Matemática - Fundamental 2, vol.8 by Programa Integrar Educação

VOLUME VIII

MATEMÁTICA FUNDAMENTAL

ORGANIZAÇÃO DO CADERNO  Geometria: Para iniciar a conversa  Entre planos e espaços  De olho na BNCC  Medidor de ângulo reto  Jogando com as propriedades  Ampliando e reduzindo imagens  Fazendo arte

1 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

GEOMETRIA: PARA INICIAR A CONVERSA A Geometria tem como objeto de estudo as formas planas e tridimensionais, suas representações por meio de desenhos, planificações, modelos, objetos do mundo real e também as noções relativas à posição e localização de figuras, objetos e pessoas no espaço. Mas o que significa isso, ou seja, por que estudamos Geometria? Estudamos Geometria para conhecer o espaço no qual vivemos, respiramos e nos movemos. Para aprender a conhecer, explorar, conquistar e ordenar cada vez mais e melhor esse espaço. Além disso, vivemos num mundo de padrões, formas e movimentos, que é o mundo da Geometria. Assim, trabalhar esse conhecimento na escola fundamental é importante por ser útil em situações cotidianas e por manter conexões com outros temas matemáticos e outras disciplinas. Por isso. Algumas habilidades precisam ser desenvolvidas pelos estudantes:

DESENHO

VERBAIS Capacidade de expressar percepções; elaborar e discutir argumentos, justificativas, definições; capacidade de descrever objetos geométricos; usar vocabulário geométrico (comunicação oral e escrita)

Capacidade de expressar ideias através de desenhos, uso de instrumentos (réguas, esquadros, compasso, transferidor)

LÓGICAS Analisar argumentos, definições; reconhecer argumentos válidos e não válidos; dar contraexemplos; compreender e elaborar demonstrações

APLICAÇÕES VISUAIS Capacidade de ler desenhos e esquemas, de visualizar propriedades, discriminar formas

HABILIDADES

Observar a geometria no mundo físico; apreciar e reconhecer a geometria no cotidiano e em diferentes áreas (engenharia, arquitetura, arte, esporte, astronomia, etc).

Refletindo um pouco sobre os parágrafos anteriores, vamos partir do seguinte pensamento: as crianças estão naturalmente envolvidas em tarefas de exploração do espaço e, enquanto nele se movem e interagem com objetos, adquirem muitas noções intuitivas que constituirão a base de sua competência espacial, ou seja, sua capacidade de transformar objetos dentro do seu meio e orientar-se no espaço repleto de objetos. Ligadas a essa competência de ser, ler e estar no espaço, temos a capacidade de perceber o mundo visual com precisão, efetuar transformações e modificações sobre as percepções iniciais e ser capaz de recriar aspectos da experiência visual mesmo na ausência de estímulos físicos relevantes.

2 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

Assim, o estudo da Geometria tem como foco o estudo de figuras, formas e relações espaciais, proporcionando afinidades entre o desenvolvimento da competência espacial e a Matemática. Foi necessário, então, pensar numa proposta que contemplasse, simultaneamente, três aspectos para o pleno desenvolvimento da competência espacial: a organização do esquema corporal, a orientação e percepção espacial e o desenvolvimento de noções geométricas propriamente ditas.

ESPAÇO

VIVIDO Espaço físico, vivenciado através do movimento e do deslocamento e apreendido pela criança por meio de brincadeiras e atividades que permitam percorrer, delimitar ou organizar o espaço.

PERCEBIDO É aquele que não precisa mais ser experimentado fisicamente para que a criança possa lembrar-se dele.

CONCEBIDO Surge quando existe a capacidade de estabelecer relações espaciais entre elementos somente através de suas representações, como é o caso de figuras geométricas, mapas, plantas e diagramas.

A união desses três componentes resulta num processo cognitivo pelo qual a representação mental dos objetos espaciais, as relações entre eles e as transformações por eles sofridas são construídas e manipuladas. Esse pensamento desenvolve as habilidades que compõem a percepção espacial de um indivíduo.

Discriminação visual Distinguir semelhanças e diferenças

Percepção de relações espaciais Ver objetos na relação entre eles e em relação ao observador

Coordenação motora visual Coordenar a visão com o movimento

Habilidades relacionadas a PERCEPÇÃO ESPACIAL

Constância perceptiva de forma e tamanho Reconhecer propriedades invariantes do objeto

Memória visual Recordar um objeto fora do campo de visão

Percepção de figuras planas Focalizar uma figura em um quadro de estímulos

Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

Identificadas as habilidades que compõem a percepção espacial, torna-se importante evidenciar que elas são essenciais para habilitar a criança a ler, escrever, estudar Geometria e aritmética, pintar, praticar esportes, desenhar mapas, ler música e adquirir outros conhecimentos. Por isso, é essencial que as atividades que permitem o desenvolvimento da percepção espacial possam ser integradas em um programa abrangente, levando em conta o desenvolvimento total da criança. Isso requer alguns cuidados especiais, conforme mostramos nos diversos encaminhamentos das atividades propostas neste caderno. Algumas pistas podem contribuir para a compreensão das propostas que foram organizadas no caderno.  O desenvolvimento da noção de espaço é um processo. Dessa forma, é desejável que as tarefas relacionadas à Geometria não aconteçam esporadicamente. Ou seja, a geometria deve estar presente ao longo do ano todo.  Para desenvolver suas potencialidades espaciais, uma pessoa tem de viver o espaço e no espaço, mover-se nele e organizá-lo. Assim, a Geometria a ser desenvolvida no Ensino Fundamental não pode ser uma Geometria estática, do lápis e papel apenas, muito menos estar restrita à identificação de nomes de figuras.  Acreditamos que a criança deva ser ativamente envolvida em situações planejadas e diversificadas de resolução de problemas, nas quais ela seja constantemente incentivada a falar, representar, perceber, construir e criar.  Devemos ter o cuidado especial de ensinar os alunos a falar e a escrever sobre Geometria, a fazer desenhos de objetos geométricos, a ler as informações provenientes de um desenho ou construção geométrica e, finalmente, a fazer relações lógicas entre as figuras e as suas propriedades.  Outro aspecto importante é o cuidado com o vocabulário geométrico. Nas aulas de Geometria, os alunos estarão em contato com diferentes formas geométricas e aprenderão sobre suas partes. Isso significa que o professor precisará utilizar um vocabulário correto, como repetir vértice quando uma criança diz ponta, cubo e quando ela diz quadrado.  As propostas utilizam jogos e brincadeiras porque se ancoram na cultura da infância, apresentando, portanto, forte caráter lúdico, valorizando essa fase da vida dos alunos. As brincadeiras infantis estabelecem um ambiente dinâmico e propício para que uma variedade de relações seja estabelecida.  Nas propostas, temos atividades que integram Geometria e Arte. De fato, é importante que desde cedo as crianças associem beleza e harmonia a essa área do conhecimento. Essa aproximação contribui para ampliar o olhar do aluno sobre os objetos matemáticos, percebendo que eles não se restringem ao livro e à escola, ao mesmo tempo que permite o estabelecimento de conexões entre diversas ideias geométricas.  O recurso da Arte, por seu apelo estético e lúdico, pela capacidade de observação que desperta e pelas possibilidades criativas que proporciona, tem se mostrado valioso também para desenvolver a percepção estética do aluno, fazê-lo construir e aplicar alguns conceitos geométricos, reconhecer e apreciar a Matemática em situações que o cercam e lhe permitir a leitura de obras de artistas que escolheram elementos matemáticos como tema para seus trabalhos.

4 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental



Outra opção que se evidencia: o uso de múltiplos recursos (espelho, geoplano, malha pontilhada, plano cartesiano, sucatas, massinhas etc.) para desenvolver os conceitos de Geometria. Finalmente, são propostas atividades para que os alunos possam adquirir autonomia e vencer as dificuldades com que se defrontarem. Isso permite que eles percebam o próprio progresso e se sintam estimulados a participar ativamente da aula. E as atividades tornam-se mais e mais complexas.

Vale destacar que o trabalho com a Geometria tem no casal holandês Dina e Pierre Van Hiele uma importante contribuição. Esse casal ocupou-se do estudo do desenvolvimento da aprendizagem da Geometria e percebeu que os alunos, em sua grande maioria, desenvolvem seus conhecimentos geométricos por meio de níveis de complexidade diferentes, indo da simples capacidade de reconhecer visualmente uma figura até o ponto no qual são capazes de lidar com as noções geométricas em níveis mais complexos de exigência.

Nível 0

• Visualização e reconhecimento – Classes de formas • Identificação visual e sensorial baseada nos elementos do entorno, as figuras são unidades (possuem “nomes”) e não elementos de um conjunto, não identificam características. Conseguem desenhar em função do nome.

Nível 1

• Análise – Propriedades das formas • Identifica os elementos que compõem uma figura conhecida. Reconhece as formas pela manipulação das mesmas, observa e faz descrições informais das propriedades, mas não as relaciona com outras formas. Por isso, não classifica.

Nível 2

• Ordem e classificação – Dedução Informal – Relações entre as propriedades • Reconhece figuras geométricas pelos seus elementos e propriedades. As relações começam a se estabelecer, fazendo classificações por suas características, elementos e propriedades. As definições e a inclusão de classes passam a ter significado.

Nível 3

Nível 4

• Raciocínio e Dedução formal – Sistemas dedutivos de propriedades • Faz raciocínios sobre elementos e propriedades dos entes geométricos. Faz argumentação adequada para justificar propriedades e algumas demonstrações simples das relações entre as propriedades.

• Rigor - Análise dos Sistemas dedutivos • Faz análises sem exemplos visuais, unindo linguagem oral e escrita com a linguagem geométrica sensorial e visual para descrever todo tipo de situações geométricas com linguagem matemática. Também pode fazer raciocínios abstratos sobre entes geométricos sem a necessidade de representá-los. Conhece diferentes sistemas axiomáticos que permitem fazer comparações e confrontos abstratos.

O avanço entre os níveis vai depender de um trabalho sistemático no qual as propriedades das figuras geométricas sejam evidenciadas.

5 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

ENTRE PLANOS E ESPAÇOS Nosso mundo é repleto de formas planas e espaciais, e a Geometria é um campo fértil para o processo de exploração e investigação desse mundo que nos rodeia. Os sólidos geométricos são os primeiros objetos abstratos com que as crianças têm contato na escola, pois são mais simples de ser analisados do que as formas planas e se aproximam da forma de alguns objetos do cotidiano dos alunos. O estudo dos sólidos geométricos pode ajudar no desenvolvimento da percepção espacial dos alunos e da capacidade de transformar objetos dentro do seu ambiente e orientar-se em meio aos objetos no espaço, além de permitir que eles estabeleçam relações entre a Geometria e o mundo físico que os rodeia, uma vez que os sólidos são figuras que normalmente estão presentes nos objetos e cenários com os quais as crianças têm contato, tais como embalagens, construções, esculturas e brinquedos. Trabalhar desde os anos iniciais do Ensino Fundamental com sólidos geométricos também permite o desenvolvimento de um vocabulário específico sobre suas características – faces, vértices, arestas, o nome dos sólidos – e a percepção da relação entre as figuras planas e os sólidos. Enquanto manipula objetos tridimensionais e escuta as intervenções do professor, problematizando cada atividade, a criança vai descobrindo formas, percebendo dimensões, observando semelhanças e diferenças, descobrindo que alguns objetos são formados somente por figuras planas, enquanto outros são arredondados. Essas percepções lhes serão úteis posteriormente, na elaboração de relações geométricas mais sofisticadas. As atividades com sólidos geométricos permitem que, simultaneamente à identificação de formas e suas características, sejam trabalhadas habilidades verbais, de construção, representação e aplicação. As primeiras noções com os sólidos são desenvolvidas por meio de experiências com objetos presentes no cotidiano do aluno, como brinquedos, sucatas, blocos de construção. Posteriormente, são propostas explorações mais direcionadas à classificação, com a identificação e organização das primeiras propriedades dos sólidos e a planificação. É importante lembrar que os elementos cotidianos não são sólidos geométricos, mas estão relacionados aos elementos geométricos por apresentarem características semelhantes a eles que ajudam a criança a construir uma imagem dos sólidos geométricos.

6 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

A seguir, apresentamos um esquema da classificação dos sólidos e, na sequência, as características de alguns dos sólidos geométricos.

7 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

DE OLHO NA BNCC

Ao considerar que os diferentes campos que compõem a Matemática reúnem um conjunto de ideias fundamentais e articuladas - equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependência, representação, variação e aproximação - a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) destaca que essas ideias são fundamentais para o desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos e que, portanto, devem ser objetos de conhecimento na escola. Por estar orientada pelo pressuposto de que a aprendizagem em Matemática está essencialmente relacionada à compreensão, a BNCC propõe que, nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, as crianças iniciem a sistematização das noções matemáticas partindo das vivências e experiências desenvolvidas na Educação Infantil, destacando que as habilidades não fiquem restritas aos algoritmos, consequentemente, às conversões de unidades. Ainda ressalta que o estudo de geometria contribui para a integração da Matemática com as demais áreas de conhecimento.

No Ensino Fundamental – Anos Finais, o ensino de Geometria precisa ser visto como consolidação e ampliação das aprendizagens realizadas. Nessa etapa, devem ser enfatizadas também as tarefas que analisam e produzem transformações e ampliações/ reduções de figuras geométricas planas, identificando seus elementos variantes e invariantes, de modo a desenvolver os conceitos de congruência e semelhança. Esses conceitos devem ter destaque nessa fase do Ensino Fundamental, de modo que os alunos sejam capazes de reconhecer as condições necessárias e suficientes para obter triângulos congruentes ou semelhantes e que saibam aplicar esse conhecimento para realizar demonstrações simples, contribuindo para a formação de um tipo de raciocínio importante para a Matemática, o raciocínio hipotético-dedutivo. Outro ponto a ser destacado é a aproximação da Álgebra com a Geometria, desde o início do estudo do plano cartesiano, por meio da geometria analítica. As atividades envolvendo a ideia de coordenadas, já iniciadas no Ensino Fundamental – Anos Iniciais, podem ser ampliadas para o contexto das representações no plano cartesiano, como a representação de sistemas de equações do 1º grau, articulando, para isso, conhecimentos decorrentes da ampliação dos conjuntos numéricos e de suas representações na reta numérica.(BNCC, 2018, p. 272)

Assim, a Geometria não pode ficar reduzida a mera aplicação de fórmulas de cálculo de área e de volume nem a aplicações numéricas imediatas de teoremas sobre relações de proporcionalidade em situações relativas a feixes de retas paralelas cortadas por retas secantes ou do teorema de Pitágoras. A equivalência de áreas, por exemplo, já praticada há milhares de anos pelos mesopotâmios e gregos antigos sem utilizar fórmulas, permite transformar qualquer região poligonal plana em um quadrado com mesma área (é o que os gregos chamavam “fazer a quadratura de uma figura”). Isso permite, inclusive, resolver geometricamente problemas que podem ser traduzidos por uma equação do 2º grau. (BNCC, 2018, p. 272273)

8 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

MEDIDOR DE ÂNGULO RETO

Medir nada mais é que uma comparação. Isto é, só se pode medir algo ou alguma coisa comparando-o com outra coisa de mesma natureza, que será a unidade de medida. Dessa forma, medimos o comprimento com outro comprimento, uma área com outra área, um volume com outro volume e um ângulo com outro ângulo. Para executar uma medição precisamos escolher um objeto para funcionar como unidade de medida; verificar quantas vezes a unidade de medida cabe no objeto a ser medido e encontrar um número que possa expressar o resultado da medição. Assim, medir um ângulo envolve uma comparação entre o ângulo a ser medido e um ângulo unidade. Exatamente “o que” está sendo medido quando medimos um ângulo? É necessário que essa questão fique clara para os alunos, e, para isso, eles precisam de vários exemplos para discuti-la. ATIVIDADE 1 Em primeiro lugar, fazer comparações é um ponto essencial. As atividades iniciais de medição de ângulos terão como ângulo unidade o ângulo reto. Dessa forma, o giro de ¼ de volta será denominado ângulo reto e, usando dobradura, poderemos fazer um modelo desse ângulo. Entregue a cada aluno uma folha de papel para dobradura e uma tampa circular do tipo usado em embalagens de achocolatado ou leite em pó e peça que a contornem e recortem a figura desenhada. Quando terminarem, cada um com seu círculo em mãos, proponha, usando os passos ilustrados na figura abaixo, que todos construam o seu medidor de ângulo reto. Oriente a confecção do medidor utilizando um vocabulário mais específico: ao dobrar o círculo em duas partes iguais e sobrepostas, determinamos uma linha que é um dos seus eixos de simetria. Essa linha também é conhecida como diâmetro do círculo. Ao dobrar o círculo a partir do seu eixo de simetria, ou seja, no seu diâmetro, temos metade do círculo. Proponha aos alunos que realizem uma segunda dobra, mas agora para obter um quarto do círculo, ou seja, metade da sua metade. A linha que agora é a metade da medida do seu diâmetro é chamada de raio do círculo. Ao dobrarmos o 9 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

círculo na metade da sua metade, temos um quarto do círculo e, no vértice da figura obtida, um ângulo reto. Essa figura que corresponde a um quarto de volta será denominada, como dissemos anteriormente, ângulo reto.

ATIVIDADE 2 Proponha a realização da Ficha do aluno: Medidor de ângulo reto – 1. Ao final, abra uma roda de conversa para que os alunos comentem a resolução dos problemas da ficha. A ideia é que eles possam socializar seus registros e compará-los.

Se a ideia de ângulo é a de uma rotação ou giro, podemos usar o círculo como a base para formar unidades de medida de ângulos. importante ressaltar que os alunos necessitam tanto da percepção de ângulos dinâmicos (nos movimentos corporais e de objetos) quanto de estáticos (registro no papel) para conceituar esta ideia e devem evoluir de uma para outra. Para tanto, são essenciais os registros que os alunos fazem dos trajetos.

A proposta é que os alunos possam usar o medidor de ângulo reto para medir ângulos em diferentes figuras. Para isso, proponha a realização da Ficha do aluno: Medidor de ângulo reto – 2.

Avaliando o processo Analise as produções dos alunos para perceber quem não consegue organizar as representações e quais as dificuldades mais recorrentes. Ou seja, identifique que intervenções você deverá fazer para dar continuidade à exploração do conceito de ângulo.

10 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

FICHA DO ALUNO – MEDIDOR DE ÂNGULO RETO 1

Utilizando o seu medidor de ângulo reto, realize as seguintes propostas: 

Identifique cantos na sala de aula e em objetos que tenham ângulos retos. Identifique ângulos que sejam menores ou maiores que o reto. Com palitos de fósforo, construa três ângulos retos em posições diferentes.



Desenhe um ângulo maior e outro menor que o reto.

11 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

FICHA DO ALUNO – MEDIDOR DE ÂNGULO RETO 2

Usando seu medidor de ângulo reto, observe as figuras abaixo e marque a quantidade de ângulos de cada figura na tabela.

Menor que o ângulo reto Ângulo reto Maior que o ângulo reto 12 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

JOGANDO COM AS PROPRIEDADES

Esta sequência é sistematizadora. Ela ajuda os alunos na identificação das figuras planas e de suas propriedades, contribuindo para a classificação das figuras, usando como recurso um jogo. Esse jogo chama-se CARTAS DE PROPRIEDADES (ver Ficha do aluno: Cartas de propriedades) e poderá ser explorado várias vezes durante o ano, acrescentando propriedades após o aluno ter desenvolvido a sequência sobre noções de ângulos. As problematizações e as sínteses solicitadas nas diferentes etapas são especialmente importantes. REGRAS          

As cartas são embaralhadas e distribuídas entre os componentes do grupo, de tal forma que todos os alunos do grupo tenham o mesmo número de cartas. As cartas que sobrarem ficam fora do jogo. Um polígono é virado sobre a mesa. Cada jogador seleciona dentre suas cartas aquelas que correspondem às propriedades do polígono. Cada aluno lê as cartas que selecionou e os demais verificam se está correto. Cada carta de propriedade selecionada corretamente representa um ponto para o jogador. Feitas as contagens, anotam-se os pontos de cada um em uma tabela. Juntam-se as cartas, embaralham-se e faz-se nova distribuição. Vira-se outro polígono (o anterior deve ser descartado). Isso pode repetir-se de 8 a 10 vezes (o professor decide o número de jogadas em conjunto com a classe).

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1ª ETAPA Inicialmente os alunos jogam apenas com as 12 primeiras cartas de propriedades, relacionadas a lados e vértices, ou seja, devem ser excluídas as cartas que envolvem ângulos. Faça uma exploração das cartas do jogo e das figuras dos polígonos, entregando um conjunto por grupo de três ou quatro alunos, organizados previamente. Pergunte para a classe: Que cartas são essas? Para que servem? Deixe que formulem suas hipóteses. Valorize quando indicarem que se trata de um jogo. Peça, então, que pensem sobre como esse jogo deve ser jogado. Por que há dois conjuntos de cartas? Qual a relação entre as figuras de um conjunto e os textos do outro conjunto? Algumas cartas falam em lados: que lados são esses? Algumas cartas citam vértices: o que são vértices? Quais as figuras planas presentes nas cartas? Entregue uma folha impressa com as regras do jogo ou escreva-as no quadro e peça que as copiem no caderno. Peça que um aluno leia as regras (ou faça uma leitura compartilhada: um jogador, por grupo, lê um dos itens das regras). Eles devem fazer uma jogada, que ainda não vale para pontuar. Essa jogada serve para que todos possam perceber se entenderam as regras do jogo. Esclarecidas possíveis dúvidas, deixe-os jogar livremente. Observe os grupos enquanto jogam, buscando perceber como devem ser reorganizados os grupos na próxima vez em que jogarem. Depois de realizado o jogo, peça que façam um desenho sobre ele. Deixe as produções em exposição por um tempo. Convide os alunos a jogar novamente, organizando-os em grupos que atendam às necessidades identificadas por você na etapa anterior. Peça que releiam as regras e diga quantas rodadas do jogo devem fazer e que comecem a jogar. Quando o jogo terminar, diga para os grupos espalharem todas as cartas viradas para cima, de tal forma que todos do grupo possam vê-las. Inicie as problematizações, sempre seguidas de registro. 1. Observem o quadrado. Quais são as propriedades geométricas dessa figura que estão escritas nas cartas? Desenhem o quadrado e escrevam essas propriedades. 2. Observem os dois trapézios. Consultem as tiras de propriedades, escrevam as propriedades de cada um e apontem as diferenças entre eles. Registrem, em desenho e por escrito, revendo as propriedades e as diferenças. 3. Quais são as propriedades comuns ao quadrado e ao retângulo? 4. Quais são as propriedades comuns ao losango e ao quadrado? 5. Quais são as propriedades comuns ao paralelogramo e ao retângulo? 6. Quais são as propriedades comuns ao paralelogramo e ao quadrado? 7. Quais são as propriedades comuns ao paralelogramo e ao losango? Os alunos podem ser convidados a jogar novamente em outros momentos e você pode elaborar outras problematizações, sempre pedindo aos alunos que façam um registro.

14 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

3ª ETAPA Esta etapa deve ser realizada após os alunos desenvolverem a sequência sobre noções de ângulos. Organize a classe em grupos e diga que eles vão jogar CARTAS DE PROPRIEDADES, mas agora terão um novo desafio, pois novas cartas de propriedades serão incluídas. Distribua o material do jogo com todas as cartas. Peça que eles separem em um monte as cartas que não tinham antes e leiam as propriedades nelas escritas. Pergunte: As cartas falam em ângulos. O que são ângulos? Diga que antes de jogar eles deverão pensar no seguinte problema: ao distribuir as cartas, cada jogador deverá ter cartas antigas e cartas novas nas mãos. Ou seja, deverão ter propriedades relacionadas a lados e vértices (cartas antigas) e cartas relacionadas a ângulos (cartas novas). Mas, ao distribuir as cartas, pode ser que um aluno receba apenas cartas antigas ou somente cartas novas. Como fazer para que isso não aconteça? Deixe que debatam sobre uma forma de resolver o problema e acrescente às regras o que for combinado, sem escrever essa alteração – ela só deve ser falada. Professor, uma forma de resolver o problema é organizar as cartas em dois montes: cartas sobre lados e vértices em um monte e cartas sobre ângulos em outro. As cartas de cada monte devem ser embaralhadas e distribuídas igualmente entre todos os jogadores do grupo. No fim do jogo, peça, como registro, que façam uma reescrita das regras, incluindo as relativas às cartas com propriedades sobre os ângulos. Socialize os textos dos alunos em um painel, que deverá ficar exposto na classe até a próxima etapa do jogo. A classe deve jogar pelo menos mais uma vez, com a inclusão das cartas sobre ângulos. Como registro, você pode solicitar um desenho sobre o jogo. 4ª ETAPA Organize os grupos, entregue as cartas do jogo e diga para os grupos espalharem todas as cartas viradas para cima, de tal forma que todos os participantes possam vê-las. Antes de jogar, você fará algumas problematizações. Apesar de a organização ser em grupos, a conversa será coletiva. Coloque uma pergunta por vez. Conforme forem surgindo as respostas, incentive o debate. Depois, peça que cada um registre no caderno a conclusão da classe, como resposta para a pergunta feita. Junto ao registro escrito deve constar o desenho da(s) figura(s) envolvida(s) na pergunta. A seguir relacionamos algumas problematizações. Você pode acrescentar outras. 1. Por que o nome paralelogramo? 2. O que todos os triângulos do jogo têm em comum? 3. O que todos os triângulos do jogo têm de diferente? 4. Se esse jogo só tivesse triângulos, que cartas de propriedades não serviriam para ele? 5. O que todos os quadriláteros têm em comum? 6. Se esse jogo só tivesse quadriláteros, que tiras não serviriam para ele? Os alunos devem discutir suas escolhas e ser capazes de explicá-las. Em seguida, leem as regras que escreveram na etapa anterior e jogam à vontade.

15 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

5ª ETAPA Inicie esta etapa como a anterior. Dessa vez, a classe fará um jogo de disputa entre grupos, e todos devem estar bem atentos. Você dirá a eles algumas propriedades, que estão nas cartas. No grupo, eles devem dizer que figura(s) tem(têm) essas propriedades e escrever o nome dela(s) com letras grandes numa folha de papel (distribua as folhas). Quando você disser já, todos devem levantar a folha em que escreveram, junto com a(s) carta(s), para que todos vejam. O grupo que apresentar uma figura errada ganha 1 ponto. Ao final de determinado número de rodadas (combine com a classe), será vencedor o grupo que tiver o menor número de pontos. A seguir, dois exemplos de como você poderá apresentar as propriedades: 1. A figura tem todos os lados com a mesma medida e três ângulos. (Os alunos devem escrever triângulo e levantar a carta com o triângulo equilátero.) 2. A figura apresenta quatro lados e dois ângulos de mesma medida e tem ângulo menor que o ângulo reto. (Eles podem escrever trapézio, paralelogramo ou losango. Discuta o fato de as propriedades dadas servirem para várias figuras.) Depois desse jogo coletivo, diga aos alunos que eles vão construir um painel de figuras planas e suas propriedades. Diga que o painel deve ficar bem bonito e que, para isso, eles precisam caprichar bem na produção. Distribua as figuras entre os alunos. Cada figura deverá ter um desenho, feito com régua, e as propriedades deverão ser escritas em uma folha de papel. Essas folhas serão fixadas em um painel de papel pardo. Você também pode pedir que façam composições com as figuras, que pesquisem imagens que tenham essas figuras e façam uma colagem, entre outras ideias, que enriqueçam o trabalho. Deixe o painel exposto.

Avaliando o processo É importante estar atento às falas dos alunos, porque elas lhe permitirão avaliar a familiaridade adquirida em relação a triângulos e quadriláteros. A expectativa é de que nessa fase eles identifiquem as figuras pelo nome e reconheçam bem suas diferenças, considerando os lados e os vértices. Quanto aos ângulos, essa é uma noção que está em construção e ainda haverá algumas dificuldades, que deverão ser percebidas por você para que possa planejar as intervenções. Para isso, a pauta de observação será de grande utilidade.

16 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

FICHA DO ALUNO – CARTAS DE PROPRIEDADES

3 LADOS

4 LADOS

TODOS OS LADOS COM A MESMA MEDIDA

3 LADOS COM MEDIDAS DIFERENTES

4 LADOS DE MESMA MEDIDA

EXATAMENTE 3 VÉRTICES

4 VÉRTICES

3 LADOS DE MEDIDAS DIFERENTES

4 LADOS DE MEDIDAS DIFERENTES

1 PAR DE LADOS DE MESMA MEDIDA

2 PARES DE LADOS DE MESMA MEDIDA

1 ÂNGULO RETO

2 ÂNGULOS DE MESMA MEDIDA

TEM ÂNGULO MAIOR QUE O ÂNGULO RETO

TEM ÂNGULO MENOR QUE O ÂNGULO RETO

2 PARES DE ÂNGULOS DE MESMA MEDIDA

3 ÂNGULOS

4 ÂNGULOS RETOS

4 ÂNGULOS

2 LADOS COM MEDIDAS DIFERENTES

17 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

FICHA DO ALUNO – CARTAS DE POLÍGONOS

18 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

AMPLIANDO E REDUZINDO IMAGENS

Esta sequência envolve a redução e a ampliação de figuras planas, estabelecendo conexões com o estudo das propriedades dos polígonos. 1ª ETAPA Organize a classe em duplas. Os alunos, porém, trabalharão individualmente, tendo no parceiro um apoio para troca de ideias. Imprima o grupo de imagens a seguir, disponíveis no anexo 1. Você pode apresentá-lo em retroprojetor ou data show; conseguir uma impressão muito ampliada para apresentar em um cartaz, de tal forma que toda a classe o visualize; ou imprimir em algumas folhas comuns, garantindo que duas ou três duplas possam visualizá-lo simultaneamente, acompanhando o debate.

Coloque-lhes o seguinte problema: Você fotografou o desenho (imagem maior) que um artista plástico fez do seu cachorrinho. Mas, na hora de imprimir a foto, saíram as sete imagens que estão 19 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

abaixo do desenho. Agora você precisa decidir se todas as imagens estão SEMELHANTES à imagem original ou se há diferenças. Perceba que a palavra semelhantes foi destacada no texto. Esse é um alerta para que você, mesmo usando a palavra igual, mais familiar aos alunos, retome a fala usando o termo semelhante (significa manter a mesma forma geométrica), para que eles se apropriem desse significado. Por exemplo: Qual é o cachorrinho semelhante ao desenho, ou seja, que tem a mesma forma? Ouça as hipóteses dos alunos, deixe que discutam quem é semelhante e como fazem essa identificação, provocando-os com novas perguntas: Mas por que a imagem de ponta-cabeça não é semelhante? Se você se virar de ponta-cabeça, você será diferente? Quando as falas se forem acalmando, dê novas informações: Parece que há quatro imagens de cachorrinhos do mesmo tamanho (1a, 3a, 4a e 5a imagens). Que tal verificar medindo-as com a régua? São do mesmo tamanho? Qual é a diferença entre essas imagens? (Espera-se que eles digam algo sobre o fato de elas estarem giradas.) Mas essas imagens mantêm a mesma forma? Quais as imagens que não mantêm a mesma forma? Mantenha a conversa até que todos estejam convencidos, apresentando argumentos, de que apenas as duas últimas imagens não estão coerentes, pois deformam o cachorrinho (uma está “espichada” na vertical e a outra, na horizontal). Providencie algumas folhas com imagens ampliadas e reduzidas e outras que não mantêm a forma. Circule essas folhas entre os alunos. Continue a conversa: Essas imagens são iguais ou diferentes? Como vocês sabem? Pensem bem... Um exemplo de como podem ser feitas essas imagens encontra-se no anexo 2:

Na problematização, peça que verifiquem, por exemplo, se as retas de ambas as figuras são paralelas. Ao ampliar ou reduzir figuras geométricas, o aluno verificará experimentalmente que os ângulos se mantêm e os comprimentos são proporcionais, embora ainda não consiga expressar isso com uma linguagem geométrica. Essa noção, para ele, ainda é intuitiva. Nessa fase do ensino, o que pretendemos é que ele qualifique essa noção. As perguntas que você lança à classe são fundamentais para que os alunos pensem sobre as respostas, ou seja, organizem as ideias que têm e a forma de expressá-las.

Quando finalizarem a atividade, recolha as produções e deixe-as guardadas.

20 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

2ª ETAPA Para esta etapa sugerimos dois recursos interessantes: computador e geoplano. Você poderá optar por um ou outro, ou pelas sugestões de trabalho com os dois recursos (essa é a melhor alternativa!). Isso depende de a escola dispor ou não desses recursos. Se ela não dispuser de nenhum dos dois, você poderá desenvolver esta etapa usando apenas a malha quadriculada. Você certamente se perguntará: Por que usar geoplano ou computador se a malha quadriculada poderá substituí-los?

O geoplano é um material especialmente valioso porque auxilia os alunos a criar figuras planas com facilidade e a transformá-las de diferentes modos. As atividades com geoplano desenvolvem habilidades de constância de forma e tamanho, bem como de percepção da posição de uma figura no espaço. Uma vez feitas as figuras com elástico no geoplano, elas podem ser registradas na malha pontilhada ou quadriculada. Desenhar esses modelos na malha auxilia os alunos a perceber características específicas de cada figura. Originariamente elaborado pelo matemático inglês Calleb Gattegno, o geoplano é um excelente material para os alunos explorarem problemas geométricos. Existem diferentes tipos de geoplano. Optamos pelo mais comum: uma base quadrada na qual são colocados pinos sobre os vértices de cada quadrado de uma malha quadriculada desenhada sobre a base. O geoplano é acompanhado por elásticos, de preferência coloridos, que permitem a quem o manipula produzir figuras na malha de pinos. Para registrar as figuras construídas no geoplano, pode ser usada a malha quadriculada ou a pontilhada. Uma das grandes vantagens do geoplano é que, ao contrário da folha de papel, ele tem mobilidade, é “dinâmico”, e a flexibilidade para fazer e desfazer construções permite que o aluno se habitue a ver figuras em diversas posições, perceba se determinada hipótese que levantou para a solução de um problema é adequada e a corrija imediatamente, se necessário. Manipulando elásticos de diversas cores, é possível construir figuras geométricas no geoplano para explorar noções relativas a polígono, área, perímetro, comprimento, semelhança e congruência de figuras, simetria de reflexão, rotação de figuras, entre outras ideias matemáticas. No trabalho com Geometria, além de ser útil na abordagem de noções sobre figuras planas, o geoplano é rico em possibilidades para desenvolver habilidades de percepção espacial, ao ser utilizado como recurso em atividades que permitam à criança visualizar, desenhar, imaginar e comparar figuras em diferentes posições. Além disso, ao trabalhar com ele é possível contemplar quatro aspectos inerentes à construção do conhecimento geométrico: construção, concepção, percepção e representação.

No geoplano são desenvolvidas as noções de figuras planas e a noção de proporcionalidade e semelhança de figuras, e o aluno pode, ainda, operar transformações nas diferentes figuras que cria. Atenção, professor: caso não seja viável usar o geoplano em sua escola, não deixe de realizar esta etapa. Desenvolva a proposta usando malha pontilhada.

USANDO O GEOPLANO

O geoplano é um recurso muito útil para que o aluno perceba reduções e ampliações de figuras, favorecendo, como dissemos, a investigação. Organizados em duplas, tendo em mãos o geoplano e a 21 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

malha quadriculada, os alunos devem montar uma figura seguindo os seus comandos, professor, e usando elásticos coloridos. Em seguida, devem formar uma nova figura semelhante, ampliada ou reduzida. Tendo as duas figuras montadas no geoplano, cada dupla deverá reproduzir o desenho na malha quadriculada, fazendo uso da régua para que seus traçados fiquem coerentes. Os comandos podem ser criados por você. Veja nossa sugestão: 1. Faça um triângulo usando quatro pinos. Depois, faça uma figura semelhante; porém, maior, ampliada. 2. Faça um quadrado usando oito pinos. Faça outro quadrado semelhante (e sempre o será!), porém reduzido. Quantos pinos você usou? 3. Monte a figura que você quiser, mas pense no espaço que utilizará, pois em seguida você fará uma figura semelhante, ampliada. 4. Faça um triângulo retângulo pequeno. Faça outro triângulo retângulo semelhante, porém em posição invertida, com um giro de 180º. (Ajude as crianças se elas se perderem com a informação: 180º, ou seja, de “ponta-cabeça”!) 5. Use três pinos para fazer uma reta e depois faça outra reta paralela à primeira. Use as retas para construir um quadrilátero e, depois, faça outro semelhante, ampliado. Entre um comando e outro, dê o tempo necessário para que façam as construções e reproduções na malha quadriculada. Terminada a atividade, converse com os alunos sobre o que gostaram de construir, o que foi mais difícil fazer nesta atividade, quais foram os problemas que tiveram e como os resolveram. Após a conversa, peça que seus alunos escolham, dentre as figuras produzidas na malha, aquela de que mais gostaram e que gostariam que ficasse em exposição na sala de aula em painel de papel pardo. USANDO APENAS A MALHA QUADRICULADA Desenvolva o mesmo processo descrito para o geoplano (os comandos), com os alunos organizados em duplas. As produções, porém, devem ser individuais. 3ª ETAPA Nesta etapa, os alunos desenvolvem a Ficha do aluno: Ampliando e reduzindo imagens – II. Organize a classe em duplas e distribua as fichas, uma para cada aluno. Diga que lhes dará um tempo para que conversem sobre a primeira proposta e depois todos vão construí-la. Converse com a classe sobre a construção. Ouça como os alunos descrevem a construção de Fulano e motive o debate. Entregue papel quadriculado e desafie-os a fazer uma construção como a de Fulano. Peça que desenhem um triângulo pequeno e, depois, o ampliem. Pergunte quem descobriu algo diferente enquanto fazia a construção. Valorize o trabalho das crianças. Peça, então, que façam as demais construções solicitadas na ficha e depois pintem e enfeitem as figuras. Ao término da atividade, devolva a primeira figura desenvolvida nesta sequência, na etapa inicial. Peça que cada um analise as produções que fez na ficha e anteriormente e escreva um pequeno texto individual relatando o que aprendeu sobre redução e ampliação de figuras. Esse texto será uma autoavaliação. 22 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

FICHA DO ALUNO – ANEXO 1 – MALHA PONTILHADA

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FICHA DO ALUNO – ANEXO 2

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FICHA DO ALUNO – ANEXO 3 – MALHA QUADRICULADA

25 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

FICHA DO ALUNO – AMPLIANDO E REDUZINDO IMAGENS 1

Faça um desenho semelhante a este. O desenho deverá ocupar toda a folha. Utilize o recurso que quiser.

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FICHA DO ALUNO – AMPLIANDO E REDUZINDO IMAGENS 2 A professora de Pedro pediu que ele ampliasse o triângulo pequeno da figura que está no quadriculado. Pedro apresentou a construção S T U. A ampliação de Pedro está correta? Como você sabe?

Como Pedro fez essa construção? Converse com seu colega de dupla e, quando a classe discutir sobre a figura, conte o que vocês pensaram para responder a esta pergunta.

27 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

FICHA DO ALUNO – AMPLIANDO E REDUZINDO IMAGENS 3 Desenhe o próximo elemento da sequência:

Desenhe um elemento no começo e um elemento no fim da sequência:

Desenhe o próximo elemento da sequência:

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FAZENDO ARTE

POSICIONANDO Desde a educação infantil, as crianças aprendem relações de posição: na frente, atrás, do lado, à esquerda, à direita. Mas elas crescem, e o cotidiano exige cada vez mais essas relações, sem lhes dar novas chances de pensar sobre isso, sobretudo nas representações no plano. Esse será o foco desta etapa. Com a classe em roda, coloque um conjunto de sólidos enfileirados. Abra um debate, deixandoos falar à vontade, com você estimulando a fala com perguntas como estas: Quem está à direita do cubo? E quem está afastado dois sólidos à frente do prisma? À direita ou à esquerda? Mas em relação a quem? De fato, quem está do lado oposto da roda verá o sólido à direita, enquanto o outro o verá à esquerda. Discuta esse tipo de questão, explorando a posição dos sólidos, uns em relação a outros e em relação ao próprio observador (aluno). Mude a posição dos sólidos e depois peça que eles mudem de lugar na roda e façam nova observação. Explore! Peça a todos que façam um desenho representando os sólidos enfileirados. Depois, eles devem circular entre os colegas e escrever o nome de três entre eles que tenham feito desenhos bem diferentes do que eles fizeram, considerando a posição dos sólidos. Voltando à roda, peça que comentem o que acharam estranho e quais descobertas legais eles fizeram. Posicione os sólidos novamente e peça novo desenho; dessa vez, os alunos deverão fazer quatro desenhos, sob quatro perspectivas diferentes. Exponha os desenhos em um painel, para que todos 29 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

comentem. Organize então pequenos grupos, cada grupo com cinco sólidos. Cada grupo vai enfileirar os sólidos da forma que quiser e depois escrever um texto, explicando como fez a organização.

Cada par de grupos troca os textos entre si. O grupo deverá montar a fileira conforme as descrições dos colegas. A atividade pode ser repetida usando-se sete sólidos. Para finalizar a etapa, distribua a Ficha do aluno: Relação de posição e desenvolva conforme comentado na ficha. DESENHANDO NA MALHA Nesta etapa, vamos explorar o desenho do aluno, para que ele aperfeiçoe seus traçados, possa ter mais um momento para aprender as propriedades dos poliedros e, principalmente, perceba a relação entre a representação tridimensional e o plano. Peça a cada aluno que desenvolva a Ficha do aluno: Sólidos na malha pontilhada. Depois, coloque em exposição um conjunto de sólidos, com uns mais à frente e outros mais afastados, e peça que desenhem de diferentes pontos de vista na malha pontilhada.

Em roda, discuta com o grupo as dificuldades, a questão de estimar tamanho e profundidade e de distribuir o desenho no papel. Em pequenos grupos, cada um fará um arranjo com cinco sólidos, colocando os sólidos em posições diferentes, não enfileirados. Peça que desenhem a configuração que montaram. E agora, como descrever? Este é o desafio: descrever a posição de seus sólidos para que outro grupo monte. Depois, devem entregar o desenho para o outro grupo verificar se a mensagem escrita está de acordo com a mensagem do desenho. Novamente em roda, converse sobre as dificuldades e como fizeram para resolver problemas de interpretação que surgem ao ler a escrita do outro. Após esse trabalho, diga que eles precisarão de muitos cubos para fazer atividades bem legais. Entregue os onze moldes do cubo planificado e papelão bem firme. Esses moldes precisam ser construídos com tamanho razoável; por exemplo, quadrados com 6 cm de lado. A Ficha do aluno: Planificações do cubo apresenta os onze modelos como referência. Aproveite e explore esses moldes. Cada grupo de quatro alunos deverá contornar cuidadosamente os moldes no papelão, cortar e montar cada um dos cubos e construir seu conjunto de onze cubos. Peça cuidado no fechamento do sólido: as bordas precisam ficar bem alinhadas e o sólido, plano. Combine: quando o aluno terminar uma construção do cubo, os colegas do grupo fazem o “controle de qualidade” (você também verifica se a colagem foi correta, de modo que todas as faces 30 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

apareçam e as arestas fiquem bem definidas) e, se passar na inspeção, o poliedro é aprovado. Caso contrário, volta para correção. Os componentes de cada grupo devem ser encorajados a ajudarem-se mutuamente. OBSERVANDO Nesta etapa, o foco é a observação de sólidos divididos em duas ou três partes. Comente sobre o arquiteto Oscar Niemeyer e encomende uma pesquisa sobre a vida e a obra dele, para que as crianças possam conhecer um pouco sobre esse grande personagem brasileiro. Peça que recortem de revistas ou imprimam as obras de Niemeyer em que eles reconhecem elementos geométricos. Depois, faça um grande painel para ficar exposto na classe. Imprima uma cópia, por grupo, da Ficha do aluno: Oscar Niemeyer, que apresenta a imagem do Congresso Nacional, em Brasília. Pode ser em preto e branco (mas, se possível, projete uma versão colorida com o uso de retroprojetor ou data show). Converse com os alunos em roda, fale um pouco sobre a construção do Congresso Nacional e a importância dela no cenário do país e do mundo. Comente que em determinado momento o Sol é visto entre os dois blocos gerados pelo recorte. Se tiver oportunidade, projete essa imagem para os alunos. Depois, explore a obra: O que estamos vendo? Que elementos geométricos temos aqui? Como estão representados? O foco é que percebam os sólidos divididos em duas partes, a esfera e o bloco retangular, recortado. Entregue a Ficha do aluno: Decomposição de sólidos e peça que desenvolvam conforme o comentário. Em outro momento, distribua massinhas de modelar coloridas e faquinha de plástico. Deixe um conjunto de sólidos em exposição e peça a cada aluno do grupo que modele um sólido. Depois de pronto, eles devem usar a faquinha para dividir o sólido em duas partes, ajustando com as mãos o acabamento. Depois de realizado o corte, diga que, sobre uma folha de papelão, cada grupo deve montar uma obra inspirada na arquitetura de Niemeyer. Eles podem enfeitar, pintar o papelão com guache e usar papel picado (sobrinhas de outros trabalhos) para fazer o acabamento. Deixe as obras em exposição, perto do painel montado com as pesquisas de imagens solicitadas no início da etapa. VISTAS Reúna a classe em uma grande roda e converse com os alunos sobre a importância das obras de arte, os seus encantos, o que expressam, a beleza desafiadora da Geometria. Apresente algumas obras de Victor Vasarely e comente sobre esse artista plástico. Na Ficha do aluno: Victor Vasarely apresentamos sete imagens de obras do artista. Imprima em cartazes e entregue uma cópia por grupo. Depois dessa primeira conversa, diga às crianças que, inspiradas em Vasarely, elas farão montagens e vão desenhá-las. 31 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

Coloque um cubo grande com faces pintadas de cores diferentes no meio da sala. Converse sobre as diferentes vistas, conforme a posição de cada um. Cada um vê o cubo por uma vista diferente. Há alunos de diferentes pontos da roda, pergunte: Que cores de faces você vê? E você, vê a face completamente? Ou seja, explore o olhar dos alunos, buscando reconhecer as diferentes vistas. Dê a cada grupo uma Ficha do aluno: Diferentes pontos de vista. Peça que discutam nos grupos os desenhos que veem e qual a relação entre eles. Converse com todos para que exponham as primeiras impressões que tiveram. Depois, peça que digam a posição de cada parte, ou seja, em que posição uma pessoa deve estar para ver cada uma das imagens do conjunto. Com cubos produzidos pelos alunos, monte uma configuração e peça aos alunos que observem como é a vista que eles não conseguem ver na posição em que estão e comparem essas vistas. Discuta com os alunos o que eles observam. Faça essa observação, também, com sólidos: A pirâmide, que vistas vemos no espelho? E o cilindro? O que muda? Depois, incentive as crianças a montar figuras com 16, 25, 34 cubos etc. Eles montam, desenham as configurações e suas vistas em malha pontilhada. Em outro momento, entregue a Ficha do aluno: Problemas com vistas. Os alunos devem resolvê-la individualmente, mas trabalhando junto à classe. Para finalizar, usando lápis de cera ou tinta guache, peça a cada aluno que produza uma obra de arte inspirada em Vasarely. Eles podem usar a malha pontilhada para ajudar os traçados. Deixe-os criar usando os materiais que estejam disponíveis. Naturalmente, tantas coisas bonitas feitas por seus alunos merecem ser apreciadas por outras pessoas. Façam uma exposição das produções realizadas nesta sequência para a comunidade escolar.

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FICHA DO ALUNO – RELAÇÃO DE POSIÇÃO

1. Como organizar os quatro sólidos abaixo, de modo que a esfera não fique entre o cilindro e o cubo nem ao lado da pirâmide?

2. Complete o texto.

Na figura temos 4 .................................. O primeiro tem 5 faces e sua base é um .................................; o segundo tem ............. faces e sua base é um quadrado; o terceiro tem ......... faces e sua base é um .............................; e o quarto tem .............. faces e sua base é um ............................. . Assim, eles estão organizados em ordem ................................... pelo número de faces. Para colocar mais um poliedro nesse grupo ele deverá ter ............... faces e sua base será um polígono de .............. lados.

.............................................................................................................................................................. Comentário: No primeiro problema, peça a cada aluno que encontre pelo menos duas possibilidades. Eles desenham e colocam as resoluções encontradas em um painel. Você discute o painel com todos, buscando retirar possibilidades repetidas, até que fiquem apenas as alternativas possíveis e que atendam às exigências do problema. Para o segundo problema, peça que completem e depois junte os alunos em trios, para que um corrija o exercício do outro. Nos grupos, eles discutem as divergências de respostas. As expressões que completam o texto são: poliedros; triângulo; 6; 7; pentágono; 8; hexágono; crescente; 9; 7. 33 Didática Específica da Matemática Geometria Anos Iniciais do Ensino Fundamental

FICHA DO ALUNO – SÓLIDOS NA MALHA PONTILHADA Complete os desenhos abaixo utilizando a régua.

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FICHA DO ALUNO – PLANIFICAÇÕES DO CUBO

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FICHA DO ALUNO – OSCAR NIEMEYER

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FICHA DO ALUNO – DECOMPOSIÇÃO DE SÓLIDOS 1. Quero cortar um cubo ao meio, de modo que fiquem duas partes iguais. Uma das maneiras é esta.

Há só uma maneira? Tente descobrir outras. Faça um desenho como esse em cada situação que você vai propor. 2. Veja os dois cortes que foram feitos no cilindro.

Você tem mais algumas ideias de como ele possa ser recortado em duas partes iguais? E em três partes iguais? E em quatro, também iguais? .............................................................................................................................................................. Comentário: Nos dois problemas, use o painel de soluções para discutir como os alunos pensaram. É interessante, pois dificilmente eles pensam em um corte em diagonal, por exemplo, no cilindro: Outro fator interessante é o corte do cilindro em três ou quatro partes iguais: só há uma solução e nela você forma novos cilindros.

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FICHA DO ALUNO – VICTOR VASARELY

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FICHA DO ALUNO – DIFERENTES PONTOS DE VISTA

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FICHA DO ALUNO – PROBLEMAS COM VISTAS

1. Quantos cubos há em cada configuração? Desenhe a próxima montagem da sequência.

2. Quantos cubos há em cada configuração?

3. Existem 29 possibilidades de configurações com cinco cubos. Em grupo, monte pelo menos duas configurações. Depois compare com as de seus colegas e desenhe todas as configurações que vocês descobriram.

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4. Sua classe deve juntar todos os cubinhos. Quantos cubos vocês têm? Com esses cubos vocês conseguem montar essas configurações? (uma por vez). Tentem!

5. Com sua classe, juntando os cubinhos de cada grupo, monte o maior cubo que vocês conseguirem. Quantos cubos utilizaram? Compare com os demais grupos.

6. Com sua classe, juntando os cubinhos de cada grupo, monte configurações que tenham em uma das vistas as formas abaixo. Sejam criativos e depois comparem com as configurações de outras classes.

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FICHA DO ALUNO – AS CORES DAS FACES Um mesmo cubo foi desenhado em posições diferentes. Foram utilizadas cinco cores para pintar esse cubo, mas ele tem 6 faces; portanto, duas de suas faces foram pintadas da mesma cor. Qual é a cor que foi repetida?

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