Progressões by Amparo Seixas

Projeto Vestibular

MÓDULO II – PARTE 11

MATEMÁTICA

Progressões

Prof. Bruno Vianna

+Sn = an + (an - r)+(an - 2r)+ ... +(a1 + 2r)+(a1 + r)+ a1 2 Sn = (a1+an)+ (a1+an)+ …+(a1+an)+ (a1+an)+ (a1+an) n vezes

I – PROGRESSÃO ARITMÉTICA : Uma P.A. é uma seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante r dada.

Logo: 2 Sn = (a1+an) . n ⇒ S n =

(a1 + an ).n 2

Exemplos:

Exercícios Resolvidos

F1 = (1, 3, 5, 7, 9, ...) em que a1 = 1 e r = 2 F2 = (0, -2, -4, -6, -8, ...) em que a1 = 0 e r = -2 F3 = (4, 4, 4, 4, 4, ...) em que a1 = 4 e r = 0 1 1 3 5 7 9  F4=  , , , , ,... em que a1 = e r =1 2 2 2 2 2 2  

01) Vamos calcular o 20º termo da P.A. (26,31,36,41,...) Sabemos que a1 = 26 e r = 31 – 26 = 5 Utilizando a expressão do termo geral, escrevemos: a20 = a1 + 19r ⇒ a20 = 26 + 19 . 5 ⇒ a20 = 121

1  11 10 8  F5=  4, , ,3, ,... em que a1 = 4 e r = − 3  3  3 3

02) Vamos determinar a P.A. que possui as seguintes características: o 10º termo vale 16 e a soma do 5º com o 9º termo é igual a 2.

Classificações:

De acordo com o enunciado, temos:

1) crescentes são as P.A. em que cada termo é maior que o anterior. (r > 0) Exemplos: F1 e F4

 a10 = 16 a1 + 9r = 16  ⇔ ⇔  a a + = 2 a r a r ( + 4 ) + ( + 8 ) = 2 5 9 1 1    a + 9r = 16 ⇔ 1 2a1 + 12r = 2

2) constantes são as P.A. em que cada termo é igual ao anterior. (r = 0) Exemplo: F3

... r =5 e a1= -29 , assim a P.A. é (-29,-24,-19,...)

3) decrescentes são as P.A. em que cada termo é menor que o anterior. (r < 0) Exemplos: F2 e F5

03) Vamos encontrar o primeiro termo negativo da P.A. (63,59,55,51,...). Sabemos que a1 = 63 e r = - 4 Pelo termo geral teremos: an=63 + (n-1)(-4) ⇔ an =63 –4n +4

Termo Geral Dada uma P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, a6,...,an) Sendo a1 o primeiro termo e an o último termo, vemos que: a2 = a1 + r a3 = a2 + r >> a3 = a1 + 2r a4 = a3 + r >> a4 = a1 + 3r ... an = a1 + (n-1)r --- Termo geral da P.A.

⇔ an= 67 –4n

Para descobrir o 1º termo negativo, façamos: an < 0 , isto é 67 – 4n < 0

⇔ n>

67 ⇔ n> 16,75 4

Como n é natural concluímos que: a17 = 67 – 4 . 17

⇔ a17 = -1 2

04) Determinemos x de modo que a seqüência (x+5, 4x-1, x – 1) seja uma P.A.

Soma dos Termos de uma P.A. Dada a P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, a6,...,an-2 ,an-1 ,an) de razão r, podemos escreve-la na forma:

( x + 5) + ( x 2 − 1) ⇒ 8x – 2 = x2 + x + 4 ⇔ 2 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x=1 ou x=6

4x − 1 =

(a1 , a1 + r, a1 + 2r, ... , an –2r, an – r, an) Vamos calcular a soma dos n primeiros termos dessa P.A. , que indicaremos por Sn . Repetindo o raciocínio anterior, temos:

para x = 1 a PA é (6,3,0) e para x = 6 a PA é (11,23,35)

Sn = a1 + (a1 + r)+(a1 + 2r)+ ... +(an –2r)+(an – r)+ an 2011

Projeto Vestibular

MÓDULO II – PARTE 11

MATEMÁTICA

Progressões

Prof. Bruno Vianna

05) Vamos interpolar oito meios aritméticos entre 2 e 47.

05) (PUC-SP) Sendo f : ℝ →ℝ , definida por

“Interpolar” ou inserir oito meios aritméticos entre 2 e 47 significa determinar oito números reais de modo que se tenha uma P.A . em que a1 = 2 e a10 =47 e os oitos números sejam a2 , a3 , ... a9 :

f (x) = 2x + 3, então f (1) + f (2) + f (3) + ⋅ ⋅ ⋅ + f (25) é igual a: (A) 725

(B) 753

(D) 575

(E) 400

2 _ _ _ _ _ _ _ _ 47 Daí a10 = a1 + 9r ⇒ 47 = 2 + 9r ⇒ 9r =45 ⇒ r =5 06) (UFRJ-00-PNE) Mister MM, o Mágico da Matemática, apresentou-se diante de uma platéia com 50 fichas, cada uma contendo um número. Ele pediu a uma espectadora que ordenasse as fichas de forma que o número de cada uma, excetuando-se a primeira e a última, fosse a média aritmética do número da anterior com o da posterior. Mister MM solicitou a seguir à espectadora que lhe informasse o valor da décima sexta e da trigésima primeira ficha, obtendo como resposta 103 e 58 respectivamente. Para delírio da platéia, Mister MM adivinhou então o valor da última ficha.

Assim a PA é ( 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47). EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) (PUC-2011) Considere a progressão aritmética (a1,a2,a3,...) com a1 + a5 = 9 e a2 + a3 = 8. Quanto vale a10? (A) 1

(B) 23/2

(D) 25/2

(E) 1024

02) (UNIRIO) O fichário da clínica médica de um hospital possui 10.000 clientes cadastrados, em fichas numeradas de 1 a 10.000. Um médico pesquisador, desejoso de saber a incidência de hipertensão arterial entre pessoas que procuravam o setor, fez um levantamento, analisando as fichas que tinham números múltiplos de 15. Quantas fichas NÃO foram analisadas ? (A) 666 (D) 8334

(B) 1500 (E) 9334

Determine você também este valor. 07) (UERJ-2002-1f-1º exame) Leia com atenção a história em quadrinhos.

03) (UERJ-06-2ºex) Durante uma experiência em laboratório, observou-se que uma bola de 1 kg de massa, deslocando-se com uma velocidade , medida em km/h, possui uma determinada energia cinética E, medida em joules. Se ( v , E, 1) é uma progressão aritmética e

φ=

Considere que o leão da história acima tenha repetido o convite por várias semanas. Na primeira, convidou a Lana para sair 19 vezes; na segunda semana, convidou 23 vezes; na terceira, 27 vezes e assim sucessivamente, sempre aumentando em 4 unidades o número de convites feitos na semana anterior. Imediatamente após ter sido feito o último dos 492 convites, o número de semanas já decorridas desde o primeiro convite era igual a:

1+ 5 o 2

valor de v corresponde a:

(A)

(B)

Lembre que

(C)

2φ

(D)

3φ

mv 2 2

(A) 10

(B) 12

(D) 16

08) (UFRJ -2001-PNE) Um grupo de 40 moradores de uma cidade decidiu decorar uma árvore de Natal gigante. Ficou combinado que cada um terá um número n de 1 a 40 e que os enfeites serão colocados na árvore durante os 40 dias que precedem o Natal da seguinte forma: o morador número 1 colocará 1 enfeite por dia a partir do 1º dia; o morador número 2 colocará 2 enfeites por dia a partir do 2º dia e assim sucessivamente (o morador número n colocará n enfeites por dia a partir do n-ésimo dia).

04) (UFRJ-96-PE) Os ângulos internos de um quadrilátero convexo estão em progressão aritmética de razão igual a 20°. Determine o valor do maior ângulo desse quadrilátero.

2011

Projeto Vestibular

MÓDULO II – PARTE 11

MATEMÁTICA

Progressões

Prof. Bruno Vianna

11) (UERJ-2005-2f)

a) Quantos enfeites terá colocado ao final dos 40 dias o morador número 13? b) A Sra. X terá colocado, ao final dos 40 dias, um total de m enfeites. Sabendo que nenhum morador colocará mais enfeites do que a Sra. X, determine m. 09) (UFRJ-98-PNE) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inabalável paciência, deseja bater o recorde mundial de construção de castelo de cartas. Ele vai montar um castelo na forma de um prisma triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma mesa. A figura a seguir apresenta um castelo com três níveis.

A figura acima apresenta 25 retângulos. Observe que quatro desses retângulos contêm números e um deles, a letra n. Podem ser escritos, em todos os outros retângulos, números inteiros positivos, de modo que, em cada linha e em cada coluna, sejam formadas progressões aritméticas de cinco termos. Calcule: A) a soma dos elementos da quarta linha da figura; B) o número que deve ser escrito no lugar de n. 12) (UNICAMP – 2003) Considere o conjunto S = {n ∈ N: 20 ≤ n ≤ 500}. A) Quantos elementos de S são múltiplos de 3 e de 7? B) Escolhendo-se ao acaso um elemento de S, qual a probabilidade de o mesmo ser um múltiplo de 3 ou de 7?

Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. Determine o número de cartas que ele vai utilizar. 10) (UFRJ-2004-PE) Felipe começa a escrever os números naturais numa folha muito grande, uma linha após a outra, como mostrado a seguir:

13) (UFRJ-09-PNE) Uma parede triangular de tijolos foi construída da seguinte forma. Na base foram dispostos 100 tijolos, na camada seguinte, 99 tijolos, e assim sucessivamente até restar 1 tijolo na última camada, como mostra a figura. Os tijolos da base foram numerados de acordo com uma progressão aritmética, tendo o primeiro tijolo recebido o número 10, e o último, o número 490. Cada tijolo das camadas superiores recebeu um número igual à média aritmética dos números dos dois tijolos que o sustentam.

Considerando que Felipe mantenha o padrão adotado em todas as linhas: a) determine quantos números naturais ele escreverá na 50ª linha. b) determine a soma de todos os números escritos na 50ª linha.

Determine a soma dos números escritos nos tijolos. 14) (UFRJ-2001-PNE) Os números a, b e c são tais que seus logaritmos decimais log a, log b e log c, nesta ordem, estão em progressão aritmética. Sabendo que log b = 2, determine o produto abc.

c) prove que a soma dos elementos de uma linha é sempre o quadrado de um número ímpar.

2011

Projeto Vestibular

MÓDULO II – PARTE 11

MATEMÁTICA

Progressões

Prof. Bruno Vianna

respectivamente, e todas as outras parcelas são comuns às duas igualdades; então subtraindo, teremos: n n ** - * → qSn - Sn = a1q – a1 → Sn (q – 1) = a1q – a1

II – PROGRESSÃO GEOMÉTRICA : Uma P.G. é uma seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior com uma constante q dada. Exemplos: F1 = (1, 2, 4, 8, 16, ...) em que a1 = 1 e q = 2 F2 = (-1, -2, -4, -8, -16, ...) em que a1 = -1 e q = 2 1  1 1 1 1  F3 = 1, , , , ,... em que a1 = 1 e q = 3 9 27 81 3  

Supondo q ≠ 1, resulta:

Sn =

(

)

a1q n − a1 a q n −1 ⇒ Sn = 1 q −1 q −1

ou ainda temos

2 1 F4= (-54, -18, -6 , -2, − ,...) em que a1 = -54 e q = 3 3 F5= (7,7,7,7,7,...) em que a1 = 7 e q = 1 F6= (5,-5,5,-5,5,...) em que a1 = 5 e q = -1 F7= (3,0,0,0,0,...) em que a1 = 3 e q = 0

an q − a1 q −1 Demosntração: Sn =

Termo Geral

Sn =

Dada uma P.G. (a1, a2, a3, a4, a5, a6,...,an) Sendo a1 o primeiro termo e an o último termo, vemos que: a2 = a1 . q 2 a3 = a2 . q >> a3 = a1 . q 3 a4 = a3 . q >> a4 = a1 . q ... n-1 an = a1 . q --- Termo geral da P.G

(

)

a1q n − a1 a q n −1 q − a1 a1q n − a1 = 1 = q −1 q −1 q −1

Soma dos termos de uma P.G. infinita

a1 1− q Esta demonstração usa vários conceitos da definição de limites e séries, conceitos elementares de Análise na Reta, uma parte da matemática a nível de graduação, por este motivo o teorema não será demonstrado. S=

Produto dos n termos de uma P.G. Exercícios Resolvidos

a1 = a1 a2 = a1 . q 2 a3 = a1 . q 3 a4 = a1 . q ... n-1 an = a1 . q 2 3 n-1 Pn = (a1 . a1 . a1 . ... . a1) . ( q . q .q . ... . q ) n fatores

Pn = a1n . q1+ 2 + 3 + ...+ n −1

01)Vamos determinar o 10º termo da PG. (

1 e q = 3 , assim : 3 1 9 9 8 a10 = a1 . q ⇒ a10 = . 3 ⇒ a10 = 3 =6.561 3

Sabemos que a1 =

02) Numa PG, o 4º termo é 32 e o 1º termo é

n ( n −1)

Pn = a1n . q

Como a4 = a1 . q ⇒ 32= 3

n-2

+ a1 q

n-1

1 3 3 . q ⇒ q = 64 ⇒ q = 4 2

Usando novamente a determinemos o 8º termo: a8 = a1 . q ⇒ a8 = 7

1 . Vamos 2

determinar a razão da PG e, em seguida, obter seu 8º termo.

Soma dos Termos de uma P.G. finita Dada uma P.G. (a1, a2, a3, a4, a5, a6,...,an) podemos escrevê-la como soma desses elementos da seguinte maneira: Sn=a1 + a1 q + a1 q + a1 q + ... + a1 q

1 ,1,3,9,...) 3

expressão

termo

geral,

1 7 214 13 . 4 ⇒ a8= =2 = 8.192 2 2

Multiplicando ambos os membros por q , obtemos: 2

q Sn= a1 q + a1 q + a1 q + ... + a1 q

n-1

+ a1 q **

03) Vamos determinar x afim de que a seqüência

 9x + 5  , x + 1, x − 2  seja uma PG.   2 

Comparando os segundos membros de * e ** , podemos n observar que a parcela a1 e a1 q só aparecem em * e **

2011

Projeto Vestibular

MÓDULO II – PARTE 11

MATEMÁTICA

Progressões

Prof. Bruno Vianna

Utilizando a propriedade da média geométrica (três termos consecutivos), podemos escrever:

2 6 6 .q ⇒ q = 729 ⇒ q = ±3 3 2 Para q = 3 a PG. é ( ,2,6,18,54,162,486) 3 2 Para q = -3 a PG é ( ,-2,6,-18,54,-162,486) 3 a7 = a1 . q ⇒ 486 = 6

x +1 x−2  9x + 5  2 = ⇒ ( x + 1) = ( x − 2). ⇒ 9x + 5 x + 1  2  2 ⇒ 7 x 2 − 17 x − 12 = 0 4 As raízes dessa equação são 3 e − . 7

06) Vamos calcular o valor da soma dos dez primeiros termos da PG. (80,40,20,...).

Para x = 3 a PG é (16,4,1) e Para x = −

4  1 3 18  , a PG é  − , ,−  7  14 7 7 

Sabemos

5 e a soma do 7º com o 9º termo é 20. 4

Do vem:

enunciado

5 5    a 3 + a5 =  a1 q 2 + a1 q 4 =  4 ⇒ 4 ⇒ a 7 + a 9 = 20 a1q 6 + a1 q 8 = 20 5  (I )  a1 q 2 (1 + q 2 ) = Dividindo − se : I por II  4 6 2 a1 q (1 + q ) = 20 ( II )

(A) 4x

5 1 1 1 1 ⇒ a1 = e a PG ( , , ,...) 4 16 16 8 4

Para q = -2, substituindo em (I), vem: 2

a1(-2) . (

(-2) ]=

5 ⇒ 4

1 a1= 16

1 : 2

(B) 5x

(D) 7x

(E) 8x

16) (UERJ-2005) Um veículo com velocidade constante de V km/h percorre S km em um intervalo de tempo de T horas, sendo T diferente de 1. Considere que T, V e S estejam em progressão geométrica, nessa ordem. A alternativa que indica a relação entre o espaço percorrido S e a velocidade V é:

Para q = 2 , substituindo em (I), vem: 2

15) (UFF-97) - Sendo x um número real não nulo, a soma do 3º termo da Progressão Aritmética (x,2x,...) com o 3º termo da Progressão Geométrica (x,2x,...) é igual a:

a1 . 2 . (1 + 2 ) =

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

5 a1 q (1 + q ) 4 1 = ⇒ 4 = 16 ⇒ q = ±2 6 2 a1 q (1 + q ) 20 q 2

 1 10  80.  − 1 a1 .(q 10 − 1)  2   = S10 = = 1 q −1 −1 2  1   1023  80. − 1 80. −  1.024  1024  5115   = = = 1 1 32 − − 2 2

04) Vamos construir a PG em que a soma do 3º com o 5º termo é

que

PG:

1 1 1 1 ,− , ,− ...) 16 8 4 2

05) Vamos interpolar cinco meios geométricos entre

(A)

S =V3

(C)

S =V

S =V2 (D) 3 S = V

(B)

17) (PUC-RJ) A soma:

1+ 2 + 22 + 23 + 24 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2999 + 21000 é igual a:

2 e 3

1001

486. Devemos formar uma PG, de sete termos na qual :

(A) 2

2 a1 = e a7 = 486. Temos: 3

−1

1001

(E) 2

1002

−1

1000

−1

(B) 2

(D) 2 +1

2011

Projeto Vestibular

MÓDULO II – PARTE 11

MATEMÁTICA

Progressões

Prof. Bruno Vianna

O perímetro, em metro, do quinto polígono dessa seqüência é:

18)(UFF) Os retângulos R1, R2 e R3, representados na figura, são congruentes e estão divididos em regiões de mesma área.

44 (A) 4 3 35 (D) 5 4

Ao se calcular o quociente entre a área da região pintada e a área total de cada um dos retângulos R1, R2 e R3, verifica-se que os valores obtidos formam uma progressão geométrica ( P.G. ) decrescente de três termos.

1 8 (D) 2

1 4 (E) 4

(B)

(C)

45 (C) 4 3

22) Uma bola é atirada ao chão de uma altura de 200 m . Ao atingir o solo pela primeira vez, ela sobe até uma altura de 100 m, cai e atinge o solo pela segunda vez, subindo até uma altura de 50 m, e assim por diante até perder energia e cessar o movimento. Quantos metros a bola percorre ao todo ?

A razão dessa P.G. é: (A)

44 (B) 5 3 34 (E) 4 4

1 2

200m

19) (UFRJ-97-PNE) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36.

100m

...

25m

(Dica: PG infinita) (A) 0 (D) 600 m

Ache a razão da progressão.

(B) 1.000 m (E) 500 m

23) (UFRJ-97-PNE) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36.

20) (FGV) Na equação:

Ache a razão da progressão.

O 1º membro é a soma dos termos de uma PG infinita. Qual a soma das raízes dessa equação?

24) Uma determinada figura espacial é construída da seguinte maneira: − Pega-se um determinado cubo de aresta 3cm; − Depois são colocados 6 cubos menores de aresta 1cm (um terço da aresta do cubo maior), um em cada face do primeiro cubo, conforme mostra a figura; − E a partir daí, em cada passo, são sempre acrescidos cubos menores ainda (de aresta igual a um terço da aresta dos cubos que foram inseridos anteriormente) em cada face exposta dos cubos que foram colocados no passo anterior.

21) (UFF-2002-1F) Certas imagens captadas por satélites espaciais, quando digitalizadas, são representadas por formas geométricas de aspecto irregular ou fragmentado, conhecidas por fractais. Podem-se obter tais fractais pela alteração da forma original de uma curva por meio de um processo em que os resultados de uma etapa são utilizados como ponto de partida para a etapa seguinte. Considere o processo tal que, em todas as etapas, cada segmento de reta é transformado em uma poligonal cujo comprimento é quatro vezes a terça parte do segmento original, como ilustrado na figura a seguir:

Por esse processo, a partir de um quadrado com 1 metro de lado, obtém-se a seqüência de figuras:

Desse modo, o volume total do sólido obtido executando esse processo infinitamente, é: 729 3 3 3 (B) 54cm (C) cm (A) 36cm 22 378 3 cm (E) impossível de ser quantificado (D) 11 2011

Projeto Vestibular

MÓDULO II – PARTE 11

MATEMÁTICA

Progressões

Prof. Bruno Vianna

Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, geometricamente, uma seqüência de semicírculos. O esquema abaixo indica quatro desses semicírculos.

25) (UFF-10-1ªF) Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático.

(

Fonte: http://culturaclassica.blogspot.com/2008/05/aquiles-ainda-corre-osparadoxos-de.html

Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira: Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.

 AB BC CD DE EF     BC = CD = DE = EF = FG = ...   

Assim, considerando AB = 2 , a soma: AB + BC + CD + DE + ... será equivalente a: (A) 2 + 3

∞ 1 1 1 d = 10 + 1 + + 2 + ... = 10 + ∑   . 10 10 n =0  10 

(D)

d = 12

(E)

(C)

(D) 3 + 5

a 41 − a a2 −1

(B)

a 40 − a a2 −1

(C)

a 41 − 1 a2 − 1

(D)

a 40 − 1 a2 −1

28) (UFRJ-2001-PE) Seja x0 , x1 , ... , xn , ... uma seqüência infinita de números reais. Sabendo que x0 =10 e que os logaritmos decimais:

É correto afirmar que:

d = 11,11

(A)

(B)

(B) 2 + 5

27) (AFA-03) Considere uma P.G. onde o 1 termo é a, a > 1, a razão é q, q > 1, e o produto dos seus termos é c. Se logq b = 2 e logc b = 0,01, então a soma loga b = 4, dos termos da P.G. é

Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a

(A) d = +∞

)

Admita que as medidas dos raios AB, BC , CD, DE , EF , FG,... formem uma progressão tal que:

91 9

a0 = log x0 ; a1 = log x1 ; ... ; a n = log xn formam uma PG de razão 1/2, calcule o valor limite do produto : Pn = x0 ⋅ x1 ⋅ x2 ⋅ ... ⋅ xn quando n tende a infinito.

10 9

29) (UFF – 2005 – 2ª fase) A soma dos n primeiros termos da

26) (UERJ-07-01ºEX.QUAL) A figura a seguir mostra um molusco Triton tritonis sobre uma estrela do mar.

n2 seqüência de números reais a1, a2, ..., an, ...é para todo 3 inteiro positivo n. a) Verifique se a seqüência é uma progressão geométrica ou uma progressão aritmética ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta. b) Calcule o milésimo termo da seqüência.

(www.wikimedia.org) 2011

Projeto Vestibular

MÓDULO II – PARTE 11

MATEMÁTICA

Progressões

Prof. Bruno Vianna

30) A figura a seguir representa o gráfico da função: y = 2X , x ≤ 0 , e os primeiros elementos de uma seqüência infinita de retângulos. A soma das áreas de todos os retângulos dessa seqüência infinita é:

(A) 0,5ua (D) 2ua

(B) 1ua (C) 1,5ua (E) maior do que 2ua.

31) (UFRJ-2003) A região fractal F, construída a partir de um quadrado de lado 1cm, é constituída por uma infinidade de quadrados e construída em uma infinidade de etapas. A cada nova etapa consideram-se os quadrados de menor lado (l) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada um destes, três novos quadrados de lado l / 3. As três primeiras etapas de construção de F são apresentadas a seguir.

33) (IME-2003) Dada uma circunferência de raio R, inscrevese nela um quadrado. A seguir, inscreve-se uma circunferência neste quadrado. Este processo se repete indefinidamente para o interior da figura de maneira que cada quadrado estará sempre inscrito em uma circunferência e simultaneamente circunscrito por outra. Calcule, em função de R, a soma das áreas delimitadas pelos lados dos quadrados e pelas circunferências que os circunscrevem, conforme mostra a figura.

Calcule a área de F. 32) (UFRJ – 2004)

2011

Projeto Vestibular

MÓDULO II – PARTE 11

MATEMÁTICA

Progressões

Prof. Bruno Vianna

GABARITO: 01) B

QUESTÃO 10)

02) E

03) B

04) 120º

06) x50 = 1

07) B

09) 2420

10) a) 99

a) 99

05) A

A primeira linha contém um número, a segunda 3, a terceira 5, e assim por diante. Se q(n) é a quantidade de números na n-ésima linha, temos q(n) = 2n – 1. Portanto, q(50) = 99.

08) a) 364 b) 420 b) 9801 c) dem

11) a) 375

b) 15

b) S = 9 801. Como o último número escrito na 50 linha é 50 + 98 = 148,

12) a) 23 b ) 206/481

13) 1 262 500

14) 1 000 000

15) D

16) D

17) A

18) C

19) Q=10

20) {1,-1}

21) D

22) D

23)

24) D

25) E

26) D

27) A

28) 100

29)

30)

31) 3/2

32) a

temos que S = 50 + 51 + ..... + 148 = 9 801.

Questão 11) a) S = (a 1 + a 5 )× 5 = (75) × 5 = 375

33)

Resolução de algumas questões: Questão 6)

n 65 2x

130 75

0 Na 3ª linha

Questão 8) Na 4ª linha

65 − x  130 = 2x + 4r ⇒ r = 2 ⇒  y = 2x + 65 − x = 65 + 3x  2 2 ⇒z=

x + 75 2

Na 2ª coluna ⇒ 2y = 65 + z 65 + 3x = 65 +

x + 75 2

x = 15 Questão 12) Os múltiplos de 3 e 7 são os múltiplos de 21. Temos a PA: (21, 42, …, 483) an = a1 + (n - 1)r ∴ 483 = 21 + (n - 1) · 21 ∴ n = 23

Questão 9) Nível 1 à 1 triângulo (3 cartas) Nível 2 à 2 triângulos (3 cartas) .................................................... nível 39 à 39 triângulos (3 cartas) nível 40 à 40 triângulos (2 cartas)

A) O número de elementos do espaço amostral é: 500 – 19 = 481 O número de elementos do evento A (múltiplos 3 ou de 7) é obtido somando-se o número de múltiplos de 3 com o número de múltiplos de 7 e descontando-se o número de múltiplos de 21 (múltiplos de 3 e 7):

Total de Cartas = 3 x (1+2+...+39) + 2 x 40 = 3 x (40 x 39)/2 + 80 = 2420

2011

Projeto Vestibular

MÓDULO II – PARTE 11

MATEMÁTICA

Progressões

Prof. Bruno Vianna

Questão 33)

PA (21, 24, ..., 498) m(3)  498 = 21 + (n - 1) ⋅ 3 ∴ n = 160 PA (21, 28, ... , 497) m(7)  497 = 21 + (n - 1) ⋅ 7 ∴ n = 69 m(21) {n = 23 Assim: n(A) = 160 + 69 – 23 = 206 A probabilidade é: 206 P(A) = 481 Questão 13)

Questão 14)

Questão 31)

Questão 32)

2011