Progressões

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Projeto Vestibular

MÓDULO II – PARTE 11

MATEMÁTICA

Progressões

Prof. Bruno Vianna

+Sn = an + (an - r)+(an - 2r)+ ... +(a1 + 2r)+(a1 + r)+ a1 2 Sn = (a1+an)+ (a1+an)+ …+(a1+an)+ (a1+an)+ (a1+an) n vezes

I – PROGRESSÃO ARITMÉTICA : Uma P.A. é uma seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante r dada.

Logo: 2 Sn = (a1+an) . n ⇒ S n =

(a1 + an ).n 2

Exemplos:

Exercícios Resolvidos

F1 = (1, 3, 5, 7, 9, ...) em que a1 = 1 e r = 2 F2 = (0, -2, -4, -6, -8, ...) em que a1 = 0 e r = -2 F3 = (4, 4, 4, 4, 4, ...) em que a1 = 4 e r = 0 1 1 3 5 7 9  F4=  , , , , ,... em que a1 = e r =1 2 2 2 2 2 2  

01) Vamos calcular o 20º termo da P.A. (26,31,36,41,...) Sabemos que a1 = 26 e r = 31 – 26 = 5 Utilizando a expressão do termo geral, escrevemos: a20 = a1 + 19r ⇒ a20 = 26 + 19 . 5 ⇒ a20 = 121

1  11 10 8  F5=  4, , ,3, ,... em que a1 = 4 e r = − 3  3  3 3

02) Vamos determinar a P.A. que possui as seguintes características: o 10º termo vale 16 e a soma do 5º com o 9º termo é igual a 2.

Classificações:

De acordo com o enunciado, temos:

1) crescentes são as P.A. em que cada termo é maior que o anterior. (r > 0) Exemplos: F1 e F4

 a10 = 16 a1 + 9r = 16  ⇔ ⇔  a a + = 2 a r a r ( + 4 ) + ( + 8 ) = 2 5 9 1 1    a + 9r = 16 ⇔ 1 2a1 + 12r = 2

2) constantes são as P.A. em que cada termo é igual ao anterior. (r = 0) Exemplo: F3

... r =5 e a1= -29 , assim a P.A. é (-29,-24,-19,...)

3) decrescentes são as P.A. em que cada termo é menor que o anterior. (r < 0) Exemplos: F2 e F5

03) Vamos encontrar o primeiro termo negativo da P.A. (63,59,55,51,...). Sabemos que a1 = 63 e r = - 4 Pelo termo geral teremos: an=63 + (n-1)(-4) ⇔ an =63 –4n +4

Termo Geral Dada uma P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, a6,...,an) Sendo a1 o primeiro termo e an o último termo, vemos que: a2 = a1 + r a3 = a2 + r >> a3 = a1 + 2r a4 = a3 + r >> a4 = a1 + 3r ... an = a1 + (n-1)r --- Termo geral da P.A.

⇔ an= 67 –4n

Para descobrir o 1º termo negativo, façamos: an < 0 , isto é 67 – 4n < 0

⇔ n>

67 ⇔ n> 16,75 4

Como n é natural concluímos que: a17 = 67 – 4 . 17

⇔ a17 = -1 2

04) Determinemos x de modo que a seqüência (x+5, 4x-1, x – 1) seja uma P.A.

Soma dos Termos de uma P.A. Dada a P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, a6,...,an-2 ,an-1 ,an) de razão r, podemos escreve-la na forma:

( x + 5) + ( x 2 − 1) ⇒ 8x – 2 = x2 + x + 4 ⇔ 2 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x=1 ou x=6

4x − 1 =

(a1 , a1 + r, a1 + 2r, ... , an –2r, an – r, an) Vamos calcular a soma dos n primeiros termos dessa P.A. , que indicaremos por Sn . Repetindo o raciocínio anterior, temos:

para x = 1 a PA é (6,3,0) e para x = 6 a PA é (11,23,35)

Sn = a1 + (a1 + r)+(a1 + 2r)+ ... +(an –2r)+(an – r)+ an 2011

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