Matemática - Fundamental 2, v. 3 by Programa Integrar Educação

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QUADRO DE ATIVIDADES PARA DESENVOLVIMENTO DO MÓDULO ATIVIDADES

6º

7º

8º

9º

1. Características do sistema de Numeração Decimal 2. Adição e subtração de números naturais 3. Multiplicação e divisão de números naturais 4. Relações entre as operações

MATERIAIS NECESSÁRIOS

Calculadora Cartas numeradas de 2 a 9 Tesoura Régua

Números e Operações | Ensino Fundamental - Anos Finais Reprodução proibida: Reproduzir livro é crime: Código penal, Lei 9610/88, art. 184, título VII: sanções às violações de direitos autorais

NÚMEROS E OPERAÇÕES Muito do que os alunos aprenderão em álgebra, medidas e estatística depende de uma boa compreensão dos conceitos e procedimentos numéricos. Assim, é importante um adequado conhecimento das relações numéricas, do sistema de numeração decimal e das quatro operações. Este caderno sobre Números e Operações tem o objetivo de auxiliar o professor a organizar suas aulas que possam promover: • o desenvolvimento do sentido numérico • o desenvolvimento de um sentido para as operações básicas • a criação de procedimentos para realizar cálculos o uso da estimativa • • a exploração das relações entre representações de números naturais, fracionários, decimais, inteiros, racionais e suas operações No primeiro bloco, as atividades abordam as características do SND a partir da comparação com os sistemas de numeração egípcio, chinês e romano. Essa proposta tem o objetivo de, a partir do contexto histórico, ampliar a visão dos alunos sobre os números naturais, à medida que se defrontam com situações vividas pelas antigas civilizações, como por exemplo, a quantidade e repetição de símbolos, a posicionalidade, a existência do zero e a base utilizada. No segundo bloco, abordaremos diferentes procedimentos de cálculo mental, com papel e lápis, aproximado ou exato da adição e da subtração, relacionando-os ao SND. Além de focalizar as diferentes formas de efetuar a adição e a subtração, privilegiaremos a compreensão dos conceitos e relações envolvidos nessas operações visando o uso reflexivo dos procedimentos, a formulação de hipóteses, a resolução de problemas e as ideias envolvidas nessas operações. Atividades de multiplicação e divisão entre números naturais é o foco do terceiro bloco que propõe atividades para estimular o cálculo mental e a estimativa, levando os alunos a pensar sobre as ideias e algumas propriedades da divisão e da multiplicação. Neste bloco também serão explorados os algoritmos da multiplicação e divisão, enfatizando a compreensão de como cada técnica é desenvolvida. No quarto bloco focalizaremos as expressões numéricas, a operação inversa, a linguagem matemática e o estudo das generalizações, itens que, junto com o trabalho proposto nos três blocos anteriores, são importantes na preparação dos alunos para o estudo da álgebra. As atividades serão propostas no sentido de permitir que os alunos reflitam sobre as relações entre as operações, desenvolvam e utilizem a linguagem matemática relativa às operações, utilizem o simbolismo matemático relacionado às expressões numéricas e compreendam o papel dos símbolos na linguagem matemática. No bloco seguinte a fração é o tema em destaque. As atividades foram organizadas de modo a ampliar a compreensão do conceito de fração como parte de um todo contínuo ou discreto e como quociente de inteiros, a representação e identificação de frações equivalentes, bem como sua utilização em problemas que envolvem comparação de frações e

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operações de adição e subtração de frações. As operações de multiplicação e divisão de frações também serão exploradas em algumas atividades. A abordagem das quatro operações com frações não focalizam os algoritmos, mas sim as ideias das operações. O estudo dos números negativos é o tema do sexto bloco. As atividades focalizarão a comparação, ordenação e representação dos números relativos na reta numerada, a noção de oposto ou simétrico e as operações. Nas propostas, não nos restringimos ao trabalho com números inteiros, mas também incluímos os racionais negativos para que utilizem com naturalidade as frações e decimais. Como nos demais blocos, os alunos serão estimulados a investigarem e tirarem suas próprias conclusões e não simplesmente aceitarem regras prontas e memorizá-las. No último bloco serão organizados os conjuntos numéricos relativos aos números com os quais os alunos já operaram: naturais, inteiros e racionais. Além disso, serão propostas atividades a partir de situações de medição na resolução de situações-problema para que os alunos conheçam alguns números irracionais como π e derivados de raízes quadradas não exatas de números naturais e efetuem aproximações de números irracionais por racionais. A calculadora será utilizada para que o aluno possa perceber algumas propriedades dos números racionais e irracionais, por meio da observação de regularidades obtidas com o auxílio da máquina.

CARACTERÍSTICAS DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL Séries indicadas

Objetivos

6º ou 7º anos

Compreender as características do sistema de numeração decimal (SND), através da comparação com outros sistemas de numeração criados por antigas civilizações

Duração 4 a 5 aulas

Utilizar as características do SND para escrever, comparar e operar com os números

Materiais Ficha do aluno 1, 2 e 3 Ficha A para grupos

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1a ETAPA Material: Ficha do aluno 1 Organização da classe: em grupos Entregue a ficha do aluno 1 e inicie com a leitura coletiva da tabela com os símbolos e valores do sistema egípcio. Faça perguntas sobre como representar outros números que não estão na tabela, como por exemplo, 12, 28, 55 etc. e questione os alunos sobre qual é o menor e o maior número que conseguem representar com aqueles símbolos (neste caso, a resposta esperada é 9 999 999 - para representar 10 milhões seria necessário um novo símbolo). Em seguida, proponha que respondam as perguntas. Cada aluno pode representar a sua data de nascimento e propor que os colegas do grupo a descubram. Discuta com a classe as respostas dadas pelos grupos. Faça o mesmo com as informações e perguntas sobre os sistemas chinês e romano. As atividades com números romanos pressupõe que os alunos já tenham algum conhecimento sobre o tema. Caso você perceba que seus alunos não conhecem os símbolos e não tem afinidade com esse sistema, gaste um tempo maior para explicar as regras e o funcionamento do sistema. Ao final, organize no quadro uma tabela que deverá ser completada com a ajuda dos alunos: Características dos sistemas de numeração Egípcio

Chinês

Romano

Se necessário, ajude-os a verificarem que os agrupamentos nos sistemas de numeração egípcio e chinês são realizados de dez em dez, portanto, esses dois sistemas são decimais. Também é importante que percebam que os três sistemas são aditivos, ou seja, o número é representado pela soma dos valores de cada símbolo, além disso, o sistema chinês é multiplicativo é a representaçao de 8 x 100 + 2 x 10 + 4 - e o romano tem o princípio subtrativo, por exemplo, XL é o mesmo que 50 -10. Com a tabela preenchida, proponha que verifiquem quais das características listadas são também do nosso sistema de numeração decimal.

Espera-se que os alunos percebam que o atual sistema de numeração, de origem indo-arábica, tem as seguintes características: - possui somente 10 símbolos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0) que podem ser repetidos quantas forem as ordens do número - é posicional (123 é diferente de 213) - é decimal, ou seja, utiliza base dez (10 unidades equivalem a 1 dezena, 10 dezenas equivalem a 1 centena e assim por diante) - é aditivo e multiplicativo (482 = 4 x 100 + 8 x 10 + 2 x 1) - possui zero (símbolo para indicar a “posição vazia” ou sem valor)

2a ETAPA Material: Ficha do aluno 2 Organização da classe: coletiva Para fortalecer a compreensão das características do SND e porque o sistema indo -arábico ganhou tanta importância, proponha uma leitura compartilhada – cada parágrafo pode ser lido em voz alta por um aluno diferente - do texto Como era dura a vida sem o zero, publicado pela revista Superinteressante. Ao longo da leitura, faça as paradas para explicar o que achar necessário e solicite que, durante a leitura, os alunos grifem os trechos que considerarem importantes. Ao final, peça que contem para todos o que marcaram, verifique se mais alunos consideraram importante o mesmo trecho, peça que digam o que aprenderam com o texto etc.

3a ETAPA Material: Ficha A para grupos Organização da classe: em grupos A posicionalidade e a existência do zero são características do SND que o fazem econômico e conciso. Com somente 10 símbolos é possível representar qualquer quantidade. Proponha o Jogo de cartas abaixo para que os alunos possam retomar a estrutura do sistema de numeração decimal, a sequência numérica e a fazer comparação de quantidades. Jogo das Três Cartas Organização da classe: grupos de quatro jogadores. Material: 4 cartas de 0 a 9 para cada grupo

2 Fonte: Smole K.; Diniz, M.I.; Cândido, P. Cadernos do Mathema: Jogos de Matemática do Ensino Fundamental de 1º a 5º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007. Números e Operações | Ensino Fundamental - Anos Finais 7

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Meta: conseguir marcar o maior número de pontos ao final de 10 jogadas. Regras: 1. Montam-se os grupos de quatro jogadores para decidir quem será o carteador. 2. O carteador embaralha as cartas e entrega três delas para cada componente do grupo, sem olhar quais são. 3. Você dá uma ordem “Formem o maior número possível com as cartas que receberam”. 4. Após formar o número colocando as três cartas lado a lado, os componentes do grupo conferem para ver quem fez o maior número. 5. Suponhamos que cada componente tenha recebido três cartas e que um jogador esteja com as cartas 3, 0, 9. Ele pode compor o número 930. E assim devem fazer os outros. Quem obtiver o maior número ganha um ponto naquela rodada. 6. O carteador então reúne todas as cartas, embaralha e distribui para cada jogador de acordo com o combinado. 7. Dê uma nova ordem, que pode ser: “Formar um número próximo de... ou...” “Formar um número que esteja entre... e...” “Formar o maior número par.” “Formar o menor número possível.” É importante discutir com os alunos onde o zero pode aparecer para que tenhamos um número de três algarismos, analisando que o zero à esquerda não tem valor ou que quando temos zero como primeiro algarismo de um número esse número não possui três algarismos, apenas dois. 8. Ao final de 10 jogadas, ganha quem tiver feito mais pontos. Variação: aumentar o número de cartas para que realizem o jogo com quatro ou mais cartas. É interessante propor que façam o registro dos números formados. Com isso, tanto você, quanto os alunos poderão avaliar as opções e, portanto, os conhecimentos sobre o SND. Segue um exemplo de organização do registro do jogo: Ordem dada pelo professor

Aline

Júlio

João

Ana

4a ETAPA Material: Ficha do aluno 3 Organização da classe: em grupos Após realizarem algumas rodadas e formarem números com até 5 algarismos, proponha as atividades da ficha do aluno 3 para sistematizar os conhecimentos sobre o SND. Ao longo do desenvolvimento das etapas dessa atividade observe o que seus alunos sabem sobre o Sistema de Numeração Decimal mantendo especial atenção à suas falas. Eles compõem e decompõem os números das ordens dos SND? Eles usam os termos unidades, dezenas, centenas, ...? Além disso, observe se eles se motivaram para querer saber mais sobre a história dos sistemas de numeração, a escrita de números na antiguidade e sobre o ábaco. Se for o caso, proponha que pesquisem sobre esses temas e desenvolva ao longo do ano um projeto para apresentar a outros alunos e classes o resultado das pesquisas de cada grupo ou sala de aula. Fechando a etapa, formem uma roda de conversa para compartilhar a experiência que cada um vivenciou até a produção do painel. Aproveite para apresentar as regras da dobradura (ver boxe Conhecimento é sempre bom).

CONHECIMENTO É SEMPRE BOM

ue tal ler com seus alunos um livro paradidático que apresenta a história dos sistemas de numeração, mostrando suas regras e os contextos em que surgiram e comparando outros sistemas de numeração ao sistema decimal? Leve para eles o “Números na história da civilização”, escrito por Luiz Márcio Imenes, publicado pela Editora Scipione, XXXX. Para você conhecer mais sobre a história dos números, leia “Os números: história de uma grande invenção”, do escritor marroquino Georges Ifrah, publicado pela Globo. Você terá uma visualização parcial dessa obra na página: http://bit.ly/2hSrUAC

Números e Operações | Ensino Fundamental - Anos Finais 9

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FICHA 1. OS NÚMEROS NA ANTIGUIDADE

FOLHA DO ALUNO

SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO

Observe a representação dos seguintes números no sistema de numeração egípcio

1. Usando o sistema de numeração egípcio, represente os seguintes dados: a) a data de hoje b) a data do seu nascimento 2. Discuta com seu grupo: a) O que cada um dos símbolos representa? b) A ordem dos símbolos na escrita de um número é importante? c) Quantas vezes um mesmo símbolo pode ser repetido? Se for necessário, observe a repetição dos símbolos na sequência de números de 1 a 20. d) Há um símbolo para representar o zero?

SISTEMA DE NUMERAÇÃO CHINÊS

Observe a representação dos seguintes números no sistema de numeração chinês

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1. Usando o sistema de numeração chinês, represente os seguintes dados: a) a data de hoje b) a data do seu nascimento 2. Discuta com seu grupo: a) O que cada um dos símbolos representa? b) A ordem dos símbolos na representação é importante? c) Represente os números 22, 222 e 2 222. Agora responda: Quantas vezes um mesmo símbolo, no caso , pode ser repetido? d ) Há um símbolo para representar o zero?

SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO Preencha a tabela com os valores ou símbolos do sistema de numeração romano:

Símbolo Valor

C 10

500

1000

1. Usando o sistema de numeração romano, represente os seguintes dados: a) a data de hoje b) a data do seu nascimento 2. Discuta com seu grupo: a) O que cada um dos símbolos representa? b) A ordem dos símbolos na representação é importante? c) Quantas vezes um mesmo símbolo pode ser repetido? d) Há um símbolo para representar o zero?

FICHA 2. A HISTÓRIA DO ZERO

FOLHA DO ALUNO

COMO ERA DURA A VIDA SEM O ZERO² O zero, do nosso sistema de numeração, foi uma importante descoberta feita pelo homem; seu uso consagrou-se na Europa, por volta do século XIV, mas há indícios de que outras civilizações o utilizaram antes. Qual foi a mais importante descoberta feita pelo homem? Alguém pensará na roda, outro no fogo, na penicilina, na televisão... e por aí se pode ir muito longe. Acrescento uma outra em que provavelmente ninguém vai pensar: o zero. Isso mesmo, o zero do nosso sistema de numeração. Pois ele não existiu sempre. Na verdade, só apareceu muitos séculos depois que a humanidade aprendera a contar e a representar graficamente suas contas. Seu uso consagrou-se na Europa por volta do século XIV, embora haja indícios de que algumas civilizações o utilizasse antes. Dele disse o matemático americano Tobias Dantzig: “Concebido, com toda a probabilidade, como símbolo para uma coluna vazia no ábaco, o sunya indiano estava destinado a tornar-se o ponto crucial num desenvolvimento sem o qual o progresso da ciência moderna, da indústria e do comércio é inconcebível”. É difícil acreditar que os homens levaram 5 mil anos entre escrever números e conceber o nosso sistema de numeração posicional. Datam de antes de 3500 e a.C. os registros mais antigos, indicando o uso sistemático de numerais escritos, e eles eram dos sumérios e dos egípcios. Conta-se que, no século XIV, um mercador alemão quis escolher uma boa escola para o filho e foi aconselhar-se com um professor. Esse recomendou: se o aprendiz fosse limitar-se à soma e à subtração, bastaria frequentar uma universidade alemã; se quisesse multiplicar e dividir, deveria ir à Itália, pois só lá se poderia obter instrução tão avançada. Mas é preciso esclarecer que fazer esses cálculos naqueles tempos nada tinham a ver com as técnicas que empregamos hoje. A multiplicação era obtida por duplicações sucessivas e a divisão por mediações sucessivas, ou seja, sucessivas divisões por dois. É razoável imaginar que os sistemas numéricos nasceram da necessidade que o homem primitivo tinha de registrar seus bens - rebanhos, por exemplo. Logo as necessidades foram além do simples registro e então surgiram as operações aritméticas, que levaram à criação do ábaco, um curioso e simples aparelho que permite fazer os cálculos por meio de contas móveis. Durante muito tempo os homens mantiveram um sistema de numeração escrito para registrar os bens, e o ábaco para fazer cálculos. Houve quem tentasse elaborar regras para operar com os números escritos, mas as dificuldades eram grandes. ²

Fonte: Revista Superinteressante – março/1988, disponível sem as figuras em http://super.abril.com.br/cotidiano/como-era-dura-vida-zero-438511.shtml - Acessado em

5/02/12.

E por isso a humanidade levou um tempo enorme para passar do ábaco para a numeração posicional moderna. Um período em que muitas civilizações floresceram e pereceram, deixando-nos um rico legado de obras literárias, artísticas, filosóficas e religiosas. A luz sobre essa questão começa a se fazer quando examinamos o esqueleto de nossa numeração moderna. O princípio posicional consiste em dar ao algarismo um valor que depende não apenas do membro da seqüência natural que ele representa, como também na posição que ocupa em relação aos outros símbolos do grupo. Assim, o algarismo 3 tem significados diferentes nos números 423, 537 e 386: no primeiro significa 3, no segundo 30 e no terceiro 300. Vamos escrever um desses números num quadro de contar:

Parece suficiente traduzir esse esquema na linguagem dos numerais para obtermos o que temos hoje. Mais há dificuldade num registro como 43, que pode estar representando qualquer destas formas.

Foi necessário criar um símbolo para as casas que ficavam vazias no ábaco, conforme estivéssemos escrevendo 43,430, 403,4003 etc. Hoje parece simples, mas a mentalidade concreta dos antigos gregos, por exemplo, não podia conceber o vazio, o nada, como um número. Provavelmente, nem os hindus viram no zero o símbolo do nada. O termo indiano sunya significa vazio ou espaço em branco, mas não o nada. Assim, tudo leva a crer que a descoberta do zero foi um acidente causado pela tentativa de fazer um registro permanente e claro de uma operação do ábaco. Não foi à toa que o grande matemático, astrônomo e físico francês Pierre-Simon Laplace (1749-1827), observou: “Apreciaremos ainda mais a grandeza dessa conquista se lembrarmo-nos de que ela escapou ao gênio de Arquimedes e Apolônio, dois dos maiores homens da Antiguidade”.

FICHA A. CARTAS PARA RECORTAR Cartas para recortar, mas antes colem sobre uma folha mais grossa.

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FOLHA PARA GRUPOS

FOLHA DO ALUNO

FICHA 3. PROBLEMAS PARA DEPOIS DO JOGO DAS 3 CARTAS

1) Jorge mudou as regras do Jogo das três cartas, trocando-o por Jogo das 5 cartas: a) Ele quer formar o maior número par possível com as cartas 1, 3, 3, 7 e 8. Qual número ele poderá formar? Justifique. b) E se a ordem fosse “formar o menor ímpar possível”? Explique. c) Em uma mesma rodada, cuja ordem era “Formar o número mais próximo de 50 000”, Jorge formou o número 48 741 e Marta, 51 259. Quem ganhou a rodada? d) Jorge formou o número 18 733. Qual pode ter sido a ordem dada pela professora? e) Quando se trata do número 18 733 temos: Número

Dezena mais próxima

Centena mais Unidade de próxima milhar mais próxima

Dezena de milhar mais próxima

18 733

18 730

18 700

20 000

19 000

Faça o mesmo com os números 13 741, 34 789, 19 280 e 48 624 f) Escreva por extenso os números do item e. g) Qual é o algarismo das unidades de milhar no número 34 789? h) Quantas unidades de milhar estão contidas no número 34 789? i) Quantas unidades, quantas dezenas, quantas centenas, quantas unidades de milhar e quantas dezenas de milhar há em 13 741? 2) (Saresp) Em qual dos números a seguir o algarismo 5 tem o valor de 500 unidades? (A) 2 150. (B) 5 210. (C) 20 501. (D) 25 100

2. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS Séries indicadas

Objetivos

6º ou 7º anos

Compreender diferentes procedimentos de cálculo da adição e da subtração e relacioná-los às propriedades das operações e às características do SND

Duração 5 a 6 aulas

Materiais Ficha do aluno 4 a 7 e calculadora

Compreender os diferentes significados das operações de adição e subtração

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1a ETAPA Organização da classe: em duplas Escreva no quadro a atividade a seguir, na qual os alunos poderão aplicar os conhecimentos sobre o SND nas operações de adição e subtração. Nos retângulos escreva os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 para obter: a) A maior soma possível b) A menor soma possível c) A maior diferença possível d) A menor diferença possível O objetivo dessa questão é que os alunos possam perceber as diferentes possibilidades de combinações que resultam a maior soma que é 1173: 642 + 531, 632 + 541 etc. Deixe que socializem as diferentes possibilidades e, aos poucos, pergunte a eles se há alguma possibilidade de chegar à resposta sem ter que ficar “chutando” as possibilidades. No item b a menor soma é a que resulta 381, por exemplo, 135 + 246. Há outras possibilidades ao se trocar os algarismos de mesma ordem dos dois números. Aproveite para retomar termos como centena, dezena, unidade e aqueles específicos da adição: parcela, soma, total. Você pode organizar um painel no quadro com todas as possibilidades ao pedir que eles as mencionem corretamente, por exemplo: no item b, 145 e 236 são as parcelas e a soma é 381. Nos itens c e d você também pode organizar um painel e pedir que eles utilizem a nomenclatura da subtração: minuendo, subtraendo e resto ou diferença. No item c, os alunos precisam observar que o minuendo e o subtraendo devem ser formados pelo maior número e o menor possível, respectivamente: 654 – 123. Incentive-os para que cheguem a essa conclusão, registrando-a no caderno com a linguagem correta. Espera-se que no item d os alunos direcionem suas tentativas de modo que a centena do minuendo e do subtraendo tenham a menor diferença, ou seja, 6 e 5, 5 e 4, 4 e 3, 3 e 2 ou 2 e 1. Em seguida, testar as alternativas nas quais o minuendo e subtraendo sejam formados pelos menor número e o maior possíveis: 612 – 543, 512 – 463, após essas tentativas, os alunos devem concluir que 47 = 412 – 365 é a resposta.

2a ETAPA Material: Ficha do aluno 4 Organização da classe: em duplas Proponha que realizem a atividade 1a da ficha 4. Deixe que pensem sobre o que gerou o número 30, realizando tentativas. Devem chegar à conclusão de que 30 é a soma mágica, isto é, 30 é a soma dos números que formam cada um dos lados do triângulo. Pergunte a eles como realizaram as somas, se mentalmente, ou se precisaram de papel e lápis. Peça que mostrem no quadro Caso não apareçam possibilidades que envolvam a propriedade associativa, mostre que algumas pessoas fazem o cálculo assim: 8 + 16 + 6 é o mesmo que 16 + 8 + 6 =

Caso não apareçam cálculos por decomposição, apresente a eles:

Proponha que tentem realizar os demais cálculos por um desses modos. Em seguida, solicite que realizem as demais atividades da ficha

Números e Operações | Ensino Fundamental - Anos Finais 19

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3a ETAPA Material: ficha do aluno 5 Organização da classe: em duplas Depois de explorar o conhecimento sobre o SND, algumas propriedades e o cálculo mental da adição, vamos explorar diferentes possibilidades de efetuar a subtração. Entregue aos alunos a ficha 5 e deixe que iniciem a primeira atividade. Observe se compreendem a tarefa, se têm dificuldade em identificar o raciocínio dos itens b e c. Não explique tudo de uma só vez. Faça perguntas aos poucos, por exemplo, no item b, comece perguntando “por que tirou 500?”; “e depois, o que foi feito?”. No item c a subtração foi transformada numa adição e utiliza-se a ideia de quanto falta para chegar às unidades do minuendo (8 do 768), depois 1 às dezenas (60 do 768) e centenas (700 do 768). Proponha e corrija a atividade 2. Quando for discutir com a classe a atividade 3, estimule a análise com perguntas do tipo: a) O que acontece com o resultado dessa conta se somarmos 10 ao minuendo? b) O que acontece com o resultado dessa conta se somarmos 10 ao subtraendo? c) O que acontece com a diferença se somarmos 10 ao minuendo e ao subtraendo? d) O que acontece com a diferença se multiplicarmos o minuendo por 10? e) Invente duas subtrações que tenham o mesmo resultado de 2000 - 1379 Se considerar necessário, após a realização da ficha 5, proponha outras atividades de subtração para que os alunos as resolvam com os novos procedimentos aprendidos

CONHECIMENTO É SEMPRE BOM

ais do que conhecer diferentes formas de realizar subtrações, é importante compreender as diferentes formas de pensar sobre elas. Isso vale também para o algorítimo convencional da subtração. No caso do exemplo 2000 – 1 379 espera-se que os alunos compreendam suas etapas: - Troca-se uma das unidades de milhar do minuendo por 10 centenas - Troca-se uma das centenas por 10 dezenas. Ficam 9 centenas. - Troca-se uma das dezenas por 10 unidades. Ficam 9 dezenas. - Realizam-se as subtrações em cada ordem: 10 U – 9 U = 1 U, 9 D – 7 D = 2 D, 9 C – 3 C – 6 C, 1 UM – 1 UM -= 0 UM. As trocas efetuadas não alteram o resultado, pois: 2 UM = 1 UM + 9 C + 9 D + 10 U.

4a ETAPA Material: ficha do aluno 6 e calculadora por aluno Organização da classe: individual e depois no coletivo Esta quarta etapa completa as anteriores com uma proposta na qual os alunos utilizarão a calculadora para investigar e estimar resultados, utilizar a linguagem da adição e subtração e as propriedades do SND. Proponha que os alunos façam a ficha 6 individualmente e depois promova uma discussão coletiva. Na atividade 4, os alunos podem, inicialmente, subtrair centenas e dezenas exatas (por exemplo, no primeiro item, 300 – 100 – 100 – 10 – 10 -10 + 1 + 1 + 1 + 1). Promova uma discussão, dizendo que você conseguiu chegar ao número 74 com menos etapas. Deixe-os pensar. Espera-se que consigam chegar à conclusão que podem subtrair 110 ou 111, economizando etapas.

5a ETAPA Material: ficha do aluno 7 Organização da classe: em duplas Além de conhecer e saber utilizar diferentes procedimentos de cálculo, é preciso que os alunos sejam capazes de identificar diferentes situações-problema nas quais a adição e a subtração estão envolvidas. Entregue aos alunos a ficha 7 e proponha a resolução, em duplas, da atividade 1. Observe os alunos durante a leitura das frases. Durante a correção, discuta com eles que há três respostas possíveis; apenas a tirinha B não envolve subtração. Pergunte a eles em qual das situações: - comparamos duas quantidades (tirinha A) - retiramos uma quantidade de outra (tirinha C) - identificamos quanto falta para uma determinada quantidade (tirinha D). Em seguida, proponha que resolvam cada uma das atividades. Ao final, proponha uma discussão coletiva. Procure identificar as compreensões e dúvidas dos alunos sobre as ideias envolvidas nas operações de adição (juntar e acrescentar) e da subtração (comparar, retirar e completar). Na atividade 2, são semelhanças entre os problemas: os personagens, a situação que envolve coleção de adesivos, os dados numéricos e a operação que os resolve – a subtração. Como diferenças, devem perceber que os problemas A, B e C envolvem as ideias de completar, comparar e retirar, respectivamente. Na atividade 3, devem perceber que são diferentes as situações de juntar duas quantidades e de acrescentar uma quantidade à outra, representadas, respectivamente, nos problemas A e B.

Números e Operações | Ensino Fundamental - Anos Finais 21

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Como respostas para a atividade 4 temos: a) Marcos jogava Magic e estava com 20 cards. Ganhou 3 cards jogando na hora do recreio. Com quantos cards ficou? Resposta: 23 cards. b) Marcos jogava Magic e estava com 20 cards. Perdeu 4 cards jogando na hora do recreio. Com quantos cards ficou? Resposta: 16 cards. Ao final, proponha a organização de um texto coletivo com o título “Tudo que sabemos sobre adição e subtração”. Para os alunos consistirá em uma sistematização dos conhecimentos sobre essas duas operações; para você, servirá como avaliação das aprendizagens. Antes de produzir esse texto converse com a classe, e escreva no quadro alguns itens que não podem faltar, por exemplo: ● O que eles podem dizer sobre diferentes formas de calcular somas e diferenças ● O que eles usam das operações que permitem as diferentes formas de cálculo. ● O que já sabiam e o que aprenderam de novo com as atividades. Peça aos alunos que leiam o texto em voz alta para verificar se ele está compreensível, se falta alguma coisa, ou como pode ser aperfeiçoado para ser afixado na sala ou no corredor da escola.

FICHA 4. EXERCITANDO O CÁLCULO MENTAL

FOLHA DO ALUNO

1) Triângulos mágicos

a) 30 é o número mágico desse triângulo, você sabe por quê? b) Utilize os mesmos números desse triângulo mágico (6, 8, 12, 10, 14 e 16) e descubra outros triângulos mágicos diferentes c) Construa 2 triângulos mágicos para os números 5, 9, 13, 17, 21 e 25. 2) Estrelas mágicas Complete os lados da estrela, de modo que a soma dos números em cada linha seja o mesmo. a) Soma 40

b) os números que faltam são 1, 3, 4 5 e 7

Números e Operações | Ensino Fundamental - Anos Finais 23

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FICHA 5. ANALISANDO DIFERENTES FORMAS DE SOMAR E SUBTRAIR

FOLHA DO ALUNO

1) Como você faz a subtração 768 – 542? Veja alguns procedimentos de cálculo mental e escrito: a) b) c)

Escolha uma maneira diferente da que você utiliza para resolver: 896 – 374 e 2 967 – 1 843 2) Justifique por que os dois procedimentos de cálculo abaixo estão corretos: 1º modo: 430 – 80 = 430 – 30 – 50 = 350 2º modo: 430 – 80 = 430 – 100 + 20 =350 Escolha uma das formas e calcule mentalmente: a) 240 – 70 = _____

d) 380 – 90 = _____

b) 330 – 90 = _____

e) 410 – 40 = _____

c) 810 – 70 = _____

f) 670 – 90 = _____

3) Explique como cada aluno pensou para calcular 2 000 – 1 379: Lúcia:

Neide: Thiago: João:

FICHA 6. APRENDENDO COM A CALCULADORA

FOLHA DO ALUNO

1) Use a calculadora para obter a soma 8 450 por meio de: - duas parcelas - três parcelas - quatro parcelas 2) Use a calculadora para obter dois números em que a diferença entre o minuendo e o subtraendo seja 8 450. 3) Digitei o número 645 na calculadora. Utilizando a tecla + e o número 200, obtive o número 645 + 200 = 845. O que fazer na calculadora para, partindo sempre de 1 872, obter os números a seguir usando apenas uma tecla de operação e outro número? ● 2 372 ● 1 852 ● 12 872 ● 72 4) Usando apenas as teclas 0 e 1 você deve formar números para somar ou subtrair aos números como início, até que no visor apareça o número dado como meta: a) Inicie com 300; a meta é chegar no 74 b) Inicie com 700; a meta é chegar no 120 c) Inicie com 50; a meta é chegar no 505

5) Sem usar a calculadora ou papel e lápis, assinale qual é o resultado mais aproximado das adições e subtrações. Em seguida, utilize a calculadora para conferir as respostas.

Números e Operações | Ensino Fundamental - Anos Finais 25

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FICHA 7. RESOLVENDO PROBLEMAS

FOLHA DO ALUNO

1) Observe o início do texto de um problema que pode ser resolvido por uma subtração: A rede de lojas Mais por menos tem em seu quadro de funcionários na cidade 48 pessoas. Escolhaotrechofinalparaotextodoproblema: A) Na filial A trabalham 30 funcionários e na filial B, 18 funcionários. Quantos funcionários a filial A tem a mais que a filial B? B) Com a abertura de mais uma filial serão contratadas 20 pessoas. Após isso, qual seráo número de funcionários da rede Mais por menos na cidade? C) Com o fechamento de uma das filiais, serão dispensadas 15 pessoas. Quantas pessoas comporão o quadro de funcionários? D) Há previsão de aumento desse número até que chegue a 60 funcionários. Quantas vagas serão abertas?

2) Compare os problemas a seguir. Preencha a tabela com as semelhanças e diferenças entre eles: Problema A - Luciana tem 21 adesivos na sua coleção. Ela quer chegar a 35 adesivos até o final do mês. Quantos adesivos ela precisa conseguir? Problema B - Luciana e Isabel colecionam adesivos. Luciana já tem 35 adesivos e Isabel, 21. Quantos adesivos a coleção de Isabel tem a menos que a de Luciana? Problema C - Luciana tinha 35 adesivos. Ela distribuiu 21 deles para seus irmãos. Com quantos ficou? Semelhanças

Diferenças

3) Verifique se 21 + 14 é a operação que resolve cada um dos problemas abaixo. Se os problemas são diferentes, por que são resolvidos do mesmo modo? Problema A - Luciana coleciona adesivos. Eles estão guardados em duas caixas. Em uma delas há 21 adesivos e na outra, 14. Quantos adesivos Luciana tem em sua coleção? Problema B - Na coleção de Luciana havia 21 adesivos. Hoje ela ganhou 14 adesivos em seu aniversário. Com quantos ficou? 4) Escolha uma palavra em cada coluna para compor um enunciado e a resposta de um problemadeacordocomosignificadoquelhecorresponde: a) Adição com a ideia de acrescentar b) Subtração com a ideia de retirar

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3. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS Séries indicadas

Objetivos

6º ou 7º anos

Compreender diferentes procedimentos de cálculo da multiplicação e da divisão e relacioná-las às propriedades das operações e ao SND

Duração 3 a 4 aulas

Compreender os diferentes significados das operações de multiplicação e divisão.

Materiais Ficha do aluno 8 a 10

1a ETAPA Material: ficha do aluno 8 Organização da classe: em grupos Conhecer bem a tabuada é fundamental para efetuar cálculos no Ensino Fundamental II e Ensino Médio. Você pode motivar a turma para que memorizem as tabuadas de multiplicação, caso ainda não tenham agilidade na resposta. Abaixo, uma proposta de um jogo envolvendo tabuada. Diga aos alunos que realizarão o jogo Stop! de tabuada. Cada aluno deve organizar numa folha de papel uma tabela da seguinte forma:

Em grupos de 3 ou 4 alunos, devem jogar segundo as regras que você explicará: - Na sua vez, o aluno escolhe o número que será colocado na primeira coluna e diz “Já” para que todos comecem a multiplicá-lo pelos números indicados na primeira linha. O primeiro que terminar de escrever todas as multiplicações diz “Stop” e todos devem parar onde estão. - A seguir se faz a contagem dos pontos, um ponto para cada resultado correto. - Isso se repete, com outro aluno dizendo o número que deve ser multiplicado pelos demais. Ao final de 8 ou 9 jogadas se faz a contagem total de pontos e o aluno com a maior pontuação é o vencedor. Mostre no quadro o exemplo de resultado de uma jogada em que o primeiro aluno diz 4:

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Você pode propor que joguem outras vezes, modificando os números da primeira linha. Outra variação é mudar o valor de cada acerto, por exemplo, 6 pontos por acerto. Isto exigirá, novamente, o recurso à tabuada para a contagem de pontos de cada jogada. O valor dos pontos de cada acerto pode escolhido pelo professor de acordo com a tabuada que ele achar interessante trabalhar. Em seguida, proponha a realização das cinco primeiras atividades da ficha 8, que tem o objetivo de proporcionar a exploração das propriedades da multiplicação e divisão de números naturais. Pergunte aos alunos se conhecem os termos dos títulos das colunas das tabelas das atividades 1 e 4: fator, produto, dividendo, divisor e quociente. Caso não conheçam, organize no quadro alguns exemplos e uma explicação sobre cada um dos termos. Peça que registrem no caderno. Após concluírem a tarefa, proponha uma discussão da atividade 2, pedindo que ilustrem cada uma das afirmações com um exemplo que confirme ou contradiga as frases. Oriente uma discussão coletiva das atividades 3 e 5 e ao final, conduza no quadro uma lista de conclusões a partir das falas dos alunos focalizando as propriedades observadas. Com as propriedades da multiplicação e da divisão compreendidas pelos alunos, proponha que as apliquem nas atividades 6 a 8. Você pode propor que realizem a tarefa em duplas. Aproveite para observar como discutem, quais dos modos sugeridos eles aplicam, se conseguem identificar as melhores possibilidades etc.

CONHECIMENTO É SEMPRE BOM

ão propriedades importantes a serem destacadas em relação às operações de multiplicação e divisão a partir da ficha 8: - Em toda multiplicação, se multiplicarmos um dos fatores por um número natural qualquer, o produto fica multiplicado por esse número. - Em toda multiplicação, se multiplicarmos um dos fatores por um número natural a e o outro por um número natural b, então o produto fica multiplicado por a x b. - Em toda divisão, se multiplicarmos o dividendo e o divisor por um mesmo número natural, diferente de zero, o quociente permanece inalterado e o resto ficará multiplicado por esse número. - Em toda divisão exata, se multiplicarmos o dividendo por um número natural, diferente de zero, e deixarmos o divisor inalterado, o quociente ficará multiplicado por esse número. A propriedade distributiva da multiplicação também pode ser explorada. Por exemplo, a partir da tabela 1 da atividade 1: 8 x 9 = 8 x (3 + 6) = 8 x 3 + 8 x 6 = 24 + 48 = 72, que também pode ser desenvolvido como 8 x 9 = 8 x (10 – 1) = 8 x 10 – 8 x 1 = 80 – 8 = 72.

2a ETAPA Material: ficha do aluno 9 Organização da classe: em duplas Proponha que examinem as quatro formas utilizadas para realizar a multiplicação 317 x 26 na atividade 1 da ficha 9. Provavelmente eles dirão que utilizam o modo A. Você pode solicitar que expliquem por escrito o raciocínio utilizado em cada modo, incluindo o que eles utilizam. As perguntas da atividade 2 auxiliarão os alunos a refletir mais sobre os algoritmos, sobre a propriedade distributiva e sobre a multiplicação por 10 e 100. Se considerar conveniente, pode selecionar algumas multiplicações para que os alunos as resolvam, utilizando os quatro processos. Antes da atividade 3, converse com a turma sobre o que sabem e quais são as dúvidas na utilização da técnica operatória da divisão. Coloque no quadro a conta 125 ÷ 4 para efetuar coletivamente, discutindo as etapas do algoritmo: a) Pergunte: quantos algarismos deve ter o quociente dessa divisão? É possível verificar que no número 125, se dividirmos a centena em 4 grupos, cada parte não terá 1 centena; ao trocarmos 1 centena por 10 dezenas, totalizarão 12 dezenas, o que nos permite concluir que a cada uma dos 4 grupos serão distribuídas dezenas: o quociente terá 2 algarismos. b) Com as falas dos alunos, mostre a resolução no quadro, enfatizando o uso correto da linguagem, como apresentado no quadro a seguir:

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Tenha o cuidado de sempre ler cada algarismo do dividendo, destacando o valor dele na posição que ocupa (1 centena, 2 dezenas e 5 unidades) para que os alunos compreendam como e por que estão dividindo. Caso os alunos apresentem muita dificuldade, você também pode exemplificar os cálculos com o uso de material dourado ou dinheiro de mentira, utilizando notas de 1, 10 e 100 reais, para que possam realizar a comparação com as ordens do SND, unidade, dezena e centena. Por exemplo, na divisão de 372 por 4, podem pensar como se fosse a divisão de 372 reais por 4 alunos. Você pode propor que façam a encenação da situação: é possível cada aluno receber uma nota de 100 reais? E notas de 10 reais? Como a resposta é positiva, já podemos estimar que cada aluno receberá dezenas de reais. Para iniciar a divisão, é necessário trocar as 3 notas de 100 por 30 notas de 10 reais, totalizando 37 notas de 10 reais. Quantas notas de 10 reais cada aluno receberá? Ao distribuir 9 notas para cada um, sobra uma nota de 10 reais, o que podemos trocar por 10 notas de 1 real; com as 2 notas iniciais, totalizam 12 notas de 1 real para dividir entre os alunos. Ao final, cada aluno deve verificar que recebeu 93 reais.

Proponha que realizem a atividade 3 e, enquanto realizam a tarefa, observe se os alunos superam as dificuldades nos algoritmos da multiplicação e divisão. Se considerar necessário, após a discussão da atividade 3, proponha duas contas de divisão e peça que resolvam errado e que troquem entre si, para que um corrija os erros do outro. Depois devem devolver aos colegas, para analisar as correções.

CONHECIMENTO É SEMPRE BOM

stimar a ordem de grandeza do quociente ajuda a evitar muitos erros na divisão, como se pode observar nos dois itens da atividade 3 da ficha 8. Incentive-os a realizar esta estimativa antes de partirem para o algoritmo, propondo perguntas antes de resolverem as contas. Por exemplo, na divisão de 7568 por 24: - Podemos dividir 7 unidades de milhar por 24 pessoas, de modo que cada uma receba unidades de milhar? Não, mas cada pessoa pode receber centenas. - O quociente será maior ou menor que 100? E 1000? Podemos pensar que 24 x 100 = 2400 e que 24 x 1000 = 24000, o que nos leva a concluir que o quociente é da ordem das centenas. Após estimarem a ordem de grandeza do quociente, pode orientá-los a marcar as ordens no dividendo e no quociente, da seguinte forma:

3a ETAPA Material: ficha do aluno 10 Organização da classe: em duplas Proponha aos alunos que resolvam, em duplas, os problemas da atividade 1 da ficha 10. O problema a possui duas respostas possíveis: b e d. É importante que os alunos percebam que o resultado numérico de 2 x 7 = 7 + 7 é o mesmo que 7 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2, pela propriedade comutativa da multiplicação, porém, se Ana tomasse 7 comprimidos por dia, durante 2 dias (alternativas a e c) não seria muito bom. Este problema focaliza a ideia de multiplicação como soma de parcelas iguais. Os problemas b e c enfatizam a ideia da multiplicação como combinação. É importante que os alunos aprendam diferentes formas de organizar os dados para encontrar as combinações possíveis. No problema b há um fragmento do diagrama de árvores que pode ser organizado. Sugira outras formas como lista organizada ou tabela. Os registros auxiliarão na percepção de que a resolução envolve a multiplicação. Proponha, em seguida, a atividade 2. Observe os alunos enquanto resolvem os problemas. Durante a correção, faça algumas perguntas para que reflitam melhor sobre as situações: Números e Operações | Ensino Fundamental - Anos Finais 33

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- O que os 5 problemas têm em comum? - Espera-se que respondam que todos envolvem a operação de divisão - Quais são as diferenças entre os problemas A e B? – Espera-se que percebam que em A a ideia é distribuir 32 em 4 partes iguais e quem B o que se quer saber é quantas vezes 32 cabem em grupos de 4. - Como vocês resolveram o problema C? – Espera-se que percebam que há várias formas de resolver o problema, inclusive, considerando a possibilidade de divisão em partes desiguais, o que é natural no dia-a-dia. - No problema C e D estão sendo divididos cachorrinhos e barras de chocolate, respectivamente. Há diferenças nessas divisões? Explique. – Espera-se que percebam que há diferentes tipos de todo na divisão e que alguns deles não podem ser “quebrados” e que outros podem ser divididos em quantas partes se desejar. - A resposta do problema E é igual ao quociente da divisão de 7 por 2, ou seja, 3? Por que? – Espera-se que os alunos percebam que nos problemas de divisão é importante pensar sobre o resto e não somente sobre o quociente. As atividades 3 a 6 são problemas envolvendo multiplicação e divisão. Em livros de matemática de 6º ano é possível encontrar problemas relativos às quatro operações com os diferentes significados. Selecione alguns deles para propor aos alunos. Ao final, proponha que retomem as fichas 8 a 10 e as demais atividades sobre multiplicação e divisão que se iniciaram com o jogo Stop de tabuada. Os alunos devem procurar identificar, individualmente, o que consideram que sabem fazer bem e o que ainda têm dúvidas ou precisam exercitar mais, por exemplo, é importante que avaliem se ainda não conseguiram memorizar a tabuada ou se ainda têm dúvidas no algoritmo da divisão, por exemplo. Peça aos alunos que registrem as dúvidas, como acham que podem superar as dificuldades. Os textos dos alunos deverão lhe fornecer dados para identificar o que é preciso retomar, colocar em manutenção ao longo do ano e pistas sobre como ajudá-los.

CONHECIMENTO É SEMPRE BOM

ão pontos importantes a saber sobre a divisão: O todo pode ser: • Todo discreto: todo formado por um número finito de elementos (conjunto contável) que não podem ser quebrados. Por exemplo: podemos distribuir 12 bolinhas entre 2, 3, 4, 6 e 12 crianças. Não é possível distribuir igualmente entre 5 crianças sem que sobrem bolinhas. • Todo contínuo: todo formado por um número infinito de elementos (divisibilidade infinita). Por exemplo: podemos distribuir um pedaço de fita entre qualquer quantidade de pessoas. A divisão pode ser efetuada exatamente (resto nulo) ou inexatamente (resto diferente de zero): • em partes iguais • em partes desiguais No conceito matemático de divisão que está implícito no algoritmo: • Todo deve ser sempre dividido em partes iguais; • O resto deve ser sempre o menor possível; • Todo contínuo deve ser completamente esgotado

FICHA 8. RETOMANDO A MULTIPLICAÇÃO E A DIVISÃO

FOLHA DO ALUNO

1. Complete as tabelas: Tabela 1

Tabela 2

Fator

Produto

Fator

Produto

180

300

360

240

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2. Observe as tabelas acima e procure responder se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). a) ( ) Numa multiplicação de dois fatores, se um dos fatores dobra, então o produto também dobra. b) ( ) Numa multiplicação de dois fatores, se um dos fatores triplica, o produto também triplica. c) ( ) Numa multiplicação de dois fatores, se os dois fatores dobram, então o produto não se altera. d) ( ) Numa multiplicação de dois fatores, se um fator é multiplicado por três e o outro por dois, o produto fica multiplicado por 6. e) ( ) Numa multiplicação de dois fatores, se um fator é multiplicado por 10 e o outro por 10, então o produto fica multiplicado por 100. 3. Escreva duas outras conclusões que podem ser tiradas a partir das tabelas: uma verdadeira e outra falsa. 4. As divisões seguintes são exatas. Preencha as tabelas: Tabela 1

Tabela 2

Dividendo

Divisor

Quociente

Dividendo

Divisor

108

216

432

Quociente

5. Observe as tabelas acima. Complete cada uma das afirmações a seguir: a) Numa divisão exata, se o dividendo dobra e o divisor também dobra, então o quociente .................................................. b) Numa divisão exata, se o dividendo triplica e o divisor triplica, então o quociente .............................................................. c) Numa divisão exata, se o dividendo dobra e o divisor permanece o mesmo, então o quociente ........................................................................ d) Numa divisão exata, se o dividendo é multiplicado por 4 e o divisor ..............................................................................., então o quociente permanece o mesmo. e) Numa divisão exata, se o dividendo é ............................................................... e o divisor é multiplicado por 7, então o quociente não se altera. 6. Utilizando as propriedades observadas nas atividades 1 a 3, podemos identificar processos interessantes para efetuar uma multiplicação. Por exemplo: para calcular 13 x 9: 1º modo: 9 X 12 = 9 x 6 x 2 = (9 x 6) x 2 = 54 x 2 108 2º modo: 9 X 12 = 9 x (10 + 2) = (9 x 10) + (9 x 2) = 90 + 18 = 108 3º modo: 9 x 12 = (10 – 1) x 12 = (10 x 12) – (1 x 12) = 120 – 12 = 108 Agora é a sua vez, escolha um dos modos de multiplicar para efetuar os cálculos abaixo: 27 x 6 = 79 x 9 = 88 x 4 = 46 x 6 = 45 x 9 = 49 x 11 = 48 x 9 = 32 x 4 = 36 x 11 = 7. Podemos resolver a seguinte divisão 72 ÷ 8 por 3 modos diferentes: 1º modo: 72 ÷ 8 = (72 ÷ 2) ÷ 4 = 36 ÷ 4 = 9 2º modo: 72 ÷ 8 = (64 + 8) ÷ 8= (64 ÷ 8) + (8 ÷ 8) = 8 + 1 = 9 3º modo: 72 ÷ 8 = (80 – 8) ÷ 8 = (80 ÷ 8) – (8 ÷ 8) = 10 – 1 = 9 Escolha um dos modos e efetue as divisões a seguir: 96 ÷ 6 = 84 ÷ 6 = 102 ÷ 6 =

84 ÷ 6 = 64 ÷ 4 = 76 ÷4 =

108 ÷ 4 = 91 ÷ 7 = 84 ÷ 7 =

96 ÷ 3 = 51 ÷ 3 = 186 ÷ 3 =

8. Use os processos anteriores e resolva as divisões abaixo: 960 ÷ 6 = 84 ÷12 = 840 ÷ 120 =

8400 ÷ 40 = 64 ÷ 8 = 152 ÷8 =

324 ÷ 4 = 182 ÷ 14 = 8400 ÷ 7 =

48 ÷ 3 = 1020 ÷ 30 = 186 ÷ 6 =

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FICHA 9. ALGORITMOS DA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

FOLHA DO ALUNO

1. Observe as quatro formas utilizadas para fazer a multiplicação 317 x 26. Qual delas você utiliza? Tente explicar porque as demais estão corretas.

2. Agora que você já compreendeu as diversas formas de multiplicar 317 x 26, responda as perguntas a seguir: a) Por que no modo A fica um espaço vazio embaixo do 2? b) No modo B, o que significa o valor 6000 na penúltima linha? c) Por que escrevemos 6340 no modo C? d) A forma de pensar mo modo D é equivalente à dada na expressão (300 + 10 + 7) x (20 + 6)? 3. Observe as contas feitas a seguir. Há um erro em cada uma delas. Encontre-os e corrija-os.

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FICHA 10. ALGORÍTIMOS DA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

FOLHA DO ALUNO

1. Resolva os problemas a seguir: a) O médico de Ana receitou um medicamento para ela. A indicação é tomar 2 comprimidos por dia, durante 7 dias. Indique qual(is) expressão(ões) corresponde(m) à situação acima: a) 7 + 7 b) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

c) 2 x 7

d) 7 x 2

e) 2 + 7

b) (Saresp) Lúcia precisava descobrir quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados, utilizando apenas os algarismos 3, 5, 7 e 8. Ela resolveu, então, representar um diagrama de árvore para facilitar a contagem. Lúcia iniciou assim:

Depois de completar o diagrama, a quantidade de números de dois algarismos distintos que Lúcia encontrou foi: a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 c) (Saresp) Leleco deve pintar a bandeira abaixo escolhendo duas cores, uma para o círculo e outra para o restante da área da bandeira, conforme explicado na figura.

O número total de bandeiras distintas que Leleco pode pintar é: a) 2 b) 4 c) 5

d) 6

2) Mais problemas para você resolver e discutir: A) Márcia pretende distribuir 32 bombons de chocolate entre seus 4 amigos. Quantos bombons cada um receberá? B) Márcia quer presentear seus amigos com bombons de chocolate. Distribuiu 32 bombons em saquinhos com 4 unidades cada um. Quantos amigos Márcia conseguirá presentear? C) Susy, a cachorrinha de Júlio teve 5 filhotes. Ele distribuirá os filhotes entre seus três amigos. Quantos filhotinhos cada amigo receberá? D) Gabriela tem cinco barras de chocolate que precisa dividir igualmente com seu irmão. Qual a quantidade de chocolate que cada um receberá? E) Um pequeno barco faz a travessia de pessoas de uma margem à outra de um rio. A cada viagem ele leva apenas duas pessoas além do barqueiro. Quantas viagens o barco deve fazer para levar sete pessoas até o outro lado do rio? 3) (Saresp) Ester utiliza diariamente o trem para ir de casa para o trabalho. Ela sabe que, de segunda a sexta, trens passam de 7 em 7 minutos. Ela costuma pegar o trem que passa às 7 horas. Certo dia, ela acordou atrasada e pegou o trem do primeiro horário depois das 8 horas. Determine o horário em que Ester pegou esse trem. 4) (Saresp) Dentre os números abaixo, aquele que é múltiplo de 4 e 7 é o a) 14 b) 48 c) 56 d) 74 5) (Saresp) Aline é costureira e Simone é bordadeira. Juntas fizeram 5 blusas iguais. Aline confeccionou-as e Simone bordou-as. Venderam as cinco blusas por R$ 175,00. Pela confecção de cada blusa, Aline recebeu R$ 20,00. Assim, pelo bordado de cada blusa, Simone recebeu: a) R$ 15,00 b) R$ 31,00 c) R$ 35,00 d) R$ 155,00 6) (Saresp) Um caminhão suporta cargas de até 3 000 quilos. Qual é o maior número de caixas que ele pode transportar, se cada uma delas pesa 120 quilos? a) 25 b) 26 c) 27 d) 28

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4. RELAÇÕES ENTRE AS OPERAÇÕES Séries indicadas

Objetivos

6º ou 7º anos

Desenvolver e utilizar a linguagem matemática relacionada às operações

Duração

Resolver e criar expressões numéricas de acordo com as regras convencionais de resolução

4 a 5 aulas

Materiais Ficha para grupos B, ficha do aluno 11, sete cartas cada uma com um dos seguintes números: 2, 3, 4, 5, 7, 8 e 9

Identificar as relações entre as operações em situações diversas Compreender o papel dos símbolos na linguagem matemática

1a ETAPA Organização da classe: em duplas Proponha às duplas a seguinte atividade. Utilizando quatro algarismos 4 e os sinais aritméticos +, - , x , : , ( ) e =, obter os números de 1 a 10. Este é um problema clássico no ensino da Matemática, que muitos professores conhecem por ter sido proposto no livro O homem que calculava de Malba Tahan. Comece, coletivamente, com um exemplo no quadro: 4 ÷ 4 x 4 ÷ 4 = 1, (4 + 4) : (4 + 4) = 1 ou 44 ÷ 44 = 1 Observe os alunos enquanto constroem as expressões, procurando identificar se compreenderam a tarefa, se utilizam os sinais adequadamente, se resolvem as expressões corretamente, se utilizam os parênteses quando necessário. Auxilie as duplas com dificuldade e, na discussão coletiva, aponte os casos ● onde colocar parênteses é irrelevante, pois o resultado não se altera: (4 ÷ 4) x (4 ÷ 4) = 1 ● nos quais a presença de parênteses altera totalmente o resultado: (4 + 4) : 4 + 4 = 6e4+4÷4+4=9 Concluída esta atividade, num outro dia, proponha que as duplas resolvam o problema: • Usando os números 1, 5, 3, 6 e 10, nessa ordem, e os sinais aritméticos, obtenha o total 5. Após a discussão sobre o problema, proponha que cada dupla invente um problema parecido e troque com outra dupla. A resolução deve retornar para ser corrigida pela primeira dupla.

2a ETAPA Organização da classe: em duplas Diga à classe que eles que farão uma atividade de comunicação por códigos. Organize, no quadro, uma tabela com a correspondência entre números e letras do alfabeto:

Números e Operações | Ensino Fundamental - Anos Finais 43

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Para efetuar a codificação, que só será conhecida entre os que estão se comunicando, diga a eles que será combinada uma chave de codificação com uma multiplicação seguida de uma adição. Por exemplo: Número corresponde à letra multiplicado por 2 e somado com 3. Mostre a eles como codificar a expressão “bom dia”:

Assim, BOM DIA é será codificado como 7-33-29 11-21-5 Proponha que codifiquem a palavra MATEMÁTICA. Eles devem chegar a 29-5-43-13-29-5-43-21-9-5. Para se comunicarem com este código, os alunos precisam aprender a decodificá-lo, ou seja, a partir do código numérico, descobrir a palavra. Apresente um exemplo a eles: Decifrar o código 41–33-27. Antes de explicar, pergunte a eles como fariam para descobrir a palavra. Dê um tempo para as duplas discutirem. Com a sua ajuda, devem concluir que é necessário utilizar as operações inversas às da codificação. Se realizaram a sequência • x 2 + 3, para encontrar o valor de • precisam, inicialmente, subtrair 3 e depois dividir por 2. Você pode organizar esta tabela no quadro:

Portanto, na chave • x 2 + 3, o código 41–33-27 representa SOL. Proponha que descubram outras palavras: a) 23-45-47-13-31-43-45-11-13 b) 41-5-7-13-11-33-39-21-5 Como respostas devem encontrar: a) Juventude; b) sabedoria. Quando a classe toda tiver compreendido como codificar e decodificar, proponha que uma dupla crie uma frase, codifique-a para que outra a decifre. Em outras aulas você pode propor outras chaves de codificação para os alunos exercitarem os cálculos com as quatro operações e suas inversas.

3a ETAPA Material: ficha para grupos B Organização da classe: em grupos de 3 ou 4 alunos Antes de entregar a ficha B com as regras e as tiras do Jogo Mestre e Adivinho³, proponha uma rodada coletiva para que compreendam o que é para fazer. Escolha uma das tiras, por exemplo, a que tem a frase “Indique o sucessor do número”. Sem que os alunos a vejam, peça que os alunos, um a um, digam um número. Você marca no quadro os dados organizados na forma de tabela, registrando na coluna do número respondido, até que os alguém descubra a frase:

Eles poderão dizer uma frase semelhante, por exemplo: “Indique o número mais um”, “... a soma de um com o número”. Para que aprendam a linguagem matemática, você deve registrar no quadro todas as frases possíveis que os alunos conseguirem pensar e que você sugerir. Mesmo no 6º ano, já é possível inserir as letras para representar generalizações. No caso da tabela acima, depois que todos compreenderem as possíveis frases, insira mais uma linha e pergunte: Se fosse dito um número qualquer “x”, como representaríamos o número respondido? E daí preencha com “x” e “x + 1”. Para que entendam que poderiam utilizar qualquer letra, marque outras possibilidades, como “n” e “n + 1”, “a” e “a + 1” etc. Proponha que olhem as frases das tiras e tirem suas dúvidas antes de iniciar o jogo. Há algumas tiras que envolvem potenciação. Caso ainda não tenha desenvolvido esse tema, descarte-as ou substitua por outras. Se já realizou um trabalho com os alunos com números negativos, pode incluir outras frases:

³ Smole K.; Diniz, M.I.; Milani, E. Cadernos do Mathema: Jogos de Matemática do Ensino Fundamental de 6º a 9º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007 (com adaptação de algumas tiras)

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Indique o oposto do número mais um

Some o número com um e indique o quadrado deste resultado

Subtraia o número de cem

Indique o quadrado do número menos dois

Multiplique o número por cinco e some um ao resultado

Multiplique o número por quatro e some dois ao resultado

Indique o triplo do número mais um

Indique quatro vezes o número menos um

Indique dez vezes o número e subtraia dois do resultado

Indique o dobro do sucessor do número

Indique o oposto do número

Indique o quadrado do número mais um

4a ETAPA Material: sete cartas, cada uma com um dos seguintes números: 2, 3, 4, 5, 7, 8 e 9 e ficha 11 Organização da classe: em grupos de 4 alunos Proponha aos alunos o Jogo Multiplicativo. Você pode explicar as regras fazendo uma simulação de uma jogada, solicitando que os alunos façam as perguntas para descobrirem as cartas que você tem na mão. Faça as anotações no quadro para terem um modelo de registro. Por exemplo:

Regras Uma pessoa do grupo escolhe quatro cartas, sem que as demais vejam. A tarefa dos outros jogadores é tentar ser o primeiro a adivinhar as quatro cartas. Na sua vez de jogar, ao jogador só é permitido fazer a pergunta: você tem duas cartas cujo produto é __ (15 por exemplo). O jogador que tem as cartas na mão apenas responde sim ou não. Os produtos são registrados no quadro ou numa folha de papel para que todos possam analisar as tentativas, bem como as respostas “sim” ou “não”. O vencedor é aquele que conseguir dizer, em primeiro lugar, quais são todas as quatro cartas escolhidas. Se a resposta não estiver correta, o jogador perde a vez de jogar. Este é um jogo que vai muito além da memorização da tabuada, pois requer uma análise cuidadosa, tanto das tentativas feitas quanto das respostas dadas. Por exemplo, se na sua vez for feita a pergunta: “Você tem duas cartas cujo produto é 15?” e a resposta for “sim”, então os números 3 e 5 estão entre as quatro cartas; no entanto, se a resposta for “não”, o que se pode concluir? Nesse caso, sabemos que ou o 3 ou o 5 não está entre as quatro cartas, mas precisaremos de mais algumas pistas para ter certeza sobre qual dos dois não está.

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Após algumas jogadas, espera-se que os alunos deixem de fazer tentativas irrefletidas, ao perceberem que, se analisarem as respostas, poderão chegar à adivinhação com menor número de tentativas. Na ficha 11 há outras atividades para contribuir para o desenvolvimento do raciocínio lógico dos alunos, isto é, a capacidade de análise, a formulação de hipóteses e a tomada de decisões na resolução de problemas. Proponha a atividade 1 que envolve a tarefa de calcular um valor desconhecido, o que requer análise mais profunda da estrutura do sistema de numeração decimal e de cada algoritmo. Comece explicando que criptograma é uma operação em que alguns algarismos são trocados por símbolos ou letras. Com a seguinte regra que deve ser seguida: letras iguais escondem algarismos iguais e letras diferentes correspondem a algarismos diferentes. Dê um tempo para os alunos pensarem, observe se levantam hipóteses. Se achar necessário, dê uma dica para motivá-los a continuarem a resolução do criptograma. Discuta com eles a resolução e vá registrando no quadro o raciocínio utilizado: A resolução deste criptograma pode ser iniciada com a observação de que, se C + C = C, C só pode ser zero. Observando o resultado, A só pode ser igual a 1, pois a soma de 2 números com 3 algarismos pode ser no máximo 1 998. Assim, observando a segunda parcela, D deve ser 8 ou 9, de modo que D + 1 = 10. Experimentamos D = 8: Se B + B = 8, B só pode ser 4 ou 9; como A + 8 = 0 e A = 1, devemos ter B = 9:

Proponha a atividade 2 e observe se os alunos utilizam as estratégias aprendidas na discussão feita na primeira atividade. No criptograma de multiplicação, vemos que o produto 2 x T termina em 8; logo consultando a tabuada do 2, temos que T = 4 ou T = 9. Pensando em A: como 2 x A termina em zero, a única possibilidade é A = 5, o que determina que C = 4 e D = 3. Para resolver o criptograma da divisão, podemos pensar que A deve ser 4, para que 3 A A x 8 = 2 (34 – 4 x 8 = 2). O valor de B = 5 é uma dedução imediata e daí concluímos que C = 3, D = 1 e E = 7

Ao longo das atividades deste bloco, observe quais conhecimentos os alunos possuem sobre as quatro operações, se têm agilidade para realizar os cálculos, se utilizam procedimentos de cálculo diferentes em situações diferentes, se utilizam adequadamente os termos específicos da linguagem matemática. Além disso, fique atento para que as atividades contribuam para desenvolver a capacidade de análise, a formulação de hipóteses e a tomada de decisões na resolução de problemas. Todos esses conhecimentos são importantes para uma boa iniciação aos conceitos e procedimentos algébricos, bem como no aprendizado de medidas e estatística. É interessante planejar diferentes propostas envolvendo as quatro operações ao longo do ano como uma ação de manutenção desses conhecimentos. Inclua duas propostas a cada mês para acompanhar a evolução dos alunos e a superação das dificuldades em relação às operações.

CONHECIMENTO É SEMPRE BOM

esqu isas apontam que as dificuldades dos alunos na aprendizagem da álgebra podem estar relacionadas à compreensão que eles possuem sobre a aritmética, especificamente, sobre a má compreensão das convenções aritméticas. Assim, justifica-se a realização de um trabalho preventivo na aritmética que evita possíveis dificuldades na álgebra das séries seguintes, esse trabalho é denominado pré-álgebra e prevê: • uma abordagem mais reflexiva das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão • uso de situações–problema que possibilitem aos alunos a escolha dos procedimentos de cálculo mais adequados: exato, aproximado, escrito ou com a calculadora • a compreensão de propriedades da aritmética • o trabalho com expressões numéricas e com as propriedades das operações com enfoque na aquisição de uma linguagem matemática mais elaborada • atividades envolvendo a percepção e a generalização de regularidades em sequências numéricas ou geométricas

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