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A notação de potência é muito útil quando queremos escrever números muito grandes de maneira rápida e que ocupe pouco espaço. Astrônomos, biólogos, matemáticos, físicos e outros cientistas lidam, em seu dia diaa-dia, com números que, se fossem escritos na representação decimal, trariam sérios transtornos para quem escreve e para quem lê. Quantidade de água na Terra Das substâncias existentes na superfície do nosso planeta, a água é a que esta presente em maior quantidade. Há 1 milhão de milhão de milhão de toneladas de água na superfície da Terra. Esse número pode ser escrito 1.000.000.000.000.000.000 toneladas Poderíamos ter usado a seguinte representação, “Há 1018 toneladas de água na superfície da Terra.”, facilitando facil assim a escrita do texto original. Sendo a um número real e n um número inteiro (n>1) , temos:
Pote enciação 25
24
23 22 21 20 2-1 2-2 ...
32 16
8
4
2
1
1 2
1 4
...
Se a é um número real e diferente de zero, e se n é um número inteiro, podemos dizer que:
a0 = 1
a1 = a
1 ( a ≠ 0) an
a −n = Exemplos: a) 51=5 b) 130=1 c) 7−2 = 7 5
1 7
2
−2
=
1 49
5 7
2
d) = = 6 9
an = a × a × a × a × ... × a
−2
25 49
9 6
2
e) − − = − − = −
81 9 =− 4 36
n fatores
Observações: Para todo número inteiro n, temos 1n = 1; (−1)n = 1 se n for um número par; n (−1) = −1 1 se n for um número impar; n Para n inteiro positivo, 0 =0; Para n inteiro negativo, não se define 0n, isto é, esse valor não existe; Não daremos significado para 00.
Onde: a ⇒ base da potência; n ⇒ expoente.
Exemplos: a) 33 = 3 × 3 × 3 = 27 b) (−4)2 = (−4) × (−4) = 16 c) 122 = 12 × 12 = 144 d) −32 = −(3) × (3) = −9 e) (−2)2 = (−2) × (−2)= 8 2 3
3
f) =
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS Sendo a e b, números reais e m e n,
8 27
números inteiros, propriedades:
Observe a tabela a seguir onde o termo seguinte foi obtido através da divisão do número pela própria base:
valem
as
seguintes
MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
1
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“Sempre que houver multiplicação de potências de mesma base, conservaremos a base e somaremos os expoentes”.
Pote enciação POTÊNCIA DE POTÊNCIA
“Numa potência de outra potência, conservaremos a base e multiplicar multiplicaremos os expoentes”.
(a )
a n ⋅ a m = a m+n
n m
= a n× m
Exemplos: a) (22)3 = 26 = 64 b) (92)− 3 = 9− 6 = (32)− 6 = 3−12
Exemplos: 22 × 23 = 22 + 3 = 25 = 32 73 . 75 . 78 . 7−4 = 73 + 5 + 8 − 4 = 712 DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
Observações: 6 ( 2 3 ) 2 = (2 2 ) 3 = 2 = 64
“Sempre que houver divisão de potências de mesma base, conservaremos a base e subtrairemos os expoentes”.
23
2
(2 3 ) 2 ≠
2 3 = 23 × 3 = 29 = 512
2
Todas as propriedades das potências valem nos dois sentidos. Exemplos: a) 2 x + 3 = 2 x ⋅ 2 3
an = a n − m (a ≠ 0) m a
( ) = (6 )
b) 6 3 x = 6 3
Exemplos:
x 3
x
2
c) 3 2 ⋅ 5 2 = (3 ⋅ 5) = 15 2
22 1 2 −3 = 2 −1 = 23 = 2 2 5
2
3
a ÷a =a 3 5 8 −4 3− 7 ÷7 ÷7 ÷7 =7 −7 5 −7 − 5 − 12 4 ÷4 =4 =4
NOTAÇÃO CIENTÍFICA 5 − 8 − (−4)
= 7−6
Cientistas usam a notação de potência para ara escrever números muito grandes (ou muito pequenos). Essa forma de escrever um número qualquer (não nulo) é chamada notação científica, científica que pode ser apresentada nas formas:
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE POTÊNCIAS COM EXPOENTES IGUAIS E BASES DIFERENTES
“Nas multiplicações ou divisões de potências de mesmo expoente e conservaremos o expoente e multiplicaremos ou dividiremos emos as bases”.
n
n
a ⋅ b = ( a ⋅ b)
n
ou
an a = bn b
M = a ⋅10 n
ou
M = −a ⋅10 n
onde M é o número a ser apresentado, n é um número inteiro e a é maior ou igual a 1 e menor que 10, isto é, 1 ≤ a < 10 . Para escrever um número usando a notação científica, devemos lembrar que:
n
Exemplos: 22 × 32 = (2 × 3)2 = 62 = 36 102 ÷ 22 = 52 = 25
n
Multiplicar um número por 10 , sendo n
inteiro positivo, tivo, é o mesmo que deslocar a vírgula para a direita n “casas”
2
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decimais. Se n é inteiro negativo, desloca-se se a vírgula n “casas” para a esquerda. Um número não se altera ao ser multiplicado por 10 n ×10 − n , pois 10 n × 10 −n = 10 0 = 1 , que é o elemento neutro da multiplicação.
d) 1
0,0007 =
e)
1 3
7 – Simplificando-se a)
86
212
Exemplos: 23 000 = 23×1000 1000 = 2,3×10 2,3 000 = 2,3×104
Pote enciação
b)
2 24 c) 16 8
obtém-se: d)
2 36
2
8 - Calcule o a) 14 d) (−5)3 g) (−5)2 j) (−5)−2 m) (−5)0
7 7 = 4 = 7 × 10 − 4 10000 10
2 4 3
(2 )
valor das potências abaixo: b) 03 c) 53 3 e) −5 f) 52 2 h) −5 i) 5−2 −2 k) −5 l) 50 0 n) −5
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9 - Encontre o valor das expressões: a) (−1)0 + (−6) ÷ (−2) − 24
1 – Escreva os números a seguir, utilizando a notação científica. a) 72 000 b) 6 250 000 c) 0,00073 d) 0,00001 e) 77 ⋅ 1012 f) 0,007 ⋅ 10 7
3 2
2 – (FCC-SP) Se A = (6 2 ⋅ 9 2 ) −4 ,então A é igual a: a) d)
1 4 1 5410
b) 3 −24 ⋅ 2 −6
c)
1 3 ⋅ 28 48
e) 54 −28
26
25
3 – (FUVEST-SP) Se 4 ⋅ 5 = com 1 ≤ a < 10 , então n é igual a: a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28
2
1 2
−2
5 2
b) + .
a ⋅ 10 n ,
4 – (UNICAMP-SP) a) Calcule as seguintes potências: a = 3 2 , b = ( −2) 3 , c = (3) −2 e d = (−2) −3 . b) Escreva os números a, b, c e d em ordem crescente. 5 – (FUVEST-SP) SP) Qual é a metade de 2 22 ? 6 - Simplificando a expressão [29 ÷ (22 . 2)3]−3, obtém-se: a) 236 b) 2−30 c) 2−6
3
e)