CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
Curso Pró-Técnico Disciplina:
Matemática Texto Experimental – 1a Edição
Antonio José Bento Bottion e Paulo Henrique Cruz Pereira
Varginha – Minas Gerais Dezembro de 2006
Ă lgebra
Fonte: http://community.learnnc.org/dpi/math/archives/AlgArt.gif
Geometria
Fonte: http://ww2.wdg.uri.edu:81/testsite/fileadmin/advance_client/mathematics.gif
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MATEMÁTICA I Prof. Antônio José Bento Bottion ÍNDICE 1.
2.
3.
TEORIA DOS CONJUNTOS .................................................................................................................... 6 1.1.
SIMBOLOGIA ....................................................................................................................................... 6
1.2.
CONCEITOS PRIMITIVOS ...................................................................................................................... 6
1.3.
REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO .................................................................................................. 7
1.4.
MAIS DOIS POSTULADOS ..................................................................................................................... 8
1.5.
DEFINIÇÃO DE SUBCONJUNTO.............................................................................................................. 8
1.6.
TEOREMAS ......................................................................................................................................... 9
1.7.
COMPLEMENTAR............................................................................................................................... 10
1.8.
CONJUNTO UNIVERSO ....................................................................................................................... 10
1.9.
UNIÃO .............................................................................................................................................. 11
1.10.
INTERSECÇÃO .................................................................................................................................. 12
1.11.
DIFERENÇA ...................................................................................................................................... 13
1.12.
PAR ORDENADO................................................................................................................................ 15
1.13.
PRODUTO CARTESIANO ..................................................................................................................... 15
CONJUNTOS NUMÉRICOS .................................................................................................................. 17 2.1.
NÚMEROS NATURAIS E NÚMEROS INTEIROS ........................................................................................ 17
2.2.
NÚMEROS RACIONAIS........................................................................................................................ 17
2.3.
NÚMEROS IRRACIONAIS..................................................................................................................... 19
2.4.
NÚMEROS REAIS ............................................................................................................................... 19
2.5.
TEOREMAS ....................................................................................................................................... 19
2.6.
OUTRAS NOTAÇÕES .......................................................................................................................... 21
2.7.
INTERVALOS ..................................................................................................................................... 21
ARITMÉTICA DOS INTEIROS ............................................................................................................... 23 3.1.
MÚLTIPLO E DIVISOR ......................................................................................................................... 23
3.2.
NÚMERO PAR ................................................................................................................................... 23
3.3.
TEOREMA ......................................................................................................................................... 25
3.4.
NÚMERO PRIMO ................................................................................................................................ 26
3.5.
NÚMERO COMPOSTO ........................................................................................................................ 26
3.6.
TEOREMA ......................................................................................................................................... 26
3.7.
FORMA FATORADA ............................................................................................................................ 28
3.8.
DIVISÃO EUCLIDIANA ......................................................................................................................... 30
3.9.
MÁXIMO DIVISOR COMUM .................................................................................................................. 31 Curso Pró-Técnico - Disciplina: Matemática – Professores Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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4.
5.
6.
7.
8.
3.10.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI .............................................................................................................. 32
3.11.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ................................................................................................................. 32
3.12.
TEOREMA ......................................................................................................................................... 33
TÉCNICAS DE FATORAÇÃO................................................................................................................ 34 4.1.
EXPRESSÃO ALGÉBRICA .................................................................................................................... 34
4.2.
VALOR NUMÉRICO ............................................................................................................................. 34
4.3.
FATORAR – DESENVOLVER ............................................................................................................... 35
4.4.
CASOS DE FATORAÇÃO ..................................................................................................................... 36
POTENCIAÇÃO...................................................................................................................................... 46 5.1.
DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 46
5.2.
DEFINIÇÕES ..................................................................................................................................... 47
5.3.
SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES ....................................................................................................... 49
5.4.
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS ........................................................................................................ 50
5.5.
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ................................................................................................................ 53
5.6.
NOTAÇÃO CIENTÍFICA ........................................................................................................................ 55
5.7.
RESUMO .......................................................................................................................................... 56
RADICIAÇÃO ......................................................................................................................................... 58 6.1.
INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 58
6.2.
GENERALIZAÇÃO .............................................................................................................................. 58
6.3.
DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 59
6.4.
PROPRIEDADES DOS RADICAIS........................................................................................................... 61
6.5.
REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE .......................................................................................... 64
6.6.
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES .............................................................................................. 65
6.7.
POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL ................................................................................................... 66
6.8.
RADICANDO NEGATIVO ...................................................................................................................... 67
6.9.
PROPRIEDADE .................................................................................................................................. 68
EQUAÇÃO DO 2º GRAU ....................................................................................................................... 69 7.1.
DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 69
7.2.
RAIZ DA EQUAÇÃO ............................................................................................................................ 69
7.3.
CONJUNTO SOLUÇÃO ........................................................................................................................ 70
7.4.
FÓRMULA RESOLUTIVA ...................................................................................................................... 70
7.5.
OBSERVAÇÕES ................................................................................................................................. 70
7.6.
EQUAÇÕES INCOMPLETAS ................................................................................................................. 72
7.7.
A FORMA FATORADA ......................................................................................................................... 72
7.8.
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES........................................................................................................... 73
7.9.
EQUAÇÕES BIQUADRADAS ................................................................................................................. 75
TEORIA DAS FUNÇÕES ....................................................................................................................... 77 8.1.
FUNÇÃO DE A EM B .......................................................................................................................... 77 Curso Pró-Técnico - Disciplina: Matemática – Professores Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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8.2.
UMA OUTRA NOTAÇÃO....................................................................................................................... 78
8.3.
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL............................................................................. 80
8.4.
CONJUNTO IMAGEM .......................................................................................................................... 81
8.5.
GRÁFICO .......................................................................................................................................... 83
8.6.
CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO......................................................................................................... 85
8.7.
CONJUNTO SIMÉTRICO ...................................................................................................................... 87
8.8.
PARIDADE DE UMA FUNÇÃO ............................................................................................................... 87
9.
A FUNÇÃO DO 1° GRAU....................................................................................................................... 89 9.1.
FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU ............................................................................................................. 89
9.2.
TEOREMA ......................................................................................................................................... 92
10.
A FUNÇÃO DO 2° GRAU .................................................................................................................. 94
10.1.
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU ............................................................................................................. 94
10.2.
A PARÁBOLA..................................................................................................................................... 94
10.3.
CONSIDERAÇÕES.............................................................................................................................. 96
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1. Teoria dos conjuntos 1.1.
Simbologia Para termos uma linguagem precisa e concisa, serão utilizados os seguintes símbolos:
Símbolo
Leia-se
(∀ x )
para todo x
(∃ x )
existe x
(∃ x )
existe um único x
P⇒Q
se P, então Q
P⇔Q
P se, e somente se, Q
Na implicação
P ⇒ Q , deve-se entender que, parindo da proposição P, deduz-se a
proposição Q. Assim, por exemplo, sendo x um número real, a sentença
( x > 5 ) ⇒ ( x > 3)
é
VERDADEIRA, pois todo número maior que 5 é maior que 3, enquanto que a sentença
( x > 3) ⇒ ( x > 5)
é FALSA, pois existem números maiores que 3, que não são maiores que 5.
A bi-implicação
P ⇔ Q é equivalente à sentença ( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) .
Assim, por exemplo,
x = 5 ⇔ x + 1 = 6 é uma sentença verdadeira, pois as sentenças
x = 5 ⇒ x + 1 = 6 e x + 1 = 6 ⇒ x = 5 são ambas verdadeiras.
1.2.
Conceitos primitivos O ponto de partida da teoria dos conjuntos consiste nos seguintes conceitos primitivos: − − −
conjunto elemento de um conjunto igualdade de conjuntos
Para indicar que x é um elemento do conjunto A, escrevemos
x ∈ A (leia-se também x
pertence a A.) A notação
x ∉ A significa que x não é elemento do conjunto A.
É importante observar que acima não consta o conceito de “elemento”, e sim o conceito de “elemento de um conjunto”. Assim, não há sentido em discutir se x é elemento ou não. Discute-se apenas se x é ou não elemento de um dado conjunto.
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1.3.
Representações de um conjunto Além de se representar um conjunto por uma letra (na maioria das vezes maiúscula), são
usadas as seguintes representações: − −
{e1, e2, ..., en}, onde e1, e2, ..., em é a lista dos elementos do referido conjunto dispostos numa ordem qualquer, com ou sem repetição.
{x ∈A :S ( x )} , onde S(x) é uma propriedade sobre a variável x, que tem por
finalidade selecionar elementos de A; por exemplo,
{x ∈A :x > 5} .
Adotaremos também o seguinte postulado: Se todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A, então os conjuntos A e B são iguais. Exemplo 1
{1, 2} = {2,1} e {1, 2} = {1, 2,1, 2, 2} Exemplo 2 Sendo
ℕ = {0,1, 2,...,10,11,...} o conjunto dos números naturais, quantos são os
elementos do referido conjunto:
{x ∈ℕ :2x + 5 ≤17} ?
2x + 5 ≤ 17 ⇒ 2x ≤ 12 e 2x ≤ 12 ⇒ x ≤ 6 Tem-se então que
x ≤ 6 e x ∈{0,1, 2,3, 4,5, 6} .
Logo, os elementos do referido conjunto são 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, e, portanto, este possui 7 elementos. Resposta: 7. Exemplo 3 Quais são os elementos do conjunto ℕ dos números naturais que satisfazem à condição
S(x) :x + 2 ≤ 1 ? x + 2 ≤ 1 ⇒ x ≤ −1 Repare que não há número natural que satisfaz tal condição. Resposta: Nenhum.
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1.4.
Mais dois postulados Para que possamos operar com conjuntos, sem correr o risco de ficar operando com o
“nada”, como no último exemplo, vamos estabelecer que: Existe um conjunto sem elementos, que chamamos de conjunto vazio e que indicaremos, sem preferência por { } ou por ∅ (Postulado). Sendo assim, podemos voltar ao item 2 e obter maior precisão, se ficar estabelecido que: Dados um conjunto A e uma sentença S(x), na qual a variável x ocorre pelo menos uma vez sem ser introduzida por “existe x”, nem por “para todo x”, existe sempre um conjunto B tal que
B = {x ∈ A : S ( x )} (Postulado). Assim,
{x ∈ℕ :2x + 5 ≤17} = {0,1, 2,3, 4,5, 6}
e
{x ∈ℕ :x + 2 ≤1} = { } = ∅ 1.5.
Definição de subconjunto Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se , e somente se, todo
elemento de B é elemento de A. Notação:
B ⊂ A (leia-se B está contido em A). A B
B ⊂ A ⇔ ( ∀x )( x ∈ B ⇒ x ∈ A ) Obs: A representação gráfica usada aqui foi proposta pelo matemático Venn. Por outro lado, tem-se que B ⊄ A se, e somente se, existir pelo menos um elemento de B que não é elemento de A.
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Em símbolos:
B ⊄ A ⇔ ( ∃x )( x ∈ B e x ∉ A ) Exemplo 4 Dado o conjunto
A = {1, 2,3, {3, 4}} , classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma
das seguintes proposições: a) A possui quatro elementos ( ) b) 1 ∈ A e 2 ∈ A ( ) c) d) e)
{1, 2} ⊂ A ( {3, 4} ⊂ A ( {{3, 4}} ⊂ A
) ) ( )
O conjunto A possui 4 elementos, a saber, os números 1, 2, 3 e o conjunto binário portanto, tem-se que 1 ∈ A , 2 ∈ A , 3 ∈ A e
{3, 4} ;
{3, 4} ∈ A .
{1, 2} ⊂ A , pois 1 e 2 são elementos de A {3, 4} ⊄ A , pois 4 não é elemento de A
{{3, 4}} ⊂ A , pois {3, 4} é elemento de A Sendo assim, a única afirmação falsa é a (d).
1.6.
Teoremas Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que o conjunto vazio é subconjunto de A. Pois, se não o fosse, deveria existir pelo menos um elemento do conjunto vazio que não
pertencesse a A (o que é absurdo). Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que A é subconjunto de A. Pois todo elemento de A é elemento de A. Tem-se então que
( ∀A )( A ⊂ A ) , mesmo com A = {
}.
Repare ainda que a expressão “todo elemento de A” não implica que o conjunto A tenha elementos. Assim, por exemplo, a afirmação “Toda tarefa deve ser cumprida.” não implica que haja tarefa.
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Sendo A e B conjuntos, tem-se que:
A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B. Sendo A um conjunto finito com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos de n
Aé2. O conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado “o conjunto das partes de A” e será indicado por P(A).
Exemplo 5 Dado o conjunto
A = {1, 2,3} , obter o conjunto das partes de A.
Como o número de elementos de A é 3, conclui-se que o número de seus subconjuntos é 3
2 = 8. Os subconjuntos de A são: { } {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} A Resposta: O conjunto das partes de A é P(A)= {{ }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A}
1.7.
Complementar Dados os conjuntos A e B, com B ⊂ A , chama-se de complementar de B em relação a A
ao conjunto: A B
CBA = {x ∈ A :x ∉ B} 1.8.
Conjunto universo Em qualquer discussão na teoria dos conjuntos devemos fixar sempre um conjunto U, que
contém todos os conjuntos que possam ser envolvidos. O conjunto U será chamado de conjunto universo.
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Sendo u o conjunto universo e A um conjunto qualquer, chama-se complementar de A ao conjunto: U A
A = CA U = {x ∈ U :x ∉ A} Exemplo 6 Considerando como universo o conjunto
U = {0,1, 2,3, 4,5, 6} , e dados os conjuntos
A = {1, 2,3, 4} e B = {2, 4} , tem-se que:
O complementar de B em relação a A é
CBA = {1,3} .
O complementar de A em relação a A é
CA A = {
O complementar de B é
B = {0,1, 3,5, 6} .
O complementar de A é
A = {0,5, 6} .
1.9.
}.
União Dados os conjuntos A e B num Universo U, chama-se de união (ou reunião) de A com B
ao conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B.
A B
U
A ∪ B = {x ∈ U :x ∈ A ou x ∈ B} Exemplo 7 a) b)
{1, 2,3, 4} ∪ {3, 4,5} = {1, 2,3, 4,5} {3, 4,5} ∪ {1, 2,3, 4} = {1, 2,3, 4,5} Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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c) d)
{1, 2,3, 4} ∪ {3, 4} = {1, 2,3, 4} {1, 2,3, 4} ∪ { } = {1, 2,3, 4}
Propriedades:
A∪B = B∪A B⊂ A ⇒ A∪B = A
A ∪{
}=A
( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) = A ∪ B ∪ C 1.10. Intersecção Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de intersecção de A com B ao conjunto dos elementos comuns a A e B.
A B
U
A ∩ B = {x ∈ U :x ∈ A e x ∈ B} Exemplo 8
a) b) c) d)
{1, 2,3, 4} ∩ {3, 4,5} = {3, 4} {3, 4,5} ∩ {1, 2,3, 4} = {3, 4} {1, 2,3, 4} ∩ {3, 4} = {3, 4} {1, 2,3, 4} ∩ { } = { }
Propriedades:
A∩B = B∩A B⊂ A ⇔ A∩B = B
A ∩{
}={ }
( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) = A ∩ B ∩ C ( A ∩ B) ⊂ ( A ∪ B) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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1.11. Diferença Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de diferença entre A e B, nesta ordem, ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.
A B
U
A − B = {x ∈ U :x ∈ A e x ∉ B} Observe que aqui, ao contrário do que ocorreu na definição de complementar de B em relação a A, não é exigido que B seja subconjunto de A. Exemplo 9 a) b) c) d)
{1, 2,3, 4} − {3, 4,5} = {1, 2} {3, 4,5} − {1, 2,3, 4} = {5} {1, 2} − { } = {1, 2} { } − {1, 2} = { }
Propriedades:
( A − B) ⊂ A A −{
}=A
{ }−A ={ } B ⊂ A ⇔ A − B = CBA
A − ( A ∩ B) = A − B Exemplo 10 Dados os conjuntos
A = {1, 2,3, 4} e B = {3, 4,5, 6, 7} , obter os conjuntos A ∩ B ,
A ∪B, A − B e B− A .
A ∩ B = {3, 4} A ∪ B = {1, 2,3, 4,5, 6, 7} A − B = {1, 2} B − A = {5, 6, 7}
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Exemplo 11
Sejam A e B conjuntos num universo U tais que: o complementar de A é
A = {e, f , g, h,i}
A ∪ B = {a, b, c, d, e, f , g} A ∩ B = {c, d} Obter os conjuntos A e B.
A ∩ B = {c, d} ⇒ c e d são os únicos elementos que A e B têm em comum. a ∉ A ⇒ a ∈ A e a ∉ ( A ∩ B) Logo,
a ∈ ( A − B) .
Analogamente, conclui-se que
b ∈ ( A − B) .
e∈A ⇒ e∈A e
e ∉ ( A ∪ B) Logo,
e ∈(B − A) .
Analogamente para f, g. Repare que h e i não pertencem a A nem a B, pois não pertencem a
Resposta:
A ∪B.
A = {a, b, c, d} e B = {c, d, e, f ,g}
Exemplo 12 Numa prova de Matemática caíram apenas dois problemas. Terminada a sua correção, constatou-se que: 300 alunos acertaram somente um dos problemas 260 acertaram o segundo 100 acertaram os dois 210 erraram o primeiro Quantos alunos fizeram esta prova?
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Resolução: Prb-1
Prb-2 x
y
z
U
Sendo x, y, z e w o número de elementos de cada partição indicada no diagrama acima, segue que:
x + z = 300 (1) y + z = 260 ( 2 ) y = 100 ( 3) z + w = 210 ( 4 ) Das equações (3) e (2) tem-se que z = 160. Substituindo z por 160 nas equações (1) e (4), obtêm-se respectivamente, os valores de x e w; x = 140 e w = 50. O número total de alunos que fizeram esta prova é x+y+z+w = 450.
1.12. Par ordenado Sabemos que
{a, b}
representam o mesmo conjunto.
No entanto há situações em que é conveniente que haja uma ordem entre a e b. Para isto existe o conceito de par ordenado. Definição:
( a, b ) = {{a} , {a, b}}
Observe aí a maneira sutil com que foi introduzida a noção de ordem, pois pela definição, é fácil concluir que, se de
a ≠ b , então ( a, b ) ≠ ( b, a ) , pois ( b, a ) = {{b} , {b, a}} , que é diferente
{{a} , {a, b}} .
1.13. Produto cartesiano Dados os conjuntos A e B, chama-se de produto cartesiano de A por B, nesta ordem, ao conjunto de todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B.
A × B = {( x, y ) : x ∈ A e y ∈ B} Exemplo 13 Dados os conjuntos
A = {1, 2,3} e B = { 4,5} , obtenha os produtos cartesianos AXB,
2
BXA e B =BXB.
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A × B = {(1, 4 ) , (1,5 ) , ( 2, 4 ) , ( 2,5) , ( 3, 4 ) , ( 3,5 )} B × A = {( 4,1) , ( 4, 2 ) , ( 4,3) , ( 5,1) , ( 5, 2 ) , ( 5,3)} B2 = {( 4, 4 ) , ( 4,5 ) , ( 5, 4 ) , ( 5,5 )} Repare que o produto cartesiano é uma operação não comutativa, isto é, AXB pode não ser igual a BXA.
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2. Conjuntos numéricos 2.1. Números naturais e números inteiros O conjunto dos números naturais conjunto dos números inteiros isto é,
2.2.
{0,1, 2,... , n, ...}
{..., − 2, − 1, 0,1, 2, ...} , por
será representado por ℕ , e o
ℤ . Repare que todo natural é inteiro,
ℕ éum subconjunto de ℤ .
Números racionais
Chamamos de número racional a todo número que pode ser expresso na forma a e b são inteiros quaisquer, com
a , onde b
b ≠ 0.
5 −1 e -0,333333... = são dois exemplos de números 1 3
Assim, os números 5 = racionais.
O conjunto dos números racionais é expresso por Como todo inteiro é racional, podemos afirmar que
ℚ. ℤ ⊂ ℚ.
ℤ ℕ
ℚ
Exemplo 1 Obter uma representação decimal para os números: a)
3 9 b) 16 7
Resolução:
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b) 9, a) 3,
16
30
7
20
1, 285714285714...285714...
60
0,1875
40
140 120
50 10
80
30
0
20 Uma vez entendido o exemplo acima, é fácil concluir que todo número racional pode ser expresso por uma dízima exata (existe um último algarismo à direita) ou por uma dízima periódica infinita (não existe um último algarismo à direita, mas, sim, uma repetição indefinida de uma seqüência de algarismos). Exemplo 2 Representar as seguintes dízimas por frações de inteiros (frações geratrizes): a) -1,23456 b) 5,644444...4... c) 5,645454545...45... Resolução: a)
f=
−1, 23456 −123456 = 1 100 000
b) Seja f = 5,644444...4... (I); então, multiplicando por 10, segue que 10f = 56,44444...4... (II). Calculando a diferença (II) – (I):
10f = 56, 44444...4... f = 5,644444...4...
−
9f = 50,8 e, portanto,
f=
50,8 508 = 9 90
c) Seja f = 5,6454545454545...45... (I); então, multiplicando 100f=564,54545454... (II). Calculando a diferença (II) – (I):
por
100,
segue
que
100f = 564,54545454... f=
5, 64545454... −
99f = 558,9 e, portanto,
f=
558, 9 5589 = 99 990
Resposta:
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a)
−123456 508 5589 b) c) 100 000 90 990 Com estes exemplos, podemos perceber que toda dízima periódica é um número racional. Outro fato que pode chamar atenção é que a dízima periódica 0,999...9... é uma outra
representação do número 1 (um).
2.3.
Números irracionais Existem dízimas infinitas e não periódicas; são os números irracionais. Como exemplos de
números irracionais, podemos citar:
π = 3,1415926535... 2 = 1, 4142135623... 3 = 1, 7320508075... Os números irracionais não podem ser expressos na forma
a , com a e b inteiros e b
b ≠ 0.
2.4.
Números reais A reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais é o conjunto dos
números reais ( ℝ ). Dada uma reta, podemos estabelecer uma relação entre seus pontos e os números reais, de tal modo que a todo ponto corresponda um único real e a todo real corresponda um único ponto. Desta maneira podemos identificar todos os números reais por pontos da reta dada. A idéia é construir uma espécie de régua em que constam também os números negativos. Chamamos esta régua de reta (ou eixo) real.
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
2.5.
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n
− Sendo m e n naturais quaisquer, tem-se que m+n, m ⋅ n e m são todos naturais. (Lembre-se 0 de que 0 = 1.) − Sendo h e k inteiros quaisquer, tem-se que h + k, h - k, h ⋅ k são todos inteiros. − Sendo r e s racionais quaisquer, r + s, r – s, r ⋅ s e
r r são todos racionais. (Em , devemos ter s s
s ≠ 0 .) − Sendo r um número racional e x um número irracional, tem-se que r + x é irracional. − Sendo r, r ≠ 0 , um racional e x um número irracional, tem-se que r ⋅ x é irracional. − Sendo x um irracional qualquer não nulo, tem-se que
1 é irracional. x
− Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais e infinitos números irracionais. − Entre dois números irracionais existem infinitos outros números irracionais e infinitos números racionais. Exemplo 3 Quantos são os elementos do conjunto
{x ∈ ℕ /10
}
2 < x < 10 3 ?
Resolução:
2 = 1, 41... ⇒ 10 2 = 14,1... e 3 = 1, 73... ⇒ 10 3 =17, 3... Entre 14,1... e 17,3... existem 3 números naturais, a saber 15, 16 e 17. Resposta: 3 Exemplo 4 (G. V.) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que: a) x ⋅ y é irracional b) y ⋅ y é irracional c) x + y é racional d) x − y + 2 é irracional e) x + 2y é irracional Resolução: Vejamos cada uma das alternativas: a) (FALSA) Se x for igual a zero, x ⋅ y = 0, que é racional. b) (FALSA) Se considerarmos, por exemplo, y = 3 , segue que y ⋅ y = 3 que é racional. c) (FALSA) Para qualquer x racional e para qualquer y irracional, x + y é irracional. d) (FALSA) Se y = 2 , x − y + 2 = x , que é racional. e) (VERDADEIRA) Para qualquer irracional y, tem-se que 2y é irracional. Logo, x + 2y é irracional. Resposta: e
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Exemplo 5 Mostre que o número
3 + 2 2 + 3 − 2 2 é irracional.
Resolução:
Seja
x = 3+ 2 2 + 3− 2 2 .
Observe que x é um número real positivo. Segue que:
x2 = 3 + 2 2 + 3 − 2 2 + 2 x2 = 6 + 2
(3 + 2 2 )(3 − 2 2 )
( 3 + 2 2 )(3 − 2 2 )
x2 = 6 + 2 9 − 8 x2 = 8 E como x > 0, tem-se que
2.6.
x = 2 2 , que é irracional.
Outras notações Sendo A um dos conjuntos
ℤ , ℚ ou ℝ , usaremos ainda as seguintes notações:
A∗ para indicar {x ∈ A / x ≠ 0} A + para indicar {x ∈ A / x ≥ 0} (os não negativos) A∗+ para indicar {x ∈ A / x > 0} (os positivos) A − para indicar {x ∈ A / x ≤ 0} (os não positivos) A∗− para indicar {x ∈ A / x < 0} (os negativos) Assim, por exemplo, conjunto
2.7.
ℝ + é o conjunto de todos os números reais não negativos, isto é, o
{x ∈ ℝ / x ≥ 0} .
Intervalos Sendo a e b (a<b) números reais quaisquer, temos os seguintes subconjuntos de
ℝ,
chamados de intervalos:
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[ a, b] = {x ∈ ℝ |a ≤ x ≤ b} (intervalo fechado) ]a, b[ = {x ∈ ℝ |a < x < b} (intervalo aberto) [ a, b[ = {x ∈ ℝ |a ≤ x < b} (intervalo fechado só à esquerda) ]a, b] = {x ∈ ℝ |a < x ≤ b} [ a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x ≥ a} ]a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x > a} ]−∞, a ] = {x ∈ ℝ | x ≤ a} ]−∞, a[ = {x ∈ ℝ | x < a} Exemplo 6 Obter
[ 2,10] ∩ ]5,12[ .
Resolução:
[ 2,10] :
2
10
]5,12[ : 5
[ 2,10] ∩ ]5,12[ Resposta:
5
12
10
]5,10]
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3. 3.1.
Aritmética dos inteiros Múltiplo e divisor Dados dois números m e d, dizemos que m é um múltiplo de d se, e somente se, existir
um inteiro k tal que m = k ⋅ d. Nestas condições, também se diz que d é um fator (ou divisor) de m.
3.2.
Número par Um número inteiro a é dito par se, e somente se, ele for múltiplo de 2. Todo número inteiro que não é par é dito número ímpar.
Exemplo 1 Determinar quantos são os múltiplos de 7 compreendidos entre os números -50 e +500. Resolução: Se considerarmos estes números em ordem crescente, temos a P.A. (-49, -42, -35, ... , an), cujo primeiro termo é a1 = -49, cuja razão é r = 7 e cujo último termo é an. Precisamos obter o maior valor possível de n tal que seja satisfeita a condição na < 500. Como
a n = a1 + ( n − 1) ⋅ r , segue que:
-49 + (n – 1) ⋅ 7 < 500 -49 + 7n < 556 O maior valor possível de n que satisfaz tal condição é 79. Resposta: 79 Exemplo 2 Decompor o inteiro 1995 numa soma de cinco ímpares consecutivos. Resolução: Considere a seqüência destes ímpares em ordem crescente e seja x o termo médio. Deste modo, tem-se que
( x − 4 ) + ( x − 2 ) + x + ( x + 2 ) + ( x + 4 ) = 1995 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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5x = 1995 , ou ainda, x = 399. Resposta: 395 + 397 + 399 + 401 + 403 Exemplo 3 2
Seja um inteiro tal que a é ímpar. Prove que a é ímpar.
Demosntração: (Método indireto) Suponhamos que a seja um número par, isto é, a = 2k, com k inteiro. 2
2
2
Segue que a = 4n , ou seja, a é par, o que é ABSURDO, pois contraria a hipótese. Observações importantes: Todo número ímpar, isto é, um inteiro não múltiplo de 2, pode ser representado, indiferentemente, pela expressão 2k + 1, ou por 2k – 1, com k inteiro, pois sempre existem dois números pares tais que ele seja o sucessor de um deles e o antecessor do outro. Assim, por exemplo, o número ímpar 17 é o sucessor de 16 e o antecessor de 18. Consideremos, agora, um inteiro x, não múltiplo de 3. Repare que há uma diferença entre afirmar que x é da forma 3k + 1 e afirmar que x é da forma 3k – 1, onde k é um inteiro. Assim, por exemplo, o número 4 é da forma 3k + 1 e não da forma 3k – 1, enquanto o número 5 é da forma 3k – 1, sempre considerando k inteiro. Observe que todo inteiro não múltiplo de 3, ou é da forma 3k + 1, ou é da forma 3k–1. Verifique a seguinte afirmação, com k inteiro: - Todo inteiro não múltiplo de 5 é de uma e apenas uma, das seguintes formas: 5k + 1, 5k – 1, 5k + 2, 5k - 2 Exemplo 4 2
2
Sendo a um inteiro, não múltiplo de 5, mostre que o antecessor de a ou o sucessor de a é um múltiplo de 5. Demosntração: Tem-se que a é da forma 5k + 1 ou da forma 5k + 2. No primeiro caso, tem-se que:
a 2 = 25k 2 + 10k + 4 , isto é, a 2 − 1 = 5 ( 5k 2 + 2k ) No segundo caso, tem-se que:
a 2 = 25k 2 + 10k + 4 e, portanto: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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a 2 + 1 = 25k 2 + 10k + 5 = 5 ( 5k 2 + 2k + 1)
3.3.
(c.q.d.)
Teorema Sejam x, y e d inteiros. Se d é divisor de x, e d é divisor de (x + y), então d é divisor de y.
Justificativa: Existe um inteiro k1 tal que x = d ⋅ k1 Existe um inteiro k2 tal que x + y = d ⋅ k2 Logo, d ⋅ k1 + y = d ⋅ k2 y = d ⋅ k2 - d ⋅ k1 y = d ⋅ (k2 – k1) Como k2 – k1 é inteiro, tem-se que d é divisor de y. (c.q.d.) Exemplo 5 Obter os valores inteiros de n de modo que n + 3 seja um divisor de n + 13. Resolução: n + 3 é divisor de n + 11 n + 3 é divisor de n + 3 + 8 (*) n + 3 é divisor de n + 3
(**)
De (*) e (**) segue que: n + 3 é divisor de 8 Portanto,
n + 3 ∈ {1, 2, 4,8, −1, −2, −4, −8} n ∈ {−2, −1,1,5, −4, −5, −7, −11} Resposta: -2, -1, 1, 5, -4, -5, -7 e -11. Exemplo 6 Mostre que um inteiro
ℕ com quatro algarismos é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma
dos algarismos for múltiplo de 3. Demosntração:
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ℕ = ( a, b,c, d ) , isto é, a é o algarismo dos milhares, b o das centenas, c o das
Seja
dezenas e d o das unidades.
ℕ = 1000a + 100b + 10c + d ℕ = 999a + 99b + 9c + a + b + c + d
ℕ = 3 ( 333a + 33b + 3c ) + a + b + c + d 1a parte: se a + b + c + d = 3m, então
2a parte: se
ℕ é obviamente múltiplo de 3.
ℕ for um múltiplo de 3, isto é, ℕ = 3h, então
3h = 3 ( 333a + 33b + 3c ) + a + b + c + d 3h − 3 ( 333a + 33b + 3c ) = a + b + c + d Logo, a + b + c + d é múltiplo de 3. (c.q.d.) Observação: Esta regra de divisibilidade por 3 vale para todos os inteiros, independentemente do número de algarismos. A mesma regra vale para a divisibilidade por 9.
3.4.
Número primo Um inteiro p é dito número primo, ou simplesmente primo, se, e somente se, ele possuir
quatro e apenas quatro divisores distintos. (Os quatro divisores em questão são 1, -1, p e –p.)
3.5.
Número composto Os números inteiros não nulos que têm mais do que 4 divisores distintos são chamados de
números compostos. Observações: − Os números 1, -1 e 0 não são primos nem compostos. − Os números 2 e -2 são os únicos números primos e pares. − Todo inteiro k positivo e diferente de 1 admite pelo menos um divisor primo positivo.
3.6.
Teorema Existem infinitos números primos.
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Demosntração: Suponhamos que exista só um número finito de primos positivos p1, p2, p3, ... , pn e consideremos o número p = p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ... ⋅ pn + 1. Como p é maior que qualquer um dos números primos enumerados, segue que p é um número composto e, portanto, um destes primos deve ser o divisor de p. Seja pk, com 1<k<n, este divisor. Como pk é divisor de p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ... ⋅ pn e pk é divisor de p, conclui-se que pk é divisor de 1, o que é absurdo, pois os únicos divisores de 1 são os números 1 e -1.
(c.q.d.)
Exemplo 7 Verificar se 251 é primo. Resolução: O seguinte procedimento de verificar a primalidade de um número é conhecido como o crivo de Erastótenes. Constrói-se uma tabela de todos os inteiros maiores que 1 cujos quadrados não superem o número 251.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
(Note que 162 > 251)
O próximo passo consiste em verificar se um dos números desta tabela é um divisor do número 251. Isto pode ser feito de maneira relativamente rápida, pois se um dado número não for divisor, então seus números também não o serão. Note que 2 não é divisor de 251 e, portanto, os números 4, 6, 8, 10, 12 e 14 também não serão. Vamos “eliminar” o número 2 e todos os seus múltiplos.
2 6 7 11 12
3
4
5
8 9 13 14
10 15
Note que 3 não é divisor de 251 e, portanto, também podemos “eliminar” todos os múltiplos de 3. Prosseguimos desta maneira até encontrar um divisor, ou então até “eliminar” todos os números da tabela. Se for encontrado um divisor, então o número em questão é composto; caso contrário, o número é primo.
2 6 11
7 12
3
4
5
8 9 13 14
10 15
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Resposta: 251 é primo Observação: A elegância deste procedimento chama a atenção pelo seguinte: Consideremos o produto d1 ⋅ d2. Se d1 > 15 e d2 > 15, então d1 ⋅ d2 > 251. Logo, se 251 admitisse um divisor d1, d1 > 15, deveríamos ter um inteiro d2, d2 < 15, de modo que d1 ⋅ d2 = 251, isto é, 251 teria um divisor menor ou igual a 15. Porém, isto é absurdo, pois, como foi verificado na tabela, 251 não admite divisor menor ou igual a 15. Exemplo 8 4
2
Obter todos os inteiros a tais que a + a + 1 seja um número primo. Resolução:
a 4 + a 2 + 1 = a 4 + 2a 2 + 1 − a 2 = ( a 2 + 1) − a 2 2
= ( a 2 + 1 − a )( a 2 + 1 + a ) Repare que para este produto ser um número primo é necessário (mas não sufuciente) que um dos seus fatores seja igual a 1 ou igual a -1. Vejamos:
a 2 + 1 − a = 1 ⇒ a = 1 ou a = 0 a 2 + 1 − a = −1 ⇒ a não é int eiro a 2 + 1 + a = 1 ⇒ a = −1 ou a = 0 a 2 + 1 + a = −1 ⇒ a não é int eiro Os valores encontrados foram 1, -1 e 0. 4
2
Substituindo, conclui-se que a + a + 1 é primo somente para a = 1 ou a = -1. Resposta: 1 e -1
3.7.
Forma fatorada Todo inteiro a, não nulo, diferente de 1 e diferente de -1, pode ser expresso na forma:
a = + p1α1 p 2 α2 p3α3 ...p n αn , se a > 0 , ou a = −p1α1 p 2 α2 p3α3 ...p n αn , se a < 0
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onde p1, p2, ... e pn são primos positivos e dois a dois distintos, e os expoentes α1, α2, ..., αn são números naturais não nulos. Exemplo 9 Qual a forma fatorada de 528?
Resolução:
528
2
264
2
132
2
66
2
33
3
11
11
1 4
Resposta: 2 ⋅ 3 ⋅ 11
Exemplo 10 3
4
Quantos divisores possui o número 5 ⋅ 11 ? Resolução: Consideremos os conjuntos:
D1 = {50 , 51 , 52 ,53 } e D 2 = {110 ,111 ,112 ,113 ,114 } Repare que todo produto do tipo d1 ⋅ d2 com 3
d1 ∈ D1 , d 2 ∈ D 2 e apenas estes produtos são
4
divisores positivos de 5 ⋅ 11 . Para d1, temos (1 + 3) opções, e para d2 há (1 + 4) opções. Logo, existem (1 + 3)(1 + 4) = 20 divisores positivos. 3
4
Consequentemente há 20 divisores negativos. Há, portanto, 40 divisores de 5 ⋅ 11 . Resposta: 40 Observação:
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Sendo
p1α1 p 2 α2 p 3α3 ...p n αn a forma fatorada de um número natural n, pode-se concluir que
o número de divisores positivos de n é
3.8.
( α1 + 1)( α 2 + 1)
... ( α n + 1) .
Divisão euclidiana Dados dois inteiros n e d, com
inteiros q e r tais que n = d ⋅ q + r e
d ≠ 0 , efetuar a divisão de n por d significa obter dois
0≤r< d .
Os números n, d, q e r são, nesta ordem, chamados de dividendo, divisor, quociente e resto. Pode-se provar que para cada par (n,d), o quociente e o resto são únicos. Exemplo 11 Efetuar a divisão de: a) 29 por 4 b) 29 por -4 c) -29 por 4 Resolução:
a) 29
4
b) 29
−4
1
7
1
−7
c) −29 3
4 −8
Observe que, em cada caso, o resto é não negativo e é menor que o módulo do divisor! Resposta: a) quociente 7, resto 1 b) quociente -7, resto 1 c) quociente -8, resto 3 Exemplo 12 Seja d um divisor comum dos inteiros não nulos x e y. Mostre que d é um divisor do resto da divisão de x por y. Demonstração: Sejam q e r, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de x por y. Então:
x = y⋅q + r Sendo
x = a ⋅ d e y = b ⋅ d , segue que:
r = x − y = a ⋅ d − b ⋅ d = d (a − b)
(c.q.d.)
Exemplo 13 Obter o conjunto dos inteiros positivos menores que 180 e que, quando divididos por 27, deixam um resto igual ao quociente.
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Resolução:
x = 27r + r com 0 ≤ r ≤ 27 e x < 180 x = 28r
r ∈ {1, 2,3, 4,..., 26} x ∈ {28,56,84,112,140,168,196,... } Como devemos ter x < 180, tem-se que o conjunto pedido é: Resposta:
3.9.
{28,56,84,112,140,168} .
{28,56,84,112,140,168}
Máximo divisor comum Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, chama-se de máximo divisor comum de a e b ao
maior dos divisores que eles têm em comum. Notação: mdc(a,b) Exemplo 14 Calcular mdc(1750,1400). Resolução: 1a maneira:
1750 = 21 ⋅ 53 ⋅ 71 e 1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71 O maior divisor (ou fator) comum é
21 ⋅ 52 ⋅ 71 = 350 . 2a maneira (por divisões sucessivas): Efetua-se a divisão de um número pelo outro e, daí em diante, divide-se sucessivamente o último divisor obtido pelo resto, até obter um resto nulo. (Os quocientes são abandonados.)
restos:
1750
1400
350
0
350
(O exemplo 12 justifica a validade deste processo.) Resposta: 350
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Exemplo 15 Calcular mdc(2048,1935). Resolução:
restos:
2048
1935
113
14
113
14
1
0
1
Resposta: 1
3.10. Números primos entre si Dois inteiros quais quer são ditos primos entre si se, e somente se, o seu mdc for 1. Exemplo 16 Os números 2048 e1935 são primos entre si. Exemplo 17 Verificar se existe um inteiro k tal que 3k + 1 e 2k + 1 não sejam primos entre si. Resolução: Seja d, d > 0 um divisor comum; então tem-se que:
3k + 1 = a ⋅ d (−2) 2k + 1 = b ⋅ d (3) −6k − 2 = −2a ⋅ d 6k + 3 = 3b ⋅ d +
1 = ( 3b − 2a ) ⋅ d Como d=1, conclui-se que os números 3k + 1 e 2k + 1 são primos para todo inteiro k. (Tente resolver este exercício pelo método das divisões sucessivas.) Resposta: não
3.11. Mínimo múltiplo comum Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, chama-se de mínimo múltiplo comum de a e b ao menor dos múltipos positivos que eles têm em comum.
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Notação: mmc(a,b) Exemplo 18 Calcular mmc(1750,1400). Resolução:
1750 = 21 ⋅ 53 ⋅ 71 e 1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71 O menor dos múltiplos positivos que estes números têm em comum é
23 ⋅ 53 ⋅ 71 .
Resposta: 7000
3.12. Teorema Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, tem-se que:
mdc ( a, b ) ⋅ mmc ( a, b ) = a ⋅ b .
Exemplo 19 Obter k, dado que o mdc e o mmc de k e 20 são, nesta ordem, iguais a 4 e 160. Resolução:
20 ⋅ k = 4 ⋅160 ⇒ k = 32 e 1400 = 23 ⋅ 52 ⋅ 71 Resposta: 32 e -32
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4. Técnicas de fatoração 4.1. Expressão algébrica Para estabelecer conceitos, definições, axiomas, teorema, etc., na Álgebra, usaremos, quase sempre, seqüências de caracteres, que podem ser letras, algarismos, sinais de operação, parênteses, colchetes ou chaves, dispostos numa ordem determinada. Seqüências desse tipo, em que pelo menos um dos caracteres é uma letra, são chamadas expressões algébricas. O uso de expressões algébricas traz várias conveniências, entre elas a precisão e a concisão de linguagem. Observe o quadro abaixo: Exemplo:
Expressão Algébrica: 2x
O dobro de um número O quadrado da soma de dois números
(a + b)
A soma dos quadrados de dois números
a +b
A soma do quadrado de um número com o seu dobro
2
2
2
2
n + 2n
4.2. Valor numérico Quando, numa expressão algébrica, cada letra for substituída por um número e as eventuais operações puderem ser efetuadas, obter-se-á um resultado chamado de valor numérico da expressão algébrica. Exemplo 1 2
2
Obter o valor numérico de a – b + ab para: a) a = 1 e b = 2
b) a = 2 e b = 1
Solução: a) Substituindo a por 1 e b por 2, obtemos:
12 − 22 + (1)( 2 ) = 1 − 4 + 2 = −1 .
b) Substituindo a por 2 e b por 1, obtemos:
22 − 12 + ( 2 )(1) = 4 − 1 + 2 = 5 .
Exemplo 2 Sendo a = 3 e b = 4, obter o valor numérico de
( a + 2 )( ab + 1) − a ( ab + 2b + 1)
Solução:
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Substituindo a por 3 e b por 4, obtemos:
( 3 + 2 )(12 + 1) − 3 (12 + 8 + 1) = ( 5 )(13) − ( 3)( 21) = 2 . Exemplo 3 Mostrar que o valor numérico de
( a + 2 )( ab + 1) − a ( ab + 2b + 1)
independe dos valores
de a e b. Solução: Efetuando os produtos indicados, obtemos:
a 2 b + a + 2ab + 2 − a 2 b − 2ab − a = 2 . Portanto para quaisquer valores de a e b a expressão terá valor numérico 2. EXERCÍCIOS Sendo a = 5 e b = 2, obter os valores numéricos de: 1)
(a + b)
2)
a 2 + b2
3) 4)
2
(a − b) 2 (b − a ) 2
5) a − b 6) Mostrar que o valor numérico da expressão abaixo não depende do valor de b. 2
2
( a + b )( ab + 1) − b ( a 2 + ab + 1) .
4.3.
Fatorar – Desenvolver Consideremos as expressões:
F = ( x + 2y )( 2x + 3y ) e D = 2x 2 + 7xy + 6y 2 Repare que:
( x + 2y )( 2x + 3y ) = 2x 2 + 3xy + 4xy + 6y 2 = 2x 2 + 7xy + 6y 2 Denomina-se: •
( x + 2y )( 2x + 3y ) de FORMA FATORADA
•
2x 2 + 7xy + 6y 2 de FORMA DESENVOLVIDA
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Repare que, em geral, desenvolver um produto requer apenas mão-de-obra e, portanto, não oferece maiores dificuldades. O que pode dar problemas é a passagem no sentido contrário. Como fatorar? Isto é, como passar da forma desenvolvida para a forma fatorada? A
seguir
veremos
algumas
identidades
fundamentais,
que
serão
ferramentas
indispensáveis para a técnica de fatoração.
4.4. Casos de fatoração 1° caso: o fator comum Pela propriedade distributiva, temos que
a ( b + c ) = ab + ac e portanto:
a ⋅ b + a ⋅ c = a (b + c) Observe que no membro esquerdo da igualdade acima h’uma soma (adição ou subtração) de produtos que, neles, a é um fator comum. No membro direito diremos que o fator comum a foi colocado em “evidência”. A igualdade acima pode ser ilustrada da seguinte maneira:
a
b+c
A área da região hachurada é igual a
ab
ac
b
c
a ( b + c ) = ab + ac .
Exemplo 4 Fatorar
2x + xy − ax .
Solução: Como x é fator comum, segue que:
2x + xy − ax = x ( 2 + y − a ) Exemplo 5 Fatorar
8x 2 − 4x .
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Solução: Observe que 4x é fator comum!
8x 2 − 4x = = 4x ⋅ 2x − 4x ⋅1 = 4x ( 2x − 1) Exemplo 6 Fatorar
x 3 y 2 − x 2 y3 + x 6 y5 .
Solução: O fator comum é
x 2 y2 :
x 3 y 2 − x 2 y3 + x 6 y5 = = xx 2 y 2 − x 2 y 2 y + x 4 x 2 y 2 y3 = x 2 y 2 ( x − y + x 4 y3 ) EXERCÍCIOS Fatorar as seguintes expressões:
a 2 + ab − a 8) a ( x + y) + b( x + y)
7)
9)
a ( 3x − 2 ) − b ( 3x − 2 )
10)
x (a − b) + y (a − b)
11)
x (a − b) + b − a
OBSERVAÇÃO Pode haver aplicações repetidas deste caso. Vejamos um exemplo básico.
ax + ay + bx + by = = ( ax + ay ) + ( bx + by ) = a ( x + y) + b ( x + y) = ( a + b )( x + y ) Exemplo 7 Fatorar
ax + ay − bx − by .
Solução:
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ax + ay − bx − by = = ( ax + ay ) − ( bx + by ) = a ( x + y) − b ( x + y) = ( a − b )( x + y ) Exemplo 8 Fatorar
ax − ay − bx + by .
Solução:
ax − ay − bx + by = = ( ax − ay ) − ( bx − by ) = a ( x − y) − b ( x − y) = ( x − y )( a − b ) EXERCÍCIOS Fatorar:
ab − a 2 b − a + b 2 13) x −3x + bx −3b 14) ap − by + bp − ay 12)
2
x 2 + ax + bx + ab 2 16) x + ( a − b ) x − ab 15)
2° caso: diferença de dois quadrados
a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) 2
2
Assim, por exemplo, 5 – 3 é igual a
( 5 + 3)( 5 − 3) (verifique!).
É claro que podemos justificar essa identidade partindo do membro direito e, desenvolvendo o produto, chegar ao membro esquerdo. Como ficaria se quiséssemos partir do membro esquerdo e, fatorando, chegar no direito? Repare que em
a 2 − b 2 = a ⋅ a − b ⋅ b não há fator comum!
Observe então a seguinte seqüência em que é usado um pequeno artifício: somando e subtraindo ab, obtemos fatores comuns sem alterar o valor da expressão.
a 2 − b 2 = a 2 + ab − ab − b 2 = a (a + b) − b (a + b) = ( a + b )( a − b ) Veja na seguinte ilustração como podemos verificar a identidade em questão.
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a
a 2 − b2
a
b
b
a
b
( a + b )( a − b )
As
regiões
hachuradas
têm
áreas
a-b
iguais
e
ilustram
o
fato
de
que
a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) . Exemplo 9 Fatorar
x 2 − 25 .
Solução:
x 2 − 25 = = x 2 − 52 = ( x + 5 )( x − 5 ) Exemplo 10 Fatorar
a 4 − b4 .
Solução:
a 4 − b4 = = ( a 2 ) − ( b2 ) 2
2
= ( a 2 + b 2 )( a 2 − b 2 ) = ( a 2 + b 2 ) ( a + b )( a − b ) 2
2
(Observação: No conjunto dos números reais, a expressão a + b não é fatorável!)
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EXERCÍCIOS
Fatorar as seguintes expressões em 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23)
ℝ:
x2 −1 x4 −1 a 2 − b 2 + ax + bx a + b + b2 − a 2 a 2 − b 2 + a 2 − ab a 2 − b2 + b − a x 3 − 3x 2 − 4x + 12
3° caso: trinômio quadrado perfeito
a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b )
2
a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b )
2
Veja:
a 2 + 2ab + b 2 =
= a 2 + ab + ab + b 2 = ( a 2 + ab ) + ( ab + b 2 ) = a (a + b) + b (a + b) = ( a + b )( a + b ) = (a + b)
2
a 2 − 2ab + b 2 =
= a 2 − ab − ab + b 2 = ( a 2 − ab ) − ( ab − b 2 ) = a (a − b) − b (a − b) = ( a − b )( a − b ) = (a − b)
2
Ilustrando:
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a
b
a
a2
ab
b
ab
b2
a+b
(a + b)
a+b
2
Exemplo 11 Desenvolver
( 2x + 3y )
2 2
.
Solução:
( 2x + 3y )
2 2
= = ( 2x ) + 2 ( 2x ) ( 3y 2 ) + ( 3y 2 ) 2
2
= 4x 2 + 12xy 2 + 9y 4 Exemplo 12 2
1 Desenvolver x − . x Solução: 2
1 x− = x 1 1 = x2 − 2 ( x ) + x x 1 = x2 + 2 + 2 x
2
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Exemplo 13 Fatorar
4a 2 + 20ab 2 + 25b 4 .
Solução:
4a 2 + 20ab 2 + 25b 4 = = ( 2a ) + 2 ( 2a ) ( 5b 2 ) + ( 5b 2 ) 2
= ( 2a + 5b 2 )
2
2
EXERCÍCIOS
1 24) Desenvolver: x + x
2
Fatorar as seguintes expressões em
32)
x2 + 6x +9 x2 −10x + 25 x3 −16x2 + 64x −x2 + 20x −100 2x − 1 − x 2 1 a4 + a2 + 4 2 a + 2ab + b 2 − c 2 x 2 + 2x + 1 − y 2
33)
x 2 − ( y − 1)
25) 26) 27) 28) 29) 30) 31)
ℝ:
2
4° caso: soma e diferença de cubos
a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) Justificativa:
( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = = a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b3
( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = = a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b3 = a 3 − b3
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Exemplo 14
x3 + 8 .
Fatorar Solução:
x3 + 8 = = x 3 + 23 = ( x + 2 ) ( x 2 − 2x + 22 ) = ( x + 2 ) ( x 2 − 2x + 4 ) Exemplo 15 Fatorar
27x 3 − 1 .
Solução:
27x 3 − 1 = = ( 3x ) − 13 3
= ( 3x − 1) ( 3x ) + ( 3x )(1) + 12 2
= ( 3x − 1) ( 9x 2 + 3x + 1) Exemplo 16 Fatorar
a 3 − b3 + a 2 − b 2 + a − b .
Solução:
a 3 − b3 + a 2 − b 2 + a − b = = ( a 3 − b3 ) + ( a 2 − b 2 ) + ( a − b ) = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) + ( a + b )( a − b ) + 1( a − b ) = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) + ( a + b ) + 1 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 + a + b + 1) EXERCÍCIOS 3
34) a) Fatorar x - 1 b) Sendo x = 0,1, obter o valor numérico de
x3 −1 x −1
35) Fatorar: a)
x 9 + y9
b)
x 9 − y9
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5° caso: cubo da soma e cubo da diferença
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 = ( a + b ) a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3 = ( a − b )
3
3
Justificativa:
(a + b)
3
= (a + b) (a + b) 2
= ( a 2 + 2ab + b 2 ) ( a + b ) = a 3 + a 2 b + 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a − b)
3
= (a − b) (a − b) 2
= ( a 2 − 2ab + b 2 ) ( a − b ) = a 3 − a 2 b − 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 − b3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3 Exemplo 17 Desenvolver
( 2x + 5 )
3
.
Solução:
( 2x + 5 )
3
= = ( 2x ) + 3 ( 2x ) ( 5 ) + 3 ( 2x )( 5 ) + 53 3
2
2
= 8x 3 + 60x 2 + 150x + 125 Exemplo 18 Desenvolver
( x − 2y )
3
.
Solução:
( x − 2y )
3
= = x 3 − 3x 2 ( 2y ) + 3x ( 2y ) − ( 2y ) 2
3
= x 3 − 6x 2 y + 12xy 2 − 8y 3 Exemplo 19 Fatorar
x 3 + 3x 2 + 3x + 1 .
Solução:
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x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = = x 3 + 3x 2 ⋅1 + 3x ⋅12 + 13 = ( x + 1)
3
EXERCÍCIOS 36) Desenvolver as expressões: a)
( x + yz )
2 3
b)
( 2x − 1)
3
Fatorar as expressões:
37)
x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y3
38)
x 3 + 6x 2 y 2 + 12xy 4 + 8y 6
x 3 − 9x 2 + 27x − 27 3 2 2 3 3 40) a + 3a b + 3ab + b + c 39)
RESUMO
1. ab + ac − ad = a ( b + c + −d ) 2. a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) 3. a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 4. a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b )
2
2
5. a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) 6. a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) 7. a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 = ( a + b ) 8. a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3 = ( a − b )
3
3
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5.
Potenciação
5.1.
Definição Dado um número a,
a ∈ ℝ , e um número inteiro n, n > 1, chama-se potência enésima de
n
a, que se indica por a , ao produto de n fatores iguais a a. Assim:
a n = a ⋅ a ⋅ a ... a n fatores O número a é chamado de base e n, de expoente. Exemplo 1
a)
23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
b)
( −2 )
3
= ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = −8
Exemplo 2 Obter o valor de cada expressão: a)
4 + ( −3 ) 2
3
1 2 b) ⋅10 10
2
2 c) 3
2
−3 ⋅ 2
3
Solução: a)
42 + ( −3) = 4 ⋅ 4 + ( −3) ⋅ ( −3) = 16 + 9 = 25 2
3
1 1 ⋅ 10 ⋅ 10 = ^ ⋅ 10 10 2 3 2 2 3 3 3 3 2 3 c) ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − = − 2 3 3 2 2 2 3 2 b)
1 1 1 2 ⋅10 = ⋅ 10 10 10
OBSERVAÇÕES
1)
2)
( −2 ) ≠ −22 pois: 2 ( − 2 ) = ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = 4 2
e
− 2 2 = − ( 2 ⋅ 2 ) = −4
( −1) = 1 , se n é par n ( −1) = −1 , se n é ímpar n
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EXERCÍCIOS
1) Calcular: 4
a) 1
d) 4
3
g)
b) 0
4
e) ( −4 )
2
c) 4
2
( −4 )
3
f)
−4 2 2 3
2
h)
2 i) − − 3
2
2) Calcular: a)
( −4 )
2
− 32 3
1 b) − ⋅10 4 10 2 c) 3
5.2.
2
3 ⋅ − 2
2
Definições 5
Considere, por exemplo, a potência 2 , que é 32. Observe que, ao diminuirmos de 1(uma) unidade o expoente, o valor da potência fica dividido por 2, que é o valor da base. Veja:
25 = 32 , 2 4 = 16 , 23 = 8 , 22 = 4 Continuando-se o raciocínio anterior, vem:
21 = 2 , 20 = 1 , 2 −1 =
1 −2 1 , 2 = e assim por diante. 2 4
Tais resultados sugerem as definições:
n
a =a 1
a =1 0
a
−n
1 1 = n = ,a ≠ 0 a a
Exemplo 3
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a)
31 = 3
b)
( −3 )
c)
30 = 1
d)
( −3 )
1
= −3
0
=1
e)
3−2 =
1 1 = 32 9
f)
3−3 =
1 1 = 3 3 27
g)
( −3 )
−2
h)
( −3 )
−3
= =
1
=
3
=−
( −3 ) 1
( −3 )
1 9
2
1 27
Exemplo 4 Calcular: a)
2 b) 3
−4
1
−2
2 c) − 3
−2
d)
2 2 ⋅ 2 −2
Solução:
a)
1−4 =
1 =1 14
−2
2
2 3 9 b) = = 4 3 2 −2
2
2 3 9 c) − = − = 4 3 2 1 2 −2 2 d) 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 1 2 EXERCÍCIOS
3) Calcular:
a)
b)
c)
1
d)
( −5 )
0
e)
( −5 )
−1
f)
( −5 )
5
5
5
1
0
−1
3 j) 4
0
3 k) − 4
1 h) 5 i)
1 5
−2
1
1 g) 5
−1
l)
−2
3 −− 4
−2
4) Calcular: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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−1 1 −1 a) 2 + 2
2 −2 1 −1 b) − − 3 3
5) Calcular o valor de ( x −1 + y −1 ) , sabendo que x = 0,1 e y = 0,9. −1
5.3.
Simplificação de expressões Numa expressão numérica com parêntesis (
), colchetes [
] e chaves {
}, efetuamos
inicialmente as operações que estão entre parênteses, depois as que estão entre colchetes e por fim aquelas que estão entre chaves, obedecendo à seguinte ordem de cáculo:
1) as potenciações; 2) as multiplicações ou divisões na ordem em que aparecem; 3) as adições ou subtrações na ordem em que aparecem. Exemplo 5 Simplificar a expressão:
{3 x 4 + ( 6 : 2 − 7 )} + 3 2
1
2
2
0
2
Solução: Efetuando as operações entre parênteses na ordem dada:
{3 x 4 + ( 36 : 4 − 1)} + 3 = {3 x 4 + ( 9 − 1) } + 3 = {3 x 4 + 8} + 3 2
1
2
2
1
2
1
2
2
Efetuando as operações entre colchetes na ordem dada:
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{3 x [ 4 + 8]} + 3 = {3 x12} + 3 2
2
2
2
Efetuando as operações entre chaves na ordem dada:
{9x12} + 32 = 108 + 32 = 108 + 9 = 117
EXERCÍCIOS
6) Calcular:
{ } 3 + {1 − ( 2 − 2 ) : 2 } 10 x {10 : ( 6 : 3 + 2 : 2 ) } 20 : 32 + 20 + ( 23 : 8) − 1
a)
−1
b)
2
c)
5.4.
4
−1
0
−1
−1
3
0
Propriedades das potências Observe os cálculos:
(A)
(A) (A)
24 ⋅ 22 = ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 )( 2 ⋅ 2 ) = 2 4+ 2 ( 4 + 2 ) fatores
(
( B)
)
2 ⋅ 2 ⋅2⋅2 24 = = 2 ⋅ 2 = 24− 2 ( B ) 2 2 2⋅2 ( 4− 2)
(
)
fatores
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 )( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ) = 2 ( B ) ( 2 ) = ( ( 4.2 ) fatores 4 2
4.2
2
2 2 2 2 ⋅ 2 22 = ( A ) = ⋅ = 3 3 3 ⋅ 3 32 3
( A ) ( 2 ⋅ 3)
2
( B)
= ( 2 ⋅ 3 )( 2 ⋅ 3) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 22 ⋅ 32 ( B )
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Imprimiremos maior rapidez aos cálculos se passarmos diretamente do estágio (A) para o estágio (B) e vice-versa. Tal passagem é garantida pelas chamadas propriedades das potências. Para todo
a ∈ ℝ , b ∈ ℝ , m e n inteiros, prova-se:
P1. a m ⋅ a n = a m + n P2.
am = a m−n , a ≠ 0 an
P3. ( a m ) = a m⋅n n
m
am a P4. = m , b ≠ 0 b b P5. ( a ⋅ b ) = a m ⋅ b m m
Exemplo 6
27 ⋅ 23 = 27 +3 = 210 (P1) 7 + 3+ ( −2 ) 7 3 −2 b) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 = 28 (P1) 7 3 7 −3 = 24 (P2) c) 2 : 2 = 2 a)
d)
(2 )
5 3
= 215 (P3)
4
24 2 e) = 4 3 3 f)
( 2 ⋅ 5)
3
(P4)
= 23 ⋅ 53 (P5)
Exemplo 7
1. Calcular:
(5 a)
⋅ 57 )
3
2
4
3 4 b) ⋅ 5 5
518
(10 ) c)
−1 3
⋅10−7
10−10
Solução:
(5
3
a)
⋅ 57 )
2
518
(5 ) =
10 2
518
520 = 18 = 52 = 25 5
4
b)
4 3 4 3 4 ⋅ 5 = ⋅ 5 = 34 = 81 4 5 5
(10 )
−1 3
c)
⋅10−7
10−10
10−3 ⋅10 −7 10−10 −10 − −10 = = −10 = 10 ( ) = 100 = 1 −10 10 10
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2. Calcular:
a)
( 0, 01)
−
1 2
b)
1 34 ⋅ 9
−1
c)
32
3
Solução:
−
1 2
1 = 100
1 2
−
1 = 2 10
−
1 2
= (10−2 )
−
1 2
a)
( 0, 01)
b)
−1 1 1 34 ⋅ = 34 ⋅ 2 = 34 ⋅ ( 3−2 ) = 34 ⋅ 32 = 36 = 729 9 3
c)
32 = 3
−1
= 101 = 10
−1
( 2 ) = 38 = 6561
3
3
OBSERVAÇÕES
( 4 ) = 216
1) 24 ≠ ( 24 ) , pois 24 = 2 2
2
2)
( 2 + 3)
2
2
2
e
(2 )
4 2
= 28
≠ 22 + 32 , pois ( 2 + 3) = 52 = 25 e 2 2 + 32 = 4 + 9 = 13 2
EXERCÍCIOS
7) Transformar cada expressão abaixo numa única potência de base 2. a)
25 ⋅ 2 4 ⋅ 2 −2
d)
84
b)
26 2
e)
84 : 2 −2
c)
( 23 )
f)
1 8 −3 : 2
4
−3
8) Transformar cada expressão abaixo em uma única potência de base 10.
a)
10 ⋅100
c)
10
b)
(100 )
d)
103
3
2
:103
500
1 ⋅ 100
−200
2
9) Calcular o valor de cada expressão.
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a) b)
10)
( 0, 001)
2
⋅1002
0,1 10003 ⋅ ( 0, 001)
A expressão
2
5200 ⋅ ( 0, 2 )
199
é equivalente a:
1 10
a) 5
d)
b) 10
e) 100
c)
1 5
11)
Assinalar V (verdadeira) ou F (falsa)
23 ⋅ 2 4 = 412 2 2 4 b) 5 + 5 = 5 8 4 2 c) 10 :10 = 10
a)
d)
(10 )
2 3
3
= 10
6
( ) ( ) ( ) ( )
e) 10 = 10 ( ) Assinalar V (verdadeira) ou F (falsa) 2
12)
8
2 x +3 = 8 ⋅ 2 x 2x x −1 b) 2 = 2 3 3 c) ( 2x ) = 8x
a)
13)
Se
( ) ( ) ( )
2, 46 = a e 2, 47 = b , então 2, 413 é igual a:
a) a + b
d) a – b
b) a ⋅ b
e) 42
c) 6a + 7b
5.5.
Equações exponenciais Sendo b > 0 e
b ≠ 1 , tem-se b x1 = b x 2 ⇔ x1 = x 2
Exemplo 8
2 x = 25 ⇔ x = 5
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Exemplo 9 Resolver em
a)
ℝ
32x −1 = 37
Solução:
Sendo 3 > 0 e
3 ≠ 1 , temos que:
2x − 1 = 7 ∴ 2x = 8 ∴ x = 4 Logo: S = {4}
x
1 1 b) = 2 2
3
1 ⋅ 2
2
Solução: x
1 1 = 2 2 Sendo
5
1 1 > 0 e ≠ 1 , temos que x = 5. 2 2
Logo: S = {5}
c) Solução:
9 ⋅ 9 x = 27
91+ x = 27 ∴ ( 32 )
1+ x
Logo: S =
d)
= 33 ∴ 32 + 2x = 33 ∴ 2 + 2x = 3 ∴ x =
1 2
1 2
1 = 3−2 x 3
Solução:
1 = 3−2 ⇔ 3− x = 3−2 x 3 Sendo 3 > 0 e
3 ≠ 1 , temos que:
− x = −2 ∴ x = 2 Logo: S =
{2}
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OBSERVAÇÃO Se a base for zero, um ou negativa, não se poderá concluir a igualdade entre os expoentes. De fato:
1) 14 = 17 e no entanto 4 ≠ 7 2) 03 = 05 e no entanto 3 ≠ 5
( −1)
3)
= ( −1) e no entanto 2 ≠ 4
2
4
EXERCÍCIOS
14)
Resolver em
ℝ
1 3
a)
5x = 53
f)
9x =
b)
5− x = 53
g)
3x = 3 ⋅ 27
c)
5x = 25
h)
8 ⋅ 8x = 4
d)
25x = 125
i)
3x +1 + 6 ⋅ 3x = 27
e)
1 5
j)
2x = 42x − 2
5.6.
−x
=5
2
Notação científica Todo número N, não nulo, pode ser representado numa das formas:
N = a ⋅10 m ou N = −a ⋅10m
(1 ≤ a ≤ 10 ) e ( m ∈ ℤ ) conforme N seja positivo ou negativo, respectivamente. Essa forma de se escrever um número é chamada de notação científica e é bastante utilizada na Química, Física, Matemática, etc. 7
7
Por exemplo, os números 3 ⋅ 10 e -3 ⋅ 10 estão em notação científica. Para se escrever um número em notação científica, devem-se observar as seguintes propriedades:
1) Multiplicar um número por 10p , p > 0, é o mesmo que deslocar a vírgula para a direita de p “casas” decimais. Se p é negativo, desloca-se a vírgula para a esquerda. Assim:
a) 0, 00037 ⋅104 = 3, 7 b) 2500 ⋅10−3 = 2, 5 2) O valor de um número não se altera ao ser multiplicado por 10 p ⋅10 − p . De fato: 10 p ⋅10 − p = 100 = 1 .
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As duas propriedades acima permitem escrever um número em sua notação científica. Exemplo 10
5000000 = 5000000 ⋅10 −6 ⋅106 = 5 ⋅106 −5 5 5 b) 170000 = 170000 ⋅10 ⋅10 = 1, 7 ⋅10 a)
c)
−60200 = −60200 ⋅10 −4 ⋅104 = −6, 02 ⋅104
d)
0, 00032 = 0, 00032 ⋅104 ⋅10−4 = 3, 2 ⋅10−4
EXERCÍCIOS
15)
Escrever em notação científica os números
a) 230
e) 8000
b) 23
f) 8237
c) 2
g) -354,2
d) 0,2
h) 0,01
16)
A carga de um elétron é 0,0000000000000000016 C. Escreva este número em notação científica. 17) A vida na terra existe há aproximadamente 10 bilhões de anos. Escreva este número em notação científica.
5.7.
Resumo
DEFINIÇÕES
OBSERVAÇÕES
b ∈ ℝ, n ∈ ℕ 1)
b n = b ⋅ b ⋅ b ... b , n ≥ 2
1)
( −2 )
2)
−2 2 = −4
n fatores 1
2) b 3)
=b
b =1 0
n
4)
b−n =
1 1 = , b≠0 bn b
PROPRIEDADES
A ∈ ℝ, b ∈ ℝ, m e n int eiros
2
=4
3) a)
( −1)
b)
( −1)
n
= 1 , se n é par
n
= 1 , se n é ímpar
OBSERVAÇÕES 1)
22 + 32 = 13
2)
( 2 + 3)
3)
(3 )
5 2
2
= 25
= 310
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P1. a m ⋅ a n = a m+ n P2.
4)
2
35 = 325
am = a m−n , a ≠ 0 n a
P3. ( a m ) = a m⋅n n
m
am a P4. = m , b ≠ 0 b b P5. ( a ⋅ b ) = a m ⋅ b m m
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
OBSERVAÇÃO
b > 0, b ≠ 1
Se a base for zero, um ou negativa, nada
b x1 = b x 2 ⇔ x1 = x 2
se poderá concluir.
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
N = a ⋅10 m ou N = −a ⋅10m
(1 ≤ a < 10 ) e ( m ∈ ℤ )
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6.
6.1.
Radiciação
Introdução Consideremos o seguinte problema: 2
Qual é a medida do lado de um quadrado com 5 cm de área? Para resolvermos esse problema, vamos supor que a medida do lado do quadrado seja x (x>0). x
x
x
x
2
A área desse quadrado é dada por x , e pelo enunciado devemos ter:
x2 = 5 Nessas condições, o problema estará resolvido somente quando determinarmos o valor 2
positivo de x que torne verdadeira a sentença x = 5. O número x, não negativo, cujo quadrado é igual a 5, será indicado por
2
5 , que deve ser
lido: “raiz quadrada de cinco”. Assim,
x=25 Portanto, o lado do quadrado mede
6.2.
2
5 cm.
Generalização n
Suponhamos a sentença x =a onde igualdade será indicado por
n
n ∈ ℕ∗ e a ≥ 0 . O valor não negativo que satisfaz tal
a e deve ser lido: “raiz enésima de a”. Adotaremos a seguinte
nomenclatura para o novo símbolo apresentado: n
a é o radical
n é o índice do radical a é o radicando
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Exemplos Leitura 5
3
Radical
Raiz quinta de
4 8
Radicando
5
4
5
4
3
8
3
8
2
9
2
9
quatro Raiz terceira ou
Índice
Raiz cúbica de oito Raiz segunda ou
2
9
Raiz quadrada de nove
Observação Devido à raiz quadrada de um número não negativo a, isto é, freqüência, é comum denotá-la simplesmente, por
6.3.
2
a , ser utilizada com muita
a , suprimindo-se por comodidade, o índice 2.
Definição Sendo
a ≥ 0 e n ∈ ℕ∗ , tem-se: n
a = b ⇔ bn = a e b ≥ 0
onde b é um número real chamado raiz enésima de a. Exemplo 1 Usando a definição temos:
9 = 3 , pois 32 = 9 e 3 ≥ 0
a) b)
3
64 = 4 , pois 43 = 64 e 4 ≥ 0
c)
4
16 = 2 , pois 2 4 = 16 e 2 ≥ 0
d)
1
7 = 7 , pois 71 = 7 e 7 ≥ 0 2
e)
4 2 4 2 2 = , pois = e ≥ 0 9 3 3 9 3
Exemplo 2 3
O volume de um cubo de aresta x é dado por x .
x
x x
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3
Calcular a medida da aresta de um cubo de volume 64 cm . Solução: Sendo x a medida da aresta do cubo, devemos ter:
x 3 = 64 e x > 0 . Pela definição de raiz, temos:
x = 3 64 = 4 , pois 43 = 64 e 4 ≥ 0 . Portanto a aresta do cubo mede 4 cm. Exemplo 3 2
Obter a medida do lado de um quadrado de área 25 cm . Solução: Sendo x a medida do lado do quadrado, devemos ter:
x 2 = 25 e x > 0 .
Pela definição de raiz, temos que:
x = 25 = 5 Portanto, a medida do lado do quadrado é 5 cm.
Observação 2
Existem dois valores de x que tornam verdadeira a sentença x =25: 5 ou -5 O valor positivo 5 é indicado por
25 , e o valor negativo -5 é indicado por − 25 .
Assim,
x 2 = 25 ⇒ x = ± 25 De modo geral, para
a ≥ 0 e n par: xn = a ⇒ x = ± n a
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Exercícios 1) Calcular, usando a definição, o valor de cada uma das raízes. a)
1
b)
3
e)
25
f) g)
c)
3
8
d)
4
16
5 6
1 0
9 4
2) Obter a medida, em cm, do lado de um quadrado de área: a) 36 cm
2
b) 64 cm
2
c) 81 cm
2
3) Obter a medida, em cm, da aresta de um cubo de volume: a) 8 cm
3
b) 27 cm
3
c) 125 cm
3
4) Assinalar V (verdadeiro) ou F (falso) a)
9 =3
(
)
b)
9 = −3
(
)
c)
9 = ±3
(
)
d)
x2 = 9 ⇒ x = ± 9
(
)
e)
x3 = 8 ⇒ x = ± 3 8
(
)
f)
x3 = 8 ⇒ x = 3 8
(
)
6.4.
Propriedades dos radicais Sendo a e b números reais não negativos, e os índices números naturais não nulos,
temos:
P1. n a ⋅ n b = n a ⋅ b n
P2. P3. P4. P5.
n np
a na = b≠0 b b a mp = n a m
( a) n
n m
m
= n am
a = nm a
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Exemplo 4 P1
2 ⋅ 3 5 = 3 2 ⋅ 5 = 3 10
3
a)
5
8 P2 5 8 5 = = 2 5 4 4
b)
P3
59 = 27 ÷9 59 ÷9 = 3 5
27
c)
( 2)
12 P 4
3
d)
3 4
e)
P3
= 3 212 = 3÷3 212 ÷3 = 24
P5
2 = 12 2
f)
3
1 P2 3 1 1 =3 = 125 125 5
g)
3
85 =
P4
( 8) 3
5
= 25
Exercícios 5) Simplificar as expressões:
1 f) 3 2
2⋅ 3
a)
5
b)
25 2 ⋅ 5 3
g)
c)
25 2 ⋅65 3
h)
d)
3
i)
( 2)
j)
( 3)
e)
5
10 : 3 5
18 3 10 : 3 3 5
3
3
1 8 16 9
15
4
5
8
6) Simplificar os radicais: a)
12
26
c)
3
53
b)
4
38
d)
3
64
Exemplo 5 Simplificar os radicais: a)
3
320
b)
32
c)
4
160
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Soluções: a) Decompondo 320 em fatores primos, temos:
320 2 160 2 80 2 40 2
320 = 26 ⋅ 5
20 2 10 2 5
5
1 Assim,
320 = 3 26 ⋅ 5 = 3 26 ⋅ 3 5 = 1 22 ⋅ 3 5 = 4 3 5
3
b) Decompondo 32 em fatores primos, temos
32 = 25 . Assim,
32 = 25 = 24 ⋅ 2 = 42 ⋅ 2 = 4 2 c) Decompondo 160 em fatores primos, temos 4
160 = 25 ⋅ 5 . Assim,
160 = 4 25 ⋅ 5 = 4 24 ⋅ 2 ⋅ 5 = 4 24 ⋅ 4 2 ⋅ 5 = 2 4 10
Exercícios 7) Simplificar os radicais: a)
12
e)
b)
18
f)
c)
3
40
g)
d)
3
625
h)
4
5
3
80
a13
( a ≥ 0)
16a 5
( a ≥ 0)
8a 3 b6 c9
( a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 )
Exemplo 6 Efetuar: a)
2 5+4 5
Como
b)
5 é fator comum às duas parcelas, temos 2 5 + 4 5 = ( 2 + 4 ) 5 = 6 5 .
6 2 −3 2 + 2
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Como
2
é
fator
comum
às
três
parcelas,
temos
6 2 − 3 2 + 2 = ( 6 − 3 + 1) 2 = 4 2 . Exercícios 8) Efetuar: a)
3 5+7 5
d)
9 3 40 + 3 5 − 2 3 625
b)
43 2 − 3 2
e)
5 3 a 4 + 3 64a 4
c)
5 12 + 2 75 − 27
6.5.
(a ≥ 0)
Redução de radicais ao mesmo índice Em algumas situações, é necessário transformar dois ou mais radicais de índices
diferentes em outros equivalentes e que possuam um índice comum.
Exemplo 7 Reduzir ao mesmo índice os radicais
3
2,
4
5 e
3.
Solução: Tomando como índice comum o mmc(2,3,4)=12, temos: P3
3
51 = 3⋅4 21⋅4 = 12 2 4
4
51 = 3⋅4 51⋅3 = 12 53
2
31 = 2⋅6 31⋅6 = 12 36
P3
P3
Exemplo 8 Comparar os radicais:
3
5 e
3
2.
Solução: Entre dois radicais de mesmo índice e radicandos não negativos, será maior aquele que 3
tiver o maior radicando. Assim,
5 > 3 2.
Exemplo 9 Comparar os radicais:
6
3 e
4
2.
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Solução: Reduzindo os radicais ao mesmo índice, temos: mmc(6,4)=12 Sendo
12
9 > 12 8 , temos
6
3> 4 2.
Exercícios 9) Escrever em ordem crescente os números
3
5,
10) Escrever em ordem decrescente os números
4
3
2 e
3
2 e
5,
9. 3
3.
Exemplo 10 Calcular
3
2⋅ 3.
Solução: Reduzindo ao mesmo índice, temos: 3
2 ⋅ 3 = 6 22 ⋅ 6 33 = 6 22 ⋅ 33 = 6 108
Exercício 11) Calcular a)
4
6.6.
2⋅ 3
b)
3
3 3
Racionalização de denominadores Vejamos agora como, em algumas situações, podemos evitar a divisão por números
irracionais, minimizando assim os possíveis erros propagados pelos cálculos. Exemplo 11 Racionalizar o denominador de: a)
b)
3 3⋅ 2 3⋅ 2 3⋅ 2 = = = 2 2 2⋅ 2 22
5 5 ⋅ 3 72 5 ⋅ 3 49 5 ⋅ 3 49 = = = 3 3 3 7 7 3 7 ⋅ 3 72 7
Exercício 12) Racionalizar o denominador de:
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a)
b)
c)
3 5
d)
5 8
e)
4
3 5
( a > 0)
a2 1
6
( a > 0)
a4
4 3 2
Exemplo 12 Racionalizar o denominador de:
3 = 7 +2
a)
b)
2
3
(
(
7 −2
=
3
(
7 −2
) = 3(
7 −2
) = 3(
7 −2
)=
3 ) ( 7) −2 7−4 5 ( 2 3 + 1) 5 ( 2 3 + 1) 5 ( 2 3 + 1) 5 ( 2 3 + 1) 5 = = = = 12 − 1 11 3 − 1 ( 2 3 − 1)( 2 3 + 1) ( 2 3 ) − 1 7 +2
)(
)
7 −2
2
7 −2
2
2
2
Exercícios
a)
2 5+2
d)
b)
2 5− 3
e)
c)
2 2 3 +1
6.7.
3 3 −1 1 3 2+ 3 2 +1 2 −1
f)
Potência de expoente racional 2
6
-2
Já sabemos calcular potências do tipo 5 , 8 , 4 , isto é, potências com expoentes inteiros. Vejamos agora como interpretar uma potência do tipo
3 5
7 .
3
Chamando essa potência de x, temos
x = 75 .
Elevando à quinta potência ambos os membros da igualdade, temos: 5
⋅5 35 x = 7 ou x 5 = 7 5 3
5
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x 5 = 73 e, por definição de raiz, temos x = 5 73 .
Daí,
Assim,
3 5
7 = 5 73 .
Isso sugere a seguinte definição: m n
a = n a m , com a > 0, m e n inteiros e n > 0. Observação Para a=0 devemos ter m>0. Exemplo 13 2
5 3 = 3 52
a)
0,5
1 2
=9 = 9
b)
9
c)
6−0,1 = 6 10 = 10 6−1
−1
Exercícios 13) Escrever os radicais abaixo na forma de potência. a)
4
23
6
b)
28
3
c)
d)
3
a
(a ≥ 0)
14) Calcular o valor da expressão:
100
6.8.
−0,5
1 3
+ 8 − 160,75
Radicando negativo A igualdade
( −2 )
3
= −8 sugere escrever
3
−8 = −2 .
Por isso, define-se n
a = b ⇔ b n = a , a < 0 e n natural ímpar.
Exemplo 14 a)
3
−64 = −4
b)
5
−1 = −1
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6.9. Propriedade Se n é um número natural ímpar, então
n
−a = − n a .
Exemplo 15 a)
3
−8 = − 3 8
b)
5
−4 = − 5 4
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7.
Equação do 2º grau
7.1. Definição Chamamos de equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser reduzida à forma
ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 .
a, b e c são reais chamados de coeficientes. Exemplo 1 Quais são os coeficientes da equação:
2x 2 − 5x − 2 = 0 Solução: Comparando a equação com a forma:
ax 2 + bx + c = 0 temos que os coeficientes são a = 2, b = -5 e c = -2. Exercício
1) Qual a soma dos coeficientes da equação x 2 + 5x + 1c = 0
7.2.
Raiz da equação Um número r será chamado raiz, ou solução da equação
se, a sentença
ax 2 + bx + c = 0 , se, e somente
ar 2 + br + c = 0 for verdadeira.
Exemplo 2 Verificar se o número 2 é uma das raízes da equação
2x 2 − 5x + 2 = 0 .
Solução: Substituindo x por 2 temos:
2 ⋅ 22 − 5 ⋅ 2 + 2 = 8 − 10 + 2 = 0 portanto 2 é uma raiz da equação. Exemplo 3 Determinar o coeficiente c de modo que
1 2 seja uma raiz da equação 2x − 5x + c = 0 . 2
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Solução: Substituindo x por
1 , segue que: 2
2
1 5 1 1 2 ⋅ − 5 ⋅ + c = 0 , isto é, − + c = 0 . 2 2 2 2 Daí devemos ter
1 5 c = − + e, portanto, c = 2. 2 2
Exercícios
2) Obter o coeficiente c na equação ax 2 + bx + c = 0 , sabendo que a = 1, b = 2 e uma das raízes é -1.
3) Obter a constante p na equação x 2 − px = p , sabendo que uma de suas raízes é o número 2. 7.3.
Conjunto solução Resolver a equação do 2º grau
ax 2 + bx + c = 0 no conjunto universo U significa obter o
conjunto de todas as raízes dessa equação que pertencem a U. O conjunto das raízes é chamado de conjunto solução, ou conjunto verdade da equação. Assim, por exemplo, no conjunto universo
ℝ , o conjunto solução da equação x 2 = 4 é
{2, −2} . 7.4.
Fórmula resolutiva Tendo como universo o conjunto
ℝ dos números reais, pode-se provar que a equação
ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) com b 2 − 4ac ≥ 0 possui duas raízes, que indicaremos por x1 e x2. Estas podem ser obtidas pelas fórmulas:
−b + b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac x1 = e x2 = 2a 2a A expressão
b 2 − 4ac , normalmente indicada pela letra grega ∆ (delta maiúscula), é
chamada de discriminante da equação. Se
∆ ≥ 0 , podemos escrever de maneira resumida x1,2 =
−b ± ∆ . 2a
Mais adiante veremos que há situações particulares em que podemos obter as raízes sem ter de recorrer a essa fórmula.
7.5. Observações ∆ > 0 ⇔ A equação possui duas raízes reais distintas. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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∆ = 0 ⇔ A equação possui duas raízes reais e iguais. ∆ < 0 ⇔ A equação não possui raízes reais. Exemplo 4 Resolver em
ℝ : 2x 2 − 5x + 2 = 0 .
Solução:
⇒ ∆ = b 2 − 4ac = ( −5 ) − 4 ( 2 )( 2 ) = 9 2
a = 2; b = -5; c = 2 Portanto
x1,2 =
−b ± ∆ 5 ± 3 1 = ⇒ x = 2 ou x = 2a 4 2
1 S = , 2 2 Exemplo 5 Resolver em
ℝ : − x 2 + 4x − 4 = 0 .
Solução: a = -1; b = 4; c = -4 Portanto
x1,2 =
⇒ ∆ = b 2 − 4ac = ( 4 ) − 4 ( −1)( −4 ) = 0 2
− b ± ∆ −4 ± 0 = ⇒ x=2 2a −2
Ambas as raízes são iguais a 2 (2 é raiz dupla)
S = {2} Exemplo 6 Resolver em
ℝ : x2 + x + 2 = 0 .
Solução: a = 1; b = 1; c = 2
⇒ ∆ = b 2 − 4ac = (1) − 4 (1)( 2 ) = −7 2
Como
∆ < 0 , podemos afirmar que não há raízes reais.
S={
} (o conjunto vazio)
Exercícios
4) Resolver em ℝ : x 2 − x − 2 = 0 5) Resolver em ℝ : x 2 + 2x + 1 = 0 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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6) Resolver em ℝ : x 2 + 2x + 2 = 0 7.6. Equações incompletas A equação do 2º grau
ax 2 + bx + c = 0 será chamada incompleta se, e somente se, pelo
menos um dos coeficientes b ou c for nulo. O conjunto solução dessas equações pode ser obtido sem o uso da fórmula estudada anteriormente, como veremos nos exemplos a seguir. Exemplo 7 Resolver em
ℝ : x 2 − 3x = 0 .
Solução:
x 2 − 3x = 0 se, e somente se, x ( x − 3) = 0 Portanto, x = 0 ou x – 3 = 0 Devemos ter então x = 0 ou x = 3
S = {0,3} Exemplo 8 Resolver em
ℝ : x2 − 9 = 0 .
Solução:
x 2 − 9 = 0 se, e somente se, x 2 = 9 Devemos ter então
x = ± 9 = ±3
S = {3, −3} Exercícios Resolver em
ℝ as seguintes equações:
2
8) x + 7x = 0
2
2
10) x + 81 =0
7) x – 7x = 0
2
9) x – 81 = 0 2
2
11) 2x – 5x = 0
12) 7x + 3x = 0
7.7. A forma fatorada Supondo que
b 2 − 4ac ≥ 0 , tem-se que a expressão ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 ,
denominada trinômio do segundo grau, é idêntica ao produto raízes da equação
a ( x − x1 )( x − x 2 ) , onde x1 e x2 são
ax 2 + bx + c = 0 .
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ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x 2 ) Exemplo 9 Fatorar a expressão
2x 2 − 5x + 2 .
Solução: Resolvendo a equação
segue que
2x 2 − 5x + 2 = 0 , conclui-se que suas raízes são x1 =
1 e x 2 = 2 ; logo, 2
1 2x 2 − 5x + 2 = 2 x − ( x − 2 ) 2
Exemplo 10 Sendo x = 3,14, obter o valor numérico de
2x 2 − 5x + 2 . 2x − 1
Solução:
2x − 5x + 2 = 2x − 1 2
Repare que
1 2 x − ( x − 2) 2 1 2 x − 2
= x−2
Logo, para x = 3,14, o valor numérico da expressão é 1,14. Exercícios Fatorar as expressões 2
13)
2x – 2x – 4
14)
3x + 10x + 3
15)
Simplificar a expressão
2
9x 2 + 6x − 8 supondo que seu denominador não seja nulo. 6x 2 − 16x + 8
7.8. Soma e produto das raízes Sendo x1 e x2 as duas raízes da equação
ax 2 + bx + c = 0 , pode-se mostrar que a soma
e o produto dessas raízes são, respectivamente, iguais a:
S = x1 + x 2 = −
b c e P = x1 ⋅ x 2 = a a
Exemplo 11
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Soma x1 + x2
Produto x1.x2
Conj. Sol. {x1,x2}
2
A Equação
5
6
{2,3}
2
-5
6
{-2,-3}
5 2
1
1 , 2 2
0
-4
{-2,2}
x - 5x + 6 = 0 x + 5x + 6 = 0 2
2x - 5x + 2 = 0 2
x -4=0
Observe ainda que, se quisermos escrever uma equação do segundo grau cujas raízes sejam x1 e x2, bastará escrever
x 2 − Sx + P = 0 , onde S e P são, respectivamente, a soma e o
produto de x1 e x2. Exemplo 12 Dada a equação
3x 2 − 7x + 2 = 0 , obter
a)
a soma das raízes
b)
o produto das raízes
c)
o inverso da soma das raízes
d)
a soma dos inversos das raízes
e)
o quadrado da soma das raízes
f)
a soma dos quadrados das raízes
Solução Sendo x1 e x2 as raízes, segue que
b 7 = a 3
a)
x1 + x 2 = −
b)
x1 ⋅ x 2 =
c)
1 3 = x1 + x 2 7
d)
1 1 x 2 + x1 7 + = = x1 x 2 x 1 ⋅ x 2 2
e)
( x1 + x 2 )
f)
Lembrando
c 2 = a 3
2
2
49 7 = = 9 3 que
( x1 + x 2 )
x12 + x 2 2 = ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 = = 2
2
= x12 + x 2 2 + 2x1x 2 ,
tem-se
que
49 4 37 − = 9 3 9
Exercícios Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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16) Sendo r e s raízes da equação
x 2 − 8x + 10 = 0 , obter 2
a) r + s
d) r s + rs
b) r . s
e) r + s
-1
2
c) r + s
2
2
-1
17) Obter os valores de m e n na equação
x 2 + mx + n = 0 , sabendo que suas raízes são
2+ 3 e 2− 3 . 18) Obter a constante k, tal que a equação
( k − 2 ) x 2 − 3kx + 1 = 0
tenha duas raízes cuja soma
é igual a seu produto.
7.9.
Equações biquadradas Chamamos de equações biquadradas àquelas que podem ser reduzidas à forma
ax 4 + bx 2 + c = 0 , a ≠ 0 . a, b e c são constantes reais quaisquer. 2
Repare que, se substituirmos x por y, obteremos a equação
ay 2 + by + c = 0 . 2
Resolvendo essa última equação, obtemos os possíveis valores de y e, como y = x , podemos afirmar que
x = ± y , para cada valor real não negativo de y.
É também fácil concluir que a equação biquadrada
ax 4 + bx 2 + c = 0 possui, no máximo,
quatro raízes reais. Exemplo 13 Resolver em
ℝ : 4x 4 − 5x 2 + 1 = 0 .
Solução 2
Com x = y, tem-se que
4y 2 − 5y + 1 = 0
Resolvendo esta equação, obtém-se
y=
1 ou y = 1 4
x2 = y =
1 1 1 ⇒ x=± =± 4 4 2
x 2 = y = 1⇒ x = ± 1 = ±1 Logo,
1 1 S = − , , −1,1 . 2 2
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Exemplo 14 Resolver em
ℝ : x 4 + 7x 2 − 18 = 0 .
Solução 2
Com x = y, tem-se que
y 2 + 7y − 18 = 0
Resolvendo esta equação, obtém-se y = -9 ou y = 2. 2
Note que a equação x = -9 não tem raízes reais. Por outro lado,
x 2 = 2 ⇒ x = ± 2 e, portanto, S =
{
}
2, − 2 .
Exercícios Resolver em
ℝ:
19)
x 4 − 7x 2 + 12 = 0
20)
x 4 + 4x 2 + 3 = 0
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8. Teoria das funções Muitas, ao observar fenômenos da nossa realidade, podemos caracterizar dois conjuntos e alguma lei que associa os elementos de um dos conjuntos aos elementos do outro. Uma análise destas três coisas, os dois conjuntos e a lei, pode esclarecer detalhes sobre a interdependência dos elementos destes conjuntos e descrever o fenômeno em observação.
8.1. Função de A em B Dados dois conjuntos A e B, vimos, na Teoria dos Conjuntos, que uma relação de A em B é um conjunto qualquer de pares ordenados (x, y), onde x é um elemento de A e y é um elemento de B. Chamemos, em cada par (x,y), y de conseqüente de x. Adotaremos a seguinte definição:
Uma função de A em B é uma relação em que para cada x,
x ∈ A , existe um único y,
y ∈ B , que seja conseqüente de x. A
B
− O conjunto A é chamado de domínio de f, e o conjunto B é chamado de contradomínio de f. − Nas condições acima, x é chamado de variável independente, e y é chamado de variável dependente (de x). − Diz-se também que y é uma função de x. Exemplo 1
Seja T um conjunto de pessoas num dado instante e seja
ℕ o conjunto dos números
naturais. Ao associar a cada elemento de T a sua idade (que é um número natural), fica estabelecida uma função de T em
ℕ.
Repare que é possível, talvez até provável, que haja em T várias pessoas com a mesma idade, mas há, pelo menos, dois aspectos matemáticos importantes: − a todo elemento de T corresponde um elemento de
ℕ , já que toda pessoa tem uma idade;
− nenhuma pessoa tem duas ou mais idades. Em resumo, para cada elemento x de T, corresponde um único elemento y de
ℕ.
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Exemplo 2 Considere os conjuntos
A = {−1, 0,1, 2} e B = {0,1, 2,3, 4,5} .
Ao associar a cada elemento de A ao seu quadrado em B, estabelece-se uma função de A em B, pois, assim, para cada elemento de A corresponde um único elemento de B. A função é o conjunto de pares ordenados:
{( −1,1) , ( 0, 0 ) , (1,1) , ( 2, 4 )} Sendo x um elemento de A e y o seu correspondente em B, podemos representar a função acima descrita pela equação
8.2.
y = x2 .
Uma outra notação Para operar com os pares ordenados (x,y) de uma função dada, é muito comum escolher-
se uma letra, uma palavra ou alguma abreviatura, para indicar a função. Assim, no exemplo 1, podemos indicar a idade de cada pessoa x,
x ∈ T , por Idade(x).
Supondo que Alexandre, Tatiana e Juliana sejam elementos de T e que suas idades sejam respectivamente 17, 14 e 9, escrevemos: Idade(Alexandre) = 17 Idade(Tatiana) = 14 Idade(Juliana) = 9 Por outro lado, com a notação Idade: uma função de T em
T → ℕ queremos dizer que Idade é, no caso,
ℕ.
No exemplo 2, se indicarmos o quadrado de x por q(x), isto é,
q ( x ) = x 2 , seguirá que:
Para indicar que se trata de uma função de A em B, usa-se a notação
q: A → B.
Exemplo 3 Considere a função
f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2x + 3 .
Obter: a)
f ( 0 ) + f (1) + f ( 2 )
b)
f ( 0 + 1 + 2)
c)
x tal que
f (x) = 0
Resolução:
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a)
f ( 0 ) = ( 2 )( 0 ) + 3 = 3 f (1) = ( 2 )(1) + 3 = 5 f (1) = ( 2 )( 2 ) + 3 = 7 Logo,
b)
f ( 0 ) + f (1) + f ( 2 ) = 15
0 +1+ 2 = 3 f ( 0 + 1 + 2 ) = f ( 3) = ( 2 )( 3 ) + 3 = 9 Logo,
c)
f ( 0 + 1 + 2) = 9
f ( x ) = 0 ⇔ 2x + 3 = 0 2x + 3 = 0 ⇔ x = − Logo,
3 2
f (x) = 0 ⇔ x = −
Resposta: a) 15
3 2
b) 9
c)
−
3 2
Exemplo 4 Considere a função
f : ℝ → ℝ∗+ tal que:
f (1) = 5 f ( u ) ⋅ f ( v ) = f ( u + v ) , para todo u e v Obter: a) f(2)
d) f(-1)
b) f(3)
e)
1 f 2
c) f(0) Resolução: a)
f (1) ⋅ f (1) = f (1 + 1) Como
f (1) = 5 , tem-se que f ( 2 ) = 25
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f (1) ⋅ f ( 2 ) = f (1 + 2 )
b)
Como
f (1) = 5 e f ( 2 ) = 25 , tem-se que f ( 3) = 125
f ( 0 ) ⋅ f (1) = f ( 0 + 1)
c)
f ( 0 ) ⋅ f (1) = f (1) f ( 0) ⋅ 5 = 5 f ( 0) = 1 f ( −1) ⋅ f (1) = f ( −1 + 1)
d)
f ( −1) ⋅ f (1) = f ( 0 ) f ( −1) ⋅ 5 = 1 f ( −1) =
1 5
1 1 1 1 f ⋅f = f + 2 2 2 2
e)
2
1 f 2 = f (1) 2
1 f 2 = 5 Como
1 f ∈ ℝ∗+ , segue que 2
Resposta: a) 25
8.3.
1 f = 5 2
b) 125
c) 1
d) 1/5
e)
5
Domínio de uma função real de variável real Sejam D um subconjunto não vazio de
que, para todo x,
ℝ e f : D → ℝ uma função. Então sabemos
x ∈ D , existe y, y ∈ ℝ , tal que y = f ( x ) .
Nestas condições, diremos que f é uma função real de variável real.
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Estabeleçamos ainda a seguinte convenção: Quando o domínio D de uma função f real de variável real não for especificado, este será o conjunto de todos os valores reais de x para os quais f(x) seja um número real, isto é,
D = {x ∈ ℝ | f ( x ) ∈ ℝ} . Quando o contradomínio de uma função real de variável real não for especificado, deve-se subentender que este seja o conjunto
ℝ de todos os reais.
Exemplo 5 Qual o domínio da função
f (x) =
1 ? x
Resolução: Devemos obter o conjunto de todos os valores reais de x para os quais
1 seja real. x
Repare que a única condição para isto é que x seja diferente de 0 (zero).
Resposta: O domínio de f é o conjunto
ℝ∗ .
Exemplo 6 Qual o domínio da função
f (x) = x ?
Resolução A condição para que
x seja real é que x seja um número real não negativo, isto é, x
deve ser positivo ou nulo.
Resposta: O domínio de f é o conjunto
ℝ+ .
8.4. Conjunto imagem Sendo A e B conjuntos e existe um único y,
f :A → B uma função, sabemos que, para cada x, x ∈ A ,
y ∈ B , tal que y = f ( x ) .
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A
B Im
Fica determinado assim um subconjunto de B cujos elementos são os correspondentes dos elementos de A pela função f. Este subconjunto é chamado de conjunto imagem de f. Em símbolos:
{
}
I m = y ∈ B | ( ∃x ) ( x ∈ A e y = f ( x ) ) Exemplo 7
Sejam G um conjunto de pessoas e H o conjunto dos dias do ano de 1992. Se associamos a cada elemento de G o seu dia de aniversário em H, teremos uma função em que: − o domínio é o conjunto G − o contradomínio é o conjunto H − o conjunto imagem é o conjunto de todos os dias de 1992 (elementos de H) em que pelo menos uma pessoa, elemento de G, faça aniversário. Observação: Determinar o conjunto imagem de uma função dada poderá exigir técnicas e conceitos avançados. Nos próximos exemplos veremos apenas alguns casos simples e fundamentais. Exemplo 8 Sejam
A = {−1, 0,1, 2} e B = {0,1, 2,3, 4,5} . Obter o conjunto imagem da função
g :A → B , g ( x ) = x 2 . Resolução
g ( −1) = 1 , g ( 0 ) = 0 , g (1) = 1 e g ( 2 ) = 4
Resposta:
{0,1, 4}
Exemplo 9 Obter o conjunto imagem da função
f :ℝ → ℝ , f ( x ) = x2 .
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Resolução Devemos obter o conjunto de todos os reais y para os quais exista pelos menos um valor real de x, tal que
y = x 2 . Repare que é necessário e suficiente que y seja maior ou igual a zero, dado que
o expoente é um número par.
Resposta: Logo, o conjunto imagem é
Im = ℝ +
Exemplo 10 Obter o domínio e o conjunto imagem da função
f (x) =
3x − 7 x − 10
Resolução Como não se define divisão por zero, devemos ter Logo, o domínio D de f é Para cada real x,
x − 10 ≠ 0 .
ℝ − {10} . x ≠ 10 , existe um real y tal que y =
3x − 7 . x − 10
Segue que:
y ( x − 10 ) = 3x − 7 xy − 10y = 3x − 7 xy − 3x = 10y − 7
x ( y − 3) = 10y − 7 Observe que, para y=3, obtemos a equação Por outro lado, para todo real y,
Resposta: Portanto,
x ⋅ 0 = 23 , que não possui solução real.
y ≠ 3 , segue que existe x e x =
10y − 7 y−3
D = ℝ − {10} ; I m = ℝ − {3}
8.5. Gráfico Sendo f uma função real de variável real, chama-se de gráfico de f ao conjunto de todos pontos (x,y) do plano cartesiano em que y = f(x).
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y (x,y)
x
Exemplo 11 Esboce o gráfico da função
f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x
Resolução y
1
(1,1)
1
x
O gráfico é o conjunto de todos os pontos (x,y) do plano cartesiano em que y = f(x) = x, isto é, a bissetriz dos quadrantes I e III. Exemplo 12 Esboce o gráfico da função
f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 2
Resolução y
(0,2)
x
O gráfico é o conjunto de todos os pontos do plano cartesiano com ordenada y igual a 2. Exemplo 13 O gráfico abaixo representa a função
f : ℝ → ℝ, f ( x ) = mx + n , onde m e n são
constantes reais. Obter os valores de m e n.
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y 2 1
(2,2)
(0,1)
x
Resolução
( 0,1) ∈ f
⇒ f ( 0) = 1
( m )( 0 ) + n = 1 n =1
( 2, 2 ) ∈ f
⇒ f ( 2) = 2
( m )( 2 ) + n = 2 ( m )( 2 ) + 1 = 2 m=
Resposta:
8.6.
m=
1 2
1 e n =1 2
Crescimento de uma função Sejam A e B subconjuntos de
ℝ e seja f uma função de A em B. Seja I um subconjunto
de A. Então: − f é uma função crescente em I se, e somente se, para todo par de elementos de I,
{ x1 , x 2 } ,
x 2 > x1 , tivermos f ( x 2 ) > f ( x1 ) , isto é, quando x aumenta, f(x) aumenta. y
x
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− f é uma função decrescente em I se, e somente se, para todo par de elementos de I,
{ x1 , x 2 } ,
x 2 > x1 , tivermos f ( x 2 ) < f ( x1 ) , isto é, quando x aumenta, f(x) diminui. y
x
− f é uma função constante em I se, e somente se, para todo par de elementos tivermos
{ x1 , x 2 }
de I,
f ( x1 ) = f ( x 2 ) . y
x
− f é uma função não crescente em I se, e somente se, para todo par de elementos de I,
{ x1 , x 2 } ,
x 2 > x1 , tivermos f ( x 2 ) ≤ f ( x1 ) , isto é, quando x aumenta, f(x) não aumenta. y
x
− f é uma função não decrescente em I se, e somente se, para todo par de elementos de I,
{ x1 , x 2 } ,
x 2 > x1 , tivermos f ( x 2 ) ≥ f ( x1 ) , isto é, quando x aumenta, f(x) não diminui.
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y
x
8.7. Conjunto simétrico Um conjunto A,
A ⊂ ℝ , é dito simétrico se, e somente se, para todo x, x ∈ A , tivermos
−x ∈ A . Assim, os conjuntos enquanto os conjuntos
{−3,3} , [ −3,3] ,
[ −3, 4] e ℕ
ℤ , ℚ e ℝ são exemplos de conjuntos simétricos,
não o são.
8.8. Paridade de uma função Uma função f cujo domínio D é um conjunto simétrico é dita função par se, e somente se, para todo x,
x ∈ D , tivermos que f ( − x ) = f ( x ) .
Uma função f cujo domínio D é um conjunto simétrico é dita função ímpar se, e somente se, para todo x,
x ∈ D , tivermos que f ( − x ) = −f ( x ) .
Chamamos de função sem paridade àquela que não é par nem ímpar. Exemplo 14 Verificar a paridade das seguintes funções: a)
f (x) = 3
b)
f (x) = x
c)
f ( x ) = x2 + 7
d)
f ( x ) = 2x + 7
e)
f ( x ) = g ( x ) + g ( − x ) , onde g é uma função de ℝ em ℝ
Resolução a)
f ( − x ) = 3 = f ( x ) , logo f é uma função par
b)
f ( − x ) = x = −f ( x ) , logo f é uma função ímpar Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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c)
f ( − x ) = ( − x ) + 7 = f ( x ) , logo f é uma função par
d)
f ( − x ) = −2x + 7
2
f ( − x ) = f ( x ) e f ( − x ) = −f ( x ) , logo f não tem paridade e)
f ( − x ) = g ( − x ) + g ( x ) = f ( x ) , logo f é uma função par
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9. A função do 1° grau 9.1. Função do primeiro grau Sejam A e B subconjuntos de
ℝ e seja f uma função de A em B. Diremos que f é uma
função do primeiro grau, ou uma função afim, se e somente se, existirem constantes reais m e n,
m ≠ 0 , tais que f ( x ) = mx + n , para todo x, x ∈ A . Se nas condições acima tivermos n = 0, diremos que a função f é linear. Repare que, neste caso, tem-se que:
f (0) = 0 f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ) , quaisquer que sejam u e v f ( k ⋅ x ) = k ⋅ f ( x ) , qualquer que seja a constante k O gráfico de toda função deste tipo é um conjunto de pontos colineares e, em particular, se A =
ℝ , então o gráfico é uma reta. y
θ
(0,n)
x
A constante m é igual à tangente do ângulo θ, indicado no gráfico, é chamada de coeficiente angular da reta e consiste numa espécie de taxa de crescimento ou de decrescimento da função. Com m > 0, a função é crescente (0 < θ < 90°), e com m < 0, a função é decrescente (90° < θ < 180°). Por outro lado, a constante n indica onde a reta y = mx + n intercepta o eixo y. Esta intersecção é o ponto (0,n). No caso da função ser linear, isto é, n=0, o gráfico é uma reta que “passa” pela origem. Exemplo 1 Esboçar o gráfico da função
f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x .
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Resposta: y
1
(1,1)
1
x
Exemplo 2 Esboçar o gráfico da função
f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x + 2 .
Resposta: Como uma reta é determinada por dois pontos distintos, podemos atribuir simplesmente dois valores a x para obter dois pares ordenados.
y x y 0 2 1 3
3
(1,3)
(0,2)
1
x
1
Exemplo 3 Esboçar o gráfico da função
f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 2x .
Resposta:
y x y 0 0 1 2
2 (1,2)
1
x
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Exemplo 4 Esboçar o gráfico da função
f : ℝ → ℝ, f ( x ) = − x .
Resposta: y
x y 0 0 -1 1 (-1,1)
1
x
-1
Exemplo 5 Esboçar o gráfico da função
f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 2x − 3 .
Resposta:
x y 0 -3 1 -1
y 1 x -1
(0,-3)
Exemplo 6 Esboçar o gráfico da função
x, se x ≤ 0 f : ℝ → ℝ, f ( x ) = . − x + 3, se x > 0
Resposta:
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y (0,3)
-1 3 (-1,-1)
9.2.
x
-1
Teorema Sendo
f ( x ) = mx + n (com m e n constantes) uma função em ℝ , tem-se que: f ( r ) − f (s )
r −s para todo par de números reais r e s, r ≠ s .
=m
A demonstração é imediata. Veja:
f ( r ) = mr + n e f ( s ) = ms + n , logo f ( r ) − f ( s ) = mr + n − ms − n = m ( r − s ) . Como, por hipótese,
r ≠ s , segue que m =
f ( r ) − f (s ) r −s
.
Exemplo 7 Identificar a função f dada pelo gráfico: y 5
(6,5)
3
(2,3)
2
6
x
Resolução: Como o gráfico é uma reta, a f é definida em
ℝ e é tal que f ( x ) = mx + n , onde m e n são
constantes.
m=
f ( 6) − f ( 2) 6−2 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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m=
5−3 4
m=
1 2
1 f ( 2) = 2 + n 2 3 = 1+ n ⇒ n = 2 2ª maneira: Sendo
Daí
f ( 6 ) = 5 f ( x ) = mx + n , segue que f ( 2 ) = 3
6m + n = 5 2m + n = 3
Resolvendo este sistema, conclui-se que
Resposta:
f : ℝ → ℝ, f ( x ) =
m=
1 e n = 2. 2
x +2 2
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10. A Função do 2° Grau 10.1. Função do segundo grau Sejam A e B subconjuntos de
ℝ e seja f uma função de A em B.
Se existirem constantes reais a, b e c, com todo x,
a ≠ 0 , tais que f ( x ) = ax 2 + bx + c , para
x ∈ A , diremos que f é uma função do segundo grau (ou uma função quadrática). Pode-se provar que o gráfico de uma função do segundo grau é um subconjunto de uma
parábola. Se
A ∈ ℝ , então o gráfico de f é uma parábola.
10.2. A parábola Antes de prosseguir, vamos estudar o conceito de parábola. Consideremos, num plano α, uma reta (d) e um ponto (F),
F∈d .
Chama-se de parábola ao conjunto de todos os pontos do plano α que eqüidistam de (d) e (F). Observe, na figura abaixo, que os pontos V, P1 e P2 são eqüidistantes da reta (d) e do ponto (F).
P1
(F)
P2
V (d) O roteiro a seguir mostra como obter outros pontos que eqüidistam de (d) e (F): − considerar o semiplano αF como origem na reta (d) ao qual pertence o ponto (F). − traçar em αF uma reta (r) paralela a (d), de modo que a distância h, de (r) a (d), seja maior que a distância de (V) a (d). − traçar uma circunferência λ de centro (F) e raio h. − os pontos obtidos pela intersecção da circunferência com a reta (r) são eqüidistantes da reta (d) e o ponto (F) e são, portanto, pontos da parábola.
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(e) λ parábola
αF P (F)
(r)
h
P1
P2
h
V (d)
Observe que: − existem infinitos pontos na parábola. − a parábola é uma figura simétrica em relação à reta (e) determinada pelos pontos (F) e (V). − a reta (e) é chamada eixo da parábola. − o ponto (V) é chamado vértice da parábola. Exemplo 1 Esboçar, no mesmo plano, os gráficos das funções: a)
f ( x ) = x2
b)
g ( x ) = −x 2
Resolução:
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y
a)
x 0 1 -1 2 -2
f(x) 0 1 1 4 4
(2,4)
y = f(x) (-1,1)
-1
b) x g(x) 0 1 -1 2
(1,1)
0 -1 -1 -4
(-1,-1)
1
x
2
(1,-1)
-1
y = g(x)
10.3. Considerações − A parábola
y = ax 2 + bx + c tem a concavidade no sentido do eixo y se, e somente se, a > 0,
e no sentido oposto se, e somente se, a < 0.
a>0
x
x
a <0
− A
toda
expressão
ax 2 + bx + c
corresponde
um
número
∆ = b 2 − 4ac , chamado
discriminante, que, como veremos, tem papel importante no estudo das funções.
− Quando
∆ > 0 , a parábola y = ax 2 + bx + c intercepta o eixo x em dois pontos distintos,
( x1 , 0 ) e ( x 2 , 0 ) , onde x1 e x2 são as raízes da equação ax 2 + bx + c = 0 . a>0 x1
V x2
V
x
x1
x2
x
a<0
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−b ∆ = 0 , a parábola y = ax 2 + bx + c é tangente ao eixo x, no ponto , 0 . Repare 2a
− Quando
que quando tivermos o discriminante iguais a
∆ = 0 , as duas raízes da equação ax 2 + bx + c = 0 são
−b . 2a a>0 x1 = x2 x
x 1 = x2
x
a <0
− Se
∆ < 0 , a parábola y = ax 2 + bx + c não intercepta o eixo x.
V x
x
V
− Na parábola
y = ax 2 + bx + c existem dois pontos em que y = c, e estes correspondem aos
pares ordenados
−b ,0 . 2a
( 0, c ) e
y
b − ,c a
(0,c)
yV
V xV
−
b a
x
− A parábola é simétrica em relação a uma reta chamada eixo da parábola. Sobre esta reta se encontra o vértice da parábola. Em todos os casos o vértice da parábola ponto V, de abscissa
Que lembrar que
xV =
xV =
y = ax 2 + bx + c é o
−b −∆ e ordenada y V = . 2a 4a
−b é conseqüência direta da simetria da parábola, e para obter yV basta 2a
yV = f ( x V ) :
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y V = a ⋅ x 2V + b ⋅ x V + c 2
−b −b = a b +c 2a 2a 2 2 b b = a⋅ 2 − +c 4a 2a
b2 b 2 yV = − +c 4a 2a b2 − 2b2 + 4ac = 4a 2 −b + 4ac = 4a −∆ = 4a Repare que, se x for uma variável real, então o vértice corresponde a um extremo (máximo ou mínimo) da função
y = ax 2 + bx + c .
Exemplo 2 2
Esboçar o gráfico da função f(x) = x – 2x – 3,
( x ∈ ℝ ) e obter o seu conjunto imagem.
Resolução: y
-1
raízes: 3 e -1 −b vértice: x V = =1 2a y V = f (1) = −4
3
x
-3 (1,-4)
Resposta:
Im = { y ∈ ℝ | y ≥ −4}
Exemplo 3 2
Esboçar o gráfico da função f(x) = x – 2x +3 e obter o valor mínimo de y. Resolução:
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y
∆ = −8 −b xV = =1 2a −∆ yV = =2 4a
2
(1,2)
x
1
Resposta: 2 Exemplo 4 2
Esboçar o gráfico da função f(x) = 3x - x e obter o valor máximo de f(x). Resolução: y
−b 3 = 2a 4a 3 9 yV = f = 2 4
3 9 , 2 4
xV =
0
Resposta:
3
x
9 4
Exemplo 5 Qual a função representada pela parábola abaixo? y
(1,4)
4
-1
1
2
x
Resolução: 1ª maneira: Seja
f ( x ) = ax 2 + bx + c . Então temos que: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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(1,4 ) ∈ f ⇒ f (1) = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c = 4 2 ( −1,0 ) ∈ f ⇒ f ( −1) = a ( −1) + b ( −1) + c = 0 ( 2,0 ) ∈ f ⇒ f ( 2 ) = a ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c = 0 Resolvendo o sistema
a+b+c = 4 a−b+c = 0 4a + 2b + c = 0 obtemos a = - 2, b = 2 e c = 4. Logo, a função é
f : ℝ → B , f ( x ) = −2x 2 + 2x + 4 , com B ⊂ ℝ .
2ª maneira: Lembrando que
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x 2 ) , onde x1 e x2 são as raízes -1 e 2, tem-se que
f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x 2 ) . Por outro lado, de Logo,
f (1) = 4 segue que a (1 + 1)(1 − 2 ) = 4 isto é, −2a = 4 , ou ainda a = −2 .
f ( x ) = −2 ( x + 1)( x − 2 ) = −2x 2 + 2x + 4 .
Resposta:
f : ℝ → B , f ( x ) = −2x 2 + 2x + 4 , com B ⊂ ℝ .
Exemplo 6 Um muro será usado como um dos lados de um galinheiro retangular. Para os outros lados será usado um rolo de 25 metros de tela de arame. Determinar quais devem ser as dimensões do galinheiro para que sua área seja máxima. Resolução: Sendo u e v as dimensões do galinheiro, tem-se que:
u + 2v = 25 ( u = 25 − 2v ) A área do galinheiro será igual a A = u . v, ou ainda
A = v ( 25 − 2v ) = −2v 2 + 25v
Abaixo temos o gráfico da área A em função de v.
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v
v
u
É fácil concluir que a área será máxima para
v=
−b −25 = = 6,25 2a −4
Nestas condições, tem-se que u = 25 – 2v = 12,5. Resposta: 12,5 m por 6,25 m
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Referências Bibliográficas [1] TEIXEIRA, J. C. et al. Matemática, Livro 1, Assuntos Básicos. São Paulo: Gráfica e Editora Anglo LTDA, 1990-1991. 58p. (Coleção Anglo)
[2] AMSON, G. A. J. V.; JAMAL, R. M. E.; TEIXEIRA, J. C. Matemática, Livro 2, Álgebra I. São Paulo: Gráfica e Editora Anglo LTDA, 1990-1991. 91p. (Coleção Anglo)
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MATEMÁTICA II Prof. Paulo Henrique Cruz Pereira ÍNDICE 1. RAZÕES E PROPORÇÕES: ..................................................................................................... 105 1.1. RAZÃO .................................................................................................................................. 105 1.2. RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS: ................................................................................................ 106 1.3. PROPORÇÃO: ........................................................................................................................ 107 2. GRANDEZAS PROPORCIONAIS ............................................................................................. 109 2.1. PROPORÇÃO DIRETA OU GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:.................................... 109 2.2. PROPORÇÃO INVERSA OU GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: ................................ 110 3. DIVISÃO PROPORCIONAL ..................................................................................................... 112 3.1. DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS:............................................................... 112 3.2. DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: ............................................................ 112 3.3. DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA: ..................................................................................... 114 4. REGRA DE TRÊS ...................................................................................................................... 116 4.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES ...................................................................................................... 116 4.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA .................................................................................................. 117 5. PORCENTAGEM ....................................................................................................................... 119 5.1. CÁLCULOS DE PORCENTAGEM: .............................................................................................. 119 5.2. ELEMENTOS DOS CÁLCULOS PORCENTUAL ............................................................................. 120 6. JUROS SIMPLES ...................................................................................................................... 123 6.1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................... 123 6.2. RELAÇÃO ENTRE CAPITAL, JUROS SIMPLES E MONTANTE ....................................................... 124 6.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ...................................................................................................... 124 7. SISTEMA MÉTRICO.................................................................................................................. 129 7.1. MEDIDAS DE COMPRIMENTO .................................................................................................. 129 7.2. UNIDADES DE POTÊNCIA DE 10 .............................................................................................. 129 7.3. MEDIDAS DE TEMPO .............................................................................................................. 123 ATIVIDADES EM GERAL.............................................................................................................. 124 8. GEOMETRIA.............................................................................................................................. 126 8.1. DEFINIÇÕES .......................................................................................................................... 126 8.2. CONHECENDO A GEOMETRIA PLANA....................................................................................... 127 8.2.1. Triângulos .................................................................................................................... 128
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8.2.2. Quadriláteros ............................................................................................................... 129 8.2.3. Polígonos..................................................................................................................... 132 8.2.4. Circunferência (Círculo)............................................................................................... 135 8.2.5. Relações Métricas em um Triângulo ........................................................................... 137 8.2.6. Retas, Paralelas e Ângulos ......................................................................................... 139 Fórmulas em Geral de Geometria ......................................................................................... 143 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................................. 145
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1. RAZÕES E PROPORÇÕES: Revisar o estudo de proporções é neste momento muito importante, já que todos os temas a serem trabalhados ao longo do curso se baseiam nas grandezas proporcionais. Mas para compreendermos o que é uma proporção, necessitamos, primeiramente, recordar o conceito de razão em Matemática.
1.1. Razão Você já deve ter ouvido expressões como: “De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos”, “De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática”, “Um dia de sol para cada dois dias de chuva”. Em cada uma dessas frases está sempre clara a comparação entre dois números. No primeiro caso, destacamos 5 entre 20, no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2. Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado razão.Temos, então:
1) De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. Razão =
5 1 = 20 4
2) De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão =
2 1 = 10 5
3) Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = 1/2 Portanto, razão entre dois números a e b (com b ≠0) é o quociente entre a e b.
Indica-se:
a ou a : b e lê-se a para b. b
O número a é chamado antecedente e o número b, conseqüente. Exemplos:
1. A razão de 3 para 12 é:
3 =¼ 12
2. A razão de 20 para 5 é:
20 =4 5
3. A razão de 5 e ½ é = 5 .
2 = 10 1
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1.2. Razão de duas grandezas: Considerando grandeza como tudo o que pode ser medido, podemos dizer que a razão entre duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda grandeza. - Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro. Exemplos:
1. A razão de 2 m para 3 m é:
2m 2 = 3m 3
2. A razão de 30 dm para 6 m =
30dm 3m = = ½ 6m 6m
- Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Exemplo: Um automóvel percorre 160 Km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é:
160km = 80 Km/h 2h ATIVIDADES: 1.Calcule a razão entre as grandezas: a) 256 e 960 álcool
b) 1,25 e 3,75
f) 24 Kg e 80 000 g
c) 5 e 1/3
g) 40 g e 5 cm³
d) 1/2 e 0,2
h) 20 cm e 4 dm
e) 27 m³ e 3 l de i) 20 d e 2 me 15 d
2.No vestibular de 2005 da Faculdade concorreram, para 50 vagas da opção Administração,150 candidatos. Qual a relação candidato vaga para essa opção? 3.Tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e 1 116 litros de água. A segunda contém 1 155 litros de álcool e 5 775 litros de água. Qual das duas soluções tem maior teor alcoólico? 4.Numa prova de matemática, um aluno acertou 20 questões e errou 5. Escreva a razão entre: a) o número de acertos e o número de questões b) o número de acertos e o número de erros
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1.3. Proporção: Existem situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser expressas por razões com antecedentes e conseqüentes diferentes, porém com o mesmo quociente. Assim, ao dizer que de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemática, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na verdade, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em 80.
Escrevemos:
10 20 = 40 80
A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção. Portanto: Dadas duas razões a/b e c/d com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se a/b = c/d A proporção também pode ser representada como a : b : : c : d * Lê-se: a está para b assim como c está para d * a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios. Propriedade fundamental das proporções:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e vice-versa.
Exemplo:
2 9 = 4 18
2 : 4 : : 9 : 18
2. 18 = 4. 9
36 = 36
Transformações de uma proporção: Transformar uma proporção é escrever seus termos em uma ordem diferente de modo que a igualdade dos produtos dos meios e extremos não sofra alteração. Exemplo: Dada a proporção 5/8 = 20/32, podemos transformá-la : • •
alternando os extremos: 32/8 = 20/5 32 . 5 = 8 . 20 160 = 160 alternando os meios: 5/20 = 8/32 5 . 32 = 20 . 8 160 = 160
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• •
invertendo os termos; 8/5 = 32/20 transpondo as razões: 20/32 = 5/ 8
8 . 20 = 5 . 32 160 = 160 20 . 8 = 32 . 5 160 = 160
Propriedade fundamental para série de razões iguais ( ou proporção múltipla):
Em uma série de razões iguais , a soma dos antecedentes
está para a soma dos
conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente. Exemplo:
6 3
10 5
12 6
8 4
6 + 10 + 12 + 8 = 3+5+ 6+ 4
6 10 12 8 ou ou ou 3 5 6 4
ATIVIDADES: 1.Verificar se são ou não proporções as seguintes igualdades:
a) 4/15 = 72/270
b) 0,75/ 0,25 = 3
c)
9,5 − 4,82 14,1 = 2 60
d)
5/9 2/3 = 2/3 0,8
2.Encontrar o valor de x nas proporções:
a) x/20 = 4/10
b 12/121 = 6/x
c)
x+2 −2 = x x −3
3.Escreva quatro proporções utilizando os números 3,4, 6 e 8. 4.Calcular x e y na proporção x/7 = y/12, sabendo que x + y = 76. 5.Na série de razões x/10 = y/120 = z/14, calcular x, y e z, sabendo que x + y + z = 88.
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2. GRANDEZAS PROPORCIONAIS A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas de tal forma que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra. Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo numa construção depende do número de operários empregados. O salário está relacionado aos dias de trabalho. A relação entre duas grandezas estabelece a lei de variação dos valores de uma em relação à outra. Existem dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais: a proporção direta e a proporção inversa.
2.1. Proporção Direta ou Grandezas Diretamente Proporcionais: Se analisarmos duas grandezas como trabalho e remuneração, velocidade média e distância percorrida, área e preço de um terreno, altura de um objeto e comprimento da sombra projetada ..., veremos que aumentando ou diminuindo uma delas a outra também aumenta ou diminui. Então:
Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão. As razões de cada elemento da primeira por cada elemento correspondente da segunda são iguais, ou seja, possuem o mesmo coeficiente de proporcionalidade. Exemplo 1: Um grupo de pessoas se instalou num acampamento que cobra R$ 10,00, a diária individual. Veja na tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária. Número de pessoas
1
2
4
5
10
Despesa diária
10,00
20,00
40,00
50,00
100,00
Percebemos que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumento da despesa. É, portanto, uma proporção direta. As grandezas número de pessoas e despesa diária são diretamente proporcionais, ou seja, a razão entre o número de pessoas e a despesa diária são iguais: 1/10 = 2/20 = 4/40 = 5/50 = 10/100
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↓
↓
↓
1/10
1/10
1/10
↓
↓
1/10
1/10
Exemplo 2: Os números 3, 10 e 8 são diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16, nessa ordem, porque possuem a mesma razão ou o mesmo coeficiente de proporcionalidade: 3/ 6 = 10/20 = 8/16
↓
↓
½ =
½
↓ =
½
2.2. Proporção Inversa ou Grandezas Inversamente Proporcionais: Se analisarmos duas grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a mesma tarefa, velocidade média e tempo de viagem, número de torneiras e tempo para encher um tanque..., veremos que aumentando uma grandeza , a outra diminuirá. Então: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão. As razões de cada elemento da primeira pelo inverso de cada elemento correspondente da segunda são iguais. Em outras palavras, duas grandezas são inversamente
proporcionais
quando
os elementos da primeira grandeza forem
diretamente proporcionais ao inverso dos elementos da segunda grandeza. Exemplo 1: Suponhamos que no exemplo analisado anteriormente (razão direta), a quantia gasta pelo grupo de pessoas seja sempre R$ 200,00. Então, o tempo de permanência do grupo dependerá do número de pessoas. Analise a tabela: Número de pessoas
1
2
4
5
10
Tempo de permanência (dias)
20
10
5
4
2
Percebemos que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de permanência se reduzirá à metade. É, portanto, uma proporção inversa. As grandezas número de pessoas e número de dias são inversamente proporcionais. A razão entre o número de pessoas é igual ao inverso da razão do tempo de permanência: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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1 2 4 5 10 = = = = = 20 1 / 20 1 / 10 1/ 5 1/ 4 1/ 2 Exemplo 2: Os números 9, 6 e 2 são inversamente proporcionais aos números 4, 6 e 18, nessa ordem, porque a razão entre cada elemento da primeira sucessão e o inverso do elemento correspondentes na segunda sucessão são iguais.
9 6 2 = = = 16 1 / 4 1 / 6 1 / 18 ATIVIDADES: 1.Verificar se os números 18, 6 e 3 são ou não diretamente proporcionais aos números 6, 2 e 1. 2.Verificar se os números da sucessão (30,24,20) são ou não inversamente proporcionais aos números da sucessão (4,5,6) 3.Encontrar x e y, sabendo que os números 20, x, y são diretamente proporcionais aos números 4, 2 e 1. 4.Encontrar x, y e z sabendo que as sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente proporcionais com coeficiente de proporcionalidade igual a 36. 5.O número de dias gastos na execução de uma obra é direta ou inversamente proporcional ao número de máquinas empregadas na obra? Por que?
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3. DIVISÃO PROPORCIONAL 3.1. Divisão em partes diretamente proporcionais: Duas pessoas, A e B, trabalharam numa determinada tarefa, sendo que A trabalhou durante 6 horas e B durante 5 horas. Como elas irão dividir com justiça R$ 660,00 que serão pagos por essa tarefa? Na verdade, o que cada uma tem a receber deve ser diretamente proporcional ao tempo gasto durante a realização da tarefa. Portanto: Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número.
No problema acima, devemos dividir 660 em partes diretamente proporcionais a 6 e 5 são as horas que as pessoas A e B trabalharam. Chamamos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. Então: x + y = 660 e x/6 = y/5 Aplicando as propriedades
de proporção que vimos em aulas anteriores, podemos
resolver :
x+ y x y = = 6+5 6 5
660 x y = = 11 6 5
Onde:
660 x = 11 6
660 = 11 x = 360
y 5 y = 300
Concluindo, A deve receber R$ 360,00, enquanto B receberá R$ 300,00.
3.2. Divisão em partes inversamente proporcionais: E se tivéssemos que efetuar uma divisão em partes inversamente proporcionais? Por exemplo: Duas pessoas A e B trabalharam durante um mesmo período para fabricar e vender por R$ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5 dias, como efetuar essa divisão com justiça?
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O problema agora é dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, pois deve ser levado em consideração que aquele que se atrasa mais deve receber menos. Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é encontrar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos desses números dados.
Nesse problema, temos que dividir 160 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, que são os números de atraso de A e B. Para realizar essa divisão, chamaremos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. x + y = 160
x 1/ 3
y 1/ 5
160 y = 8 / 15 1/ 5
x+ y 160 = 1 / 3 + 1 / 5 8 / 15
160 x = 8 / 15 1 / 3
x = 100
y = 60
Concluindo, A deve receber R$ 100,00 e B receberá R$ 60,00. ATIVIDADES: 1. Dividir 720 em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 8.
(160,240,320)
2. Dividir o número 260 em parte inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.
(120, 80 e
60) 3. Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de trabalho? (84 e 96) 4. A Federação Brasileira de futebol resolveu distribui prêmios num total de 320.000,00 para os quatro jogadores brasileiros que tiveram o melhor ataque durante a Copa do Mundo, ou seja, para aqueles que fizeram o maior número de gols na razão direta desses gols. Os jogadores premiados fizeram 9, 6, 3 e 2 gols. Quanto recebeu cada jogador? (144 000, 96 000, 48 000 e 32 000) 5. Um pai deixou R$ 2 870 00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa de suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? ( 1 470, 980, 420) 6. Um número foi dividido em partes diretamente proporcionais a 4 e 3. Sabendo que a parte correspondente a 4 era 2 000, encontre esse número. (3 500)
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3.3. Divisão proporcional composta: Vamos analisar a seguinte situação: Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias. Sabendo que a empreiteira tinha R$ 29 400,00 disponíveis, como dividir com justiça essa quantia entre as duas turmas de trabalho? Essa divisão não é da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma divisão composta em partes proporcionais, pois os números obtidos deverão ser proporcionais a dois números de homens e também a dois números de dias trabalhados. Analisando veremos que: - Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em um dia (10 . 5). - Na segunda turma:12homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homens num único dia (12 . 4 ). Portanto: Para dividir um número em partes, de tal forma que uma delas seja proporcional a m e n e a outra a p e q, basta dividir esse número em partes proporcionais a m . n e p . q.
Resolvendo o problemas, temos:
x y x y = ou = 10.5 12.4 50 48 Como x + y = 29 400
x+ y x = 50 + 48 50
29400 x = 98 50
x = 15 000
y = 19 400 – 15 000 = 14 400
Assim, a primeira turma deverá receber R$ 15 000,00 da empreiteira e a segunda R$ 14.400,00. ATIVIDADES: 1. Dividir o número 4 680 em partes diretamente proporcionais a 3 e 6 e, em seguida, diretamente proporcionais a 5 e 4. ( 1 800 e 2 880) 2. Dividir o número 2 640 em partes diretamente proporcionais a ¾ e ½ e inversamente proporcionais a 5/6 e 2/3.
( 1 440 e 1 200)
3. Um milionário resolveu dividir parte de sua fortuna entre três sobrinhas, de modo que a divisão fosse diretamente proporcionais às suas idades e inversamente proporcionais a seus pesos. As moças tinha 16, 18 e 21 anos e pesavam, respectivamente, 52, 48 e 50 quilos. A quantia a ser dividida entre elas era de R$ 5 734 000, 00. Quanto cada uma recebeu? ( 1 600 000, 1 950 000, 2 184 000).
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4. (BB)A importância de R$ 20 650,00 foi dividida entre duas pessoas. A primeira recebeu na razão direta de 8 e na razão inversa de 3; a segunda recebeu na razão direta de 9 e na razão inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa? ( 11 200 e 9 450) 5. (TTN) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento. Para tanto, dividiu R$ 507,00 em partes inversamente proporcionais a 2 ¼ , ser pago?
5 e 1,2. Nessas condições, qual o prêmio de menor valor a 3
(120)
6. (TTN) Dividindo o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Qual o valor da 3ª parte? (300)
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4. REGRA DE TRÊS Chamamos de regra de três uma regra prática que permite, através da comparação de grandezas proporcionais, a resolução de diferentes situações-problema do dia-a-dia. Essas grandezas formam uma proporção em que, conforme o nome já diz, três termos são conhecidos e busca-se encontrar o quarto termo. Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.
4.1. Regra de Três Simples A regra de três simples, como vimos anteriormente, envolve apenas duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, daí, obtermos uma equação através da aplicação da propriedade fundamental das proporções. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, essa equação terá a mesma forma da tabela. No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equação será feita invertendo-se a razão de uma das grandezas. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais dizemos que a regra de três é direta. Quando forem inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa. Procedimentos para resolver problemas por regra de três simples: 1º) Montar a tabela: As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas sempre na mesma unidade de medida Comprimento(m)
Preço(R$)
5
80,00
9
x
2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais: -
-
Se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloca-se uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, na direção dele, e uma seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, procede-se da mesma forma na coluna do x, invertendo o sentido da seta na outra coluna.
3º) Determinar o valor de x, que é o termo procurado, através da propriedade fundamental das proporções. Exemplo: Cinco metros de um tecido custam R$ 80,00. Quanto pagarei por 9 metros do mesmo tecido? Nesse exemplo temos uma regra de três simples e direta. Observe os procedimentos acima: Comprimento(m)
Preço(R$)
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5
80,00
9
x
5 80 = 9 x
x =
80.9 5
x = 144,00
ATIVIDADES: 1. Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra? 2. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriam necessários para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 Km por dia? 3. Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h30min. Quantas torneiras de mesma vazão seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54min? 4. Um corte de tecido de 2m x 2,5m custa R$ 100,00. Quanto deverá ser pago por um corte do mesmo tecido de 3m x 5 m? 5. Se 4/9 de uma obra foram feitos em 28 dias, em quantos dias a obra será concluída?
4.2. Regra de Três Composta A regra de três composta envolve três ou mais grandezas relacionadas entre si. Os procedimentos de resolução serão os mesmos da regra de três simples. Quando há dependência inversa entre a grandeza que contém a variável com as demais grandezas, invertemos os elementos da respectiva coluna. A equação será montada, relacionando a grandeza que contém a variável com as demais grandezas. Exemplo: Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão sete operários, trabalhando 9 dias? Nº de operários 3 7
Nº de dias
Nº de peças
6
400
9
x
Comparando a grandeza que contém o x com as outras duas grandezas, verificamos que são diretamente proporcionais. Então:
400 = x
3 .6 7 .9
400 18 = x 63
400 2 = x 7
2x = 2 800
x = 1.400 peças
ATIVIDADES: 1. Um ciclista percorre 120 Km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500 Km, viajando 5 horas por dia?
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2. Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 Kg de alfafa durante 7 diais. Para alimentar 8 cavalos, durante 10 diais, quantos quilos de alfafa serão necessários? 3. Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesma capacidade, prepararão 800 páginas? 4. Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a velocidade fosse 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso? 5. Uma torneira enche um tanque em 20 horas, com uma vazão de 1 litro por minuto. Quanto tempo será necessário para que duas torneiras, com vazão de 2 litros por minuto, encham o mesmo tanque? 6. Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias? 7. Um livro de 120 páginas, com 25 linhas, é impresso em 4 horas. Quantas horas seriam necessárias para imprimir um livro de 100 páginas com 30 linhas por página? 8. Uma pessoa que viajará para os Estados Unidos dispõe de R$ 2 500,00 para a viagem.Quantos dólares conseguirá comprar?
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5. PORCENTAGEM
Em nosso dia-a-dia estamos constantemente convivendo com expressões do tipo“ O índice de reajuste salarial de maio é de 9,8%.” “ O rendimento da poupança foi de 1,58%.” “ Liquidação de inverno com 30% de desconto”... Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem. Porcentagem, portanto, pode se definida como uma razão cujo conseqüente é 100 ou ainda como uma razão centesimal, onde o conseqüente é substituído pelo símbolo %, chamado “por cento“.
80 = 0,80 = 80% 100
5.1. Cálculos de Porcentagem: Existem vários recursos para resolver cálculos que envolvem porcentagens: 1º) POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAÇÕES: Exemplo: Quanto é 20% de 800? 20% de 800, é o mesmo que dividir 800 em 100 partes iguais e tomar 20 delas. 20 % de 800 = 20/100 de 800
800 : 100 . 20 = 160
ou usando taxa unitária: 20% de 800 = 2 0/100 = 0,20
800 . 0,20 = 160
2º) POR UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA: Exemplo 1: Um trabalhador cujo salário era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de 5%. Quanto passou a ser o seu novo salário? Este problema pode ser resolvido por regra de três de dois modos: 1ª).
2000
x
100%
5%
x=
2000.5 100
x = 100,00
Salário= 2 000,00 + 100,00 = 2 100,00 2ª)
2 000
x
100%
105%
x=
2000.105 100
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x = 2 100,00 Salário: 2 100,00 Exemplo 2: Ao comprar um automóvel por R$ 15 000,00, obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa de desconto? 15 000
100%
1800
x
100.1800 100
x =
x = 12%
Taxa de desconto: 12% Exemplo 3: Uma taxa de 13% é aplicado num determinado capital, produzindo um valor porcentual de 5 200,00. De quanto era o capital? 13%
5 200
100%
x
x=
100.5200 100
x = 40.000
Capital: R$ 40 000,00
5.2. Elementos dos Cálculos Porcentual Pelos exemplos anteriores observamos que são três os elementos envolvidos no cálculo de porcentagem: Principal ou Capital: valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem (P ou C) Taxa porcentual: valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 (i). Porcentagem ou juros: resultado que se obtém quando se aplica a taxa de porcentagem ou taxa porcentual (p ou j) Concluímos também que a resolução por regra de três permite chegarmos ao seguinte raciocínio:
Porcentagem =
Pr incipal.taxa 100
p=
P.i 100
, onde
P=
100. p i
e
i=
100. p P
Também poderemos encontrar em algumas literaturas:
j=
C.i , onde 100
C=
j.100 i
e
i=
100. j C
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É mais prático usarmos a taxa unitária: 25% = 25/100 = 0,25 ATIVIDADES: 1. Calcular: a) 20 % de 32
b) 3,5% de R$ 4 500
c) 4% de 550
2. Qual a taxa unitária de 20%? 3. Qual a taxa porcentual correspondente a 0,05? 4. Qual é o número principal em que 20 representa 3%? 5. Qual o número principal em que 800 representa 3/5%? 6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 40? 7. Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15%. Quanto ganhou? 8. Em uma escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total? 9. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantos serão aprovados num concurso público com 6 500 inscritos? 10. Walter pediu aumento salarial na empresa em que trabalha, alegando que um simples reajuste (que naquele dissídio seria 7,5%) não cobriria suas reais necessidades. Na ocasião, seu salário era de R$ 2.850,00 e sua proposta foi uma correção de 9 %. No final do mês, ele recebeu R$ 3.092, 25. Calculando qual o índice de correção aplicado pela empresa, responda se o pedido foi atendido. 11. Um comerciante comprou um automóvel de R$ 84 000,00 com desconto de 2%. Em seguida, vendeu o automóvel por um valor 3% acima desse preço(valor inicial do automóvel). Qual foi a taxa de lucro total, desde a venda até a compra, usada pelo comerciante? 12. Dois postos de abastecimento misturam água ao álcool que vendem. No primeiro deles foram encontrados 7,5 l de água em 300 l de álcool e, no segundo, 13,5 l de água em 500 l de álcool. Quanto por cento o álcool de um posto é mas aguado que o do outro/ 13. Do que eu recebo, 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação, restando-me apenas R$ 450,00. Qual é o meu salário? 14. Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual a população total dessa cidade se nela residem 60 500 mulheres? 15. Uma certa quantia y tornou-se 2y após 1 ano e 3y após 2 anos. Com relação a quantia inicial, calcule a taxa aplicada no primeiro e no segundo ano. 16. Que taxa devemos utilizar para transformar uma quantia x em 3x? 17. Um vendedor ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00 de comissões, qual o total vendido por ele? 18. Comprei uma casa cujo preço era R$ 200 000,00. Tendo gasto 5% desse valor em impostos e 3% de comissão para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar? Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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19. Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia, compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual a porcentagem (taxa) que compareceu às aulas nesse dia? 20. Ao comprar uma automóvel por R$ 15 000,00 obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa de desconto?
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6. JUROS SIMPLES 6.1. Introdução Juros simples é o regime de remuneração do capital onde a taxa de juros é aplicada sempre sobre o capital inicial, tantas vezes quantos forem os períodos de aplicação. Não se trata, portanto, de porcentuais acumulados, pois é calculado sempre sobre o mesmo valor. Exemplo: Um capital de R$ 1.000 é aplicado a 20% ao mês, durante o tempo de 4 meses. Quais os juros? Solução: 20% de R$ 1.000 é igual a R$ 200. Como o capital foi aplicado por 4 meses, a quantia total dos juros é de 4 x R$ 200 = R$ 800. Podemos também calcular o porcentual total, ou 20% ao mês durante 4 meses resultam 80%. 80% de 1.000 resultam R$ 800. O porcentual total é calculado portanto, multiplicando a taxa (i) pelo número de períodos de tempo ( t ), tomados em unidades adequadas. Exemplos: a) i = 20% ao mês (a.m)
t = 3 meses it = 20 x 3 = 60%
b) i = 45% ao ano (a.a.)
t = 8 meses it = (45/12) x 8 = 30%
c) i = 25% ao mês (a.m.)
t = 2 anos
d) i = 30% ao ano (a.a.)
t = 4 meses it = (3/12) x 4 = 1%
it = 25 x 24 = 600%
Observações: 1) Quando na taxa não vem explicando o período de tempo, considera-se o período anual; 2) Para efeito comercial, considera-se: 1 mês = 30 dias e 1 ano = 360 dias
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6.2. Relação entre Capital, Juros Simples e Montante Como o porcentual total (it) é aplicado sobre o capital (C), podemos montar as seqüências diretamente proporcionais: Capital
C ---------
100%
Juros
J
it%
-------
Montante M ----------
(100 + i t) %
lembrando que o montante M é a soma do capital mais juros.
6.3. Exercícios Resolvidos a) Um capital de R$15.000 foi aplicado a uma taxa de 60% a.a., durante 4 meses. Quais os juros? Solução:
Calculando o porcentual total, temos:
Montando a proporção:
j=
it =
60 x 4 = 20% 12
Cit 15000 x 20 j= 3.000 100 100 Resposta: Juros de R$ 3.000.
b) Um capital foi aplicado a 24% a.a. durante 8 meses, rendendo juros de R$ 1.600. Qual o capital aplicado? Solução:
Calculando o porcentual total, temos:
Montando a proporção:
j=
it =
24 x8 = 16% 12
Cit jx100 1600 x100 C= C= = 10.000 100 it 16 Resposta: Capital de R$ 10.000.
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c) O capital de R$ 12.000 foi aplicado durante 9 meses, rendendo juros de R$ 4.320. Qual a taxa de juros? Solução: Calculando porcentual total, temos: it = i x 9 = 9i%
Montando a proporção:
j=
Cit jx100 4.320 x100 it = 9i = 9i = 36 i = 4% a.m. 100 C 12.000
Resposta: A taxa é de 4% ao mês (a.m.) ou 48%) ao ano (a.a.). d) O capital de R$ 25.000 foi aplicado a 36% ao mês, rendendo juros de R$ 4.500. Qual o tempo de aplicação? Solução: Calculando o porcentual total, temos: it = 36t.
Montando a proporção:
j=
Cit jx100 4.500 x100 it = 36t = 36t = 18 t = ½ mês 100 C 25.000 Resposta: Tempo de 1/2 mês ou 15 dias.
e) Um capital foi aplicado a uma taxa de 18% a.m., durante 75 dias, gerando um montante de R$ 7.250. Qual foi o capital aplicado? Solução:
Calculando o porcentual total, temos:
it =
18 x75 = 45% 30
Montando a proporção: M = C + j
M =
C (100 + it ) Mx100 7.250 x100 C= C= 100 100 + it 100 + 45 C = 5.000
Resposta: O capital foi de R$ 5.000. f) 1/4 de um capital foi aplicado a 10% a.m., durante dois meses. O restante foi aplicado a 5% a.m., durante o mesmo tempo. O total de juros obtidos foi de R$ 1.250. Qual o capital aplicado?
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Solução: Calculando os porcentuais totais, temos: 1) it= 10x2= 20% 2) it= 5x2= 10%,. Vamos resolver o problema supondo o capital inicial de 100. 20% 1/4
25
5,0
100
12,5 (juros totais para 100) 3/4
75
7,5
10% Ou seja, para um capital de 100 obtivemos juros totais de 12,5, que são números diretamente proporcionais aos valores do problema. 100 -------------- 12,5
Por regra de 3 temos:
donde:
x=
1.250 x100 = 10.000 12,5
X ------------- 1.250
Resposta: O capital total foi de R$ 10.000. g) Dois capitais foram aplicados a 36% a.a. durante 4 meses. Os juros dos capitais diferem de R$ 360. Qual a diferença entre os capitais? Solução: Se a diferença entre os juros é de R$ 360, esta foi devida à diferença dos capitais. Para determinarmos a diferença dos capitais, basta determinar qual o capital que, na taxa e no tempo dados, renderia juros de R$ 360.Temos portanto:
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Porcentual
C=
it =
total:
36 x 4 = 12% 12
na
proporção
j=
Cit 100
C=
jx100 it
360 x100 = 3.000 12 Resposta: A diferença entre os capitais é de R$3.000. h) Qual a taxa necessária para que um capital, em 4 anos, triplique de valor? Solução:
Supondo um capital 100, teremos um montante de 300.
M=C+j
M =
C (100 + it ) Mx100 300 x100 C= 100 = 4i = 300 – 100 i = 50 100 100 + it 100 + 4i Resposta: A taxa necessária é de 50% ao ano.
ATIVIDADES 01) O capital de R$ 3.500, em 6 meses, a 4% a.a., produz juros, em Reais, de a) 55.
b)60.
c) 65.
d) 70.
e) 75.
02) Um capital de R$ 1.500 produz juros de R$ 25, em 75 dias, a uma taxa de a) 6% a.a.
b) 7% a.a.
c) 8% a.a.
d) 9% a.a.
e) 10% a.a.
03) O capital de R$ 48.000 produz R$ 11.160 de juros, a uma taxa de 9%, em a) 2a 7m.
b) 2a 6m.
c) 2a 5m.
d) 2a 4m.
e) 2a 3m.
04) O capital que a taxa de 6,5% a.a., em 6 anos, produz um montante de R$ 2.085, em Reais, é a) 1.350.
b) 1.400.
c) 1.450.
d) 1.500.
e) 1.600.
05) O capital que diminuído de seus juros de 5 anos, 4 meses e 12 dias, à taxa de .5% a.a., reduzse a R$ 96.580, em Reais, é a) 128.000. b) 132.000. c) 135.000. d) 136.000. e) 144.000. 06) A taxa para que certo capital produza, em 5 anos, juros iguais a 2/3 de si mesmo, é
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a) 12 1/2%.
b) 12 1/3%.
c) 13 2/3%.
d) 13 1/2%.
e) 13 1/3%.
07) Um capital foi aplicado a 10% a.m. durante 5 meses. Findo este prazo, o montante foi reaplicado por um mesmo período, à taxa de 8% a.m., resultando em um montante final de R$ 21.000. O capital, em Reais, era de: a) 9.000.
b) 9.500.
c) 10.000.
d) 10.500.
e) 11.000.
08) Coloquei 1/5 de meu capital a 10%, e o restante a 5%. Recebi juros anuais de RS 3.600. Em Reais, meu capital era de a) 50.000.
b) 55.000.
c) 60.000.
d) 65.000.
e) 70.000.
09) Sabendo-se que um capital foi duplicado em 8 anos a juros simples, a taxa anual empregada foi de a) 10%.
b) 12,5%.
c) 15%.
d) 17,5%.
e) 20%.
10) O tempo para que um capital triplique de valor a 20% ao ano, no regime de juros simples, em anos, é a) 5.
b)8.
c) 10.
d) 12.
e) 15.
11) Dois capitais aplicados a 5% ao mês, durante 5 meses, rendem juros que diferem de R$ 750. A diferença entre os capitais, em Reais, é de a) 2.500.
b) 2.750.
c) 3.000.
d) 3.250.
e) 3.500.
12) Depositei certa quantia em um banco e recebi o montante de RS 6.342 no fim de 40 dias. Se a aplicação foi feita à taxa de 6% ao ano, os juros são, em Reais, de a) 40.
b) 42.
c) 44.
d) 48.
e) 52.
13) Um certo capital aplicado durante 5 meses resulta em um montante de R$ 12.500 e aplicado durante 6 meses resulta em outro montante de R$ 13.000. O capital, em Reais, é a) 8.000.
b) 9.000.
c) 9.500.
d) 10.000.
e) 12.000.
14) Dividindo R$ 360 em duas partes de tal forma que a primeira produza em 6 meses os mesmos juros que a segunda em 3 meses, ambas com a mesma taxa de aplicação, a maior parte vale, em Reais, a) 200.
b)210.
c) 220.
d) 230.
e) 240.
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7. SISTEMA MÉTRICO 7.1. Medidas de Comprimento A unidade fundamental para medir comprimento é o metro e é representado pela letra “m”. Outras unidades são: 1) Múltiplos do metro: quilômetro, hectômetro, decâmetro. 2) Submúltiplos do metro: decímetro, centímetro e milímetro. A tabela abaixo de unidades representa um exemplo de conversão Km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1.000m
100m
10m
1m
0,1m
0,01m
0,001m
Cada unidade de comprimento é igual a 10 vezes a unidade imediatamente inferior, ou seja, 3
12,45 dm = 124,5 cm ou 1,245 x 10 mm 8,73 dam = 0,873 hm
7.2. Unidades de Potência de 10 Para facilitar a representação de números múltiplos de 10 existe as potências de 10, ou seja, podemos substituir “os zeros” por letras que contenham a sua representação. As mais utilizadas são: 9
G = 10 = 1.000.000.000 = Giga 6
M = 10 = 1.000.000 = Mega 3
K = 10 = 1.000 = Kilo -3
m = 10 =
-6
µ = 10 =
-9
n = 10 =
1 = mili 1.000 1 = micro 1.000.000 1 = nano 1.000.000
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7.3. Medidas de Tempo
A unidade fundamental para medir tempo é o segundo e é representado pela letra “s”. Outras unidades também utilizadas são: a) Horas [h] = 3.600 s b) Minutos [min] = 60 s c) Dia = 24 h = 1.440 min = 86.400 s d) Mês = 30 dias = 720 h (comercial) e) Ano = 12 meses = 360 dias (comercial) Observação: vale ressaltar que para o Sistema Internacional (SI) de medidas utilizamos o metro e o segundo. ATIVIDADES 1. Realize as seguintes conversões: a) 12 m para hm, dm e mm b) 15 Km para m, dam e cm 2
c) 10 m para cm
2
3
d) 10 dm para m
3
2. Realize as seguintes operações, em potência de 10: a) 1,2G + 100M b) 12m + 900µ c) 1.200µ + 2m d) 110K + 20.000 3. Realize as conversões de tempo: a) 120 min = ? h b) 2 h e 30 min = ? h Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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c) 36 h e 40 min = ? h d) 2,65 h = ? min e) 465 s = ?? h e ?? min (resposta em XX h: YY min)
ATIVIDADES EM GERAL 01) Na fração a/b, o numerador vale um terço do denominador. Somando-se 10 ao numerador, a fração torna-se equivalente a 1. Determine o valor de a + b. 02) Peguei 2/5 de R$ 10,20 e distribuí 1/3 para cada filho. Quanto recebeu cada um? 03) Certa chácara dista de São Paulo 2/5 da distância entre Rio e São Paulo. Quanto gasto em combustível para ir e voltar da chácara? Dados: Distância Rio-São Paulo: 425km; Consumo do carro: 11,1 / 3 km por litro; Preço do combustível: R$ 0,66 por litro. 04) A soma de três números é 98. A razão entre o primeiro e o segundo (nesta ordem) é 2/3, e entre o segundo e o terceiro é 5/8. O segundo número é: a) 15 b) 20 c) 30 d) 32 e) 33 05) Um motorista dirige um carro em velocidade constante, de uma cidade A para outra B. sabendo-se que faz 60km/h na ida e 80 km/h na volta e que gastou 9 horas e 20 minutos no percurso de ida e volta, determinar a distância entre A e B. 06) Um fenômeno foi observado desde o instante 2h 30 min até o instante 7h 45 min. Quanto tempo durou esse fenômeno? 07) Um livro possui 200 folhas, que totalizam uma espessura de 2cm. A massa de cada folha é de 1,2g e a massa de cada capa do livro é de 10g. a) Qual a massa do livro b) Qual a espessura de uma folha? 08) Uma pessoa ganha R$ 500,00 por 10 dias de trabalho, quanto receberá por 200 dias de trabalho? 09) No mesmo instante em que uma casa de 5m de altura projeta uma sombra de 20 cm, qual será a altura, em metros, de um prédio cuja sombra projetada mede 2m? 10) Para realizar uma obra, 20 operários levarão 150 dias, se o número de operários aumentar de 30, em quantos dias a obra ficará pronta? 11) Para forrar as paredes de um salão, são necessárias 30 peças de papel com 70cm de largura cada uma. Quantas peças seriam necessárias se as peças tivessem 1m de largura?
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12) Uma torneira aberta durante 4 horas enche uma banheira de 150 litros. Se a banheira tivesse metade do volume, em quantos minutos a banheira estaria cheia? 13) A água do mar contém 2,5g de sal para cada 100g de água. Quantos gramas de sal terão em 5 kg de água do mar? 2
14) Para cobrir 2m de uma parede precisamos de 16 azulejos. Quantos azulejos serão necessários para 2
cobrir uma parece de 8m ? 15) Para realizar a metade de uma obra 10 operários levam 14 dias. Se forem empregados mais 18 operários, quantos dias levarão para terminar essa obra? 16) Uma roda de 20 dentes engrena com outra de 50 dentes. Quantas voltas darão esta última sabendo que a primeira deu 120 voltas? 17) Sabemos que a carga máxima de um elevador é de 7 pessoas adultas com 80kg cada uma. Quantas crianças, pesando 35 kg cada, atingiriam a carga máxima desse elevador? 18) Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 90 minutos. Quantas torneiras iguais a essa encheriam o mesmo tanque em 54 minutos? 19) Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Outra enche o mesmo tanque em 4 horas. Em quantas horas as duas juntas encheriam o tanque? 20) Comprei 12 m de certo tecido e paguei R$ 48,00. Quanto cursta o metro do tecido? 21) 900 gramas de glicose contêm 360 gramas de carbono, 60 gramas de hidrogênio e 480 gramas de oxigênio. Calcule quantos gramas de carbono, hidrogênio e oxigênio têm, respectiva-mente, em 300 gramas de glicose. 22) Uma banheira tem três formas de ser cheia. Uma torneira que enche em 3 horas, outra que leva 4 horas para enchê-la e o chuveiro que demora 12horas para enchê-la. Se abrirmos tudo junto, em quanto tempo a banheira ficará cheia?
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8. GEOMETRIA A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática! A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.
8.1. Definições Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.
Polígono
No. de lados
Polígono
No. de lados
Triângulo
3
Quadrilátero
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octógono
8
Eneágono
9
Decágono
10
Undecágono
11
Dodecágono
12
Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono. Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas. Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:
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Os lados opostos são congruentes; Os ângulos opostos são congruentes; A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o; As diagonais cortam-se ao meio. Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o. Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos. Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos. Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio. Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior. Pipa ou papagaio: É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes. Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.
8.2. Conhecendo a Geometria Plana
Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da forma como é usual na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também isósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunos compreenderão as vantagens de optar por uma classificação. Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por uma razão de "arrumação". Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta que forma uma linha poligonal fechada. Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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8.2.1. Triângulos
Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos. Quanto aos lados: Equilátero
todos os lados iguais
Isósceles
dois lados iguais
Escaleno
todos os lados diferentes
Quanto aos ângulos: Acutângulo
Obtusângulo
Um ângulo agudo
Um ângulo obtuso
Retângulo
Um ângulo reto
8.2.1.1. Algumas propriedades: - Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são iguais. - Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais. - Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais. - Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo.
8.2.1.2. Área de um Triângulo Considere as seguintes figuras: Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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Observe que, em qualquer uma das três figuras, a área do triângulo destacada é igual à metade da área do retângulo ABCD. Assim, de modo geral, temos: área do triângulo: S = (b.h)/2 Neste caso, podemos considerar qualquer lado do triângulo como base (b). A altura (l) a ser considerada é a relativa a esse lado.
8.2.2. Quadriláteros - Os quadriláteros podem ser trapézios (com dois lados paralelos) e não trapézios (quando não tem lados paralelos). - Os trapézios podem ser paralelogramos (com lados opostos paralelos) e trapézios propriamente ditos (apenas com dois lados paralelos). Paralelogramos Retângulo
Losango
Quadrado
Paralelogramo
8.2.2.1. Propriedades: Retângulo:
- lados opostos iguais - quatro ângulos retos Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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- diagonais iguais que se cortam ao meio (bissteriz) - dois eixos de simetria - quatro lados iguais
Losango:
- ângulos opostos iguais - diagonais perpendiculares que se cortam ao meio (bissetriz) - dois eixos de simetria - quatro lados iguais
Quadrado:
- quatro ângulos retos - diagonais perpendiculares - quatro eixos de simetria Paralelogramo obliquângulo: - lados opostos iguais - ângulos opostos iguais - não tem eixos de simetria Trapézios propriamente ditos Isósceles
Retangular
Escaleno
Propriedades: Isósceles:
- dois lados iguais - um eixo de simetria
Retângular:
- um ângulo reto - não tem eixos de simetria
Escaleno:
- quatro lados diferentes - não tem eixos de simetria
8.2.2.2. Área do Retângulo Em um retângulo de lados a e b, figura abaixo, onde:
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a = medida do comprimento ou base b = medida da largura ou altura S = área total temos que: área do retângulo: S = b.h 8.2.2.3. Área do Quadrado Considerando que o quadrado é um caso particular do retângulo, onde todos os lados são iguais, figura abaixo:
l = medida do comprimento ou base l = medida da largura ou altura S = área total 2
temos que: área do quadrado: S = l . l ou S = l 8.2.2.4. Área de um Losango
O quadrilátero abaixo é um losango onde vamos considerar:
1) O segmento PR representa a Diagonal Maior, cuja medida vamos indicar por “D”. 2) O segmento QS representa a Diagonal Menor, cuja medida vamos indicar por “d”. Note que a área do losango PQRS é igual à metade da área do losango cujas dimensões são as medidas D e d das diagonais do losango, então:
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área do losango: S = (D.d)/2 8.2.2.5. Área de um Trapézio Considerando o Trapézio abaixo, podemos destacar:
1) MN é a base maior, cuja medida vamos representar por B. 2) PQ é a base menor, cuja medida vamos representar por b. 3) A distância entre as bases é a altura do trapézio, cuja medida indicaremos por h. Se traçarmos a diagonal QN, por exemplo, obteremos dois triângulos, QPN e QMN, que têm a mesma altura de medida h.
Da figura temos: - área do trapézio MNPQ=área do triângulo QPN + área do triângulo QMN - área do trapézio = (B.h)/2 + (b.h)/2 - área do trapézio = (B.h+b.h)/2 área do trapézio: S = (B + b).h/2
8.2.3. Polígonos Pentágonos - São polígonos com cinco lados e cinco ângulos. Por exemplo:
Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.
Hexágonos - São polígonos de seis lados e seis ângulos. Por exemplo: Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.
Heptágonos - São polígonos de sete lados e sete ângulos. Por exemplo:
Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.
Octógonos - São polígonos de oito lados e oito ângulos. Por exemplo:
Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.
Os polígonos podem ser côncavos ou convexos. Um polígono diz-se côncavo quando o prolongamento de pelo menos um dos seus lados corta o polígono em duas partes. Exemplo:
Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.
Um polígono diz-se convexo quando o prolongamento de qualquer dos segmentos que o determina deixa o polígono de um só lado. Exemplo: Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
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Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.
Os polígonos podem ser regulares ou não regulares. Um polígono é regular se tem todos os lados e todos os ângulos iguais, caso contrário, diz-se não regular. Exemplo de polígonos regulares:
Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.
8.2.3.1. Área de um Polígono Regular Considerando o polígono regular da figura abaixo, que é um pentágono.
A partir do centro vamos decompor esse pentágono em triângulos que são isósceles e congruentes, em cada um desses triângulos temos: 1) base do triângulo, que corresponde ao lado do polígono e cuja medida vamos indicar por “l”. 2) altura relativa à base do triângulo, que corresponde ao apótema do polígono e cuja medida vamos indicar por “a”. A área de cada triângulo é dada por (l.a)/2. Como são cinco triângulos, a área do polígono seria dada por: 5.(l.a)/2
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Logo, a área de um polígono regular, é dada por n.(l.a)/2, onde n = nº de lados do polígono. área de um polígono regular = n.(l.a)/2 Sabendo, que 5.l representa o perímetro (2p) do pentágono regular considerado, a expressão 5.l/2 representa a metade do perímetro ou o semiperímetro (p) do pentágono. Assim temos: área do pentágono = 5.l/2 Concluímos que para todos os polígonos regulares, podemos escrever: área de um polígono regular = p.a Observações: 1) O número de diagonais de um polígono convexo é determinado por:
n(n − 3) 2
d=
Onde: d = diagonal n = número de lados 0
2) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é Si = (n-2) . 180
8.2.4. Circunferência (Círculo) Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo. Esse ponto fixo é denominamos de CENTRO da circunferência (ponto O). À distância constante denominamos de RAIO (indicado por “r”). Por exemplo:
r o
Vejamos alguns elementos da circunferência: 1) Qualquer segmento que une o Centro a qualquer ponto da circunferência chama-se raio (r). 2) Qualquer segmento que une dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência chama-se CORDA.
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3) A corda que passa pelo centro da circunferência chama-se DIÂMETRO. Assim, o diâmetro é a maior corda da circunferência e seu comprimento é igual ao dobro do comprimento do raio. Vamos indicar o diâmetro por d, logo d=2r.
8.2.4.1. Área de um Circulo Observe a seqüência de polígonos regulares inscritos numa Circunferência.
Fonte: Matemática: Curso Completo – Nery, Chico e Trotta, Fernando. Editora Moderna.1988.
Repare que a medida que o número de lados aumenta, o polígono regular tende a se confundir com a região limitada pela CINCUNFERÊNCIA, ou seja, o CÍRCULO. Assim, termos: 1) O perímetro do polígono regular tende a se confundir com o comprimento da CIRCUNFERÊNCIA (C=2.pi.r).; 2) O semiperímetro do polígono tende ao valor 2.pi.r/2 = pi.r.; 3) O apótema do polígono tende a coincidir com a altura o raio do círculo, então: 2
área de um círculo: S = pi.r.r ou S = pi.r
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ATIVIDADES 1. Coloque V (verdadeira) ou F (falsa), conforme as sentenças seguintes: a) Em qualquer losango as diagonais, cortam-se mutuamente ao meio ( ) b) Em qualquer parelelogramo, as diagonais são congruentes (
)
c) Em qualquer paralelogramo, as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos ( ) d) Todo quadrado é inscritível e circunscritivel ( ) e) Todo retângulo
2. As bases de um trapézio ABCD medem: área deste trapézio.
AB = 4 cm e CD = 10 cm, e a altura mede 12 cm. Calcule a 2
3. Um triângulo ABC tem uma altura de 20 cm e sua base igual a 10 cm. Calcule sua área, em m . 4. Um determinado círculo possui seu diâmetro igual a 24 cm. Calcule a área e o perímetro deste circulo.
8.2.5. Relações Métricas em um Triângulo Seja um triângulo ABC retângulo em Â, e seja α a medida de um de seus ângulos agudos: B a
C
c
α
A
b
Temos: a = hipotenusa
c = cateto oposto
b = cateto adjacente
Logo:
sen α =
cateto − oposto c senα = hipotenusa a
(seno)
cos α =
cateto − adjacente b cos α = hipotenusa a
(cosseno)
tag α =
cateto − oposto c senα = cateto − adjacente b
(tangente)
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sen2 α + cos2 α = 1
Também vale lembrar que: 2
2
2
2
e que 2
2
(hipotenusa) = (cateto-oposto) + (cateto-adjacente) a = b + c
(Teorema de Pitágoras)
Para um triângulo qualquer temos: C
b
a e
A c
1) Teorema dos cossenos:
2) Teorema dos senos:
2
2
B
2
a = b + c – 2bc cos α
a ^
sen A
b
=
^
sen B
=
c ^
=
sen C 0
0
3) A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 .
â + ^b + ^c = 180
4) Num triângulo qualquer, um ângulo extreno é igual a soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. ê = â + ^c Nota: Tabela com alguns ângulos principais
0
30
0
45
0
60
0
90
Sen
Cos
Tag
1 2
3 2
3 3
2/2
1
2/2 3 2
1 2
1
0
3 infinito
ATIVIDADES
1. O lado de um triângulo eqüilátero mede a. Calcule a medida de sua altura.
h=
a 3 2
2. Calcule a medida do raio da circunferência inscrita num trapézio isóceles cujas bases medem 8 m e 18 m. (r = 6m) 3. Sabendo que o lado de um quadrado mede a, calcule a medida de sua diagonal. (d = a Curso Pró-Técnico. Disciplina: Matemática – Professores: Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira
2) 138
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4. O triangulo ABC tem base de 18 cm e altura de 12 cm. Calcule o perímetro do quadro inscrito.
A
C
B
^
5. Em relação ao triângulo ABC, qualquer, sabemos que:
AB = 5 cm , BC = 8 cm e B = 600. Calcule:
a) A medida do lado AC (x=7cm) A
b) A medida da altura AH.
(h
=
5 3 cm) 2 C
B H
6. Os lados do triângulo ABC medem: AB = 12 cm , BC = 4 projeção do lado AC sobre o lado AB (base). (x=4 cm)
7 cm e AC = 8 cm. Calcule a medida da
8.2.6. Retas, Paralelas e Ângulos Consideremos duas retas paralelas r e s, cortadas por uma transversal t, conforme a figura abaixo:
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0
Onde: a1 é colateral de b4 e a1 + b4 = 180 Pelo postulado de Euclides:
(ângulos agudos)
a1 = a2 = a3 = a4 e
(ângulos obtusos)
b1 = b2 = b3 = b4
Observação: Os ângulos a2 e a3 são chamados de alternados internos, assim como os ângulos b2 e b3.
Ângulos na Circunferência Ângulo Central: possui o vértice no centro da circunferência e, portanto, seus lados são raios. O ângulo central e o arco determinado por ele têm a mesma medida.
α
α
Ângulo Inscrito: possui o vértice na circunferência e os seus lados são cordas da circunferência.
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β
β
Teorema: Se um ângulo central e um ângulo inscrito estiverem determinado num mesmo arco, numa mesma circunferência, o ângulo central vale o dobro do inscrito.
β
α
α = 2β Exemplo: (UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é: a) 38 b) 63 c) 79 d) 87
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Solução 0
0
(pois PQ = 2 x 45 )
O arco PQ = 90
0
Já o arco QR = 36
0
(2 x 18 ) 0
0
Mais uma vez o arco RS = 76
(2 x 38 ) 0
0
0
0
Logo: o arco PS = PQ + QR + RS PS = 90 + 36 + 76 PS = 202 0
Sabemos que o perímetro de uma circunferência ‘é de 360 , portanto: 0
0
0
0
0
PS + 202 = 360 PS = 360 – 202 PS = 158
Como a medida do arco é o dobro da medida do ângulo, que desejamos, teremos: 0
O ângulo PQS = 158/2 = 79 , ou seja, letra C. ATIVIDADES 0
1. Dois lados de um triângulo medem 4 cm e 5 cm, e o ângulo formado por eles mede 30 . Calcule: 2
a) A área deste triângulo.
(S = 5 cm )
b) A altura relativa ao lado maior.
(h = 2 cm)
2. Num losango, uma diagonal mede o triplo da outra. Calcule a área deste quadrilátero, sabendo que seu perímetro é 40 m.
2
(S=60m )
3. Calcule a área da coroa circular seguinte, sabendo que seus raios medem 4 cm e 3 cm.
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Resp.: Scoroa =
7π cm2
Fórmulas em Geral de Geometria
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Referências Bibliográficas
1. GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1999. 2. MORI, Iracema e ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2000. 3. SPINELLI, Walter e SOUZA, Maria Helena. Matemática. São Paulo: Ática, 2001. 4. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática, 2004. 5. NERY, Chico e TROTTA, Fernando. Matemática: Curso Completo. Rio de Janeiro: Moderna, 1988
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