Lista algebra potenciacao

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A notação de potência é muito útil quando queremos escrever números muito grandes de maneira rápida e que ocupe pouco espaço.

Astrônomos, biólogos, matemáticos, físicos e outros cientistas lidam, em seu dia diaa-dia, com números que, se fossem escritos na representação decimal, trariam sérios transtornos para quem escreve e para quem lê.

Quantidade de água na Terra Das substâncias existentes na superfície do nosso planeta, a água é a que esta presente em maior quantidade.

Há 1 milhão de milhão de milhão de toneladas de água na superfície da Terra.

Esse número pode ser escrito 1.000.000.000.000.000.000 toneladas Poderíamos ter usado a seguinte representação, “Há 1018 toneladas de água na superfície da Terra.”, facilitando facil assim a escrita do texto original.

Sendo a um número real e n um número inteiro (n>1) , temos:

Pote enciação 25

24

23 22 21 20 2-1 2-2 ...

32 16

8

4

2

1

1 2

1 4

...

Se a é um número real e diferente de zero, e se n é um número inteiro, podemos dizer que:

a0 = 1

a1 = a

1 ( a ≠ 0) an

a −n = Exemplos: a) 51=5 b) 130=1 c) 7−2 = 7 5

1 7

2

−2

=

1 49

5 7

2

d)   =   =  6  9

an = a × a × a × a × ... × a

−2

25 49

 9  6

2

e) −  −  = −  −  = −

81 9 =− 4 36

n fatores

Observações: Para todo número inteiro n, temos 1n = 1; (−1)n = 1 se n for um número par; n (−1) = −1 1 se n for um número impar; n Para n inteiro positivo, 0 =0; Para n inteiro negativo, não se define 0n, isto é, esse valor não existe; Não daremos significado para 00.

Onde: a ⇒ base da potência; n ⇒ expoente.

Exemplos: a) 33 = 3 × 3 × 3 = 27 b) (−4)2 = (−4) × (−4) = 16 c) 122 = 12 × 12 = 144 d) −32 = −(3) × (3) = −9 e) (−2)2 = (−2) × (−2)= 8 2 3

3

f)   =

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS Sendo a e b, números reais e m e n,

8 27

números inteiros, propriedades:

Observe a tabela a seguir onde o termo seguinte foi obtido através da divisão do número pela própria base:

valem

as

seguintes

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

1

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“Sempre que houver multiplicação de potências de mesma base, conservaremos a base e somaremos os expoentes”.

Pote enciação POTÊNCIA DE POTÊNCIA

“Numa potência de outra potência, conservaremos a base e multiplicar multiplicaremos os expoentes”.

(a )

a n ⋅ a m = a m+n

n m

= a n× m

Exemplos: a) (22)3 = 26 = 64 b) (92)− 3 = 9− 6 = (32)− 6 = 3−12

Exemplos: 22 × 23 = 22 + 3 = 25 = 32 73 . 75 . 78 . 7−4 = 73 + 5 + 8 − 4 = 712 DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

Observações: 6 ( 2 3 ) 2 = (2 2 ) 3 = 2 = 64

“Sempre que houver divisão de potências de mesma base, conservaremos a base e subtrairemos os expoentes”.

23

2

(2 3 ) 2 ≠

2 3 = 23 × 3 = 29 = 512

2

Todas as propriedades das potências valem nos dois sentidos.

Exemplos: a) 2 x + 3 = 2 x ⋅ 2 3

an = a n − m (a ≠ 0) m a

( ) = (6 )

b) 6 3 x = 6 3

Exemplos:

x 3

x

2

c) 3 2 ⋅ 5 2 = (3 ⋅ 5) = 15 2

22 1 2 −3 = 2 −1 = 23 = 2 2 5

2

3

a ÷a =a 3 5 8 −4 3− 7 ÷7 ÷7 ÷7 =7 −7 5 −7 − 5 − 12 4 ÷4 =4 =4

NOTAÇÃO CIENTÍFICA 5 − 8 − (−4)

= 7−6

Cientistas usam a notação de potência para ara escrever números muito grandes (ou muito pequenos). Essa forma de escrever um número qualquer (não nulo) é chamada notação científica, científica que pode ser apresentada nas formas:

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE POTÊNCIAS COM EXPOENTES IGUAIS E BASES DIFERENTES

“Nas multiplicações ou divisões de potências de mesmo expoente e conservaremos o expoente e multiplicaremos ou dividiremos emos as bases”.

n

n

a ⋅ b = ( a ⋅ b)

n

ou

an  a  =  bn  b 

M = a ⋅10 n

ou

M = −a ⋅10 n

onde M é o número a ser apresentado, n é um número inteiro e a é maior ou igual a 1 e menor que 10, isto é, 1 ≤ a < 10 .

Para escrever um número usando a notação científica, devemos lembrar que:

n

Exemplos: 22 × 32 = (2 × 3)2 = 62 = 36 102 ÷ 22 = 52 = 25

n

Multiplicar um número por 10 , sendo n

inteiro positivo, tivo, é o mesmo que deslocar a vírgula para a direita n “casas”

2

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decimais. Se n é inteiro negativo, desloca-se se a vírgula n “casas” para a esquerda.

Um número não se altera ao ser multiplicado por 10 n ×10 − n , pois 10 n × 10 −n = 10 0 = 1 , que é o elemento neutro da multiplicação.

d) 1

0,0007 =

e)

1 3

7 – Simplificando-se a)

86

212

Exemplos: 23 000 = 23×1000 1000 = 2,3×10 2,3 000 = 2,3×104

Pote enciação

b)

2 24 c) 16 8

obtém-se: d)

2 36

2

8 - Calcule o a) 14 d) (−5)3 g) (−5)2 j) (−5)−2 m) (−5)0

7 7 = 4 = 7 × 10 − 4 10000 10

2 4 3

(2 )

valor das potências abaixo: b) 03 c) 53 3 e) −5 f) 52 2 h) −5 i) 5−2 −2 k) −5 l) 50 0 n) −5

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9 - Encontre o valor das expressões: a) (−1)0 + (−6) ÷ (−2) − 24

1 – Escreva os números a seguir, utilizando a notação científica. a) 72 000 b) 6 250 000 c) 0,00073 d) 0,00001 e) 77 ⋅ 1012 f) 0,007 ⋅ 10 7

3 2

2 – (FCC-SP) Se A = (6 2 ⋅ 9 2 ) −4 ,então A é igual a: a) d)

1 4 1 5410

b) 3 −24 ⋅ 2 −6

c)

1 3 ⋅ 28 48

e) 54 −28

26

25

3 – (FUVEST-SP) Se 4 ⋅ 5 = com 1 ≤ a < 10 , então n é igual a: a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

2

 1 2

−2

5 2

b)   +   .  

a ⋅ 10 n ,

4 – (UNICAMP-SP) a) Calcule as seguintes potências: a = 3 2 , b = ( −2) 3 , c = (3) −2 e d = (−2) −3 . b) Escreva os números a, b, c e d em ordem crescente.

5 – (FUVEST-SP) SP) Qual é a metade de 2 22 ?

6 - Simplificando a expressão [29 ÷ (22 .

2)3]−3, obtém-se: a) 236 b) 2−30 c) 2−6

3

e)