Erik Bjerre og Pernille Pind
LĂŚrerveiledning til
Les selv om matematikkens spennende verden Oversatt og tilrettelagt for norske forhold av Kari HaukĂĽs Lunde og Olav Lunde
Info Vest Forlag, 2011
Om de fem heftene i boks 1 (med løsningsforslag) Målgruppe: 4.-7. årstrinn Heftene i boks 1 kan også brukes i spesialpedagogisk sammenheng på ungdomstrinnet og i videregående skole. Formål: Formålet med “Les selv om matematikkens spennende verden” er å gi en annerledes og supplerende innfallsvinkel til matematikkundervisningen. Med “Les selv-heftene” vil elevene oppleve at Matematikken kan leses og være noe annet enn oppgaveløsninger og matematiske undersøkelser De selv kan sette seg inn i nytt matematikkstoff Matematikken inngår i sammenhenger med historie og samfunn Med “Les selv-heftene” vil læreren Få et alternativ til oppgaveark Gi elevene nye utfordringer – og hvor det faglige er sentralt Få materiale til verkstedsaktiviteter Kunne gi nye bidrag til tverrfaglig samarbeid Matematikk kan leses For de aller fleste menneskene er matematikk det samme som å løse matematiske oppgaver. I de senere årene er dette blitt supplert med matematiske undersøkelser, hvor elevene selv definerer undersøkelsesområdene og selv utfører slike undersøkelser. Oppgaver og undersøkelser er en viktig del av det å arbeide med matematikk, men det gir ikke et helt bilde av matematikken. Matematikk er også kunnskap som kan leses, og denne kunnskapen kan være viktig for forståelsen og er ofte spennende. Dette kan elevene oppleve med “Les selv-heftene”:
Eleven kan selv sette seg inn i ny matematikk De fleste elevene vet godt at hvis de vil vite mer om Titanics forlis eller H. C. Andersens liv enn det læreren har fortalt, kan de selv finne fram til det. En av måtene å gjøre det på, er å låne bøker om emnet. Men det er veldig få elever som tenker på at de selv kan finne fram til mer matematisk viten enn den læreren har gitt dem. Matematikken er typisk gjennomtygget av læreren først. “Les selvheftene” er et skritt i retning av å gi elevene følelsen av at de selv kan sette seg inn i matematikk – uten hjelp av læreren! Matematikk i sammenheng Matematikkundervisningen i skolen er ofte uten noen kontekst og fylles av rene talloppgaver eller rene geometrioppgaver. I de siste årene er det heldigvis blitt større fokus på bruken av matematikk i hverdagen, i arbeidslivet og i samfunnet generelt. “Les selv heftene” følger denne tendensen. I materialet er det fokus på andre sammenhenger enn de rent bruksorienterte, nemlig historiske, kulturelle eller personlige sammenhenger. Vi kan kalle dette for deler av den matematiske kulturarven med små historier og fakta som er felles bakgrunnskunnskap for en stor gruppe matematikere. Flere av historiene beskriver også startskuddet til et nytt område innen matematikken. For eksempel var Eulers løsning på problemet med de sju bruene starten på grafteori1 (heftet “De sju bruene”), og diskusjonen mellom Laplace og d’Alambert var med på å etablere sannsynlighetsteori som matematisk gren (heftet “Mynt og krone”).
Elevene klarer seg selv Det er viktig at elevene selv skal kunne lese heftene. De er ikke tenkt som lekser eller som del av et pensum. Elevene skal ikke “høres” i emnet, og de skal ikke få rettet de oppgavene som finnes bak i heftene. Elevene skal selv hente løsningsforslag (finnes i denne veiledningen, og kan kopieres fritt), og rette oppgavene selv. Det skal være elevens frie valg om han eller hun vil løse oppgavene eller om de bare vil lese dem og så se på løsningene.
1
Grafteori er en gren i matematikk og informatikk der man studerer egenskapene til grafer. Grafer er matematiske strukturer som brukes til å lage modeller for parvise relasjoner mellom objekter. I informatikken regnes graf som en abstrakt datastruktur, en teoretisk struktur som kan implementeres på ulike måter. Studier av algoritmer som behandler grafer er en viktig disiplin med mange praktiske anvendelser. I dag er dette i stor grad knyttet mot moderne datateknikk, men slike algoritmer var også utviklet før den digitale tidsalderen. Grafer og behandling av grafer er viktige verktøy i mange hverdagslige problemstillinger som f.eks. ruteplanlegging, datanettverk og design av mikrobrikker. (Wikipedia)
Bruksmuligheter Et alternativ til ekstra oppgaveark for elever som ønsker utfordringer. Heftene skal ligge framme i klasserommet, og når en elev er ferdig med dagens arbeidsoppgaver, kan han eller hun ta et hefte fra “Les selv”. En pause fra dagens oppgaver Heftene kan være en mulighet for elever som er blitt trøtte av den daglige rutine med arbeidsoppgaver. Kanskje svikter konsentrasjonen i forhold til mengden av oppgaver i matematikkboken. “Les selv-heftene” kan være et “friminutt” hvor elevene får ny energi – samtidig som det faglige er i orden! En verkstedsaktivitet med individuell fordypelse Sammen med andre faglige bøker, kan “Les selv-heftene” være en av stasjonene i en stasjonsorientert undervisning. Stasjonsundervisning i matematikk har en tendens til å få en overvekt av arbeidsoppgaver som krever samarbeid, kommunikasjon og fingerferdighet. Et verksted med faglig frilesing kan utnytte og stimulere ferdigheter som konsentrasjon, fordypelse og selvstendig tilegnelse av kunnskap. Faglig samarbeid “Les selv”-konseptet er hentet fra samme didaktiske tenking som en finner i norskfaget. Der inngår også lesing av fagstoff som del av undervisingen. De enkelte heftene kan også inngå i temaer i for eksempel historie og samfunnsfag.
De enkelte heftene
1. Ideen
Mynt og krone Å få oppleve og erfare at sannsynlighet er noe vi gjerne kan regne ut
Matematiske forutsetninger
Innledende sannsynlighet: kunne telle antall muligheter. Begrepet dobbelt. Begrepet ca.
2. Ideen
Når VI er et tall Å få oppleve et annet tallsystem enn vårt eget. Det bygger i tillegg på et helt annet matematisk prinsipp.
Matematiske forutsetninger
Leseretningen. Addisjon. Subtraksjon. Multiplikasjon med 10. Halvdel av 10-er potenser. Hele tall fra 1 til f. eks. 2010.
3.
Tegne stjerner Å gjøre oppmerksom på den symbolverdien som ligger i mye av geometrien. Å knytte matematikken til disse symbolene.
Ideen Matematiske forutsetninger
4. Ideen
Matematiske forutsetninger
5. Ideen Matematiske forutsetninger
Sirkler. Trekanter. Firkanter. Strek / linje mellom to punkter.
De sju bruene Det klassiske problemet med å tegne figurer i en strek blir her presentert knyttet til en historie. Det blir presentert en løsning som er forbløffende enkel! Partall og oddetall.
Tankeleseren Å få en opplevelse av at matematikk kan forklare det som tilsynelatende kan være tankelesning. Addisjon. Subtraksjon. Siffer. “Gammeldags” loddrett oppstilling av addisjonssubtraksjonsalgoritmene. Tallområdet hele tall 1 – 987.
og
Løsningsforslag til oppgavene
1. Mynt og krone Oppgave 1 Ja, det passer med Laplaces teori. Mette får 1 mynt og 1 krone ca. dobbelt så mange ganger som både 2 mynt og 2 krone. Hvis det skulle vært helt nøyaktig, hadde hun fått 25 kast med 2 mynt, 50 kast med 1 mynt og 1 krone og 25 kast med 2 kroner. Men når vi kaster med mynter eller terninger, kan vi ikke regne med å få helt nøyaktig det teorien sier. Oppgave 2 Mette har rett. Vi kan f. eks. få 7 på mange flere måter enn vi kan få 2: 1+6=7, 2+5=7, 3+4=7, 4+3=7, 5+2=7, 6+1=7, men bare 1+1=2. Det er faktisk 7 som er det beste tallet å satse på fordi det kan vi få på flest mulige kombinasjoner. Vi kan få 7 på seks ulike måter (se ovenfor), men vi kan bare få 6 eller 8 på fem forskjellige måter: 1+5=6, 2+4=6, 4+2=6, 5+1=6 2+6=8, 3+5=8, 4+4=8, 5+3=8, 6+2=8 (1+7 og 7+1 fungerer ikke, da vi jo ikke kan slå en 7-er!) Tallene 3, 4, 5, 9, 10, 11 og 12 får vi bare på enda færre måter.
2. Når IV er et tall Oppgave 1 Huset er fra 1786. Oppgave 2 999 kan for eksempel skrives på følgende måter når vi trekker fra: CMXCIX IM Hvis vi ikke vil trekke fra, må vi skrive slik:
DCCCCLXXXXVIIII
Oppgave 3 Du kan kanskje finne fødselsåret ditt i løsningen til oppgave 4. Oppgave 4
3. Tegne stjerner Oppgave 1 Det er to forskjellige sju-taggede stjerner som vi kan tegne med en strek: Hoppe over 1 prikk
Hoppe over 2 prikker
Oppgave 2 Åtte-tagget stjerne tegnet av to firkanter
Oppgave 3 Ni-tagget stjerne tegnet av tre trekanter
4. De sju bruene Oppgave 1 Antall streker til hvert punkt skal være et partall. Da kan en følge en strek bort fra punktet og en annen tilbake til punktet. En meget enkel løsning er denne hvor det er to streker til hvert punkt.
Hvis du vil ha noen flere streker, kan du godt lage det. Her er f. eks. en løsning hvor det er seks streker til to av punktene og fire streker til det tredje punktet.
Oppgave 2 Antall linjer til minst ett av punktene må være et oddetall. Her er et eksempel hvor det ikke er mulig å gå en tur som tilfredsstiller kravene. Her er det tre streker til to av punktene og to streker til det tredje punktet.
Oppgave 3 Ja! Hvis vi for eksempel starter i det øverste punktet, kan vi følge alle tre strekene og og slutte i det nederste punktet.
5. Tankeleseren Oppgave 1 235 speilvendes til 532. Da 235 er mindre enn 532, skal vi regne 532 minus 235: 532 - 235 = 297 Så skal 297 speilvendes til 792 og 297 og 792 skal legges sammen: 297 + 792 = 1089
Oppgave 2 Når vi speilvender 610 er det viktig å huske 0-en. Det første regnestykket blir slik: 610 - 016 = 594
Pass på at du ikke regner slik: 610 speilvendes til – 160! Og deretter gjør du som før: 594 + 495 = 1089
Oppgave 3 746 - 647 = 99 Her dukker det egentlig opp en null som vi må huske på! Den korrekte fortsettelsen av regnestykket blir da: 099 + 990 = 1089
Oppgave 4 Når 151 blir speilvendt, blir det jo det samme tallet. Og når vi trekker to like tall fra hverandre, blir det ikke noe tilbake. - Slutt på det regnestykket! Men hva blir det hvis de like tallene står ved siden av hverandre, f.eks. 115? 511 - 115 = 396 396 + 693 = 1089 Dette gikk jo bra! Men trikset er nok lettere å forklare hvis vi holder fast på regelen om at alle tallene skal være forskjellige.
Om de seks heftene i boks 2 (Løsningsforslag i heftene) Målgruppe Ungdomstrinnet og videregående skole. Formålet med disse seks heftene er å gi mulighet for å lese om interessante matematiske emner uten å bruke avansert matematikk og i et lett språk med færrest mulig matematiske begreper. Med “Les selv-heftene” vil elevene oppleve at Matematikken kan leses og være noe annet enn oppgaver De selv kan sette seg inn i nytt matematikkstoff Matematikken inngår i sammenhenger med historie og samfunn Med “Les selv-heftene” vil læreren Få mulighet til å gi interesserte elever nye utfordringer – et godt alternativ til flere oppgaveark Få materiale til verkstedsaktiviteter Kunne gi nye bidrag til tverrfaglig samarbeid Matematikk kan leses For de aller fleste menneskene er matematikk det samme som å løse matematiske oppgaver. I de senere årene er dette blitt supplert med matematiske undersøkelser, hvor elevene selv definerer undersøkelsesområdene og matematikkprosjekter hvor elevene selv utfører slike undersøkelser. Oppgaver, undersøkelser og prosjekter er en viktig del av det å arbeide med matematikk, men det gir ikke et helt bilde av matematikken. Matematikk er også kunnskap som kan leses, og denne kunnskapen kan være viktig for forståelsen og er ofte spennende. Dette kan elevene oppleve med “Les selv-heftene”: Eleven kan selv sette seg inn i ny matematikk De fleste elevene vet godt at hvis de vil vite mer om Titanics forlis eller H. C. Andersens liv enn det læreren har fortalt, kan de selv finne fram til det. Og en av måtene å gjøre det på, er å låne bøker om emnet. Men det er veldig få elever som tenker på at de selv kan finne fram til mer matematisk viten enn den læreren har gitt dem. Matematikken er typisk gjennomtygget av læreren først. “Les selvheftene” er et skritt i retning av å gi elevene følelsen av at de selv kan sette seg inn i matematikk – uten hjelp av læreren!
Matematikk i sammenheng Matematikkundervisningen i skolen er ofte uten noen kontekst og fylles av rene talloppgaver eller rene geometrioppgaver. I de siste årene er det heldigvis blitt større fokus på bruken av matematikk i hverdagen, i arbeidslivet og i samfunnet generelt. “Les selv heftene” følger denne tendensen. I materialet er det fokus på andre sammenhenger enn de rent bruksorienterte, nemlig historiske, kulturelle eller personlige sammenhenger. Vi kan kalle dette for deler av den matematiske kulturarven med små historier og fakta som er felles bakgrunnskunnskap for en stor gruppe matematikere.
Elevene klarer seg selv Det er viktig at elevene selv skal kunne lese heftene. De er ikke tenkt som lekser eller som del av et pensum. Elevene skal ikke “høres” i emnene, og de skal ikke få rettet de oppgavene som finnes bak i heftene. Elevene kan selv se på løsningsforslagene som står bakerst i hvert hefte, og rette svarene selv. Det skal være elevens frie valg om han eller hun vil løse oppgavene, eller om de bare vil lese dem og så se på løsningene som står bakerst i hvert hefte.
Bruksmuligheter Et alternativ til ekstra oppgaveark for elever som ønsker utfordringer. Heftene skal ligge framme i klasserommet og når en elev er ferdig med dagens arbeidsoppgaver, kan han eller hun ta et hefte fra “Les selv”. Alternativt kan læreren henvise eleven til biblioteket hvor “Les selv-heftene” står. En pause fra dagens oppgaver Heftene kan være en mulighet for elever som er blitt trøtte av den daglige rutine med arbeidsoppgaver. Kanskje svikter konsentrasjonen i forhold til mengden av oppgaver i matematikkboken. “Les selv-heftene” kan være et “friminutt” hvor elevene får ny energi – samtidig som det faglige er i orden! En verkstedsaktivitet med individuelle fordypelse Sammen med andre faglige bøker, kan “Les selv-heftene” være en av stasjonene i en stasjonsorientert undervisning. Stasjonsundervisning i matematikk har en tendens til å få en overvekt av arbeidsoppgaver som krever samarbeid, kommunikasjon og fingerferdighet. Et verksted med faglig frilesing kan utnytte og stimulere ferdigheter som konsentrasjon, fordypelse og selvstendig tilegnelse av kunnskap. Faglig samarbeid “Les selv”-konseptet er hentet fra samme didaktiske tenking som en finner i norskfaget. Der inngår også lesing av fagstoff som del av undervisningen. De enkelte heftene kan også inngå i temaer i for eksempel de naturvitenskapelige fagene, historie, samfunnsfag og norsk.
De enkelte heftene
6 Ideen
Matematiske forutsetninger Tverrfaglig samarbeid med
7 Ideen
Matematiske forutsetninger Tverrfaglig samarbeid med
8. Ideen Matematiske forutsetninger Tverrfaglig samarbeid med
9.
Les selv om MÅL Å stifte bekjentskap med mål som ikke er basert på 10-talls systemet (gamle norske mål og nåværende amerikanske mål). På den måten kan elevene se fordelene i metersystemet. Desimaltall og potenser
Norsk, historie, natur og teknikk, geografi
Les selv om KART Å stifte bekjentskap med det fundamentale problemet at jorden er en kule, mens kartene er flate. Fokus på hvordan matematikken kan hjelpe til med å håndtere dette problemet. Kule, sylinder, vinkelmål i grader, omkretsen av sirkel
Natur og teknikk, geografi, fysikk
Les selv om LABYRINTER Å gjøre oppmerksom på geometrien i forskjellige labyrinter Sirkelbue, kvadrat, rektangel
Historie, religion, livssyn og etikk.
Ideen
Les selv om KORTTRIKS Å få en opplevelse av at matematikken kan forklare noe som mange betrakter som magi.
Matematiske forutsetninger
Parenteser, bruk av bokstaver i regneuttrykk. “annenhver”.
Tverrfaglig samarbeid med
Ingen
Begrepet
10. Ideen Matematiske forutsetninger Tverrfaglig samarbeid med
11.
Les selv om LOGIKK Er Morlille virkelig en stein? Hvordan logikk kan brukes og misbrukes. Ingen
Norsk, historie
Ideen
Les selv om UENDELIGHET Å få en første opplevelse av hva uendelighet er, og forsøk på å regne med uendelighet!
Matematiske forutsetninger
Kjennskap til de naturlige tallene og brøkene (de rasjonelle tallene). Tabellene.
Tverrfaglig samarbeid med
Norsk.