Математика 7, збирка задатака за седми разред основне школе by Izdavačka kuća Eduka

ДР

Математика Збирка

струковних студија, Београд

Ивана Милошевић, педагог

ДИЗАЈН И ПРЕЛОМ

Дејан Перошевић

ЛЕКТУРА И КОРЕКТУРА

Биљана Никић

ИЗДАВАЧ

ЕДУКА д. о. о., Београд

Ул. Змаја од Ноћаја бр. 10/1

Тел./факс: 011 327 277, 3286 443, 2629 903

Сајт: www.eduka.rs; имејл: eduka@eduka.rs

Edukapromo

ЗА ИЗДАВАЧА

Др Бошко Влаховић, директор

Штампа

Издање

Тираж

САДРЖАЈ

1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

1. Подсети се

1.1 Рационални бројеви

1.1.1. Квaдрaт рaциoнaлнoг брoja

1.1.2. Кореновање

1.1.3. Решавање једначина облика х2 = а, a ≥ 0

1.2. Ирационални бројеви

1.2.1. Квадратни корен који је ирационалан број

1.2.2. Рачунске операције с квадратним коренима

1.3. Реални бројеви и бројевна права

1.3.1. Поредак у скупу реалних бројева

1.3.2. Бројевни интервал

1.3.3. Децимални запис реалног броја

1.3.4. Својс тва рачунских операција у скупу реалних бројева

1.3.5. Приближнe врeднoсти рeaлнoг

1.3.6. Рационалисање имениоца

1.4. Пропорционалност

1.4.1.

2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

2. Подсети се

2.1. Примена Питагорине теореме

2.2. Примена Питагорине теореме на квадрат и правоугаоник

2.3. Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао

2.4. Примена Питагорине теореме на паралелограм и

2.5.

2.6. Конструкције

2.7.

3.2. Алгебарски изрази

3.3. Полиноми

3.4. Квадрат бинома и разлика квадрата

3.5. Растављање полинома

4. МНОГОУГАО

4. Подсети се

4.1. Појам многоугла и врсте

4.2. Диjaгoнaлe мнoгoуглa

4.3. Углови многоугла

4.4. Правилни многоуглови

4.5. Конструкција правилних

4.6. Oбим и пoвршинa многоуглова

4.7. Тежишна дуж и тежиште троугла

4.8. Висине троугла и четвороугла,

4.9. Конструктивни

5. КРУГ

5. Подсети се

5.1. Централни

5.2. Обим круга

5.2.1.

5.3. Површина

5.3.1. Површине

5.4.

6.1.

6.2.

Свaкoм

Интервали Отворен

Колико је:

Наћи:

Израчунати:

1.2.

1.3.

1.3.1.

1.3.2.

1.3.4.

1.3.6.

(0, 3), (1, 3); б) (1, 3), (3, 6); в) (1, 4), (2, 6); г) (1, 3), (2, 6).

2. ПИТАГОРИНА

Свака

несуседна унутрашња угла.

Правоугли

Квадрат

Обим

Правоугаоник

d 2 . Дијагонале

Паралелограм

Обим: O = 2a + 2b.

Површина: P = a ∙ ha или P = b ∙ hb.

Наспрамни унутрашњи углови су једнаки.

Дијагонале се међусобно полове.

Ромб

Обим: O = 4a.

Површина: P = a ∙ h или P = d1 ∙ d2 2 .

Полупречник уписаног круга је r u = h 2 .

Дијагонале су узајамно

(d1⊥d2 ) и полове се. На основу Питагорине теореме

c2 = h2 + (a – b)2.

Једнакокраки трапез

Обим: O = a + b + 2c.

Средња линија: m = a + b 2 .

Површина: P = a + b 2 ∙ h. На

c2= h2+ ( a – b 2 )2 . Растојање

2.1.

2.2.

2.4.

Дијагонала BD четвороугла ABCD

нормална је на странице BC и AD.

Ако је АВ = 15 cm, ВС = 12 cm и

∢DАB = ∢BCD, израчунати: а) обим, б) површину четвороугла АВСD.

Дијагонале ромба су d1 = 1,6 cm и d2 = 3 cm.

Израчунати: а) површину; б) обим; в) висину тог ромба.

Страница ромба је a = 12 cm, а дијагонале се односе као 3 : 4. Израчунати дијагонале тог ромба.

Површина

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

А (–2, –1), В (1, –2),

тачка B (x, 0).

Дата су темена троугла: A (–2, 3), B (8, –2) и C (3, 8).

троугла.

3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ И з РА з И

Рене Декарт (1597–1651),

Edukapromo

„Мислим, дакле постојим.” („Cogito, ergo sum.”) Рене Декарт

Степеновање

a ∙ a ∙ ...

a = an;

n чинилаца

n = 2k, a2k > 0 за a > 0 или a < 0; n = 2k

Особине:

1. am ∙ an = am + n

2. am : an = am – n (m > n, a ≠ 0)

3. (am)n = am ∙ n

4. an ∙ bn = (a ∙ b)n

5. an : bn = (a : b)n (b ≠ 0)

6. x ∙ an +

ИЗРАЗИ

За изразе A, B, C, D важи: • комутативни закон: A + B = В + А; А ∙ В = B ∙ A; • aсоцијативни закон:

• дистрибутивни закон:

• Производ полинома је полином:

Израчунати: а) 1⁴; б) (–1)3; в) –23; г) (–2)2; д) 0⁵. Израчунати: а) –1 + (–1)2 + (–1)3 + (–1)⁴ + (–1)⁵; б) –2 + (–2)2 – (–2)3 – (–2)⁴ + (–2)⁵; в) (–1)2 + (–2)2 + (–3)2 + (–4)2; г) 2 ∙ (–2)2 + 3 ∙ (–2)2 – (–2) (–3)2.

Израчунати: а) –3(–1)3; б) –3(–1)2; в) –2 ∙ (–1)⁴; г) 2 ∙ (–1)2.

Запамти! a1 = a; a2 = a ∙ a; a3 = a ∙ a ∙ a.

Израчунати:

Израчунај:

23 ∙ 32; б) (–2)3 ∙ 33; в) 23 ∙ (–32); г) (–22 ) ∙ (–3)3.

Израчунај:

Израчунај вредност израза: а) 23 + 2⁴; б) 72 + 33; в) 102 – 43; г) 2⁵ – 42. Који је израз

3⁶;

a ≠ 0:

2a2 ∙ a ∙ a3; б) (a3 ∙ a⁴) : a2; в) (a13 : a⁵) : a2; г) (a⁷ :

. Упрости изразе за x ≠ 0: а) 3x2 ∙ x⁴ : x⁵; б) x1⁰ : x⁹; в) x⁸ : x; г) x⁵ : x⁵; д) (x1⁰ : x⁶) ∙ x2; ђ) (x3 ∙ x⁴) : x⁵.

10.

3,4; б) 0,77; в) 0,033; г) 0,00751.

A = 0,003; B = 0,000001; C = 0,0036; D = 0,0000475

а) 23,8; б) 3500,0035; в) 1234,56; г) 1,005.

3.2. А ЛГЕБАРСКИ

Сабрати сличне мономе: а) 17 + 23x + 2x; б) 33x + 32 – 30x;

7x + 14x – 16x; г) 25x – 31 – 11x + 6.

Упростити изразe:

а) 6 ∙ 2a – (–4

су једнакости тачне:

а) x ∙ 3x + 9x = 12x; б) x ∙ 3x + 9x = 3x2 + 9x; в) x2 + 2x + 3x2 = 6x2; г) 2x3 ∙ 3x⁴+ 2x3 = 6x⁷ +2x3?

Колика је вредност израза:

а) 2x3– 8 ако је x = 2; б) –x3 + 2 ако је x = –2;

в) m3 + m2– 2 ако је m = –1; г) (1– a)3 ако је a = –1 2 ?

3.3. ПО ЛИНОМИ

су

су полиноми:

A (x, y) = 4x3– 2x2y – 3xy2+ y3, B (x, y) = 3x3– 2y3+ 4, C (x, y) = 4x2y + 3xy2– x3+ y3. Наћи:

Дати су полиноми: P = –a2+ 9b2+ 4c3, Q = 3a2+ 9b2– 2c3 и R = 2a2– 6b2–2c3.

Одредити: а) P + Q + R; б) P –2Q – R.

а) (–2x) ∙ x ∙ (–1);

б) 3x ∙ 2y ∙ 6xy;

в) 6y ∙ (– 1 3 y2);

г) 2 3 ab ∙ 12ab2.

Упрости изразе:

Средити изразе:

Помножити и средити израз (a + 5) ∙ (a – 3).

Edukapromo

Наћи производ (4a – 6) ∙ (2a2 – 3a + 4).

Одредити: a) (3x – 2) – (x – 3) ∙ (2x – 1); б) (2x2 – 1)(x – 3); в) (a + 2)a – (2a – 3)a.

Одредити:

a) (x + 2) + (x – 2) · (2x + 1); б) (3y2 – 2) ∙ (3y + 2); •

в) (3x2 + x) ∙ (2x – 5); г) (5 + y) ∙ (3 – y) + y ∙ (y – 7).

(x – 2) ∙ (x2– 3x + 4); б) (2 – 3x) ∙ (x – 1)2;

–a2 + 3ab – 4b2; б) 5a2 – ab + 4b2; в) 5a2 – 3ab + 16b2 ; г) –2a2. Израз (3a2 – 7b) ∙ (–a + 2b)

3a2 – 14b2 ;

–3a3+ 12ab – 14b2; в) 3a3+ 7ab – 14b2 – 6а2b;

(x, y) =

Упрости

(a – 10)2 – a ∙ (a + 40) за a = –0,5; б) (0,1x – 8)2+ (0,1x + 8)2 за x = 10.

Коja је од следећих

(x – y)2 = (y – x

а) 1052; б) 972;

9992.

3.5. РАСТАВ

Растави на чиниоце изразе:

а) y2 – 4;

б) 9x2 – 16;

в) (x + 1)2 – 25;

Раставити

г) 3a2 – 6ab + 3b2; д) ax2 + 4ax + 4a.

Полином P(x) = 2x3 – 6x2 – 8x + 24

а) 2 ∙ (x – 2) ∙ (x + 1) ∙ (x + 2);

б) 2 ∙ (x – 2) ∙ (x2 – x + 6);

в) (x – 2) ∙ (2x2 + 8);

г) (x – 2) ∙ (x + 2) ∙ (2x + 3);

д) 2(x – 2) ∙ (x – 3) ∙ (x + 2).

Решити једначине:

а) (x + 4) ∙ (x – 4) – (x + 4)2 = 0;

б) 3x ∙ (3x + 6) – (3x + 6)2 = 0.

Решити једначине:

а) ( x – 1 2 )2 – ( x + 1 2 )2 = x;

б) (x + 1) ∙ (x2 – x + 1) – (x + 1) ∙ (x2+ x + 1) = 2x.

Решити једначину: (x – 2)2 – (x + 3) ∙ (x – 3) = (x + 4)2 – (x + 5) ∙ (x – 5).

Решити једначине: а) x2 – 6x – 7 = 0; б) x2+ 5x + 6 = 0.

Решити једначину: x2 – 4x – 5 = 0.

4. МНОГОу ГАО

4.2. Д ИЈ АГОНАЛЕ

4.3.

Дат је правилан осмоугао. Одредити:

а) број дијагонала;

г) централни угао.

Збир унутрашњих углова

б) централни угао;

в) углове карактеристичног троугла.

5. КР у Г

3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494 4592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647 093844609550582231725394081284811174502841027019385211055596 4462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527 12019091456485669234603346810454326648213393607260249141273724 5870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113 3053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218 6117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227 9381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021 7986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812 7145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430 1465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181 5981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281 60963185950244594553469083026542522308253344685035261931188171 0100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287 5546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300 19278766111959092164201989

тачку. (Шта је тачно?) г) пролази кроз средиште круга;

(3,

а) Т = А, α = 90°; б) Т (3, 7), α = –90°.

Одреди

бројева: а) 3, 1, 1, 7, –2; б) 8, –1, 7, –7, 8; в) 4, –3, 5, –6, –6, 3, 4. г) 4, –3, 2, 2, –4, 5, 5, 7, –9, 8.

Одреди

2, 1, 4, 6, 5, 6, 8, 2; б) –3; 2; 1,4; –3,5; 1; 7; 4,2; 3,8.

1. а) 1; б) 4; в) 25; г) 100. 2. а) 1; б) 1; в) 0. 3. То су 1, 2, 3 и 4.

4. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. 5. То су само 0

7. а) 1 9 ; б) 4 25 ; в) 9 25 ; г) 25 64 . 8. а) 1 9 ; б) 4 25 ; в)

31. a = k ∙ b, a2 = (k ∙ b)2 = k2 ∙ b2 = l ∙ b2. Пример: 12 је дељиво са 3, па је тада 122 = 144 дељиво са 32 = 9 (144 = 9 ∙ 16).

32. а) 1; б) 100; в) 10 000. 33. Тачно је само в) a ≠ 0 ⟹ a2 > 0.

34. a2 = ( 4 7 )2 = 42 72 = 16 49 ; b = 1 5 8 = 13 8 , b2= ( 13 8 )2 = 132 82 = 169 64 = 2 41 64 ; c = 3,5 = 35 10 , c2 = ( 35 10 )2 = 352 102 = 1225 100 = 12,25 ; d = p q , d2 = ( p q )2 = p2 q2 = P Q .

35. a ∈ (0, 1).

1.1.2. Кореновање

36. а2 = 4 cm2, па је а = 2 cm. 37. а) 1; б) 5; в) 8; г) 11.

38.

40. а) 1; б) 1 3 ; в)

58. √36x2y2 = √36 ∙ √x2 ∙ √y2 = |6| ∙ |x| ∙ |y| = 6x(–y) = – 6xy.

59. а) 5 – √5; б) √10 – √5; в) √2 – 1; г) √3 – √2 .

60. а) 3; б) √5 + 2; в) √3 + 5; г) √2 + √5.

61. а) 5–√3; б) √5–√2; в) √3–√2; г) √5–1.

62. (2√5 – 3) (2√5 + 3) = 4 ∙ (√5)2– 6√5 + 6√5 – 9 = 20 – 9 = 11.

63. То су – (√3)2 = –3 и –( 1 ∙ (–5)2 (–√2)2 ) = –25 2 = –12,5.

67. (3 – x) = + 3, или

72. |x| = –x за x ≤ 0.

цела броја p и q, где је q ≠ 0. а) Број 2 3 је рационалан. б) Број 32 = 9 је рационалан ( 9 = 9 1 ). в) Број √2 је ирационалан* и не

г) 2 –1 2 = 4 – 1 2 = 3 2 је рационалан број. *Доказ да је √2 ирационалан број: Претпоставићемо супротно.

4. Тачни су б) и д).

5. г) √3 .

17. в) √15 ∈ (3,1, 4). 18. б) (–1, 1].

19. а) x ∈ (–2, 0,5); б) x ∈ [0,2, 2); в) x ∈ [–0,5, 0,5];

x ∈ [√3, + ∞).

20. а) 2 ≤ y <3; б) –1,25 ≤ y ≤ 1,5; в) –0,2 < y < 4; г) y ≤ –1,5.

21. а) 2,25 = 9 4 ; б) –1,333… = –4 3 ; в) 0,666… = 2 3 ; г) 1,666... = 5 3 .

22. а) а = 0,323232... 100а = 32,323232......; 100 а – а = 99 а = 32, па је а = 32 99 . б) а = 7,232232232... 1000 а = 7232,232232... 1000; 1000 а – а = 999 а = 7225, па је а = 7225 999 . в) а = 6 7 .

23. а) 2 < √5 < 3; б) –4 <– √10 < –3; в) 5 < 2√7 < 6; г) –1< –√3 5 < 0.

24. а) 2,44 < √6 <2,45; б) –3,88 < –√15 < –3,87; в) –5,66 < –2√8 < –5,65.

25. а) 1,41 < √2 < 1,42; б) –2,83 < – √8 < –2,82; в) 3,46 < 2√3 < 3,47; г) –0,85 < –√18 5 < –0,84. 1.3.4. Својства

26. а) 1,10; б) 14,01; в) 4,24; г) 0,66.

27. а) 1,414 1,732 = 0,816; б) 2,449 3 = 0,816; в) 1,414 ∙ 1,732 3 = 0,816; г) 2 2,449 = 0,816.

28. а) 4,5 ≤ x + y ≤ 4,66; б) 2,38 ≤ x – y ≤ 2,54;

29. а) 16,34 ± 0,1; б) 1,78 ± 0,06; в) 9,86

1.4.1.

100 : 20 = x : 4, 4 ⇒ x = 22 kg.

6. x = 2k, y = 3k, z = 5k, 10k – 9k + 5k = 36, 6k = 36, k = 6, па је x = 12, y = 18, z = 30 и x + y + z = 60.

7. a : b = 3 : 4 = 6 : 8 = 18 : 24; b : c = 6 : 5 = 24 : 20; d : a = 7 : 6 = 21 : 18,

a : b : c : d = 18 : 24 : 20 : 21.

8. a = 3k, b – c = 5k, c = 2k. Дакле, b = 7k, па је a : b : c = 3 : 7 : 2. 9. 10% p = 0,1

12. x + y + z = 660 и x : y : z = 4 : 5 : 2; x = 4t, y = 5t, z = 2t, па је 11t = 660, t = 60. Делови су x = 240, y = 300 и z =120.

13. Дужине страница троугла су 14 cm, 48 cm, 50 cm.

14. Одговарајући унутрашњи углови се односе као 3 : 2 : 1.

15. Проценат ученика који уче руски, немачки и

16.

1 +

језик је 20%, 30%, 50%.

= 180°⟹ t + 13 t + 4 t =180°, 18 t =180° ⟹ t =10°. Углови су: α = 10°, β = 130°, γ = 40°. Највећи

19. x 15 + x 10 = 1→ x = 6. Када раде оба радника,

20. x 20 + x 12 + x 15 = 1→ x = 60 12 = 5. Базен

21. k = −2.

в).

26. y = 2x и y = 1 2 x су растуће, а y = −3x је

27. y = − 1 2 x; C (2, −1).

г) (1, 3), (2, 6).

а) A (−3, 6).

2.1. Примена Питагорине теореме

1. x = 5 cm.

странице различите дужине. Међутим, важи Питагорина теорема: a2 = (0,6a)2 + (0,8a)2; a2 = (0,36 + 0,64)a² = 1,00a².

а) (√2)2+ (√3)2= 2 + 3 = 5 = (√5)2

б) (√3)2+ (2√3)2 = 3 + 4 ∙ 3 = 15 ≠ 42 в) (2√2)2+ (4√2)2 = 4 ∙ 2 + 16 ∙ 2 = 40 = (2√10 )2 г) 22+ (2√3)2 = 4 + 4 ∙ 3 = 16 = 42

12. О = 24 cm.

13. Дужина тражене висине је 2,4 cm.

14.

15.

16. a)12 + 4√2; б) 50; в) 32.

4. d = 25 m. 5. b = 8 cm.

7. a = 6 cm, d = 3b, d2 = a2+ b2; 9b2 = 36 + b2; 8b2 = 36; b2 = 9 2 ; b = 3√2 2 cm ≈ 2,12 cm, d = 3b ≈ 6,36 cm.

8. d = 2 x √3 3 .

10. d = 9√2 cm; P = 81 cm2.

11. а) O = 20 cm, P = 21 cm2; б) d = 5√2 cm.

13. a − b = 4; 2a + 2b = 32; a = b + 4; 2b + 8 + 2b = 32; 4b = 24; b = 6 cm; a = 10 cm.

P = ab = 60 cm2= d2 2 ; d = 2√30 cm.

14. P1 P2 = d12 d22 = 1 4 , па је d1 : d2 = 1 : 2.

15. a) P = a ∙ b = 972; a ∙ 27 = 972; a = 36 m; б) 2r = d = √362 + 272 = 45 m; 2r = 45 m.

16. Потребно је 1200 плочица. 17. d = 10 cm, P = 48 cm2.

18. a =12 cm, d =12√2 cm.

19. О2 = 1,4 О1, а2 = 1,4 а1; Р2 = (1,4 a1)2 = 1,96 a12 = 1,96 Р1.

Површина се повећала за 96%. 1,96 a12 = 49; a12 = 25; a1 = 5 cm.

20. a1 = 1,3 a, b1 = 1,3 b; P1 = 1,3a ∙ 1,3 b = 1,69 ab = 1,69 P.

Површина ћe се повећати за 69%. d12 = a12 + b12 = 1,69, (a2+ b2) = 1,69 d2, d1 = 1,3 d. Површина ћe се повећати за 69%, а дужина

ћe се

за 30%. 2.3. Примена Питагорине теореме

једнакокраки и једнакостранични троугао

1. a) O = 38 cm; б) h2 = b2 − ( a 2 )2 = 95, h ≈ 9,75 cm; в) P ≈ 68,25 cm2.

2. О = 8 + 2b = 30, 2b = 22, b = 11cm, b2 = h2+( a 2 )2 , h2 =105, h = √105 cm.

3. Р = a ∙ ha 2 , 16 = a ∙ 8 2 , 32 = 8a, a = 4 cm; b2= ha2+ ( a 2 )2 ; b2 = 82+ 22 = 68; b ≈ 8,25 cm.

4. b =10 cm, a =12 cm; ha = 8 cm; a ∙ ha = b ∙ hb; па је hb = 9,6 cm. 5.

c2 = a2+ a2, (√18 )2 = 2a2, 9 = a2 ⇒ a = 3 cm.

O = a + a + c, O = 3 + 3 + √18 , O = 3 + 3 +√9 ∙ 2 ,

O = 6 + 3√2 .

O ≈ 6 + 3 ∙ 1,41 = 6 + 4,23 = 10,23 cm. Edukapromo

рине теореме следи: AB² = T'B² + AT'² ⇒ T'B² = AB² − AT'² = 5² 4² = 25 16 = 9 ⇒T'B = 3.

троугла AT'B је: PAT'B = AT ' ∙ T'B 2 = 4 ∙ 3 2 = 6. PATB = PAT 'B = 6 cm².

7. О = 42 cm. 8. P = 36 cm2. 9.

oднос 1 : 100000 значи да 1 cm на мапи

a' = 10000 ∙ a = 100000 ∙ 2 cm = 200000 cm = 2 km; b' = 10000 ∙ b = 100000 ∙ 3 cm = 300000 cm = 3 km.

са Pp. Тада је Pm = a ∙ b 2 = 2 ∙ 3 2 = 3 cm2 и Pp = a' ∙ b' 2 = 2 ∙ 3 2 = 3 km2.

Pp ∙ Pm 2 = 3 ∙ km2 3 cm2 = 1

km2 1 cm2 = ( 100000 cm 1 cm )2 = 1000002. Дакле, Pp : Pm = 10000000000 : 1.

11. DE = 2EF = 10 cm. 12. a =4√2 cm.

13. x2+ x2 = c2 = 100; x2 = 50; x = 5√2 cm; P = x2 2 = 25 cm2.

14. a) МN = 3√2 cm, P = 4,5 cm2; б) МN = √13 cm, P = 3 cm2. 15.

17 cm.

Према томе, удаљеност тачке P од темена D износи: DP = DB – BP = 8√2 − (2√2 + 2√6) = 6√2 2√6 = 2√2 (3 − √3) ≈ 3,58 cm (√2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73).

16. У правоуглом троуглу важи да је c 2 = OA = OB = OC.

Важи да je β = ∢ABC = 22° 30' = ∢BCO. (Троугао BCO је једнакокраки.)

Угао ∢COD = 45° (Спољашњи угао троугла BCO једнак је

седна угла). Угао ∢DCO =

8 cm, тј. h = 4 cm. P = 12 ∙ 4 = 48 cm2.

6. а) 54 cm; б) 108 cm2. 7. а) 2,4 cm2; б) 6,8 cm; в) 24 17 cm.

8. d1 = 72 5 cm и d2 = 96 5 cm.

9. Pr = d1 ∙ d2 2 = 96; d1 = 3 4 d2; 3d22 8 = 96; d22 = 265;

d2 = 16 cm; d1 =12 cm.

a2 = ( d1 2 )2 + ( d2 2 )2 = 100; a =10 cm. Pk =100 cm2. Pk : Pr = 100 : 96 = 25 : 24.

10. a√3 2 = h = 6; a = 12 √3 ∙ √3 √3 = 4√3 cm; P = a h = 24√3 cm2.

60° a a h

11. Pr = 600 cm2; ar = ak = 25 cm; Pk = 625 cm2; Pk − Pr = 25 cm2. Површина ромба

за 25 cm2.

12. d1 = 2d2; P = d1 ∙ d2 2 = 16, d1 ∙ d2 = 32; 2d22 = 32; d22 =16, d2 = 4 cm, d1 = 8 cm. a2= d12+ d22 4 = 80 4 = 20; a = 2√5 cm, O = 4a = 8√5 cm.

13. Уписан четвороугао је ромб, па је: P = 30 ∙16 2 = 240 cm2; x2=152+ 82 = 225 + 64 = 289; x =17 cm. O = 4 ∙ 17 = 68 cm.

14. O = 4a = 16 cm; P = a2√3 2 = 8√3 cm2.

1. a = 25 cm; b = 15 cm.

3. P = 10 cm2; O = (12 + 2√2) cm.

4. x2 =172 82 = 289 64 = 225, x = 5; b = 35 − 2x = 35 − 30 = 5 cm.

5. P = (a + b) ∙ h 2 = (10 + 7) ∙ 5 2 ; P = 42,5 cm2; c = √52 + 32 = √25 + 9 = √34 cm; O = (7 + 5 + 10 + √34 )cm; O = (22 + √34 )cm.

6. P = (a + b) ∙ h 2 ; 31,2 = (20 + 6) ∙ h 2 ⇒ h = 2,4 cm; 72+ h2 = b2 ⇒ 72+ 2,42 = b2 ⇒ b = √49 + 5,76 = 7,4 cm.

7. Основица b = 8,2 cm.

8. a = 8, b = 4, h = c√3 2 = 2√3 cm, O = 20 cm. P = a + c 2 ∙ h = 12 2 ∙ 2√3 = 12√3 cm2. Површина трапеза је 12√3 cm2.

9. a =12 cm, b = 6 cm, h = 6 2 ∙ √3 cm, P = 27√3 cm2. a b h

5. x2 = 52 32 = 16; x = 4 cm.

3. а) 5 = 22 + 12,

17 = 16 + 1 = 42+ 12,

1 и 4.

6 = 5 + 1 = (√5 )2 + 12,

27 = 25 + 2 = 52 + (√2 )2,

1. б) d(AB) = √( 4 + 1)2 + ( 9 + 3)2 = √45;

d(BC) = √( 1− 5)2 + ( 3 − 10)2 = √205;

d(AC) = √(5 + 4)2 + (10 + 9)2 = √442.

в) Како тачке не припадају једној правој,

дате тачке су темена троугла.

2. А (х1, у1) = А (3, 0), В (х2, у2) = В (0, 1);

d(АВ) = √(х2 − х1)2 + (у2 − у1)2 =

√(0 − 3)2 + (1 − 0)2 = √10.

је

А (4, 2), В (−2, 4).

О = 4 d(АВ) = 4√(х2 − х1)2 + (у2 − у1)2

О = 4√(4 − (−2))2 + (2 − 4)2 = 4√40 , О = 8√10 ; d = d(АC) = √(4

4. а) −1; б) −38; в) 30; г) 38. 5. а) 3; б) −3; в) −2; г) 2.

6. а) 50; б) 37; в) 43. 7. 27. 8. Број је 5.

Како је

б) −216;

14. a) 3⁵ ∙ 3⁸ = 313.

15. б) 2⁴∙ (43: 4)3 = 21⁶; в) (23)2∙ 2⁴: 42 = 2⁶. 16. а) 52 = 25; б) −5; в) 1.

19. а) 0; б) 4. 20. x = 1. 21. R > P > Q. 22. а) 2⁷∙ 3⁴.

23. Вредност израза је 28. 24. 3. 25. в) 312. 26. а) 1; б) 5; в) 2.

27. в) 2⁹ + 21⁹. 28. д) 5761⁰⁰.

29. б) a⁴∙ a3 = a⁷; в) a1⁰: a3 = a⁷. 30. Тачно је: б) a⁴∙ a3 = a⁷; г) a⁶: a2 = a⁴.

а) a9; б) 8x⁸; в) x⁴ y⁴; г) 2x⁴ y3.

б) x⁶∙ x2 = x⁴∙ x⁴ = x⁸. 33. б) x⁷∙ x3 = x1⁰; г) x11: x⁵ = x⁶. 34. а) 2a⁶; б) a⁵; в) a⁶; г) a⁶. 35. а) 3x; б) x; в) x⁷; г) 1; д) x⁶; ђ) x2.

а) a3; б) a3; в) 8a; г) 3a2. 37. а) 7 4a ; б) 2x yz; в) 0; г) 8а⁴b2с2.

Тачно је в) 10a3 b : (−4ab) = −2,5a2.

39.

41.

50. а) 24 ∙ 10⁴; б) 2,4 ∙ 10⁵; в) 0,24 ∙ 10⁶;

1. а) 163 + 17 х + 25 х = 163 + 42 x; б) 45 х + 133 27 х = 18 x + 133; в) 36 х + 124 + 16 х = 52 x + 124; г) 25 х + 36 – 17 х = 8 x + 36.

2. а) 8y2 – 3y – 5y + 3y2 = 11 y2– 8y; б) −9а2+ 18а − 6а2− 9а = –15 а2 + 9 а; в) 6 ∙ 3y + 3(–y) = 15y; г) 7a – 4a – 3a = 0; д) 0,75a – 0,25a = 0,5a.

3. a) 8x2– 5x3; б) 4a⁴– a3; в) 2xy – 2x + y.

4. P(a) + Q(a) = (2a2 – a +1) + (8a3 + a2 – 2a + 4)= 2a2 – a + 1 + 8a3+ a2 – 2a + 4 = 8a3+ 3a2 – 3a + 5; P(a) – Q(a) = (2a2 – a + 1) – (8a3+ a2 – 2a + 4) = 2a2 – a + 1– 8a3 – a2+ 2a– 4 = –8a3+ a2+ a – 3.

5. а) 8x2+ 2x – 2; 2x2– 6x +12; б) 7x3– 8x + 5; –3x3– 2x2 + 7.

6. а) P – Q = 5x2– x; б) P + Q = –x2+ 9x – 2.

7. а) 2P(x,y) + 3Q(x,y) = 3x3 – xy + 5y2+ 4; б) 3P(x,y) – 4Q(x,y) = 13x3 – 10xy – y2 – 11.

8. a) 9x3 + 2x2 y – 2y3+ 8; б) 6x3– 8x2 y – 9xy2 + 3y3– 4.

9. а) P + Q + R = 4a2+ 12b2; б) P – 2Q – R = –9a2 – 3b2 + 10c3.

10. 2ab2 ∙ 3a2 b3 = 6a3 b⁵.

12. a) (–2x) ∙ x ∙ (–1) = 2x2. б) 3x ∙ 2y ∙ 6xy = 36x2 y2; в) 6y ∙ (–1 3 y2) = –2y3 г) 2 3 ab ∙ 12ab2 = 8a2 b3.

13. a) 2a2; б) 0; в) 4a2; г) 2x2. 14. а) –x2; б) 2x2 y; в) ab2– 2a2 b2 .

15. (a + 5) ∙ (a – 3) = a2 + 5a – 3a –15 = a2 + 2a –15.

16. Множимо сваки члан првог

4a(2a2– 3a + 4)

а) –2x2 + 10x – 5;

28. а) 4x⁴; б) 8x3 + 1.

29. Збир ова два производа једнак је 7.

1. На основу формуле за квадрат збира: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 следи да је: (3a + 2b)2 = (3a)2 + 2 ∙ 3a ∙ 2

2. Тачна једнакост је б) (2 – 3x)2 = 4 –12x + 9x2.

3. Тачне су: в) (a – 2x)(2a + x

одговор

г) ( 6a – 9c)2 = 36a2– 108a2 c + 81c2 ; д) (15y + 0,4 x3)2 = 225 y2+12x3 y + 0,16x⁶; ђ) (3a + 2,5b)2 = 9a2 + 15ab + 6,25b2.

19. –2x2 – 15x + 4. 20. Добија се 12ab. 21. a2+ b2 = 29.

22. (x + y)2 = x2+ 2xy + y2, па је x2+ y2 = (x + y)2– 2(x ∙ y) = 100 – 1 = 99.

23. (a + 1 a )2 = 9; (a + 1 a )2 = a2+ 2a 1 a + ( 1 a )2 = a2+ 2 + 1 a2 = 9; a2+ 1 a2 = 7.

24. (n + 1)2– n2 = n2+ 2n + 1– n2 = 2n + 1. То је непаран број.

25. a) (5,42 + 4,58)(5,42 – 4,58) = 10 ∙ 0,84 = 8,4; б) (107,23 – 7,23)2 = 1002 = 10000.

26. а) 1002000; б) –15. 27. Израз

28. Производ бројева је 0,9996.

вредност дату под в) 152.

29. а) 101 ∙ 99 = (100 + 1)(100 – 1) = 1002–12 = 10000 –1 = 9999; б) 39996; в) 999991.

30. а) 1052 = (100 + 5)2 = 1002 + 2 ∙ 100 ∙ 5 + 52 = 11025; б) 9409; в) 998001.

31. Вредност израза је –0,9998. 32. 6x2 – 12xy + 6y2 = 6(x – y)2 = 6 ∙ 102 = 600.

33. Бројевна

је 50 000.

34. x2 – 4x + 4 – x2 – 4x – 4 = –8x = –8 ∙ 1 4

36. x2– y2 = (x + y)(x – y) = 15 ∙ 4 = 60.

1. а) 22 ∙ 3 ∙ 7; б)

3. a(3x –1) ∙ (3x +1).

4. а) (x –1) ∙ (x +1);

∙ (x – 5); в) ( 1 2 – x)2.

6. a) 2a2 b ∙ (5a – 1); б) x ∙ (0,4x – 1) ∙ (0,4x + 1).

7. а) (y – 2) ∙ (y + 2); б) (3x – 4) ∙ (3x + 4); в) (x – 4) ∙ (x + 6); г) 3(a – b)2; д) a(x + 2)2.

8. а) 10a3 b – 8a2 b = 2a2 b(5a – 4); 6) 16x2 – 1 = (4x –1) ∙ (4x +1).

9. д) 2x3 – 6x2– 8x + 24 = 2 (x3– 3x2– 4x + 12) = 2((x3– 3x2) – 4(x – 3)) = 2(x2 (x – 3) – 4(x – 3)) = 2 (x – 3)

10. а) x = –4; б) x = –2.

11. а) x = 0; б) x = –2 или x = 0.

12. x = –7 3 . 13. а) x2– 7x + x – 7 = (x2 – 7x) + (x – 7) = x(x – 7) + (x – 7) = (x – 7)

(x +1) = 0; x – 7 = 0 или x + 1 = 0; x = 7 или x = –1; 6) x2+ 3x + 2x + 6 = (x2+ 3x) + (2x + 6) = x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3) ∙ (x + 2) = 0; x + 3 = 0 или x + 2 = 0; x = –3 или x = –2.

5. а) n – 3 = 9, n = 12; б) Dn = 54.

6. а) 77 дијагонала; б) 170 дијагонала; в) 324

7. Dn = n(n – 3) 2 = 35 ⇒ n2 – 3n – 70 = 0, n2 – 10n + 7n – 70 = 0 n(n – 10) + 7(n –10) = 0 ⇒ (n – 10)(n + 7) = 0 , па је n1 = 10, n2 = –7. Дакле,

Петоугао.

11. Dn =

5. Sn = (n – 2)180° = 10 ∙ 180° = 1800° је збир унутрашњих углова.

6. n(n – 3) 2 = 189; n(n – 3) = 378; n = 21; S21 = 19 ∙ 180° = 3420°.

7. a) Sn = 1620° = (n – 2)180°, n – 2 = 9, n = 11.

б) Dn = n(n – 3) 2 = 11 ∙ 8 2 = 44.

8. а) α + α1 = 180°, α1 =180°– 160° = 20°; n = 360° 20° =18.

б) D18 = 18 ∙ 15 2 = 135.

9. Dn = n(n – 3) 2 = 5n; n – 3 2 = 5, n = 13; S13 = (13 – 2) ∙ 180° = 1980°.

10. Ако се продуже краци

6. n = 360° 20° = 18; D18 = 18 ∙ (18 – 3) 2 = 18 ∙ 15 2 = 135.

7. α9 = (9 – 2) 180° 9 = 140°, D9 = 9 ∙ (9 – 3) 2 = 9 ∙ 6 2 = 27.

8. a) n =10; б) D10 = 10 ∙ 7 2 = 35; в) φ = 360° 10 = 36°; г) α10 = (10 – 2)∙ 180° 10 = 144°.

9. a) Број страница је 360° : 30° = 12; б) Број дијагонала је Dn = n (n – 3) 2 = 12 ∙ 9 2 = 54; в) Број оса симетрије је 12; г) Збир свих унутрашњих углова је (12 – 2) ∙ 180° = 1800°.

10. Правилни многоугао има 360° : 9° = 40 углова, па је у питању четрдесетоугао. Унутрашњи угао износи 171°, па је збир унутрашњих углова S9 = 40 ∙ 171° = 6840°. Број дијагонала је D40 = 740.

11. (n – 2) 180° n + 10 = (2n – 2) 180° 2n ; (n – 1) 180° n –(n – 2) 180° n = 10; 180° n = 10; n = 18.

12. αn' = 1°, па је αn = 179°. Тачан одговор је под а).

13. αn' = (n – 2) 180° n = 144°; αn' = 360° n = 36°, n = 10, D10 = 10 ∙ 7 2 = 35.

14. ∢BDE = 72°.

15. а) D8 = 8 ∙ 5 2 = 20; б) S8 = 6 ∙ 180° = 1080°; в) α8 = 135°, α8' = 45°; г) φ = 45°.

16. а) n = 12; б) φ = 30°; в) ∢ABO = ∢BAO = 75°, ∢AOB = φ = 30°.

17. n(n – 3) 2 = 135; n(n – 3) = 27 = 9 ∙ 3

18. (n – 3)(n + 3) = 24 = 3 ∙ 8, па је n = 6.

Опис конструкције:

Нацрта се дуж A1A2

дате дужине а.

У тачкама A1 и A2 конструишу се

углови од 135°.

(Може се конструисати угао од 45°

као спољашњи угаo.)

Нађу се симетрале тих углова.

Пресек симетрала одређује тачку O.

Конструише се кружница са

центром у тачки O и са полупречником OA1.

Други крак угла у тачки A2 сече кружницу у тачки A3. Остале тачке A4, A5, A

a = 2√3 cm, b = c = d = √3 cm, O = 5√3 cm, h = 1,5 cm, P = 2,25√3 cm2.

5. O = 5(3√2 + 2) cm, P = 37,5 cm2. 6. rо = a = 3 cm, О = 18 cm, P = 13,5 √3 cm2.

3. ВС = 12 cm.

AB 2 = 4 cm, dАВ2 = 52– 42 = 9, dАВ = 3 cm.

CD 2 = 2 cm,

Углови

13.

2. r = 6 cm, O = 12 π cm.

10. r2 π = 4 π cm, r = 2 cm, па је h = 4 cm. Edukapromo

P1 P2 = r12π r22π = (2r2)2π r22π = 4r22π r22π = 4.

5. a = √32 = 4√2, 2 ∙ r = d = a√2 = 8, r = 4cm, P = 16π cm2.

6. h = a√3 2 = 6√3 2 = 3√3; r = 2 3 h = 2 3 ∙ 3√3 = 2√3 cm; P = r2 π = (2√3)2 π =12 π cm2.

7. P = 6,25π cm2.

8. а) a = 5 m, b =12 m, c = √25 + 144 = 13 m; r = c 2 = 13 2 m; P = 169 4 π cm2; б) r = a + b – c 2 = 5 + 12 – 13 2 = 2 cm; P = 4π cm2.

9. AC = √36 + 64 = 10; r = a + b – c 2 = 4 2 = 2 cm; d = 2r = 4 cm; Pk = d2 2 = 8cm2.

P = a + b 2 ∙ h = 20 cm2, a + b = 10 cm, a + b = 2c, c = 5 cm, O = 20 cm.

11. r = 4 cm. 12. r = 5√3 2 . 13. O = 48 π cm.

14. ru = 1 6 a√3 , ro = 1 3 a√3 , ro ∙ ru = 6 cm2, a2 2 = 6 cm2, a2 = 36 cm2, a = 6 cm, ro = 2√3 cm2, ru = √3 cm2. PT : Po : Pu = 12π : 9√3 : 3π ≈ 37,7 : 15,6 : 9,4. 5.3.1.

15. O = 100 ( 1 + π 3 ) cm, P = 2500 3 π cm2.

P = ( π 2 – √2) cm2.

17. Pi = r ∙ l 2 ; 10 = r ∙ 5 2 ; r = 4 cm. 18. P = 25 π cm2.

19. P ≈ 5 ∙ 2 – 2 π ≈ 10 – 6,28 = 3,72 cm2. 20. P = 4 ∙ (4 – π) cm2.

21. а) Pp = 8 cm2; Poc = 8 – π ≈ 8 – 3,14 = 4,86 cm2; Pp : Poc ≈ 8 : 4,86 = 100 : x; x = 486 : 8 = 60,75%. б) Pp = 8 cm2; Poc = 8 – 2π cm2 ≈ (8 – 6,28) cm2 = 1,72 cm2; Pp : Poc ≈ 8 : 1,72 = 100 : x; x = 172 : 8 = 21,5%.

22. a) Pi = r2 ∙ π 360°

26. R2 = r2+ ( AB 2 )2 ; R2 – r2 = 16; P = R2 π – r2 π = (R2 – r2) π = 16 π cm2.

27. r1 = 1

O = 1 2 (2r1 π + 2r2 π + 2r3 π)cm = 6π cm; P = 1 2 (r12 π – r32 π + r22 π) = 3π cm2.

28. P = 7 π cm2.

29. r = a√2 2 = 2√2 , P1 = (8 π – 16) ≈ 9,12 cm2.

30.

Како је a2 = 36 cm2, a = 6 cm. Po = 36 –1 2 ∙ 9π = 36 – 4,5π ≈ 36 – 14,13 = 21,87 cm2.

31. Pо = 1 4 ∙ 102 π + 52 π = 50π cm2.

32. Pš = 6 a2√3 4 = 6 16√3 4 cm2 = 24√3 cm2 ≈ 41,52 cm2; r = 4 cm;

Pok = 16π cm2 ≈ 50,24 cm2;

Pok – Pš ≈ 8,72 cm2.

б) Puk = 12π cm2 ≈ 37,68 cm2; r = 2√2 cm; Pš – Puk = 3,84 cm2.

33. а) Pо = 2 r2π ∙ 45 360 = 25π cm2; б) d = 10√2 ≈ 10 ∙ 1,41 = 14,1; x = d – 10 = 4,1 cm; l = 2rπ ∙ 45 360 = r π 4 = 2,5 π ≈ 7,85 cm; O = 2 ∙ a + 2 ∙ l + 2 ∙ x ≈ 20 + 15,7 + 8,2 = 43,9 cm.

5. а) А1 (–1, –5), В1 (–1, –5), С1 (–5, –5);

б) А2 (1, –5), В2 (5, –1), С2 (5, –5);

в) А3 (5, 1), В3 (1, 5), С3 (5, 5).

6. а) А1 (3, 4), В1 (0, 7), С1 (–3, 4), D1 (0, 0);

б) А1 (0, 7), В1 (3, 4), С1 (6, 7), D1 (3, 10).

12.

13. 7,8.

14.

15. 9,25.

16. Не.

17.

18. а) x = 5400 kg; б) Mе = 5400

24. Растући низ је:

а) 1, 2, 2, 4, 5, 6, 6, 8. x = 4,25; Mе = 4,5.

б) –3,5; –3; 1; 1,4; 2; 3,8; 4,3; 7. x = 1,6; Mе = 1,7.

25. а) x = 83; б) Mе = 84.

26. а) x =38; б) Mе = 38. Три дана је продато мање од 38 књига, а три дана је продато више од 38 књига, па је то вредност медијане.

27. а) x = 270; б) Mе = 250. Петком се продаје 250 сладоледа.

28. а) Најмања вредност се постиже