Formal eller real matematikkundervisning?

Formal eller real matematikkundervisning?

Av

Bård Harboe

Illustrasjonen er henta frå “Regneundervisningen” av J. Nicolaisen, 1885

B책rd Harboe

Formal eller real matematikkundervisning?

Forord

Eit forord blir skrive etter dei andre orda i eit skrift, men plassert framføre dei. Så også her.

For få dagar sidan hadde eg augo på ein vekeplan eit av barnebarna hadde med seg heim frå skulen. Ein sirkelrund pizza var, slik den runde kaka blei det før, firedelt på den velkjende måten. Ein av dei fire delane var trekt til sides, men var også, litt avbleika, framleis synleg på sin opphavlege plass. Brøken var å finna tett inntil stykket som var trekt til sides. En brøk står for forholdet mellom delen og helheten, fekk me vita. Eg kom, som eg har gjort så mange gonger før, i tankar. Ein kvotient 1:4 skriven som to tal med eit rekneteikn i mellom, var det faste uttrykket for forhold i den skulen der eg gjekk. Deling av den runde kaka der i mot hadde vore innfallsporten til eit nytt tal, der einingsbrøkar som gjerne kom først. Dette var første steget på ein veg som skulle gi meining til nye brøkeiningar og vidare til brøktal som og andre. Ei gjenteken halvering av tommen hadde gitt brøkeiningar som halv, firedel og åttedel. Dette førte seinare over i gjentekne tidelingar, deling av meteren i tidelar, hundredelar, tusendelar med den tilhøyrande skrivinga av desimalbrøkar, dei me helst kallar desimaltal. Det var desse siste me skulle få mest bruk for. Den innleiande presentasjonen av brøken som tal er innfallsporten til alt dette. Men på vekeplanen blei det sagt at brøken stod for forhold.

Brøken som tal var komen i bakgrunnen. Og bestefar kom på nytt i tankar.

Eg kunne ikkje leggja meg bort i noe av dette. Slå det fast, og øv det inn, er ein slag grunntese i praktisk matematikkdidaktikk. Undervisninga til ein lærar er også ofte slåande, om ikkje alltid like opplysande. Den eg var bestefar til, er ein påpasseleg elev med godt minne. Ho ville nok greia seg, sjølv om dette første møtet med brøken var ei avsporing, tenkte eg og var ganske sutlaus medan tankane mine blei liggjande å sviva omkring det eg sjølv heldt for den beste læringsvegen i brøkrekninga.

Et sammenhengende byggverk, bygd opp ved tankens hjelp alene. sa læraren min i realskulen om geometrien. Draumen om det samanhengande byggverket hadde følgt den euklidske geometrien, heilt frå grekarane hadde tatt over dei praktiske kunstene som landmålarane mellom dei to elvane Eufrat og Tigris, hadde utvikla i oldtida for å finna igjen eigedomsgrensene etter at landet hadde vore overfløymt.

Draumen hadde levd vidare i dei akademiske miljøa. Midt på 1900-talet hadde draumen ført oss inn i eit omfattande reformprosjekt i skulematematikken. Prosjektet blei kalla moderne matematikk hos oss. New Math i den engelskspråklege delen av verda. Matematikken i skulen var blitt eit umuleg lappeteppe, han hadde fått ein «piece meal character», som det var på høg tid å få retta på, var den utbreidde meininga. Men denne reforma, med dei høge måla, skulle snart stranda. Me blei sitjande igjen med endå fleire og meir ueinsarta lappar enn me noen gong hadde hatt. At den grunnleggjande forståinga av brøksymbolet var blitt omgjort frå tal til forhold i vekeplanen til barnebarnet mitt, var for meg endå eit møte med ein bit skulematematikk på avvegar.

På ein konferanse om det nye ved Chelsea College i London i 1975, heldt professor Servais frå Belgia eit av foredraga. Han hadde vore aktiv i reformarbeidet på slutten

4

av 1960-talet. Nå var han meir tvilande og fann utrykk for dette i til dels spøkefulle vendingar. Definisjonen av den rette linja, utforma som byggjestein i ein modernisert fransk skulematematikk, blei sitert. Forsamlinga mora seg. Eg forstod for lite fransk til å hanga heilt med. Det var lettare å forstå den briten som tok ordet i diskusjonen etterpå. «Her på øyane (the islands) definerer me den rette linja som det me får når me dreg blyanten langs ein linjal», fortalde han.

Tittelen på det arbeidet eg her legg fram, er forma som eit spørsmål: Formal eller real matematikkundervisning? Dette er tittelen på ein artikkel skriven i 1904 av Magnus Alfsen. Alfsen var den første som hadde ei eiga lærarstilling i det me i dag ville kalla matematikkdidaktikk. Han kan utan tvil reknast med som ein av pionerane i norsk skulematematikk. Man må lade de reale behov efterhaanden skabe de matematiske redskaber, skriv han i 1904. Alfsen er ein brite i historia til den norske skulematematikken, kunne me her seia.

Alfsens tankar om ei real matematikkundervisning, der vekta ligg på den første overgangen frå det konkrete til det abstrakte, er hovudgrunnlaget for den gjennomgangen eg her inviterer lesaren med meg på. Eg kjem til å gå min veg gjennom noen utvalde utsiktspunkt i historia til matematikkdidaktikken i dei siste 100-150 åra. Eg er over alt på utkikk etter dei beste reale utgangspunkta og dei godt tilrettelagde overgangane frå det konkrete til det abstrakte. Dei beste utgangspunkta kan liggja innfelt i allment språk og alminneleg erfaring. Og dei er i stendig utvikling i ein vedvarande vekselverknad mellom skulelærdom og allmennkultur.

Alfsen la stor vekt på elevane som deltakarar, å få dei med inn i den matematiske undersøgelse, som han var så oppteken av. Dei matematiske bevisa hadde blitt rekna som eit slag tankens adelsmerke. Bevisa var matematikkens viktigaste bidrag til den allmenne danninga, kunne mange tenkja. Alfsen tenkte annleis. Bevisa måtte vika for ei friare tankeføring, ei tankeføring som utspelar seg med grunnlag i overgangane frå det konkrete til det abstrakte. Bevisa kunne nok bekrefta resultat av undersøkingar. Ved full visse, blei dei likevel bare ei formsak, dei høyrde til i ei formal matematikkundervisning, den han sette opp mot undersøkingar og ei real matematikkundervisning.

«Alt henger sammen med alt», skal Gro Harlem Brundtland ha sagt ein gong. Om det ikkje var skulematematikken ho hadde i tankane, kunne eg bruka orda hennar for å få fram mitt største problem i dette arbeidet: eit stort mangfald, og store problem med å finna gode avgrensingar.

Eg opnar med å fortelja om 1960-talet då dei ulike faga, matematikk i realskulen og rekning i folkeskulen, skulle bli eitt fag og samtidig var under eit sterkt transnasjonalt reformpåtrykk.

Eg går så bakover i historia, tar opp litt ulike trådar og held i desse til eg når fram til dagens mangfald -og sprikar. I pionertida i reknefaget, blei det lagt stor vekt på at det alltid måtte vera klart kva ting, tala var tal på. Det galdt også når tiarbuntane kom inn og la det første grunnlaget for å forstå titalssystemet og rekninga med dei dekadiske einingane. Deretter kom «brudne tal» inn, med oppdelingar av eininga. Dette førte over til alminnelege brøkar og vidare til desimalbrøkar. Det er her brøken forstått som forhold, så lett kan føra til ei avsporing av læringa.

Eit anna sentreringspunktet på denne ferda, er innføringa av forteiknstala. Det er eit område der den reale matematikkundervisninga blir sett på store prøvar. Det er også eit område der læringa så lett blir til einsidig regelpugg og regelfølging. Det var eit område der den nye

5

matematikken var meint å gi ny samanheng og orden, Og det er også eit område for auka didaktisk innsikt, om me gir oss tid og tek det på alvor.

Den siste overgangen, eg tek for meg, er overgangen frå spesifiserte tal til uspesifiserte tal, til bokstavtal. Det var denne overgangen som var den nye i skulen for alle ved innføringa av den 9-årige skulen. Det var denne overgangen som skulle flyttast frå middelskulen, ein utvalsskule, og over i skulen for alle.

Over alt er eg også på utkikk etter det eg kallar «drivgods» frå det store New Math-havariet.

Dette arbeidet har blitt til over lang tid. Eg har vore innom så mangt i skulematematikken gjennom åra, vore innom så mangt av erfaringar og gjort meg så mange tankar, enten som skulebyråkrat, som medlem av diverse læreplanutval i matematikk, som lærarutdannar eller som lærar i matematikk i vidaregåande skule. Sist, men ikkje minst, må eg få visa til dei tankane eg har gjort meg gjennom åra, som far og nå dei siste åra som bestefar og leksehjelpar til elevar i skulen. Alt dette har sett sitt preg på dette arbeidet og ikkje minst gitt meg så mangt å fortelja, så mange forteljingar som eg har føyd inn i arbeidet mitt.

Forteljingane mine vil nok falla utanfor ei streng akademisk ramme, men eg trur dei kan visa seg meir opplysande enn mange, meir lærde ord.

Alt eg har vore innom av litteratur - av lærebøker i skulen, av fagplanar i matematikk og fagdidaktisk litteratur i bokform eller på artikkelform - alt dette er det mest ikkje råd for meg å halda styr på. Mykje kom til å fastna seg i minnet. Ein god del litteratur har eg samla gjennom åra og hatt liggjande, som mitt eige lager. Dei vanlege krava til noter og litteraturtilvisingar, kunne eg ikkje makta å innfri i dette arbeidet. Men eg prøver så godt eg kan, på meir uformelt vis, å gjera greie for kvar eg har funne det meste av det eg byggjer framstellinga mi på.

Med nettet, og dei søkjeverktøya me rår over i dag, kan me alle, så mykje lettare enn før, ta oss fram på spor me måtte fatta interesse for. Store delar av det som ligg til grunn for i mine drøftingar, er også tatt inn som utdrag eg har skanna inn frå ulike kjelder og sett inn i min eigen tekst.

Til slutt her må eg få retta ein stor takk til professor Roger Säljö ved Göteborg Universitet.

Han har alltid oppmuntra meg, peika på kvalitetar og gitt meg tru på at det var verd å halda fram med arbeidet mitt. Denne rettleiinga er ubetalt arbeid som han friviljug har utført ved sida av dei mange pliktene og oppgåvene, han elles har.

Sola 15. september 2015 Bård Harboe

6

Innhald 1. Innleiande del .............................................................................................. 8 2. Aritmetikk og rekning tek form i den norske skulen på siste halvdel av 1800-talet .................................................................................. 20 3. Pionerar i reknefag og aritmetikk på andre halvdel av 1800-talet .......... 25 4. Nicolaisens «regneskole» ............................................................................ 27 5. Bokstavrekning og likningar skal bli allemannseige på 1960-talet ........... 55 6. Tradisjonar som måtte vika på 1960-70-talet ............................................ 62 7. Den nye matematikken i svensk og norsk skulematematikk etter 1970 ........................................................................ 70 8. Forteiknstala - eit vedvarande problem i skulematematikken ................. 81 9. Ord om PISA - og andre avsluttande ord ................................................. 93

7

4. Niolaisens «regneskole» Nicolaisens «regnebogapparat» Nicolaisens gav ut lære- og oppgåvebøker i rekning for elevane i folkeskulen. Men det er rettleiingsbøkene for lærarane som gir oss det beste og lettast tilgjengelege biletet av heilskapen og dei pedagogiske ideane som ligg i botnen for Nicolaisens store arbeid. Den eldste rettleiingsboka eg har hatt tilgang, er frå 1884. To seinare og reviderte utgåver, ei frå 1895 og ei frå1901, var også mellom bøkene på Vestlandske skolemuseum. Vidare fann eg den første delen av ei rettleiing som blei utgitt i 1912. Denne første delen rettar seg mot undervisninga i 1.-3. skuleår.

Nicolaisens mange skrifter utgjorde eit omfattande «regnebogs-apparat», som han sjølv kallar det. Det er i det heile ein svært omfattande forfattarskap som går over mange år.

Han samarbeidde, som fortalt ovanfor med Bonnevie om innhaldet i reknebøkene for landsfolkeskulen. Landsfokeskulen hadde som me veit, eit mykje lågare samla timetal i rekning enn byfolkeskulen. Fleire årskull kunne også vera til stades i same klasserom i den oftast fådelte landsfolkeskulen. Det måtte vurderast nøye kva som kunne få plass i denne skulen om elevane skulle få med seg det aller mest nødvendige. Då kunne Bonnevie og hans uomtvistelege autoritet, vera god å få med seg. Men utanom dette kan det sjå ut til at Nicolaisen har vore temmeleg åleine om dei mange avgjerder som trongst i det omfattande pionerarbeidet hans. I 1901 hadde «regnebogs-apparatet» følgjande samansetting som vist på neste side.

27

Nicolaisen, tida og trekk ved pedagogikken som ligg til grunn for arbeida hans Ved overgangen frå1800- til 1900-talet var Tyskland hovudlandet når viktige vitskaplege og kulturelle impulsar skulle hentast inn utanfrå. På pedagogikkens område dominerte Johan Friedrich Herbart, etterfølgjaren etter Kant i Königsberg. Herbart blir i litteraturen omtala som så vel filosof, som psykolog og pedagog. Herbart avviser på same måte som Beneke, som eg har omtala lenger framme, teoriane om medfødde åndsevner, såkalla «fakultet». Ikkje noe undervisningsfag kan då bli utpeika som særleg eigna til utvikling av slike evner. Det teoretiske grunnlaget for dei utbreidde formaldanningsteoriane som ikkje minst fanst i tilknyting til matematikkfaget, blei slik motsagde, også av Herbart. Herbart byggjer sin pedagogikk på at alt innhald i medvitet («bevisstheten» - på bokmål) stammar frå førestellingar med rot i erfaringar.

Slike erfaringsbaserte førestellingar kan gå saman i ordna førestellingskrinsar. Desse krinsane kan så i sin tur bli til interesser, bli til ein slag retningsbestemte, menneskelege drivkrefter. Læringa i skulen, også i rekning, blir då grunnleggjande å oppfatta som førestellingstileigning og ei ordning av desse førstellingane i krinsar, som kan gi retning og dynamikk til den fortsette læringa.

Når nytt skal inn, må det først arbeidast med dei førestellingane som er der frå før, slik at dei nye førstellingane kan bli kopla til desse og finna sin plass i ordna og utvida førstellingskrinsar. Den samla prosessen der nytt blir tatt inn gjennom sansane, persipert, og innlemma i det som var der frå før, kallar Herbart appersepsjon. I det herbartske regimet var nøyaktig planlegging og ordning av innhaldet eit hovudvilkår for ei vellukka læring.

Mykje av det me finn i Nicolaisens skrifter, kan føra tankane våre mot den herbartske ånda som låg i tida då Nicolaisens utførde sitt store arbeid med å gi reknefaget innhald og form. I alle samanhengar held Nicolaisen nøye greie på kva førstellingar som skal inngå i ei fast og trinnvist oppbygd tileigning eller læring.

28

en binær operasjon anvendt på et vilkårlig par av elementer innen en mengde er et element som tilhører mengden, sier vi at mengden er lukket under den binære operasjonen.

En prosess som anvendt på par av ting frambringer enkeltting. Meir vidfemnande og abstrakt er det kanskje vanskeleg å få denne definisjonsliknande formuleringa. I matematik NU blir dei binære operasjonane, som sagt, kalla komposisjonar. Å halda greie på eigenskapane ved komposisjonar, dei prosessane som skaffar fram enkeltting ut frå par av ting, blei nå det viktige i New Math, eller «den nya matematiken», som blei den svenske nemninga. Det er her ei sterkt samanfatta framstelling i matematik NU, kjem inn og hjelper oss med å teikna eit tydelegare bilete av dette nye. matematik Nu opnar med å presentera ordet mängd for oss. Begräppet mängd definerar vi inte, blir vi fortalt. Vi nöjer oss med att intuitivt uppfatta «mängd» som en beskrivning av helheter av saker, fortel dei oss:

72

8. Forteiknstala - eit vedvarande problem i skulematematikken Her vil eg først gå litt tilbake i tid, få fram trekk ved tradisjonane våre, før eg vender meg mot desse forteiknstala slik dei blei presenterte under den nye matematikken på 1970-talet.

Alfsen hadde halde hardt på at også innføringa av forteiknstala måtte ta utgangpunkt i reale tilhøve. Forteiknstala måtte få meining som uttrykk for motsette retningar, i direkte eller overført, tyding. Om forteiknet pluss stod for opp, måtte minus stå for ned. Det var slik me i fysikken brukte forteikna i likningar om det vertikale kastet Bonnevie tenkjer annleis.. Han innfører dei negative tala utan bestemte utgangspunkt i realverda. Han innfører dei «uagted nu negative Tal og Størrelser ikke i sig selv have nogen betydning», som han seier det. Differansen (a−b), blei omskriven til (a+(−b)). der (−b) blei kalla eit negativt tal, men altså ikkje tillagt «nogen betydning». Uttrykket (a−b)2 kunne då omskrivast til (a+(−b))2. Det første av desse to synonyme uttrykka blei så rekna ut/omforma i fleire trinn etter dei reglane eller framgangsmåtane som frå før var gjeldande. Først kom (a−b)(a−b)=a(a−b)−b(a−b). Det enda med heving minusparentesar. Deretter blei det andre uttrykket omforma, eller rekna ut, i samsvar med regelen om å ganga kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd i den andre. Forteikna på ledda blei så sette til i ettertid slik at det blei samsvar mellom resultata av dei to utrekningane. Thambs Lyche følgjer også dette sporet. Dette kjem me tilbake til. Men først til forteiknstala i matematik Nu.

81

Forteiknstala i «matematik NU» Det store spørsmålet knytt til innføringa av forteiknstala i skulen hadde på 1900-talet vore eit spørsmålet om eksistens. Men i den nye matematikken og i matematikk Nu, blir dette nedervde eksistensspørsmålet skuva til sides, slik det går fram av utdraget nedanfor her, ein tekst med overskrifta «hela tal»:

Man står helt fri att addera og multiplicera negativa tal som man vil, får me vita. At dette gjeld bare teoretiskt, er det neste. Aksioma i ein matematisk teori var ein fri til å velja som ein ville. Det var bare kravet om eit konsistent byggverk som var ufråvikeleg. Det må vera slike førestellingar som ligg attom det som her blir sagt om ein teoretisk fridom.

Forteiknstala kjem til seint i skulematematikken. Dei må passast inn som del av det byggverket som då ligg føre. Den teoretiske vegen der alt fell på plass fordi ein følgjer ein samla, konsistent og gjennomgåande plan, høyrer til i ei litt anna matematikkverd enn den skulematematikken høyrer til.

82

Bård Harboe f.1937 er cand. real. frå Universitetet i Oslo med undervisningsfaga matematikk, fysikk og kjemi og med mellomfag og hovudfag i pedagogikk.

Han var konsulent i Forsøksrådet for skoleverket i dei mest turbulente åra i skulematematikken. Han har også hatt oppdrag på dette området for Nordisk kultursekretariat i København Bård Harboe han har arbeidd innanfor allmennlærarutdanning og praktisk pedagogisk utdanning (pedagogisk seminar) og leia denne i Stavanger frå 1975 til 1986. Frå 1986 til 1999 var han lærar i naturfag og matematikk ved Sola vidaregåande skule.

9 788290 91092 6