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Polinômios 2
POLINÔMIOS DEFINIÇÃO Um polinômio na variável x é uma expressão que pode ser reduzida a forma: P(x) = anxn + an-1 . xn-1 + an-2 . xn-2 + ... + a2.x2 + a1.x1 + a0
Podendo ser denominada polinomial ou simplesmente polinômio.
2
2x + 3x + 1 = ax + ax + bx + b 2x2 + 3x + 1 = ax2 + (a + b)x + b Comparando os coeficientes, teremos: a=2 a+b=3 b=1
função
Na função polinomial: • an, an – 1, an – 2, ..., a2, a1, a0 são constantes complexas chamadas coeficientes; • se an ≠ 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos Gp = n.
VALOR NUMÉRICO O valor numérico de um polinômio é dado para um valor de x qualquer, que substituindo-se substituindo na equação, obteremos o valor numérico do mesmo. Se para um valor qualquer x = b, temos P(b) = 0, o número b é denominado raiz ou zero de P(x).
IDENTIDADE DE POLINÔMIOS MIOS Dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. “A A condição necessária e suficiente para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes tes dos termos correspondentes sejam iguais.” Exemplo:: Determinar a e b em cada identidade abaixo: a) 2x2 + 3x + 1 ≡ (ax + b) . (x + 1) b) x2 – ax + b ≡ (x + 3)2 Resoluções: a) Aplicando a propriedade distributiva no segundo membro da igualdade, obtemos:
b) Desenvolvendo o quadrado perfeito no segundo membro, obtemos: x2 – ax + b = x2 + 6x + 9 Comparando os coeficientes, teremos: −a = 6 b=9 Respostas: a) a = 2 e b = 1 b) a = −6 e b = 9
ℵ Exercícios Resolvidos ℵ R1) Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x3 − 7x2 + 3x − 4 para x = 2. Resolução: Para obtermos o valor numérico de P(x) para x = 2, basta substituirmos x = 2: 3 2 P(2) = 2 − 7.2 + 3.2 − 4 = 8 – 28 + 6 – 4 = −18 ∴ P(2) = −18 R2) Determine o valor real de a,, sabendo que o polinômio g(x) = (a2 − 16)x3 + (a + 4)x2 + 5x − 1 possui grau 1. Resolução: Para o polinômio g(x) possuir grau 1 devemos ter: a2 – 16 = 0 e a + 4 = 0 Logo, a2 = 16 (da primeira igualdade) ⇒ a = ± 4 a = −4 4 (da segunda igualdade) Conclui-se portanto que a = −4, 4, pois desta forma teremos o polinômio g(x) = 5x − 1, tal que Gg = 1 R3) Calcule o valor real de k, sabendo que o número 4 é raiz do polinômio: 3 2 p(x) = (k – 1)x – (2k + 1)x – 16. Resolução: Se 4 é raiz do polinômio, então o valor numérico de p(x) para x = 4 é zero, ou seja, p(4) = 0, logo: p(4) = (k – 1)43 – (2k + 1)42 – 16 ⇒ p(4) = 64k – 64 – 32k – 16 – 16 = 32k – 96 mas p(4) = 0, então: 32k – 96 = 0 ⇒ 32k = 96 ∴k=3