Математика 7, збирка задатака за седми разред основне школе by Izdavačka kuća Eduka

ДР ВЕСНА ВРЦЕЉ КАЋАНСКИ

СЛОБОДАН ПАВЛОВИЋ

МАТЕМАТИКA

uk a

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА СЕДМИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ

ДР ВЕСНА ВРЦЕЉ КАЋАНСКИ СЛОБОДАН ПАВЛОВИЋ Математика Збирка задатака за седми разред основне школе ГЛАВНИ УРЕДНИК Др Бошко Влаховић

ОДГОВОРНИ УРЕДНИК Др Наташа Филиповић

uk a

ДИЗАЈН И ПРЕЛОМ Дејан Перошевић

РЕЦЕНЗЕНТИ Снежана Богићевић, професор математике, ОШ ,,Јован Дучић”, Београд Др Деретић Немања, Београдска академија пословних и уметничких струковних студија, Београд Ивана Милошевић, педагог

ЛЕКТУРА И КОРЕКТУРА Биљана Никић

ИЗДАВАЧ ЕДУКА д. о. о., Београд Ул. Змаја од Ноћаја бр. 10/1 Тел./факс: 011 327 277, 3286 443, 2629 903 Сајт: www.eduka.rs; имејл: eduka@eduka.rs ЗА ИЗДАВАЧА Др Бошко Влаховић, директор Штампа Издање

Тираж

С А ДРЖ А Ј

САДРЖАЈ 1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

uk a

1. Подсети се 1.1 Рационални бројеви 1.1.1. Квaдрaт рaциoнaлнoг брoja 1.1.2. Кореновање 1.1.3. Решавање једначина облика х2 = а, a ≥ 0 1.2. Ирационални бројеви 1.2.1. Квадратни корен који је ирационалан број 1.2.2. Рачунске операције с квадратним коренима 1.3. Реални бројеви и бројевна права 1.3.1. Поредак у скупу реалних бројева 1.3.2. Бројевни интервал 1.3.3. Децимални запис реалног броја 1.3.4. Својства рачунских операција у скупу реалних бројева 1.3.5. Приближнe врeднoсти рeaлнoг брoja и рaчунaњe с њимa 1.3.6. Рационалисање имениоца разломка 1.4. Пропорционалност 1.4.1. Пропорција и продужена пропорција 1.4.2. Функција директне пропорционалности y = kx (k ∈ R) \ {0}

2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

2. Подсети се 2.1. Примена Питагорине теореме 2.2. Примена Питагорине теореме на квадрат и правоугаоник 2.3. Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао 2.4. Примена Питагорине теореме на паралелограм и ромб 2.5. Примена Питагорине теореме на трапез 2.6. Конструкције применом Питагорине теореме 2.7. Конструкција тачака на бројевној правој које одговарају ирационалним бројевима 2.8. Растојање између две тачке у координатном систему

3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ

3. Подсети се 3.1. Стeпeн брoja чиjи je излoжилaц прирoдни брoj

6 11 11 15 18 19 20 21 23 24 25 26 27 28 28 29 29 31

34 35 39 42 44 47 49 51 53 55

58 59 61

С А ДРЖ А Ј 3.2. Алгебарски изрази 3.3. Полиноми 3.4. Квадрат бинома и разлика квадрата 3.5. Растављање полинома на чиниоце са применом

66 68 72 77

4. МНОГОУГАО

4. Подсети се 4.1. Појам многоугла и врсте 4.2. Диjaгoнaлe мнoгoуглa 4.3. Углови многоугла 4.4. Правилни многоуглови 4.5. Конструкција правилних многоуглова 4.6. Oбим и пoвршинa многоуглова 4.7. Тежишна дуж и тежиште троугла 4.8. Висине троугла и четвороугла, ортоцентар троугла 4.9. Конструктивни задаци – примена подударности троугла

5. КРУГ

uk a

5. Подсети се 5.1. Централни и периферијски угао круга 5.2. Обим круга 5.2.1. Дужина кружног лука 5.3. Површина круга 5.3.1. Површине делова круга 5.4. Ротација

106 107 111 113 115 116 118 122

6. ОБРАДА ПОДАТАКА

124

7. РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

139

6. Подсети се 6.1. Нумеричка обрада и графички приказ података 6.2. Аритметичка средина, медијана и модус

81 84 86 88 90 93 95 97 99 103

125 127 132

ПРЕДГОВОР

uk a

Ова збирка је намењена ученицима седмог разреда у основној школи да стекну базичну jeзичку и математичку писменост, осете радост у решавању математичких задатака, да сазнају како математика није апстрактна наука која лежи изван свакодневног живота, већ наука која тражи највише маште, која високо усавршава мисаоне процесе, и служећи другим наукама, помаже човеку да мења свет. Задаци у збирци груписани су по областима. На почетку сваке области дате су неопходне дефиниције, теореме и формуле, чије познавање је неопходно за решавање задатака из те области. Задаци су припремљени на основу програма математике за седми разред. Збирком је систематизован преглед програма математике за седми разред. При састављању задатака водило се рачуна о њиховом методичком слагању и повезивању по моделу концентричних кругова, тј. од лакших ка тежим, од познатих ка непознатим, од типичних до нешаблонских – одмерених и прилагођених сврси одговарајуће теорије. Посебно се захваљујемо рецензентима, који су дали низ корисних примедби и сугестија. Уверени смо да је њиховим прихватањем и поступањем по њима, збирка поправљена и употребна вредност унапређена. Са захвалношћу ћемо примити и критичке примедбе и сугестије корисника, пре свега наставника математике који остварују наставу уз помоћ нашег уџбеника и збирке.

Аутори

„Математика је наука младих. Бављење математиком представља такву гимнастику ума да је за њу потребна сва гипкост и издржљивост младости.” Норберт Винер

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ ,,Суштина математике је у њеној слободи.”

Георг Кантор

Фердинанд Лудвиг Филип Кантор Био је немачки математичар. Најпознатији је као оснивач теорије скупова, која представља важан темељ математике, а највише се везује уз математичку логику. Према Кантору, бесконачне величине постоје. Сматрао је да има бесконачности различитих нивоа, па чак и то да их је произвољно (бесконачно) много. На пример, има онолико парних бројева 2, 4, 6,… колико и природних 1, 2, 3…, иако је први скуп подскуп другог.

uk a

Фердинанд Лудвиг Филип Кантор (1845–1918)

Кантор открива да реална права има онолико тачака колико и било који сегмент на њој, или да одсечак има исто толико тачака као и квадрат или коцка који су конструисани над њим. Изненађен и сам, написао је, у писму Јулијусу Дедекинду: „Видим, али не верујем”.

1. ПОДСЕТИ СЕ Скуп природних бројева је: N = {1, 2, 3, 4, …}. Скуп целих бројева је: Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}. p Скуп рациoналних бројева је: Q = q | p ∈ Z, q ∈ N . p Скуп ирационалних бројева је: I = y ≠ q | p ∈ Z, q ∈ N .

{ {

Скуп реалних бројева је: Q ∪ I = R.

}

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

Ако су представљени у децималном запису, рационални бројеви имају коначан број децимала или се те децимале периодично понављају. Бројеви који не могу бити представљени у облику разломака (тј. имају бесконачан непериодичан децимални запис) називају се ирационални бројеви. Такви су, на пример: √2, √3, √5.

Ако је y ирационалан број, а k рационалан број различит од нуле, тада су k + y и k ∙ y такође ирационални бројеви.

{ –a,a, aa≥< 00

| x | = b

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x = b или x = – b

–b<x<b x < – b или x > b a–b<x<a+b x < a – b или x > a + b

b >0 1. | x | < b 2. | x | > b 3. | x – a | < b 4. | x – a | > b

⇔

uk a

|a|=

Апсолутна вредност

b <0 1. | x | < b, је немогуће | x – a | < b, је немогуће 2. | x | > b, важи увек | x – a | > b, важи увек.

Квадрирање (а · b)2 = а2· b2 За b ≠ 0, (а : b)2= а2 : b2 , a 2= a2 b b2 (–а)2 = а2

( )

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ Кореновање √а ∙ b = √а ∙ √b; а ≥ 0 и b ≥ 0 a = √a ; а ≥ 0 и b > 0 b √b

√a = x ⟺ a = x2, ( a ≥ 0, x ≥ 0) √a² = |а| ⟺ √a² = а, за а ≥ 0 √a² = –а, за a <0

{

Особине операција у скупу R

за а > 0 има два решења: х1 = √a и х2 = –√a; за а = 0 решења су: х1 = х2 = 0.

Квадратна једначина x2 = а

uk a

Својство комутативности: a + b = b + a, a · b = b · a, за а, b ∈ R. Својство асоцијативности: a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c, a, b, c ∈ R. Својство дистрибутивности: a · (b + c) = a · b + a · c зa a, b, c ∈ R. 1. За сваки реалан број а, а ≠ 0, постоји реалан број –а, супротан броју а, такав да је a + (–a) = (–a) + a = 0. Нула је број који не утиче на резултат сабирања – неутрални број. Збир реалног броја а и нуле је број a, тј. a + 0 = 0 + a = a. 2. За сваки реалан број а, а ≠ 0, постоји реалан број 1 , реципрочан броју а, такав a да је: 1 1 a · a = a · a = 1. Број један не утиче на производ па је неутрални елеменат за множење. За сваки реалан број а важи: a · 0 = 0 · a = 0 и a · 1 = 1 · a = a.

Рационалисање имениоца разломка (када је у имениоцу моном a, a > 0) 1 √a √a = 1 ∙ = √a √a √a a

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

Бројеви на бројевној прави Свaкoм рeaлнoм брojу мoжe сe придружити тaчнo jeднa тaчкa нa брojевнoj прaвoj. Свaкoj тaчки нa брojевнoj прaвoj мoжeмo придружити тaчнo jeдaн рeaлaн брoj.

Интервали

Отворен интервал, који означавамо (а, b), a < b, јесте скуп реалних бројева: (а, b) = {x | x ∈ R, a < x < b}. Затворен интервал, који означавамо [a, b], a < b, јесте скуп реалних бројева: [a, b] = {x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b}. Полуотворен интервал, који означавамо [a, b) или (a, b], a < b, у зависности која од крајњих тачака, a или b, припада интервалу, јесте скуп реалних бројева: [a, b) = {x | x ∈ R, a ≤ x < b} или (а, b] = {x | x ∈ R, a < x ≤ b}; x > a или x ∈ (a, + ∞); x ≤ b или x ∈(–∞, b].

Апсолутна грешка броја је ∆а = |а – а*|

uk a

Нека је са a* обележена приближна вредност броја која замењује тачну вредност броја обележену са a, тада апсолутна грешка ∆а је разлика тих вредности.

Правило заокругљивања вредности бројева Aкo je првa изoстaвљeнa децимална цифрa мaњa oд 5, oндa пoслeдњa зaдржaнa цифрa oстaje нeпрoмeњeнa; Aкo je првa изoстaвљeнa децимална цифрa већа или једнака 5, а иза ње има још цифара различитих од нуле, тада пoслeдњa зaдржaнa цифрa увeћaвa сe зa jeдaн, тj. врши сe пoпрaвкa (кoрeкциja) тe цифрe; Aкo je првa изoстaвљeнa децимална цифрa упрaвo брoj 5, а иза ње нема цифара различитих од нуле, онда пoслeдњa зaдржaнa цифрa oстaje нeпрoмeњeнa укoликo je oнa пaрна, или се увeћaвa зa jeдaн aкo je нeпaрна (правило парне цифре).

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ Неке особине пропoрције: За позитивне бројеве a, b и c за које важи да је: a : b = b : c ⟺ b=√a ∙ c , каже се да је b геометријска средина за a и c; a : b = c : a ⟺ a=√b ∙ c , каже се да је а геометријска средина за b и c.

Златни пресек се зове размера двеју дужи ако важи: a : b = (a + b) : a, a > b.

Прoдужена пропoрција за a, b, с, a1, b1 и с1 различите од нуле је: a b c = = = k. a₁ b₁ c₁

а : а1 = b : b1 = с : с1, тј.

uk a

Скраћено се пише: а : b : с = а1 : b1 : с1. Из продужене пропорције изведене су пропорције (p ≠ 0): а : а1 = b : b1 = с : с1 = k; а : b : с = а1 : b1 : с1 = k; ap : bp : cp = а1 : b1 : с1; (a : p) : (b : p) : (с : p) = а1 : b1 : с1; а : b : с = а1p : b1p : с1p; а : b : с = (а1 : p) : (b1 : p) : (с1 : p); (a + b + с) : (а + b1 + с1) = a : а1; (a – b – с) : (а1 – b1 – с1) = a : а1.

Подела броја у размери

Број m делимо на два дела x и y у размери a : b. Тада је: x = m ∙ a и y = m ∙ b. a+b a+b Број m делимо на три дела x, y и z у размери a : b : c. Тада је: x = m ∙ a , y = m ∙ b и z = m ∙ c. a+b+c a+b+c a+b+c

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

„Бројеви владају свемиром!” Питагорејци

1.1. РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

ЗАДАЦИ Наћи квадрате бројева: а) 1; б) 2; в) 5;

Запамти! 52 = 25 (–5)2 = 25 –52 = –25

uk a

1.1.1. Квaдрaт рaциoнaлнoг брoja

г) 10.

Колико је: а) 12; б) (–1)2;

Одреди природне бројеве чији су квадрати бројеви прве или друге десетице.

Наћи квадрате природних бројева прве десетице.

Који бројеви су једнаки својим квадратима?

Који двоцифрени природни бројеви су квадрати бројева? Израчунати: а) 1 2 ; б) 2 2 ; в) 3 2 ; г) 5 2. 3 5 5 8

в) 02?

()

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

Колико је: 1 а) – 3 2;

б)

Наћи: 1 а) 1 2 2;

10.

Израчунати: а) 1,72;

11.

Израчунати: 3 3 а) –1 4 2; б) –2 5 2;

(

3 г) – 8 2?

1 3 б) 2 5 2; в) 3 5 2;

( )

1 г) –2 8 2.

б) 2,32;

г) 0,132.

)

( )

)

(

)

uk a

а2 (– а)2 – а2

(

1 г) – –3 5 2.

– 3 4

–3

б) 0,32 = 0,09;

в) (–2,1)2 > 0;

–2,4

1 1 г) –1 3 2 = 1 9 .

14.

Ако је 1782 = 31684, колика је вредност израза –(–17,8)2?

15.

Колико је:

( )

а) 2 ∙ 1 2; 3

16.

1,2

Која тврђења од датих су тачна? а) 0,22 = 0,4;

(

)

1 в) – –1 2 2;

–а

13.

(

в) 1,122;

(

Попуни табелу:

( )

( –25 )2; в) ( –53 )2;

12.

( )

( ( ))2;

1 б) 2 ∙ – 3

( )

( ( ))2?

в) 3 ∙ 5 2; 2

г) – –3 ∙ – 1 4

Израчунати:

()

а) (–3)2 ∙ 2 2; 5

б)

( 23 )2 ∙ (– 13 )2;

в) – (–2,1)2 ∙

( 2,11 )2 ;

(

( ))2.

г) – (– 32 ) ∙ – 1 4

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

Израчунати: 10 20 а) ((–3)2 : (–3))2; б) 3 2 : 9 2;

( ) ( )

в)

18.

Израчунати вредност израза: 3 · 72 – 4 · 32 – (6 · 52 – 6).

19.

Израчунати вредност израза: 1 (1,75 – 2) : 1,5 – 2 2.

20.

Израчунати вредност израза: 1 1 1 1 32 · – 3 – 42 – 4 2 – 42 4 2 + 16 4 2.

23.

()

( )

Дужина теренa oблика квадрата је 5,6 m. Изразити обим и површину тог терена у cm и cm2.

22.

( )

Одредити вредност израза: а) 2x2 – 8 ако је x = –2;

б) –x2+2 ако је x = –2,5.

Одредити вредност израза: а) m2+ m – 2 ако је m = –0,3;

1 б) (1 – a)2 ако је a = – 5 .

За коју вредност x важи (–x)2 = –x2?

25.

Одредити вредност израза (x – 2)2 – (3x – 1)2 за x = – 1 . 3 9

26.

1 Колика је вредност израза (x +1)2 – (2x – 1)2 за x = – 4 ? 4

27.

1 Одредити вредност израза (x – 2)2 – (x + 2)2 за x = 4 .

29.

24.

28.

( ) ( 34 )2.

1 г) 1 2 2 :

)

uk a

21.

(

( –35 )2 : ( 156 )2;

17.

Израчунај вредност израза: а) (4x – 8)2 – x(4x – 7) за x = –0,25; Изврши факторизацију бројева:

б) (0,1x – 8)2 – (0,1x + 8)2 за x = 10. а) 180;

б)

100 9 ;

1 в) 2 4 .

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

32. 33. 34.

Израчунати вредност израза: 1 (0,1)2 а) 10 2 : 0,01; б) (0,01) 0,12 ;

( )

в)

Ако је a рационалан број, тада је a2 рационалан број. 4 5 Показати то на примерима: a = 7 , b =1 8 , c = 3,5, За које вредности реалног броја a важи да је a2< a?

Ed 14

0,001 : 0,12 . 0,1· 0,012

Која од датих тврђења су тачна? а) Ако је a < 0, тада је a2< 0; б) a2 > a; в) Ако је a ≠ 0, тада је a2 > 0; г) Ако је а < 0, тада је a2 > |a|.

uk a

35.

Ако је a дељив са b, тада је a2 дељив са b2. Доказати!

31.

Дате бројеве приказати као квадрате бројева: 1,44 а) 1764; б) 5,76; в) 9 .

30.

p d= q.

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1.1.2. Кореновање Запамти!

√а2 = |а|; (√а)2 = а, а≥0; (√–a)2 = –a, a<0.

√4 = √(2)2 = 2; √(–2)2 ≠ – 2; √(–2)2 =√4 = 2.

√а ∙ b = √а ∙ √b ; а ≥ 0 и b≥ 0; a √a b = √b; а ≥ 0 и b > 0.

37. 38.

Колика је дужина странице квадрата ако је његова површина 4 cm2? Израчунати: а) √1; б)√25;

в) √64;

г) √121.

36.

uk a

ЗАДАЦИ

1 = 1 ∙ √2 = √2 . √2 √2 √2 2

Нађи: а) √0; б)√400; в) √3600 ; г) √10000.

39.

Колико је: а) √(3)2; б) √(3,4)2; в) √(–2)2; г) √(–4,6)2?

40.

Израчунати вредност: 1 б) 9 ; в) а) √4; 2

41.

Израчунај следеће бројеве: 1 а) 16 ; б) 25 ; в) 64 ; 49 169

( 45 )2;

г)

( 23 )2.

144 г) 625 .

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

42.

Израчунати: 2 а) _ 1 ; 3

( )

45. 46. 47.

Израчунати: 1 6 9 а) 3 1 ; б) 7 9 ; в) 3 25 ; г) 7 16 . 16 Израчунати: а) √0,36;

б) √0,81; в) √1,21; г) √6,25.

Израчунати: а) √0,01;

б) √0,0001; в) √0,0081; г) √0,000225.

Одредити вредност израза: √(–3)2 – √32 . Нађи вредност израза: а) √52 + √(–5)2 ; б) √(0,1)2 –

2 _ 1 . 10

( )

Ако је 2а + 21 = 29, колика је вредност израза √10a – 4?

49.

Колика је вредност израза √(–3)2 + √16 – √(–5)2 ?

52. 53.

51.

Колико је: 1 4 а) 9 ∙ 25 ;

uk a

48. 50.

44.

( –27 ) ; в) (_ 67) ; г) (–85 ) .

43.

б)

1 ∙ 36 2 4 ∙ 64 25 ; в) 2 7 3 7 ;

1 г) 3 16 ?

Колико је: 12 5 13 а) √8 ; б) 25 ; в) 3 9 ; г) 2 16 ? Одредити вредност израза √50 + √32 – √72. Наћи вредност израза: а) 5√32 – 3√18 + 2√50;

б) 3√3 + 2√27 – √75 – √108.

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

56. 57.

(

)

Која је вредност израза √12 + 2 ∙ (√75 – √27) ? √3 Одредити решење једначине 2√3 x = 3√2 . 3 2 Ако су x, y ∈ R, да ли су тачна следећа тврђења? Одговор поткрепити конкретним примерима: а) √xy = √x · √y ; б) √(–x)(–y) ≥ 0; в) √(xy)2 = xy; г) √|–x| · √|–y| = √|xy|.

55.

Одредити вредност израза

1_ 1 3 _ 1 1 2 4 ·3. √8

54.

Нађи вредност корена √36x2y2 за x ≥ 0 и y ≤ 0.

59.

Одредити вредност израза: а) (5 – √5)2 ; б) (√10 – √5)2; в) (√2 – 1)2 ;

г) (√3 – √2)2 .

60.

Одредити вредност израза: а) (1+ √4)2 ; б) (√5 + √4)2 ; в) (√3 + 5)2 ;

г) (√2 + √5)2 .

61.

Одредити вредност израза: а) (√3 – 5)2 ; б) (√2 – √5)2; в) (√2 – √3)2; г) (1 – √5)2 .

uk a

63.

58.

62.

Доказати да је вредност израза (2√5 – 3)(2√5 + 3) рационалан број. Дати су бројеви: –(√3)2, (–√4)2 , (–2, 3)2, (–3√0,25)2 и – 1 ∙ (– 5)2 . (–√2)2 Који од њих су негативни рационални бројеви?

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1.1.3. Решавање једначина облика x2=а, a ≥ 0 Запамти!

x2 = 16 има два решења: x1 = √16 = 4 и x2 = – √16 = –4.

√16 = 4; – √16 = –4; √16 ≠ –4.

( )

x 9 Решити једначину 3 2 = 1 – 25 .

66.

Решити једначину (x – 2)2 = 1.

67.

Решити једначину (3 – x)2 = 9.

68.

Решити једначину √(2x + 1)2 = 5.

69.

Решити једначине: а) (x – 1)2 = 0; б) (2x + 4)2 = 0;

71.

65.

У скупу реалних бројева није дефинисан квадратни корен негативног броја!

uk a

70.

Решити једначине: 49 а) x2= 25; б) x2= 81 ; в) x2= (–4)2; г) x2= √36.

64.

ЗАДАЦИ

Решити једначине: а) (2x + 3)2 = 0; б) (x + 2)2 = 1; Решити једначину: а) |x| = 3; б) |x – 2| = 5;

в) x2 – 5x = 0.

в) (x – 1)2 = 25; г) (2x + 4)2 = 16.

в) |3 – 3x| = 3;

г) |2 + x| = 0.

72.

За које вредности x је √x 2 = –x?

73.

Да ли једначина x2 = –4 има решења у скупу рационалних бројева?

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

„Целе бројеве је створио бог, а све остало дело је човека.” Леополд Кронекер

1.2. ИРАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Који од наведених бројева је ирационалан? 2 1 а) 3 ; б) 32; в) √2 ; г) 2 – 2 .

ЗАДАЦИ

Колико има рационалних, а колико ирационалних бројева међу бројевима: –√3; √9; 3,14; 3√2; –√8?

Да ли су бројеви рационални? а) –√5; б) –2,236;

Ако су a и b ирационални бројеви, заокружити тачне исказе. а) a + b је увек ирационалан број; б) a + b може бити рационалан број; в) a · b је ирационалан број; г) √a је рационалан број; д) √b је ирационалан број.

Који број није рационалан? 3 а) –1; б) – 4 ; в) √4;

1 Дат је скуп бројева: { 0,05; √8; 2 ; –√3 ; –3,14; √(–6)2; √0,01; –(–1)2 }. Који су рационални бројеви овог скупа, а који су ирационални?

в) –√5 + √5;

г) 2,3606799999...

uk a

г) √3 .

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

Дат је скуп бројева: {–√0,01 ; (√2)2; 1,23 ; 2√2 ; √(1,87)2; √3; √12}. Колики је збир рационалних бројева из овог скупа? 2 Дат је скуп бројева: { 5 ; –√0,04; √ π2; 1; √3 ; (–1)2 }. Производ свих рационалних бројева из овог скупа је: а) 2 ; б) 2 π; в) – 2 ; г) – 2 π√2 ; д) – 2 √3 . 25 25 25 25 25

Који од датих бројева није рационалан? а) 1 ; б) π; в) √0,01 ; г) √ –4 . 3

Поређати по величини бројеве: 2√3 , √2 ∙ √3 , 3√2 .

10.

uk a

1.2.1. Квадратни корен који је ирационалан број ЗАДАЦИ

11.

Решење једначине x2 = a припада скупу ирационалних бројева ако је a једнако: а) 2; б) 22; в) 32; г) 3.

12.

Од датих бројева одредити који су рационални, а који су ирационални. 2 а) √5 ; б) 9 ; в) 2 ∙ 4 2 ; г) 2 ∙ 2 . 2 5 25 9

13.

ЗАДАЦИ

()

Збир вредности корена √146 и √627 налази се између бројева: а) 35 и 36; б) 36 и 37; в) 34 и 35; г) 33 и 34; д) 37 и 38.

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1.2.2. Рачунске Oперације с квадратним коренима ЗАДАЦИ

14.

Колико је 3√4 – 2√16 + 5√0,25 – 3√1?

15.

Вредност израза √(–3)2 – √32 је: а) −6;

16.

Израчунати колико је: 4√42 – 2√16 – 2√(–4)2 .

17.

Израчунати √2 ∙ (– 0,6)2 + 0,32 – √4 ∙ 0,52 .

18.

Колико износи вредност израза 2√18 – 3√8 – √50 + 3√32?

19.

Колико износи вредност израза 2√27 + 4√12 – √75 – 2√48?

20.

Колика је вредност израза 4√8 – 10√5 – √32 + 3√125 – 2√2?

21.

Израчунати: а) √50 ∙ 32 ;

22.

Израчунати: а) 128; 50

23.

1 Израчунати вредност израза: 2√0,04 ∙ 6 4 –

24.

г) 6.

uk a

в) √3√2 ∙ 6√2;

б) √4 ∙ 8 ∙ 18 ;

б)

√80 √98 ; в) ; 3√5 √72

г) √3√3 ∙ 9√3.

г)

2,42 . 2 ∙ 0,36

1 10 · 2,5 – 0,3 · √4 .

Израчунати вредност израза: 9 б) 1 + 4 2 ∙ √0,98. а) 2 1 + 3 2 : 1 ; 16 3 4

( ( ))

25.

б) 0; в) 3;

Колико износи вредност израза:

()

2–

9 +1 16 3 +1 ? 4

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

26. 27.

Која је вредност израза: √8 + 4 ∙ (3√2 – 5√2) ? 5√2 Колико износи вредност израза:

6– 5 –1 9 ? 5 1– 9

28.

1 4 9 За a = 5 + – 1– ,b=6+ 3 –1 и c = 10 : 1 √100 – 1 9 9 25 5 √4 израчунати вредност израза 5a – c – b.

29.

1+ 9 + 25 16 ? Колика је вредност израза 5 3+ 4

30.

Колико износи вредност израза 3 – √3 – 2 – 2√2 ? 1 – √3 √2 – 2

31.

Упростити израз 3√32 + √8 – 2√72+ √18 . 6√2 – √2

32.

Колико износи вредност израза (√2 + √8 + √18 – √50)2?

33.

Израчунати вредност израза: 32 + 42 + 52 а) 6 + ; б) √1+ 0,21 – √1– 0,99 ; в) √0,5 ∙ 4,5 + √0,36 : 4 . 5

(

)

uk a

(

34.

Колико је

35.

5 7 Израчунати: а) 1 – + 2 – ; 9 16

36.

Израчунати вредност израза

37.

Колика је вредност 1 2

38.

Колико је 1 2

39. 40.

Колико износи вредност израза (√√9 + √16)2?

a2 , за a ≤ 0 и b > 0? b2

(4ab)2 ∙ 25

б) 3√(–3)2 – 4√(–3)2 . √20 –(–2)2

a2 + √a2b за a = –3 и b = 9. b

(– ba )2 – ( 2ba )2 , за a > 0 и b < 0? (2a5 )2 , за a < 0 и b < 0?

Колико износи вредност израза √(4√16 – 16√4)2 ?

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

„Алгебра је чудна, често она даје више но што се од ње тражи.” Жан ле Рон Д'Аламбер

Скуп Скуп реалних бројева реалних бројеваR

1.3. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ И БРОЈЕВНА ПРАВА

ͷ Ǧ рационални бројеви ͳͶ ǡ −ʹ ǡ ͵ ͹ ǡ Ͳǡ͸ǡ Ͳǡʹ͵Ͷǡ ͵

– ирационални бројеви

Ǧ цели бројеви

Ͳǡ ͳǡ −ͳǡ −ʹǡ Ǧ͵ǡ ǤǤǤ

ͳ൅ ͷ ǡ ǤǤǤ ͹

ʹǡ − ͵ǡ

Ǧ природни бројеви

uk a

ͳǡ ʹǡ ͵ǡ Ͷǡ ǤǤǤ

ЗАДАЦИ

На бројевној правој одреди јединичну дуж и представи бројеве √3, √6 и √16 .

Наћи тачке на бројевној правој које одговарају бројевима: –√25, –√9, –√1, √1, √9 и √25.

3. 4.

Одредити тачке чије су координате: 9 1 11 A – ; B – 6 ; C 1 ; D 16 4 25

(

)

(

) (

)

( 259 ).

Представити следеће бројеве у декадном запису: а) 234; б) 8,062; в) 30257,109.

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1.3.1. Поредак у скупу реалних бројева ЗАДАЦИ ЗАДАЦИ Који је од наведених бројева највећи? а) √10; б) 4; в) 9 ; г) 4,49. 2

Који је највећи број у скупу – √2 ; √3 ; √4 ; – √5 ; – 6 + √5 ? 3 3 3 3 3

Који од бројева √5; √4,9;

}

{

9 √4 + 0,49 је највећи, а који најмањи? 2;

Који је најмањи рационалан, а који најмањи ирационалан број од бројева у датом скупу {–2√2; –2√3; –2√4; –2√5; –2√9}?

Који од предложених знакова неједнакости >, <, ≥ или ≤, треба ставити у квадратиће да би тврђења била тачна? а) 22 5; б) (–3)2 –32; в) (–2)2 (–1)2; г) 1 3 2 1 9 ; д) (–1)2 12. 5 25

uk a

( )

Који од предложених знакова неједнакости >, <, ≥ или ≤, треба ставити у квадратиће да би тврђења била тачна? а) –√25 5; б) √6 – 6; в) –1,52 –√3; г) –2 1 2 21. 4 5

10.

( )

11.

Који од наведених бројева је најближи броју 2? а) √2; б) 3 – 2 ; в) √3. 3

12.

Који од наведених бројева а = 1,42, b = 4 – √2 или c = 81 је најдаљи од броја 3? 25

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1.3.2. Бројевни интервал ЗАДАЦИ ЗАДАЦИ Одредити унију интервала А = (–1, 6] и B = [1, 5).

14.

Одредити пресек интервала A = (–2, 2] ∪ (5, 7] и B = [–1, 3) ∪ [5, 13).

18. 19. 20.

[

]

[

3,7? 2 3 7 . 3

]

1, 3 1, 3

)

(

)

Колико целих бројева садржи заједнички део затворених интервала [–4, 3] и [–1, 6]?

17.

(

Од наведених интервала који интервал садржи број √15? а) (1,3, 2,4); б) (2,5, 3); в) (3,1, 4); г) (4,1, 5).

uk a

16.

Који од датих интервала садржи сва три броја а) 1 , 7 ; б) 0, 3 ; в) 1 , 3 ; г) 3 3 2 3

1 Који интервал садржи оба броја – 2 и 1? а) – 1 , 1 ; б) (–1, 1]; в) –1, 1 ; 2 2

(

)

[

]

г)

[ – 12 , 12 ].

15.

13.

Написати интервале који садрже број x тако да важе релације: 1 9 а) –√4 < x < 1 ; б) 25 ≤ x <2; в) |x| ≤ √0,25; г) x ≥ 3 . 2 Број y се налази у интервалима:

[ (

]

9 1 а) y ∈ [√4, √(–3)2 ); б) y ∈ – 1 , 2 ; 16 4 в) y ∈ – √0,16 , 2 ; г) y ∈ – ∞, – √9 . 2 2 √0,25

(

)

]

Напиши одговарајуће неједнакости за бројеве из датих интервала.

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1.3.3. Децимални запис реалног броја ЗАДАЦИ ЗАДАЦИ Рационалне бројеве написати у облику разломака и представити их на бројевној правој: а) 2,25; б) –1,333...; в) 0,666...; г) 1,666...

21.

Реални децимални периодичан број а написати у облику разломка: а) а = 0,323232...; б) а = 7,232232232...; в) а = 0,857142857142...

23.

Одредити два узастопна цела броја између којих се налази број: а) √5; б) –√10; в) 2√7; г) – √3 . 5

Одредити два најближа рационална броја написана са два децимална места између којих се налази број: а) √2; б) –√8; в) 2√3; г) – √18 . 5

25.

Одредити два најближа рационална броја написана са два децимална места између којих се налази број: а) √6 ; б) –√15; в) –2√8.

uk a

24.

22.

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1.3.4. Својства рачунских операција у скупу ЗАДАЦИ реалних бројева

ЗАДАЦИ Изрaчунaти приближну врeднoст броја на две децимале:

27.

Изрaчунaти приближну врeднoст броја на три децимале: а) √2 ; б) √6 ; в) √2 ·√3 ; г) 2 . 3 3 √3 √6

28.

За бројеве x и y важе неједнакости: 3,47 ≤ x ≤ 3,57 и 1,03 ≤ y ≤ 1,09. Одреди интервале у којима се налазе: а) x + y; б) x – y; в) x ∙ y; г) x : y.

в) √2 + √8;

г) √7 . 4

uk a

б) 2√2 + 5√5;

Резултати мерења двеју величина а и b су: а = 2,71 ± 0,02 и b = 3,64 ± 0,02. У ком интервалу се налазе вредности израза: а) 2а + 3b; б) 2a – b; в) a ∙ b; г) b : a?

29.

а) 2√2 – √3;

26.

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1.3.5. Приближнe врeднoсти рeaлнoг брoja и рaчунaњe с њимa

30.

Заокругли на две децимале бројеве: а) 1,345; б) 1,355; в) 1,357;

г) 1,3501.

31.

Заокругли на три децимале бројеве: а) 45,0015; б) 45,0025; в) 45,0027;

ЗАДАЦИ

32.

Попуни табелу: Број Број заокругљен на две децимале

√20

2√5

√45

3√5

Дати су бројеви а = 2,3475, b = –1,4234 и c = 0,1379. а) Заокругли ове бројеве на три децимале. б) Наћи колико је a + b – c пре и после заокругљивања.

uk a

33.

√5

Број заокругљен на три децимале

г) 45,0023.

1.3.6. Рационалисање имениоца разломка ЗАДАЦИ

34. 35. 28

Рационалисати имениoцe: 1 8 а) √5 ; б) 5 ; в) 7 ; √2

г) √2 . √3

Рационалисати имениоце у следећим изразима (a и b су позитивни рационални бројеви): 1 2a 8 а) ; б) 3b ; в) a ; г) √4a . √2a √9b

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

„Само у математици рачуни су увек чисти.” Здравко Курник

1.4. пропорционалност

1.4.1. Пропорција и продужена пропорција ЗАДАЦИ

3. 4. 5.

После снижења цене за 12% нека роба вреди 9680 дин. Колика је била цена те робе пре снижења?

uk a

Ученик је прочитао 5 неке књиге. Преостало му је да прочита још 105 стра12 на те књиге. Колико страна има књига?

Ако је x% од x једнако 4x, одредити x. 4 Суму од 120 000 динара треба да поделе брат од 8 година и сестра од 12 година, пропорционално годинама. Kако ће то урадити?

Свеже грожђе садржи 80% воде, а суво 12%. Колико килограма свежег грожђа је потребно да се добије 5 kg сувог грожђа?

Колико је x + y + z ако је x : y : z = 2 : 3 : 5 и 5x −3y + z = 36?

Ако је a : b = 3 : 4, b : c = 6 : 5 и d : a = 7 : 6, колико је a : b : c : d?

Ако је a : (b − c) : c = 3 : 5 : 2, колико је a : b : c?

Ако је 10% од p једнако 20% од c, 20% од c једнако 30% од t и 100% од p једнако x процената од t, онда одредити чему је једнако x.

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

10.

Које бројеве добијамо ако се: а) број 60 подели на два дела у размери 7 : 3; б) број 35 подели у размери 1 : 1 ? 2 5

11.

Легура од 312 грама представља мешавину бакра и цинка у размери 7 : 5. Колико има цинка у легури?

Странице троугла чији је обим 112 cm стоје у размери 7 : 24 : 25. Израчунати дужине страница троугла.

13.

Износ од 660 динара поделити на три дела у односу 4 : 5 : 2. Одредити други део.

12.

Ако се спољашњи углови троугла односе као 1,5 : 2 : 2,5, како се односе одговарајући унутрашњи углови?

15.

У једној школи у осмом разреду, однос ученика који уче руски, немачки и енглески дат је као 4 : 6 : 10. Одредити проценат ученика који уче сваки од наведених језика.

16.

За израду 500 g месинга потребан нам је бакар и цинк. Колико грама бакра и цинка је потребно набавити да би се добила потребна количина месинга ако се зна да легуру месинга чини 32% бакра, 66% цинка и 2% осталих сировина?

uk a

14.

Кружна линија је подељена тачкама А, В, С на делове у размери 2 : 3 : 4. Наћи углове троугла АВС.

18.

Углови троугла се односе као 1 : 13 : 4. Колико износи највећи угао? а) 150°; б) 140°; в) 130°; г) 100°.

19.

Од двојице радника један би завршио посао за 15 дана, а други за 10 дана. За колико дана ће бити завршен посао ако оба радника раде заједно?

20.

Три цеви пуне базен. Само прва цев напуни базен за 20 сати, друга за 12 сати, а трећа за 15 сати. За које ће се време напунити базен ако се отворе све три цеви истовремено?

17.

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

1.4.2. Функција директне пропорционалности y = kx (k ∈ R \ {0})

ЗАДАЦИ

23.

22.

Ако тачка А (4, −8) припада графику функције директне пропорционалности, одреди коефицијент директне пропорционалности. Које тачке припадају правој y = 3x? а) (0, 3), (1, 3); б) (1, 3), (3, 6); в) (1, 4), (2, 6);

Одредити функцију директне пропорционалности којој одговара табела: x

б)

uk a

а)

−1

−2

−4

24.

г) (1, 3), (2, 6).

21.

Која графикa одговара графику функције x = y? а)

б)

в)

г)

y 6 5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x –1 –2 –3 –4 –5 –6

6 5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x –1 –2 –3 –4 –5 –6

6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x –1 –2 –3 –4 –5 –6

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

25.

Која од датих тачка припада правој приказаној на слици? а) A (−3, 6); б) B (−2, 3); в) C (2, −3); г) D (3, −4). y 6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –4 –5 –6

o om

У координатном систему нацртај графике функција: 1 а) y = 2x; б) y = −3x; в) y = 2 x.

26.

uk a

6 5 4 3 2 1

27.

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –4 –5 –6

Које од ових функција су растуће, а које су опадајуће?

Дате су две тачке А (−2, 1) и В (−6, 3). Наћи зависност између координата x и y одређену овим тачкама. На основу истог правила наћи координату x за трећу тачку C (x, −1).

y 6 5 4 B (–6, 3) 3 2 A (–2, 1) 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1 C (x, y) –2 –3 –4 –5 –6

РЕА ЛНИ БРОЈЕВИ

„Природа је огромна књига у којој је записана наука. Она је стално отворена пред нашим очима, али је човек не може разумети уколико претходно не научи језик и слова којом је написана. А написана је језиком математике.”

Галилео Галилеј

uk a

Био је италијански астроном, физичар, математичар и филозоф, чија су истраживања поставила темеље модерној механици и физици. Један је од најзначајнијих Галилео Галилеј људи у историји науке. (1564–1642) У оквиру научне револуције одиграо је значајну улогу у развоју модерне науке. Сматран је оцем савремене астрономије. Галилео је, инсистирањем на хелиоцентричном систему као исправној астрономској теорији, ушао у сукобе с црквом и другим астрономима, због њихове тадашње привржености класичном геоцентричном систему. Галилео је студирао медицину, али када је напунио осамнаест година, установио је да је математика много занимљивија и тада је он променио свој животни позив. Математика је, такође, по његовом мишљењу, имала много значајнију улогу у разумевању света. Током студирања је оформио своје филозофско мишљење, које je било супротно тада важећем, Аристотеловoм учењу. Галилео је преминуо 8. јануара 1642. године. Према легенди, на самрти је изговорио чувену реченицу: „Ипак се окреће!”

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА Квадрат над хипотенузом c код правоуглог троугла једнак је збиру квадрата над обе катете a и b тог правоуглог троугла:

c2 = a2 + b2.

а2

Питагора, грчки филозоф и математичар (oкo 570–495. п. н. е.)

uk a

Питагора је рођен у Грчкој, недалеко од Милета. Своју школу основао је у

Кротону, граду у јужној Италији. Питагорејска школа није представљала само место изучавања филозофије и математике него и заједницу која је посебним правилима уређивала читав живот њених чланова. Питагорејце су занимале основе математике, појам броја, троугла и осталих математичких ликова. Питагора је веровао да се сви односи могу свести на операције с бројевима, да се све око нас и цели свемир може објаснити бројевима. Сматра се да је Питагора открио и доказао једну од основних и најзначајнијих математичких теорема, која је по њему названа Питагорина теорема.

Питагорејци су делили бројеве по геометријским фигурама.

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

2. ПОДСЕТИ СЕ Троугао Свака страница троугла је мања од збира и већа од разлике преосталих двеју. Тако је, на пример, a < b + c, a > b – c. Наспрам веће странице троугла налази се већи угао, и обрнуто. C γ Наспрам једнаких страница троугла налазе се γ једнаки углови, и обрнуто. b a Обим троугла: O = a + b + c. Збир унутрашњих углова у троуглу једнак је 180°. Спољашњи угао троугла једнак је збиру два A α c несуседна унутрашња угла.

Према цртежу, hc je висина из темена C која је ортогонална на страницу c = AB. Површина троугла: P = c ∙ hc . 2 a∙h Слично важи да је: P = b ∙ hb = 2 a . 2

α A

p D

uk a

Ако су a и b катете и c хипотенуза правоуглог троугла тада важи Питагорина теорема:

Правоугли троугао

a2 + b2 = c2.

Површина тог троугла је: c∙h P = a 2∙ b = 2 c .

Четвороугао Збир унутрашњих углова четвороугла је 360°, то јест: α1 + β1 + γ1 + δ1 = 360°. Збир спољашњих углова четвороугла је 360°. Обим четвороугла је збир дужина његових страница. Површина четвороугла ABCD је збир површина троуглова ABC и ACD, где је AC његова унутрашња дијагонала.

γ1

δ1

β β1

α α1

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА Квадрат ro

Обим: O = 4a. . Површина: P = a2 = d2 a 2 На основу Питагорине теореме важи: d = a√2. Полупречник описаног круга је: ro = d 2. a Полупречник уписаног круга је: ru = . 2 Дијагонале су међусобно нормалне, подударне и полове се.

Обим: O = 2a + 2b. Површина: P = a ∙ b. На основу Питагорине теореме важи: d2 = a2 + b2. Полупречник описаног круга је: ro = d . 2 Дијагонале су међусобно подударне и полове се.

Правоугаоник

Једнакокраки троугао

uk a

Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки. Ако је његова основица a и крак b, тада важи: Обим: O = a + 2b; Површина: P = a ∙ ha = b ∙ hb ; 2 2 a 2. Висина ha : ha2 = b2 – 2

Једнакостранични троугао

Сваки од углова једнакостраничног троугла је 60°. За страницу a и висину h важи:

ro h

Обим: O = 3a;

( )

Површина: P = a2√3 ; 4 a √3 Висина: h = ; 2 a√3 Полупречник описаног круга: ro = 2 h = 3 ; 3 Полупречник уписаног круга: ru = 1 h = a√3 . 6 3

ru A

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА Паралелограм

Обим: O = 2a + 2b. Површина: P = a ∙ ha или P = b ∙ hb. Наспрамни унутрашњи углови су једнаки. Дијагонале се међусобно полове.

hb b

uk a

( ) ( )

Трапез

h a

Правоугли трапез Обим: O = a + b + c + d. Средња линија: m = a + b . 2 Површина: P = a + b ∙ h. 2 На основу Питагорине теореме важи: c2 = h2 + (a – b)2.

Обим: O = a + b + c + d. Средња линија: m = a + b . 2 Површина: P = a + b ∙ h. 2

Обим: O = 4a. Површина: P = a ∙ h или P = d1 2∙ d2 . h Полупречник уписаног круга је ru = 2 . Дијагонале су узајамно нормалне: (d1⊥d2 ) и полове се. На основу Питагорине теореме важи: 2+ d2 2. a2 = d1 2 2

Ромб

m h a

c a–b

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА Једнакокраки трапез

Обим: O = a + b + 2c. Средња линија: m = a + b . 2 Површина: P = a + b ∙ h. 2 На основу Питагорине теореме важи: c2= h2+ a – b 2. 2

)

(

Растојање између две тачке у координатном систему

Растојање између две тачке А (x1, y1) и B (x2, y2) јесте дужина дужи |АB|.

uk a

d (АB) = √(x₂ – x₁)2 + (y₂ – y₁)2 .

d (АB)2 = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²;

a–b 2

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

„Математика је, на свој начин, поезија идеја логике.” Алберт Ајнштајн

2.1. ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ

4 cm

3 cm

На слици је дат троугао.

Одредити дужину непознате странице x у правоуглом троуглу на слици.

uk a

ЗАДАЦИ

0,8 a

0,6 a

a Одреди да ли је тај троугао: а) једнакостраничан; б) једнакокраки; в) правоугли; г) ништа од наведеног.

За троугао приказан на слици одредити дужину странице СА.

B 3 cm C

5 cm

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

У правоуглом троуглу дужина хипотенузе је 13 cm, а дужина једне катете је 12 cm. Одреди дужину друге катете.

Одреди дужину непoзнате странице x у правоуглом троуглу на слици.

9 cm

12 cm Израчунати дужину катете правоуглог троугла aкo је дужина хипотенузе 17 cm, а дужина друге катете 8 cm.

У правоуглом троуглу дужина катете p = 6,38 cm, а хипотенузе r = 10 cm. Колика је дужина катете q?

Израчунати дужину катете a правоуглог троугла ако је дужина друге катете b = 2a, а хипотенуза је дужине c = 10 cm.

Која од следећих тројки бројева не чини дужине страница правоуглог троугла? а) √2, √3, √5; б) √3, 2√3, 4; в) 2√10 , 2√2, 2√8; г) 2, 2√3, 4.

10.

uk a

Који од датих троуглова је правоугли? A

а)

7 cm

в)

3 cm

2 cm

4 cm

J 5m

13 m

8 cm

12 m

б) L

K г)

D 5m

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

11.

Израчунати површину правоуглог троугла чије су дужине катета a = 6 cm и b = 3 cm.

12.

Површина правоуглог троугла је 24 cm2, а дужина једне катете 8 cm. Израчунај обим тог троугла. Катете правоуглог троугла су дужине 3 cm и 4 cm. Израчунај дужину висинe конструисане из темена правог угла тог троугла.

15.

Израчунати дужину висине над хипотенузом правоуглог троугла ако су дужине катета 6 cm и 8 cm.

14.

Брод је испловио из луке.

Најпре је два сата пловио према истоку брзином 12 km, h а онда се окренуо према северу и пет сати пловио брзином 14 km. h Колико је после тих седам сати пловидбе био удаљен од

ЛУКА

uk a

луке?

ИСТОК

Израчунати мерни број обима фигура са слика. а)

б)

5 cm

16.

СЕВЕР

13.

3 cm

10 cm

в)

12 cm

12 cm 15 cm

3 cm

4 cm

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА „Сва деловања природе само су математичке последице малог броја устаљених закона.” Пјер Симон Лаплас

2.2. Примена Питагорине теореме на квадрат и правоугаоник ЗАДАЦИ

Колико износи дужина дијагонале квадрата који има страницу дужине 2 cm?

Колика је дужина странице квадрата АВСD aко је дужина дијагонале 10 cm?

Колико износи дужина дијагонале правоугаоника који има странице дужине 2 cm и 0,4 dm?

Базен за пливање има дужину 20 m, а ширину 15 m. Колико ће метара препливати пливач ако плива по дијагонали?

Дијагонала правоугаоника је дужине 1 dm, а једна страница је дужине 6 cm. Колика је дужина друге странице тог правоугаоника?

Дијагонала правоугаоника је дужине 13 cm, а дужина једне странице је за 1 cm мања од ње. Колика је дужина друге странице тог правоугаоника?

Једна страница правоугаоника је дужине 6 cm, а дијагонала је три пута дужа од друге странице. Колика је дужина те странице?

uk a

Ана је измерила дијагоналу и ширину једног правоугаоника. Установила је следеће: дијагонала је два пута дужа од дужине тог правоугаоника. Изразити дужину дијагонале правоугаоника у зависности од ширине правоугаоника обележене са x.

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 4 Ако је дужина правоугаоника 30 cm, a ширинa je 3 дужинe, колико износи дијагонала и површина правоугаоника?

10.

Обим квадрата је 36 cm. Колика је дужина његове дијагонале и колика је површина тог квадрата?

11.

Странице правоугаоника су дужине 3 cm и 7 cm. Израчунај: а) обим и површину тог правоугаоника, б) дужину дијагонале квадрата чији је обим једнак обиму датог правоугаоника.

12.

Обим правоугаоника износи 32 cm, а однос страница је 3 : 1. Колике су дужине страница и дијагонале тог правоугаоника?

13.

Разлика дужина двеју страница правоугаоника је 4 cm, а дужина његовог обима 32 cm. Израчунати дужину дијагонале квадрата исте површине.

Површина једног квадрата је P1 = 4 cm2, а површина другог квадрата је P2 = 16 cm2. Који је однос дужина дијагонала тих квадрата?

14.

Спортско игралиште има облик правоугаоника површине 972 m2. Ако је ширина игралишта 27 m, израчунати: а) дужину игралишта; б) пречник описаног круга.

16.

Колико је потребно плочица од керамике квадратног облика чије су странице дужине 50 cm да би се обложило дно базена правоугаоног облика, ако је дужина мање странице базена 15 m, а дужина његове дијагонале 25 m?

17.

Једна страница правоугаоника је за 2 cm краћа од друге. Површина тог правоугаоника је за 12 cm2 већа од површине квадрата над мањом страницом. Колико износи дужина дијагонале и површина тог правоугаоника?

18.

Ако се страница квадрата повећа три пута, површина му се повећава за 128 cm2. Колике су дужине странице и дијагонале већег квадрата?

19.

Обим квадрата се повећао за 40%. За колико процената се повећава површина квадрата? Колика је дужина странице мањег квадрата ако је површина већег 49 cm2?

20.

За колико ће се променити површина и дужина дијагонале правоугаоника ако се дужина и ширина правоугаоника повећа за 30%?

uk a

15.

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА „Неки математичар је рекао да задовољство лежи не у откривању истине, него у њеном тражењу.” Лав Толстој

2.3. Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао ЗАДАЦИ

Израчунати: a) обим, б) дужину висине која одговара основици, в) површину једнакокраког троугла ако је: a = 14 сm, b = 12 cm.

Основица једнакокраког троугла је дужине 8 cm, а обим је 30 cm. Колика је дужина висине над основицом тог троугла?

Дужина висине једнакокраког троугла спуштена на основицу је ha = 8 cm. Колика је дужине крака тог троугла ако је његова површина 16 cm2?

5. 6.

uk a

Обим једнакокраког троугла је 32 cm, а основица му је за 2 cm већа од крака. Израчунати дужине висина тог троугла.

Израчунати обим правоуглог једнакокраког троугла ако је дужина хипотенузе √18 сm. C

Дат је једнакокраки троугао ABC, као на слици. Одредити површину троугла ATB ако је дужина основице AB 5 сm, а дужина висине AT ' је 4 сm.

T А

7. 44

T' B

Површина једнакостраничног троугла је 49√3 cm2. Колики је обим тог троугла?

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

8. 9.

Kатете правоуглог троугла су 30 cm и 40 cm. Тачка М, која припада унутрашњој области троугла, удаљена је од катета по 5 cm. Колико је тачка М удаљена од хипотенузе? На географској карти (мапи) у размери 1 : 100 000, дужине катета правоуглог троугла износе 2 cm и 3 cm. Колика је површина троугла у природи? Колики је однос површине троугла у природној величини према површини троугла на мапи (географској карти)? На слици је приказан правоугли троугао DFE. Колика је дужина странице DE ако је EF = 5 cm, а угао DEF једнак 60o?

E 60°

11.

10.

Висина једнакостраничног троугла је 3√3 cm. Колика је површина квадрата чија је страница једнака страници тог троугла?

14.

uk a

13.

Колика је дужина странице a ако су дати подаци на слици?

45° 45°

4 cm

12.

Израчунати површину правоуглог троугла чија је хипотенуза c = 10 cm и један његов оштар угао  = 45o. Израчунај површину троугла MNB:

а) aко је страница квадрата 6 cm, а тачке М и N су средишта страница АB и BC; б) aко су странице правоугаD C D C оника 6 cm и 4 cm, а тачке М и N средишта страница AB и BC. N

N A

а)

B A

б)

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

15.

Тачке M и N су средишта страница AB и BC квадрата ABCD странице дужине a = 8 cm.

C P N

Нека је P тачка на дијагонали BD таква да је троугао MNP једнакостраничан. Одредити удаљеност тачке P од темена D.

S M

Израчунати површину правоуглог троугла чија је хипотенуза c и један његов оштар угао  = 22o 30'.

17.

Производ дужина полупречника уписаног и описаног круга једнакостраничног троугла је 8 cm. Одредити површину троугла.

uk a

16.

Ed 46

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

„Права математика је увек била лепа, а права је уметност увек била и истинита.” Владимир Девиде

2.4. Примена Питагорине теореме на паралелограм и ромб ЗАДАЦИ

Колико износи површина паралелограма приказаног на слици ако је: AB = CD = 4 cm = а; EB = AD = 3 cm, DE = h?

4 cm a

3 cm F A

h E

3 cm

uk a

Дужине страница паралелограма ABCD износе a = AB = 16 cm, b = BC = 12 cm, а дужина висине ha из темена D на страницу AB износи 6 cm. Израчунати дужину висине hb из темена B на страницу AD.

Ако је код паралелограма дато a, b и ha, онда израчунај hb.

4. 5.

b ha

Израчунати дужине висина паралелограма ha и hb ако је површина 240 сm2, а странице су 20 сm и 10 сm. Израчунати површину паралелограма на слици ако знамо да је једна страница дужине 12 cm а друга дужине 8 cm и да оне заклапају угао од 150о.

12 cm 8 cm

h 150°

8 cm

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

Дијагонала BD четвороугла ABCD нормална је на странице BC и AD. Ако је АВ = 15 cm, ВС = 12 cm и ∢DАB = ∢BCD, израчунати: а) обим, б) површину четвороугла АВСD.

15 cm

D 12 cm

12 cm A

15 cm

Дијагонале ромба су d1 = 1,6 cm и d2 = 3 cm. Израчунати: а) површину; б) обим; в) висину тог ромба. Страница ромба је a = 12 cm, а дијагонале се односе као 3 : 4. Израчунати дијагонале тог ромба.

Површина ромба је 96 cm2, а једна његова дијагонала износи 3 друге. Ако је 4 обим једног квадрата једнак обиму ромба, одредити однос површине квадрата и површине ромба.

Ако је висина ромба h = 6 cm и оштар угао 60о, израчунати површину ромба.

11.

Дијагонале ромба су d1 = 30 cm, d2 = 40 cm. За колико се његова површина разликује од површине квадрата једнаке странице?

12.

Једна дијагонала ромба је два пута већа од друге, а површина ромба 16 cm2. Колики је обим тог ромба?

13.

У правоугаоник чије су странице a = 30 cm и b = 16 cm уписан је четвороугао чија су темена средишта страница правоугаоника.

uk a

10.

16 cm

Одредити обим и површину тог ромба. 30 cm

14.

Одредити обим и површину ромба код кога висина полови страницу a = 4 cm.

a a 2

a 2

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

„Ниједно људско проучавање не може се назвати истинском науком ако није прошло кроз математичке доказе.” Леонардо да Винчи

У једнакокраком трапезу дужина крака је b = 6 cm, а основица a је двоструко дужа од основице c и важи b : c = 3 : 2. Израчунати површину тог трапеза.

Средња линија трапеза износи 20 cm, а паралелне странице се односе као 5 : 3. Наћи те паралелне странице.

uk a

ЗАДАЦИ

2.5. Примена Питагорине теореме на трапез

Израчунати површину и обим трапеза приказаног на слици.

6 cm 2 cm 4 cm

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

Израчунати дужину краће основице једнакокраког трапеза ако је висина h = 8 cm, крак c = 17 cm, а дужа основица a = 35 cm.

17 cm

7 cm

Одредити површину и обим фигуре са слике.

5 cm

10 cm

Дужине основица једнакокраког трапеза су 20 cm и 6 cm, а површина му је 31,2 cm2. Колико износи дужина крака трапеза?

3 Израчунати основицу b трапеза ако је основица a = 16 5 cm, а средња линија трапеза је m =12,4 cm.

Крак једнакокраког трапеза има дужину 4 cm. Једна дијагонала тог трапеза дели његову средњу линију на одсечке од 2 cm и 4 cm. Израчунати обим и површину трапеза.

10.

uk a

Крак једнакокраког трапеза је 6 cm, један угао 120°, а мања основица једнака краку. Израчунати површину трапеза. На страници BC квадрата ABCD, дужине a = 25 cm, изабрана је тачка М тако да je ∢MAB = 30°. Израчунати однос површине трапеза AMCD и троугла ABM.

C M b

30°

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

„Покретач математике није закључивање, него машта.” Огастес де Морган

2.6. Конструкције применом Питагорине теореме ЗАДАЦИ

Конструисати троугао ABC ако је дата страница a, угао β и висина ha.

Конструисати троугао ABC ако је BC = 6 cm, γ = 60°, β = 75°.

4. 5. 6.

uk a

Конструисати квадрат чија је површина једнака збиру квадрата на слици.

Дат је квадрат ABCD. Конструисати квадрат два пута веће површине.

Конструисати квадрат чија је површина једнака разлици површина двају квадрата чије су дужинe страница 5 cm и 3 cm. Конструисати трапез ABCD ако је дужина основице AB = 6 cm, дужина дијагонале АС = 7 cm, а углови на основици су  = 60° и β = 75°.

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

Конструисати правоугаоник ако је дужина страница a = 4,5 cm, а дужина дијагонале d = 6 cm.

Конструиши ромб ако је дужина његове дуже дијагонале 5 cm, а оштар угао износи 60°.

10.

Конструиши паралелограм ако је дата једна страница AB = 5 cm и дужине обеју дијагонала d1 = 6 cm и d2 = 7 cm.

Конструисати паралелограм ABCD ако су дате дужине страница AB = 6 cm и BC = 4 cm и дужина дијагонале AC = 7 cm.

Конструисати једнакокраки трапез ако је дата дужина основице a = 6 cm, угао  = 75° и дужина дијагонале d = 5,8 cm.

12.

Конструисати делтоид АВСD ако је дата дужина дијагонале која је и оса симетрије AC = 6 cm и дужине страница AB = 3 cm и BC = 5 cm.

uk a

11.

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

„Не постоје чињенице, већ само интерпретације.” Фридрих Ниче

2.7. Конструкција тачака на бројевној правој које одговарају ирационалним бројевима

uk a

Нека је бројевна права одређена тачкама O и А тако да дуж OА представља јединичну дуж те бројевне праве. Јединична дуж је одређена ако је тачки O додељен број 0, а тачки А број 1.

1. 2. 3. 4.

ЗАДАЦИ

а) Конструисати дуж дужине √2 ; б) Конструисати на бројевној правој тачке: A = √2 , B = –√22 , C = 2√2 , D = 3√2 и E = 2,5√2 . Одредити на бројевној правој бројеве: а) √3 ; б) –√3 ; в) –2√3 ; г) 4 – √3 . Конструисати дужи чије дужине одговарају датим бројевима: а) √5 ; б) √17 ; в) √6 ; г) √27 .

Конструисати дуж чија дужина је број √8 и представити тај број на бројевној правој.

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА • Конструкција тачака у координатном систему са координатама које су ирационални бројеви

Одредити у координатном систему тачке са координатама: A (√2 , 0); B (0, √2 ); C (–√2 , 0), D (0, –√2 ). Одредити у координатном систему тачке са координатама A (√2 , 0) и B (1+ √2 , 1).

Одредити у координатном систему тачке са координатама A (√2 , 0) и B (–2, √2 ).

Одредити у координатном систему тачке са координатама: A (2, 3); B (1, √2 ); C (–√2 , –3).

uk a

√19

√3

√4 =2

√2

√18

√5 √6

√17

√7

√16 = 4

√8

√15 √9 =3

√14 √13

√12

√11

√10

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

„Математичар који није бар мало и песник никада неће бити савршен математичар.” Карл Вајерштрас

2.8. Растојање између две тачке у координатном систему

ЗАДАЦИ

Дате су тачке A (–4, –9), B (–1, –3) и C (5, 10). а) Уцртати тачке у координатни систем. б) Израчунати међусобно растојање између тачака. в) Да ли су дате тачке темена троугла?

Колико је растојање између тачака А (3, 0) и В (0, 1)?

Одредити обим и дијагоналу квадрата чија су темена А (–2, –1), В (1, –2), С (2, 1) и D (–1, 2).

uk a

Одредити дужину дужи AB која је део праве y = –x + 1 ако је тачка A (3, y), а тачка B (x, 0).

Дата су темена троугла: A (–2, 3), B (8, –2) и C (3, 8). Одредити дужине страница троугла ABC и обим троугла.

У координатном систему дате су тачке А (–2, –1), В (5, –1) и С (5, 6). Одредити дужине дужи АВ, AC и ВС.

Четвороугао ABCD је ромб. Одредити координате тачке С и површину ромба.

B(3, 4)

A(0, 0)

C(?, ?)

D(5, 0)

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

У координатном систему дате су тачке А (–3, –2), В (1, –2) и С (1, 1). Одредити дужине дужи АВ и ВС.

Ако су координате темена правоугаоника ABCD: A (0, 0), B (8, 0), C (8, k) и D (0, 5), колико износи вредност k? Наћи површину правоугаоника. Ако је RSTU правоугаоник, Поља је кренула од куће код одредити координате тачака R и T. пријатеља. Прво је ишла 300 m

10.

11.

источно, а затим 400 m јужно. Ако би се нацртао план Пољиног пута у координатном систему, у којем би 1 cm представљао 100 m, а Пољина кућа се налази у координатном почетку, који пар тачака би представљао тачку до које је Поља стигла?

y R

S(3, 6)

x U(–8, –2)

Дате су две тачке А (2, 1) и В (4, 4). Наћи координатe x и у треће тачке C (x, y) ако је тачка A средина дужи BC.

13.

uk a

12.

а) (3, 4); в) (–3, –4);

y 6 5 4 3 2 1 –1 –2 –3

У датом координатном систему 6 уцртане су три 5 B(4, 4) тачке A, B и C. Одреди координате четврте тачке D, у 4 3 трећем квадранту, која са уцртане три одређује па2 А(2,1) 1 ралелограм. –1 –2 –3

14.

б) (–3, 4); г) (3, –4).

0 1 2 3 4

C(x, y)

B(4, 4) А(2,1) 0 1 2 3 4

C(x, y)

y 6 5 4 3 2 1

C(3, 3) B(5, 1)

–6 – 5 –4 – 3 –2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –4 А(1,–3) –5 –6

Дата је тачка А (3, 4). Одреди јој симетричну тачку: а) у односу на х-осу; б) у односу на у-осу; в) у односу на координатни почетак.

–6 –5 –4 –3

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

„Аритметички знаци – то су записане геометријске фигуре, а геометријске фигуре – то су нацртане формуле." Давид Хилберт

Бертран Расел

„Ако би научна открића икада била у сукобу са геометријом Еуклида, треба одбацити открића, а не геометрију.“

uk a

Еуклид, грчки математичар (oкo 330–275. п. н. е.)

Еуклид је био грчки математичар из Атине, али је живео и радио у Александрији,

где је основао математичку школу. Познат је по својим делима „Елементи“, „Дата“, „Оптика“ и алгоритму за израчунавање највећег заједничког делиоца (НЗД), који је по њему назван Еуклидов алгоритам.

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ „Мислим, дакле постојим.” („Cogito, ergo sum.”)

Рене Декарт

uk a

је био француски научник, математичар и филозоф чије је дело „Геометрија“ поставило основе данашњој аналитичкој геометрији. Декарт је у математици познат по Декартовом координатном систему и по томе што је дао темеље аналитичкој геомеРене Декарт трији. Декартов допринос у математици је велики. (1597–1651), Он је математику сматрао поузданим и прецизним моделом француски научник који уједињује сва знања. У делу „Геометрија“ Декарт представља нову грану математике, аналитичку геометрију, као метод помоћу кога се геометријске фигуре приказују помоћу алгебарских једначина. Ово увођење алгебре у геометрију представљало је велику примену у сагледавању проблема и то нико пре њега није учинио. Алгебра је у његовом приказу омогућила препознавање типичних геометријских проблема. Не само да су се геометријски проблеми решавали елегантно, брзо и потпуно него се без одговарајуће алгебре ти проблеми и не би могли решити. Декарт је био први који је употребио последња слова алфабета да означи непознате величине, односно променљиве (нпр. x, y, z), а прва слова да означи познате, односно константе (нпр. a, b, c). О значењу тог открића Енгелс је рекао: „Декартова променљива величина била је прекретница у математици“. Декарт је велики значај дао математици, коју је сматрао поузданим и прецизним моделом који уједињује структуру знања.

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

3. ПОДСЕТИ СЕ

Степеновање a ∙ a ∙ ... ∙ a = an;

5. 6. 7. 8.

an : bn = (a : b)n (b ≠ 0) x ∙ an + y ∙ an = (x + y) ∙ an x ∙ an – y ∙ an = (x – y) ∙ an a0 = 1 за a ≠ 0

Особине: 1. am ∙ an = am + n 2. am : an = am – n (m > n, a ≠ 0) 3. (am)n = am ∙ n 4. an ∙ bn = (a ∙ b)n

n = 2k, a2k > 0 за a > 0 или a < 0; n = 2k + 1, a2k+1 > 0 за a > 0 или a2k+1 < 0 за a < 0.

n чинилаца

uk a

ИЗРАЗИ у којима се појављују константе и променљиве, али и њихови збирови,

разлике, производи и количници називају се алгебарски изрази. Цели алгебарски изрaзи не садрже разломке у којима је променљива у имениоцу.

Moнoм je брoj или прoизвoд брoja и једне променљиве или више њих. Стeпeн мoнoмa je збир излoжилaцa свих стeпeнa прoмeнљивих у мoнoму. Moнoми су слични aкo имajу jeднaк прoмeнљив дeo и они се мoгу сабирaти, oднoснo oдузимaти. Збир или разлика двају монома који нису слични зове се бином.

Збир трију монома који нису слични зове се трином.

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И За изразе A, B, C, D важи: • комутативни закон: A + B = В + А; А ∙ В = B ∙ A; • aсоцијативни закон: A + (B + C) = (A + B) + C; A ∙ (B ∙ C) = (A ∙ B) ∙ C;

• дистрибутивни закон: A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C; A ∙ (B – C) = A ∙ B – A ∙ C; (A + B) ∙ (C + D) = A ∙ C + A ∙ D + B ∙ C + B ∙ D.

Полиноми

uk a

Полином Pn : R → R, Pn (x) = an xn + an – 1 xn – 1 + ⋯ + a1 x + a0, где су: an ≠ 0, an – 1, an – 2, … , a1, a0 дати коефицијенти, називамо полином n-тог степена. Pn (x) = an xn + an–1 xn – 1 + ⋯ + a1 x + a0 и Qm (x) = bm xm + bm – 1 xm – 1 + ⋯ + b1 x + b0 • Полиноми су једнаки (Pn (x) = Qm (x)) ако je m = n и a0 = b0, a1 = b1, … , an = bn. • Збир или разлика полинома је полином: Pn (x) + Qn (x) = (a0 + b0) + (a1 + b1) x + ⋯ + (an + bn) xn , или Pn (x) – Qn (x) = (a0 – b0) + (a1 – b1) x + ⋯ + (an – bn) xn. • Производ полинома је полином: Pn (x) ∙ Qm (x) = a0 b0 + (a1 b0 + a0 b1) x + (a2 b0 + a1 b1 + a0 b2) x2+ ⋯ + an bm xm + n.

Разлика квадрата

Квадрат бинома

A2 – B2 = (A – B) (A + B)

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

„У математици не постоје симболи за нејасне мисли.” Анри Поенкаре

Који израз је једнак m3? а) m + m + m; б) m ∙ m ∙ m; в) 3m; г) m2 + m.

uk a

ЗАДАЦИ

3.1. Степен БРОЈА чији је изложилац ПРИРОДНИ број

Који од израза је једнак x⁴? а) x + x + x + x; б) 4x; в) x ∙ x ∙ x ∙ x;

Израчунати: а) 1⁴; б) (–1)3;

Израчунати: а) –1 + (–1)2 + (–1)3 + (–1)⁴ + (–1)⁵; б) –2 + (–2)2 – (–2)3 – (–2)⁴ + (–2)⁵; в) (–1)2 + (–2)2 + (–3)2 + (–4)2; г) 2 ∙ (–2)2 + 3 ∙ (–2)2 – (–2) (–3)2.

Израчунати: а) –3(–1)3; б) –3(–1)2; в) –2 ∙ (–1)⁴; г) 2 ∙ (–1)2.

в) –23;

Запамти! a1 = a; a2 = a ∙ a; a3 = a ∙ a ∙ a.

г) x2 + x2.

г) (–2)2;

д) 0⁵.

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

Израчунати: а) 42 ∙ 52 : 23;

б) 5 ∙ 23– 62 : 12;

в) –2 ∙ (5 – 6)3 + (3 ∙ 2)2 + 5.

Ако је х = –3, колика је бројевна вредност израза (–2x – 3)3?

Који природан број n задовољава једнакост n3 – 5 =120?

Који је већи број (–2,5)2 или (–2,5)3?

Израчунај: а) 23 ∙ 32; б) (–2)3 ∙ 33; в) 23 ∙ (–32);

11.

Израчунај: а) –2 ∙ (–1)2 ;

12.

(–1)2 (–1)3 Израчунај вредност израза (–1)⁴ 4 – 2 – 2 .

13.

Израчунај вредност израза: а) 23 + 2⁴; б) 72 + 33;

14.

Који је израз једнак изразу 3⁵ ∙ 3⁸? а) 313; б) 3⁴⁰; в) 913; г) 9⁸.

15.

Које од датих једнакости су тачне? а) 2⁸ ∙ (2⁶ : 8) = 210; б) 2⁴ ∙ (43 : 4)3 = 21⁶; в) (23)2 ∙ 2⁴ : 42 = 2⁶; г) 2⁸ = 82.

16.

Израчунати: –43 5⁶ ; а) 5⁴ б) (–5)⁷ ; в) . (–4)3 (–5)⁶

17.

Израчунај вредност израза (–1)4 – (–1)5 – (–1)3. 4 5 3

18.

3 3 2 Која је вредност израза 1 2 – 4 ?

10.

г) (–22 ) ∙ (–3)3.

uk a

б) –3 ∙ (–1)3; в) – 4 ∙ (–1)⁴; г) 5 ∙ (–1)⁵.

г) 2⁵ – 42.

в) 102 – 43;

() ()

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

19.

⁴ Израчунај вредност израза: a) –42 – 41 ∙ (–4)3; б) (0,75)⁴ ∙ 4⁵ ∙ 1 3 .

20.

Ако је 16 ∙ 16 ∙ 16 = 64 x∙ 64 (x ≠ 0), колика је вредност броја х?

21.

Поређај изразе по величини: P = (–2 : 43)3 ∙ (–4)⁴ ; Q = (–2)3 : 2⁴ ∙ 43 и R = (–23 : 2⁴)2 ∙ 4. Који израз је једнак изразу 32 ∙ 36 ∙ 2⁵? а) 2⁷ ∙ 3⁴; б) 2⁹ ∙ 3⁶; в) 2⁹ ∙ 3⁴; г) 2⁹ ∙ 3⁵. Израчунај вредност израза А – В + С ако је А = (–3)2 ∙ 92 : (–3)⁴ + 32 ∙ (–2)2; В = (83 ∙ 43) : (16 ∙ 64) – 42; С= –1 3∙ –1 2: 1 ∙ 1 . 2 2 22 23

( ) ( ) (

Израчунај вредност израза (–3)⁸ ∙ 3⁵ ∙ 3⁶ . (33)6

25.

)

Израз 310 ∙ 272 једнак је изразу: 92 а) 3⁶; б) 310; в) 312;

uk a

24.

26.

Упрости изразе: а) 33 ∙ 96 ; б) 52 ∙ 53 ; 315 252

27.

Израз 210+ 220 једнак је изразу: 2 а) 21⁵; б) 2⁵ + 210; в) 2⁹ + 21⁹;

г) 330.

в) (2⁵ ∙ 22 ∙ 2⁴) : (2⁵ ∙ 22 ∙ 23).

28.

23.

()

22.

г) 22⁹;

д) 30.

Производ 3200 ∙ 4300 једнак је: а) 12⁵00; б) 12⁶0000; в) 7⁵00; г) 12⁶00; д) 576100.

29.

Који од наведених израза је једнак изразу a⁵ ∙ a2 (a ≠ 0)? а) a3 ∙ a⁵; б) a⁴ ∙ a3; в) a10 : a3; г) a6 : a2.

30.

Које једнакости су тачне за a ≠ 0? а) a3 ∙ a2 = a⁶; б) a⁴ ∙ a3 = a⁷;

31.

Упростити израз за a ≠ 0 и x ≠ 0: а) a3 ∙ a⁵ ∙ a; б) x⁵ ∙ 8 ∙ x3; в) x2 ∙ y3 ∙ x2 ∙ y;

в) a10 : a2 = a⁵;

г) a⁶ : a2 = a⁴.

г) x3 ∙ 2xy3.

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

32.

Који од израза је једнак изразу x⁶x2, за x ≠ 0? а) x⁵∙ x2; б) x⁴ ∙ x⁴; в) x3 ∙ x⁴; г) x ∙ x⁶.

33.

Који су изрази тачни за x ≠ 0? а) x⁵ ∙ x2 = x10; б) x⁷ ∙ x3 = x10;

34.

Упростити изразе, ако је a ≠ 0: а) 2a2 ∙ a ∙ a3; б) (a3 ∙ a⁴) : a2;

в) (a13 : a⁵) : a2;

Упрости изразе за x ≠ 0: а) 3x2 ∙ x⁴ : x⁵; б) x10 : x⁹;

г) x⁵ : x⁵;

36.

в) x⁸ : x;

г) (a⁷ : a2) ∙ a.

д) (x10 : x⁶) ∙ x2;

ђ) (x3 ∙ x⁴) : x⁵.

35.

в) x⁸ : x2 = x⁴; г) x11 : x⁵ = x⁶.

Упростити изразе, ако је a ≠ 0: а) a⁸ : a⁵; б) a⁴ : a; в) 16a3 : 2a2; г) (–9a3) : (–3a). Како гласe изрази после скраћивања: 21cb2a5 а) (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0); б) 6x4y5z (x ≠ 0, y ≠ 0); 3x3y4 12a6cb2 в) 10a3b : (–4ab) + 2,5a2; г) (–2a2 bc)2 + 4a⁴ b2 c2?

38.

Који од датих исказа су тачни за аbc ≠ 0? а) 94 a2bc ∙ 23 a2c2 = 2a⁴bc3; б) 5a2– 6a2c2 = –c2; в) 10a3b : (–4ab) = –2,5a2; г) (–2a2bc)2 = – 4a⁴b2c2.

39.

Упрости изразе: а) (3b2 a)(5b3 c⁴); б) ((2a)3 (2b)⁴)2;

40.

Упростити изразе: а) (3x⁴ yz⁴) ∙ (2x2 y3 z);

41.

Израз a⁴ ∙ b2 ∙ a2∙ b⁴ – (a2b2)3 једнак је изразу: а) a2 ∙ b3; б) a⁶b⁶– a⁵b⁵; в) ab; г) 0.

42.

Израз (x⁶ ∙ y2) ∙ (x2 ∙ y⁶) – 2(x2 ∙ y2)⁴ једнак је изразу: б) –x⁸ ∙ y⁸; в) x ∙ y; г) x⁸ ∙ y⁸ – x⁶ ∙ y⁶. а) x⁶ ∙ y⁶ + x2 ∙ y2;

43.

Прикажи израз ((x2)3 : x⁴) ∙ (x3)⁰ у облику степена са основом x, за x ≠ 0.

uk a

37.

в) (a3 b2)⁵ (ab)3.

б) (a3∙ b2)5 ∙ (ab)2.

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

44.

Упрости дате изразе, ако је a ≠ 0, b ≠ 0 и x ≠ 0, y ≠ 0. x3y2 xy а) (a3bc2) ∙ (ab)⁴ ; б) xy ⁴ : x2y3 2. (ab2)3 a2 b3

45.

Израз am ∙ an : am – 1, за a ≠ 0 је једнак изразу: а) am + n; б) an + 1; в) am – n; г) an + 5.

а) x3;

47.

x4(x4)3 , x > 0 једнак је изразу: x8 б) x; в) x6; г) x8; д) x4.

Производ бројева 52000 и 23000 једнак је: а) 10⁵000; б) 7⁵000 ;

в) 10⁶000;

г) 2001000.

n+3 3n + 5 Упрошћени израз 2 4n∙ 2+ 4 (n ∈ N) је: 2

48.

)

Израз

) (

46.

(

n+2

а) 2n + 3 ; б) 2(n + 3)(3n + 5) – (4n + 4); в) 12 n + 1 ; г) 24n + 2; д) 2⁴.

2x + 1 3x + 5 Упрошћени израз 3 3x∙ –34 (x ∈ N) je: 3 1 а) 32x + 2; б) 33x + 5 ; в) 33x + 4;

uk a

49.

г) 32x – 10.

Број 240000 написати као производ двају чиниоца од којих је један потенција броја 10, а други је: а) 24; б) 2,4; в) 0,24; г) 240.

51.

Дате бројеве записати у облику разломака код којих је у имениоцу потенција броја 10. а) 3,4; б) 0,77; в) 0,033; г) 0,00751.

52. 53. 54.

50.

Бројеве: A = 0,003; B = 0,000001; C = 0,0036; D = 0,0000475 написати као: а) разломке; б) потенције броја 10. Напиши дате бројеве у облику збира сабирака који садрже потенцију броја б) 3500,0035; в) 1234,56; г) 1,005. десет: а) 23,8; Која је вредност израза: 23 + 2–2 + 3–2 – 32?

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

„Енергија ума је бит живота.” Аристотел

3.2. Алгебарски изрази

Ако је a = b + 2, то значи да је: а) a за 2 мање од b; б) a за 2 веће од b; в) a је 2 пута мање од b; г) a је 2 пута веће од b.

uk a

ЗАДАЦИ

Нека су x и у бројеви. Који од следећих израза има значење: „квадрат броја x је за 2 мањи од у”? а) x2 < y + 2; б) x2 < y – 2; в) x2 = y – 2; г) x2 = y + 2. Сабрати сличне мономе: а) 17 + 23x + 2x; б) 33x + 32 – 30x; в) 7x + 14x – 16x; г) 25x – 31 – 11x + 6.

Упростити изразe: а) 6 ∙ 2a – (–4a) + 16; в) 8a2– 3a + 2a + 3a2;

Које су једнакости тачне: а) x ∙ 3x + 9x = 12x; в) x2 + 2x + 3x2 = 6x2;

Колика је вредност израза: а) 2x3– 8 ако је x = 2; б) –x3 + 2 ако је x = –2;

1 б) 0,75a – (– 1 4 a) + (– 4 ); г) –12a + 18a – 9a2 – 5a2. б) x ∙ 3x + 9x = 3x2 + 9x; г) 2x3 ∙ 3x⁴+ 2x3 = 6x⁷ +2x3? в) m3 + m2– 2 ако је m = –1; г) (1– a)3 ако је a = – 21 ?

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

Одредити бројевну вредност aлгeбaрског изрaза a3– 3а2, за а = –2.

Израчунати бројевну вредност израза x3– 2x2+ 5 за: а) x = 0; б) x = –1; в) x = –3; г) x = 2.

Израчунати бројевну вредност израза 5x3– 4x2+ 5x – 6 за: а) x = –1; б) x = 0; в) x = 1; г) x = 2. Израчунати бројевну вредност израза x2– 2x – 8 за: 1 а) x = – 21 ; б) x = 2 ; в) x = 32 ; г) x = 43 .

11.

Упростити изразe: а) 5y3– 2y2∙ y; б) –6a ∙ a + a2; в) 2x2y3– x ∙ x ∙ y2 ∙ y; г) 4x2y –3xy2 + 2x2y – xy2.

16. 17. 18. 19.

Средити изразe за xy ≠ 0: 4x3 3x3y3 6x3y3 ∙ 2x2y3 a) 2x2 x +2x2; б) x2y2 + xy; в) – 6x3 y3. 4 x3y2 Израчунај вредност израза 3a2 ∙ (3a – b) – (a2 – b) ∙ (a – 2) за a = –1, b = –2.

14. 15.

б) 4ab ∙ 3a ∙ 2ab; 2 г) 3 a2 ∙ b ∙ 12ab2 – ab2 ∙ b.

uk a

а) (–3a) ∙ a ∙ (–2a)2; 1 в) 8a ∙ 1 2 a ∙ (– 4 a2);

13.

Упростити изразe:

12.

10.

Израчунати вредност израза: а) (x – 8)2– x ∙ (x + 6) за x = –0,25; Упростити изразе: a) (3x + 2) – (x – 3) ∙ (2x + 1);

б) (0,1x – 8)2– (0,1x + 8)2 за x =10.

б) (2x2– 1) ∙ (x – 3); в) (a + 2) ∙ a – (2a – 3) ∙ a.

Колико износи бројевна вредност израза (2x3y – x3) ∙ (y + 3x – 2xy) за x = –1, y = 0? Упрости изразе: а) (x + 2) ∙ (x2 + 2x + 4); б) (x – 2) ∙ (x2 + 2x + 4) – (x + 2) ∙ (x2 – 2x + 4); в) (x + y + 1) ∙ (x + y –1) – (x – y + 1) ∙ (x – y –1). Како гласи следећи израз у сређеном облику? (–x⁴) ∙ x2 (–x⁹) – x2 (–x⁹) – x⁴– (–x14) ∙ (x3)3

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

„У сваком сазнању је онолико науке колико је у њему математике.”

Имануел Кант

3.3. полиноми

• Сабирање И ОДУЗИМАЊЕ полинома

uk a

ЗАДАЦИ

Полиноме сабирамо тако што саберемо сличне чланове.

Средити полиноме: а) 163 + 17х + 25х; в) 36х + 124 + 16х;

Упрости изразе: а) 8y2 – 3y – 5y + 3y2; в) 6 ∙ 3y + 3 (–y); д) 0,75a – 0,25a.

Средити: a) 3x2– 4x3+ 5x2– x3;

Наћи збир и разлику полинома: P (а) = 2а2– а + 1 и Q (a) = 8a3+ a2– 2a + 4.

Нађи збир и разлику полинома: а) 5х2 – 2х + 5 и 3х2 + 4х – 7; б) 2х3 – 5х + 6 и 5х3 – 3х –1.

б) 45х + 133 – 27х; г) 25х + 36 – 17х. б) −9а2 + 18а − 6а2 − 9а; г) 7a – 4a –3a;

б) a⁴– 2a3+ 3a⁴+ a3;

в) 4xy – 3x + 2y + x – y –2xy.

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

Дати су полиноми: P = 2x2 + 4x – 1 и Q = –3x2 + 5x – 1. а) Одредити P – Q и добијени полином средити. б) Одредити P + Q и добијени полином средити.

Дати су полиноми: P (x, y) = 3x3–2xy + y2– 1 и Q (x, y) = –x3+ xy + y2+ 2. Наћи:

Дати су полиноми: A (x, y) = 4x3– 2x2y – 3xy2+ y3, B (x, y) = 3x3– 2y3+ 4, C (x, y) = 4x2y + 3xy2– x3+ y3.

uk a

Дати су полиноми: P = –a2+ 9b2+ 4c3, Q = 3a2+ 9b2– 2c3 и R = 2a2– 6b2–2c3.

Одредити: а) P + Q + R;

б) P –2Q – R.

б) 2A (x, y) – B (x, y) – C (x, y).

Наћи: а) A (x, y) + 2B (x, y) + C (x, y);

б) 3P (x, y) – 4Q (x, y).

а) 2P (x, y) + 3Q (x, y);

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

• Множење полинома ЗАДАЦИ

10.

Које од следећих једнакости су тачне? (Заокружи слова испред тих једнакости.) a) x ∙ 2x ∙ 3x = 6x; б) x ∙ 2x ∙ 3x = 6x3; в) x + 2x + 3x = 6x; г) x2 ∙ 2x3 ∙ 3x⁴ = 6x⁹; д) x2 ∙ 2x3 ∙ 3x⁴ = 6x2⁴.

12.

Одредити: а) (–2x) ∙ x ∙ (–1); б) 3x ∙ 2y ∙ 6xy; в) 6y ∙ (– 1 3 y2); 2 г) 3 ab ∙ 12ab2.

uk a

Упрости изразе: a) a2+ a ∙ a; б) a2– a ∙ a;

в) 5a2– a2;

Средити изразе: a) –2x ∙ x + x2; б) x2y + xyx; в) 8ab2– 3a2b2+ a2b2– 7ab2.

15.

Помножити и средити израз (a + 5) ∙ (a – 3).

16.

Наћи производ (4a – 6) ∙ (2a2– 3a + 4).

17.

Одредити: a) (3x – 2) – (x – 3) ∙ (2x – 1);

18.

г) 5x2– 3x ∙ x.

14.

11.

13.

Наћи производ монома: 2ab2 и 3a2b3.

Одредити: a) (x + 2) + (x – 2) · (2x + 1); б) (3y2 – 2) ∙ (3y + 2);

б) (2x2 – 1)(x – 3);

в) (a + 2)a – (2a – 3)a.

в) (3x2 + x) ∙ (2x – 5); г) (5 + y) ∙ (3 – y) + y ∙ (y – 7).

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

19.

Упростити изразе: a) (x – 2) ∙ (x2– 3x + 4); б) (2 – 3x) ∙ (x – 1)2;

в) (4 – x) ∙ (3x + 2) – 2 ∙ (3 – 2x) ∙ (x + 3); г) (x – 1)2 ∙ (2x – 3) – (x – 1) ∙ (x + 1) ∙ (x + 3).

Израз 5ab – 3a2 + (2a – 4b) ∙ (a + b) једнак је: а) –a2 + 3ab – 4b2; б) 5a2 – ab + 4b2; в) 5a2 – 3ab + 16b2; г) –2a2.

21.

Израз (3a2 – 7b) ∙ (–a + 2b) једнак је: а) 3a2 – 14b2; б) –3a3+ 12ab – 14b2; в) 3a3+ 7ab – 14b2 – 6а2b; г) –3a3 + 6a2b + 7ab – 14b2.

20.

22.

Нађи бројевну вредност израза A (x, y) = 3x2 ∙ (2x – y) – (x2 – xy) ∙ (6x – 1) за x = –1, y = –2. Средити полином a2 b – 3[a2b – 2(a2b – ab2) – ab2] .

24.

Полином (x – y) ∙ (x2 – 5x + 6) – x3 – 5x ∙ (x + y) средити по опадајућим степенима.

25.

Средити израз (–x⁴)2∙ x⁴ ∙ x2 (–x⁹) – x2(–x⁹) – x⁴ + (–x1⁴) ∙ (x3)3.

26.

Која је вредност израза (2x2y – x3) ∙ (y + 3x – 2xy) за x = –1 и y = 0?

27.

Која од датих тврђења су тачна за било какве полиноме Р и Q петог степена? а) Р + Q је полином петог степена; б) Р – Q је полином петог степена; в) Р ∙ Q је полином петог степена; г) Р ∙ Q је полином десетог степена; д) Р ∙ Q је полином двадесет петог степена.

28.

Упростити изразе: а) x⁶ : x2+ 5x3 ∙ x – 2x2 ∙ x2; б) (2x + 1) ∙ (4x2 – 2x + 1).

29.

Одредити збир двају датих производа израза (3x – 2) ∙ (4 – x) и (x – 3) ∙ (3x – 5).

uk a

23.

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

„У свакој игри морате прво научити правила. А затим морате играти боље од осталих.“ Алберт Ајнштајн

3.4. Квадрат бинома и разлика квадрата Квадрат збира: I2 + 2I ∙ II + II2 = (I + II)2.

Доказ:

• Квадрат бинома

Множењем (I + II)(I + II), па сабирањем сличних монома добија се дата формула. (I + II)(I + II) = I2 + II ∙ I + I ∙ II + II2 = I2 + 2I ∙ II + II2 P = (a + b)

uk a

Геометријски доказ:

P=a∙b

P=b

P=a

P = (a

Квадрат разлике: I 2 – 2I ∙ II + II2 = (I – II)2.

P = (a + b)

Множењем па сабирањем сличних монома добија се: b P=a∙b (I – II)(I – II) = I2 – II ∙ I – I ∙ II + II2 = I2 – 2I ∙ II + II2.

P=a P=b

P = (a–b)∙b P = b

Геометријска интерпретација: a

P=a

Површина квадрата странице a – b добија се кад се од површине квадрата страница а одузму површине квадрата странице b и површине двају правоугаоника страница a – b и b, па је: (a – b)2 = a2 – b2 – 2(a – b) ∙ b = a2 – b2 – 2a ∙ b + 2b2 = a2 + b2 – 2a ∙ b.

a–b

P = (a–b) a

P = (a–b)∙b

Доказ:

a–

P = (a–

Површина квадрата странице a + b састоји се од површине двају квадрата страница а и b и површине двају правоугаоника страница a и b, па је: (a + b)2 = a2 + b2 + 2a ∙ b.

b a–b

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

• РАЗЛИКА КВАДРАТА Разлика квадрата: I2 – II2 = (I + II)(I – II).

Производ збира и разлике истих чланова једнак је разлици њихових квадрата. Доказ:

Израз (3a + 2b)2 једнак је: a) 9a2 + 4b2; в) 9a2 + 12ab + 4b2;

Дате су једнакости: a) (2 – 3x)2 = 4 – 6x + 3x2; в) (2 – 3x)2 = 4 – 9x2;

б) 9a2 + 2ab + 4b2; г) 3a2 + 2b2.

uk a

ЗАДАЦИ

Извршити множење на десној страни па сабрати сличне мономе. (I + II)(I – II) = I2 + II ∙ I – I ∙ II – II2 = I2 – II2

б) (2 – 3x)2 = 4 – 12x + 9x2; г) 2 – 3x2 = (2 – 3x) ∙ (2 + 3x). Које су тачне?

За све реалне вредности променљивих које од датих једнакости су тачне? a) (x – 2y)2 = x2 – 2x + 4y2; б) (a – 3b) ∙ (3a – b) = 3a2 – 3b2; в) (a – 2x) ∙ (2a + x) = 2a2 – 3ax – 2x2; г) (b + 3c)2 = b2 + 6bc + 9c2. Израз 5ab – 3a2 + (2a – 4b)2 једнак је: а) a2 – 11ab + 16b2; б) 4a2 – 16ab + 16b2; в) a2 – 16ab + 16b2; г) 3a2 + 11ba.

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

6. 7.

Израз (2y – 3)2 једнак је изразу: а) 4y2 – 9; б) 4y2 – 6y + 9; г) 4y2 – 12y + 9; д) 4y2 + 12y + 9. Квадрат бинома а) 1 б) 9 x2 – 1;

( 31 x – 1)2 је: 1 9 x2 + 1;

1 в) 9 x2 + 1 + 32 x;

1 2 г) 9 x2 + 1 – 3 x.

Који од следећих бинома: А = x – 1, B = –x – 1, C = –x + 1, D = x + 1, Е = – (x – 1), имају једнаке квадрате?

Израчунати вредност израза: a) (x – 8)2 – x ∙ (x + 6), за x = –0,25;

Упрости изразе и нађи њихову вредност: а) (a – 10)2 – a ∙ (a + 40) за a = –0,5; б) (0,1x – 8)2+ (0,1x + 8)2 за x = 10.

б) (0,1x – 8)2 – (0,1x + 8)2, за x = 10.

Коja је од следећих једнакости тачна за све вредности променљивих? a) (x – y)2 = (y – x)2; б) a2 – b2 = (a – b)2.

11.

Упростити израз (a + 2)2 – 2 ∙ (a – 2) ∙ (3 – a).

12.

Упростити израз (x + 3) ∙ (x – 8) + (x + 6)2 + (4x – 5) ∙ (4x + 5) + 6x ∙ ( – 3x) + 7 ∙ (2 – x).

13.

Упростити израз a2 (a – 4) – (a + 3) ∙ (a – 2) ∙ (a – 5).

14.

Када се полином (3 – 2x)2 – (4x – 1) ∙ (4x + 1) + 12x2 + 12x среди, добија се: а) полином другог степена; б) полином првог степена; в) полином нултог степена; г) полином већег степена од два.

15.

Који израз треба уписати у а) 4а; б) 6а;

16.

Користећи квадрат бинома, израчунати колико је 16m2 – 8m + 1 за m = 0,25.

17.

Заменити

uk a

10.

а) (3a +

да би једнакост (2a – 3)2 = 4a2– в) 12а; г) 2а.

мономом тако да се добије тачна једнакост. )2 = 9a2 + 6a + 1;

в) (4a – b)2 = 16a2 – 8

в) 4y2 + 6y + 9;

б) (

– x)2 = x2 – 4x + 4;

+ b2; г) (3 – 2x)2 =

– 12x +

+ 9 била тачна?

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

18.

У квадратиће уписати мономе тако да се добију тачне једнакости: a) ( + 2b)2 = a2 + 4ab + 4b2; б) (3x + )2 = 9x2 + 6ax + a2; в) (

– 2m)2 =

д) (15y +

x3)2=

– 40m + 4m2;

г) (

y2+ 12x3 y + 0,16x⁶;

– 9c)2 = 36a2–108a2 c +

ђ) (3a + 2,5b)2 =

;

+ 6,25b2.

Ако се од полинома 7x2 – 3x + 8 одузме квадрат бинома 3x + 2, који се полином добија?

20.

Упростити израз који се добија ако квадрат збира монома 2a и 3b умањимо за збир квадрата монома 2a и 3b.

19.

Ако је a ∙ b = 10 и (a + b)2 = 49, колико је a2 + b2?

22.

Ако је x + y = 10 и x ∙ y = 21 , израчунати x2 + y2.

23.

1 = 3, наћи a2 + 1 . Ако је a + a a2

24.

Доказати да је разлика квадрата два узастопна броја увек непаран број, тј. 2n+1 је непаран број.

25.

Израчунати на што једноставнији начин: а) 5,422 – 4,582; б) 107,232 – 2 ∙ 107,23 ∙ 7,23 + 7,232.

26.

Израчунати на најједноставнији начин: а) 10012 – 1; б) 0,4(10а – 5b) – 8(0,5b + 0,125а) за а = –3 и b = 1.

27.

Вредност израза 12,62 – 2,62 је: а) 15,2; б) 100; в) 152;

28.

Користећи разлику квадрата, помножити бројеве: 0,98 и 1,02.

29.

Користећи разлику квадрата, помножити бројеве: а) 101 ∙ 99; б) 202 ∙ 198; в) 1003 ∙ 997.

30.

Користећи квадрат бинома, израчунати: а) 1052; б) 972; в) 9992.

31.

Израчунај на што једноставнији начин вредност израза a2 – b2 ако је а = 0,0001 и b = 0,9999.

uk a

21.

г) 231,04.

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

32.

Колика је бројевна вредност израза 5a2 – 10ab + 5b2 за a = 124 и b = 24?

34.

Израчунати вредност израза (x – 2)2 – (x + 2)2на најједноставнији начин за x = 1 4.

35.

Израчунати: (4x – 3y)2 – (2x – y) ∙ (8x – 9y) за x = – 21 и y = –3.

36.

Ако је x + y = 15 и x – y = 4, израчунати x2 – y2.

37.

1 ∙ а–1 ? Ако је а2 = 3, колика је вредност израза а + a a

38.

Ако је аb = 0, колика је вредност израза (a + b)2 – (a – b)2?

39.

Вредност израза (x + 1)2 – (2x – 1)2 за x = − 41 je: 4 а) 0; б) 1; в) 4; г) −4; д) −1.

40.

Вредност израза √x2 – 2x + 1 + √x2 + 2x + 1 за –1 ≤ x ≤ 1 је: а) 2x; б) 2; в) 2x + 2; г) 4x.

41.

Скрати разломак 1812 – 812 . 3092 – 2092 Вредност разломка a − a⁵ за a = 0,1 је: a2 − a4 1 − 1 2 je: а) 2√2 ; Вредност израза √2 + 1 √2 − 1

44. 45.

)

)(

uk a (

)

43.

(

33.

42.

Израчунати на што једноставнији начин вредност израза 6x2 – 12xy + 6y2 за: x = 13,894 и y = 3,894.

б) 4; в) 0; г) −4;

+ 3 је: Упрошћени израз x2+2x√3 x2 – 3 √3 3 а) xx + б) xx2+ в) x – 3 ; г) x + 2√3 . – √3 ; 2 – 3; x+3 x – √3

Како изгледа израз (xy – 1)2 + (1 + xy)2 у сређеном облику? (x4 y4 – 1) x

I I

x x

I I

3x2 + 8x + 4 = (3x +2) (x + 2)

д) 8.

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

„Не постоји наука која јасније открива хармонију природе колико математика.” Карез

ЗАДАЦИ

3.5. Растављање полинома на чиниоце са применом

Факторисати бројеве: а) 84; б) 245; в) –7200.

Дате бројеве раставити на чиниоце, па израчунати: а) 34440 492 ;

uk a

363 ∙ 175 б) 25 ∙ 539 .

Раставити на чиниоце 9ax2 – a.

Раставити на чиниоце изразе: а) x2 – 1; б) 4x2 – y2; в) 9a2 – 16b2.

Раставити на чиниоце: а) 41 – x2; б) (x + 1)2– 36;

Растави на чиниоце: а) 10a3 ∙ b – 2a2 ∙ b;

в) 1 – x + x2. 4

б) 0,16x3 – x.

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

г) 3a2 – 6ab + 3b2; д) ax2 + 4ax + 4a.

Раставити на чиниоце: а) 10a3b – 8a2b; б) 16x2 – 1. Полином P(x) = 2x3 – 6x2 – 8x + 24 растављен на чиниоце има облик: а) 2 ∙ (x – 2) ∙ (x + 1) ∙ (x + 2); б) 2 ∙ (x – 2) ∙ (x2 – x + 6); в) (x – 2) ∙ (2x2 + 8); г) (x – 2) ∙ (x + 2) ∙ (2x + 3); д) 2(x – 2) ∙ (x – 3) ∙ (x + 2).

12. 13. 14.

Решити једначине: а) x – 1 2 – x + 1 2 = x; 2 2 б) (x + 1) ∙ (x2 – x + 1) – (x + 1) ∙ (x2+ x + 1) = 2x.

(

) (

)

uk a

11.

Решити једначине: а) (x + 4) ∙ (x – 4) – (x + 4)2 = 0; б) 3x ∙ (3x + 6) – (3x + 6)2 = 0.

Решити једначину: (x – 2)2 – (x + 3) ∙ (x – 3) = (x + 4)2 – (x + 5) ∙ (x – 5).

10.

Растави на чиниоце изразе: а) y2 – 4; б) 9x2 – 16; в) (x + 1)2 – 25;

Решити једначине: а) x2 – 6x – 7 = 0; б) x2+ 5x + 6 = 0. Решити једначину: x2 – 4x – 5 = 0.

„Образовање има сврху да замени празан ум отвореним.” Малколм С. Форбс

А ЛГЕБАРСКИ И З РА З И

„Мисао чини људску величину.”

Блез Паскал

Блез Паскал (1623–1662), француски математичар

uk a

Блез Паскал је био француски математичар, физичар и филозоф. Одмалена је показивао интересовање за науку, па је са дванаест година почео да вежба геометрију. Године 1640. издао је свој први рад, ,,Есеј о конусним пресецима“. У осамнаестој години конструисао је прву математичку машину, механички сабирач, који је назвао Паскалина, с циљем да свом оцу помогне у пословању. У физици је познат по Паскаловом закону и јединици за притисак, која је по њему и названа паскал. После смрти свог оца, Паскал напушта свет науке и окреће се религији, односно како је он написао „разматрању величине и мистерије човека“. Паскалов најзначајнији рад из филозофије био је ,,Мисли“, у којем се бавио личним мислима везаним за људску патњу, судбину и Бога.

МНОГОУГАО

4. МНОГОУГАО „Сваки покушај компромиса неопростива је издаја истине.”

uk a

Еварист Галоа (1811–1832)

Еварист Галоа

Еварист Галоа је рођен 1811. године у Бур ла Рену, малом месту крај Париза.

Као младић од непуних двадесет година, Галоа се бавио полиномским једначинама степена већег од четири. Открио је тзв. теорију група, једну од најважнијих математичких теорија, која представља кључ модерне алгебре и геометрије. Велики математичари тог доба, међу којима су Коши, Фурије, Поасон, навикнути на свет бројева и геометријских фигура, чак и много година касније нису могли да схвате његова открића. Нико, ни пре ни после њега, у читавој историји математике није дао тако значајан допринос у раној младости. Иако је живот окончао у двадесет првој години, његов рад је имао велику вредност. Живот је изгубио у двобоју из, до дан-данас, непознатих разлога. У ноћи пред двобој, 29. маја 1832. године Галоа је свом пријатељу Августу Шевалијеу написао необично писмо на 60 страница, у коме су била три необјављена математичка рада. Писмо се сматра његовим тестаментом, а понекад га оцењују као „најзначајнији рукопис у историји људског рода“.

МНОГОУГАО

4. ПОДСЕТИ СЕ

Проста затворена изломљена линија код које несуседне странице немају заједничких тачака зове се мнoгoугao. Дужи од којих се састоји изломљена линија називају се странице многоугла. Темена изломљене линије, крајње тачке страница, називају се темена многоугла. Двe стрaницe мнoгoуглa су сусeднe aкo имajу зajeдничкo тeмe. Два темена која припадају истој страници многоугла јесу суседна темена. Темена која не припадају истој страници јесу несуседна темена. За сваки n-тоугао важи: n = број страница = број темена = број унутрашњих углова. Многоугао ограничава део равни који називамо унутрашњом облашћу многоугла. Остали део равни је спољашња област многоугла.

Пoстoje двe врстe мнoгoуглова: кoнвeксни и кoнкaвни. Каже се да је многоугао конвексан ако:

uk a

дуж која спаја било које две његове тачке, цела (са свим својим тачкама) припада том многоуглу;

Многоугао је конкаван ако се у њему могу наћи такве две тачке да дуж која их спаја не припада цела унутрашњој области многоугла.

Конвексни многоуглови

Конкавни (неконвексни) многоуглови

МНОГОУГАО Правилан многоугао Mногоугао је правилан ако су све странице и сви унутрашњи углови међусобно једнаки. У правилни многоугао се може уписати кружница и око њега описати кружница. Центар описане и центар уписане кружнице многоугла се поклапају. Правилни многоугао је осносиметрична фигура. Број оса симетрије је једнак броју страница. Ако је број страница паран, онда је правилни многоугао централно симетричан.

Дијагонале многоугла

Углови многоугла

Дијагонала многоугла је дуж која спаја два несуседна темена многоугла. Број дијагонала које се могу конструисати из сваког темена n-тоугла је (n – 3). Број свих дијагонала многоугла са n страница је Dn = n ∙ (n – 3) . 2

uk a

Нека су са α1, α2, α3, …, αn обележени унутрашњи углови многоугла, а са β1, β2, β3, …, βn спољашњи углови многоугла. Збир свих унутрашњих углова многоугла од n страница је: Sn = α1 + α2 + α3 + ... + αn = (n – 2) ∙ 180°. Збир спољашњих углова n-тоугла је: Sn΄ = β1 + β2 + β3 + ... + βn = 360°.

Обим правилног многоугла странице a је: O = n ∙ a. Површина правилног многоугла странице a је: 1 P = n ∙ a2∙ ha = 1 2 O ∙ ha = 2 O ∙ ru, где је O – обим, а ru – полупречник уписане кружнице. За n = 3, n = 4, n = 6, обими, површине, полупречници уписаних и описаних кружница су: O3 = 3 ∙ a, P3 = a2√3 , ru = a√3 ; rо = a√3 ; 4 6 3 d2 a a√2 O4= 4 ∙ a, P4= a2 = 2 , ru = ; rо = ; 2 2 O6 = 6 ∙ a, P6 = 3a2√3 , ru = a√3 ; rо = a . 2 2

МНОГОУГАО

Тежишна дуж (медијана) троугла је дуж која спаја теме са средином наспрамне странице. Тежиште троугла је тачка у којој се секу све три тежишне дужи тог троугла. Тежиште Т дели тежишну дуж у размери 2 : 1.

Ортоцентар

Праве које садрже висине троугла секу се у једној тачки и та тачка се назива ортоцентар.

Значајне тачке троугла су:

uk a

центар описане кружнице – пресек симетрала страница; центар уписане кружнице – пресек симетрала унутрашњих углова; тежиште – пресек тежишних дужи; ортоцентар – пресек висина.

Код једнакостраничног троугла тежиште се поклапа са остале три значајне тачке. Све четири значајне тачке једнакокраког троугла припадају симетрали основице, која је истовремено и симетрала угла при врху, тежишна дуж која одговара основици и висина тог троугла. Код правоуглог троугла тежишна дуж која одговара хипотенузи једнака је полупречнику описане кружнице, јер је центар те кружнице средиште хипотенузе.

МНОГОУГАО „Границе не постоје. Измислио их је човек.” Кармен Езгета

4.1. Појам многоугла И врсте

G D

D C

uk a

Којe су од датих линија полигоналне линије? F

Од датих фигура (на слици) које су многоуглови?

ЗАДАЦИ

Одредити многоуглове који ограничавају дате многоугаоне области.

а)

б)

в)

МНОГОУГАО

Који су од следећих многоуглова конвексни?

Који од следећих многоуглова су конкавни?

Одредити: а) суседна и несуседна темена темену D; б) суседне и несуседне странице страници BC; в) дијагонале из темена А.

uk a

В D

B A

Које све конвексне четвороуглове знаш? Који су од њих правилни?

Које врсте троуглова можеш да наведеш? Да ли међу њима има правилних многоуглова?

МНОГОУГАО „Знање које се стиче без великог труда не може бити велико.” Здравко Курник

4.2. Дијагонале многоугла A7

Tеорема 1: Број свих дијагонала многоугла са n страница дат је формулом: Dn = n ∙ (n – 3) . 2 Доказ: Из сваког темена n-тоугла можемо конструисати (n – 3) дијагонала. Ако наставимо овај поступак, имаћемо n ∙ (n – 3) дијагонала. Међутим, свака дијагонала је у оваквом рачуну бројана два пута. Зато претходни израз треба поделити са два.

Kолико конвексан двадесетчетвороугао има дијагонала из једног темена?

Колико износи број дијагонала конвексног десетоугла?

Колико дијагонала има многоугао са n страница ако је: а) n = 4; б) n = 6; в) n = 11; г) n = 12?

Да ли многоугао може имати укупан број дијагонала Dn: а) Dn = 230; б) Dn = 100; в) Dn = 560?

uk a

ЗАДАЦИ

Из једног темена многоугла може се повући девет дијагонала. а) Који је то многоугао? б) Колико има укупно дијагонала? Из једног темена многоугла може се повући: а) 11 дијагонала; б)17 дијагонала; в) 24 дијагонале; г) 38 дијагонала. Колико има укупно дијагонала тај многоугао?

МНОГОУГАО

У неком конвексном многоуглу укупно се може повући 35 дијагонала. Колики је број страница тог многоугла?

Који многоугао има дијагонала колико и страница?

Који многоугао има шест пута више дијагонала него страница? Ако дијагонале повучене из једног темена многоугла деле тај многоугао на 12 троуглова, који је то многоугао?

11.

Број дијагонала конвексног многоугла три пута је већи од броја његових темена. Колико тај многоугао има страница?

12.

Код ког многоугла је укупан број дијагонала два пута већи од броја страница?

10.

Који многоугао има: а) пет пута више дијагонала него страница; б) седам пута више дијагонала него темена?

13.

Ако се број страница једног конвексног многоугла повећа за 3, онда се број његових дијагонала повећа за 30. Који је то многоугао?

15.

Ако се удвостручи број темена једног многоугла, тада се укупан број дијагонала повећа за 315. Који је то многоугао?

16.

Ана је избројала дијагонале из једног темена многоугла, а Петар је избројао све остале дијагонале тог многоугла. Петар је рекао да је број који је добио за 50 већи од броја који је добила Ана. Који је то многоугао?

17.

Колико има дијагонала у конвексном педесетоуглу које спајају свака два темена тог многоугла између којих се налазе бар још три темена?

uk a

14.

МНОГОУГАО „Нађи времена за размишљање, то је извор снаге. Нађи времена за рад, то је цена успеха.” Мајка Тереза

4.3. Углови многоугла A5

α1, α2, α3, …, αn су унутрашњи углови многоугла; β1, β2, β3, …, βn су спољашњи углови многоугла. Tеорема 2: Збир свих унутрашњих углова многоугла од n страница износи: Sn = (n – 2) ∙ 180°.

Доказ: Унутрашњи углови n-тоугла су, у ствари, унутрашњи углови (n – 2) троугла, па је њихов збир Sn = (n – 2) ∙ 180°.

β6

α6

α1

A1 β1

α2 A2

β2

uk a

Tеорема 3: Збир спољашњих углова n-тоугла је 360°.

Доказ: Збир једног спољашњег и суседног унутрашњег угла износи 180°. Тако код сваког темена. Укупан збир n ∙ 180°. Када одузмемо збир унутрашњих углова (n – 2) ∙ 180°, остаје да је збир спољашњих углова n-тоугла Sn΄ = 2 ∙ 180°, то јест Sn΄ = 360°.

ЗАДАЦИ

Пет унутрашњих углова једног шестоугла имају величине 135°, 110°, 125°, 115° и 120°. Колики је шести угао тог шестоугла?

Одредити збир унутрашњих углова конвексног седмоугла. Колико тај многоугао има дијагонала?

Наћи збир унутрашњих углова многоугла коме се из једног темена може повући пет дијагонала.

МНОГОУГАО

Које од следећих реченица су тачне? (Заокружи слово испред сваке тачне реченице.) а) Збир унутрашњих углова шестоугла је 720°. б) Ако је збир унутрашњих углова многоугла 900°, тада тај многоугао има 14 дијагонала. в) Код петоугла збир унутрашњих углова једнак је збиру спољашњих углова.

Колико износи збир унутрашњих углова конвексног дванаестоугла? Колики је број дијагонала? Израчунати збир унутрашњих углова многоугла ако тај многоугао има 189 дијагонала.

Збир углова конвексног многоугла је 1620°. Одредити број његових: а) темена; б) дијагонала.

Сваки од углова многоугла је α = 160°. Колико тај многоугао има а) страница; б) дијагонала?

uk a

Број дијагонала конвексног многоугла пет пута је већи од броја његових темена. Колики је збир његових углова? Збир унутрашњих углова у врховима петокраке звезде је: а) 180°; б) 270°; в) 360°; г) 90°; д) није понуђен тачан резултат.

10.

МНОГОУГАО „Међу људима једнаких умних способности, који раде под истим условима, у предности су они који знају геометрију.” Блез Паскал

4.4. Правилни многоуглови

Многоугао чије су све странице међусобно једнаке и сви унутрашњи углови међусобно једнаки назива се правилан многоугао.

uk a

Код правилног n-тоугла: сви унутрашњи углови су међу собом једнаки; сви спољашњи углови су међу собом једнаки; збир спoљaшњих углoвa Sn' = 360°; збир унутрaшњих углoвa Sn = (n – 2) ∙ 180°; унутрашњи угао правилног n-тоугла једнак је αn = (n – 2)n∙ 180° . Правилни многоугао је осносиметрична фигура са n оса симетрије. Ако је број страница n паран број, онда је правилни многоугао и централносиметрична фигура.

Све симетрале страница и све симетрале унутрашњих углова правилног многоугла секу се у једној тачки, која се назива центар тог многоугла. Центар правилног многоугла је и центар уписане и центар описане кружнице тог многоугла. Око правилног многоугла може се описати кружница. У правилан многоугао може се уписати кружница. Карактеристичан троугао правилног многоугла је троугао који образују два суседна темена и центар многоугла. Карактеристичан троугао правилног n-тоугла је једнакокраки троугао чија је основица једнака страници тог многоугла, а угао наспрам основице (централни . угао) једнак је φ = 360° n Ако је дужина странице а, онда је обим многоугла О = n ∙ а. Површина се рачуна по формули P = n ∙ a 2∙ h , где је h висина карактеристичног троугла правилног многоугла. Висина карактеристичног троугла h правилног многоугла једнака је полупречнику уписане кружнице правилног многоугла.

МНОГОУГАО

ЗАДАЦИ

Који су правилни многоуглови приказани на слици?

Да ли су правоугаоник, ромб и трапез правилни четвороуглови?

3. 4.

Да ли постоји правилан многоугао коме је сваки угао 110°?

Код правилног двадесетчетвороугла одреди: а) збир унутрашњих углова; б) један унутрашњи угао.

Код ког правилног многоугла спољашњи угао износи 20°? Колико дијагонала има тај многоугао? Колики је унутрашњи угао правилног деветоугла? Колико дијагонала има деветоугао? Збир углова једног правилног многоугла је 1440°. Одреди: а) колико тај многоугао има страница; б) колико тај многоугао има дијагонала; в) колики је централни угао при врху карактеристичног троугла; г) колики је један унутрашњи угао тог многоугла.

Колико страница има правилан многоугао чији су унутрашњи углови по 170°?

uk a

10.

Централни угао једног правилног многоугла је 30°. Одреди: а) колико тај многоугао има страница; б) колико тај многоугао има дијагонала; в) колико тај многоугао има оса симетрије; г) колико износи збир свих унутрашњих углова. Код ког правилног многоугла спољашњи угао има 9°? Колики је један унутрашњи угао, збир унутрашњих углова тог многоугла и колико он има дијагонала?

МНОГОУГАО

11.

Унутрашњи угао правилног 360-тоугла износи: а) 179°; б) 178° 30'; в) 177°; г) 176°15'; д) није понуђен тачан резултат.

13.

Колико дијагонала има правилан многоугао чији је унутрашњи угао 144°?

14. 15.

У правилном петоуглу ABCDE одреди величину угла BDE.

Дат је правилан осмоугао. Одредити: а) број дијагонала; б) збир унутрашњих углова; в) унутрашњи угао и спољашњи угао; г) централни угао.

12.

Збир унутрашњих углова правилног многоугла је 1800°. Одредити: а) број његових страница; б) централни угао; в) углове карактеристичног троугла.

uk a

16.

Дата су два правилна многоугла, при чему други има два пута више страница од првог, а унутрашњи угао првог је за 10 мањи од унутрашњег угла другог. Одредити број страница првог многоугла.

Страница правилног многоугла је a = 6 cm. Ако многоугао има 135 дијагонала, наћи његов обим.

18.

Збир дијагонала из једног темена и укупног броја дијагонала правилног многоугла је D1 + Dn = 12 . Колики је обим тог многоугла ако је најдужа дијагонала дужине 5 cm?

17.

МНОГОУГАО

„Снага математичара лежи у њиховом избегавању непотребних мисли.” Мак

Конструиши једнакостранични троугао ако је полупречник описане кружнице 5 cm.

uk a

ЗАДАЦИ

4.5. Конструкција правилних многоуглова

Дата је дужина странице многоугла. Конструиши правилне многоуглове са: а) три страницe; б) четири страницe.

Конструишимо правилан шестоугао ако је дата његова страница а.

Конструишимо правилан шестоугао ако је дат полупречник r у њега уписанoг круга.

Конструисати правилни шестоугао ако је дат полупречник описане кружнице ro = 4 cm.

6. 7.

Конструисати правилан шестоугао ако је дата: а) дужа дијагонала d1; б) краћа дијагонала d2. Конструисати правилни петоугао ако је његова страница дужине 6 cm.

МНОГОУГАО

9. 10. 11.

Конструисати правилни осмоугао дате странице а. Конструисати правилни осмоугао ако је дужина његове најдуже дијагонале d = 6 cm. Конструисати правилни осмоугао ако његова најмања дијагонала има дужину 2√2 cm. Конструисати правилан дванаестоугао ако:

uk a

а) његова најдужа дијагонала има дужину 6 cm; б) његова страница има дужину 3 cm.

МНОГОУГАО

„Нема истине у оним наукама у којима се математика не примењује.” Леонардо да Винчи

4.6. Обим и површина многоуглова

Израчунати обим и површину једнакокраког троугла ако су дужина основице a = 14 cm, дужина крака b = 7,8 cm и дужина бочне висине hb = 6,5 cm. Део правоугаоника је обојен као на слици. Одреди површину обојене фигуре.

uk a

ЗАДАЦИ

12 cm 3 cm

7 cm

6 cm 8 cm

У круг полупречника 4 cm уписан је правилан шестоугао. Наћи обим и површину правоугаоника чије се дијагонале поклапају са двема већим дијагоналама шестоугла.

Наћи обим и површину трапеза АBEF уписаног у правилан шестоугао ABCDEF странице a = √3 cm.

Дужина странице квадрата ABCD је 1 dm. Нека су M и N средине страница АB и BC. Наћи обим и површину трапеза АMNC.

У круг пречника 6 cm уписан је правилан шестоугао. Наћи обим и површину тог шестоугла.

Израчунај обим правилног шестоугла чији полупречник уписаног круга износи ru = 2√3 cm.

МНОГОУГАО

Одредити обим и површину троугла АСЕ чије су странице дијагонале правилног шестоугла ABCDEF странице a.

Правилни шестоуглови су уписани у круг и описани око круга пречника 4 cm. Наћи однос њихових обима и површина.

10.

Око круга полупречника r = 5 cm описан је правилан многоугао обима On = 20 cm. Наћи површину тог многоугла. Најдужа дијагонала правилног осмоугла је 6 cm. Наћи површину тог осмоугла.

12.

Најкраћа дијагонала правилног осмоугла је 2√2 cm. Наћи површину тог осмоугла.

Израчунај површину правилног шестоугла, осенченог на слици, странице x, ако је x = 2 cm.

uk a

14.

У квадрат површине 64 cm2 уписан је правилан осмоугао, тако да је свако друго теме осмоугла средиште сваке странице квадрата. Одредити разлику површина квадрата и осмоугла.

13.

11.

x x

15.

Ако је површина целе фигуре (звезде на слици) P = 3a2√3 cm2, одредити обим осенченог шестоугла у унутрашњости звезде.

a a a

МНОГОУГАО „Незнање није опасно док се не покрене.” Здравко Курник

4.7. Тежишна дуж и тежиште троугла Конструишимо тежишне дужи ta, tb и tc из темена A, B и С троугла. C

B A

uk a

Све три тежишне дужи тог троугла секу се у тежишту троугла. Тежиште троугла увек припада његовој унутрашњости. C

Тежиште Т дели тежишну дуж у размери 2 : 1. СТ : ТС1 = 2 : 1, АТ : ТА1 = 2 : 1, ВТ : ТВ1 = 2 : 1.

B1 T ta A

Тежиште се може дефинисати као средиште или тачка равнотеже.

МНОГОУГАО

ЗАДАЦИ

За дати оштроугли троугао конструисати све тежишне дужи.

Дата су темена В и С троугла ABC и тежиште T. Одреди теме А. У правоуглом троуглу АВС тежишна дуж из темена правог угла С дужине је 6,5 cm, а краћа катета има дужину АС = 5 cm. Одредити дужину катете ВС.

Показати да су темена В и С троугла АВС подједнако удаљена од тежишне дужи АА1.

У једнакокраком троуглу АВС дато је АС = ВС = 30 cm и ∢BAC=30°. Колико је тежиште троугла удаљено од основице АВ?

8. 9. 10.

Конструисати троугао АВС ако је АВ = 4 cm, ВС = 3,5 cm и тежишна дуж СС1 = 2,5 cm.

uk a

Конструисати троугао АВС ако је АВ = 4 cm, АС = 7 cm и тежишна дуж АА1 = 5 cm.

Конструисати троугао АВС ако је дато: а) a, b, ta; б) a, ha, ta; в) a, β, ta. Доказати да су тежишне дужи које одговарају крацима једнакокраког троугла једнаке.

Подударни троуглови имају једнаке одговарајуће тежишне дужи. Докажи.

МНОГОУГАО

„Најважније је стално постављати питања.” Алберт Ајнштајн

4.8. Висине троугла и четвороугла, ортоцентар троугла C

Висина ha из темена А је ортогонална на страницу a = BC. Теорема 4: Праве које садрже висине троугла секу се у једној тачки.

Доказ: Нека су AD, BE и CF висине троугла ABC и нека су A1, B1 и C1 пресечне тачке правих које садрже темена А, B и C троугла АBC, а паралелне су са наспрамним страницама а, b и c.

hc C1

hb c

uk a

Доказаћемо да су тачке A, B и C средишта страница троугла A1B1C1, а тиме и да су висине троугла ABC на симетралама страница троугла A1B1C1. Четвороуглови BCB1A и BCAC1 су паралелограми, јер имају по два пара паралелних страница, па је зато BC = C1A и BC = AB1, односно C1A = AB1. То значи да је тачка A средиште дужи B1C1. Аналогно томе, тачка B је средиште дужи A1C1, а тачка C је средиште дужи A1B1.

Сада није тешко закључити да су праве AD, BE и CF, којима припадају висине троугла ABC, симетрале страница B1C1, A1C1 и A1B1 троугла A1B1C1, јер је свака од тих правих управна на по једној од наведених страница и полови је. Зна се да се симетрале страница троугла секу у једној тачки О, која је центар описане кружнице троугла A1B1C1. Дакле, праве којима припадају висине троугла имају једну заједничку тачку. Тиме је теорема доказана. Та тачка се зове ортоцентар троугла (О = Н), па је: ha ∩ hb ∩ hc = {H}.

МНОГОУГАО

ЗАДАЦИ Два угла троугла су 60° и 72°. Одреди углове које образују висине троугла из темена датих углова.

Висина која одговара краку једнакокраког троугла гради са другим краком угао од 42°. Израчунати углове тог троугла.

У ромбу висина и краћа дијагонала граде угао од 27º. Одреди углове тог ромба.

Израчунати угао CAB троугла ABC ако се зна да висина и тежишна дуж из темена C деле угао ACB на три једнака дела. Спољашњи угао једнакокраког троугла је 72°. Израчунати угао између висине и симетрале унутрашњег угла ако оне садрже исто теме основице. Дат је трапез ABCD. Дуж МN, чији су крајеви средишта основица АB и CD, једнака је полуразлици основица. Колико износи збир углова на већој основици?

Висина полови страницу ромба. Колико износи угао између висина које садрже теме тупог угла ромба? а) 60°; б) 45°; в) 30°; г) 90°; д) није понуђен тачан резултат.

11.

uk a

10.

100

Израчунати висину и површину правоуглог трапеза ако је обим 17,2 сm, дужине основица су а = 4,4 cm, b = 3 cm, а дужина дужег крака је 5 сm.

Ако се висине које одговарају крацима код једнакокраког троугла секу под углом од 48°, онда је збир углова на основици тог троугла: а) 140°; б) 150°; в) 132°; г) 136°; д) није понуђен тачан резултат. Две висине ромба конструисане из темена тупих углова деле једна другу на одсечке чије се дужине односе као 1 : 2. Оштар угао ромба је: а) произвољан; б) 30°; в) 45°; г) 60°; д) 75°.

МНОГОУГАО

Однос висине и тежишне линије које одговарају хипотенузи правоуглог троугла је 24 25 . Однос катета тог троугла је: 2 1 5 а) 43 ; б) 53 ; в) 4 ; г) 3 ; д) 2 .

13.

Висина која одговара хипотенузи дели хипотенузу на одсечке дужине 97 и 16 7 . 12 Краћа катета тог троугла је: а) 97 ; б) 57 ; в) 15 7 ; г) 7 ; д) 2. Ако висина ha и основица АB једнакокраког троугла образују угао једнак 13 угла на основици, онда је дужина дужи CH, где је H ортоцентар троугла ABC, једнака дужини дужи АB. Доказати.

14.

12.

25 144 Висина која одговара хипотенузи дели хипотенузу на одсечке 13 и 13 . 45 50 5 12 60 Дужина те висине је: а) 13 ; б) 13 ; в) ; г) ; д) . √13 √13 √13

16.

Дата су тврђења: а) Тежишна дуж која одговара хипотенузи правоуглог троугла једнака је половини хипотенузе. б) Центар описаног круга троугла налази се у темену троугла ако и само ако је троугао правоугли. в) Два троугла не морају бити подударна ако су две странице и угао наспрам једне од њих подударни одговарајућим елементима другог троугла. г) У једнакокраком трапезу дијагонале су једнаке. д) Висине у троуглу су обрнуто пропорционалне страницама троугла. Која су тврђења тачна?

17.

1 Ако висина ha и основица АB једнакокраког троугла образују угао једнак 3 угла на основици, онда је CH, где је H ортоцентар троугла ABC, једнако: а) 23 АB; б) 12 BC; в) АH; г) АB; д) није понуђен тачан резултат.

uk a

15.

101

МНОГОУГАО

ЗА РАДОЗНАЛЕ Ојлерова права

uk a

У троуглу тежиште, ортоцентар и центар описаног круга јесу колинеарне тачке. Тежиште се налази између ортоцентра и центра описаног круга, а на двапут је већем растојању од ортоцентра него од центра описаног круга. Колинеарност центра описаног круга, тежишта и ортоцентра троугла први је доказао швајцарски математичар Ојлер, те се по њему права одређена тим тачкама зове Ојлерова права. Доказ: Допустимо да права р, одређена центром S описаног круга и тежиштем Т, сече висину AA' у тачки О, а да је А1 средиште странице ВС. Тада је троугао АТО сличан троуглу A1TS, jeр су им једнаки одговарајући углови – углови АТО и A1TS су унакрсни, а углови ТАО и TA1S имају паралелне краке. Како су одговарајуће странице сличних троуглова пропорционалне, то је TO : TS = TA : TA1, a с обзиром на својство тежишта троугла, следи да је TO : TS = TA : TA1 = 2 : 1, односно TO = 2 TS. Тако смо доказали да је тежиште троугла двапут ближе центру круга описаног око троугла него тачки О, у којој права р сече висину AA'. Потребно је, дакле, још доказати да је тачка О ортоцентар троугла. Претпоставимо супротно, тј. да права р преостале две висине сече у тачкама које се разликују од тачке О. Тада би постојале три, или бар две различите тачке праве р на истој страни од тежишта и на истом растојању, што је немогуће. Али, ако је то немогуће, онда је сигурно да тачка О припада свакој од висина троугла. Tо, другим речима, значи да је тачка О ортоцентар троугла и да су тежиште, ортоцентар и центар описаног круга око троугла колинеарне тачке, тј. да припадају истој правој. Tиме је теорема доказана.

T A1

Ојлерова права Ојлерова кружница Ојлерова кружница је кружница која се може конструисати за сваки троугао и садржи девет тачака: подножја тежишних дужи, подножја висина и средишта дужи које спајају темена са ортоцентром. Њен полупречник је двапут мањи од полупречника описане кру102 жнице.

МНОГОУГАО

„Немогуће је да се све доказује.” Аристотел

4.9. Конструктивни задаци – примена подударности троугла 1.

ЗАДАЦИ

Конструисати квадрат ако знамо дијагоналу d.

Конструиши троугао ABC ако је BC = 6 cm, γ = 60°, β = 75°. Конструиши ортоцентар.

Кoнструиши троугао ABC ако је a = 7 cm, b = 4,5 cm и γ = 60° и конструиши тежиште.

Кoнструиши троугао ABC ако је a = 5 cm, c = 4,5 cm и β = 30° и конструиши центар уписане и описане кружнице у тај троугао.

uk a

Конструиши једнакостранични троугао ако је пречник уписане кружнице √3 cm.

Конструиши једнакостранични троугао ако је пречник описане кружнице 6 cm.

5. 7.

Конструисати квадрат чија је површина једнака површини правоугаоника чије су странице a = 3 cm и b = 8 cm.

Конструисати правоугаоник ако је дужина страница a = 4,5 cm, а дужина дијагонале d = 6 cm.

Конструиши ромб ако је дужина његове дуже дијагонале d1 = 5 cm, а оштар угао износи 60°.

10.

Конструисати ромб ако су му познате дијагонале.

103

МНОГОУГАО

11.

Конструисати трапез ABCD ако је дужина основице AB = 4 cm, дужина дијагонале AC = 4,5 cm, а углови на основици су a = 60° и β = 75°.

12.

Конструисати трапез ако су му познате паралелне странице AB = а и CD = b, а унутрашњи углови код темена A и C су 60° и 110°, као на слици.

Конструисати трапез чија је основица AB = 6 cm, висина h = 4 cm и два угла α и β на тој основици. Конструисати трапез ABCD када су дате све његове странице а, b, c, d.

15.

Конструисати троугао АВС ако је АВ = 4 cm, АС = 7 cm и тежишна дуж АА1 = 5 cm.

16.

Конструисати троугао АВС ако је АВ = 4 cm, ВС = 3,5 cm и тежишна дуж СС1 = 2,5 cm.

17.

Конструисати троугао АВС ако је дато a, b, ha.

18.

Конструисати троугао АВС ако је дато b, ta, ha.

uk a

14.

Конструисати делтоид ако су познате његове странице AB = a и BC = b и симетрална дијагонала AC = d.

20.

Конструисати делтоид ABCD ако је AB = 4 cm, BC = 3 cm и угао код темена B једнак 105°.

19.

21.

104

60°

13.

110°

Конструиши паралелограм ABCD ако је дато: АС = 9 cm, ВD = 6 cm, АВ = 7 cm.

22.

Конструисати троугао АВС ако је дато: а) a, b, ta; б) a, ha, ta; в) a, β, ta.

23.

Израчунај дужине висина паралелограма ha и hb ако је његова површина 40 сm2, а странице су 8 сm и 4 сm. Конструиши тај паралелограм.

МНОГОУГАО

„Знатижеља одржава дух младим. Увек постављајте питања, истражујте, откривајте. Знатижељни људи су ведри, увек имају циљеве којима теже, не боје се да откривају нове начине и не боје се изазова.”

Алберт Ајнштајн

uk a

Леонард Паул Ојлер (1707–1783), швајцарски математичар

Леонард Ојлер

„Математика је кључ за целокупно људско знање.“

Леонард Паул Ојлер (Базел, 1707 – Санкт Петербург, 1783) је био швајцарски математичар и физичар. Живео је и радио у Берлину и Санкт Петербургу. Сматра се да је Ојлер један од најзначајнијих математичара 18. века и међу највећим математичарима свих времена. Ојлер је дошао до великих открића у потпуно различитим областима, као што су математичка анализа и теорија графова. Увео је у употребу велики број термина који се користе у савременој математици и унапредио математичку нотацију, посебно у оквиру анализе. Заслужан је за савремени запис математичке функције, а значајан допринос дао је и на пољима механике, оптике и астрономије. У историји математике он се издваја као врло оригинална и значајна личност, а његово име је повезано са великим бројем математичких појмова. Ојлер се бавио скоро свим областима математике: геометријом, анализом, тригонометријом, алгебром, теоријом бројева. Ојлерова права је права која у сваком троуглу пролази кроз три тачке: ортоцентар H, тежиште T и центар описане кружнице O.

105

КРУ Г

5. КРУГ „Нема гране математике, ма како да је апстрактна, која се једног дана не би могла применити на појаве стварног света.”

Николај Лобачевски

Николај Иванович Лобачевски, руски мате-

uk a

матичар, рођен у Новгородској области, поставио је темеље нове геометрије. Уместо познатог Еуклидовог постулата Лобачевски је поставио нови, који гласи: Николај Иванович Лобачевски „Кроз тачку ван праве постоје бар две праве које (1793–1856) су паралелне са том правом“. Колико год изгледало чудно, Лобачевски је доказао да овако добијена геометрија јесте могућа. Показаo је да је могуће искључиво математичком логиком доказати постојање потпуно другачијег света, који ми нисмо у стању да упознамо својим чулима. Ову геометрију Лобачевски је назвао „имагинарна геометрија“ за разлику од „обичне“ или Еуклидове геометрије. Његов рад је прихваћен тек када је Ајнштајнова општа теорија релативности показала да је просторно-временска геометрија у ствари геометрија Лобачевског. Са математичке тачке гледишта Еуклидова геометрија и геометрија Лобачевског две су равноправне геометрије.

106

КРУГ

5. ПОДСЕТИ СЕ Kружница је скуп свих тачака у равни са особином да су подједнако удаљене од

дате тачке О те равни, која се зове центар кружнице.

Круг је део равни ограничен кружницом, а сама кружница припада кругу. Полупречник r је растојање центра од тачке на кружници.

Дуж која спаја две централносиметричне тачке у односу на центар О зове се

пречник.

Круг полупречника r и центром О обележава се са k (O, r).

Тетива је дуж која спаја две тачке на кружници.

uk a

Права која садржи тетиву је сечица. Растојање центра кружнице О од тетиве је централно растојање. Једнаким тетивама одговарају једнака централна растојања.

Тангента је права која додирује круг у једној тачки. Тангента је увек под правим углом на полупречник у тачки у којој додирује кружницу.

Централни угао α

је угао под којим се види тетива из центра. Конвексни централни углови над једнаким тетивама или једнаким луковима су једнаки.

Периферијски угао β је угао под којим се види тетива из било које тачке на кружници. Периферијски углови над једнаким луковима су једнаки. Тангентни угао

је угао између тангенте и тетиве конструисане у истој тачки кружнице и једнак је периферијском углу над том тетивом.

107

КРУ Г Централни угао α је два пута већи од периферијског угла β који одговара истом кружном луку l. α = 2β. Периферијски угао над пречником је прав, то јест β = 90°, јер је α = 180°.

За круг К (O, r) важи: Обим: O = 2r π;

Површина: P = r2 π;

2r π ∙ α = rπα ; Дужина кружног лука: l = 360° 180° 2 r π Површина кружног исечка: Pi = 360° ∙ α = r2∙ l .

uk a

Површина кружног прстена:

P = r22 π – r12 π.

Конструкција тангенте из тачке Т на круг Нека је К(S, r) дати круг и T тачка ван круга. Знамо да је тангента на круг нормална на полупречник круга који додирује. Над дужи ST као пречником треба конструисати круг K1. Пресек кружница k и k1 су тачке D1 и D2. То су додирнe тачкe тангенти t1 и t2 и круга К.

D1 r S

P r D2 t2

108

КРУГ B

Ротација

O 135° D

D' C'

је пресликавање у равни фигуре око центра ротације О за задати угао ротације α. Угао ротације је одређeн величином оријентисаног угла. Оријентиција може бити позитивна или негативна. Позитиван угао ротације има смер супротан од кретања казаљке на сату. Негативан угао ротације има смер у правцу кретања казаљке.

Фигура Ф ротира у подударну фигуру.

При ротацији дужина дужи и величина углова се не мења.

π је ирационалан број који има бесконачно много децимала.

uk a

Таj број најчешће замењујемо приближним вредностима: . π ≈ 3,14 или π ≈ 22 7 Приказаћемо првих хиљаду децимала броја π:

3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494 4592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647 093844609550582231725394081284811174502841027019385211055596 4462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527 12019091456485669234603346810454326648213393607260249141273724 5870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113 3053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218 6117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227 9381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021 7986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812 7145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430 1465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181 5981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281 60963185950244594553469083026542522308253344685035261931188171 0100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287 5546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300 19278766111959092164201989

Напомена: У задацима број π не треба замењивати његовом приближном вредности, осим ако то није посебно наглашено.

109

КРУ Г

ЗАДАЦИ

Тангента круга је права која: а) полови круг; б) сече круг у двема тачкама; в) нема са кругом заједничких тачака;

Тетива је права која: а) сече круг у двема тачкама; б) нема са кругом заједничких тачака; в) има са кругом само једну заједничку тачку. (Шта је тачно?)

Два круга се додирују. Колико имају заједничких тачака? а) ниједну; б) једну; в) две.

Три круга K1 (O1, r1 ), K2 (O2, r2) и K3 (O3, r3) се додирују тако да први круг додирује други, други додирује трећи, а центри им припадају истој правој. Колика су растојања центара кругова: а) O1 и O2; б) O2 и O3; в) O1 и O3?

Два круга K1 (O1, r1 ) и K2 (O2, r2) се додирују споља, а трећи круг K3 (O3, r3) додирује оба изнутра. Ако је r1 = 5 cm и r2 = 7cm, колико је r3? а) r3 = 2 cm; б) r3 = 12 cm; в) r3 = 24 cm.

Центар описаног круга троугла је пресек: а) симетрала углова троугла; б) симетрала страница троугла; в) висина троугла; г) тежишних дужи.

Која од следећих тврђења су тачна? а) Центар уписане кружнице лежи у пресеку висина троугла; б) Центар уписане кружнице лежи у пресеку симетрала углова; в) Центар уписане кружнице лежи у пресеку симетрала страница; г) Центар уписане кружнице лежи у пресеку тежишних дужи.

Које од следећих реченица су тачне? (Заокружи слово испред тачне реченице.) а) Права која пролази кроз центар круга има са кругом само једну заједничку тачку. б) У сваки једнакокраки трапез се може уписати круг. в) Око сваког једнакокраког трапеза се може описати круг.

Нека права сече круг K (O, 4 cm) у двема тачкама А и В тако да се дуж АВ из тачке О види под углом од 120°. Колико је растојање тачке О од тетиве АВ?

10. 110

uk a

г) пролази кроз средиште круга; д) има са кругом само једну заједничку тачку. (Које тврђење је тачно?)

У кругу полупречника r = 5 cm дате су две тетиве AB и CD, дужина дужи AB = 8 cm и CD = 4 cm. Колико је растојање центра круга О од тих тетива.

КРУГ

„Математика може уопштити сваку схему, изменити је и обогатити.” Станислав Улам

5.1. Централни и периферијски угао круга

ЗАДАЦИ

Колики је централни угао ако је периферијски угао над истим луком: , , а) β = 27°; б) β = 38° 42 ; в) β = 107°; г) β = 47° 35 30"?

Ако је централни угао α над кружним луком l, наћи који је то део кружнице за: а) α = 180°; б) α = 45°; в) α = 60°; г) α = 30°.

Око једнакостраничног троугла АВС описан је круг. Над страницом АВ конструисани су периферијски углови ∢x и ∢y са различитих страна дужи АВ. Одредити њихову величину.

5. 6. 7.

uk a

Око квадрата АВСD описан је круг K (O, r). Нека су тачке М и N на кружници са различитих страна пречника АС. Наћи: ∢АМС и ∢АNВ. Дат је периферијски угао АВС од 30° круга пречника 12 cm. Одредити дужину тетиве АС.

Око правоуглог троугла АВС са оштрим углом ∢BАC = α, описан је круг K (O, r). Под којим угловима се виде катете троугла из тачке О? Два пречника АВ и СD круга К (O, r) секу се под углом α. Нека је Р произвољна тачка на луку BD. Одредити: ∢АРС.

111

КРУ Г

У кругу К (O, r) дата је тетива АВ = r и тангента у тачки А. Колики је угао између тангенте и тетиве?

У круг K (O, r) уписан је трапез АВСD где су основице АВ и СD. Ако је дужина крака ВС = 6 cm, колика је дужина крака АD?

Тачка О је центар кружнице. Израчунај угао α на слици.

11.

Дат је квадрат АВCD и нека је тачка О пресек дијагонала квадрата. Страница АВ је хипотенуза правоуглог троугла АВE конструисаног ван квадрата. Колики је ∢ ОEА?

10.

uk a

Ако су AB и CD две међусобно нормалне тетиве кружнице k и ако је ∢CAB = 70°, колики је ∢ABD?

12.

112

α O

C k

70°

КРУГ

„Није довољно имати здрав разум, треба га знати и применити. Образовање је у срећи накит, а у несрећи уточиште.” Аристотел

5.2. Обим круга

ЗАДАЦИ

Ако је полупречник r1 круга K1 два пута мањи од полупречника r2 круга K2, колико пута је обим круга K1 мањи од обима круга K2? a) 2 пута; б) 4 пута; в) 1,5 пута; г) 3 пута.

У круг је уписан једнакостранични троугао странице 6 cm. Колики је обим тог круга?

4. 5. 6. 7.

uk a

Израчунати дужину „таласасте“ линије састављене од полукружница.

1,5 cm 3 cm

3,5 cm

Обим једног круга је 10π cm. Колика је дужина обима круга чији је полупречник: а) два пута већи; б) за 2 cm мањи од полупречника првог круга? Израчунати обим круга описаног око правоуглог троугла чије су катете a = 3 cm и b = 4 cm. Израчунати обим кружнице описане око правоугаоника a и b ако је збир дужина тих страница 17 cm, а разлика њихових дужина 7 cm. За колико се разликују обим круга пречника 7 cm и обим правилног шестоугла који је описан око тог круга? Узети да је π ≈ 22 . 7

113

КРУ Г Колико пута се обрне точак на релацији дужине 91 km и 60 m ако је пречник точка 8 dm? Узети да је π ≈ 3,14.

Пречник точка трактора је 1,4 m. Колики пут пређе трактор за 1 сат ако точак направи 50 обртаја у минути? Узети да је π ≈ 22 . 7

10.

Разлика полупречника два концентрична круга је 3 cm. Израчунати разлику дужина обима оба ова круга.

11.

Полупречник круга је 1 cm. У њега је уписан једнакостранични троугао. Колико процената обима круга износи обим тог троугла?

12.

У кружницу k1 уписан је квадрат, а у тај квадрат уписана је кружница k2. Однос обима кружница k1 и k2 износи: а) √2; б) 2π; в) 32 ; г) √2. 2

uk a

114

r2 r1

КРУГ

5.2.1. Дужина кружног лука ЗАДАЦИ Периферијски угао неког круга је 36°. Који део кружнице је одговарајући кружни лук?

14.

Колико степени има преференцијски угао над кружним луком чија је дужина једнака: а) 1 ; б) 1 ; в) 3 дужине кружне линије? 2 3 8 Кружна линија је подељена тачкама А, В, С на делове у размери 2 : 3 : 4. Наћи углове троугла АВС.

15.

13.

Израчунај дужину кружног лука l, кружнице полупречника r = 4 cm, којем одговара централни угао α величине: а) 75°; б) 120°; в) 220°.

17.

Тетива АВ = 6 cm је страница квадрата уписаног у круг. Тачке А и В деле кружницу на два дела. Колики је мањи лук?

18.

Темена петокраке звезде се налазе на кружници са полупречником r = 5 cm. Који део кружнице се налази између: а)два суседна врха; б) два несуседна врха звезде?

uk a

Тетива АВ круга K (O, r = 6 cm) једнака је полупречнику тог круга. Тангента круга повучена у тачки А сече праву ОВ у С. Израчунај обим фигуре АВС, где је АВ лук кружнице. На слици је фигура АВС осенчена.

20.

19.

16.

Израчунати дужину обима осенчене фигуре, која се састоји од кружних лукова трију кружница, полупречника а и а , као на слици. 2

r O

115

КРУ Г „Не уображавајте уопште да је математика тешка, неразумљива и одбојна за здрав разум. Она је просто идеална реализација здравог разума.” Платон Платон (427–347. п. н. е.), старогрчки филозоф

5.3. Површина круга

ЗАДАЦИ

Одреди обим и површину круга чији пречник износи 4 cm.

Израчунај полупречник и обим круга ако је његова површина 36 π cm2.

uk a

Одредити обим и површину круга чији је полупречник за 2 cm већи од полупречника другог круга чији је пречник 5 cm.

Ако је полупречник r1 круга K1 два пута већи од полупречника r2 круга K2, колико пута је површина круга K1 већа од површине круга K2?

Површина квадрата је 32 cm2. Колика је површина круга који је описан око квадрата?

У круг је уписан једнакостраничан троугао странице 6 cm. Израчунај површину круга.

7. 116

Хипотенуза правоуглог троугла је 5 cm. Колико износи површина круга описаног око тог троугла?

КРУГ

Катете правоуглог троугла су 5 cm и 12 cm. a) Колико износи површина круга описаног око троугла? б) Израчунај површину круга уписаног у тај троугао.

Израчунати површину квадрата уписаног у круг, који је уписан у троугао ABC, ако је дат правоугаоник ABCD, дужине страница 8 cm и 6 cm.

10.

13. 14.

uk a

pr 12.

Површина круга уписаног у ромб странице 10 cm је 16π cm2. Израчунај површину ромба.

11.

Око круга површине 4 π cm, описан је једнакокраки трапез површине 20 cm2. Одредити обим трапеза.

10 cm r 10 cm

Дужина странице ромба је a = 10 cm, а оштар угао је 60°. Колика је површина круга уписаног у ромб? Колики је обим круга два пута већег полупречника од полупречника круга чија је површина P = 144π cm2? Производ дужина полупречника уписаног и описаног круга једнакостраничног троугла је 6 cm. Одредити однос површина описаног круга, троугла и уписаног круга.

117

КРУ Г

5.3.1. Површине делова круга ЗАДАЦИ

17.

Израчунати полупречник кружног исечка чија је површина 10 cm2, а дужина одговарајућег лука 5 cm. Колика је површина обојеног дела круга, као на слици, ако је полупречник круга r = 10 cm?

20.

118

Израчунати осенчену површину на слици.

19.

uk a

18.

Израчунај површину кружног одсечка којем одговара централни угао од 45° круга полупречника r = 2 cm.

16.

Израчунај обим и површину кружног исечка чији је централни угао 120°, a полупречник 50 cm.

15.

O 10 cm

5 cm

2 cm A

У квадрат површине 64 cm2 уписана су четири круга, као на слици. Колика је површина осенченог дела квадрата?

КРУГ

21.

Колико процената правоугаоника заузима осенчена фигура у односу на целу фигуру? а) б) 4 cm 4 cm 2 cm

2 cm

Израчунати површину кружног исечка круга чији је полупречник r = 4 cm и одговарајући централни угао α: а) 45°; б) 150°; в) 180°; г) 1°.

23.

Израчунати површину фигуре ограничену кружним луком АC, коме одговара угао AOC од 90° и изломљене линије АBC, ако је = 2 cm, а тачка B је на средини лука АC.

22.

26.

B D A

Квадрат је дијагоналом и кружним луком подељен на три дела, као на слици. Изразити у процентима површину сваког дела у односу на површину квадрата.

uk a

25.

Дат је квадрат АВСD странице a = 8 cm и два кружна лука са центрима у тачкама В и D, као на слици. Израчунати: а) површину између два кружна лука; б) колико процената заузима та површина у односу на површину квадрата.

24.

Наћи површину кружног прстена на слици ако је AB = 8 cm. O

119

КРУ Г

27.

Израчунати обим и површину фигуре дате на слици ако је АВ = 6 cm и АС = 2 cm. A

Око квадрата странице a = 4 cm описан је круг. Колика је површина осенчене фигуре на слици?

Дат је квадрат површине 36 cm2. У њега су уписана два кружна исечка полупречника једнака половини странице квадрата, као на слици. Одредити површину осенчене фигуре.

30.

Израчунати површину осенчене фигуре дате на слици ако су полупречници мањих полукругова 3 cm, а већих 4 cm.

29.

uk a

28.

31.

120

Дат је квадрат станице 10 cm и три кружна исечка, као на слици. Одредити површину осенченог дела.

10 cm

КРУГ

Дат је квадрат АВСD странице 10 cm. У квадрату је осенчена фигура ограничена дужима АM и СN на дијагонали АС и кружним луковима ВM и DN. Ти лукови су делови двеју кружница са центрима у тачкама А и С и полупречницима једнаким страници квадрата (на слици). а) Наћи површину осенчене фигуре; б) наћи обим осенчене фигуре. D C

10 cm

x A

uk a

33.

Око правилног шестоугла странице a = 4 cm описана је и у њега уписана кружница. Израчунати: а) разлику површина описаног круга и шестоугла; б) разлику површина шестоугла и уписаног круга.

32.

121

КРУ Г „Врло мало разумеју они који разумеју само оно што се може објаснити.” Мари фон Ебнер-Ешенбах

5.4. Ротација Дату дуж AB ротирати око тачке О која не припада дужи, за угао величине: а) α = –60°; б) α = 90°; в) α = –45°.

Дат је троугао ABC и угао α = 120°. Ротирати троугао ABC за дати угао ако се центар ротације поклапа са једним теменом троугла. Какви су троуглови АВС и А1В1С1?

Ротирати квадрат ABCD око тачке О која је ван квадрата, за угао α = 75°.

uk a

3. 4.

122

ЗАДАЦИ

Конструисати квадрат чија три темена припадају трима датим паралелним правама. У правоуглом координатном систему дат је троугао са теменима А (–1, 5) В (–5, 1) и С (–5, 5). Тај троугао се ротира око координатног почетка за угао: а) α = 90°, б) α = 180° и в) α = –90°. Наћи координате темена ротираних троуглова.

У правоуглом координатном систему дат је квадрат АВСD са координатама тачака А (3, 4), В (6, 7), С (3, 10) и D (0, 7). Квадрат ротира око тачке Т за угао α. Наћи координате темена А1В1С1 и D1 ротираног квадрата, ако је: а) Т = А, α = 90°; б) Т (3, 7), α = –90°.

КРУГ

„Открића не долазе сама. Њих доводи велики рад.”

Исак Њутн (1643–1727), енглески научник, физичар и математичар

Исак Њутн

uk a

Исак Њутн (1643–1727) је био једна од најважнијих личности у историји науке и кључна фигура у научној револуцији. Њутн је оставио видљив траг у математици. Ипак, већини је познат по причи о томе како га је јабука која је пала са дрвета инспирисала да формулише теорију гравитације. Њутн је рођен 1642. године и рано је испољио изванредну даровитост за природне и математичке науке. Још на студијама у Кембриџу, темељно је простудирао дела античких математичара, посебно Еуклида и Архимеда, затим Декарта (француског филозофа), као и низа математичара 17. века. Својим делима постигао је револуционарни преокрет у развитку науке и филозофије, при чему су дошле до изражаја његове генијалне способности као експериментатора и теоретичара. Његова остварења у математици убедљиво показују да је проучавање природе непресушан извор математичких надахнућа. Његово дело „Универзална аритметика“ садржи веома важна истраживања о бројевима и једначинама. Јасно је правио разлику између негативних и позитивних бројева; дао је правило о знацима бројева; правио је разлику између целог, рационалног и ирационалног броја и расправљао је каква сва решења једначина постоје. Умро је 1727, у осамдесет петој години живота.

123

ОБРА Д А ПОД АТАК А

6. ОБРАДА ПОДАТАКА „Математика је краљица науке, а аритметика је краљица математике.”

Карл Фридрих Гаус

Јохан Карл Фридрих Гаус био је немачки ма-

uk a

тематичар и научник који је дао велики допринос на многим пољима математике укључујући теорију бројева, анализу, геометрију, као и у областима геодезије, Јохан Карл Фридрих Гаус електростатике, астрономије и оптике. (1777–1855) Сматра се једним од најутицајнијих математичара у историји, а познат је као „принц математичара“ и „највећи математичар од давнина“. Године 1801. написао је књигу „Аритметичка истраживања“ и она је била камен темељац за заснивање теорије бројева као посебне математичке дисциплине. Позната је једна анегдота везана за Гауса док је ишао у школу. Једног дана је учитељ у његовом разреду задао задатак да се саберу сви природни бројеви од 1 до 100. Рачунао је да ће ученицима за решавање овог задатка требати бар два сата. Али, Гаус је успео да га изненади и реши задатак за 3 минута. Решио је задатак са само јединим написаним редом у свесци. Учитељ се изненадио кад је видео тачан резултат, који је износио 5050. Ево како? Гаус је прво груписао првих 100 бројева по паровима: први и последњи број у серији, други и претпоследњи број у серији итд.: (1 + 100), (2 + 99), (3 + 98), ..., (50 + 51). Уочио је да сваки пар има збир 101, а да таквих парова има 50. Дакле, збир првих 100 природних бројева је 50 ∙ 101 = 5050. Захваљујући овом поступку, изведена је формула за израчунавање збира првих n природних бројева: 1 + 2 + 3 + ... + n = n (n + 1) . 2

124

ОБРА Д А ПОД АТАК А

6. ПОДСЕТИ СЕ Прикупљањем, обрадом и анализoм добијених података бави се пoсебан део математике који се зове статистика. Предмет проучавања статистике је обрада масовних података.

Прикупљање података је једна од најбитнијих фаза у истраживањима.

uk a

Без података, или боље рећи без довољно података, истраживање је и непотпуно и немогуће. После прикупљања података следи: мерење, сређивање и обрада података, оцена и анализа, проверавање постављених хипотеза, доношење закључака.

Сређивање података

Подаци записани по редоследу прикупљања, пре него што се уреде по величини или групишу на неки начин, зову се неуређени, негруписани или „сирови“ подаци.

Табеле и графикони се користе да би се графички приказале особине које се добијају из прикупљених серија података. У табелама је представљен однос неких величина, односно скупова података. Графикони и стубичасти или кружни дијаграми приказују податке на разне графичке начине, ради њиховог бољег сагледавања. Да би се из прикупљених података добила информација која нам је потребна, подаци се морају груписати и обрадити.

125

ОБРА Д А ПОД АТАК А Обрада података Груписани квалитативни подаци се могу графички приказати помоћу: стубичастог дијаграма, кружног дијаграма („пите“) и др. У једној групи подаци су исте или сличне вредности посматраног обележја.

Аритметичка средина, медијана и модус

Фреквенција је број појављивања неке одређене вредности xk посматраног обележја, у датом скупу података.

Аритметичка средина – средња вредност или просек бројева x1, x2, ..., xn је број:

x = x1 + x2 + ... + xn . n

Сређена серија података може бити сређена по растућим или опадајућим вредностима.

uk a

Медијана је број који дели серију на два дела. Обележава се са Ме. Ако сређена серија има непаран број података, тада је медијана средњи број у низу.

Ако сређена серија има паран број података, тада је медијана аритметичка средина два средња броја у низу. Модус је вредност која се најчешће јавља у серији, тј. вредност са највећом фреквенцијом и обележава се са Мо.

126

ОБРА Д А ПОД АТАК А

„Онај ко никад није погрешио, никад није покушао направити нешто ново.” Алберт Ајнштајн

6.1. Нумеричка ОБРАДА и графички приказ података 1.

uk a

ЗАДАЦИ

Стубичастим дијаграмом је приказано колико ученика једне школе свира сваки од датих инструмената. Користећи податке са графикона, попуни дату табелу.

10 8 6

Инструмент

Фрула Флаута Клавир

Гитара

Хармоиника

Гитара Клавир

2 Флаута

Хармоника

Фрула

4 0

Број ученика

127

ОБРА Д А ПОД АТАК А

На графикону је приказан број продатих бицикала у једној продавници у прва четири месеца прошле године. а) Ког месеца је продато 17 бицикала? б) Колико бицикала је продато у фебруару? в) Ког месеца је продато највише бицикала?

Април

Март Фебруар

С УСЕ ДНЕ З Е М ЉЕ

Земља

128

У табели је приказан број земаља са којима се граниче неке земље Европе.

uk a

Јануар

Број суседних земаља

Холандија

Србија

Словачка

Шпанија

Швајцарска

ОБРА Д А ПОД АТАК А

Користећи податке из табеле, заврши започети стубичасти дијаграм. 9 8 7 6 5 4 3

1 0 Холандија

Словачка

Шпанија

Швајцарска

У координатном систему графиком је приказан број посета једном музеју. На основу графика попуни табелу.

85 75 65

П55 45 35

uk a

Србија

25 0

Понедељак

Уторак

Среда

Дан

Четвртак

Петак

Субота

Број посетилаца

Понедељак Уторак Среда Четвртак Петак Субота

129

ОБРА Д А ПОД АТАК А

Спроведена је анкета о омиљеном спорту међу ученицима 7. разреда једне школе. Кружним дијаграмом су приказани резултати тог истраживања. Користећи кружни дијаграм, попуни табелу.

Пливање 20%

Кошарка 30%

Фудбал 25%

10%

Тенис

15%

Пливање

20% 25% 30%

У једном одељењу има 34 ученика, од којих је 5 одличних, 10 врлодобрих, 12 добрих, 4 довољна и 3 недовољна.

Фудбал Рукомет

Тенис 10%

Рукомет 15%

Проценат ученика

Спорт

Кошарка

Графиком је приказан број уградње клима-уређаја у једној фирми. На основу графика одреди који број клима-уређаја фирма мора да предвиди да ће уградити 2023. године?

uk a

а) Састави табелу успеха ученика. б) Нацртај стубичасти дијаграм успеха ученика. в) Нацртај у кружном дијаграму процентуални успех ученика.

35 30 25 20 15 10 5

0 2014.

130

2015.

2016.

2017.

2018.

2019.

2020.

2021.

2022.

ОБРА Д А ПОД АТАК А

На графикону је приказан број продатих аутомобила у једној продавници у прва четири месеца ове године. Којег месеца је продато 13 аутомобила? Април Март

Јануар 2

uk a

Фебруар

131

ОБРА Д А ПОД АТАК А „Постоје многе уметности које красе људски ум; ниједна од њих га не украшава тако као уметност која се зове математика.” Билингзли

6.2. Аритметичка средина, медијана и модус ЗАДАЦИ

Марија је имала током године следеће оцене 3, 4, 5, 5, 5 из математике. Коју оцену би требало да добије на крају године? Петар је пет дана мерио висину снега на Копаонику и добијене вредности је уписао у табелу. Колика је просечна вредност висине снежних падавина за пет дана? Дан

uk a

Висина снежних падавина 30,25 cm

Уторак

42,75 cm

Среда

26,75 cm

Четвртак

50,15 cm

Петак

60,10 cm

Понедељак

Колика је средња температура у току прве недеље новембра ако је забележена температура по данима дата у табели? Дан Температура

132

0оC

4оC

10оC

12оC

6оC

5оC

12оC

ОБРА Д А ПОД АТАК А

Број сунчаних дана у месецима приказан је табелом. Колики је месечни просек броја сунчаних дана у години? Месец

10.

11.

12.

Сунчаних дана

Урош је из физике добио следеће оцене: 3, 4, 5 и 3. Која треба да буде његова пета оцена да би просек свих пет оцена био 4?

Душан има просечну оцену општег успеха 5. Коју закључну оцену има из математике?

Из десет предмета Милан има закључене оцене и остварио је просек 4,2. а) Да ли он има бар једну петицу? б) Да ли има бар једну тројку?

У радионици је 4 радника произвело по 15 производа, 8 радника по 12 производа, а 9 радника по 6 производа. Колико је просечно производа урадио један радник? У табели је приказан број ученика осмог разреда једне школе који тренирају кошарку. У којим одељењима је број ученика који тренирају кошарку већи од просека за цео 8. разред? Број ученика у одељењу

Одељење

uk a

10. 11.

Број ученика који тренирају кошарку

VIII1

VIII2

VIII3

VIII4

VIII5

Сваки испит на факултету носи до 100 бодова. Студент је полагао четири испита и остварио просек од 60 бодова. На петом испиту добио је 80 бодова. Колики је његов нови просек? Средња вредност на прва три испита је x1, а на следећа два је x2 . Колика је средња вредност x3 после пет испита?

133

ОБРА Д А ПОД АТАК А

13.

Лука је имао три уписане оцене из математике и просек 3,3 у првом полугодишту. У другом полугодишту има две уписане оцене и просек 4,5. Који просек је остварио на крају године? Коју оцену би требало да добије на крају године? Тамара је пет година отплаћивала кредит за ауто. У табели је приказана промена камате на годишњем нивоу. Колика је средња вредност камате кредита изражена у процентима?

Година 1. година

9,5%

2. година

8,0%

3. година

7,75%

4. година 5. година

17. 18. 134

Недовољан Довољан Добар Врлодобар

Разред 1

Разред 2

6,5%

Одличан

Метеоролог је три дана мерио висину снежних падавина и добијене вредности је уписао у табелу. Колика је просечна вредност висине снежних падавина за та три дана?

16.

Дан

15.

7,25%

Распоред оцена из математике у два разреда приказан је у табели. У којем разреду је постигнут бољи успех из математике?

uk a

14.

Камата

12.

Дан

Висина снежних падавина

Понедељак

8,25 cm

Уторак

12,75 cm

Среда

6,75 cm

На испиту су оцене од 5 до 10. Студент има просек 8,2 на положених 29 испита. Остао му је још један испит. Може ли он поправити просек бар на 8,5? Ана је била врлодобра у првих шест разреда са просеком 4,2. Који највећи просек може да има Ана у целој осмогодишњој школи? У зоолошком врту извршена су мерења слонова (у kg) 3500, 4600, 6000, 7600, 5300, 3900, 5600, 5500, 7100, 4900. Одредити: а) просечну тежину слона; б) медијану; в) за колико kg је најтежи слон тежи од просечне тежине слона.

ОБРА Д А ПОД АТАК А

19.

Одредити медијану ако се зна број чланова у седам породица: 2, 3, 2, 5, 4, 4, 3.

20.

Одредити медијану за број чланова осам породица: 2, 3, 2, 5, 4, 5, 4, 3.

21.

Медијана седам бројева је 3. а) Мора ли један од бројева у серији бити 3? б) Да ли исто важи за серију од осам бројева? Познато је да је медијана неке серије бројева мања од три броја из скупа. Колико највише бројева има та серија?

22.

Одреди средњу вредност и медијану бројева: а) 3, 1, 1, 7, –2; б) 8, –1, 7, –7, 8; в) 4, –3, 5, –6, –6, 3, 4. г) 4, –3, 2, 2, –4, 5, 5, 7, –9, 8.

24.

Одреди средњу вредност и медијану бројева: а) 2, 1, 4, 6, 5, 6, 8, 2; б) –3; 2; 1,4; –3,5; 1; 7; 4,2; 3,8.

23.

У табели су приказани бодови које је Ивана освајала на тестовима из математике.

uk a

25.

Освојени бодови на тестовима из математике 94

а) Колики је просечан број бодова који је Ивана освајала на тестовима? б) Одредити медијану бодова на тестовима.

26.

У табели је приказан број продатих књига у једној продавници за шест дана. Дан

Број

а) Колика је просечна продаја књига по дану? б) Од ког броја је три дана била мања продаја, а три дана је продато више књига? Како се зове та вредност?

135

ОБРА Д А ПОД АТАК А

Графиконом је приказана продаја сладоледа од понедељка до петка у посластичарници.

ПРОДАЈА СЛАДОЛЕДА 500 400 350 300 250 200 150 100

С Дани

27.

Број сладоледа

30.

На контролном задатку ученици су добили следеће оцене : 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5. Одреди модус.

uk a

29.

Одреди минималну вредност израза: a) |x + 3| + |x + 1| + |x – 3| + |x – 2| + |x – 6|; б) |x + 2| + |x – 1| + |x| + |x – 4|.

У једној општини има 800 домаћинстава. Пописом су тражени подаци о броју чланова у домаћинствима (X). Ти подаци приказани су у табели: x

Домаћинства

160

28.

а) Колико се просечно продало сладоледа дневно? б) Ког дана је таква продаја сладоледа да се два дана продаје више од тога?

200

300

100

Који број чланова домаћинства је најчешћи?

31.

Одреди модус обележја x из дате табеле: x

Број појављивања

„Да би се успело, неопходна је дисциплина. Редовност, искреност и истрајност ће вас довести до успеха.” Блез Паскал

136

ОБРА Д А ПОД АТАК А

„Нема ничега у уму, а да претходно није било у чулима, изузев – ума самог.”

Готфрид Вилхем Лајбниц

Готфрид Лајбниц (1646–1716), немачки филозоф и математичар

uk a

Готфрид Вилхем Лајбниц био је Немац лужичкосрпског порекла. „Универзални геније“ који је попут својих славних колега из антике Платона и Аристотела пружио немерљив допринос читавом низу дисциплина, од метафизике, логике и филозофије религије, до математике, физике, геологије и права. Познавао је готово све језике тог доба. Сматра се човеком енциклопедијског знања. Лајбниц је један од најплоднијих проналазача математичких симбола. Захваљујући његовом утицају, почели су се употребљавати знаци „=“ за једнакост и тачка за множење. Од Лајбница потичу и термини: „функција“ и „координате“. Увео је неколико ознака које се користе и данас. Лајбниц је, такође, смислио такозвани бинарни бројни систем, који користи две цифре, 0 и 1, уместо десет, што је омогућило реализовање дигиталних рачунара. Познато је да је Лајбниц разликовао две истине. Говорио је: „Истине ума су нужне, а истине искуства су случајне.“

137

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

„Права поезија и истинска наука имају не само додирних тачака већ и дубоких заједничких црта. Једна од таквих црта јесте откривање и искоришћавање сличности међу специфичним елементима и фактима.” Михаило Петровић Алас

Михаило Петровић Алас био је професор Универзи-

тета у Београду, академик Српске краљевске академије и познати београдски алас. Рођен је 6. маја 1868. године у Београду, недалеко од Конака кнегиње Љубице. Завршио је Прву београдску гимназију у периоду 1878–1885, у генерацији са Милорадом Митровићем, Јованом Цвијићем, Павлом Поповићем и другим великанима, о чему је написан роман и снимљен филм „Шешир професора Косте Вујића“, а затим је уписао Природно-математички одсек Филозофског факултета у Београду. Студије у Београду завршио је 1889. године. После тога, отишао је у Париз ради даљег школовања. Уписао се на једну од најпрестижнијих школа, где је дипломирао математичке и физичке науке, као најбољи студент своје генерације. Докторат је одбранио 21. јуна 1894. године на Сорбони и стекао звање доктора математичких наука. По доласку у Београд, само за четири године, написао је тридесетак радова које је објавио у водећим европским математичким часописима. Овај успех Петровићу доноси велики углед, а убрзо је стигло и велико признање. Са непуних тридесет година бива примљен за дописног члана, а 1899. и за редовног члана Српске краљевске академије. Бира се за почасног члана неколико страних академија. Иако је време универзалних математичара и научника полако пролазило, Петровић је подједнако добро познавао неколико математичких области. Показивао је велико интересовање за практичну страну математике, како се математика може применити у изучавању природних феномена. Зато га многи сматрају за нашег најважнијег ствараоца оригиналне теорије у природној филозофији, математичке феноменологије. Он је поставио правце развоја српске математичке школе на темељима француске математике. Једини је математичар на листи „100 најзнаменитијих Срба“, коју је сачинила комисија састављена махом од академика. Био је врло уважаван и од јавности и од власти као велики научник и велики стручњак. Михаило Петровић је имао богат и занимљив друштвени живот. Био је писац закона и предлога међудржавних споразума, али и изумитељ и власник успешно реализованих патената. Писао је научне и друге радове из математике, али и из других природних наука, пре свега астрономије, теорије релативности и хемије. Свирао је виолину и предводио музичку групу „Суз“. Био је страствен риболовац и велики светски путник и морепловац по северним и јужним морима. Велики математичар и светски путник отишао је тихо, сањајући о неком новом и великом океанском путу. Михаило Петровић преминуо је у Београду 8. јуна 1943, у свом дому на Косанчићевом венцу.

uk a

Михаило Петровић Алас (1868–1943), српски математичар

138

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

7. Решења задатака 1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ 1.1.1. Квадрат рационалног броја 1. а) 1; б) 4; в) 25; г) 100.

2. а) 1; б) 1; в) 0.

3. То су 1, 2, 3 и 4.

8. а) 1 ; 9

9. а) 2 14 ; б) 4 21 ; в) 12 24 25 ; 25

б) 4 ; в) 9 ; г) 9 . 25 25 64

33 г) 4 64 .

1 9 11. а) 3 16 ; б) 6 25 ;

–3

–а

–1

–5

а2 (–а)2 –а2

–1

–25

–9

0 0

4 б) 81;

11 16. а) 36 25 = 125 ;

17. а) 9;

б) 9 ; 4

3 4 9 16 9 16 9 – 16

14. –316,84.

13. Тачна су б) и в).

– 3 4

uk a

10. а) 2,89; б) 5,29; в) 1,2544; г) 0,0169. 12.

в) 9 ; 4

7. а) 1 ; б) 4 ; в) 9 ; г) 25 . 9 25 25 64

4. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. 5. То су само 0 и 1. 6. То су: 16, 25, 36, 49, 64 и 81.

в) –1;

1,2

–2,4

–1,2

2,4

1,44

5,76

1,44

5,76

1 6 в) –2 4 ; г) –10 25 .

–1,44 –5,76

15. а) 49 ;

4 б) 9 ;

25 1 в) 9 · 16 = 56 4 ;

г) –5 1 . 16

г) 4. 18. –33.

19.

–0,25.

20.

21. О = 22,4 m = 2240 cm, P = 31,36 m2 = 313 600 cm2. 22. а) 0; 23. а) –2,21; 27. –2.

11 б) 125 = 1,44.

28. а) 79;

24. x2 = –x2 само за x = 0.

б) –32.

30. а) 4 ∙ 9 ∙ 49 = (2 ∙ 3 ∙ 7)2 = 422;

г) – 9 . 16

29. а) 22 ∙ 32 ∙ 5;

(

)

б) –4,25.

25. 5.

б) 22 ∙ 52 ; 32

б) 576 = 9 · 64 = 3 · 8 2 = 2,42 ; 10 100 100

–4.

26. 0.

в) 32 . 22

( )

в) 1,44 = 1,2 2 = 0,42 . 3 9

139

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

31. a = k ∙ b, a2 = (k ∙ b)2 = k2 ∙ b2 = l ∙ b2. Пример: 12 је дељиво са 3, па је тада 122 = 144 дељиво са 32 = 9 (144 = 9 ∙ 16).

32. а) 1;

б) 100;

34. a2 = ( 4 )2 = 7

33. Тачно је само в) a ≠ 0 ⟹ a2 > 0.

в) 10 000.

( )

b = 1 5 = 13 , b2= 13 2= 132 = 169 = 2 41 ; 64 8 8 8 64 82 p 2 p2 P p c = 3,5 = 35 , c2 = 35 2 = 352 = 1225 = 12,25; d = q , d2 = q = q2 = Q . 10 10 102 100 42 = 16 ; 72 49

()

( )

1.1.2. Кореновање

36. а2 = 4 cm2, па је а = 2 cm.

42. а) 1 ; 3

44. а) 0,6;

1 б) 3 ; 2 б) 7 ;

б) 0,9;

4 в) 5 ; 6 в) 7 ;

г) 100.

39. а) 3;

2 г) 3 . 5 г) 8 .

41. а) 1 ;

в) 1,1;

43.

г) 2,5.

1. 8

4 7 а) 4 ;

45. а) 0,1;

51. а) 2√2 ; б) 2 √3; в) 4 √2; г) 3 √5. 5 3 4 54.

в) 8;

б) 3,4;

г) 11.

в) 2;

г) 4,6.

5 8 12 б) 7 ; в) 13; г) 25 . б) 8 = 2 2 ; в) 1 4 ; г) 2 3 . 3 3 5 4

б) 0,01;

в) 0,09;

52. 3√2.

53. а) 21√2; б) –2√3.

55. √12 + 2 ∙ (√75 – √27) = 2√3 + 2 ∙ (5√3 – 3√3) = 2√3 + 2 ∙ 2√3 = 6√3 = 6 . √3

56.

√3

140

√3

3√6 . 4

57. а) Није тачно, јер је √(–1)(–4) = √4 ≠ √(–1) ∙ √(–4).

г) 0,015.

2 3 49. 2. 50. а) 1 ∙ 2 = 15 ; б) 20; в) 2 6 ; г) 1 3 . 3 3 7 4

48. 6.

46. 0. 47. a) 10; б) 0.

б) 5;

40. а) 1;

б) 20; в) 60;

37. а) 1;

uk a

38. а) 0;

35. a ∈ (0, 1).

б) Није тачно, јер је √(–x)(–y)= √xy , ако је један од бројева негативан, тада је xy < 0, па не постоји корен. в) Није тачно, √(xy)2 = |xy| ≠ xy, |xy| = xy само за бројеве истог знака. г) Тачно је за све x, y ∈ R, |–x| ∙ |–y| = |xy|.

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

58. √36x2y2 = √36∙ √x2 ∙ √y2 = |6| ∙ |x| ∙ |y| = 6x(–y) = – 6xy. 59. а) 5 – √5; 60. а) 3;

б) √10 – √5;

б) √5 + 2;

61. а) 5–√3;

в) √3 + 5;

б) √5–√2;

г) √3 – √2 .

в) √2 – 1;

г) √2 + √5.

в) √3–√2;

г) √5–1.

( 5)2 = ( ( ∙ √2)2 ) 1 – –

– 25 = –12,5. 2

63. То су – (√3)2 = –3 и –

62. (2√5 – 3) (2√5 + 3) = 4 ∙ (√5)2– 6√5 + 6√5 – 9 = 20 – 9 = 11.

1.1.3. Решавање једначина облика х2 = а, a ≥ 0

; ( 3x )2 = 16 25

x1 = + 16 = + 4 , x2 = – 16 = – 4 , 25 25 3 5 3 5 12 12 па је x1 = = 2,4 и x2 = – = –2,4. 5 5

uk a

65.

64. а) x1 = 5 и x2 = –5; б) x1 = 7 и x2 = – 7 ; в) x1 = 4 и x2 = – 4; г) x1 = √6 и x2 = – √6. 9 9

66. x – 2 = 1 или x – 2 = –1. Решења су x1 = 3 и x2 = 1. 67. (3 – x) = + 3, или (3 – x) = –3. Одатле је x1 = 0 и x2 = 6.

68. |2x+1| = 5, па је 2x + 1 = 5 или 2x + 1 = –5. Дакле, 2x = 4 или 2x = –6, односно x1 = 2 и x2 = –3.

69. а) x = 1;

б) x = –2;

в) x1 = 0 и x2 = 5.

70. а) x = – 3 ; 2

б) x1 = –1, x2 = –3;

в) x1 = 6, x2 = –4;

г) x1 = 0, x2 = –4.

71. а) x1 = 3, x2 = –3;

б) x1 = 7, x2 = –3;

в) x1 = 0, x2 = 2;

г) x = –2.

72. |x| = –x за x ≤ 0. 73. Нема, јер је x2 ≥ 0.

141

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 1.2. ИРАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ p

1. Ирационални су они бројеви који се не могу написати као количник q (разломак)

два цела броја p и q, где је q ≠ 0. 2 а) Број 3 је рационалан. 9 б) Број 32 = 9 је рационалан ( 9 = 1 ). в) Број √2 је ирационалан* и не може се написати у облику разломка. г) 2 – 1 = 4 – 1 = 3 је рационалан број. 2 2 2

uk a

*Доказ да је √2 ирационалан број: Претпоставићемо супротно. Нека је √2 рационалан број. Тада се он може написати p у облику разломка: √2 = q . Овај разломак увек можемо написати у облику максимално скраћеног разломка тако да су бројеви p и q узајамно прости. Ако цео разломак p2 квадрирамо, добија се 2 = q2 , па је p2=2q2. Може се закључити да је p2 паран број. Како важи да само квадрат парног броја може бити паран број, закључује се да је и p паран број. Тај број се може записати као p = 2 ∙ k, па је p2 = (2k)2 = 4k2. Одатле следи да је 4k2 = 2q2, односно q2 = 2k2. Дакле, и q је паран број. Како су оба броја p и q парни бројеви, они не могу бити узајамно прости (по претпоставци тврђења). Дакле, полазно тврђење није тачно, па √2 није рационалан број.* (Преузето из уџбеника.)

2. Бројеви √9 и 3,14 су рационални, а –√3, 3√2 и –√8 су ирационални. 3. Сви бројеви сем –√5 су рационални. 4. Тачни су б) и д). Под a) није тачно, на пример: a = –√3 и b = √3, па је a + b = 0 ∈ Q; Под в) није тачно, на пример: √2 ∙ √8 = √16 = 4.

5. г) √3 .

142

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

6. Рационални су: 0,05; 1 ; –3,14; √(–6)2 = 6; √0,01 = 0,1 и –1. 2 Ирационални су: √8 и –√3.

–0,1 + 2 + 1,23 + 1,87 = 5.

9. б) π

( )

2 ∙ (–0,2) ∙ 1 ∙ 1 = 2 ∙ – 2 = – 2 . 5 5 10 25

10. 2√3 = √12; √2 ∙ √3 = √6; 3√2 = √18, па је √2 ∙ √3 < 2√3 < 3√2.

б) не;

в) не;

12. Дати број је:

а) ирационалан;

г) да.

б) ирационалан;

в) ирационалaн;

г) рационалан.

13. д) 37 и 38.

11. а) да;

1.2.1. Квадратни корен који је ирационалан број

uk a

1.2.2. Рачунске операције с квадратним коренима 14. –2,5.

15. б) 0.

16. 0. 17. –0,1.

19. √3 .

20. 2√2 + 5√5.

21. а) 40;

б)

4√5 4 = ; 3√5 3

22. а) 8√2 = 8 ; 5√2 5 23. –0,1.

в)

7√2 7 = ; 6√2 6

б) 7 √2. 6

24. а) √2;

г)

25.

б) 24;

в) 6;

18. 7√2 .

г) 9.

1,1√2 11 = . 0,6√2 6 3. 7

26. √8 + 4 ∙ (3√2 – 5√2) = √2 ∙ 4 + 4 ∙ (– 2√2) = √2 ∙ √4 – 8√2 = 2√2 – 8√2 =– 6√2 = – 6 . 5√2

5√2

27. 2. 28. 5a – c – b = –5.

5√2

29. 1.

30.

– √3 – √2.

31. 1. 32. 2.

34.

– a . b

35. а) 1 11 ; 12

36. 10. 37. 0.

5√2

33. а) 4;

б) 1;

39. 7.

40. 16.

в) 1,8.

б) – 3 . 4

38.

– 2. b

143

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 1.3. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ И БРОЈЕВНА ПРАВА 1. 2.

–1

0 0

– √25

– √9

= √6 4 = √6 3 4√16

√3 √3 2 2 √6 √63

– √1 0

√1

√9

√25

3. 4.

( )

D 3 5

( )

C 6 5

( )

B –2 –1 A 5 – –3 2 4 а) 234 = 2 ∙ 102 + 3 ∙ 101 + 4 ∙ 10⁰; –3

б) 8,062 = 8 ∙ 10⁰ + 6 ∙ 10–2 + 2 ∙ 10–3; в) 30257,109 = 3 ∙ 10⁴+2 ∙ 102 + 5 ∙ 101 + 7 ∙ 10⁰ + 1 ∙ 10–1 + 9 ∙ 10–3.

1.3.1. Поредак у скупу реалних бројева

uk a

в), тј. број 9 . 2 6. √4 . 3

5. Како је √10 ≈ 3,16 и 9 = 4,5 , то се види да је највећи број од понуђених бројева под 2

9 2 = √4,5 = 2,121; √4 + 0,49 = √4,49 = 2,119. Од понуђених бројева највећи број је √5, а најмањи број је √4 + 0,49 .

7. √5 ≈ 2,236; √4,9 = 2,214;

–2√9 је најмањи рационалан, а најмањи ирационалан је –2√5.

10. а) –√25 < 5;

( ) ( )

в) (–2)2 > (–1)2; г) 1 3 2 > 1 9 ; д) (–1)2 = 12. 5 25 б) √6 > –6; в) –1,52 < –√3; г) –2 1 2 > 2 1 . 5 4

9. а) 22 < 5; б) (–3)2 > –32;

11. Прво ћемо написати сваки од бројева у децималном запису: √2 ≈1,41421, а √3 ≈ 1,73205. Преостало је још да израчунамо 3 – 2 = 9 – 2 = 7 ≈ 2,33333. 3 3 3 Израчунајмо апсолутну вредност разлике броја 2 и сваког од понуђених одговора. Од датих бројева најближи броју 2 биће онај број за који је апсолутна вредност споменуте разлике најмања. Дакле, имамо да је: |2 – 1,41421| = 0,58579, |2 – 1,73205| = 0,26795 и |2 – 2,33333| = 0,33333. Из овога видимо да је тачан одговор под в). Број √3 најближи је броју 2.

144

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 12. |1,42 – 3| = 1,04; |4 – √2 – 3| = 0,41; |

81 25 – 3 = 1,2.

Број c је најдаљи од броја 3.

1.3.2. Бројевни интервал 13. Прикажимо оба интервала на бројевној правој (оси):

–2

–1

Унијa двају интервала садржи све бројеве који се налазе у једном или другом интервалу, па је A ∪ B = (–1, 6]. –2 –1

uk a

14. Пресек двају скупова садржи све бројеве који се налазе и у једном и у другом скупу.

10 11 12 13

Дакле, A ∩ B = [–1, 2] ∪ (5, 7].

15. На основу дефиниције отворених и затворених интервала, одмах се види да је:

(

]

[

]

[ )

1 ∉ 1 , 7 , 1 ∈ 0, 3 , 1 ∈ 1 , 3 и 1 ∉ 3 3 3 3 2 3 3 3 па тачан одговор није под а) ни под г).

[ ]

( 13 , 73 ) ,

Како је 7 > 3 , 7 ∉ 0, 3 , ни под б) није тачан одговор. 3 2 3 2 Дакле, сва три броја се налазе у интервалу 1 , 3 , па је тачан одговор под в). 3

[

)

16. Пресек та два интервала једнак је [–4, 3] ∩ [–1, 6] = [–1, 3]. Дакле, садржи пет целих бројева {–1, 0, 1, 2, 3}.

17. в) √15 ∈ (3,1, 4).

18. б) (–1, 1].

19. а) x ∈ (–2, 0,5); б) x ∈ [0,2, 2);

20. а) 2 ≤ y <3;

в) x ∈ [–0,5, 0,5];

б) –1,25 ≤ y ≤ 1,5; в) –0,2 < y < 4;

г) x ∈ [√3, + ∞). г) y ≤ –1,5.

145

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 1.3.3. Децимални запис реалног броја

21. а) 2,25 = 9 ; б) –1,333… = – 4 ; 4 3

в) 0,666… = 2 ; 3

г) 1,666... = 5 . 3

22. а) а = 0,323232... 100а = 32,323232......; 100 а – а = 99 а = 32, па је а = 32 99 .

б) –3,88 < –√15 < –3,87;

24. а) 2,44 < √6 <2,45;

в) –5,66 < –2√8 < –5,65.

23.

7225 б) а = 7,232232232... 1000 а = 7232,232232... 1000; 1000 а – а = 999 а = 7225, па је а = 999 . в) а = 6 . 7 а) 2 < √5 < 3; б) –4 <– √10 < –3; в) 5 < 2√7 < 6; г) –1< – √3 < 0. 5

25. а) 1,41 < √2 < 1,42; б) –2,83 < – √8 < –2,82; в) 3,46 < 2√3 < 3,47; г) –0,85 < – √18< –0,84. 5

б) 14,01;

1,414 = 0,816; 27. а) 1,732

в) 4,24;

г) 0,66.

б) 2,449 = 0,816; 3

в) 1,414 ∙ 1,732 = 0,816; 3

uk a

26. а) 1,10;

1.3.4. Својства рачунских операција у скупу реалних бројева

28. а) 4,5 ≤ x + y ≤ 4,66; б) 2,38 ≤ x – y ≤ 2,54; в) 3,57 ≤ x ∙ y ≤ 3,89;

29. а) 16,34 ± 0,1;

б) 1,78 ± 0,06;

в) 9,86 ± 0,13;

2 г) 2,449 = 0,816.

г) 3,18 ≤ x : y ≤ 3,47.

г) 1,34 ± 0,02.

1.3.5. Приближнe врeднoсти рeaлнoг брoja и рaчунaњe с њимa 30. а) 1,34; б) 1,36; в) 1,36; г) 1,36. 31. а) 45,002;

32. Број Број заокругљен на

б) 45,002; в) 45,003; г) 45,002.

√5

√20

2√5

√45

3√5

две децимале

2,24

4,47

4,48

6,71

6,72

Број заокругљен на три децимале

2,236

4,472

6,708

33. а = 2,3475 ≈ 2,348, b = –1,4234 ≈ –1,423 и c = 0,1379 ≈ 0,138. б) Пре заокругљивања a + b – c = 0,7862 ≈ 0,786. После заокругљивања тај резултат је a + b – c = 0,787.

146

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

1.3.6. Рационалисање имениоца разломка 34. а) √10;

б) √5 ; 5

в) 2√14 ; 7

г) √6 . 3

35. а) √2a;

б) √6ab; 3b

в) 2√2a ; a

г) 2√ab. 3b

1.4. Пропорционалност

5 7 1. (1 – 12 ) x = 105, 12 x = 105, x = 180.

1.4.1. Пропорција и продужена пропорција

2. 0,88 x = 9680, па је цена робе x = 11000 динара.

x динара (120000 – x) динара

Брат од 8 година добија Сестра од 12 година добија

Како се за више година добија више новца, то је директна пропорционалност (па су стрелице у истом смеру). Зато: 12 : 8 = (120000 – x) : x; 12 ∙ x = 8(120000 – x) : 12 ∙ x = 960000 – 8x; 12x + 8x = 960000; 20x = 960000; x = 960000 : 20 = 48000. Брат ће добити 48000, а сестра 72000.

uk a

3. x = 1600.

5. У сувом грожђу има 88% суве материје:

100 : 88 = 5 : x ⇒ x = 4, 4 суве материје у 5 kg. Свеже грожђе садржи 20% суве материје: 100 : 20 = x : 4, 4 ⇒ x = 22 kg.

6. x = 2k, y = 3k, z = 5k, 10k – 9k + 5k = 36, 6k = 36, k = 6, па је x = 12, y = 18, z = 30 и x + y + z = 60.

7. a : b = 3 : 4 = 6 : 8 = 18 : 24; b : c = 6 : 5 = 24 : 20; d : a = 7 : 6 = 21 : 18, па је a : b : c : d = 18 : 24 : 20 : 21.

8. a = 3k, b – c = 5k, c = 2k. Дакле, b = 7k, па је a : b : c = 3 : 7 : 2. x t. 9. 10% p = 0,1p, 20% c = 0,2 c, 30% t = 0,3 t, 100% p = p, a x % t = 100

10.

0,1p = 0,2 c = 0,3t; p = x t. Дакле, p = 3t = x , па је x = 300. 100 100 а) То су бројеви 42 и 18; б) Бројеви су 25 и 10.

11. У легури има 130 грама цинка. 147

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

12. x + y + z = 660 и x : y : z = 4 : 5 : 2; x = 4t, y = 5t, z = 2t, па је 11t = 660, t = 60. Делови су x = 240, y = 300 и z =120.

13. Дужине страница троугла су 14 cm, 48 cm, 50 cm. 14. Одговарајући унутрашњи углови се односе као 3 : 2 : 1. 15. Проценат ученика који уче руски, немачки и енглески језик је 20%, 30%, 50%.

16. Потребно је набавити 160 g бакра и 330 g месинга. Углови троугла су: α = 60°, β = 80°, γ = 40°.

17. α1 + β1 + γ1 = 360°; α1 : β1 : γ1 = 3 : 4 : 2; α1 = 120°, β1 = 160°, γ1 = 80°. β γ 18. α : β : γ = 1 : 13 : 4 ⟹ α1 = 13 = 4 = t ⟹ α = t, β = 13t, γ = 4t.

α + β + γ = 180°⟹ t + 13 t + 4 t =180°, 18 t =180° ⟹ t =10°. Углови су: α = 10°, β = 130°, γ = 40°. Највећи угао је в) β = 130°.

x x 19. 15 + 10 = 1→ x = 6. Када раде оба радника, посао ће се завршити за шест дана.

uk a

x x x 60 20. 20 + 12 + 15 = 1→ x = 12 = 5. Базен ће се напунити за пет сати.

1.4.2. Функција директне пропорционалности y = kx (k  R \ {0}) 21. k = −2.

22. г) (1, 3), (2, 6).

24. в).

25. а) A (−3, 6).

26. y = 2x и y = 21 x су растуће, а

y = −3x је опадајућа функција.

27. y = − 21 x;

148

C (2, −1).

23. а) y = 3x; б) y = −2x.

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

2. Питагоринa теоремa

2.1. Примена Питагорине теореме 1. x = 5 cm. 2. Очигледно је да дати троугао није ни једнакостраничан, нити једнакокраки, јер има

странице различите дужине. Међутим, важи Питагорина теорема: a2 = (0,6a)2 + (0,8a)2; a2 = (0,36 + 0,64)a² = 1,00a². Закључујемо да је тачан одговор под в), тј. да је дати троугао правоугли. квадрату дужине хипотенузе, следи:

3. На основу Питагорине теореме, односно како је збир квадрата дужина катета једнак СА2+ СВ2 = АВ2, x2 + 32 = 52, x2 + 9 = 25, x2 = 25 − 9, x2 = 16, x = 4. СА = 4.

5. x = 15 cm. 6.

4. Дужина друге катете је 5 cm.

c2 = a2 + b2, a2 = 172− 82 = 289 − 64 = 225, a =15 cm.

uk a

7. По Питагориној теореми је: p2+ q2 = r2 ⇒ q = √r2− p2 = √102− 6,382 ≈ 7,7 cm. 8. За правоугли троугао важи Питагорина теорема:

a2+ (2a)2 = c2 = 102, па је a2+ 4a2 = 100, 5a2 = 100, a2 = 20 a = √20 = 2√5. Дакле, катета a = 2√5 cm.

9. Да би дати бројеви били мерни бројеви страница правоуглог троугла, потребно је

да збир квадрата нека два од наведених бројева буде једнак квадрату трећег броја. а) (√2)2+ (√3)2= 2 + 3 = 5 = (√5)2 б) (√3)2+ (2√3)2 = 3 + 4 ∙ 3 = 15 ≠ 42 в) (2√2)2+ (4√2)2 = 4 ∙ 2 + 16 ∙ 2 = 40 = (2√10)2 г) 22+ (2√3)2 = 4 + 4 ∙ 3 = 16 = 42 Тачан је одговор под б). Ова тројка бројева не чини страницe правоуглог троугла.

10. Правоугли троугао је под б), јер је 132= 122 + 52. 11. Површина правоуглог троугла је P = a 2∙ b , па је P = 6 2∙ 3 = 9 cm². 12. О = 24 cm. 149

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

13. Дужина тражене висине је 2,4 cm. 14. Висина над хипотенузом је дужине 4,8 cm. 15. Брод је путујући на исток прешао 2 ∙ 12 = 24 km, а путујући на север прешао је 5 ∙ 14 = 70 km. Од луке је удаљен √242 + 702 = √5476 = 74 km. б) 50;

в) 32.

16. a)12 + 4√2;

2.2. Примена Питагорине теореме на квадрат и правоугаоник 1. Дијагонала квадрата је хипотенуза правоуглог троугла чије су катете две суседне

странице квадрата, тада по Питагориној теореми следи: x2 = 2²+ 2², x2 = 8 ⇒ x = √8 = √4 ∙ 2 = 2√2 cm. Дакле, тражена дужина дијагонале квадрата износи 2√2 cm. Може се користити и формулa d = a √2 = 2√2 cm.

2. Како је d = a √2 , то је a = d = d√2 = 10√2 , a = 5√2 cm. 2 2 √2

uk a

3. Дужине страница треба изразити истим мерним јединицама, 0,4 dm = 4 cm.

Ако се дужина дијагонале обележи са х, после примене Питагорине теореме добија се: х² = 4²+ 2², х² = 20, х = √20 = √4 ∙ 5 = 2√5. Дакле, тражена дужина дијагонале износи d = 2√5 cm.

5. b = 8 cm.

4. d = 25 m.

6. b = 5 cm.

7. a = 6 cm, d = 3b, d2 = a2+ b2; 9b2 = 36 + b2; 8b2 = 36; b2 = 9 ; 2 b = 3√2 cm ≈ 2,12 cm, d = 3b ≈ 6,36 cm. 2

8. d = 2 x √3 . 3

9. Ако је дужина правоугаоника a, а ширина правоугаоника b, тaда је b = 4 a = 40 cm, па је d = 50 cm, а P = 1200 cm2. 3

10. d = 9√2 cm; P = 81 cm2. 11. а) O = 20 cm, P = 21 cm2; б) d = 5√2 cm. 150

12. a = 12 cm, b = 4 cm, d = 4√10 cm.

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

13. a − b = 4; 2a + 2b = 32; a = b + 4; 2b + 8 + 2b = 32; 4b = 24; b = 6 cm; a = 10 cm.

15. a) P = a ∙ b = 972; a ∙ 27 = 972; a = 36 m; 16. Потребно је 1200 плочица.

18. a =12 cm, d =12√2 cm.

б) 2r = d = √362 + 272 = 45 m; 2r = 45 m.

17. d = 10 cm, P = 48 cm2.

19. О2 = 1,4 О1, а2 = 1,4 а1; Р2 = (1,4 a1)2 = 1,96 a12 = 1,96 Р1.

14.

d2 P = ab = 60 cm2= 2 ; d = 2√30 cm. P1 d12 1 P2 = d22 = 4 , па је d1 : d2 = 1 : 2.

Површина се повећала за 96%. 1,96 a12 = 49; a12 = 25; a1 = 5 cm.

20. a1 = 1,3 a, b1 = 1,3 b;

P1 = 1,3a ∙ 1,3 b = 1,69 ab = 1,69 P. Површина ћe се повећати за 69%. d12 = a12 + b12 = 1,69, (a2+ b2) = 1,69 d2, d1 = 1,3 d. Површина ћe се повећати за 69%, а дужина дијагонале ћe се повећати за 30%.

uk a

2.3. Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао 1. a) O = 38 cm; б) h2 = b2− ( a )2 = 95, h ≈ 9,75 cm; в) P ≈ 68,25 cm2. 2

2. О = 8 + 2b = 30, 2b = 22, b = 11cm, b2 = h2+( a )2, h2 =105, h = √105 cm. 2 3. Р = a ∙ ha , 16 = a ∙ 8 , 32 = 8a, a = 4 cm; 2 2

( )

b2= ha2+ a 2; b2 = 82+ 22 = 68; b ≈ 8,25 cm. 2

4. b =10 cm, a =12 cm; ha = 8 cm; a ∙ ha = b ∙ hb; па је hb = 9,6 cm. 5. Како је правоугли једнакокраки троугао, то су му катете једнаке. Ако хипотенузу

обележимо са c, а катете са a, то на основу Питагорине теореме добијамо: c2 = a2+ a2, (√18)2 = 2a2, 9 = a2 ⇒ a = 3 cm. O = a + a + c, O = 3 + 3 + √18, O = 3 + 3 +√9 ∙ 2 , O = 6 + 3√2 . Ако заменимо √2 ≈ 1,41, то се обим датог троугла може израчунати: O ≈ 6 + 3 ∙ 1,41 = 6 + 4,23 = 10,23 cm.

151

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 6. Прво се доказује да су АТ = AT'. Како је троугао ABC једнакокраки, то су углови на

8. P = 36 cm2.

9. Тачка М је удаљена од хипотенузе 17 cm.

7. О = 42 cm.

основици AB једнаки: ∢ABC = ∢BAC. Такође су једнаки углови ∢ABT = ∢BAT' јер су троуглови ABT, ABT' правоугли, односно важи ∢ABT = 180°− 90°− ∢BAC и ∢BAT' = 180°− 90°− ∢ABC. Према томе, троуглови ATB и AT'B су подударни (УСУ), па су и површине једнаке. Треба још пронаћи дужину катете T'B. Како је троугао AT'B правоугли, онда на основу Питагорине теореме следи: AB² = T'B² + AT'² ⇒ T'B² = AB² − AT'² = 5²− 4² = 25 − 16 = 9 ⇒T'B = 3. Површина троугла AT'B је: PAT'B = AT ' ∙ T'B = 4 ∙ 3 = 6. PATB = PAT 'B = 6 cm². 2 2

10. Oднос 1 : 100000 значи да 1 cm на мапи представља 100000 cm = 1 km у природи.

uk a

Страницама a и b троугла на мапи одговарају странице a' и b' одговарајућег троугла у природи са дужинама: a' = 10000 ∙ a = 100000 ∙ 2 cm = 200000 cm = 2 km; b' = 10000 ∙ b = 100000 ∙ 3 cm = 300000 cm = 3 km. Површина правоуглог троугла на мапи означена је са Pm на мапи, а површина троугла у природи са Pp. Тада је Pm = a ∙ b = 2 ∙ 3 = 3 cm2 и Pp = a' ∙ b' = 2 ∙ 3 = 3 km2. 2 2 2 2 Однос површине троугла у природи према површини на мапи је: Pp ∙ Pm = 3 ∙ km2 = 1 ∙ km2 = 100000 cm 2 = 1000002. 2 3 cm2 1 cm2 1 cm Дакле, Pp : Pm = 10000000000 : 1.

(

11. DE = 2EF = 10 cm.

)

12. a =4√2 cm.

13. x2+ x2 = c2 = 100; x2 = 50; x = 5√2 cm; P = x2 = 25 cm2. 2 14. a) МN = 3√2 cm, P = 4,5 cm2; б) МN = √13 cm, P = 3 cm2. 15. Страница MN је половина дијагонале AC = d као средња линија троугла ABC:

MN = 1 d = 1 a√2 = 1 8√2 = 4√2 cm. 2 2 2 Нека је S средиште странице MN. Дуж SP je висина једнакостраничног троугла MNP, чија је страница 4√2 cm, па је SP = 4√2 ∙ √3 = 2√6 cm. 2 Зато је BP = BS + SP = (2√2 + 2√6) cm.

152

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

Према томе, удаљеност тачке P од темена D износи: DP = DB – BP = 8√2 − (2√2 + 2√6) = 6√2 − 2√6 = 2√2 (3 − √3) ≈ 3,58 cm (√2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73).

16. У правоуглом троуглу важи да је c = OA = OB = OC. 2

Важи да je β = ∢ABC = 22° 30' = ∢BCO. (Троугао BCO је једнакокраки.) Угао ∢COD = 45° (Спољашњи угао троугла BCO једнак је збиру два унутрашња несуседна угла). C

( )

Угао ∢DCO = ∢CDO = 45°, јер је угао ∢CDO прав, па је троугао COD једнакокраки. c ∙ hc c2√2 = . OD = CD = hc и c 2 = 2 hc2, hc = c√2 , па је P = 2 2 4 8

uk a

17. ru ∙ ro = 8; 1 ∙ a√3 ∙ 2 ∙ a√3 = 8; a2 = 8; a2 = 48; P = a2√3 = 12√3 cm2. 3 3 6 2 2 4 2.4. Примена Питагорине теореме на паралелограм и ромб 1. Познато је да је површина паралелограма производ странице и одговарајуће

висине Р = a ∙ h. Како је страница 4 cm, висина h се израчунава помоћу Питагорине теореме: AE2+ DE2 = AD2; 12+ DE2 = 32; DE2 = 8; DE2 = √8 = √4 ∙ 2 = 2√2. Према томе, дужина висине h = 2√2 cm. Коначно, површина паралелограма је Р = a ∙ h = 4 ∙ 2√2 = 8√2 cm2.

2. Како је висина ha = DЕ = 6 cm и a = AB = 16 cm, добија се да је: P = AB ∙ ha = 16 ∙ 6 = 96 = AD ∙ hb = 12 ∙ hb; hb = hb = 16 ∙ 6 = 8. 12 Тражена висина је hb = 8 cm.

3. Површина паралелограма је: P = а ∙ ha. Та иста површина износи: P = b ∙ hb. Из једнакости ових површина следи да је b ∙ hb = а ∙ ha. Тражена висина износи: hb = а ∙ ha . b

4. ha = 12 cm и hb = 24 cm.

153

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 5. Значи, оштар угао паралелограма је 30°, па је висина h једнака половини странице

од 8 cm, тј. h = 4 cm. P = 12 ∙ 4 = 48 cm2.

6. а) 54 cm; б) 108 cm2.

7. а) 2,4 cm2; б) 6,8 cm; в) 24 17 cm.

96 8. d1 = 72 cm и d2 = 5 5 cm.

9. Pr = d1 ∙ d2 = 96; d1 = 3 d2; 3d22 = 96; d22 = 265; 2 4 8

10. a√3 = h = 6; a = 12 ∙ √3 = 4√3 cm;

o a

60°

uk a

2 √3 √3 P = a h = 24√3 cm2.

( ) ( )

d2 = 16 cm; d1 =12 cm. a2= d1 2+ d2 2= 100; a =10 cm. 2 2 Pk =100 cm2. Pk : Pr = 100 : 96 = 25 : 24.

11. Pr = 600 cm2; ar = ak = 25 cm; Pk = 625 cm2; Pk − Pr = 25 cm2.

Површина ромба je мања од површине квадрата за 25 cm2.

12. d1 = 2d2; P = d1 ∙ d2 = 16, d1 ∙ d2 = 32; 2d22 = 32; d22 =16, 2 d2 = 4 cm, d1 = 8 cm. a2= d12+ d22 = 80 = 20; a = 2√5 cm, O = 4a = 8√5 cm. 4 4

13. Уписан четвороугао је ромб, па је: P = 30 ∙16 = 240 cm2; 2 x2=152+ 82 = 225 + 64 = 289; x =17 cm. O = 4 ∙ 17 = 68 cm.

14. O = 4a = 16 cm; P = a2√3 = 8√3 cm2. 2

154

h a

d d

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

2.5. Примена Питагорине теореме на трапез 1. a = 25 cm; b = 15 cm. 2. Површина трапеза је P = (a +2c) ∙ h . Висину h израчунаћемо из правоуглог троугла чија је хипотенуза b, а друга катета x = a − b = 2c − c = c = 1 ∙ 2 b = b ; (a = 2c, 3c = 2b). 2 2 2 2 3 3 Дакле, h = √b2 − x2 = b2+ b 2= 8b2 = 2√2 b = 2√2 6 = 4√2 cm. 9 3 3 3 a+c 2c + c 3c 3 2 ∙h= ∙h= ∙ ∙ b ∙ h = b ∙ h = 6 ∙ 4√2 = 24√2 cm2. P= 2 ∙h= 2 2 2 3

( )

3. P = 10 cm2; O = (12 + 2√2) cm.

4. x2 =172− 82 = 289 − 64 = 225, x = 5; b = 35 − 2x = 35 − 30 = 5 cm.

17 cm

uk a

5. P = (a +2b) ∙ h = (10 +27) ∙ 5 ;

17 cm

7 cm 5 cm

P = 42,5 cm2; c = √52 + 32 = √25 + 9 = √34 cm; O = (7 + 5 + 10 + √34 )cm; O = (22 + √34 )cm.

5 cm

c 3 cm

10 cm

6. P = (a +2b) ∙ h ; 31,2 = (20 +26) ∙ h ⇒ h = 2,4 cm;

72+ h2 = b2 ⇒ 72+ 2,42 = b2 ⇒ b = √49 + 5,76 = 7,4 cm.

7. Основица b = 8,2 cm.

8. a = 8, b = 4, h = c√3 = 2√3 cm, O = 20 cm.

2 a+c 12 P = 2 ∙ h = 2 ∙ 2√3 = 12√3 cm2. Површина трапеза је 12√3 cm2.

9. a =12 cm, b = 6 cm, h = 6 ∙ √3 cm, P = 27√3 cm2. 2

155

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

10. Нека је дужина BM = b. Троугао ABM је половина једнакостраничног троугла странице AM = 2b, а ha је висина тог троугла, па је: a = AM√3 = 2b√3 = b√3. Дакле, b = a . 2 2 √3 Површина троугла AMB износи 1 1 PABM = 2 a ∙ b = 2 a ∙ a = a2√3 , а површина трапеза 6 √3 a2√3 PAMCD = PABCD − PABM = a2− = a2 1 − √3 . 6 6 Тражени однос површина трапеза AMCD и троугла ABM износи: a2 (1− √3 ) 1 − √3 6 − √3 PAMCD = 6 = 6 = 6 = 6 − √3∙ √3 = 6√3 − 3 = 2√3 − 1 ≈ 2,46. PABM a2√3 √3 √3 √3 √3 √3 6 6 6

)

(

2.6. Конструкције применом Питагорине теореме

Напомена: Први задатак је урађен детаљно, а за остале је дато само идејно решење.

1. 1. Анализа

uk a

Треба да се конструише троугао АВС. Задани елементи су: страница a, угао β и висина ha. Темена В и С одређују страницу a. Теме А је у пресеку крака угла β и праве p, која је паралелна страници ВС на растојању ha.

2. Конструкција На произвољној правој m одреди се дуж a, чији су крајеви темена В и С. Код темена В конструише се угао β. У произвољној тачки X праве m конструише се нормала n и на њој се одреди задата висина ha. На растојању једнаком тој висини конструише се права p паралелна са правом m. У пресеку праве p и крака угла β налази се теме А. n

β ha m

β B

3. Доказ да троугао АВС садржи задате елементе следи из конструкције.

156

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

4. Дискусија: Задатак увек има решење ако је β < 180°.

2. Конструишу се углови од 60° и 75°.

На произвољној правој одреде се тачке B и C тако да је дужина дужи BC = 6 cm. У тачки B конструише се полуправа Bp тако да је угао CBp = 60°. У тачки C конструише се полуправа Cq тако да је угао BCq = 75°. Пресек полуправих p и q одређује тачку А, треће теме траженог троугла.

a b a c2 = a2 + b2

5. x2 = 52− 32 = 16; x = 4 cm.

4. P1 = x2 = 2P = 2a2; x = a√2. Страница новог квадрата је дијагонала датог.

uk a

Тражени квадрат се конструише над једном катетом x правоуглог троугла чија је друга катета 3 cm, а хипотенуза 5 cm.

6. Конструише се прво троугао ABC : AB = 6 cm, AC = 7 cm, β = 75°.

Кроз тачку С се конструише права p паралелна са страницом АВ, а у тачки А се конструише угао  = 60°. Пресек крака тог угла и праве p одређује тачку D.

7. На конструисаном правом углу DAB одређује се тачка B тако да је AB = a = 4,5 cm, па

затим тачка D тако да је BD = d = 6 cm. Пресек кружнице са центром у тачки B и полупречником DC = 4,5 cm и кружнице са центром у тачки D и полупречником AD одређује тачку С.

8. Троугао АВС је једнакокраки. Зна се да је АС = 5 cm, а углови АВС и АСВ су једнаки и

износе по 30°. У пресеку њихових кракова добија се тачка В. Троугао АDС je подударан троуглу АВС.

9. Узети у обзир да се дијагонале правоугаоника полове. (Користи став ССС.)

10. Троугао АBD је одређен по ставу ССС. Тачку D одређујемо у пресеку дужи BC = AD и

CD = AB.

157

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

11. Троугао АBС је одређен. (Користи се став ССУ.) Тачка С је одређена у пресеку кру-

жнице полупречника АС са центром у тачки А и краком угла од 75° чије је теме тачка B, а други крак је АB. Кружница са центром у тачки А и полупречником BС сече праву која садржи тачку С и паралелна је са AB у тачки D.

12. Троугао АBС је одређен (ССС).

√3

1. а)

√2 0

–-√2

√2

2. а)

√2

uk a

б)

0 √3

√3

√2

1 1

√3

√2

2.7. Конструкција тачака на бројевној правој које одговарају ирационалним бројевима

Тачка D је симетрична тачки B у односу на праву АС.

A√3

√2

A√3

√2

A C 2 √2

E 2,5 √2

D 3 √2

A √3

Други начин конструкције броја √3 : У тачки (0, 1) конструише се кружница полупречника 2. Пресек кружнице и x-осе је тражена тачка √3 , као и тачка −√3 .

158

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

б), в), г) 1 √3 C

√2

B 0

–√3

√3

4–√3

–2√3

3. а) 5 = 22 + 12,

|AB| = √5 cm

√5 је хипотенуза правоуглог троугла АВС 2 са катетама 1 и 2.

uk a

б) 17 = 16 + 1 = 42+ 12, √17 је хипотенуза правоуглог троугла АВС B са катетама 1 и 4. 1

в) 6 = 5 + 1 = (√5 )2 + 12, √6 је хипотенуза правоуглог троугла АВD са катетама 1 и √5 .

|AB| = √5 cm

2 C

г) 27 = 25 + 2 = 52 + (√2 )2, √27 је хипотенуза AD правоуглог троугла АВС са катетама 5 и √2 . Други начин је: √27 = √9 √3 = 3 √3 , па је број √27 три пута већи од хипотенузе правоуглог троугла са катетама 1 и √2 .

|AB| = √17 cm

|AD| = √6 cm 1 A D

|AB| = √2 cm B 1 C 1A

|AD| = √27 cm

159

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 4. 2 2

√8 3

• Конструкција тачака у координатном систему са координатама које су ирационални бројеви y

5. 6. 1 C

uk a

√2

1 1

–√2 1

160

7. 8.

–3

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 2.8. Растојање између две тачке у координатном систему 10

1. б) d(AB) = √(−4 + 1)2 + (−9 + 3)2 = √45; d(BC) = √(−1− 5)2 + (−3 − 10)2 = √205; d(AC) = √(5 + 4)2 + (10 + 9)2 = √442. −4

в) Како тачке не припадају једној правој, дате тачке су темена троугла.

−1 5 −3

2. А (х1, у1) = А (3, 0), В (х2, у2) = В (0, 1); d(АВ) = √(х2 − х1)2 + (у2 − у1)2 =

√(0 − 3)2 + (1 − 0)2 = √10.

−9

3. Довољно је наћи дужину странице квадрата АВ, која је једнака растојању тачака А (4, 2), В (−2, 4).

uk a

О = 4 d(АВ) = 4√(х2 − х1)2 + (у2 − у1)2

О = 4√(4 − (−2))2 + (2 − 4)2 = 4√40 , О = 8√10 ; d = d(АC) = √(4 − (−4))2 + (2 − (− 2))2 = 4√5 .

4. A (3, y) ⇒ y = −x + 1 ⇒ y = 3 + 1 = −2 ⇒ A (3, −2) B (x, 0) ⇒ 0 = −x + 1 ⇒ x = 1 ⇒ B (1, 0) d(AB) = √22 + (−2)2 = 2√2 .

5. d(АВ) = 5 ∙ √5 , d(АC) = 5 ∙ √2 , d(ВC) = 5 ∙ √5 , па је О = 10 √5 + 5 √2 . 6. d(АВ) = 7; d(ВС) = 7; d(АC) = 7√2 .

7. С (8, 4); P = 20.

8. Дужине дужи су: d(АВ) = 4, d(ВС) = 3.

9. k = 5; P = 40.

10. Координате тражених тачака су: R (−8, 6), T (3, −2). 11. Тачка до које је Поља стигла дата је под г) (3, −4). 12. Тачка C има координатe C (0, −2).

161

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

13. Тачкa D има координатe D (−1, −1).

14.

а) (3, −4); б) (−3, 4); в) (−3, −4).

3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ 3.1. Степен броја чији је изложилац природни број

4. а) −1; б) −38; в) 30; г) 38. 6. а) 50; б) 37; в) 43.

3. а) 1; б) −1; в) −8; г) 4; д) 0.

5. а) 3; б) −3; в) −2; г) 2.

2. в) x ∙ x ∙ x ∙ x = x⁴.

7. 27.

8. Број је 5.

1. б) m ∙ m ∙ m = m3.

9. Како је (−2,5)2 > 0, а (−2,5)3< 0, следи да је (−2,5)2 > (−2,5)3.

11. а) −2; б) 3; в) −4; г) −5.

10. а) 72; б) −216; в) −72; г) 108.

12. 14 . 13. а) 24; б) 76; в) 36; г) 16. 17. 47 60 . 18.

в) (23)2∙ 2⁴: 42 = 2⁶.

uk a

15. б) 2⁴∙ (43: 4)3 = 21⁶;

16. а) 52 = 25; б) −5; в) 1.

=− 7 . ( 12 )3− ( 34 )2 = 1323 − 3242 = 18 − 169 = 2–9 16 16

20. x = 1.

21. R > P > Q.

19. а) 0; б) 4.

23. Вредност израза је 28. 27. в) 2⁹ + 21⁹.

24. 3.

22. а) 2⁷∙ 3⁴. 25. в) 312. 26. а) 1; б) 5; в) 2.

28. д) 5761⁰⁰.

29. б) a⁴∙ a3 = a⁷; в) a1⁰: a3 = a⁷. 31. а) a9; б) 8x⁸;

в) x⁴ y⁴;

30. Тачно је: б) a⁴∙ a3 = a⁷;

г) 2x⁴ y3.

33. б) x⁷∙ x3 = x1⁰; г) x11: x⁵ = x⁶.

162

14. a) 3⁵ ∙ 3⁸ = 313.

г) a⁶: a2 = a⁴.

32. б) x⁶∙ x2 = x⁴∙ x⁴ = x⁸.

34. а) 2a⁶;

б) a⁵;

в) a⁶;

г) a⁶.

35. а) 3x; б) x; в) x⁷; г) 1; д) x6; ђ) x2.

36. а) a3;

7 37. а) 4a ; б) 2xyz;

38. Тачно је в) 10a3 b : (−4ab) = −2,5a2.

в) 0;

г) 8а4b2с2.

б) a3;

в) 8a;

г) 3a2.

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 39. а) 15ab⁵ c⁴;

б) 21⁴ a⁶ b⁸;

41. г) 0.

42. б) − x⁸ y⁸.

в) a1⁸ b13.

40. а) 6x⁶ y⁴ z⁵; б) a17 ∙ b12. 44. а) a2 c2 ;

43. x2.

b⁴

б) x1⁰ y⁸.

45. Користећи формуле am ∙ an = am + n и am : an = am − n, добијамо am ∙ an : am − 1 = am + n : am − 1 = am + n − (m − 1) = am + n − m + 1 = an + 1. Тачан одговор је дат под б).

б) 2,4 ∙ 10⁵;

77 51. а) 34 ; б) 10 100 ;

52.

а) A =

в) 0,24 ∙ 10⁶;

33 в) 1000 ;

3 1000

751 г) 100000 .

1 B = 1000000

б) A = 3 ∙10−3

B = 10−⁶

г) 240 ∙ 103.

50. а) 24 ∙ 10⁴;

36 475 C = 10000 D = 10000000

48. д) 2⁴. 49. а) 32x+2.

46. д) x⁴. 47. г) 2001⁰⁰⁰.

C = 36 ∙10−⁴

D = 475 ∙10−⁷

uk a

53. а) 2 ∙ 101 + 3 ∙ 10⁰+ 8 ∙ 10−1;

б) 3 ∙ 103 + 5 ∙ 102 + 3 ∙ 10−3 + 5 ∙ 10−⁴;

в) 1 ∙ 103+2 ∙ 102 + 3 ∙ 101 + 4 ∙ 10⁰ + 5 ∙ 10−1 + 6 ∙ 10−2;

г) 1 ∙ 10⁰ + 5 ∙ 10−3.

54. 23+ 2−2+ 3−2− 32 = 8 + 1 + 1 − 9 = 8 − 9 + 1 + 1 = − 1 + 9 + 4 = − 23 . 22 32 4 9 36 36 3.2. Алгебарски изрази 1. б) a за 2 веће од b.

2. в) x2 = y − 2.

3. а) 17 + 25x; б) 3x + 32; в) 5x; г) 14x – 25. 4. а) 16a + 16; б) a; в) 11a2− a; г) −14a2 + 6a. 5. Тачне су: б) x ∙ 3x + 9x = 3x2 + 9x и г) 2x3∙ 3x⁴ + 2x3 = 6x⁷ + 2x3. 6. а) 8; б) 10; в) −2; г) 27 . 8

7. (−2)3− 3(−2)2 = − 8 −12 = −20. 163

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 8. Бројевна вредност израза је: а) 5; б) 2; в) −40; г) 5. 9. Бројевна вредност израза је: а) −20; б) −6; в) 0; г) 28.

10. Бројевна вредност израза је: а) −6 3 ; 4 12. а) −12a⁴; 13. a) 4x2;

16. а) −2x2+ 8x + 5; 17. − 3.

г) 6x2 y − 4xy2.

б) 24a3 b2;

б) 4xy;

б) 2x3− 6x2 − x + 3;

3.3. Полиноми

14. 6.

а) 163 + 17 х + 25 х = 163 + 42 x; б) 45 х + 133 − 27 х = 18 x + 133; в) 36 х + 124 + 16 х = 52 x + 124; г) 25 х + 36 – 17 х = 8 x + 36.

а) 8y2 – 3y – 5y + 3y2 = 11 y2– 8y; б) −9а2+ 18а − 6а2− 9а = –15 а2 + 9 а; в) 6 ∙ 3y + 3(–y) = 15y; г) 7a – 4a – 3a = 0; д) 0,75a – 0,25a = 0,5a.

a) 8x2– 5x3;

в) 4xy.

б) −16;

б) 4a⁴– a3;

в) 2xy – 2x + y.

4. P(a) + Q(a) = (2a2– a +1) + (8a3 + a2 – 2a + 4)=

2a2– a + 1 + 8a3+ a2– 2a + 4 = 8a3+ 3a2– 3a + 5; P(a) – Q(a) = (2a2– a + 1) – (8a3+ a2– 2a + 4) = 2a2– a + 1– 8a3– a2+ 2a– 4 = –8a3+ a2+ a – 3.

164

15. а) 139 ; б) −32. 2

в) −a2+ 5a.

uk a

г) 8a3b3− ab3 = ab3 (8a2 – 1).

в) –a⁴;

в) 3x2 y⁴− 6x3 y3.

18. а) x3+ 4x2+ 8x + 8;

г) −8 15 . 16

б) −5a2; в) x2 y3;

а) 3y3;

в) −8 8 ; 9

11.

б) −8 3 ; 4

а) 8x2+ 2x – 2; 2x2– 6x +12;

б) 7x3– 8x + 5;

а) P – Q = 5x2– x;

б) P + Q = –x2+ 9x – 2.

–3x3– 2x2 + 7.

19. 2x23+ x11 − x⁴.

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 7. а) 2P(x,y) + 3Q(x,y) = 3x3– xy + 5y2+ 4; a) 9x3 + 2x2 y – 2y3+ 8;

9. а) P + Q + R = 4a2+ 12b2; 10.

2ab2 ∙ 3a2 b3 = 6a3 b⁵.

12.

a) (–2x) ∙ x ∙ (–1) = 2x2. б) 3x ∙ 2y ∙ 6xy = 36x2 y2; 1 y2 = –2y3 в) 6y ∙ – 3 г) 2 ab ∙ 12ab2 = 8a2 b3. 3

б) 6x3– 8x2 y – 9xy2 + 3y3– 4.

б) P – 2Q – R = –9a2– 3b2 + 10c3.

11.

Тачне су: б), в) и г).

)

(

б) 3P(x,y) – 4Q(x,y) = 13x3– 10xy – y2– 11.

13.

a) 2a2;

15.

(a + 5) ∙ (a – 3) = a2 + 5a – 3a –15 = a2 + 2a –15.

16.

Множимо сваки члан првог полинома са сваким чланом другог. 4a(2a2– 3a + 4) – 6(2a2– 3a + 4) = 8a3–12a2+ 16a –12a2+18a – 24 = 8a3– 24a2+ 34a – 24.

17.

а) –2x2 + 10x – 5;

18.

a) 2x2 – 2x;

19.

a) x3– 5x2 + 10x – 8;

20.

5ab – 3a2 + (2a – 4b) (a + b) = 5ab – 3a2+ 2a2– 4b ∙ a + 2a ∙ b – 4b2 = 5ab – 3a2 + 2a2 – 4ab + 2ab2 – 4b2 = –a2 + 3ab – 4b2. Дакле, тачан одговор је под а).

21.

(3a2 – 7b) ∙ (–a + 2b) = –3a3 + 6a2b + 7ab – 14b2. Тачан одговор је под г).

22.

A (–1, –2) = –7.

26.

Вредност израза је –3.

27.

Тачно је г) Р ∙ Q је полином десетог степена.

в) 4a2;

г) 2x2.

14. а) –x2;

б) 2x2 y; в) ab2– 2a2 b2.

б) 2x3 – 6x2– x + 3;

б) 9y3+ 6y2– 6y – 4;

в) –а2 + 5а.

в) 6x3–13x2– 5x;

г) –9y +15.

б) –3x3 + 8x2 – 7x + 2; в) x2 + 16x –10;

г) x3 – 10 x2 + 9x.

uk a

б) 0;

23.

4 a2 b – 3ab2.

24.

–x2 y – 10x2 + 6x – 6y.

25.

x11 – x⁴.

165

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

28.

а) 4x⁴;

29.

Збир ова два производа једнак је 7.

б) 8x3 + 1.

3.4. Квадрат бинома и разлика квадрата На основу формуле за квадрат збира: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 следи да је: (3a + 2b)2 = (3a)2 + 2 ∙ 3a ∙ 2b + (2b)2 = 9a2 +12ab + 4b2. Дакле, тачан одговор је под в).

Тачна једнакост је б) (2 – 3x)2 = 4 –12x + 9x2.

Тачне су: в) (a – 2x)(2a + x) = 2a2– 3ax –2x2 и г) (b + 3c)2 = b2+ 6bc + 9c2.

5ab – 3a2 + (2a – 4b)2 = 5ab – 3a2 + (2a)2 – 2 ∙ 2a ∙ 4b + (4b)2 = 5ab – 3a2 + 4a2 – 16ab + 16b2 = a2 – 11ab + 16b2. Тачан одговор је под а).

г) 4y2 – 12y + 9.

Биноми A, C и E имају једнаке квадрате: А2 = (x – 1)2 = x2 – 2x + 1; C2 = (–x + 1)2 = x2 – 2x + 1; Е2 = (– (x –1))2 = x2 – 2x + 1. Биноми B и D имају једнаке квадрате: B2 = (–x – 1)2 = x2+ 2x + 1 = D2.

139 а) 2 ;

Ed б) –32.

12.

3a2– 6a + 16.

14.

Добија се полином нултог степена. (Вредност је 10.)

17. а) (3a + 18.

1 )2;

Вредност израза је 1.

б) ( 2 –x)2;

13.

Тачна је једнакост под a).

Вредност израза је 11a – 30.

16. Вредност је 0.

в) 16a2– 8 ab + b2;

а) ( a + 2b)2 = a2+ 4ab + 4b2; б) (3x + a )2 = 9x2+ 6ax + a2; в) ( 10 – 2m)2 = 100 – 40m + 4m2;

10.

а) 130; б) 130.

11.

15. Тачна једнакост је под в) 12а.

166

г) 1 x2+1 – 2 x. 9 3

uk a

г) 9 –12x + 4x2 .

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

г) ( 6a – 9c)2 = 36a2– 108a2 c + 81c2 ; д) (15y + 0,4 x3)2 = 225 y2+12x3 y + 0,16x⁶; ђ) (3a + 2,5b)2 = 9a2 + 15ab + 6,25b2.

19.

–2x2 – 15x + 4.

22.

(x + y)2 = x2+ 2xy + y2, па је x2+ y2 = (x + y)2– 2(x ∙ y) = 100 – 1 = 99.

23.

(a + a1 )2 = 9; (a + a1 )2 = a2+ 2a a1 + ( a1 )2 = a2+ 2 + a12 = 9; a2+ a12 = 7.

24.

(n + 1)2– n2 = n2+ 2n + 1– n2 = 2n + 1. То је непаран број.

25.

a) (5,42 + 4,58)(5,42 – 4,58) = 10 ∙ 0,84 = 8,4; б) (107,23 – 7,23)2 = 1002 = 10000.

26.

а) 1002000;

27. Израз има вредност дату под в) 152.

б) –15.

a2+ b2 = 29.

20. Добија се 12ab. 21.

28. Производ бројева је 0,9996.

а) 101 ∙ 99 = (100 + 1)(100 – 1) = 1002–12 = 10000 –1 = 9999; б) 39996; в) 999991.

30.

а) 1052 = (100 + 5)2 = 1002 + 2 ∙ 100 ∙ 5 + 52 = 11025;

uk a

29.

31. Вредност израза је –0,9998.

32.

б) 9409;

в) 998001.

6x2 – 12xy + 6y2 = 6(x – y)2 = 6 ∙ 102 = 600.

33. Бројевна вредност израза је 50 000. 34.

x2 – 4x + 4 – x2 – 4x – 4 = –8x = –8 ∙ 1 = – 2. 4

35.

16x2– 24xy + 9y2–16x2+ 18xy + 8xy – 9y2 = 2xy = 2 ∙ 1 ∙ (–3) = 3. 2

36.

x2– y2 = (x + y)(x – y) = 15 ∙ 4 = 60.

37.

Вредност је 8 . 3

40.

Вредност израза је б) 2.

41.

42.

Вредност разломка је 10,1.

43. Вредност израза је б) 4.

38. Вредност израза је 0.

39.

а) 0.

Вредност разломка је 131 . 259

167

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

44.

Применимо у бројиоцу формулу за квадрат збира (x + √3)2, а у имениоцу формулу за разлику квадрата x2– (√3)2. (x + √3)2 √3 + 3) = = x + √3 После скраћивања добија се да је тачно под а) (x2+ 2x (x – √3)(x + √3) x – √3 (x2 – 3) . 2 . (x2 y2 – 1)

45. Сређени израз је

3.5. Растављање полинома на чиниоце са применом 1.

а) 22 ∙ 3 ∙ 7;

а) 34440 = 3 ∙ 4 ∙ 7 ∙ 10 ∙ 41 = 70; 492 3 ∙ 4 ∙ 41

a(3x –1) ∙ (3x +1).

а) (x –1) ∙ (x +1);

а) ( 1 – x) ∙ ( 1 + x); 2 2

a) 2a2 b ∙ (5a – 1);

а) (y – 2) ∙ (y + 2);

а) 10a3 b – 8a2 b = 2a2 b(5a – 4);

д) 2x3 – 6x2– 8x + 24 = 2 (x3– 3x2– 4x + 12) = 2((x3– 3x2) – 4(x – 3)) = 2(x2 (x – 3) – 4(x – 3)) = 2 (x – 3) ∙ (x2– 4) = 2 (x – 3) ∙ (x – 2) ∙ (x + 2).

в) –2⁵ 32 52.

б) 363 ∙ 175 = 3 ∙ 112∙ 52∙ 7 = 3 ∙ 11 = 4,7. 25 ∙ 539 52∙ 72∙ 11 7

б) (2x – y) ∙ (2x + y);

в) (3a – 4b) ∙ (3a + 4b).

б) 5 ∙ 72;

в) ( 1 – x)2. 2

uk a

б) (x + 7) ∙ (x – 5);

б) x ∙ (0,4x – 1) ∙ (0,4x + 1).

б) (3x – 4) ∙ (3x + 4);

в) (x – 4) ∙ (x + 6);

г) 3(a – b)2;

6) 16x2 – 1 = (4x –1) ∙ (4x +1).

10.

а) x = –4;

11.

а) x = 0;

12.

x=– 7 . 3

13.

а) x2– 7x + x – 7 = (x2 – 7x) + (x – 7) = x(x – 7) + (x – 7) = (x – 7) ∙ (x +1) = 0; x – 7 = 0 или x + 1 = 0; x = 7 или x = –1;

б) x = –2.

б) x = –2 или x = 0.

6) x2+ 3x + 2x + 6 = (x2+ 3x) + (2x + 6) = x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3) ∙ (x + 2) = 0; x + 3 = 0 или x + 2 = 0; x = –3 или x = –2.

168

д) a(x + 2)2.

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 14.

x2 – 4x + 4 – 9 = (x – 2)2– 9 = (x – 2 – 3) ∙ (x – 2 + 3) = (x – 5) ∙ (x + 1) = 0 x – 5 = 0 или x + 1 = 0; x = 5 или x = –1.

МНОГОУГАО

4.1. Појам многоугла и врсте 1. Полигоналне линије су: А, Б и В. б)

в)

а)

2. Многоуглови су: Б и Г.

4. Конвексни многоуглови су: Б, В и Г.

uk a

5. Од датих многоуглова само је овај конкаван.

6. а) Суседна темена темену D су C и E, а несуседна су A, B и F.

б) Суседне странице страници BC су AB и CD, а несуседне су DE, EF и FA. в) Дијагонале из темена А су AC, AD и AE.

7. а) Од четвороуглова то су: паралелограми (квадрат, правоугаоник, ромб и ромбо-

ид), трапези (посебно једнакокраки и правоугли) и делтоиди. б) Правилни је само квадрат.

8. Троуглови могу бити: разностранични, једнакокраки, једнакостранични; затим

оштроугли, правоугли и тупоугли. Само су једнакостранични троуглови правилни.

4.2. Дијагонале многоугла 1.

dn = 21.

а) Dn = 4 ∙ 1 = 2; 2

Dn =

10 ∙ 7 2 = 35.

б) Dn = 6 ∙ 3 = 9; 2

в) Dn = 11 ∙ 8 = 44; 2

г) Dn = 12 ∙ 9 = 54. 2

169

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 4.

а) 2 ∙ 230 = 2 ∙ 2 ∙ 115 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 23 = 20 ∙ 23, па је n = 23; б) 2 ∙ 100 = 8 ∙ 5 ∙ 5, па n не постоји; в) 2 ∙ 560 = 2 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 5 ∙ 2 = 8 ∙ 4 ∙ 7 ∙ 5 = 32 ∙ 35, па је n = 35.

а) n – 3 = 9, n = 12;

б) Dn = 54.

а) 77 дијагонала;

б) 170 дијагонала;

Dn = n(n – 3) = 35 ⇒ n2 – 3n – 70 = 0, n2 – 10n + 7n – 70 = 0 2 n(n – 10) + 7(n –10) = 0 ⇒ (n – 10)(n + 7) = 0 , па је n1 = 10, n2 = –7. Дакле, број страница многоугла је n = 10.

г) 779 дијагонала.

Петоугао.

в) 324 дијагонале;

n(n – 3) = 6n, n – 3 = 12, n = 15. 2

(n – 3) + 1 = 12, n = 14. Mногоугао је четрнаестоугао.

11.

Dn = n(n – 3) = 3n, (n – 3) = 3, n = 9. Многоугао има 9 страница. 2 2 n(n – 3) = 2n, n – 3 = 4, n = 7. 13. а) n =13; б) n = 17. 14. Десетоугао. 2 2n ∙ (2n – 3) = n ∙ (n – 3) + 315, 4n2– 6n – n2+ 3n = 315; 3n2– 3n = 630; n ∙ (n –1) = 15 ∙ 14. 2 2 2 Тражени многоугао је петнаестоугао.

15.

uk a

12.

10.

n – 3 + 50 = (n – 1) ∙ (n – 3) , 2 ∙ (n – 3) + 100 = (n – 1) ∙ (n – 3), 2 100 = (n – 1) ∙ (n – 3)– 2 ∙ (n – 3), (n – 3) ∙ (n – 1 – 2) = 100, n – 3 = 10, n = 13. 17. Укупан број тих дијагонала је n ∙ (n – 7) , односно 50 ∙ (50 – 7) = 1175. 2 2

16.

4.3. Углови мнoгoугла 1.

115°.

S7 = (7 – 2) ∙ 180° = 5 ∙ 180° = 900°. Многоугао има D7 =

(n – 3) = 5; n = 8; па је S8 = (8 – 2) ∙ 180° = 6 ∙ 180° = 1080°.

4. Тачно је а) и б). 170

7∙4 = 14 дијагонала. 2

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 5.

Sn = (n – 2)180° = 10 ∙ 180° = 1800° је збир унутрашњих углова.

n(n – 3) = 189; n(n – 3) = 378; n = 21; S21 = 19 ∙ 180° = 3420°. 2

a) Sn = 1620° = (n – 2)180°, n – 2 = 9, n = 11. 11 ∙ 8 б) Dn = n(n – 3) = = 44. 2 2

8. а) α + α1 = 180°, α1 =180°– 160° = 20°; n = 360° 20° =18.

18 ∙ 15 = 135. 2 Dn = n(n – 3) = 5n; n – 3 = 5, n = 13; S13 = (13 – 2) ∙ 180° = 1980°. 2 2

б) D18 =

10. Ако се продуже краци звезде, они се секу и одређују правилан петоугао.

Спољашњи угао тог петоугла је 72°. Сваки крак звезде је једнакокраки троугао са два угла по 72°, па је угао при врху звезде једнак 180°– 2 ∙ 72° = 36°. Збир тих углова је 5 ∙ 36° = 180°. Тачан одговор је под а).

uk a

4.4. Правилни мнoгoуглови

1. На слици су многоуглови: једнакостраничан троугао, квадрат и правилни петоугао,

шестоугао, седмоугао, осмоугао, деветоугао и десетоугао.

Правоугаоник, ромб и трапез нису правилни четвороуглови.

1 3. α + α1 = 180°, α1 =180° – 110° = 70°, n = 360° 70° = 5 7 . Дакле, такав многоугао не постоји.

αn =

(n – 2) 180° = 170°, n ∙ 180° – 2 ∙ 180° = n ∙ 170°, 10° n = 360°, n = 36. n

5. a) Збир унутрашњих углова: S24 = (24 – 2)180° = 3960°;

б) Један унутрашњи угао има: 180° – 360° : 24 = 180° – 15° = 165°.

6. 7. 8.

360° 18 ∙ (18 – 3) 18 ∙ 15 = 18; D18 = = = 135. 20° 2 2 α9 = (9 – 2) 180° = 140°, D9 = 9 ∙ (9 – 3) = 9 ∙ 6 = 27. 9 2 2 10 ∙ 7 360° a) n =10; б) D10 = = 35; в) φ = = 36°; 10 2 n=

г) α10 =

(10 – 2)∙ 180° = 144°. 10

171

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 9. a) Број страница је 360° : 30° = 12;

12 ∙ 9 б) Број дијагонала је Dn = n (n – 3) = = 54; 2 2 в) Број оса симетрије је 12; г) Збир свих унутрашњих углова је (12 – 2) ∙ 180° = 1800°.

10. Правилни многоугао има 360° : 9° = 40 углова, па је у питању четрдесетоугао. Унутрашњи угао износи 171°, па је збир унутрашњих углова S9 = 40 ∙ 171° = 6840°. Број дијагонала је D40 = 740.

(n – 2) 180° + 10 = (2n – 2) 180° ; (n – 1) 180° – (n – 2) 180° = 10; 180° = 10; n = 18. n 2n n n n

12.

αn' = 1°, па је αn = 179°. Тачан одговор је под а).

13.

αn' = (n – 2) 180° = 144°; αn' = 360° = 36°, n = 10, D10 = 10 ∙ 7 = 35. n n 2

14.

∢BDE = 72°.

16. а) n = 12;

б) S8 = 6 ∙ 180° = 1080°; б) φ = 30°;

в) α8 = 135°, α8' = 45°;

г) φ = 45°.

в) ∢ABO = ∢BAO = 75°, ∢AOB = φ = 30°.

n(n – 3) = 135; n(n – 3) = 27 = 9 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 2 = 18 ∙ 15; n = 18. O = 108. 2

uk a

17.

8 ∙ 5 = 20; 2

15. а) D8 =

11.

18. (n – 3)(n + 3) = 24 = 3 ∙ 8, па је n = 6.

Најдужа дијагонала шестоугла је 2a, па је 2a = 5, O = 6a =15 cm.

4.5. Конструкција правилних мнoгoуглова 1. Конструише се кружница полупречника 5 cm.

Централни угао правилног троугла је φ = 360° = 120°. 3 Полупречницима ОА, ОB и ОC, који међусобно граде углове од 120°, круг је подељен на три дела. Поступак: Полупречник ОА се одреди произвољно. A Из тачке А шестаром се нанесу две дужине полупречника и тако се добија тачка B. Угао АОB једнак је 120°.

172

r=5

Oφ φ

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

На исти начин из тачке B одређује се тачка C. Спајањем тачака А, B и C добија се правилни једнакостранични троугао.

2. а) Нацрта се страница AB. Из тачака A и B опишу се кружнице k1 и k2, полупречника

AB. Пресек тих кружница је теме С, k1 ∩ k2 = C. б) У тачки B дате дужи AB конструише се нормала на дуж AB, а затим се на ту нормалу нанесе дуж AB. Тако се добије теме С. Из темена A и C опишу се кружнице полупречника AB. Њихов пресек је теме D.

3. Страница правилног шестоугла једнака је полупречнику његовог описаног круга. k(A5,a) A5

Поступак: На кружници полупречника a изабере се (произвољно) тачка A1. Из тачке A1, отвором шестара који одговара полупречнику кружнице, наносе се редом тачке A2, A3, A4, A5 и A6, тако да је A1 A2 = A2 A3 = A3 A4 = A4 A5 = A5 A6 = a. k(A6,a) По конструкцији, сви троуглови OA1A2, OA2A3, A6 OA3A4, OA4A5, OA5A6, OA6A1 су једнакостранични и међусобно подударни.

Такође се зна да се правилан шестоугао састоји из шест једнакостраничних троуглова. k(A4,a)

A3 k(A3,a)

uk a

Све странице шестоугла су међусобно једнаке A1 A2 = A2 A3 = A3 A4 = A4 A5 = A5 A6 = a. Сви углови шестоугла су међусобно једнаки ∢A1 = ∢A2 = ∢A3 = ∢A4 = ∢A5 = ∢A6 = 2 ∙ 60° = 120°.

A2 k(A2,a)

4. Конструише се правоугли троугао чији су оштри углови

30° и 60° и дужа катета једнака r. Краћа катета тог троугла једнака је половини странице траженог шестоугла, па је шестоугао одређен.

30°

Поступак: Конструкција је слична као у претходном задатку.

60°

B E

5. Конструише се кружница полупречника 4 cm.

Користи се особина да је полупречник описане кружнице правилног шестоугла једнак његовој страници, r = a. Поступак: Конструкција је слична као у задатку 3.

r=4 a=4

C B

173

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 6. Централни угао правилног шестоугла износи

φ = 360° = 60°. 6 То значи да је карактеристични троугао једнакостраничан и да су странице шестоугла једнаке дужине као и полупречник описане кружнице. Шестоугао је уписан у кружницу полупречника r који је једнак страници a, r = a. а) r = d1 ; б) h = d2 = a√3 2 , па је 2 2 d2 d2 √3 r=a = = . √3 3

Поступак:

7. Конструкција је слична као у задатку 3.

Унутрашњи угао правилног петоугла је: α = (5 – 2) 180° = (5 – 2) 180° = 108°. 5 5 Нацрта се дуж AB дужине 6 cm. Затим се конструише карактеристични троугао петоугла. Угао код темена A је половина унутрашњег угла петоугла, што значи 54°. A5 Такође, угао код темена B износи 54°. Помоћу угломера нацртају се ова два угла, пресек полуправих из темена А и B одређују тачку О, треће теме карактеристичног троугла. Тачка О је центар описане кружнице правилног петоугла чији су полупречници ОА и ОB. Нацрта се та кружница. Из тачке А или B шестаром преноси се дужина странице петоугла а = 6 cm на кружницу да би се добиле тачке C, D и E. Спајањем тачака A, B, C, D, E добија се правилни петоугао.

uk a

A3 S 72°

8. Треба нацртати карактеристичан троугао правилног осмоугла. Сви углови каракте-

ристичног троугла правилног осмоугла могу се конструисати лењиром и шестаром, па је његова конструкција једноставна ако је задата страница а. Унутрашњи угао правилног осмоугла је α = (8 – 2) 180° = 135°, а централни угао је 8 φ = 360° = 45°. 8 O 135° a Симетрале унутрашњих углова су праве које садрже R 135° l тачке: A1O и A2O и секу се у тачки O, која је центар описане кру2 135° жнице. Остале тачке се добијају када се на ту кружницу прене2 45° a се страница а још седам пута. A1 A2

174

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А A5

A4 O

A3 45°

9. Полупречник описане кружнице је r, r =

средини дате дијагонале.

A6 Опис конструкције: Нацрта се дуж A1A2 A7 дате дужине а. У тачкама A1 и A2 конструишу се O углови од 135°. A8 (Може се конструисати угао од 45° као спољашњи угаo.) 45° 45° 45° Нађу се симетрале тих углова. A1 a A2 A1 Пресек симетрала одређује тачку O. Конструише се кружница са центром у тачки O и са полупречником OA1. Други крак угла у тачки A2 сече кружницу у тачки A3. Остале тачке A4, A5, A6, A7 и A8 одређују се наношењем страница а по кружници.

d = 3 cm, а центар описане кружнице је на 2

а) Централни угао је φ = 360° = 30°. 12 Конструише се карактеристичан троугао A1A2O, где је A1O = A2O = d = 3 cm, а угао A1OA2 = 30° (СУС); 2 б) Конструише се карактеристичан троугао A1A2O, где је A1A2 = 3 cm, а налегли угао A1A2O = A2A1O = 75° (УСУ).

11.

uk a

Централни угао је φ = 360° = 45°. 8 10. Изабере се најкраћа дијагонала A1A3 = 2√2 cm. Централни угао карактеристичног троугла A1A2O је φ = 360° = 45°. Угао A1OA2 је прав, па је A1O = r = 2 cm. 8 Нека је M пресечна тачка дужи A1A3 и OA2, па је A1M = √2 cm. Може се показати да је: A1M = OM = √2 cm, A2M = OA2 – OM = (2 – √2 ) cm. Из Питагорине теореме следи да је страница траженог осмоугла дужине (A1A2)2 = (√2 )2+ (2 – √2 )2 = 4(2 – √2 ), A1A2 = 2√2 – √2 cm.

4.6. Обим и површина многоуглова 1.

O = 29,6 cm;

a = 2√3 cm, b = c = d = √3 cm, O = 5√3 cm, h = 1,5 cm, P = 2,25√3 cm2.

P = 25,35 cm2.

P = 62 cm2.

O = (8 + 8√3) cm, P = 16√3 cm2.

175

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 5.

O = 5(3√2 + 2) cm, P = 37,5 cm2.

√3 ru = h, 2√3 = a , a = 4, O = 6 ∙ 4, О = 24 cm. 2

rо = a = 3 cm, О = 18 cm, P = 13,5 √3 cm2.

12.

P = 18 √3 cm2.

13.

P = 8√2 cm2.

14. 6√3 cm2.

15.

Разлика површина је 32(2 – √2) cm2.

3 x2√3 = 3 a2√3 , x2 = a2, x = a. O = 6 ∙ a. 2 2

11.

Страница троугла је краћа дијагонала шестоугла и једнака је a√3, па је O = 3√3 a, P = 3 a2√3. 4 9. Страница уписаног шестоугла је au = 2 cm, а страница описаног шестоугла је aо = 4 √3 cm. Оu = 12 cm, Оo = 8√3 cm. Pu = 6√3 cm2, Po = 8√3 cm2. 3 Однос обима је 2 √3, а однос површина је 4 . 3 3 10. ru = r = 5 cm, P = 1 O ∙ ha = 1 On ∙ ru = 50 cm2. 2 2 (ha је висина карактеристичног троугла правилног многоугла.)

uk a

4.7. Тежишна дуж и тежиште троугла 1.

B1 b

C1 c

a A1

B A

Прво ћемо наћи средиште дужи BC. Нека је то тачка A1. Конструише се права A1T. Растојање A1T се нанесе два пута на праву A1T од тачке Т супротно од тачке A1 и то је тачка A. Заиста, имамо троугао ABC и тачка Т дели тежишну дуж AA1 у односу 2 : 1.

176

T A1

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 3.

ВС = 12 cm.

Нека су ВВ1 и СС1 нормале из темена В и С на АА1. Троуглови ВВ1А1 и СС1А1 су подударни. Доказ: ВА1 = СА1, ∢СС1А1 = ∢ВВ1А1 – прави углови и ∢СА1C1= ∢ВА1В1 – унакрсни углови. Углови ∢C1СА1 и ∢B1ВА1 такође су једнаки, као трећи пар једнаких углова. На основу става УСУ троуглови ВВ1А1 и СС1А1 су подударни, па је и ВВ1 = СС1. Дакле, растојања темена В и С од праве АА1 су једнака.

Нека је СС1 тежишна дуж из темена С. Дуж СС1 је нормална на дуж АВ и једнака је половини дужи АС, СС1 = 1 АС = 15 cm. 2 Тежиште дели тежишну дуж тако да је ТС = 2ТС1, па је растојање тежишта Т од основице АВ једнако ТС1 = 5 cm.

6. Конструише се троугао АBA2, где је АB = 5 cm, АA2 = 10 cm, BA2 = 7 cm.

Конструише се троугао C1BC, где је C1B = 2 cm, BC = 3,5 cm, CC1 = 2,5 cm. Тачка A је симетрична тачки В у односу на тачку C1. Тиме је троугао АBС одређен.

uk a

Тачка A1 је средиште странице АA2, као и странице ВС, ВA1 = A1С. Тиме је троугао АBС одређен.

a) Користи се идеја из претходног задатка. Треба конструисати троугао AA1C. б) Конструише се правоугли троугао AA1А2, где су: ta = AA1, ha = AA2, и прав угао AA2А1. Кружница са центром у тачки A и полупречником a сече праву која садржи тачке A2А1 у тачки B. Треће теме C је тачка симетрична тачки B у односу на тачку A1. в) Конструише се троугао AA1B, где су ta = AA1, a = A1B и β = ∢ ABA1. Нацрта се угао β са 2 теменом у тачки B и једним краком BA1 = a . 2 Тачка A1 је центар кружнице полупречника ta. Та кружница сече други крак датог угла у тачки A. Тачка C је симетрична тачки B у односу на тачку A1.

9. Зна се да је:

b = AC = BC = a и ∢CAB = ∢CBA; AB1 = B1C = 1 b и BA1 = A1C= 1 a, 2 2 AB1 = BA1. Троуглови ABB1 и ABA1 су подударни (СУС) јер је: AB = AB, ∢CAB = ∢CBA, AB1 = BA1. Дакле, важи да је AA1 = BB1.

C b B1

177

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

10. Троуглови ABC и A1B1C1 су подударни, па је: AC = A1C1, AD = 1 AB = 1 A1B1 = A1D1, 2 2 ∢CAD = ∢C1A1D1. На основу става СУС следи да су и троуглови ADC и A1D1C1 подударни, па је стога и CD = C1D1.

C A

B1 D1

132°.

h = 4,8 cm, P = 17,76 cm2.

Како је површина паралелограма једнака производу странице и одговарајуће висине: P = AB ∙ hAB = AD ∙ hAD, тј. P = 16 ∙ 6 = 12 ∙ hb ⇒ hb = 16 ∙ 6 = 8 (P = aha = bhb), 12 тражена висина је hb = 8 cm.

а) 60°.

10.

в) 132°.

11.

б) 60°.

13.

в) 15 . 7

14.

г) АB.

15.

д) 60 . 13

16.

Тачна тврђења су а), б), г) и д).

17.

г) АB.

66°, 66°, 48°.

54°, 126°, 54°, 126°.

Угао CAB је 60°.

36°.

90°.

uk a

4.8. Висине троугла и четвороугла, ортоцентар троугла

12.

а) 4 . 3

4.9. Конструктивни задаци – примена подударности троугла 1.

Троугао ABC је правоугли једнакокраки троугао, са оштрим угловима по 45° и хипотенузом једнакој дијагонали квадрата, па се може конструисати (УСУ). Катете тог троугла су странице траженог квадрата.

2. Користи се став УСУ. Пресек двеју висина одређује ортоцентар. 3. Користи се став СУС. Тежиште је у пресеку тежишних дужи. 4. Користи се став СУС. Центар описане кружнице је у пресеку симетрала страница, а 178

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

центар уписане кружнице је у пресеку симетрала углова.

5. Страница једнакостраничног троугла је дужине 2 √3 ru = 6 cm. 6. Страница једнакостраничног троугла је дужине √3 ro = 6 √3 cm. 7. Треба конструисати квадрат са страницом дужине x = √3 ∙ 8 cm. 8. Конструише се кружница пречника d = 6 cm. Један од њених пречника је и дијагона-

ла АС. Конструишу се кружни лукови, са центрима у тачкама А и С и полупречницима једнаким страници a = 4,5 cm, до пресека са кружницом. Тако се добијају тачке B и D.

9. Троугао АВС је једнакокраки и зна се да је АС = 5 cm, а углови АВС и АСВ су једнаки и

износе по 30º. У пресеку њихових кракова добија се тачка В. Троугао АDС je подударан троуглу АВС.

10. Како су дијагонале ромба нормалне и полове се, треба конструисати правоугли тро-

угао АBS. Катете тог троугла су познате и износе по 1 одговарајућих дијагонала. 2 Друге две тачке ромба C и D су симетричне тачкама А и B у односу на тачку S.

11.

12.

uk a

Конструише се прво троугао ABC: AB = 4 cm, AC = 4,5 cm, β = 75° (СУС). Кроз тачку С се повуче права p паралелна са страницом АВ, а у тачки А се конструише угао α = 60º. Пресек крака тог угла и праве p одређује тачку D.

𝛼𝛼

Како је AB || CD, AD трансверзала, па су углови које она гради са паралелним правама једнаки или суплементни. Углови који належу на крак трапеза су суплементни, па је угао ∢ABC = 70° и угао ∢ADC = 120°. Дуж EC је једнака и паралелна са AD, па је AE = b и EB = а – b.

13.

Конструише се основица AB = 6 cm и права p паралелна са њом на одстојању једнаком датој висини h = 4 cm. У крајњим тачкама A и B основице конструишу се дати углови α и β. Тачке пресека кракова тих углова са правом p јесу тачке C и D.

14.

Паралелним померањем крака d до тачке C добија се дуж CE. Троугао EBC је одређен страницама а – b, c, d (ССС). Паралелограм AECD са страницама b и d лако се конструише. Задатак је могућ и има само једно решење ако дате странице испуњавају услов за конструисање троугла, тј. ако је а – b < c + d и а – b > d – c.

179

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

15.

Конструише се троугао АBA2, где је АB = 5 cm, АA2 = 10 cm, BA2 = 7 cm (ССС). Тачка A1 је средиште странице АA2, као и странице ВС, ВA1 = A1С. Тиме је троугао АBС одређен.

16. Конструише се троугао C1BC, где је C1B = 2 cm, BC = 3,5 cm, CC1 = 2,5 cm (ССС). Тачка A је симетрична тачки B у односу на тачку C1. Тиме је троугао АBС одређен. 17.

Конструише се права p и на њој две тачке B и C тако да је дужина дужи BC = a. Нека је права q ∥ p на растојању ha од ње. Круг са центром у C и полупречником b сече праву q у трећој тачки траженог троугла, тачки А, тј. K (C, b) ∩ q = A. Задатак има два решења ако је b > ha; ако је b = ha, задатак има једно решење; ако је b < ha, задатак нема решења.

18.

19. 20.

Правоугли троугао ADA1 са катетом AD = ha и хипотенузом ta је одређен (ССУ). Кружница са центром у тачки A и полупречником b сече праву која садржи тачке A1 и D у тачки C. На истој правој је и тачка B, са особином да су дужине дужи CA1 и A1B једнаке. Задатак има два решења уз услов ta > ha и b > ha. Треба прво конструисати троугао ABC коме знамо три странице: a, b и d (ССС). Тачка D се одређује као симетрична тачка тачки B у односу на осу AC.

uk a

Конструише се прво троугао ABC јер су познате две странице и њима захваћени угао (СУС). Тачка D је симетрична тачка тачки B у односу на осу AC.

21. Искористи се задатак 10 и став ССС.

22. а) Искористити идеју из задатка 16. Треба конструисати троугао AA1C.

б) Конструише се правоугли троугао AA1A2, где су: ta = AA1, ha = AA2 и прав угао AA2A1. Кружница са центром у тачки A и полупречником a сече праву која садржи тачке A2A1, у тачки B. Треће теме C је тачка симетрична тачки B у односу на тачку A1. в) Конструише се троугао AA1B, где су ta = AA1, a = A1B и β = ABA1 (ССУ). 2 Нацрта се угао β са теменом у тачки B и једним краком BA1 = a . 2 Тачка A1 је центар кружнице полупречника ta. Та кружница сече други крак датог угла у тачки A. Тачка C је симетрична тачки B у односу на тачку A1.

23. P = a ha = b hb = 40 cm2; ha = 40 = 5 cm, hb = 40 = 10 cm. 2 4

Нацрта се дуж AB = 8 cm и са њом права p паралелна са AB на растојању ha = 5 cm. Кружница са центром у тачки A и полупречником AD = 4 cm сече праву p у тачки D. Тачка C је на правој p и CD = 8 cm.

180

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

5. КРУГ 1.

Тачно тврђење је д).

а) r1 + r2;

б) Центар описаног круга троугла је пресек симетрала страница троугла.

б) Центар уписане кружнице лежи у пресеку симетрала углова.

Само под в). Око сваког једнакокраког трапеза се може описати круг.

Растојање центра круга О од тетиве АВ је 2 cm.

Тачно тврђење је а).

в) r1 + 2r2 + r3.

Тачно тврђење је б).

б) r3 = 12 cm.

10.

б) r2 + r3;

Растојање d центра круга О од тетива дужине l израчунава се применом Питагорине теореме, па је r2 = l 2 + d2, d2 = r2– l 2. 2 2 AB 2 = 4 cm, dАВ2 = 52– 42 = 9, dАВ = 3 cm. CD 2 = 2 cm, dСD2 = 52– 22 = 9, dСD = √21 cm.

( )

uk a

( )

5.1. Централни и периферијски угао круга α = 2β. а) α = 54°;

б) α = 77° 24’;

1. 2.

360°: α = О : l . 1 1 а) l = 2 О; б) l = 8 О;

∢x = 60°, ∢y = 120°.

5. 6. 7.

в) α = 214°;

г) α = 95° 11’.

1 в) l = 6 О;

1 г) l = 12 О.

∢АМС = 90°, ∢ АNВ = 45°.

Одговарајући централни ∢АОС је 60°. Троугао OAC је једнакостранични, јер је: ОА = ОС = r = 6 cm и ∢АОС = 60°. АС = АО = r = 6 cm.

Катета АС се види под углом ∢АОС= 180°– 2α, а катета ВС се види под углом ∢ВОС = 2α.

Централном углу ∢AОC = 180°– α (суплементни угао са α) одговара периферијски угао ∢АРС = 180°– α = 90°– α . 2 2

181

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 8.

Троугао ОАВ је једнакостранични, па је централни ∢АОВ = 60°. Нека је М средина тетиве АВ. ∢АОМ = 30°. Угао ∢АОМ и угао између тангенте и тетиве јесу углови са нормалним крацима, па су једнаки. Дакле, угао између тангенте и тетиве једнак је 30°.

10.

Трапез је једнакокраки, па је АD = ВС = 6 cm. Доказ: ∢САВ = ∢DСА = α; ∢DВА = ∢СDB = β су углови са паралелним крацима. Периферијски углови ∢ВАС = α ∢ВDС = β су једнаки као углови над тетивом ВC. Периферијски углови ∢DАС = ∢DВС = β су једнаки као углови над тетивом CD. Углови на основици AB су једнаки, јер је: ∢DАB = ∢DAС + ∢СAB = ∢СBD + ∢DBA = ∢СВA. Дакле, краци трапеза су једнаки.

Нека је тачка S центар кружнице k (S, r = АS) описане око правоуглог троугла АВE, па је АS = SВ. Угао ∢АОВ је прав, јер је то угао између дијагонала квадрата. То значи да је тачка О на кружници k (S, r = АS) и да је угао ∢ОSA прав. Тај угао је централни угао над тетивом ОA, а ∢ОEА је периферијски угао над истом тетивом ОA. Дакле, ∢ОEА = 45°.

11.

uk a

Како права m пролази кроз центар О круга, повежимо тачке О и С. Tроугао ВОС је једнакокраки, са угловима на основици по 50°, па је наспрам основице ∢BOC = 80°. Овај угао је централни угао над луком ВС, па је периферијски угао над истим луком α = 40° (слика лево).

C k

12.

182

70°

50°

B D

Троугао ASC је правоугли, па је ∢ACS ≅ ∢ACD = 90°– 70° = 20°. Периферијски углови ACD и ABD су углови над истим луком AD, па су једнаки. Дакле, ∢ABD = 20° (слика десно).

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

5.2. Обим круга 1 Из услова задатка је r1 = 2 r2. Да бисмо израчунали колико пута је обим O1 круга K1 мањи од обима O2 круга K2, потребно је израчунати однос: 1 2 ∙ 2 r2 π 1 O1 2r1 π O2 = 2r2 π = 2r2 π = 2 .

2 √3 ro = 3 h = 3 a = 2√3; O = 4π√3 cm. 1 l = 2 (O1 + O2 + O3 ). 2r1 = 3, 2r2 = 1,5 2r3 = 3,5. O1 + O2 + O3 = 3π + 1,5 π + 3,5π = 8π. l = 4π ≈ 12,56 cm.

а) O1 = 20π cm; б) O2 = 6π cm.

5 5 c2 = a2+ b2; c2 = 25 ⇒ c = 5; r = 2 ; O = 2 ∙ 2 ∙ π = 5π cm.

a + b = 17, a – b = 7, па je a = 12, b = 5. d2 = a2+ b2 = 122+ 52 = 169; d = 13, d = 2r; O = 2rπ = 13π cm.

uk a

Дакле, обим O1 круга K1 је два пута мањи од обима O2 круга K2: 1 O1 = 2 O2. Тачан је понуђени одговор под а).

Обим круга је O1 = 7π ≈ 22 cm. Полупречник круга уписаног у шестоугао једнак је висини карактеристичног троугла тог √3 шестоугла, односно a 2 = h = ru. √3 Дакле, дужина странице шестоугла је a = 7 3 cm, па је обим тог шестоугла O2 = 14√3 ≈ 24,25 cm. Тражена разлика обима је 2,25 cm.

8. 11.

36250 пута.

13,2 km.

10.

6(r1 – r2)π = 6π ≈ 18,84 cm.

OK = 2rπ ≈ 2 ∙ 3,14 = 6,28 cm; a = r√3 ≈ 1,73, па је OT = 3 ∙ 1,73 = 5,19 cm. OT : OK = 5,19 : 6,28 = 0,8169; OT OK ∙ 100% = 81,69%.

183

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

12.

Обими кружница односе се као њихови полупречници: √2 a O1 : O2 = 2r1 π : 2r2 π = a 2 : 2 = √2 a √2 2r1 = a√2 ⇒ r1 = a 2 , 2r2 = a ⇒ r2 = 2 . Тачан одговор је под г).

(

)

5.2.1. Дужина кружног лука 1 Кружни лук је 5 кружнице.

14.

а) 90°;

15.

Углови троугла су: код темена А је 60°, код темена В је 80°, а код темена С је 40°.

16.

rπα 4π ∙ 75° 5π а) l = 180° = 180° cm = 3 cm; 8π 4π ∙ 120° б) l = 180° cm = 3 cm; 44π 4π ∙ 220° в) l = 180° cm = 9 cm.

в) 67°30'.

uk a

б) 60°;

13.

17. Кружница је описана око тог квадрата и њен полупречник је једнак половини дијаго-

нале квадрата r = 3√2 cm. Мањи лук АВ је 1 1 3 4 О = 4 ∙ 2 ∙ 3√2 π cm = 2 √2 π cm. а) 2π cm; б) 4π cm.

18. 19.

Троугао ОАВ је једнакостраничан, па је ∢АОВ = 60°. Троугао ОАС је правоугли и ∢АСВ = 30°. Зна се да је угао између тангенте АС и тетиве АВ једнак половини централног угла над тетивом АВ, односно ∢САВ = 30°. Дакле, троугао АСВ је једнакокраки и АВ = ВС = r = 6 cm. Катета АС је висина једнакостраничног троугла странице 1 1 2 r = 12 cm, па је AС = 6√3 cm. Лук АВ је 6 О = 6 ∙12π = 2π. Дакле, обим тражене фигуре је (2π + 6 + 6√3) cm.

20.

184

O=2

a 1 3a π+ 2aπ = π. 2 4 2

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

5.3. Површина круга Како је пречник круга 2r = 4 cm, то је његов полупречник r = 2 cm. Заменимо полупречник у формуле за обим и површину: О = 2rπ = 2 ∙ 2π = 4π cm² ≈ 4 ∙ 3,14 = 12,56 cm; P = r2π = 2² ∙ π = 4π ≈ 4 ∙ 3,14 = 12,56 cm².

r = 6 cm, O = 12 π cm.

Означимо два круга са K1 и K2. Пречник круга K2 износи 2 r2 = 5 cm, тј. r2 = 2,5 cm. Како је полупречник r1 већи за 2 cm од r2, то је r1 = 2 + r2 = 2 + 2,5 = 4,5 cm. Сада можемо израчунати површину круга K1: P1 = r1² π = 4,5² π ≈ 20,25 ∙ 3,14 = 63,585 cm². Дакле, површина траженог круга износи 63,585 cm².

uk a

P1 = r12π = (2r2)2π = 4r22π = 4. P2 r22π r22π r22π

На основу услова задатка важи r1 = 2 ∙ r2. Да бисмо израчунали колико пута је површина круга K1 већа од површине круга K2, морамо израчунати однос:

Површина круга K1 је четири пута већа од површине круга K2, Р1 = 4 ∙ Р2. a = √32 = 4√2, 2 ∙ r = d = a√2 = 8, r = 4cm, P = 16π cm2.

2 2 h = a√3 = 6√3 = 3√3; r = h = ∙ 3√3 = 2√3 cm; 3 3 2 2

P = r2 π = (2√3)2 π =12 π cm2.

P = 6,25π cm2.

c 13 169 а) a = 5 m, b =12 m, c = √25 + 144 = 13 m; r = = m; P = π cm2; 2 2 4 5 + 12 – 13 б) r = a + b – c = = 2 cm; P = 4π cm2. 2 2 4 AC = √36 + 64 = 10; r = a + b – c = = 2 cm; d = 2r = 4 cm; 2 2 d2 Pk = = 8cm2. 2

9. 10.

r2 π = 4 π cm, r = 2 cm, па је h = 4 cm.

185

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А P = a + b ∙ h = 20 cm2, a + b = 10 cm, 2 a + b = 2c, c = 5 cm, O = 20 cm.

12.

r = 5√3 . 2

11.

r = 4 cm.

13.

14.

1 1 a2 ru = a√3 , ro = a√3 , ro ∙ ru = 6 cm2, = 6 cm2, a2 = 36 cm2, 6 3 2 a = 6 cm, ro = 2√3 cm2, ru = √3 cm2.

O = 48 π cm.

PT : Po : Pu = 12π : 9√3 : 3π ≈ 37,7 : 15,6 : 9,4.

5.3.1. Површине делова круга 16.

P = ( π – √2) cm2. 2

18.

P = 25 π cm2.

19.

P ≈ 5 ∙ 2 – 2 π ≈ 10 – 6,28 = 3,72 cm2.

20.

P = 4 ∙ (4 – π) cm2.

21.

а) Pp = 8 cm2; Poc = 8 – π ≈ 8 – 3,14 = 4,86 cm2; Pp : Poc ≈ 8 : 4,86 = 100 : x; x = 486 : 8 = 60,75%. б) Pp = 8 cm2; Poc = 8 – 2π cm2 ≈ (8 – 6,28) cm2 = 1,72 cm2; Pp : Poc ≈ 8 : 1,72 = 100 : x; x = 172 : 8 = 21,5%.

22.

a) Pi =

23.

uk a

r2 ∙ π 16π ∙ α = 16π ∙ 45° = 2π cm2; б) Pi = ∙ 150° = 20 π cm2; 360° 360° 3 360° 16π в) Pi = 16π ∙ 180° = 8π cm2; г) Pi = ∙ 1° = 2 π cm2. 360° 45 360°

17.

O = 100 ( 1 + π ) cm, P = 2500 π cm2. 3 3 Pi = r ∙ l ; 10 = r ∙ 5 ; r = 4 cm. 2 2

15.

Дужина дужи АD је √2 cm. Површина троугла OABC је √2 cm2, па је површина четвороугла OАBC једнака 2√2 cm2. Површина кружног исечка коме одговара централни угао од 90° је π cm2, па је тражена површина Po = (π – 2√2) cm2 ≈ 0,32 cm2.

186

24.

a2 a2 π a2 a2 2 ∙ 100% ≈ 21,5% P. 2 ∙ 100% ≈ 28,5% P; P3 = P1 = 50% P; P2 = 4 a2 a2

25.

Po а) Po = 2 ∙ ( 82π ∙ 90° – 82 ) = 2(16π – 32) ≈ 36,48 cm2; б) = 36,48 ∙ 100% ≈ 57%. 360° 2 64 PK

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

( )

26.

R2 = r2+ AB 2; R2– r2 = 16; P = R2 π – r2 π = (R2– r2) π = 16 π cm2. 2

27.

r1 = 1 AB = 3 cm, r2 = 1 AC = 1 cm, r3 = 1 BC = 2 cm. 2 2 2 1 (2r1 π + 2r2 π + 2r3 π)cm = 6π cm; O= 2 P = 1 (r12 π – r32 π + r22 π) = 3π cm2. 2

28.

P = 7 π cm2.

29.

a√2 = 2√2 , P1 = (8 π – 16) ≈ 9,12 cm2. 2

30.

Pо = 1 ∙ 102 π + 52 π = 50π cm2. 4

32.

Pš = 6

uk a

31.

Површина осенченог дела Ро једнака је разлици површина квадрата Р1 странице a и површине половине круга Р2 полупречника r = 1 a. 2 Како је a2 = 36 cm2, a = 6 cm. 1 ∙ 9π = 36 – 4,5π ≈ 36 – 14,13 = 21,87 cm2. Po = 36 – 2

a2√3 16√3 =6 cm2 = 24√3 cm2 ≈ 41,52 cm2; r = 4 cm; 4 4 Pok = 16π cm2 ≈ 50,24 cm2; Pok – Pš ≈ 8,72 cm2.

33.

б) Puk = 12π cm2 ≈ 37,68 cm2; r = 2√2 cm; Pš – Puk = 3,84 cm2. а) Pо = 2 r2π ∙ 45 = 25π cm2; 360 б) d = 10√2 ≈ 10 ∙ 1,41 = 14,1; x = d – 10 = 4,1 cm; l = 2rπ ∙ 45 = r π = 2,5 π ≈ 7,85 cm; 360 4 O = 2 ∙ a + 2 ∙ l + 2 ∙ x ≈ 20 + 15,7 + 8,2 = 43,9 cm.

187

60°

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

B б) α = 90°

Потребно је испланирати где ће бити ротирана фигура! Најпре се нацрта угао α = –60°. Пошто је угао негативан, ротација иде у смеру казаљке на сату, па дуж нацртајте на левој страни свеске. в) α = – 45°

а) α = –60°

60°

90°

б) α = 90° A

uk a

90°

45°

60°

90°

5.4. Ротација

60°

90°

O B

в) α = – 45° A 45°

A B

120°

B=B

120°

188

45°

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 3.

C D B

α = 75°

Праве а, b и с су паралелне и тачка А припада правој а. Око тачке А ротирати праву b за угао –90°. Добија се права b'. Пресек правих b' и с даје тачку В. Сада дуж АВ ротира или око тачке А или око тачке В до пресека са правом b и тако се добија тачка С. Ако су позната три темена квадрата АВСD, и четврто теме D је одређено. а) А1 (–1, –5), В1 (–1, –5), С1 (–5, –5); б) А2 (1, –5), В2 (5, –1), С2 (5, –5); в) А3 (5, 1), В3 (1, 5), С3 (5, 5).

а) А1 (3, 4), В1 (0, 7), С1 (–3, 4), D1 (0, 0); б) А1 (0, 7), В1 (3, 4), С1 (6, 7), D1 (3, 10).

uk a

189

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 6. ОБРАДА ПОДАТАКА 6.1. Нумеричка обрада и графички приказ података

Број ученика

Фрула

Флаута

Клавир

Хармоника

Гитара

Инструмент

а) У марту је продато 17 бицикала. б) У фебруару су продата 4 бицикла. в) Највише бицикала је продато у априлу.

uk a

6 4

Холандија

190

2 0

Дан

Србија

Словачка

Број посетилаца

Понедељак

Уторак

Среда

Четвртак

Петак

Субота

Шпанија

Швајцарска

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

Проценат ученика

Тенис

10%

Рукомет

15%

Пливање

20%

Фудбал

25%

Кошарка

30%

а) Табела успеха ученика

Успех

Број ученика

Одлични

Врлодобри

Добри

Довољни

Недовољни

uk a

Спорт

Добија се следећа табела омиљених спортова ученика у том разреду.

Не до во љ ни

ни До во љ

ри

бр до

ич н

ло до б Вр

Од л

б) Стубичасти дијаграм

191

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А в) Кружни дијаграм Одличних – 14,7%; врлодобрих – 29,4%; добрих – 35,3%; довољних – 11,8%; недовољних – 8,8%.

Фирма мора да предвиди да ће 45 клима-уређаја уградити 2023. године.

Јануар.

6.2. Аритметичка средина, медијана и модус 1.

Ако се саберу све оцене, добиће се 3 + 4 + 5 + 5 + 5 = 22. Требало би да се збир свих оцена подели бројем свих оцена, односно 22 : 5 = 4,4. Овако израчунат број је средња вредност (просек) свих оцена и износи 4,4, па ће Марија на крају године добити оцену 4. Просечна вредност је 42 cm.

10,5.

Душан има 5 из математике.

а) Да, јер мора да постоји број који је већи од средње вредности; б) Не мора да има ниједну тројку.

Средња температура је 7°C.

Његова пета оцена требало би да буде 5.

uk a

Укупно је 21 радник урадио 210 производа. Један радник је просечно урадио 10 производа.

9. 10.

Пошто је просек 60 бодова за 4 испита, значи да је студент остварио 240 бодова. Додавањем још 80 бодова на петом испиту добиће се његов нови просек 320 = 64. 5

х1 = i1 + i2 + i3 и х2 = i4 + i5 па је i1 + i2 + i3 = 3х1 , i4 + i5 = 2х2 . 2 3 3 х1 + 2 х2 i1 + i2 + i3 + i4 + i5 Дакле, х3 = = . 5 5

11.

192

Укупно има 29 ученика који тренирају кошарку у 5 одељења, па је 29 = 5,8. 5 Одељења VIII2, VIII4, VIII5 имају број ученика који тренирају кошарку већи од просека.

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А 12.

Просек је 3,78, па је оцена 4.

13.

7,8.

14.

Разред 1 : x = 3 ∙ 1 + 4 ∙ 2 + 6 ∙ 3 + 7 ∙ 4 + 4 ∙ 5 = 77 = 3,21. 24 24 2 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + 10 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + 3 ∙ 5 Разред 2 : x = = 63 = 3,15. У разреду 1 је бољи успех. 20 20

15.

9,25.

16.

Не.

17.

а) x = 5400 kg;

б) Mе = 5400 kg;

19.

18.

У првих шест разреда Ана је имала збир свих просека укупно 25,2. Ако би у седмом и осмом разреду имала просек 5,0, збир би био 10, а укупно за осам разреда 35,2. Просек је 35,2 = 4,4. 8 Највећи просек који може да има Ана је 4,4. в) за 2200 kg.

uk a

Податке треба средити по величини, а затим би требало одредити вредност члана који 7+1 се налази у средини низа: n + 1 = 2 = 4 = к. 2 Тражи се четврти члан. Редни број у низу: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Број чланова породице: 2 2 3 3 4 4 5

Медијана је Mе = 3.

20.

Са парним бројем података n = 2k медијана се израчунава као аритметичка средина средња два члана. Податке треба средити по величини. Редни број у низу: Број чланова породице:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2 2 3 3 4 4 5 5

Аритметичка средина двају чланова који се налазе на 4. и 5. месту Mе = 3 + 4 = 3,5. 2

21.

а) Да. б) Не.

22.

23.

а) x = 2, Mе = 1;

б) x = 3, Mе = 7;

в) x = 1 , Mе = 3; 7

г) x = 17 , Mе = 3. 10

193

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

24.

Растући низ је: а) 1, 2, 2, 4, 5, 6, 6, 8. б) –3,5; –3; 1; 1,4; 2; 3,8; 4,3; 7.

x = 4,25; x = 1,6;

Mе = 4,5. Mе = 1,7.

25.

а) x = 83;

26.

а) x =38; б) Mе = 38. Три дана је продато мање од 38 књига, а три дана је продато више од 38 књига, па је то вредност медијане.

27.

а) x = 270;

28.

а) Најмања вредност се постиже за медијану бројева –3, –1, 3, 2, 6. Поређани у растући низ је: –3, –1, 2, 3, 6. Ме = 2. Минимална вредност израза је |2 + 3| + |2 + 1| + |2 – 3| + |2 – 2| + |2 – 6| = 13. б) Низ је –2, 0, 1, 4. Ме = 0 + 1 = 0,5, а најмања вредност израза је 7. 2

29.

Оцена 3 се појављује најчешће, па је модус Mо = 3.

30.

број чланова домаћинства са највећим бројем појављивања је три. Дакле модус ове расподеле је Mо = 3. Домаћинства са три члана су најчешћа.

31.

Mо = 21, јер се тај број најчешће појављује, чак 18 пута.

б) Mе = 84.

uk a

б) Mе = 250. Петком се продаје 250 сладоледа.

„Лакше је научити математику него радити без ње.” Банас

194

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

ЗА РАДОЗНАЛЕ СЕДАМ „ЛЕПИХ” БРОЈЕВА

Доносимо вам листу бројева које научници сматрају најлепшим. Многи се неприметно провлаче кроз вашу свакодневицу. Можда нису сви толико застрашујући као 666, малерозни као 13, срећни као 7 или мистериозни као 42, али без неких међу њима не би се могла израчунати ни површина круга, ни решити једноставнија једначина. Ево седам бројева који представљају неизоставни део природних наука и који су умногоме помогли у решавању великог броја научних проблема.

1. Авогадров број

uk a

Мада је вода напитак који користимо свакодневно, ретко се запитамо колико се молекула H2O налази у једној чаши (запремине 2 dl). Међутим, хемичарима је добро познато да 12 грама садржи 6,022141995 ∙ 1023 молекула, а оно што им омогућава да преброје оволико ситне честице јесте Авогадров број (NA). Познат је још и као Авогадрова константа и користи се за описивање атома, молекула, јона и електрона и представља број честица у једном молу било које супстанце. Добио је назив по италијанском научнику Амадеу Авогадру. Број је првобитно дефинисан као број атома у 12 грама угљениковог изотопа С-12, док је мол дефинисан као Авогадров број атома, молекула или неких других честица. Тек када је мол добио своје место у Међународном систему јединица (SI), Авогадров број је дефинисан као број молекула у једном молу супстанце и тиме је постао физичка константа.

2. Број π – Константа која је одувек привлачила највише пажње у математици. Њена

историја почиње још пре око 4000 година, када се међу људима појавила потреба за одређивањем дужине кружне линије. Током израчунавања је уочено да је однос пречника и обима круга увек исти и приближно износи 3,14159… Тај број је добио назив пи – π, као почетно слово грчке речи περίμετρος (периметар), што значи мерити около, а његов симбол, као константу у математици, уводи Вилијам Џоунс 1706. године. Она се назива и Архимедова константа, јер је Архимед тачно израчунао његове прве две децимале. Мада је још у старој Грчкој било познато да је његова вредност отприлике двадесет две седмине (π ≈ 22 ), пи је ирационалан број, односно не може се написати као однос два 7 цела броја. Још једна његова важна особина је трансцедентност. То значи да га је немогуће

195

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

изразити коришћењем четири основне рачунске операције и кореновања над коначним бројем целих бројева. Ово је такође доказ да је квадратура круга немогућа.

3. Имагинаран број i

„У историји математике нема већег изненађења од чињенице да су комплексни бројеви схваћени пре негативних бројева”, истакао је у својој књизи велики математичар Е. Т. Бел. Звучи парадоксално, али први суштински корак ка правилном схватању и коначном усвајању негативних бројева десио се тек када су усвојени комплексни бројеви. Имагинарне бројеве је дефинисао италијански математичар Рафаел Бомбели 1572. године. У то време сматрани су бесмисленим, нимало корисним и били одбацивани, као и нула својевремено. Њихово уздизање десило се у тренутку када се појавила потреба за дефинисањем квадратног корена из негативног броја, јер до тада није постојао ниједан реалан број који би решио тај проблем. Бомбели је тада увео нов број – имагинарну јединицу. Занимљиво је то што сада имагинарни бројеви као да искачу свуда око нас и могу се срести у Ајнштајновој теорији релативитета. Самим тим, јасно је да су комплексни бројеви постали саставни део многих природних наука, нарочито физике, механике, електротехнике.

4. Ојлеров број

uk a

Поред нуле, јединице, имагинарног броја и броја π, Ојлеров број је један од најзначајнијих бројева у математици. Први пут се његова вредност појавила 1618. године у логаритамским таблицама, након открића логаритма, мада му тада није придаван велики значај. Сада носи назив по швајцарском математичару Леонарду Ојлеру, али се заслуга придаје његовом ученику Јакобу Бернулију. Он је до овог броја дошао у једном рачуну за израчунавање камате. Прво познато коришћење константе било је у препискама између Лајбница и Хајгенса 1690. и 1691. године, у којима је она обележавана са b. Неколико година касније, Ојлер је тај број обележио словом е и представио као основу природног логаритма. Након објављивања Ојлерове „Механике”, ова ознака се толико усталила да је постала стандард и добила је назив Ојлеров број. Мада је првенствено коришћен за финансијске прорачуне, брзо је почео да се примењује у различитим наукама (физика, биологија, хемија…). Често се јавља у природи. На пример, ако посматрамо колонију бактерија са одређеним бројем јединки, приметићемо да ће се њена популација, после одређеног временског периода, повећати баш за фактор е, односно експоненцијално.

196

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

5. Златни пресек

6. Планкова константа

„Геометрија поседује два велика блага: једно је Питагорина теорема, а друго златни пресек." Подела дужи у златном пресеку значи да је дуж подељена на два дела а и b који стоје у размери да се дужи део а према краћем делу b односи као цела дуж према дужем делу. То је једина природна аритметичка размера која се добија само са два елемента и изражава се формулом а : b = (а + b) : а. Резултат ове пропорције је константа 1,61803398... У математичкој литератури та константа се обележава словом φ, првим словом грчке речи оја, која значи пресек. Међутим, савршенство овог броја није толико у његовој нумеричкој вредности колико у размери коју одређује. Златни пресек представља универзалну идеалну пропорцију како у науци, тако и у архитектури и анатомији. То је било познато још Грцима док су градили своје храмове. Грчки скулптор и математичар Фидија доста је проучавао златни пресек и своје знање је примењивао приликом прављења фигура које су украшавале Партенон. Пошто је кроз историју било познато да су дела заснована на златном пресеку најпријатнија за људско око, за Фидијина дела се каже да су идеал хармоничне равнотеже божанског и људског. Област примене златног пресека је знатно проширена дефинисањем Фибоначијевог низа и доказивањем да се њиме апроксимира сам број.

uk a

Планкова константа (h) је величина која се користи у физици за описивање најмање количине енергије (квант) која се јавља у елементарним процесима, а назив је добила по једном од твораца квантне физике, Максу Планку. Планк је израчунао вредност (h = 6,62606957 ∙ 10 – 34 m2 kg s ) која представља меру енергије најмањег пакета неког зрачења – квантне енергије. Данас се она сматра фундаменталном у физици и симболише револуцију која је настала у науци почетком 20. века и која је дошла упоредо са Ајнштајном и квантном физиком. Квантна физика нам даје слику стварности која за већину људи ни данас није разумљива. Међутим, квантна механика говори o томе какав свет заиста јесте или какав би он могао бити, јер је сама природа заправо квантована.

7. Грахамов број

Грахамов број је највећи број који има примену, односно највећи број икада коришћен за решавање неког математичког проблема. Тај број je назван по америчком математичару Роналду Грахаму и представља горњу границу решења Рамзеове теорије (проучавање услова под којим се појављује неки ред).

197

РЕ Ш Е ЊА ЗА Д АТАК А

uk a

Овај број је толико велики да је 1980. године ушао у Гинисову књигу рекорда као највећи икада употребљен број у неком математичком доказу. Иако је незамисливо велик, овај број није трансцендентан и има коначну вредност. Није га могуће записати (простор потребан за записивање Грахамовог броја превазилази капацитет видљивог свемира), његово директно израчунавање је немогуће, а чак је немогуће и записати како би прорачун тог броја требало да изгледа. Међутим, могуће је израчунавање цифара Грахамовог броја уназад . Последњих десет цифара тог броја су ...2464195387. Грахамов број се користи у области комбинаторике познатој као Ремзијева теорија, названој по британском математичару Френку П. Ремзију (1903–1930). Основно питање ове теорије је који је најмањи скуп који мора садржати дати подскуп. (Најједноставнији пример је: Колико људи је неопходно да би најмање двоје било истог пола? Одговор је да у групи од троје људи најмање двоје је истог пола.) Грахамов број представља горњу границу решења математичког проблема који се односи на двобојне n-димензионалне хиперкоцке. Грахамов број је незамисливо већи од познатог великог броја као што је гугол. Гугол је дефинисан као број који садржи цифру један и иза ње сто нула, 1 googol = 101⁰⁰.

„Не учимо за школу, учимо за живот.” Сенека

198