Matematikkvansker - Konkrete tiltak for tidlig innsats by Info Vest Forlag AS

Lena Lindenskov og Peter Weng

MATEMATIKKVANSKER KONKRETE TILTAK FOR TIDLIG INNSATS

Regnehull

Lena Lindenskov og Peter Weng

MATEMATIKKVANSKER KONKRETE TILTAK FOR TIDLIG INNSATS

Originalens tittel: Lena Lindenskov og Peter Weng Matematikkvanskeligheter Tidlig intervensjon ÂŠ 2013 Forfatterene og Dansk Psykologisk Forlag Omslag, figurer og grafisk tilrettelegging Klahr Grafisk design Grafisk tilrettelegging: Tryll Design Fotos: Peter Weng Oversettelse: Knut Farbrot Redaksjon: Olav Lunde, Knut Farbrot og Frank SĂ¸rensen

1. utgave 2015 ISBN 978-82-90910-64-3 Info Vest Forlag - www.infovestforlag.no Alle rettigheter forbeholdes. Kopiering fra denne boken er kun lovlig ved institusjoner eller virksomheter som har inngĂĽtt en avtale med Kopinor. Unntaket er korte utdrag til bruk i anmeldelser.

Forord Denne boken er et resultat av et svært omfattende arbeid fra en rekke mennesker. Vi ønsker først og fremst å rette en stor takk til Frederiksbergs skoler og til skoleforvaltningen og skolenes ledere for å ha satt fokus på å gi støtte til elever som befinner seg i risikogruppen for å oppleve problemer med matematikkundervisningen. Vi vil gjerne også takke matematikkveiledere og matematikklærere som gjennom sitt engasjement i dette prosjektet og langvarige utprøvinger sammen med sine elever, har gitt et verdifullt bidrag til bokens form og innhold. Vi vil også takke samtlige lærere og kommuner som har deltatt på våre kurs og kommet med nyttige tilbakemeldinger. Takk også til alle elever og foreldre som har valgt å bruke materiellet. Utviklingen av boken har vært en lang og omfattende prosess, og vi vil gjerne rette en takk til Dansk Psykologisk Forlag for sakkyndig redigering av boken. Sist, men ikke minst, ønsker vi å takke Fondet Egmont for deres støtte til utviklingen av prosjektet og utgivelsen av boken. Lena Lindenskov og Peter Weng

Innhold INNLEDNING Bokens formål og bakgrunn …………………………………………......................……….. 7 Nasjonale bestemmelser for matematikkundervisning …………................................….. 8 Inkludering og undervisningsdifferensiering ……………….......................................……. 8 Regnehull ………………………………………………………......................................….... 8 Kartlegging og undervisning styrt av fokusspørsmål ……....................................………. 9 Lærerens rolle …………………………………………………..................................………. 9 Valg av innsatsområde ……………………………………......................................……… 10 Skolens matematikkprofil ……………………..................................……………………... 10 BOKENS Innhold Screeningstest …………………………………….....................................………………... 11 Elevsamtale ……………………………………….....................................………………… 11 De ti matematiske områder ………………….........................................………………… 12 Undervisning i lys av Gummi-Tarzan ………..........................................………………… 14 SAMARBEID OG SAMARBEIDSPARTNERE Kommunikasjon …………………………………………........................................………. 16 Samarbeid mellom spesiallærer og matematikklærer …………......................…………. 16 Samarbeid med foreldrene …………………………………………......................……….. 17 Tidlig inngripen og skolens matematikkprofil …………………......................…………… 18 Screeningtest til nybegynnertrinnet (1.-2. KLASSE) Elevsamtale …………………………………….....................................…..…………… 27 A. Kjennskap til/viten om tallene i sammenheng og tallenes navn og symbol …........ 31 B. Forståelse av tallenes egenskaper, som kardinal, ordinal og identifikasjon og ordenstall …................................................................. 47 C. Grunnregler for tall ved addisjon og substraksjon………..................................…... 63 D. Forståelse av grunnleggende tallsammenheng …................................................... 79 E. Grunnregler for tall ved multiplikasjon og divisjon …......................................…….. 95 F. Grunnforklaringer og terminologi relatert til geometriske former …....................... 111 G. Grunnregler og forståelse av geometriske formler ……......................................… 127 H. Formler for gjenkjennelse og produksjon av tallmønstre og geometriske formler .... 143 I. Grunnleggende forståelse av del-helhet …............................................................ 159 J. Grunnleggende forståelse av målingsenheter …………………………................... 175 Litteratur ……………………………………....………………………………………… 191

Innledning Formålet med MatematikkvanskerKonkrete tiltak for tidlig innsats er å tilby matematikklærere muligheten til å gi rask og effektiv støtte til elever som har problemer med å lære grunnleggende sider av matematikkens ulike områder. Å ha slike problemer er ikke knyttet opp til en bestemt alder eller klassetrinn. Boken retter seg derfor mot alle elever som har eller viser tegn på å ha vanskeligheter med å forstå grunnleggende matematikk, uavhengig av alder og klassetrinn. Boken åpner opp for at lærere kan arbeide med det matematiske stoffet på en måte som kan tilpasses den enkelte elevs forutsetninger og behov, uansett hvor eleven befinner seg i sin utvikling av matematisk kunnskap. Jo tidligere man tilbyr hjelp, jo bedre. At tiltak settes i verk så tidlig som mulig, er i seg selv svært viktig i undervisningen. Matematikkvansker– Konkrete tiltak for tidlig innsats kan også benyttes i forhold til elever som ser ut til å være i svært rask framgang tidlig i skolegangen. For noen av disse elevene baserer deres hurtige fremgang seg primært på å gjenkjenne matematiske tegn, samtidig som man mangler kunnskap om og forståelse av det matematiske språket. Disse elevene kan dermed komme til å oppleve vansker med å forstå matematikk på et senere tidspunkt i skolen. Ved å benytte seg av denne boken, kan læreren få informasjon om dybden av kunnskap hos elever som viser rask fremgang. Boken kan med andre ord brukes i forhold til begge marginalgruppene omkring normalområdet: Den er først og fremst utviklet med tanke på elever som har problemer med å lære matematikk, men kan også brukes for høyt presterende elever.

Boken vil kunne gi læreren svar på følgende spørsmål: • Hvilke informasjoner om elevens matematiske utvikling skal læreren prøve å få kjennskap til? • Hvilke faglige områder er viktige i elevens matematiske utvikling? • Hvordan kan læreren innhente informasjon om hva eleven kan? • Hvilke undervisningstiltak kan læreren sette i gang på grunn av denne informasjonen? • Hvilke samarbeidspartnere er viktige for å gi eleven støtte? Boken gir et strukturert opplegg for støtte til elever med vansker. Dette kan tilpasses og utvikles på en fleksibel måte av kompetente lærere. Bokens innhold er delt inn i tre nivå: Det første nivået er bokens matematikkfaglige innhold som er delt inn i ti grunnleggende begrepsområder med tilhørende strategier. De betegnes med bokstavene A-J, hvilket betyr at det ikke er en rekkefølge som må følges. De tar for seg forskjellige sammenhenger med tall, figurer og forhold. På det mer overordnede nivået beskrives og begrunnes det innenfor hvert av de ti områdene en strukturert kartlegging og undervisning som bygger på samtale. Sist, men ikke minst, anbefales det å se støtten til elever med vansker i sosial sammenheng. På dette nivået er anbefalingene strukturert med hensikt å styrke nettverket omkring elevens læring, dvs. foreldre, lærer og skoleledelse. Bokens struktur er utviklet og utprøvd i samarbeid med Fredriksberg Kommune i Danmark i årene 2009 til 2011 med deltakelse av lærere og elever. Opplegget ble brukt fra og med skoleåret 2010-2011 av lærere i kommunens skoler, og det utgjør blant annet grunnlag for kommunens tidlige innsats i

matematikk. Hovedprinsippet er at elever som i slutten av første klasse viser tegn til matematikkvansker, tilbys støtte fra starten i andre klasse. Opplegget er da at eleven får støtte i 30 minutter fire dager i uken i en periode på 12 uker. Boken bygger på den kunnskap vi forfattere har om tilpasset undervisning og spesialundervisning i matematikk. Denne kunnskapen har vi tilegnet oss gjennom mange års arbeid med matematikkvansker. I diskusjonen om matematikkvansker og elever som har slike vansker med å lære matematikk, har vi innført begrepet ”regnehull” som vi vil beskrive detaljert i det følgende. Boken henter noe av inspirasjonen fra den tenkning som ligger til grunn for Mathematics Recovery (Wright 2008) som internasjonalt tiltak for å forebygge senere behov for spesialundervisning. Boken er også et svar på en av anbefalingene i OECD-rapport om grundskolen i Danmark2004 (Mortimore m.fl. 2004). Her blir sterke og svake sider ved skolen beskrevet, og det gis anbefalinger. En av disse anbefalingene går på å ta initiativ overfor elever med matematikkvansker.

Overordnede mål for matematikkundervisningen Det matematiske landskap er mer enn tall og bruk av tall i de fire regningsartene. Det er for snevert å kun fokusere på forståelse av tall og regningsarter. Vi mener at flere områder enn tall og regningsarter må tas med allerede fra starten av grunnskolen. Dette er en utvidelse i forhold til internasjonale opplegg for tidlig innsats. Boken inneholder derfor også beskrivelse av hvordan man kan arbeide med elevene i geometri, mønster, del-helhet/brøk og måling. De ti utvalgte områdene som er med i boken, er fundamentale i hele elevens skoletid. Matematikken i skolen gir mulighet for å øve opp det aktive ordforrådet til eleven med målsetting få eleven til å bruke matematiske begrep i hverdagen. Dagligtalen inneholder mange uttrykk for hva som tidsmessig kommer før og

etter, og elever og lærere kan leke med disse i matematikkundervisningen og i andre fag. Boken inneholder derfor forslag til hvordan man kan bruke språket i kartleggingen og undervisningen. Det kan for eksempel dreie seg om å leke med uttrykk som ”neste år”, ”et år senere”, ”året etter”, ”en time senere”, ”etter en time”, ”en time foran” (om ur som går for seint eller tidssoner) og ”neste time”. Boken inneholder også mange eksempler på bruk av matematiske begrep i situasjoner som er kjente for eleven for på den måten å skape større motivasjon. Utvikling av elevenes matematiske kompetanse er en viktig del av matematikkundervisningen. Det må legges vekt på at elevene skal kunne bruke det de lærer som utgangspunkt for videre matematikklæring, både i andre fag og utenfor skolen. Det er også viktig at eleven skal utvikle motivasjon for å bruke matematikk. Kunnskap og ferdigheter skal aktiveres. For å få dette til, gir boken råd om hvilke typer spørsmål man kan stille, hvordan man kan løse problemer, hvordan man kan tenke annerledes og hvordan man kommuniserer med hverandre.

Regnehull Vi bruker begrepet ”regnehull” som en metafor for matematikkvansker hvor matematikken ses som et landskap med mer eller mindre tilgjengelige områder. Landskapet består av daler, bakker og fjell- alle med forskjellige muligheter for vekst og alle med ulike klimaforhold. Når en elev har stoppet læringen sin i matematikk, sier vi metaforisk at eleven har falt ned i et ”regnehull” i det matematiske landskapet. Når en elev har falt ned i et regnehull, er det tiltak man som lærer kan bruke for å støtte eleven: Man kan støtte eleven ved å arbeide bredt med de matematiske begrepene og prosessene eleven har vansker med. Dette kan f. eks. skje ved at læreren får eleven til å samarbeide om matematiske oppgaver og begrep, for på den måten å motivere eleven og framkalle hans/hennes potensial. Slik kan regnehullet fylles opp på en god måte.

Man kan støtte eleven ved å gi han/henne redskaper som kompenserer for vanskene, slik at eleven likevel kan arbeide med matematiske problemer. Dersom eleven for eksempel har problemer med de fire regneartene, kan en kalkulator være et hjelpemiddel som gjør det mulig for eleven å utvikle sin matematiske tenkning på tross av manglende ferdighet. Dersom eleven har kalkulator på mobilen og er mer fortrolig med å bruke denne fremfor en vanlig kalkulator, må man selvfølgelig la eleven bruke mobilen. Her blir hovedsynspunktet at læreren må være pragmatisk og legge til side eventuelle prinsipp om hvilke hjelpemidler det er akseptabelt å ta i bruk. På denne måten bygger man en bro over regnehullet. Eksempel på andre hjelpemidler som kompenserer for manglende ferdigheter, kan være kuleramme, målebånd eller matematiske dataprogrammer. Man kan støtte eleven ved å introdusere han/ henne for et annet matematisk landskap for å forsikre seg om at eleven til enhver tid får mulighet til å utvikle sin matematiske tenkning og sin interesse for matematikk. Denne form for støtte kan iverksettes for å unngå risikoen for at eleven ”setter seg fast i et regnehull”. Eleven kan for eksempel ha behov for å arbeide med noe annet enn matematikk, før man etter en tid igjen forsøker å arbeide med de begreper som ligger rundt regnehullet. På den måten kommer eleven – for kortere eller lengre tid – bort fra regnehullet. Med sine mange forslag til ulike metoder skiller denne boken seg fra internasjonale opplegg som også tar sikte på å tilby tidlig intervensjon. Disse bærer ofte preg av en hierarkisk tankegang om at eleven må arbeide seg gjennom bestemte nivå i en bestemt rekkefølge. Ut fra tankegangen om regnehull, vurderer man derimot hvorvidt eleven har stoppet opp i sin forståelse av matematiske begrep, altså ”falt ned i et regnehull”, og i så fall setter man i verk hurtige tiltak, både for at eleven ikke skal gi opp, men også fordi elevens problemer kan øke ettersom tiden går. Støtten som beskrives i boken, legger vekt på at eleven får utviklet en hensiktsmessig basal begrepsforståelse, personlige strategier, og sist, men ikke minst,

sin motivasjon. Alle disse faktorene er viktige for elevens videre utvikling. Det er også grunnen til at kartleggingen og forslagene til støtte fokuserer på de affektive og sosiale sidene ved matematikkvanskene. Boken kan med andre ord brukes til å avdekke elevens forståelse, holdning og følelser i forhold til matematikk og kartlegge hvordan disse kan brukes på en produktiv måte. Hensikten er at eleven styrker og videreutvikler- om nødvendig bygger opp sin forståelse, strategi og opplevelse av seg selv og av matematikk, som kan danne grunnlaget for at eleven kan oppnå målene for læringen.

Kartlegging og undervisning basert på fokusspørsmål Boken legger stor vekt på kartlegging av elevens matematiske problemer. Kartleggingen tar som nevnt tidligere utgangspunkt i ti utvalgte matematiske områder, og til hvert av disse områdene har man laget seks fokusspørsmål. Dette er vårt forslag til hvilken informasjon læreren skal innhente angående eleven når man legger til rette for og gjennomfører en intervensjon som er nøye tilpasset den enkelte elev. Fokusspørsmålene er begrunnede, overordnede spørsmål som viser hvilke områder læreren skal fokusere på når han eller hun skal innhente informasjonen som skal brukes i planleggingen og undervisningen. Fokusspørsmålene brukes i første omgang i kartleggingen, men etter det også henholdsvis i den grunnleggende og videre læringen. Fokusspørsmålene skal verken stilles til eller besvares direkte av eleven, men har som formål å gi læreren en retning i kartleggingen av elevens ferdigheter, kunnskap og lyst til å lære.

Lærerens rolle Både bokens strukturerte kartlegging og forslagene om undervisningstiltak er kun ment som et forslag til hvordan man kan gå frem. Læreren kan først prioritere å velge i det omfattende kartleggingsmateriellet han besitter ut fra sitt kjennskap til eleven og til elevens ordinære matematikkundervisning. Når elevens

vansker er kartlagt, kan læreren benytte boken til å finne flere ulike forslag til tiltak man kan gjennomføre. Læreren kan velge forslagene som passer best til elevens motivasjon og som gir eleven størst mulig utbytte. Dersom læreren finner andre opplegg bedre egnet til en konkret elev, bør han/hun være oppmerksom på å innhente andre opplegg enn det som beskrives i forbindelse med kartleggingen. I så fall oppfordrer vi til å føre notater om disse alternative oppleggene, slik at han/hun kan bruke sine erfaringer gjennom kartleggingen. Læreren kan også bruke forslagene som inspirasjon. På bakgrunn av sine profesjonelle vurderinger kan han utvikle forslagene eller erstatte dem med andre, alt ut fra hva som fungerer best i hvert enkelt tilfelle. Erfaringene vi innhentet gjennom lærerkursene i prosjektperioden, tyder på at boken inneholder kartleggingsmateriell og forslag som lærere kan bruke som grunnlag for gode og lærerike samtaler med elever, og som kan inspirere lærere til å ta i bruk og tilpasse innholdet ut fra hver enkelt elev. Vi ønsker at lærere vil bruke opplegget på en dynamisk og personlig måte. Dette er mulig ved at lærerne via sine egne kontinuerlige notater utvikler opplegget til å bli unikt, da det blir formet av hver enkelt lærer som et redskap han eller hun har eierskap til. At lærere tar i bruk sin profesjonalitet på en selvstendig og kreativ måte, er etter vår oppfatning i harmoni med styrken som bør være i skolen. Opplegget er som nevnt ikke delt inn i alder eller klasse, og i prinsippet kan det derfor benyttes av alle elever som har problemer med å forstå matematikkens grunnleggende områder. Det er aldri for sent å sette i gang tiltak, og det er uten tvil elever på mellomtrinnet og ungdomstrinnet som har problemer med å forstå geometriske former, titallsystemet, regneartene, brøk eller måleenheter. Ved å benytte opplegget i denne boken sammen med eldre barn, må spesiallæreren være spesielt oppmerksom på at man tilpasser matematiske eksempler og kontekster til elevens alder og interesse.

Valg av innsatsområde Matematikkvansker – Tidlig innsats gir solid dekning av de grunnleggende matematiske begrepsområdene, slik at man på best mulig måte kan kartlegge på hvilke områder eleven har vansker. Det er på disse områdene eleven skal bli hjulpet til å utvikle sin forståelse og ferdigheter på en konstruktiv måte, samtidig som eleven også får styrket sin selvtillit og lyst til å lære. Spesiallærerne som har som oppgave å kartlegge elevens vansker og sette i verk hjelpetiltak, må sammen med elevens matematikklærer avgjøre hvilke områder som er såpass problematiske for eleven at vedkommende har behov for hjelp. Samtidig må de vurdere hvorvidt eleven på det gjeldende tidspunktet kan motiveres til å utvikle seg på det eller de utvalgte områdene, og om en intervensjon kan løfte elevens lyst til å lære matematikk. Elevens lærere kan også beslutte at et visst område av matematikken ikke skal være en del av undervisningen. Det er forøvrig ikke meningen at man må gjennomføre en total kartlegging og undervise den enkelte elev innenfor samtlige områder fra A til J. Her må det understrekes at bruken av bokstaver fremfor tall for å navngi de matematiske områdene, viser til at rekkefølgen man arbeider seg gjennom materialet på ikke er bestemt på forhånd.

Skolens matematikkprofil Å innføre en matematisk intervensjon etter behov, bør bli en del av skolens matematikkprofil. Dette skjer først og fremst ved et samarbeid med foreldrene til de aktuelle elevene. Det kreves tydelig og god kommunikasjon med elevens matematikklæreren dersom spesialundervisningen finner sted med en annen matematikklærer enn elevens egen.

bokens innhold Screeningtest

Elevsamtale

Matematikkvansker- Tidlig innsats inneholder en screeningtest som kan bidra til å avdekke hvilke av skolens elever som har behov for en særlig intervensjon. Vi anbefaler imidlertid at elevens matematikklærer og andre ressurspersoner, som for eksempel spesiallærere, matematikkveiledere, og /eller kompetansepersonell samtaler om hvordan man på skolen vil gå frem for å identifisere de aktuelle elevene.

Etter screeningtesten inneholder boken et forslag til en elevsamtale mellom eleven og spesiallæreren. Gjennom elevsamtale og ved å snakke med elevens matematikklæreren, kan spesiallæreren få et innblikk i elevens opplevelse av matematikk og med det også tankene og holdningen eleven har utviklet til faget. Dette danner en vesentlig bakgrunn for hvordan eleven vil kunne engasjere seg i spesialundervisningen. Sammen med screeningtesten utgjør elevsamtalen en mulighet for at spesiallæreren kan tilrettelegge en optimal undervisning for eleven.

Bokens screeningtest kan hurtig og enkelt gi informasjon om elevens faglige bakgrunn i matematikk. Elevens resultat på screeningtesten kan danne bakgrunn for de kommende samtalene som finner sted i løpet av spesialundervisningen. Screeningtesten er utformet for å gi informasjon til en overordnet elevprofil, og skal derfor ikke oppfattes eller brukes som en test som skal gi forslag til handling opp mot en detaljert planlegging av spesialundervisningen. Planleggingen av undervisningen skal derimot finne sted i løpet av elevens og spesiallærerens samarbeid gjennom selve prosessen innenfor de matematiske områdene man har valgt (A-J). Vi anbefaler derfor at kartlegging og undervisning blir integrert i elevens opplegg. Tanken bak metoden er altså ikke at eleven først skal «testes» i alle områder, fra A-J, for så å sette i gang undervisning.

Hensikten med elevsamtalen er at den skal være et verktøy når man skal vurdere hvilket område (A-J) det kan være gunstig å starte med, og hvor viktig det vil være å arbeide med elevens selvtillit. Som nevnt tidligere, er det ikke meningen at man begynner med område A for så å følge en bestemt rekkefølge. Valget av rekkefølge må tilpasses den enkelte elev, både ut fra elevsamtalen, men også ut fra lærerens observasjon av elevens fremgang. For å oppnå optimal utvikling hos eleven, anbefaler vi at man arbeider seg gjennom et område med kartlegging og undervisning så grundig som det lar seg gjøre med den enkelte eleven før man begynner på et nytt område. Samtidig vet vi at enkelte lærere har opplevd suksess ved å sette sammen undervisning fra de ulike områdene. Her må man prøve seg frem og finne løsninger som passer best for hver enkelt elev. Vi anbefaler at elevsamtalen er det første steget i spesialundervisningen, men også her viser erfaring at enkelte elever reagerer bedre på opplegget ved at man korter ned lengden på samtalen i begynnelsen, for så å spre innholdet i samtalen ut gjennom prosessen og eventuelt gjentar enkelte tema underveis.