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Polinômios 2
POLINÔMIOS DEFINIÇÃO Um polinômio na variável x é uma expressão que pode ser reduzida a forma: P(x) = anxn + an-1 . xn-1 + an-2 . xn-2 + ... + a2.x2 + a1.x1 + a0
Podendo ser denominada polinomial ou simplesmente polinômio.
2
2x + 3x + 1 = ax + ax + bx + b 2x2 + 3x + 1 = ax2 + (a + b)x + b Comparando os coeficientes, teremos: a=2 a+b=3 b=1
função
Na função polinomial: • an, an – 1, an – 2, ..., a2, a1, a0 são constantes complexas chamadas coeficientes; • se an ≠ 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos Gp = n.
VALOR NUMÉRICO O valor numérico de um polinômio é dado para um valor de x qualquer, que substituindo-se substituindo na equação, obteremos o valor numérico do mesmo. Se para um valor qualquer x = b, temos P(b) = 0, o número b é denominado raiz ou zero de P(x).
IDENTIDADE DE POLINÔMIOS MIOS Dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. “A A condição necessária e suficiente para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes tes dos termos correspondentes sejam iguais.” Exemplo:: Determinar a e b em cada identidade abaixo: a) 2x2 + 3x + 1 ≡ (ax + b) . (x + 1) b) x2 – ax + b ≡ (x + 3)2 Resoluções: a) Aplicando a propriedade distributiva no segundo membro da igualdade, obtemos:
b) Desenvolvendo o quadrado perfeito no segundo membro, obtemos: x2 – ax + b = x2 + 6x + 9 Comparando os coeficientes, teremos: −a = 6 b=9 Respostas: a) a = 2 e b = 1 b) a = −6 e b = 9
ℵ Exercícios Resolvidos ℵ R1) Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x3 − 7x2 + 3x − 4 para x = 2. Resolução: Para obtermos o valor numérico de P(x) para x = 2, basta substituirmos x = 2: 3 2 P(2) = 2 − 7.2 + 3.2 − 4 = 8 – 28 + 6 – 4 = −18 ∴ P(2) = −18 R2) Determine o valor real de a,, sabendo que o polinômio g(x) = (a2 − 16)x3 + (a + 4)x2 + 5x − 1 possui grau 1. Resolução: Para o polinômio g(x) possuir grau 1 devemos ter: a2 – 16 = 0 e a + 4 = 0 Logo, a2 = 16 (da primeira igualdade) ⇒ a = ± 4 a = −4 4 (da segunda igualdade) Conclui-se portanto que a = −4, 4, pois desta forma teremos o polinômio g(x) = 5x − 1, tal que Gg = 1 R3) Calcule o valor real de k, sabendo que o número 4 é raiz do polinômio: 3 2 p(x) = (k – 1)x – (2k + 1)x – 16. Resolução: Se 4 é raiz do polinômio, então o valor numérico de p(x) para x = 4 é zero, ou seja, p(4) = 0, logo: p(4) = (k – 1)43 – (2k + 1)42 – 16 ⇒ p(4) = 64k – 64 – 32k – 16 – 16 = 32k – 96 mas p(4) = 0, então: 32k – 96 = 0 ⇒ 32k = 96 ∴k=3
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Polinômios 3
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS ADIÇÃO Dados os polinômios n n-1 2 1 A(x) = anx + an-1 . x + ... + a2.x + a1.x + a0 e n n-1 2 B(x) = bnx + bn-1 . x + ... + b2.x + b1.x1 + b0 Chama-se soma de A(x) com B(x), e se indica por A(x) + B(x), ao polinômio S(x) tal que: S(x) ≡ (an + bn).xn + (an-1 + bn –1).xn-1 + ... + (a2 + 2 1 b2).x + (a1 + b1).x + (a0 + b0) SUBTRAÇÃO Dados os polinômios A(x) = anxn + an-1 . xn-1 + ... + a2.x2 + a1.x1 + a0 e n n-1 2 1 B(x) = bnx + bn-1 . x + ... + b2.x + b1.x + b0 Chama-se diferença de A(x) com B(x), e se indica por A(x) - B(x), ao polinômio D(x) tal que: D(x) ≡ (an - bn).xn + (an-1 - bn –1).xn-1 + ... + (a2 - b2).x2 + (a1 - b1).x1 + (a0 - b0) MULTIPLICAÇÃO O produto de dois polinômios A(x) e B(x), que se indica por A(x) . B(x), obtém-se se pela soma algébrica dos produtos de cada termo de um polinômio pelo outro polinômio.
ℵ Exercício Resolvido ℵ R4) Dados P(x) = 2x + 3 e G(x) = 5x2 + 4x + 1, determine: a) P(x) + G(x) b) P(x) − G(x) c) P(x) × G(x) Resolução: 2 a) P(x) + G(x) = (2x + 3) + (5x + 4x + 1) 2 = 5x + 2x + 4x + 3 + 1 = 5x2 + 6x + 4 ∴ P(x) + G(x) = 5x2 + 6x + 4
2
= 10x + 23x + 14x + 3 ∴ P(x) × G(x) = 10x3 + 23x2 + 14x + 3 Observação: O grau do polinômio na soma e na subtração prevaleceu o grau do polinômio de maior grau, já na multiplicação somou-se se os graus dos dois polinômios (fatores). DIVISÃO Chama-se divisão de um polinômio A(x) por um polinômio B(x) não-nulo nulo a operaç operação que fornece um único par de polinômios Q(x) e R(x) satisfazendo as seguintes condições: A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x) e GR < GB ou R(x) ≡ 0 Sendo A(x): dividendo B(x): divisor Q(x): quociente R(x): resto
A(x)
B(x)
R(x)
Q(x)
Observação: Quando A(x) é divisível por B(x) ou B(x) é divisor de A(x), dizemos que a divisão é exata, isto é, R(x) = 0. MÉTODO DA CHAVE O método da chave para divisão de polinômios lembra o método da divisão de números inteiros. Explicaremos o método dividindo o polinômio 3 2 2 P(x) = 8x + 8x – 21x + 7 pelo polinômio D(x) = 4x − 6x + 3. 1º.) Dispomos o dividendo e o divisor lado a lado como se fôssemos dividir números inteiros. 3
2
8x + 8x – 21x + 7
4x2 − 6x + 3
3
2
b) P(x) − G(x) = (2x + 3) − (5x + 4x + 1) = 2x + 3 − 5x2 − 4x − 1 2 = −5x − 4x + 2x + 3 − 1 2 = −5x − 2x + 2 2 ∴ P(x) − G(x) = −5x − 2x + 2 c) P(x) × G(x) = (2x + 3) × (5x2 + 4x + 1) = 10x3 + 8x2 + 2x + 15x2 + 12x + 3 3 2 2 = 10x + 8x + 15x + 2x + 12x + 3
2º.) Dividimos o primeiro monômio do dividendo (8x ) pelo primeiro monômio do divisor (4x2), obtendo assim o primeiro termo do quociente. 3
2
8x + 8x – 21x + 7
4x2 − 6x + 3 2x
3º.) Multiplicamos o primeiro monômio do quociente (2x) pelo divisor e subtraímos o resultado obtido dos
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respectivos termos do dividendo, obtendo o primeiro resto parcial. 3
2
8x + 8x – 21x + 7 −8x3 + 12x2 – 6x 2
20x – 27x + 7
4x2 − 6x + 3 2x resto parcial
4º.) Transformando o resto parcial em um novo dividendo, repetimos o segundo e o terceiro passos até obter o resto que possui grau menor que o divisor ou é nulo. 8x3 + 8x2 – 21x + 7 3
2
Polinômios DISPOSITIVO DE BRIOT BRIOT-RUFFINI Neste item, vamos utilizar um dispositivo muito simples e prático para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax + b). Exemplo:: Determinar o quociente e o resto da 3 2 divisão de P(x) = 3x – 5x + x – 2 por (x – 2). escreve-se a raiz do divisor, 1º.) Numa mesma linha, escreve separando-a a por um traço vertical dos coeficientes do dividendo colocados em ordem decrescente dos expoentes de x.
4x − 6x + 3 coeficientes do dividendo
2
−8x + 12x – 6x 2
20x – 27x + 7
2
2x + 5
2
−20x +30x − 15
quociente
3x − 8 resto
DIVISÃO DE UM POLINÔMIO POR UM BINÔMIO DA FORMA (ax + b) Calculando a divisão de P(x) = 4x2 – 2x + 3 por B(x) = 2x – 1 obteremos R(x) = 3 e Q(x) = 2x A raiz do divisor é: 2x – 1 = 0 ⇒ x = ½ 2 Calculemos agora, P(½) = 4. (½) – 2.(½) + 3 = 3 Observe que R(x) = P(½) = 3.
3
−5
2º.) Na linha abaixo da dos coeficientes de P(x), repete-se se o coeficiente do termo de maior grau de P(x). Este é o coeficiente do termo de maior grau do quociente Q(x). 2
3
−5
1
−2
coeficientes do quociente
3
coeficiente do termo de maior grau
3º.) Multiplica-se se pela raiz do divisor este primeiro coeficiente obtido e adiciona-se se o produto obtido ao segundo coeficiente do dividendo, obtendo obtendo-se assim o segundo coeficiente do quocient quociente. 2
3
“O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (ax + b) é igual a P(-b/a).” b/a).”
+
−5
1
II 1
3
×
“Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio (ax + b) b se, e somente se, P − = 0.” a
−2
raiz do divisor
TEOREMA DO RESTO
TEOREMA DE D’ALEMBERT
1
−2
2º coef. do quociente
4º.) De modo análogo ao 3º. passo, obtém obtém-se o terceiro coeficiente do quociente.
+ 2
3
−5
3
× 1
1
II 3
3º coef. do quociente
−2
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5º.) Com este procedimento, obtêm-se se todos os coeficientes de Q(x); o último número desta linha, separado por uma barra vertical, é o resto. 2
3
−5
1
−2
3
1
3
4
coeficientes do quociente
Polinômios P9) Determine k de modo que o polinômio x3 − 2x + k seja divisível por x − 1. (Sugestão: use o teorema do resto, ou de D’Alembert) P10) Determine m para que o resto da divisão de f(x) 3 2 = 2x − mx − x + 5 por g(x) = x + 3 seja igual a 3. P11) Determine o quociente e o resto da divisão de f(x) por g(x) em cada caso, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini: 3 2 a) f(x) = 3x − 4x − x + 1 e g(x) = x − 2 5 3 2 b) f(x) = x − 3x + x − 1 e g(x) = x + 1 4 2 c) f(x) = x − 21x − 10x − 1 e g(x) = x − 5
Resto
3
Resposta: Q(x) = 3x + x + 3 e R(x) = 4
3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS P1) Determine k a fim de que o polinômio p(x) = (k2 − 9)x3 + (k − 3)x − 1 tenha grau 1. P2) Determine a e b a fim de que o grau do polinômio f(x) = (a − b)x2 + (2a − 3b + 2)x + 2 seja igual a zero. P3) Determine o valor numérico do polinômio p(x) = 2 2x − 5x + 1 para: a) x = 2 1 b) x = 2 c) x = 0 d) x = i P4) Sabendo que x = 1 é raiz de p(x) = x3 − mx2 + 2, determine o valor de m. P5) Determine o polinômio do segundo grau tal que p(0) = 3, p(1) = 7 e p(−2) 2) = 9. (Sugestão: o polinômio procurado é do tipo p(x) = ax2 + bx + c) P6) Determine a, b e c de modo que (a − 1)x3 + (a − b)x2 + (2b − c)x ≡ 4x3 − x2 + 5x 3
3
2
P7) Sejam os polinômios f(x) = x + 2, g(x) = 2x + 4x 1 − 3x − 5 e h(x) = x2 − 1. Determine: 2 a) f(x) + g(x) b) g(x) − h(x) c) f(x) . g(x)
P8) Determine o resto e o quociente da divisão de p(x) = 2x2 − 5x + 3 por d(x) = 2x − 1.
2
P12) O polinômio f(x) = x + ix + 7x + m é divisível por x − 2i. a) Determine m. b) Determine o quociente dessa divisão.