Interacción eléctrica by jose torres

Unidad III:INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.Lección 1: Interacción eléctrica.

Dep. Física y Química. I.E.S. "El Portillo"

1.- CONCEPTO DE CARGA ELÉCTRICA. PROPIEDADES FUNDAMENTALES Las partículas materiales pueden interaccionar de varias formas que se supone son fundamentalmente distintas y no reducibles unas a las otras. Así la interacción gravitatoria queda explicada en términos de una propiedad de las partículas materiales: "la masa gravitatoria". Del mismo modo los fenómenos de electrización muestran otra interacción que se explica indicando que los cuerpos que interaccionan están "cargados" de electricidad, o bien, mediante una nueva propiedad que se asigna a las partículas, y que recibe el nombre de "carga eléctrica". Esta nueva propiedad que hemos llamado carga eléctrica tiene las propiedades siguientes: 1) Atendiendo a la interacción eléctrica es posible clasificar las partículas materiales en tres categorías: a) partículas cargadas positivamente; b) partículas cargadas negativamente; c) partículas neutras o descargadas. Así pues, es posible distinguir dos variedades de carga eléctrica: carga eléctrica positiva y carga eléctrica negativa. Partículas con cargas del mismo nombre se repelen entre sí, mientras que partículas con cargas de distinto nombre se atraen entre sí. 2) Es importante hacer notar que la aparición de los rayos catódicos mostró la cuantización de la carga, o sea, que siempre interviene como un múltiplo entero de una cierta unidad de carga, cosa ya puesta de manifiesto en las leyes de Faraday de la electrolisis. La unidad o cuanto de carga o núcleo de carga positiva coincide con la que posee un protón o núcleo de hidrógeno, mientras que la negativa es la que tiene un electrón, que forma junto al protón el átomo de hidrógeno. Se comprueba experimentalmente que un átomo de hidrógeno es eléctricamente neutro, es decir, su carga total es nula. Esto equivale a firmar que la unidad o cuanto de carga positiva coincide FÍSICA 2º BACHILLERATO

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en valor absoluto con la de carga negativa. Hay también partículas cuya carga es cero, no por anulación de cargas positivas y negativas, sino porque son esencialmente neutras y carecen de carga, como es el caso del neutrón que interviene, junto con los protones, en la formación de los núcleos más pesados que el hidrógeno. Los diferentes procedimientos de electrización lo único que hacen es separar en la materia eléctricamente neutra las cargas de distinto signo. La carga eléctrica será, simplemente, la diferencia entre el número de electrones y protones de un cuerpo. 3) En un sistema aislado la carga total se mantiene constante. Este principio no excluye la creación de carga, ya que se refiere a la carga neta. En un sistema aislado es posible la aparición o desaparición de cargas siempre que lo haga en las dos variedades de carga y en la misma cantidad. Así ocurre en la materialización de un par electrón-positrón ,en el que un fotón desaparece y aparecen un electrón (carga negativa) y un positrón, su antipartícula con carga positiva. El proceso contrario también es posible, aniquilándose el par electrón-positrón, dando lugar a radiación luminosa.

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2.- LEY DE COULOMB. La expresión matemática que liga el valor de la fuerza de interacción entre cuerpos cargados eléctricamente fue encontrada experimentalmente por Coulomb en 1875 utilizando una balanza de torsión. La ley de Coulomb informa acerca de la interacción en el caso ideal de dos cargas que sean puntuales, estén en el vacío y en reposo, suponiendo

F12

además que su interacción es sólo eléctrica, es decir, que

no tienen masa. En estas condiciones podemos enunciar

r 12

dicha ley de la forma siguiente: r1

q r

"La fuerza que actúa sobre una carga puntual

q1 situada en reposo en el vacío a por efecto de otra carga q2, también en reposo es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional

al cuadrado de la distancia entre ellas". La expresión matemática de la ley de Coulomb es la siguiente: FP12 ' K

q1 q2 3 r12

rP12

En el Sistema Internacional de unidades, la unidad de carga eléctrica es el culombio. Si la fuerza se mide en newtons, las distancias en metros y la carga en culombios, la constante K tiene el valor: K = 9 x 109 N m2 C-2

Es habitual escribir la constante K de la forma siguiente: K'

FP12 '

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1 4 π ε0

q1 q2 1 rP12 4 π ε0 r 3 12 Pág. 3

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donde ε0 = 8,85 x 10-12 C2 N-1 m2 y se denomina constante dieléctrica del vacío. Entonces la expresión de la ley de Coulomb nos queda: y se denomina ecuación de Coulomb racionalizada. Si una carga q1 se encuentra en el vacío, en presencia de varias cargas, aplicaremos el principio de superposición y por lo tanto la fuerza total que actuará sobre dicha carga será: FP1 ' j FP1 i ' i…1

qi rP j 4 π ε0 1…1 r 3 1 i 1i

Analogías y diferencias entre el campo gravitatorio y el campo electrostático. Es evidente la analogía formal entre las leyes de Newton y Coulomb y de hecho muchas de las características del campo gravitatorio son aplicables el campo electrostático. Sin embargo existen algunas diferencias importantes: a) La intensidad de ambos campos es muy distinta: FE

para dos protones que se atraen gravitatoriamente y se

repelen electrostáticamente y recordando que su masa y su FG

carga son mp = 1,67 x 10-27 Kg y

m q

G Fg Fe tendremos: Fg Fe

' K

qp = 1,6 x 10-19 C

m1 m2 2 r12]

q1 q2

G m1 m2 K q1 q2

2 r12

6,67 @ 10&11 (1,67 @ 10&27)2 ' 8,06 @ 10&37 9 &19 2 9 @ 10 (1,6 @ 10 )

Como vemos la fuerza gravitatoria en muchísimo menor que la electrostática por lo que a nivel microscópico es despreciable. Cuando pasamos al nivel macroscópico, las masas aumentan FÍSICA 2º BACHILLERATO

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mientras que los cuerpos son neutros por la anulación de las cargas positivas y las negativas y por lo tanto la fuerza electrostática es despreciable. b) La constante G es universal, o sea, que no depende del medio, mientras que K o g0 dependen del medio. c) La fuerza gravitatoria es siempre atractiva mientras que la fuerza electrostática puede ser atractiva o repulsiva. d) El campo eléctrico se puede apantallar.

3.- CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA O VARIAS CARGAS. LÍNEAS DE FUERZA. De igual modo que para el campo gravitatorio, la acción a distancia que sufre una carga q ) por parte de otra u otras, la podemos explicar utilizando el concepto de "campo" como mediador de dicha interacción. La carga o cargas deforman el espacio de forma que al colocar la carga q ) sufre la acción de una fuerza. Hay que notar que dicha deformación (el campo) existe aunque no esté la carga de prueba q ) .

Así pues, se denomina campo eléctrico creado por una carga q al espacio que rodea a dicha carga y que resulta alterado en el sentido de que otra carga q ) , colocada en un punto de dicho espacio, experimenta una fuerza dada por la ley de Coulomb. El campo eléctrico es un campo vectorial, ya que en cada punto del mismo se puede definir un vector que llamaremos vector intensidad del campo o simplemente campo eléctrico y que viene dado por la fuerza que actúa sobre la unidad de carga positiva colocada en dicho punto: FP EP' q´

y así

FP' q´ EP

siendo EP un vector de la misma dirección y sentido que FP si q > 0 y de la misma dirección y sentido opuesto si q < 0. En el Sistema Internacional se mide en N/C.

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Campo creado por una carga puntual Sea q una carga puntual situada en el punto O que tomamos como origen. La interacción entre q y q ) es debida a que q crea un campo en el que se sitúa q ) siendo la fuerza de interacción FP' q´ EP . Por lo tanto el campo creado por q en cada punto del espacio que lo rodea será:

EP'

q rP 4 π ε0 r 3

En cada punto EP tiene la dirección de rP y sentido igual u opuesto según que q sea mayor o menor que cero. Debido a esto se dice que EP es un campo central (o radial) ya que su dirección siempre pasa por O. Por otra parte el módulo de EP sólo depende de la distancia al origen y es por tanto el mismo en todos los puntos situados sobre una superficie esférica con centro en O. Se dice entonces que el campo tiene simetría esférica. Finalmente el campo eléctrico cumple que EP@ d rP ' 0 para cualquier trayectoria cerrada, n tratándose por tanto de un campo conservativo. Podemos concluir por tanto, que el campo eléctrico creado por una carga puntual es un campo conservativo, central y con simetría esférica.

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Campo creado por una distribución discreta de cargas. Si tenemos un sistema de cargas q i , que actúan sobre una carga de prueba q ) , admitiendo el principio de superposición, la fuerza resultante ejercida sobre q ) será: q' ri

FP' j FPi ' q´ j K i

qi 3

rPi

es decir, el campo resultante será: q

q FP EP' j EPi ' ' j K i rPi q´ i i ri3

El campo ya no será central, ni tendrá simetría esférica en general, pero seguirá siendo conservativo: EP@ d rP ' j EPi @ d rP ' j EPi @ d rP ' 0 n n i i n por ser conservativos los campos creados por cada carga puntual. Veamos cómo son las líneas de fuerza en el campo creado por una distribución de dos cargas positivas:

dos negativas:

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y para un dipolo:

4.-ENERGÍA

POTENCIAL

ELÉCTRICA. POTENCIAL

ELECTROSTÁTICO.

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Energía potencial eléctrica. El campo eléctrico es conservativo y por lo tanto es posible sustituir el conocimiento de la fuerza de interacción por el de la energía potencial en cada punto. De esta forma la interacción queda descrita mediante un campo escalar en lugar de un campo vectorial. Como ya sabemos la energía potencial sólo la podemos medir como diferencia y para dar valores absolutos es preciso elegir un punto de referencia. Generalmente la referencia que se toma es el infinito donde E p ' 0 , y por tanto: 4

WA 'Ep & Ep ' Ep A

Luego la energía potencial de una carga en el punto A será " el trabajo que el campo realiza para llevar la carga desde el punto A hasta el infinito". O bien, la energía potencial de una carga en el punto A será " el trabajo que hay que realizar, venciendo las fuerzas del campo, para llevar la carga desde el infinito hasta el punto A". Sea

una

carga q que

crea

P r) campo E( P (el origen de este campo es la propia carga q ). El trabajo para trasladar una FÍSICA 2º BACHILLERATO

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carga de prueba q ) desde el punto A al infinito será: d W ' FP@ d rP ' & d E p Ep & Ep ' 4

FP@ d rP '

qq ) rP @ d rP mA 4 π ε r 3 0 4

y si E p ' 0 nos quedará: 4

Ep ' A

qq ) 4 1 qq ) 1 1 d (& ) ' ( & ) 4 π ε0 mA r 4 π ε0 r A 4 Ep ' A

qq ) 4 π ε0 r A

q' A

En el caso de que en lugar de una

carga, tengamos una distribución discreta de cargas r

, la expresión de la energía potencial electrostática

nos quedará: q

Ep ' A

FP@ d rP '

mA j i 4 π ε0

qi q ) ri d r

j mA 4 π ε i 0 4

q i q ) rPi @ d rP

ri3

'j i

r i3

qi q )

' Ep Ai 4 π ε0 rAi j i

Potencial eléctrico. La energía potencial así obtenida no es una magnitud que caracterice al campo por depender de la carga de prueba. Podemos definir una nueva magnitud, potencial electrostático en un punto como la FÍSICA 2º BACHILLERATO

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energía potencial que una partícula con carga positiva unidad tendría en dicho punto: V'

Ep q)

y que sólo dependerá de la distribución que crea el campo y del punto considerado, caracterizando por tanto a ese campo. De esta forma habremos superpuesto a un campo vectorial EP(r) P uno escalar V (r) P .

La relación entre ambos es clara: FP@ d rP ' & d Ep dividiendo por el valor de la carga de prueba tendremos: E FP @ d rP ' & d ( p ) q) q) EP@ d rP ' & d V

El valor de V (r) P se mide en el Sistema Internacional en J/C, unidad que recibe el nombre de voltio. Al igual que hicimos anteriormente para la energía potencial, podemos definir potencial eléctrico o electrostático en un punto rP al "trabajo que hay que realizar para llevar la carga unidad positiva desde el infinito hasta el punto". Vamos a obtener a continuación la expresión del potencial en función de las cargas que lo crean: a) Para una carga puntual: VA '

1 4P FP F @ d rP ' 4 @ d rP ' 4EP@ d rP ) mA ) m ma A q q VA '

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q q 4 dr' ma 4 π ε r 2 4 π ε0 r 0

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b) Para una distribución discreta de cargas: V'j i

' Vi 4 π ε0 r i j i

Superficies equipotenciales. Del mismo modo que la representación gráfica de las líneas de fuerza permite visualizar la P r) P , el campo escalar asociado V (r) P puede mostrarse estructura del campo vectorial E( gráficamente mediante las llamadas superficies equipotenciales. Estas superficies son el lugar geométrico de los puntos del campo que tienen igual potencial. Así en el campo creado por una carga puntual dichas superficies serían superficies esféricas con centro en la carga. El valor del potencial, medido respecto de alguna referencia determinada, puede indicarse en cada una de las superficies dibujadas. Se conviene, además, en espaciarlas de forma que la diferencia de potencial entre cada dos consecutivas sea siempre la misma. Así en aquellas zonas en que estén muy próximas, zonas donde el potencial varía muy deprisa, el campo es muy intenso, mientras que donde estén más separadas el campo es más débil. Para estas superficies se cumplirá: a) Las superficies equipotenciales no se cortan. Dado que el potencial está definido unívocamente en cada punto es obvio que las superficies equipotenciales no pueden cortarse, pues si lo hiciesen los puntos de corte tendrían dos valores diferentes para el potencial. b) Las superficies equipotenciales son

perpendiculares al campo eléctrico. dr

Si en una superficie equipotencial nos desplazamos d rP , se cumplirá:

& d V ' EP@ d rP r

+ dr

como el desplazamiento se ha producido en

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una superficie equipotencial, d V ' 0 , lo que implica que EP z d rP . Como el desplazamiento es uno cualquiera dentro de la superficie equipotencial, el vector campo debe ser perpendicular a esa superficie. Veamos ahora cómo las superficies equipotenciales permiten caracterizar al vector campo: a) La dirección es perpendicular a las superficies equipotenciales como acabamos

V3 V

de ver. 2

b) El sentido del vector campo es el de los dr

potenciales si V3 < V2 Y d V < 0

decrecientes: Y

E @ d rP > 0

que indica que el vector EP forma con el desplazamiento un ángulo inferior a 90º (va en la dirección de potenciales decrecientes). c) El módulo lo podemos obtener de la ecuación: EP@ d rP ' & d V Y E *d rP * cosθ ' E d rz ' & d V E'&

dV dV Y * EP* ' & d rz d rz

Así pues el módulo de la intensidad del campo es la variación del potencial por cada unidad de longitud que nos movemos en la propia dirección del campo (dirección normal). En el caso de un campo uniforme las superficies equipotenciales serían planos equidistantes.

5.- MOVIMIENTO DE CARGAS PUNTUALES EN CAMPOS ELÉCTRICOS. FÍSICA 2º BACHILLERATO

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Consideraremos el movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos uniformes. Un campo uniforme puede ser el que existe en un condensador plano. Veamos cómo se mueve una partícula cargada positivamente que penetra en un campo eléctrico uniforme con la velocidad inicial v0 en dirección perpendicular a la del campo. q EP qE P La fuerza que actúa sobre ella es FP ' q EP ' & q E jP y su aceleración aP ' '& j. m m Como el campo es uniforme la aceleración es constante y podemos escribir para la posición 1 qE 2 P aP t 2 ' v0 t iP & t j 2 2m

de la partícula en función del tiempo:

rP ' rP0 % vP0 t %

y la velocidad será:

qE P vP ' vP0 % aP t ' v0 iP & tj m

El movimiento que describen estas ecuaciones es un movimiento parabólico cuya trayectoria podemos obtener de las ecuaciones paramétricas del mismo: x ' v0 t y' &

qE 2 t 2m

despejando “t” en la 1ª y sustituyendo en la 2ª: y' &

qE x2 2 2 m v0

De esa ecuación podemos deducir el desplazamiento vertical “d” que experimenta la partícula tras recorrer una distancia horizontal “l” en el campo eléctrico: d' &

qE l2 2 2 m v0

La velocidad en ese momento nos dará idea de la dirección en que se mueve:

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v x ' v0 vy ' & y como el tiempo transcurrido es t '

vy ' &

qE t m

l , la componente de la velocidad en el eje vertical será: v0

qEl y, por tanto, la dirección vendrá dada por un ángulo con el eje OX dado m v0

por tan φ ' &

qEl m v02

6. TEOREMA DE GAUSS. Flujo de el campo eléctrico.

P r) Consideremos una región del espacio en la que exista un campo eléctrico E( P de cuyo origen, de momento, no nos ocuparemos. Llamaremos flujo del campo eléctrico a través del elemento de superficie orientado d SP , colocado en el punto rP , a la magnitud escalar: P r) d Φ ' E( P @ d SP donde d SP es un vector llamado vector superficie que nos sirve para poder especificar la orientación de una superficie en el espacio.

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La asignación del vector superficie sólo puede ser única si se trata de una superficie plana, o de una tan pequeña que pueda asimilarse a un plano (elemento infinitesimal de superficie) . En este caso se conviene en representarla por un vector cuyo módulo coincide con su área, d S (área del elemento), dirección normal al elemento d S y el sentido se asigna de la siguiente forma:

a) Si la superficie plana (o el elemento de superficie) es parte de una superficie total cerrada, el sentido se elige hacia afuera del volumen encerrado por aquella. b) Si el elemento de superficie d S es parte de una superficie abierta cuyo contorno tiene un sentido de recorrido, la dirección del vector superficie se hace coincidir con la de avance de un tornillo que gire según dicho sentido. c) Si el elemento de superficie es parte de una superficie abierta para cuyo contorno no hay definido un sentido de recorrido, la elección puede ser cualquiera y seguramente en este caso no será necesaria.

Por otra parte tendremos que: d Φ ' EP@ d SP' E dS cosθ ' E d S N siendo d S N la proyección de d S en el

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plano normal a EP .

Si imaginamos el campo representado por las líneas de fuerza, el elemento de flujo d Φ puede interpretarse como el nº de líneas de fuerza que atraviesan o cortan la superficie d SP . Para comprobarlo recordemos el concepto de línea de fuerza: i) Representan la dirección del campo en cada punto. ii) Su espaciamiento es mayor en los lugares de EP menores. iii) Para dar una idea cuantitativa de EP , se dibujan las líneas de fuerza de forma que el nº de ellas que atraviesan la unidad de superficie normal al campo sea proporcional al valor de EP .

Así pues: *EP* ' K

nºl.d.f d SN

que podemos simplificar haciendo K = 1 *EP* ' K

nºl.d.f d N ' d SN d SN

por lo que el flujo elemental será: dN d Φ ' EP@ d SP' E d SN ' d SN ' d N d SN

El flujo del campo eléctrico a través de d SP es el nº de líneas de fuerza que atraviesan dicho elemento d SP que por supuesto es también el de las que atraviesan d S N . Interpretamos el flujo como "algo que sale". Para superficies finitas y cerradas el flujo vendrá dado por:

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ΦS '

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EP@ d SP ' N nS

donde “N” es el nº de líneas de fuerza que sale por la superficie S Teorema de Gauss. Una vez introducido el concepto de flujo podemos enunciar el teorema de Gauss, según el cual, el campo eléctrico creado por una distribución de cargas en reposo, tiene la propiedad de que: P r) " El flujo Φ del campo E( P a través de una superficie cerrada S , sólo depende de las cargas contenidas en el interior de S y es igual a carga neta encerrada en ella dividido por ε0 ." Φ'

j qi n t EP@ d SP' nS ε0 Para demostrar el teorema de Gauss, supongamos que tenemos una superficie cerrada S, en un campo eléctrico generado por una cierta distribución de cargas. El valor del flujo será:

P P j EP @ d SP'j Φ Φ ' EP@d S' EP @d S' i nS nSj i nS i Así pues, el flujo es la suma de los flujos que producirían cada una de las cargas por separado a través de la superficie S. Pero, como se ve en la figura , el flujo producido por las cargas exteriores a la superficie es nulo: En efecto, el flujo a través de dS1 sería negativo y del mismo valor que el que sale por dS2, que es positivo, ya que el número de líneas de fuerza que atraviesa a ambos elementos es el mismo. Por otra parte, si consideramos las cargas interiores, es evidente que el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie S es el mismo que el que atraviese a una superficie esférica centrada en la carga, por lo que podremos poner:

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Φ S = Φ SE =

∫

r r qr 3 ⋅ dS = 4π ε 0r

∫

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qrdS cos 0 q q q 2 = 3 2 ∫ dS = 2 4π r = 4 πε 0r 4π ε 0r S E 4π ε 0r ε0

Así pues, el flujo debido al campo creado por una carga puntual a través de la superficie cerrada S es cero si la carga es exterior y vale Φ S =

q si la carga es interior, con lo que el flujo debido a una ε0

j qi n t distribución cualquiera de cargas vendrá dado por la expresión Φ ' n EP@ d SP' S ε0

7.- CAMPO CREADO POR UN ELEMENTO CONTINUO: ESFERA, HILO Y PLACA El teorema de Gauss es de gran utilidad para calcular el campo creado por una distribución de carga que tenga alguna simetría. A continuación vamos a aplicar el teorema de Gauss para el cálculo del campo creado por algunas distribuciones de carga. Campo creado por una distribución esférica de carga. Extensión al caso gravitatorio. Sea una distribución esférica homogénea de carga de densidad cúbica de carga ρ (r) P '

dq siendo ρ (r) P ' cte si *rP * # R y ρ (r) P ' 0 si *rP *>R y en donde d V es un dr

elemento de volumen infinitesimal que rodea al punto rP y d q la carga contenida en dicho volumen d V .

Vamos a ver que, aprovechando la simetría del problema,

por

medio

del

teorema

Gauss

P r) obtendremos E( P directamente. a) Para puntos exteriores ( r > R ): Tracemos una superficie esférica gaussiana que pase por P. Por simetría la intensidad del campo será igual en todos FÍSICA 2º BACHILLERATO

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los puntos y normal a dicha superficie. El flujo del campo a través de una superficie esférica concéntrica con la distribución y de radio r es según el teorema de Gauss:

Φ'

nSe

qi n t

EP@ d SP'

ε0

donde qi n t es la carga contenida es S e .

Como debido a la simetría podemos resolver la integral tendremos: Φ'

nSe

EP@ d SP'

nSe

E dS'E

nSe

d S ' E Se ' 4 π r 2 E

como qi n t ' q , igualando al resultado obtenido del teorema de Gauss tendremos: E4πr 2'

q ε0

q 4 π ε0 r 2

que es el mismo valor que tendría si toda la carga q estuviera concentrada en el centro de la esfera. Así una distribución esférica es equivalente a una única carga puntual situada en el origen y que coincide con la carga total de la esfera. La intensidad en puntos exteriores coincide con la que tendría si toda la carga estuviese concentrada en el centro de la distribución, por lo que la expresión del potencial para dichos puntos será la misma que la del campo creado por una carga puntual. Se

b) Para puntos interiores ( r < R ): R

Dado que conserva la misma simetría:

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qi n t ' ρ Vi n t ' Aplicando el teorema de Gauss:

Φ'4πr 2E'

qi n t '

qr 3 Y ε0 R 3

q 4 πR 3 3

4 πr 3ρ 3

4 q 3 πr 3' r 3 R3

qr 3 qr ' 2 3 4 π ε0 R 3 4 π r ε0 R En resumen: Si r > R

EP'

q rP 4 π ε0 r 3

Si r < R

EP'

q rP 4 π ε0 R 3

En los puntos interiores el campo mantiene su simetría pero se hace proporcional a r , de modo que se anula en el origen. Hay que observar que ambos campos coinciden en r ' R . La representación gráfica de E en función de r sería la siguiente:

Es importante notar que puesto que el teorema de Gauss es debido a que la fuerza varía inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, debe ser igualmente válido para el campo gravitatorio. En este caso tendrá la expresión siguiente:

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ΦG ' & 4 π G j mi n t i

y el valor del campo creado por una distribución de masa esférica homogénea como en el caso de la Tierra será: gP ' &

gP ' &

GM rP r3 GM rP R3

para r > R

para r < R

expresiones que ya conocíamos de la lección anterior.

Campo creado por una distribución rectilínea indefinida. dE R

La figura muestra un porción de línea indefinida

dE'

uniformemente cargada con la

densidad lineal de carga λ . Para calcular el campo en un punto P, tomaremos un elemento

θ dq'

diferencial

r dq

x O

c a r g a dq ' λ d x . L a

contribución al campo del elemento de carga citado está dada por:

dE'

1 dq 1 λd x ' 2 4 π ε0 r 4 π ε0 r 2

cuyas componentes en la dirección del hilo y en la perpendicular a él, serán: * d EPx * ' * d EP* sen θ * d EPy * ' * d EP* cos θ Tomando el elemento simétrico respecto a la perpendicular, veremos que el campo producido por ambos elementos se anula en la dirección de la línea cargada y produce en la dirección FÍSICA 2º BACHILLERATO

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perpendicular: 2 λ d x cos θ d EPR ' 2 d E cos θ η P' η P 4 π ε0 r 2 e integrando, obtenemos la expresión: EP'

λ η P 2 π ε0 d

Esta integración no es difícil, pero este mismo resultado puede obtenerse por aplicación del teorema de Gauss: E E P

Si consideramos como superficie E

cerrada un cilindro con eje en el

hilo, que pase por el punto P y de altura L, sólo habrá flujo por la superficie lateral ya que, como se

ha visto, el campo es radial (a través de las bases será cero por

Φ =

r r E ∫ ⋅ dS =

pero, según el teorema de Gauss:

por lo que

ser E y dS perpendiculares) :

E 2π Ld =

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∫ EdS = E ∫ dS = E . L2π d

Φ =

∑q ε0

int

λL ε0

λL λ ⇒ E= ε0 2 π ε 0d

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que como se ve es inversamente proporcional a la distancia a la distribución y perpendicular a ella.

En cuanto a la diferencia de potencial entre dos puntos de este campo:

r r − dV = E ⋅ dr = E . dr⊥ e integrando:

V1 − V2 =

∫

r⊥ 2 λ dr⊥ λ = ln 2 πε 0r⊥ 2 πε 0 r⊥ 1

donde se ha llamado r⊥ a la distancia de cada punto a la línea de carga. Hay que hacer notar que en este caso no puede tomarse como referencia para potencial cero el infinito; sólo podremos hablar de diferencias de potencial entre dos puntos del campo. Campo creado por una distribución plana indefinida. Sea una distribución plana de carga, indefinida, con una densidad superficial de carga σ Por

razonamientos

análogos

encuentra para el campo:

σ EP' η P 2 ε0

dq=

donde σ es la densidad

superficial de carga. En efecto, en este caso, el campo es uniforme

dS E

a ambos lados de la distribución plana de carga y perpendicular a ella. De este modo, si dibujamos como superficie gaussiana la de un

cilindro como el de la figura, el flujo del campo eléctrico será nulo a través de la superficie lateral y FÍSICA 2º BACHILLERATO

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sólo tendrá valor en las bases: Φ = 2EdS Por otra parte, la carga encerrada en el interior de la superficie será dq = σ dS , con lo que, según el teorema de Gauss

2 EdS =

σ dS σ ⇒ E= ε0 2ε 0

La expresión hallada indica que el campo es perpendicular a la distribución y no depende de la distancia a la misma. Al tratarse de un campo uniforme, las E ∆rz

superficies

M ∆r

equipotenciales

serán

planos

paralelos a la distribución y se cumplirá: V1 & V2 ' EP. ∆ rP ' E . ∆ r cos φ ' σ ∆ rz ' E ∆ rz' 2 ε0

Campo en un condensador plano Un condensador plano es un dispositivo constituido por dos láminas metálicas planas y paralelas situadas a una distancia pequeña en comparación con la superficie de las placas, de forma que estas pueden considerarse como planos indefinidos. Cada una de las dos placas tiene la misma carga pero de signo contrario. Como vemos, los campos creados por las dos distribuciones de carga se anulan fuera de las placas del condensador σ y se suman entre ellas. Así pues el campo tendrá de valor : EP' η P. ε0 Por tratarse de un campo uniforme la diferencia de potencial entre las dos placas será: FÍSICA 2º BACHILLERATO

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σ V1 & V2 ' EP. ∆ rP ' E . ∆ r cos φ ' E ∆ rz' ∆ rz ε0 donde ∆ rz es la distancia entre las placas.

8.- PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA: CONDUCTORES Y DIELÉCTRICOS; PERMITIVIDAD Hasta aquí, hemos procedido al análisis teórico de las magnitudes que son fundamentales para el estudio de la interacción eléctrica: el campo y el potencial eléctricos. Para ello imaginábamos situaciones hipotéticas en las que disponíamos de distribuciones estáticas de carga eléctrica sin ningún soporte material. Sin embargo, ese planteamiento es poco realista, pues, ¿cómo podrá conseguirse que las cargas, todas del mismo signo, que componen una determinada distribución no se separen unas de otras? Para poder realizar un estudio del campo electrostático en su relación con los objetos materiales, soportes de las cargas que crean dicho campo, es preciso recurrir a nueva información experimental acerca del comportamiento eléctrico de los objetos materiales. Hoy día se admite que la constitución íntima de la materia consiste en moléculas formadas por átomos que, a su vez, se suponen constituidos por un núcleo con prácticamente toda la masa del átomo y carga positiva, y una corteza electrónica con igual carga que el núcleo pero de signo opuesto. Así, siendo la materia eléctricamente neutra (lo es cada uno de sus átomos), es también esencialmente eléctrica por tener carga las partículas que la constituyen. Ambas características pueden ponerse de manifiesto al someter un objeto material a un campo eléctrico.

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Experimentalmente se comprueba que, atendiendo a la movilidad de la carga a través de las sustancias materiales, (utilizando una descripción macroscópica de tal movilidad) estas pueden clasificarse en dos grandes grupos: a) Conductores: aquellas que permiten fácilmente el movimiento de la carga. b) Dieléctricos: sustancias que impiden dicho movimiento. Debido a la propiedad empleada para la clasificación, existe una gradación continua que excluye una separación neta entre ambas categorías. Por otro lado, una misma sustancia podrá comportarse en una u otra forma según la situación concreta en que se encuentre. Así los gases, que son normalmente buenos dieléctricos, conducen bien cuando están ionizados o bien las sustancias iónicas que son aislantes en estado sólido, son conductoras disueltas o fundidas. Entre los conductores y aislantes pueden distinguirse varios tipos. Hay conductores en los que las cargas que pueden moverse libremente son negativas, como ocurre en los metales (conductores de primera especie). En otros las cargas móviles son de ambos tipos, con los electrólitos (conductores de segunda especie). En el caso de los conductores de segunda especie, el transporte de carga va acompañado de transporte de masa ya que lo que se mueven son iones. Análogas diferencias pueden encontrarse entre los dieléctricos. Usaremos como modelo para el estudio de situaciones estáticas un conductor ideal que supondremos rígido, y tal que en su interior las cargas puedan moverse libremente. En la práctica se aproximan mucho a este modelo los metales. En ellos son los electrones los que se mueven, pero, teniendo en cuenta la constitución atómica, es evidente que la ausencia de carga negativa en un punto es simultánea a la aparición de carga positiva en dicho punto. Podremos por tanto suponer que ambos tipos de carga son móviles.

Conductores en equilibrio. FÍSICA 2º BACHILLERATO

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Si nos limitamos a considerar situaciones estáticas, en las que la carga que tiene el

conductor está en reposo, es evidente que, en

F=qE +

ellas, debe cumplirse que el campo eléctrico en

todos los puntos del interior del conductor es

nulo, EPi n t ' 0 .

Si no lo fuera las cargas

estarían sometidas a una fuerza no nula y no

F=-qE

habría equilibrio, pues por tratarse de un conductor ideal, no se opone ninguna fuerza al desplazamiento de las cargas. Una consecuencia de la anulación del campo en el interior del conductor es que éste sea equipotencial: & d V ' EP@ drP ' 0 Y V ' cte. Así, cuando las cargas de un conductor ideal están en reposo, en su interior el campo es nulo y el potencial es constante. Si el conductor está cargado, la carga estará en la superficie, pues las cargas , al ser del mismo tipo, se repelerán y tenderán a estar lo más alejadas posible. Esto último puede explicarse también haciendo uso del teorema de Gauss: Si el campo es nulo en el interior, debe serlo el flujo que atraviese cualquier superficie cerrada que esté contenida en dicho interior, con lo que la carga dentro de la superficie debe ser netamente nula. E

+ +

El que pueda haber carga neta en

+ + + + S

+ + + +

reposo en la superficie se debe a la fuerza con que el conductor se opone a la disgregación que supondría que las cargas saliesen al exterior. Por

eso allí el campo no será nulo y el equilibrio se

producirá entre la fuerza del campo y la fuerza r

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superficial antes mencionada.

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Por otra parte, si tenemos en cuenta que el potencial no puede presentar discontinuidades, deberá tener la superficie el mismo potencial que el interior del conductor, por lo que el campo EP será perpendicular a ella. Además, si no lo fuese, habría una componente ET que movería las cargas, no habiendo entonces equilibrio.

Veamos cuál es la situación si es el conductor el que está sometido a un campo eléctrico exterior. En el equilibrio las conclusiones anteriores son válidas y, por tanto:

- Si el conductor está descargado, la carga de su superficie que en ausencia de campo es nula

punto por punto, se redistribuye de forma que crea un campo que compensa el exterior en todos los puntos del interior del conductor, a la

E int E0

vez que anula la componente paralela a la superficie en los puntos de ésta. Es decir, las cargas de ambos signos que posee el conductor

se orientan de modo que el campo en el interior sea nulo: EP0 % EPi n t ' 0

- Si el conductor posee carga neta, la distribución de cargas en la superficie será diferente, pues la línea neutra no estará en el centro, aunque el resultado final será el mismo: EP0 % EPi n t ' 0 En este caso las cargas que anulan el campo exterior provienen de las que el conductor tiene en exceso y de las propias cargas de los átomos de la superficie del conductor.

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Comportamiento de un dieléctrico. Hasta aquí hemos visto cómo interacciona con un campo eléctrico un conductor ideal, ahora vamos a ver cómo lo hace un dieléctrico. Para ello, previamente estudiemos lo que es un dipolo y cómo se comporta ante un campo eléctrico: Un dipolo es un sistema formado por dos

E F=qE

cargas iguales y opuestas separadas una distancia fija a

A la expresión pP ' q aP se le llama

momento dipolar y caracteriza el comporta-

-q

miento de dicho dipolo. Cuando sobre el dipolo actúa un campo exterior EP aparece sobre él un par de fuerzas que tienden a colocar su momento dipolar pP alineado con el campo eléctrico, ya que el momento del par de fuerzas es: MP' aP x q EP' qà P x EP' pP x EP que solo se anula si los vectores EP y pP son paralelos.

Visto esto, ya podemos empezar a hablar de la interacción entre el campo eléctrico y la materia aislante. Los dieléctricos ideales, aquellas sustancias que no dejan moverse en absoluto a las cargas, no notarán nada la presencia de un campo eléctrico, pero estas sustancias no existen. En la realidad, como vamos a ver, sí hay interacción. Empecemos por clasificar los dieléctricos en dos grandes grupos: a) dieléctricos cuyas moléculas tienen carga nula y momento dipolar nulo. Esto ocurre si los "centros de gravedad" de las cargas positivas y negativas coinciden. Así, por ejemplo, en el oxígeno cada distribución de carga, positiva o negativa, puede describirse por una carga puntual, siendo ambas coincidentes. A estos dieléctricos se les llama no polares. FÍSICA 2º BACHILLERATO

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b) el otro grupo lo constituyen las sustancias cuyas moléculas tienen un momento dipolar pP distinto de cero.Se llaman dieléctricos polares y un ejemplo es el agua. H

¿Cómo se comportan ante un campo eléctrico? - Si el dieléctrico es no polar, el campo eléctrico actúa sobre las cargas + y - de cada molécula, en sentido contrario, deformando la distribución de carga, apareciendo con ello un momento dipolar no nulo. - Si el dieléctrico es polar, sus moléculas poseen momento dipolar aun en ausencia de campo eléctrico exterior. Pero, debido a la agitación térmica, los momentos dipolares están dirigidos al azar, en todas las direcciones, de modo que, en total, la polarización es nula. Si se establece un campo eléctrico exterior, como hemos visto, esos dipolos que son las moléculas tienden a orientarse en la dirección del campo eléctrico, y , aunque éste no sea lo suficientemente intenso como para orientar totalmente a las moléculas, sí que moverá algo a los dipolos moleculares, con lo que ya la polarización total no será nula. Así pues, aunque el proceso sea diferente, un dieléctrico polar también se polariza, como el no polar, bajo la acción de un campo eléctrico. Está claro que estos dipolos, inducidos u orientados, contribuirán a crear un campo eléctrico propio, que modificará el campo exterior que los ha producido.

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Sea un dieléctrico que colocamos en un +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

condensador plano cargado, entre cuyas

armaduras haya vacío. Llamamos σL a la densidad de carga superficial que ha creado el campo exterior al dieléctrico y σP a la que

aparece por polarización.

Antes de colocar el dieléctrico, el campo era únicamente debido a la carga libre: EP'

σ1 ε0

nP0

siendo nP0 un vector unitario en dirección perpendicular a las placas y sentido de la positiva a la negativa. Al introducir el aislante y polarizarse éste, aparece en él una distribución de carga que será neutra en los puntos interiores del dieléctrico, pero que dará un par de "láminas" con distribuciones no nulas de carga -σP y +σP que crearán un campo, nulo en el exterior y de valor EPP '

&σP ε0

nP0 en

el interior. Entonces, el campo en el interior del dieléctrico valdrá: EP'

σL & σP ε0

nP0 cuya intensidad será

menor que antes. La razón de esta disminución está en que la carga efectiva ha variado, debido a la polarización, pero también podemos interpretar esto diciendo que la carga no ha variado y achacar esa disminución del campo a que en el dieléctrico hay diferente valor para la permitividad dieléctrica ε , mayor que la correspondiente al vacío ε0 . Entonces la expresión del campo en el interior del dieléctrico será: E '

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σL ε

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A ε se le llama permitividad dieléctrica del aislante y al valor εr '

ε se le llama ε0

permitividad relativa, que es un número abstracto, sin unidades. De esta forma, interpretamos que la disminución del campo es debida a una cierta propiedad del medio (la permitividad), aunque, como vemos, la razón más profunda radica en el hecho de que existen dos tipos de cargas en la Naturaleza, las positivas y las negativas.

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