±
= ± 0,41
Expressa en funció de tg a, les raons trigonomètriques de sin 2α i cos 2α. cos α = sin α tg α
2 sin2 α sin2 α = 1− cos2 α 2(1− cos2 α ) → = tg α tg α 2 1 2− cos2 α = 2 tg α 2 − 2 cos2 α 1+ tg2 α 1 + tg2 α → = = 1 + tg2 α tg α tg α
sin 2α = 2 sin α cos α →
sin2 α = 1− cos2 α
cos 2α = cos2 α − sin2 α → cos2 α − (11− cos2 α) = 1 1 + tg2 α
cos2 α = 2
= −1 + 2 cos α → − 1 +
020
2 1 + tg2 α
Resol les equacions trigonomètriques següents en l’interval [0°, 360°]. a) 5 sin x = 2
b) 7 cos x = −1
c) 5 tg x = 12
d) 2 tg x = 2
x = 23° 34' 41,44" 2 → 1 x 2 = 156° 25' 18,56" 5 x = 98° 12' 47,56" 1 b) 7 cos x = −1 → cos x = − → 1 x 2 = 261° 47' 12,44" 7 a) 5 sin x = 2 → sin x =
12 x = 67° 22' 48,49" → 1 x 2 = 247° 22' 48,49" 5 x = 45° d) 2 tg x = 2 → tg x = 1 → 1 x 2 = 225° c) 5 tg x = 12 → tg x =
021
Resol aquestes equacions trigonomètriques i simplifica’n el resultat. a) sin 2x = 1
b) cos x + cos 2x = 0
a) sin 2x = 1 → 2x = 90° + 360° ⋅ k → x = 45° + 180° ⋅ k b) cos x + cos 2x = 0 → cos x + 2 sin x cos x = 0 → cos x(1 + 2 sin x) = 0 x = 90° + 360° ⋅ k cos x = 0 → x = 270° + 360° ⋅ k 1 + 2 sin x = 0 → sin x = −
x = 210° + 360° ⋅ k 1 → x = 330° + 360° ⋅ k 2
11
Trigonometria 022
En un triangle rectangle l’angle recte del qual ésA,$sabem que b = 30 m i c = 25 m. Resol el triangle. Apliquem el teorema de Pitàgores per calcular la hipotenusa: 302 + 252 = 1.525 = 39,05 m
h=
Utilitzem una de les raons trigonomètriques per calcular un dels angles aguts: b 30 = = = 0, 7682 →B $= 50° 11' 40" sinB $ a 39,05 Fem servir la relació d’angles complementaris per trobar el tercer angle: C$ = 90° − 50° 11' 40" = 39° 48' 20" 023
D’un triangle rectangle ABC, sabem que C$ = 62° i que la hipotenusa a fa 1 m. Troba’n els elements. Apliquem la relació d’angles complementaris per calcular el tercer angle: B $= 90° − 62° = 28° Utilitzem una de les raons trigonomètriques per trobar un altre dels costats: b b = = → b = sin 28° = 0,4695 m sinB $ a 1 Apliquem el teorema de Pitàgores per determinar el tercer costat: c = 12 − 0,46952 = 0,8829 m
024
Calcula b i c en aquests triangles. a)
b)
C 88°
b
C A
14 cm
b 44° 18 cm
B 55°
c
c
A
86°
B
a) B $= 180° − 88° − 55° = 37° a sinA $ a sinA $
= =
b sinB $ b sinB $
= =
c
→
14 b = → b = 10,29 cm sin 37° sin 55°
→
c 14 = → c = 17,08 cm sin 88° sin 55°
sinC $ c sinC $
$ 180° − 44° − 86° = 50° b)C = Apliquem el teorema del sinus com a l’apartat anterior i tenim que: b = 25,85 cm 025
c = 19,85 cm
Raona si és possible que en un triangle es verifiquin aquestes igualtats. b c a= a= sinB $ sinC $ És possible si el triangle és rectangle, perquè aleshoresA $= 90° i sinA $= 1.
12
SOLUCIONARI
026
4
Si el triangle ABC és rectangle i la hipotenusa és a. a) Aplica el teorema del cosinus a l’angle recteA.$ b) En aquest cas, en quin teorema es transforma el teorema del cosinus? a) a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos 90° = b 2 + c 2 b) Es transforma en el teorema de Pitàgores.
027
Decideix si les mesures següents corresponen a les longituds dels costats d’un triangle, i indica si és acutangle, rectangle o obtusangle. a) 12, 11 i 9 cm b) 23, 14 i 8 cm c) 26, 24 i 10 cm d) 40, 30 i 20 m a) a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ cosA $→ 122 = 112 + 92 − 2 ⋅ 11 ⋅ 9 ⋅ cosA $ → cosA $= 0,2929 →A $= 72° 57' 59,7" → El triangle és acutangle. b) Les mesures no formen un triangle, ja que la suma dels costats menors és més petita que el costat més gran. c) a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ cosA $→ 262 = 242 + 102 − 2 ⋅ 24 ⋅ 10 ⋅ cosA $ → cosA $= 0 →A $= 90° → El triangle és rectangle. 2 2 2 2 $ → 40 = 302 + 202 − 2 ⋅ 30 ⋅ 20 ⋅ cosA $ d) a = b + c − 2bc ⋅ cosA $ → cosA = −0,25 →A $= 104° 28' 39" → El triangle és obtusangle.
028
En una construcció, dues bigues de 10 m estan soldades pels extrems i formen un triangle amb una altra biga de 15 m. Troba els angles que formen entre elles. Anomenem a = 15 m, b = 10 m i c = 10 m. Utilitzem el teorema del cosinus per obtenir dos dels angles: a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ cosA $→ 152 = 102 + 102 − 2 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ cosA $ A $= 97° 10' 50,7" b2 = a2 + c2 − 2ac ⋅ cosB $→ 102 = 152 + 102 − 2 ⋅ 15 ⋅ 10 ⋅ cosB $ B $= 41° 24' 34,6" Apliquem la propietat que la suma dels angles d’un triangle és igual a 180°, per calcular el tercer angle: A $+B $+C $ = 97° 10' 50,7" + 41° 24' 34,6" +C $ = 180° →C $ = 41° 24' 34,6"
029
En un romboide, els costats fan 5 cm i 8 cm i una de les diagonals fa 10 cm. Calcula la mesura dels seus quatre angles. Anomenem a = 5 cm, b = 8 cm i c = 10 cm. Utilitzem el teorema del cosinus per obtenir dos dels angles: a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ cosA $→ 52 = 82 + 102 − 2 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ cosA $ A $= 29° 41' 10,7" b2 = a2 + c2 − 2ac ⋅ cosB $→ 82 = 52 + 102 − 2 ⋅ 5 ⋅ 10 ⋅ cosB $ B $= 52° 24' 37,8" Apliquem la propietat que la suma dels angles d’un triangle és igual a 180°, per calcular el tercer angle: A $+B $+C $ = 29° 41' 10,7" + 52° 24' 37,8" +C $ = 180° →C $ = 97° 54' 11,5"
13
Trigonometria 030
Resol el triangle, si saps que dos dels seus costats fan 14 cm i 18 cm, respectivament, i que l’angle oposat a un d’aquests costats mesura 70°. Dibuixa el triangle. Apliquem el teorema del sinus per calcular l’angle oposat al costat conegut: a b 14 18 c = = → = →B $= 46° 57' 34,4" $ $ $ sinA $ sinB sinB sin 70° sinC Apliquem la propietat que la suma dels angles d’un triangle és igual a 180°, per calcular el tercer angle: A $+B $+C $ = 180° →A $ + 46° 57' 34,4" + 70° = 180° →A $ = 63° 2' 25,6" Utilitzem el teorema del sinus per calcular el tercer costat: a 18 a b c → = → a = 17,07 cm = = $ $ sin 63 ° 2 ' 25 , 6 " sin 70° sinA $ sinB sinC
C$ a
b
A$
B$ c
031
En resoldre el triangle amb a = 4 m, c = 6 mAi $= 25°, obtenim com a solucions dos triangles obtusangles. Comprova que aquestes solucions són possibles i dibuixa-les. Apliquem el teorema del sinus per calcular l’angle oposat al costat conegut: = 39° 20' 25,7" a b 4 6 c C $ = = → = → $ $ $ $ $ C = 140° 39' 34" sinA sinB sinC sin 25° sinC Apliquem la propietat que la suma dels angles d’un triangle és igual a 180°, per calcular el tercer angle: = 180° → 25° +B $+ 39° 20' 25,7" = 180° →B $= 115° 39' 34" 1a solució:A $+B $+C $ 2a solució:A $+B $+C $ = 180° → 25° +B $+ 140° 39' 34" = 180° →B $= 14° 20' 26" Ustilitzem el teorema del sinus per calcular el tercer costat: a
1a solució:
sinA $ a
2a solució:
sinA $
b
=
sinB $ b
=
sinB $
= =
c
→
b 4 = → b = 8, 53 m sin 115° 39' 34" sin 25°
→
b 4 = → b = 2, 34 m sin 14° 20' 26" sin 25°
sinC $ c sinC $
b c
c a a
14
b
SOLUCIONARI
032
Transforma aquests angles en graus o radians, segons que correspongui. a) 225°
d) −1,5 rad
g) −270°
j) 0,3 rad
b) 75°
e) 2 rad
h) 140° 40'
k) 120°
c) 160°
f ) 540°
i)
5π rad 4 5π b) rad 12 8π c) rad 9 a)
033
π rad 3 π rad 2
m) 264° 25' 7π rad n) 2 −6π rad ñ) 5
l) 315°
d) 85° 56' 37,2"
g)
e) 114° 35' 30"
h) 2,46 rad
k)
f) 3π rad
i) 60°
l)
j) 17° 11' 19,44" 2π rad 3 7π rad 4
m) 4,61 rad n) 630° ñ) 144°
$i $que verifiquin que: Dibuixa tres angles agutsA,B$C, sinA$=
1 3
cosB $=
4 5
tg C$ = 3,4
17 cm
5 cm
3 cm 1 cm
C$
B$ 4 cm
A$
034
4
5 cm
Dibuixa dues rectes perpendiculars a un dels costats d’aquest angle de manera que es formin dos triangles rectangles. Mesura els costats dels dos triangles i verifica que les raons de l’angleA$ són idèntiques en tots dos.
A$
Resposta oberta:
cm 7,5 m 5c
4,5 cm 3 cm
A$ 4 cm 6 cm
= sinA $
3 4,5 = = 0,6 5 7,5
= cosA $
4 6 = = 0,8 5 7,5
= tgA $
3 4,5 = = 0,75 4 6
15
Trigonometria 035
Sense fer servir la calculadora, comprova si les igualtats següents són certes o no. a) sin 30° + sin 45° = sin 75° b) cos 90° −cos 30° = cos 60° c) tg 60° = 2 tg 30° d) sin 60° = 2 sin 30° cos 30° cos 90° e) cos 45° = 2 f ) cos 60° = cos2 30° −sin2 30° a) Falsa sin 75° = sin (30° + 45°) = sin 30° ⋅ cos 45° + cos 30° ⋅ sin 45° Þ sin 30° + sin 45° b) Falsa cos 60 ° = cos (90° − 30°) = cos 90° ⋅ cos 30° − sin 90° ⋅ sin 30° Þ cos 90° − cos 30° c) Falsa tg 60° = tg (2 ⋅ 30°) =
2 tg 30° Þ 2 tg 30° 1− tg2 30°
d) Certa sin 60° = sin (2 ⋅ 30°) = 2 sin 30° ⋅ cos 30° e) Falsa cos 45° = cos
90° 1− cos 90° cos 90° =± Þ 2 1 + cos 90° 2
f) Certa cos 60° = cos (2 ⋅ 30°) = cos2 30° − sin2 30° 036
Els anglesA,B$C$i $ són aguts. Sense determinar-los, completa la taula següent. Sinus $ sinA = 0,5602 $ 0,9828 sin B= sin C$ = 0,6616
Cosinus cosA $= 0,8284
Tangent tg A$ = 0,6763
cosB $= 0,1849 $ 0,3384 cos C=
$ 5,3151 tg B= $ tg C = 2,7804
0,56022 + cosA2 $= 1 → cosA $= 1− 0,56022 = 0,8284 tgA $=
0,5602 = 0,6763 0,8284
sinB2 $ + 0,18492 = 1 → sinB $ = 1− 0,18492 = 0,9828 tgB $ =
0,5602 = 0,6763 0,8284
1 = 0,3384 1 + 2,7804 2 sinC2 $ + 0,33842 = 1 → sinC $ = 1− 0,3384 2 = 0,6616 cosC $ =
16
SOLUCIONARI
037
4
Amb la calculadora, determina els angles aguts que compleixen: a) cosA$= 0,3453 b) tgB $= 2,3688
e) tgE $ = 0,3554 f ) sinF $ = 0,0968
C$ = 1,9044 c) cosec $ D = 0,9726 d) cos
g) sin G $= 0,2494 h) cotg H $= 2,5
a) cosA $= 0,3453 →A $= 69° 47' 59,6" b) tgB $= 2,3688 →B $ = 67° 6' 45,84" c) cosecC $ = 1,9044 → sinC $ = 0,5251 →C $ = 31° 40' 29,9" $ $ d) cosD = 0,9726 →D = 13° 26' 36,3" e) tgE $ = 0,3554 →E $ = 19° 33' 54,8" f ) sinF $ = 0,0968 →F $ = 5° 33' 17,75" g) sinG $= 0,2494 →G $= 14° 26' 31,2" h) cotgH $= 2,5 → tgH $= 0,4 H→$=$21° 48' 5,07"
038
Determina les raons següents: a) sin 19° 22' 37"
e) sec 54° 28'
b) cos 44° 52'
f ) cosec π
c) cos 1,03 2π d) sin 5
g) tg 83° 41' 57" h) sin 37° 25"
π 8 j) cos 0,845 i) tg
k) cotg 35° 40' π l) sec 6
a) sin 19° 22' 37" = 0,3318 b) cos 44° 52' = 0,7088 c) cos 1,03 = 0,5148 2π = 0,9511 5 e) sec 54° 28' = 1,7206
d) sin
f ) No està definida. g) tg 83° 41' 57" = 9,0567 h) sin 37° 25" = 0,6019 π = 0,4142 8 j) cos 0,845 = 0,6637
i) tg
k) cotg 35° 40' = 1,3934 l)
sec
π = 1,1547 6
17
Trigonometria 039
Resol els triangles rectangles corresponents, considerant queA$és l’angle recte. a) b = 7 m,B $= 48° d) a = 6 cm, C$ = 42° 12' b) c = 12 m,B $= 28°
e) b = 3 m, c = 6 m
c) a = 13 m, c = 5 m
f ) b = 8 m, a = 10 m
a) Apliquem la relació d’angles complementaris per calcular el tercer angle: C$ = 90° − 48° = 42° Fem servir una de les raons trigonomètriques per trobar un altre dels costats: b sinB $
=
a
→
sinA $
7 = a → a = 9,42 m sin 48°
Apliquem el teorema de Pitàgores per obtenir el tercer costat: 9,422 − 72 = 6,3 m
c=
b) Apliquem la relació d’angles complementaris per trobar el tercer angle: C$ = 90° − 28° = 62° Fem servir una de les raons trigonomètriques per obtenir un altre dels costats: b sinB $
=
c
→
sinC $
b 12 → b = 6,38 m = sin 28° sin 62°
Apliquem el teorema de Pitàgores per trobar el tercer costat: a = 122 + 6,382 = 13,59 m c) Apliquem el teorema de Pitàgores per calcular el tercer costat: b = 132 − 52 = 12 m sinB $=
12 →B $= 67° 22' 48,5" 13
sinC $=
5 →C $ = 22° 37' 11,5" 13
d) Apliquem la relació d’angles complementaris per obtenir el tercer angle: $ 90° − 42° 12' = 47° 48' B= Fem servir una de les raons trigonomètriques per trobar un altre dels costats: b sinB $
=
a sinA $
→
b = 6 → b = 4,44 m sin 47° 48'
Apliquem el teorema de Pitàgores per obtenir el tercer costat: c=
62 − 4,44 2 = 4,04 m
e) Apliquem el teorema de Pitàgores per trobar el tercer costat:
18
a=
32 + 62 = 6,71m
sinB $=
3 →B $= 26° 33' 26,6" 6,71
sinC $=
6 →C $ = 63° 26' 33,4" 6,71
SOLUCIONARI
4
f ) Apliquem el teorema de Pitàgores per calcular el tercer costat: c = 102 − 82 = 6 m 8 sinB $= →B $= 53° 7' 48,37" 10 6 sinC $= →C $ = 36° 52' 11,63" 10 040
Si ens situem a 40 metres de la xemeneia d’una fàbrica, la veiem sota un angle de 26°. Quina altura té? Considera que els ulls de l’observador estan situats a 175 cm del terra. a tg 26° = → a = 19,51m 40 19,51 + 1,75 = 21,26 m L’altura de la xemeneia és de 21,26 m.
041
Una barca està lligada a la vora d’un canal amb una corda que fa 8 metres. En un determinat moment, aquesta corda forma un angle de 38° amb la vora. A quina distància de la vora està la barca? b → b = 4,93 m 8 La barca està a 4,93 m de la vora.
sin 38° =
042
Les bases d’un trapezi isòsceles mesuren 8 cm i 14 cm, i els costats iguals, 5 cm. Calcula la mesura dels angles del trapezi. 3 →B $= 53° 7' 48,37" 5 C$ = 90° − 53° 7' 48,37" = 36° 52' 11,63" $ D = 90° + 36° 52' 11,6" = 126° 52' 11,63" sinB $=
043
B$
B$ 3 cm
Quin angle formen entre si les diagonals d’un rectangle de 10 cm de base i 6 cm d’altura? Trobem la longitud de la diagonal aplicant el teorema de Pitàgores: d = 102 + 62 = 136 = 11,66 cm Calculem l’angle oposat al costat de 6 cm, en el triangle isòsceles que té per costats iguals la meitat de la diagonal: 5,832 = 5,832 + 62 − 2 ⋅ 5,83 ⋅ 6 ⋅ cosA $→A $= 59° 1' 50,27" L’angle que formen entre si les diagonals del rectangle és 59° 1' 50,27".
19
Trigonometria 044
Un pentàgon regular està inscrit en una circumferència de 20 cm de radi. Determina la mesura del costat del pentàgon. El pentàgon regular es pot dividir en cinc triangles isòsceles. 360° Calculem l’angle central: = 72° 5 L’angle central mesura 72°. Trobem la resta dels angles del triangle: 180° = 72° + 2A $→A $= 54° Apliquem el teorema del sinus: b 20 b a → = → b = 23,51 cm = $ $ sin 72 ° sin 54° sinB sinA El costat mesura 23,51 cm.
045
Calcula la longitud del costat d’un dodecàgon regular circumscrit en una circumferència de radi 6 cm. El dodecàgon regular es divideix en 24 triangles rectangles. 360° Calculem l’angle central: = 15° 24 L’angle central fa 15°. Apliquem el teorema del sinus: b b a → = 6 → b = 1,55 cm = $ $ sin 15° sinB sinA El costat fa 3,1 cm.
046
La taula mostra raons trigonomètriques d’angles de quadrants diferents. Sense determinar-los, completa-la amb les raons que falten. sin
cos
tg
Segon
Quadrant
0,6702
−0,7422
−0,903
Tercer
0,8911
−0,4539
−1,9631
Quart
0,8016
−0,5979
−0,7459
Tercer
−0,7822
Segon
0,8849
−0,4657
−1,9004
Quart
−0,7158
0,6983
−1,0251
−0,623
0,67022 + cosA2 $= 1 → cosA $= 1− 0,67022 = −0,7422 tgA $=
0,6702 = −0,903 −0,7422
sinB2 $ + (−0,4539)2 = 1 → sinB $ = 1− 0,45392 = 0,8911 tgB $ =
20
0,8911 = −1,9631 −0,4539
1,2555
SOLUCIONARI
cosC $ =
4
1 = 0,8016 1 + (−0,7459)2
sinC2 $ + 0,80162 = 1 → sinC $ = 1− 0,80162 = −0,5979 (−0,7822)2 + cosD2 $= 1 → cosD $= 1− 0,78222 = −0,623 tgD $=
−0,7822 = 1,2555 −0,623
$ cosE =
1 = −0,4657 1 + (−1,9004)2
$ (−0,4657)2 = 1 → sinE = $ 1− 0,46572 = 0,8849 sinE2 + $ 0,69832 = 1 → sinF = $ 1− 0,69832 = −0,7158 sinF2 + $ tgF =
047
−0,7158 = −1,0251 0,6983
Sense utilitzar la calculadora, determina. π 3π − 2 cos 2 2 d) cos 2π − sin 2π
c) tg 2π − sin
a) sin π − tg π + 2 cos π π 3π − sin b) cos 2 2 a) sin π − tg π + 2 cos π = 0 −
0 + 2 ⋅ 1= 2 1
π 3π − sin = 0 − 1 = −1 2 2 π 3π 0 c) tg 2π − sin − 2 cos = − 1− 2 ⋅ 0 = −1 2 2 1 d) cos 2π − sin 2π = 1 − 0 = 1
b) cos
048
049
Completa, sense emprar la calculadora, els valors del sinus dels angles següents. −π 6
0
π 4
π 3
π 2
π
1 2
0
2 2
3 2
1
0
2π
5π 2
3π
7π 2
4π
9π 2
5π
0
1
0
−1
0
1
0
−π
−π 2
0
−1
3π 2 −1
−
Completa, sense fer servir la calculadora, els valors del cosinus dels angles següents. −π
−π 2
−π 6
0
π 4
π 3
π 2
π
−1
0
3 2
1
2 2
1 2
0
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
4π
9π 2
5π
0
1
0
−1
1
0
−1
7π 2 0
21
Trigonometria 050
051
Completa, sense emprar la calculadora, els valors de la tangent dels angles següents. −60°
−45°
− 3
−1
120°
135°
− 3
−1
−30°
0°
30°
45°
60°
90°
3 3
0
3 3
1
3
No definit
180°
210°
225°
240°
270°
0
3 3
1
3
No definit
−
150° −
3 3
Amb la calculadora, troba aquestes raons: a) sin 319° 12' 52"
e) cosec 200° 16'
b) cos 434° 26'
f ) sec
c) tg 7,03 d) sin
8π 5
5π 4 g) tg 183° 13' 53"
h) sin 333° 55"
g) tg 183° 13' 53" = 0,0565
b) cos 434° 26' = 0,2684
h) sin 333° 55" = −0,4538 11π i) tg = 2,4142 8 j) cos 3,845 = −0,7626
8π = −0,9511 5 e) cosec 200° 16' = −2,8869 d) sin
f ) sec
5π = −1,4142 4
11π = −1,7321 6 l) cosec 5,24 = −1,1574
k) cotg
Redueix els angles al 1r quadrant i calcula aquestes raons. a) b) c) d)
sin 131° cos 334° 46' tg 146° 22" cosec 122° 53' a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
22
11π 6 l) cosec 5,24 k) cotg
a) sin 319° 12' 52" = −0,6532
c) tg 7,03 = 0,9257
052
11π 8 j) cos 3,845 i) tg
e) f) g) h)
sec 156° 23' 6" tg 238° 24' sin 302° 15" cos 192° 21' 32"
sin 131° = sin 49° = 0,7547 cos 334° 46' = cos 25° 14' = 0,9046 tg 146° 22" = −tg 33° 59' 38" = −0,6744 cosec 122° 53' = cosec 57° 7' = 1,1908 sec 156° 23' 6" = −sec 23° 36' 54" = −1,0914 tg 238° 24' = tg 58° 24' = 1,6255 sin 302° 15" = −sin 57° 45' = −0,8480 cos 192° 21' 32" = −cos 12° 21' 32" = −0,9767 cotg 295° 12' 45" = −cotg 64° 47' 15" = −0,4708 sec 203° 36' 54" = −sec 23° 36' 54" = −1,0914
i ) cotg 295° 12' 45" j ) sec 203° 36' 54"
SOLUCIONARI
053
4
A la circumferència goniomètrica, dibuixa i troba amb l’ajut de la calculadora. a) Dos angles el sinus dels quals valgui 0,36. b) Dos angles la tangent dels quals valgui −3,54. a) sin α = 0,36 α1 = 21° 6' 0,706" α2 = 158° 53' 59,2"
α2 α1
b) tg β = −3,54 β1 = 285° 46' 27" β2 = 105° 46' 27"
β2 β1
054
055
Troba els angles següents: a) arc cos 0,4539
d) arc cos (−0,3996)
g) arc sin 0,6862
b) arc sin 0,9284
e) arc tg 2,1618
h) arc sin (−0,3308)
c) arc tg (−0,5459)
f ) arc cos (−0,2926)
a) arc cos 0,4539 = 63° 20,95"
e) arc tg 2,1618 = 65° 10' 32,9"
b) arc sin 0,9284 = 68° 11' 12,3"
f ) arc cos (−0,2926) = 107° 49,2"
c) arc tg (−0,5459) = 331° 22' 12"
g) arc sin 0,6862 = 43° 19' 48,2"
d) arc cos (−0,3996) = 113° 33' 11"
h) arc sin (−0,3308) = 340° 40' 58"
Conegudes les raons de 30°, 45° i 60°, troba, sense emprar la calculadora, les raons de 120°, 225°, 240° i 300°. sin 120° = sin 60° =
3 2
cos 120° = −cos 60° = −
1 2
tg 240° = tg 60° = 3
tg 120° = −tg 60° = − 3 sin 225° = −sin 45° = − cos 225° = −cos 45° = − tg 225° = tg 45° = 1
3 2 1 cos 240° = −cos 60° = − 2 sin 240° = −sin 60° = −
2 2 2 2
sin 300° = −sin 60° = −
3 2
1 2 tg 300° = −tg 60° = − 3
cos 300° = cos 60° =
23
Trigonometria 056
Determina l’angle αdel 1r quadrant les raons trigonomètriques del qual verifiquen: sin α= sin 249° 31'
cos α= cos 249° 31'
tg α= tg 249° 31'
Troba’n les raons trigonomètriques. sin α = sin 249° 31' = 0,9368 → α = 69° 31' cos α = cos 249° 31' = 0,3499 → α = 69° 31' tg α = tg 249° 31' = 2,6770 → α = 69° 31' 057
Quin angle del 3r quadrant té el mateix cosinus que 132° 24' 18"? Amb la calculadora, troba les raons d’aquests dos angles i compara-les. L’angle del 3r quadrant que té el mateix cosinus que 132° 24' 18" és 227° 35' 42". cos 132° 24' 18" = cos 227° 35' 42" = −0,6744 sin 132° 24' 18" = −sin 227° 35' 42" = 0,7384 tg 132° 24' 18" = −tg 227° 35' 42" = −1,0949
058
Quin angle del 2n quadrant té la mateixa tangent que 337° 54' 29"? Amb la calculadora, troba les raons d’aquests dos angles i compara-les. L’angle del 2n quadrant que té la mateixa tangent que 337° 54' 29" és 157° 54' 29". cos 337° 54' 29" = −cos 157° 54' 29" = 0,9266 sin 337° 54' 29" = −sin 157° 54' 29" = −0,3761 tg 337° 54' 29" = tg 157° 54' 29" = −0,4059
059
Si saps que sin α= 0,23 i que αés un angle agut, determina les raons trigonomètriques: a) b) c) d) e) f)
cos α tg α tg (−α) cos (180° − α) sin (180° + α) sin (720° + α) a) 0,232 + cos2 α = 1 → cos α = 1 − 0, 232 = 0,9732 b) tg α = c) d) e) f)
24
0, 23 = 0,2363 0, 9732
tg (−α) = −tg α = −0,2363 cos (180° − α) = −cos α = −0,9732 sin (180° + α) = −sin α = −0,23 sin (720° + α) = sin α = 0,23
4
SOLUCIONARI
060
A
En aquesta circumferència, calcula la mesura º. del segment AB i de l’arc de circumferència AB 30°
Com que l’angleA $ = 90°, l’angleB $ = 90° − 30° = 60°.
B
8 cm
AB → AB = 4 cm 8 El segment AB fa 4 cm. sin 30° =
º Com que l’angle de 30° és inscrit, l’angle central que comprèn l’arc AB mesura 60°. Calculem la longitud d’un arc de 60° en una circumferència de 4 cm de radi: º = 2π · 4 · 60° = 4π = 4,19 cm AB 360° 3
º fa 4,19 cm. L’arc AB 061
Troba les raons trigonomètriques d’aquests angles. 3π 3π a) π <γ < , cos γ = −0,54 b) < δ < 2π, sin δ = 0 2 2 a) sin2 γ + (−0, 54)2 = 1 → sin γ = − 1 − (−0, 54)2 = −0, 8417 −0, 8417 tg γ = = 1, 5587 −0, 54 b) No hi ha cap angle amb aquestes condicions, ja que si sin δ = 0, aleshores δ = 2kπ.
062
Calcula l’àrea d’aquest triangle.
46°
37° 25 m
L’altura sobre el costat conegut divideix el triangle inicial en dos triangles rectangles. Apliquem la definició de tangent en els angles coneguts i formem un sistema d’equacions.
h 46°
37° x
25 · tg 46° → h = x · tg 37° →x= = 14,47 m h → h = (25 − x) · tg 46° tg 37° + tg 46° tg 46° = 25 − x h tg 37° = x
h = 14,47 ? tg 37° = 10,9 m L’altura del triangle fa 10,9 m. 25 · 10, 9 = 136,3 m2 Calculem l’àrea: A = 2 L’àrea del triangle fa 136,3 m2.
25
Trigonometria 063
Resol els triangles següents. a) b) c) d)
a = 10 cm, b = 14 cm, c = 8 cm b = 6 cm, c = 9 cm,A $= 39° 12' a = 7 cm,B $ = 38° 49',C $= 66° 40' a = 8 cm, b = 10 cm,B $ = 36° 38'
e) f) g) h)
a = 2,1 cm; b = 1,4 cm; c = 1,8 cm a = 9 cm, c = 5 cm,B $ = 103° 27' b = 8,3 cm; c = 9,1 cm;C $= 112° 50' c = 6 cm,A $= 27° 42',B $ = 98° 20'
a) Apliquem el teorema del cosinus: −a 2 + b 2 + c 2 −100 + 196 + 64 = a2 = b2 + c2 − 2bc ? cosA $ → cosA $ = = 2bc 2 · 14 · 8 = 0,7143 A$ = 44° 24' 55,1" −b 2 + a 2 + c 2 −196 + 100 + 64 = b2 = a2 + c2 − 2ac ? cosB $ → cosB $ = = 2ac 2 · 10 · 8 = −0,2 B$ = 101° 32' 13" $ C = 180° − 44° 24' 55,1" − 101° 32' 13" = 34° 2' 51,85" b) Apliquem el teorema del cosinus: a2 = b2 + c2 − 2bc ? cosA $ → a2 = 62 + 92 − 2 ? 6 ? 9 ? cos 39° 12' → a = 5,77 cm −b 2 + a 2 + c 2 −36 + 33, 3 + 81 = b2 = a2 + c2 − 2ac ? cosB $ → cosB $ = = 2ac 2 · 5, 77 · 9 = 0,7534 B$ = 41° 4' 14,51" →C $ = 180° − 39° 12' − 41° 4' 14,51" = 99° 43' 45,49" c) A $ = 180° − 38° 49' − 66° 40' = 74° 31° Apliquem el teorema del sinus: b a b 7 = → = → b = 4,55 cm $ $ sinB sinA sin 38° 49' sin 74° 31' c sinC $
=
a sinA $
→
c
=
sin 66° 40'
7
→ c = 6,67 cm
sin 74° 31'
d) Apliquem el teorema del sinus: b a 10 8 = → = → sinA $ = 0,4774 sinB $ sinA $ sin 36° 38' sinA $ A$ = 28° 30' 45,7" C$ = 180° − 36° 38' − 28° 30'45,7" = 114° 51' 14,3" c a c 8 = → = → c = 15,21 cm sin 28° 30' 45,7" sinC $ sinA $ sin 114° 51' 14,3" e) Apliquem el teorema del cosinus: −a 2 + b 2 + c 2 −4, 41 + 1, 96 + 3, 24 = a2 = b2 + c2 − 2bc ? cos A$ → cos A$ = = 2bc 2 · 1, 4 · 1, 8 = 0,1567 A$ = 80° 58' 54,9" 2 2 2 $ cosB = $ −b + a + c = −1, 96 + 4, 41 + 3, 24 = b2 = a2 + c2 − 2ac ? cosB → 2ac 2 · 2,1 · 1, 8 = 0,7606 B$ = 40° 29' 4,08" C$ = 180° − 40° 29' 4,08" = 58° 32' 1,02"
26
SOLUCIONARI
4
f ) Apliquem el teorema del cosinus: b2 = a2 + c2 − 2ac ? cosB $ → b = 81 + 25 − 90 · cos 103° 27 ' = 11,27 cm Aplicamos el teorema del seno: b a 11,27 9 = → = → sinA $ = 0,7767 $ $ sinB sinA sin 103° 27' sinA $ A$ = 50° 57' 26,6" →C $ = 180° − 50° 57' 26,6" − 103° 27' = 25° 35' 33,4" g) Apliquem el teorema del sinus: c b 9,1 8,3 = → = → sinB $ = 0,8406 $ $ sinC sinB sin 112° 50' sinB $ B$ = 57° 12' 18,2" →A $ = 180° − 112° 50' − 57° 12' 18,2" = 9° 57' 41,8" a=
9,1⋅ sin 91° 57' 41,8" = 1, 71 cm sin 112° 50'
h)C $ = 180° − 27° 42' − 98° 20' = 53° 58' Apliquem el teorema del sinus: c a 6 a = → = → a = 3,45 cm $ $ sinC sinA sin 27° 42' sin 53° 58' c sinC $ 064
=
b sinB $
→
6 sin 53° 58'
b
=
→ b = 7,34 cm
sin 98° 20'
Troba les solucions per a aquests triangles. a) a = 12 cm, b = 7 cm, c = 6 cm b) a = 8 cm, c = 9 cm,A $= 42° 55' c) a = 10 cm, c = 9 cm,A $= 72° 55'
d) b = 6 cm; c = 4,5 cm;C $= 38° 26' e) c = 12 cm,A $= 92°,B $ = 26° 28' f ) a = 11 cm, b = 12 cm,A $= 27° 36'
a) Apliquem el teorema del cosinus: −a 2 + b 2 + c 2 −144 + 49 + 36 = cosA $ = = −0,7024 2bc 2·7·6 A$ = 134° 37' 6" −b 2 + a 2 + c 2 −49 + 144 + 36 = cosB $ = = 0,9097 2ac 2 · 12 · 6 B$ = 24° 31' 58,8" $ C = 180° − 24° 31' 58,8" − 134° 37' 6" = 20° 50' 55,2" b) Apliquem el teorema del sinus: c a 9 8 = → = → sinC $ = 0,7661 $ $ $ sinC sin 42° 55' sinC sinA C$ = 50° 2" B$ = 180° − 42° 55' − 50° 2" = 87° 4' 58" b a b 8 = → = → b = 11,73 cm sin 42° 55' sinB $ sinA $ sin 87° 4' 58" c) Apliquem el teorema del sinus: c a 9 10 = → = → sinC $ = 0,8603 sinC $ sinA $ sinC $ sin 72° 55' C$ = 59° 20' 57,2" B$ = 180° − 59° 20' 57,2" − 72° 55' = 47° 44' 2,76" b a b 10 = → = → b = 7,74 cm sinB $ sinA $ sin 47° 44' 2,76" sin 72° 55'
27
Trigonometria d) Apliquem el teorema del sinus: c b 4,5 6 $ 0,8288 = → = → sinB = $ $ sinC sinB sin 38° 26' sinB $ B$ = 55° 58' 34,2" A$ = 180° − 55° 58' 34,2" − 38° 26' = 85° 35' 25,8" c a 4,5 a = → = → a = 7,22 cm $ $ sin 38° 26' sinC sinA sin 85° 35' 25,8" = 180° − 92° − 26° 28' = 61° 32' e)C $ Apliquem el teorema del sinus: c b 12 b = → = → b = 6,08 cm $ $ sinC sinB sin 26° 28' sin 61° 32' c a 12 a = → = → a = 13,64 cm sinC $ sinA $ sin 92° sin 61° 32' f) Apliquem el teorema del sinus: b a 12 11 $ 0,5054 = → = → sinB = $ $ $ sinB sin 27° 36' sinB sinA B$ = 30° 21' 31,8" C$ = 180° − 30° 21' 31,8" − 27° 36' = 122° 2' 28,2" c a c 11 = → = → c = 20,13 cm $ $ sinC sinA sin 122° 2' 28,2" sin 27° 36' 065
Troba el valor de a a la figura següent. 27° 4 cm
84°
22°
3,2 cm
a
Calculem l’angle desconegut del triangle menor: 180° − 27° − 22° = 131° Apliquem el teorema del sinus per saber la longitud de la diagonal: b c b 3,2 = → = → b = 5,32 cm sinB $ sinC $ sin 131° sin 27° Apliquem el teorema del cosinus per calcular el valor de a: a2 = b2 + c2 − 2bc ? cosA $ → a2 = 5,322 + 42 − 2 ? 5,32 ? 4 ? cos 84° → a = 6,31 cm El valor de a és 6,31 cm. 066
En una paret hi ha dues anelles separades 8 m entre si. Un nen lliga cada extrem d’una corda a les anelles i s’allunya de la paret fins que la corda queda tensada. En aquest moment, la corda forma angles de 50° i 37° amb la paret. a) Quant mesura la corda? b) A quina distància de la paret és el nen?
28
SOLUCIONARI
4
L’altura del costat conegut divideix el triangle inicial en dos triangles rectangles. Apliquem la definició de tangent en els angles coneguts i obtenim un sistema d’equacions. 8 · tg 37° → h = x · tg 50° = 3,1m →x= h → h = (8 − x) · tg 37° tg 37° + tg 50° tg 37° = 8 − x tg 50° =
h x
h = 3,1 ? tg 50° = 3,69 m El nen és a una distància de 3,69 m de la paret. 3, 69 3, 69 sin 50° = → BA = = 4,82 m BA sin 50° 3, 69 3, 69 → CA = = 6,13 m sin 37° = CA sin 37° Calculem la longitud de la corda: 8 + 4,82 + 6,13 = 18,95 m La corda mesura 18,95 m. 067
Dos exploradors s’han perdut i decideixen seguir camins diferents per aconseguir ajuda. Per saber on és l’altre en cada moment, mantenen un rumb fix i les trajectòries formen un angle de 54°. Si un camina a 5 km/h i l’altre a 4 km/h, a quina distància estan al cap de 2 hores? I després de 6 hores?
Al cap de 2 hores, els exploradors i el punt d’origen formen un triangle, del qual coneixem dos costats, de 10 i 8 km, respectivament, i l’angle comprès és de 54°. Apliquem el teorema del cosinus per calcular el costat que falta: a2 = b2 + c2 − 2bc ? cosA $ → a2 = 102 + 82 − 2 ? 10 ? 8 ? cos 54° → a = 8,36 km Al cap de 2 hores estan a 8,36 km de distància. Al cap de 6 hores, els exploradors han recorregut 30 i 24 km, respectivament. El triangle que es forma és semblant a l’anterior, ja que estan en posició de Tales. Calculem la distància a què es troben els exploradors: 8,36 ? 3 = 25,08 km Al cap de 6 hores estan a 25,08 km de distància.
29
Trigonometria 068
Un globus aerostàtic està subjecte al terra mitjançant dos cables d’acer, en dos punts separats 60 m. El cable més curt fa 80 m i l’angle que forma l’altre cable amb el terra és de 37°.
80 m 37° 60 m
Calcula. a) La mesura de l’altre cable. b) La distància del globus al terra. a)
c sinC $
=
a sinA $
→
60 sinC $
=
80
→ sinC $ = 0,4514
sin 37°
C$ = 26° 49' 51,8" B$ = 180° − 26° 49' 51,8" − 37° = 116° 10' 8,2" Apliquem el teorema del sinus per calcular la mesura de l’altre cable: b a b 80 = → = → b = 119,31 m $ $ sinB sinA sin 116° 10' 8,2" sin 37° La mesura de l’altre cable és de 119,31 m. b) Calculem la distància del globus al terra: h sin 37° = → h = 71,8 m 119,31 El globus està a 71,8 m d’altura. 069
Els segments que uneixen els vèrtexs d’un triangle amb el seu circumcentre divideixen la circumferència circumscrita en 3 parts. a) Si el radi d’aquesta circumferència fa 4 cm i dos dels arcs tenen una amplitud de 128° i 83°, què mesura l’altre arc? b) Calcula la mesura dels costats i els angles del triangle. a) Calculem el tercer arc: 360° − 128° − 83° = 149° b) Tenim tres triangles isòsceles en què els costats iguals fan 4 cm i els angles compresos mesuren 128°, 83° i 149°, respectivament. Apliquem el teorema del cosinus per calcular els costats del triangle original: a2 = b2 + c2 − 2bc ? cosA $ → a2 = 42 + 42 − 2 ? 4 ? 4 ? cos 128° → a = 7,19 cm 2 2 2 $ b = a + c − 2ac ? cosB → b2 = 42 + 42 − 2 ? 4 ? 4 ? cos 83° → b = 5,3 cm c2 = a2 + c2 − 2ac ? cosC $ → c2 = 42 + 42 − 2 ? 4 ? 4 ? cos 149° → c = 7,71 cm Els costats del triangle mesuren 7,19; 5,3 i 7,71 cm, respectivament. a2 = b2 + c2 − 2bc ? cosA $ −a 2 + b 2 + c 2 −51, 7 + 28, 09 + 59, 44 = → cosA $ = = 0,4384 2bc 2 · 5, 3 · 7, 71 A$ = 63° 59' 49,7" b2 = a2 + c2 − 2ac ? cosB $ 2 2 2 $ −b + a + c = −28, 09 + 51, 7 + 59, 44 = 0,749 → cosB = 2ac 2 · 7,19 · 7, 71 B$ = 41° 29' 46,2" C$ = 180° − 63° 59' 49,7" − 41° 29' 46,2" = 74° 30' 24,1"
30
4
SOLUCIONARI
070
Un dels angles d’un trapezi isòsceles fa 65°, els costats iguals mesuren 8 cm i la diagonal és de 15 cm. Determina’n l’àrea. Amb el teorema del sinus calculem la base major: 8 15 = → sinC $ = 0,4834 $ sinC sin 65°
E$
cm 15
D$
C$ = 28° 54' 19,3" C$ $ B = 180° − 28° 54' 19,3" − 65° = 86° 5' 40,7" b a b 15 = → = → b = 16,51 cm $ $ sinB sinA sin 86° 5' 40,7" sin 65°
8 cm
h
65°
+D $→D $= 65° − 28° 54' 19,3" = 36° 5' 40,7" 65° =C $ La suma dels angles d’un quadrilàter és 360°; per tant, com que el trapezi és isòsceles, els altres dos angles iguals mesuren: $ 360° − 130° = 115° E= 2 Apliquem el teorema del sinus per calcular la base menor: e d 15 d = = → → d = 9,75 cm sinE $ sinD$ sin 115° sin 36° 5' 40,74" Trobem l’altura: h sin 65° = → h = 7,25 cm 8 Calculem l’àrea del trapezi: (d + b)h A= = 95,19 cm2 2 L’àrea del trapezi és de 95,19 cm2.
071
L’amplada d’un escenari de teatre és de 8 m. Les localitats que hem comprat estan situades a una distància de 6 m i 12 m de cada un dels extrems laterals de l’escenari. Quin és l’angle de visió que tindrem per veure la representació?
Apliquem el teorema del cosinus: −a 2 + b 2 + c 2 −64 + 36 + 144 = a2 = b2 + c2 − 2bc ? cos A$ → cos A$ = = 0,8056 2bc 2 · 6 · 12 A$ = 36° 19' 54,3" Tindrem un angle de visió de 36° 19' 54,3".
31
Trigonometria 072
A partir de les raons de 30°, 45° i 60° troba, sense fer servir la calculadora, les raons de 75°, 105° i 15°. Comprova, després, els resultats amb la calculadora. sin 75° = sin (30° + 45°) = sin 30° ? cos 45° + cos 30° ? sin 45° = 1 2 3 2 2 + 6 · + · = 2 2 2 2 4 cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° ? cos 45° − sin 30° ? sin 45° = =
=
3 2 1 2 · − · = 2 2 2 2
6 − 2 4 3 +1 3
tg 30° + tg 45° = tg 75° = tg (30° + 45°) = 1 − tg 30° · tg 45°
=2+ 3 3 1− 3 sin 105° = sin (45° + 60°) = sin 45° ? cos 60° + cos 45° ? sin 60° = =
2 1 2 3 · + · = 2 2 2 2
2 + 4
6
cos 105° = cos (45° + 60°) = cos 45° ? cos 60° − sin 45° ? sin 60° = =
2 1 2 3 · − · = 2 2 2 2
tg 105° = tg (45° + 60°) =
2 − 4
6
tg 45° + tg 60° 1+ 3 = = −2 − 3 1 − tg 45° · tg 60° 1− 3
sin 15° = sin (45° − 30°) = sin 45° ? cos 30° − cos 45° ? sin 30° = =
2 3 2 1 · − · = 2 2 2 2
6 − 2 4
cos 15° = cos (45° − 30°) = cos 45° ? cos 30° + sin 45° ? sin 30° = =
2 3 2 1 · + · = 2 2 2 2
6 + 4
2
tg 45° − tg 30° = tg 15° = tg (45° − 30°) = 1 + tg 45° · tg 30°
073
3 3
1+
3 3
=2− 3
Tenint en compte les fórmules trigonomètriques i les raons d’angles coneguts, calcula les raons dels angles amb amplitud 7° 30' i 210°. Comprova els resultats amb la calculadora. sin 7° 30' = sin
cos 7° 30' = cos
32
1−
15° = 2 15° = 2
1 − cos 15° = 2 1 + cos 15° = 2
1 − 0, 9659 = 0,1305 2 1 + 0, 9659 = 0, 9914 2
SOLUCIONARI
tg 7° 30' = tg
15° = 2
1 − cos 15° = 1 + cos 15°
4
1 − 0, 9659 = 0,1316 1 + 0, 9659
sin 210° = sin (2 ? 105°) = 2 ? sin 105° ? cos 105° = 2 + 4
= 2⋅
6
⋅
2 − 4
6
= −0, 5
cos 210° = cos (2 ? 105°) = cos2 105° − sin2 105° = 2 − = 4
tg 210° = tg (2 ? 105°) =
074
2
6 2 + − 4
2
6 3 = − 2
2 · tg 105° 2(−2 − 3 ) 3 = = 2 1 − tg2 105° 3 1 − (−2 − 3 )
Troba les raons de 67° 30', 195° i 52° 30'. Comprova els resultats amb la calculadora. sin (67° 30') = sin (60° + 7° 30') = sin 60° ? cos 7° 30' + cos 60° ? sin 7° 30' = 3 1 ⋅ 0, 9914 + ⋅ 0,1305 = 0, 9239 2 2
=
cos (67° 30') = cos (60° + 7° 30') = cos 60° ? cos 7° 30' − sin 60° ? sin 7° 30' = =
1 3 ⋅ 0, 9914 − ⋅ 0,1305 = 0, 3827 2 2
tg (67° 30') = tg (60 + 7° 30') =
tg 60° + tg 7° 30' 3 + 0,1316 = 2, 4142 = 1 − tg 60° ⋅ tg 7° 30' 1 − 3 ⋅ 0,11316
sin 195° = sin (210° − 15°) = sin 210° ? cos 15° − cos 210° ? sin 15° = = −0,5 ? 0,9659 − (−0,8660) ? 0,2588 = −0,2588 cos 195° = cos (210° − 15°) = cos 210° ? cos 15° + sin 210° ? sin 15° = = −0,8660 ? 0,9659 + (−0,5) ? 0,2588 = −0,9659 tg 195° = tg (210° − 15°) =
sin 52° 30' = sin
105° = 2
cos 52° 30' = cos
tg 52° 30' = tg
1 − cos 105° = 2
105° = 2
105° = 2
tg 210° − tg 15° 0, 5773 − 0, 2679 = = 0, 2679 1 + tg 210° ⋅ tg 15° 1 + 0, 5773 ⋅ 0, 2679 1 − (−0, 2588) = 0, 7933 2
1 + cos 105° = 2
1 − cos 105° = 1 + cos 105°
1 + (−0, 2588) = 0, 6088 2
1 − (−0, 2588) = 1, 3032 1 + (−0, 2588)
33
Trigonometria 075
Sabem que sin 56° = 0,83 i cos 23° = 0,92. a) b) c) d) e)
Calcula la resta de raons d’aquests angles. Troba les raons trigonomètriques de 79°. Determina les raons de 33°. Podries trobar les raons de 28°? I les de 46°? 2 a) 0,832 + cos2 56° = 1 → cos 56° = 1 − 0, 83 = 0,56
tg 56° =
0, 83 = 1,48 0, 56
2 sin2 23° + 0,922 = 1 → sin 23° = 1 − 0, 92 = 0,39
tg 23° =
0, 39 = 0,42 0, 92
b) sin 79° = sin (56° + 23°) = sin 56° ? cos 23° + cos 56° ? sin 23° = = 0,83 ? 0,92 + 0,56 ? 0,39 = 0,98 cos 79° = cos (56° + 23°) = cos 56° ? cos 23° − sin 56° ? sin 23° = = 0,56 ? 0,92 − 0,83 · 0,39 = 0,19 tg 79° = tg (56° + 23°) =
tg 56° + tg 23° 1, 48 + 0, 42 = 5, 02 = 1 − tg 56° ⋅ tg 23° 1 − 1, 48 ⋅ 0, 42
c) sin 33° = sin (56° − 23°) = sin 56° ? cos 23° − cos 56° ? sin 23° = = 0,83 ? 0,92 − 0,56 ? 0,39 = 0,55 cos 33° = cos (56° − 23°) = cos 56° ? cos 23° + sin 56° ? sin 23° = = 0,56 · 0,92 + 0,83 ? 0,39 = 0,84 tg 56° − tg 23° 1, 48 − 0, 42 = = 0, 65 tg 33° = tg (56° − 23°) = 1 + tg 56° ⋅ tg 23° 1 + 1, 48 ⋅ 0, 42 d) sin 28° = sin cos 28° = cos
tg 28° = tg
56° = 2
1 − cos 56° = 2
56° = 2
56° = 2
1 − 0, 56 = 0, 47 2
1 + cos 56° = 2
1 − cos 56° = 1 + cos 56°
1 + 0, 56 = 0, 88 2
1 − 0, 56 = 0, 53 1 + 0, 56
e) sin 46° = sin (2 ? 23°) = 2 ? sin 23° ? cos 23° = 2 ? 0,39 ? 0,92 = 0,72 cos 46° = cos (2 ? 23°) = cos2 23° − sin2 23° = 0,922 − 0,392 = 0,69 tg 46° = tg (2 ? 23°) =
076
34
2 · tg 23° 2 · 0, 42 = = 1, 02 1 − tg2 23° 1 − 0, 422
Troba una fórmula simplificada de: c) tg (45° − C)$ a) sin (30° +A)$ d) cosD($+ 30°) b) cosB($ −60°)
SOLUCIONARI
4
1 3 a) sin (30° +A)$= sin 30° ? cosA $ + cos 30° ? sinA $ = cosA $ + sinA $ = 2 2 1 + 3 sinA)$ = (cosA $ 2 1 3 b) cosB($ − 60°) = cosB $ ? cos 60° + sinB $ ? sin 60°= cosB $ + sinB $ = 2 2 1 + 3 sinB)$ = (cosB $ 2 1 − tgC $ c) tg (45° −C)$= 1 + tgC $ d) cosD($+ 30°) = cosD $? cos 30° − sinD $? sin 30° = =
077
1 1 3 cosD $− sinD $= ( 3 cosD $− sinD)$ 2 2 2
Si sin x = 0,6 i cos x = −0,8; calcula les raons trigonomètriques següents: a) cos (x −π)
π c) tg x + 4
π e) cos x − 4
π b) sin x + 2
d) sin (x −π)
π f ) tg − x 4
Raona en quin quadrant hi ha cada un d’aquests angles. L’angle x està situat en el 2n quadrant, ja que el seu sinus és positiu i el seu cosinus és negatiu. a) cos (x − π) = −cos x = 0,8 L’angle està situat en el 4t quadrant. π b) sin x + = cos x = −0,8 2 L’angle està situat en el 3r quadrant. π tg x + tg π −0, 75 + 1 4 = c) tg x + = = 0,14 4 1 − tg x · tg π 1 + 0, 75 4 L’angle està situat en el 3r quadrant. d) sin (x − π) = −sin x = −0,6 L’angle està situat en el 4t quadrant. π π π 2 2 − 0, 6 · = 0, 99 e) cos x − = cos x ? cos + sin x ? sin = −0, 8 · 4 4 4 2 2 L’angle està situat en el 3r quadrant. π − tg x tg π 1 + 0,775 4 = f) tg − x = =7 4 π 1 − 0, 75 · tg x 1 + tg 4 L’angle està situat en el 3r quadrant.
35
Trigonometria 078
L’angle que es forma entre cada dos nervis d’un vano és de 15°. Si el vano té quatre nervis centrals, calcula les raons trigonomètriques dels angles que es formen en desplegar-lo nervi a nervi. Hem de calcular les raons trigonomètriques de 15°, 30°, 45°, 60° i 75°. Les raons de 30°, 45° i 60° són conegudes. sin 15° = sin
30° = 2
1− cos 30° = 0,25 2
30° 1 + cos 30° = = 0,96 2 2 sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° ⋅ cos 30° + cos 45° ⋅ sin 45° = 0,96
cos 15° = cos
cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30° = 0,26
079
2 π i que < x < π , calcula, sense trobar prèviament el valor de x. 5 2 π π 2 21 sin x + tg x − − 3 4 21
Si saps que sin x =
a) Expressa els resultats mitjançant radicals. π π b) Explica com determinaries les raons de rad i rad. 3 4 Trobem les raons trigonomètriques de x: 2
2 21 cos x = − 1 − = − 5 5
2 21 21 π π a) i b) Les raons trigonomètriques de rad, 45° i rad, 60° són conegudes. 3 4 sin
π 2 = 4 2
cos
π 2 = 4 2
tg x = −
sin
π 3 = 3 2
cos
π 1 = 3 2
tg
π = 3
3
π π π 2 2 21 2 2 2 − 42 sin x + = sin x · cos + cos x · sin = · − · = 4 4 4 5 2 5 2 10 π tg x − tg π 8 21 + 25 3 3 =− tg x − = π 3 1 + tg x · tg 9 3
080
3π 3 i tg x = . 2 4 a) Troba sin x i cos x.
Se sap que π <x <
b) Determina, emprant radicals, les raons dels angles
36
π π i . 6 4
SOLUCIONARI
4
c) Sense determinar l’angle x, calcula: π π cos x − tg x + 4 6 d) Sense determinar l’angle x, decideix raonadament en quin quadrant estan els angles: π π x− x+ 4 6 1 = −0, 8 1 + 0, 752 π 1 π 3 b) sin = cos = 6 2 6 2
a) cos x =
sin2 x + 0,82 = 1 → sin x = 1 − 0, 82 = −0,6
π 3 = 6 3 π π 2 π 2 sin = cos = tg = 1 4 4 2 4 2 π π π 2 2 − 0, 6 ⋅ = −0,7 2 c) cos x − = cos x ⋅ cos + sin x ⋅ sin = −0,,8 ⋅ 4 4 4 2 2 tg
π 3 3 + tg x + tg π 48 + 25 3 6 4 3 = tg x + = = 6 1 − tg x · tg π 39 3 3 1− · 6 4 3 π d) Com que el sinus de l’angle x − és positiu, l’angle està situat en el 2n quadrant. 4 π I com que la tangent de l’angle x + és positiva, l’angle està situat en el 3r quadrant. 6 081
Si saps que les raons de 32° són:
sin 32° = 0,53
cos 32° = 0,848
a) Calcula les raons trigonomètriques de 62°. b) Troba les raons de 31°. c) Pots mesurar qualsevol angle la mesura dels qual en graus no tingui minuts ni segons? a) sin 62° = sin (32° + 30°) = sin 32° ⋅ cos 30° + cos 32° ⋅ sin 30° = 3 1 = 0,53 ⋅ + 0,848 ⋅ = 0,88 2 2 cos 62° = sin (32° + 30°) = cos 32° ⋅ cos 30° − sin 32° ⋅ sin 30° = 3 1 − 0, 53 ⋅ = 0, 46 = 0, 848 ⋅ 2 2 0,88 tg 62° = = 1,91 0,46 62° 1− cos 62° 1− 0,46 b) sin 31° = sin = = = 0, 52 2 2 2 62° 1 + cos 62° 1 + 0,46 cos 31° = cos = = = 0, 85 2 2 2 0,52 tg 31° = = 0,61 0,85 c) Sí que podem calcular les raons de qualsevol angle, ja que a partir de les mesures de 32° i de 31° trobem les mesures d’1°, i a partir d’aquestes, la resta.
37
Trigonometria 082
Expressa en funció de la raó d’un sol angle: 1 + cos
1 + cos
083
α + cos α 2
α α α α α α + cos α = sin2 + cos2 + cos + cos2 − sin2 = 2 2 2 2 2 2 α 2 α = 2 cos + cos 2 2
Demostra que es verifiquen aquestes igualtats: a) 1 + sin 2α= 2 sin (α+ 45°) cos (α−45°) b) cos 2α= 2 sin (α+ 45°) cos (α+ 45°) a) 2 sin (α + 45°) cos (α − 45°) = = 2 (sin α ⋅ cos 45°+ cos α ⋅ sin 45°)(cos α ⋅ cos 45° + sin α ⋅ sin 45°) = 2 ⋅ sin α = 2 + 2
2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos α + 2 2
2 ⋅ sin α = 2
2 ⋅ cos2 α 4 sin α ⋅ cos α 2 ⋅ sin2 α = = 2 + + 4 4 4 2 2 = cos α + sin α + 2 sin α ⋅ cos α = 1 + sin 2α b) 2 sin (α + 45°) cos (α + 45°) = = 2 (sin α ⋅ cos 45°+ cos α ⋅ sin 45°)(cos α ⋅ cos 45° − sin α ⋅ sin 45°) = 2 ⋅ sin α = 2 + 2
2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos α − 2 2
2 ⋅ sin α = 2
2 ⋅ cos2 α 2 ⋅ sin2 α = cos2 α − sin2 α = cos 2α = 2 − 4 4 084
Comprova aquesta relació entre les raons trigonomètriques d’un angle: 1 − cos 2 x tg x = sin 2x 2 1 − cos2 x sin2 x sin x tg x = = = sin 2x 2 sin x ⋅ cos x 2 cos x 2
085
Demostra que la igualtat és certa. sin 2α =
sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α =
38
2 tg α 1 + tg2 α
2 sin α ⋅ cos2 α 2 tg α 2 tg α = = 1 cos α 1 + tg2 α cos2 α
4
SOLUCIONARI
086
Simplifica l’expressió:
2 cos (45° − α) cos (45° + α) cos 2α
2 cos (45° − α) cos (45° + α) = cos 2α 2 cos α 2 sin α 2 cos α − 2 + 2 2 2 = cos2 α − sin2 α 087
2 sin α 2
=
2(cos2 α − sin2 α) 2 cos2 α − sin2 α
=1
Busca una fórmula simplificada per calcular les raons de l’angle triple: sin 3αi cos 3α. Comprova el resultat que has obtingut per a l’angle α= 40°. sin 3α = sin (2α + α) = 2 sin α ⋅ cos α ⋅ cos α + (cos2 α − sin2 α) sin α = = 2 sin α ⋅ cos2 α + sin α ⋅ cos2 α − sin3 α = 3 sin α ⋅ cos2 α − sin3 α cos 3α = cos (2α + α) = (cos2 α − sin2 α) cos α − 2 sin α ⋅ cos α ⋅ sin α = = cos3 α − cos α ⋅ sin2 α − 2 cos α ⋅ sin2 α = −3 cos α ⋅ sin2 α + cos3 α sin 120° = 3 sin 40° ⋅ cos2 40° − sin3 40° = 0,866 cos 120° = −3 cos 40° ⋅ sin2 40° + cos3 40° = −0,5
088
Demostra la igualtat: sin α sin (α−β) + cos α cos (α − β) = cos β sin α sin (α − β) + cos α ⋅ cos (α − β) = = sin α (sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β) + cos α (cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β) = = sin2 α ⋅ cos β − sin α ⋅ cos α ⋅ sin β + cos2 α ⋅ cos β + sin α ⋅ cos α ⋅ sin β = = cos β (sin2 α + cos2 α) = cos β
089
Demostra que es verifica la igualtat: tg a + tg b sin (a + b) = tg a − tg b sin (a − b) sin a ⋅ cos b cos a ⋅ sin b + sin a ⋅ cos b + cos a ⋅ sin b sin (a + b) tg a + tg b cos a ⋅ cos b cos a ⋅ cos b = = = sin a ⋅ cos b cos a ⋅ sin b sin a ⋅ cos b − cos a ⋅ sin b sin (a − b) tg a − tg b − cos a ⋅ cos b cos a ⋅ cos b
090
Comprova, substituint αper un angle conegut, que la igualtat següent és certa. 2 sin α = cos α − sin α tg α tg 2α Demostra que aquesta propietat es compleix per a qualsevol angle α. Triem l’angle de 30°. 2 sin 30° = tg 2 · 30°
1 3
=
3 3
cos 30° − sin 30° ⋅ tg 30° =
3 3 3 − = 2 6 3
2 sin α sin α ⋅ (1− tg2 α) sin α sin α ⋅ tg2 α = = − = 2 tg α tg α tg α tg α 1− tg2 α = cos α − sin α ⋅ tg α
2 sin α = tg 2α
39
Trigonometria 091
Resol les equacions següents. a) cos x tg x =
1 2
f ) tg x + sin x = 0
b) cos 2x + sin 2x = 1
g) tg x −sin 2x = 0 sin (60° − x) =1 cos x π i) tg − x + tg x − 1 = 0 4 j) sin (x + 30°) + cos (x + 60°) = 1 + cos 2x
c) cos 2x −sin 2x = 0
h)
d) sin 2x + cos x = 1 e) sin 2x + sin 2x = 0 a) cos x tg x =
1 1 → sin x = → x1 = 30° + 360° · k x 2 = 150° + 360° · k 2 2
b) cos 2x + sin 2x = 1 → cos2 x − sin2 x + 2 sin x ⋅ cos x = cos2 x + sin2 x → −2 sin2 x + 2 sin x ⋅ cos x = 0 → 2 sin x (−sin x + cos x) = 0 x = 0° + 360° · k sin x = 0 → 1 x 2 = 180° + 360° · k x = 45° + 360° · k sin x = cos x → 1 x 2 = 225° + 360° · k x = 22, 5° + 180° · k c) cos 2x − sin 2x = 0 → cos 2x = sin 2x → 1 x 2 = 112, 5° + 180° · k x = 90° + 360° ⋅ k x 3 = 210° + k ⋅ 360° d) sin 2x + cos x = (2 sin x + 1) cos x = 0 → 1 x 2 = 270° + 360° ⋅ k x 4 = 330° + k ⋅ 360° x = 0° + 180° · k e) sin 2x + sin 2x = 0 → 2 sin 2x = 0 → 1 x 2 = 90° + 180° · k 1 + 1 = 0 f ) tg x + sin x = 0 → sin x cos x x = 0° + 360° · k sin x = 0 → 1 x 2 = 180° + 360° · k 1 + 11 = 0 → x3 = 180° + 360° ⋅ k + cos x g) tg x − sin 2x = 0 →
sin x − 2 sin x ⋅ cos x = 0 → sin x(1 − 2 cos2 x) = 0 cos x
x = 0° + 360° · k sin x = 0 → 1 x 2 = 180° + 360° · k 1 − 2 cos2 x = 0 → cos x = h)
sin (60° − x) =1→ cos x
1 → x3 = 45° + 360° ⋅ k 2
3 cos x − sin x =1→ 2 cos x
3 − tg x = 2
→ tg x = −0,2679 → x = 345° + 360° ⋅ k
40
SOLUCIONARI
4
π 1 − tg x i) tg − x + tg x − 1 = 0 → + tg x − 1 = 0 4 1 + tg x → tg2 x − tg x = 0 → tg x(tg x − 1) = 0 x = 0° + 360° · k tg x = 0 → 1 x 2 = 180° + 360° · k x = 45° + 360° · k tg x − 1 = 0 → tg x = 1 → 1 x 2 = 225° + 360° · k j) sin (x + 30°) + cos (x + 60°) = 1 + cos 2x 3 sin x cos x cos x 3 sin x + + − = 2 2 2 2 = cos2 x + sin2 x + cos2 x − sin2 x → cos x = 2 cos2 x → cos x(2 cos x − 1) = 0 →
x = 90° + 360° · k cos x = 0 → 1 x 2 = 270° + 360° · k 2 cos x − 1 = 0 → cos x =
092
x = 60° + 360° · k 1 → 1 x 2 = 300° + 360° · k 2
Resol aquests sistemes d’equacions trigonomètriques. a)
sin2 x + sin2 y = 1 1 cos 2 x − cos 2 y = 2 a)
b) x + y = 120 1 cos x = + sin x ⋅ tg 2 cos y
sin2 x + sin2 y = 1 sin2 x = 1 − sin2 y = cos2 1 → 1 cos2 x − cos2 y = cos2 x − sin2 x = 2 2 cos 2x =
y
y
1 → x = 30° + 180° · k 2
cos2 y = sin2 30° → cos y =
1 → y = 60° + 180° ⋅ k 4
b) x + y = 120 x = 120 ° − y 1 → cos (120° − y) = cos x = + sin x ⋅ tg y 2 cos y 1 = + sin (120° − y) tg y 2 cos y −cos2 y +
3 sin y ⋅ cos y = 1 +
3 sin y ⋅ cos y − sin2 y
→ cos2 y − sin2 y = 1 → cos 2y = −1 → y = 90° + 180° ⋅ k x = 120° − y = 120° − 90° − 180° ⋅ k = 30° − 180° ⋅ k
41
Trigonometria 093
Resol les equacions trigonomètriques: a) 4 sin x −sec x = 0 cos 2 x = sin x b) 2 cos x + sin x 1 + 2 sin x = 2 cos x c) cos x + sin x d) sin x (sin x −1) = 5 cos2 x −4 e) 2 cos x −1 = sec x f ) 2 cos x + sin x = 1 g) sin x + cos x = 0 a) 4 sin x − sec x = 0 → 4 sin x ⋅ cos x − 1 = 0 → 2 sin 2x = 1 → sin 2x =
1 2
x = 15° + 180° · k → 1 x 2 = 75° + 180° · k b)
c)
cos2 x = sin x → cos2 x = 2 cos x ⋅ sin x + sin2 x → cos 2x = sin 2x 2 cos x + sin x x = 22, 5° + 180° · k → 1 x 2 = 112, 5° + 180° · k 1 2 sin x ⋅ cos x + 2 sin2 x + 2 sin x = 2 cos x → =1 cos x + sin x 2 cos2 x + 2 sin x ⋅ cos x →
sin x (cos x + sin x ) = 1 → tg x = 1 → cos x (cos x + sin x )
x1 = 45° + 360° · k x 2 = 225° + 360° · k
d) sin x (sin x − 1) = 5 cos2 x − 4 → sin2 x − sin x = 5(1 − sin2 x) − 4 6 sin2 x − sin x − 1 = 0 x = 340° 31' 44" + 360° · k 1 → 1 x 2 = 199° 28' 16" + 360° · k 3 x = 30° + 360° · k 1 → sin x = → 1 2 x 2 = 150° + 360° · k → sin x = −
e) 2 cos x − 1 = sec x → 2 cos2 x − cos x − 1 = 0 x = 0° + 360° · k → cos x = 1 → 1 x 2 = 180° + 360° · k → cos x = −
x = 120° + 360° · k 1 → 1 x 2 = 240° + 360° · k 2
f ) 2 cos x + sin x = 1 → 1 − cos 2 x = 1 − 2 cos x → 5 cos2 x − 4 cos x = 0 → cos x(5 cos x − 4) = 0 → cos x =
4 x = 36° 52' 11, 6" + 360° · k → 1 x 2 = 323° 7' 48, 4" + 360° · k 5
x = 135° + 360° · k g) sin x + cos x = 0 → sin x = −cos x → 1 x 2 = 315° + 360° · k
42
SOLUCIONARI
094
4
Observa la situació i, amb l’ajut de la trigonometria, calcula l’altura, h, a la qual es troba el punt B. B
h
35°
42° x
25 m
Anomenem h l’altura a la qual es troba B. h x = 111 , h 25 + x → h = 17, 51 + 0, 63h → h = 47, 38 m h tg 42° = x tg 35° =
El punt B es troba a una altura de 47,38 m. 095
Dos amics estan separats per una distància de 40 metres i veuen un arbre a la riba oposada d’un riu, com indica la figura. Calcula l’amplada del riu.
38°
44°
x
A
40 m
B
Anomenem h l’amplada del riu. x = 1,28h → 38, 63 − 1, 24h = h → h = 17,25 m h tg 44° = 40 − x tg 38° =
h x
L’amplada del riu és de 17,25 m. 096
Un arbre se subjecta al terra amb dos cables d’acer que formen angles de 43° i 57° 50' amb el terra, respectivament. Si les distàncies dels cables al peu de l’arbre sumen 15 m, quina és l’altura de l’arbre? Anomenem h l’altura de l’arbre. x = 1,07h → 23, 85 − 1, 7h = h → h = 8, 83 m h tg 57° 50 ' = 15 − x tg 43° =
h x
L’altura de l’arbre és de 8,83 m.
43
Trigonometria 097
Si saps que l’àrea d’un triangle rectangle és de 28 cm2 i que un dels seus angles fa 60°: a) Què mesura cada un dels seus angles? b) Calcula la longitud dels costats i el perímetre del triangle. a) L’angle desconegut mesura: 90° − 60° = 30° b) Prenem com a base i altura els catets del triangle rectangle: b·a 56 →b= 2 a 56 a tg 30° = →a= a
28 =
56 = 9, 85 cm tg 30°
b = 5,68 cm Apliquem el teorema de Pitàgores per calcular la hipotenusa: c=
9, 852 + 5, 682 = 11,37 cm
Els costats mesuren 11,37; 5,68 i 9,85 cm. El perímetre és 26,9 cm. 098
Dues persones han anat a pescar i estan a la vora separades entre elles una distància de 4 m; per aquest motiu veuen saltar un peix amb els angles que indica la figura.
y
61°
52° A
4m
B
x
Quina quantitat de llinya necessita cada persona per llençar l’ham fins al lloc on ha saltat el peix? y y = 1,8x x + 4 → 1,228x + 5,12 = 1, 8x → x = 9, 84 → y = 17, 75 y tg 61° = x tg 52° =
Apliquem el teorema de Pitàgores per saber la quantitat de llinya que necessitarà el pescador A: 9,84 + 4 = 13,84 a = 13, 84 2 + 17, 752 = 22,51 m El pescador A necessita 22,51 m de llinya. Apliquem el teorema de Pitàgores per saber la quantitat de llinya que necessitarà el pescador B: a=
9, 84 2 + 17, 752 = 20,3 m
El pescador B necessita 20,3 m de llinya.
44
SOLUCIONARI
099
4
Dos focus, situats a terra i en costats diferents, il·luminen el campanar d’una església. La suma de les distàncies dels focus fins al peu del campanar és de 100 m. Si els angles que formen els feixos de llum amb el terra són de 32° i 46°, respectivament, quina és l’alçada del campanar?
y 46°
32° x
100 − x
Anomenem y l’altura del campanar. y tg 32° = x = 1,64 x → 103, 55 − 1, 66 y = y → y = 38, 93 m y tg 46° = 100 − x L’altura del campanar és de 38,93 m.
100
En un turó es veuen, en línia recta cap a l’est, dos barris que estan separats 800 metres. Des del cim, s’observen amb angles de 18° i 26° 40', respectivament. a) Quina és l’altura del turó?
b) A quina distància es troba cada barri de l’observador? 63° 20' 72° y
x
800
a) Anomenem y l’altura del turó. 90° − 18° = 72°
90° − 26° 40' = 63° 20'
x + 800 x = 1,99y y → 3, 08 y = 1, 99 y + 800 → y = 735,94 m x tg 63° 20 ' = y tg 72° =
b) x = 199y = 1.504,42 m
800 + x = 2.304,42 m
La distància de l’observador a cada barri és 1.674,78 m i 2.419,18 m, respectivament.
45
Trigonometria 101
La Marina i la Júlia volen mesurar l’amplada d’un congost. Per fer-ho, es posen en una de les vores. La Marina deixa anar una corda que té 6 m de llarg, i l’agafa des de la vora del penya-segat. D’altra banda, la Júlia, que té els ulls a 1,8 m del terra, ha de retirar-se 4,5 metres per veure la vora més propera coincidint amb el final de la corda. 1,8 m 6m
4,5 m
a) Quina amplada té el congost? b) Es podria calcular sense utilitzar la trigonometria? Anomenem x l’amplada del congost. tg a =
1,8 = 0,4 4,5
6 → x = 15 m x a) L’amplada del congost és de 15 m. b) Per resoldre el problema també es podria aplicar la semblança de triangles.
0,4 =
102
El Salva fa 1,70 m i observa que la seva ombra és de 50 cm a una determinada hora del dia. Amb quina inclinació arriben els raigs solars a aquella hora? 1, 7 = 3,4 → a = 73° 36' 37,7'' 0, 5 Els raigs solars arriben amb una inclinació de 73° 36' 37,7''. tg a =
103
46
Una casa de planta rectangular fa 12 metres de llarg i 8 metres d’ample. El sostre, amb una inclinació de 18°, és una superfície plana inclinada la part més elevada de la qual està situada sobre un dels costats més grans del rectangle. Calcula l’àrea de la teulada.
SOLUCIONARI
4
Com que sabem que la teulada té forma rectangular i que un dels seus costats fa 12 m, trobem la longitud de l’altre costat, x. 8 → x = 8,41 m x Calculem l’àrea de la teulada: cos 18° =
A = 12 ? 8,41 = 100,92 m2 L’àrea de la teulada és de 100,92 m2.
104
Per construir un viaducte s’han pres aquestes mesures. 12 m 30°
46°
a) Quina longitud tindrà el viaducte? b) Quina és l’alçada màxima dels pilars que el subjecten? Anomenem x la longitud del viaducte i y l’alçada màxima. → y = 12,43 m → x = 33,53 m y tg 30° = x − 12 tg 46° =
y 12
a) La longitud del viaducte és de 33,53 m. b) L’alçada màxima dels pilars és de 12,43 m.
105
Calcula l’altura a què caminen els viatgers quan travessen un congost per un pont penjat com el de la figura. 82 m 52°
38°
Anomenem y l’altura del pont penjat. x = 0,78y → 64,07 − 0,61y = y → y = 39,8 m y tg 38° = 82 − x tg 52° =
y x
L’altura del pont penjat és de 39,8 m.
47
Trigonometria 106
Si saps que x és un angle del 2n quadrant i que tg x = −0,5322, determina, sense calcular l’angle x: x a) sin 2x b) cos 90° − 2 a) cos x =
1 → cos x = −0,8828 1 + tg2 x
sin2 x + (−0,8828)2 = 1 → sin x = 1 − 0, 7793 = 0,4698 sin 2x = 2 sin x ⋅ cos x = 2 · (−0,8828) ? 0,4698 = −0,8295 x x b) cos 90° − = sin = 2 2 107
1 + 0,8828 = 0,9703 2
Demostra que la suma de les tangents dels tres angles d’un triangle és igual que el seu producte. La suma dels angles d’un triangle és 180°. a + b + c = 180° tg c = tg [180° − (a + b)] = −tg (a + b) = −
tg a + tg b 1 − tg a · tg b
Per tant, la suma de les tangents és: tg a + tg b tg a + tg b + tg c = tg a + tg b − 1 − tg a · tg b tg a + tg b tg c = − → tg c (1− tg a ⋅ tg b) = −tg a − tg b 1 − tg a ⋅ tg b → tg c − tg a ⋅ tg b ⋅ tg c = −tg a − tg b → tg a + tg b + tg c = tg a ⋅ tg b ⋅ tg c 108
Les mides dels costats d’un triangle són proporcionals a 5, 6 i 7, respectivament, i la seva àrea és 24 6 . Determina la mida dels costats i dels angles del triangle. Com que els costats són proporcionals, els triangles són semblants i els seus angles són iguals. Apliquem el teorema del cosinus: −a 2 + b 2 + c 2 −49 + 36 + 25 = a2 = b2 + c2 − 2bc ? cosA $ → cosA $ = = 0,2 2bc 2·6·5 $ A = 78° 27' 46,9" −b 2 + a 2 + c 2 −36 + 49 + 25 b2 = a2 + c2 − 2ac ? cosB $ → cosB $ = = 0,5429 = 2ac 2·7·5 B$ = 57° 7' 7,42" C$ = 180° − 78° 27' 46,9" − 57° 7' 7,42" = 44° 25' 5,68" Per trobar la longitud dels costats apliquem la fórmula d’Heró. Si anomenem p el semiperímetre, tenim que: p( p − a)( p − b)( p − c) 5t + 6t + 7t 18t = = 9t a = 5t; b = 6t; c = 7t; p = 2 2 24 6 = 9t(9t − 7t)(9t − 6t)(9t − 5t) → 3,456 = 9t ? 2t ? 3t ? 4t → t = 2 A=
Els costats mesuren 10, 12 i 14, respectivament.
48
SOLUCIONARI
109
4
Comprova que la fórmula següent es compleix siA $fa 45°. A $+ 30° 2 − 2 cos 30° + 2 sin 30° sin2 2 = 4 Demostra que és una igualtat que només es verifica per a un altre valor deA.$Troba’l. 45° + 30° = 0,3706 sin2 2 2 − 2 cos 30° + 4
A $ + 30 sin2 2
2 sin 30°
= 0,3706
1 − cosA($ + 30°) = = 2
1 − cosA $ ⋅ cos 30° + sinA $ ⋅ sin 30° 2 + − 3 cosA $
1− cos A $2 4
4 cosA2 $ + (3 2 +
=
+ 6 ) cosA $
=
6 + 8
⋅ cos 30° + sinA $ ⋅ sin 30° 1 − cosA $ 2 2 − 2 cos 30° + 4
2 sin 30°
2
3 +1=0
A1$= 45° + 360° ⋅ k A2$= 165° + 360° ⋅ k 110
Troba la relació que hi ha entre el costat d’un pentàgon regular i el radi de la circumferència on està inscrit. Al pentàgon regular es poden formar cinc triangles isòsceles, en què el costat desigual coincideix amb el costat del pentàgon, i els costats iguals són radis de la circumferència. L’angle oposat al costat desigual mesura 72° i els altres dos angles mesuren 54°. Anomenem a el costat desigual i r el radi. tg 54° =
111
r 2r →a= a tg 54° 2
En un triangle rectangle també es verifica el teorema del sinus. Esbrina si això ens dóna informació addicional sobre els elements d’aquest triangle. a
b c = sinB $ sinC $ Com queA $ és un angle recteBiC$ i$ són angles complementaris: sinA $
a=
=
b sinB $
=
b = a sinB $ → cosC $ c = a cosC $ c
Obtenim que els catets són projeccions de la hipotenusa.
49
Trigonometria 112
El teorema del cosinus té tres enunciats, un per a cada costat del triangle. Si el triangle és rectangle i a és la hipotenusa, la fórmula del teorema del cosinus que comença per a és, realment, el teorema de Pitàgores. Investiga si els altres dos enunciats ens donen alguna propietat nova del triangle. c b2 = a2 + c2 − 2ac ? cosB $ → b2 = a2 + c2 − 2ac ? → b2 = a2 − c2 a b 2 2 2 2 2 2 c = a + b − 2ab ? cosC $ → c = a + b − 2ab ? → c2 = a2 − b2 a Obtenim el catet desconegut en funció de l’altre catet i de la hipotenusa. A més, si sumem les dues primeres equacions, tenim que: b2 + c2 = 2a2 + b2 + c2 − 2a(c cosB $− b cosC $ ) a = c cosB $− b cosC $
113
π Sabem que tg z = 1,5. Amb aquestes dades, pots calcular tg z + 2 sense determinar l’angle z? Si apliques la fórmula de l’angle suma tindràs dificultats. Fes servir aquesta expressió. π π π = + 2 4 4 π π π tg z + = tg z + + = 2 4 4 =
114
π tg z + + 1 1+ 4 = π 1− 1− tg z + 4
tg z + 1 1− tg z = tg z + 1 1− tg z
2 = −cotg z −2 tg z
Dos angles inscrits en una circumferència que comprenen el mateix arc mesuren igual. Utilitza aquesta propietat per demostrar que: a b c = = $ $ sinA sinB sinC $
A' B
A
en què d és el diàmetre de la circumferència circumscrita al triangle. El triangle CBA' és recte perquè un dels seus costats és el diàmetre $i $són iguals. de la circumferència. Els costats oposats als anglesBD Els anglesA $ A' i $són iguals perquè comprenen el mateix arc; per tant, els seus sinus són iguals. a sinA $ a sinA $
50
=
=
a sinA'$ c sinC $
=
=
a =d a d b sinB $
=d
C
SOLUCIONARI
4
PER ACABAR... 115
Per a quins valors de k té solució l’equació sin x cos x = k? Acota les solucions possibles. sin x ⋅ cos x = k → 2 sin x ⋅ cos x = 2k → sin 2x = 2k 1 1 ≤k ≤ 2 2 Les solucions estaran acotades a [0°, 180°] + 180° ⋅ k. Com que sin x < 1→ −
116
Demostra que la bisectriu interior de l’angleA,$en el triangle ABC , divideix el costat oposat en dos segments proporcionals als costats AB i AC. Anomenem D el punt de tall de la bisectriu amb el costat CB. Apliquem el teorema del sinus: CD $ sin A 2 DB $ sin A 2
=
=
AD sinC $ AD sinB $
=
=
$ sin A 2 = → AC sinE $ sinE $
A
CD
AC
AB sinF $
→
DB
A$ 2 sinF $
sin =
AB
C
E$
F$ D
B
Com que els angles són suplementaris, els seus sinus són iguals. CD DB = AC AB
117
Demostra que la suma del sinus i el cosinus d’un angle és sempre menor o igual π que el doble del sinus radians. 4 Per a quins angles es verifica la igualtat? 2 = 2 → 2 sin2 x − 2 2 sin x + 1 < 0 2 El discriminant d’aquesta equació és zero i, excepte la igualtat, sempre és positiu o sempre és negatiu; en aquest cas sempre és positiu, cosa que contradiu
Suposem que sin x + cos x > 2 ⋅
la hipòtesi; és a dir: sin x + cos x ≤
2
La igualtat es verifica per a: sin x + 1− sin2 x =
2 → 2 sin2 x − 2 2 sin x + 1 = 0 → sin x =
2 2 → cos x = 2 2
x = 45° + 360° ⋅ k
51
Trigonometria 118
Esbrina el perímetre i l’àrea d’un polígon regular de radi r i n costats. Dividim el polígon en triangles isòsceles, i anomenem r els costats iguals i l el costat desigual. 180° Si el polígon té n costats, els angles iguals dels triangles mesuren: 90° − n Relacionem el radi de la circumferència circumscrita amb el costat del polígon, utilitzant el cosinus d’aquest angle: l ° 180 180° 2 = cos 90° − → l = 2r cos 90° − n n r Relacionem l’apotema del polígon, altura del triangle, amb el radi, utilitzant el sinus de l’angle: 180° ap 180° = sin 90° − → ap = r sin 90° − n r n 180° Per tant, el perímetre mesura: 2r · n cos 90° − n Finalment, calculem l’àrea: 180° 180° = · r sin 90° − A = r · n cos 90° − n n 180° 180° · sin = r 2 · n cos 90° − n 90° − n n
119
En un triangle equilàter de costat c s’han traçat les circumferències inscrita i circumscrita. Calcula l’altura del triangle i la mesura dels radis de les dues circumferències en funció de c. Apliquem el teorema de Pitàgores per expressar l’altura en funció del costat del triangle: 2 l 3 l 2 = + h2 → h = l 2 2 Anomenem R i r els radis de les circumferències gran i petita, respectivament. Considerem el triangle que formen els radis amb la meitat del costat. Aquest triangle és semblant amb el triangle que resulta de dividir el triangle equilàter per una bisectriu. Per tant, els angles d’aquest triangle són 30°, 60° i 90°. r 3 R →r= R 3 L’altura del triangle és la suma dels radis de les circumferències. tg 30° =
R+r= r=
52
3 l→R+ 2
3− 3 l 4
3 R 3 3 3 −3 + 3 3 = l→R= l= l 3 2 4 6+2 3
SOLUCIONARI
120
4
En un triangle ABC es compleixen les condicions següents: • El costat BC mesura el doble que el costat AB. • L’angleB $mesura 60°. B 60°
C
A
Troba els altres dos angles. Anomenem a el costat BC i c el costat AB, i tenim que a = 2c. Apliquem el teorema del cosinus: 1 b2 = a2 + c2 − 2ac ? cosB $ → b2 = (2c)2 + c2 − 4c2 ? → b2 = 3c2 → b = 2 Upliquem el teorema del sinus: c sinC $
=
3 c
3c 1 3c = →C $ → sinC $ = = 30° → A = 90° $ 2 2 3c sinB
53